Cálculo de Parâmetros de Linhas Aéreas para Redes … · 2 Resumo Este trabalho descreve os...

Cálculo de Parâmetros de Linhas Aéreas para Redes de

Distribuição

Hussein Umarji

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Electrotécnica e de Computadores

Júri

Presidente: Prof. Gil Domingos Marques

Orientador: Prof. Luis António Fialho Marcelino Ferreira

Prof. Pedro Manuel Santos de Carvalho

Vogal: Profª. Maria Eduarda de Sampaio Pinto de Almeida Pedro

1

Agradecimentos

O autor deseja agradecer aos Professores Marcelino Ferreira e Pedro Carvalho,

responsáveis pela orientação científica do trabalho, e especialmente ao Professor Pedro

Carvalho, todo o empenho e confiança depositados tanto a nível académico como a nível

pessoal. A sua disponibilidade e apoio foram factores de motivação importantes para o

sucesso do trabalho realizado.

O autor deseja ainda agradecer á Professora Maria Eduarda Pedro, ao Engenheiro Carlos

Santos e ao Engenheiro Fernando Carvalho todo o apoio, orientação e disponibilidade

prestados ao longo do trabalho.

E por fim o autor deseja ainda agradecer á sua família por todo o apoio dado ao longo do

curso, apoio esse fundamental para o concretizar dos seus objectivos.

2

Resumo

Este trabalho descreve os métodos mais comuns usados no cálculo dos parâmetros de linhas

aéreas de alta tensão: método de Carson e de retorno pela terra a uma profundidade

complexa (CDER) para o cálculo das impedâncias série e o método dos coeficientes de

potencial de Maxwell para as capacidades transversais. Foi criado um programa em

linguagem Matlab, no qual são usados estes três métodos referidos anteriormente e os

resultados obtidos através deste programa foram comparados com os resultados obtidos

através do programa de referência Line Constants do ATP/EMTP, verificando-se que os

resultados eram muito próximos para ambos os programas. De seguida, foi levado a cabo

um estudo acerca de como a variação da frequência e da condutividade dos materiais que

costituem os condutores da linha, afectam a impedância série e a capacidade transversal da

linha aérea. Um exemplo ilustrativo de uma linha aérea é usado por forma a observar estas

variações, e para a impedância série concluiu-se que ambos os métodos, Carson e CDER

apresentam resultados muito próximos, e que a resistência série é o parâmetro que mais é

influenciado, tanto pela frequência como pela condutividade. A indutância série não sofre

alterações significativas. Os resultados mostraram que o método CDER é muito preciso

quando comparado com o método de Carson e sendo mais fácil de implementar poderá

substituir o método de Carson.

3

Abstract

This paper describes the most common methods used for the calculation of overhead line

parameters: Carson’s and Complex Depth of Earth Return (CDER) methods for the series

impedance and Maxwell’s potential coefficients for the parallel capacitance. A program

developed in Matlab language was created using the three methods stated above and

comparisons were made between the results obtained using this program and those obtained

using Line Constants program from ATP/EMTP and indicated very similar results for both

programs. This is followed by a study on how the variation of frequency and material

conductivity of the line conductors affects the series impedance and the parallel capacitance

of the overhead line. An illustrative example of a line is used to observe these variations.

For the series impedance it is concluded that results for both methods, Carson’s and CDER

are very similar and that the series resistance is the parameter that is most influenced by the

frequency and by the conductivity. The series inductance does not vary significantly.

Results showed that the CDER method is accurate when comparing to Carson’s method

and, being easier to use, it can replace Carson’s method.

4

Palavras- chave

Parâmetros de Linhas Aéreas de Transmissão

Impedância Série da Linha Aérea

Capacidade Transversal da Linha Aérea

Modelo de Carson

Modelo CDER

Line Constants do ATP/EMTP

5

Key Words

Overhead Power Line Parameters

Series Impedance

Parallel Capacitance

Carson’s Method

CDER Method

Line Constants of ATP/EMTP

6

Índice

1 Introdução ......................................................................................................................... 10

1.1 Motivação .................................................................................................................... 11

1.2 Objectivo ...................................................................................................................... 12

1.3 Organização do Texto .................................................................................................. 13

1.4 Notação ........................................................................................................................ 14

2 Modelos de Cálculo de Parâmetros de Linhas Aéreas ................................................... 16 2.1 Parâmetros das Linhas Aéreas ...................................................................................... 17

2.1.1 - Impedância Série da Linha ............................................................................... 17

2.1.1.1 - Modelo de Carson ................................................................................. 18

2.1.1.2 – Modelo CDER ...................................................................................... 25

2.1.2 - Capacidade Transversal da Linha .................................................................... 26

2.2 Redução das Matrizes Z e P retirando os Cabos de Guarda ......................................... 28

2.3 Redução das Matrizes Z e P retirando o Bundling ....................................................... 31

2.4 Transposição de Condutores em Linhas de Transmissão ............................................ 35

2.4.1 – Método Geral de Transposições ..................................................................... 35

2.5 Cálculo dos Parâmetros da Linha Aérea em componentes simétricas ........................ 38

3 Implementação Prática dos Modelos .............................................................................. 40 3.1 Definição do caso a estudar ......................................................................................... 41

3.2 Cálculo das Capacidades Transversais dos Condutores da linha ................................. 42

3.3 Aplicação do Modelo de Carson ................................................................................... 43

3.3.1 – Cálculo das impedâncias próprias dos condutores ............................................ 43

3.3.2 – Cálculo das impedâncias mútuas dos condutores ............................................. 44

3.3.3 – Matriz de Impedâncias série da linha ................................................................ 46

7

3.4 Aplicação do Modelo CDER ....................................................................................... 47

3.4.1 – Cálculo das impedâncias próprias dos condutores ........................................... 47

3.4.2 – Cálculo das impedâncias mútuas dos condutores ............................................ 47

3.4.3 – Matriz de Impedâncias série ............................................................................ 47

3.5 Implementação dos Métodos de Redução das matrizes ao caso em estudo ................. 49

3.5.1 – Redução dos cabos de guarda .......................................................................... 49

3.5.2 – Redução do Bundling das fases ....................................................................... 53

3.5.3 – Transposição dos condutores da linha aérea .................................................... 54

3.5.4 – Transformação das matrizes em componentes simétricas ............................... 56

4 Resultados ........................................................................................................................... 59

4.1 – Comparação de resultados entre os dois métodos e o ATP/EMTP ............................ 60

4.2 - Análise da influência da variação dos parâmetros de entrada nos resultados finais ... 66

4.2.1 – Análise dos resultados finais com variação da frequência ............................... 67

4.2.2 – Análise dos resultados finais com a variação da condutividade dos

condutores da linha .......................................................................................... 70

4.3 – Análise de Resultados .................................................................................................. 71

5 Conclusões .......................................................................................................................... 73

8

Lista de Figuras

2.1.1 Modelo do Condutor Tubular ..................................................................................... 19

2.1.2 Figura ilustrativa da localização dos condutores i e j e das suas imagens i’ e j’ ........ 22

2.3 Figura que indica como será feita a transformação e redução do sistema ....................... 31

2.4.1 Esquema de transposição completa de uma linha de transmissão ............................. 36

4.2.1.1 Variação da Resistência Directa com a frequência .................................................... 68

4.2.1.2 Variação da Indutância Directa com a frequência ..................................................... 68

4.2.1.3 Variação da Capacidade Directa com a frequência ................................................... 69

9

Lista de Quadros

3.1.1 Características da Linha Aérea de Rio Maior............................................................... 41

3.1.2 Características calculadas da Linha Aérea de Rio Maior............................................. 42

4.1.1 Características dos condutores que constituem a linha 1 ............................................. 61

4.1.2 Informação complementar sobre as características dos condutores que constituem

a linha1 ......................................................................................................................... 62

4.1.3 Resultados obtidos para a Impedância Série da linha 1 ............................................... 62

4.1.4 Resultados obtidos para a Capacidade Transversal da linha 1 ..................................... 63



a linha 2 ........................................................................................................................ 64

4.1.7 Resultados obtidos para a Impedância Série da linha 2 ............................................... 64

4.1.8 Resultados obtidos para a Capacidade Transversal da linha 2 ..................................... 64



a linha 3 ...................................................................................................................... 65

4.1.11 Resultados obtidos para a Impedância Série da linha 2 ............................................. 66

4.1.12 Resultados obtidos para a Capacidade Transversal da linha 3 ................................... 66

4.2.2.1 Resultados finais para os parâmetros em função da condutividade dos condutores . 71

10

Capítulo 1

Introdução

Este capítulo enquadra o problema do cálculo de Parâmetros de linhas Aéreas para redes de

distribuição eléctrica. São mencionados alguns aspectos que demonstram a importância do

problema em causa. É também apresentado o objectivo desta Dissertação e referido o seu

aspecto inovador.

É explicada a organização do texto e os diversos símbolos utilizados por forma a melhor se

compreender o mesmo.

11

1.1 Motivação

A energia eléctrica é sem dúvida alguma um bem essencial e indispensável para todos hoje

em dia.

Quase todas as actividades levadas a cabo, seja no mundo industrial, seja nos próprios lares

dependem deste bem essencial. Com o desenvolvimento de novas tecnologias, mudança nos

hábitos de vida das populações, informatização generalizada, etc, a energia eléctrica tornou-se

quase num bem de primeira necessidade, e como tal há que desenvolver e manter todas as

estruturas que permitam a criação da Energia Eléctrica, sua propagação e consumo.

A transmissão de Energia Eléctrica pode realizar-se quer seja através de corrente alternada ou

através de corrente contínua e pode ainda ser feita usando cabos subterrâneos ou linhas

aéreas.

Dependendo do nível de tensão à qual se realiza a transmissão de energia eléctrica podemos

ter três tipos de linhas aéreas: Linhas de Alta Tensão ou Transporte, Linhas de Média Tensão,

e Linhas de Baixa tensão ou Distribuição.

As linhas aéreas de transmissão e distribuição de energia têm um papel fundamental nos

Sistemas de Energia Eléctrica (SEE), pois elas constituem as artérias através das quais flui a

Energia Eléctrica desde os centros de geração até aos centros de consumo. Como tal é

necessário desenvolver e projectar linhas aéreas que melhor se adaptem aos novos problemas

dos sistemas de distribuição: avaliação em regime normal, perturbado e harmónicas. É neste

contexto que surge a necessidade de uma correcta caracterização das linhas aéreas sob o

ponto de vista das grandezas eléctricas tais como resistências, reactâncias e capacidades.

Alguns modelos matemáticos foram desenvolvidos por forma a permitir o cálculo destas

grandezas eléctricas. Carson publicou o seu modelo em 1926 e desde então este é considerado

o modelo mais fiável e preciso no cálculo de impedâncias série de linhas aéreas. Contudo uns

anos mais tarde foi publicado um outro modelo por C. Gary, modelo que havia sido

desenvolvido por C. Dubanton, que é tão fiável e preciso nos cálculos de impedâncias série

quanto o de Carson, sendo este segundo modelo mais simples de implementar.

A outra grandeza eléctrica por determinar é a capacidade transversal da linha aérea, e este

parâmetro é calculado através dos coeficientes de potencial de Maxwell.

Assim, desenvolveu-se neste trabalho um programa em Linguagem Matlab, que permite

efectuar os cálculos de parâmetros de linhas aéreas trifásicas através dos dois modelos já

referenciados para as impedâncias série e dos coeficientes de potencial de Maxwell para as

12

capacidades transversais da linha aérea, para qualquer geometria e tipo de material dos

condutores da linha.

Este programa permite assim o cálculo das seguintes grandezas eléctricas das linhas aéreas:

resistência série, indutância série e capacidade transversal.

Outro programa já consagrado que permite o cálculo de todos estes parâmetros das linhas

aéreas é o ATP/EMTP, através da rotina Line Constants. Este programa não é de uso fácil,

pois funciona com um sistema de cartões em que o mínimo erro na edição do ficheiro de

entrada leva a que não seja criado o ficheiro de saída com os resultados que se desejavam. É

usado o método de Carson aqui neste programa para o cálculo das impedâncias série e os

coeficientes de potencial de Maxwell para o cálculo das capacidades transversais.

Para além do facto do programa desenvolvido em Matlab ser de fácil utilização por qualquer

utilizador, até o menos experiente, este permite também calcular os parâmetros através de

dois métodos diferentes e assim poderem-se comparar resultados entre estes dois métodos.

Neste trabalho é feita inicialmente uma abordagem aos métodos usados, método de Carson e

método CDER desenvolvido por Dubanton e publicado por C. Gary, para o cálculo das

impedâncias série da linha e também ao método que permite o cálculo das capacidades

transversais da linha.

Depois, faz-se o cálculo dos parâmetros para diferentes linhas aéreas trifásicas, com diferentes

geometrias e para frequências diferentes e comparam-se os resultados obtidos com aqueles

que se obtêm com o programa de referência Line Constants.

É importante também verificar a influência que a variação de certas variáveis de entrada têm

nos parâmetros finais a serem calculados. As variáveis que aqui se fazem variar são a

frequência e a condutividade dos condutores das linhas aéreas e isso é feito na parte final do

trabalho.

1.2 Objectivo

O objectivo do trabalho é obter os parâmetros de linhas aéreas trifásicas, para qualquer

geometria, tipo de material e outros aspectos construtivos, e comparar os resultados obtidos

com aqueles que se obtêm recorrendo a programas consagrados para a determinação de

parâmetros de linhas aéreas de transmissão, como por exemplo o Line Constants do

ATP/EMTP.

