Calculo Diferencial e Integral I Apostila

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REA 1 - Faculdade de Cincia e Tecnologia Cursos de Engenharia Clculo Diferencial e Integral I Professor: lvaro Fernandes Serafim Apostila de limites e derivadas Umagrandedescobertaenvolveasoluo de um grande problema,mas humasementededescobertanasoluodequalquerproblema. Seu problemapode ser modesto;porm,seeledesafiarasuacuriosidade e fizerfuncionarasuacapacidadeinventiva, e caso voc o resolva sozinho, ento voc poder experimentar a tenso e o prazer do triunfo da descoberta George Polya ltima atualizao: 02/06/2006 25xa1 lim lnaxx=

|.|

\| ++ . Qual o valor de a ? lvaro Fernandes2ndice Limite e continuidade.............................................................................................................3 Noo intuitiva de limite........................................................................................................... 3 Tabelas de aproximaes........................................................................................................... 4 Clculo de uma indeterminao do tipo 0/0.............................................................................. 5 Definio intuitiva de limite.....................................................................................................6 Propriedades dos limites...........................................................................................................6 Limites infinitos........................................................................................................................8 Limites no infinito..................................................................................................................... 9 Expresses indeterminadas.......................................................................................................10 Limite fundamental exponencial............................................................................................... 12 Limite fundamental trigonomtrico..........................................................................................14 Funes limitadas.....................................................................................................................16 Continuidade.............................................................................................................................18 Aplicao 1: Problema da rea sob o arco de uma parbola..................................................... 20Aplicao 2: Problema do circuito RLem srie......................................................................21 Derivada...................................................................................................................................22 A reta tangente..........................................................................................................................22 A reta normal............................................................................................................................25 A derivada de uma funo num ponto......................................................................................25 Derivadas laterais.....................................................................................................................26 Regras de derivao..................................................................................................................28 Derivada da funo composta (Regra da cadeia)...................................................................... 30 Derivada da funo inversa....................................................................................................... 32 Derivada das funes elementares............................................................................................33 Derivada da funo exponencial............................................................................................... 33 Derivada da funo logartmica................................................................................................. 34 Derivada das funes trigonomtricas......................................................................................34 Derivada das funes trigonomtricas inversas........................................................................ 37 Tabela de derivadas..................................................................................................................39 Derivadas sucessivas................................................................................................................40 Derivada na forma implcita.....................................................................................................42 Derivada de uma funo na forma paramtrica........................................................................47 Diferencial................................................................................................................................51 Aplicaes da derivada...........................................................................................................53 A regra de LHospital...............................................................................................................53 Interpretao cinemtica da derivada.......................................................................................55 Taxa de variao.......................................................................................................................58 Anlise grfica das funes......................................................................................................61 Mximos e mnimos...........................................................................................................61 Funes crescentes e decrescentes.....................................................................................63 Critrios para determinar os extremos de uma funo........................................................65 Concavidade e inflexo.......................................................................................................67 Assntotas horizontais e verticais........................................................................................69 Esboo grfico.....................................................................................................................72 Problemas de otimizao.........................................................................................................77 lvaro Fernandes3 Limite e continuidade Noo Intuitiva de limite Considereafuno() f x x = 21.Estafunoestdefinidaparatodox ,isto, qualquer que seja o nmero real c, o valor( ) c f est bem definido. Exemplo 1. Sex = 2 ento() f 