Cálculo de Incerteza Completo

8/8/2019 Clculo de Incerteza Completo

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2 MEDIO DE DADOS EXPERIMENTAIS, INCERTEZAE PROPAGAO DE ERRO2.1 O erro nos dados experimentais

Vimos que nenhuma medida de qualquer grandeza fsica exata. Aacurcia (ouexatido) e apreciso (nmero de algarismos significativos do valor medido) de umcerto dado medido estaro sempre limitadas tanto pela sofisticao do equipamentoutilizado, pela habilidade do sujeito que realiza a medida, pelos princpios fsicos bsictanto do instrumento de medida, quanto do fenmeno que gerou o experimento e oconhecimento que se tem sobre o valor "verdadeiro" da grandeza fsica. Note que ter instrumento preciso, que faa leituras de temperatura como 20,01oC, no implica emque ele seja mais exato que aquele que mede 19oC. Mesmo sem nmeros decimais, estepode ser mais preciso que aquele. Em palavras, necessrio que o instrumentosejacoerente com o experimento que se realiza.

Para deixar claros estes termos, considere um anemmetro de fio quente, uminstrumento utilizado para medir a velocidade de uma corrente de ar. Uma correnteeltrica flui atravs do fio, gera um fluxo de calor por efeito Joule, o qual dissipadopara a corrente de ar que se deseja medir. O fio ento estabiliza a uma certa temperaturproporcional velocidade do ar. Anemmetros de fio so disponveis para aplicaescomerciais, por exemplo, medir a velocidade do ar em um duto de ar condicionado. Umanemmetro deste tipo, cujo fio tem dimetro de 0,1mm ou 0,2mm, pode medircom acurcia e preciso, em uma estreita faixa de valores reais possveis, a velocidademdia da corrente de ar em dutos de ar condicionado. O sensor do anemmetro inserido, atravs de um furo no duto, e mede em vrias posies transversais avelocidade do ar. Assim, o instrumento est coerente com o experimento e com osprincpios bsicos do fenmeno. Entretanto, este mesmo anemmetro no seria capaz medir as flutuaes de velocidade inerentes turbulncia da mesma corrente de ar. Necaso no h coerncia entre fenmeno que se deseja medir e instrumentao: talvezporque a inrcia trmica do fio de 0,1 mm grande demais, e as flutuaes develocidade que se quer medir no afetam a dissipao de calor e, consequentemente, atemperatura do fio. Para tanto, necessitar-se-a de anemmetro muito mais sofisticadoem termos da eletrnica do circuito alimentador, e sensores com fios de 20m ou mesmo10 m de dimetro.

Em experimentos temos que nos contentar muitas vezes com um nmero limitadoalgumas vezes at restrito de medidas. Neste contexto, devemos considerar tambma faixa dos valores efetivos(ou reais) possveis e recorrer estatstica para auxiliar oprocessamento e entendimento do conjunto de dados medidos. Neste texto usam-se ostermos de mesmo significado,erro, incerteza oudesvio("bias"), para expressar a


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variao do dado medido em relao a um valor de referncia (o valor "verdadeiro" dagrandeza fsica, no caso do erro). Mesmo com limitaes, em alguns casos, um dadoexperimental , via de regra, apenas uma amostra de uma populao estatstica que poser gerada pelo processo de medida com o instrumento. Se conhecermos ascaractersticas do processo, podemos estabelecer limites para o erro em uma nicaleitura, embora no possamos determinar o valor do erro (j que isto implicaria noconhecimento do valor verdadeiro). Isto , estaremos em condies de afirmar algo arespeito da exatido (ausncia de erro) das leituras.

Conceitos

Se o processo de medida for repetido inmeras vezes emcondiessupostamente idnticas, sero obtidas inmeras leituras do instrumento quenormalmente no sero todas iguais. Isto significa que nunca possvel garantircondies perfeitamente idnticas para cada tentativa. Todavia, estas leituras podem seusadas para a estimativa numrica do erro associado ao processo de medida. Para tal, odados acima devem compor uma seqncia aleatria ou, em outras palavras, o processode medida deve estar em condies de controle estatstico . A este respeito, deve-se notarque o conceito de exatido de um instrumento envolve na verdade o instrumento, o seuambiente e o mtodo de utilizao, ou seja, o instrumento e as suas vrias entradas. Esagregado constitui o processo de medida ao qual se aplica o conceito de exatido.

Os fatores que podem afetar a sada de um instrumento, mesmo qumarginalmente, so infinitos. Os efeitos das condiesambientais, presso atmosfritemperatura e umidade, alm de oscilaes da fonte de alimentao do instrumento, sapenas os mais bvios. Ao definirmos um procedimento de calibrao para uinstrumento especfico, afirmamos que determinadas entradas devem permanecconstantes den tro de certos limites. Estas entradas, espera-se, so responsveis pelamaiores parcelas do erro global do instrumento. As infinitas entradas restantpermanecem fora de controle, esperando-se que o efeito individual de cada uma semuito pequeno e que, no conjunto, o seu efeito sobre a sada do instrumento sealeatrio. Se este for realmente o caso, o processo de medida est em condies controle estatstico.

Admitindo-se que um processo de medida qualquer esteja em condies dcontrole estatstico satisfatrias, podemos voltar ao problema de calibrao esttica instrumento. Neste caso, no h repetio mltipla de um dado valor verdadeiro. procedimento normalmente empregado simplesmente variar o valor verdadeiro eincrementos crescentes e decrescentes, cobrindo-se assim uma determinada faixa interesse da grandeza em ambos os sentidos. Isto significa que um dado valor verdade repetido no mximo duas vezes se forem utilizados os mesmos valores nas leiturcrescentes e decrescentes.
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Como exemplo, a Tabela 1 apresenta os resultados da calibrao de ummanmetro de Bourdon na faixa de presso de 0 a 10 kPa.

Presso real Presso indicadakPa Aumentando Diminuindo0,00 -1,12 -0,691,00 0,21 0,422,00 1,18 1,653,00 2,09 2,484,00 3,33 3,625,00 4,50 4,71

6,00 5,26 5,877,00 6,59 6,898,00 7,73 7,929,00 8,68 9,1010,00 9,80 10,20

Neste instrumento (como na maioria dos instrumentos, mas no em todos), relao entrada-sada idealmente uma linha reta. No momento estamos interessadosdecomposio do erro global do processo de medida em duas partes: odesvio (bias) e

a incerteza . Na equao mostrada na Fig. 1,Pi representa o valor verdadeiro da pressoaplicada na entrada do manmetro de Bourdon (varivel independente) ePo representa ovalor lido na escala do instrumento, ou seja, o valor de sada (varivel dependente). Pobtermos a curva de calibrao, isto , a equao a que nos referimos, duas corridexperimentais foram realizadas, uma para a presso crescente de zero at10 kPa (smbolo +, azul) e outra para a presso decrescente, de 10 kPa at zero (smboo, vermelho)..


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Figura 1. Curva de aferiode um manmetro Bourdon

Aoutilizarmos os resultados da calibrao, a situao tal queP o (pressoindicada) conhecida e gostaramos de poder afirmar algo a respeito deP i (presso

verdadeira). Assim, para uma leitura do manmetro de 4,32 kPa sabemos da curva calibrao que o valor verdadeiro 4,720,66 kPa (comentaremos adiante o clculo dodesvio-padro, por enquanto considere que o desvio padro paraPo 0,23 kPa e qucomo consequncia, o desvio-padro para 0,22 kPa. A incerteza para Pi seconsiderada como 3 vezes seu desvio-padro, 0,66 kPa) conforme mostrado na Fi1. Logo odesvio na leitura qo- qi = - 0,40 kPa e a incerteza 0,66 kPa. Observamosento que a calibrao do instrumento permite a correo do desvio e que o nico er


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Figura 2. Curva de aferiode um instrumento sensibilidade constante e varivel, deacordo com faixa de operao.