13

No entanto, pretendeu-se aqui fazer um estudo ainda mais aprofundado destes parâmetros e

assim fez-se o cálculo dos mesmos variando a frequência e outros parâmetros de entrada,

observando-se a influência destas variações nos parâmetros a calcular.

Fez-se também uma comparação entre os dois métodos que se usaram para o cálculo destes

parâmetros, Método de Carson e Método CDER.

Os resultados obtidos no cálculo dos parâmetros através deste programa desenvolvido em

Matlab foram sempre comparados com os resultados obtidos através do programa Line

Constants que é um programa de referência no cálculo destes parâmetros.

Este estudo realizado contempla, como foi dito anteriormente, uma análise do comportamento

da Linha Aérea para várias frequências, permitindo assim uma análise harmónica da Linha.

1.3 Organização do Texto

Este texto foi dividido em cinco capítulos para uma melhor compreensão do mesmo, nos

quais aparecem explicados os diversos aspectos do trabalho realizado.

No Capítulo 2 apresenta-se toda a teoria por detrás dos modelos de cálculo dos parâmetros

das linhas aéreas. Inicialmente o primeiro parâmetro a ser referido é a impedância série da

linha. Faz-se uma introdução às duas grandezas que constituem a impedância série da linha, a

resistência série e a indutância série, e de seguida apresentam-se os modelos matemáticos de

Carson e CDER que permitem calcular esses mesmos parâmetros.

Depois é apresentado o terceiro parâmetro a ser calculado, a capacidade transversal da linha, e

refere-se de seguida o modelo matemático que permite o cálculo deste parâmetro.

De seguida é explicado o método de redução das linhas aéreas caso estas apresentem cabos de

guarda e/ou feixes (bundling). E finalmente, mostra-se de que forma se faz a transposição dos

condutores que constituem as linhas aéreas e de que forma se podem obter em componentes

simétricas, os parâmetros que se desejam calcular.

No capítulo 3 faz-se a implementação prática dos modelos estudados no capítulo anterior.

Através de um exemplo de uma linha aérea existente em Rio Maior, aplica-se toda a teoria

dos modelos de Carson, CDER e dos coeficientes de potencial de Maxwell a essa mesma

linha, com o intuito de obter as grandezas eléctricas da linha, resistência, indutância e

capacidade. Esta linha é uma linha aérea trifásica, com dois condutores por fase (feixe), e com

14

dois cabos de guarda, e assim aplica-se todo o método de redução de matrizes explicado no

capítulo anterior. Após ter-se reduzido a linha a apenas três condutores (fases), faz-se a

transposição dos condutores que constituem a linha e finalmente calculam-se para essa linha

os parâmetros em componentes simétricas.

O Capítulo 4 é o capítulo em que se apresentam os resultados para vários casos de linhas

aéreas trifásicas. Definem-se diferentes tipos de linhas aéreas, com diferentes geometrias e

outros aspectos construtivos e calculam-se os parâmetros, R, L e C para essas linhas

comparando os resultados obtidos através do método de Carson com os que se obtêm através

do método CDER e ainda com aqueles que se podem obter através do programa Line

Constants do ATP/EMTP. É feita ainda neste capítulo uma análise da influência que a

variação da frequência e da condutividade dos condutores têm nos parâmetros a calcular.

No Capítulo 5 são apresentadas as conclusões do trabalho referindo que todos os objectivos

propostos inicialmente foram alcançados e sublinhando a vantagem que esta nova ferramenta

em Matlab apresenta relativamente ao programa de referência Line Constants.

1.4 Notação

Ao longo deste texto são utilizados vários símbolos com a intenção de facilitar a sua leitura e

compreensão. Esses símbolos são representados sob a forma de uma notação para que o leitor

possa mais facilmente saber o que representa cada um dos símbolos quando ao longo do texto

for confrontado com eles.

As referências bibliográficas são apresentadas em parênteses rectos [ ]. As expressões e

equações são numeradas por capítulos e a sua numeração aparece entre parênteses curvos ( ).

As figuras e as tabelas também são numeradas por capítulos.

Os símbolos representativos de matrizes e a numeração das figuras e dos quadros são escritos

a negrito.

Escalares, Vectores e Matrizes:

R: resistência série da linha

15

L: indutância série da linha

C: capacidade transversal da linha

Z: impedância série da linha

X: reactância série da linha

P: coeficiente de potencial de Maxwell

16

Capítulo 2

Modelos de Cálculo de Parâmetros de Linhas Aéreas

Neste capítulo é feita a apresentação das grandezas eléctricas (parâmetros) das linhas

aéreas que se pretendem calcular e dos três modelos para o cálculo dos mesmos parâmetros.

É também apresentado o método que permite obter estes parâmetros em componentes

simétricas.

Na maior parte dos livros e textos sobre sistemas de energia eléctrica os parâmetros da linha

de transmissão são calculados tendo como base o assumir de que se está a trabalhar no

modo de Corrente Contínua ou para frequências baixas. Neste trabalho pretendeu-se

efectuar os cálculos tanto para baixas frequências como para frequências mais elevadas,

sendo que para frequências elevadas há que ter em conta certos efeitos, como o efeito

pelicular, que neste estudo foi tido em conta.

Tomaremos como exemplo ao longo deste texto o caso de uma linha trifásica com bundling

(feixe) de dois condutores por fase e com dois cabos de guarda.

17

2.1 Parâmetros Das Linhas Aéreas

2.1.1 Impedância Série da Linha

A impedância série da linha é constituída por uma resistência e uma reactância, [1]

Z = R + jX (2.1.1)

Resistência da Linha [6]: A resistência nos condutores de uma linha é a causa das perdas

por transmissão. Estas perdas devem ser mínimas e para isso há que dimensionar bem a linha,

tendo em consideração o número de condutores por fase, o tipo de material, a influência do

meio ambiente, entre outros aspectos.

O efeito Pelicular também influencía a resistência da linha.

Efeito pelicular:

O efeito pelicular é o fenómeno responsável pelo aumento da resistência aparente de um

condutor eléctrico em função do aumento da frequência da corrente eléctrica que o percorre.

Em corrente contínua a corrente eléctrica distribui-se de forma uniforme ao longo de toda a

secção recta do condutor eléctrico, já em corrente alternada tal não se verifica. Na realidade à

medida que aumenta a frequência da corrente que percorre o condutor, o campo magnético

junto ao centro do condutor também aumenta conduzindo ao aumento da reactância local.

Este aumento da rectância leva a que a corrente tenda a deslocar-se para a periferia do

condutor, o que implica uma diminuição da área efectiva do condutor e logo um aumento da

sua resistência aparente.

A resistência de um condutor percorrido por uma corrente alternada aumenta à medida que

aumenta o valor da frequência da corrente que percorre esse condutor.

Reactância da Linha [6]: A Reactância da Linha é a fracção dominante na impedância série

da Linha e está directamente relacionada com a capacidade da linha para transmitir energia, já

que a resistência apenas representa as perdas na linha.

A impedância Série da Linha de transmissão pode ser separada em duas componentes:

Impedância Própria e Impedância Mútua da Linha [1].

18

A linha é normalmente constituída por mais de um condutor, sendo que assim, calcula-se a

impedância própria de cada condutor e a impedância mútua entre os vários condutores que

constituem a linha.

A impedância própria iiZ de cada condutor da linha é a relação entre a tensão por unidade de

comprimento e a corrente que circula nesse condutor.

A impedância mútua ijZ entre os condutores i e j é a relação entre a tensão induzida no

condutor i por unidade de comprimento e a corrente que circula no condutor j. Devido á

simetria do circuito o ijZ é igual ao jiZ .

Ambas, a Impedância Própria e a Impedância Mútua, são influenciadas pela corrente de

retorno pela terra.

A Impedância série da linha é então caracterizada por uma matriz Z , n n× em que n é o

número de condutores do sistema, e em que os termos da diagonal principal são os iiZ e os

restantes termos são os ijZ .

A terra é simulada através de um condutor fictício de longitude infinita, e com resistividade

( ρ ) uniforme.

Influenciada pelos efeitos de proximidade e pelicular, a distribuição da corrente de retorno

pela terra é difícil de determinar. Contudo, várias personalidades na área da Engenharia

Eléctrica estudaram este problema e conseguiram chegar a alguns métodos que produziram

soluções muito precisas e fiáveis para este problema.

Exemplos desses métodos são os que se irão apresentar de seguida, modelo de Carson e

modelo CDER.

2.1.1.1 Modelo de Carson

O modelo de Carson [4] apesar de ter sido publicado em 1926 é ainda hoje o método standard

para o cálculo da impedância série dependente da frequência de linhas aéreas considerando o

retorno pela terra. Carson supõe que a terra é uma superfície uniforme, plana, sólida e infinita

com uma resistividade constante.

O método de Carson expressa a impedância série através de um integral impróprio, que tem

de ser expandido numa série infinita para ser calculado computacionalmente. Assim, se não

for correctamente aplicado poderá causar erros consideráveis a frequências elevadas [1].

Impedância Própria do condutor i:

19

A impedância própria inclui três componentes: a Reactância própria do condutor, iiX

assumindo que a linha e a terra são ambas condutores perfeitos, a Impedância interna da linha

cZ (Correcção devida ao efeito pelicular nos condutores) e a Impedância da terra

gZ (Correcção devida ao efeito pelicular na terra) [1].

A Impedância própria do condutor i é então dada por:

Z X Z Zc gii ii= + + . (2.1.2)

A reactância própria do condutor é dada por:

X j Lii iiω= . (2.1.3)

sendo que a indutância própria iiL é calculada através da seguinte expressão:

20 ln2

hiLii ri

µ

π= . (2.1.4)

na qual 0µ é a constante de permeabilidade magnética no vácuo e é igual a

74 100µ π −= × [H/m] . (2.1.5)

Por definição, ir é o raio externo do condutor e ih é a altura média do condutor relativamente

à terra.

Os condutores usados normalmente, são na sua generalidade condutores tubulares, Fig. 2.1.1,

apresentando dois tipos de materiais na sua constituição. Assim sendo, definem-se dois raios

para estes condutores, um raio interno q que delimita um determinado material, normalmente

o aço que tem como função suportar o peso do cabo e um raio externo r que delimita o outro

material, este sim com as propriedades de condução desejadas, normalmente alumínio ou

cobre.

Fig. 2.1.1 – Modelo do Condutor Tubular

20

A correcção devido ao efeito pelicular no condutor cZ , é calculada usando essa noção de que

os condutores são tubulares e é dada por:

( ) ( )( ) ( )

ber mr + jbei mr + φ ker mr + jkei mrj 2Z = R mr(1 - S )×c dc ' ' ' '2 ber mr + jbei mr + φ ker mr + jkei mr

(2.1.6)

em que dcR é a resistência DC do condutor e é calculada pela seguinte expressão:

( )2 21R r qdc πσ= −

(2.1.7)

σ é a condutividade do material condutor que constitui a linha, condutividade do alumínio ou

do cobre em geral. A condutividade varia com a temperatura, o que por sua vez afecta o cZ e

consequentemente o iiZ , mas isto será mais aprofundado no capítulo 4.

A variável S é a relação entre raio interno e raio externo do condutor e é dada por:

qS

r= (2.1.8)

e m é uma variável que relaciona a frequência angularω com a condutividade σ e com a

permeabilidade do condutor µ :

m ωµσ= . (2.1.9)

A variável ϕ na equação (6) é dada por :

ber'mq + jbei'mqφ = -

ker'mq + jkei'mq (2.1.10)

e ber, bei, ker, kei são funções de Kelvin que pertencem á família das funções de Bessel e

ber’, bei’, ker’ e kei’ são as suas derivadas respectivamente.

As funções de Kelvin são definidas da seguinte forma [3]:

( )ber x + jbei x = I x j0

( )ker x + jkei x = K x j0 (2.1.11)

onde 0I e 0K são as funções de Bessel modificadas de ordem zero de primeiro e segundo

tipo, respectivamente.

21

O Matlab apresenta uma subrotina que permite calcular automaticamente estas funções de

Kelvin.

As derivadas destas funções são dadas por:

( )ber' x + jbei' x = jI x j1

( )ker' x + jkei' x = - jK x j1 (2.1.12)

1I e 1K são as funções de Bessel modificadas de primeira ordem de primeiro e segundo tipo

respectivamente.

Quando q for zero, a linha já não é tubular, mas sim sólida e nesse caso ϕ é zero.

A Correcção devido ao efeito pelicular na terra é expressa por:

Z R jXg g g= + (2.1.13)

Mais á frente será explicado como é calculado o gZ .

Impedância Mútua entre os condutores i e j:

A impedância mútua entre os dois condutores i e j , ambos paralelos á terra com as suas

respectivas alturas médias relativamente á terra ih e jh , apresenta duas componentes: a

Reactância Mútua entre os condutores i e j, ijX , e a Impedância do caminho de retorno pela

terra gmZ que é comum ás correntes nos condutores i e j.

A Impedância Mútua ijZ é então dada por:

Z X Zgmij ij= + (2.1.14)

A reactância Mútua entre os condutores i e j é dada por:

X j Lij ijω= (2.1.15)

sendo que a Indutância Mútua ijL é dada por:

'0 ln

2

D ijLij Dij

µ

π= (2.1.16)

22

em que ijD é a distância entre os condutores i e j e 'ijD é a distância entre o condutor i e a

imagem do condutor j, Fig.2.1.2 [1].

