Ensino Superior7. Integrais DuplasConceitos e PropriedadesAmintas Paiva AfonsoClculo 2

Integrais DuplasIntegral dupla uma extenso natural do conceito de integral definida para as funes de duas variveis. Sero utilizadas para analisar diversas situaes envolvendo clculo de reas e volumes, determinao de grandezas fsicas e outros.

f :IR2IR contnua noretngulo R = [a,b] x [c,d]ybaxdcRIntegrais Duplas

f 0 em RQ = {(x,y,z)/(x,y) R e 0 z f(x,y)}xyzQRVolume de Q = V = ?Integrais Duplas

Partio de RxixbaxdcRyx1x2xi-1y1y2yj-1yjyRij(xij , yij)Integrais Duplas

V = xyzQRf (xij , yij) (xij , yij )VijIntegrais Duplas

Integral Dupla de f sobre o retngulo RIntegrais Duplas

Integrais IteradasIntegrais Duplas

Integrais Duplas em Regies Genricas1) Regies inscritas em faixas verticaisD = { (x,y) | a < x < b, g1(x) < y < g2(x) }xy0bay = g1(x)y = g2(x)DIntegrais Duplas

Integrais Duplas em Regies Genricas1) Regies inscritas em faixas horizontaisxy0dcx = h1(y)x = h2(y)DIntegrais DuplasD = { (x,y) | c < y < d, h1(y) < x < h2(y) }

Propriedades das Integrais Duplas Integrais Duplas

Massa e Centro de Massa de uma Lmina(x,y) : densidade no ponto (x,y)D : local ocupado pela lminam : massa da lminaIntegrais Duplas

Centro de Massa : (X,Y)onde X = My/m e Y = Mx/mpara:eIntegrais Duplas

Exemplo 1

Exemplo 2dx

Exemplo 3

Exemplo 4

Exemplo 5

Exemplo 6

Exemplo 7Calcule , onde R = [1, 2] x [0, ].

Exemplo 8Calcule a integral Iterada D = {(x, y) / 0 y 1, 0 x y}D = {(x, y) / 0 x 1, x y 1}

Exemplo 8

Exerccios3) Integrar a funo f(x,y), considerando o domnio definido pelas retas x = 0, y = 0 e y = x. .

Propriedades das Integrais Duplas

Integrais Dupla para Domnios No Retangulares Mltiplo constante:

Soma e diferena:

Aditividade: (R = R1 + R2)

Clculo de Integrais DuplasSef(x,y) contnuano retngulo R = [a, b] [c, d], a integral duplaigualaintegral iterada.xyfixofixo

Clculo de Integrais Duplasabxyh(x)g(x)xASef(x,y) contnuaemA ={(x, y) / xem [a,b]eh(x)y g(x)}, a integral duplaigualaintegral iterada.

Clculo de Integrais Duplasdxych(y)g(y)yASef(x,y) contnuaemA ={(x, y) / yem [c,d]eh(y)x g(y)}, a integral duplaigualaintegral iterada.

Clculo de Integrais Duplas

Integrais Duplas para Domnios No Retangulares

Clculo de Integrais Duplas

Integrais Dupla para Domnios No Retangulares

Clculo de Integrais Duplas

Integrais Iteradas Definio

ExercciosCalcule , onde D a regio limitada pelas parbolas y = 2x2 e y = 1 + x2.

ExercciosResposta: 36

Exerccios Calcule , onde D a regio limitada pela reta y = x 1 e pela parbola y2 = 2x + 6.

Exerccios Calcule , onde D a regio limitada pela reta y = x 1 e pela parbola y2 = 2x + 6.

Exerccios

Exerccios

Exerccios

Exerccios

Exerccios

Exerccios

Exerccios

Exerccios

Valor Mdio de f(x,y) sobre o domnio R

Valor Mdio de f(x,y) sobre o domnio RExemplo: Calcular o valor mdio da funo f(x,y) = sen(x + y), no retngulo 0 x e 0 x /2.