Calculo Avançado

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Exercicio de Sala - Calculo Avanado

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  • Universidade Federal do Par Instituto de Tecnologia - ITEC

    Programa de Ps-Graduao em Engenharia Civil Linha de Pesquisa: Estruturas e Construo Civil - nfase Estruturas

    LUAN HENRIQUE VARO SILVA

    EXECCIOS DE CLCULO AVANADO

    1 LISTA

    Belm - 2015

  • LUAN HENRIQUE VARO SILVA

    EXECCIOS DE CLCULO AVANADO

    Trabalho apresentado a Disciplina Clculo Avanado do curso de Mestrado em Engenharia Civil, Linha de Pesquisa em Estruturas, como requisito parcial de avaliao.

    Belm - 2015

  • I) Mostre que 2 de fato o perodo fundamental de senx.

    f (x) = Sen(x)

    Perodo fundamental, T = 2 p P = T 2 p Sen (x +nP) n (inteiro positivo)

    Para n = 1

    Sen(x + 1 x 2 p ) =

    Sen(x)* Cos(2 p ) + Cos(x) *Sen(2 p ) Sen(x)* ( 1 ) - Cos(x) * ( 0 )

    f(x) = Sen(x) Ento, peridica em 2 pPara n = 2

    Sen(x + 2 x 2 p )

    Sen(x)* Cos(4 p ) + Cos(x) *Sen(4 p ) Sen(x)* ( 1 ) - Cos(x) * ( 0 )

    f(x) = Sen(x)

    Para n = 3

    Sen(x + 3 x 2 p )

    Sen(x)* Cos(6 p ) + Cos(x) *Sen(6 p ) Sen(x)* ( 1 ) - Cos(x) * ( 0 )

    f(x) = Sen(x)

    Para n = n

    Sen(x + n x 2 p )

    Sen(x)* Cos(nx2 p ) + Cos(x) *Sen(nx2 p ) Sen(x)* ( 1 ) - Cos(x) * ( 0 )

    f(x) = Sen(x)

    Logo, o Perodo fundamental de f(x) = 2 p

    f (x) = Sen(x)

    Perodo fundamental, T = 2 p P = T 2 p Sen (x +nP) n (inteiro positivo)

    Para n = 1

    Sen(x + 1 x 2 p ) =

    Sen(x)* Cos(2 p ) + Cos(x) *Sen(2 p ) Sen(x)* ( 1 ) - Cos(x) * ( 0 )

    f(x) = Sen(x) Ento, peridica em 2 pPara n = 2

    Sen(x + 2 x 2 p )

    Sen(x)* Cos(4 p ) + Cos(x) *Sen(4 p ) Sen(x)* ( 1 ) - Cos(x) * ( 0 )

    f(x) = Sen(x)

    Para n = 3

    Sen(x + 3 x 2 p )

    Sen(x)* Cos(6 p ) + Cos(x) *Sen(6 p ) Sen(x)* ( 1 ) - Cos(x) * ( 0 )

    f(x) = Sen(x)

    Para n = n

    Sen(x + n x 2 p )

    Sen(x)* Cos(nx2 p ) + Cos(x) *Sen(nx2 p ) Sen(x)* ( 1 ) - Cos(x) * ( 0 )

    f(x) = Sen(x)

    Logo, o Perodo fundamental de f(x) = 2 p

  • II) Encontre um perodo da funo: (x)= 6sen(2x/14) 4cos(x/5).

    Cos(x) = sen (x+ /2) ; Sen(x)= - cosx (x+ /2)

    Considerando que:

    g (x) = 6 Sen(2x/14) = 6 sen (x/7)

    h (x) = - 4 cos ( x / 5)

    f (x) = g (x) + h(x)

    Para as funes peridicas:

    f (x) = g (x+Kg*Pg) + h(x+Kh*Ph), Onde Kg e Kh nmero interio positivo.

    Considerando que:

    Pg / Ph = Kh / Kg = P

    Pg = (2 / (1/7)) = 14 , Ph = 2/ (1/5) = 10

    Pg / Ph = 7 / 5 5 Pg = 7 Ph

    5 * 14 = 7 * 10 = P

    P =70

  • III) Mostre que (x) peridica de periodo T, ento =

    +

    , isto , o integral de (x) no intervalo de comprimento T no

    depende do ponto inicial desse intervalo.

    Pela propriedade aditiva da integral, temos que:

    =

    + ,

    Suponhamos que: nT x (n +1)T. Ento, nT (n+1)T x+T (n+2)T e, portanto,

    = + +

    +1

    +1

    +

    Observe, tambm, que:

    =

    +1

    +1

    Logo,

    = [ ] + +

    +1

    +1

    +

    Como f peridica de perodo T, e, portanto, fix + T) = f(x). Ento, fazendo t = t T ,

    temos: = + =

    +

    +1

    Logo,

    = +1

    +

    Mas,

    =

    0

    +1

    Logo,

    = ,

    0

    +

    x

  • IV) Mostre que se a/b racional, ento (x)= sen(ax) + cos(bx), peridica.

    Se a= 2 e b=3 ento temos

    f(x) = sen (2x)+cos(3x); sen(2x) = g(x) e cos(3x) = h(x) ento

    f(x) = g(x)+h(x)

    periodo g de g(x)= 2 p /2 = p

    periodo h de h(x)= 2 p /3

    periodo g /periodo h

    = p /(2 p /3) = 3/2

    2periodo g = 3 periodo h

    2 p = 3* 2 p /3 = 2 p Periodo da funo f(x)

    Se a= 5 e b=7 ento temos

    f(x) = sen (5x)+cos(7x); sen(5x) = g(x) e cos(7x) = h(x) ento

    f(x) = g(x)+h(x)

    periodo g de g(x)= 2 p /5

    periodo h de h(x)= 2 p /7

    periodo g /periodo h= (2/5) / (2/7) = 7/5

    5periodo g = 7 periodo h

    5*2 p = 7* 2 p /7 = 2 p Periodo da funo f(x)

    Sempre o periodo da funo ser 2 p

  • b) Mostre que (x)= sen(ax) + cos(bx), peridica. Ento a/b racional. Resoluo:

    g(x) = sen(ax)

    Perodo fundamental, T = 2 p P = T / a 2 p a sen a (x + P))

    sen (ax + aP))

    sen (ax + 2 p ))

    sen(ax)* cos(2 p )) + cos(ax) *Sen(2 p ) sen(ax)* ( 1 ) + cos(ax) * ( 0 )

    sen(ax)* ( 1 ) + cos(ax) * ( 0 )

    g(x) = sen(ax) perodica em 2 p /ah (x) = cos(bx)

    Perodo fundamental, P* = 2 p P = P* / b 2 p / b =

    cos(b ( x + 2 p /b) cos(bx + b2 p /b)) = cos(bx + 2 p ))

    cos(bx)* cos(2 p )) - Sen(bx) *Sen(2 p ) cos(nx)* ( 1 ) - Sen(nx) * ( 0 )

    h(x) = cos(nx) peridica em 2 p /b

    Razo entre os perodos:

    Perodo de g(x) /Perodo de h (x)(2 p /a) / (2 p /b) = b / a

    g(x) / h (x) = b / a

    a g(x) = b h (x) = Perodo de f (x) = 2 p

    a (2 p /a) = b (2 p /b) = 2 pento, a/b = 1