A fim de se ter uma definio adequada da sensibilidade de um instrumento, quantidade de sada deve ser tomada como a quantidade fsica real e no como aqurepresentada pelos nmeros da escala (por exemplo, usar a rotao angular do pontedo manmetro e no a variao de presso a ela associada).

A calibrao entrada-sada mencionada acima refere-se entrada desejada dinstrumento. Entretanto, a sua sensibilidade s entradas interferentes e/ou modificadotambm deve ser conhecida. Como mostrado na Fig. 3, odeslocamento do

zero (zero drift) refere -se ao efeito de uma entrada interferente cuja magnitude independente do valor da entrada desejada. Por outro lado, odeslocamento da


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sensibilidade (sensitivity drift ou scale-factor drift) refere -se ao efeito de umaentrada modificadora cuja magnitude funo da varivel de entrada.

Figura 3. Deslocamento de zero ( zero drift ) e deslocamento de sensibilidade(sensitivity drift ).

No caso de um manmetro, por exemplo, ao qual a Figura 3 pode se aplicar, temperatura ambiente representa ao mesmo tempo uma entrada interferente modificadora. Ao causar uma expanso ou contrao dos componentes do manmethaver uma variao da leitura da presso mesma quando esta se mantiver constan(deslocamento do zero). Deste ponto de vista, a temperatura uma entradinterferente. Alm disso, a temperatura pode alterar o mdulo de elasticidade da modo manmetro, o que afetar a sua sensibilidade presso (deslocamento dsensibilidade). Neste sentido, a temperatura representa uma entrada modificadora.

H, por conseguinte, a necessidade de testes de calibrao apropriados para quantificar estes efeitos. A fim de se quantificar o deslocamento do zero, a presso


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mantida constante (por exemplo, uma presso relativa nula) enquanto se faz variartemperatura ambiente. Para faixas de temperatura no muito amplas, a variao leitura da presso em funo da temperatura aproximadamente linear, podendo sespecificada como, digamos, 0,01 rad/ C. Com relao ao deslocamento dasensibilidade, os testes so feitos mantendo-se a temperatura constante e procedendoa uma calibrao da presso de modo a se determinar a sensibilidade dmanmetro. Repetindo-se este procedimento para vrias temperaturas, obtm-se o efeda temperatura sobre a sensibilidade do manmetro presso. Se este efeito faproximadamente linear, ele pode ser especificado como, por exemplo, 0,000(rad/kPa)/ C. Observe ento que a sensibilidade de um instrumento a razo entre incremento de sada e o incremento de entrada, isto , sinal de sada/sinal de entradAlguns exemplos: transdutor de presso eletrnico, S = 2,0 x 10-3 mA/Pa; termopar, S =50 mV / oC; multmetro, S = 50,00 Ohms/VDC. Finalmente, o desejvel que uminstrumento tenha alta sensibilidade.

Linearidade - o desvio mximo entre os pontos experimentais e a curva de calibrarepresentada por uma linha reta. geralmente expressa como uma combinao porcentagem da leitura real e uma porcentagem do fundo de escala do instrumento. Tese ento uma especificao do tipo :

no-linearidade = A % da leitura ou B % do fundo de escala , o que for maior.

A primeira definio est ligada condio idealizada de uma no-linearidadporcentual constante. A segunda definio leva em considerao a impossibilidaprtica de se testar desvios muito pequenos, prximos ao zero da escala do instrumenA este respeito, deve-se lembrar que os instrumentos de calibrao devem ser cerca

dez vezes mais exatos do que o instrumento sendo calibrado. Isto significa que, prximao zero deste instrumento, variaes absolutas muito pequenas da entrada desejada, qcorresponderiam a um valor constante da porcentagem da leitura, no podem sdetectadas. A Fig. 4 mostra as faixas de tolerncia associadas especificao da nlinearidade feita acima.


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Figura 4. Definies de linearidade

Histerese- Consideremos a situao em que a presso de entrada do manmetro dFig. 6 seja lenta e gradualmente aumentada de zero at o fundo de escala e ento trazide volta a zero. Caso no houvesse atrito devido ao deslizamento de partes mveis,grfico da relao entrada-sada seria como mostrado na Fig. 5(a) . A no coincidnciadas curvas ascendente e descendente devida ao atrito interno ouamortecimento histertico das partes sob tenso (no caso do manmetro, principalmea mola). Isto , nem toda energia introduzida nas partes sob tenso durante carregamento pode ser recuperada durante o descarregamento conforme previsto pesegunda lei da termodinmica. Para instrumentos cuja faixa de operao se estende ambos os lados do zero, o comportamento como mostrado na Fig. 5(b) .


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Caso fosse possvel eliminar completamente o atrito interno, mas no o atriexterno devido ao deslizamento de partes mveis, o comportamento seria commostrado nas Figs. 5(c) e 5(d) , admitindo-se constante a fora de atrito. Umcomportamento semelhante obtido no caso de haver folga no mecanismo de uinstrumento.

Em um dado instrumento, a combinao dos vrios fatores acima resulta em uefeito de histerese global como mostrado na Fig.5(e). Deve-se salientar, porm, quequando o componente devido ao atrito interno for grande pode haver efeitos temporassociados ao relaxamento e recuperao das vrias partes. Assim, a leitura obtiimediatamente aps a variao da entrada pode mudar aps o decorrer de alguinstantes.


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Figura 5. Efeitos de histerese

Faixa de Operao- Faixa entre os valores mnimo e mximo da varivel de entradapara a qual se projetou o instrumento de medida, veja na Figura X abaixo.

Figura 6. Ilustrando definies com o manmetro Bourdon

Limiar ( threshold) - Todo instrumento tem um valor mnimo de entrada, abaixo doqual ele no tem qualquer sinal de sada. Este valor mnimo corresponde ao menor vamensurvel da entrada, sendo denominado limiar do instrumento, ver na Figura 6 manmetro Bourdon, acima Menor Diviso da Escala- Nos instrumentos de indicao analgica, as leituras emgeral so obtidas a partir da posio de um elemento indicador (ponteiro, coluna lquido, etc.) em relao a uma escala. O parmetro menor diviso da escacorresponde ao valor nominal da variao da leitura entre dois traos adjacentes escala, veja na Figura 6. Algumas vezes o limite de erro de um instrumento analgicofixado como sendo a menor diviso da escala. Mas pode tambm ser um critrsubjetivo, definido peloexperimentalista. Se a menor diviso da escala do instrumenfor suficientemente grande, voc pode achar que o limite de erro pode ser estabeleciem 1/5 da menor diviso da escala, por exemplo. Se a menor diviso da escala for mupequena, talvez seja conveniente estabelecer o limite de erro menor diviso. Via regra, pode-se estabelecer que bons instrumentos analgicos tm a escala de tal formque o limite de erro igual a 1/2 da menor leitura. H que ser cuidadoso com


