Cálculo Diferencial e Integral 2 Unidade 01.1- Integral Indefinida- Método Da Substituição

Ensino Superior

1.1 Integral Indefinida Método da Substituição

Amintas Paiva Afonso

Cálculo 2

Integral Indefinida

Técnicas de Integração (Primitivação)

OBJETIVO: Apresentar técnicas para determinar a função F(x) – conhecida como primitiva – tal que F’(x) = f(x) ou:

F(x)dx f(x)

As principais técnicas de primitivação, conforme visto no curso FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL são:

– INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEL

– INTEGRAÇÃO POR PARTES

– INTEGRAÇÃO POR DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS

– INTEGRAÇÃO UTILIZANDO SUBSTITUIÇÕES (POR MEIO DE IDENTIDADES) TRIGONOMÉTRICAS

Integral Indefinida

Integral Indefinida

EXEMPLO 01

Calcular dx2x1)(x 502

Solução

Seja u = x2 + 1

Logo: 2x dx = du

Assim, a integral dada pode ser escrita como:

du(u)50

C51

1)(xC

51

udu(u)

5125150

INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO

2xdx

du

Integral Indefinida

EXEMPLO 02

Calcular dx9)sen(x

Solução

Seja u = x + 9

Logo: dx = du


dusen(u)

C9)cos(xCcos(u)dusen(u)


1dx

du

Integral Indefinida

EXEMPLO 03

Calcular dxcos(x)(x)sen2

Solução

Seja u = sen(x)

Logo: cos(x) dx = du


duu2

C3

(x)senC

3

uduu

332

cos(x)dx

du


Integral Indefinida

EXEMPLO 04

Calcular dxx

e x

Solução

Entãox2

1

x

1

2

1x

2

1x

dx

d

dx

du

2

12

1

2

1

Seja u = x

Logo: = du dxx2

1

Antes da substituição, a função dada será escrita de outra forma.


Integral Indefinida


Ce2Ce2due2du2e xuuu

dxx2

12edx

x2

2

1

edx

x

e xxx

du2edxx2

12e ux

Ou seja: Ce2dxx

e xx

du2dxx

1dudx

x2

1

outra maneira de chegar aqui sem manipular a função dada é fazendo (página 08):

Integral Indefinida

EXEMPLO 05

Calcular dx1xx2

Solução

Seja u = x – 1

Logo: dx = du

Se u = x – 1

Então x = u + 1

x2 = (u+1)2

x2 = u2 + 2u + 1



Integral Indefinida

duu1)2u(u2

ou:

duu2uu

du1uu2uuuduu1)2u(u

2

1

2

3

2

5

2

1

2

1

2

122

12

Portanto:

C1

21u

123u

21

25u

duu2uu

12

11

2

31

2

5

2

1

2

3

2

5

Integral Indefinida

Cu3

2u

5

4u

7

2duu2uu 2

3

2

5

2

7

2

1

2

3

2

5

Finalmente:

Escrevendo em termos de x:

C)1(x3

2)1(x

5

4)1(x

7

2dx1xx 2

3

2

5

2

72

Técnicas de Integração Método da Substituição: A chave do método da substituição é

dividir a função em partes e depois encontrar uma parte da função cuja derivada também faça parte dela.

Exemplo

Podemos dividir a equação acima em duas partes:

sen x.dx e cos x.

Repare que a derivada do cos x é -sen x, portanto,

a derivada do cosseno faz parte da função.

dxx

xcos

sen

Integral Indefinida

Passos: Procure na função pela parte cuja derivada esteja na função.

Se você estiver em dúvida, tente usar a que está no denominador ou alguma expressão que esteja sendo elevada a uma potência;

Chame-a de “u” e tome sua derivada com relação ao diferencial (dx, dy, dt, etc.). Acrescentando esse diferencial;

Use as expressões “u” e “du” para substituir as partes da integral original;

A sua nova integral será mais fácil de ser calculada, mas não esqueça de, ao final, desfazer a substituição.

Integral Indefinida

Exemplo 06:

Use o método de substituição para encontrar a integral:

Solução

Devemos escolher parte da função cuja derivada esteja na função, como a derivada de sen x = cos x e a derivada do cos x = -sen x, e, ambas estão na função, na dúvida... selecionamos a parte que está no denominador, isto é, cos x.

Chamamos u = cos x;

Agora derivamos u com relação a “x”, portanto: du = -sen x.dx;

Como na função original a função seno é positiva, basta multiplicar ambos os lados por –1 para que ela fique positiva;

dxx

xcos

sen

dxxdu .sen

Integral Indefinida

Solução Basta re-escrever a integral original com as expressões

“u” e “du”;

Integral original:

Nova integral:

Que também pode ser re-escrito como:

x

dxx

cos

.sen

u

du

u

du

Integral Indefinida

Solução

Basta calcular: ;

O passo final é desfazer a substituição de u pelo o valor da original:

Cuu

du ||ln

Cxu

du |cos|ln

Integral Indefinida

Exemplo 07

Use o método de substituição para encontrar a integral:

Solução

Chamamos u = 3x; Agora derivamos u com relação a “x”, portanto: du = 3.dx; Basta re-escrever a integral original com as expressões

“u” e “du”; Note que 3.dx não está na equação original, apenas dx.

