Autoras: Profa. Isabel Cristina de Oliveira Navarro EspinosaProfa. Valria de CarvalhoClculo Diferencial de uma VarivelProfessoras conteudistas:Isabel Cristina de Oliveira Navarro Espinosa / Valria de CarvalhoIsabel Cristina de Oliveira Navarro Espinosa, graduada em Matemtica pela Faculdade Oswaldo Cruz e mestre em Educao Matemtica pela Pontifcia Universidade Catlica (PUC SP), leciona no Ensino Superior desde 1981.ProfessoradocursodePs-GraduaolatosensuemEducaoMatemticadasFaculdadesOswaldoCruze professora da Universidade Paulista UNIP na modalidade presencial e na modalidade EaD Educao a Distncia.Coautora dos livros:Geometria analtica para computao, Editora LTC.lgebra linear para computao, Editora LTC.Matemtica: complementos e aplicaes nas reas de cincias contbeis, administrao e economia, Editora cone.Valria de Carvalho, especialista em Matemtica pelo IMECC (Instituto de Matemtica Estatstica e Computao Cientca), mestre e doutora em Educao Matemtica pela Faculdade de Educao Unicamp, professora do Ensino Superior desde 1988.Trabalha com temas envolvendo Tecnologias da Informao e da Comunicao (TICs) em projetos de Educao Continuada,envolvendodocentesdeMatemtica,noLEM(LaboratriodeEnsinodeMatemticaIMECC)ena Faculdade de Educao, ambos na Unicamp, sempre como professora colaboradora.PossuipublicaesemanaisdecongressosforadoBrasilecaptulosdelivrosemnossalngua,pensandoo trabalho docente, a educao matemtica crtica e a sociedade.Atualmente professora da Universidade Paulista UNIP e coordenadora do curso de Matemtica na modalidade EaD Ensino a Distncia. Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou quaisquer meios (eletrnico, incluindo fotocpia e gravao) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem permisso escrita da Universidade Paulista.Dados Internacionais de Catalogao na Publicao (CIP)E77c Espinosa, IsabelClculo diferencial de uma varivel / Isabel Espinosa; Valria de Carvalho. - So Paulo: Editora Sol, 2011.240 p., il.Notas:estevolumeestpublicadonosCadernosdeEstudose Pesquisas da UNIP, Srie Didtica, ano XVII, n. 2-036/11, ISSN 1517-9230.1. Funes2. Clculo 3.Aplicaes ao MaximaI. TtuloCDU 517.2Prof. Dr. Joo Carlos Di GenioReitorProf. Fbio Romeu de CarvalhoVice-Reitor de Planejamento, Administrao e FinanasProfa. Melnia Dalla TorreVice-Reitora de Unidades UniversitriasProf. Dr. Yugo OkidaVice-Reitor de Ps-Graduao e PesquisaProfa. Dra. Marlia Ancona-LopezVice-Reitora de GraduaoUnip Interativa EaDProfa. Elisabete BrihyProf. Marcelo SouzaProfa. Melissa LarrabureMaterial Didtico EaDComisso editorial:Dra. Anglica L. Carlini (UNIP)Dr. Cid Santos Gesteira (UFBA)Dra. Divane Alves da Silva (UNIP)Dr. Ivan Dias da Motta (CESUMAR)Dra. Ktia Mosorov Alonso (UFMT)Dra. Valria de Carvalho (UNIP)Apoio:Profa. Cludia Regina Baptista EaDProfa. Betisa Malaman Comisso de Qualicao e Avaliao de CursosProjeto grco:Prof. Alexandre PonzettoReviso:Ana LuizaSumrioClculo Diferencial de uma VarivelAPRESENTAO ......................................................................................................................................................7INTRODUO ...........................................................................................................................................................8Unidade I1 REPRESENTAO DE PAR ORDENADO NO PLANO CARTESIANO ...................................................91.1 Plano cartesiano ................................................................................................................................... 101.2 Produto cartesiano ...............................................................................................................................111.3 Relao ..................................................................................................................................................... 122 FUNO .............................................................................................................................................................. 142.1 Elementos de uma funo ................................................................................................................ 182.2 Operaes com funes ..................................................................................................................... 202.3 Grco ...................................................................................................................................................... 222.4 Funes par e mpar ............................................................................................................................ 262.5 Tipos de funes ................................................................................................................................... 272.6 Funo inversa ....................................................................................................................................... 282.7 Ampliando seu leque de exemplos ............................................................................................... 303 FUNES POLINOMIAIS ............................................................................................................................... 363.1 Funo de 1 grau ................................................................................................................................ 363.1.1 Funo de 1 grau (ou funo am) ............................................................................................... 363.1.2 Grco ......................................................................................................................................................... 373.1.3 Crescimento da funo de 1 grau .................................................................................................. 393.1.4 Sinais da funo ...................................................................................................................................... 403.2 Funo constante ................................................................................................................................. 414 FUNO QUADRTICA (OU DE 2 GRAU) ............................................................................................. 424.1 Grco ...................................................................................................................................................... 434.2 Concavidade ........................................................................................................................................... 434.3 Sinais da funo ................................................................................................................................... 474.4 Ampliando seu leque de exemplos ............................................................................................... 49Unidade II5 OUTRAS FUNES REAIS ............................................................................................................................. 575.1 Funo exponencial ............................................................................................................................. 575.1.1 Grco ......................................................................................................................................................... 585.2 Funo logartmica .............................................................................................................................. 605.3 Funo modular .................................................................................................................................... 625.3.1 Grco ......................................................................................................................................................... 625.4 Funes trigonomtricas ................................................................................................................... 645.4.1 Funo seno .............................................................................................................................................. 645.4.2 Funo cosseno ....................................................................................................................................... 655.4.3 Funo tangente ..................................................................................................................................... 665.5 Assntotas ................................................................................................................................................ 675.5.1 Assntotas horizontais .......................................................................................................................... 675.5.2 Assntotas verticais ................................................................................................................................ 705.6 Ampliando seu leque de exemplos ............................................................................................... 736 LIMITE ................................................................................................................................................................... 766.1 Uma viso intuitiva ............................................................................................................................. 766.1.1 Funo contnua ..................................................................................................................................... 