calculo avançado

download

of 160

  • date post

    24-Jun-2015
  • Category

    Documents
  • view

    540
  • download

    1

Embed Size (px)

transcript

FCUPDep. MatematicaPuraCURSOdeCALCULOAVANC ADORESUMOdasaulasteoricas4.oanodaslicenciaturasemMatematicaPuraeAplicadaJoaoNunoTavaresDept. MatematicaPura,FaculdadedeCiencias,Univ. Porto,4050Porto,Portugal11E-mail adress: jntavar@fc.up.pt1IntroducaoEstas notas devem ser encaradas como um mero guiao para as aulas, e portanto naosaoumsubstitutodabibliograaindicadaemuitomenosdasaulas. Pretendemporemserumincentivoouumguiaparaaconsultadabibliograaindicada.Incluemcomdetalheosprincipaisconceitoseresultadosdocurso, eaindaosenun-ciadosdosexercciospropostosparaasaulaspraticas. Espera-sequesejamumauxiliarvalioso para o curso, que em particular permita uma maior liberdade na explicac ao teoricados assuntos,substituindo uma exposicao com grande detalhe formal por uma que realceosaspectosgeometricoseintuitivosdessesmesmosconceitoserespectivasinter-rela coes,e que por outro lado sejam um estmulo `a atencao e participac ao activa dos alunos. Final-mentepretende-secomestetextogarantirumamaioruniformidadenasnotac oesusadasenosenunciadosdedenic oeseteoremas(aliasumdosproblemasdestadisciplina eex-actamenteopesoexcessivodasnotacoes,peloqueseimpoeumaescolhacriteriosaeumusouniformedeumaboanotacao!).Oprogramaestaestruturadoassumindoalgunspreliminaresdosquaisdestaco:umconhecimentodetalhadodecalculodiferencial emIRa, nomeadamente, anocaodediferencial, regra da cadeia, os teoremas da funcao inversa e da funcao implcita, mudan cade variaveis em integrais m ultiplos e os teoremas classicos (de Green, Gauss e Stokes) daanalise vectorial (teoria do campo).o teorema da existencia, unicidade e dependencia diferenciavel das condicoes iniciais, parasolucoes de equacoes diferenciais ordinarias.rudimentos de algebra multilinear, nomeadamente, as nocoes de produto tensorial e pro-duto exterior de espacos vectoriais.alguma pratica com geometria de subvariedades em IRa.nocoes basicas de topologia.terminologia basica de (teoria de) categorias.a tradicional maturidade matematica que se espera dos alunos do ultimo ano da licen-ciatura em Matematica Pura ou Aplicada.Eno entanto previsvel que alguns dos topicos acima referidos exijamexposicoesprevias,oqueevidentementeserafeitosemprequenecessario.O programa agora proposto e essencialmente uma introducao ao calculo e `a geometriadasvariedadesebradosdiferenciaveis. Osobjectivos sao evidentemente osdeconseguirqueosalunosadquiramfamiliaridadecomosconceitosbasicosdegeometriadevarieda-des, e ainda um treino ecaz de calculo efectivo, que lhes permita prosseguir estudos maisavancados, quer em areas de geometria (teoria geral de conexoes, geometria Riemanniana,classes caractersticas, geometriacomplexa, teoremas dendice, etc...), quer emareasdeaplicac oes(mecanicaHamiltoniana, relatividadegeral, cosmologia, teoriageometrica2docontrolo, analiseegeometriaestocastica, sistemasdinamicosemvariedades, calculovariacional, etc...), quer nalmente em areas de conuencia (geometria simpletica, teoriasdegauge,supergeometria,invariantesdeDonaldson,deSeiberg-Witten,etc...).Desdeoincioefeitaumaseriatentativadeapresentarosdiversosconceitosnoseuenquadramentomaisfundamental. Defactoeminhaconvic caodequeasimplicac aoemgeometriasetraduzmuitasvezesnumaomissaodosseusaspectosintuitivos(visuais)e fsicos. Nao se deve esquecer que uma das suas principais motivacoes e exactamente oda geometrizac ao de teorias fsicas, o que tem razes historicas profundas, como e sobe-jamenteconhecido. Citoapenasosseguintesexemplosparadigmaticos- asinteracc oesentre: (i). geometria(semi-) Riemannianaeateoriadarelatividadegeral, (ii). teo-riasdegaugeegeometriadasvariedadesdebaixadimensao, emaisrecentemente, (iii).supersimetriaesupergeometria,ouainda(iv). quantizac aoegeometrianaocomutativa.Seriaaliasestimulanteeinteressantedespertarointeresseecuriosidadedosalunosporalgumdestestemas!Apresentodeseguidaaprogramac aoprevistaparaasaulas:Seccoes I.1-I.2 Variedades, exemplos, asp. topologicos 1+1/2 semanas 6 horasSeccoes I.3-I.5 Fibrados. TM,TM. Seccoes. 2 semanas 8 horasSeccoes I.6-I.8 Subvariedades. Campos. Distribuicoes 2 semanas 8 horasSeccoes II.1-II.2 Grupos e algebras de Lie 2 semanas 8 horasSeccoes II-3 Accoes. Esp. Homogeneos 1+1/2 semana 6 horasCaptulo III Formas. Calculo de Cartan 2 semanas 8 horasCaptulo III (cont.) Integracao. Aplicacoes 2 semanas 8 horasTotais 13 semanas 52 horasINDICE:1 Variedades. Fibrados 71.1 Variedadesdiferenciaveis. Denic aoeexemplos . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.1 Variedades. EstruturasDiferenciaveis. Exemplos . . . . . . . . . . . 71.1.2 Fun coeseaplicacoesdiferenciaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.3 Exemplo. OsProjectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.4 Exemplo. AsGrassmannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2 Algumaspropriedadestopologicasdasvariedades . . . . . . . . . . . . . . 