DDiimmeennssiioonnaammeennttoo ddee LLaajjeess Lajes são peças estruturais laminares submetidas a cargas predominantemente

normais à superfície média. O detalhamento total de uma laje em concreto armado consiste no cálculo de sua

armadura. A armadura por sua vez, é função dos momentos fletores atuantes na laje.

Lajes Maciças: Lajes convencionais de concreto armado apoiadas em vigas.

Classificação:

Lajes armadas em uma direção: λ > 2 - Apenas os bordos maiores são considerados como apoios, para fins de cálculo,

e os momentos são calculados apenas na direção correspondente ao menor vão.

Ex.:

3,0 m

7,0 mapoios

λ = maior lado da laje/menor lado da laje

λ = 7/3

λ = 2,33

(1 direção)

Lajes armadas em duas direções (em cruz): λ ≤ 2

- Os momentos nessas lajes são calculados segundo as duas direções para

quaisquer condição de apoio: engaste ou apoio simples. Ex.:

4,0 m

6,0 mapoios

apoi

os

λ = maior lado da laje/menor lado da laje

λ = 6/4

λ = 1,50

(2 direções)

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Espessura:

Nas lajes maciças devem ser respeitados os seguintes limites mínimos para a

espessura: a)

b)

c)

d)

5 cm para lajes de cobertura não em balanço;

7 cm para lajes de piso ou de cobertura em balanço;

10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN;

12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN. Carregamento da Laje (kgf/m2): Para o cálculo dos momentos fletores, parte-se do carregamento distribuído

uniformemente na área da laje, calculando-se, para obtenção dos momentos, a carga

distribuída em 1m2 da laje.

1,0 m

1,0 m

q = carga(kgf/m2 )

A carga q, constituída de todos os carregamentos que a laje deverá suportar

(suposta igual para toda a área), é composta de:

a) Peso Próprio (pp):

Para cada metro quadrado, o peso da laje é calculado partindo-se do peso

específico do concreto (γconc = 2500kg/m3).

2,5 ton

1,0 m1,0 m

1,0 m

h1,0 m

1,0 m

pp = γconc × h ; sendo h a altura da laje

Ex.: pp = 2500 × 0,08 = 200 kgf/m2

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b)

-

-

-

-

c)

-

-

-

-

-

-

-

-

-

d)

-

-

-

Revestimento:

Acabamento de pisos: 100 kgf/m2

Acabamento de forros: 30 kgf/m2

Revestimento em granito: 150 kgf/m2

Impermeabilização: 150 kgf/m2

Principais Cargas Acidentais (sobrecargas):

Dormitórios, salas, copas, cozinhas e banheiros: 150kgf/m2;

Compartimentos destinados a forros que não servirão de depósitos:

50 kgf/m2;

Compartimentos destinados à reunião ou acesso ao público (escolas,

teatros, cinemas, etc...): 300 kgf/m2;

Compartimentos destinados à despensas, lavanderia e área de serviços:

200 kgf/m2;

Compartimento destinados à bailes, ginásticas e esporte em geral:

500 kgf/m2;

Salas com estantes de livros: 600 kgf/m2;

Escritórios: 200 kgf/m2;

Escadas: 300 kgf/m2;

Sala de máquina de elevadores e lajes para pouso de helicóptero:

1000 kgf/m2. Peso das paredes: Quando as paredes são erguidas diretamente sobre as lajes, e não estão apoiadas

sobre vigas, o peso da alvenaria deverá ser somadas às demais cargas. Permitindo-se

considerar a carga da parede como distribuída por toda a área da laje. P = γ × v → P = γ × (e × L × h)

L → comprimento da parede;

h → altura da parede;

γ → peso específico do material:

Alvenaria acabada de tijolos maciços: 1800 kgf/m3;

Alvenaria acabada de tijolos furados: 1300 kgf/m3; Alvenaria acabada de blocos de concreto: 1400 kgf/m3.

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e) Floreira (calha):

q = γ × h

Momento das Lajes Armadas em Uma Direção (λ > 2):

As armaduras são obtidas dos esforços calculados em faixas paralelas à menor

direção, calculadas como vigas de largura unitária. Na maior direção, coloca-se uma

armadura de distribuição, fixada como uma fração da armadura principal. Considera-se “L” o menor lado

1m

apoiosimples

q

M = qL2/8

+

* As reações das lajes para

as vigas são iguais a qL/2.

1m

engaste

q

M = qL2/14,22

+

X = -qL2/8

R1R2

* As reações das lajes para

as vigas são:

R1 = 5qL/8

R2 = 3qL/8

1m

q

M = qL2/24

+

X = -qL2/12

R1 R2

* As reações das lajes para

as vigas são iguais a qL/2.

