Cálculo Diferencial e Integral

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARA CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO

LICENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA

Técnicas de integração

Prof.Esp: Eusom Passos

Universidade do Estado do Pará Curso de Licenciatura Plena em Matemática Pág.2

Prof. Esp. Everaldo Raiol da Silva Apostila de Cálculo Diferencial e Integral I

Uma breve história do estudo da Derivada

A derivada tem dois aspectos básicos, o geométrico e o computacional. Além disso, as

aplicações das derivadas são muitas: a derivada tem muitos papéis importantes na matemática

propriamente dita, tem aplicações em física, química, engenharia, tecnologia, ciências, economia e

muito mais, e novas aplicações aparecem todos os dias. A origem da derivada está nos problemas

geométricos clássicos de tangência, por exemplo, para determinar uma reta que intersecta uma dada

curva em apenas um ponto dado. Euclides (cerca de 300 a.C.) provou o familiar teorema que diz

que a reta tangente a um círculo em qualquer ponto P é perpendicular ao raio em P. Arquimedes

(287--212 a.C.) tinha um procedimento para encontrar a tangente à sua espiral e Apolônio (cerca de

262--190 a.C.) descreveu métodos, todos um tanto diferentes, para determinar tangentes a parábolas,

elipses e hipérboles. Mas estes eram apenas problemas geométricos que foram estudados apenas por

seus interesses particulares limitados; os gregos não perceberam nenhuma linha em comum ou

qualquer valor nestes teoremas. Problemas de movimento e velocidade, também básicos para nosso

entendimento de derivadas hoje em dia, também surgiram com os gregos antigos, embora estas

questões tenham sido originalmente tratadas mais filosoficamente que matematicamente. Os quatro

paradoxos de Zenão (cerca de 450 a.C.) se apóiam sobre dificuldades para entender velocidade

instantânea sem ter uma noção de derivada. Na Física de Aristóteles (384--322 a.C.), os problemas

de movimento estão associados intimamente com noções de continuidade e do infinito (isto é,

quantidades infinitamente pequenas e infinitamente grandes). Na época medieval, Thomas

Bradwardine (1295--1349) e seus colegas em Merton College, Oxford, fizeram os primeiros

esforços para transformar algumas das idéias de Aristóteles sobre movimento em afirmações

quantitativas. Em particular, a noção de velocidade instantânea tornou-se mensurável, pelo menos

em teoria; hoje, é a derivada (ou a taxa de variação) da distância em relação ao tempo.

Foi Galileu Galilei (1564--1642) quem estabeleceu o princípio que matemática era a

ferramenta indispensável para estudar o movimento e, em geral, ciência: “Filosofia [ciência e

natureza] está escrita naquele grande livro o qual está diante de nossos olhos quero dizer o universo,

mas não podemos entendê-lo se não aprendermos primeiro a linguagem. O livro está escrito em

linguagem matemática.” Galileu estudou o movimento geometricamente; usou as proporções

clássicas de Euclides e propriedades das cônicas de Apolônio para estabelecer relações entre

distância, velocidade e aceleração. Hoje, estas quantidades variáveis são aplicações básicas das

derivadas. O interesse em tangentes a curvas reapareceu no século 17 como uma parte do

desenvolvimento da geometria analítica. Uma vez que equações eram então usadas para

descreverem curvas, o número e variedade de curvas aumentou tremendamente naqueles estudos em



épocas clássicas. Por exemplo, Pierre Fermat (1601--1665) foi o primeiro a considerar a idéia de

uma família inteira de curvas de uma só vez. Ele as chamou de parábolas superiores, curvas da

forma y = k n, onde k é constante e n = 2, 3, 4, … A introdução de símbolos algébricos para estudar

a geometria de curvas contribuiu significativamente para o desenvolvimento da derivada, da integral

e do cálculo. Por outro lado, como conclusões e resultados geométricos poderiam ser obtidos mais

facilmente usando raciocínio algébrico que geométrico, os padrões de rigor lógico que tinham sido

iniciados pelos gregos antigos foram relaxados em muitos problemas de cálculo, e isto (entre outros

fatores) levou a controvérsias espirituosas e até amarguradas. Fermat desenvolveu um procedimento

algébrico para determinar os pontos mais altos (máximos) e mais baixos (mínimos) sobre uma

curva; geometricamente, ele estava encontrando os pontos onde a tangente à curva tem inclinação

zero.

René Descartes (1596--1650) teve o discernimento de prever a importância da tangente

quando, em sua Geometria, escreveu “E eu ouso dizer isto [encontrar a normal, ou perpendicular a

uma curva, a partir da qual podemos facilmente identificar a tangente] não é apenas o problema

mais útil e geral da geometria que conheço, mas até aquele que sempre desejei conhecer” Descartes

inventou um procedimento de dupla raiz para encontrar a normal e então a tangente a uma curva.

Como resultado da tradução da Geometria de Descartes para o latim por Frans Van Schooten (1615-

-1661) e as explicações abrangentes por Schooten, Florimonde de Beaune (1601--1652) e Johan

Hudde (1628-1704), os princípios e benefícios da geometria analítica tornaram-se mais amplamente

conhecidos. Em particular, Hudde simplificou a técnica da dupla raiz de Descartes para determinar

pontos máximos e mínimos sobre uma curva; o procedimento da dupla raiz foi redescoberto por

Christiaan Huygens (1629-1695). Então, modificando o processo da tangente de Fermat, Huygens

inventou uma seqüência de etapas algébricas que produziu os pontos de inflexão de uma curva;

veremos que isto requer a derivada segunda. René François de Sluse (1622--1685) desenvolveu uma

técnica algébrica que levou à inclinação da tangente a uma curva. No final da década de 1650, havia

grande correspondência entre Huygens, Hudde, Van Schooten, Sluse e outros sobre tangentes de

várias curvas algébricas; Hudde e Sluse especialmente procuraram métodos algébricos mais simples

e padronizados que poderiam ser aplicados a uma variedade maior de curvas. Para Gilles Personne

de Roberval (1602--1675), uma curva era o caminho de um ponto se movendo, e ele desenvolveu

um método mecânico para encontrar a tangente para muitas curvas, incluindo a ciclóide. Mas o

método de Roberval não podia ser generalizado para incluir mais curvas. Isaac Newton (1642--

1727) começou a desenvolver o seu “cálculo de flúxions” entre os seus primeiro esforços científicos

em 1663. Para Newton, movimento era a “base fundamental” para curvas, tangentes e fenômenos



relacionados de cálculo e ele desenvolveu seus flúxions a partir da versão de Hudde do

procedimento da dupla raiz. Newton estendeu esta técnica como um método para encontrar a

curvatura de uma curva, uma característica que agora sabemos ser uma aplicação da derivada

segunda. Em 1666, 1669 e 1671, Newton resumiu e revisou seu trabalho de cálculo e estes

manuscritos circularam entre um grande número de seus colegas e amigos. Ainda assim, embora

tenha continuado a retornar a problemas de cálculo em épocas diferentes de sua vida científica, os

trabalhos de Newton sobre cálculo não foram publicados até 1736 e 1745. Com algum tutoramento

e conselho de Huygens e outros, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646--1716) desenvolveu seu cálculo

diferencial e integral durante o período entre 1673 e 1676 enquanto vivia como um diplomata em

Paris. Em uma pequena viagem a Londres, onde participou de um encontro da Sociedade Real em

1673, Leibniz aprendeu o método de Sluse para encontrar tangentes a curvas algébricas. Leibniz

tinha pouca inclinação para desenvolver estas técnicas e interesse ainda menor em fundamentações

matemáticas (isto é, limites) necessárias, mas ele aperfeiçoou as fórmulas modernas e a notação

para derivada no seu famoso artigo "New methods for maximums and minimums, as well as

tangents, which is neither impeded by fractional nor irrational quantities, and a remarkable calculus

for them" (Novos métodos para máximos e mínimos, assim como tangentes, os quais não são

impedidos por quantidades fracionárias e irracionais, e um cálculo notável para eles) de 1684. Aqui

está o primeiro trabalho publicado em cálculo e de fato a primeira vez que a palavra “cálculo” foi

usada em termos modernos. Agora, qualquer um poderia resolver problemas de tangentes sem ser

especialista em geometria, alguém poderia simplesmente usar as fórmulas de “cálculo” de Leibniz.

Algumas vezes se diz que Newton e Leibniz “inventaram” o cálculo. Como podemos ver,

isto é simplificação exagerada. Em vez disso, como Richard Courant (1888--1972) observou,

cálculo tem sido “uma luta intelectual dramática que durou 2500 anos”. Depois de 1700,

circunstâncias levaram a um dos episódios mais tristes e deselegantes em toda a história da ciência:

a disputa entre Leibniz e Newton, e mais ainda entre seus seguidores, sobre quem deveria receber os

créditos do cálculo. Cada um fez contribuições importantes para derivada, integral, séries infinitas e,

acima de tudo, para o Teorema Fundamental do Cálculo. As acusações de plágio e outros ataques

eram irrelevantes frente à matemática feita por eles, mas as acusações e contra-ataques escalaram

para cisões entre matemáticos e cientistas na Inglaterra (leais a Newton) e no continente europeu

(seguidores de Leibniz) os quais levaram à xenofobia nacionalista por mais de um século. O

primeiro livro sobre cálculo diferencial foi Analysis of Infinitely Small Quantities for the

Understanding of Curved Lines (Análise de quantidades infinitamente pequenas para o

entendimento de curvas, 1696) pelo Marquês de l‟Hospital (1661--1704). Muito de seu trabalho foi



realmente devido à Johann Bernoulli (1667--1748) e seguiu o tratamento de Leibniz para derivadas,

máximos, mínimos e outras análises de curvas. Mas o método de L‟Hospital para determinar o raio

de curvatura era muito parecido com aquele de Newton. Jakob Bernoulli (1654-1705) e seu irmão

mais novo Johann lideraram o caminho para espalhar o conhecimento do poder das fórmulas de

cálculo de Leibniz propondo e resolvendo problemas desafiadores (o problema da catenária e da

braquistócrona são dois exemplos) para os quais o cálculo era necessário. Leibniz, Newton e

Huygens também resolveram estes problemas. Estes problemas e outros levaram ao

desenvolvimento das equações diferenciais e do cálculo das variações, novos campos da matemática

dependentes de cálculo.

Na Inglaterra, o novo Treatise of Fluxions (Tratado de Flúxions, 1737) de Thomas Simpson

(1710--1761) forneceu a primeira derivada da função seno. Em 1734, o Bispo George Berkeley

(1685--1753) publicou The Analyst (O Analista), um ataque à falta de fundamentos rigorosos para

seus flúxions. Berkeley reconheceu a precisão das fórmulas de Newton e a exatidão das suas

aplicações abrangentes em física e astronomia, mas criticou as "quantidades infinitamente

pequenas" e os "incrementos imperceptíveis" dos fundamentos das derivadas. Colin Maclaurin

(1698--1746) tentou defender Newton no seu Treatise of Fluxions (Tratado de Flúxions) (1742) e

desenvolveu derivadas para funções logarítmicas e exponenciais e expandiu as fórmulas de Simpson

para incluir as derivadas das funções tangente e secante.

No continente, Maria Agnesi (1718--1799) seguiu Leibniz e L'Hospital no seu livro de

cálculo Analytical Institutions (Instituições Analíticas, 1748). Leonhard Euler (1707--1783) deu um

passo importante na direção de estabelecer uma fundamentação sólida para o cálculo no seu

Introduction to the Analysis of the Infinite (Introdução à Análise do Infinito, 1748) quando

introduziu funções (no lugar de curvas) como os objetos para os quais as derivadas e outras técnicas

de cálculo seriam aplicadas. Por função, Euler queria dizer algum tipo de "expressão analítica"; sua

concepção não era tão abrangente como a nossa definição moderna. Na sua publicação, também

introduziu o termo análise como um nome moderno para cálculo e a matemática avançada

relacionada. No seu Methods of Differential Calculus (Métodos de Cálculo Diferencial, 1755),

Euler definiu a derivada como "o método para determinar as razões entre os incrementos

imperceptíveis, as quais as funções recebem, e os incrementos imperceptíveis das quantidades

variáveis, das quais elas são funções", que soa não muito científico hoje em dia. Mesmo assim,

Euler trabalhou com vários casos especiais da regra da cadeia, introduziu equações diferenciais e

tratou máximos e mínimos sem usar quaisquer diagramas ou gráficos. Em 1754, na famosa

Encyclopédie francesa, Jean le Rond d‟Alembert (1717--1783) afirmou que a "definição mais



precisa e elegante possível do cálculo diferencial" é que a derivada é o limite de certas razões

quando os numeradores e denominadores se aproximam mais e mais de zero, e que este limite

produz certas expressões algébricas que chamamos de derivada. No final do século 18, Joseph Louis

Lagrange (1736--1813) tentou reformar o cálculo e torná-lo mais rigoroso no seu Theory of Analytic

Functions (Teoria das Funções Analíticas, 1797). Lagrange pretendia dar uma forma puramente

algébrica para a derivada, sem recorrer à intuição geométrica, a gráficos ou a diagramas e sem

qualquer ajuda dos limites de d'Alembert. Lagrange desenvolveu a principal notação que usamos

agora para derivadas e o desenvolvimento lógico de seu cálculo era admirável em outros aspectos,

mas seu esforço em prover uma base sólida para o cálculo falhou porque sua concepção da derivada

era baseada em certas propriedades de séries infinitas as quais, sabemos agora, não são verdadeiras.

Finalmente, no início do século 19, a definição moderna de derivada foi dada por Augustin

Louis Cauchy (1789--1857) em suas aulas para seus alunos de engenharia. Em seu Résumé of

Lessons given at l'Ecole Polytechnique in the Infinitesimal Calculus (Resumo das Lições Dadas na

Escola Politécnica Sobre o Cálculo Infinitesimal, 1823), Cauchy afirmou que a derivada é:

O limite de [f(x + i) - f(x)] / i quando i se aproxima de 0. A forma da função que serve como

o limite da razão [f(x + i) - f(x)] / i dependerá da forma da função proposta y = f(x). Para indicar sua

dependência, dá-se à nova função o nome de função derivada. Cauchy prosseguiu para encontrar

derivadas de todas as funções elementares e dar a regra da cadeia. De igual importância, Cauchy

mostrou que o Teorema do Valor Médio para derivadas, que tinha aparecido no trabalho de

Lagrange, era realmente a pedra fundamental para provar vários teoremas básicos do cálculo que

foram assumidos como verdadeiros, isto é, descrições de funções crescentes e decrescentes.

Derivadas e o cálculo diferencial estão agora estabelecidos como uma parte rigorosa e

moderna do cálculo.



Após estudarmos limite de uma função suas propriedades e aplicações, estudaremos agora a

derivada de uma função e suas aplicações na demais áreas do conhecimento humano.

6.1 – Razão incremental

Considerando uma função f, dada por y = f (x), contínua e definida num intervalo A e xo um

elemento desse intervalo, representada no gráfico abaixo:

o

o

xx

xfxf

x

y

)()( Razão incremental ou razão do acréscimo

6.2 – Derivada Definição

Dizemos que a função f (x) é derivável no ponto xo, se o limite da razão incremental x

y

,

quando x 0, existir e for único.

'f (x) = o

o

xx xx

xfxf

o

)()(lim

Notações: 'f (x) = dx

dy ou 'f (x) =

x

xfxxf

x

)()(lim

0 ou 'f (x) =

x

y

x

0lim

6.3 – Função Derivada

Seja f uma função derivável no intervalo aberto I. Para cada xo, pertencente a I, existe, e é

único o limite:

x

xfxxfxf oo

xo

)()(lim)('

0

Portanto, podemos definir uma função f: IR, que associa cada xo I a derivada de f no

ponto xo. Esta função é chamada derivada de f ou simplesmente derivada de f.

Habitualmente a derivada de f é representada por 'f (x), dx

df, y‟ ou Df .

.

f(x)

f(xo)

xo x

f(x)

y y

x

x

y

x0 + x = x

x = x – xo

x Acréscimo ou incremento de x

f (xo) + y = f (x)

y = f (x) – f (xo)

y Acréscimo ou incremento de f (x)

AULA O6



A lei f '(x) pode ser determinada a partir da lei f (x), aplicando-se a definição de derivada de

uma função num ponto genérico x I. x

xfxxfxf

ox

)()(lim)('

6.4 – Derivada e continuidade

Teorema: Seja a função BAf : e xo.A. Se f é derivável em xo, então f é contínua em xo

lim ( ) ( )o

ox x

f x f x

.

Demonstração:

)()()()( oo xfxfxfxf Multiplicando e dividindo o 2º membro por )( oxx

)(

)().()()()(

o

ooo

xx

xxxfxfxfxf

).()(

)()()()( o

o

oo xx

xx

xfxfxfxf

Aplicando a definição de lim

ox x, obtemos:

)(lim.)()(

lim)]()([lim oxx

o

o

xxo

xxxx

xx

xfxfxfxf

ooo

lim ( ) ( ) 0

lim ( ) ( )

o

o

ox x

ox x

f x f x

f x f x

6.5 - Aplicações das derivadas:

6.5.1 - Interpretação geométrica:

Considerando a função y = f (x), no intervalo, I com oxx e o gráfico acima representado

pela curva C, sendo x e xo elemento desse intervalo. Se a reta S, secante a curva C, é determinada

pelos pontos Po (xo, f (xo)) e P (x, f (x)), podemos dizer que o coeficiente angular de s é

o

0

f(x) - f(x )tg α =

x - x, que corresponde a razão incremental de f (x) no ponto xo. Observe que se

0x , ou seja, se x tende para xo, o ponto P se aproxima de Po e a reta secante s tenderá a reta t,

tangente a curva C, no ponto Po.



Se a reta S tende a reta t, então tende a , portanto: o

Δx 0o

f(x) f(x ) Δylim lim = tg β

x x Δxox x

,

portanto: concluímos que '( ) tg βof x .

A derivada da função f (x0), no ponto xo é igual ao coeficiente angular (tgβ) da reta t,

tangente ao gráfico da função f (x), no ponto Po (xo, f (xo)), desta forma a equação da reta t, pode ser

assim representada:

).()( oo xxmyy

)).((')()( ooo xxxfxfxf e como f (x) = y

)).(('))(( ooo xxxfxfy Equação da reta tangente

1( ( )) .( )

'( )o o

o

y f x x xf x

Equação da reta normal

Questões resolvidas

01) Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função dada, no ponto dado:

3( )f x x , no ponto de abscissa 8.

02) Encontre as equações das retas tangente e normal para as curvas abaixo, no ponto especificado.

1) ( ) f x n x , no ponto 2ox , (2, 2)P n .

(Coeficiente Angular)

1 1'( ) '( )

2of x f x

x

3(8) 8

(8) 2

f

f

3

23

23

2

( )

1'( )

3.

1'(8)

3. 8

1'(8)

3.(2)

1'(8)

3.4

1'(8)

12

f x x

f x

x

f

f

f

f

( ) '( ).( )

12 ( 8)

12

82 4

12 12

22

12 3

22 0

12 3

40

12 3

oy f x f x x x

y x

xy

xy

xy

xy

A imagem de 8x

A derivada de f(x) quando x = 8

Equação da Reta Tangente

1

( ) .( )'( )

12 ( 8)

1

12

2 12.( 8)

2 12 96

12 2 96 0

12 98 0

oy f x x xf x

y x

y x

y x

x y

x y

Equação da Reta Norma



(Imagem quando 2x )

Equação da reta tangente

1

( ) '( ).( ) ( ) ( 2)2

22 2 1

2 2 2

2 1 02

o o o oy f x f x x x y f x x

x xy n y n

xy n


1( ) ( )

'( )

12 ( 2)

1

2

2 2.( 2)

2 2 4

2 2 4 0

2 ( 2 4) 0

o o

o

y f x x xf x

y n x

y n x

y n x

y x n

y x n

2) ( )2

x xe ef x

, no ponto 2ox .

( )2

'( ) .( 1)

( ) 2

'( ) 0

x x

x x x x

e eu x

u x e e e e

v x

v x

(Coeficiente Angular)

. 2'( )

x xe ef x

2

2

2 2

2 2

x xe e e e

(Imagem) 2 ( 2) 2 2

( 2)2 2 2

x xe e e e e ef

Equação da tangente

( )

( ) 2

f x nx

f x n

A diferença das equações é o coeficiente angular, pois na

equação da reta normal é igual ao inverso negativo da derivada

da função.



2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

( ) '( ).( ) ( 2)2 2

. 2. . 2. 02 2 2 2 2 2

2. 2.. 0

2 2

o o o

e e e ey f x f x x x y x

e e e e e e e e e e e ey x y x

e e e e e ey x

2 2 2 23.. 0

2 2

e e e ey x


2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

1 1( ) ( ) ( 2)

( ' ) 2

2

2 2 21 ( 2) 2

2 2

2 4

2

o o

o

e ey f x x x y x

f x e e

e e e ey x y x

e e e e e e

e ey x

e e e e

0



Questões propostas

01) Dada a elipse de equação 2 2

125 9

x y , obter as equações das retas tangentes nos pontos de

abscissa 3.

R: 12 9

( 3)5 20

y x e 12 9

( 3)5 20

y x .

02) Considere a hipérbole de equação 2

2 116

yx , obter as equações das retas tangentes nos pontos

de abscissa 3.

R: 8 2 3 2( 3)y x e 8 2 3 2( 3)y x .

03) Considere a parábola de equação 2 6 2 17y y x , obter as equações das retas tangentes nos

pontos de abscissa 12.

R: 4 8 0x y e 4 16 0x y .

04) Escrever a equação da tangente e da normal à curva 3 22 4 3y x x x no ponto (-2;5).

R: 5 0y e 2 0x .

05) Achar a equação da tangente e da normal à curva 3 1y x no ponto (1;0).

R: 1 0x e 0y .

06) Escrever a equação da tangente e da normal à curva: 3 2 2 6 0x y x no ponto com

ordenada 3y . R: 5 6 13 0x y e 6 5 21 0x y .

07) Escrever a equação da tangente à curva: 5 5 2 0x y xy no ponto (1;1).

R: 2 0x y

08) Escrever a equação da tangente e da normal à curva: ( 1)( 2)( 3)y x x x nos pontos de sua

intersecção com o eixo das abscissas.

R: no ponto (1;0):

2 2

1

2

y x

xy

; no ponto (2;0):2

2

y x

y x

e no ponto (3;0):

2 6

3

2

y x

xy

09) Escrever a equação da tangente e da normal à curva: 4 44 6y x xy no ponto (1;2).

R: 14 13 12 0x y e 13 14 41 0x y .

10) Escrever as equações da tangente e da normal às curvas nos pontos dados:

a) y = tg 2x , na origem das coordenadas:

R:

2

1

2

y x

y x



b) 1

arc.sen2

xy

, no ponto de interseção com o eixo OX.

R; 2 1 0

2 2 0

x y

x y

c) arc.cos 3y x , no ponto de interseção com o eixo OY.

R; 6 2 π 0

2 6 3π 0

x y

x y

d) lny x , no ponto de interseção com o eixo OX:

R; 1

1

y x

y x

e) 21 xy e , nos pontos de interseção com a reta 1y .

2 3 0 para o ponto (1;1)

2 1 0

x y

x y

2 3 0 para o ponto (-1;1)

2 1 0

x y

x y



6.5.2 - Interpretação Cinemática

Quando estudamos Física no capitulo de Cinemática sabemos que a posição de um ponto

material em movimento sobre uma curva (trajetória) conhecida, pode ser determinada, em cada

instante t , através de sua abscissa s, medida sobre a curva δ .

Velocidade escalar do ponto to é o limite:

)('lim)()(

limlim)(0

ot

o

o

tttto ts

t

s

tt

tststV

oo

A derivada da função s = s (t), no ponto t = to é igual a velocidade escalar do móvel no

instante to.

Sabemos ainda que a velocidade V de um ponto material em movimento pode variar de

instante para instante. A equação que nos dá V em função do tempo t V = V(t).

È chamada equação da velocidade do ponto sendo dado um instante to e um instante,

diferente de to, chama-se aceleração escalar média do ponto entre os instantes to e t.

t

v

tt

tvtva

o

o

r

)()(

A aceleração escalar do ponto to é o limite:

)('lim)()(

limlim)(0

ot

o

o

ttr

tto tv

t

v

tt

tvtvata

oo

A derivada da função V= V (t) no ponto t = to é igual a aceleração escalar do móvel no

instante to.


01) Um ponto móvel sobre uma reta tem abscissa S dada em cada instante t dada pela lei

.cos( . )S a w t em que a, w e são números reais dados. Determine.

1) A lei que dá a velocidade do ponto em cada instante. .cos( . )

' . ( . ). .1

'. . '

. . ( . )

S a w t

V S a sen w t w

u v u v

v a w sen w t



2) A velocidade no instante 0t .

( ) . . ( . )

( ) . . ( . 0

v t a w sen w t

v t a w sen w

0

)

( ) . . v t a w sen

3) A lei que dá a aceleração do ponto em cada instante.

2

' .0. ( . ) . .cos( . ) .

. .cos( . )

a v a sen w t a w w t w

a a w w t

4) A aceleração no instante no instante 1/t s . 2

2

2

. .cos( . )

. .cos( . 1 )

. .cos( )

a a w w t

a a w w

a a w w

02) Obtenha a velocidade e a aceleração de um ponto material que percorre um seguimento de reta

obedecendo a equação horária -tS a e cos t , com aR .

. .cos

' . . 1.cos . . . .cos . . . .(cos )

' . .( 1). cos . . cos

. .cos

t

t t t t t

t t

t

S a e t

v S a e t a e sent a e t a e sent a e t sent

a v a e t sent a e sent t

a a e t

. . . . . .cost t ta e sent a e sent a e t

2 . .ta a e sent

03) Durante várias semanas, o departamento de trânsito vem registrando a velocidade dos veículos

que passam em um certo quarteirão. Os resultados mostram que entre 13h e 18h de um dia de

semana, a velocidade nesse quarteirão é dada aproximadamente por 3 2v(t) t 10,5t 30t + 20 ,

quilômetros por hora, onde t é o número de horas após o meio-dia. Qual o instante entre 13h e 18h

em que o trânsito é mais rápido? Qual o instante em que o trânsito é mais lento?

2

2

2

2

'( ) 3 21 30 3

'( ) 3 10

4

( 7) 4.1.10

49 40

9

v t t t

v t t t

b ac

2

( 7) 9 7 3

2.1 2

7 3 10' 5

2 2

7 3 4'' 2

2 2

bx

a

x

x

x



3 2

3 2

3 2

3 2

( ) 10,5. 30 20

(1) 1 10,5.1 30.1 20 1 10,5 30 20 1 10,5 30 20 51 10,5 40,5

(2) 2 10,5.2 30.2 20 8 10,5.4 60 20 8 42 60 20 88 42 46

(5) 5 10,5.5 30.5 20 125 10,5.25 150 20 125 262,5 150 2

v t t t t

v

v

v

3 2

0 295 262,5 32,5

(6) 6 10,5.6 30.6 20 216 10,5.36 180 20 216 378 180 20 416 378 38v

O trânsito é mais rápido às 14h, quando os carros passam no quarteirão com uma

velocidade média de 46 km/h, e mais lento às 17h, quando a velocidade média é 32,5 km/h.

04) Um corpo se move em linhas retas de tal forma que, em t segundos, percorre uma distância 3 2( ) 12 12D t t t em metros. Calcule a aceleração do corpo após 3 segundos.