Fig.2.1.2 – Figura ilustrativa da localização dos condutores i e j e das suas imagens i’ e j’. [1]

A impedância do caminho de retorno pela terra é dada por:

Z R jXgm gm gm= + . (2.1.17)

Os termos de correcção de Carson para as impedâncias próprias e mútuas, devido ás

impedâncias de retorno pela terra gZ e gmZ são dados por [3]:

( )π-7 2 3 4R = 4w×10 - b k + b2 C - lnk k + b k - d k - ...g 41 2 38

, (2.1.18)

( ) ( )1-7 2 3 4X = 4w×10 0.6159315 - lnk + b k - d k + b k - b C - lnk k + ...g 4 41 2 32

, (2.1.19)

( )π 2 2 3- b k cosθ + b2 C - ln k k cos2θ + θk sin2θ + b k cos3θm m m m m-7 1 2 38R = 4w×10gm4-d k cos4θ - ...m4

, (2.1.20)

23

( )

( )

1 2 30.6159315 - lnk + b k cosθ - d k cos2θ + b k cos3θm m m m1 2 3-7 2X = 4w × 10gm4 4-b C - lnk k cos4θ + θk sin4θ + ...m m m4 4

, (2.1.21)

onde

2b =1 6

, (2.1.22)

1b =2 16

, (2.1.23)

( )sign

b = bi i-2 i i + 2 , (2.1.24)

1 1C = C + +i i-2 i i + 2

, (2.1.25)

C = 1.36593152 , (2.1.26)

πd = bi i4

. (2.1.27)

Na equação (2.1.24) o termo sign do coeficiente ib muda a cada quatro termos, ou seja, sign =

+1 para i = 1,2,3,4 e depois sign = -1 para i = 5,6,7,8 e assim por diante.

As variáveis k e mk das equações (2.1.18) a (2.1.21) são variáveis relacionadas com a

frequência e são dadas por [3]:

( )-4 fk = 4π 5 ×10 2hi ρ, (2.1.28)

-4 fk = 4π 5 ×10 D'm ij ρ (2.1.29)

onde f é a frequência e ρ é a resistividade da terra. O ângulo θ é o indicado na Fig.2, é o

ângulo entre i-i’ e i-j’ e é dado por:

( )-1θ = sin x D'ij ij (2.1.30)

vindo expresso em radianos.

24

Vai-se agora fazer uma explicação de como o código do programa relativo ao Cálculo da

Impedância Série através do Método de Carson está estruturado:

Passo 1: Definição das Constantes a serem usadas no programa.

Passo 2: Especificação das Variáveis de Entrada.

- Frequência; Número de condutores do Sistema; Raios Internos e Externos dos Condutores; Relação

T/D; Cálculo da Resistência DC dos Condutores; Cálculo da Variável S que relaciona os Raios Interno

e Externo dos Condutores; Geometria do Sistema; Cálculo da Frequência ângular; Cálculo da Variável

m.

Passo 3: Cálculo dos Valores que permitem calcular o gZ e o gmZ que representam as

impedâncias de retorno pela terra.

- Cálculo do b, C e d, variáveis usadas no cálculo de gR , gX , gmR e gmX .

Passo 4: Ciclo for no qual se calculam a impedância própria e mútua dos condutores que

constituem a linha, iiZ e ijZ respectivamente.

- Para a impedância própria - Calcula-se o k, as Funções de Bessel a serem usadas, o φ , o iiL ,

o iiX , o cZ , o gZ e o iiZ finalmente.

- Para a impedância Mútua – Calcula-se o mk , o ijx que é a distância horizontal entre os

condutores i e j, o ijD , o 'ijD , o ijL , o ijX , o θ , o gmZ e finalmente o ijZ .

Passo 5: Redução da Matriz de Impedâncias Série Total numa Matriz que tenha apenas as

fases representadas e seus respectivos feixes, mas incluindo a contribuição dos

Cabos de Guarda. (Será explicado este processo de redução mais detalhadamente no Capítulo 2

Secção 2.2)

Passo 6: Redução da Matriz Série que se obteve anteriormente numa Matriz 3 3× mas com a

inclusão da contribuição do Bundling nessa matriz. (Será explicado este processo de

redução mais detalhadamente no Capítulo 2 Secção 2.3)

25

Passo 7: Transposição dos Condutores da Linha Aérea.

Passo 8: Cálculo da Matriz de Impedâncias Série Final em Componentes Simétricas.

FIM

A série infinita de Carson para o cálculo de gZ e gmZ converge muito rapidamente para as

baixas frequências, não acontecendo o mesmo para as altas frequências [1].

2.1.1.2 Modelo de retorno pela Terra a uma Profundidade Complexa(CDER)

Em 1976, 50 anos após a publicação do método de Carson, C.Gary [5] um investigador

francês propôs uma alternativa ao método de Carson na qual a terra poderia ser substituída

por um conjunto de imagens localizadas directamente abaixo das linhas aéreas a uma

profundidade complexa. Isto é, a distância entre as imagens e os condutores da linha aérea

seriam números complexos. Este modelo apresentou resultados bastante bons para toda a

gama de frequências e é mais simples de implementar [1].

O modelo CDER assume que a corrente que passa no condutor i retorna pela terra através de

um condutor localizado directamente abaixo do condutor i a uma profundidade ( )2ih p+

abaixo da terra, como é mostrado na Fig.2.1.2. Nesta figura, i’’ refere-se ao condutor

imaginário de retorno pela terra correspondente ao condutor i e p á profundidade da terra

imaginária. Por outras palavras, pode-se dizer que a terra original foi substituída por uma terra

imaginária abaixo da original a uma profundidade p e que cada condutor tem um caminho de

retorno pela terra através de um condutor imaginário colocado a uma distância de ( )2 ih p+ .

Há ainda que ter em conta que esta distância ( )2 ih p+ é um número complexo, visto a

profundidade p ser dada por:

ρp =

jωµ0

. (2.1.31)

Assim, tem-se que as Impedâncias Própria e Mútua são calculadas da seguinte forma,

segundo este método [3],

26

Impedância Própria:

( )2 h + pµ i0Z = jω ln + Zcii 2π ri (2.1.32)

Impedância Mútua:

( )( )

2 2h + h + 2p + x D ''µ µi j ij ij0 0Z = jω ln = jω lnij 22π 2π D2 ijh - h + xi j ij

(2.1.33)

sendo que ih , jh , ijx , p, ijD e ''ijD aparecem indicados na Fig.2.1.2.

Quanto ao código do programa relativo ao Cálculo da Impedância Série através do Método de

retorno pela terra a uma profundidade complexa CDER, todos os passos apresentados para o

método de Carson são iguais, á excepção do Passo 4, em que se utilizam as expressões

(2.1.32) e (2.1.33) para o cálculo das Impedâncias Própria e Mútua dos condutores da linha,

dentro do ciclo for, ao contrário do que acontecia segundo o Método de Carson, em que as

expressões eram diferentes.

2.1.2 Capacidade Transversal da Linha

A Capacidade transversal é o terceiro e último parâmetro a ser calculado aqui neste trabalho

[2]. A Capacidade que se tem aqui em consideração é a Capacidade entre os condutores que

constituem a linha e a terra.

A linha ideal é constituída por condutores e dieléctrico perfeitos. Considera-se a linha de

transmissão ideal com n condutores aéreos. Como o campo electromagnético não penetra

condutores perfeitos, as suas fronteiras coincidem com as superfícies dos condutores aéreos e

da terra. Assim, a geometria dos condutores, em conjunto com o parâmetro do dieléctrico ε,

determinam completamente os coeficientes de capacidade da linha.

A determinação destes coeficientes faz-se a partir do cálculo dos coeficientes de potencial de

Maxwell P.

1−=C P . (2.1.34)

27

A matriz C representa a matriz de capacidades transversais por unidade de comprimento da

linha e tem dimensão ( nn× ), em que n é o número de condutores que constituem a linha.

Sendo as distâncias entre condutores grandes quando comparadas com o raio dos condutores

aéreos, os termos da matriz P são calculados de acordo com as seguintes expressões:

2h1 iP = lnii 2πε ri0

(2.1.35)

D '1 ijP = lnij 2πε Dij0

(2.1.36)

em que iiP corresponde aos termos da diagonal principal e ijP aos termos fora da diagonal

principal, e ijD e 'ijD são as distâncias que se podem observar na Fig.2.1.2.

Assim, depois de calculada a matriz P, facilmente se obtém a matriz C, cujos elementos

podem ser separados em duas componentes a que poderemos chamar a Capacidade Própria e

a Capacidade Mútua.

A Capacidade dita Própria iiC , corresponde aos elementos da diagonal principal de C e é

dada pela soma das capacidades transversais por unidade de comprimento, desde o condutor i

a todos os outros condutores assim como á terra.

A Capacidade dita Mútua ijC , corresponde aos elementos fora da diagonal principal de C e é

o valor negativo da capacidade transversal por unidade de comprimento, entre o condutor i e

o condutor k.

Novamente, devido á simetria do circuito ijC é igual a jiC .

Visto a linha na realidade não ser ideal, como se supôs antes, e os condutores aéreos não

estarem suspensos em postes, não se encontrando, portanto, colocados paralelamente ao plano

de terra, é introduzido o conceito de altura média para o cálculo dos coeficientes de potencial.

Faz-se de seguida uma abordagem á forma como o código do programa relativo ao Cálculo

da Capacidade em Paralelo está estruturado:

Passo 1: Definição das Constantes a serem usadas no programa.

28

Passo 2: Especificação das Variáveis de Entrada.

- Frequência; Número de condutores do Sistema; Raios Internos e Externos dos Condutores; Relação T/D;

Geometria do Sistema; Cálculo da Frequência ângular.

Passo 3: Ciclo for no qual se calcula a Matriz dos Coeficientes de Potencial de Maxwell Total

para os condutores que constituem a linha, calculam-se os iiP e os ijP .

- Para os ijP – Calcula-se o ijD e o 'ijD .

Passo 4: Inversão da Matriz dos Coeficientes de Potencial de Maxwell Total P e consequente

cálculo da Matriz de Capacidades em Paralelo Total C.

Passo 5: Redução da Matriz dos Coeficientes de Potencial de Maxwell Total numa Matriz que

tenha apenas as fases representadas e seus respectivos feixes, mas incluindo a

contribuição dos Cabos de Guarda. (Será explicado este processo de redução mais

detalhadamente no Capítulo 2 Secção 2.2)

Passo 6: Redução da Matriz que se obteve anteriormente numa Matriz 3 3× mas com a

inclusão da contribuição do Bundling nessa matriz. (Será explicado este processo de

redução mais detalhadamente no Capítulo 2 Secção 2.3)

Passo 7: Transposição dos Condutores da Linha Aérea.

Passo 8: Cálculo da Matriz de Capacidades transversais Final em Componentes Simétricas.

FIM

2.2 Redução das Matrizes Z e P retirando os Cabos de

Guarda.

Considerando o exemplo de uma linha aérea trifásica com dois feixes por fase e com dois

cabos de guarda, vai-se proceder à redução da Matriz de Impedâncias Série Total Z, numa

Matriz que contemple apenas as fases, mas que inclua nessas fases a contribuição dos cabos

de guarda que fazem parte da linha.

29

Os cabos de guarda são cabos colocados acima dos condutores das fases com o objectivo de

proteger a linha contra descargas atmosféricas.

Por uma questão de simplificação não se apresentam aqui os feixes, que constituem as fases,

aparecendo apenas as três fases, em vez das seis que seriam expectáveis, devido ao Bundling.

O mesmo processo foi usado para a redução da Matriz P, que depois no fim por inversão da

mesma deu origem à matriz C só com as fases, mas que inclui a contribuição dos cabos de

guarda nessas mesmas fases.

Considerando o seguinte conjunto de equações [6]:

dVa

dx

IdV az '' z '' z '' z zb aa ac av awabd Ix z '' z '' z '' z z bba bb bc bv bwdVc z '' z '' z '' z z= Ica cc cv cw ccbdx

z z z z z Iva vc vv vw vvbdVvz z z z zd Iwa wc wv wwwbx w

dVwdx

(2.2.1)

Assim pode-se dizer que:

z '' z '' z '' z zaa ac av awV Iaba az '' z '' z '' z zV Iba bb bc bv bwb b

= z '' z '' z '' z zV Ica cc cv cwcbc c

V Iz z z z zv vva vc vv vwvbV Iz z z z zw wwa wc wv wwwb

(2.2.2)

em que a, b e c são as três fases da linha e v e w são os cabos de guarda, e as grandezas são

agora fasores.

30

Pode-se então compactar cada bloco submatricial da seguinte forma:

V z z IA B abcabc=

V z z IC D vwvw

(2.2.3)

Os cabos de guarda estão directamente ligados á terra em ambas as pontas. Assim a tensão

nos cabos de guarda é zero.

Da equação (2.2.3), resulta então que:

V = z I + z IA abc B vwabc (2.2.4)

0 = z I + z IC abc D vw (2.2.5)

Resolvendo a equação (2.2.4) para I vw obtém-se:

-1I = -z z Ivw D C abc

(2.2.6)

e substituindo (2.2.6) na expresão (2.2.4) resulta:

-1V = z I - z z z IA abc B D C abcabc (2.2.7)

e factorizando a I abc tem-se que:

( )-1V = z - z z z IA B D C abcabc .

(2.2.8)

Esta equação pode ser escrita de forma simplificada:

ZV = Iabc abcabc (2.2.9)

em que

z z zaa ab ac-1

z = z - z z z = z z zabc A B D C ba bb bc

z z zca cb cc

. (2.2.10)

31

Assim pôde reduzir-se o conjunto de equações (2.2.2) passando de cinco equações para três.

O efeito dos cabos de guarda é representado aqui pelo termo negativo da expressão (2.2.8)

[6].

Este procedimento pode ser aplicado a qualquer linha com qualquer número de Cabos de

Guarda, desde que a tensão seja zero para os Cabos de Guarda, como se espera naturalmente.

