CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

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SOLUCIONARIO DE CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE WILLIAM ANTHONY GRANVILLE Ejercicios resueltos por : LIWINTONG MARQUEZ REYES

Problemas Pagina 14 1. Dado f (x) = x3 - 5x2 - 4x + 20 , demostrar que a. f (1) = 12 f (1) = (1)3 - 5 (1)2 - 4 (1) + 20 = 1 - 5 - 4 + 20 = 21 - 9 = 12 f (1) = 12 b. f (5) = 0 f (5) = (5)3 - 5 (5)2 - 4 (5) + 20 = 125 - 125 - 20 + 20 = 0 f (5) = 0. c. f (0) = - 2f (3) Primero calculamos f (3) f (3) = (3)3 5 (3)2 - 4 (3) + 20 = 27 - 45 - 12 + 20 = 47 - 57 = f (3) = - 10 Luego, calculamos f (0). f (0) = (0)3 + 5 (0)2 - 4 (0) + 20 = 0 + 0 - 0 + 20 = 20. f (0) = 20 . Sustituyendo f (3) y f (0) en la funcin original. f (0) = - 2 f (3). 20 = -2 (-10) 20 = + 20.

d. f (7) = 5 f (-1) Primero calculamos f (-1) . f (-1) = (-1)3 -5 (-1)2 - 4 (-1) + 20 = - 1 -5 + 4 + 20 = - 6 + 24 = f (-1) = 18. Luego, calculamos f (7). f (7) = (7)3 - 5 (7)2 - 4 (7) + 20 = 343 - 245 - 28 + 20. f (7) = 363 - 273 = 90. Sustituyendo, f (-1) y f (7) en la funcin original. f (7) = 5. f (-1). 90 = 5 (18). 90 = 90. 2. Si f (x) = 4 - 2x2 + x4, calcular : a. f (0) f (0) = 4 - 2 (0)2 + (0)4 = 4 - 0 + 0 = 4 f (0) = 4. b. f (1) f (1) = 4 - 2 (1)2 + (1)4 = 4 - 2 + 1 = 5 - 2. f (1) = 3. c. f (-1) f (-1) = 4 -2 (-1)2 + (-1)4 = 4 - 2 + 1 = 5 - 2 f (-1) = 3. d. f (2) f (2) = 4 -2 (2)2 + (2)4 = 4 - 8 + 16 = 20 - 8 f (2) = 12. e. f (-2) f (-2) = 4 - 2 (-2)2 + (-2)4 = 4 - 8 + 16 = 20 - 8 = f (-2) = 12.

3. Si f ( )

=

sen 2 + cos . Hallar :

a. f (0) f (0) = sen 2 (0) + cos (0) = sen 0 + cos 0 = 0 + 1 = f (0) = 1. b. f (1/2 ) . f (1/2 ) = sen 2 + cos = sen + cos 900 = 0 + 0 = 0 . 2 2 c. f ( ) f () = sen 2 () + cos = sen 3600 + cos 1800 = 0 + (-1) = -1. f () = -1.4.- Dado f (x) = x3 - 5x2 - 4x + 20 , demostrar que :

f (t + 1) = t3 - 2t2 - 11t + 12. f (t + 1) = (t + 1)3 - 5(t + 1)2 - 4(t + 1) + 20. f (t + 1) = t3 + 3t2 + 3t + 1 - 5(t2 + 2t + 1) - 4t - 4 + 20. f (t + 1) = t3 + 3t2 + 3t + 1 - 5t2 - 10t - 5 - 4t - 4 + 20. Haciendo operaciones: f (t + 1) = t3 - 2t2 - 11t + 12. 5. Dado f (y) = y2 - 2y + 6 , demostrar que : f (y + h) = y2 - 2y + 6 + 2 ( y - 1) h + h2. f (y + h) = (y + h)2 - 2(y + h) + 6. f (y + h) = y2 + 2yh + h2 - 2y - 2h + 6. f (y + h) = y2 - 2y + 6 + 2yh - 2h + h2. f (y + h) = y2 - 2y + 6 + h (2y - 1) + h2. f (y + h) = y2- 2y + 6 + ( 2y - 1) h + h2.

6. Dado f (x) = x3 + 3x , demostrar que f (x + h) - f (x) = 3(x2 + 1) h + 3xh2 + h3. Primero encontramos f (x + h) f (x + h) = (x + h)3 + 3(x + h). f (x + h) = x3 + 3x2h + 3xh2 + h3 + 3x + 3h. Luego : f (x + h) - f (x) f (x + h) - f (x) = x3 + 3x2h + 3xh2 + h3 + 3x + 3h - (x3 + 3x). f (x + h) - f (x) = x3 + 3x2h + 3xh2 + h3 + 3x + 3h - x3 - 3x. Efectuando : f (x + h) - f (x) = 3x2h + 3h + 3xh2 + h3. f (x + h) = 3h (x2 + 1) + 3xh2 + h3. f (x + h) = 3 (x2 + 1) h + 3xh2 + h3. 7. Dado f (x) = 1 , demostrar que : f (x + h) - f (x) = _ 1 . 2 x x + xh Primero encontramos f (x + h) : f (x + h) = 1 . x+h Luego : f (x + h) - f (x) = 1 - 1. x+h x

f (x + h) - f (x) = x - (x + h) (x + h) x f (x + h) - f (x) = x - x - h = _ h . (x + h) x x2 + xh

8. Dado (z) = 4z , demostrar que: (z + 1) - (z) = 3 (z) Primero encontramos (z + 1) Luego: Pero : (z+1) = 4z +1 (z + 1) - (z) = 4z +1 - 4z. (z + 1) - (z) = 4z.4 - 4z. (z + 1) - (z) = 4z (4 - 1) = 4z (3) = 3 (4z). (z) = 4z. (z + 1) - (z) = 3 (z).

