FCUPDep. MatematicaPuraCURSOdeCALCULOAVANC ADORESUMOdasaulasteoricas4.oanodaslicenciaturasemMatematicaPuraeAplicadaJoaoNunoTavaresDept. MatematicaPura,FaculdadedeCiencias,Univ. Porto,4050Porto,Portugal11E-mail adress: jntavar@fc.up.pt1IntroducaoEstas notas devem ser encaradas como um mero guiao para as aulas, e portanto naosaoumsubstitutodabibliograaindicadaemuitomenosdasaulas. Pretendemporemserumincentivoouumguiaparaaconsultadabibliograaindicada.Incluemcomdetalheosprincipaisconceitoseresultadosdocurso, eaindaosenun-ciadosdosexercciospropostosparaasaulaspraticas. Espera-sequesejamumauxiliarvalioso para o curso, que em particular permita uma maior liberdade na explicac ao teoricados assuntos,substituindo uma exposicao com grande detalhe formal por uma que realceosaspectosgeometricoseintuitivosdessesmesmosconceitoserespectivasinter-rela coes,e que por outro lado sejam um estmulo `a atencao e participac ao activa dos alunos. Final-mentepretende-secomestetextogarantirumamaioruniformidadenasnotac oesusadasenosenunciadosdedenic oeseteoremas(aliasumdosproblemasdestadisciplina eex-actamenteopesoexcessivodasnotacoes,peloqueseimpoeumaescolhacriteriosaeumusouniformedeumaboanotacao!).Oprogramaestaestruturadoassumindoalgunspreliminaresdosquaisdestaco:umconhecimentodetalhadodecalculodiferencial emIRa, nomeadamente, anocaodediferencial, regra da cadeia, os teoremas da funcao inversa e da funcao implcita, mudan cade variaveis em integrais m ultiplos e os teoremas classicos (de Green, Gauss e Stokes) daanalise vectorial (teoria do campo).o teorema da existencia, unicidade e dependencia diferenciavel das condicoes iniciais, parasolucoes de equacoes diferenciais ordinarias.rudimentos de algebra multilinear, nomeadamente, as nocoes de produto tensorial e pro-duto exterior de espacos vectoriais.alguma pratica com geometria de subvariedades em IRa.nocoes basicas de topologia.terminologia basica de (teoria de) categorias.a tradicional maturidade matematica que se espera dos alunos do ultimo ano da licen-ciatura em Matematica Pura ou Aplicada.Eno entanto previsvel que alguns dos topicos acima referidos exijamexposicoesprevias,oqueevidentementeserafeitosemprequenecessario.O programa agora proposto e essencialmente uma introducao ao calculo e `a geometriadasvariedadesebradosdiferenciaveis. Osobjectivos sao evidentemente osdeconseguirqueosalunosadquiramfamiliaridadecomosconceitosbasicosdegeometriadevarieda-des, e ainda um treino ecaz de calculo efectivo, que lhes permita prosseguir estudos maisavancados, quer em areas de geometria (teoria geral de conexoes, geometria Riemanniana,classes caractersticas, geometriacomplexa, teoremas dendice, etc...), quer emareasdeaplicac oes(mecanicaHamiltoniana, relatividadegeral, cosmologia, teoriageometrica2docontrolo, analiseegeometriaestocastica, sistemasdinamicosemvariedades, calculovariacional, etc...), quer nalmente em areas de conuencia (geometria simpletica, teoriasdegauge,supergeometria,invariantesdeDonaldson,deSeiberg-Witten,etc...).Desdeoincioefeitaumaseriatentativadeapresentarosdiversosconceitosnoseuenquadramentomaisfundamental. Defactoeminhaconvic caodequeasimplicac aoemgeometriasetraduzmuitasvezesnumaomissaodosseusaspectosintuitivos(visuais)e fsicos. Nao se deve esquecer que uma das suas principais motivacoes e exactamente oda geometrizac ao de teorias fsicas, o que tem razes historicas profundas, como e sobe-jamenteconhecido. Citoapenasosseguintesexemplosparadigmaticos- asinteracc oesentre: (i). geometria(semi-) Riemannianaeateoriadarelatividadegeral, (ii). teo-riasdegaugeegeometriadasvariedadesdebaixadimensao, emaisrecentemente, (iii).supersimetriaesupergeometria,ouainda(iv). quantizac aoegeometrianaocomutativa.Seriaaliasestimulanteeinteressantedespertarointeresseecuriosidadedosalunosporalgumdestestemas!Apresentodeseguidaaprogramac aoprevistaparaasaulas:Seccoes I.1-I.2 Variedades, exemplos, asp. topologicos 1+1/2 semanas 6 horasSeccoes I.3-I.5 Fibrados. TM,TM. Seccoes. 2 semanas 8 horasSeccoes I.6-I.8 Subvariedades. Campos. Distribuicoes 2 semanas 8 horasSeccoes II.1-II.2 Grupos e algebras de Lie 2 semanas 8 horasSeccoes II-3 Accoes. Esp. Homogeneos 1+1/2 semana 6 horasCaptulo III Formas. Calculo de Cartan 2 semanas 8 horasCaptulo III (cont.) Integracao. Aplicacoes 2 semanas 8 horasTotais 13 semanas 52 horasINDICE:1 Variedades. Fibrados 71.1 Variedadesdiferenciaveis. Denic aoeexemplos . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.1 Variedades. EstruturasDiferenciaveis. Exemplos . . . . . . . . . . . 71.1.2 Fun coeseaplicacoesdiferenciaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.3 Exemplo. OsProjectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.4 Exemplo. AsGrassmannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2 Algumaspropriedadestopologicasdasvariedades . . . . . . . . . . . . . . 171.3 Fibrados. FibradosVectoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3.1 Fibrados. Func oesdetransic ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3.2 G-Fibrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3.3 Exemplo. Abrac aodeHopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.3.4 FibradosVectoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.4 OsFibradosTangenteTMeCotangenteTM. . . . . . . . . . . . . . . . 271.4.1 Vectorestangentes. OespacotangenteTaM. Diferenciais. . . . . . 271.4.2 OFibradoTangenteTM. Aplicac oestangentes . . . . . . . . . . . 311.4.3 Camposdevectores. AalgebradeLie/cmsy/m/n/14.4X(M) . . . 331.4.4 OFibradoCotangenteTM. 1-formasdiferenciais. . . . . . . . . . 361.5 FibradodeReferenciais. FibradosPrincipais . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.5.1 Convenc oesdealgebralinear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.5.2 OFibradodeReferenciais. ReducoeseG-estruturas. . . . . . . . . 411.5.3 Fibradosprincipais. Fibradosassociados . . . . . . . . . . . . . . . 451.6 MaisExemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.6.1 OFibradoTangentedeumaGrassmanniana . . . . . . . . . . . . . 511.6.2 FibradosUniversais. Pull-backs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541.6.3 FibradosTangentesdasEsferas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571.6.4 FibradosPrincipaissobreEsferas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581.7 Subvariedades. Imersoes,Submersoes,Mergulhos. . . . . . . . . . . . . . . 62341.8 CamposdeVectoreseFluxos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681.9 Distribuic oes. TeoremadeFrobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742 Formasdiferenciais. CalculodeCartan 792.1 Formasexteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.2 FormasDiferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832.3 CalculodeCartancomformasdiferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872.4 Sistemasdiferenciaisexteriores. TeoremadeFrobenius . . . . . . . . . . . 962.4.1 Ideaisdiferencais. TeoremadeFrobenius . . . . . . . . . . . . . . . 962.4.2 ATecnicadoGracodeE.Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992.5 Integra caodasFormas. FormuladeStokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012.5.1 Integrac aoden-formasemRn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012.5.2 Integrac aodeformasemvariedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1022.5.3 Variedadescombordo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1042.6 Aplicac oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1092.6.1 Homotopia. Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1093 GruposeAlgebrasdeLie. GruposClassicos. 1123.1 GruposdeLie. GruposClassicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1123.1.1 Primeirosexemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1123.1.2 EstruturasComplexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133.1.3 Quaternioes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143.1.4 Espacoscomprodutointerno(V, ). Gruposortogonais O(V, ) . . 1173.2AlgebrasdeLiedosgruposdeLie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1244 Espacoshomogeneos 1374.1 Acc oesdegrupo. Espacoshomogeneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1374.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414.3 FormadeMaurer-Cartan. Equac oesdeestruturadeumgrupodeLie . . . 1434.4 Exemplos. Equac oesdeestruturadealgunsgruposclassicos . . . . . . . . 1464.5 DiferencialdeDarboux. TeoriadeDarboux . . . . . . . . . . . . . . . . . 1564.6 Geometrialocaldassubvariedadesemespacoshomogeneos . . . . . . . . . 1595BIBLIOGRAFIA...I. Geral...[BD]... T.Br ocker,T.Dieck,RepresentationsofCompactLieGroups,GTM98,Springer-Verlag,1987.[Br]... G.E.Bredon,TopologyandGeometry,GTM139,Springer-Verlag,1993.[DFN]... B.Dubrovin,A.Fomenko,S.Novikov,ModernGeometry-MethodsandApplications,PartsIeII.GTM93e104,Springer-Verlag,1990.[Har]... F.R.Harvey,SpinorsandCalibrations,AcademicPress,Inc.,1990.[Hir]... 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Aplicacoes...[AM]... R. Abraham, J. E: Marsden, Foundations of Mechanics, Benjamin/CummingsPublishingCompany,1978.6[DFN]... B.Dubrovin,A.Fomenko,S.Novikov,ModernGeometry-MethodsandApplications,PartsIeII.GTM93e104,Springer-Verlag,1990.[Fr]... T. Frankel, TheGeometryofPhysics: anintroduction, Cambridge Univer-sityPress,1997. [MR]... J. E. Marsden, T. S. Ratiu, IntroductiontoMechanics andSymmtry,TAM17,Springer-Verlag,1994. [Nab]... G.L.Naber,Topology,Geometry,andGaugeFields,TAM25Springer-Verlag,1997.[Nak]... M.Nakahara,Geometry,TopologyandPhysics,AdamHilger,1990. [NS]... C. Nash, S. Sen, TopologyandGeometryforandPhysicists, AcademicPress,Inc. 1983. [ON]... B.ONeill, Semi-RiemannianGeometry, withapplicationstoRelativity,AcademicPress,Inc.,1983.[WW]... R. S. Ward, R. O. Wells, Twistor Geometry and Field Theory, CambridgeUniversityPress,1990. [West]... vonWestenholz, Dierential FormsinMathematical Physics. North-HollandPublishingCompany(1978).Captulo1Variedades. Fibrados1.1 Variedadesdiferenciaveis. Denicaoeexemplos1.1.1 Variedades. EstruturasDiferenciaveis. Exemplos Denicao 1.1... Uma variedade(real) Mde dimensao n, e umespacoHaussdorcomumabasenumeravel (1), queelocalmentehomeomorfoaoespacoIRa,i.e., cadapontop MadmiteumavizinhancaabertaU MhomeomorfaaumabertodeIRa,atravesdeumhomeomorsmo : U Ut IRa,sobreumabertoUtdeIRa.Umpar(U, )nascondic oesdadenic aoanteriordiz-seumacartalocaldeM.Representemosporrj: IRa IRasfunc oescoordenadasusuaisemIRa,detalformaquerj(e;) = j;. Se edadapornfuncoesreais:(.) = (x1(.), , xa(.)) onde xjdef= rj ,i = 1, , n (1.1.1)a essas func oes xj(.) chamam-se coordenadas locais em U M: se p Uos n umeros(x1(p), , xa(p))saoportantoascoordenadaslocaisdep, relativamente`acartalocal(U, ),queporvezessenotapor(U; x1, , xa)).Etambemusualchamara1: Ut IRaU M, umaparametrizac ao(local)doabertoUdeM, usandoascoordenadas(locais)x1, , xa. Denicao 1.2... Umaestruturadiferenciavel(real)declasseCI(1 k ou k = ) numa variedade Mde dimensao n, e uma coleccao maximal de cartas locaisT= (U, ),CI-compatveis,istoequesatisfazemascondicoesseguintes: U= M1isto e, existeumafamlia /numeravel deabertosdeMtal quequalquerabertodeMereuniao de uma subfamlia de /.71.1. Variedadesdiferenciaveis. Denicaoeexemplos 8SemprequeU U = ,afuncao:def= 1: (U U) (U U)edeclasseCI.Acoleccao Temaximal relativamente`acondicaoanterior, i.e., se(U, )eumacarta local tal que1e 1(quando denidas) sao de classeCI, ,entao(U, ) T.Umacoleccao T= (U, ), que satisfaz as duas primeiras condicoes dadenic aoanteriorchama-seumatlasemM. Quando Tsatisfaztambematerceiracondic aodiz-sequeoatlas Temaximal. Sek= (resp. k= )aestruturadiferenciaveldiz-sedeclasseC,(resp.,analticareal).Note que se Tc= (U, ) e um atlas de cartas locais que portanto satisfaz as duasprimeirascondic oesdadenic aoanterior,entaoexisteuma unicaestruturadiferenciavelTquecontem Tc,nomeadamenteadenidapeloatlasmaximal:Tdef= (U, ) : 1e 1saodeclasse CI, Tc Denicao 1.3... Uma Variedade Diferenciavelde classe CIe umpar(M, T)ondeMeumavariedadededimensaon,munidadeumaestruturadiferenciavel(real)declasseCI,denidaporumatlasmaximal TemM.No nosso curso vamos essencialmente restringir a nossa atenc ao a variedades de classeC,peloquedeaquiemdiante:Diferenciabilidaderefere-sesempre`aclasseCExemplos ...(i). AEsferaSSadef= v IRa+1: |v| = 1 eumavariedadededimensaon. Aestruturadiferenciavel podeserdenidapeloatlasmaximal quecontemascartas(U1, 1)e(U2, 2), comU1 = SSaN,U2 = SSaS, ondeN, S sao respectivamente os polos nortee sul deSSa, e1, 2 as respectivas projeccoes estereogracas.Mais concretamente, se v = (v1, , va+1) SSa IRa+1, pomos:1(v)def=