2.3 Redução das Matrizes Z e P retirando o Bundling

Os feixes de condutores, condutores agrupados por fase (Bundling), permitem o transporte de

grandes quantidades de energia, reduzindo o efeito coroa e as perdas por transmissão. Para o

transporte de grandes quantidades de energia seria impossível a utilização de um só condutor

por fase, pois aí esse condutor teria de ter uma secção enorme e o seu peso seria

incomportável.

Aqui vai-se exemplificar o processo de redução de uma linha trifásica [6] com dois

condutores por fase, sem Cabos de Guarda, numa linha trifásica com um condutor por fase.

Transformação

Fig.2.3 – Figura que indica como será feita a transformação e redução do sistema.

Após obtida a Matriz de Impedâncias Série Total Z, sem cabos de guarda, o que se terá é o

seguinte conjunto de equações:

a’ r

b’ c’

a

s t b c

32

dVadxdVb

z'' z'' z'' z z zar as ataa acd abxz'' z'' z'' z z zdV br bs btc ba bb bc

d z'' z'' z'' z z zcr cs ctx ca cccb=dVr z z z z z zra rb rc rr rs rtdx z z z z z zsa sb sc sr ss stdVs z z z z z zta tb tc tr ts ttdx

dVtdx

Ia

Ib

Ic

Ir

Is

It

(2.3.1)

Assim tem-se que:

z'' z'' z'' z z z I'ar as atV aa ac aa abI'V z'' z'' z'' z z zbr bs bt bb ba bb bcI'V z'' z'' z'' z z zcr cs ct cc ca cccb=IV rz z z z z zr ra rb rc rr rs rtIV sz z z z z zs sa sb sc sr ss st

IV z z z z z zt ta tb tc tr ts tt t

(2.3.2)

em que as grandezas são fasores.

Se se considerar a seguinte relação de correntes [6]:

I = I + Ia a' r (2.3.3)

em que a corrente aI é a corrente na fase a e é dada pela soma das correntes que passam no

condutor a’ e no condutor r, condutores que formam a fase a. Da mesma forma tem-se que:

I = I + Ib b' s (2.3.4)

I = I + Ic c' t (2.3.5)

E considerando as seguintes relações de tensões:

33

V -V = 0r a (2.3.6)

V -V = 0s b (2.3.7)

V -V = 0t c (2.3.8)

Assim, o conjunto de equações (2.3.2) será modificado e poderá ser apresentado da seguinte

forma compacta:

z z IA B abcV abc =0 z z IC D rst

(2.3.9)

onde:

z'' z'' z''aa acab

z = z'' z'' z''A ba bb bc

z'' z'' z''ca cccb

(2.3.10)

z - z'' z - z'' z - z''ar as ataa acab

z = z - z'' z - z'' z - z''B br bs btba bb bc

z - z'' z - z'' z - z''cr cs ctca cccb

(2.3.11)

z - z'' z - z'' z - z''ra rb rcaa acab

z = z - z'' z - z'' z - z''C sa sb scba bb bc

z - z'' z - z'' z - z''ta tb tcca cccb

(2.3.12)

D D D11 12 13z = D D DD 21 22 23

D D D31 32 33

(2.3.13)

em que cada elemento desta última sub-matriz é calculado segundo a seguinte expressão:

D = z - z - z + zpq iq ph ihpq (2.3.14)

34

sendo

i,h = a,b,c

p,q = r,s,t .

Após obtidas estas matrizes aplica-se novamente a expressão (2.2.10) e como resultado

obtém-se a matriz de impedâncias série equivalente para o caso trifásico, já sem bundling,

mas com a contribuição do bundling implícita nessa mesma matriz.

O mesmo processo pode ser usado para reduzir a Matriz P e depois por inversão obter a

Matriz C equivalente, também com a contribuição do Bundling, mas sem que os condutores

do Bundling apareçam nessa mesma matriz.

Tudo isto permitirá obter Matrizes 3 3× equivalentes que depois serão usadas para o cálculo

das componentes simétricas do Z e do C, que é o que se pretende obter no final, mas isto será

melhor explicado no capítulo 2 Secção 2.5.

A nível computacional o que se tem é o seguinte: Nas matrizes Z e P, em primeiro lugar

aparecem os condutores principais das fases, depois aparecem os condutores do Bundling e no

final aparecem os cabos de guarda.

Se se tiver em consideração o caso que aqui está em estudo com três fases, com dois

condutores por fase e com dois cabos de guarda, o seguimento a nível de cálculo dos

parâmetros é o seguinte:

1º - Cálculo das Matrizes Z e P conforme explicado anteriormente.

2º - Redução dos cabos de guarda e cálculo das Matrizes Z e P resultantes.

3º - Redução dos Condutores agrupados, Bundling, das fases e Cálculo das Matrizes Z e P

equivalentes.

4º - Transposição dos Condutores da Linha Aérea.

5º - Cálculo das Matrizes Z e C em componentes simétricas.

35

2.4 Transposição de Condutores em Linhas de

Transmissão.

Até agora haviam-se calculado os parâmetros da linha de transmissão com base nas suas

unidades correspondentes por unidade de comprimento. Mas neste capítulo irão obter-se os

parâmetros tendo em conta o comprimento da linha, a fim de se observar o efeito das

transposições sobre os mesmos [6].

Neste capítulo vai-se observar o efeito da transposição na Impedância Série, pois para a

Capacidade em Paralelo actua-se da mesma forma.

O esquema equivalente trifásico da Impedância Série que relaciona tensões e correntes é dado

pelo seguinte conjunto de equações

V z z z Iaa ab ac aa

V = z z z Iba bb bc bb

V z z z Ica cb cc cc

(2.4.1)

Aqui, é clara a existência de acoplamentos mútuos, de modo que as correntes de qualquer

condutor produzirão quedas de tensão nos condutores adjacentes. Estas quedas de tensão

podem ser diferentes entre si, pois as impedâncias mútuas dependem da geometria da linha e

das características físicas que constituem a linha.

Uma forma de equilibrar as Impedâncias Mútuas consiste na realização de transposições dos

condutores ao longo da linha. Uma transposição é uma rotação física dos condutores que

constituem a linha e pode ser executada em intervalos regulares ou irregulares do

comprimento total da linha.

2.4.1 Método Geral de Transposições [6]

Este método permite obter parâmetros da linha com qualquer número de transposições e a

qualquer distância que se deseje para cada transposição, como se pode ver na Fig.2.4.1, onde

se apresenta a transposição completa da linha em duas rotações.

36

Secção 1 Secção 2 Secção 3

S1 S2 S3

S

Fig.2.4.1 – Esquema de transposição completa de uma linha de transmissão [6]

Matemáticamente as rotações são definidas pelas duas matrizes de rotação seguintes:

0 0 1

R = 1 0 0φ0 1 0

(2.4.2)

e a sua inversa:

0 1 0-1

R = 0 0 1φ1 0 0

(2.4.3)

sendo que

-1 tR = Rφ φ . (2.4.4)

Um ciclo completo de transposição é dado pelas transformações lineares definidas como:

( ) I-1

R V = R Z R Rφ φ φ φabc abc abc (2.4.5)

que é a chamada “Transformação Rφ ”, ou então:

( ) -1R

-1 -1R V = R Z R Iφ φ φabc abc abcϕ (2.4.6)

37

esta por sua vez chamada “Transformação 1Rφ− ”.

Se se desejar analizar o efeito da transposição sem ter em conta o comprimento S da linha,

que foi o caso usado no programa Matlab aqui em causa, então define-se o seguinte para um

ciclo completo:

skf =k S ; k=1,2,3 (2.4.7)

em que

f = 1k∑ (2.4.8)

Partindo da Fig.2.4.1, o cálculo de parâmetros com transposições, para cada uma das secções

é feito da seguinte forma:

Primeira Secção:

( ) ( )( )Z = Z s1abc1 (2.4.9)

Segunda Secção:

( ) ( )( )-1Z = R Z R sφ φ 2abc2 (2.4.10)

Terceira Secção:

( ) ( )( )-1Z = R Z R sφ φ 3abc3. (2.4.11)

Por último pode-se calcular a Impedância Série Total da linha de Transmissão:

( ) ( ) ( )Z = Z + Z + Zabc 1 2 3. (2.4.12)

Tendo em conta as expressões anteriores, observa-se que com este método podem-se calcular

transposições com o comprimento e número que se desejar.

A transposição dos condutores da linha torna as impedâncias mútuas mais próximas e

equilibradas.

38

2.5 Cálculo dos Parâmetros da Linha Aérea em

componentes simétricas

Após ter sido realizada a transposição dos condutores da linha aérea, vai-se nesta secção

proceder ao cálculo das matrizes Z e C nas suas respectivas componentes simétricas.

Para tal vai-se aplicar a transformada de Fortescue. Esta transformada tem como objectivo

transformar um sistema trifásico desiquilibrado em três sistemas equilibrados.

Tudo isto só pode ser aplicado a matrizes 33× , daí que só nesta fase final, em que já se

reduziu a matriz Z ou a matriz P retirando os cabos de guarda e o bundling, é que se obtêm as

componentes simétricas equivalentes da matriz de impedâncias série Z e da matriz de

capacidades em paralelo C.

Tem-se então na forma matricial o método das componentes siméticas, em que (a,b,c)

representa um sistema trifásico desiquilibrado e (d,i,h) representa o sistema em componentes

simétricas [7]:

Usando aqui o exemplo da tensão,

V V1 1 1a d

2V = a a 1 Vb i

2a a 1V Vc h

(2.5.1)

em que F é a matriz de transformação de componentes simétricas e é dada por:

1 1 1

2F = a a 1

2a a 1

(2.5.2)

e

21 a a

1-1 2F = 1 a a3

1 1 1

(2.5.3)

é a sua inversa, sendo

j120ºa=(e ) (2.5.4)

39

Podemos então dizer através de (2.5.1) que

V = FVP S (2.5.5)

O mesmo sucedendo para a corrente em que

I = FIP S . (2.5.6)

Através das seguintes equações consegue-se chegar ao resultado desejado, que é o de calcular

as matrizes Z e C em componentes simétricas:

V = ZIP P (2.5.7)

ou seja,

FV = ZFIS S (2.5.8)

multiplicando ambos os termos da equação acima por 1−F obtemos o seguinte:

-1 -1F FV = F ZFIS S (2.5.9)

então:

-1V = F ZFIS S (2.5.10)

e assim se conclui que

-1Z = F ZFS (2.5.11)

logo tem-se a seguinte expressão

V = Z IS S S . (2.5.12)

Assim se chega ao cálculo das matrizes Z e C em componentes simétricas, usando a

expressão (2.5.11).

A componente directa e inversa são iguais em módulo e correspondem ao primeiro e segundo

elemento respectivamente da diagonal principal da matriz Z que se obteve e a componente

homopolar é função do caminho de retorno da corrente.

40

Capítulo 3

Implementação prática dos Modelos

Neste capítulo vai ser estudada uma linha aérea existente na zona de Rio Maior, tendo em

conta as suas características reais e serão calculados os parâmetros da mesma através dos

três métodos apresentados no capítulo anterior. São aplicados também os métodos de

redução das matrizes e transposição dos condutores da linha aérea em estudo e são

calculadas as grandezas eléctricas que caracterizam a linha nas suas componentes

simétricas.

41

3.1 Definição do caso a estudar

O exemplo prático que aqui se apresenta é o já referido em capítulos anteriores, o caso de uma

linha aérea trifásica com dois feixes por fase e dois cabos de guarda.

As caracrterísticas desta linha são as apresentadas no seguinte quadro:

Condutores Geometria

Diâ

me

tro

Cond

utiv

i

dad

e

Re

laçã

o

T/D

Feix

e

Altu

ra

Máxim

a

Altu

ra

Mín

ima

X m

etro

s

Condutor m 1/Ohm.m m m m

1 0,0318 3,409E+7 0,231 1 21,63 11,8 0

2 0,0318 3,409E+7 0,231 2 21,63 11,8 12

3 0,0318 3,409E+7 0,231 3 21,63 11,8 24

4 0,0318 3,409E+7 0,231 1 21,63 11,8 0,4

5 0,0318 3,409E+7 0,231 2 21,63 11,8 12,4

6 0,0318 3,409E+7 0,231 3 21,63 11,8 24,2

7 0,0146 1,66E+7 0,5 0 30,5 7,3 4,35

8 0,0146 1,66E+7 0,5 0 30,5 7,3 20,05

A partir dos dados da linha, que aparecem no Quadro 3.1.1, podemos calcular as restantes

variáveis que permitirão depois o cálculo dos parâmetros, usando qualquer um dos modelos

mencionados anteriormente.

Sendo os condutores tubulares como havia sido referido no capítulo 1, apresentam um raio

interno e um raio externo. O raio externo de todos os condutores é obtido a partir do diâmetro

e o raio interno, por sua vez, é calculado segundo a seguinte expressão:

Rint= Rext 1-2*T/D

(3.1.1)

A relação T/D (espessura/diâmetro) dos condutores da linha permite calcular o raio interno

dos condutores.

Também se faz o cálculo da Resistência DC dos condutores e para isso usa-se a expressão

(2.1.7) da secção 2.1.

42

Calculam-se depois o S, relação entre raio interno e externo, e a altura média de cada um dos

condutores através das expressões (2.1.8) (secção 2.1) e:

Y =2 3 ymin+1 3 ymax (3.1.2)

respectivamente.