9. Si (x) = ar ,demostrar que: (y). (z) = (y + z) (y) = ay (z) = az (y). (z) = ay.az = ay + z Si: (x) = ax (y). (z) = ay + z=

(y + z).

10. Dado (x) = log 1 - x ,demostrar que: (y) + (z) = y + z 1+ x 1+ yz. .

Primero calculamos (y) , sustituyendo en (x): (y) = log 1 - y 1+ y Luego calculamos (z) , sustituyendo en (x) : (z) = log 1 - z 1+z Ahora: (y) + (z) = log 1 - y + log 1 - z 1+y 1+z (y) + (z) = log 1 - y - z + yz= =

.

log (1 - y)(1 - z) (1 + y)(1 + z)

.

(1 + yz) - (y + z) .

1+ y + z + yz

(1+ yz) + (y + z)

Ahora calculamos (y + z) , sustituyendo en : (x) = log 1 - x . (1 + yz) 1+x1-(y + z) (y + z) = log 1 + yz (1 + yz) 1+y+z 1+ yz 1 + yz - (y + z) (1 + yz) = log 1 + yz + y + z (1 + yz)=

=

log (1 + yz) - (y + z) (1 + yz) + (y + z)

(y) + (z) = y + z 1 + yz 11.

log (1 + yz) - (y + z) (1 + yz) + (y + z)

Dado : f (x) = sen x , demostrar que

f (x + 2h) - f (x) = 2 cos (x + h). (sen h) Primero encontramos f (x + 2h) sen (x + 2h) = sen x. cos 2h + cos x. sen 2h. Por Trigonomtria : cos 2x = cos2 x - sen2 x = 1 - 2sen2 x. sen 2x = 2sen x.cos x. sen (x + y) = sen x. cos y + cos x. sen y. Sustituyendo en : sen (x + 2h) sen x (cos2 h - sen2 h) + cos x (2 sen h. cos h) sen x (1 - 2 sen2h) + cos x (2 sen h. cos h) sen x (1 - 2 sen2h) + 2 cos x . sen h. cos h. Luego : f (x) = sen x f (x + 2h) = sen x (1 - 2 sen2h) + 2cos x. sen h. cos h f(x + 2h) - f(x) = sen x(1 - 2 sen2h) + 2cos x . sen h.cos h -sen h Haciendo operaciones , simplificando y ordenando: sen x - 2 sen x. sen2h + 2 cos x. sen h. cos h - sen x 2 cos x. sen h. cos h - 2sen x. sen2h Factorando : 2 sen h (cos x. cos h - sen x. sen h) Pero : segn formula , cos x. cos y - sen x. sen y = cos (x+y) Sustituyendo en : 2 sen h (cos x. cos h - sen x. sen h) 2 sen h [(cos (x + h)] = 2 sen h. cos (x + h) = 2 cos (x + h). sen h.

f (x+2h) - f (x) = 2 cos (x+h). sen h .

Problemas Paginas 21 22 Demostrar cada una de las siguientes igualdades: 2. lim 4x + 5 = 2 x 2x + 3Dividiendo nmerador y denominador por x y luego sustituyendo por .

limx

4x + 5 x x 2x + 3 x x

=

4+ 5 x 2+ 3 x.

=

4+ 5 2+ 3

. =

4 + 0 = 4 = 2. 2+0 2

3. lim 4t2 + 3t + 2 = - 1 3 t0 t + 2t - 6 3

Se sustituye t 0 en el numerador y denominador. lim 4 (0)2 + 3(0) + 2 = 0 + 0 + 2 = 2 3 t0 (0) + 2(0) - 6 0 + 0 - 6 -6 4. lim x2h + 3xh2 + h3 h0 2xh + 5h2= =

-1. 3

x. 2=

lim h (x2 + 3xh + h2 ) h0 h (2x + 5h)

x2 + 3xh + h2 2x + 5h

Se sustituye h 0 tanto en el numerador como en el denominador. lim x2 + 3x(0) + (0)2 = x2 + 0 + 0 h0 2x + 5(0) 2x + 0=

x2 2x

=

x .x 2x

=

x . 2

5. lim 6x3 - 5x2 + 3 3 x 2x + 4x - 7

=

3

Primero dividimos, tanto en el numerador como en el denominador por x3.

6x3 - 5x2 + 3 lim x3 x3 x3 3 x 2x + 4x - 7 3 x x3 x3

=

6- 5+ 3 x x3 2+ 4 - 7 x2 x3

.