2

2

'( ) 3 2.12 0

'( ) 3 24

'( ) 2.3 24

'(3) 6.3 24

'(3) 18 24

'(3) 6 /

V D t t t

V D t t t

a V t t

a V

a V

a V m s

Questões propostas

01) Se a posição de um corpo que está se movendo em linha reta é dada por s(t) = t3 - 3t

2 + 4t no

instante t, calcule a velocidade e a aceleração do corpo.

R: velocidade: 3t² - 6t + 4, aceleração: 6t – 6

02) Uma pedra é lançada verticalmente para cima. Sua altura h (metros) em relação ao solo, é dada

por h = t3 – 3t

2 – 9t + 1, onde t indica o número de segundos decorridos após o lançamento. Em que

instante a pedra atingirá sua altura máxima?

R: t = 2s

03) Um móvel desloca-se sobre um eixo de modo que sua abscissa s no instante t é dada pela

equação s = a. cos (kt + ), sendo a, k, constantes dadas. Determinar:

a) instantes e posições em que é máxima a velocidade do móvel; R: 1 3π

t = 2nπk 2

e s = 0

b) instantes e posições em que é mínima a aceleração do móvel. R: 1

t = 2nπk

e s = a

04) Os experimentos mostram que a altura (em metros) do pulo de uma pulga após t segundos é

dada pela função H(t) = (4,4)t – (4,9)t² Usando os métodos do cálculo, determine o instante em que

a pulga atinge a altura máxima. Qual é a altura máxima atingida pela pulga?



R: t 0,449s e h 0,988m

05) Um corpo se move em linha reta de tal forma que sua posição no instante t é dada por s(t) = t³ -

6t² + 9t + 5.

(a) Determine a velocidade e aceleração do corpo no instante t.

(b) Em que instante o corpo está estacionário?

R: (a) v(t) = 3t² - 12t + 9 e a(t) = 6t – 12.; (b) t = 1 e t = 3.

06) Do alto de um edifício de 34 metros de altura, uma pessoa lança uma bola verticalmente para

cima com uma velocidade inicial de 29m/s:

(a) Determine a altura e velocidade da bola no instante t.

(b) Em que instante a bola chega ao chão e qual a velocidade no momento do impacto?

(c) Em que momento a velocidade é nula? O que acontece nesse momento?

(d) Qual é a distância total percorrida pela bola?

R: (a) h(t) = -4,9t² + 29t + 34 e v(t) = -9,8t + 29

(b) v(7) = -39,6 m/s.

(c) A velocidade é nula quando v(t) = 0, o que acontece no instante t = 3. Para t < 3, a velocidade

é positiva e a bola está subindo; para t > 3, a velocidade é negativa e a bola está descendo.

Assim, a bola atinge o ponto mais alto da trajetória no instante t = 3.

(d) 119,8m

07) Um móvel se desloca segundo a equação horária 2S = ln(3t 2t 2) S em metros e t em

segundos. A velocidade do móvel no instante t = 2s.

R: 1 m/s

08) A posição s(t) de um corpo que está em movimento em linha reta é dada. Em cada caso:

Calcule a velocidade v(t) e a aceleração a(t) do corpo

Determine o instante t no qual a aceleração é nula.

(a) s(t) = 3 5t - 5t³ - 7 R:

4 2 3a) v(t) = 15t 15t ,a(t) = 60t 30t

2b) a(t) = 0 para t = 0,

2



(b) s(t) = (1 – t)³ + (2t + 1)² R:

2a) v(t) = 3(1 t) 4(2t 1),a(t) = 6(1 t) 8

7b) a(t) = 0 para t =

3

09) A distância percorrida por um carro em t horas de viagem é D(t) = 64t + 10t²/3 – 2t³/9

quilômetros.

(a) Escreva uma expressão para aceleração do carro em função ao tempo.

(b) Qual é a taxa de variação da velocidade com o tempo após seis horas de viagem? A velocidade

está aumentando ou diminuindo nesse instante?

(c) Qual é a variação de velocidade do carro durante a sétima hora de viagem?

R: 2

20 4ta) a(t) =

3 3

b) A velocidade está diminuindo à razão de 1,33km/h

c) a velocidade diminui 2 km/h

10) Um projétil é lançado verticalmente a partir do solo com uma velocidade inicial de 48 m/s:

(a) Quanto tempo o projétil leva para se chocar com o solo?

(b) Qual é a velocidade no momento do impacto?

(c) Quanto tempo o projétil leva para atingir a altura máxima? Qual é essa altura?

R:

a) t = 9,8 s

b) v(9,8) = -48 m/s

c) t = 4,9 s;S(4,9) = 117,6 m

11) Nos Problemas a seguir, s(t) representa a posição de um corpo que está se movendo em linha

reta:

Determine a velocidade e a aceleração do corpo e descreva seu movimento durante o intervalo de

tempo indicado

Calcule a distância total percorrida pelo corpo durante o intervalo de tempo indicado.

a) s(t) = 2t + 1

t² + 12; 0 t 3 R:

3 2

2 2 2 3

-2(t + 4)(t - 3) -2(2t + 3t - 72t - 12)a) v(t) = ;a(t) = ,

(t + 12) (t + 12)

o corpo está avançando e freando em todo o intervalo

b) 0,25



b) s(t) = 2t3 – 21t

2 + 60t - 25; 1 t 6

2a) v(t) = 6t 42t 60 6(t 5)(t 2);a(t) = 12t - 42 = 6(2t 7),

o corpo está avançando e freando no intervalo 1< t < 2 e no intervalo 5< t < 6. O corpo está recuando

no intervalo 2< t < 5. O corpo está fr

eando para t < 3,5 e acelerando para t > 3,5.

b) 49

12) Um carro está viajando a uma velocidade de 26 m/s quando o motorista pisa no freio para não

atropelar uma criança. Após t segundos, o carro está s = 26t - 2,4t2 metros do local onde o motorista

pisou no freio. Quanto tempo o carro leva para parar e que distância percorre antes de parar?

R: 5,4 s e 127 m



Nessa aula estudaremos regras derivação ou as propriedades operatórias, derivadas das

funções elementares, derivada sucessivas, aplicações em economia e resolução de equações

polinomiais.

7.1 – Regras de Derivação:

7.1.1 - Derivada da soma:

Sejam u = u (x) e v = v (x), duas funções deriváveis em I = ]a,b[. Provemos que a função f

(x) = u (x) + v (x), também é derivável em I e sua derivada é f '(x) = u' (x) + v' (x).

Demonstração:

0

0 0 0

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

e aplicando a definição de lim , obtemos:

lim lim lim

'( ) '( ) '( )

o o

o o

x

x x x

u x x u x v x x v xy

x x

u x x u x v x x v xy

x x x

y u v

x x x

y u v

x x x

f x u x v x

7.1.2 – Derivada da diferença: Demonstração:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) '( ) '( ) '( )

f x u x v x

f x u x v x

f x u x v x f x u x v x

7.1.3 – Derivada do produto:

Sejam u = u (x) e v = v (x), funções deriváveis em I = ]a,b[. Provemos que a função f (x) = u

(x) v (x), também é derivável em I e sua derivada é f ' (x) = u' (x).v (x) + u (x).v' (x).

Demonstração:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

o

o o

o o

f x x f xy

x x

u x x v x x u x v xy

x x


x x

AULA O7



( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

o

o o

f x x f xy

x x


x x

Somando e subtraindo o fator ( ) ( ) ( ) ( )o ou x v x x u x v x x .

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )o o o ou x x v x x u x v x x u x v x x u x v xy

x x

0

0 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) usando a definição lim obtemos

( ) ( )lim lim lim ( ) ( ) lim ( ) l

o o o

o o

ox

o

ox x x x

u x x u x v x x u x v x x v xy

x x

u x x u x v x x v xyv x x u x

x x x

u x x u xyv x x u x u x

x x

0

( ) ( )im

o

x

v x x v x

x

'( ) '( ) ( ) ( ) '( )f x u x v x u x v x

Por extensão: a derivada de ( ) ( ) ( ) ( )f x u x v x t x é dada por:

'( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )f x u x v x t x u x v x t x u x v x t x

7.1.4 – Derivada do quociente:

Sejam u = u (x) e v = v (x), duas funções deriváveis em I = ]a,b[ e v (x) 0. Provemos que a

função f (x) )(

)(

xv

xu, também é derivável em I e sua derivada é f ' (x) =

2

'( ) ( ) ( ) '( )

[ ( )]

u x v x u x v x

v x

.

Demonstração:

( ) ( )

( ( )

( ) ( )

y f x x f x

u x x u xy

v x x v x

Obtendo o m.m.c, temos:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

u x x v x u x v x xy

v x x v x

somando e subtraindo o fator '( ) ( ) ( ) ( )u x v x u x v x , obtemos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ). ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

u x x v x u x v x u x v x u x v x xy

v x x v x

u x x u x v x u x v x x v xy

v x x v x

v x u xy u x x u x v x x v x

v x x v x v x x v x

Dividimos por x , temos:

Aplicando a x diferença de

derivada quando 0x ,

obtemos:



0 0 0

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )lim lim lim

( ) ( )x x x

u x x u x v x x v xy v x u x

x x v x x v x v x x v x x

u x x u xy v x

x x v x x v x

0

0

( ) ( )

( )lim

( ) ( )x

v x v x

u x

v x x v x

0

0

( ) ( )

2 2

2 2

( ) ( )lim

( ) ( ) ( ) ( )'( ) '( ) '( ) '( ) '( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

'( ) ( ) ( ) '( )'( ) ,somando as frações com os mesmos denominadores

( ) ( )

x

v x v x

v x x v x

x

v x u x v x u xf x u x v x u x v x

v x v x v x v x v x v x

u x v x u x v xf x

v x v x

obtemos



7.1.5 – Derivada da potência:

f (x) = nx f '(x) = n.(x) 1n

Demonstração usando a razão incremental:

( )

( )

n ny x x x

x x x x

, Efetuando a divisão de

2 2A B

A B

, obtemos o resultado:

1 2 2 1. .n n n nA A B A B B , substituindo ( )A x x e ( )B x .

21 2 1( ) ( ) . . ,

nn n nyx x x x x x x x x

x

usando a definição de derivada

0limx

.

0 0lim lim(x x

yx x

x

0 1

0) lim(n

xx x

0 2

0) limn

xx x x

20 1

0

1 2 2 1

1 2 1 2 1 1

1 1 1 1

vezes

1

lim

'( ) . .

'( )

'( )

'( ) ( )

nn

x

n n n n

n n n n

n n n n

n

n

x x

f x x x x x x n

f x x x x x

f x x x x x

f x n x

7.1.6 – Derivada da raiz:

f (x) = 1

1f ' (x)

( )

n

nnx

n x

x 0

Demonstração usando a razão incremental:

2

'( ) ( ) ( ) '( )'( )

( )

u x v x u x v xf x

v x



1 2 1

0 0

ou ainda( )

1

1

1lim lim

n n n n n n

n nn n

n nn n

n n

n n nn n n n

x x

y x x x x x x x x x

x x x x x x x x

y

x x x x

x x x

y

x x x x x x x

y

xx x

100

1lim

.

nx

n n x x x

2 100

1 2 1

1 1 1

vezes, logo:

1

1lim

1 1 1'( )

.

1 1 1'( )

1'( )

n nx n

n

n n nn n n n

n n nn n n

n

nn

x

f x

x x x x

f x

x x x

f x

n x

Conseqüências das fórmulas de derivadas (7.1.5) e (7.1.6)

Demonstração:

f (x) = n

m

x = mn x)( f (x) = ( )mn x

1

'm m

n nm

y x y xn

ou 'm m n

n nmy x y x

n

De acordo com a regra estabelecida no item anterior temos:

1m ( ) ( ) 'mn ny x x mas

n

n-1n

1x '

n x

Conforme já provamos anteriormente logo:

m-n1 n

n-1n

1 m' m ( ) x

nn x

mny x

logo temos

m - n

nm

'n

y x m

1n

m'

ny x

7.2 – Derivada das funções elementares:

7.2.1 Função Identidade:

Dada a função f (x) = x, x , temos: f '(x) = 1.

Demonstração:

Efetuando a divisão de

n nA B

A B

, obtemos:

Adicionamos a definição de 0

limx

, onde obtemos:



0 0

( ) ( )

( ) ( )

1

lim lim 1 '( ) 1x x

y f x x f x

x x

y f x x f x

x x

y x

x x

yf x

x

7.2.2 Função constante:

Dada a função f (x) = k, k , temos: f ' (x) = 0.

Demonstração:

0 0

( ) ( )

( ) ( )

00

lim lim 0 '( ) 0x x

y f x x f x

x x

y f x x f x

x x

y k k

x x x

yf x

x

7.2.3 – Derivada da função seno:

Dada a função f (x) = sen x, temos: f ' (x) = cos x.

Demonstração:

0 0

2 cos( ) 2 2

222 cos

2 2 2 2 cos2

2

2cos usando lim obtemos lim

2

2

x x

x x x x x xsen

y sen x x sen x

x x x

xsen

x xsen x

y xx

xx x

xsen

y x yx

xx

0 0

. . 1

2lim . lim cos

2

2

x x

L T F

xsen

xx

xx

0

'( ) 1 cos '( ) cosf x x f x x

7.2.4 – Derivada da função cosseno:

Dada a função f (x) = cos x, temos: f ' (x) = -sen x

Demonstração:

Transformando o numerador em

produto, obtemos:



2cos( ) cos 2 2

2

22 2

2

x x x x x xsen sen

y x x x

x x x

x x x x x xsen sen

y

x x

2 2

2

x xsen x sen

0 0 0

. . 1

2

2

2 2 lim lim lim

2 2

2 2

'( ) ( 0) 1 '( )

x x x

L T F

xsen

x

x xsen sen

y x y xsen x sen x

x xx x

f x sen x f x sen x

7.2.5 – Derivada da função tangente:

Dada a função f (x) = tg x, temos: f ' (x) = 2sec x.

Demonstração:

( ) ( ) ( )cos

( )( )

( )

( ) '( ) cos

( ) cos '( )

sen xf x tg x f x

x

u xf x

v x

u x sen x u x x

v x x v x sen x

2

2

. . 1

2 2

2 2

2

'( ) ( ) ( ) '( )'( )

( )

cos cos'( )

cos

cos 1'( )

cos cos

'( ) sec

T F T

u x v x u x v xf x

v x

x x senx senxf x

x

x sen xf x

x x

f x x

7.2.6 – Derivada da função cotangente:

Dada a função f (x) = cotg x, temos: f ' (x) = 2seccos x

Demonstração:

( ) cotg

cos x( )

sen x

f x x

f x

22

2 22 2

2 2 2

2

'( ) ( ) ( ) '( ) cos cos'( )

.( )

coscos 1'( )

'( ) cossec

u x v x u x v x sen x sen x x xf x

v x sen x

sen x xsen x xf x

sen x sen x sen x

f x x

7.2.7 – Derivada da função secante:

Dada a função f (x) = sec x, temos: f ' (x) = tg x.sec x.

Demonstração:



( ) sec

1( )

cos

f x x

f xx

2

'( ) ( ) ( ) '( ) 0 cos'( )

( )

u x v x u x v x xf x

v x

0

2 2

1

coscos

1'( )

cos cos

'( ) sec

sen x sen x

xx

sen xf x

x x

f x tg x x

7.2.8 – Derivada da função cossecante:

Dada a função f (x) = cossec x, temos: f ' (x) = – cotg x.cossec x

Demonstração:

( ) cossec

1( )

f x x

f xsen x

2

0'( ) ( ) ( ) '( )'( )

( )

sen xu x v x u x v xf x

v x

0

2 2

1 cos cos

cos 1'( )

'( ) cotg cossec

x x

sen xsenx

xf x

sen x sen x

f x x x

7.2.9 – Derivada da função exponencial:

Dada a função f (x) = xa , com a *

e 1a , temos f ' (x) = )ln(aa x

Demonstração:

( ) ( )

.

. 1 ( )

'( )

x x x

x x x

x x x

x

y f x x f x

x x

a ay

x x

y a a a

x x

a a f x ey

x x f x e

0 0 0

( )

1.

1lim lim . lim

'( )

x

x

x

x

x x x

n a

x

aya

x x

aya

x x

f x a n a

7.2.10 – Derivada exponencial geral:

y = (u)v; u v = f (x) y'=

. '( ) ' ln( )v v uu v u

u

Demonstração:

Usando o 0

limx

, obtemos:

Observação: quando x xa e temos:

'( ) .1

'( ) .1

'( )

x

x

x

nef x e

f x e

f x e



11

( ) .1

1'( )

xne

n ex

f xx

( ) ( ) ( )

' '' ( )

'' ( ) ' ( )

v v

v

y u ny n u ny v n u

y uv n u v

y u

uy u v n u v

u

7.2.11 – Derivada da função logarítmica:

Dada a função f (x) = ln (x), temos: f '(x) = x

1

Demonstração:

1 1

1 1

0 0

0

( ) ( )

1( ) ( )

lim 1 lim 1

0 lim 1

x x

x x

x x

x

yn x x n x

x

yn x x n x

x x

y x x x xn n

x x x x

y x xn n

x x x

x xy x n

x

1

111

.

0 0

0

lim 1 lim 1

x

xy xy

y y

x

x y x y

n y n y

.

xy

x

y x x

Observação: ( ) log x

af x , mudança de base e .

log ( )( )

log ( )

1

1 1( )

( ) ( )

1'( )

( )

x

a

a

e

n xf x

n a

xf xn a x n a

f xx n a



x

)(xgu

)(xgfy

)(xgf

7.3 – Derivada de uma função composta ou (Regra da Cadeia)

Função Composta: Imagine que uma industria consiga vender tudo que produz (p) ou seja L

é uma função de p logo podemos escrever L(p). Mas a produção por sua vez, pode depender do

tempo (t) durante o qual determinada máquina funciona, isto é, p depende de t escrevemos p(t), e,

portanto o lucro também depende de t escrevemos L(p(t)). Neste caso o que temos e a composição

das funções L e p. O tipo de função que modela situações como estas chama - se de funções

compostas.

Demonstração:

Seja f: A B uma função dada pela lei y = f(x) . Seja g: B C uma função dada pela lei

z = g(y) . Existe a função composta f:A C dada pela lei z = F(x) = g(f(x)) .

Supondo que f seja derivável no ponto x e g seja derivável no ponto y tal que y = f(x) ,

provemos que F também é derivável em x, e calculemos sua derivada.

Temos:

( ) ( ) (I)y f x x f x

e, daí, vem:

( ) ( ) (II)f x x f x y y y

Também temos;

F( ) F( ) g(f(x + Δx)) g(f(x)) g(y + y) g(y) pela igauldade de (II) (f(x + Δx) = y + y

portanto temos g(y + y) g(y)

z x x x

z

Desta forma obtemos:

F( ) F( ) g( ) g( ) g( ) g( )

g( ) g( ) ( ) ( )(III)

z x x x y y y y y y y

x x x y x

z y y y f x x f x

x y x

Observando a igualdade (I), notamos que, quando 0x , o mesmo ocorre com 0y ;

então, fazendo 0x na igualdade (III), encontramos:



0 0 0 0

0 0

g( ) g( ) ( ) ( ) g( ) g( ) g( ) g( )lim lim lim lim

g( ) g( ) g( ) g( )lim lim '( ) '( )

x x x x

y x

z y y y f x x f x y y y y y y

x y x y y

y y y y y yg y f x

y y

Desta forma Obtemos:

F( ) g(f ( )) F'( ) g '(f ( )) f '( )x x x x x

7.4 – Derivada Sucessiva

Seja f uma função derivável em um intervalo aberto I. Se a função também for derivável em

I, então sua derivada é a derivada segunda ou derivada de ordem 2 da função, indicada por f ''.

Se a função f '' também for derivável em I, então sua derivada é a derivada terceira ou

derivada de ordem 3 da função f '' indicada por f '''.

E assim por diante, se a derivada de ordem n for derivável em I, pode-se obter a derivada de

ordem n + 1, da função f.

Notações: ')( )1()1( ydx

dyyxf

3(3) (3)

3( ) '''

d yf x y y

dx

'')(2

2)2()2( y

dx

ydyxf

( ) ( )n

n n n

n

d yf y y

dx

7.5 - Aplicação de derivada na Economia: Funções Marginais

Queremos indicar aqui dois outros pontos em que o cálculo faz uma contribuição à

economia. A primeira tem a ver com a maximização do lucro. A segunda, com a minimização do

custo médio.

Suponha que:

r(x): receita proveniente da venda de x itens.

c(x): custo da produção de x itens.

L(x): r(x) – c(x) = 0 o lucro sobre a venda de x itens.

Em economia, também uma aplicação importante da derivada é o calculo das funções

marginais. Os economistas usam os termos lucro marginal, receita marginal para as taxas de

variação de lucro, da receita e do custo em relação ao número de unidades produzidas ou vendidas.

1) dr

dx = Receita marginal = a receita extra pela venda de uma unidade adicional

2) dc

dx = Custo marginal = o custo extra na produção de uma unidade adicional



3) d

dx = Lucro marginal = O lucro extra de uma unidade adicional

7.6 - Aplicação das Derivadas Sucessivas na Resolução de Equações Polinomiais

Definição:

Dada a função polinomial f : definida por: 1 2

1 2 1 0f (x) n n n

n n na x a x a x a x a x

onde 0 0 e n > 0a , chama-se função polinomial derivada de f (x) a função f ' : , definida

por: 1 2 3

1 2 1f '(x) ( 1) ( 2) a 0n n n

n n nna x n a x n a x

.

Neste sentido f '( )x ou 1f ( )x também é uma função polinomial é possível determinar a sua

função polinomial derivada (f '( )) 'x , obtendo a chamada função derivada - segunda de f ( )x , que

será denotada por f ''( )x ou 2f ( )x . Notemos que:

(2) 2 1

1 3 2f (x) ( -1) ( 1)( 2) 3 2n n

n nn n a x n n a x a x a

A derivada da função polinomial (2)f (x) é chamada função polinomial derivada - terceira

f ( )x e será denotada por f '''( )x ou (3)f ( )x . Notemos que:

(3) 3 2

1 3f (x) ( -1)( - 2) ( 1)( 2)( -3) 3 2 1n n

n nn n n a x n n n a x a

E, assim por diante, a derivada da função polinomial (n - 1)f ( )x é chamada função derivada

enézima de f ( )x e será denotada por (n)f ( )x .

(n) (n-1)f ( ) (f ( )) 'x x

Vamos ver agora os teoremas que facilitam a pesquisa das raízes múltiplas de uma equação

polinomial. Da teoria de equação polinomial onde f ( ) 0x , com multiplicidade m, temos:

mf ( ) (x r) q(x) e q(r) 0x

Teorema:

Se r é uma a raiz de multiplicidade m da equação f ( ) 0x , então r é raiz de multiplicidade

m - 1 da equação f '( ) 0x , onde f '( )x é a derivada - primeira de f ( )x .

Demonstração:

m m-1 m

m-1 m

f ( ) (x r) q(x) f '( ) m (x r) q(x) +(x r) q'(x)

f '( ) m (x r) q(x) +(x r) q'(x)

x x

x

Portanto, temos: m-1 mf '( ) (x r) m q(x) +(x r) q'(x)x

e, como mm q(r) +(x r) q'(r) = m q(r) 0 , temos que r é raiz de multiplicidade m–1 de

f '( ) 0x .



Corolário 1:

Se r é raiz de multiplicidade m da equação f ( ) 0x , então r é raiz de:

(1) (2) (3) (m-1)f ( ) 0, f ( ) 0, f ( ) 0, ,f ( ) 0x x x x

com multiplicidade m–1, m–2, m–3, ,1, respectivamente, e r não é raiz de (m)f ( ) 0x .

Corolário 2:

Se r é raiz das equações (1) (2) (3) (m-1)f ( ) 0,f ( ) 0, f ( ) 0, f ( ) 0, ,f ( ) 0x x x x x

e r não é raiz da equação (m)f ( ) 0x , então a multiplicidade de r em f ( ) 0x é m.

Resumindo:

“A condição necessária e suficiente para que um número r seja raiz com multiplicidade m de

uma polinomial f ( ) 0x é que r seja raiz das funções (1) (2) (m-1)f ( ),f ( ), f ( ), , f ( )x x x x e não seja

raiz (m)f ( )x ”.


01) Usando a definição de derivada, calcule:

1) ( )f x x

1ª Maneira 1 1 1

12 2 2

1

2

1 1 1 1 1 1 1'( )

2 2 2 2 2f x x x x

x xx

2ª Maneira 2 2

0 0 0

0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim lim lim

( ) ( ) ( )

1 1 1 1lim lim

( ) 0 2

x x x

x x

f x x f x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x

x x x

x x x x x x x x x x x x

2) 2( ) 2f x x x

1ª Maneira 3 1 2 2'( ) 3. 2. 3 2.1 3 2f x x x x x

2ª Maneira

0

3 3

0

3

0

( ) ( )lim

( ) 2( ) ( 2 )lim

lim

x

x

x

f x x f x

x

x x x x x x

x

x

2 2 33. . 3 . 2x x x x x x 32 x x 2x

0limx

x

x

22(3 3 . 2)x x x x

x

2 2 2 2 2 2 2

0lim 3 3 . 2 3 3 .0 0 2 3 2 3 2.1 3 2x

x x x x x x x x x x x x



02) Determinar a derivada das seguintes funções:

1) 2 3( ) 1f x x x

23 2

3

'( ) '( ). ( ) ( ). '( )

1.3'( ) 2 1

2 1

f x u x v x u x v x

xf x x x x

x

2) 1

( )1

sen xf x

sen x

2 2

cos .(1 ) (1 ) .( cos )'( ). ( ) ( ). '( )'( ) '( )

( ) (1 )

cos cos .'( )

x sen x sen x xu x v x u x v xf x f x

v x sen x

x x sen xf x

cos cos .x x sen x

2 2

2.cos'( )

(1 ) (1 )

xf x

sen x sen x

3) cos

( )cos

sen x xf x

sen x x

2

2 2 2 2

2

(cos ) ( cos ) ( cos ) (cos )'( )

cos

cos . cos .cos .cos cos cos .'( )

cos

cos .'( )

x sen x sen x x sen x x x sen xf x

sen x x

x sen x x sen x sen x x sen x x sen x x x sen xf x

sen x x

x sen xf x

2 2cos .cosx sen x sen x x .cossen x x 2 2cos cos .sen x x x sen x

2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2

cos

cos cos 2.cos 2. 2.(cos )'( )

cos cos cos

2.1 2'( ) '( )

cos cos

sen x x

x sen x sen x x x sen x x sen xf x

sen x x sen x x sen x x

f x f xsen x x sen x x

4) ( )cos

tg xf x

sen x x

2

2

2

'( ). ( ) ( ). '( )'( )

'( )

.(cos ) .(cos )'( )

cos

u x v x u x v xf x

v x

sen x x sen x tg x x sen xf x

sen x x

5) ( ) secf x x n x

'( ) '( ). ( ) ( ). '( )

1'( ) sec ln sec

1'( ) sec ln

f x u x v x u x v x

f x tg x x x xx

f x x tg x xx

1 1 11

3 3 3 2 3 22 2 2

22

1 33 2

1 1( ) 1 (1 ) (1 ) .3 (1 ) .(0 3 )

2 2

1 1 1.3'( ) 3 '( )

2 2. 1(1 )

v x x x x x x x

xv x x v x

xx

( ) 1 '( ) cos

( ) 1 '( ) cos

u x senx u x x

v x senx v x x

2( ) '( ) sec

( ) cos '( ) cos

u x tg x u x x

v x sen x x v x x sen x

( ) sec '( ) .sec

1( ) '( )

u x x u x tg x x

v x nx v xx



6) ( ) 4.sec 3.cossecf x x x

'( ) '( ) ( ) ( ) ( )

'( ) 4 sec 3 ( cotg cossec )

'( ) 4 sec 3 cotg cossec

f x u x v x u x v x

f x tg x x x x

f x tg x x x x

7) ( ) cos cotg f x x x

2

'( ) '( ) ( ) ( ) '( )

'( ) cotg cos ( cossec )

f x u x v x u x v x

f x sen x x x x sen x

cos x

senx2 2

1 1cos cos cos

cos 1'( ) cos '( ) cos cotg .cossec

x x xsen x sen x

xf x x f x x x x

sen x sen x

8) ( ) ( cossec )f x x x n x

'( ) '( ). ( ) ( ). '( )

1'( ) (1 cotg .cossec ) ( cossec )

1'( ) (1 cotg .cossec ) cossec

1'( ) (1 cotg .cossec ) 1 cossec

f x u x v x u x v x

f x x x n x x xx

xf x x x n x x

x x

f x x x n x xx

9) 2

( )x

x sen xf x

e

2

2 2

2

'( ) ( ) ( ). '( )'( )

( )

2 cos'( )

x x x

x

u x v x u x v xf x

v x

x sen x x x e x sen x e ef x

e

2

2 cos

x

x sen x x x x sen x

e

2 cos'( )

x

x sen x x x x sen xf x

e

10)

2 1

( )cos

xef x

x

2 2 2 2

2

1 1 1 1

2 2 2

1

2

2 cos 2 . .cos'( ) ( ) ( ) '( )'( )

cos( ) cos

2 cos'( )

cos

x x x x

x

x e x e sen x x e x e sen xu x v x u x v xf x

xv x x

e x x sen xf x

x

11) 3( ) log sen xf x

( ) '( ) 1 cotg .cossec

1( ) '( )

u x x u x x x

v x n x v xx

2 2( ) . '( ) 2 . .cos

( ) '( )x x

u x x sen x u x x sen x x x

v x e v x e

2 21 1( ) '( ) .2

( ) cos '( )

x xu x e u x e x

v x x v x senx

A derivada de sen x é cos x .