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instrumentos digitais: alguns mostram um nmero de algarismos significativos que ncoerente com o fenmeno fsico medido ou com a instrumentao adotada. Incremento Digital- Nos instrumentos de indicao digital, o conceito de diviso daescala no mais pertinente e passa-se a falar em incremento digital. Este termo refese variao da entrada capaz de causar a variaro do ltimo dgito da leitura (observque esta variao nem sempre unitria). Resoluo- Se a entrada do instrumento for aumentada gradualmente a partir de umvalor arbitrrio qualquer diferente de zero, mais uma vez a sada do instrumento nvariar at que um certo valor do incremento seja excedido. Define-se ento resolucomo a menor variao da entrada que pode ser medida pelo instrumento, veja na Figu6 acima.Largura de banda ( bandwidth ) - a banda (ou faixa) de frequncia na qual podeoperar o instrumento. Um instrumento com largura de banda de 100 Hz mede a varivde interesse com frequncia de at 100 Hz. Faixa dinmica ( dinamic range ) - determinada pelos limites superior e inferior deentrada ou sada que mantm a medio no nvel adequado de preciso. Legibilidade da Escala- Em um instrumento analgico, a quantificao da sadadepende da leitura por um observador humano, subjetiva at certo ponto, da posio um ponteiro em uma escala. Assim sendo, antes de efetuar quaisquer leituras observador deve decidir at que ponto ele ou ela consegue quantificar diferentposies do ponteiro entre duas graduaes da escala. A esta caracterstica do procede medida, que depende tanto do instrumento quanto do observador, d-se o nome legibilidade da escala.Repetibilidade- o desvio mximo do valor da grandeza indicada pelo instrumento

para uma dada entrada constante, em relao ao valor de referncia, em um conjunto medies. Por exemplo, "melhor que +/- 0,2%", " < +/- 0,15% Calibrao e Aferio- Teste no qual valores conhecidos da varivel medida soaplicados e os correspondentes valores de sada so registrados. A funo de umaferio estabelecer uma escala de sada correta para o sistema de medidas. calibrao exige uma interveno no instrumento para alterar a sada de acordo couma aaferio prvia. H dois tipos de calibrao/aferio: esttica, na qual o sinal de entrada constante, dinmica, na qual a entrada um sinal que varia com o tempo. Apresentados os conceitos prprios dos instrumentos e de seu processo de calibra

convm agora retornarmos aos conceitos depreciso e exatido, mais especificamenteno que se refere sua conceituao idiomtica e prtica corrente.

Exatido: Qualidade daquilo que exato, em conformidade com umpadro. Medidas exatas implicam na inexistncia de erros.

Preciso: Qualidade do que preciso, definido claramente. Ou seja, medidaprecisas significam medidas com pouca disperso. A preciso est, portanto,


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ligada ao conceito de repetibilidade e estabilidade de um instrumento, ist, a preciso e os erros aleatrios so conceitos interligados. Por isso a

preciso tambm chamada delimite de erro do instrumento. Na prtica, o termo preciso o mais difundido. Entretanto a combinao d

exatido e preciso, isto , um instrumento onde exatido e preciso so maximizadoso melhor qualificador de um instrumento.

A tabela seguinte apresenta os conceitos recm-discutidos, que se aplicam instrumentos e ao procedimento de medio:

1 Exatido2 Preciso

3 Coerncia (doinstrumento)

4 Erro / incerteza / desvio

5 Sensibilidadeesttica6 Linearidade7 Histerese8 Faixa de operao

9 Limiar(ou threshold)

10 Menor diviso

11 Incremento digital(do display)12 Resoluo

13 Largura de banda(bandwidth)

14 Faixa dinmica(dynamic range)

15 Legibilidade (daescala ou display)

16 Repetibilidade17 Aferio/Calibrao


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Assim sendo, na medida em queexatido (acurcia)e preciso so, em ltimainstncia, erro e limite de erro, os instrumentos e os processo de medio podem squalificados nestes termos:erro sistemticoe erro aleatrio.

O erro sistemtico resultado do uso de um equipamento no-aferido ou dautilizao de tcnica de medida no-coerente. Os resultados sero, sempre, valormedidos com desvios positivos ou negativos em relao ao valor "verdadeiro". H uerro sistemtico constante, que pode ser eliminado com a aferio do instrumento, mh, tambm, um erro sistemtico de natureza determinstica. O resultado qua preciso de um instrumento est relacionada com estes dois tipos de erros sistemticoapesar da confuso semntica. Quando for inevitvel o seu uso, o termopreciso deveestar associado ao erro global do instrumento, isto , no somente ao erro aleatrio.Eerro global a combinao do erro sistemtico com o erro aleatrio.

Alguns outros autores trabalham com o conceito deerro varivel: a superposiodo erro aleatrio convencional mais a parceladeterminstica do erro sistemtico.

No custa chamar a ateno, mais uma vez, para tal o fato de que medir uma grandeimplica, na maioria das vezes, em interferir no processo que a gera. Portanto, o prprioprocesso de medio altera o valor "verdadeiro" da grandeza. Considere como exempla medio da temperatura do ar em uma sala condicionada. O instrumento a ser usadoser um termmetro, que todos conhecem. Para medir a temperatura de ar na sala, otermmetro foi colocado no centro da sala, pendurado no teto. Um intervalo de temposuficientemente longo foi dado para que entrasse em regime com o ar insuflado pelosistema de condicionamento. H pelo menos quatro opes para a definio datemperatura verdadeira:

T(1): a temperatura indicada pelo termmetro (ovalor obtido , isto , que oinstrumentista l na escala do termmetro);

T(2): a temperatura do ar condicionado em torno do bulbo do termmetro (ovalor disponvel );

T(3): a temperatura que o ar teria caso o termmetro no tivesse perturbado adistribuio de temperaturas da sala (ovalor no- perturbado );

T(4): a temperatura que o ar teria na exata posio do bulbo do termmetro caso instrumentao no tivesse perturbado a

distribuio de temperaturas e velocidades do ar insuflado na sala (ovalor conceitual ).


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Dentre estas opes, qual o valor verdadeiro da temperatura? A lista das possveis

fontes de erro depende do que se define, estabelece como "valor verdadeiro". Os errosprocedimento de medida so ento classificados em:

Erros do Sistema de Medida Se T(1) for tomada como o valor verdadeiro, somente os erros do sistema de

medida so levados em considerao. Aqui esto includos todos os erros fixos evariveis introduzidos por cada componente do sistema de medida tais como erro noganho (fixo), flutuaes na fonte de tenso (aleatrio) e oscilaes causadas pelasvariaes de temperatura no instrumento.

Estes erros podem ser estimados experimentalmente atravs de uma calibrao dosistema de medida. Os erros fixos sero evidenciados por um desvio do valor mdio dasada com relao ao valor constante da entrada enquanto que os erros variveis seroevidenciados por variaes dos valores individuais da sada. Cabe notar que em umacalibrao, as medidas devem ser realizadas durante um intervalo de tempo e emcondies ambientes representativas do teste real. Caso contrrio, os componentesvariveis masdeterminsticos do erro global no sero sentidos.

Erros da Interao Sensor-Meio Se a temperatura do ar, T(2), for tomada como o valor verdadeiro, esta deve ser

determinada a partir do valor obtido para a temperatura da juno do termopar, T(1). Ainterao sensor-meio normalmente dada por uma equao analtica relacionando ovalor obtido ao valor disponvel, mas que envolve parmetros cujos valores estosujeitos a erros. Por exemplo, o bulbo do termmetro troca calor por conduo com suhaste, por radiao com as paredes da sala e por conveco com o ar. Desprezando-se troca por conduo, a interao sensor-meio seria dada pelo seguinte balano de energ(calor ganho na troca radiativa entre a parede da sala e o termmetro igual ao calorperdido pelo termmetro por conveco para o ar ambiente):

onde a constante de Stephan-Boltzmann, a emissividade do sensor,T t atemperatura do termmetro - o valor obtidoT(1) , T par a temperatura da parede,T ar atemperatura do ar na posio do bulbo do termmetro de mercrio [o valordisponvelT(2) ] e h o coeficiente de pelcula ar-bulbo do termmetro.