Assim tem-se o seguinte quadro para os condutores da linha aérea em estudo:

Quadro 3.1.2 – Características calculadas da Linha Aérea de Rio Maior


Rin

tern

o(R

int)

Resis

tên

cia

DC

Rela

çã

o S

Altu

ra M

éd

ia

Condutor m 1/Ohm.m

1 0,0086 5,20E-5 0,538 15,0767

2 0,0086 5,20E-5 0,538 15,0767

3 0,0086 5,20E-5 0,538 15,0767

4 0,0086 5,20E-5 0,538 15,0767

5 0,0086 5,20E-5 0,538 15,0767

6 0,0086 5,20E-5 0,538 15,0767

7 0 3,598E-4 0 15,0333

8 0 3,598E-4 0 15,0333

Já se encontram calculados todos os parâmetros de entrada necessários ao cálculo das

capacidades transversais e impedâncias série dos condutores que constituem a linha aérea.

3.2 Cálculo das Capacidades Transversais dos Condutores

da linha

O procedimento a realizar para o cálculo das capacidades dos condutores da linha aérea em

estudo, já foram explicados na secção 2.1, do capítulo 2.

43

Como tal, aplicando as expressões (2.1.35) e (2.1.36), calcula-se a matriz dos coeficientes de

potencial de Maxwell, e neste caso em particular resulta na seguinte matriz:

1.3586 0.1791 0.0852 0.7781 0.1740 0.0834 0.3501 0.1062

0.1791 1.3586 0.1791 0.1844 0.7781 0.1740 0.2523 0.2437

0.0852 0.1791 1.3586 0.0871 0.1844 0.7781 0.1088 0.3671

0.7781 0.1844 0.0871 1.3586 0.1791 0.0852 0.3671 0.108111 10= × ×P

8

0.1740 0.7781 0.1844 0.1791 1.3586 0.1791 0.2437 0.2523

0.0834 0.1740 0.7781 0.0852 0.1791 1.3586 0.1062 0.3501

0.3501 0.2523 0.1088 0.3671 0.2437 0.1062 1.4982 0.1387

0.1062 0.2437 0.3671 0.1088 0.2523 0.3501 0.1387 1.4982

- 1[ F / m ]

(3.2.1)

Para se obter depois a matriz C, usa-se a expressão (2.1.34) e obtém-se a matriz que se segue:

-10

0.1116

-0.0028 0.1119

-0.0008 -0.0027 0.1124

-0.0603 -0.0030 -0.0008 0.1124=1 10

-0.0025 -0.0604 -0.0030 -0.0027 0.1119

-0.0008 -0.0025 -0.0603 -0.0008 -0.0028 0.1116

-0.0102 -0.0067 -0.0014 -0.0123 -0.0058 -0.0013 0.0746

-0

×C

.0013 -0.0058 -0.0123 -0.0014 -0.0067 -0.0102 -0.0026 0.0746

- 1[ F / m ] (3.2.2)

Assim se obtém a matriz de capacidades transversais C, para a linha aérea que se está a

estudar.

Na secção 3.5, irá fazer-se a redução da matriz P aqui obtida, por forma a ter uma matriz

( 33× ) e assim depois transpôr essa matriz e finalmente após inversão desta, calcular a matriz

C em componentes simétricas.

3.3 Aplicação do Modelo de Carson

Este modelo encontra-se explicado detalhadamente na Secção 2.1 do Capítulo 2.

3.3.1 – Cálculo das impedâncias próprias dos condutores

44

O objectivo agora é o de calcular a matriz de impedâncias série Z, e para isso começa-se

primeiro pelo cálculo das impedâncias próprias iiZ dos condutores da linha.

Estas impedâncias são calculadas através da expressão (2.1.2).

Por forma a obter-se então as impedâncias próprias dos condutores da linha procede-se da

seguinte maneira:

Inicialmente faz-se o cálculo da variável m que é dada pela expressão (2.1.9). Como os cabos

de guarda podem ser constituídos por materiais diferentes daqueles que constituem os

condutores das fases,e assim terem condutividades diferentes, calcula-se o m para os

condutores das fases e depois para os cabos de guarda.

Neste exemplo:

m = 1 1 5 . 9 8c o n d u t o r (3.3.1.1)

e

m = 8 0 . 9 3 3g u a r d a s (3.3.1.2)

De seguida calcula-se então a reactância própria iiX dos condutores da linha, através das

expressões (2.1.3) e (2.1.4).

Agora, calcula-se a impedância interna da linha CZ , que é dada por (2.1.6), e para isso é

necessário calcular as funções de Bessel, e isso faz-se através de (2.1.11) e (2.1.12). Calcula-

se também a variável φ que aparece em (2.1.6) através de (2.1.10).

Para finalizar o cálculo de iiZ , faltam apenas calcular a correcção devida ao efeito pelicular

na terra gZ que é dada por (2.1.13).

Assim, tendo já calculado o iiX , o CZ e o gZ , somando todos estes termos, obtém-se a

impedância própria de cada um dos condutores da linha, iiZ .

3.3.2 – Cálculo das impedâncias mútuas dos condutores

Tendo sido já calculadas as impedâncias próprias dos condutores, resta agora calcular as

impedâncias mútuas, e isso faz-se através da expressão (2.1.14).

Calculam-se as distâncias entre os condutores, ijD , 'ijD e ijx , que aparecem na Fig.2.1.2, e

também a variável mk e o ângulo θ através das expressão (2.1.29) e (2.1.30) respectivamente.

45

Tendo tudo isto já calculado, vai-se de seguida obter o primeiro termo de (2.1.14), através de

(2.1.15) e (2.1.16) e depois então, a impedância de retorno pela terra gmZ através da expressão

(2.1.17).

Finalmente, têm-se as impedâncias mútuas entre todos os condutores da linha.

46

3.3.3 – Matriz de Impedâncias série

Após todos os cálculos efectuados nas sub-secções anteriores, mostra-se agora o resultado da matriz de impedâncias série Z em função do

comprimento da linha para a linha em estudo:

31 1 0=

0. 1001 + 0. 7007i 0. 0477 + 0. 2752i 0. 0476 + 0. 2317i 0. 0477 + 0. 4888i 0. 04 77 + 0. 2731i 0. 0476 + 0. 2306

−×Z

i 0. 0477 + 0. 3389i 0. 0477 + 0. 2429i

0. 0477 + 0. 2752i 0. 1001 + 0. 7007i 0. 0477 + 0. 2752i 0. 0477 + 0. 2773i 0. 0477 + 0. 4888i 0. 0477 + 0. 2731i 0. 0477 + 0. 3034i 0. 0477 + 0. 3002i

0. 0476 + 0. 2317i 0. 0477 + 0. 2752i 0. 1001 + 0. 7007i 0. 0476 + 0. 2327i 0. 0477 + 0. 2773i 0. 0477 + 0. 4888i 0. 0477 + 0. 2442i 0. 0477 + 0. 3450i

0. 0477 + 0. 4888i 0. 0477 + 0. 2773i 0. 0476 + 0. 2327i 0. 1001 + 0. 7007i 0. 0477 + 0. 2752i 0. 0476 + 0. 2317i 0. 0477 + 0. 3450i 0. 0477 + 0. 2442i

0. 0477 + 0. 2731i 0. 0477 + 0. 4888i 0. 0477 + 0. 2773i 0. 0477 + 0. 2752i 0. 1001 + 0. 7007i 0. 0477 + 0. 2752i 0. 0477 + 0. 3002i 0. 0477 + 0. 3034i

0. 0476 + 0. 2306i 0. 0477 + 0. 2731i 0. 0477 + 0. 4888i 0. 0476 + 0. 2317i 0. 0477 + 0. 2752i 0. 1001 + 0. 7007i 0. 0477 + 0. 2429i 0. 0477 + 0. 3389i

0. 0477 + 0. 3389i 0. 0477 + 0. 3034i 0. 0477 + 0. 2442i 0. 0477 + 0. 3450i 0. 0477 + 0. 3002i 0. 0477 + 0. 2429i 0. 4078 + 0. 7559i 0. 0477 + 0. 2583i

0. 0477 + 0. 2429i 0. 0477 + 0. 3002i 0. 0477 + 0. 3450i 0. 0477 + 0. 2442i 0. 0477 + 0. 3034i 0. 0477 + 0. 3389i 0. 0477 + 0. 2583i 0. 4078 + 0. 7559i

[Ω/m]

(3.3.3.1)

47

3.4 Aplicação do Modelo CDER

Este modelo foi descrito detalhadamente na secção 2.1 do capítulo 2.

3.4.1 – Cálculo das impedâncias próprias dos condutores

A impedância própria é dada pela equação (2.1.32). Nesta equação o termo CZ é calculado

exactamente como foi explicado na secção 3.3.1. Convém apenas lembrar que p , que é dado

pela expressão (2.1.31) corresponde á profundidade de penetração da terra.

3.4.2 – Cálculo das impedâncias mútuas dos condutores

Para o cálculo das impedâncias mútuas, a expressão a usar é a (2.1.33). Aqui há a necessidade

de calcular as distâncias 'ijD e ''ijD que aparecem na Fig.2.1.2.

3.4.3 – Matriz de Impedâncias série

A matriz que resulta para o caso aqui em estudo, após todos os cálculos efectuados é a

seguinte:

48

0 . 1 0 0 1 + 0 . 7 0 0 7 i 0 . 0 4 7 7 + 0 . 2 7 5 2 i 0 . 0 4 7 6 + 0 . 2 3 1 7 i 0 . 0 4 7 7 + 0 . 4 8 8 8 i 0 . 0 4 7 7 + 0 . 2 7 3 1 i 0 . 0 4 7 6 + 0 . 2 3 0 6 i 0 . 0 4 7 7 + 0 . 3 3 8 9 i 0 . 0 4 7 7 + 0 . 2 4 2 9 i

0 . 0 4 7 7 + 0 . 2 7 5 2 i 0 . 1 0 0 1 + 0 . 7 0 0 7 i 0 . 0 4 7 7 + 0 . 2 7 5 2 i 0 . 0 4 7 7 + 0 . 2 7 7 3 i 0 . 0 4 7 7 + 0 . 4 8 8 8 i 0 . 0 4 7 7 + 0 . 2

- 3= 1 1 0×Z

7 3 1 i 0 . 0 4 7 7 + 0 . 3 0 3 4 i 0 . 0 4 7 7 + 0 . 3 0 0 2 i

0 . 0 4 7 6 + 0 . 2 3 1 7 i 0 . 0 4 7 7 + 0 . 2 7 5 2 i 0 . 1 0 0 1 + 0 . 7 0 0 7 i 0 . 0 4 7 6 + 0 . 2 3 2 7 i 0 . 0 4 7 7 + 0 . 2 7 7 3 i 0 . 0 4 7 7 + 0 . 4 8 8 8 i 0 . 0 4 7 7 + 0 . 2 4 4 2 i 0 . 0 4 7 7 + 0 . 3 4 5 0 i

0 . 0 4 7 7 + 0 . 4 8 8 8 i 0 . 0 4 7 7 + 0 . 2 7 7 3 i 0 . 0 4 7 6 + 0 . 2 3 2 7 i 0 . 1 0 0 1 + 0 . 7 0 0 7 i 0 . 0 4 7 7 + 0 . 2 7 5 2 i 0 . 0 4 7 6 + 0 . 2 3 1 7 i 0 . 0 4 7 7 + 0 . 3 4 5 0 i 0 . 0 4 7 7 + 0 . 2 4 4 2 i

0 . 0 4 7 7 + 0 . 2 7 3 1 i 0 . 0 4 7 7 + 0 . 4 8 8 8 i 0 . 0 4 7 7 + 0 . 2 7 7 3 i 0 . 0 4 7 7 + 0 . 2 7 5 2 i 0 . 1 0 0 1 + 0 . 7 0 0 7 i 0 . 0 4 7 7 + 0 . 2 7 5 2 i 0 . 0 4 7 7 + 0 . 3 0 0 2 i 0 . 0 4 7 7 + 0 . 3 0 3 4 i

0 . 0 4 7 6 + 0 . 2 3 0 6 i 0 . 0 4 7 7 + 0 . 2 7 3 1 i 0 . 0 4 7 7 + 0 . 4 8 8 8 i 0 . 0 4 7 6 + 0 . 2 3 1 7 i 0 . 0 4 7 7 + 0 . 2 7 5 2 i 0 . 1 0 0 1 + 0 . 7 0 0 7 i 0 . 0 4 7 7 + 0 . 2 4 2 9 i 0 . 0 4 7 7 + 0 . 3 3 8 9 i

0 . 0 4 7 7 + 0 . 3 3 8 9 i 0 . 0 4 7 7 + 0 . 3 0 3 4 i 0 . 0 4 7 7 + 0 . 2 4 4 2 i 0 . 0 4 7 7 + 0 . 3 4 5 0 i 0 . 0 4 7 7 + 0 . 3 0 0 2 i 0 . 0 4 7 7 + 0 . 2 4 2 9 i 0 . 4 0 7 8 + 0 . 7 5 5 9 i 0 . 0 4 7 7 + 0 . 2 5 8 3 i

0 . 0 4 7 7 + 0 . 2 4 2 9 i 0 . 0 4 7 7 + 0 . 3 0 0 2 i 0 . 0 4 7 7 + 0 . 3 4 5 0 i 0 . 0 4 7 7 + 0 . 2 4 4 2 i 0 . 0 4 7 7 + 0 . 3 0 3 4 i 0 . 0 4 7 7 + 0 . 3 3 8 9 i 0 . 0 4 7 7 + 0 . 2 5 8 3 i 0 . 4 0 7 8 + 0 . 7 5 5 9 i

[Ω/m]

(3.4.3.1)

Na secção seguinte demonstra-se para este exemplo, o processo para a obtenção das matrizes de impedâncias série e de capacidades

transversais em componentes simétricas, considerando que existe transposição dos condutores da linha.