806.1.2 Propriedades operatrias dos limites ............................................................................................. 826.1.3 Limites envolvendo innito ................................................................................................................ 866.1.4 Limites fundamentais ........................................................................................................................... 946.2 Ampliando seu leque de exemplos ............................................................................................... 97Unidade III7 DERIVADAS ...................................................................................................................................................... 1077.1 Notaes de derivada .......................................................................................................................1097.2 Regras de derivao .......................................................................................................................... 1147.3 Derivadas de ordem superior ........................................................................................................1207.4 Alguns teoremas .................................................................................................................................1237.5 Ampliando seu leque de exemplos .............................................................................................1278 APLICAES ....................................................................................................................................................1308.1 Variao aproximada Diferencial .............................................................................................1308.2 Sinais da 1 derivada crescimento da funo .....................................................................1328.3 Concavidade da funo sinais da 2 derivada ....................................................................1358.4 Construo de grcos ....................................................................................................................1378.4.1 Assntota horizontal ........................................................................................................................... 1408.5 Regras de LHospital ..........................................................................................................................1418.6 Logaritmo e exponencial .................................................................................................................1428.7 Derivadas ...............................................................................................................................................1498.8 Ampliando seu leque de exemplos .............................................................................................1557APRESENTAOO objetivo desta disciplina oferecer ao aluno do SEPI/SEI material de apoio para o acompanhamento da disciplina Clculo Diferencial de uma Varivel.Estudaremos,nesselivro-texto,asnoesiniciaisdefunes,utilizandorepresentaesgrcas enotaesmaisformais.Estudaremostambmoconceitointuitivodelimites,deixandoadenio formal para outra ocasio.Oestudodederivadaserfeitoutilizandointerpretaogeomtricaedenioformal,faremos tambm o estudo geral das funes derivveis.Ao nal, teremos aplicaes dos conceitos estudados por meio de problemas em vrias reas.Apresentamos,apsasunidades,oaplicativocomputacionalMaxima,comexemplosligadosaos assuntos estudados para voc se familiarizar com as novas tecnologias.NaunidadeI,estudaremosoconceitodeplanocartesianoedaremosincioaoestudodas funes e de algumas funes polinomiais e suas principais caractersticas. At aqui no tratamos de novidades, visto que todos j tiveram contato com esses conceitos em etapas anteriores de seus estudos.NaunidadeII,trataremosinicialmentedealgumasfunesreaiscomoexponencial,logaritmoe algumas trigonomtricas. Comearemos tambm a tratar do clculo e sua teoria, iniciando com a noo intuitiva de limite.Na unidade III, teremos noo de derivadas e suas aplicaes, primeiro as aplicaes com a inteno defacilitaraconstruodegrcosmaiselaboradosedepoisaresoluodeproblemasaplicadosa vrias reas.Aofinaldecadaassunto,temosoitemAmpliandoseulequedeexemplos,noqualvoc encontrar mais exemplos relacionados aos assuntos estudados. Nesse item voc deve, aps uma leituradetalhada,refazertodos,afinal,oestudodevriosmodelosdiferentesmelhoraroseu aprendizado.Noapndice,apresentamosumaplicativocomputacionalparaorient-lonoestudodo ClculoDiferencialutilizandosoftwarematemticoMaxima.Osoftwareapresentadolivre permitindo que todos tenham acesso. Em especial, focamos aplicaes em limites, continuidade e derivadas.Esperamos que este material desperte seu esprito cientco e interesse no Clculo Diferencial e que possa auxili-lo em seus estudos. Bom estudo!8INTRODUONestelivro-texto,estudaremososaspectosiniciaisdoClculoDiferencialdeumaVarivel.Esses conceitosservirodebaseparaquevocpossaseaprofundarnoestudodoClculoDiferencial.Os conceitos que sero vistos, podem ser aplicados nas mais variadas reas, alm da Matemtica.AsaplicaespassamporvriaspartesdaFsica,porexemplo,comumousodederivadaspara facilitar os clculos em Economia. Da mesma forma, temos vrios conceitos que so denidos utilizando derivadas,comoporexemplo,oconceitodeanlisemarginal.Encontramosaplicaestambmna Engenharia, Biologia, entre outras.Algumas destas aplicaes sero encontradas nesse livro-texto, no entanto, importante frisar que voc deve adaptar os enunciados de modo a torn-los mais ligados realidade de seus educandos. Esse procedimentofacilitabastanteoentendimentodosconceitos.Soapresentadassituaes-problema que se aproximam de fatos que despertem a ateno para o assunto que est sendo tratado, tornando o processo ensino-aprendizagem mais proveitoso.No faremos aqui as demonstraes dos teoremas citados, estas podem ser encontradas nos livros indicados na bibliograa.OClculoDiferencialrequerbastanteestudoededicao,sendoassim,importantequevoc completeseusestudosutilizando,almdesselivro-texto,materiaiscomplementares(pesquisasem livros e sites, resoluo de problemas e exerccios).Esperamosquevoc,aluno,sejacapazdeidenticarosconhecimentosmatemticosnecessrios para que se torne um bom prossional de ensino Fundamental, Mdio ou Superior e que esteja sempre preocupado com o papel social na funo que desempenha.Voc deve ser um prossional capaz de trabalhar de forma integrada com os professores da sua rea e de outras, de modo a contribuir efetivamente com a proposta pedaggica da sua escola.Esperamosaindaquevoc,aluno,setorneumprofessorquesaibareconhecerasdiculdades individuais de seu educando e sugerir caminhos alternativos que permita a ele desenvolver e prosseguir os estudos.9Reviso: Ana Luiza / Diagramao: Mrcio - 17/06/11 // 2 Reviso: Ana Luiza / Correo: Mrcio - 06/07/11CLCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIVELUnidade IPLANO CARTESIANO E FUNES1 REPRESENTAO DE PAR ORDENADO NO PLANO CARTESIANOMuitasvezes,emnossodiaadia,nosdeparamoscomsituaesqueenvolvemlocalizao,por exemplo, voc marca uma consulta com um mdico e como a primeira vez que vai ao consultrio, a atendente lhe informa o endereo. Como voc no sabe chegar at l, vai procurar a localizao num guia de ruas e encontra a seguinte indicao: 22 J6.Qual o signicado dessa informao?O nmero 22 indica a pgina do guia e a letra J e o nmero 6 indicam a coluna e a linha para a localizao da rua.No jogo batalha naval, tambm utilizamos o plano cartesiano para localizar e destruir os navios do adversrio, para isso, so indicadas as coordenadas linha e coluna.Veja o exemplo a seguir:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15a ab bc cd de ef fg gh hi ij jL Lm mn no op p1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1510Unidade IReviso: Ana Luiza / Diagramao: Mrcio - 17/06/11 // 2 Reviso: Ana Luiza / Correo: Mrcio - 06/07/11Nesseexemplo,sevocescolhera2conseguirafundaronavioadversrioqueestnalinhaa coluna 2. Porm, se escolher d3 ser gua, isto , no conseguir acertar o adversrio.A ideia de termos uma forma de localizar pontos num plano utilizada desde a Antiguidade. Ns utilizamos, atualmente, o sistema cartesiano que estudaremos a seguir.1.1 Plano cartesianoO sistema cartesiano baseado no sistema criado pelo matemtico e lsofo francs Ren Descartes, cujo pseudnimo era Cartesius, da o nome plano cartesiano.O plano cartesiano formado por duas retas perpendiculares (formam ngulo de 90) e o ponto de encontro delas denominado origem. Cada eixo representa um dos conjuntos do produto cartesiano, o eixo horizontal (x) o eixo das abscissas e o eixo vertical (y) o eixo das coordenadas.Como voc pode ver, os eixos coordenados dividem o plano em 4 quadrantes, conforme a gura a seguir. O eixo x ser positivo no 1 e no 4 quadrantes, e negativo no 2 e 3 quadrantes, o eixo y ser positivo no 1 e no 2 quadrantes, e negativo no 3 e 4 quadrantes:y2 Q1 Q4 Q3 Q(ordenadas)(abscissas)xUmparordenadopodeserrepresentadogeometricamentecomoumpontoemumplano cartesiano.Assim, para representarmos o par ordenado (2, 3) no plano cartesiano, devemos marcar 2 no eixo x e 3 no eixo y. LembreteAs retas auxiliares utilizadas para localizar o ponto A devem ser paralelas aos eixos.11Reviso: Ana Luiza / Diagramao: Mrcio - 17/06/11 // 2 Reviso: Ana Luiza / Correo: Mrcio - 06/07/11CLCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIVELy3 A (2,3)2xExemplo:Represente os pontos A (1, 3), B (3, 1), C (1, 3), D (0, 2), E (2, 4) e F (2, 2):yA (1,3)xD (0,2)B (3,1)432-1 1 2 3 -21-2-3E (-2,4)F (2,-2)(-1,-3) C1.2 Produto