v11 va+1, ,va1 va+1

se v U1 = SSaN2(v)def=

v11 +va+1, ,va1 +va+1

se v U2 = SSaS1.1. Variedadesdiferenciaveis. Denicaoeexemplos 9(ii). Sejamv1, , va, nvectores linearmenteindependentes emIRa. Denamos umarelacao de equivalencia em IRaatraves de:v w sse existem inteirosm1, m2, , ma IZ, tais que v w =aj=1mjvjRepresentemospor : IRaIRa/ arespectivaprojeccao. OespacoquocienteTadef=(IRa) = IRa/ chama-se umToro,e e uma variedade de dimensaon. A estrutura difer-enciavel pode ser denida pelo atlas maximal que contem as cartas denidas da seguinte forma:seja O IRaumabertodeIRaquenaocontemqualquerpardepontosequivalentes. Pomosentao (U= (O), = ([C)1), que e uma carta local.(iii). O produto de duas variedades diferenciaveis MN e uma variedade diferenciavel. Comefeito, se TA= U, .e T.= V, Bsao atlas denindo a estrutura diferenciaveldeMeN, respectivamente, entao T = UV, (, )(.).B e um atlas paraM N.(iv). O espaco de conguracao de um pendulo duplo e o toro T2= SS1SS1.(v). O espaco de conguracao de um corpo rgido que se move livremente (na ausencia deforcas externas) em IR3com um ponto sempre xo, e SO(3) = IRIP(3), uma variedade compactade dimensao 3.1.1.2 Func oeseaplicacoesdiferenciaveisSejaMumavariedadediferenciavel. Consideremosumafunc aorealdenidaemM(oumaisgeralmentenumabertodeM)f:M IR. Suponhamosque(U, ) TeumacartalocalemM,comcoordenadaslocaisassociadasxj= rj . EntaoarestricaodefaU,podeserescritanaforma:f(.) = (f 1) (.)= (f 1)(x1(.), , xa(.))Portantorelativamente`ascoordenadaslocais(xj), emU M, arestricaodef aUadmiteachamadarepresentacaolocal:fdef= f 1que eumafunc aodenvariaveisreaisxj:f(x1, , xa) (1.1.2)Diremos que fe de classe C sse f(x1, , xa) e uma funcao de classe C (como funcaodasnvari aveisxj), (U, ) T.Por abusodenotacao, eusual identicar f comasuarepresenta caolocal f, enodomniodeumacarta, pensaremf comoumafuncaodascoordenadaslocaisxj. Noentantoeimportantenotar queestarepresentac aodependedaescolhadacartalocal,1.1. Variedadesdiferenciaveis. Denicaoeexemplos 10dependenciaquenanotacaoquetemosvindoautilizar,seencontracodicadano ndice.Suponhamos agora que (U, ) Te uma outra carta local, com coordenadas locaisassociadas(.) = (x1(.), , xa(.)). Pordenicaoaaplicacao:def= 1eumdifeomorsmodeclasseC,de(U U)sobre(U U),queserepresentaporfunc oesdeclasseC:xj= j(x1, , xa) i = 1, 2, , n (1.1.3)ouemnotacaovectorial(queserausadafrequentementedeaquiemdiante):x= (x) x (U U) IRaAs func oes dizem-se as func oes de mudanca de coordenadas, das -coordenadasparaas-coordenadas. NotequeamatrizJacobiana:J(x)def= J(x) =

iaj(x)

