Cálculo diferencial e integral

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    20-Jul-2015
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Clculo diferencial e integral4.1 IntroduoO conceito de limite e continuidade um conceito importante na definio de derivada e integral. Neste captulo trabalhamos com limite, continuidade, derivada e integral utilizando os comando do Mathematica. Abordamos tambm a derivada de ordem superior, derivada parcial, derivada das funes implcitas e integrao mltipla.

4.2 Conceito de limiteIniciamos este captulo com o clculo de limites. O comando utilizado em Mathematica para este clculo "Limit[expresso,x->x0]". Tambm utilizamos a opo "Direction", o que permite o clculo de limites laterais, isto , direita e esquerda. Veja os exemplos a seguir: Exemplo 4.1 Calcular os seguinte limites:

a)

, onde

;

b) c) Resoluo

; , onde f(x) dada como em a).

Utilizamos o comando "Limit" para resolver estes exemplos: a) In[ ]:= f[x_]:=( 5+3 x+4 x^2)/(10 5 x+8 x^2) Limit[f[x],x->5]Out[ ]=

b) In[ ]:= Limit[(1+x)^(1/x),x->0] Out[ ]= E

c) In[ ]:= Limit[f[x],x->Infinity]Out[ ]=

Assim, conclumos que

= = e; = .

;

A seguir apresentamos exemplos de clculo de limites direita e esquerda. Exemplo 4.2 Calcular os seguintes limites direita e esquerda:

a) b) .

;

Faa a visualizao grfica de cada uma destas funes. Resoluo Para calcular os limites direcionados utilizamos a opo "Direction" juntamente com o comando "Limit": a) In[ ]:= f[x_]:=(4 x^2)/(2 x) Limit[f[x],x->2,Direction-> 1] Out[ ]= 4In[ ]:= In[ ]:=

Out[ ]=

Limit[f[x],x->2,Direction->1] 4

Assim, conclumos que

;

isto ,

.

Veja a seguir, o grfico da funo dada:In[ ]:=

Plot[(4 x^2)/(2 x),{x,0,3}]

Out[ ]=

-Graphics-

b) In[ ]:= Limit[1/x,x->0,Direction-> 1] Out[ ]= InfinityIn[ ]:=

Out[ ]=

Limit[1/x,x->0,Direction-> 1] -Infinity

Assim, conclumos que

e

isto ,

no existe. A visualizao grfica desta funo obtida usando o comando "Plot".In[ ]:= Plot[1/x,{x,

1,1}]

Out[ ]=

-Graphics-

Observamos no grfico acima que o limite da funo no ponto x = 0 no existe. O exemplo a seguir nos leva a definir o conceito de derivada utilizando o aspecto de limite. Exemplo 4.3

Calcular a) f1(x) = 4x3 b) f2(x) = Resoluo 2x2 x . 3;

, onde

Utilizamos os seguintes comandos para calcular os limites desejados: a) In[ ]:= Clear[f1] f1[x_]:=4 x^3+2 x^2 x+3In[ ]:=

Out[ ]= In[ ]:=

k1=Simplify[(f1[x+h] f1[x])/h] 1+2 h + 4 h2 + 4 x + 12 h x + 12 x2

Limit[k1,h->0] 2 Out[ ]= 1 + 4 x + 12 x b) In[ ]:= Clear[f2] f2[x_]:=(x^2+1)/xIn[ ]:=

k2=Simplify[(f2[x+h]-f2[x])/h]

Out[ ]=

In[ ]:=

Limit[k2,h->0]

Out[ ]=

Assim, conclumos que

;

.

O exemplo acima nos leva a definir o conceito de derivada de uma funo, o que veremos na prxima seo.

4.3 Clculo diferencialSeja uma funo diferencivel f(x), isto , que tem derivada, definida por

O Mathematica poder computar sua derivada de pelo menos duas formas, desde que a funo f(x) tenha sido definida de maneira adequada. Inicialmente calculamos a derivada usando a definio. Seguem abaixo alguns comandos para se calcular derivadas:

O comando "f[x]" computa a derivada de f(x) em relao a x. O comando "D[f[x],x]" tambm computa a derivada de f(x) e relao a x. O comando "D[f[x],{x,n}]" computa a n-sima derivada de f(x) em relao a x. O comando "D[expresso,varivel]" computa a derivada da expresso em relao a varivel.