H quatro variveis nesta equao sujeitas a erros:h, , T par e T t . Portanto, ao seutilizar esta equao os erros emh, e T par , que no so erros relacionados aoinstrumento que medeT t , tambm afetaro o valor calculado (que se espera


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"verdadeiro") paraT ar . Esta equao pode ento ser vista como um pequeno programade tratamento de dados para se calcular T ar a partir deT t e a sua incerteza deve sercalculada separadamente.

Erros de Perturbao do Meio Se o valor no perturbado,T(3) , for tomado como valor verdadeiro, todas asperturbaes no meio introduzidas pelo sistema de medio devem ser levadas emconsiderao e a incerteza no seu clculo ser uma incerteza residual na medidarealizada. Como regra geral, os sensores usados devem ser to pequenos quanto possva fim de se minimizar a perturbao e a estimativa desta deve ser feita por meio de umequao simples. Ou ento a medio deve ser realizada com instrumento no-intrusiv

No caso do termmetro que mede a temperatura do ar na sala, a perturbaointroduzida depende de vrios fatores. A haste do termmetro comporta-se comouma aleta se h um certo gradiente de temperatura do ar condicionado. Este um efeittpico de perturbao do meio: a presena do termmetro resfriar ou aquecer (dependo gradiente de temperatura) o ar em torno do bulbo.Admitindo-se, por simplicidade, que no haja outras fontes de erro, a indicao dotermmetro (valor obtido) pode ser admitida igual `a temperatura do ar na posio dobulbo (valor disponvel). A temperatura no perturbada do meio nesta mesma posiopode ento ser calculada de

onde

Na equao acima, h seis variveis sujeitas a erro (h, D, k ar , k t , T ar e T 2) e a incertezaenvolvida no uso desta equao deve ser estimada ao se calcularT 3. A abordagem anloga quela usada no caso dos erros na interao sensor-meio.


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Erros Conceituais

Se a temperatura de mistura,T(4) , for tomada como a temperaturaverdadeira no exemplo acima, os efeitos das distribuies de temperatura e velocidadena seo transversal devem ser levados em conta por meio da aplicao de correespertinentes. Mais uma vez, as incertezas nestas correes devem ser estimadas quandodo clculo do valor verdadeiro, T(4). Como evidente, o processo de determinao dvalor "verdadeiro" da temperatura do ar torna-se cada vez mais complexo. Cabeenfatizar que em muitas situaes os erros conceituais so muito maiores que os dema(por exemplo, qual o valor exato de h? E do kt? Etc, etc. Assim, pode-se concluir que,aparentemente, no h limites para as interpretaes errneas que uma pessoa pode daao resultado da medio de uma certa grandeza.

Em muitos casos os experimentalistas no consideram a influncia do erro varivel(mas determinstico) na determinao da incerteza de uma certa medida. O motivo simples: ele o mais difcil de ser analisado e processado. No confronto com asdiferentes opes para a definio do valor verdadeiro, deve- se perguntar: Qual ser autilizao final desta medida? Qual o seu significado fsico nas equaes quedescrevem o fenmeno em estudo? O bom experimentalista deve estar ciente, noentanto, de que os erros da interao sistema-meio, os erros de perturbao do meio e erros conceituais so geralmente maiores do que os erros do sistema de medio. Estaafirmao vlida principalmente para experimentos envolvendo transferncia de caloe medidas de temperatura.

Assim, mesmo que todo erro sistemtico seja eliminado, seja a parcela constante, poaferio, ou at mesmo a parcela variveldeterminstica, permanecero ainda oserrosaleatrios, isto , um segundo tipo de desvio dos valores medidos em relao ao valorde referncia, que resultam das entradas interferente e modificadora no ssitema que oinstrumento. O tratamento dos erros aleatrios tema do tem seguinte.

Concluindo, para se eliminar o erro sistemtico as solues so: (1) a escolha deinstrumento coerente com a medio a ser realizada e (2) sua aferio (e eventualcalibrao) apropriada. O anlise de grandeza de erros aleatrios requer procedimentoestatstico, que ser discutido na sequncia.

2.2 O tratamento dos erros aleatrios. Vrias abordagens, dependendo da aplicao, podem ser usadas para tratar os errosaleatrios provenientes de uma medio.

2.2.1 A incerteza estimada de um conjunto de dados


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Frequentemente ocorre em experimentos que a incerteza seja maior que o limite de erdo instrumento. Isto se d, por exemplo, quando a varivel que se deseja medir tem umcomportamento intrinsecamente varivel. Considere novamente a medio da velocidade ar com um anemmetro de fio quente. H uma natural flutuao da velocidadeprovocada pelas singularidades do sistema (as curvas, ts,dampers , etc) e pelo ventilador(digamos +/- 0,5 m/s). O valor da velocidade do ar pode ento oscilar no painel doinstrumento em amplitude superior ao limite de erro do mesmo (+/- 0,1 m/s). A solu ento estabelecer umaincerteza estimada, a metade da maior amplitude deoscilaodo dado experimental, igual a +/- 0,5 m/s, que ser mais que duas vezes maior que olimite de erro. Para se determinar a incerteza de um conjunto de dados experimentais pode-se usartambm alguns conceitos estatsticos. Para encontrar o valor mdio de uma grandezaexperimental e sua incerteza deve-se realizar a medio diversas vezes, calculara mdia (o valor mdio dos dados) e tambm odesvio mdioe odesvio padro. Agrandeza passa ento a ser referida pelo seu valor mdio +/- a incerteza ( p.exemplo,22,6 +/- 0,2 Volts, ou 10,2 +/- 0,38 s). Isto , a mdia um indicador pontual, ela oponto central em torno do qual a incerteza estabelecida. Em outras palavras, a mdiaest cercada pela incerteza, com seus limites inferior e superior. A Tabela 1 mostra o procedimento de clculo do valor mdio e das grandezas quepodem caracterizar a incerteza de "n" medies do tempo X (no caso, n = 4):

Tabela 1. Valor mdio e desvio padro de n medies de tempo

Tempo, s

(X -),

s | |,

s ( | | )2

s2 ( | | )2

s2

10,3 0,1 0,1 0,01 0,01 10,7 0,5 0,5 0,25 0,25 9,9 -0,3 0,3 0,09 0,09 9,9 -0,3 0,3 0,09 0,09

< X >= 10,2

>=0,0

X> = | | / n = 0,3

( | | )2 / 4 =0,11

| | )2 / 3 = 0,15SD = (0,15)1/2 = +/- 0,38

< X > representa o valor mdio de X, o somatrio do conjunto de n dados medidos.

A mdia simples, , a soma dos quatro termos dividida por 4, obtendo-se 10,2. Odesvio do dado medido em relao ao valor mdio, , est na coluna 2. O valor mdio< > nulo, 0,0, e no traz qualquer informao adicional. A terceira coluna o valorabsoluto do desvio; seu valor mdio o que se denomina de desvio mdio, = 0,3.


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Na coluna 4 esto os valores dos quadrados dos desvios mdios, ( || )2, e seu valormdio. A coluna 5 reproduz a coluna quatro: se a soma dos quadrados dos desviosmdios ( | | )2 ) agora dividida pelo nmero de amostras menos um (n-1 = 3),obtm-se a varincia,. A raiz quadrada da varincia o desvio padro, SD. Observe

que o desvio padro maior que o desvio mdio, SD = 0,38 e = 0,3, mas cadaum deles pode ser adotado para caracterizar a variao dos dados experimentais.