1

( ) '( )f x nx f xx na

1

( ) log '( )x

af x f xx na

1( ) log '( )

( )

x

af x f xn a

( ) sec '( ) sec

( ) cossec '( ) cotg cossec

u x x u x tg x x

v x x v x x x



cos'( )

. 3

cotg '( )

3

xf x

sen x n

xf x

n

12) 2 5 1

( )sen x x

f x e

2

2

5 1 2

5 1 2

'( ) .cos 5 1 . 2 5

'( ) (2 5). .cos 5 1

sen x x

sen x x

f x e x x x

f x x e x x

13) 3( ) sec.f x x

3 1

2

2

3

3

'( ) 3. sec

1'( ) 3. sec .sec .

2

1'( ) 3.sec .sec .

2

1'( ) 3.sec .

2

3'( ) sec

2

f x x

f x x x tgx xx

f x x x tgx xx

f x x tgx xx

f x x tgx xx

14) 2sec 1

2( ) logx

f x

2 2( 1).sec( 1)'

tg x xy

2

.2

sec( 1)

x

x

2

2

2 . ( 1)'

2

n

x tg xy

n

15) 3cossec( ) xf x e

3

3

cossec

coss

3 3 2

2 3c 3e

'( ) . ( cossec .cotg .3 )

'( ) 3 . .(cossec .cotg )

x

x

ef x x x x

f x x xex

16) ( ) cossec 2f x

2 5 1

2 5.1 0

2 5

x x

x

x

Derivada da parte interna

Deriva a parte interna e multiplica por 2

3. sec x

Deriva a parte interna

Deriva do arco

A derivada de sec secx x tg x

A derivada de 1

2.x

x



1

2

1 11

2 2

1

2

'( ) (cossec 2θ)

1 1'( ) (cossec 2θ) (cossec 2θ) cotg 2θ cossec 2θ

2 2

1 1'( ) (cossec 2θ) cotg 2θ cossec 2θ 2.(1)

2 2

f x

f x

f x

1

2(cossec 2θ) cotg 2θ cossec 2θ 2

1

12

1 11

2 2

'( ) (cossec 2θ) cotg 2θ (cossec 2θ)

'( ) (cossec 2θ) cotg 2θ (cossec 2θ) cotg 2θ cossec 2θ cotg 2θ

'( ) cotg 2θ cossec 2θ

f x

f x

f x

17) cos

( ) 2x

xf x

( )

cos

'( )'( ) ( ) '( ) ( ) ( )

( )

2'( ) 2 2 cos

v x

x

xx x

u xf x u x v x n u x v x

u x

f x sen x n x

(2)

2x

n

cos

'( ) 2 2 cos (2)x

xf x x sen x n x n

18) 1

( )1

xf x sen

x

2

2

1 2'( ) cos.

1 1

2 1'( ) cos.

11

xf x

x x

xf x

xx

19) 25 x +1f(x) = cotg e

25

1xcotg e

2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

5 11 2 1 1

4 41 2 1 1 1 1 2 1

1 4 1 2 1

'( ) 5 cossec 2 0

'( ) 5 cossec 2 5 2 cossec

'( ) 10 cossec

x x x

x x x x x x

x x x

f x cotg e e e x

f x cotg e e e x x e cotg e e

f x x e cotg e e

20) 5

4 7( ) 2 ( )f x x sen x tg x

44 7 3 7 7 6

44 7 6 3 7 7

'( ) 5 2 ( ) 2 cos 2 2 4 sec 7

'( ) 5 2 ( ) 2 2 cos 2 28 sec

f x x sen x tg x sen x x x tg x x x

f x x sen x tg x sen x x x x tg x x

03) Seja 2xy e . Verifique que 2

24 0

d yy

dx

1º deriva a função 1

1

xsen

x

.

2º deriva o arco

2

1 '( ) ( ) ( ) '( )

1 ( )

x u x v x u x v x

x v x

.

2 2 2

1.( 1) ( 1).1 1 1 2

( 1) ( 1) ( 1)

x x x x

x x x



2 2 2 2 2

2

.2 2. 2. .2 4. 4. 4 0

4.

x x x x x

x

dy dye e e e e y

dx dx

e

24. xe 0

0 0

04) Seja cos( )y w t , w constante. Verifique que 2

2

2. 0

d yw y

dt .

2

2

.

' .1 ( . ). cos( . ). . ( . )

z w t

dy d yz w w sen w t w w t w w sen w t

dx dx

2 22 2 2 2 2

2 2

.0

.cos( . ) 0 .cos( . ) . 0 .cos( . )d y d y

w w t w y w w t w y w w tdx dx

2. cos( . )w w t 0

0 0

05) Encontre as funções custo médio e custo marginal. Para as funções abaixo:

a) 2 3C(x) = 3700 + 5x - 0,04x 0,0003x .

2 3

2

2 3

2

c(x) 3700 5x 0,04x 0,0003xC(M) = + -

x x x x x

3700C(M) = + 5 - 0,04x 0,0003x

x

C(x) = 3700 + 5x - 0,04x 0,0003x

C'(x) = 5 - 0,08x 0,0009x

b) 2 3C(x) = 339 + 25x - 0,09x 0,0004x .

2 3

2

2 3

2

c(x) 339 25x 0,09x 0,0004xC(M) = + -

x x x x x

339C(M) = + 25 - 0,09x 0,0004x

x

C(x) = 339 + 25x - 0,09x 0,0004x

C'(x) = 25 - 0,18x 0,0012x

06) Um fabricante de pequenos motores estima que o custo da produção de x motores por dia é dado

por 100

C(x) =100 + 50x +x

, compare o custo marginal da produção de 5 motores. Com o custo para

produção do sexto motor.



2

2

100 100C(x) = 100 + 50 C'(x) = 50 -

100 100a) C'(5) = 50 - 50 - 50 - 4,00 C'(5) = R$ 46,00

5 25

100 100b) C'(6) = 50 - 50 - 50 - 2,77 C'(6) = R$ 47,23

6 36

xx x

07) Uma agência de viagens estima que, para vender x pacotes de viagem, deve cobrar um preço,

por pacote de 1800 2 (unidades monetárias) para 1 x 100x . Se o custo da agência para x pacotes

é 21000 x + 0,01x (unidades monetárias) Determine:

a) função receita: para vender x pacotes, R$ = 1800 2x preço por pacote, custo para vender

pacotes 21000 x + 0,01x .

2

1 pacote 1800 - 2x

x y

y 1800x - 2x

b) função lucro:

2 2

2 2

2

( ) ( ) ( )

( ) 1800 2 (1000 x + 0,01x )

( ) 1800 2 1000 x 0,01x

( ) 2,01 1799 1000

L x R x C x

L x x x

L x x x

L x x x

c) O numero de pacotes que maximiza o lucro como 1 x 100 .

Substituindo o valor na função lucro o valor responsável é x = 100.

d) O lucro máximo.

2

2

( ) 2,01 1799 1000

(100) 2,01 (100) 1799 (100) 1000

(100) 20.100 1000 179.900

(100) 21.100 179.900

(100) R$158.800

L x x x

L

L

L

L

08) Uma industria verifica que o lucro proveniente da venda de um determinado produto por

3P 0,0002 10x x .

a) Encontre o lucro marginal para um nível de produção de 50 unidades.



3

2 2

P 0,0002 10

dp= 0,0006 10 0,0006(50) 10

dx

dp= R$ 11,50 lucro marginal

dx

x x

x

b) Para x 50 e 51, o lucro é, de fato:

3

3

3

P 0,0002 10

P 0,0002(50) 10(50) 25 500 R$ 525,00

P 0,0002(51) 10(51) 26,53 500 R$ 536,53

x

Portanto, o lucro obtido pelo aumento da produção de 50 para 51 unidades é

536,53 - 525,00 = R$ 11,53

09) Um negócio vende 2000 itens por mês a cada R$ 10,00 cada. Foi previsto que as vendas

mensais aumentariam de 250 itens para cada R$ 0,25 de redução no preço. Encontre a função

demanda correspondente a essa produção.

Para a previsão feita x aumenta 250 unidades cada vez que p diminui R$ 0,25 do custo original de

R$ 10,00 isso descrito pela equação.

10 p2000 250 12.000 1.000p

0,25

xp = 12 Função demanda

1.000

x

10) Uma lanchonete verificou que a demanda mensal para seus hambúrgueres é dado por

60.000 xp

20.000

. Encontre o aumento na receita por hambúrgueres para uma venda mensal de 20.000

hambúrgueres. Em outras palavras, encontre a receita marginal quando x = 20.000.

como receita total é dado é dado por R x p , temos:

260.000 x 1R x p (60.000x x )

20.000 20.000x

é a receita marginal e dada por:

1(60.000 2x)

20.000

dR

dx Substituindo x = 20.000 obtemos.



1 1(60.000 2(20.000)) (60.000 40.000)

20.000 20.000

1 20.00020.000 1

20.000 20.000

R$1 unidade

dR

dx

dR

dx

dR

dx

11) Verificar se 1 é raiz tripla da equação 4 26 8 3 0x x x

P(1) = 0 P'(1) = 0 P''(1) = 0 P'''(1) 0

4 2 4 2

3 3

2 2

P(x) = 6 8 3 P(1) = (1) 6(1) 8(1) 3 0

P'(x) = 4 12 8 P'(1) = 4(1) 12(1) 8 0

P''(x) = 12 12 P''(1) = 12(1) 12 0

P'''(x) = 24 P'''(1) = 24(1) 0

x x x

x x

x

x

Logo, 1 é raiz tripla da equação.

12) Verificar se 2 é raiz dupla da equação 3 2 16 20 0x x x

3 2 3 2

2 2

P(x) = x x 16 20 P(2) = (2) (2) 16(2) 20 0

P'(x) = 3 2 16 P'(2) = 3(2) 2(2) 16 0

P''(x) = 6 2 P''(2) = 6(2) 2 14 0

x

x x

x

Logo, 2 é raiz dupla da equação.

13) Resolver a equação 3 25 3 9 0x x x , sabendo-se que a mesma admite raiz dupla.

Solução: P(x) = 0 P'(x) = 0 P''(x) 0 , sendo raiz dupla

1) 3 2 2P(x) 5 3 9 P'(x) 3 10 3x x x x x

2) Como P'(x) = 0 , vamos calcular x:

23x 10x 3 0

64

x' = 310 8

16 x'' =

3

x

3) Para sabermos qual dos valores é raiz dupla, devemos ter P(x) = 0. 3 2

3 2

P(3) (3) 5(3) 3(3) 9 0

1 1 1 1 226P 5 3 9 0

3 3 3 3 27

Então, 3 é a raiz dupla da equação dada:



4) Para determinar a outra raiz, vamos aplicar Briot-Ruffini:

3 1 5 3 9

3 1 2 3 0

1 1 0

Recaímos, então, na equação 1 0x .

1 0 1x x

logo, S 1,3

14) Resolver a equação 4 3 27 15 13 4 0x x x x , sabendo-se que a mesma admite raiz tripla.

Solução: P(x) = 0 P'(x) = 0 P''(x) 0 P'''(x) 0 , sendo raiz tripla.

1) Para sabermos qual dos valores é raiz dupla, devemos ter P(x) = 0.

4 3 2

4 3 2

5 5 5 5 5P 7 15 13 4 0

2 2 2 2 2

P 1 1 7 1 15 1 13 1 4 0

Então, 1 é a raiz tripla da equação dada:

2) Para determinar a outra raiz, vamos aplicar Briot-Ruffini:

1 1 7 15 13 4

1 1 -6 9 -4 0

1 1 -5 4 0

1 -4 0

Recaímos, então, na equação 4 0x .

4 0 4x x

logo, S 1,4

15) Determinar o valor de a na equação 3 25 8 a 0x x x , admita uma raiz dupla.

Solução: P(x) = 0 P'(x) = 0 P''(x) 0 ,sendo raiz dupla.

1)

3 2 2 2

2

P(x) 5 8 a P'(x) 3 10 8 3 10 8 P'(x) 0

3 10 8 0

x' = 210 2

4 46 x'' =

3

x x x x x x x

x x

x

2) Para que 2 seja raiz dupla, devemos ter P(2) = 0.



3 2 3 2

3 2 3 2

P(2) (2) 5(2) 8(2) a (2) 5(2) 8(2) a = 0 a = -4

4 4 4 4 4 4 4 112P 5 8 a 5 8 a = 0 a = -

3 3 3 3 3 3 3 27

logo, a = -4 e 112

a27

.

16) Verificar se a equação 3 22 9 12 6 0x x x tem alguma raiz dupla.

Solução: toda eventual raiz dupla da equação dada f(x) = 0, também é raiz da derivada - primeira.

3 2 2

2

2

2

P(x) 2 9 12 6 P'(x) 6 18 12

P'(x) 6 18 12 P'(x) 0

6 18 12 0 6

3 2 0

1

x' = 23 1

x'' = 12

x x x x x

x x

x x

x x

x

2) Os candidatos a raiz dupla são 1 e o 2, façamos a verificação. 3 2

3 2

P(1) 2(1) 9(1) 12(1) 6 0

P(2) 2(2) 9(2) 12(2) 6 0

Logo concluímos que não há raiz dupla.

17) Determinar a e b de modo que a equação 4 26 b 0x x ax , admita uma raiz tripla.

Solução: Utilizando as derivadas sucessivas na equação 4 26 b 0x x ax , obtemos:

1) 4 2 3 2P(x) 6 b P'(x) 4 12 P''(x) 12 12 P'''(x) 24x x ax x x a x x

2) a condição do problema estará satisfeita se existir um número x tal que:

P(x) = P'(x) = P''(x) = 0 e P'''(x) 0 , temos:

2P''(x) = 0 12x 12 0 x 1

1ª) Possibilidade: x = 1.

4 2

3

P(1) = 0 (1) 6(1) a(1) b 0 a b 5

P'(1) = 0 4(1) 12(1) a = 0 a 8

Portanto a = 8 e b = -3.

2ª) Possibilidade: x = -1.

4 2

3

P(-1) = 0 (-1) 6(-1) a(-1) b 0 a b 5

P'(-1) = 0 4(-1) 12(-1) a = 0 a 8



Portanto a = -8 e b = -3.

Logo (a = 8 e b = -3) ou (a = -8 e b = -3)

18) Determinar a, b, c de modo que 1 seja raiz dupla da equação 3 23a bx c 0x x .

1) A condição do problema estará satisfeita se P(1) = P'(1) = 0 P''(1) 0 . Fazendo

3 23a bx cx x , temos: 2P'(x) = 3x 6ax b e P''(x) = 6x 6a

Impondo a condição, obtemos:

3 2

2

P(1) = 0 (1) 3a(1) c 0 3a b + c 1

P'(1) = 0 3(1) 6a(1) b 0 b -6a 3

Donde vem b = 6a 3ec = 2 3a , como P''(1) 0 , devemos ter a 1 .

Logo: b = 6a 3ec = 2 3a e a 1 .

Questões propostas

01) Usando as propriedades operatórias e as regras de derivação, calcule:

1) ( )a x

f xa x

R:

2'( )

( )

af x

x a x

2) 1

( )1

rf x

r

R:

2

1'( )

1(1 )

1

f xr

rr

3) ( )a x a x

f xa x a x

R:

2 2 2 2'( )

( )

af x

a a x a x

4) 1 cos

( )1 cos

xf x

x

R:

2

2'( )

(1 cos )

sen xf x

x

5) 2

( )2 cos

sen xf x

x

R:

2

2 2cos 1'( )

(2 cos )

sen x xf x

x

6) cos

( )cos

sen x xf x

sen x x

R:

2

2'( )

( cos )f x

sen x x

7) ( )ln

xef x

x R:

2

ln'( )

(ln )

x xx e x ef x

x x

8) ( ) loge

a xf x

a x

R:

2 2

2'( )

af x

a x

9) ln

3( ) 2x

f x x x R: 2

ln3 3

3

3 2 1'( ) 2 ln ln( 2 )

2

x xf x x x x x x

x x x

10) ( ) lntg x

f x x R: 2'( ) ln (sec ) ln(ln )ln

tg x tg xf x x x x

x x

11) cos

( )x

f x sen x R: 2

cos cos x'( ) ln( )

xf x sen x sen x sen x

sen x

12) ( )( )xef x x R: ( ) 1

'( ) lnxe xf x x e x

x



13) 3( ) ( )x tg xf x e R: 3 2'( ) ( ) 3 sec 3 3x tg xf x e x x tg x

14) 3 2sen (x )( ) ef x R:

3 2sen (x ) 2 2 2'( ) 6x e sen ( ) cos( )f x x x

15) 23x( ) e tg xf x R:

23x sec

'( ) e 3 tg x2

xf x

x

16) xx( ) ef x R:

xx x'( ) e x (1 ln x)f x

17) 2( ) 4 cossec 3f x x R: 2

2

3cossec 3 cot 3'( )

4 cossec 3

x g xf x

x

18) 4 4( ) tg ( θ)f x R: 4 24 4

34

tg ( θ) sec ( θ)'( )

( θ )f x

19) 1 + sen x

( ) ln1 - sen x

f x R: '( ) secf x x

20) cos x

( ) ln1 + sen x

f x R: 1

'( )2 cos

f xx x

21) 21( ) cotg 5x lnsen 5x

2f x R: 3'( ) 5 cotg 5f x x

22) 2

1 x 1 cos x( ) ln tg

2 2 2 sen xf x

R:

3

1'( )

sen xf x

23) π

( ) x sen x ln x - 4

f x

R: '( ) 2 sen (ln x)f x

24) cos x( ) cos af x x R:1

'( ) tg x (1+ cos x ln a)2

f x y

02) Achar as derivadas de segunda ordem das seguintes funções:

1) 2 2ln( )y x a x R: 2 2 3

''( )

xy

a x

2) 3 2ln 1y x R: 2

2 2

2(1 )''

(1 )

xy

x

3) 2xy e R:

2 2'' (4 2)xy e x

4) 2(1 x )arc.tg xy R: 2

2'' 2 arc.tg x

1

xy

x

5) 2(arc.sen x)y R: 2 2 3 2

2 2x arc.sen x''

1 (1 )y

x x

03) A função A sen kxy , com A > 0, e sua derivada segunda ''y satisfazem identicamente a

igualdade '' 4 0y y . O valor da derivada primeira 'y , para x = 0, é 12. Calcule as constantes de A

e K.

R: A: 6 e K: 2



04) Demonstrar que a função 21

2

xy x e , satisfaz a equação diferencial '' 2 ' xy y y e .

05) Demonstrar que a função -x -2x

1 2y C e C e , para qualquer valor das constantes C1 e C2 satisfaz

a equação diferencial '' 3 ' 2 0y y y .

06) Demonstrar que a função 2xe sen5xy , satisfaz a equação diferencial '' 4 ' 29 0y y y .

07) Demonstrar que a função -xe cos xy , satisfaz a equação diferencial IVy 4 0y .

08) Um fabricante estima que quando x unidades de um certo produto são fabricadas, o custo total é

C(x) = x²/8 + 3x + 98 reais e que todas as x unidades são vendidas quando o preço é p(x) = 25 – x/3

reais por unidade.

(a) Use a função de custo marginal para estimar o custo para produzir a nona unidade. Qual é o

custo exato para produzir a nona unidade?

(b) Determine a função de receita do produto. Em seguida, use a função de receita marginal para

estimar a receita obtida com a venda da nona unidade. Qual é a receita exata obtida com a venda da

nona unidade?

(c) Determine a função de lucro associada à produção de X unidades. Plote a função de lucro e

determine o nível de produção para o qual o lucro é máximo. Qual é o lucro marginal associado ao

nível ótimo de produção?

R: a) R$ 5,13.

b) função da receita: 21( ) 25

3R x x x e receita da nona unidade: R$ 19,33.

c) função de lucro: 211P(x) 22 98

24x x

lucro máximo: x = 24 e p(x) = R$ 17,00, lucro

marginal: LM(x) = -11x/12 + 22

09) Seja C(x) = x²/8 + 3x + 98 a função de custo total do produto do problema 01.

(a) Determine o custo médio e o custo médio marginal do produto.

(b) Para que nível de produção o custo médio marginal é nulo?

(c) Para que nível de produção o custo marginal é igual ao custo médio?

R:(a) custo médio: 1 98

CM (x) 38

xx

, custo médio marginal: 2

1 98CM(M)

8 x

(b) x = 28

(c) x = 28



10) O custo total de uma fábrica é C(q) = 0,1q³ - 0,5q² + 500q + 200 reais, onde q é o número de

unidades produzidas.

(a) Use os métodos de análise marginal para estimar o custo de fabricação da quarta unidade.

(b) Calcule o custo real de fabricação da quarta unidade.

R: C'(3) = R$ 499,70

C(4) - C(3) = R$ 500,20

11) Nos Problemas 1 até 3, C(x) é o custo total para produzir x unidades de um produto e p(x) é o

preço pelo qual as x unidades serão vendidas.

(a) Determine o custo marginal e a receita marginal.

(b) Use o custo marginal para estimar o custo para produzir uma quarta unidade.

(c) Determine o custo real para produzir uma quarta unidade.

(d) Use a receita marginal para estimar a receita conseguida com a venda da quarta unidade.

(e) Determine a receita real conseguida com a venda da quarta unidade.

1) C(x) = 1

5x² + 4x + 57; p(x) =

1

4(36 – x). R:

2x xa) C'(x) = 4;R'(x) = 9 -

5 2

b) C'(3) = R$ 5,20

c) C(4) - C(3) = R$ 5,40

d) R'(3) = R$ 7,50

e) R(4) - R(3) = R$ 7,25

2) C(x) = 1

3x² + 2x + 39; p(x) = -x² + 4x + 10. R:

22xa) C'(x) = 2;R'(x) = -3x 8x 10

3

b) C'(3) = R$ 4,00

c) C(4) - C(3) = R$ 4,33

d) R'(3) = R$ 7,00

e) R(4) - R(3) = R$ 1,00

3) C(x) = 1

4 x² + 43; p(x) =

3 2

1

x

x

. R:

2

2

x 2x 4x 3a) C'(x) = ;R'(x) =

2 (1 x)

b) C'(3) = R$ 1,50

c) C(4) - C(3) = R$ 1,75

d) R'(3) = R$ 2,06

e) R(4) - R(3) = R$ 2,05



12) O custo total de certa fábrica, é C(q) = 0,1q³ - 0,5q² + 500q + 200 reais quando o nível de

produção é q unidades. O nível atual de produção é 4 unidades, mas o fabricante pretende aumentá-

lo para 4,1 unidades. Estime a variação do custo total em conseqüência desse aumento de produção.

R: R$ 50,08

13) O custo total em reais para fabricar q unidades de certo produto é C(q) = 3q² + q + 500.

(a) Use os métodos de análise marginal para estimar o custo de fabricação da 41a unidade.

(b) Calcule o custo real de fabricação da 41ª unidade.

R: a) R$ 241,00

b) R$ 244,00

14) Um polinômio 3 2P(x) = x ax bx + c é divisível pelo seu polinômio derivado P'(x) e este é

divisível por 1x . Então, a b + c , é igual a:

R: -1

15) Determinar os valores de a e b na equação 4 34 ax + b 0x x de modo que a mesma admita

uma raiz tripla positiva.

R: a = 16 e b = -16

16) O número 2 é raiz da equação 3ax bx + 16 0 Determine a e b.

R: a = 1 e b = -12

17) Verificar se a equação 3 3 8 0x x tem alguma raiz iguais.

R: não

18) Pesquisar raízes múltiplas na equação 5 4 3 22 3 7 8 3 0x x x x x .

R: 1 é raiz tripla

19) Resolver a equação 3 25 8 4 0x x x , sabendo que existem raízes múltiplas.

R: S 1,2

20) É dada a equação 3 23 9 λ 0x x x .

a) Quais os valores de λ para os quais a equação admite uma raiz dupla?

R: λ 5 ou λ 27

b) Quais os valores de λ a equação tem três raízes reais distintas duas a duas?

R: 5 λ 27

21) Determinar a condição para que a equação 3x + px + q 0 , tenha raízes múltiplas?

R: Uma raiz dupla: 4p3 + 27q

2 = 0 e Uma raiz tripla: p = 0 e q = 0.



22) Determinar k de modo que a equação 4 3 23 8 6 24x + k 0x x x , admita uma raiz dupla

negativa e, em seguida, resolver a equação.

R: k = 19 e 7 2 7 2

S = -1; + i ; - i3 3 3 3

23) Para que valores de α a equação 3 2 32 3sen α cos α 0x x , tem raízes múltiplas, e também

mostra que equação 3 2 32 3sen α cos α 0x x , possui uma raiz simples qualquer que seja α ?

R: 1ª parte π π

α = kπ ou α = kπ2 4



Nesta aula vamos estudar derivada de função inversa, derivada das funções trigonométricas

inversas e derivadas das funções implícitas e estudo das aproximações por diferencias.