Exemplo 4.4 Calcular a derivada da expresso 7x 9x2 Resoluo Para se calcular a derivada da expresso 7x 9x2 + 8x3, podemos derivar diretamente ou podemos definir uma funo f(x) = 7x 9x2 + 8x3. Os comandos abaixo calculam a derivada da mesma funo de trs formas diferentes: 8x3.

1a forma D[7 x 9 x^2+8 x^3,x] Out[ ]= 7 18 x + 24 x2In[ ]:=

2a forma Clear[h] h[x_]:=7 x 9 x^2+8 x^3In[ ]:=

h'[x] 2 Out[ ]= 7 18 x + 24 xIn[ ]:=

3a formaIn[ ]:=

Out[ ]=

D[h[x],x] 7 18 x + 24 x2

Observe que tanto "h[x]" quanto "D[h[x],x]" produziram o mesmo resultado. Assim, conclumos que

(7x 9x2

8x3) = 7 18x

24x2.

Exemplo 4.5 Calcular a derivada das seguintes funes a) f(x) = x2 sen x; b) f(x) = ln(3x4 4); c) f(x) = (5x 3)(2x3 3x Resoluo Resolvemos estes exemplos utilizando os comando "D" dado no exemplo acima. a) In[ ]:= D[x^2 Sin[x],x] 2 Out[ ]= x Cos[x] + 2 x Sin[x] b) In[ ]:= D[Log[3 x^4 + 4],x]Out[ ]=

4)2.

c) In[ ]:= D[(5 x+3)(2 x^3 3 x+4),x] 2 3 Out[ ]= (3 + 5 x)( 3 + 6 x ) + 5(4 3 x + 2 x ) Assim, conclumos que

(x2 sen x) = x2 cos(x) (ln(3x4 4)) = ((5x 3)(2x3 3x

2x sen(x); ; 4) ) = (32

5x)( 3

6x2)

5(4 3x

2x3).

Exemplo 4.6 Calcular f (x), f (x) e f (x) para as seguintes funes: a) f(x) = x4 3x3 b) f(x) = Resoluo Utilizamos os seguintes comandos para resolver estes exemplos: a) In[ ]:= Clear[f] f[x_]:= x^4 3 x^3+5 x^2+3 x+1 D[f[x],x] 2 3 Out[ ]= 3 + 10 x 9 x + 4 xIn[ ]:=

5x2 .

3x

1;

D[f[x],{x,2}] 2 Out[ ]= 10 18 x + 12 xIn[ ]:= In[ ]:=

Out[ ]=

D[f[x],{x,3}] 18 + 24 x

Assim, conclumos que

f (x) = 3 10x 9x2 4x3; f (x) = 10 18x 12x2; f (x) = 18 24x.

b) In[ ]:= Clear[f] f[x_]:=(Sin[4 x])/xIn[ ]:=

D[f[x],x]

Out[ ]= In[ ]:=

D[f[x],{x,2}]

Out[ ]=

In[ ]:=

D[f[x],{x,3}]

Out[ ]=

Assim, conclumos que

f (x) = f (x) = f (x) =

; ; .

4.3.1 Derivadas da funo implcitaUtilizando os comandos do Mathematica podemos calcular a derivada da funo implcita f(x,y) = 0. Os principais comandos so os seguintes:

O comando "Dt[equao,x]" computa a diferencial em relao a varivel x. A expresso encontrada durante a computao representa a derivada de y em relao a x, isto , "Dt[expresso,varivel]" computa a derivada total. "Dt[expresso]" computa a diferencial total "d(expresso)".

Veja os exemplos a seguir, sobre os clculos de derivadas das funes implcitas. A expresso "Dt[y,x]", encontrada durante a computao, representa a derivada de y em relao a x, isto , Dt[y,x] = resultados desejados. Exemplo 4.7 . Utilizamos o comando "Solve" para encontrar os

Calcular a) x2 b) Resoluo

para as funes implcitas dadas a seguir:

y2 = 4; .