2 2 1 32= = . Dizemos que a imagem dex = 2 o valor( ) 3 2 f = . Graficamente: Considereagoraumaoutrafuno() gxxx=211.Estafunoestdefinida { } x 1 . Isto significa que no podemos estabelecer uma imagem quando x assume o valor 1. ( ) ???001 11 11 g2== 00simbolizaumaindeterminaomatemtica.Outrostiposdeindeterminaesmatemticas sero tratados mais adiante. Qualocomportamentogrficodafunogquandoxassumevaloresmuitoprximosde1,porm diferentes de 1? A princpio o estudo do limite visa estabelecer o comportamento de uma funonuma vizinhana de um ponto (que pode ou no pertencer ao seu domnio). No caso da funo f, qualquer valor atribudo a x determina uma nica imagem, sem problema algum. Mas na funo g, existe o ponto1 x =que gera a indeterminao. Estudemososvaloresdafuno() gxxx=211quandoxassumevaloresprximos (numa vizinhana) de 1, mas diferente de 1. Para isto vamos utilizar tabelas de aproximaes. lvaro Fernandes4Tabelas de aproximaes Astabelasdeaproximaessoutilizadasparaaproximarovalordaimagemdeuma funo (se existir) quando a varivel x se aproxima de um determinado ponto. Atribuindo a x valores prximos de 1, porm menores do que 1: (tabela A) x00,50,750,90,990,9990,9999 g(x)11,51,751,91,991,9991,9999 Atribuindo a x valores prximos de 1, porm maiores do que 1:(tabela B) x21,51,251,11,011,0011,0001 g(x)32,52,252,12,012,0012,0001 Observemosquepodemostornarg(x)toprximode2quantodesejarmos,bastando para isso tomarmos x suficientemente prximo de 1. De outra forma, dizemos: O limite da funo g(x) quando x se aproxima de (tende a) 1 igual a 2. Simbolicamente escrevemos:() limx gx=12oulimx xx=12112 . Observaes: 1) Os dois tipos de aproximaes que vemos nas tabelas A e B so chamados de limites laterais. Quandoxtendea1porvaloresmenoresdoque1(tabelaA),dizemosquextendea1pela esquerda, e denotamos simbolicamente porx 1 . Temos ento que: () limx gx =12oulimx xx =12112 Quandoxtendea1porvaloresmaioresdoque1(tabelaB),dizemosquextendea1pela direita, e denotamos simbolicamente porx +1 . Temos ento que: () limx gx +=12oulimx xx +=12112 2) Se a funo g se aproximasse de valores distintos medida que x se aproximasse lateralmente de 1, pela esquerda e pela direita, ento diramos que o limite da funo g no existiria neste ponto, simbolicamente() limx gx1. 3)Olimitedafunog(x)quandoxseaproximade1,somenteexisteseoslimiteslateraisso iguais. Simbolicamente: () limx gx=12 se, e somente se,() () lim limx xgxgx += =1 12 . Ser necessrio sempre construir tabelas de aproximaes para determinar o limite de uma funo, caso ele exista? No! H uma forma bem mais simples, como veremos a seguir. Obs: O sinal negativo no expoente do no1simbolizaapenasquexse aproxima do nmero 1 pela esquerda. Obs:Osinalpositivonoexpoente dono1simbolizaapenasquexse aproxima do nmero 1 pela direita. lvaro Fernandes5Clculo de uma indeterminao do tipo 00 Semprequenosdepararmoscomumaindeterminaodotipo 00,deveremossimplificar*a expressodafunoenvolvida.Logoaps,calculamosolimitedafunosubstituindo,na expresso j simplificada, o valor de x. *Parasimplificaraexpressovocdeveutilizarfatorao,racionalizao,dispositivoprticode Briot-Ruffini para dividir polinmios, etc... Vejamos os exemplos seguintes. Exemplo 2. Determine() limx gx1, onde() gxxx=211. Observe que( )001 g =que uma indeterminao matemtica!Quando a varivel x est cada vez mais prxima de 1, a funo g est cada vez mais prxima de quanto? Devemos ento simplificar a expresso da funo g e depois fazer a substituio direta. ( )( )( )( ) 1 x , 1 x1 x1 x 1 x1 x1 xx g2 + = + == Ento: ( )( )( )( ) 2 1 1 1 x lim1 x1 x 1 xlim1 x1 xlim x g lim1 x 1 x21 x 1 x= + = + = + == . Logo,limx xx=12112 . Chegamos mesma concluso da anlise feita pelas tabelas de aproximaes, porm de uma forma mais rpida e sistemtica. No mais utilizaremos as tabelas de aproximaes para casos semelhantes a este!! Vale lembrar que a expressolimx xx=12112significa que a funo() gxxx=211 est toprximade2assimcomoxestsuficientementeprximode1,pormdiferentede1. Graficamente podemos verificar isso: Grfico da funo() gxxxx = 2111 , . lvaro Fernandes6Exemplo3. Determine 1 x1 xlim21 x (observe a indeterminao matemtica 00). ( )( )( )( ) ( )( )411 x 1 x1lim1 x 1 x 1 x1 xlim1 x1 x1 x1 xlim1 x1 xlim1 x 1 x21 x21 x=+ +=+ + =++= . Sevocconstruirastabelasdeaproximaes,constatarqueg(x)estcadavezmaisprximode 1/4 a medida que x se aproxima de 1. Exemplo 4. Determine 12 x 38 xlim232 x (observe a indeterminao matemtica 00). ( )( )( )( )( )( )( )( )112122 x 34 x 2 xlim2 x 2 x 34 x 2 x 2 xlim4 x 32 xlim12 x 38 xlim22 x22 x23 32 x232 x= =+ + +=+ + + == Definio intuitiva de limite. Sejafuma funo definida num intervaloI contendo a, exceto possivelmente no prprioa.Dizemosqueolimitedef(x)quandoxseaproximadeaL ,eescrevemos () limx a f x L= ,se,esomentese, oslimiteslateraisesquerdaedireitadeaso iguaisL,isto,() () lim limx a x af xf x L += = .Casocontrrio,dizemosqueolimitenoexiste,emsmbolo () limx a f x. Proposio (unicidade do limite). Se( )1a xL x f lim =e( )2a xL x f lim =,ento 2 1L L = .Seolimitedeumafunonumpontoexiste, ento ele nico. Principais propriedades dos limites. Se( ) x f lima xe ( ) x g lima x existem, ekumnmero realqualquer,ento: a)( ) ( ) | | ( ) ( ) x g lim x f lim x g x f lima x a x a x = . b)( ) ( ) x f lim . k x f . k lima x a x = . c)( ) ( ) | | ( ) ( ) x g lim x f lim x g x f lima x a x a x = . d) ( )( )( )( )( ) 0 x g lim ,x g limx f limx gx flima xa xa xa x = . e)k k lima x=. lvaro Fernandes7Exemplo 5. Calcule 4 x 26 x 3lim22 x+ usando as propriedades. ( )( ) 4342232 x lim2 x lim232 x2 xlim232 x 22 x 3lim4 x 26 x 3lim2 x22 x22 x22 x22 x= =+ =+ =+=+ . Obteramos este resultado substituindo diretamente: ( ) 43864 46 124 2 26 2 . 34 x 26 x 3lim2 22 x= =+=+=+. Atividades (grupo 1). Calcule os limites abaixo: a) x 2x 4lim22 x+ b) 6 x x3 x 4 xlim223 x + c) 5 x 51 xlim31 x d) 232 xx 4x 8lim+ e) 342 xx 816 xlim f) 1 x1 xlim1 x g) x 2 xx 1lim21 x+ + h) 49 x3 x 2lim27 x i) x 5 1x 5 3lim4 x + Atividades (grupo 2). Calcule os limites indicados: a)() f xx xx x= + >21 01 0,, ,calcule:() () () lim , lim limx x xf xf xf x 1 2 0e . b)() gxx xx==223 2,, ,calcule:() limx gx2. c)() hxx xx x= >45 2 12,,< 1 ,calcule:() limx hx1. d)( ) < =< = > + = + +. 0 k ,0k0 k ,0k. 0 k ,0k0 k ,0kee Destatabelapodemosperceberque0k= .Seodenominadortendeaoinfinitocomo numerador constante, a razo se aproxima de zero. Como veremos agora. Limites no infinito Estamosinteressadosagoraemestabelecerocomportamentodeumafunoquandoavarivelx cresce indefinidamente ( + x ) ou quando ela decresce indefinidamente ( x ). Em algumas situaes,afunoseaproximadeumvalornumrico(figura1),noutrospodetambmcrescer indefinidamente (figura 2) ou decrecer indefinidamente (figura 3). Figura 1Figura 2Figura 3 Exemplo 8. Nafigura1:1 1 0 1x1limx= + = |.|