8.1 – Função Inversa

Demonstração:

Considerando a função inversível y = f(x), derivável no ponto x, onde '( ) 0f x , podemos

demonstrar que a função inversa x = f 1 (y), também é derivável no ponto y, onde y = f (x).

Inicialmente escrevemos a identidade abaixo decorre 0 0x y logo:

1x

yy

x

Devemos observar que ( )y f x é derivável e contínua no ponto x. Logo, se 0x temos

0y , então:

0 0

0

1 1lim lim

limy x

x

x

y yy

x x

0 0lim limy x

x y

y x

['

1'

)]'([

1'

)('

1)]'(1

yx

xfx

xfyf

ou '

1'

xy

8.2 – Derivadas das funções trigonométricas inversas:

8.2.1 – Derivada da função y = arc. sen x:

y = arc sen x 21

1'

xy

Demonstração:

2 2

2

' cos

cos 1, temos então

cos 1

x sen y

x y

sen y y

y sen y

8.2.2 – Derivada da função y = arc. cos x:

y = arc cos x 21

1'

xy

Demonstração:

2 2

2

1 1 1 1'

' cos 1 1 ( )

1'

1

yx y sen y x

yx

2

2

1 1 1 1'

' 1 cos

1'

1

yx sen y sen y y

yx

AULA O8



2

cos

'

1 cos

x y

x sen y

sen y y

8.2.3 – Derivada da função y = arc. tg x:

y = arc tg x 21

1'

xy

Demonstração:

2

2 2

' sec

sec 1

x tg y

x y

y tg y

8.2.4 – Derivada da função y = arc. cotg x:

y = arc cotg x 21

1'

xy

Demonstração:

2

2 2

cotg

' cossec

cossec 1 cotg

x y

x y

y y

8.2.5 – Derivada da função y = arc. sec x:

y = arc sec x 1

1'

2

xxy

Demonstração:

2

sec

' tg sec

tg sec 1

x y

x y y

y y

8.2.6 – Derivada da função y = arc. cossec x:

y = arc cossec x 1

1'

2

xxy

Demonstração:

8.3 – Derivada de funções implícitas

2 2

2

1 1 1'

' sec 1

1'

1

yx y tg y

yx

2 2 2

2

1 1 1 1'

cossec cossec 1 cotg

1'

1

yx y y y

yx

2

2

1 1 1'

' tg sec sec 1 sec

1'

1

yx y y y y

yx x

2 2

2

' cotg cossec

cotg cossec 1

cotg cossec 1

x y y

y y

y y

2

2

1 1'

cotg cossec cotg cossec

1'

cossec 1 cossec

1'

1

yy y y y

yy y

yx x



Até agora nossas funções envolvendo uma variável foram expressas, de maneira geral na

forma explícita y = f (x). Em outras palavras uma das variáveis é dada explicitamente em função da

outra.

Por exemplo: 53 xy 23 wwu tts 2016 2

xy

1

Onde dizemos que y, s e u são funções de x, t e w respectivamente.

A equação F (x,y) = 0, define y como uma função implícita de x, como por exemplo x.y = 1

Forma explícita Forma implícita Derivada

x

y1

ou 1 xy 1. yx

2

2 1.1

xx

dx

dy

Exemplo:

(I) 2222

2

2 )1(

6

)1(

)2(3)1.(0'

1

3

x

x

x

xxy

xy

(II) 3)1( 2 xy

00'2.'.032 yxyxyyxy

xyxy 2.)1(' 2

)1(

2.)1(

3

)1(

2.'

2

2

2

x

xx

x

xyy

2222 )1(

6

)1(

1.

)1(

6'

x

x

xx

xy

A grande vantagem da derivada implícita está no fato de que, quando uma função derivável,

nos é dada na forma implícita sendo difícil ou até impossível colocá-la na forma explícita, mesmo

assim é possível determinar sua derivada.

8.4 – Diferenciais

Às vezes a notação dy dx para representar a derivada 'y de y em relação a x. Ao contrario

do que aparenta, não é uma razão. Agora introduziremos duas novas varáveis dx e dy coma

propriedade de que, caso a razão e igual à exista, esta será igual a derivada.

O significado de dx e dy , na maioria dos contextos, a diferencial dx da variável

independente é a sua variação x , mas não impomos essa restrição à sua definição.

Ao contrário da variável independente dx , a variável dy é sempre dependente. Ela

dependente tanto de x como de dx .

Definição:



Seja ( )y f x uma função derivável. A diferencial dx é uma variável independente. A

diferencial dy é. '( )

'( )dy f x dx

f xdx dx

, ás vezes escrevemos '( )df f x dx .

Toda formula de diferenciação do tipo:

( )d u v du dv

dx dx dx

ou

( )cos

d senu d uu

dx dx

Tem uma forma diferencial do tipo:

( )d u v du dv ou ( ) cosd senu u d u

8.4.1 – Estimando Variações com Diferenciais

Suponha que saibamos o valor de uma função derivável f(x) em um ponto a e que desejamos

prever a variação que esse valor soferá se formos para um ponto a dx próximo. Se dx for

pequeno, f e sua linearização L em a irão variar praticamente na mesma quantidade ver figura.

Como os valores de L são mais simples de calcular, o cálculo da variação de L nos oferece um

modo prático de estimar a variação em f.

Conforme o gráfico anterior aproximando a variação na função f pela variação na

linearização de f. Na notação do gráfico, a variação em f é, é ( ) ( )f f a dx f a , a variação

correspondente em L.

( )( )

( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( )

'( )

L aL a dx

L L a dx L a f a f a a dx a f a

f a dx

Assim, a diferencial '( )df f x dx , possui uma interpretação geométrica o valor de df

quando x = a é L , a variação da linearização de f correspondente à variação dx .

Estimativa de Variação com Diferenciais: Seja f(x) derivável quando x = a. A variação

aproximada do valor de f quando x varia de a para a dx é: '( )df f a dx .



8.4.2 – Variações absoluta, relativa e percentual:

conforme nos deslocamos de a para um ponto a dx próximo, podemos descrever a

variação de f de três maneiras:

REAL ESTIMADA

Variação absoluta ( ) ( )f f a dx f a '( )df f a dx

Variação relativa ( )

f

f a

( )

df

f a

Variação percentual 100( )

f

f a

100

( )

df

f a




01) calcular a derivada das funções inversas abaixo:

1) 2( ) arc.cosf x x

2

2

'( ); como ( ) ,

1 ( )

u xu x x obtemos

u x

2 4

2

2 2'( ) '( )

11

x xf x f x

xx

2) 2( ) arc. sen 4f x x

2

2

'( ); como ( ) 4 ,

1 ( )

u xu x x obtemos

u x

2 4

2

2.4 8'( ) '( )

1 161 4

x xf x f x

xx

3) 1

( ) arc.tgf xx

2 2 2

'( ) 1 0.1 1.1 1; como ( ) , '( )

1 ( )

u xu x obtemos u x

x x xu x

2 2 2

2 2 2

2 2

1 1 1

1'( )

1 11 11

x x xf xx x

x xx

2x

2 2

1

1 1x x

4) 1

( ) arc. cotg 1

xf x

x

2

'( ) 1; como ( ) ,

11 ( )

u x xu x obtemos

xu x

2 2

1.(1 ) (1 ).( 1) (1 ) (1 ) 1'( )

(1 ) (1 )

x x x x xu x

x x

1 x 2 2

2

(1 ) (1 )x x

22 2

2 2

2

22 2

(1 )(1 ) (1 )'( )

(1 )111

(1 )1

xx xf x

xx

xx

2 2

2

(1 ) (1 )

(1 )

x x

x

2 2

2 2 2 2

2

(1 ) (1 )

2 2'( )

1 2.1. 1 2.1. 1 2

x x

f xx x x x x

2 1 2x x

22

2 2

2 2xx

2.2 22 2

1

(1 )(1 ) xx

5) 2x( ) arc. sec ef x

2

2

'( )como ( ) ,

( ). ( ) 1

xu xu x e obtemos

u x u x

2

22 2 2

( )

2 .'( ) .2.1 .2 2. '( )

x

xx x x

u x e

eu x e e e f x

2xe

2 2 42 2

2 2

11 1x

x x ee e



6) 21( ) x arc. cossec 1f x x

x

2

'( )

( ). ( ) 1

u x

u x u x

2

1( ) . .cossec

1

1'( ) 1. .cossec .

u x x arcx

xu x arc x

x

1

x

2 2

1

11. .cossec .

1 11 1

1'( ) 1. .cossec

xarc x

x

x x

u x arc xx

1.

x 2 2

1 11. .cossec

111

xarc

x x

x

1 1 11

2 2 22 2 21 2

2 2

2

1 1 1 1 1 1( ) 1 1 1 2 1 2 2 2

2 2 2 2 11

'( )1

v x x x x x x x x xxx

xv x

x

2 2 2

'( ) '( ) '( )

1 1'( ) .cossec .cossec

1 1 1

f x u x v x

x x xf x arc arc

x xx x x

21

x

x

1'( ) .cossec f x arc

x

7) 3 x

( )arc. sen x

f x

1

3 3

1 21

3 32 3 32 23

( )

1 1 1 1 1 1 1'( )

3 3 3 3 3.

u x x x

u x x xx x

x

2

( ) .

1'( )

1

v x arc senx

v xx



2 32 3 33

3 32 2 2 2

2 2

1 . 31 1 1 . 3.

3 1 3 1'( )

. .

x arc senx xx arc senx x xarc senx x

x x x xf x

arc senx arc senx

3

4 2 36

2

2

4 2 3 26

2 24 2 36

2

4 2 3 26

3 .(1 )

.

1 . 3

3 .(1 ) 1 . 3 1

. .3 .(1 )

1 . 3'( )

3 .(1 ) .

x x

arc senx

x arc senx x

x x x arc senx x

arc senx arc senxx x

x arc senx xf x

x x arc sen x

02) Expresse dy

dx em termos de x e y, onde y = y(x),é uma função derivável, dada implicitamente

pela equação dada:

1) ye n y x

' 1 1' ' 1 '

1

1

1

y y

y

y

ye y x y e y

y ye

y

dy

dxe

y

2) . 2 1x y x y

1. . ' 1 ( 0.y x y y 0

2. ') 0

. ' 1 2 ' 0

. ' 2 ' 1

'.( 2) ( 1)

( 1)'

( 2)

( 1)

( 2)

y

y x y y

x y y y

y x y

yy

x

dy y

dx x

3) 2y sen y x

0. 2. ' cos . ' 1

2 ' cos . ' 1

'.(2 cos ) 1

1'

(2 cos )

1

(2 cos )

y y y y

y y y

y y

yy

dy

dx y



4) 5 cosy y x y

0. 5. ' ( ). ' 1. . '

5. ' . ' . '

5. ' . ' . '

'.(5 )

'5

5

y y seny y y x y

y seny y y x y

y seny y x y y

y seny x y

yy

seny x

dy y

dx seny x

5) 2 2 1x sen y y

cos . '2 2. . ' 0

2

4 cos . ' 4. . ' 0

cos . ' 4. . ' 4

'(cos 4. ) 4

4

cos 4.

y yx y y

sen y

x sen y y y y y sen y

y y y y sen y x sen y

y y y sen y x sen y

x sen ydy

dx y y sen y

03) o custo total em reais para fabricar q unidades de um certo produto é 2( ) 3 5 10C q q q . Se o

nível atual de produção é 40 unidades, estime a variação do custo total se 40,5 unidades forem

produzidas.

Nesse problema, a produção atual é q = 40 e a variação é 0,5q . De acordo com a

aproximação por incrementos, a variação correspondente do custo.

(40,5) (40) '(40) '(40)(0,5)C C C C q C , como

'( ) 6 5 e '(40) 6(40) 5 245C q q C , temos:

ΔC C'(40)(0,5) 245(0,5) R$ 122,50

04) Um estudante mede a aresta de um cubo, encontra o valor de 12 cm e conclui que o volume do

cubo é de 123 = 1.728 cm

3. Se a precisão da medida foi de 2%, com que precisão foi calculado o

volume?

O volume do cubo é 3V(x) x , onde x é a aresta do cubo. O erro cometido no cálculo do

volume ao supor que a aresta do cubo é 12 quando na realidade é 12 x é dado por.

V V(12 + x) - V(12) V'(12) x ,



A diferença entre o comprimento real da aresta e o comprimento medido é no máximo de

2%, ou seja, 0,02(12) = 0,24 cm para mais ou para menos. Assim, o erro máximo na medição da

aresta é 0,24x e o erro máximo correspondente no cálculo do volume é o erro máximo do

volume V V'(12)( 0,24)

2V'(x) = 3x e 2V'(12) = 3(12) 432

o erro máximo do volume 432( 0,24) 103,68

05) A produção diária de uma certa fábrica é 1 3Q(L) = 900L unidades , onde L é a mão-de-obra

utilizada, medida em homens-horas. No momento, a fábrica utiliza 1.000 homens-horas. Use os

métodos do cálculo para estimar o número de homens-horas adicionais necessários para aumentar

de 15 unidades a produção diária.

Calcule o valor de L usando a aproximação por incrementos, ΔQ Q'(L)ΔL com:

ΔQ = 15 L = 1.000 e -2 3Q'(L) = 300L , para obter 2 315 300(1.000) ΔL ou

2 3 215 15ΔL (1.000) (10) 5 homens-horas

300 300 .

06) O PIB de um certo país foi 2N(t) t 5t 200 bilhões de dólares t anos após 1994. Use os

métodos do cálculo para estimar a variação percentual do PIB durante o primeiro trimestre de 2002.

Use a expressão da variação percentual de N'(t)Δt

N 100N(t)

, com 8t , 0,25t e '( ) 2 5N t t

Para obter a variação percentual

2

2(8) + 5 0,25N'(8)0,25N 100 100

N(8) (8) 5(8) 200

logo: N 1,73% .

07) Em certa fábrica, a produção diária é 1 2Q(k) = 4.000K unidades, onde k é o capital

disponibilizado da firma. Use os métodos do cálculo para estimar o aumento percentual da produção

em conseqüência de um aumento de 1% no capital disponibilizado.

A derivada da função de produção é -1 2Q'(k) = 2.000K . O fato de que K aumenta 1% significa que

0,01k k . Assim.

Variação percentual Q'(k)Δk

Q 100Q(k)

-1 2 1 2-1 2 1 2

1 2 1 2

2.000k (0,01k) 2.000kQ 100 , já que k k = k

4.000k 4.000k

2.000Q 0,25%

4.000 .



08) Deseja-se calcular a profundidade de um poço a partir da equação 2s 16t determinando quanto

tempo leva para uma pedra pesada que você derrubada da entrada do poço encontrar a água no

fundo deste. Qual será a sensibilidade de seus cálculos a um erro de 0,1 s na medição do tempo.

O tamanho de 9,8ds tdt . Depende do tamanho de t por exemplos:

Quando t = 2s, e o erro causado por 0,1dt s é apenas ds = 9,8(2)(0,1) 1,9m .

Quando t = 5s, e o erro causado por 0,1dt s é apenas ds = 9,8(5)(0,1) 4,9m .

Questões Propostas

01) calcular a derivada das funções inversas abaixo:

1) x

x( ) arc. cos

ef x R:

2 2

1 2'( )

2 x

xf x

x e x

2) ( ) arc. cos xf x x R: 2

1 1'( )

21f x

xx

3) 32 x( ) x arc.sen x - ef x R:

32

2 2

4

2'( ) . 3

1

xxf x arc sen x x e

x

4) arc.sen x

( ) lnarc.cos x

f x

R: 2

. .cos'( )

1 . .cos

arc sen x arc xf x

x arc sen x arc x

5) 23( ) arc.tg xf x R:

2

2 3

4

2x ( . )'( )

3 (1 )

arc tg xf x

x

6) sen α

( ) arc.tg1 cosα

xf x

x

R:

2

sen α'( )

1 2 cosα + xf x

x

7) 2( ) x arc.cotg x + ln 1 + xf x R: '( ) arc cotg f x x

8) ( ) arc.secf x x x R: 1 1

'( ) arcsec2 1

f x xx x

9) 2( ) arc.tg x 1 arc.cossec xf x R: '( ) 0f x

10) 2( ) arc.cossec (x 1)f x R: 2 4 2

2'( )

( 1) 2

xf x

x x x



11) π

( ) arc.cossec (secθ) 0 θ <2

f x R: '( ) 1f x

02) Expresse dy

dx em termos de x e y, onde y = y(x),é uma função derivável, dada implicitamente

pela equação dada:

1) 2 sen( 2 )x y x y R: 2cos( 2 )

'2 2cos( 2 )

x y yy

xy x y

2) 3x sen y x arc.tg y R: 2 2

2

3 (1 )'

(1 ) cos 1

sen y x yy

y x y

3) 2 2sen( )x y x R: 2 2 2

2 2 2

1 2 cos( )'

2 cos( )

xy x yy

x y x y

4) 3 2tg ( )x y y x R: 2 2 2 2 2

2 2 2 2

1 3 tg ( ) sec ( )'

3(2 1) tg ( ) sec ( )

y x y y x y yy

xy x y y x y y

5) 2 2 yx + y c arc.tg

x R:

2 2

2 2'

cy x x yy

cx y x y

6) 16y x x y R: 2

'2

y x y yy

x y x x

03) Um avião esta viajando a uma altitude de 10 km em uma trajetória que levará a passar

diretamente acima de uma estação de radar seja s a distância (em quilômetros) entre a estação de

radar e o avião. Se s está decrescendo a uma taxa de 650 km/h, quando s é de 16 km, qual é a

velocidade do avião.

R: 832 km/h

04) O cascalho esta sendo empilhado em uma pilha cônica a uma taxa de 33m minuto . Encontre a

taxa de v da altura da pilha quando é 3m (Suponha que o tamanho do cascalho é tal que o raio da

base do cone é igual a sua altura).

R 0,106m minuto

05) Suponha que o sol nascente passa diretamente sobre um prédio e tem uma altura de 30 m e seja

θ o ãngulo de elevação. Ache a taxa segundo o qual o comprimento da sombra do prédio que está

variando em relação ao ângulo θ , quando θ = 450. Expressar do respeito em m grau .

R: 1,05m grau



06) A produção diária de certa fábrica é Q(L) = 3002

3L unidades, onde L é a mão-de-obra utilizada,

medida em homens-horas. No momento, a fábrica utiliza 512 homens-horas. Estime o número de

homens-horas adicionais que seriam necessários para aumentar de 12,5 unidades a produção diária.

R: 0,5

07) Os registros mostram que x anos após 1997, o imposto predial para um apartamento de três

quartos em certa cidade era T(x) = 603

2x + 40x + 1200 reais. Estime o aumento percentual do

imposto predial durante o primeiro semestre de 2001.

R: 6%

08) A produção de certa fábrica é Q = 60011

32K L unidades, onde K é o capital imobilizado e L a

mão-de-obra. Estime o aumento percentual de produção resultante de um aumento de 2% na mão-

de-obra se o capital imobilizado permanecer constante.

R: 100ΔQ Q 0,67%

09) Para estimar a quantidade de madeira que existe no tronco de uma árvore, é razoável supor que

a árvore é um cone truncado. Se o raio superior do tronco é r, o raio inferior é R e a altura é H, o

volume de madeira é dado por π

V = H(R² + rR + r²)3

. As taxas de aumento de r, R e H são

respectivamente 10cm/ano, 12,5cm/ano e 22,5cm/ano. Qual é a taxa de aumento de V no instante

em que r = 60 cm, R = 90 cm e H = 4,5 m?

R: 3dV2.806.227,638 cm / ano

dt

10) De acordo com a lei de Boyle, quando um gás é comprimido a uma temperatura constante, a

pressão e o volume V do gás satisfazem à equação PV = C, onde C é uma constante. Suponha que

em certo instante o volume seja 0,1m3, a pressão seja 10 atmosferas e o volume esteja aumentando à

razão de 0,005m³/s. Qual é a taxa de variação da pressão nesse instante? A pressão está aumentando

ou diminuindo?



R: -0,5 atm/s.

11) Uma pessoa está de pé à beira de um cais, 4m acima da água, e puxa uma corda presa a uma

bóia. Se a corda é puxada à razão de 0,6m/min, com que velocidade a bóia está se movendo quando

se encontra a 3 m do cais?

R: -1 m/mim.

12) A velocidade do sangue no eixo central de uma certa artéria é S(R) = 1,8 x 10 5 R² cm/s, onde R

é o raio da artéria. Um estudante de medicina mede o raio da artéria e obtém o valor de 1,2 x 10-2

cm, cometendo um erro de 5 x 10-4

cm. Estime a diferença entre o valor calculado da velocidade do

sangue e o valor real.

R: 2,16cm/s

13) Um pequeno balão esférico é introduzido em uma artéria obstruída e inflado à razão de 0,002 π

mm³/min. Qual é a taxa aumento do raio do balão quando o raio é R = 0,005 mm?

R: dr

20mm / mindt

.

14) De acordo com uma das leis de Poiseuille, a velocidade do sangue a r centímetros do eixo

central de uma artéria é dada por v = 2 2K(R - r )

L, onde k onde K é uma constante positiva, R é o

raio da artéria e L é o comprimento da artéria. Suponha que L se mantenha constante e R esteja

diminuindo à razão de 0,0012 mm/min. Qual é a aceleração do sangue a meio caminho entre o eixo

central e a parede interna da artéria no momento em que R = 0,007 mm (isto é, qual é o valor de

dv/dt no momento em que r = 0,0035 mm)?

R: 5dv K1,68 10 mm / min

dt L

.



0)()(

)()(),(

)()(lim)('

Relativo Máximo),(

o

o

o

o

xxo

o

xfxf

xfxfbax

xx

xfxfxf

bax

o

0)('

0)()(

lim

0)()(

0

o

o

o

xx

o

o

o

o

xf

xx

xfxf

xx

xfxf

xx

xx

o

0)('

0)()(

lim

0)()(

0

o

o

o

xx

o

o

o

o

xf

xx

xfxf

xx

xfxf

xx

xx

o

[

a ]

b

y

f(a)

f(b) ●

●

Min

Máx

●

Nesta aula vamos apresentar o estudo das variações das funções, construção de gráficos,

aplicação da regra de L‟ hospital e problemas de otimização:

9.1 Estudo da variação das funções

1ª Parte teoremas

1) Teorema de Weiertrass:

Seja f (x) é uma função contínua num intervalo fechado, então existe um ponto de máximo e

mínimo relativo.

1) 2) 3)

2) Teorema de Fermat:

Seja f (x) uma função contínua num intervalo fechado [a,b] e derivável em (a,b). Se xo

(a,b) é abscissa de um ponto de máximo ou mínimo, então 0'( ) 0f x .

Demonstração:

1)

i) ii)

AULA O9

f(b)

f(a) ●

●

Min

Máx

[

a ]

b

y

● Máx

[

a

]

b

|

x |

x |

xo

limites para sinal do oconservaçã da teoremapelo ,0)(' oxf

y

x

y

f(a)=f(b)

x

● Máx =

Min

[

a ]

b

●

x x



0)()(

)()(),(

)()(lim)('

Relativo Minimo),(

o

o

o

o

xxo

o

xfxf

xfxfbax

xx

xfxfxf

bax

o

0)('

0)()(

lim

0)()(

0

o

o

o

xx

o

o

o

o

xf

xx

xfxf

xx

xfxf

xx

xx

o

0)('

0)()(

lim

0)()(

0

o

o

o

xx

o

o

o

o

xf

xx

xfxf

xx

xfxf

xx

xx

o

limites para sinal do oconservaçã da teoremapelo ,0)(' oxf

2)

i) ii)

2.1 Interpretação Geométrica do teorema de Fermat:

O teorema de Fermat garante que num extremo local interior de uma função derivável f (x),

a reta tangente ao gráfico de f (x) é paralela aos eixos do x.

1) 2)

f(xo)é o máximo local interior f(xo)é o mínimo local interior

3) Teorema de Rolle:

Se f (x) è uma função contínua em [a,b], e derivável em (a,b), se f (a) = f (b), então existe

pelo menos um ponto xo (a,b), tal que 0'( ) 0f x .

1) 2) 3)

y

● Min

[

a

]

b

|

x |

x |

xo x

a b

●

●

f(a)= f(b)

y

x a b

●

●

f(a)= f(b)

y

●

f(xo)

a b

●

●

f(a)= f(b)

y

x

●

f(xo)



x

).()()(

))((

).()(

axab

afbfafy

xxmyy oo

Demonstração:

(I) Se ( ) ,f x k k , temos que 0)(' xf , ). ,( bax

(II) Tem-se que bxxxxaxfxf ooo ou se ),()( , então xo é abscissa de um ponto de

máximo pelo T. Fermat f '(xo) 0 .

(III) Temos que oo xxxfxfbax ),()(),,( , logo o ponto )(, oo xfx é ponto de

mínimo, assim, pelo teorema de Fermat .0)(' oxf

3.1) Interpretação geométrica do Teorema de Rolle:

O teorema de Rolle, afirma que se uma função é derivável em (a,b), contínua em [a,b] e

assume valores iguais nos extremos do intervalo, então em qualquer ponto de (a,b) a tangente ao

gráfico de f (x) é paralela ao eixo do x.

1) 2) 3)

4) Teorema do Valor Médio ou Teorema de Lagrange

Se a função f (x) é contínua em [a,b] e derivável em (a,b) existe pelo menos um xo (a,b),

tal que. ab

afbfxf o

)()()('

Demonstração:

A equação da reta que passa pelos pontos (a, f(a)) e (b, f(b)) é:

x

●

●

●

●

y

x

t

s

a xo b

y

t//s//r

ab

afbfm

xxxfyy

ab

afbf

x

y

ooo

)()(

)).((')(

)()(



1º Caso: )()( bfaf

Neste caso 0)()(

ab

afbf e pelo teorema de Rolle, existe ),( baxo , tal que

ab

afbfxf o

)()(0)(' .

2º Caso: )()( bfaf

Consideremos a função ).()()(

)()()( axab

afbfafxfxg

.

(I) g(x) é constante em [a, b] por ser a diferença entre ).()()(

e )()( axab

afbfafxf

,

que são contínuas [a, b].

(II) g(x) é derivável em (a, b) e sua derivada é .)()(

)(')('ab

afbfxfxg

(III) Nos extremos do intervalo [a, b], temos:

0).()()(

)()()(

0).()()(

)()()(

abab

afbfbfbfbg

aaab

afbfafafag

Portanto, 0)()( bgag

Sendo assim, é válido para g(x), o teorema de Rolle: existe ) ,( baxo , tal que 0)(' oxg ,

isto é: ab

afbfxf

ab

afbfxfxg ooo

)()()(' aindaou ,0

)()()(')('

4.1 - Interpretação geométrica do Teorema de Lagrange ou T.V.M

Segundo o Teorema de Lagrange, se f(x) é função contínua em [a,b] e derivável em (a,b),

então existe um ponto xo (a,b), tal que a reta tangente ao gráfico de f (x) no ponto P (xo, f (xo)) é

paralela a reta determinada pelos pontos A (a, f (a)) e B (b, f (b)), por terem coeficientes angulares

iguais.



2ª Parte Análise de funções:

2.1 Crescimento ou decrescimento: O termos crescente, decrescente e constante são usados para

descrever o comportamento de uma função em um intervalo.

Definição Seja f definida em um intervalo e sejam 1x e 2x pontos do intervalo.

(a) f é crescente no intervalo se f ( 1x ) < f ( 2x ) para 1x < 2x .

(b) f é decrescente no intervalo se f ( 1x ) > f ( 2x ) para 1x < 2x .