49

3.5 Implementação dos Métodos de Redução das matrizes

ao caso em estudo

Este método de redução das matrizes, está explicado de forma detalhada no capítulo 2.

3.5.1 – Redução dos cabos de guarda

Na secção 2.2 faz-se a redução das matrizes retirando os cabos de guarda. Vai-se agora

aplicar este método às matrizes P e Z obtidas anteriormente nas secções 3.2, 3.3.3 e 3.4.3

respectivamente.

Começando com a matriz P, equação (3.2.1) da secção 3.2, para o caso em estudo, pode-se

dividir esta matriz em quatro sub matrizes segundo as linhas divisórias apresentadas em

(3.2.1).

Assim tem-se:

P PA B=

P PC D

P

(3.5.1.1)

o que para este caso corresponde a ter:

1.3586 0.1791 0.0852 0.7781 0.1740 0.0834

0.1791 1.3586 0.1791 0.1844 0.7781 0.1740

0.0852 0.1791 1.3586 0.0871 0.1844 0.7781= 1 10A

0.7781 0.1844 0.0871 1.3586 0.1791 0.0852

0.1740 0.7781 0.1844 0.1791 1.3586 0.1791

0.0834 0.174

11×P

0 0.7781 0.0852 0.1791 1.3586

- 1[ F / m ]

(3.5.1.2)

50

=

0 . 3 5 0 1 0 . 1 0 6 2

0 . 2 5 2 3 0 . 2 4 3 7

0 . 1 0 8 8 0 . 3 6 7 11 1 0B

0 . 3 6 7 1 0 . 1 0 8 8

0 . 2 4 3 7 0 . 2 5 2 3

0 . 1 0 6 2 0 . 3 5 0 1

1 1

×

P

- 1[ F / m ]

(3.5.1.3)

3.5009 2.5225 1.0875 3.6713 2.4366 1.0622101 10

C 1.0622 2.4366 3.6713 1.0875 2.5225 3.5009

= ×P - 1[ F / m ]

(3.5.1.4)

1 .4 9 82 0 . 1 38 71 11 10D

0 . 13 87 1 . 4 98 2

= ×P - 1[ F / m ]

(3.5.1.5)

Após a subdivisão da matriz (3.2.1) nas quatro matrizes anteriores, aplica-se a expressão

(2.2.10) do capítulo 2 secção 2.2, mas neste caso para a matriz P e não para a matriz Z como

aparece exemplificado nessa secção.

-1P = P - P P PB DA Creduzido

(3.5.1.6)

51

O resultado é o seguinte:

1.2731 0.1092 0.0421 0.6886 0.1057 0.0417

0.1092 1.2834 0.1078 0.1115 0.7030 0.1057

0.0421 0.1078 1.2649 0.0425 0.1115 0.688611= 1 10

reduzido 0.6886 0.1115 0.0425 1.2649 0.1078 0.4021

0.1057 0.7030 0.1115 0.1078 1.2834 0.1092

0.04

×P

17 0.1057 0.6886 0.0421 0.1092 1.2731

- 1[ F / m ] (3.5.1.7)

Adopta-se o mesmo procedimento para as matrizes de impedâncias (3.3.3.1) e (3.4.3.1)

obtidas segundo os métodos de Carson e CDER e como resultado aparecem as seguintes

matrizes:

52

Carson:

A partir da matriz (3.3.3.1) obtém-se a seguinte matriz,

0.1197 + 0.5390i 0.0645 + 0.1138i 0.0587 + 0.0806i 0.0680 + 0.3249i 0.0642 + 0.1121i 0.0584 + 0.0811i

0.0645 + 0.1138i 0.1183 + 0.5336i 0.0647 + 0.1122i 0.0650 + 0.1139i 0.0659 + 0.3218i 0.0642 + 0.1121i

0.0587 + 0.0806i 0.-3= 1 10

reduzido×Z

0647 + 0.1122i 0.1211 + 0.5346i 0.0590 + 0.0800i 0.0650 + 0.1139i 0.0680 + 0.3249i

0.0680 + 0.3249i 0.0650 + 0.1139i 0.0590 + 0.0800i 0.1211 + 0.5346i 0.0647 + 0.1122i 0.0587 + 0.0806i

0.0642 + 0.1121i 0.0659 + 0.3218i 0.0650 + 0.1139i 0.0647 + 0.1122i 0.1183 + 0.5336i 0.0645 + 0.1138i

0.0584 + 0.0811i 0.0642 + 0.1121i 0.0680 + 0.3249i 0.0587 + 0.0806i 0.0645 + 0.1138i 0.1197 + 0.5390i

[Ω/m] (3.5.1.8)

CDER:

A partir da matriz (3.4.3.1) obtém-se a seguinte matriz,

0.1203 + 0.5399i 0.0651 + 0.1146i 0.0594 + 0.0814i 0.0686 + 0.3258i 0.0648 + 0.1130i 0.0591 + 0.0820i

0.0651 + 0.1146i 0.1190 + 0.5345i 0.0654 + 0.1131i 0.0657 + 0.1148i 0.0666 + 0.3226i 0.0648 + 0.1130i

0.0594 + 0.0814i 0.-3= 1 10

reduzido×Z

0654 + 0.1131i 0.1218 + 0.5354i 0.0596 + 0.0809i 0.0657 + 0.1148i 0.0686 + 0.3258i

0.0686 + 0.3258i 0.0657 + 0.1148i 0.0596 + 0.0809i 0.1218 + 0.5354i 0.0654 + 0.1131i 0.0594 + 0.0814i

0.0648 + 0.1130i 0.0666 + 0.3226i 0.0657 + 0.1148i 0.0654 + 0.1131i 0.1190 + 0.5345i 0.0651 + 0.1146i

0.0591 + 0.0820i 0.0648 + 0.1130i 0.0686 + 0.3258i 0.0594 + 0.0814i 0.0651 + 0.1146i 0.1203 + 0.5399i

[Ω/m] (3.5.1.9)

Após obtidas estas matrizes, vai-se continuar a redução das mesmas, até ficar-se com matrizes (3 3× ). Há ainda que referir que apesar de já

não haver cabos de guarda, o efeito dos cabos de guarda que fazem parte da linha original permanecem nestas novas matrizes reduzidas.

Agora há que retirar o bundling das fases e isso é feito na sub-secção que se segue.

53

3.5.2 – Redução do Bundling das fases

A redução do bundling é um processo que se encontra explicado na secção 2.3 do capítulo 2.

As matrizes reduzidas que se obtiveram anteriormente, apresentam subdivisões, que separam

as fases do bundling.

Assim, usando a matriz (3.5.1.7) como exemplo, vai-se mostrar como se obtém a matriz

reduzida sem o bundling,

Novamente pode-se separar a matriz (3.5.1.7) em quatro sub-matrizes:

P PAA BB=reduzido P PCC DD

P

(3.5.2.1)

Todo este método de obtenção destas matrizes aparece detalhadamente explicado na secção

2.3.

Estas sub-matrizes são dadas por:

1.2731 0.1092 0.0421

11 0.1092 1.2834 0.1078

0.0421 0.1078 1.2649

1 10AA

= ×P - 1[ F / m ] (3.5.2.2)

BB

-5.8453 -0.0353 -0.0038

10 0.0228 -5.8045 -0.0215

0.0040 0.0366 -5.7628

1 10

= ×P - 1[ F / m ] (3.5.2.3)

CC

-5.8453 0.0228 0.0040

10 -0.0353 -5.8045 0.0366

-0.0038 -0.0215 -5.7628

= 1 10

×P - 1[ F / m ] (3.5.2.4)

DD

1.1608 -0.0001 -0.0000

11 -0.0001 1.1609 -0.0001

-0.0000 -0.0001 1.1608

= 1 10

×P - 1[ F / m ] (3.5.2.5)

54

Após efectuado o cálculo de todas estas matrizes, aplica-se a seguinte expressão e calcula-se a

matriz P equivalente já sem cabos de guarda e sem bundling

1equivalente AA BB DD CC

−= −P P P P P (3.5.2.6)

10

9.7875 1.0854 0.4211

= 1 10 1.0854 9.9319 1.0854equivalente

0.4211 1.0854 9.7875

×P - 1[ F / m ] (3.5.2.7)

O mesmo se faz para as matrizes de impedâncias (3.5.18) e (3.5.19) obtidas pelo método de

Carson e CDER respectivamente, o que resulta nas seguintes matrizes equivalentes:

Carson:

-3

0.0942+0.4308i 0.0646 +0.1130i 0.0587 +0.0806i

= 1 10 0.0646 +0.1130i 0.0921+0.4277i 0.0646 +0.1130iequivalente

0.0587 +0.0806i 0.0646 +0.1130i 0.0942+0.4308i

×Z [Ω/m] (3.5.2.8)

CDER:

-3Z

0.0948+0.4317i 0.0652+0.1139i 0.0594+0.0814i

= 1 10 0.0652+0.1139i 0.0928+0.4285i 0.0652+0.1139iequivalente

0.0594+0.0814i 0.0652+0.1139i 0.0948+0.4317i

× [Ω/m] (3.5.2.9)

Seguidamente vão-se tranpôr os condutores da linha aérea em questão, por forma a equilibrar

as matrizes equivalentes, tanto a matriz P como as matrizes Z.

3.5.3 – Transposição dos condutores da linha aérea

A transposição dos condutores das linhas aéreas de transmissão encontra-se explicada na

secção 2.4 do capítulo 4.

Para efectuar a transposição há que definir duas matrizes de rotação, que são as matrizes

(2.4.2) e (2.4.3) da seção 2.4. De seguida divide-se o comprimento total da linha em três

troços e para cada troço usam-se as expressões (2.4.9), (2.4.10)e (2.4.11) da secção 2.4.

55

Assim tem-se o seguinte para o caso da matriz P:

Primeiro Troço:

= ( )(s )1(1) equivalente

P P (3.5.3.1)

( )1* 310= 1 10

(1)

9.7875 1.0854 0.4211

1.0854 9.9319 1.0854

0.4211 1.0854 9.7875

×

P - 1[ F / m ] (3.5.3.2)

0.3618 0.1404

10= 1 10 0.3618 3.3106 0.3618(1)

0.1004 0.3618 3.2625

3.2625 ×

P - 1[ F / m ] (3.5.3.3)

Segundo Troço:

( )-1= R R (s )φ φ 2(2) abcP P (3.5.3.4)

( )10

0 1 0 9.7875 1.0854 0.4211 0 0 1

1=1 10 0 0 1 1.0854 9.9319 1.0854 1 0 03(2)

1 0 0 0.4211 1.0854 9.7875 0 1 0

×

P - 1[ F / m ]

(3.5.3.5)

10

3.3106 0.3618 0.3618

= 1 10 0.3618 3.2625 0.1404(2)

0.3618 0.1404 3.2625

×P - 1[ F / m ] (3.5.3.6)

Terceiro Troço:

( )-1= R R (s )φ φ 3(3) abcP P (3.5.3.7)

( )10

0 0 1 9.7875 1.0854 0.4211 0 1 0

1=1 10 1 0 0 1.0854 9.9319 1.0854 0 0 1 *3(3)

0 1 0 0.4211 1.0854 9.7875 1 0 0

×

P - 1[ F / m ]

(3.5.3.8)

56

10

3.2625 0.1404 0.3618

= 1 10 0.1404 3.2625 0.3618(3)

0.3618 0.3618 3.3106

×P - 1[ F / m ] (3.5.3.9)

Após o cálculo efectuado para os três troços somam-se os resultados obtidos para os mesmos

como se apresenta na expressão (2.4.12) e obtém-se assim a matriz P já sem cabos de guarda

e sem bundling e com a transposição já efectuada.

109.8356 0.8639 0.8639

= 1 10 0.8639 9.8356 0.8639final_transposta0.8639 0.8639 9.8356

×P - 1[ F / m ] (3.5.3.10)

Todo este processo é aplicado também para as matrizes de impedâncias equivalentes o que

resulta nas seguintes matrizes de impedâncias:

Carson:

-3

0.0935+0.4298i 0.0626+0.1022i 0.0626+0.1022i

= 1 10 0.0626+0.1022i 0.0935+0.4298i 0.0626+0.1022ifinal_transposta

0.0626+0.1022i 0.0626+0.1022i 0.0935+0.4298i

×Z [Ω/m] (3.5.3.11)

CDER:

-3

0.0941+0.4306i 0.0633+0.1031i 0.0633+0.1031i

= 1 10 0.0633+0.1031i 0.0941+0.4306i 0.0633+0.1031ifinal_transposta

0.0633+0.1031i 0.0633+0.1031i 0.0941+0.4306i

×Z [Ω/m] (3.5.3.12)

Após todos estes cálculos já efectuados falta apenas calcular as matrizes nas suas

componentes simétricas.

3.5.4 – Transformação das matrizes em componentes simétricas

Este processo de transformação das matrizes em componentes simétricas já foi explicado no

capítulo 2, secção 2.5.

57

Usando novamente como exemplo a matriz P, é necessário após ter-se obtido a matriz

final_transpostaP , inverter esta matriz e assim obtém-se a matriz final_transpostaC , matriz de

capacidades transversais, já sem cabos de guarda, feixe e com a transposição dos condutores

da linha efectuada.

Para o cálculo desta matriz de capacidades em componentes simétricas há depois que aplicar a

expressão (2.5.11) á matriz final_transpostaC , e passa-se a ter:

- 1= s i m f i n a l _ t r a n s p o s t aC F C F (3.5.4.1)

em que F é a matriz de fortescue e 1−F é a sua inversa e estas matrizes são dadas por (2.5.2) e

(2.5.3) respectivamente.