=

Luego sustituyendo x y teniendo presente que todo nmero para = 0 .

6- 5 + 3 3 2+ 4 - 7 2 3

. =

6-0+0 2+0-0 1

=

6 =3. 2

6. lim (2z + 3k)3 - 4k2z 2 k 0 2z ( 2z - k )

=

lim (2z)3 + 3(2z)2(3k) + 3(2z)(3k)2 + (3k)3 - 4k2z . k0 2z [(2z)2 - 2zk + (k)2] lim 8z3 + 36z2k + 54zk2 + 27k3 - 4k2z . k0 2z (4z2 - 2zk + k2) Sustituyendo k 0 lim 8z3 + 36z2 (0) + 54z (0)2 + 27 (0)3 - 4(0)2z . k0 2z [4z2 - 2z(0) + (0)2] lim 8z3 + 0 + 0 + 0 - 0 2 k0 2z (4z - 0 + 0)=

8z3 8z3

=

1.

7. limx

ax4 + bx2 + c dx5 + ex3 + fx

=

0

Dividiendo numerador y denominador para x4 . ax4 + bx2 + c lim x4 x4 x4 5 3 x dx + ex + fx x4 x4 x4 limx

=

a+ b + c x2 x4 . dx + e + f x x3

.

x en la operacin..

a+ b + 2 d. + e + a =0

c 4 f 3

.

= a + 0+0 +0+0

.

limx

8. limx

ax4 + bx2 + c dx + ex2 + fx + g3

=

.

Dividiendo numerador y denominador para x4. ax4 + bx2 + c lim x4 x4 x4 3 2 x dx + ex + fx + g 4 4 x x x4 x4 a+ b + c x2 x4 d + e + f + g x x2 x3 x4.

=

.

.

Sustituyendo x en la operacin.limx

a + b + c 2 4 a+0+0 = d+ e + f + g 0+0+0+0 2 3 4

.

=

a 0

=

9. lim s4 - a4 2 2 sa s - a

=

2a2 s2 + a2.

lim (s2 + a2) (s2 - a2) sa ( s2 - a2 )

=

Sustituyendo s a en la operacin. lim a2 + a2 = 2a2sa

10. lim x2 + x - 6 x2 x2 - 4

=

5 4

.

lim (x + 3) (x - 2) = (x + 3) . Sustituyendo x2 : x2 (x + 2) (x - 2) (x +2) lim (2 + 3) = 5 . x2 (2 + 2) 4 11. lim 4y2 - 3 = 0 y 2y3 + 3y2 Dividimos para y3. 4 y2 - 3 4 - 3. 3 3 lim y y y y3 = 3 2 y 2 y + 3 y 2+ 3 3 3 y y y Sustituyendo y en la operacin : 4 - 3 lim y 2 + 3.

.

=

0-0 2+0

=

0 =0 2

12. lim 3h + 2xh2 + x2h3 = - 1 . 3 3 h 4 - 3xh - 2x h 2x Dividiendo todo para h3. 3h + 2xh2 + x2h3 lim h3 h3 h3 = 3 3 h 4 - 3xh - 2x h h3 h3 h3 3 + 2x + x2 h2 h 4 - 3x - 2x3 h3 h2

.

Sustituyendo h en la operacin :

limh

3 + 2x + x2 2 4 - 3x - 2x3 3 2

=

3 + 2x + x2 4 - 3x - 2x3 =

=

0 + 0 + x2 0 - 0 - 2x3

=

x2 -2x3

=

- 1 . 2x

13. lim aoxn + a1xn-1 + + a n n n-1 x box + b1x + + bn

ao . bo

lim aoxn + a1xn.x-1 + + an . Dividiendo todo para el mayor exponente xn x boxn + b1xn.x-1 + + b

aoxn + a1xn.x-1 + + an lim xn xn xn n n -1 x box + b1.x .x + + bn n n x x xnSustituyendo en x.

=

ao + a1.x-1 + + an . xn . bo + b1.x-1 + + bn xn

limx

ao + a1 + + an bo + b1 + + bn

=

limx

ao + 0 + + 0 bo + 0 + + 0

=

ao bo

.

14. lim aoxn + a1xn-1 + + an n n-1 x0 box + b1x + + bnSustituyendo x0 en x

=

an bn

lim ao ( 0 )n + a1 ( 0 )n-1 + + a n x0 b0 ( 0 )n + b1 ( 0 )n-1 + + b n lim 0 + 0 + + an = an . x 0 + 0 + + bn bn

=

ao (0) + a1 (0) + + an . bo (0) + b1 (0) + + bn

15. lim (x + h)n - xn h0 h

=

nxn-1

Desarrollando el Binomio de Newton.

lim xn + nxn-1h + n(n-1).xn-2.h2 + n(n-1)(n-2).xn-3.h3 + + hn - xn. h0 1x2 1x2x3 lim nxn-1.h + n(n-1).xn-2.h2 + n(n-1)(n-2).xn-3.h3 + + hn h0 2 6Dividiendo todo para h .

lim nxn-1. h + n(n-1).x