G(n, IR) (1.1.4)eumamatriznaosingular x U U.Por outro lado, a restric ao de fa UUadmite duas representacoes locais de classeC: f(x1, , xa)ef(x1, , xa),relacionadaspor:f= f Aregradacadeiapermiteconcluirqueofactodef serdeclasseCnaodependedarepresentacaolocalescolhida(do ndice).Representaremos por C(M) (resp., C(U)) a algebra das funcoes reais de classe C,denidasemM(resp.,numabertoU M).Maisgeralmente,umaaplicac aocontnua: : M Nonde(M, TA)e(N, T.)saoduasvariedadesdiferenciaveis(declasseC), diz-sedife-renciavel(declasseC),setodaarepresentac aolocal: 1: (U) (V )e uma func ao de classe C, (U, ) TA, (V, ) T.. Representaremos por C(M, N)oconjuntodasfuncoesdeclasseC,denidasemMecomvaloresemN.1.1. Variedadesdiferenciaveis. Denicaoeexemplos 111.1.3 Exemplo. OsProjectivosOProjectivorealIRIP(n)dene-sepor:IRIP(n)def= :esubespacodedimensao1emIRa+1 (1.1.5)oudeformaequivalente:IRIP(n)def= IRa+10/(1.1.6)onde earelac aodeequivalenciaemIRa+1 0seguinte: y x seesose y=xparaalgum IR 0.VamosprovarqueIRIP(n) eumavariedadediferenciavelcompactadeclasseCededimensaon. Paraissocomecemospordeniraaplicac aonatural:IRa+10 IRIP(n)atraves de: (v) = [v]def= subespaco gerado pelo vector v IRa+10E claro que e sobrejectiva. Em IRIP(n) denimos a topologia quociente induzida por, i.e., umsubconjuntoU IRIP(n)diz-seabertosse1(U)eabertoemIRa+1 0.FicaassimdenidaumatopologiaHaussdoremIRIP(n),talqueecontnua,abertaesobrejectiva,eparaaqualIRIP(n) ecompacto. Defacto:[SSn: SSa IRIP(n)econtnuaesobrejectivaeportantoIRIP(n) ecompacto.Notas ...Para provar que e aberta podemos usar o seguinte resultado topologico util: Proposicao1.1... SejaXumespacotopologicoeGumgrupotopologicoqueopera cont`nuamente emX. Entao a projeccao : X X/G e aberta.Demonstracao... SejaV umabertoemX. Pordenicaodetopologiadeidentica cao,(V ) e aberto emX/G se e so se1((V )) e aberto emX. Mas1((V )) = jGgVeabertoporserareuniaodosconjuntosdaformagVdef= gx: x V . Cadaumdestes conjuntos, sendo homeomorfo aV , e aberto ja queG opera cont`nuamente emX..Resta aplicar esta proposicao comX = IRa+10 (ouX = SSa) eG = IR0,ogrupomultiplicativodosreaisnaonulos.1.1. Variedadesdiferenciaveis. Denicaoeexemplos 12Para mostrar que IRIP(n) e Haussdor podemos usar um outro resultado topologico util: Proposicao1.2... Seja X umespaco topologico, uma relacao deequivalenciaemX, e 1 = (x, y) X X : x y. Entao:1fechadoemX X : X X/aberta

X/HaussdorfDemonstracao... Sejam(x)e(y)doispontosdistintosemX/. Entaoxeynao sao equivalentes, isto e, (x, y) 1. Como 1 e fechado, podemos encontrarvizinhancas abertas Va e Vjde x e y, respectivamente, tais que (VaVj)1 = .Segue-seque(Va) (Vj) = ,jaquecasocontrario,existiriaz Vaew Vjtaisque(z) =(w), eportanto(z, w) (VaVj) 1, oqueeabsurdo. Restaobservarquecomoporhipoteseeaberta,(Va)e(Vj)saoabertosemX/..Paraaplicaresteresultado`asituacaopresente,consideremosafuncao: : X X IR, (v, w) j Aconstruc aoanteriorpodeserrepetidaliteralmente, substituindoIRpor C, oqueconduzaoschamadosprojectivoscomplexos:CIP(n)def= :esubespacodedimensaocomplexa1emCa+1que sao variedades diferenciaveis de dimensao real 2n. De facto sao mais do que isso - saovariedadescomplexasdedimensaocomplexan(asfuncoesdemudancadecoordenadas: (U) Ca Ca,saofunc oesholomorfas...). Exerccio1.1(i). Detalhar a prova para CIP(1) e mostrar que as aplicacoes de mudancade cartas sao holomorfas.(ii). Mostrar que CIP(1) e difeomorfo aSS2.(iii). Mostrar que IRIP(1) e difeomorfo aSS1.1.1.4 Exemplo. AsGrassmannianasA variedadedeGrassmanndossubespacosdedimensaok (1 k < d) em IRo,dene-sepor:GrI(IRo)def= S: SesubespacodedimensaokemIRo (1.1.8)(emparticular,Gr1(IRo) = IRIP(d 1)).Vamos provar que GrI(IRo) e uma variedade diferenciavel compacta de classe Ce dedimensaon = k(d k).Consideremosoconjunto o.I(IR) = IRoIdasmatrizesreais(d k),eoseusubcon-junto aberto Mo.I(IR) constitudo pelas matrizes de caracterstica maxima k. Cada matrizM o.I(IR) sera notada por M= [m1 mI] onde mj(i = 1, , k) e a coluna i deM, interpretada como um vector-coluna em IRo. Se M Mo.I(IR) as suas colunas mjsaolinearmenteindependentesemIRoeporissoformamumk-referencialemIRo. Porserabertoem o.I(IR) =IRoI, Mo.I(IR)eumavariedadededimensaon=kd, avariedadedosk-referenciaisemIRo.Denamosagoraaseguinteaplicac ao:1.1. Variedadesdiferenciaveis. Denicaoeexemplos 14Mo.I(IR) GrI(IRo)atraves de: (M) = [M]def= subespaco gerado pelas colunas mj deMUmsubconjuntoU GrI(IRo)diz-seabertosse1(U) eabertoemMo.I(IR) IRoI.Fica assim denida uma topologia Haussdor em GrI(IRo), tal que e contnua, aberta esobrejectiva,eparaaqualGrI(IRo) ecompacto. Defacto,osubconjuntoKdef= M Mo.I(IR) : M|M= 1 IRoIecompactoe(K) = GrI(IRo).Notemosque:(M) = [M] = [MG(k, IR)]umavezqueosubespacogeradopelascolunasmjdeM,eexactamenteomesmoqueogeradopelosvectoresmjgj;, onde(gj;) G(k, IR). Apenasmudamosabaseparaessesubespaco. Noteaindaqueistogeneralizaasituac aodoexemploanterior, ondeparak = 1,G(1, IR) = IR 0e(v) = (v).Vamos agora denir uma estrutura diferenciavel (de facto analtica) em GrI(IRo). Paraisso,xemosumqualquerpontoS GrI(IRo)(umsubespacodedimensaokemIRo),econsideremosumqualquersuplementarSdeSemIRo,isto e,talque: IRo= SS .Temosentaoduasprojecc oesnaturais: : IRo Se: IRo S .Denamos agora o abertoUde GrI(IRo),constitudo por todos os subespacos de IRoqueadmitemScomosuplementar:Udef= S GrI(IRo) : IRo= S Seaaplicacao: U Hom(S, S ) = IRI(oI),atravesde:: S (S)def= ([S) ([S)1Hom(S, S ) = IRI(oI)(1.1.9)Demaneiramaisexplcita,seja e1, , eI. .. .S, eI+1, , eo. .. .SumabaseparaIRo=S S , e m1, , mI. .. .SumabaseparaS, onde(mj)=ej,i=1, , k. Ent aopodemosescrevercadamjnaforma unica:mj= ej +o;=I+1a;j(S) e;i = 1, , ke a matriz (dk)k, [a;j(S)] (oI).I(IR) = IRI(oI), e exactamente a matriz de nasbasesacimareferidas. Portanto,aaplicac aoedadapor(S) = (a;j(S)) IRI(oI),eaaplicac aoinversa e:(a;j) IRI(oI)subespacogeradopor ej +o;=I+1a;j e;j=1. .I1.1. Variedadesdiferenciaveis. Denicaoeexemplos 15ambasevidentementecontnuas.As cartas (U, ) assim obtidas sao C-compatveis, como e possvel ver com algumtrabalho.Alem disso, se para S escolhemos cada um dos