\|++ ,nafigura2:( ) + = ++ 1 x limxenafigura3: ( ) = + + 4 x lim2x. A tabela abaixo apresenta situaes de soma e produto de infinitos que usaremos com freqencia. ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )= = + = + = ?mese *k , ento ( )( )( )( ) = = + < = > = kk0 k , k0 k , ksesem. indeterminao! lvaro Fernandes10Vale ressaltar ainda que, se n um natural no nulo, ento: + =+ nxx lim e += mpar.par. n ,n ,x limnx Atividades (grupo 3). Calcule os limites: a) 2 xxlim22 x b) ( )23 x3 x4 x 2limc) ( )23 x3 x7 x 2limd)6 x 2x 35lim32x+ + Atividades (grupo 4).Calcule os limites: a) 5 xx 3lim5 x+b) 6 x xx 3lim22 x + c) 10 x 210 xlim25 x+ d) 2 x x2 xlim21 x ++ Expresses indeterminadas Vimos que 00 uma expresso de indeterminao matemtica. Tambm so: 0 00 , 1 , 0 , , e . Vamos analisar os quatro primeiros casos. Os outros sero tratados em captulos posteriores. A indeterminao do tipo . Exemplo 9. Calcule os limites abaixo: a) 3 x 51 xlim23x+++ b) x x1 xlim42x+++ c) x xx 1lim22x+++ Podemosobservarqueestasexpressesgeramindeterminaesdotipo ,poisquando+ x as expresses do numerador e denominador tambm tendem a + . No podemos afirmar, a priori, o valor delas. Vejamos: a) ( )( )+ = +=++ +=|.|

\| +|.|

\| +=|.|

\| +|.|

\| +=|.|

\| +|.|

\| +=+++ + + + + 5 0 1 50 1x 531 5 limx11 x limx 531 5x11 xlimx 531 x 5x11 xlim3 x 51 xlim2x3x23x2233x23x b) ( )( )010 10 1x11 x limx11 limx11 xx11limx11 xx11 xlimx x1 xlim3x2x322x3422x42x= +=+ ++=|.|

\| +|.|

\| +=|.|

\| +|.|

\| +=|.|

\| +|.|

\| +=+++ + + + + 2 . lvaro Fernandes11c) ( )( )20 10 136x 311 limx 611 lim36x 311 3x 611 6limx 311 x 3x 611 x 6limx x 31 x 6limx2x2x222x22x=++ =|.|