(c) f é constante no intervalo se f ( 1x ) = f ( 2x ) para todos os pontos 1x e 2x .

a) b) c)

2121 se )()( xxxfxf 2121 se )()( xxxfxf )()( 21 xfxf

Teorema (1) Seja f uma função contínua em um intervalo fechado [a,b] e diferenciável no

intervalo aberto (a,b).

(a) Se '( )f x > 0 para todo valor de x em (a,b), então f é crescente em [a,b]

(b) Se '( )f x < 0 para todo valor de x em (a,b), então f é decrescente em [a,b]

(c) Se '( )f x = 0 para todo valor de x em (a,b), então f é constante em [a,b].

2,2 Concavidade:

Definição Se f for diferenciável em um intervalo aberto I, então f é classificada como sendo

côncava para cima se f for crescente em I e côncava para baixo se f for decrescente em I.

Teorema (2) Seja f duas vezes diferenciável em um intervalo aberto I.

(a) Se "f (x) > 0 em I , então f tem concavidade para cima em I.

(b) Se "f (x) < 0 em I, então f tem a concavidade para baixo em I.

a) b)

●

●

x1

x2

f(x1)

f(x2)

Crescente

●

●

x1

x2

f(x1)

f(x2)

Decrescente

●

x1

x2

f(x1)

f(x2)

Constante

●

x

x

x

●

●

●

●

●

●

Concavidade

para cima

●

●

Concavidade

para baixo

y y



2.3 Pontos de inflexão:

Definição Se f for contínua em um intervalo aberto contendo o ponto xo e se f muda a direção

da concavidade naquele ponto dizemos, então que f tem um ponto de inflexão em xo e chamamos o

ponto de inflexão em xo e chamamos o ponto (xo, f (xo)) do gráfico de f um ponto de inflexão de f.

Os pontos de inflexão marcam os lugares sobre a outra y = f (x), nos quais a taxa de variação

de y em relação a x. Tem um máximo ou mínimo relativo, isto é, eles são lugares onde y cresce ou

decresce mais rapidamente e sua vizinhança máxima

Teorema (3) Seja (xo, f (xo)) um ponto de inflexão. Então "f xo) = 0, ou "f não está definida

em x = xo.

2,4 Extremos relativos: Máximos e mínimos

Definição Uma função f se diz ter um máximo relativo em xo, se houver um intervalo aberto

contendo xo, na qual f (xo) é o maior valor, isto é, f(xo) f(x) para todo x no intervalo.

Analogamente, se diz que f tem um número relativo em xo, no qual f (xo) é o menor valor, isto é,

f(x0) f(x), para todo x no intervalo. Quando f tiver um máximo ou um mínimo relativo em xo, se

diz que f tem um extremo relativo em xo.

Teorema (4) Se uma função f tiver extremos relativos então eles ocorrem ou em pontos onde

'f (x) = 0 ou em pontos de não-diferenciabilidade, também chamamos pontos críticos ou pontos de

não-diferenciabilidade.

x x



Não é máximo nem mínimo relativo

Teorema (5) (Teste da 1ª Derivada)

Suponha f contínua em um ponto crítico xo.

1) Se o sinal de 'f (x) muda no ponto x, passando de negativo a positivo, então f, tem o mínimo

relativo em xo.

2) Se o sinal de 'f (x), muda no ponto x, passando de positivo a negativo, então f, tem um máximo

relativo em xo.

3) Se 'f (x) não muda de sinal no ponto x, então f não é máximo e nem mínimo relativo em xo.

1) 2)

3) 4)

Teorema (6) (Teste da 2ª Derivada)

Suponha que f é uma função contínua e derivável até a segunda ordem no intervalo I = ]a,b[,

com derivadas f ' e f '' também contínuas em I. Seja xo I, tal que nestas condições, temos:

1) Se f '(xo) = 0 e f ''(xo) > 0, então f tem xo um mínimo relativo.

2) Se f '(xo) = 0 e f ''(xo) < 0, então f tem xo um máximo relativo.

3) Se f '(xo) = 0 e f ''(xo) = 0, então o teste é inconclusivo, isto é, f pode ter um máximo ou

mínimo relativo ou nenhum dos dois em xo.

a b

f’(x)>0 f’(x)<0

- -

- +

- +

- +

- -

- -

f’(x)>0 f’(x)<0 f’(x)>0 f’(x)<0

a b a b

a b

f’(x)>0 f’(x)<0

- -

- +

Mínimo

Maximo



Obs: Devemos observar, nas condições do último teorema que se f '(xo) = 0 e f ''(xo) = 0, nada pode

ser concluído sobre xo. Neste sentido mostramos no teorema abaixo um critério geral para pesquisar

extremantes.

Teorema (7)

Seja f uma função derivável com derivadas sucessivas também deriváveis em I = ]a,b[. Seja

xo I, tal que :

'f (xo) = ''f (xo) = ...... = f 1n (xo) = 0 e f n 0. Nestas condições temos:

1) Se n é par e f n (xo) < 0, então xo é ponto de máximo local de f;

2) Se n é par e f n (xo) > 0, então xo é ponto de mínimo local de f;

3) Se n é ímpar, então xo não é ponto de máximo e nem de mínimo local de f.

2,5 Extremos absolutos: Máximos e mínimos

DefiniçãoDizemos que uma função f tem um máximo absoluto em um intervalo I num ponto xo

se f(xo), for o maior valor de f em I, isto é, f (xo) f (x) para todo x em I.

Analogamente, dizemos que f tem um mínimo absoluto em um intervalo I num ponto xo se f

(xo), for o menor valor de f em I, isto é, f (xo) f (x) para todo x em I.

Se f tiver em xo qualquer um dos dois máximos ou mínimos absolutos em I, dizemos que f

tem em xo um extremo absoluto em I.

Teorema (8) ( Teorema do Valor Extremo)

Se uma função f for contínua num intervalo fechado finito [a,b], então tem ambos um

máximo e um mínimo absolutos em [a,b].

Teorema (9):

Se f tiver um extremo absoluto em um intervalo aberto (a,b), então ele precisa ocorrer em

um ponto crítico de f.

1) 2) 3)



Procedimentos para encontrar os extremos absolutos, de uma função contínua f em um

intervalo finito fechado [a,b].

1) Ache os pontos críticos de f em (a,b).

2) Ache o valor de f em todos pontos críticos e nos extremos (a,b).

3) O maior entre os valores do item 2) é o valor máximo absoluto de f em [a,b] enquanto que o

menor valor é o mínimo absoluto.

Teorema (10):

Suponha que f é contínua e tem exatamente um extremo relativo em um intervalo I.

Digamos em xo.

1) Se f tiver um mínimo relativo em xo, então f (xo) é o mínimo absoluto de f em I.

2) Se f tiver um máximo relativo em xo, então f (xo) é o máximo absoluto de f em I.

Teorema de Cauchy (11) Sejam f (x) e g(x) definidas em um intervalo fechado [a,b] e derivável

em (a,b). Se g „ (x) for diferente de zero, para todo x (a,b) então existe pelo menos um número

real, xo (a,b).

)()(

)()(

)('

)('

agbg

afbf

xg

xf

o

o

Demonstração:

Podemos supor que )()( bgxg já que, caso contrário, teríamos 0)(' xg para algum x em

(a, b) pelo teorema de Rolle. Vamos definir )(xh por:

f(b) f(a)h(x) f(x) .g(x)

g(b) g(a)

Então:

f(b) f(a) f(a) f(b) f(b) g(a)

h(a) f(a) g(a)g(b) g(a) g(b) g(a)

f(b) f(a) f(a) f(b) f(b) g(a)

h(b) = f(b) g(b)g(b) g(a) g(b) g(a)



e pelo Teorema de Rolle, existe um ponto xo em (a, b) tal que:

o o

f(b) f(a)h'(x) f '(x ) g'(x ) 0

g(b) g(a)

o o

f(b) f(a)f '(x ) g'(x )

g(b) g(a)

o

o

f '(x ) f(b) f(a)

g '(x ) g(b) g(a)

c.q.d



Teorema ou Regra de L’ hôspital (12):

Sejam f e g funções diferenciáveis em um intervalo aberto (a, b),contendo xo, com a possível

exceção de xo. Se o limite )(

)(

xg

xf, quando x tende para a xo produz uma forma indeterminada

0

0 ou

, então:

)('

)('lim

)(

)(lim

xg

xf

xg

xf

oo xxxx com '( ) 0g x

Demonstração:

Primeiramente estabelecemos a equação anterior para o caso 0x x . O método quase não

precisa de mudanças para aplicar-se 0x x e a combinação desses dois casos estabelece o

resultado. Suponha que x esteja à direita de 0x . Então '( ) 0g x , e podemos aplicar o Teorema do

Valor Médio de Cauchy ao intervalo fechado de 0x a x Esse ponto produz um número c entre 0x e

x tal que:

o

o

f '(x ) f(b) f(a)

g '(x ) g(b) g(a)

, Mas 0 0( ) ( ) 0f x g x , então

f '(c) f(x)

g '(c) g(x) .

Conforme x tende a 0x c tende a 0x porque está entre x e 0x . Conseqüentemente,

0 0 0

( ) '( ) '( )lim lim lim

( ) '( ) '( )x x c x x x

f x f x f x

g x g x g x

que estabelece a Regra de L ' hôspital para o caso onde x tende a 0x pela direita. O caso no qual x

tende a 0x pela esquerda é provado com aplicação do teorema do valor Médio de Cauchy ao

intervalo 0 0; ,x x x x .

Procedimentos para usar a regra de L‟ hôspital:

1) Verifique que o lim)(

)(

xg

xf é uma foram indeterminada, e se não for, então a regra de L‟

hôspital não pode ser usada.

2) Diferencie separadamente f e g.

3) Ache lim)('

)('

xg

xf. Se este limite for finito +ou - , então é igual a lim

)(

)(

xg

xf.

Reta assíntotas de um gráfico

x1 r

y1

y2

x

f(x)

y



Intuitivamente uma reta r é assíntota do gráfico de uma função f se, ao percorrermos esse

gráfico, nos afastamos indefinidamente da origem do sistema, as distâncias entre os pontos do

gráfico e a reta r tendem a zero.

A intersecção do gráfico de uma função f com uma assíntota vertical r é sempre o conjunto

vazio. Caso contrário teríamos para algum x do domínio de f, mais do que uma imagem e, portanto,

f não seria função como mostra a figura acima.

Definição (1) A reta vertical r, de equação x = a é assíntota do gráfico de uma função y = f (x)

se, e somente se:

)(lim xfax

ou

)(lim xfax

)(lim xfax

ou

)(lim xfax

Definição (2) A reta não-vertical r, de equação g(x) = mx + q, (m,q} , é assíntota do gráfico

de uma função y = f(x) se, e somente se:

xlim [f (x) – g (x)] = 0 ou

xlim [f(x) – g (x)] = 0

Determinação de assíntotas não-verticais:

As assíntotas verticais do gráfico de uma função f, se existirem, são fáceis de determinar,

pois suas equações são do tipo x = a, em que a D (f) e um dos limites )(lim xfax

ou )(lim xfax

é

igual a + ou . As assíntotas não-verticais não são tão simples, e por isso mostraremos um

teorema para facilitar esse estudo.

Teorema:

Se a reta r de equação g(x) = mx + q, {m,q} , é assíntota do gráfico de uma função f (x),

então:

mx

xf

x

)(lim e qmxxf

x

])([lim (I)

mx

xf

x

)(lim e qmxxf

x

])([lim (II)

Demonstração:

A reta r é assíntota do gráfico de f , logo teremos: 0)]()([limou 0)]()([lim

xgxfxgxfxx



Ocorre 0)]()([lim

xgxfx

, podemos escrever: 0].)([lim

qxmxfx

, ou ainda

0)(

.lim

x

qm

x

xfx

x, com R , qm . Como

x

xlim , concluímos que

0)(

lim

x

qm

x

xf

x.

Observando os limites mmx

lim e 0lim x

q

x, pois m e q são constantes, temos:

0)(

lim

x

qm

x

xf

xm

x

xf

x

)(lim Conhecendo o valor de m, obtemos q do seguinte

modo: 0].)([lim

qxmxfx

qxmxfx

].)([lim .

Problemas de Otimização: (Máximos e Mínimos)

A otimização tem como objetivo encontrar o mínimo absoluto e o máximo absoluto de uma

função dentro de um certo intervalo de interesse. O máximo absoluto de uma função dentro de um

intervalo é o maior valor da função nesse intervalo e o mínimo absoluto é o menor valor da função

nesse intervalo. Os problemas aplicados de otimização, os quais iremos considerar nesta seção,

incidem nas seguintes categorias:

1 - Problemas que se reduzem a maximizar ou a minimizar uma função contínua, em um intervalo

finito fechado.

2 - Problemas que se reduzem a maximizar ou a minimizar uma função contínua, em um intervalo

infinito, mas não fechado.

Quanto aos problemas do primeiro tipo, o teorema (8), garante que o problema tem solução

e sabemos que esta solução pode ser obtida examinando os valores da função nos pontos críticos e

nos extremos do intervalo.

Quanto aos problemas do segundo tipo, podem ou não, ter solução. Assim sendo, parte do

trabalho em tais problemas é determinar se, realmente, tem uma solução.

Se a função for contínua e tiver exatamente um extremo relativo no intervalo, então o

teorema (10), garante a existência de uma solução e fornece um método para calculá-la. Nos casos

em que o teorema não se aplica, e necessária certa engenhosidade para resolver o problema.

Estratégias para Resolver Problemas de Máximo e Mínimo

1) Compreendendo o problema: Leia o problema atentamente. Identifique as informações

necessárias para resolvê-lo. O que é desconhecido? O que e dado? O que é pedido?

2) Desenvolva um Modelo Matemático para o problema: Desenhe figuras e identifique as partes

que são importantes para o problema. Introduza uma variável para representar a quantidade a ser



maximizada ou minimizada. Utilizando essa variável, escreva uma função cujo valor extremo

fornece a informação pedida.

3) Determine o Domínio da Função: Determine quais valores da variável têm sentido no problema.

Se possível, esboce o gráfico da função.

4) Identifique os Pontos Críticos e as Extremidades: Determine onde a derivada é zero ou não

existe. Utilize aquilo que você sabe sobre a forma do gráfico de uma função e sobre a física do

problema. Use a primeira e a segunda derivada para identificar e classificar pontos críticos (onde

' 0f ou não existe).

5) Resolva o Modelo Matemático: Se não estiver seguro sobre o resultado, utilize outro método

para embasar ou confirmar sua solução.

6) Interprete a Solução: Traduza seu resultado matemático de volta para a linguagem original do

problema e decida se tem sentido ou não.

Questões resolvidas de Otimização em Geometria

01) Um sólido será construído acoplando-se a um cilindro circular reto de altura h e raio r, uma

semi-esfera de raio r. Deseja-se que a área da superfície do sólido formado seja 5 . Determine r e h

para que o volume do sólido seja máximo.

Solução:

2

5

ET L C

AA A A

2 . . r h 2 4. r

2

2 2

2

2

2

.

2

5 2. . 2.

5 2 3

5 3 2

5 3

2

r

r h r r

rh r

r rh

rh

r

2

2

2 3

2

2

4

3. .2

2. . .

3

.

ET C

VV V

r

V r h

V r h r

V r

25 3

.2

r

r

3

23

33

3 3

3 3

3

2.

3

5 3 2. . .

2 3

5 3 2.

2 3

5 3 2

2 2 3

5 9 4

2 6

5 5

2 6

r

rV r r

r rV r

r r rV

r r rV

r rV

25 1 5'

2 2

5 .1. 2'

rV

V

5 .0r

0

22

2

5'

2

5 .3. . 6

V

r

35 . .0r

26

5 3

2 2. 5

2 2

r r

2

' 0

5 5 .0

2 2

5

2

V

r

5

2

2

2 1

1

1

r

r

r

r

25 3.(1)

2.(1)

5 3 21

2 2

h

h



02) Um retângulo de dimensões x e y tem perímetros 2a (a é constante dada). Determinar x e y para

que sua área seja máxima.

Solução:

2

( )

2 0

2 0 22

S x y

S x a x

S x a x

S x a S

ax a a x x

22

.2

2

.2).(2

ay

aay

aay

xay

ayx

ayx

R: 2

ax y

03) Calcular o perímetro máximo de um trapézio que está inscrito numa semicircunferência de raio

R.

Solução:

P 2R 2 2m

θP 2R 2R cosθ 2 2R sen

2

l

. 1

1

MáxV r

h

x

y

θ θ

θ θ

R R

R R

l l

m m

D

B A

E C

O

θ

1 E C

O

l 2

R

θ/2

θ

O R

C

B

m/2

m m/2



θ/2

cos.

cos

Rl

R

l

mθ 2sen2 R

m θ θR sen m 2R sen

2 2 2

θ θ 1 θP = 2R + 2R cos θ + 4R sen P = -2R sen θ + 4R cos P = -2R sen θ + 2R cos P = 0

2 2 2 2

θ θ θ0 = -2R sen θ + 2R cos 2R cos = 2R sen θ cos = sen θ 1

2 2 2

2θ θ θsen 2θ 2 sen θ cos θ sen = 2 sen cos s

2 2 2

2θ θ θ θ θ

en = 2 sen cos sen θ = 2 sen cos 22 2 2 2 2

Substituindo (1) em (2) temos:

MÁX

MÁX MÁX MÁX MÁX

θ θ θ θ 1 θ θ π θ π 2.π πcos 2 sen cos 1 2 sen sen sen sen θ = θ =

2 2 2 2 2 2 2 6 2 6 6 3

πP = P

3

π π 1 1P 2R 2R cos 4R sen P 2R 2R 4.R P 2R R 2R P 5R

3 6 2 2

R: 5R



04) Calcular o raio da base e a altura do cone de área lateral máxima que é inscritível numa esfera

de raio R

Solução:

No Δ ABE, temos:

2

2

2

2Rh ,Pelo teorema da relações metricas da projeçãosobrea hipotenusa

2Rh

. 2 ,Pelo teorema da relações metricas da projeçãosobrea hipotenusa

h. 2R- h

. . ,A área lateral do cône

2 2

l

l l

g

g e

r h R h

r

A r g

A Rh h Rh A

2 2 2 3

2 2 2 2 2

2 2 3 2 2 3 2

2 . 2 4 2

2 . . 4 3( ) ( ) ( )4 . 2 .3. 8 . 6 .

2. 4 2 2. 4 2 2. 2 . . 2

2 . . 4 3 . 4 3( ) ( ) ( )

2 . 2 .. 2 2 .. 2

l

l l l

l l l

Rh Rh h A R h Rh

R h R hd A d A d AR h R h R h R h

dh dh dhR h Rh R h Rh R h R h

R h R h R R hd A d A d A

dh dh dhh R R h R R h

0

. 4 3 0 40 0 . . 4 3 4 3 0 4 3 3 4

32 .. 2

R R h RR R h R h R h h R h

RR R h

2 2 2 2

2

4 4 8 16. 24 16.. 2 . 2

3 3 3 9 9

8 R 2R 22 2

9 3 3

R R R Rr h R h r R R R r r

Rr r r

R: 4R 2R 2

h = e r = 3 3

05) Calcular o raio da base e altura do cone de volume mínimo que pode circunscrever uma esfera

de raio R.

C

A A

g

g

r r D D

E

E

B

B

h

2R

R

2R-h



Solução:

AD h AO AD OD AO h R

Do triângulo obtemos:

hRhx

RhRhRx

RhRx

RxRh

OEAEAO

2

2

22

2222

222

222

222

hRh

hRr

h

hRh

r

R

h

x

r

R

h

x

r

R

h

x

r

R

ADCAEO

2

.2

~

2

222

2

2

2

2

2

2

2

222

2 2 2 2 2 22

2

2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3

2 2 2

π . . .V r h V V V

3 3 2 3 . 2 3 2

2 . . 2 . .1dV dV 2. . 4 . dV . 4

dh 3 dh 3 dh 32 2 2

dV0 0

dh 3

R h R h R hh h

h hR h h R h R

h R h R R h R h hR R h R h hR

h R h R h R

2 2 3 2 2 3

2 2 3 2

2 2

. 4 . 40 0 . 4 0 . . 4

2 2

0 4 4

R h hR R h hRR h hR h R h R

h R h R

h R h R

Substituindo (4) em (3) temos:

2 22 2 4

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

. 4 . 4 162 2 2

16 8 84 2.4. .

R R R R Rr r r r R r R r R

R R RR R R

R: r =R 2 e h = 4R

06) Um fabricante de caixas de papelão pretende fazer caixas abertas a parti de folhas de cartão

quadrado de 576 cm2, cortando quadrados iguais nas quatros pontas e dobrando os lados. Calcular a

1

3

4

E

2

h - R

X

R

O

A

O

R

R

A

B C D r

g

X

Y

E h

h - R



medida do lado do quadrado que deve ser cortado para obter uma caixa cujo volume seja o maior

possível.

Solução:

2 2 2 2

2 3 2 2

2

2

Volume V a b c

V 24 2 . 24 2 . V 24 2 . V 24 2.24.2 2 V 576 96 4 .

V 576 96 4 V 12 192 576 V 0 0 12 192 576 12

16 48 0

16 4.1.8 256 192 64

16 64 16 8 2

2.1 2

x x x x x x x x x x

x x x x x x x

x x

x x x

412

2

84

2x

Usando o Teste da 1º derivada obtemos:

4 épontodeMáximo

12 épontodeMínimo

x

x

4x

R: 4 cm

07) Uma ilha esta no ponto A, a 10 Km do ponto B mais próximo sobre uma praia reta. Um

armazém esta no ponto C, a 20 Km do ponto B sobre a praia. Se um homem pode remar a razão de

4 Km/h e andar a 5Km/h , aonde deveria desembarcar para ir da ilha a ao armazém no menor tempo

possível.

Solução:

24 – 2x a

24 – 2x

b

c x

24 – 2x X X

+++++++ ------------------ +++++++++

4 12

D

20 - y

A

y B

10

C

x



2 2

1 1

1

2 2

2

1 2

S = v.t

10 + 20-yxt = t =

4

y yt = t =

5

Tempo total T = t + t

v

v

2 2

2

1 12 22 2

2 2

2 2

100 400 40. 500 40. 1500 40.

4 5 4 5 4 5

2 401 1 1 1.5 1500 40. 500 40. 2 40

4 5 4 2 55 8. 500 40

2. 20 20 5. 20 41 1

5 58. 500 40 4. 500 40

y y y yy y yT T T y y

yyT y y T y y y T

y y

y y yT T T

y y y y

2

2

2 2

2 2

222 22

2 2 2 2

. 500 40

20. 500 40

5. 100 4. 500 40 5. 100 4. 500 400 0

20. 500 40 20. 500 40

0 5. 100 4. 500 40 4. 40 500 5 100

16.( 40 500) (5 ) 2.( 5 ).100 (100) 16 640

y y

y y

y y y y y yT T

y y y y

y y y y y y

y y y y y y

2

2 2 2

2

800 25. 1000 10000

25. 16. 1000. 640. 10000 8000 0 9. 360 2000 0

( 360) 4.9.2000 129600 72000 57600

60033,33

18

360 240

2.9

1206,67

18

y y

y y y y y y

y

y

y

R: 13,333 km de B e 6,666 Km de C

08) Um fio de comprimento L é cortado em 2 pedaços, um dos quais formaram um circulo e o outro

um quadrado. Como deve ser cortado o fio para que a soma das áreas do circulo e do quadrado seja

máxima?

Solução:



L

2 2 22

2

2 2 22

T

2 2 2 2 2 2

T T

2 2 2

T

T

xC 2πR x 2πR R

2π

L xQ L x 4 t L x t

4

x x xA πR A π. A π A

2π 4π4π

L x L - 2Lx + xA t A A

4 16

A A A

x L - 2Lx + x x L 2Lx xA A

4π 16 4π 16 16 16

x L Lx xA

4π 16 8 16

2xA'

4

T T

L 2x x L xA' , como A' 0

π 8 16 2π 8 8

x L x 4x - Lπ + xπ0 0 4x Lπ xπ 0

2π 8 8 8π

Lπ4x xπ Lπ x 4 Lπ x

4 + π

4 + π L LπL π 4L + Lπ - Lπ 4 LQ L x Q = L Q Q Q

4 + π 4 π 4 + π 4 + π

R: 1 2

πL 4Le

π + 4 π + 4

09) A prefeitura de um município pretende construir um parque retangular, com uma área de

23600 m e pretende protegê-lo com uma cerca. Que dimensões devem ter o parque para que o

comprimento da cerca seja mínimo?

2 2

3600 72002 2 2 2 2

( 7200).1 7200' 2 2

c b h b bb b

c cb b

x = C Q = L - X

b

h2

2

2

2

2

' 0

72002 0

72002

2 7200

7200

2

3600

3600

60

c

b

b

b

b

b

b

b

3600

3600 3600 60

60

a b h

b h

h h h mb

Como b = h = 60m, a forma é de um quadrado com 60 m de lado.



X X

3

3

3

3

h h

10) Uma calha de fundo plano e lado igualmente inclinados vai ser construída dobrando-se uma

folha de metal de largura . se os lados e o fundo têm largura 3 calcular o ângulo de forma que

a calha tenha a máxima secção reta

Solução:

3

32

lb

lxB

2 2 22 2 2

2 2 2 22 2 2 2 2 2 2

12 2 22

2 2

1 θ = α + 90°

32 sen α sen α

3

22 2 2

. 3 3 9 3 9 3 93

2 2 2 2

4 h x h + x h x h3 9 9 9

dS 11 2

dx 9 3 2 9

x x

l l

l l l l l l lx x x x x x

B b hS

l l l lx

l l l lx x x x

2

12 2

2

222 2

2 22 2 2

22

2 2 22 2 2

2 2 22 2 2 2

2 2 22 2

3

9

9

..

9 3dS 3 9 9 3

dx 9

9 9 9

. . .2 2

dS dS9 3 3 9 3 90dx dx

9 9 9

lx x

x

lx

l l xl l l l x x xx x x x xl

xl l l

x x x

l l x l x l l x lx x x x

l l lx x

2

2 2 22 2 2

0

. 1 . 12 0 2 0 0

3 9 2 3 9 2 6 18

x

l x l l x l l lx x x x

2

22

0

10

6 18

ax bx c

lx x

Resolvendo a equação do 2º grau, obtemos as raízes:

1 1

3 6x e x , - - - - + + + + + - - - -



1

3

1

6

Como a medida e comprimento 6

lx

33.

sen αx

l

6

l l

l

2

l

o o o o o1 1 2πsen α α = 30 θ = α + 90 θ = 30 +90 θ = 120 ou rad.

2 2 3

11) Quais devem ser as dimensões de uma lata cúbica de volume V fixo, de forma que a quantidade

de material a ser utilizado para sua fabricação seja menor possível:

Devemos minimizar a área total:

LateralBaseTotal AAA

hrrATotal ...2..2 2 (1)

2

2

...

r

VhhrVC

2

2

....2..2

r

VrrAT

r

VrAT

.2..2 2

2

' .2..4

r

VrA r

2

3' .2..4

r

VrA r

0' rA

2

3 .2..40

r

Vr

3..4.2 rV

3

.2r

V

3

.2

Vr ou

31

.2

Vr

2

Vh =

π r

h

r



13

2 2 11 3 3

3

V

V V V r r2 πh = 2r

V 1V V πV π.π. 2 π 22 π 2 π2 π

Portanto as dimensões

13V

r =2 π

e

2

Vh

π r

, o que acarreta h = 2r

12) Um homem está em um barco sobre um lago, em um ponto P, situado a 8 km da margem do

lago, que é reta. O homem vai de barco até um ponto B da margem e de lá prossegue até o ponto A.