2.2.2 Mdia, desvio padro, distribuio Normal

Surgiram ento os primeiros conceitos estatsticos: a mdia aritmtica e o desviopadro. A mdia no eficiente em informar sobre o conjunto dos dados medidos. Podse ter dados com valores muito grandes e pequenos no mesmo conjunto, e tambmmuitos dados com valores prximos da mdia. Observa-se, ento, que a mdia umamedida de localizao dos dados experimentais. Mas, alm da localizao dos dados, necessrio conhecer como estes dados esto espalhados. A maior parte de valoresmenores que a mdia? Ou de valores maiores que a mdia? Informar sobre oespalhamento dos dados medidos ser o papel dafaixa de valores medidos,davarincia, dodesvio padro, dasdistribuies estatsticase suas caractersticas.

A faixa dos valores medidos ( a diferena entre o maior e o menor valor medido) importante, evidentemente, para os valores no topo e na base do conjunto de dados. Poexemplo, pode-se questionar se so representativos frente ao conjunto de dados e aoexperimento emquesto:

FVM = Xmx- Xmn

A varincia indica a disperso do conjunto de dados em relao mdia. Ela a mdiado quadrado dos desvios: na tabela acima, some os valores e divida por 3, o nmero dedados da amostra menos 1:

2 = ( 0,01 + 0,25 + 0,09 + 0,09) / 3 = 0,15s

A frmula ento,

2 = S ( X - < X >) 2 / (N-1)

Uma informao mais detalhada que a varincia sobre quo espalhados esto os dadosexperimentais ser obtida, entretanto, com o uso do conceito de desvio padro. O desvpadro a base adequada de interpretao de dados experimentais quando estes


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apresentam uma distribuio chamada de "Normal" ou Gaussiana. O desvio padro definido como:

SD = ( 2)1/2

A distribuio Normal representada por uma famlia de curvas definidas unicamentepor dois parmetros, a mdia e o desvio padro do conjunto de dados. Uma curva dedistribuio dos dados experimentais obtida em um grfico cartesiano tipo (xversus y):no eixo x esto os valores dos dados medidos; no eixo y, esto as probabilidades deocorrncia dos valores dos dados experimentais ou o nmero de ocorrncia dovalores conjunto de dados. A figura abaixo mostra uma distribuio Gaussiana. Osvalores medidos esto no eixo x; o eixo y indica o nmero de ocorrncias dos valoresmedidos. O grfico foi elaborado inicialmente como um grfico de colunas.

Figura 8. A PDF de uma distribuio Gaussiana

Note que a Gaussiana uma curva simtrica com a forma de sino. O "eixo de simetriada curva indica a mdia, < X > = 82.. Quo "achatada ou esticada" ou "magra ou gorda


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a Gaussiana, os valores do desvio padro vo estabelecer. Deve-se observar que osimples fato da curva ter a forma de sino no indicador de distribuio Normal.Entretanto, esta uma distribuio muito comum na rea de engenharia e deve serconsiderada. A ordenada y da Gaussiana, para um certo valor X :

Observe na figura anterior que as linhas tracejadas verticais representam o nmero dedesvios-padro (SD) que a curva abriga: estomarcados, de dentro para fora, +/-1 SD,+/- 2 SD e +/- 3 SD. E esta a razo do desvio-padro ser importante se a distribuiodos dados medidos for Normal. Para +/-1 SD, a curva abriga 68% dos dadosexperimentais. Para +/-2 SD, a curva abriga 95% e para +/-3 SD, a curva abriga 99,7%dos dados experimentais.

Consequentemente, se a mdia e o desvio padro de um conjunto de dadosexperimentais so conhecidos, pode-se obter informaes teis com clculos aritmticsimples. Colocando 1, 2 ou 3 SD acima e abaixo da mdia, , pode-se obter a faixade valores que inclui, respectivamente, 68%, 95% e 99,7% dos dados experimentais.

2.2.3 Outras distribuies estatsticas

A distribuio normal tem destaque na engenharia mecnica pois muitas variveis tpidos processos da rea apresentam distribuio normal. Entretanto, ela no a nica eoutras distribuies devem ser consideradas. Antes de apresent-las, convm definir comais rigor as distribuies estatsticas em geral, as quais so, via de regra, definidas emtermos da PDF, ou funo densidade de probabilidade. Entretanto, h outras funes dprobabilidade que podem ser usadas e convm conhecer algumas.

Para uma funo contnua, afuno densidade de probabilidade, PDF, indica aprobabilidade que a varivel tenha um valor especfico, p. ex. X = 1,978126387. Desd

que para funes contnuas a probabilidade de ocorrncia de um certo valor especfico nula, ela usualmente expressa em termos de uma integral entre dois valores:

Para uma funo discreta , a PDF indica a probabilidade que a varivel assuma o valorX:


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Observe que a figura anterior mostra uma PDF Gaussiana contnua (a linha tracejada)

obtida a partir de uma distribuio discreta (isto , no-contnua) dos dados. Observetambm que a integral de uma PDF de menos infinito at um valor X = b indica aprobabilidade de que a varivel tenha valor igual ou inferior a b. Este valor o que sedenomina depercentil de uma distribuio.

Umafuno distribuio de probabilidade, tambm conhecida porfuno dedistribuio cumulativa (CDF), a probabilidade que a varivel assuma valor menorou igual a X, isto ,

Se a funo contnua,

Se a funo discreta,

Figura 9. A CDF de uma distribuio Gaussiana


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A figura acima exemplifica uma CDF Gaussiana. O eixo horizontal o domnio dosvalores que a varivel X pode assumir. O eixo vertical indica a probabilidade que cadavalor de X tem de ocorrer. No caso ela varia de 0 a 1 (poderia ser de 0 a 100%). J queessa uma distribuio normal, observe que 50% dos valores de X so menores quezero. Observe tambm que medida em que o eixo horizontal vai "varrendo" os valorepossveis de X, a probabilidade obrigatoriamente aumenta at que 100% dos valoresestejam contemplados (no caso, quando X varia de -3 at 3).

A funo de pontos percentuais, PPF, a inversa da CDF. Por esta razo a funo depontos percentuais muito conhecida como a funo de distribuio inversa. Isto , dauma certa funo de distribuio, calcula-se a probabilidade que varivel seja igual oumaior que um dado valor X.

Figura 10. A PPF de uma distribuio Gaussiana

A figura acima a PPF da funo mostrada na figura anterior. Note que o eixohorizontal representa agora a probabilidade de ocorrncia de valores maiores que X. Eeixo vertical, a faixa de valores que X pode assumir.

Isto posto, vamos conhecer a influncia do valor do desvio padro na forma dadistribuio Normal e algumas outras distribuies estatsticas de uso comumna engenharia: Log-normal e t-Student. A figura abaixo mostra a PDF de uma funoNormal cuja mdia 10 e o desvio padro 2; na sequncia est uma distribuioNormal com mdia 10 e desvio padro 1.