dk

k-planos coordenados, obtemosumn umeronitodecartasquecobremGrI(IRo).Aconstruc aoanteriorpodeserrepetidaliteralmente, substituindoIRpor C, oqueconduz`aschamadasGrassmannianascomplexas:GrI(Co)def= S: SesubespacodedimensaocomplexakemCoquesaovariedadesdiferenciaveiscompactasdedimensaoreal 2k(d k). Defactosaomaisdoqueisso-saovariedadescomplexasdedimensaocomplexak(d k). Exerccio1.2...(i). Completar os detalhes no exemplo anterior.(ii). Mostrar que GrI(IRo) e difeomorfa a GroI(IRo).(iii). Mostrar que, paran > d, existe um mergulho natural : GrI(IRo) GrI(IRa)Paraterminarestasecc aointroduzimosaindaaseguinte: Denicao 1.4... Seja(M, T) umavariedadededimensaon. UmsubconjuntoS Mdiz-seumasubvariedadededimensaok n,emM,secadapontop Spertenceaodomniodealgumacarta(U, ) T,eseexisteumabertoV IRa,tal que:(U S) = V (IRI0)= v = (v1, , va) V: vI+1== va= 0 (1.1.10)Umatal carta(U, )diz-seumacartadesubvariedadeparaS M.Eevidente que neste caso,TS= (U S, [lS)e umatlas de classe CparaS,quando(U, )variasobretodasascartasdesubvariedadepossveis. PorissoS,munidadatopologiainduzida, eelapropriaumavariedadededimensaok.EstaonestecasoassubvariedadesdeIRa, estudadasemcursosanteriores, eempar-ticularalgunsdosexemplosanteriores.1.1. Variedadesdiferenciaveis. Denicaoeexemplos 16 Exerccio1.3... Seja M= IR com a topologia usual. Considere a estrutura diferenciavelT1denidapeloatlasmaximal quecontemaaplicacaoId: M IR, eumaoutraestruturadiferenciavel T2denidapeloatlasmaximal quecontemaaplicacao : M IR, (x) =x3.Mostre T1 = T2mas que (IR, T1) e (IR, T2) sao difeomorfas. Exerccio1.4... MostrequeoconjuntoMdef= M()o.I(IR)dasmatrizes(dk)(com1 k d)quetemcaractersticaconstanteeigual ar(onde1 r k)eumavariedadediferenciavel de dimensao dimM= r(d +k r). Exerccio1.5... (VariedadesFlag)Seja d1, d2, , d uma sucessao de inteiros positivos tais que 1 d1< d20(quedependeapenasdeM)eumaaplicacaodiferenciavel f: M GrI(IR.),tal que:fUI.. = EAlemdisso,se fehomotopicaaumatal aplicacaofentao fUI.. = fUI.. = E.Quanto `a segunda questao, apenas podemos referir que ela e principal motivac ao paraoestudodaschamadasclassescaractersticas,queultrapassaoambitodonossocurso.Noenunciadodoteoremasurgeochamadobradopull-backfE, quepassamosadenirnocontextomaisgeral dosG-brados, dadaaimportanciaqueeledesempenhaemvariassituac oes.SuponhamosqueEMMeumG-bradocombratipoFeatlasdetrivializac oeslocais =(U, ), e que f : NMe umaaplicac aodiferenciavel. Podemosentao denir o chamado bradopull-back fEN, atraves do diagrama comutativoseguinte:fE N E

; E. AN; MMais detalhadamente: o espaco totalfE e o subconjunto deN E:fEdef= (n, e) N E: f(n) = A(e) (1.6.11)a projeccao e denida por.(n, e) = n, fe denida por f(n, e) = e, a bra tipo continua a serFe o grupo de estrutura e G tambem. A bra (FE)a por cima den Ne simplesmente umacopiadabraE;(a). AestruturadeG-brado edenidadaseguinteforma: paracadacartatrivializadora (U, ) deE M, onde: : 1A (U) UFdene-se: : 1.f1(U) = (f .)1(U) f1(U) Fatraves de:(n, e) = (n, .;(a)(e)) onde f(n) = A(e)A inversa 1: f1(U) F (f .)1(U), e:1(n, v) = (n, 1(f(n), v))Note que este elemento pertence a fE. Com efeito A(1(f(n), v)) = f(n) U e f.(n, 1(f(n), v)) =f(n).E possvel ainda provar que as funcoes de transicao g sao dadas por: g(n) = g(f(n)) G1.6. MaisExemplos 571.6.3 FibradosTangentesdasEsferas Teorema 1.8... Seja: IRI+1 IRa+1IRa+1umaaplicacaoIR-bilinear, quevericaasduaspropriedadesseguintes:(i). (v, x) = 0 v = 0 ou x = 0.(ii). Existee IRI+1,tal que(e, x) = x, x IRa+1.EntaoexistemkcamposdevectorestangentesaSSalinearmenteindependentesemcadapontodeSSa.Demonstracao...Para cada v IRI+1, denimos um campo de vectoresVt X(IRa+1), atraves de:Vt(x)def= (v, x) x IRa+1onde se usou a identica cao habitualTxIRa+1 = IRa+1. Consideremos agora a aplicacao: : IRa+10 SSadenida por (x) =x|x|e o campo de vectoresV X(SSa) denido por:Vdef= T Vt onde : SSa IRa+1e a inclusao canonica:TSSaT TIRa+1V VtSSa IRa+1Sejam e1, , eI, kvectoresemIRI+1queconjuntamentecomovectore(queguranacondicao(ii). doenunciado), formamumabasedeIRI+1. Vamosmostrarqueoscampos correspondentesE1, , EI X(SSa), construdos pelo processo acima descrito,sao linearmente independentes.Com efeito suponhamos que existem escalaresa1, , aI IR, tais que:aj(Ej)x = 0 para algum x SSa(1.6.12)PordenicaoEj=T Etj , ondeEtj: x (ej, x), x IRa+1. Portanto(Ej)x=dx((Etj)x), parai = 1, , k, e a condicao (1.6.12) escreve-se na forma:ajdx((Etj)x) = dx

aj(Etj)x

= 0 aj(Etj)x ker dxMas e facil ver ker dx = IRx, x IRa+10, e portanto:aj(Etj)x = ax para alguma IR1.6. MaisExemplos 58Substituindoagoranesta ultimaequacaoax=(ae, x), utilizandoahipotese(ii). doenunciado, a bilinearidade de, e ainda a denicao de (Etj)x = (ej, x), obtemos:aj(ej, x) = (ae, x)