cartesianoConsideremosdoisconjuntosAeBnovazios.ChamamosdeprodutocartesianodeAeBao conjunto formado por todos os pares ordenados, com 1 elemento de A e 2 elemento de B.Produto cartesiano de A e B:A x B = {(x, y) | xAeyB}Exemplo:Se A = {0, 2} e B = {0, 2, 3} calculando A x B e B x A, temos:A x B = {(0, 0), (0, 2), (0, 3), (2, 0), (2, 2), (2, 3)}B x A = {(0, 0), (0, 2), (2, 0), (2, 2), (3, 0), (3, 2)}12Unidade IReviso: Ana Luiza / Diagramao: Mrcio - 17/06/11 // 2 Reviso: Ana Luiza / Correo: Mrcio - 06/07/11Representando geometricamente, temos:(2,3)(2,2)y (B)(0,3)(0,2)(2,0) (0,0) x (A)A x B B x Ay (A)(3,2)(0,2)(0,0) (2,0) (3,0) x (B)(2,2)Notemosque,comoosparessoordenados,opar(0,2)diferentedopar(2,0)erepresentam pontos diferentes no plano.O nmero de elementos do produto cartesiano A x B, sendo A e B nitos, dado pela multiplicao do nmero de elementos de A pelo nmero de elementos de B.Assim, n(A x B) = n(A) . n(B)Exemplo:Sendo A = {1, 0, 3, 4} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, temos:Nmero de elementos de A n(A) = 4.Nmero de elementos de B n(B) = 6.Logo, o nmero de elementos de A x B n(A x B) = 4 x 6 = 24.1.3 RelaoEmvriosmomentos,trabalhamoscomconjuntosdeparesordenados.Porexemplo,quando estudamos o movimento de um carro em uma estrada, podemos construir uma tabela com a posio do carro (S) e o tempo (t):t ( s) 0 1 2 3 4 5 6S ( m ) 0 10 20 30 40 50 60Temos uma relao entre tempo (t) e distncia (S) dada pelos pares ordenados:{(0, 0), (1, 10), (2, 20), (3, 30), (4, 40), (5, 50), (6, 60)}.13Reviso: Ana Luiza / Diagramao: Mrcio - 17/06/11 // 2 Reviso: Ana Luiza / Correo: Mrcio - 06/07/11CLCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIVELObservando o que ocorre com os valores da tabela, podemos escrever uma expresso para encontrar a posio do carro em um dado tempo S = 10 t.Denimos relao binria de A em B como todo subconjunto de A x B.R uma relao de A em B R A x BExemplo:Considere os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 1, 2, 4}.Determine o produto cartesiano A x B e a relao R dada pelos pares ordenados (x, y), tais que y = 2xTemos:A x B = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 4), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 0), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (3, 0), (3, 1), (3, 2), (3, 4)}Como a relao dada por y = 2x, temos:x y (x, y)0 2 . 0 = 0 (0, 0)1 2 . 1 = 2 (1, 2)2 2 . 2 = 4 (2, 4)3 2 . 3 = 6 (3, 6)Assim, a relao dada pelo conjunto R = {(0, 0), (1, 2), (2, 4)}.Podemos tambm representar a relao por meio de um diagrama ou no plano cartesiano.Observando o nosso exemplo, temos:a) Representao por diagramas:123AB0124014Unidade IReviso: Ana Luiza / Diagramao: Mrcio - 17/06/11 // 2 Reviso: Ana Luiza / Correo: Mrcio - 06/07/11Cada par ordenado representado por uma echa do 1 elemento do par para o 2 elemento do par.b) Representao no plano cartesiano:y (B)4(2,4)2 x (A)(1,2)23 1 (0,0)2 FUNOUma locadora de automveis est com uma promoo para essa semana: alugue um carro pagando R$ 50,00 por dia mais R$ 1,00 por Km rodado.Voc precisa alugar um carro para uma pequena viagem e quer saber quanto pagaria por dia pelo aluguel, aproveitando a promoo.Como saber esse valor, se ele depende dos quilmetros rodados?Veremos, a seguir, um conceito que permitir que voc responda a questo acima.Funo uma relao f de A em B, indica-se f: A B, que obedece s seguintes regras:No h elemento em A sem representante em B.Qualquer elemento de A tem um nico correspondente em B.Notequeno2conjuntopodemosterelementossemcorrespondenteetambmelementoscom mais de um correspondente.A seguir, temos algumas situaes para vericar se so funes ou no, isto , se satisfazem as duas condies da denio.Exemplos:1) DadososconjuntosA={1,2,3};B={0,1}earelaofdeAemBdadapelodiagrama, veriquemos se f uma funo:15Reviso: Ana Luiza / Diagramao: Mrcio - 17/06/11 // 2 Reviso: Ana Luiza / Correo: Mrcio - 06/07/11CLCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIVELNesse exemplo, notamos que a relao f uma funo, pois obedece s duas regras dadas.123A B10f2) Sejam A = {0, 1, 2, 3}; B = {0, 2, 4} e consideremos a relao f de A em B dada pelo diagrama a seguir, veriquemos se f uma funo:123AB0240fNote que a relao f no uma funo, pois no satisfaz a primeira regra, o elemento x = 3 do conjunto A no tem correspondente no conjunto B.3) Sejam A = {0, 1}; B = {1, 0, 1} e a relao f de A em B dada pelo diagrama, veriquemos se f uma funo:1AB0-110f16Unidade IReviso: Ana Luiza / Diagramao: Mrcio - 17/06/11 // 2 Reviso: Ana Luiza / Correo: Mrcio - 06/07/11A relao f no uma funo, pois no satisfaz a 2 segunda regra, o elemento x = 1 do conjunto A tem 2 correspondentes em B.Chamamos de lei de uma funo f de A em B a sentena aberta y = f(x) que relaciona os elementos de A e B. ObservaoNemsempreprticoescreveraleideumafuno,nessescasos usaremos os pares ordenados.Exemplos:1) Sejam A = {1, 0, 1, 2, 3}; B = {3, 0, 3, 6, 9} e f a funo de A em B dada pelo conjunto R = {(1, 3), (0, 0), (1, 3), (2, 6), (3, 9)}, determinemos a lei da funo f: A B:Notemos que o 2 nmero de cada par o triplo do 1 nmero, assim, podemos escrever a lei de f, ento:y = 3x ou(x) = 3x2) Sejam A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}; B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e f a funo de A em B dada pelo diagrama abaixo, determinemos a lei da funo f: A B:123AB024f453516Comparando os valores dos pares ordenados, notamos que cada elemento de B o elemento de A mais 1, assim, podemos escrever a lei de f:y=x+1 ou (x) = x+13) Sejam A = {1, 2, 3, 4}; B = {0, 5, 6, 10} e f a funo de A em B dada pelo diagrama a seguir, determinemos a lei da funo f: A B:17Reviso: Ana Luiza / Diagramao: Mrcio - 17/06/11 // 2 Reviso: Ana Luiza / Correo: Mrcio - 06/07/11CLCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIVEL123A B0f45106Comparando os pares ordenados, no encontramos facilmente uma relao entre os valores, nesse caso, no escrevemos a lei da funo f.Vamos retornar ao problema do aluguel do carro.4) Uma locadora de automveis est com uma promoo para essa semana:alugue um carro pagando R$ 50,00 por dia mais R$ 1,00 por quilmetro rodado.Voc precisa alugar um carro para uma pequena viagem e quer saber quanto pagaria por dia pelo aluguel, aproveitando a promoo.Como saber esse valor, se ele depende dos quilmetros rodados?Notemosqueovaloraserpagodependedokmrodado,isto,estemfunodokmrodado. Temos, ento, uma funo e queremos estabelecer uma lei para ela, se for possvel.Pensemos inicialmente em alguns casos particulares:Andar 10 km valor do aluguel 50 (xo) + 1. (10) = 50 + 10 = 60 reais.Andar 20 km valor do aluguel 50 (xo) + 1. (20) = 50 + 20 = 70 reais.Andar 40 km valor do aluguel 50 (xo) + 1. (40) = 50 + 40 = 90 reais.Observando os clculos que foram feitos, notamos que uma parte xa e a outra o produto de 1 pelos km rodados, podemos, ento, representar a quantidade de km rodados pela varivel x.Assim, teremos que a expresso V(x) = 50 + 1x indica, para ns, o valor em funo de x, isto , voc muda o valor de x e, fazendo os clculos, determina o valor do aluguel.Porexemplo,sesuaviagemforde90km,vocdeverpagarporumdiadealuguel: V(90) = 50 + 1. 90 = 140 reais.18Unidade IReviso: Ana Luiza / Diagramao: Mrcio - 17/06/11 // 2 Reviso: Ana Luiza / Correo: Mrcio - 06/07/112.1 Elementos de uma funoSef:ABumafuno,chamamosoconjuntoAdedomniodefeoconjuntoBdecontra domnio de f.Indicamos o domnio de f por Dom f = D (f) = A e o contradomnio CD(f) = B.AoconjuntoformadopeloselementosdeB,quesocorrespondentesdealgumelementodeA, chamamos de imagem de f e escrevemos Im (f).Exemplos:1) Consideremos a funo f: A B representada pelo diagrama abaixo:123A B0f451068Observando o diagrama, notamos que:D(f) = {1, 2, 3, 4} = ACD (f) = {0, 5, 6, 8, 10} = BIm (f) = {0, 5, 6, 8}Nem todos os elementos de B so correspondentes de algum elemento de A, por exemplo, 10 est no contradomnio, mas no est na imagem de f. ObservaoMesmosobrandoumelementonoconjuntoB,temosumafunoe, nesse caso, temos CD (f) Im (f).2) Consideremos a funo f: A B representada pelo diagrama a seguir:19Reviso: Ana Luiza / Diagramao: Mrcio - 17/06/11 // 2 Reviso: Ana Luiza / Correo: Mrcio - 06/07/11CLCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIVEL124A B2f612105Novamente observando os diagramas, notamos que:D(f) = {1, 2, 4, 5} = ACD (f) = {2, 5, 10, 12} = BIm (f) = {12} ObservaoComonoexemploanterior,vemosqueexistemelementosemBque no esto no conjunto imagem e novamente temos CD (f) Im (f).3) Consideremos a funo f: A B representada pelo diagrama abaixo:A36912B3fNotamos que:D(f) = {3, 6, 9, 12} = ACD (f) = {3} = BIm (f) = {3} = BNesse caso, no sobram elementos em B, isto , Im (f) = B.20Unidade IReviso: Ana Luiza / Diagramao: Mrcio - 17/06/11 // 2 Reviso: Ana Luiza / Correo: Mrcio - 06/07/112.2 Operaes com funesDadas as funes f e g, podemos fazer as seguintes operaes:adio ( + g) (x) = (x) + g(x)subtrao ( - g) (x) = (x) - g(x)multiplicao ( . g) (x) = (x) . g(x)diviso (f/g) (x) = (x)g(x)Produto por nmero real (k f)(x) = k(x)Veja a seguir uma representao da funo f composta com g (fog)(x). Calculamos, inicialmente, a funo g em x e depois calculamos f no resultado obtido:gfx y = g(x)z = (g(x))og LembretePara que possamos calcular a funo (fog), devemos ter a imagem de g igual ao domnio de f.Observemos que o domnio das funes f + g, f g, f. g a interseco dos domnios de f e g.O domnio de f / g a interseco dos domnios de f e g, menos os pontos no qual g(x) = 0.O domnio de k f o mesmo de f.O domnio de f o g formado pelos pontos x do domnio de g, tais que g(x) est no domnio de f, isto , D(fog) = {x