171.3 Fibrados. FibradosVectoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3.1 Fibrados. Func oesdetransic ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3.2 G-Fibrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3.3 Exemplo. Abrac aodeHopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.3.4 FibradosVectoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.4 OsFibradosTangenteTMeCotangenteTM. . . . . . . . . . . . . . . . 271.4.1 Vectorestangentes. OespacotangenteTaM. Diferenciais. . . . . . 271.4.2 OFibradoTangenteTM. Aplicac oestangentes . . . . . . . . . . . 311.4.3 Camposdevectores. AalgebradeLie/cmsy/m/n/14.4X(M) . . . 331.4.4 OFibradoCotangenteTM. 1-formasdiferenciais. . . . . . . . . . 361.5 FibradodeReferenciais. FibradosPrincipais . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.5.1 Convenc oesdealgebralinear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.5.2 OFibradodeReferenciais. ReducoeseG-estruturas. . . . . . . . . 411.5.3 Fibradosprincipais. Fibradosassociados . . . . . . . . . . . . . . . 451.6 MaisExemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.6.1 OFibradoTangentedeumaGrassmanniana . . . . . . . . . . . . . 511.6.2 FibradosUniversais. Pull-backs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541.6.3 FibradosTangentesdasEsferas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571.6.4 FibradosPrincipaissobreEsferas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581.7 Subvariedades. Imersoes,Submersoes,Mergulhos. . . . . . . . . . . . . . . 62341.8 CamposdeVectoreseFluxos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681.9 Distribuic oes. TeoremadeFrobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742 Formasdiferenciais. CalculodeCartan 792.1 Formasexteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.2 FormasDiferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832.3 CalculodeCartancomformasdiferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872.4 Sistemasdiferenciaisexteriores. TeoremadeFrobenius . . . . . . . . . . . 962.4.1 Ideaisdiferencais. TeoremadeFrobenius . . . . . . . . . . . . . . . 962.4.2 ATecnicadoGracodeE.Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992.5 Integra caodasFormas. FormuladeStokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012.5.1 Integrac aoden-formasemRn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012.5.2 Integrac aodeformasemvariedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1022.5.3 Variedadescombordo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1042.6 Aplicac oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1092.6.1 Homotopia. Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1093 GruposeAlgebrasdeLie. GruposClassicos. 1123.1 GruposdeLie. GruposClassicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1123.1.1 Primeirosexemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1123.1.2 EstruturasComplexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133.1.3 Quaternioes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143.1.4 Espacoscomprodutointerno(V, ). Gruposortogonais O(V, ) . . 1173.2AlgebrasdeLiedosgruposdeLie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1244 Espacoshomogeneos 1374.1 Acc oesdegrupo. Espacoshomogeneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1374.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414.3 FormadeMaurer-Cartan. Equac oesdeestruturadeumgrupodeLie . . . 1434.4 Exemplos. Equac oesdeestruturadealgunsgruposclassicos . . . . . . . . 1464.5 DiferencialdeDarboux. TeoriadeDarboux . . . . . . . . . . . . . . . . . 1564.6 Geometrialocaldassubvariedadesemespacoshomogeneos . . . . . . . . . 1595BIBLIOGRAFIA...I. Geral...[BD]... T.Br ocker,T.Dieck,RepresentationsofCompactLieGroups,GTM98,Springer-Verlag,1987.[Br]... G.E.Bredon,TopologyandGeometry,GTM139,Springer-Verlag,1993.[DFN]... B.Dubrovin,A.Fomenko,S.Novikov,ModernGeometry-MethodsandApplications,PartsIeII.GTM93e104,Springer-Verlag,1990.[Har]... F.R.Harvey,SpinorsandCalibrations,AcademicPress,Inc.,1990.[Hir]... M.W.Hirsch,Dierential Topology,GTM33,Springer-Verlag,1976. [KN]... S.Kobayashi,K.Nomizu,FoundationsofDierential Geometry,vol. IeII.IntersciencePublishers,J.Wiley,1963. [KMS]... I. Kolar, P.W. Michor, J. Slov ak, Natural Operations inDierentialGeometry,Springer-Verlag,1993. [ON]... B.ONeill, Semi-RiemannianGeometry, withapplicationstoRelativity,AcademicPress,Inc.,1983. [Po]... W.A. Poor, Dierential GeometricStructures, McGraw-Hill BookCom-pany,1981. [PQ]... P. M. Quan, Introduction`a la geometrie des varietes dierentiables,Dunod,Paris,1969. [Sp]... M. Spivak, AComprehensiveIntroductiontoDierential Geometry, vol.I,II,III,IVeV,PublishorPerish,Inc. 1979.[St]... S.Sternberg,LecturesonDierential Geometry,ChelseaPublishingCom-pany,N.Y.,1983.[Tav]... J.N.Tavares,CursodeGeometriaDiferencial,FCUP,1997. [Wa]... F. W. Warner, Foundations of Dierential Manifolds andLieGroups,Scott,ForesmanandCompany,1971. [We]... R. O. Wells, Dierential Analysis on Complex Manifolds, GTM65,Springer-Verlag,1980.II. Aplicacoes...[AM]... R. Abraham, J. E: Marsden, Foundations of Mechanics, Benjamin/CummingsPublishingCompany,1978