ajejae, x

= 0 ajejae = 0pela condicao (i). do enunciado, uma vez que x = 0. Finalmente, como e, e1, , eI euma base:a = a1== aI= 0. Corolario 1.2... AsesferasSS1, SS3eSS7saoparalelizaveis. Emparticularosseusbradostangentessaotriviais.Demonstracao... Bastaconsiderar, paracadan=1, 3, 7, umaaplicacaoIR-bilinear:IRa+1IRa+1 IRa+1, que verica as duas propriedades do teorema anterior. Para n = 1identicamos IR2com C,paran = 3 identicamos IR4com IH,e nalmente paran = 7identicamos IR8com os n umeros de Cayley, e e em cada caso o produto.. Corolario 1.3... Qualqueresferadedimensao mparadmiteumcampodevec-toresquenuncaseanula.Demonstracao... Denimos: IR2 IR2aIR2aquevericaashipotesesdoteoremaanterior. Para isso identicamos IR2com C e IR2acom Ca, e denimos : CCa Ca,atraves de:(; z1, , za)def= (z1, , za).AexistenciadeumcampodevectoresquenuncaseanulanumavariedadeM, esta`ntimamenteligadaainvariantestopologicosdeM. HopfprovouqueumavariedadeMcompactaeconexaadmiteumcampodevectoresquenuncaseanula, seesoseasuacaractersticadeEulere0. Emparticularas unicasesferasqueadmitemumcampodevectoresquenuncaseanula,saoexactamenteasdedimensao mpar. UmaprovadanaotrivialidadedeTSS2seradadanocaptuloIII. Mais informac oes sobreestes assuntospodemservistosemHusemollerD.: FibreBundles,Springer-Verlag.1.6.4 FibradosPrincipaissobreEsferasConsideremos a esfera SSadef= v IRa+1: |v| = 1, com n 2, munida da estruturadiferenciavel denidapeloatlasmaximal quecontemascartas(U0, 0)e(U1, 1), com1.6. MaisExemplos 59|= U0= SSaN, U1= SSaS,ondeN, SsaorespectivamenteospolosnorteesuldeSSa,e0, 1asrespectivasprojeccoesestereogracassobreoplanoequatorial:cdef= v IRa+1: va+1= 0 Maisconcretamente,sev = (v1, , va+1) SSa IRa+1:0(v)def=

v11 va+1, ,va1 va+1

se v U0= SSaN1(v)def=

v11 + va+1, ,va1 + va+1

se v U1= SSaSRepresentemosoequadordeSSapor:SSa1def= SSa cSuponhamos agora que P(SSa, G) e um brado principal sobre SSa, com grupo de gaugeG. ComoU0eU1saocontracteis(saohomeomorfosaIRa),arestric aodePaU0(resp.,aU1) enecess`ariamentetrivial:1(U0)0 U0G `1U01(U1)1 U1G `1U1Consideremos a func ao de transic ao g= g10: U0U1 G, denida por g(v) = 1.v10.v:(U0 U1) G (v, h)0 1(U0 U1) 1 101 `(U0 U1) G (v, g(v) h)Comofoidiscutidonasecc ao1.3.2,qualqueroutrobradopricipal P(M, G)equivalenteaP(M, G)edenidoporumcociclocohomologoaocociclo g10, g01=g110, istoeumcociclo g= g10: U0 U1 Gtalque: g= 11g 0onde0: U0 Ge1: U1 Gsaoduasaplicac oesdiferenciaveis.Emparticular, sexarmosumpontov0 SSa1=SSa c, eseconsiderarmosasaplicacoesconstantes0(v) e,v U0e1(v) g(v0),v U1, ondeeeoelementoneutrodeG, obradodenidopelocociclo g =11g 0eequivalenteaP(M, G), esatisfazapropriedade g(v0)=e. Umtal bradodiz-sequeestanaformanormalrelativamenteaopontov0.SuponhamosentaoqueP(SSa, G)eumbradoprincipal sobreSSa, comgrupodegaugeG, enaformanormal relativamenteaopontov0 SSa1=SSa c. Dene-seentaoacorrespondentefuncaocaracterstica,T: SSa1 G,atravesde:T= T1def= g[SSn1 (1.6.13)1.6. MaisExemplos 60NotequeT(v0) = eeporissodevemosencararTcomoumaaplicac aopontuada:T: (SSa1; v0) (G; e)E facil ver que toda a aplicacao C, T: (SSa1; v0) (G; e), e a func ao caracterstica dealgum brado principal P(SSa, G) em forma normal relativamente ao ponto v0. De factobasta construir o brado cujo cociclo de func oes de transic ao e constitudo pela aplicacaog: U0 U1 G,denidapor:g(v)def= T((v)) v U0 U1onde: : U0 U1 SSa1edenidapor (v) =1(v)|1(v)|Noteque[SSn1= Id.Onossoobjectivoagoraeprovarumteoremadeclassicac aodebradosprincipaisP(SSa, G),emformanormalrelativamenteaumpontoxov0,emtermosdarespectivafuncaocaracterstica: Teorema 1.9... Sejam P= P(SSa, G) e P= P(SSa, G), dois brados principaiscomgrupodegaugeG, eemformanormal relativamenteaumpontoxov0 SSa1.SejamTe Tasrespectivasfuncoescaractersticas. Entao:Pe Psao equivalentes se e so se existe um elemento a G,tal que Te homotopicaa(a1T a):T a1T aSeGeconexoporarcos, Pe Psaoequivalentesseesose TehomotopicaaT:T T,istoe,seesose:[T] = [T] em [(SSa1, v0), (G, e)] = a1(G) (1.6.14)Por outras palavras, quando G e conexo por arcos, o conjunto das classes de equivalenciadebradosprincipaiscomgrupodegaugeG, sobreSSa(n 2), estaemcorre-spondenciabijectivacomasclassesdehomotopiaema1(G).Demonstracao...Suponhamos quePe Psao equivalentes. Entao como se referiu anteriormente,existemaplicacoes0 : U0 G e1 : U1 G tais que g = 11g 0 e portanto:T(v) = 11(v) T(v) 0(v) v SSa1ComoT(v0) = T(v0) =e, 0(v0) =1(v0) =a G, para alguma G. Por outro ladoSSa1e contractvel sobre v0, emDj = 1j(B(0, 1)) c(i = 0, 1), por uma homotopiaHj que deixa v0 xo, nomeadamente:Hj : (SSa1I, v0 I) DjHj(v, t) = 1j(v +t(v0v))1.6. MaisExemplos 61As aplicacoes (i = 0, 1):hjdef= (j Hj) : SSa1I Gsao homotopias entrej[SSn1 e a aplicacao constanteSSa1G, que envia v ema, eportanto:H : SSa1I GH(v, t) = h11(v, t) T(v) h0(v, t)e uma homotopia entre Te (a1T a), enviando sempre v0 eme, i.e., H(v0, t) e, t.Rec`procamente, suponhamosque T a1T a, paraalguma G. Emprimeirolugarnotemos que podemos supor quea = e e que portanto T T. De facto, denindo:0(v) = a v U01(v) = a v U1entao o cociclogt = 11g0 : U0 U1 G dene um brado principalPt(M, G) equiva-lente aP(M, G), e com aplicacao caractersticaTt =a1Ta, o que permite substituir senecessario,PporPt no enunciado.Agora T T, implica que TT1e homotopica a alguma aplicacao constante de (SSa1; v0)em (G; e) e portanto TT1(6), prolonga-se a uma aplicacao diferenciavel: : D0 Gnomeadamente:(10(tv)) = F(v, 1 t) v SSa1t Ionde SSa1I1 SSa1e uma homotopia diferenciavel entre TT1e uma tal aplicacaoconstante.Denamos agora:0(v) =