D(g) | g(x) D(f)}.Vejamos agora alguns exemplos, para que voc entenda melhor como trabalhar com as funes e suas operaes.21Reviso: Ana Luiza / Diagramao: Mrcio - 17/06/11 // 2 Reviso: Ana Luiza / Correo: Mrcio - 06/07/11CLCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIVELExemplos:1) Dadas as funes f(x) = 2x 4 e g(x) = x + 5, determine as funes f + g,f g, f. g, f/g, 3f, fog e gof. A seguir, determine o domnio de cada uma delas:Resoluo:Calculando as funes, temos:(f + g) (x) = f(x) + g(x) = (2x 4) + (x + 5) = x + 1(f g) (x) = f(x) g(x) = (2x 4) (x + 5) = x 4 x 5 = 3x 9(f . g) (x) = f(x) . g(x) = (2x 4) . (x + 5) = 2x2 14x 20(f / g) (x) =f xg xxx( )( ) +2 45(3 f) (x) = 3 f(x) = 3 (2x 4) = 6x 12(fog) (x) = f(g(x)) = f(x + 5) = 2 (x + 5) 4 = 2x 14(gof) (x) = g(f(x)) = g(2x 4) = (2x 4) + 5 = 2x + 1Como o domnio das funes f e g IR, temos:D(f + g) = D(f g) = D(f . g) = D(3 f)= D(f o g) = D(g o f) = IRPara determinar o domnio da funo (f / g), devemos observar os valores que anulam o denominador, isto , resolver a equao x + 5 = 0 e excluir a soluo do domnio.Resolvendo a equao, encontramos x = 5, logo, o domnio da funo ser todos os reais menos x = 5.Assim, D(f / g) = IR {5}, ou D(f / g) = {x | x 5}.2) Dadas as funes f(x) = 3x 2 e g x x ( )+1, determine as funes f + g,f g, f . g, f/g, 3f, fog e gof. A seguir, determine o domnio de cada uma delas:Resoluo:(f + g) (x) = f(x) + g(x) = (3x 2) + x +122Unidade IReviso: Ana Luiza / Diagramao: Mrcio - 17/06/11 // 2 Reviso: Ana Luiza / Correo: Mrcio - 06/07/11(f g) (x) = f(x) g(x) = (3x 2) x +1(f. g) (x) = f(x) . g(x) = (3x 2). x +1f / g (x) =f xg xxx( )( ) +3 21(3 f) (x) = 3 f(x) = 3 (3x 2) = 9x 6(fog) (x) = f(g(x)) = f(x +1) = 3 x +1 2(gof) (x) = g(f(x)) = g(3 x 2) = ( ) 3 2 1 3 1 x x +O domnio da funo f IR e o domnio da funo g D(g) = {x | x 1}, pois a funo tem uma raiz quadrada e devemos ter a expresso x + 1 0, isto , x 1.Assim, pelas expresses das funes f + g, f g, f . g e fog, todas tm o mesmo domnio de g, isto :D(f+g) = D(f g) = D(f. g) = D(fog) = {x | x 1}.A funo (3f) tem o mesmo domnio de f, isto , D(3f) = IR.A funo gof tem em sua expresso a raiz quadrada de 3x 1, assim, para determinar o seu domnio, devemos ter a expresso 3x 1 0, da 3x 1, logo, D(g o f) = {x | x 1/3}.A funo (f / g) tem em seu denominador a raiz quadrada de x 1, assim, a expresso x 1 > 0, logo, D(f / g) = {x | x > 1}. Note que o valor x = 1 no est no domnio de f / g, pois zera o denominador.2.3 GrcoMuitas vezes, encontramos em livros, jornais e revistas grcos representando alguma situao. Veja os exemplos a seguir:O PIB (Produto Interno Bruto) do Brasil mede o crescimento econmico do pas e calculado a partir da soma de todos os bens e servios produzidos em um dado perodo. No Brasil, desde 1990, o IBGE (Instituto Brasileiro de Geograa e Estatstica) o nico responsvel pelo clculo desse ndice.A carga tributria formada por impostos diretos que incidem sobre a renda e o patrimnio e por impostos indiretos que incidem sobre o consumo.O grco a seguir mostra a relao entre a carga tributria anual no Brasil e o nosso PIB:23Reviso: Ana Luiza / Diagramao: Mrcio - 17/06/11 // 2 Reviso: Ana Luiza / Correo: Mrcio - 06/07/11CLCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIVELGrco 1 Carga tributria anual Brasil37,0029,6022,2014,807,400,0019391952195819641970197619821988199420002007% do PIBFonte: www.ibge.com.brEsse grco mostra a carga tributria no Brasil, indicando anualmente o percentual do PIB que ela representa, no perodo de 1939 a 2007.Aseguir,temosoutrogrcoquetambmmostracomoutilizararepresentaogrcapara representar uma situao de forma simplicada:Grco 2 Taxa de abandono escolar no Ensino Mdio13,0010,407,805,202,600,001999 2000 2001 2003 2004 2005Abrangncia: Estados Unidade territorial: So Paulo Categorias: mdio Unidade: percentualFonte: www.ibge.com.br24Unidade IReviso: Ana Luiza / Diagramao: Mrcio - 17/06/11 // 2 Reviso: Ana Luiza / Correo: Mrcio - 06/07/11Nessegrco,temosdadossobreastaxasdeabandonoescolarnasturmasdoEnsinoMdiodo estado se So Paulo, entre os anos de 1999 e 2005.Observando o grco, possvel tirar vrias informaes, por exemplo, a taxa de abandono escolar em um determinado ano, ou se a taxa de abandono escolar diminuiu ou aumentou em determinado perodo.Notequeumaformaprticademostraroquesequer,mesmoquenosesaibaaexpresso matemtica relacionada ao grco. De forma simples, representamos o que queremos.Vejamos, ento, o que e como construir o grco de uma funo.Aoconjuntodosparesordenadosquerepresentamafunonoplanocartesiano,chamamosde grco de f, isto , a gura desenhada no plano cartesiano.Exemplos:1) Consideremos a funo f de A em B, denida pela lei f(x) = x + 3, comA = {3, 2, 1, 0} e B = {2, 1, 0, 1, 2, 3}. Construir o grco de f:Resoluo:Para construir o grco da funo, vamos determinar a imagem dos pontos do domnio montando a tabela de valores de x e y = f(x):x y (x,y)-3 -3 + 3 = 0 (-3,0)-2 -2 + 3 = 1 (-2,1)-1 -1 + 3 = 2 (-1,2)0 -0 + 3 = 3 (0,3)Colocando esses pares ordenados no plano cartesiano, temos:y (B)x (A)-3 -2 -1 012325Reviso: Ana Luiza / Diagramao: Mrcio - 17/06/11 // 2 Reviso: Ana Luiza / Correo: Mrcio - 06/07/11CLCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIVEL LembreteO domnio de f um conjunto com 4 elementos, assim o grco de f ser formado por 4 pontos isolados, no podemos unir os pontos.Geralmente, trabalhamos com funes com domnio real e contradomnio real, ento os seus grcos sero linhas unindo os pontos do plano cartesiano.Vejamos no prximo exemplo:2) Seja f: IR IR, dada pela expresso f(x) = 2 x, construir o grco de f:Como o domnio de f IR (innitos valores), para encontrar o grco de f devemos montar uma tabelacomalgunsvaloresdodomnio.Assim,escolhendoalgunsvaloresdexparaanossatabela, temos:x y = (x) = 2 x (x,y)-1 2 . (-1) = -2 (-1,-2)0 2 . (0) = 0 (0,0)1 2 . (1) = 2 (1,2)2 2 . 2 = 4 (2,4)Representando no plano cartesiano e unindo os pontos, temos:y0 1 2 -1124-1-2 LembreteOdomniodefoconjuntodosreais,assim,nogrcodefsero formados innitos pontos.26Unidade IReviso: Ana Luiza / Diagramao: Mrcio - 17/06/11 // 2 Reviso: Ana Luiza / Correo: Mrcio - 06/07/11Nesse caso, devemos unir os pontos do grco da funo, que uma reta.3) Construirogrcodafunoy=x2,sendoseudomnioeseucontradomniooconjuntodos reais.Inicialmente, montemos uma tabela com alguns valores de x:x y = x2(x,y)-2 (-2)2 = 4 (-2,4)-1 (-1)2 = 1 (-1,1)0 02 = 0 (0,0)1 12 = 1 (1,1)2 22 = 4 (2,4)Substituindo os pontos no plano cartesiano e unindo os pontos, temos o grco da funo f(x) = x2:y-2 -1 1 212x3 4 5-134y=x^2 LembreteNovamente, unimos os pontos, pois o domnio da funo real.Da mesma forma que podemos, por meio da lei da funo ou de uma tabela de pontos, montar o grco, possivel fazer o contrrio tambm, isto , dado um grco, montar uma tabela com os pontos da funo.2.4 Funes par e mparDenimoscomofunopartodafuno,talquef(x)=f(x)paraqualquerxdoseudomnio.E funo mpar toda funo, tal que f(x) = f(x), para qualquer x de seu domnio.27Reviso: Ana Luiza / Diagramao: Mrcio - 17/06/11 // 2 Reviso: Ana Luiza / Correo: Mrcio - 06/07/11CLCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIVELUma funo par tem seu grco simtrico em relao ao eixo y e uma funo mpar tem seu grco simtrico em relao origem.Exemplos:Considere as funes a seguir e decida se so par ou mpar:a) f(x) = x2Para saber se a funo par ou no, devemos calcular f(x) e comparar com f(x).Assim:f(x) = (x)2 = x2 = f(x), temos que f(x) = x2 uma funo par.b) f(x) = x3f(x) = (x)3 = x3 = f(x), temos que f(x) = x3 uma funo mpar.c) f(x) = x3 + 1f(x) = (x)3 + 1 = x3 + 1, ento a funo f(x) = x3 + 1 no par e no mpar.2.5 Tipos de funesFuno sobrejetoraf: A B sobrejetora, se e somente se Imf = CD f:f sobrejetora Imf = CD fFuno injetoraf: A B injetora, se e somente se valores diferentes do domnio tm imagem diferentes:f injetora x1 x2 f(x1)f(x2)Funo bijetoraf: A B bijetora, se e somente se f sobrejetora e injetora:f bijetora f sobrejetora e injetora28Unidade IReviso: Ana Luiza / Diagramao: Mrcio - 17/06/11 // 2 Reviso: Ana Luiza / Correo: Mrcio - 06/07/11Exemplos:Determinar o tipo das funes a seguir:a) f: IR IR, f(x) = x + 3A funo tem domnio e contradomnio reais, como a imagem de f tambm real, temos que f(x) = x + 3 funo sobrejetora.Para determinarmos se f injetora, consideremos a e b dois valores quaisquer do domnio, com a b, da:f(a) = a + 3 e f(b) = b + 3, mas logo f(a) f(b).Ento, f injetora e, portanto, bijetora.b) f: IR IR, f(x) = x2No sobrejetora, pois Imf = { x | x > 0} = IR+ e CD f = IR, isto , Imf CD f.No injetora, pois para a = 1 e b = 1 so dois valores diferentes do domnio, temos:f(a) = f(1) = 12 = 1 e f(b) = f(1) = (1)2 = 1, isto , f(a) = f(b). ObservaoNossa funo, ento, no injetora e no sobrejetora. LembreteNotemos, no entanto, que se o contradomnio da funo for alterado de forma conveniente, podemos transformar nossa funo em uma funo sobrejetora, basta denir a funo de IR em IR+.2.6 Funo inversaSeja f uma funo bijetora de A em B, chamamos de inversa de f a funo g bijetora de B em A, tal que fog (x) = x e gof (x) = x.Notao: f 1(x) representa a inversa da funo f.29Reviso: Ana Luiza / Diagramao: Mrcio - 17/06/11 // 2 Reviso: Ana Luiza / Correo: Mrcio - 06/07/11CLCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIVELExemplos:Determinar a inversa das funes: ObservaoPara determinar a inversa de uma funo, voc deve isolar o valor de x e depois trocar as posies das letras x e y, a nova expresso ser a funo inversa.a) f: IR IR, denida por f(x) = 2x 5 ou y = 2x 5, funo bijetora.Isolando o valor de x, temos:2 x = y + 5 +x y 52Trocando x e y de posio, temos: y x 52