1m

bordo livre

qX = -qL2/2

R1

* A reação da laje para a

viga é igual a qL.

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Critérios para Engastamento de Lajes:

1. Duas lajes para estarem engastadas, preferencialmente devem estar niveladas;

2. Uma laje maior só pode ser engastada em uma laje menor quando pelo menos

70% da mesma estiver em contato com a laje menor;

4m7m

X

7 x 0,7 = 4,9 m (não pode engastar).

* O momento torçor aquenta até 30%,

causa fissuras no bordo superior direito da

laje maior.

obs.: uma laje não pode ser engastada em outra quando esta for uma laje de balanço,

pode sobrecarrega-la;

3. O comprimento do ferro negativo não pode passar da metade da laje.

4m5m

* ¼ x 5 = 1,25

1,25 < 4/2 → CERTO

2m5m

* ¼ x 5 = 1,25

1,25 > 2/2 → ERRADO

Cálculo das Flechas: (f ≤ L/300)

1o Caso:

f = 5qL4/384EI → E = módulo de

elasticidade, I = momento de inércia

2o Caso:

f = 2qL4/384EI

3o Caso:

f = qL4/384EI

obs.: caso a flecha não passe, aumenta-se a espessura da laje → aumenta o I e diminui

a flecha.

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Exemplos de Dimensionamento de Lajes 1) Dimensionar e detalhar as lajes de uma escola representadas na figura baixo.

Considerar a resistência do concreto igual a 200 kgf/cm2, hlaje=10cm e bviga=15cm .

L2L1

L1=7/3=2,33 (1 direção)

L2=6/2,5=2,4 (1 direção)

Carregamento nas lajes (L1= L2):

→ Peso próprio (pp) ................ 2500 x 0,10 = 250 kgf/m2

→ Revestimento (rev.) .....................................100 kgf/m2

→ Sobrecarga (sob.) ........................................ 300 kgf/m2

Carregamento total ........................................... 650 kgf/m2

Critério para engastamento de lajes: 7 x 0,7 = 4,9 m (pode engastar)

Cálculo dos momentos: M = qL2/14,22 = 650x3,152/14,22

M = 454 kgf⋅m (positivo)

L1)

650

3,15 m+

-

X = -qL2/8 = -650x3,152/8

X = -806 kgf⋅m (negativo)

M = qL2/14,22 = 650x2,652/14,22

M = 321 kgf⋅m (positivo)

L2)

650

2,65 m

+

-

X = -qL2/8 = -650x2,652/8

X = -571 kgf⋅m (negativo)

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Cálculo das flechas:

Laje L1: cmLf 05,1300315

300==≤ (flecha limite)

EIqLf

3842 4

=

MPaE 96,25043205600 ==

E = 250439,6 kgf/cm2

I = b⋅h3/12 → b = 1m, h = 0,1m

34

4

10,0106,25043938412)15,3(6502⋅⋅⋅

⋅⋅⋅=f

f = 0,0016 m = 0,16 cm (ok!)

Laje L2: cmLf 88,0300265

300==≤ (flecha limite)

EIqLf

3842 4

=

34

4

10,0106,25043938412)65,2(6502⋅⋅⋅

⋅⋅⋅=f

f = 0,0008 m = 0,08 cm (ok!)

L2L1

454

806

571 321

Equilíbrio de Momento Negativo (utilizar o maior momento)

a)

b)

(806+571)/2 = 689 kgf⋅m

80% do maior momento = 0,8⋅806 = 645 kgf⋅m

O momento de equilíbrio utilizado no cálculo: 689 kgf⋅m

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obs1.: cobertura da armadura (cobrimentos mínimos – norma antiga): cobrimento de

concreto pelo menos igual ao diâmetro da barra, mas não menor que: 1. Concreto revestido com pelos menos 1cm de argamassa:

Lajes no interior de edifícios .................................... 0,5 cm

Paredes no interior de edifícios ............................... 1,0 cm

Lajes e paredes ao ar livre ...................................... 1,5 cm

Vigas, pilares e arcos no interior de edifícios .......... 1,5 cm

Vigas, pilares e arcos ao ar livre ............................. 2,0 cm

2. Concreto aparente: No interior de edifícios ............................................ 2,0 cm

Ao ar livre ................................................................ 2,5 cm

3. Concreto em contato com o solo: ................................. 3,0 cm

4. Concreto em meio fortemente agressivo: ..................... 4,0 cm

O esquema:

ah

av

Pastilha de argamassaou espaçador plástico

c

c

Quando c > 6 deve-se empregar armadura de pele cujo cobrimento mínimo deve

respeitar os valores já dados.