g(v)1 g(v) se v D1 U0(v) se v D0Como (v) = g(v)g(v)1, em (D1U0) D0 = SSa1,0 : U0 G e uma aplicacao Cbem denida emU0. SejaV1o interior deD1. Se em vez do cociclog : U0 U1 G quedene P, usamos o cociclo gt = g[l0\1 : U0V1 G, obtemos um brado Pt equivalentea P, uma vez que os respectivos cociclos sao cohomologos. An`alogamente, Pe equivalentea um brado Pt obtido pelo mesmo processo. Consideremos agora:1(v) e v V1Temos entao que: g(v) = 11(v)g(v)0(v) v U0 V1o que implica quePt e Pt sao equivalentes e portantoPe Ptambem o sao..Exemplos ...6Note que aquiT1e a aplicacao v [T(v)]1 G1.7. Subvariedades. Imersoes,Submersoes,Mergulhos. 62(i). O conjunto das classes de equivalencia de brados principais com grupo de gaugeG =U(1) =SS1, sobreSS2, estaemcorrespondenciabijectivacomasclassesdehomotopiaem1(U(1)) = IZ. Portanto sao classicados por um inteiro a que se da o nome de n umerodeChern (em Fsica, tambem chamado n umero de instantao ou carga topologica) dobrado. Por exemplo a bracao de Hopf considerada na seccao 1.3.3.,corresponde ao n umerode Chern 1.(ii). Damesmaforma, oconjuntodasclassesdeequivalenciadebradosprincipaiscomgrupo de gaugeG = SU(2) = SS3, sobreSS4, esta em correspondencia bijectiva com as classesde homotopia em 3(SU(2)) = IZ. Portanto sao classicados por um inteiro a que se da ainda onome de n umero de Chern (em Fsica, tambem chamado n umero de instantao ou cargatopologica) do brado. Um tal exemplo pode ser obtido atraves de uma construcao em tudoidentica `a usada na seccao 1.3.3., para a bracao de Hopf, substituindo C por IH, o corpo naocomutativo dos quaternioes.1.7 Subvariedades. Imersoes, Submersoes, Mergu-lhos.Comecemosporrecordaranoc aodesubvariedade,introduzidajanaseccaoI.1.1. Denicao 1.24... Seja(M, T)umavariedadededimensaon. UmsubconjuntoS Mdiz-seumasubvariedadededimensaok n,emM,secadapontop Spertenceaodomniodealgumacarta(U, ) T,eseexisteumabertoV IRa,tal que:(U S) = V (IRI0)= v = (v1, , va) V: vI+1== va= 0 (1.7.1)Umatal carta(U, )diz-seumacartadesubvariedadeparaS M.E evidente que neste caso, TS= (U S, [lS e um atlas de classe Cpara S, quando(U, ) variasobre todas as cartas de subvariedade possveis. Por issoS, munidadatopologiainduzida, eelapropriaumavariedadededimensaok.Estao neste caso as subvariedades de IRa, estudadas no curso de Geometria Diferencial(ver[Tav]).Vejamosagoraalgumasdenicoesbasicas. Denicao 1.25... SejamN, Mduasvariedadesdiferenciaveis,F: N Mumaaplicacaodiferenciavel eparacadax N,dFa:TaN T1(a)Marespectivadiferencialemx. Entao:Fdiz-seumaimersaoemx, sedFaeinjectiva. Fdiz-seumaimersaosedFaeinjectiva x N.1.7. Subvariedades. Imersoes,Submersoes,Mergulhos. 63F diz-seumasubmersaoemx, sedFaesobrejectiva. F diz-seumasub-mersaosedFaesobrejectiva x N.Fdiz-seummergulhoseFeumaimersaoinjectivaqueetambemumhome-omorsmosobreaimagemF(N) M, quandonestaseconsideraatopologiain-duzidapelatopologiadeM.Umpontox Ndiz-seumpontocrticodeFsedFa:TaN T1(a)Mtemcaracterstica m),e uma aplicac ao diferenciavel e 0 IRne valor regular deF. Mostre que:TM= (x, v) IRaIRa: F(x) = 0 e dFx(v) = 0e queTMe uma subvariedade de IRaIRade dimensao 2(n m).Explicite a situacao quandoM= SSa1 IRa.1.8 CamposdeVectoreseFluxos Denicao 1.27... Um uxo numa variedade (diferenciavel) M, e uma aplicacao(diferenciavel):Fl : IR M M (1.8.1)queverica:Fl(0, x) = xFl(t, Fl(s, x)) = Fl(t + s, x) (1.8.2)t, s IR, x M.Alternativamente um uxo Fl em M, pode ser visto como um grupo a um parametrodedifeomorsmosdeM,isto e,comoumhomomorsmodogrupoaditivo(IR, +)nogrupoDiff(M)dosdifeomorsmosdeM:Fl : IR Diff(M) t Fl|1.8. CamposdeVectoreseFluxos 69queportantoverica:Fl0= IdAFl| Fl-= Fl|+-Fl|= Fl1|(1.8.3)Paracadax M,acurva:a: IR M t a(t) = Fl|(x) (1.8.4)diz-se a linhadeuxo ou curvaintegral que passa em x. A imagem a(IR) Mdiz-seaorbitadex.Porcadax Mpassauma unicaorbita. Poroutrolado,umalinhadeuxoapenaspodeserdeumeumsodosseguintestipos(prova?):umaimersaoinjectiva.umaimersaoperiodica,i.e.,a: IR Meimersaoeexistealgums > 0talquea(t +s) = a(t), t IR.constante. Nestecasoa(t) xdiz-seumpontoxo. Denicao 1.28... Umuxolocalnumavariedade(diferenciavel)M,eumaaplicacaodiferenciavel:Fl : O IR M M (1.8.5)denidanumaberto O IR M,quevericaascondicoesseguintes: Ocontem 0 Meparacadax M,ainterseccaoIadef= O(IRx) eumintervaloabertodeIRquecontem0 IR.Flsatisfaz:Fl(0, x) = x x MFl(t, Fl(s, x)) = Fl(t + s, x) (1.8.6)t, s, xparaosquaisambososmembrosestaodenidos.Claramentequeumuxolocal paraoqual O=IRMeumuxo(global). Notequeparaumuxolocal naopodemosemgeral falardodifeomorsmoFl|umavezqueparaumt =0xox Fl|(x) pode naoestar denidoemtodooM. Alinhadeuxoa:t a(t)=Fl|(x)quepassaemx, agoraestadenidanumintervaloabertoIa= O (IRx)deIRquecontem0. NoentantopodemosfalardodifeomorsmolocalFl|: U Fl(U)denidonumcertoabertoU,comUetsucientementepequenos. Denicao 1.29... Dadoumuxo(local ouglobal)emM,aocampodevectores:X: x Xadef= ta(0) TaM (1.8.7)chama-seocampodevelocidadesouogeradorinnitesimaldeFl.1.8. CamposdeVectoreseFluxos 70 Teorema 1.14... TodoocampodevectoresX X(M)egeradorinnitesimaldeum unicouxolocalmaximalFlAemM. QuandoXtemsuportecompacto,FlAeumuxo global. Em particular, numa varieade compacta, todo o campo de vectores X X(M)egeradorinnitesimal deum unicouxoglobal FlAemM.Demonstracao... (esboco)O teorema de existencia e unicidade de solucoes de equacoes diferenciais ordinarias implicaque, para cadax Mexiste um intervalo aberto maximalIa IR, que contem 0, e uma unica curva integrala : Ia MdeX, tal quea(0) = x. Denimos entao:FlA|(x) = FlA(t, x)def= a(t) (1.8.8)ondeaea unicacurvaintegral a: Ia MdeX, acimareferida. FlA(t, x)eumafuncao de classeC, atendendo ao teorema da dependencia diferenciavel das solucoes deequacoesdiferenciaisordinarias, relativamente`ascondicoesiniciais. Alemdisso, seFlAesta denida em (t, x) tambem esta denida para (s, y) proximo.As condicoes FlA(0, x) = x e FlA(t, FlA(s, x)) = FlA(t +s, x) deduzem-se do facto de que,para cada y M, FlA[1y|j e uma curva integral de X. Com efeito, por (1.8.8) vem queFlA(0, x) = a(0) = x. Por outro lado:t FlA(t +s, x) e t FlA(t, FlA(s, x))(para todo ot para o qual estao denidas) sao duas curvas integrais maximais deX, queno instantet = 0 passam ambas em FlA(s, x), e por unicidade coincidem portanto.Resta mostrar que:Odef=aAIaxeumabertoquecontem 0M(claro!), equeFlAediferenciavel. Ademonstracaocompleta destes factos pode ser vista em [Sp], vol.1, por exemplo.Suponhamos nalmente queK=supp(X) e compacto. Entao o compacto 0Ktemdistanciapositivarelativamenteaoconjuntofechadodisjunto(IRM) O(seestefornao vazio!). Portanto [, ] K O, para algum > 0. Sex KentaoXa = 0, e porisso FlA(t, x) =x, t e IRx O. Portanto [, ]M O. Como FlA(t + , x) =FlA(t, FlA(, x)) existe para [t[ (porque o segundo membro existe t : [t[ ), temosque [2, 2] M O, e repetindo este argumento obtemos nalmente que IRM= O..Aproveitamos ainda esta seccao para introduzir algumas derivadas de Lie ao longo deumcampodevectoresX X(M). NomeadamenteparacadaX X(M),dene-se:DerivadadeLiedeumafuncao:LAf(x)def=oo|[|=0f(FlA|(x)) = Xaf f C(M) (1.8.9)1.8. CamposdeVectoreseFluxos 71DerivadadeLiedeumcampodevectores:LAYdef=oo|[|=0 (FlA|)Y=oo|[|=0