Sabendo que a velocidade do barco é 3 km/h e que a velocidade do homem é 5 km/h, determine a

posição do ponto B, de modo que o trajeto total seja feito no menor tempo possível.

Solução:

2 8z x

2 12 2 2

P,B B,A

12 2

2 2

2 22 2 2 2

22

SS v t t =

v

64 20 1 20 1T t t T T 64 T 64 4

3 5 3 5 3 5

1 1 1 1 1T' 64 2 T' T' 0 0

3 2 5 5 53 64 3 64

1 125 9 64 9 25 9 64 9 16

5 25 9 643 64

x x x xx x

x xx x

x x

x xx x x x x

xx

2

2 2 2

64 9

649 4 9 36 6, como é distância 6 cm R 6 cm

16x x x x x

8

x = 6 y - x

20 - 6 = 14km

y = 20

P

C A B



Questões Resolvidas de Otimização em Economia

01) Uma indústria química vende ácido sulfúrico a granel a U$ 100,00 por unidade. Se o custo de

produção total diário em dólares para x unidades for: 2( ) 100.000 50 0,0025C x x x e se a

capacidade de produção diária for de, no máximo, 7.000 unidades, quantas unidades de ácido

sulfúrico devem ser fabricadas e vendidas diariamente para maximizar o lucro?

2 2

2

100 0,0025 50 100.000 100 0,0025 50 100.000

0,0025 50 100.000 ' 0,0050 50 ' 0

0,00500,0050 50 0 0,0050 50

50

10.000

L R C

L x x x x x x

x x L x L

x x x

x

02) É dado o preço p(q) pelo qual q unidade de certa mercadoria podem ser vendidos e o custo total

C(q) pata produzir as q unidades:

a) Determine a função do lucro P(q), e o nível de produção q para o qual P(q) é máxima.

O lucro

Solução:

29( ) 45 200

8

9'( ) 2 45

8

18'( ) 45

8

9'( ) 45 '( ) 0

4

P q q q

P q q

P q q

P q q P q

b) Determine a função custo médio e o nível de produção para o qual ela passa a ser mínimo.

2

2

1( ) ( ) ( ) ; ( ) 4 200

8

( ) . ( )

( ) . 49

( ) 49

P q R q C q C q q q

R q q P q

R q q q

R q q q

2 2

2 2

2

( ) ( ) ( )

1( ) 49 4 200

8

1( ) 49 4 200

8

9( ) 45 200

8

P q R q C q

P q q q q q

P q q q q q

P q q q

945 0

4

945

4

9 180

20

q

q

q

q

P(q) máximo

2 2

2

2

2

1 200 1 200'( ) 0 '( )

8 8

'( ) 0

1 2000

8

200 1

8

1600

1600 40

m m

m

C q C qq q

C q

q

q

q

q q

Função do lucro



2

2

( )( )

1( ) 4 200

8

1

8( )

m

m

m

C qC q

q

C q q q q

q

C q

q

4 q

q

200

1 200( ) 4

8m

q

C q qq

03) O custo total de fabricação de x unidades de um produto é dada por )19253( 2 xxC x

reais. Quantas unidades deverão ser fabricadas para que o custo médio seja menor possível.

Solução: Custo médio = custo total

númerodeunidades fabricadas.

2 23 5 192 3 5 192 1923 5

x

x x x xCm x

x x x x x

2 2 2

192 192 192' 3 ' 0 0 3 3

x xCm Cm

x x x

2 2 21923 192 64 64 8

3x x x x x

0x então 8x

2

1923'

xCm x

3422

384384.2.192"

xx

x

x

xCm x

0512

384

8

38438 Cm

8x é um ponto de mínimo.

00,538

424

8

19240192

8

192)8.(5)8.(3 2

8

Cm

00,53$RCm e 00,424$RCT

04) Um fazendeiro tem 80 porcos, pesando 150 Kg cada um. Cada porco aumenta de peso na

proporção de 2,5 Kg por dia. Gastam-se R$ 2,00 por dia para manter um porco. Se o preço de venda

está R$ 3,00 por kg e cai R$ 0,03 por dia. Quantos dias devem o fazendeiro aguardar para que seu

lucro seja máximo?

Solução:

Função do Custo Médio

Produção para o custo mínimo

-8 +8

+ + + + + + + - - - - - - - - - + + + + + + +



(x)x

x x x

x

x

x

x x

R (150 2,5 ) (3 0,03 ) e C 2

L R C

L (150 2,5 ) (3 0,03 ) 2

L' 2,5 (3 0,03 ) 0,03 (150 2,5 ) 2

L' 7,5 0,075 4,5 0,075 2

L' 0,15 7,5 6,5 0,15 1 L' 0

10 0,15 1 0,15 1 6,67

0,15

x x x

x x x

x x x

x x

x x

x x x x

como o valor de x referese a dia temos.

x = 7 dias

05) Uma forma líquida de penicilina fabricada por uma firma farmacêutica é vendida a granel a um

preço de R$ 200,00 por unidade. Se o custo total de produção (em reais) para x unidades for

C(x)=500.000 + 80.x + 0,003.x2

e se a capacidade de produção da firma for de, no máximo de

30.000 unidades em um tempo especificado, quantas unidades de penicilina devem ser fabricas e

vendidas naquele tempo para maximizar o lucro.

Solução:

2

(x) x

x x x

2 2

x x

2

x

x x

C 500.000 80 0,003 e R 200

L R C

L 200 (500.000 80 0,003 x ) L 200. 500.000 80 0,003 x

L 0,003 x 120 x 500.000

L 0,006 120 L 0 0 0,006 120 0,006 120

12020.000

0,006

2

x x x

x x x x

x x x

x

x

2

20.000 20.000

0

2

30.000 30.000

0.000 pontocrítico. Qual maximizar

L 200 20.000 (500.000 80 20.000 0,003 (20.000) L 700.000 valor máximo

L 500.000

L 200 30.000 (500.000 80 30.000 0,003 (30.000) L 400.000

06) O custo de produção de x unidades de uma certa mercadoria é a + bx e o preço de venda é c -

dx, por unidade, sendo a, b, c, d constantes positivas. Quantas unidades devem ser produzidas e

vendidas para que seja máximo o lucro da operação?

Solução:



(x) x

x x x

x

2

x

2 2 2

x

C a bx e R c dx

L R C

L (c dx)x (a + bx)

L cx dx a bx

L dx cx bx a dx cx bx a dx (c b)x a

d d2dx (c b) 0 0 2dx (c b) (c b) =2dx, isolando o valor de x obtemos

dx dx

(c b)x =

2d

07) A Cia. α Ltda. Produz determinado produto e vende-o a um preço de R$ 13,00. Estima-se que

o custo total c para produzir e vender q unidades é dado por 3 2c q 3q 4q 2 . Suponha que toda

a produção seja absorvida pelo mercado consumidor, que quantidade deverá ser produzida para ser

obter o lucro máximo?

Solução:

3 2

3 2

3 2

2 2

2

2

R 13q e C q 3q 4q 2

L R C

L 13q (q 3q 4q 2)

L 13q q 3q 4q 2

d d d13 3q 6q 4 3q 6q + 9 0

dx dx dx

3q 6q + 9 = 0

6 4.( 3).9 36 108 144

6 144 6 12 61

2.( 3) 6 6

183

6

x x x

x

08) Um fabricante estima que quando q unidades de uma certa mercadoria são produzidas por mês,

o custo total é C(q) = 0,4q² + 3q + 40 reais e que as q unidades podem ser vendidas por um preço

p(q) = 0,2(45 - 0,5q) reais a unidade.

(a) Determine o nível de produção para o qual o lucro é máximo. Qual é o lucro máximo?

(b) Para que nível de produção o custo médio unitário A(q) = C(q)/q é mínimo? Qual é este custo?

(c) Para que nível de produção o custo médio é igual ao custo marginal C'(q)?

Solução:



2

2

2 2 2 2

C(q) = 0,4q + 3q + 40 e p(q) = 0,2(45 - 0,5q)

a) R(q) = q p(q)

R(q) = q 0,2(45 - 0,5q) R(q) = 9q - 0,1q

P(q) = R(q) - C(q)

P(q) = (9q - 0,1q ) (0,4q + 3q + 40) P(q) = 9q - 0,1q 0,4q - 3q

2

- 40

P(q) = - 0,5q + 6q - 40 P'(q) = - 0,5 2q + 6 P'(q) = - q + 6, como P'(q) = 0, temos.

- q + 6 = 0 onde q = 6

2

2

2 2

2

C(q) = 0,4q + 3q + 40

C(q) 0,4q + 3q + 40b) A(q) = separando em fraçôes de mesmo denominador obtemos

q q

40 40 40 A(q) = 0,4q + 3 + derivando temos A'(q) = 0,4 - A'(q) = 0 0 = 0,4 -

q q q

40 = q

0,4

2q 100 q 100 q 10

40 A(q) = 0,4 10 + 3 + A(q) = 4 + 3 + 4 A(q) = R$: 11,00 por unidade

10



2

2 2

40C(q) = 0,4q + 3q + 40 derivando obtemos C'(q) = 0,8q + 3 e CM(q) = 0,4q + 3 +

q

c) C'(q) = CM(q)

40 0,8q + 3 = 0,4q + 3 +

q

40 40 40 40 0,8q = 0,4q + 0,8q - 0,4q = 0,4 q = 0,4q = 40 q =

q q q 0,4

q = 100 q

=10 unidades

09) Um fabricante produz uma fita de vídeo virgem a um custo de R$ 2,00 a unidade. As fitas vêm

sendo vendidas a R$ 5,00 a unidade; por esse preço, são vendidas 4.000 fitas por mês. O fabricante

pretende aumentar o preço da fita e calcula que para cada R$ 1,00 de aumento no preço, menos 400

fitas serão vendidas por mês. Qual deve ser o preço de venda das fitas para que o lucro do fabricante

seja máximo?

Solução:

Lucro = (número de fitas vendidas) (Lucro por fita)

Número de fitas vendidas = 4000 - 400(x - 5)

400 10 - (x - 5)

400 10 - x + 5

400 15 - x

Lucro por fita =

(x 2)

Lucro = 400 (15 x) (x 2) derivando a função lucro obtemos

dL dL400 1 (x 2) + 400 1 (15 x) 400 (x 2) + (15 x)

dx dx

dL dL dL400 x 2 + 15 x 400 2x 17 como 0, temos:

dx dx dx

00 400 2x 17 2x

400

17

17 0 2x 17 2x 17 x2

x = 8,5

R: R$ 8,50 a unidade

10) Uma empresa de turismo aluga onibus com capacidade para 50 pessoas a grupos de 35 pessoas

ou mais. Quando um grupo contem exatamente 35 pessoas pessoas, cada pessoa paga R$ 60,00. Nos

grupos maiores, o preço por pessoa é reduzido de R$ 1,00 para cada pessoa que exceder 35.

Determine o tamanho do grupo para o qual a receita da empresa é máxima.

Solução:



(x)

Receita da empresa = (número de pessoas no grupo) (preço por pessoa)

Número de pessoas no grupo = 35 + x e Preço por pessoa = 60 - x

R (35 + x) (60 - x)

(x)

(x)

(x) (x) (x)

R (35 + x) (60 - x) derivando obtemos

R' 1 (60 - x) +(35 + x) 1

R' 60 - x - 35 - x R' - 2x + 25, como R' 0,então: 0 - 2x + 25

252x = 25 x = x = 12,5, como estamos trabalhan do com núme

2

ro de pessoas podemos ter

x = 12 ou x = 13 para formar os grupos.

com x = 12 temos um total de 12 + 35 = 47

com x = 13 temos um total de 13 + 35 = 48

Usando a função receita para verificar qual número d

(x)

(12)

e pessoas vai servir para montar os grupos;

R (35 + x) (60 - x)

x = 12 x = 13

R (35 + 12) (60 - 12)

(13)

(12) (13)

(12) (13)

R (35 + 13) (60 - 13)

R 47 48 R 48 47

R 2256 R 2256

D

esta forma concluimos que os valores 47 e 48 satisfazem as condições do problema.

R: 47 ou 48 pessoas (R$ 2256,00)

11) Um fabricante de bicicletas compra 6000 pneus por ano de um distribuidor. A taxa de

transporte é R$ 20,00 por encomenda, o custo de armazenamento é 96 centavos por pneu por ano e

cada pneu custa R$ 5,75. Suponha que a demanda de pneus se mantenha constante durante todo o

ano e cada remessa seja entregue no momento em que o estoque se esgotou. Quantos pneus o

fabricante de bicicletas deve encomendar de cada vez pra minimizar o custo?

Solução:



(x)

A

CT = Custo de transporte, CAr = Custo de Armazenamento, CTr = Custo de transporte da remessa

e CM = Custo de médio de armazenamento

6000CTr = (custo por remessa) (número de remesas) CTr = 20

x

A A

(x) A

(x)

120.000

x

xCAr = (número médio de pneus armazenados) (custo de armazenamento por pneu) CAr = 0,96 0,48 x

2

CM = (número total de pneus) (preço de um pneu) CM = 6000 5,75 34.500

CT = CAr + CTr + CM

CT

2

(x) (x)2 2 2

2

120.000= 0,48 x + 34.500

x

120.000 120.000 120.000 120.000CT' = 0,48- , como CT' = 0 obtemos: 0 = 0,48 - = 0,48 = x

x x x 0,48

x 250.000 x 250.000 x 500, como queremos minimizar o custo pelo teste

da 1ª derivada o

valor é 500

R: deve encomendar lotes de 500.

12) Após x semanas, o número de pessoas que usam uma nova linha de metrô é dada pela equação

N(x) = 6x3 + 500x + 8.000:

(a) Qual era a taxa de variação do número de passageiros após 8 semanas?

(b) Qual foi a variação do número de passageiros durante a oitava semana?

Solução:

3

2

2

3

3

a) N(x) 6x + 500x + 8.000

N'(x) 18x + 500

N'(8) 18(8) + 500 18 64 +500 1152 + 500 1652

N'(8) 1652

b) N(x) 6x + 500x + 8.000

N(7) 6(7) + 500 7 + 8.000

3N(8) 6(8) + 500 5 + 8.000

N(7) 13.558 N(8) 15.072

N(8) N(7) = 15.072 13.558 N(8) N(7) = 1514

R: a) o número de passageiros estava diminuindo à razão de 1.652 passageiros por semana.

b) o número de passageiros estava aumentando à razão de 1.514 passageiros por semana.

13) Um fazendeiro consegue vender um quilo de batata por R$ 2,00 no primeiro dia do ano, mas,

depois disso, o preço cai à razão de dois centavos por quilo ao dia. No dia 1º de janeiro, um

fazendeiro tem 80 kg de batata no campo e calcula que a produção será aumentada à razão de 1 kg

ao dia. Em que dia o fazendeiro deve colher as batatas para maximizar a receito?

Solução:



Seja x o número de dias que se seguem a 1º de janeiro. Nesse caso, o preço das batatas é dado por

2 0,02x e o número de quilos de batata dado por 80 x . A receita obtida com a venda de batatas

no dia x é: 2 2R (80 )(2 0,02 ) R 160 1,6 2 0,02 R 160 0,4 0,02x x x x x x x

O objetivo é determinar o máximo de lucro para R . Calculando a derivada temos:

2 R 160 0,4 0,02x x R' 0,4 0,04x , que se anula para:

0,40,4 0,04 0 0,04 0,4 x 10

0,04x x

Agora, vamos calcular a segunda derivada para verificar se esse é o valor máximo de R .

R '' 0,04 e como R ''(10) 0 , 10x corresponde realmente a um máximo de R , o fazendeiro

deve colher as batatas dez dias após 1º de janeiro, ou seja, no dia 11 de janeiro.

14) O número de membros de uma associação de consumidores, x anos após sua fundação, em

1978, é 3 2( ) 100(2 45 264 )f x x x x .

a) Em que ano, entre 1978 e 1992, a associação teve o maior número de membros? Qual foi esse

número?

b) Em que ano, entre 1972 e 1992, a associação teve o menor número de membros? Qual foi esse

número?

Solução:

Definindo o intervalo como sendo 0 para o ano de 1978 e 14 para o ano de 1992x x . Assim,

calculemos a derivada da função 3 2( ) 100(2 45 264 )f x x x x .

2

2

'( ) 100(6 90 264) e tirando 6 em evidência temos

'( ) 600( 15 44). Agora, encontrando os seus pontos críticos, podemos

reescrever '( ) da seguinte forma: '( ) 600( 4)( 11).

f x x x

f x x x

f x f x x x

Podemos notar que 4 e 11x x são os pontos críticos de '( )f x sendo ambos os valores

pertencem ao intervalo. O primeiro valor corresponde a um mínimo absoluto e o segundo valor

corresponde ao máximo relativo.

Calculando os pontos de ( )f x temos:

3 2

3 2

3 2

3 2

(0) 100(2(0) 45(0) 264(0)) 0

(4) 100(2(4) 45(4) 264(4)) 100(128 720 1.056) 100 464 46.400

(11) 100(2(11) 45(11) 265(11)) 100(2.662 5.445 2.904) 100 132 12.100

(14) 100(2(14) 45(14) 264(14)) 1

f

f

f

f

00(5.488 8.820 3.710) 100 378 37.800

Agora podemos concluir que:

a) Em 1982 ( 4x ). 46.4000 membros.



b) Em 1998 ( 11x ). 12.100 membros.



Questões Resolvidas de Otimização em Ciências Naturais

01) Os experimentos mostram que a biomassa Q(t) de uma espécie de peixe em uma certa região do

oceano varia de acordo com a equação dQ Q

rQ 1dt a

Onde r é a taxa natural de expansão da

espécie e a é uma constante. Determine a taxa de expansão percentual da espécie. O que acontece

quando Q (t) > a?

Solução:

Q100 r Q 1

dQ Q 100Q'(t) 100Q'(t) QarQ 1 100r 1

dt a Q(t) Q Q(t) a

a taxa se torna negativa, o que significa que a biomassa começa a diminuir.

02) Uma escada de 5 m de comprimento está apoiada em uma parede. O alto da escada está

escorregando para baixo ao longo da parede com uma velocidade de 3 m/s. Com que velocidade a

base da escada está se afastando da parede quando o alto se encontra a 3 m do chão?

Solução:

R: 2,25 m/s.

03) Quando uma pessoa tosse, o raio da traquéia diminui, afetando a velocidade do ar na traquéia. Se

r 0 é o raio normal da traquéia, a relação entre a velocidade v do ar e o raio r da traquéia é dada por

uma função da forma v(r) = ar²(r 0 - r), onde a é uma constante positiva. Determine o raio r para o

qual a velocidade do ar é máxima.

Solução:

2 2 2

0 0 0

2 2 2

0 0 0

0 0 0

V(r) = a r (r r) V'(r) = a 2r (r r) + a r ( 1) V'(r) = a 2r (r r) - a r

V'(r) = 2arr 2ar - ar V'(r) = 2arr 3ar V'(r) = ar (2r 3r), como V'(r) = 0, obtemos

200= ar (2r 3r) 2r 3r 3r 2r r

ar

0r

3

2 2 2

2 2 2

2

2

dy dx dyx y (5) , derivando a equacãoe 3 2x 2y 0

dt dt dt

dxx (3) (5) 2(4) 2 3 (-3) 0

dt

dxx = 25 9 8 18

dt

x = 16

dx 18

dt 8

dxx = 16 2,25m/s

dt

x 4



R: r = 02r

3.

04) Um estudo ambiental realizado em um certo município revela que a concentração média de

monóxido de carbono no ar é dado pela equação 2C(p) 0,5p + 17 partes por milhão, onde p é

população em milhares de habitantes. Calcula-se que daqui a t anos a população do município será

p(t)= 3,1 + 0,1t2 milhares de habitantes. Qual será a taxa de variação da concentração de monóxido

de carbono daqui a 3 anos?

Solução:

2

2 2

2

2

2

dc 2 0,5p dc 0,5pC(p) = 0,5p + 17

dp dp2 0,5p + 17 0,5p + 17

dp dpp(t) = 3,1 + 0,1 t 2 0,1 t 0,2 t

dt dt

e como t = 3 anos substituindo em p(t).

p(t) = 3,1 + 0,1 t

p(3) = 3,1 + 0,1 (3) p(3) = 3,1 + 0,1 (3)

2

2 2 2

p(3) = 3,1 + 0,1 (9)

p(3) = 3,1 + 0,9 p(3) = 4,0

dc dc dpUsando a regra da cadeia para derivar a função composta ,obtemos:

dt dp dt

dc dc dp

dt dp dt

dc 0,5p 0,1 p(t) 0,1 p t 0,0,2t

dt 0,5p + 17 0,5p + 17 0,5p + 17

2

1 4 3

0,5 (4) + 17

dc 1,2 1,2 1,2 1,2 dc0,24 0,24milhão por ano.

dt 5 dt0,5 16 + 17 8+17 25

05) Um certo modelo biológico sugere que a reação do corpo humano a uma dose de medicamento

pode ser representada por uma função da forma 2 31F = (KM - M )

3 onde K é uma constante

positiva e M a quantidade do medicamento presente no sangue. A derivada S = dF/dM pode ser

considerada como uma medida da sensibilidade do organismo ao medicamento.

(a) Calcule a sensibilidade S.

(b) Calcule dS/dM = d²F/dM2 e apresente uma interpretação para a derivada segunda.

Solução:



2 3

2

1F = (KM - M ) derivando a equação.

3

dF 1a) = (2KM - 3M ) derivando pela segunda vez a equação.

dM 3

dF 1b) = (2K - 6M)é a taxa de variação de senbilidade coma quantidade de medicamento

dM 3

06) Um dos modelos do sistema cardiovascular relaciona V(t), o volume de sangue na aorta no

instante t durante a sístole (fase de contração), a P(t), a pressão na aorta durante a sístole, através da

equação: V(t) = [C 1 + C 2 P(t)]3t² 2t³

T² T³

onde C 1 e C 2 são constantes positivas e T é a duração

(constante) da sístole. Encontre uma relação entre as taxas dV/dt e dP/dt.

Solução:

2 3

1 2 2 3

2 3 2 3

1 22 3 2 3

2 2 3 2

1 22 2 3 2 2

3t 2tV(t) = [C + C P(t)] efetuando a multiplicação temos:

T T

3t 2t 3t 2tV(t) = C + C P(t) derivando a equação.

T T T T

dv 6t T 6t T 6t TC + C P(t)

dt (T ) (T ) (T

2 3

2 3 2

2 2

1 22 3 2 3

2

1 2 2 3

2 3

1 2 2 3

2 3

2 2 3

6t T

) (T )

dv 6t 6t 6t 6tC + C P(t)

dt T T T T

dv 6t 6t[C + C P(t)]

dt T T

3t 2tV(t) = [C + C P(t)] derivando a equação.

T T

dp dp 3t 2tC soman

dt dt T T

2 2 3

1 2 22 3 2 3

do com ,obtemos.

dv 6t 6t dp 3t 2t[C + C P(t)] C

dt T T dt T T

07) A reação do organismo à administração de um medicamento é frequentemente representada por

uma equação da forma 2 C DR(D) = D

2 3

onde D é a dose e C (uma constante) é a dose máxima

que pode ser administrada. A taxa de variação de R(D) com D é chamada de sensibilidade.

Determine o valor de D para o qual a sensibilidade é máxima.

Solução:



2

2 22

22 2

C DR(D) = D derivando a equação.

2 3

C D 1 2DC 2D DR'(D) = 2D D R'(D) = R'(D) = 0

2 3 3 2 3 3

2DC 3D0 = 0 DC D D DC D C

2 3

R: A sensibilidade é máxima para D = C.

08) Em um artigo científico, V. A. Tucker e K. Schmidt-Koenig mostraram que o consumo de

energia de uma espécie de periquito australiano (o Budgerigar) é dado pela expressão E =

v

1[0,074(v – 35)² + 32] onde v é a velocidade do pássaro em km/h. Escreva uma expressão para a

taxa de variação da energia com a velocidade do periquito.

Solução:

2

2

2

1E = [0,074(v - 35)² + 32] derivando a equação.

v

1 1E' = - [0,074 (v - 35)² + 32] + [0,074 2 (v - 35)]

v v

[0,074 (v - 70v + 1225) + 32] [0,148 (v - 35)]E' = - fazendo a multiplicação temos.

v v

-0,07E' =

2

2

2 2

2

2

2

4 v + 70v - 90,65 - 32 0,148 v - 5,18tirando mmc obtemos.

v v

-0,074 v + 5,18 v - 90,65 - 32 + 0,148 v - 5,18 vE' = simplificando e reduzindo a fatores comuns.

v

0,074 v - 122,65E' =

v

09) De acordo com os resultados de Tucker e Schmidt-Koenig, o consumo de energia de uma

espécie de periquito é dado pela expressão E(v) = v

1[0,074(v - 35)

2 + 32] onde v é a velocidade do

pássaro em km/h. Qual é a velocidade para a qual o consumo de energia é mínimo?

Solução: Como já efetuamos a derivada da equação na questão anterior passamos a usar a mesma. 2

2

22 2

2

2 2

0,074 v - 122,65E' = ,como E' = 0.

v

0,074 v - 122,650 = 0 0,074 v - 122,65 122,65 0,074 v

v

122,65v 1657,43 v v = 1657,43

0,074

v = 40,71 km/h



10) Em um artigo publicado em 1969, C. J. Pennycuick apresentou provas experimentais de que a

potência P necessária para que um pássaro se mantenha voando é dada pela expressão

w² 1+ pAv³

2pSv 2 onde v é a velocidade do pássaro em relação ao ar, w é o peso do pássaro, p é a

densidade do ar e S e A são constantes positivas associadas à forma e ao tamanho do pássaro. Qual é

a velocidade v para a qual a potência é mínima?

Solução:

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

w² 1+ pAv³, derivando a equação obtemos.

2pSv 2

d - w² 2ρS 1 d - w² 2ρS 1+ ρA3v + ρA3v fazendo o mmc temos.

dv (2ρSv) 2 dv 4ρ S v 2

d - w² 2ρS + 2(ρ S v ) (ρA3v ) d0, logo

dv 4ρ S v dv

- w² 2ρS + 2(ρ S v ) (ρ0

2

2 2 2

3 2 4

3 2 4

2 4 44

2 2

A3v )

4ρ S v

0 - w² 2ρS + 2ρ S A3v

w² 2ρS = 2ρ S A3v

w² w²3ρ SAv w² v v

3ρ AS 3ρ AS

11) Um parâmetro importante para o projeto de aeronaves é o chamado "fator de arraste", ou seja, a

força de frenagem exercida pelo ar sobre a aeronave. De acordo com um modelo, a força de arraste

é dada por uma expressão da forma F(v) = Av² + B

v² onde A e B são constantes positivas. Observa-

se experimentalmente que o arraste é mínimo para v = 256km/h. Use essa informação para calcular

a razão B/A.