+Logo, f(x)x 52-1

+ a inversa de f e f 1: IR IR.b) f: IR+ IR+, denida por f(x) = x2 ou y = x2A funo bijetora.Isolando o valor de x, temos:x2 = y xyTrocando x e y de posio, temos: yx Logo, f(x) x-1 a inversa de f e f 1: IR+ IR+A seguir, voc encontrar alguns exemplos para que possa perceber melhor as vrias possibilidades apresentadas na teoria. LembreteEstude atentamente os exemplos apresentados e, a seguir, tente refaz-los.30Unidade IReviso: Ana Luiza / Diagramao: Mrcio - 17/06/11 // 2 Reviso: Ana Luiza / Correo: Mrcio - 06/07/112.7 Ampliando seu leque de exemplos1) Determinar o conjunto que representa os elementos do produto cartesiano A x B, sendo A = {1, 0, 1} e B = {1, 2}Resoluo:Lembrando que o produto cartesiano formado pelos pares ordenados, no qual o primeiro elemento do conjunto A e o segundo do conjunto B, teremos:A x B = {(1, 1), (1, 2), (0, 1), (0, 2), (1, 1), (1, 2)}.2) Determinar o domnio da funo f(x) =53 9xx Resoluo:Encontrar o domnio da funo indicar os valores que podem ser substitudos no lugar de x.A nossa funo possui uma frao e tem x tanto no numerador quanto no denominador. Observando o numerador, notamos que no h restrio, porm, o denominador deve ser diferente de zero.3x 9 0 3 x 9 x 3.Assim, o conjunto domnio de f ser dado por:Df = { x IR / x 3} ou podemos tambm escrever Df = IR { 3 }.3) Sendo f(x) =11xx+j(,\,(, calcular o valor de f ()Resoluo:Para calcular o valor de f (), devemos substituir o valor x = na expresso, teremos:f( )12121212112 13 +j(,\,(