T(FlA|) Y FlA|

Y X(M)(1.8.10) Exerccio1.18... Mostre que:LAY= [X, Y ]X, Y X(M). Exerccio1.19... SejamX, YX(M)doiscamposdevectoresCnumavariedadeM,ex Mum ponto ondeXeY nao se anulam. Dena-se parat sucientemente pequeno,a curva:(t)def= FlY|FlA|FlY|FlA|(x)Mostre que:[X, Y ]a = lim|0t(t) Teorema 1.15... SejaX X(M)eY X(N)doiscampos-relacionados,onde : M Neumaaplicacaodiferenciavel. Entao: FlA|= FlY| (1.8.11)semprequeambososmembrosestiveremdenidos. Emparticular, seeumdifeomor-smo,tem-seque:FlY|= 1 FlY| (1.8.12)eainda:FlA|= FlA| 1(1.8.13)Demonstracao... Com efeito:ddt( FlA|) = T ddtFlA|= T X FlA|= Y FlA|ecomo(FlA(0, x))=(x), conclumosquet (FlA(t, x))eumacurvaintegral docampo de vectoresYemN, que no instantet = 0 passa em(x). Portanto:(FlA(t, x)) = FlY(t, (x)) FlA|= FlY| .1.8. CamposdeVectoreseFluxos 72 Exerccio1.20... Mostre que, seX, Y X(M), entao as condicoes seguintes sao equiv-alentes: LAY= [X, Y ] = 0(FlA|)Y= Y , sempre que denidos.FlA| FlY-= FlY- FlA|, sempre que denidos.Para nalizar esta seccao vamos ainda demonstrar o seguinte resultado que sera utilizadonasecc aoseguinte: Teorema 1.16 Teorema da recticacao local para campos de vectores...(i). Seja Xum campo de vectores C, denido numa vizinhanca de um ponto x M,etal Xa = 0. Entaoexisteumacartalocal (U; x1, , xa)emtornodex,tal que:X=x1emUMaisgeralmente:(ii). Sejam X1, , XIcampos de vectores C, denidos e linearmente independentesnumavizinhancadeumpontox M. Entaose:[Xj, X;] = 0 i, j= 1, , k (1.8.14)existeumacartalocal (U; x1, , xa)emtornodex,tal que:Xj=xjemU i = 1, , kDemonstracao...(i). O resultado e local, e por isso podemos supor que M= IRa(munido das coordenadasusuais r1, , ra), que x = 0, e ainda que X(0) =1[0. A ideia da prova e utilizar o factodequeporcadaponto(0, r2, , ra), numavizinhancade0, passa(noinstantet = 0)uma unica curva integral de X. Se p pertence `a curva integral que passa em (0, r2, , ra)(noinstantet=0), entaop=FlA|(0, r2, , ra)paraum unicot, eatribumosapasnovas coordenadas (t, r2, , ra).Mais detalhadamente, consideremos a aplicacao:(r1, , ra)def= FlA1(0, r2, , ra)1.8. CamposdeVectoreseFluxos 73queestadenidaeediferenciavel numacertavizinhancade0 IRa. Podemosentaocalcular que, parai = 2, , n:d(rj[0)(f) =rj[0(f )= lim|0f((0, , t, , 0)) f(0)t= lim|0f(0, , t, , 0) f(0)t=rj[0(f)Por outro lado, para a = (a1, , aa):d(r1[a)(f) =r1[a(f )= lim|0f((a1+t, a2, , aa)) f((a))t= lim|0f

FlAo1+|(0, a2, , aa)

f((a))t= lim|0f

(FlA| FlAo1)(0, a2, , aa)

f((a))t= lim|0f

FlA|((a)

f((a))t= X(a)(f) (1.8.15)Emparticular d(1[0)(f) =X(0)(f) =X0(f) =1[0(f), jaquesuposemos porhipoteseque X0=1[0. Ficaassimdemonstradoqueadiferencial d0eaidenti-dade, e portanto, pelo teorema da inversao local, 1existe e e diferenciavel numa certavizinhanca de0. Podemos entao usar = 1como uma nova carta local numa vizin-hanca dex = 0. Sexjsao as correspondentes coordenadas locais, entao (1.8.15) diz qued(1) = X , e isto implica queX =a1.(ii). Como antes, podemos supor queM= IRa, quex = 0, e ainda que:Xj(0) =rj[0i = 1, , k(se necessario fazemos uma mudanca linear de coordenadas). Suponhamos agora que FlAi|e o uxo local de cada campoXj, e consideremos a aplicacao:(r1, , ra)def=

FlA11 FlA22 FlAkk

(0, , 0, rI+1, , ra)que esta denida e e diferenciavel numa certa vizinhanca de 0 IRa. Calculando de formaanaloga `a parte (i), obtemos:d(rj[0) =

Xj(0) =i[0i = 1, , ki[0i = k + 1, , no que signica que a diferenciald0 e a identidade e portanto, pelo teorema da inversaolocal, 1existe e e diferenciavel numa certa vizinhanca de 0. Podemos entao usar =1.9. Distribuicoes. TeoremadeFrobenius 741como uma nova carta local numa vizinhanca dex = 0. Sexjsao as correspondentescoordenadas locais, entao:X1 =x1tal como em (i). Note que ate aqui, nao foi usada a hipotese (1.8.14). Mas pelo exerccio1.20, a hipotese (1.8.14) e equivalente `a comutacao dos uxos FlAi|, (i = 1, , k), e emparticular vemos que, para cadai = 1, , k, pode tambem ser escrita na forma:(r1, , ra)def=

FlAii FlA11 FlAkk

(0, , 0, rI+1, , ra)e o argumento anterior mostra que:Xj =xji = 1, , k.1.9 Distribuicoes. TeoremadeFrobenius Denicao 1.30...Umadistribuicao TdedimensaoknumavariedadediferenciavelMeumsub-bradoCderankk,dobradotangenteTM.Diz-sequeumcampodevectoresX X(M)pertencea TseXeumaseccaodeT. RepresentaremosomodulosobreC(M)detaiscampospor(T).Umadistribuicao TemMdiz-seinvolutivasevericaacondicao:[(T), (T)] (T) (1.9.1)istoe,(T)eumasubalgebradeLiedeX(M).Umadistribuicao TemMdiz-seintegravelseparatodoopontodep Mexisteumacartalocal (U; xj),tal queoscamposdevectorescoordenados:x1, ,xIconstituemumabaselocal para T, istoe, x U, ai[aj=1. .IeumabaseparaTa TaM.Umavariedadeintegralde TeumasubvariedadeimersaconexaS M,quevericaacondicao:TaS= Tax S (1.9.2)1.9. Distribuicoes. TeoremadeFrobenius 75Quando uma distribuicao TemMe integr avel,ent ao localmente,na vizinhanca de cadapontop M, existemsemprevariedadesintegrais. Defacto, se(U, )=(U; xj)eumacarta local em torno de p, que verica a condic ao da denic ao anterior, ent ao as equac oes:xI+1(x) = c+1, , xa(x) = cadenemuma famliaa (n k)-parametros de subvariedades de dimensao k, que saovariedades integrais de T(uma para cada escolha de c = (cI+1, , ca)). Alem disso, porcadapontox Upassaumavariedadeintegraldessetipo.ExemploseObserva coes ...(i). Os campos de vectores:X1 = zy yz, X2 = xz zx, X3 = yx xyemM= IR30, geram uma distribuicao de dimensao 2 emM, que e involutiva ja que:[X1, X2] = X3, [X2, X3] = X1, [X3, X1] = X2e integravel, uma vez que admite variedades integrais que sao as esferas concentricas centradasna origem, em IR30.(ii). A distribuicao Tde dimensao 2 em IR3,onde T(a.j.:)e igual ao plano perpendicularao vector n(x, y, z) = (y, x, 1) (com a identica cao usualTxIR3 = IR3), nao admite variedadesintegrais (superfcies) que passem em0. Se houvesse uma tal superfcie,ela seria tangente naorigem ao planoxy. No entanto um pequeno lacete nessa superfcie, envolvendo o eixo doszz,naopoderiaexistir. Defacto, nemsequerpoderiafechar, jaqueasuaz-coordenadacresce,sempre que se completa uma volta em torno do eixo doszz.Uma base para T e por exemplo constituda pelos campos de vectores:X1 =y +xzX1 =x yzNoteque[X1, X2] =2:(T), jaque(0, 0, 2) nuncaeperpendicular an(x, y, z) =(y, x, 1). Portanto T nao e involutiva.(iii). Seja: EMumasubmersaoeconsideremososubbradoker T TE. Adistribuicao T = ker T e involutiva ja que seX, Y (ker T), sao campos de vectores emEque pertencem a ker T, entaoT[X, Y ] = 0. T = ker T e tambem integravel, ja que p E,a subvariedade1((p)) e variedade integral de T.(iv). SejaM= SO(3). O espaco tangente `a unidade 1 SO(3), e constitudo por todas asmatrizes (3 3) reais anti-simetricas:T1SO(3) = so(3) = 3(IR) : = |1.9. Distribuicoes. TeoremadeFrobenius 76Consideremos agora o seguinte subespaco de dimensao 2 emT1SO(3):T1def= T1SO(3) : =