A matriz de capacidades transversais em componentes simétricas é a seguinte:

( )

21 a a 1 1 1

0.1031 -0.0083 -0.0083

2 2-101= 1 a a -0.0083 0.1031 -0.0083 1 10 a a 1sim 3

1 1 1 -0.0083 -0.0083 0.1031 2a a 1

× × ×C (3.5.4.2)

- 10

0.1115+0.000i 0.0000-0.0000i 0.0000-0.0000i

=1 10 0.0000-0.0000i 0.1115+0.000i 0.0000-0.0000is im

0.0000-0.0000i 0.0000-0.0000i 0.0865

×C [F/m] (3.5.4.3)

Da mesma forma calculam-se as matrizes de impedâncias série, tanto para o método de

Carson como para o Método CDER, usando a seguinte expressão:

-1= s im final_transposta Z F Z F (3.5.4.4)

como resultado obtêm-se as seguintes matrizes:

Carson:

-3

0.0309+0.3276i 0.0000-0.0000i 0.0000-0.0000i

=1 10 0.0000-0.0000i 0.0309+0.3276i 0.0000-0.0000is im

0.0000-0.0000i 0.0000-0.0000i 0.2188+0.6342i

×Z [Ω/m] (3.5.4.5)

58

CDER:

-3

0.0308+0.3276i 0.0000-0.0000i 0.0000-0.0000i

=1 10 0.0000-0.0000i 0.0308+0.3276i 0.0000-0.0000is im

0.0000-0.0000i 0.0000-0.0000i 0.2207+0.6368i

×Z [Ω/m] (3.5.4.6)

Neste capítulo foi usado o exemplo de uma Linha Aérea de Rio Maior, com as suas

características reais, para demonstrar o funcionamento e a forma como o programa

desenvolvido em Matlab processa o cálculo dos parâmetros que caracterizam a linha aérea,

(R, L e C).

Os resultados finais aparecem em coordenadas simétricas, sendo que o primeiro, segundo e

terceiro elementos da diagonal principal das três matrizes (3.5.4.3), (3.5.4.5) e (3.5.4.6)

correspondem à componente directa, inversa e homopolar respectivamente.

59

Capítulo 4

Resultados

Neste capítulo apresentam-se resultados para vários ensaios realizados com o programa

desenvolvido em linguagem Matlab e posteriormente comparam-se esses resultados com os

obtidos pelo programa Line Constants do ATP/EMTP.

Também se realizam simulações para várias frequências e verifica-se a forma como os

parâmetros das linhas variam com a frequência e com a condutividade dos materiais

condutores.

60

4.1 Comparação de resultados entre os dois métodos e o

ATP/EMTP

Nesta secção vão-se apresentar resultados obtidos através do programa em Matlab e através

do programa Line Constants do ATP/EMTP, para linhas aéreas com bundling e sem bundling,

e com geometrias diferentes.

Vão-se também fazer ensaios para diferentes frequências e comparar-se todos os resultados

obtidos e assim verificar qual dos dois métodos aplicados no programa em Matlab (Carson e

CDER) se aproxima mais da referência que é o programa Line Constants do ATP/EMTP.

O elemento que interessa comparar aqui, isto em termos de componentes simétricas, é o

elemento directo de todas as matrizes que se obtêm, tanto da matriz de impedâncias série

como da matriz de capacidades transversais.

Consideram-se todos os condutores como sendo de alumínio-aço e estando à temperatura de

40ºC.

A condutividade dos condutores é uma característica que tem influência no cálculo dos

parâmetros, principalmente na impedância série das linhas e depende do material de que é

constituído cada um dos condutores.

O cálculo da condutividade dos condutores, depende da temperatura a que estes estão sujeitos

e é dada pelo inverso da resistividade. A resistividade é dada por:

(1 )ρ= ρ T0

α+ ∆ (4.1.1)

em que α é o coeficiente de temperatura, e assim a condutividade será dada por:

1σ= ρ (4.1.2)

Sendo os condutores das linhas aéreas normalmente constituídos por alumínio-aço, mas sendo

o alumínio o material responsável pela condução eléctrica, considera-se para o cálculo dos

parâmetros que a condutividade dos condutores é dada pela condutividade do alumínio.

Para condutores de alumínio - 1α=0.00 42 9º C e assim tem-se que - 1σ=3.2 2*1 E+7[Sm ] .

61

Linha Aérea 1

Linha aérea em esteira com três fases e dois condutores por fase (bundling).

Neste exemplo considerou-se a linha à frequência de 50 Hz.

Todos os condutores incluindo os cabos de guarda se consideraram como sendo condutores de

alumínio-aço, sendo que a condutividade foi calculada tendo em conta que se tratavam de

condutores de alumínio.

De seguida apresenta-se uma tabela com as características dos condutores que constituem a

linha, e a geometria da mesma.

Quadro 4.1.1 – Características dos condutores que constituem a linha 1


Diâ

metro

Cond

utiv

i

ade

Rela

çã

o

T/D

Feix

e

Altu

ra

Máxim

a

Altu

ra

Mín

ima

X m

etro

s

Condutor m S/m m m m

1 2,862E-2 3,22E+07 0,231 1 21,93 14,47 0

2 2,862E-2 3,22E+07 0,231 2 21,93 14,47 7

3 2,862E-2 3,22E+07 0,231 3 21,93 14,47 14

4 2,862E-2 3,22E+07 0,231 1 21,93 14,47 0,4

5 2,862E-2 3,22E+07 0,231 2 21,93 14,47 7,4

6 2,862E-2 3,22E+07 0,231 3 21,93 14,47 14,4

7 1,46E-2 3,22E+07 0,5 0 29,18 23,6 2,2

8 1,46E-2 3,22E+07 0,5 0 29,18 23,6 11,8

O quadro seguinte complementa a informação sobre a linha após efectuados alguns cálculos

já explicados na secção 3.1 do capítulo 3.

62

Quadro 4.1.2 – Informação complementar sobre as características dos condutores que constituem da linha 1


Rin

tern

o(R

int)

Resis

tê

ncia

DC

Rela

çã

o S

Altu

ra

Méd

ia

Condutor m 1/Ohm.m ------- m

1 0,0077 6,79E-05 0,538 16,9567

2 0,0077 6,79E-05 0,538 16,9567

3 0,0077 6,79E-05 0,538 16,9567

4 0,0077 6,79E-05 0,538 16,9567

5 0,0077 6,79E-05 0,538 16,9567

6 0,0077 6,79E-05 0,538 16,9567

7 0 1,855E-04 0 25,4600

8 0 1,855E-04 0 25,4600

A partir de todos estes dados que podem ser considerados de entrada, podem-se calcular os

parâmetros da linha, através dos três métodos estudados ao longo deste trabalho, Método de

Carson e Método CDER para a impedância série e método dos coeficientes de potencial de

Maxwell para a capacidade transversal, que são apresentados no Capítulo 2.

Assim, apresentam-se de seguida os resultados obtidos, usando os métodos referidos e

também o programa Line Constants do ATP/EMTP, para a componente directa da resistência

e indutância séries e da capacidade transversal da linha.

Quadro 4.1.3 – Resultados obtidos para a Impedâncias Série da linha 1

Rdirecta

(Ω/m)

Ldirecta

(H/m)

M.Carson 3,45E-05 9,63E-07

M.CDER 3,45E-05 9,63E-07

ATP/EMTP 3,45E-05 9,63E-07

63

Quadro 4.1.4 – Resultados obtidos para a Capacidade Transversal da linha 1

Cdirecta (F/m)

Coef. Pot. Maxwell 1,182E-11

ATP/EMTP 1,19E-11

Pode-se verificar a proximidade nos valores obtidos, tanto através dos dois métodos como

relativamente ao Line Constants do ATP/EMTP para a impedância série e para a capacidade

transversal também os resultados obtidos pelo programa em Matlab são muito próximos dos

resultados obtidos pelo Line Constants.

Linha Aérea 2

Linha aérea em esteira com três fases sem cabos de guarda e com dois condutores por fase.

A linha está à frequência de 500 Hz.

Todos os condutores são de alumínio-aço, sendo que a condutividade foi calculada tendo em

conta que se tratavam de condutores de alumínio.

De seguida apresenta-se a tabela com as características dos condutores que constituem a linha,

e a geometria da mesma.

Quadro 4.1.5 – Características dos condutores que constituem a linha 2


Diâ

metro

Cond

utiv

i

dade

Re

laçã

o

T/D

Feix

e

Altu

ra

Máxim

a

Altu

ra

Mín

ima

X m

etro

s


1 3,25E-2 3,22E+07 0,231 1 21,93 14,47 0

2 3,25E-2 3,22E+07 0,231 2 21,93 14,47 9

3 3,25E-2 3,22E+07 0,231 3 21,93 14,47 18

4 3,25E-2 3,22E+07 0,231 1 21,93 14,47 0,3

5 3,25E-2 3,22E+07 0,231 2 21,93 14,47 9,3

6 3,25E-2 3,22E+07 0,231 3 21,93 14,47 18,3

64

Novamente após se efectuarem alguns cálculos tem-se toda a informação necessária ao

cálculo dos parâmetros. O quadro seguinte apresenta a informação que faltava para se iniciar

o cálculo dos parâmetros:

Quadro 4.1.6 – Informação complementar sobre as características dos condutores que constituem da linha 2


Rin

tern

o

(Rin

t)

Resis

tên

c

ia D

C

Rela

çã

o

S

Altu

ra

Méd

ia

Condutor m 1/Ohm.m ------- m

1 0,0087 5,269E-05 0,538 16,9567

2 0,0087 5,269E-05 0,538 16,9567

3 0,0087 5,269E-05 0,538 16,9567

4 0,0087 5,269E-05 0,538 16,9567

5 0,0087 5,269E-05 0,538 16,9567

6 0,0087 5,269E-05 0,538 16,9567

De seguida apresentam-se os resultados obtidos através dos métodos de Carson, CDER e do

programa Line Constants.

Estes resultados são para a componente directa.

Quadro 4.1.7 - Resultados obtidos para a impedância série da linha 2

Rdirecta

(Ω/m)

Ldirecta

(H/m)

M.Carson 4,20E-05 10,29E-07

M.CDER 4,17E-05 10,29E-07

ATP/EMTP 4,199E-05 10,29E-07

Quadro 4.1.8 – Resultados obtidos para a capacidade transversal da linha 2

Cdirecta (F/m)


ATP/EMTP 1,115E-11

65

Linha Aérea 3

Linha Aérea com três fases apenas, sem bundling e sem cabos de guarda

Esta linha está à frequência de 1000 Hz.

Todos os condutores são de alumínio-aço, sendo que a condutividade foi calculada tendo em

conta que se tratavam de condutores de alumínio.

De seguida apresenta-se a tabela com as características dos condutores que constituem a linha,

e a geometria da mesma.

Quadro 4.1.9 - Características dos condutores que constituem a linha 3


Diâ

metro

Co

nd

utiv

id

ade

Rela

çã

o

T/D

Fe

ixe

Altu

ra

Máxim

a

Altu

ra

Mín

ima

X m

etro

s


1 3,25E-2 3,22E+07 0,25 1 21,93 14,47 0

2 3,25E-2 3,22E+07 0,25 2 21,93 14,47 9

3 3,25E-2 3,22E+07 0,25 3 21,93 14,47 18

Na tabela a seguir têm-se todos os dados necessários ao cálculo dos parâmetros da linha aérea

em questão:

Quadro 4.1.10 - Informação complementar sobre as características dos condutores que constituem da linha 3 Condutores Geometria

Rin

tern

o

(Rin

t)

Resis

tê

ncia

DC

Rela

çã

o

S

Altu

ra

Mé

dia

Condutor m S/m m

1 0,004 2,059E-05 0,50 18,5

2 0,004 2,059E-05 0,50 18,5

3 0,004 2,059E-05 0,50 18,5

66

Os resultados obtidos através dos métodos de Carson, CDER e do programa Line Constants

do ATP/EMTP são apresentados de seguida.

Os resultados são apresentados apenas para a componente directa.

Quadro 4.1.11 – Resultados obtidos para os parâmetros da linha 3

Rdirecta

(Ω/m)

Ldirecta

(H/m)

Cdirecta

(F/m)

M.Carson 2,52E-04 13,99E-07 0,814E-11

M.CDER 2,52E-04 13,99E-07 0,814E-11

ATP/EMTP 2,53E-04 14,00E-07 0,819E-11

Quadro 4.1.12 – Resultados obtidos para as capacidades transversais da linha 3

Cdirecta (F/m)


ATP/EMTP 0,819E-11

Observou-se através destes três exemplos, que o programa desenvolvido em Matlab quer

através do Método de Carson, quer através do Método CDER, para as impedâncias série

apresenta resultados muito próximos daqueles que se obtêm com o programa que é uma

referência no cálculo dos parâmetros de linhas aéreas, que é o Line Constants. Também para o

cálculo das capacidades transversais se verificaram que os resultados obtidos pelo programa

em Matlab eram muito próximos dos obtidos pelo Line Constants. Estes ensaios foram

realizados para diferentes frequências, isto para demonstrar que para qualquer frequência os

resultados são bastante próximos e que para as altas frequências os métodos funcionam bem,

apresentando bons resultados.

4.2 Análise da influência da variação dos parâmetros de

entrada nos resultados finais

Aqui faz-se uma análise de como ao fazer variar os parâmetros de entrada os resultados finais

aparecem afectados.

67

Os parâmetros de entrada que têm uma grande influência nos resultados finais, são

principalmente a condutividade do material condutor, que normalmente é o alumínio ou o

cobre, e a frequência.