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Figura 11. PDF's de funes normais

As duas figuras seguintes trazem duas funes estatsticas com distribuio Log-Norm


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Figura 12. Funes Log-Normais


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A funo Log_Normal definida por

f (X) = exp{-1/2 [[ln(X)-]/s]2}/( 2 Pi s2 X2 )1/2

A figura seguinte mostra a distribio t-Student. O nome deve-se a William Gosset, quescreveu com o pseudnimo Student, em 1908, o trabalho intitulado"The Probable Error of a Mean". Neste trabalho Gosset especulou sobre a importnciade se obter o valor mdio de uma amostra de uma populao de dados indicador do vamdio da populao, isto , de uma "populao de valores obtidos sob as mesmascondies de ensaio". Considere um certo aparato experimental que gera valoresadquiridos por um sistema de aquisio de dados computadorizado. O experimentoopera em regime permanente e produz 1 Gbyte de dados, na forma de valores colocadoem uma coluna de uma tabela, fazendo leituras com uma frequncia de 10 KHz,digamos. A pergunta a seguinte: precisamos fazer a mdia de todo o conjuntode 1 Gbytes de valores para conhecer o valor mdio? No bastaria fazer amdia de, digamos, 10 Mbytes de dados, na forma dos valores medidos, para conhecervalor mdio? Quo distante do valor mdio "verdadeiro"est este valor mdio daamostra de 10 Mbytes? Quantos bytes de valores medidos so necessrios para que seobtenha uma estimativa do valor mdio "verdadeiro" com um certo intervalo deconfiana, 95%, ou 99,5%? Esta idia de amostrar uma populao de dados para estimcom menos custo, mais rapidamente, etc, o valor "verdadeiro", com uma certaconfiabilidade, gerou o que se denomina atualmente de distribuiao de mdiasamostradas. Quando se amostra um experimento as seguintes observaes so vlidas:

- medida em que se aumenta o tamanho da amostra sobre a qual a mdia calculada distribuio obtida tende progressivamente a uma distribuio normal. Isto se deve ateorema do limite central, que postula que a distribuio da mdia tende normalidade(distribuio normal) medida em que o nmero de amostras cresce;

- a distribuio da mdias centradas na mdia da populao. O razo evidente: quo valor esperado da amostra que cresce infinitamente o valor mdio da populao.

A distribuio t-Student til quando se deseja especificar a incerteza do valor mdio amostra de um experimento para um dadointervalo de confiana. Neste caso no seconhece o desvio padro da populao de dados experimentais, sendo o intervalo deconfiana a probabilidade de que a mdia esteja includa na faixa de valores calculado

Por exemplo, seja a seguinte amostra de uma populao de dados experimentais:

107, 119, 99, 114, 120, 104, 88, 114, 124, 116, 101, 121, 152, 100, 125, 114, 95, 117.


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A unidade da medida o segundo. So n = 18 valores, cuja mdia (mdia da amostra) 112,778 s e o desvio padro 14,424.

Calcula-se ento o que se denomina deerro padro daamostra (ousem, standard error of the mean ):

sem = SD / n1/2 = 14,424 / 181/2 = 3,4

e a mdia da amostra e sua incerteza, para um intervalo de confiana de 95%, obtida

= 112,78 +/- (tn-1,1-0.05/2) 3,4 = 112,78 +/- (2,11)(3,4) = 112,78 +/- 7,17

ondetn-1,1- /2 o (1- /2)percentil de uma distribuio t-Student com (n-1) graus deliberdade (valor obtido em tabela de percentilde distribuio t-Student), sendo = (1-intervalo de confiana).

Quanto maior o grau de liberdade de uma t-Student, mais ela se aproxima de umadistribuio normal (isto , quanto mais o nmero de pontos amostrados aproxima-se dpopulao de dados, mais a distribuio t-Student aproxima-se de uma distribuionormal). Uma t-Student com grau de liberdade baixo tem caudas "gordas".

Um extrato de uma t-Table est abaixo:

n-1 t0,90 t0,95 t0,975 t0,99 5 1,48 2,02 2,57 3,366 1,44 1,94 2,45 3,147 1,41 1,89 2,36 3,008 1,40 1,86 2,31 2,909 1,38 1,83 2,26 2,8210 1,37 1,81 2,23 2,7611 1,36 1,80 2,20 2,7212 1,36 1,78 2,18 2,6813 1,35 1,77 2,16 2,65

14 1,35 1,76 2,14 2,6215 1,34 1,75 2,13 2,6016 1,34 1,75 2,12 2,5817 1,33 1,74 2,11 2,5718 1,33 1,73 2,10 2,55


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Dentre as distribuies mostradas acima observe que a distribuio Log-Normal no simtrica. A no-simetria das PDFs pode ser usada para caracteriz-las e so medidaspelos terceiro e quarto momentos da populao de dados experimentais em relao mdias. Os momentos de uma populao so prpria mdia (o chamadoprimeiromomento), a varincia (osegundo momento), a "skewness" (oterceiro momento) epela "kurtosis" (oquarto momento).

A skewness definida por:

3 = ( X - )3 / N

As figura abaixo mostra a duas distribuies, a primeira comskewness positiva, asegunda com skewness negativa. Veja que askewness quantifica a distoro dadistribuio em relao mdia (evidentemente, se a distribuio for simtrica,a skewness ser nula).


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A kurtosis uma medida do tamanho da "cauda" da distribuio, sendo calculada por

m 4 = X - )4 / N

A distribuio normal padro isto , aquela que tem mdia igual a zero, = 0, edesvio padro igual a SD =1, temkurtosis m 4 = 3. Quando uma distribuiotemkurtosis superior a 3 diz-se que h "excesso dekurtosis ". A figura abaixo mostradistribuies com diferenteskurtosis , a da direita, com pico mais acentuado e cauda maisampla e "gorda", temkurtosis, m 4direita > m 4esquerda , maior que a da esquerda.

2.2.4 A deciso final sobre a incerteza a adotar

At agora temos quatro conceitos para especificar a incerteza do conjunto dosdados medidos: a menor leitura do instrumento, o desvio mdio, a incerteza estimada o desvio padro. Qual deles adotar no seu experimento? 1) escolha o maior entre os tr2) Arredonde a incerteza para 1 ou dois algartimos significativos; 3) Arredonde aresposta de forma que tenha o mesmo nmero de algarismos que a incerteza.

2.2.5. Erros relativo e absoluto

Se o dado medido X, o erro absoluto DX. O erro relativo, ou incerteza fracionria, DX/X ). O erro percentual o erro relativo multiplicado por 100. Cada um deles podeser utilizado. O que acontece que certas reas de trabalho tradicionalmente optaram pexpressar o erro de uma forma particular. Em eletrnica, por exemplo, comum dar o


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caso mais geral, onde a varivel dependente u uma funo qualquer das duas variveindependentes x e y, isto , u = f(x,y). Seja ento

ui = + dui, xi = + dxi, yi = + dyi,onde o delta, d, usado para indicar um resduo. Ento,

+ du = f( + dx, + dy)que, se expandido em uma srie de Taylor, resulta em

Desde que f(,) = , ele pode ser eliminado de ambos os lados da equao, oque produz

Esta equao pode ser estendida para incluir quantas variveis se desejar. Vamos voltaagora ao exemplo do pndulo:

Observe que o sinal de um resduo individual no conhecido, de forma que toma-se sempre o pior caso, isto , os resduos se superpem com o mesmo sinal. Levando iem considerao e rearranjando a equao,


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Dividindo ambos os termos por g,

Esta, ento, pode ser uma regra para combinar erros individuais na composio de umerro total de uma expresso. Note que o termo que na expresso aparece elevado aoquadrado, isto , o perodo T, na composio do erro total o de maior peso, pois o vada potncia o multiplica. Esta regra, entretanto, tem uma restrio fundamental, poisconsidera sempre o pior caso, em outras palavras, soma os erros individuais nacomposio do erro total. E a intuio nos diz que dificilmente todos os erros secomporo aditivamente. Mas como chegar a uma combinao de erros individuaismais realstica? o que veremos na sequncia.