\| +|.|

\| + =|.|

\| +|.|

\| +=|.|

\| +|.|

\| +=+++ + + + + . Observamos que nas trs situaes analisadas as indeterminaes do tipo produziram respostas distintas(comoeraesperado,porissoqueindeterminao!)Vocdeveternotadoquepara resolverindeterminaesdestetipoaidiacolocarotermodemaiorgrauemevidnciano numerador e no denominador. Atividades (grupo 5). 1. Calcule os limites abaixo: a) 1 x x 51 x 2lim33x+ ++ b) 1 x 2x 3 xlim2 5x+++ c) 43 2xx 3 x 5x 2 xlim ++ d) 22xx 5 1xlim A indeterminao do tipo - Exemplo 10. Calcule os limites abaixo: a) 3xx x lim + 2.b)x x 5 lim2x+ . Podemosobservarqueestasexpressesgeramindeterminaesdotipo-,masnopodemos afirmar, a priori, o valor delas. Vejamos: Usando a mesma tcnica da indeterminao anterior... a)( ) ( ) = = + = |.|

\|+ = + + 1 1 0 1x1x lim x x lim3x3x2. b)( ) ( ) + = + = + + + = |.|

\|+ + = + + 1 0 1 0x 571x 51x 5 lim 7 x 5 x lim22x2x. Atividades (grupo 6). 1. Calcule os limites abaixo: a)x 2 x x lim3x+ + 5.b)6 x 5 x limx + 4. A indeterminao do tipo 0 Exemplo 11. Calcule os limites abaixo: a)( ) 1 xx2lim23x++ .b)( ) xx3limx + . lvaro Fernandes12Podemosobservarqueestasexpressesgeramindeterminaesdotipo0,masnopodemos afirmar, a priori, o valor delas. Vejamos: a)( ) =+= ++ + 32x23xx2 x 2lim 1 xx2lim ... Transformamos a indeterminao 0 em . Da voc j sabe! ... 0 ...x2 x 2lim32x= =+=+ . b)( ) = =+ + xx 3lim xx3limx x...Novamentetransformamosaindeterminaopara.Usandoa tcnica da racionalizao: ... ( ) + = + = = = = =+ + + + 3 x 3 limx x x 3limxxxx 3limxx 3limx x x x. Atividades (grupo 7). 1. Calcule os limites abaixo: a)( ) 3 xx1lim2x++ . b)( ) 25 x5 x-2lim25 x |.|

\|+. Limite fundamental exponencial (a indeterminao do tipo 1) O nmero e tem grande importncia em diversos ramos das cincias, pois est presente em vrios fenmenos naturais, por exemplo: Crescimento populacional, crescimento de populaes debactrias,desintegraoradioativa(dataoporcarbono),circuitoseltricos,etc.Nareade economia, aplicado no clculo de juros. Foi o Matemtico Ingls Jonh Napier (1550-1617) o responsvel pelo desenvolvimento da teoria logartmica utilizando o nmero e como base. O nmero e irracional, ou seja, no pode ser escrito sob forma de frao, e vale aproximadamente: e 2,7182818 Como o nmero e encontrado em diversos fenmenos naturais, a funo exponencial ( )xe x f = consideradaumadasfunesmaisimportantesdamatemtica,merecendoateno especial de cientistas de diferentes reas do conhecimento humano. Proposio:ex11 limxx=|.|

\| + . Aprovadestaproposioenvolvenoesdesries.Utilizaremosorecursodastabelasde aproximaes e grfico para visualizar este resultado. lvaro Fernandes13Tabela x ( )xx11 x f|.|

\| + =1002,7048.. 10002,7169.. 100.0002,7182.. M Mx + f(x) e Faa uma tabela para x - . Grfico: Exemplo 12. Calcule os limites abaixo: a) x 5xx11 lim|.|

\| ++ .b) x 4xx31 lim|.|

\| . Nestes dois casos percebemos indeterminaes do tipo 1 .Vejamos as solues... a) 55xx5xxx 5xex11 limx11 limx11 lim =

|.|

\| + =

|.|

\| + = |.|

\| ++ + + . b) Neste caso, usaremos uma mudana de varivel... Faat 3 x = .Se xento+ t . Logo,( )1212ttt 12tt 3 4tx 4xet11 limt11 limt 331 limx31 lim+ + + =