Existem outros dados de entrada que também infuencíam os parâmetros de saída, mas fez-se

aqui um estudo apenas destes dois, a frequência e a condutividade dos condutores.

A linha aérea que se vai usar aqui como padrão, é a linha aérea 1 da secção anterior, linha

aérea em esteira horizontal com três fases, com dois condutores por fase e dois cabos de

guarda.

Os dados de entrada são assim os que aparecem nas tabelas 4.1.1 e 4.1.2.

4.2.1 - Análise dos resultados finais com variação da frequência

Nesta sub-secção faz-se variar a frequência da linha aérea começando a partir de 50 Hz até

2000 Hz e verifica-se de que forma os parâmetros finais são afectados.

Como dito anteriormente, os Quadros 4.1.1 e 4.1.2 são os que mostram os parâmetros de

entrada, com a única excepção de que no Quadro 4.1.2, a resistência DC não será a que lá

figura, mas será actualizada para cada frequência.

Faz-se também uma comparação entre os resultados obtidos através do Método de Carson,

Método CDER e através do programa Line Constants do ATP/EMTP.

Os seguintes gráficos mostram a variação da componente directa dos parâmetros a calcular

(R,L e C) , com a frequência:

A azul tem-se a variação usando o Método de Carson, a vermelho usando o Método CDER e

a verde usando o programa Line Constants do ATP/EMTP:

68

0 500 1000 1500 2000 25003

4

5

6

7

8

9

10

11x 10

-5

Frequencia

Resis

tência

Directa

Rdir(F)

Fig. 4.2.1.1 – Variação da Resistência Directa com a frequência

0 500 1000 1500 2000 25009.52

9.54

9.56

9.58

9.6

9.62

9.64x 10

-7

Frequência

Induta

ncia

Directa

Ldir(F)

Fig.4.2.1.2 – Variação da Indutância Directa com a frequência

69

0 500 1000 1500 2000 25001.18

1.185

1.19

1.195x 10

-11

Frequencia

Capacid

ade D

irecta

Cdir(F)

Fig.4.2.1.3 – Variação da Capacidade Directa com a frequência

Observa-se na Fig.4.2.1.1 que a Resistência Directa aumenta com a frequência, quase

proporcionalmente, algo que era de esperar devido ao efeito pelicular que com o aumento da

frequência faz aumentar a resistência nos condutores.

Ainda relativamente á resistência pode-se observar que à medida que se aumenta a frequência,

vão-se notando maiores diferenças entre os resultados obtidos pelos dois métodos e também

dos dois métodos relativamente aos resultados obtidos pelo programa Line Constants, mas

estas diferenças são pequenas e não apresentam erros significativos.

A Indutância Directa quase não varia com o aumento da frequência, diminui ligeiramente,

mas muito pouco, como se pode observar na Fig.4.2.1.2. Ainda assim se pode observar que a

partir dos 750 Hz aproximadamente os resultados para o método de Carson e CDER começam

a diferenciar-se mais, continuando mesmo assim a ser muito próximos.

A Capacidade Directa não varia com a frequência e apresenta apenas uma pequena diferença

entre os valores obtidos pelo programa em Matlab e os obtidos pelo programa Line Constants,

contudo é uma diferença muito pequena que se traduz num pequeno erro.

70

Após comparados os resultados, pode-se dizer que o cálculo efectuado pelo programa em

Matlab, quer usando o Método de Carson, quer usando o Método CDER, apresenta resultados

muito bons e bastante precisos.

4.2.2 - Análise dos resultados finais com a variação da condutividade dos

condutores da linha

Outra das variáveis de entrada que se fez variar por forma a visualizar a sua influência nos

parâmetros a calcular (R,L e C) foi a condutividade dos condutores.

Os condutores da linha aérea são normalmente de alumínio-aço, sendo que considerou-se para

todos os exemplos estudados anteriormente que os condutores eram de alumínio, pois o aço

tem apenas a função de suportar o peso do condutor.

A condutividade é um parâmetro que varia com a temperatura e a sua variação é traduzida

pelas expressões (4.1.1) e (4.1.2). Á temperatura de 20ºC a condutividade do alumínio é

-1σ=3.77E7 Sm

(4.2.2.1)

e através das expressões (4.1.1) e (4.1.2) pode-se calcular a condutividade dos condutores

para qualquer outra temperatura.

Fez-se o estudo aqui em causa usando a linha aérea 1 como exemplo, para a frequência de 50

Hz.

No quadro seguinte têm-se os resultados finais em função da condutividade que por sua vez

depende da temperatura:

71

Quadro 4.2.2.1 – Resultados finais para a componente directa para os parâmetros em função da condutividade

dos condutores

Método de Carson Método CDER

T(ºC) σ (S/m) R (Ω/m) L (H/m) C (F/m) R (Ω/m) L (H/m) C(F/m)

20 3,77E+07 2,96E-5 9,63E-7 1,18E-11 2,96E-5 9,63E-7 1,18E-11

30 3,62E+07 3,08E-5 9,63E-7 1,18E-11 3,08E-5 9,63E-7 1,18E-11

40 3,48E+07 3,20E-5 9,63E-7 1,18E-11 3,20E-5 9,63E-7 1,18E-11

50 3,34E+07 3,33E-5 9,63E-7 1,18E-11 3,33E-5 9,63E-7 1,18E-11

60 3,22E+07 3,45E-5 9,63E-7 1,18E-11 3,45E-5 9,63E-7 1,18E-11

70 3,11E+07 3,57E-5 9,63E-7 1,18E-11 3,57E-5 9,63E-7 1,18E-11

80 3,00E+07 3,70E-5 9,63E-7 1,18E-11 3,70E-5 9,63E-7 1,18E-11

Como se pode verificar á medida que se aumenta a temperatura a condutividade diminui e

como consequência aumenta a resistência série directa, tanto para o método de Carson como

para o método CDER.

Verificou-se que os resultados eram sempre iguais para os dois métodos para a mesma

temperatura, algo que já se tinha demonstrado antes e também se observou que a variação da

temperatura não influencía a indutância série e a capacidade em paralelo como era de esperar.

O único parâmetro afectado é a resistência série, o que faz sentido, pois se se diminui a

condutividade é porque se está a aumentar a resistência.

4.3 Análise de resultados

Através dos resultados obtidos para todos os casos estudados nas secções anteriores pode-se

concluir que o programa desenvolvido em Matlab para o cálculo dos Parâmetros de Linhas

Aéreas é muito fiável e apresenta resultados muito bons, pois estes são muito semelhantes aos

resultados obtidos pelo Line Constants, apresentando percentagens de erro muito baixas.

A variação da frequência faz variar os parâmetros, principalmente a resistência série directa

que aumenta bastante com o aumento da frequência. Os outros parâmetros também variam

com a frequência, mas muito pouco. A indutância série directa, diminui com o aumento da

frequência, mas diminui muito pouco, quase não se notando a sua variação e a capacidade

transversal directa, por sua vez, não altera o seu valor com o aumento de frequência, pois o

seu valor não depende desta.

72

A condutividade é outro parâmetro de entrada que influencía apenas a resistência série, como

se pôde observar no Quadro 4.2.2.1. A condutividade dos condutores varia com a

temperatura aos quais estes estão sujeitos, sendo que á medida que se aumenta a temperatura a

condutividade diminui, como seria de esperar através das expressões (4.1.1) e (4.1.2). Se a

condutividade diminui, a resistência série directa aumenta, o que faz todo o sentido, pois se o

condutor conduz menos, é porque a sua resistência á passagem da corrente aumentou.

Os outros parâmetros, indutância série directa e capacidade transversal directa, não variam

com a variação da condutividade, como se pode verificar novamente através do Quadro

4.2.2.1.

73

Capítulo 5

Conclusões

O principal objectivo deste trabalho era o de criar um programa que pemitisse efectuar o

cálculo dos parâmetros de linhas aéreas de alta tensão. Assim foi desenvolvida uma rotina

em Matlab que permite efectuar esses mesmos cálculos de uma forma simples, eficaz e fiável,

apresentando resultados muito bons.

74

Sendo o objectivo do trabalho criar um modo fácil de cálculo de parâmetros de linhas aéreas,

para um conjunto alargado de geometrias, secções e materiais, e com resultados bons para

linhas correntemente em uso, pode-se dizer que o objectivo foi alcançado.

Foi criado um programa em linguagem Matlab que permite o cálculo dos parâmetros de linhas

aéreas trifásicas e foi testada a validade dos resultados obtidos por este programa, através da

comparação com resultados obtidos pelo programa de referência Line Constants do

ATP/EMTP.

Para a estruturação do programa em Matlab, foi necessário estudar outros programas que

também fazem o cálculo das grandezas eléctricas das linhas (resistência série, indutância série

e capacidade transversal), e assim estudou-se o funcionamento e metodologia do programa

Line Constants.

Neste trabalho estudaram-se e implementaram-se dois métodos diferentes para o cálculo da

impedância série e compararam-se os valores obtidos por forma a poder-se verificar qual dos

dois métodos o mais fiável.

Os métodos aqui estudados e que foram implementados no programa em Matlab são, o

método de Carson de 1926 [4] e o método CDER (Complex Depth of Earth Return)

introduzido por C.Gary em 1976 [5]. Foram depois comparados estes dois métodos entre si e

com o Line Constants para linhas trifásicas com diferentes geometrias e materiais no Capítulo

4.

O método de Carson é o método clássico para a resolução deste problema e é o único método

que permite uma solução analítica completa para o problema em causa. Contudo esta solução

é expressa em função de integrais impróprios que têm de ser expandidos em séries infinitas

para poderem ser calculados. As séries convergem devagar para frequências elevadas, mas os

computadores actuais permitem o cálculo destas séries infinitas com relativa facilidade, algo

difícil no passado.

O método CDER é na verdade uma forma aproximada do método de Carson. Este método é

simples de usar e bastante preciso. Este método pode substituir o método de Carson em quase

todos os casos nos quais se querem calcular as impedâncias série de linhas de alta tensão [1].

Há que ter em conta após explicados estes métodos, o caminho histórico percorrido até se

chegar aos mesmos. Ao longo dos últimos anos muitos esforços foram feitos no sentido de

encontrar novas soluções para este problema do cálculo de parâmetros de linhas aéreas e

outros métodos foram encontrados, como por exemplo o Finite Element Method. O que se

pode concluir disto é que é sempre possível encontar uma nova e melhor solução para um

problema antigo [1].

75

Foi também estudada ao longo deste texto, a forma de calcular as capacidades transversais das

linhas aéreas e isso é feito usando os coeficientes de potencial de Maxwell [2].

Foi explicada, neste trabalho, a teoria que permite a obtenção dos parâmetros a calcular em

componentes simétricas e o procedimento usado aquando da transposição dos condutores de

uma linha aérea [6].

Por fim, foram calculados os parâmetros de diferentes linhas aéreas com diferentes

geometrias, usando os métodos de Carson, CDER e o programa Line Constants e

compararam-se os valores obtidos através de cada um deles. Concluiu-se que o programa em

Matlab apresentava resultados bastante bons para ambos os métodos, Carson e CDER, quando

comparados com o Line Constants. Fizeram-se também ensaios para uma determinada linha

aérea, em que se variou a frequência e a temperatura a que os condutores estavam sujeitos, o

que faz alterar a condutividade dos condutores e observou-se a forma como os parâmetros

variaram.

Pode-se dizer após realizados os ensaios, que á medida que a frequência aumenta a resistência

série da linha aumenta quase proporcionalmente, a indutância série da linha diminui muito

pouco e a capacidade transversal da linha mantém-se constante. Já com a condutividade,

pode-se dizer que á medida que a temperatura aumenta, a condutividade diminui, e o único

parâmetro que se altera é a resistência série da linha que aumenta o seu valor.

O programa desenvolvido apresenta duas vantagens relativamente ao Line Constants, uma é o

facto de ser de fácil utilização, pois o programa Line Constants é bastante mais complicado de

ser usado devido ao sistema de cartões que utiliza e que pode gerar erros com facilidade. A

outra vantagem é que este programa em Matlab permite o cálculo das impedâncias série das

linhas através de dois métodos diferentes, Carson e CDER, algo que não acontece com o Line

Constants, que só faz o cálculo das impedâncias série através do modelo de Carson.

Assim se obteve uma forma simples, precisa e fiável para o cálculo dos parâmetros de linhas

aéreas trifásicas.

76

Bibliografia

[1] Y. J. Wang and S. J. Liu. A Review of Methods for Calculation of Frequency-dependent

Impedance of Overhead Power Transmission Lines. IEEE vol. 25, No. 6, 2001, pp 329-

338.

[2] M. T. Correia de Barros. Distribuição de Sobretensões em Linhas de Transmissão de

Energia. Lição de Síntese, Instituto Superior Técnico, Lisboa, 6 de Dezembro de 1995.

[3] T. H. Liu and W. S. Meyer. Electro Magnetic Transients Program Theory Book.

Bonneville Power Administration, 10 June 1987.

[4] J. R. Carson. Wave Propagation in overhead wires with ground return. Bell System

Technical Journal 1996, 5, 539-554.

[5] C Gary. Approche complète de la propagation multifilaire en haute fréquence par

utilisation des matrices complexes. EDF Bulletin de la Direction des Études et Recherches,

Série B-Réseaux Électriques Matériels Électriques 1976, 3/4, 5-20.

[6] J. Horácio Tovar Hernandéz e H. F. Ruiz Paredes. Modelado y Análisis de Sistemas

Eléctricos de Potencia en Estado Estacionario, Noviembre 2003.

[7] C. L. Fortescue. Method of Symmetrical Coordinates Applied to the Solution of

Polyphase Networks. AIEE, Atlantic City, N. J. , 28 June 1918.

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