+ .26 Logo, f () = 6.4) Sendo f(x) = 4x + 5 e g(x) = x2 + 2x, determinar a soma das funes, isto , determinar o valor de (f + g) (x)31Reviso: Ana Luiza / Diagramao: Mrcio - 17/06/11 // 2 Reviso: Ana Luiza / Correo: Mrcio - 06/07/11CLCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIVELResoluo:Sabemos que para determinar (f + g) (x), devemos somar os resultados de f e de g, ento:(f + g) (x) = 4x + 5 + x2 + 2xSomando os termos correspondentes, camos com:(f + g) (x) = x2 2x + 55) Sendo f(x) = 4x + 5 e g(x) = x2 + 2x, determinar o valor de (2f g) (1)Resoluo:Agora, queremos saber no s o valor de 2f g mas tambm quanto ele vale quando x = 1.Para determinar 2f g, vamos inicialmente determinar 2f, depois encontrar a expresso para 2f g e s ento substituir o valor de x.Sabemos que para determinar (2f)(x), devemos multiplicar f(x) = 4x + 5 por 2, assim, camos com (2 f)(x) = 2. (4x + 5) = 8x + 10.Temos:(2 f g)(x) = (2 f) (x) g(x) = 8x + 10 (x2 + 2x) = x2 10x + 10.No acabamos o exerccio, ainda falta encontrar o valor da funo para x = 1. Substituindo x por 1, temos:(2 f g)(1) = (1)2 10. 1 + 10 = 1 10 + 10 = 1. ObservaoPoderamos ter resolvido esse exerccio, calculando o valor de (2f)(1) e o de g(1) e depois efetuando a conta (2f g)(1). Refaa o exerccio desta outra forma e compare o procedimento e o resultado.6) Dadas as funes f(x) = 3x + 2 e g(x) = x2, determinar o valor de (f o g) (x)Resoluo:Sabemosqueafunocomposta(fog)(x)igualaf(g(x)),isto,(fog)(x)=f(g(x)),devemos substituir a expresso de g no lugar de x em f(x), assim, temos:32Unidade IReviso: Ana Luiza / Diagramao: Mrcio - 17/06/11 // 2 Reviso: Ana Luiza / Correo: Mrcio - 06/07/11(f o g) (x) = f(g(x)) = f(x2) = 3 (x2) + 2 = 3x2 + 2.7) Uma funo par se f(x) = f(x), verique qual das funes par:a) f(x) = x + 5b) f(x) = x2c) f(x) = x2 + 5xResoluo:Conforme a denio, devemos calcular f(x) e comparar com f(x) para podermos decidir se a funo par ou mpar.a) Para a funo f(x) = x + 5, temos:f(x) = (x) + 5 = x + 5 f(x), logo, a funo no par.b) Para a funo f(x) = x2, temos:f(x) = (x)2 = x2 = f(x), logo, a funo par.c) Para a funo f(x) = x2 + 5x, temos:f(x) = (x)2 + 5 (x) = x2 5x f(x), logo, a funo no par.Assim, a nica das funes que par f(x) = x2.8) Sabendo que f(x 1) = 2x, determine o valor de f(2)Resoluo:Para determinar o valor de f(2), devemos descobrir qual o valor de x que torna x 1 = 2. Resolvendo a equao, encontramos x = 3.Calculando o valor de f(x 1) quando x = 3, temos:f (3 1) = 2. 3 = 6, logo, f(2) = 6.33Reviso: Ana Luiza / Diagramao: Mrcio - 17/06/11 // 2 Reviso: Ana Luiza / Correo: Mrcio - 06/07/11CLCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIVEL LembreteO mesmo procedimento se aplica a qualquer outro valor que voc queira determinar, basta descobrir o valor de x e substituir na expresso.9) Determinar a inversa da funo f(x) = 5x + 1Resoluo:Para determinar a inversa de uma funo, devemos substituir f(x) por y e trocar as posies de x e y na lei que dene a funo, depois isolar o valor de y.Assim:f(x) = 5x + 1 y = 5x + 1Trocando as posies de x e y, vem:x = 5y + 1Isolando y, encontramos:x = 5y + 1 5y = x + 1 x y y x yxyx + + + 5 1 5 115 515Logo, f 1 (x) =f xx 1515( )10)Sabendo que uma funo bijetora se for injetora e sobrejetora, verique qual das funes a seguir bijetora:a) f: IR IR, tal que f(x) = x2 + 2x.b) f: IR IR, tal que f(x) = x + 1.c) f: IR IR, tal que f(x) = 3.d) f: IR IR, tal que f(x) = sen(x).Resoluo:Lembrando: uma funo injetora se valores diferentes de x vo a valores diferentes de y, e uma funo sobrejetora se o seu contradomnio igual ao seu conjunto imagem.34Unidade IReviso: Ana Luiza / Diagramao: Mrcio - 17/06/11 // 2 Reviso: Ana Luiza / Correo: Mrcio - 06/07/11Vamos utilizar o grco das funes para saber se so injetoras e sobrejetoras.Esboando o grco das funes, temos:a) f : IR IR, f(x) = x2 + 2xy-2 -1 112x-1y=x^2-2x-3Observando o grco da funo, notamos que quando x = 0 e quando x = 2, temos f(0) = f(2) = 0, logo, a funo no pode ser injetora e, portanto, no ser bijetora. ObservaoEstafunotambmnosobrejetora,poisseucontradomnioIR, mas sua imagem formada pelos valores de y maiores que o y do vrtice, yv = 1, logo, Im f = { y IR / y 1}.b) f : IR IR, f(x) = x + 1y0 x 1Observando o grco da funo, notamos que a funo injetora e tambm sobrejetora, logo, ser bijetora.c) f : IR IR, f(x) = 335Reviso: Ana Luiza / Diagramao: Mrcio - 17/06/11 // 2 Reviso: Ana Luiza / Correo: Mrcio - 06/07/11CLCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIVELy0 x 1 2 23A funo constante, logo seu grco paralelo ao eixo x, passando em y = 3. Essa funo no injetora, pois para todos os valores de x, temos a mesma imagem, y = 3.Logo, a funo no pode ser bijetora. ObservaoNesse caso, a funo tambm no sobrejetora, pois seu contradominio IR mas sua imagem Im f = {3}.d) f : IR IR, f(x) = sen xyx1 2 22311 3 4 5 6 71/223/22y=sen(x)Observando o grfico da funo seno, notamos que no injetora, pois existem vrios valores de x que tm a mesma imagem, por exemplo, para x = 0 e x = , temos a mesma imagem, isto , f(0) = f() = 0.Logo, no bijetora. ObservaoNesse caso, a funo tambm no sobrejetora, pois seu contradomnio IR, mas sua imagem o intervalo [1, 1], isto , Im f = [1, 1].36Unidade IReviso: Ana Luiza / Diagramao: Mrcio - 17/06/11 // 2 Reviso: Ana Luiza / Correo: Mrcio - 06/07/113 FUNES POLINOMIAISEstudaremos agora algumas funes polinomiais importantes.3.1 Funo de 1 grau3.1.1 Funo de 1 grau (ou funo am) toda funo f: IR IR, dada por:f(x) = a x + b, com a IR, a 0 e b IR.Os valores de a e b so chamados de coecientes da funo:a: coeciente angular b: coeciente linear Quando b = 0, a funo de 1 grau f(x) = ax chamada funo linear.Quando b = 0 e a = 1, a funo de 1 grau f(x) = x chamada funo identidade.Exemplos:Determinarseasfunesaseguirsolinearesouans,eidenticaroscoecientesangulare linear:1) A funo f(x) = 4x + 5 uma funo am:a = 4, coeente angularb = 5, coeciente linear2) A funo y = 3x uma funo linear:a = 3, coeciente angularb = 0, coeciente linear3) A funo y = x 3 uma funo am:a = 1, coeciente angularb = 3, coeciente linear37Reviso: Ana Luiza / Diagramao: Mrcio - 17/06/11 // 2 Reviso: Ana Luiza / Correo: Mrcio - 06/07/11CLCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIVEL3.1.2 GrcoO grco de uma funo de 1 grau sempre uma reta. LembreteBastam 2 pontos para determinar uma reta, assim, voc deve encontrar dois pontos da funo, representar no plano cartesiano e unir os pontos.Exemplos:1) Traar o grco das funes lineares:a) y = 2xVoc deve escolher pelo menos dois valores para x e calcular f(x), nesse caso, escolhemos x = 0 e x = 1:x y = - 2x (x,y)0 y = - 2 . 0 = 0 (0,0)1 y = - 2 . 1 = -2 (1,-2)y1 0-2xy = -2xb) y = 3xx y = 3x (x,y)0 y = 3 . 0 = 0 (0,0)1 y = 3 . 1 = 3 (1,3)y1 03xy = 3x38Unidade IReviso: Ana Luiza / Diagramao: Mrcio - 17/06/11 // 2 Reviso: Ana Luiza / Correo: Mrcio - 06/07/11c) y = xNesse exemplo, vamos escolher outros valores para x, assim, voc no vai concluir que s podemos colocar para x valores iguais a 0 e 1:x y = x (x,y)0 y = 0 = 0 (0,0)1 y = 1(1,1)y1 0 xy = x11 ObservaoA reta que representa a funo linear sempre passa na origem, isto , no ponto (0, 0).2) Traar o grco das funes de 1 grau:a) y = 2x + 4Ao invs de escolhermos dois valores quaisquer de x, vamos calcular os cortes da reta com os eixos, isto :x = 0 y = 2. 0 + 4 = 4y = 0 0 = 2x + 4 2x = 4 x = 2Logo, a reta corta o eixo x em x = 2 e o eixo y em y = 4.Gracamente, temos:corte em ycorte em xy = 2x + 4xy-2 0 439Reviso: Ana Luiza / Diagramao: Mrcio - 17/06/11 // 2 Reviso: Ana Luiza / Correo: Mrcio - 06/07/11CLCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIVELb) y = 3x + 6x = 0 y = 3 . 0 + 6 = 6y = 0 0 = 3 x + 6 3x = 6 x = 2Gracamente, temos:corte em ycorte em xy = 3x + 6xy4 23.1.3 Crescimento da funo de 1 grauO coeciente angular da funo de 1grau indica se nossa funo crescente ou decrescente.decrescente (a < 0) e crescente (a > 0)Exemplos:a) y = 4x + 5 uma funo decrescente, pois a = 4 < 0.b) y = 3x 6 uma funo crescente, pois a = 3 > 0.c) y = 2x uma funo crescente, pois a = 2 > 0.d) Gracamente, para vericar se uma funo de 1 grau crescente ou decrescente utilizando o seu grco, devemos observar a sua inclinao, assim:yxyxdecrescente(inclinao esquerda)crescente(inclinao direita)0 040Unidade IReviso: Ana Luiza / Diagramao: Mrcio - 17/06/11 // 2 Reviso: Ana Luiza / Correo: Mrcio - 06/07/113.1.4 Sinais da funoMuitas vezes, queremos saber o intervalo no qual a funo y = a x + b positiva e no qual negativa. Para isso, devemos determinar x0 raiz da equao ax + b = 0 e observar a inclinao da reta.Temos:+-X0x- +X0xa < 0 - inclinao esquerda; decrescentea > 0 - inclinao direita; crescenteResumindoX0xsinal contrrio a sinal de aExemplos:Determinar os sinais das funes:a) y = 4x + 12Determinando a raiz da funo, temos:4x+12=0 x=3Como a = 4 < 0, a reta tem inclinao para a esquerda, assim:(x) > 0 se x < 3(x) < 0 se x > 3(x) = 0 se x = 3+-3 xb) y = 3x 15Determinando a raiz da funo, temos:3x15=0 x=541Reviso: Ana Luiza / Diagramao: Mrcio - 17/06/11 // 2 Reviso: Ana Luiza / Correo: Mrcio - 06/07/11CLCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIVELComo a = 3 > 0, a reta tem inclinao para a direita, assim:(x) > 0 se x > 5(x) < 0 se x < 5(x) = 0 se x = 5 - +5 x3.2 Funo constanteToda funo dada por f(x) = c, no qual c uma constante, chamada funo constante. Seu grco ser uma reta paralela ao eixo x, passando pelo ponto (0, c).Exemplos:Esboar o grco das funes:a) f(x) = 2 (ou y = 2)Vamos montar uma tabela com alguns valores de x, assim:x y = 2 (x,y)0 y = 2 (0,2)1 y = 2 (1,2)2 y = 2 (2,2)3 y = 2 (3,2)Quando colocados esses valores no sistema cartesiano, obtemos a reta paralela ao eixo x passando pelo ponto (0, 2):y = 2xy1 2 3 02corte em yb) f(x) = 3 (ou y = 3)Notemos que no necessria a construo da tabela de pontos, basta traar uma reta paralela ao eixo x passando pelo ponto (0, 3):42Unidade IReviso: Ana Luiza / Diagramao: Mrcio - 17/06/11 // 2 Reviso: Ana Luiza / Correo: Mrcio - 06/07/11xy0-3y = -3 Saiba maisPara ver uma aplicao de funo do 1 grau em economia, assista ao vdeo.4 FUNO QUADRTICA (OU DE 2 GRAU)Se jogamos para o alto um objeto a partir do cho e observamos a sua trajetria, notamos que o objeto sobe at um determinado ponto e depois comea a cair at retornar ao cho. Representando a sua trajetria gracamente, temos:StO grco fornece vrias informaes sobre o movimento do objeto, por exemplo: a altura mxima atingida, tempo para retornar ao solo, o tempo necessrio para atingir a altura mxima.Esse grco, uma parbola, o grco de uma funo do 2 grau.Vamos agora estudar as funes quadrticas, ou de 2 grau, isto , uma funo dada pela relao:y = ax2 + bx + c, com a, b, c nmeros reais e a 0Exemplos:a) f(x) = 3x2 + 2x + 1 uma funo quadrtica completa, com a = 3, b = 2 e c = 1.b) y = 5x2 + 10x uma funo quadrtica incompleta, pois tem a = 5, b = 10 e c = 0.43Reviso: Ana Luiza / Diagramao: Mrcio - 17/06/11 // 2 Reviso: Ana Luiza / Correo: Mrcio - 06/07/11CLCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIVELc) f(x) = 10x2 uma funo quadrtica incompleta, pois tem a = 10, b = 0 e c = 0.d) y = 2x2 6 uma funo quadrtica incompleta, com a = 2, b = 0, c = 6.4.1 GrcoO grco de uma funo do 2 grau sempre uma parbola que pode ser obtida por uma tabela de pontos ou por meio dos cortes nos eixos coordenados e de seu vrtice.Para determinarmos os cortes, devemos:No eixo x: encontrar as razes da equao de 2 grau correspondente.No eixo y: determinar o valor de y, quando x = 0.Para as coordenadas do vrtice, usaremos a frmula: xb ay av v