|.|

\| + = |.|

\| + = |.|

\| = |.|

\| . Atividades (grupo 8). 1. Calcule os limites abaixo: a) x 2x x71 lim |.|

\| ++ .b) x 5xx21 lim |.|

\| .c) x 2x1 x1 xlim |.|

\|++ . lvaro Fernandes14Conseqncias importantes do limite fundamental exponencial: i)( ) e x 1 limx 10 x= +. ii)( ) 1 a 0 a , a lnx1 alimx0 x > = e . Atividades (grupo 9). Resolva os dois limites acima com as sugestes a seguir: No item (i) faa a mudana de varivel t1x =e use o limite fundamental exponencial. No item (ii) faa a mudana de varivelt 1 ax= e use o item (i). Atividades (grupo 10). 1. Resolva os limites abaixo: a)( )x 10 xx 2 1 lim +. b) x1 3limx0 x.c) x 41 elimx0 x.d) x2 elimx x0 x. Limite fundamental trigonomtrico O limite fundamental trigonomtrico trata de um limite cuja indeterminao do tipo 00 envolvendoafunotrigonomtrica( ) x sen y = .Estelimitemuitoimportante,poiscomele resolveremos outros problemas. Proposio: ( )1x x senlim0 x=. A funo ( )( )x x senx f = par, isto ,( ) ( ) x f x f = ,0 x ,pois ( )( ) ( ) ( )( ) x fx x senx x senx x senx f = === . Se +0 xou 0 x , ( ) x fapresenta o mesmo valor numrico. Vamos utilizar a tabela de aproximao para verificar este resultado. Tabela x ( )( )x x senx f = 0,10.9983341664683.. 0,010.9999833334167.. 0,0010,9999998333333.. 0,00010,9999999983333.. 0,000010,9999999999833.. 10-100,9999999999999.. M M0 x ( ) 1 x f lvaro Fernandes15Visualizando o grfico da funo( )( )x x senx f = , podemos perceber tambm este resultado... Exemplo 13. Calcule os limites abaixo: a) ( )xx 2 senlim0 x .b) ( )( ) x 3 senx 5 senlim0 x .c) ( )x1 x coslim0 x.d) ( )xx tglim0 x . Solues: a) ( ) ( ) ( ) = = = x 2x 2 senlim 2x 2x 2 senlimxx 2 senlim0 x 0 x 0 x2... Faat x 2 = . Se0 x ento0 t . Logo: ... ( )( ) 2 1 2tt senlim 20 t= = =. De uma forma geral, *k ,( )1kxkx senlim0 x=. Vamos usar este resultado agora: b) ( )( )( )( )( )( )351135x 3x 3 senlimx 5x 5 senlim35x 3x 3x 3 senx 5x 5x 5 senlimx 3 senx 5 senlim0 x0 x0 x 0 x= = == . c) ( ) ( ) ( )( )( )( ) | |( )( ) | | =+=+=++= 1 x cos xx senlim1 x cos x1 x coslim1 x cos1 x cosx1 x coslimx1 x coslim20 x20 x 0 x 0 x ( ) ( )( )01 1011 x cosx senx x senlim0 x= |.|

\|+=+ =. d) ( ) ( )( )( )( )( )( )1111x cos1limx x senlimx cos1x x senlimx cos xx senlimxx tglim0 x 0 x 0 x 0 x 0 x=|.|

\|= = = = . Atividades (grupo 11). 1. Resolva os limites abaixo usando o limite trigonomtrico fundamental: a) ( )x 3x 4 senlim0 x .b) ( )20 xxx cos 1lim. c) ( )x 32 x sen 6 e 2limx0 x +. d) ( )( ) x sen 3 x 2x sen x 6lim0 x+. lvaro Fernandes16Funes limitadas Definio:Umafuno( ) x f y = chamadalimitada,seexisteumaconstante *k ,talque ( ) () f D x , k x f ,isto,( ) () f D x , k x f k .Emoutraspalavras,( ) x f y = possuio conjunto imagem contido num intervalo de extremos reais. Obs.:() f Dsignifica o domnio da funo f. Exemplo 14.Algumas funes limitadas e seus grficos. f(x) = sen(x)eg(x) = cos(x)f(x) = kf(x) = sen(2x2+3x-1) Proposio:Se( ) ( ) x g 0 x f limxa xe ou= uma funo limitada, ento( )( ) 0 x g . x f limxa x= ou. Exemplo 15. a) Calcule ( )x x senlimx + . Soluo: ( ) =+ x x senlimx( ) = + x senx1limx *0 = *Usandoaproposio:Se+ x ento0x1 .Comoafuno( ) x sen limitada,entoo resultado zero. Grfico da funo( )( )x x senx f = : Observequeasoscilaesvoreduzindoasuaamplitudequando+ x .Oresultadodolimite permanece o mesmo se x . lvaro Fernandes17b) Calcule ( )x x coslimx + . Soluo: de forma anloga... ( ) =+ x x coslimx( ) 0 x cosx1limx= + . Grfico da funo( )( )x x cosx f = : Observe que, da mesma forma que a funo anterior, as oscilaes vo reduzindo a sua amplitude quando+ x . O resultado do limite permanece o mesmo se x . c) Calcule( ) x cos1 x1 xlim2x |.|