0 0 y0 0 xy x 0, x, y IRe a distribuicao T emM= SO(3) denida por:A SO(3) Tdef= X TSO(3) : A1X T1T nao e involutiva. O parentisis de Lie dos campos correspondentes a x = 1, y = 0 e x = 0, y = 1,nao pertence a T.(v). Oconceitodedistribuicaosurgenocontextodossistemasdeequacoes`asderivadasparciais de primeira ordem homogeneos, do tipo seguinte:X;(f) = 0 j = 1, , k (1.9.3)onde Xjj=1. .IeumconjuntodekcamposdevectoresnumavariedadeMa, linearmenteindependentes em cada ponto. Localmente, num sistema de coordenadas locais (U; xj) o sistemaescreve-se na forma:jaj;(x)xj(f) = 0 j = 1, , k (1.9.4)onde aj; C(U). O problema consiste em determinar uma funcao f(x1, , xa) C(U), quesatisfaca o sistema de equacoes `as derivadas parciais de primeira ordem (1.9.4). Uma tal funcao(se existir) diz-se uma funcaointegral ou um integralprimeiro do sistema (1.9.4).Em termos geometricos, o conjunto dekcampos de vectores emMa, Xjj=1. .I, denemuma distribuicao T em M, e (1.9.3) traduz-se no problema de encontrar uma funcao f C(M),tal que:X(f) = 0 X (T)ou ainda, tal que:dfa(Ta) = 0 x MNote que, se T admite variedades integrais (conexas), entao fsera constante em cada variedadeintegral (da o nome integral primeiro paraf).Dadaumadistribuicao Tdedimensaoknumavariedadediferenciavel M, poe-senatural-menteoproblemadedeterminarvariedadesintegraispara Tapartirdeintegraisprimeiros.Assim suponhamos que e possvel encontrar um talf, tal quedfa = 0, x. As hipersuperfciesde nvel:N;(c)def= x M: f(x) c c f(M) IRvericam Ta Ta(N;(c)). Portanto, seexistirumavariedadeintegral, elaestaracontidaemalgum N;(c). Mais geralmente, se for possvel encontrar (nk) integrais primeiros f1, , faI,que sejam funcionalmenteindependentes num abertoU M(isto e, as diferenciaisdfasao linearmente independentes em cada pontox U), entao as subvariedades:Sdef= x U: f1(x) c1, , faI(x) caI1.9. Distribuicoes. TeoremadeFrobenius 77sao subvariedades integrais de T. De facto, neste caso T pode ser expressa localmente na forma:Tadef=aIj=1ker dfjaSeX, Y (T) vemos que [X, Y ] aIj=1ker dfja = T, isto e: T e involutiva.(vi). Uma distribuicao de dimensao k em M, e equivalente a uma G-estrutura em Ma. Comefeito, sejaVIRaumsubespacovectorialxonoespacointernoIRa. Dadoumreferencialea : IRa TaMemx M, consideremos o subespaco Tadef= ea(V ) TaM. Se escolhemosumoutroreferencialetaeclaroque Tta= eta(V )seraemgeraldiferentede Ta. Massabemosqueeta=ea gparaalgumg G(n, IR), eportanto Taserasempreomesmodesdequeg G(n, IR) deixeVinvariante.Portanto se G G(n, IR) e o subgrupo dos automorsmos lineares de IRaque deixa Vinvari-ante, a reducao de T(M) pelo subgrupo G, determina uma distribuicao em M. Rec`procamente,umadistribuicao TemM, determinaumatal G-estrutura: consideramosasubvariedadedeT(M) que consiste de todos os referenciais ea tais que e1a(Ta) = V . Teorema 1.17 TeoremadeFrobenius(1.oversao)... Seja Tumadis-tribuicaoCde dimensaok numavariedade Ma. Entaoas condicoes seguintes saoequivalentes: Teinvolutiva(existeumabaselocal Xjj=1. .I, para Tnavizinhancadecadaponto, tal que [Xj, X;] =CIj;XI,i, j, onde CIj;saofunc oes Cnessavizinhanca). Te integravel(cada ponto p Mamite uma carta local (U; xj) tal queaij=1. .Iformamumabaselocalpara T).Demonstracao...Suponhamos que T e involutiva. Como o resultado e local, podemos supor que estamosemIRaequep = 0. Alemdissopodemossuporaindaque T0 T0IRa = IRaegeradopor:r1[0, ,rI[0Seja: IRaIRIaprojeccaonosprimeiroskfactores. Entaod0: T0 IRIeumisomorsmo, e por continuidade da e injectiva em Ta, para x perto de 0. Portanto pertode 0, podemos sempre escolher de forma unica campos de vectores:X1(x), , XI(x) Tatais que:dXj(x) =rj[(a)i = 1, , k1.9. Distribuicoes. TeoremadeFrobenius 78Istosignicaqueoscampos Xj, denidosnumavizinhancade0emIRa, eoscamposiemIRI, estao-relacionados, eportanto[Xj, X;] e

i,i

=0tambemestao-relacionados:d[Xj, X;]a =

rj,rj

(a)= 0Mas por hipotese, [Xj, X;]a Ta, e como da e injectiva emTa, conclumos que [Xj, X;] =0. Pelo teorema da recticacao de campos de vectores, visto na seccao anterior, existe umsistema de coordenadas locais (U; xj) tal que:Xj =xji = 1, , ke portanto T e integravel.Suponhamosagoraque Teintegravel. SejaSjMumavariedadeintegral (local),e X, Y (T). Entaoexistemcampos C unicos X, Y emStaisque Ti(X) =XeTi(Y )=Y , istoeX, XeY, Y estaoi-relacionados. Portanto[X, Y ] e[X, Y ] estaotambemi-relacionados:dia[X, Y ]a = [X, Y ]ae como [X, Y ]a TaS, isto mostra que [X, Y ]a Ta, o que signica que T e involutiva..Uma segunda vers ao do Teorema de Frobenius, em termos de formas diferenciais, seraapresentada na seccao III.3. A teoria global, pode ser vista em [Sp], no contexto da teoriadasfolheac oes. Exerccio1.21... Seja Tuma distribuic ao emM,X X(M) um campo de vectores e| = FlA|o respectivo uxo local. Para cada t, o difeomorsmo local | : U Fl|(U) transformao subespaco Ta TaMno subespacod(|)a(Ta) Tt(a)M. Diz-se que T e invariantesobouxolocal | = FlA|se:d(|)a(Ta) = Tt(a)x M (1.9.5)Mostre que T e invariante sob o uxo local | = FlA|, se e so se:[X, (T)] (T)Captulo2Formasdiferenciais. CalculodeCartan2.1 FormasexterioresSejaV umespacovectorialrealdedimensaonitan. Denicao 2.1... Uma k-forma exterior em Ve uma aplicacao multilinear(linearemcadavariavel):: VI= VV. .. .I factores IRqueealternadaouanti-simetrica,i.e.:(v1, , vj, , v;, , vI) = (v1, , v;, , vj, , vI)Representamospor:/I(V )oespacodask-formasexterioresemV . Parak=0dene-se /0(V )=IR. Noteque/1(V ) = V,odualdeV .Aalgebraexterior(oudeGrassmann)dasformasexterioresemV ,epordenicaoaIR- algebragraduada:/(V )def= aI=0/I(V )munida do chamado produtoexteriordeformas, : /I(V ) //(V ) /I+/(V ),denidopor: (v1, , vI+/)def=tsgn() (v(1), , v(I)) (v(I+1), , v(I+/)) (2.1.1)792.1. Formasexteriores 80onde /I(V ), //(V ) e asomate feitasobre todas as permutacoes de1, , k + ,taisque(1)