Como informação adicional dão-se valores mínimos de:

ah

2 cm1 φ1,2 dagregado

av

2 cm1 φ0,5 dagregado

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Determinação da armadura positiva:

Conhecendo a resistência do concreto fck = 20MPa e o tipo de aço, CA 50,

determina-se o valor de k6 através da equação: Mdbk

26

⋅= .

onde:

b = 100 cm (cálculo por metro)

d = distância da borda mais comprimida ao centro de gravidade da armadura

em cm.

d = h -2cm para maior momento positivo

d = h -2,5cm para menor momento positivo

d = h -2cm para momentos negativos

M = momento em tf⋅cm

d centro degravidade da

armadura

metroM

borda mais comprimida

c obs1.: As tabelas que serão utilizadas, já incorporam os coeficientes de minoração de

resistência dos materiais e os coeficientes de majoração de cargas.

M = 45,4 tf⋅cm (L1)

d = 8,0 cm

97,1404,450,8100 2

6 =⋅

=k (tabela)

336,03 =k

M = 32,1 tf⋅cm (L2)

d = 8,0 cm

38,1991,320,8100 2

6 =⋅

=k (tabela)

332,03 =k

Encontrados os valores de k3, determina-se a seção de aço em cm2/m através

da equação: d

MkAs

⋅= 3

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Laje L1:

0,84,45336,0 ⋅

=sA → cm1,91As = 2/m

Armadura Principal → φ5.0mm c/10cm

Laje L2:

0,81,32332,0 ⋅

=sA → cm1,33As = 2/m

norma → )10100(100

15,0)%(15,0min ⋅=⋅= hbAs

501,As = cm2/m (adotada)

Armadura Principal → φ5.0mm c/13cm

Armadura Secundária → φ5.0mm c/22cm Armadura Secundária → φ5.0mm c/22cm

obs2.: De um modo geral o diâmetro das barras utilizadas em lajes é de 4 a 10mm.

Obs3.: Para lajes, as barras são dispostas com espaçamentos que deverão obedecer:

espaçamento mínimo = 7cm;

espaçamento máximo = 20cm (armada em cruz);

= 2xh (armada em uma direção).

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Detalhe da Armadura Positiva

70φ5.0 c/10-2,55

14φ5

.0 c/

22-7

,15

47φ5.0 c/13-2,15

12φ5

.0 c/

22-6

,15

armadura de complemento

obs4.: Critérios para contrafiamento de armadura positiva (gera economia).

1. Se a φ utilizada for de 5.0 mm, e estando espaçada acima de 13cm, não deve ser

contrafiada;

2. Se a φ utilizada for de 5.0 mm, e estiver espaçada de 13cm ou abaixo, deve

contrafiar, sendo que o comprimento da barra deve ser 80% da medida de eixo a eixo

do apoio;

3. Se a φ utilizada for de 6.3 mm ou mais grossa, deve-se contrafiar, independente do

espaçamento, sendo o comprimento da barra 80% da medida de eixo a eixo de apoio. obs5.: Critérios para armadura mínima.

1. A armadura mínima de tração deve possuir área igual ou maior que 0,15% de bw⋅h;

2. O diâmetro máximo da barras das armaduras não deve ser superior a 10% da

espessura da laje;

3. Nas regiões centrais das lajes, onde agem os máximos momentos fletores, o

espaçamento das barras da armadura principal não deve ser superior a 20cm. No caso

de lajes armadas numa direção, esse espaçamento, além de atender a exigência

acima, também não deve ser superior a 2h;

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4. A armadura secundária de flexão deve corresponder à percentagem de armadura

igual ou superior a 20% da armadura principal ou 0,9cm2/m, prevalecendo a maior taxa

de armadura, mantendo-se, ainda, um espaçamento entre barras de no máximo 33cm.

Determinação da armadura Negativa: o mesmo procedimento da armadura positiva.

M = 689 kgf⋅m , d = 8 cm

02,939,688100 2

6 =⋅

=k (tabela)

344,03 =k

dMkAs

⋅= 3

89,68344,0 ⋅

=sA → cm2,96As = 2/m

Armadura Negativa → φ6.3mm c/10cm

Detalhe da Armadura Negativa

3,15/4 ≅ 0,80

0,80/3 ≅ 30

ancoragem = h-2

10 -2 = 8 cm

60φ6.3 c/10-1,46

Detalhe:

130 8 8

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