\|+++ . 01 x1 xlim2x= |.|

\|+++ (Por qu?)e ( ) x cos uma funo limitada. Logo,( ) 0 x cos1 x1 xlim2x= |.|

\|+++ . Grfico da funo( ) ( ) x cos1 x1 xx f2|.|

\|++= : Atividades (grupo 12). 1. Resolva os limites abaixo usando o conceito de funo limitada: a)( ) x sen e limxx . b) ( )xxx22 x cos 3lim++ . lvaro Fernandes18Continuidade Definio:Seja0x umpontodo domnio de uma funof.Dizemos quef contnua no ponto 0xse: ( ) ( )0x xx f x f lim0=. Exemplo16.Afunodoexemplo1(pg.3)contnuanoponto2 x0 = ,pois ( ) ( ) 3 2 f x f lim2 x= =.Naverdadeestafunocontnuaem,isto,emtodosospontosdareta (do seu domnio). Exemplo 17.Algumas funes que no so contnuas no ponto 0x : a) b) c) Pois... a) no existe( ) x f lim0x x, apesar de( )0x fexistir, neste caso( ) L x f0 = ; b)existe( ) x f lim0x x,isto( )1x xL x f lim0=.Existe( )0x f ,nestecaso( )2 0L x f = ,mas ( ) ( )0x xx f x f lim0; c) no existe( ) x f lim0x x, apesar de( )0x fexistir, neste caso( ) L x f0 = . Exemplo 18.Verifique se as funes abaixo so contnuas nos pontos indicados: a)( ) 4 x ,4 x , 4 x 24 x ,x 2 816 xx f02== = . b)( ) 1 x ,1 x , x 5 11 x ,x 12 x 21 x ,1 x x 1x g022== = . Solues:a)Calculando o limite, temos: ( )( )( )( )42 4 xlimx 4 24 x 4 xlimx 2 816 xlim4 x 4 x24 x =+ = + = . Calculandoaimagem,temos:( ) ( ) 4 4 4 2 4 f = = .Como( ) ( ) 4 f x f lim4 x,entoafunono contnua (ou descontnua) no ponto4 x0 = . lvaro Fernandes19b) Calculando o limite, temos: ( )( ) ( )( )( )( )( ) 4 1 x x 1 lim1 x1 x x 1 x 1lim1 x1 x1 xx 1 x 1lim1 x x 1lim1 x 1 x 1 x21 x = + + =+ + =++ + =+ + + + ( ) ( )( )( ) ( ) 4 2 2 1 x lim 2x 11 x 1 xlim 2x 11 x 2limx 12 x 2lim1 x 1 x21 x21 x = = + = + == Como os limites laterais so iguais, temos que ( ) 4 x g lim1 x =. Calculando a imagem, temos:( ) ( ) 4 1 5 1 1 g = = . Como( ) ( ) 1 g x g lim1 x=, ento a funo contnua no ponto1 x0 = . Atividades (grupo 13). Determine, se possvel, a constante ade modo que as funes abaixo sejam contnuas no ponto ox , sendo: a)( ) ( ) 1 x1 x , 2 x1 x , 2 ax 3x fo2= < += . b)( ) ( ) 1 x1 x , a1 x , 2 axx go22== += . Atividades (grupo 14). Determine, se possvel, as constantes b a ede modo que as funes abaixo sejam contnuas no ponto ox , sendo: c)( ) ( ) 3 x3 x , 1 bx3 x , ax3 x , 3 x 3x fo2 = < + = > = .d)( )( )( ) 0 x0 x , x 2 b0 x , a 3 x 70 x , 1 x cos . a 2x go2=> = < + + = . Propriedades das funes contnuas. Se as funesfeg so contnuas em um ponto 0x , ento: i)fg contnua em 0x ; ii)f.g contnua em 0x ; iii)f/g contnua em 0xdesde que( ) 0 x g0 . lvaro Fernandes201. Problema da rea sob o arco da parbola2x y =no intervalo| | 1 , 0 (Figura 1). Mtodo dos retngulos. Figura 1. Dividindo o intervalo| | 1 , 0 emnsubintervalos, cada subintervalo ter comprimenton 1 : 1o subintervalo

n1, 0, 2o subintervalo

n2,n1 , 3o subintervalo

n3,n2 , ... ,no subintervalo

nn,n 1 n .Obs.: 1nn= . Vamosconstruirretngulos(Figura2)cujasbasessoaosubintervalosecujasalturassoas imagens dos extremos direito* de cada subintervalo pela funo2x y = : * a altura pode ser calculada sobre qualquer ponto do subintervalo, neste caso foi tomado o extremo direito. Figura 2.Figura 3. Calculando as rea desses retngulo ( h . b A = ), obtemos: 221n1n1A = , 222n2n1A = , 223n3n1A = ,... , 22nnnn1A = . Areatotaldessesretngulos(ntA )nosdumaaproximaodarea(Figura1)quequeremos calcular: =||.|

\| + + + +=||.|

\|+ + + + = ==22 2 2 222222222 n1 ii tnn 3 2 1n1nnn3n2n1n1A AnLLlvaro Fernandes21( )( ) ( )( )3 2n 61 n 2 1 n nn 61 n 2 1 n nn1 + += |.|