Solução:

2

2

2 2 4 3

4 4

3 3 3

Bf(v) = A v + derivando a equação.

v

2Bv 2Bv 2Bf '(v) = 2Av - f '(v) = 2Av - f '(v) = 2Av - f '(v) = 0

(v ) v v

2B 2B B B B0 = 2Av - 2Av Av v (256) 4.294.967.296

v v v A A

R: B

4.294.967,296A



12) A percentagem de bichos da maçã que sobrevivem ao estado de pupa (Estado intermediário

entre a larva e a imago, nos insetos holometabólicos) é dada pela expressão

2P(T) 1,42T 68T 746 para 20 T 30 onde T é a temperatura em graus Celsius. Determine

a temperatura em que o número de bichos da maçã sobreviventes é máxima e a temperatura em que

o número de bichos da maçã sobreviventes será mínima.

Solução:

Sendo a função 2P(T) 1,42T 68T 746 para 20 T 30 , vamos calcular a derivada

P'(T) 2,84T 68 , Em seguida, igualamos a derivada a zero para obter os números críticos de

primeira ordem:

P'(T) 2,84T 68

2,84T 68 0 2,84T 68

68T 23,94 e esse valor está no intervalo 20 T 30

2,84

Calculando agora P(T) para os pontos encontrados temos

2P(20) 1,42(20) 68(20) 746

P(20) 568 1360 746 46

2P(23,94) 1,42(23,94) 68(23,94) 746

P(23,94) 813,835512 1627,92 746 68,084488 68

2P(30) 1,42(30) 68(30) 746

P(30) 1278 2040 746 16

Logo podemos concluir que o número de sobreviventes é máximo para 23,94ºC e mínimo para

30ºC.

13) Uma pesquisa de opinião revela que x meses após anunciar sua candidatura, certo político terá

o apoio de 3 21S(x) ( 6 63 1080) para 0 x 12

29x x x eleitores. Se a eleição estiver marcada

para novembro, qual o melhor mês para anunciar a candidatura? Se o político necessita de pelo

menos 50% dos votos para vencer, quais são as chances de ser eleito?

Solução:

Sendo a função 3 21S(x) ( 6 63 1080) para 0 x 12

29x x x calculemos a derivada



2

2

1S'(x) ( 3 12 63) e tirando 3 em evidência temos

29

3S'(x) ( 4 21)

29

3S'(x) ( 7)( 3) 0 logo, 7 e 3

29

x x

x x

x x x x

Como x 3 não está no intervalo, o único ponto crítico é x 7 . Como a popularidade do

candidato será máxima 7 meses após a candidatura ser anunciada, ele deverá anunciar a candidatura

em abril para ter o máximo possível de popularidade no dia da eleição. Agora, calculando S(7) para

vermos se ele será eleito e nessas condições o candidato provavelmente será eleito.

3 21 1 1S(7) ( (7) 6(7) 63(7) 1080) S(7) ( 343 294 441 1080) (1472) 50,76%

29 29 29

14) Uma estação de rádio faz o levantamento dos hábitos dos ouvintes entre 17 h e meia-noite. A

pesquisa mostra que a porcentagem de adultos sintonizados na estação x horas após as 17 h é

3 21( ) ( 2 27 108 240)

8f x x x x .

a) Em que instante, entre 17 h e meia-noite, existem mais ouvintes sintonizados na estação? Qual é

a percentagem de ouvintes nesse momento?

b) Em que instante, entre 17 h e meia-noite, existem menos ouvintes sintonizados na estação? Qual

é a percentagem de ouvintes nesse momento?

Solução:

O problema trata diretamente de máximo e mínimo respectivamente, e a função possui como

intervalo 0 às 17 h e 7 à meia-noite,x x sendo assim, calculemos a derivada da função

3 21( ) ( 2 27 108 240)

8f x x x x .

2

2

2

1'( ) ( 6 54 108) e tirando 6 em evidência, temos

8

6'( ) ( 9 18) agora simplificando 6 e 8 por 2, segue-se

8

3'( ) ( 9 18) e encontrando os seus pontos críticos, concluimos

4

3'( ) ( 3)(

4

f x x x

f x x x

f x x x

f x x x

6) '( ) 0,onde concluimosf x

Podemos notar que 3 e 6x x são os pontos críticos de '( )f x sendo ambos os valores pertencem

ao intervalo. O primeiro valor corresponde a um mínimo absoluto e o segundo valor corresponde ao

máximo relativo, como nos mostra a tabela abaixo.



x 0 3 6 7

( )f x 30 13,125 16,5 15,125

a) 0 h após as 17 h, ou seja, às 17 h. A porcentagem de ouvintes nesse momento é de 30%.

b) 3 h após as 17h, ou seja, às 20 h. A percentagem de ouvintes nesse momento é de 13,125%.



Questões Propostas de Otimização em Geometria

01) Um funil cônico tem raio r e altura h. se o volume do funil e V (constante), calcular a razão r/h

de modo que sua área lateral seja mínima?

R: r 1

h 2

02) Um fazendeiro precisa construir dois currais lado a lado, com uma cerca comum, conforme

mostra a figura. Se cada curral deve ter uma certa área A, qual o comprimento mínimo que a cerca

deve ter.

R: 4 3A

03) Um fabricante precisa produzir caixas de papelão, com tampa, tendo na base um retângulo com

comprimento igual ao triplo da largura. Calcule as dimensões que permitem a máxima economia de

papelão para produzir caixas de volume V (dado)?

R: 3 3

36V 6V, 6V,

3 2

04) Um fazendeiro tem 500 metros de uma cerca para envolver um terreno retangular. Um celeiro

será usado como parte de um lado do campo. Prove que a área do terreno cercado será máxima

quando o terreno for um quadrado.

R: x = 125 m

05) Um canal de drengem deve ser feito de tal forma que a secção transversal é um trapézio com os

lados igualmente inclínados. Se os lados e a base, todos tiverem um comprimento de 5m, como

escolher o ângulo π

θ (0 θ )2

, de forma que a área da secção transversal seja máxima?.

R: π

θ =3

06) Uma pagina para impressão deve conter 300 cm2 de área impressa, uma margem de 2 cm nas

partes superiores e inferiores e uma margem de 1,5 cm nas laterais. Quais são as dimensões da

pagina de menor área que preenche essas condições?



R: 18 cm e 24 cm

07) Um quadrado de 4 cm de lado é dividido em dois retãngulos. Em um dos retângulos, coloca-se

um circulo, de raio R, tangenciando dois de seus lados

opostos, conforme figura ao abaixo.

a) Escreva uma expressão que represente a soma das áreas do circulo e do retângulo, que não

contém o círculo, em função de R? R: 2A(R) πR 16 8R

b) Qual deve ser o raio do círculo, para que a área pedida no item anterior seja a menor possivel?

R: 4

π.

08) Mostre que, entre todos os triângulos isósceles de igual perimetro, o de área máxima é o

triângulo equilatero.

09) Determine as dimensões do cilindro reto de volume máximo que pode ser inscrito numa esfera

de raio R.

R: R 6 2R 3

r eh3 3

.

10) Entre todos os triângulos retângulos de mesma hipotenusa, determinar o de área máxima.

conforme figura ao ao lado.



R: o triângulo é o retângulo isósceles de área 2a

S4

.

11) Entre todos os triângulos isósceles, inscritos em um círculo de raio dado, determinar o de área

máxima. conforme figura ao lado.

R: 23R 3

S4

.

12) Calcular o retãngulo de área máxima, inscrito em um dado triangulo ABC conforme figura ao

abaixo.

R: o retângulo de área b h

S4

.

13) Achar o trapézio isósceles, de área máxima, inscrito em um semicirculo dado, e tendo o

diâmetro como base maior conforme figura ao abaixo.

R: R

x ou x R2

.

14) Em um trapézio isósceles, são dados os lados não paralelos c e a base menor b. Determine o de

área máxima conforme figura ao abaixo.



R: 2 2-b b 8c

x4

.

15) Dado um cilindro circular reto, determinar o

cone circunscrito de volume mínimo, conforme

figura ao abaixo.

R: 29πR h

V4

.

16) Achar o cone de revolução de volume máximo, inscrito em uma esfera de raio R, conforme

figura ao abaixo.

R: 4R 2R 2

x e y =3 3

.

17) Determinar o cilindro de área lateral máxima, inscrito

em um cone dado, conforme figura ao abaixo.



R: R h

x e y =2 2

.



18) Entre todos os cilindros inscritos em uma esfera de raio R, determinar o de volume máximo,

conforme figura ao abaixo.

R: 34πR 3

V9

.

19) Determine o ponto da hipérbole 2 2 1x y , mais proximo do ponto (0,1). R: 0P ( 5,1 2)

20) Determine o ponto da curva 2 4y x , mais proximo do ponto (2,1). R: 0P (1,2) .

21) Ache o ponto P0 situado sobre a hipérbole de equação x y = 1 , que está mais proximo doa

origem do sistema cartesiano. R: 0P (1,1) ou ( 1, 1)

22) Mostre que (2, 2) é o ponto da curva 3 3y x x , que esta mais proximo do ponto (11, 1).

23) Em uma pirâmide dada, quadrangular regular, traça-se uma seção paralela à base e constrói-se,

um prisma reto. Determinar a distância da seção à base de modo que o prisma inscrito tenha volume

máximo, conforme figura ao abaixo.

Com elementos abaixo:

a = Lado da base do prisma.

= lado da base do pirâmide.

h = Altura da pirâmide.

x = Distãnciada secção ao vértice.

V = Volume do prisma.

R: 2R

x3

.

24) Inscrever em uma esfera de raio R um tronco de cone tendo a base sõbre um círculo máximo e

cuja área lateral seja a maior posível, conforme figura ao ao lado.

R: R 2R 2

x ou y3 3

.



25) Um cilíndro circular de raio R é encimado por um cone. As extremidades do cilíndro são abertas

e o volume total do sólido deve ser uma constante especifiva V, conforme figura ao abaixo.

a) Mostre que a área total S da superfície é dada por: R: 22V 2S πR cossec θ cotg θ

R 3

b) Mostre que S é mínimizada quando θ é: R: 02cosθ = θ 48,2

3

26) Dado um círculo de raio R, consideram-se todos os triângulos retângulos circunscritos ao

mesmo. Determinar o que tem menor perímetro, conforme figura ao abaixo.

R: x R(1 2) ou y R(1 2) .

27) Dado um ângulo ˆAOB sobre um dos lados, OA , são fixados dois pontos P e Q. Achar sobre o

outro lado OB , um ponto M, tal que o segmento PQ seja visto sob o ângulo máximo, conforme

figura ao abaixo.

R: x a b



28) Inscrever em uma elipse, de semi-eixos a e b, o retângulo de área máxima, conforme figura ao

abaixo.

R: a b

x e y2 2

29) Mostre que o retângulo de área máxima inscrito núma circunferência de raio r é um quadrado.

R: x y r 2

30) Um pedaço de barbante de comprimento L é cortado em duas partes, uma delas sendo dobrado

na forma de um triângulo equilatero e a outra na forma de uma circunferência. Como deve ser

cortado o barbante para que a soma das áreas das figuras seja maior possivel.

R: 1 2

πL 3 9Le

(π 3 + 9) (π 3 + 9)

31) Um pedaço de barbante de comprimento L é cortado em duas partes, uma delas sendo dobrado

na forma de um círculo e a outra na forma de uma quadrado:

a) Como devemos cortar o barbante a fim de que a soma das duas áreas compreendidas pelas figuras

seja mínima?

R: 1 2

4L πLe

(4 + π) (4 + π)

b) Como devemos cortar o barbante a fim de que a soma das duas áreas compreendidas pelas figuras

seja máxima?

R: Deve-se fazer somente um círculo de raio2π

32) Em um painel retangular de comprimento (60 + x) cm e de largura 80 cm, deseja-se reservar no

canto seperior esquerdo um quadrado de lado x. Qual o valor de x para que a diferença entre a área

do painel e a do quadado seja maior possivel?

R: 40 cm



33) Um depósito aberto, de folha de lata, com fundo quadrado, deve ter capacidade para v litros.

Em que dimensões deve ser feito o depósito para que em sua fabricação se gaste a menor

quantidade possivel de lata?

R: A altura deve ser duas vezes menor que o lado da base.

34) Qual dos cilindros de volume dado tem menor superfície total?

R: Aquele cuja altura é igual ao diâmetro da base.

35) Inscrever numa esfera dada um cilindro de volume máximo.

R: A altura do cilindro e 2R

3, o raio da base

2R

3, onde R é o raio da esfera dada.

36) Inscrever numa esfera dada um cilindro que tenha a maior superficie lateral possivel.

R: A altura do cilindro é R 2 , onde R é o raio da esfera dada.

37) Inscrever numa esfera dada um cone de volume máximo.

R: A altura do cone é 4

R3

, onde R é o raio da esfera dada.

38) Circunscrever em torno de um cilindro dado um cone reto que tenha o menor volume possível

(os planos e centros de suas bases circulares coincidem).

R: O raio da base do cone é 3

r2

, onde r é o raio da base do cilindro dado.

39) Qual dos cones circunscritos em torno de uma esfera tem o menor volume?

R: Aquele cuja altura é duas vezes maior que o diâmetro da esfera.

40) Vários triângulos isósceles diferentes podem ser desenhados com o vértice na origem, a base

paralela ao eixo x e acima desse eixo e os vértices da base sobre a curva 14y = 48 - x2. Determine a

área do maior destes triângulos



R: 64

7 unidades quadradas.



Questões Propostas de Otimização em Economia

01) Um estudo de eficiência realizado em uma fábrica durante o turno da manhã mostra que um

operário que começa a trabalhar às 8h terá produzido, em média, Q(t) = -t3 + 9t

2 + 12t unidades t

horas mais tarde. Em que hora da manhã os operários são mais produtivos?

R: às 11h

02) Um fabricante estima que quando q unidades de uma certa mercadoria produzidas, o custo total

é C(q) = 3q² + 5q + 75 reais. Para que nível de produção o custo médio M(q) = C(q)/q é mínimo?

R: 5 unidades produzidas

03) Pretende-se estender um cabo de uma usina de força à margem de um rio com 900 metros de

largura até uma fábrica situada do outro lado do rio, 3000 metros rio abaixo. O custo de estender

um cabo no rio é R$ 5,00 o metro e o custo de estender um cabo em terra é R$ 4,00 o metro. Qual é

o percurso mais económico para o cabo?

R: R$ 14.700 a 1200 m da usina da força.

04) Um empresário calcula que quando x unidades de um certo produto são fabricadas, a receita

bruta associada ao produto é dada por R(x) = 0,5x² + 3x – 2 milhares de reais. Qual é a taxa de

variação da receita com o nível de produção x quando 3 unidades estão sendo fabricadas? Para esse

nível de produção, a receita aumenta ou diminui com o aumento da produção?

R: a receita aumenta com o aumento da produção.

05) Estima-se que daqui a x meses a população de um certo município será: P(x) = x² + 20x + 8000.

(a) Qual será a taxa de variação da população com o tempo daqui a 15 meses?

(b) Qual será a variação da população durante o 16° mês?

R: a) 50 habitantes por mês

b) 51 habitantes

06) O produto interno bruto (PIB) de um certo país é dado por N(t) = t² + 5t + 106 bilhões de

dólares, onde t é o número de anos após 1990.

(a) Qual foi a taxa de variação do PIB em 1998?

(b) Qual foi a taxa de variação percentual do PIB em 1998?

R: a) 21 bilhões de dólares por ano

b) 10% ao ano



07) Numa industria, custo de montagem é diretamente proporcional ao número de máquinas

ultilizadas e o custo de operação é inversamente proporcional ao número de máquinas ultilizadas.

Quando é que o custo total é mínimo?

(Sugestão: O custo total c(x) é dado pela soma do custo de montagem (k1, x), com o custo de

operação ( 2k

x)).

R: Custo total mínimo se o número de máquinas for 1

2

k

k, ou seja, quando o custo de montagem for

igual ao custo de operação.

08) Um estudo de eficiência realizado no turno da manhã de uma certa fábrica revela que um

operário que chega ao trabalho às 8 h terá produzido Q(t) = -t3 + 6t

2 + 24t unidades t horas mais

tarde.

(a) Calcule a taxa de produção dos operários às 11 h.

(b) Qual é a taxa de variação da taxa de produção dos operários às 11 h?

(c) Use os métodos do cálculo para estimar a variação da taxa de produção dos operários entre 11h e

11h10min.

(d) Calcule a variação real da taxa de produção dos operários entre 11h e 11h10min.

R: (a) 33 unidades por hora (c) -1 unidade por hora

(b) -6 unidades por hora ao quadrado (d) -1,08 unidade por hora

09) A produção de certa fábrica é Q = 2x3 + x²y + y

3 unidades, onde x é o número de homens-horas

de trabalho especializado e y número de homens-horas de trabalho não-especializado. No momento,

a mão-de-obra disponível é constituída por 30 homens-horas de trabalho especializado e 20

homens-horas de trabalho não-especializado. Use os métodos do cálculo para estimar a variação de

mão-de-obra não-especializada y necessária para compensar um aumento de 1 homem-hora da mão-

de-obra especializada x, de modo que a produção não seja alterada.

R: diminuir 3,14 homens-horas a mão-de-obra não-especializada.

10) Uma fábrica produz x milhares de unidades mensais de um determinado artigo. Se o custo de

produção é dado por 3 2C(x) = 2x + 6x + 18x + 60 e o valor obtído na venda é dado por

2V(x) = 60x - 12x , determinar o número ótimo de unidades mensais que maximiza o lucro?

R: 1000 unidades



11) A receita obtida com a produção de x unidades de certa mercadoria é dada por R(x) = 63x x²

x² 63

milhões de reais. Qual é a produção que proporciona a máxima receita? Qual é esta receita?

R: Produção máxima 7 unidades; Receita máxima 3,5 (milhões de reais).

12) O custo total em reais para fabricar q unidades de um certo produto é C(q) = 3q² + 5q + 10. Se o

nível atual de produção é 40 unidades, estime a variação do custo total se 40,5 unidades forem

produzidas.

R: C = R$ 122,50

13) Um fazendeiro tem 200 bois, cada um pesando 300 kg. Até agora ele gastou R$ 380.000,00 para

criar os dois bois e continuará gastando R$ 2,00por dia para manter um boi. Os bois aumentam de

peso a uma razão de 1,5 kg por dia. Seu preço de venda, hoje, é de R$ 18,00 o quilo, mas o preço

cai 5 centavos por dia. Quantos dias deverão o fazendeiro aguardar para maximizar seu lucro?

R: 67 dias

14) A produção diária de uma certa fábrica é Q(L) = 9001

3L unidades, onde L é a mão-de-obra

utilizada, medida em homens-horas. No momento, a fábrica utiliza 1000 homens-horas. Use os

métodos do cálculo para estimar o número de homens-horas adicionais necessários para aumentar

de 15 unidades a produção diária.

R: 5 homens-horas.

15) O custo para produzir X unidades de um certo produto é C(x) = x²/3 + 4x + 53 reais e o número

de unidades produzidas em t horas de trabalho é x(t) = 0,2t2 + 0,03t unidades. Qual é a taxa de

variação do custo com o tempo após 4 horas de trabalho?

R: R$ 10,13

16) Um empresário calcula que quando x unidades de um certo produto são fabricadas, a receita

bruta associada ao produto é dada por R(x) = 0,5x² + 3x – 2 milhares de reais. Qual é a taxa de

variação da receita com o nível de produção x quando 3 unidades estão sendo fabricadas? Para esse

nível de produção, a receita aumenta ou diminui com o aumento da produção?

R: R$ 6.000,00 a receita aumenta com o aumento da produção.

17) A demanda de um certo produto é D(p) = -200p + 12.000 unidades por mês quando o preço é p

reais a unidade.

(a) Expresse o gasto total dos consumidores com o produto em função de p e desenhe o gráfico

associado.



(b) Use os métodos do cálculo para determinar o preço para o qual o gasto total dos consumidores é

máximo.

R: E(p) = p(-200p + 12.000)

b) p = 30,00 E(30) = 180.000,00

18) Estima-se que daqui a t anos, a circulação de um jornal será C(t) = 100t² + 400t + 5000.

(a) Encontre uma expressão para a taxa de variação da circulação com o tempo daqui a t anos.

(b) Qual será a taxa de variação da circulação com o tempo daqui a 5 anos? Nessa ocasião a

circulação está aumentando ou diminuindo?

(c) Qual será a variação da circulação durante o sexto ano?

R: a) C'(t) = 200t + 400 b) C'(5) = 1400; aumentando c) 1.500 exemplares

19) Um estudo realizado em certa fábrica mostra que os operários do turno da manhã, que chegam

para trabalhar às 8 h, terão montado em média f(x) = -x³ + 6x² + 15x receptores de rádio x horas

mais tarde.

(a) Escreva uma expressão para a o número de receptores por hora que os operários estarão

montando x horas depois de começarem a trabalhar.

(b) Quantos receptores por hora os operários estarão montando às 9 h?

(c) Quantos receptores os operários estarão montando entre 9 h e 10 h?

R: 2a) f '(x) = -3x 12x + 15 b) f '(1) = 24; 24 receptores de rádio/h c) 26 receptores de rádio

20) Os registros mostram que x anos depois de 1994, o imposto predial médio que incidia sobre um

apartamento de três quartos em um certo município era T(x) = 20x² + 40x + 600 reais.

(a) Qual era a taxa de aumento do imposto predial no início do ano 2000?

(b) Qual era a taxa de aumento percentual do imposto predial no início do ano 2000?

R: a) T '(6) = R$ 280/ano b) 17,95% /ano

21) Um estudo de eficiência realizado no turno da manhã de certa fábrica revela que um operário

que chega ao trabalho às oito horas produz, em média, Q(t) = -t3 + 9t

2 + 12t unidades nas t horas

seguintes:

(a) Calcule a produtividade dos operários às nove horas, em unidades por hora.

(b) Qual a taxa de variação da produtividade dos operários às nove horas?

(c) Use os métodos do cálculo para estimar a variação da produtividade dos operários entre 9h e 9h

6 min.

(d) Calcule a variação real da produtividade dos operários entre 9h e 9h 6min.



R: 2

a) 27 unidades/h. c) A produção aumenta de aproximadamente 1,2 unidades/h

b) 12 unidades/h . d) A produção aumenta de 1,17 unidades/h.

22) Em certa fábrica, aproximadamente q(t) = t2 + 50t unidades são produzidas durante as primeiras

t horas de uma jornada de trabalho e o custo total para produzir q unidades é C(q) = 0,1q2 + 10q +

400 reais. Determine a taxa com que o custo de produção está aumentando duas horas após iniciada

a jornada de trabalho. R: O custo está aumentando a razão de R$ 1.663,20 por hora.

23) Uma fábrica de produtos de plástico recebeu uma encomenda para fabricar 8.000 pranchas de

isopor. A firma possui 10 máquinas, cada uma das quais é capaz de produzir 30 pranchas por hora.

O custo de programar as máquinas para fabricar as pranchas é de R$ 20,00 por máquina. As

máquinas são automáticas e necessitam apenas de um supervisor que ganha R$ 15,00 por hora:

(a) Quantas máquinas devem ser usadas para minimizar o custo de produção?

(b) Quanto ganhará o supervisor pelo trabalho se o número ideal de máquinas for usado?

(c) Qual será o custo para programar as máquinas?

R: a) 10 b) R$ 400,00 c) R$ 200,00

24) Uma loja pretende vender 800 vidros de perfume este ano. Cada vidro de perfume custa R$

20,00, o custo da encomenda é R$ 10,00 e o custo para manter o perfume em estoque é 40 centavos

por vidro por ano. O perfume é consumido com a mesma rapidez durante o ano inteiro e as

encomendas são recebidas no instante em que os vidros da encomenda anterior se esgotam.

(a) Quantos vidros a loja deve encomendar de cada vez para que o custo seja mínimo?

(b) Com que frequência a loja deve fazer as encomendas do perfume?

R: a) 200 garrafas b) a cada três meses

25) Quando o preço unitário de um certo produto é p reais, a demanda é de x centenas de unidades,

onde x2 + 3px + p

2 = 79. Qual é a taxa de variação da demanda com o tempo se o preço unitário é

R$ 5,00 e está diminuindo à razão de 30 centavos por mês? R: 0,2714 unidades/mês.

26) Quando o preço unitário de um certo produto é p reais, o fabricante tem interesse em produzir x

mil unidades, onde ² 2 p p² 31x x . Qual é a taxa de variação da oferta quando o preço

unitário é R$ 9,00 e está aumentando à razão de 20 centavos por semana?

R: 206 unidades por semana.

27) receita anual bruta de certa empresa é f(t) = 210t t 236 milhares de reais t anos após a

fundação da empresa, em janeiro de 1998.



(a) Qual a taxa de aumento da receita anual bruta da empresa em janeiro de 2003?

(b) Qual a taxa de aumento percentual da receita anual bruta da empresa em janeiro de 2003?

R: a) R$ 2.280,00 por ano e b) 10,3% ao ano.

28) Em certa fábrica, o custo total para fabricar q unidades durante uma jornada diária de trabalho é

C(q) = 0,2q² + q + 900 reais. Estudos anteriores mostram que aproximadamente q(t) = t² + 100t

unidades são fabricadas durante as primeiras t horas de uma jornada de trabalho. Calcule a taxa de

variação do custo total de fabricação com o tempo 1 hora após o início de uma jornada de trabalho.

R: R$ 4.222,80 por hora.

29) Quando um determinado modelo de liquidificador é vendido a p reais a unidade, são vendidos

D(p) = 8000/p liquidificadores por mês. Calcula-se que daqui a t meses o preço dos liquidificadores

será p(t) = 0,043

2t + 15 reais. Calcule a taxa de variação da demanda mensal de liquidificadores com

o tempo daqui a 25 meses. A demanda estará aumentando ou diminuindo nessa ocasião?

R: A demanda estará de seis liquidificadores por mês.

30) Um importador de café do Brasil estima que os consumidores locais comprarão D(p) = 4374/p²

libras de café por semana quando o preço for p dólares por libra. Calcula-se também que daqui a t

semanas, o preço do café brasileiro será p(t) = 0,02t² + 0,1t + 6 dólares por libra. Qual será a taxa de

variação da demanda semanal de café com o tempo daqui a 10 semanas? A demanda está

aumentando ou diminuindo nessa ocasião?

R: - 6 libra por semana

31) Quando um certo produto é vendido por p reais a unidade, os consumidores compram D(p) =

40.000/p unidades do produto por mês. Calcula-se que daqui a t meses, o preço do produto será p(t)

= 0,43

2t + 6,8 reais por unidade. Qual será a taxa de variação percentual da demanda mensal do

produto com o tempo daqui a 4 meses?

R: A demanda estará diminuindo de 12 % ao mês.

32) Calcula-se que daqui a t meses o preço médio unitário dos bens de consumo em um certo setor

da economia será P(t) = -t³ + 7t2 + 200t + 300 reais.

(a) Qual será a taxa de variação com o tempo do preço unitário daqui a 5 meses?

(b) Qual será a taxa de variação da taxa de variação com o tempo do preço unitário daqui a 5 meses?

(c) Use os métodos do cálculo para estimar a variação da taxa de aumento dos preços durante a

primeira quinzena do sexto mês.



(d) Calcule a variação real da taxa de aumento dos preços durante a primeira quinzena do sexto mês.

R: a) 195; b) –R$ 16,00 por mês; c) –R$ 8,00 e -8,75.