Resolvemos estes exemplos utilizando os seguintes comandos: a) In[ ]:= Dt[x^2+y^2==4,x] Out[ ]= 2 x + 2 y Dt[y, x] == 0

In[ ]:=

Solve[Dt[x^2+y^2==4,x],Dt[y,x]] {{Dt[y, x] -> ( )}}

Out[ ]=

b) In[ ]:= Solve[Dt[Exp[ (x^2+y^2)]==Log[x],x],Dt[y,x]]

Out[ ]=

{{Dt[y, x] ->

}}

Os mesmos resultados acima, podem ser obtidos utilizando o comando "D" do Mathematica se declararmos que y uma funo de x, isto , se escrevemos y=y[x]. Veja os clculos abaixo: a) In[ ]:= D[x^2+y[x]^2==4,x] Out[ ]= 2 x + 2 y[x] y'[x] == 0In[ ]:=

Solve[D[x^2+y[x]^2==4,x],y'[x]]

Out[ ]=

{{y'[x] -> (

)}}

b) In[ ]:= Solve[D[Exp[ (x^2+y[x]^2)]==Exp[ x],x],y'[x]]

Out[ ]=

{{y'[x] ->

}}

Assim, conclumos que

, onde x2

y2 = 4;

, onde

.

4.3.2 Derivada parcialDerivadas parciais so calculadas utilizando o mesmo comando que foi utilizado para calcular a derivada, isto , "D" ou "Derivative". Seja f(x,y) uma funo diferencivel em relao s variveis x e y. Utilizamos os seguintes comandos para os clculos das derivadas parciais.

O comando "D[f(x,y),varivel]" computa a derivada parcial de f(x,y) em relao a varivel x ou y. O comando "D[f(x,y),{varivel,n}]" calcula a n-sima derivada parcial de f(x,y).

O comando "D[f(x,y),x,y]" calcula a derivada parcial de f(x,y) primeiro em relao a y e depois em relao a x. O comando "D[f(x,y),y,x]" calcula a derivada parcial de f(x,y) primeiro em relao a x e depois em relao a y. O comando "Derivative" tambm pode ser usado para calcular a derivada parcial da funo. O comando "Derivative[1,0][f][a,b]" calcula a derivada parcial de f em relao a x e apresenta o resultado trocando x por a, e y por b. O comando "Derivative[0,1][f][a,b]" calcula a derivada parcial de f em relao a y e apresenta o resultado trocando x por a, e y por b. O comando "Derivative[n,m][f][a,b]" calcula a n-sima derivada parcial da f em relao a x e depois a m-sima derivada parcial de f em relao a y e apresenta o resultado trocando x por a, e y por b.

Veja alguns exemplos a seguir: Exemplo 4.8 Calcular as derivadas parciais da funo f(x,y) = ln(3x3 a x e y. Resoluo Utilizamos o comando "D" para calcular a derivada parcial. Podemos tambm derivar expresses que possuem variveis independentes entre si. Assim sendo, assumimos que em "D[Log[3x3+y]+Sin[x+3y3],x]", y independente de x, isto , a derivada parcial de f(x,y) em relao a x obtida utilizando o seguinte comando:In[ ]:=

y)

sen(x

3y3) em relao

D[Log[3 x^3+y]+Sin[x+3 y^3],x]

Out[ ]=

Analogamente, a derivada da f(x,y) em relao a y obtida porIn[ ]:=

D[Log[3 x^3+y]+Sin[x+3 y^3],y]

Out[ ]=

Observe que se y for dependente de x, podemos utilizar a forma funcional explcita y[x] e damos o seguinte comando:

In[ ]:=

D[Log[3 x^3+y[x]]+Sin[x+3 y[x]^3],x]

Out[ ]=

Assim, conclumos que

;.

Exemplo 4.9 Seja f(x,y) = (x3 y3)3/5. Calcular

a) b) Resoluo ;

;

Utilizamos os seguintes comandos: Clear[f] f[x,y]:=(x^3+y^3)^(3/5)In[ ]:=

a) In[ ]:= D[f[x,y],x]

Out[ ]= In[ ]:=

D[f[x,y],y]

Out[ ]= In[ ]:=

D[f[x,y],y,x]

Out[ ]=

Assim, conclumos que

;

;

.

b) In[ ]:= Clear[f] f[x,y]:=(x^3+