Para ficar apenas com dx, fazemos:

dxx).3cos(

dxdu

3

Integral Indefinida

Solução Basta re-escrever a integral original com as expressões “u” e

“du”;

Integral original:

Nova integral:

Que também pode ser re-escrita:

dxx).3cos(

3.cosdu

u

duu.cos3

1

Integral Indefinida

Solução Calculando , temos:

Substituindo u pelo seu valor original, teremos:

duu.cos3

1 Cuduu sen.3

1.cos

3

1

Cxduu 3sen.3

1.cos

3

1

Integral Indefinida

Integral Indefinida

Sejam as identidades trigonométricas:

2

cos2x1xcos

2

cos2x1xsen 22

Assim,

dxcos2x2

1dx

2

1dx

2

cos2x1dxxsen2

2

sen2x

2

1

10

x

2

1 10

Cusen2

1

duucos2

1dxcos2x

dx2

du2

dx

du

2xu

dxcos2x

C4

2xsen

2

xxsen2

EXEMPLO 08

INTEGRAÇÃO DE POTÊNCIAS QUADRÁTICAS DASFUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS SEN(X) E COS(X)

Integral Indefinida

Da mesma forma, e utilizando a outra identidade trigonométrica:

C4

2xsen

2

xxcos2

A integraldxxcosxsen 22

pode ser resolvida fazendo:

dxcos2x12

1cos2x1

2

1

dx2xcos14

1 2

dx2

cos2x1

2

cos2x1dxxcosxsen 22

Integral Indefinida

dx2xcos14

1 2

dx2xcos4

1dx1

4

1 2

8

4xsen

2

x

8

2usen

4

u

4

2usen

2

u

2

1duucos

2

1dx2xcos

dx2

du2xu

dx2xcos

22

2

8

sen4x

2

x

4

1

4

x

C32

sen4x

8

x

Integral Indefinida

Solução

EXEMPLO 09

Determinar dx 6)4xsen(x 2)(x 2

Seja u = x2 + 4x – 6

Então:

42xdx

du

dx 2)(x 2 dx 4)(2xdu


Integral Indefinida

Logo, seja: dx 2)(x 2

du

Assim,

du sen(u)2

1

2

dusen(u)dx 6)4xsen(x 2)(x 2

Sabe-se que:

Ccos(u)du sen(u) TABELA

Mas:

dx 6)4xsen(x 2)(x 2

Integral Indefinida

Então:

C)cos(u)(2

1dx 6)4xsen(x 2)(x 2

C6)4xcos(x2

1dx 6)4xsen(x 2)(x 22

Portanto:

Integral Indefinida

Solução

EXEMPLO 10

Determinar dx

1xx

x2

Seja u = x2 + x + 1

Então:

12xdx

du dx 1)(2xdu

Na integral original, fazer:

dx

1xx

112x

2

1dx

1xx

2x

2

1dx

1xx

x222


Integral Indefinida

Mas:

dx

1xx

1

2

1dx

1xx

12x

2

1dx

1xx

112x

2

1222

1 2

uu

21

u

2

1

121

u

2

1du u

2

1du

u

1

2

1 2

12

11

2

1

2

1

C1xxdx 1xx

12x

2

1 2

2

1 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO

du

u

1

2

1dx

1xx

12x

2

12

ver detalhes na página anterior

Integral Indefinida

A segunda integral a ser resolvida está (ou pode ser colocada) na forma acima:

2 TABELA

Cuaulnduua

1 22

22

du au

1

2

1dx

23

21

x

1

2

1dx

1xx

1

2

122222

onde:

2

3a dx du

2

1xu

Integral Indefinida

Portanto:

C2

1x

4

3

2

1xln

2

1dx

1xx

1

2

12

2

Então, finalmente:

C2

1x

4

3

2

1xln

2

11xxdx

1xx

x2

2

2

Bibliografia utilizada: Flemming, D. M. & Gonçalves, M. B. Cálculo A. Person

Education. São Paulo, 1992. Abdounur, O. J. & Hariki, S. Matemática Aplicada. Saraiva.

São Paulo, 2006. Stewart, J. Cálculo. Volume I. Thomson. São Paulo, 2006. Priestley, W. M. Calculus: An Historical Approach.

Springer-Verlag. New York, 1979. Eves, H. Foundations and Fundamental Concepts of

Mathematics. Dover, 1990.

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