\| + += . Obs.: A soma 2 2 2 2n ... 3 2 1 + + + + conhecida pela frmula( )( ) | | 6 1 n 2 1 n n + + . Vejamos alguns resultados para alguns valores crescentes de n: n6 (Figura 3)101001.00010.000100.000 ntA0,4212960,3850000,3383500,3338340,3333830,333338 A rea exata que estamos procurando (Figura 1) calculada pelo limite: ( )( )3 , 031n 61 n 2 1 n nlim A lim3nTnn= =+ +=+ + . (Calcule este limite e mostre que igual a 1/3) 2. Problema do circuito RLem srie. No circuito da figura 4, temos uma associao em srie de um resistor (smbolo R) e um indutor(smboloL).DasegundaleideKirchhoff(leidasvoltagens)edoestudodasequaes diferenciais, pode-se mostrar que a correnteino circuito dada por ( )tLRe . cREt i|.|

\|+ =,(1) ondeE uma bateria de voltagem fixa, c uma constante real et o tempo. Figura 4. Unidade de resistncia: ohm. Unidade de indutncia: henry. Exerccio 1: Se uma bateria de 12 volts conectada a um circuito em srie (como na fig. 4) no qual o indutor de 1/2 henry e o resistor de 10 ohms, determine o valor da constantece acorrente ( ) t i . Considere a corrente inicial e o tempo inicial iguais a zero. Exerccio 2: Determine( ) t i limt