Se n medidas de x e y forem feitas para o clculo de u, a varincia da amostra dada p

Substituindo o valor de du,

Os resduos de x e y, no caso, so positivos. Consequentemente, tambm ser positivoproduto dos resduos, dxdy. Quando n muito grande, entretanto, haver tanto produtode resduos com valores positivos quanto negativos, fazendo com que o termo naexpresso acima se anule. Pode-se ento escrever:

ou


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Este resultado, como o anterior, pode ser estendido para contemplar qualquer nmero variveis, isto , o erro resultante de uma expresso contendo j variveis, x1, x2, x3,..., xj,

A equao anterior chamada deTeorema de Superposio dos Erros.

Podemos voltar e aplicar agora o Teorema da Superposio dos Erros ao problema dopndulo:

Dividindo tudo por g2 e rearranjando,


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Compare a expresso que deduzimos anteriormente para o erro relativo em g e fica claque esta acima produz um erro menor, menos conservadora que a anterior. Ficamosento com as duas opes para o clculo da incerteza na propagao de erro emoperaes matemticas, as quais sero aplicadas a vrias operaes matemticasna sequncia do texto.

Sejam ento x e y duas variveis cujos valores mdios so e e seja z o resultada operao matemtica de de x e y. Deseja-se obter o valor mdio e a incerteza absolude z, e Dz, sabendo-se que Dx e Dy so as incertezas absolutas de x e y.

2.3.1 Adio e subtrao, z=x+y e z=x-y

z=+ z=(+)+(x+ y)

Veja que a perspectiva mais otimista foi considerada, isto , os valores positivos dasincertezas se somando para dar o mais alto valor de Dz. O mesmo vale para a subtraAssim, a regra geral para a soma e a subtrao de que as incertezas absolutas sejamsomadas. Caso a incerteza seja dada como o desvio padro, SD, some em quadratura(isto , a raiz quadrada do quadrado do valor) as incertezas de x e y.

z = ( x + y) para erros absolutos, e

z = [( x)2 + ( y)2]1/2 se o erro for dado como o SD

Exemplo: (1,50 +/- 0,03) + (3,35 +/- 0,08) = 4,85 +/- 0,09 (SD)

2.3.2 Multiplicao e diviso, z=xy e z=x/y

z = + z = ( )+ xy + y x + x y = ( )+ xy + y x


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H um termo de segunda ordem que pode ser desprezado. Se o erro for dado em termopercentuais,

z = ( x / x) + ( y / y)

ou ainda,

z = [( x / x)2 + ( y / y)2]1/2 se o erro for dado como o SD

Exemplo: (2,50 +/- 0,03) * (6,75 +/- 0,08) = 9,25 +/- 0,02 (SD)

A mesma regra se aplica diviso e combinao de multiplicao e diviso em umaexpresso matemtica mais complexa.

2.3.3 Potncia, z=xn

z = n x se o erro absoluto,

z = n ( x / x) se o erro relativo, e

z = [(n x / x)2 ]1/2 se o erro for dado como o SD.

Exemplo: (2,50 +/- 0,03) ^ 2 = 6,25 +/- 0,06 (valor absoluto)

2.3.4 Produto de potncias, z = xm xn

z = m x + n y se o erro absoluto,

z = [m ( x / x) + n ( y / y)] se o erro relativo, e

z = [(m x / x)2 + (n y / y)2 se o erro for dado como o SD.

Exemplo: (2,50 +/- 0,03) ^ 2 + (4,0 +/- 0,2) ^ 3 = 70,25 +/- 0,15 (SD)


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2.3.5 Funes simples, como z = sen(x)

A abordagem mais simples deve ser adotada, encontrando o valor mximo ou mnimoque a funo pode ter e fazendo a diferena do valor mdio:

z = sen(x) = | sen (x + x) - sen(x) | se o erro absoluto,

z = | sen (x + x) - sen(x)] / sen(x) | se o erro relativo

Exemplo: sen(30 +/- 3) = 0,5 +/- = | sen(27)-sen(30) | / sen(30) = 0,5 +/- 9,2%

cos(60 +/- 3) = 0,5 +/- | cos(63)-cos(60) | / cos(60) = 0,5 +/- 9,2%

2.3.6 Funes complexas, como z = f(x, y, w, ...)

O mtodo geral usar a derivada total da funo. Assim, se z uma funo x, y, w,..., as quais so variveis independentes, a derivada total de z

e os erros

se o erro absoluto,

se o erro for dado como o SD.

Exemplo: z = x cos(t), para x = 2,0 +/- 0,2 cm e t = 530 +/- 20 = 0,925 +/- 0,0035 rad.


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O valor mdio de z z = 2 cm cos(530) = 1,204. A incerteza em termos do desviopadro: s = {[cos(t) x]2+[- x sen(t) t]2}1/2 = 0,120 cm. Assim, z = 1,204 +/- 0,120cm.

2.5 Arredondamento Numrico Na realizao de clculos numricos com dados experimentais deparamo-nos frequentemente com questes acerca de quantos algarismos significativos usar e darredondamento do valor de vrias grandezas. Estes procedimentos sero agora revisto

Um algarismo significativo qualquer um dos dgitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. O nmerozero tambm um algarismo significativo exceto quando for usado para precisar nmede casas decimais ou para ocupar o lugar de dgitos desconhecidos ou desprezados.Assim, no nmero 0,000532 os algarismos significativos so 5, 3 e 2, enquanto que nonmero 2076 todos os algarismos so significativos, incluindo o zero. Em um nmerocomo 2300 os zeros podem ser significativos ou no. A fim de evitar dvidas, estenmero reescrito como 2,3x103 se houver apenas dois algarismos significativos,2,30x103 se houver trs e 2,300x103 se houver quatro.

Ao realizar clculos as quantidades podem ter diferentes nmeros de algarismossignificativos. Por exemplo, na multiplicao 4,62 x 0,317856 o primeiro nmero postrs algarismos significativos enquanto que o segundo possui seis . Pode-se mostrar quo produto de ambos ter apenas trs algarismos significativos. Portanto, o nmero deseis algarismos deve ser arredondado antes da multiplicao para se evitar um trabalhodesnecessrio. Uma regra de arredondamento largamente usada a seguinte:

A fim de se arredondar um nmero para n algarismos significativos, despreze todos os algarismos direita da n-simacasa. Se a poro desprezada for menor do que a metade da unidade na n-sima casa, mantenha o n-simo dgito inalterado. Se a poro desprezada for maior do que a metade da unidade na n-sima casa, acrescente 1 ao n-simodgito. Se a poro desprezada for exatamente a metade daunidade na n-sima casa, mantenha o n-simo dgito inalterado caso seja um nmero

par ou acrescente 1 caso seja um nmero mpar.