2 4 . .e4.2 ConcavidadeA parbola ter concavidade para cima ou para baixo, dependendo do sinal de a. Assim:a > 0 concavidade para cimaa < 0 concavidade para baixo a > 0 a < 0Exemplos:Esboar o grco das funes de 2grau:a) y = x2 + 2x + 3Inicialmente, vamos destacar os valores de a, b e c, assim:a = 1 < 0 (concavidade para baixo), b = 2 e c = 3.Utilizando a tabela de pontos, vamos determinar valores do grco de y, como uma parbola, no bastam 2 pontos para a construo, sero necessrios mais valores, assim, escolhemos 4 valores de x:44Unidade IReviso: Ana Luiza / Diagramao: Mrcio - 17/06/11 // 2 Reviso: Ana Luiza / Correo: Mrcio - 06/07/11x y =x2 + 2x + 3 (x, y)1 y = (1)2 + 2(1) + 3 = 0 (1, 0)0 y = 02 + 2 . 0 + 3 = 3 (0, 3)1 y = 12 + 2 . 1 + 3 = 4 (1, 4)2 y = 22 + 2 . 2 + 3 = 3 (2, 3)Colocando esses pontos nos eixos coordenados, temos:y1x-1-1 -2 -324(0,3)1 2 3 4(2,3)(1,4)(1,0) LembreteVoc pode escolher outros valores para x e tambm pode fazer a tabela com mais pontos e mais valores, melhor qualidade do grco.b) y = x2 + 2x + 1Agora, vamos esboar o grco da funo sem a utilizao de tabela de pontos.Inicialmente, devemos identicar os valores de a, b e c:a = 1 > 0 (concavidade para cima), b = 2 e c = 1.Calculemos agora os cortes nos eixos:Eixo x: devemos resolver a equao x2 + 2 x + 1 = 0:

b acxba2242 4 1 1 4 4 022 02 11. .. .. .45Reviso: Ana Luiza / Diagramao: Mrcio - 17/06/11 // 2 Reviso: Ana Luiza / Correo: Mrcio - 06/07/11CLCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIVELCorta o eixo no ponto (1, 0).Eixo y: para x = 0, temos y = 02 + 2. 0 + 1 = 1.Corta o eixo no ponto (0, 1).Coordenadas do vrtice xb av