Questões Propostas de Otimização em Ciências Naturais

01) Cada extremidade de uma haste PQ de comprimento 8 u.c é forçada a mover-se em uma quia,

como indica na figura abaixo. Se ao ponto Q se imprime um movimento dado por x(t) 4 sen3t , a

velocidade de P em qualquer instante t é:

R: 2

6 sen 6t

4 sen 3t

02) Dois automóveis deixam um cruzamento ao mesmo tempo. O primeiro viaja para leste com uma

velocidade constante de 60 quilômetros por hora, enquanto o segundo viaja para o norte com uma

velocidade constante de 80 quilômetros por hora. Encontre uma expressão para a taxa de variação

com o tempo da distância entre os automóveis.

R: D'(t) = 100 hm/h .

03) Calcula-se que daqui a x meses a população de certa cidade será P(x) = 3

22 4 5000x x .

(a) Qual será a taxa de variação da população com o tempo daqui a 9 meses?

(b) Qual será a taxa de variação percentual da população com o tempo daqui a 9 meses?

R:

1 2P'(x) = 2 + 6x

a) P'(9) = 20 habitantes por mês

b) 0,39 %

04) A posição de determinada partícula, representada por s(t), no instante t que está se

movimentando em linha reta. Determine:

A velocidade e a aceleração da partícula.

Todos os instantes no intervalo dado em que a partícula está estacionária.



(1) s(t) = t² – 2t + 6 para 0 t 2. R:

v(t) = 2t - 2

a) a(t) = 2

b) t = 1

(2) s(t) = t³ - 9t² + 15t + 25 para 0 t 6. R:

2v(t) = 3t - 18t + 15

a) a(t) = 6t - 18

b) t = 1 ou t = 5

(3) s(t) = 2 4t + 3t² - 36t + 40 para 0 t 3. R:

3

2

v(t) = 8t + 6t - 36

a) a(t) = 24t + 6

b) t = 1,5

05) Deixa-se cair uma pedra de uma altura de 43 metros.

(a) Quanto tempo a pedra leva para atingir o solo?

(b) Qual é a velocidade no momento do impacto?

R:

2H(t) = -4,9t + 43 H'(t) = -9,8t

a) H(t) = 0; t = 3

b) H(3) = -29 m/s

06) A população de uma colônia de bactérias é dada por P(t) = 24t + 10

t² + 1 mil t horas após a

introdução de uma toxina. Use os métodos do cálculo para determinar o instante em que a

população é máxima e determine qual é a população nesse instante.

R: t = 0,67 h (40 min); 18.000 bactérias.

07) De acordo com a fórmula de Debye de físico-química, a polarização P de um gás satisfaz à

equação P = 24 μ

πN3 3kT

onde N, μ e k são constantes positivas e T é a temperatura do gás.

Determine a taxa de variação de P com a temperatura.

R: 2

2

dP 4πμ N

dT 9KT

08) Calcula-se que daqui a t anos, a população de certo município será P(t) = 20 – 6/(t + 1) mil

pessoas.

(a) Escreva uma expressão para a taxa com que a população estará variando daqui a t anos.

(b) Qual será a taxa de aumento da população daqui a 1 ano?

(c) Qual será o aumento da população durante o segundo ano?

(d) Qual será a taxa de aumento da população daqui a 9 anos?



(e) Que acontecerá com a taxa de aumento da população ao longo prazo?

R: 2a) P'(t) = 6 (t + 1) mil moradores por ano b) 1.500 moradores por ano

c) 1.000 moradores d) 60 por ano e) A taxa de aumento tenderá a zero

09) Quando um resistor de R ohms é ligado aos terminais de uma bateria com uma força

eletromotriz de E volts e uma resistência interna de r ohms, uma corrente de I ampères atravessa o

circuito e dissipa uma potência de P watts, com I = E

r + R e P = I² R. Supondo que r seja constante,

qual o valor de R para o qual a potência dissipada é máxima?

R: A potência dissipada é máxima qundo R = r.

10) Os biólogos definem o fluxo F de ar na traquéia através de expressão F = SA, onde S é a

velocidade do ar e A é a área da seção reta da traquéia. A = π r2.

.

(a) Suponha que a seção reta da traquéia seja circular. Use a expressão para a velocidade do ar na

dada pela equação 2

0( ) ( )v r ar r r , traquéia durante um acesso de tosse para indicar o fluxo F em

função do raio r.

(b) Determine o raio r para o qual o fluxo é máximo.

R: 4

0 0

4a) F(r) = aπr (r -r) b) r = r

5

11) Se desprezarmos a resistência do ar, o jato de água emitido por uma mangueira chega a uma

altura y = -16(1 + m²)

2x

v

- mx, acima de um ponto situado a 4,8 metros da boca da mangueira,

onde m é a inclinação da mangueira e v é a velocidade com a água deixa a mangueira. Suponha que

v é constante.

(a) Se m for também constante, determine a distância x para a qual a água atinge a altura máxima.

(b) Se m for variável, determine a inclinação para a qual um bombeiro conseguirá atingir o fogo da

maior distância possível.

(c) Suponha que um bombeiro se encontre a

uma distância x = x 0 metros da base de um edifício. Se



m for variável, qual é o ponto mais alto do edifício que o bombeiro consegue atingir com a água

lançada pela mangueira?

R: 2 2 2

2

0 0

v m v va) x ; b) m e c) m

32 (1+ m ) 32 x 32 v x

12) Demonstra-se em físico-química que a pressão P de um gás está relacionada ao volume V e a

temperatura T pela equação de van der Waals a

P + (V - b) = nRTV²

onde a, b, n e R são

constantes. A temperatura crítica T c do gás é a maior temperatura na qual as fases gasosa e líquida

podem existir como fases separadas.

(a) Para T = T c , a pressão P é uma função apenas do volume, P(V). Escreva a função P(V).

(b) O volume crítico V c é o volume para o qual P'(V c ) = 0 e P"(V c ) = 0. Mostre que V c = 3b.

(c) Determine a pressão crítica P c = P(V c ) e T c em termos de a, b, n e R.

R: cc2

nRT a 8aa) P(V) b) demonstração c) T =

V b V 27nRb

13) Uma doença está se espalhando de tal forma que após t semanas, o número de pessoas

infectadas é dado por N(t) = 35.175 - t (t - 8) , 0 t 8.

(a) Qual a taxa de disseminação da epidemia após 3 semanas?

(b) Suponha que as autoridades declarem que uma doença atingiu proporções epidêmicas quando a

taxa de disseminação percentual é maior ou igual a 25%. Durante que período de tempo esse critério

é satisfeito no caso em questão?

R:

a) N'(3) = 108 pessoas por ano

b) A doença não atinge proporção epidêmica no período de 8 semanas para o qual a equação

é valida.

14) Duas indústrias A e B necessitam de água potável. A figura abaixo esquematiza a posição das

indústrias, bem como a posição de um encantamento retilinéo , já existente. Em que ponto do

encanamento deve ser instalado um reservátorio de modo que a metragem de cano a ser ultilizada

seja mínima?



R: 8 km do encontro da canalização com a perpendicular que passa por A.

15) Uma agência de turismo está organizando um serviço de barcas, de uma ilha situada a 40 km de

uma costa quase reta, para uma cidade que dista 100 km, como mostra a figura abaixo. Se a barca

tem uma velocidade de 18 km/h e os carros

tem uma velocidade média de 50 km/h, onde

deverá estar situada a estação das barcas a fim

de tornar a viagem a mais rápida possível?

R: 84,56 km da cidade

16) Sabe-se que uma quantidade de água que ocupa um volume de 1 litro a 0°C ocupará V(T) = -6,8

10-8

T3 8,5 10 6 T² - 6,4 10 5 T + 1 litros quando a temperatura for de T°C, para 0 T

30. Use uma calculadora gráfica para plotar V(T) para 0 T 10. A densidade da água é máxima

quando V(T) é mínimo. Em que temperatura isso acontece? Qual é o volume mínimo?

R: V(t) é mínimo para T = 3,95; V(3,95) = 0,999876.

17) Um canhão, situado no solo, é posto sob um ângulo de inclinação α . Seja o alcance do

canhão, dado por 22

sen α cos αv

g , onde v e g são constantes. Para que ângulo o alcance é

máximo? R: π

4

18) Um estudo ambiental realizado em certo município revela que daqui a t anos a concentração de

monóxido de carbono no ar será Q(t) = 0,05t² + 0,1t + 3,4 partes por milhão. Qual será a variação da

concentração de monóxido de carbono nos próximos 6 meses?

R: 0,05 partes por milhão.

19) Estima-se que daqui a t anos a população de um certo município será p(t) = 20 – 6/(t – 1)

habitantes. Um estudo ambiental revela que a concentração média de monóxido de carbono no ar é



c(p) = 0,5 p² p 58 pares por milhão, onde p é a população em milhares de habitantes. Determine

a taxa de variação da concentração de monóxido de carbono com o tempo daqui a 2 anos.

R: 0,31 partes por milhão por ano.

20) Quando um peixe nada rio acima com velocidade v contra uma correnteza constante v w , a

energia gasta pelo animal para percorrer uma certa distância é dada por uma função do tipo E(v) =

w

k

vv

Cv

onde C é uma constante positiva e k > 2 é um número que depende da espécie considerada.

(a) Mostre que E(v) possui um e apenas um ponto crítico. Esse ponto corresponde a um máximo ou

a um mínimo?

(b) O número crítico do item (a) depende de k. Seja F(k) este número crítico. Plote a função F(k). O

que se pode dizer a respeito de F(k) para valores muito grandes de k?

R: a) E(v) é mínima no ponto wvv

k 1

e b) F(k) = wv k

k 1

, k > 2.

21) Em um artigo clássico, E. Heinz mostrou que a concentração y(t) de um remédio administrado

por injeção intramuscular é dada por y(t) = -at -btce - e

b - a t 0, onde t é o número de horas após

a injeção e a, b e, c são constantes positivas, com b > a:

(a) Em que instante a concentração é máxima? O que acontece com a concentração "ao longo

prazo"?

(b) Faça um gráfico de y(t).

R:1 a

a) t = ln ,a concentração tende a zero ao longo prazo, ou seja, para grandes valores de t.a - b b

22) O efeito da temperatura sobre a velocidade de uma reação química é expresso pela equação de

Arrhenius 0-E RTK = A e onde k é a velocidade da reação, T é a temperatura absoluta e R é a

constante dos gases perfeitos. Os parâmetros A e 0E dependem da reação considerada, mas não da

temperatura. Sejam 1k e 2k as velocidades da reação nas temperaturas 1T e 2T . Escreva uma

expressão para In (k 1 /k 2 ) em função de E 0 , R, T 1 , e T 2 .

R: 01

2 2 1

Ek 1 1ln =

k R T T



23) A capacidade aeróbica de um indivíduo de x anos de idade é dada por A(x) = 110 x

x )2(ln

para x 10. Em que idade a capacidade aeróbica é máxima?

R: 20,09 anos

24) A população P(t) de muitas espécies de animais e plantas aumenta (ou diminui) a uma taxa dada

por dP P

= A 1 - P - Hdt B

onde A, B e H são constantes positivas: A é a taxa de crescimento

natural, B é a capacidade de sustento e H é a taxa de coleta. Suponha que a população inicial P 0 =

P(0) seja um número positivo.

(a) Mostre que a taxa de aumento da população é máxima para P(t) = 0,5B, independentemente dos

valores das outras constantes.

(b) Mostre que se H > AB/4, dP/dt < 0 e portanto a população necessariamente diminui. Isto

significa que a população tende a desaparecer?

R:

22

2 2

d P B dP A Ba) 0 para P = b) - P- < 0

dt 2 dt B 2

25) Um certo modelo sugere que a produção de um tipo de glóbulos brancos (granulócitos) pode ser

descrita por uma função da forma m

Axp(x) =

B + x onde A e B são constantes positivas, o expoente m

é positivo e x é o número de células presentes.

(a) Calcule a taxa de produção de granulócitos, p'(x).

(b) Calcule p"(x) e determine todos os valores de x para os quais p”(x) = 0 (a resposta deve ser dada

em função de m).

R:

m

m 2

m-1 m

mm 3

AB + Ax (1 m)a) p'(x) =

(B + x )

mAx B Bm (1 m)x m + 1b) p''(x) = p''(x) = 0 para x = B

(B + x ) m + 1

26) A porcentagem de ovos de bicho da maçã que chocam a uma dada temperatura (em graus

Celsius) é dada por H(T) = -0,53T2 + 25T - 209 para 15 T 30. Faça um gráfico da função H(T).

Para que temperatura T (15 T 30) a porcentagem de ovos chocados é máxima? Qual é esta

porcentagem máxima?

R: A porcentagem é máxima a 23,58 ºC, temperatura na qual atinge o valor de 85,81%.



27) A concentração de um remédio t horas após ter sido injetado no braço de um paciente é dada por

C(t) = 0,15t

t² 0,81. Plote a função concentração. Para que valor de t a concentração é máxima?

R: A concentração máxima ocorre quando t = 0,9 h.

28) Um atuário calcula a probabilidade de que um indivíduo de certa população morre com x anos

de idade usando a expressão P(x) = -λxλ²xe onde é um parâmetro tal que 0 < < e:

(a) Determine o valor máximo de P(x) para um dado valor de .

(b) Plote P(x).

R: 1 λ

Pλ e

29) Um pesquisador estima que t horas após uma toxina ser introduzida, a população (em milhares

de espécimes) de uma colônia de bactérias será P(t) = 0,01t 0,003t

600

4 e e .

(a) Qual é a população no instante em que a toxina é introduzida (t = 0)? O que acontece com a

população (“ao longo prazo")?

(b) Em que instante a população é máxima? Qual é a população máxima da colônia?

(c) Faça um gráfico de P(t).

R: a) t = 0; b) 109,43 e c) o gráfico.

30) Uma doença contagiosa se dissemina em uma comunidade de tal forma que t semanas após o

primeiro surto, o número de pessoas infectadas é dado por uma função da forma f(t) = A/(1 + Ce-kt

),

onde A é o número de pessoas suscetíveis. Mostre que a taxa de disseminação da doença é máxima

quando metade das pessoas suscetíveis está infectada.

R: A

2



Questões Resolvidas de Aplicação da Regra de L’Hospital

01) Usando a regra de L‟hospital calcule os limites abaixo:

1) 1

lnlim

1x

x

x R: 1 16) xlim e ln x

x R: 0

2) 2

limx

x

e

x R: 17) lim(x π) cotg x

x R: 1

3) 30

limx

tg x x

x

R:

1

3 18)

0

sen x xlim

tg x xx

R:

1

2

4) lim1 cosx

sen x

x R: 0 19)

0

ln sen xlim

ln sen 2xx R: 1

5)

2

lim (sec x tg x)x

R: 0 20) x -x

0

e - e 2sen xlim

x sen xx

R: 0

6) 0

lnlim

cossecx

x

x R: 0 21)

-x

20

x cos x elim

xx

R:

7)

4

lim(1 tg x) sec xx

R: 1 22) 0

arc sen 2xlim

arc sen xx

R: 2

8) 0

1 1lim

x sen xx

R: 0 23)

0

x - arc tg xlim

x sen xx

R: 0

9)

2

4tg xlim

1 secx

x

R: 4 24)

2 1lim

arc sen xx

x

R:

10) x -x

0

e e 2lim

cos 2x x

R:

1

2 25)

1

1lim

x - 1 ln xx

x

R: 1

11) π

2

x πlim

cotg x 2cos xx

R: 1 26)

2

π

4

sec x - 2tg xlim

1 + cos 4xx

R: 1

2

12) 0

lim(1 cos x)cotg xx

R: 0 27) πx

cos2

1lim 1 xx

R: 1

13) x0

xlim

e cosx x R: 1 28)

1

tg x

0lim xx

R: 1

14) 2π

2

coslim

π

2

x

x

x

R: 29) 0

lim(1 tg x)sec 2xx

R: 1



15) sen x

0lim xx

R: 1 30) x ln x

limx ln xx

R:



Questões Resolvidas de Construção de Gráficos

01) Determine o domínio, a paridade, os pontos de descontinuidade, as interseções do gráfico com

os eixos, o comportamento no infinito (retas assíntotas). O crescimento ou decrescimento, os

extremantes, a concavidade, os pontos de inflexão e esboçar o gráfico, das funções abaixo:

1) 3 2( ) 5f x x x x

Determinar o domínio

( )D f R

Determinar a paridade 3 2

3 2

3 2

( ) 5

( ) ( ) ( ) 5.( )

( ) 5

( ) ( )

f x x x x

f x x x x

f x x x x

f x f x

Determinar os pontos de descontinuidade

( )D f R

Determinar as interseções do gráfico com os eixos (interseção com x e y)

3 2 3 2 2( ) 5 5 0 .( 5) 0

( ) 0 0

f x x x x x x x x x x

f x x

2

2

5 0

(1) 4.1.( 5)

21

x x

' 1,791 21 1 4,58

'' 2,792 2

xx x

x

Determinar o comportamento no infinito

3

3

lim ( )

lim

lim ( )

x

x

x

f x

x

3

3

lim ( )

lim

lim ( )

x

x

x

f x

x

Como:

Determinar o crescimento e decrescimento

Logo a função não será par e nem ímpar.

( ) ( )

( ) ( )

f x f x

f x f x

Par

Ímpar

, ela é

contínua.

3 2

3 2

5 , 0

0 0 5.0

0

y x x x x

y

y

1(0,0)P

2(1,79,0)P

3( 2,79,0)P

Obs.: Será utilizada somente a variável com

maior expoente: 3x

R , não possui reta assíntota (horizontal, vertical e inclinada)



2

2

2

'( ) 3 2 5 '( ) 0

3 2 5 0

(2) 4.3.( 5)

4 60

64

f x x x f x

x x

Determinar os extremos

'( ) 0

' 1

5''

3

f x

x

x

''( ) 6 2

''(1) 6.(1) 2

''(1) 8 , 8 0

1

f x x

f

f

x

Determinar o ponto de Inclinação e Concavidade

''( ) 6 2 ''( ) 0

6 2 0

6 2

2

6

1

3

f x x f x

x

x

x

x

traçar o gráfico

5'2 64 2 8

32.3 6

'' 1

xx

x

1

5

3Crescente Decrescente Crescente

Ponto de Mínimo

''( ) 6 2

5 5'' 6. 2

3 3

5 30'' 2

3 3

5'' 10 2

3

5'' 8 , 8 0

3

5

3

f x x

f

f

f

f

x

Ponto de Máximo

1

3C.P.B C.P.C

y

x

6,48

1,79

3

1

2,79 1,67 0,33

3 2

3 2

3 2

( ) 5

( 1,67) ( 1,67) ( 1,67) 5.( 1,67) 6,48

( 0,33) ( 0,33) ( 0,33) 5.( 0,33) 1,79

f x x x x

f

f



2) 1

( )2 5

xf x

x

Determinar o domínio ( ) ?D f

1º Passo: Obedecer a condição (denominador 0 )

Logo,

Determinar a paridade

1( )

2 5

1 1 ( 1)( )

2.( ) 5 2 5 (2 5)

xf x

x

x x xf x

x x x

Determinar os pontos de descontinuidade

( ) 1

( ) 2 5

f x x

f x x

Determinar as interseções do gráfico com os eixos (interseção com x e y) 1

( ) ( ) 0 , ( )2 5

xf x f x f x y

x

10

2 5

1 0

1

x

x

x

x

Determinar o comportamento no infinito

lim ( )

1lim

2 5

lim

x

x

x

f x

x

x

x

11

x

x

11

52

x

x

0

52

x

0

1

2

lim ( )

1lim

2 5

lim

x

x

x

f x

x

x

x

11

x

x

11

52

x

x

0

52

x

0

1

2

Determinar o crescimento e decrescimento

Como ( ) ( )f x f x , logo a função não é par e nem ímpar.

0 1 , 0

2.0 5

1

5

1

5

y x

y

y

1

10,

5P

2 1,0P

Logo, 1

2y , reta assíntota horizontal.

2 5 0

2 5

5 5( )

2 2

x

x

x D f

R

Obs.: 5

2x , significa que o valor não está no

domínio da função

Contínua, com exceção no ponto onde 5

2x



2

1.(2 5) ( 1).2 2'( )

(2 5)

x x xf x

x

5 2x 2 2

2 3

(2 5) (2 5)x x

Como 2

30 3 0

(2 5)x

O sinal negativo indica que a é decrescente

Obs.: Qualquer valor atribuído para o “x”, ao final o resultado sempre será positivo, portanto

(função decrescente)



Determinar os extremos

2

3'( )

(2 5)f x

x

, não possui máximo e nem mínimo.

(Por não ter obtido ponto de x na derivada não existirá ponto de máximo e de mínimo.)

Determinar o ponto de Inclinação e Concavidade

(Não existe ponto de inflexão, pois é exatamente o ponto de descontinuidade)

Traçar o gráfico:

5

2C.P.B C.P.C

2 42

4

3.2.(2 5).2 12.(2 5)''( ) ''( ) 0

2 2(2 5)

12.(2 5) 50 12.(2 5) 0 2 5 0

22 2

x xf x f x

xx

xx x x

x

y

x

1

2

1

1

5

5

2



Questões Propostas de Construção de Gráficos

01) Nos exercicios de numeros de 01 a 50, determine o dominio, a paridade, os pontos de

descontinuidade, as interseções do grafico com os eixos, o comportamento no infinito, o

crescimento ou decrescimento, os extremantes, a concavidade, os pontos de inflexão e traçe os

grafico das funçôes:

1) 3( ) 2 6f x x x 26) 2( ) ( 2)f x x

2) 3 2( ) 4 24 1f x x x x 27) 2 2( ) ( 3)f x x

3) 4 3 2( ) 3 4 6 4f x x x x 28) 2

2

3( )

1

x xf x

x

4) 2 3( ) ( 1) ( 2)f x x x 29) 4 3 2( ) 6 24 24f x x x x

5) 2 3( ) 3 2f x x x 30) 2

2

2 5( )

1

x xf x

x

6) 1 3 4 3( ) 2f x x x 31) 2 3 3 2( ) (1 )f x x

7) 1 3( ) 1 ( 2)f x x 32) -

1( )

(1 e )f x

8) ( ) 1f x x x 33) ( ) 3 xf x e

9) 1

( )3

xf x

x

34) ( ) 3 2 tf x e

10) 2

9( )

9

xf x

x

35) ( ) 5 2 3 xf x

11) 2 2 4

( )2

x xf x

x

36) ( ) 3 5 xf x e

12) 3 2

2

4( )

x xf x

x

37)

2t

2( )

1 3ef x

13) 31( ) 9 2

3f x x x 38) ( ) xf x xe

14) 4 3( ) 4 10f x x x 39) 2

( ) xf x e

15) 3( ) ( 2)f x x 40) ( ) x xf x e e

16) 2 3( ) ( 5)f x x 41) ( ) ln (para x > 0)f x x x

17) 3( ) 2 ( 4)f x s s 42) ln

( ) (para x > 0)x

f xx

18) 1 3( ) ( 1)f x x 43) 2( ) ln( + 1)f x x

19) 4 3( ) ( 1)f x x 44) sen 2x

( ) sen x +2

f x

20) 2( ) 1f x x 45) 3 2( ) sen x + cos xf x

21) 2

( )1

xf x

x x

46) 2( ) cos x - cos xf x

22) 3 2( ) 3 1f x x x 47) ( ) 2x - tg xf x

23) 3 2( ) 3 3 1f x x x x 48) ( ) sen x sen 2xf x



24) 5( ) 5f x x x 49) ( ) cos x cos 2xf x

25) ( ) 4f x x x 50) ( ) x sen xf x



APÊNDICE (FÓRMULAS DAS DERIVADAS DE FUNÇÕES ELEMENTARES)

1) ( ) ( ) ( )f x u x v x '( ) '( ) '( )f x u x v x

2) ( ) ( ) ( )f x u x v x '( ) '( ) '( )f x u x v x

3) ( ) ( ). ( )f x u x v x '( ) '( ). ( ) ( ). '( )f x u x v x u x v x

4) ( )

( )( )

u xf x

v x

2

'( ). ( ) ( ). '( )'( )

[ ( )]

u x v x u x v xf x

v x

5) ( ) ,f x k k 0)(' xf

6) xxf )( 1)(' xf

7) nxxf )(

1.)(' nxnxf

8) n xxf )( 1).(

1)('

nn xnxf

9) xxf sen)( xxf cos)('

10) xxf cos)( xxf sen)('

11) tgxxf )( xxf 2sec)('

12) gxxf cot)( xxf 2seccos)('

13) xxf sec)( xtgxxf sec.)('

14) xxf seccos)( gxxxf cot.seccos)('

15) xaxf )( '( ) .xf x a na

16) xexf )(

xexf )('

17) x

axf log)( 1

'( ).

f xx na

18) xxf ln)( x

xf1

)('

19) xxf arcsen)( 21

1)('

xxf

20) xxf arccos)( 21

1)('

xxf

21) arctgxxf )( 21

1)('

xxf

22) gxarcxf cot)( 21

1)('

xxf

23) xarcxf sec)( 1.

1)('

2

xxxf



24) xxf secarccos)( 1.

1)('

2

xxxf



Fórmulas de Derivadas de Funções Compostas

Propriedades Operatórias: sendo u = u (x) e v = v(x)

1 - )(')(')()()()( xvxuxfxvxuxf

2 - )(')(')(')()()( xvxuxfxvxuxf

3 - )(').()().(')(')().()( xvxuxvxuxfxvxuxf

4 - 2)]([

)(').()().(')('

)(

)()(

xv

xvxuxvxuxf

xv

xuxf

5 - )('.)](.[)(')]([)( 1 xuxunxfxuxf nm

6 - n xuxf )()(1))(.(

)(')('

nn xun

xuxf

7 - )('.)(')( )()( xuexfexf xuxu

8 - )(').ln(.)(')( )()( xuaaxfaxf xuxu

9 - )(

)(')(')](ln[)(

xu

xuxfxuxf

10 - axu

xuxfxuxf a

ln).(

)(')(')]([log)(

11 - )(')].(cos[)(')](sen[)( xuxuxfxuxf

12 - )(')].(sen[)(')](cos[)( xuxuxfxuxf

13 - )(')].([sec)(')]([)( 2 xuxuxfxutgxf

14 - )(')].([seccos)(')]([cot)( 2 xuxuxfxugxf

15 - )(')].([)].(sec[)(')](sec[)( xuxutgxuxfxuxf

16 - )(')].([cot)].(sec[cos)(')](sec[cos)( xuxugxuxfxuxf

17 - ( ) [ ( )] '( ). ( )( ) [ ( )] '( ) [ ( )] . ln ( ) . '( )

( )

v x v x u x v xf x u x f x u x u x v x

u x

18 - 2

'( )( ) arcsen[ ( )] '( )

1 [ ( )]

u xf x u x f x

u x

19 - 2

'( )( ) arccos[ ( )] '( )

1 [ ( )]

u xf x u x f x

u x

20 - 2

'( )( ) arc tg[ ( )] '( )

1 [ ( )]

u xf x u x f x

u x

21 - 2

'( )( ) arc cotg[ ( )] '( )

1 [ ( )]

u xf x u x f x

u x

22 - 2

'( )( ) arc sec[ ( )] '( )

( ). [ ( )] 1

u xf x u x f x

u x u x



23 - 2

'( )( ) arc cossec[ ( )] '( )

( ). [ ( )] 1

u xf x u x f x

u x u x

Cálculo Diferencial e Integral

Documents

Transcript of Cálculo Diferencial e Integral