A seguir so dadas as regras de arredondamento para as vrias operaes matemtica Adio: Nos nmeros mais exatos, mantenha uma casa decimal a mais do que ocorrespondente ao nmero menos exato. ( Osnmeros mais exatos so aqueles com omaior nmero de algarismos significativos). Arredonde ento o resultado da soma paro mesmo nmero de casas decimais que o nmero menos exato. Por exemplo,

+ 2,635 + 2,64 0,9 0,9


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1,52 1,52 0,7345 0,73

5,79 5,8

Subtrao : Arredonde o nmero mais exato para o mesmo nmero de casas decimaisque o nmero menos exato. D o resultado com o mesmo nmero de casas decimais qo nmero menos exato. Por exemplo,

- 7,6345 - 7,634 0,031 0,031

7,603 7,603

Multiplicao e Diviso: Arredonde os nmeros mais exatos para um algarismosignificativo a mais do que o nmero menos exato. Arredonde ento o resultado para omesmo nmero de algarismos significativos que o nmero menos exato. Por exemplo

(1,2 x 6,335 x 0,0072) / 3,14159 -- (1,2 x 6,34 x 0,0072) / 3,14 = 0,0174 -- 0,017 Raiz n-sima: Mantenha o mesmo nmero de significativos que no radicando. Logab : Mantenha o mesmo nmero de significativos que na base

2.6 Exemplos 2.6.1 Escolha de um Mtodo de Medida Um resistor tem um valor nominal de 10 1%. Ele submetido a uma diferena devoltagem e a potncia dissipada pode ser calculada de duas maneiras diferentes : (1) d

= E2

/R; (2) de P=EI, sendo E a diferena de potencial, R a resistncia e I acorrente. Deseja-se saber qual o mtodo mais preciso para a determinao da potncsabendo-se que E = 100 V 1% (em ambos os casos)I = 10 A 1% Soluo: Pelo primeiro mtodo, somente a medida da voltagem necessria, enquantoque o segundo mtodo requer a medida da voltagem e da corrente. O mtodo maispreciso aquele cuja incerteza em P for menor. Assim, seja o clculo da incerteza no primeiro mtodo. A equao para P pode serrescrita P = E2 /R = E2 R-1 e a incerteza

DP/P = [ (2 x 0,01)2 + (-1 x 0,01)2 ] 1/2 = 0,02236 ou 2,236 %


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A potncia no segundo mtodo P = EIe a incerteza,

= [ (1 x 0,01)2 + (1 x 0,01)2 ] 1/2 = 0,01414 ou 1,414 % Observamos ento que o segundo mtodo, mesmo envolvendo a realizao de duasmedidas experimentais, permite chegar-se a uma incerteza bastante menor no resultadpara a potncia. Todavia, se a incerteza no valor do resistor fosse mais baixa, este quadpoderia se inverter.

2.6.2 Seleo de Instrumentos

A medida de potncia do exemplo anterior dever ser realizada agora medindo-se avoltagem e a corrente com um voltmetro. O voltmetro tem uma resistnciainterna Rm e o valor do resistor, R, conhecido apenas de maneira aproximada. Calculo valor da potncia dissipada em R e a incerteza a ele associada nas seguintes condi R = 100 (conhecido apenas aproximadamente) Rm = 1000 5 % I = 5A 1 % E = 500V 1 % Soluo: Um balano de corrente no circuito fornece I1 + I2 = I, ou (E/R) + (E/Rm) =I Assim, I1 = I - I2 = I - (E/Rm) A potncia no resistorP = E I1 = E I - (E2 /Rm) Portanto, o valor nominal da potncia dissipada P = 500 x 5 - 5002 /1000 = 2250W A fim de calcularmos a incerteza em P, sabemos queP=f(E, I, R m) e temos as seguintesderivadas:

e a incerteza na potncia ento


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DP = [400 + 625 + 156,25]1/2 = 34,4 Watts ou DP/P = 34,4/2250 = 0,0153 Watts ou 1,53%Observe que: 1. A incerteza no resultado para a potncia causada, em ordem decrescente de

importncia, pelos seguintes fatores: incerteza na medida da corrente, incerteza namedida da voltagem e incerteza no valor da resistncia interna do voltmetro. 2. Se o multmetro tivesse uma impedncia baixa comparada resistncia R, aincerteza em Rm seria o fator dominante na incerteza em P. Por outro lado, para ummultmetro com uma impedncia muita alta, a contribuio desta para a incerteza emP seria muito pequena mesmo que a incerteza em Rm fosse alta. Conclumos entoque, ao selecionarmos um multmetro para uma dada medida, devemos faz-lo demodo que a razo Rm /R seja a mais alta possvel.

2.6.3: Medida da potncia em um eixo rotativo Em um experimento a medida da potncia mdia transmitida por um eixo rotativo realizada por um dinammetro de balana. A frmula para o clculo da potncia P = 2 R/t) F L [Watts]onde R rotaes do eixo durante o intervalo de tempo t F fora na extremidade da alavanca de torque [N] L comprimento da alavanca de torque [m] t tempo de amostragem [s]

O contador de rotao ligado ou desligado por meio de um interruptor e estes instantso registrados por um cronmetro. Admitindo-se que o contador no deixe de marcanenhuma revoluo, o mximo erro em R 1, dada a natureza digital deste dispositivo.

H, entretanto, um erro associado determinao do tempot, j que um sincronismoperfeito entre o disparo e a parada do cronmetro e o contador de revolues no possvel. Seja ento a incerteza na medida det de 0,50s. A escala usada para a medida do comprimento L pode ser estatisticamente calibrada oucalibrada apenas segundo um procedimento relativamente grosseiro. Suponhamos queencontremo-nos nesta ltima situao e que decidimos ento que a incertezaem L seja 0,13cm.


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Com relao medida da fora F, suponhamos que o dinammetro tenha sido calibracom pesos mortos de modo que a incerteza na medida seja0,178N. Mais uma vez,porm, a situao no to simples quanto parece. Ao ser realmente usado, odinammetro estar sujeito vibrao, o que pode reduzir o efeito do atrito e aumentapreciso. Por outro lado, o ponteiro na escala no permanecer completamente imveo observador dever decidir acerca de uma leitura mdia, o que introduzir um certoerro. Estes efeitos so claramente de difcil quantificao e devemos ento tomar umadeciso baseada parcialmente em experincia e julgamento. Admitindo-se um tantoarbitrariamente que estes efeitos se cancelem mutuamente, tomamos0,178N como aincerteza na medida da fora. Para um dado teste, temos: R = 1202 1,0 revoluo F = 45,0 0,18 N L = 39,7 0,13 cm

t = 60,0 0,50 seg onde todas as incertezas foram expressas com dois algarismos significativos. Seja agora o clculo das derivadas parciais:

expressas com trs algarismos significativos. Utilizando a Eq. (2.4), calculamos wR e o expressamos com dois algarismos

significativos.

DR =[ (50,0x0,18)2 + (1,87x1,0)2 + (5,66x103x0,0013)2 + (-37,5x0,50)2]1/2

DR= [ 81,0 + 3,5 + 54,1 + 351,6 ]1/2 = 22 W

Calculemos agora o valor nominal da potncia:


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que arrendondamos para P = 2249 W. O resultado do experimento ento expressocomo P = 2249 22W ou 2249 1,0 % Deve-se notar que o erro na medida do tempo responsvel pela maior parcela do err

total, seguido pelo erro na medida da fora, do comprimento e das revolues. A parccorrespondente a esta ltima , percebe-se, desprezvel. Finalmente, suponhamos que seja necessrio medir-se a potncia com 0,5 % de

preciso. Desejamos ento determinar a preciso necessria nas medidasprimrias. Temos

DR= 0,005 x 2249 = 11,2 W ouDR= 11 W e

Se, por exemplo, o melhor instrumento disponvel para a medida da fora tiver umapreciso de apenas 0,2 N ao invs de 0,11 N, isto no significa que necessariamente amedida da potncia no poder ser feita com 0,5 % de preciso. Significa sim que umou mais das outras grandezas __ R, L e t __ deve ser medida com mais preciso do qu

o estipulado acima de maneira a compensar a impreciso excessiva na medida de F.

Cálculo de Incerteza Completo

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