2221. y av

4040.V = (1, 0).Colocando todos os dados no sistema cartesiano, temos:y-2 -1 112x32 -3c) y = x2 4Inicialmente, devemos identicar os valores de a, b e c:a = 1 > 0 (concavidade para cima), b = 0 e c = 4Calculemos agora os cortes nos eixos:Eixo x: devemos resolver a equao x2 4 = 0:

b acxba2240 4 1 4 1620 162 1422. .. .( ). .Corta o eixo nos pontos (2, 0) e (2, 0).Eixo y para x = 0, temos y = 02 4 = 4.46Unidade IReviso: Ana Luiza / Diagramao: Mrcio - 17/06/11 // 2 Reviso: Ana Luiza / Correo: Mrcio - 06/07/11Corta o eixo no ponto (0, 4).Coordenadas do vrtice xb av 2020. y av

41644.V = (0, 4).Substituindo todos os pontos no plano cartesiano, temos:y-2 -1 112x2 -3 3-1-2-3-4d) y = x2 + 3xIdenticando os valores de a, b e c, temos:a = 1 > 0 (concavidade para cima), b = 3 e c = 0Calculemos agora os cortes nos eixos:Eixo x: devemos resolver a equao x2 + 3 x = 0:

+

b acxbax22143 4 1 0 923 92 13 323 320. .. .( ). .xx13 323 Corta o eixo nos pontos (0, 0) e (3, 0).47Reviso: Ana Luiza / Diagramao: Mrcio - 17/06/11 // 2 Reviso: Ana Luiza / Correo: Mrcio - 06/07/11CLCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIVELEixo y: para x = 0, temos y = 02 + 3. 0 = 0.Corta o eixo no ponto (0, 0).Coordenadas do vrtice xb av

2321 5.. y av

4942 25..V = (1.5, 2.25).y-2 -1 11x-3-1-2-1,5-2,25-4 Saiba maisPara saber mais sobre Baskara, acesse:.4.3 Sinais da funoQueremos saber o intervalo no qual a funo y = ax2 + bx + c positiva e negativa.Inicialmente, resolvemos a equao a x2 + b x + c = 0 e determinamos as suas razes: < 0 no existe raiz realmesmo sinal de ax > 0 duas razes reaismesmo sinal de acontrrio de amesmo sinal de ax1x248Unidade IReviso: Ana Luiza / Diagramao: Mrcio - 17/06/11 // 2 Reviso: Ana Luiza / Correo: Mrcio - 06/07/11 = 0 existe 1 raiz realmesmosinal de a mesmosinal de ax1Exemplos:Determinar o sinal das funes:a) y = x2 2x + 1A equao tem uma raiz real x 1 = 1, pois =0.Como a = 1 > 0, temos:++1Logo, f x xf x x( )( )> 0 10 1b) y = x2 x 2A equao tem duas raizes reais x1 = 1 e x2= 2, pois =9>0.Como a = 1 > 0, temos:++1 2 xLogo, f x xf x xf x( )( )( )> > < < 0 e para baixo e a < 0 frmula de Baskara: = b2 4.a.cxba

2. Coordenadas do vrtice:x . a ey . a

v v

b2 4 52Unidade IReviso: Ana Luiza / Diagramao: Mrcio - 17/06/11 // 2 Reviso: Ana Luiza / Correo: Mrcio - 06/07/11 ExercciosQuesto 1(ENEM/2007) O grco abaixo, obtido a partir de dados do Ministrio do Meio Ambiente, mostra o crescimento do nmero de espcies da fauna brasileira ameaadas de extino:Nmero de espcies ameaadas de extino461239ano1983 1987 1991 1995 1999 2003 2007Se mantida pelos prximos anos, a tendncia de crescimento mostra no grco o nmero de espcies ameaadas de extino. Em 2011, ser igual a:(A) 465(B) 493(C) 498(D) 838(E) 899Resposta correta: Alternativa (C)Anlise das alternativas:A partir do grco, podemos obter o coeciente angular (a) da reta. Logo:53Reviso: Ana Luiza / Diagramao: Mrcio - 17/06/11 // 2 Reviso: Ana Luiza / Correo: Mrcio - 06/07/11CLCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIVELayxy yx x

2 12 1461 2392007 19832222411112Ento:a 11112Assim, podemos encontrar a equao da reta que representa a funo do 1o grau:Considerando-se o ponto (x0; y0)=(1983; 239), fazemos:y y a x x y x y x + 0 023911112198311112198311112239 ( ) ( ) .yy x y x y + + 111122201131212 239121111222011312286812111 .11221724512x Ento, a funo do 1o grau dada por:y x1111221724512Para encontrarmos o valor de y para x = 2011, fazemos:y x y y 11112217245121111220112172451222322112217245( )112597612498y ySendo assim:(A) Alternativa Incorreta.Justicativa: de acordo com os clculos.(B) Alternativa Incorreta.Justicativa: de acordo com os clculos.(C) Alternativa Correta.54Unidade IReviso: Ana Luiza / Diagramao: Mrcio - 17/06/11 // 2 Reviso: Ana Luiza / Correo: Mrcio - 06/07/11Justicativa: de acordo com os clculos.(D) Alternativa Incorreta.Justicativa: de acordo com os clculos.(E) Alternativa Incorreta.Justicativa: de acordo com os clculos.Questo 2(ENEM/2010) As sacolas plsticas sujam orestas, rios e oceanos e quase sempre acabam matando por asxia peixes, baleias e outros animais aquticos. No Brasil, em 2007, foram consumidas 18 bilhes de sacolas plsticas. Os supermercados brasileiros se preparam para acabar com as sacolas plsticas at 2016. Observe o grco a seguir, em que se considera a origem como o ano de 2007:N de sacolas (em bilhes)N de anos (aps 2007)180 9De acordo com as informaes, quantos bilhes de sacolas plsticas sero consumidos em 2011?(A) 4,0(B) 6,5(C) 7,0(D) 8,0(E) 10,0Resoluo na plataforma55Reviso: Ana Luiza / Diagramao: Mrcio - 17/06/11 // 2 Reviso: Ana Luiza / Correo: Mrcio - 06/07/11CLCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIVELResposta correta: Alternativa (E)Anlise das alternativas:Para encontrarmos a alternativa correta, devemos considerar o grco do enunciado.Pelogrco,vericamosqueacurvarepresentadaumaretadecrescente.Sendoassim,acurva representaumafunodo1ograudecrescentecujaformageraldadaporf(x)=y=ax+b,sendoao coeciente angular da reta e b o coeciente linear da reta. A partir de dois pontos extrados da curva, podemos encontrar a funo do 1o grau que est sendo representada. Logo, podemos utilizar os pontos AeBdecoordenadasA(x0,y0)=A(0,18)eB(x,y)=A(9,0).Sendoassim,podemosobterocoeciente angular (a):ayxy yx xa

000 189 01892 2 (reta decrescente)O coeciente linear (b) da reta o valor de y, no qual a reta cruza o eixo y. Pelo grco, b=18.Ento, sendo a forma geral da funo do 1o grau y=ax+b, teremos:y=2x+18Como o y representa o nmero de sacolas (em bilhes) e x representa o nmero de anos (a partir de 2007), se 2007 representa o ano zero, 2011 representar o ano 4. Logo, para calcularmos o nmero de sacolas que sero consumidas em 2011, fazemos x = 4. Ento:y x y y y + + + 2 18 2 4 18 8 18 10 ( )Logo, 10 bilhes de sacolas plsticas sero consumidas em 2011.Ento:(A) Alternativa Incorreta.Justicativa: de acordo com os clculos.(B) Alternativa Incorreta.Justicativa: de acordo com os clculos.(C) Alternativa Incorreta.Justicativa: de acordo com os clculos.56Unidade IReviso: Ana Luiza / Diagramao: Mrcio - 17/06/11 // 2 Reviso: Ana Luiza / Correo: Mrcio - 06/07/11(D) Alternativa Incorreta.Justicativa: de acordo com os clculos.(E) Alternativa Correta.Justicativa: de acordo com os clculos.