+ , sendo( ) t i da equao (1). Obs.:Quando+ t otermo tLRe . c|.|

\|daequao(1)seaproximadezero.Taltermo usualmente denominado de corrente transitria. A razoE/R chamada de corrente estacionria. Aps um longo perodo de tempo, a corrente no circuito governada praticamente pela lei de Ohm Ri E = . lvaro Fernandes22 Derivada A reta tangente. Suponha que a reta r da figura v se aproximando da circunferncia at toc-la num nico ponto. Na situao da figura 4, dizemos que a reta r tangente a circunferncia no ponto P. Exemplos de retas tangentes (no ponto P) a algumas curvas: Fig. 5Fig. 6Fig. 7 Na figura 7, apesar da reta tocar a curva em dois pontos, ela tangencia a curva em P, como na figura 4. Estas retas tocam suavemente as curvas nos pontos P indicados. Exemplos de retas que no so tangentes (no ponto Q) a algumas curvas: Fig. 8Fig. 9. Estasretasnotocamsuavementeascurvasnospontosindicadoscomonoexemploda circunferncia (fig. 4). Elas cortam , penetram as curvas. lvaro Fernandes23Vamosdeterminaraequaodaretatangenteaumafuno(umacurva)numpontodoseu domnio. Seja( ) x f y =uma curva definida no intervalo( ) b , a . Considere( )o oy , x P , sendo( )o ox f y = , um ponto fixo e( ) y , x Qum ponto mvel, ambos sobre o grfico def. Seja s a reta que passa pelos pontos P e Q. Seja t a reta tangente ao grfico defno ponto P. Considerando o tringulo retngulo PTQ, obtemos o coeficiente angular da retascomo ( )oox xy yxytg== . Suponha que o ponto Q mova-se sobre o grfico defem direo ao ponto P. Desta forma, a retasse aproximar da reta t. O ngulo se aproximar do ngulo , e ento, a( ) tgse aproximar da ( ) tg . Usando a notao de limites, fcil perceber que ( ) ( ) = tg tg limP Q. Mas quandoP Q temos que ox x . Desta forma, o limite acima fica ( ) ( )( ) ( )( ) == = tgx xx f x flimx xy ylim tg tg limoox xoox x P Qo o. Assim ( ) ( )( ) =tgx xx f x flimoox xo. oox x xy y y = = lvaro Fernandes24Definio:Seja( ) x f y = umacurvae( )o oy , x P umpontosobreoseugrfico.Ocoeficiente angular m da reta tangente ao grfico defno ponto P dado pelo limite ( ) ( )oox xx xx f x flim mo =, quando este existir. Equao da reta tangente Podemosagoradeterminaraequaodaretatangentet,poisjconhecemososeucoeficiente angular e um ponto do seu grfico( )o oy , x P . A equao da reta tangente t: a)( ) ( )o ox x m y y = , se o limite que determina m existir; b) A reta vertical ox x = se ( ) ( )oox xx xx f x flimo for infinito. Exemplo 19. Determine a equao tangente a parbola( )2x x f =no ponto de abscissa1 xo = . Soluo:Temos que determinar dois termos oy em. ( ) ( ) 1 1 1 f y x f y2o o o= = = = . ( ) ( ) ( ) ( )21 x1 xlim1 x1 f x flimx xx f x flim m21 x 1 xoox xo= ==== L . Logo a equao da reta tangente ( ) ( ) 1 x 2 1 y = ou 1 x 2 y = . ( )( )o ox f ytg m= = lvaro Fernandes25Equao da reta normal Definio: Seja( ) x f y =uma curva e( )o oy , x Pum ponto sobre o seu grfico. A reta normal (n) ao grfico defno ponto P a reta perpendicular a reta tangente (t). A equao da reta normal ( ) ( )o ox xm1y y = , sendo que ( ) ( )0x xx f x flim moox xo=. Se0 m = , ento a equao da reta normal a reta vertical ox x = . Se ( ) ( )oox xx xx f x flimo for infinito, ento a reta normal horizontal e tem equao oy y = . Atividades (grupo 15). Determineaequaodaretatangenteedaretanormalaogrficodasfunesabaixonospontos indicados. Esboce os grficos das funes com as retas. a)( )3x x f =no ponto de abscissa1 xo = . b)( ) x x f =no ponto de abscissa4 xo = . A derivada de uma funo num ponto O limite ( ) ( )oox xx xx f x flimo muito importante, por isso receber uma denominao especial. Definio:Seja( ) x f y = umafunoe ox umpontodoseudomnio.Chama-sederivadada funofno ponto oxe denota-se( )ox ' f (l-seflinha de ox ), o limite ( )( ) ( )oox xox xx f x flim x ' fo =, quando este existir. Forma alternativa para derivada: Se fizermos ox x x = , obtemos a seguinte forma para( )ox ' f : ( )( ) ( )xx f x x flim x ' fo o0 xo += . lvaro Fernandes26Outras notaes para a derivada da funo( ) x f y =num ponto x qualquer: ( ) x ' y (l-se:y linha de x); f Dx(l-se:derivada da funofem relao x); dxdy(l-se: derivada deyem relao x). Exemplo 20. Dada a funo( ) 1 x x x f2+ = , determine( ) 2 ' f . Use as duas formas da definio. Usando( )( ) ( )oox xox xx f x flim x ' fo =: ( )( ) ( ) ( )( )( ) 3 1 x lim2 x1 x 2 xlim2 x2 x xlim2 x3 1 x xlim2 x2 f x flim 2 ' f2 x 2 x22 x22 x 2 x= + =+ = = + == . Usando( )( ) ( )xx f x x flim x ' fo o0 xo += : ( )( ) ( ) ( ) ( )= + += + + += += x2 x 2 x x 4 4limx3 1 x 2 x 2limx2 f x 2 flim 2 ' f20 x20 x 0 x ( )( ) 3 0 3 x 3 limxx 3 xlimxx x 3lim0 x 0 x20 x= + = + = + = + = . Teorema:Toda funo derivvel num ponto contnua neste ponto. Atividades (grupo 16). 1. Determine a equao da reta tangente curva 2x 5 y = , que seja perpendicular retax 3 y + = . 2. Determine a equao da reta normal curva 3x y = , que seja paralela reta0 x y 3 = + . Derivadas laterais Lembre-se que o limite de uma funo num ponto somente existe se os limites laterais existemesoiguais.Comoaderivadadeumafunonumpontoumlimite,estaderivada somente existir em condies anlogas. Definio: Seja( ) x f y =uma funo e oxum ponto do seu domnio. A derivada direita de f em ox , denotada por( )ox ' f+ definida por ( ) =+ ox ' f( ) ( )oox xx xx f x flimo +. lvaro Fernandes27Definio: Seja( ) x f y =uma funo e oxum ponto do seu domnio. A derivada esquerda de f em ox , denotada por( )ox ' f definida por ( ) = ox ' f( ) ( )oox xx xx f x flimo . Umafunoderivvelnumpontoquandoasderivadaslaterais(adireitaeaesquerda) existem e so iguais neste ponto. Exemplo21.Considereafuno( ) 1 x x f + = .Mostrequeestafunocontnuanoponto 1 x =mas no derivvel neste ponto. f contnua neste ponto pois( ) ( ) 1 f 0 0 1 1 1 x lim x f lim1 x 1 x = = = + = + = . Sabemos que( ) = < > += + =1 x , 01 x , 1 x1 x , 1 x1 x x f .Vamos calcular( ) 1 ' f : ( ) = +1 ' f( ) ( )( ) 1 1 lim1 x1 xlim1 x0 1 xlim1 x1 f x flim1 x 1 x 1 x 1 x= =++=+ +=+ + + + + . ( ) = 1 ' f( ) ( ) ( )( ) 1 1 lim1 x1 xlim1 x0 1 xlim1 x1 f x flim1 x 1 x 1 x 1 x = =++ =+ =+ . Como as derivadas laterais so distintas conclumos que no existe( ) 1 ' f . Veja o grfico da funo( ) 1 x x f + = . Obs.: Quando as derivadas laterais existem e so diferentes num ponto, dizemos que este um ponto anguloso do grfico da funo. Neste caso, no existe reta tangente num ponto anguloso. No exemplo acima a funo( ) 1 x x f + =tem um ponto anguloso em1 x = . Atividades(grupo17).Verifiqueseafunoabaixotemderivadanoponto ox .Esteponto anguloso?Esboce o grfico da funo e constate. a)( )> =0 x , e0 x , x 1x fx2

no ponto0 xo = . b)( )> + +=0 x , e0 x , 1 x xx gx2

no ponto0 xo = . No existe reta tangente ao grfico desta funo no ponto1 x0 = . lvaro Fernandes28Regras de derivao Vamos apresentar algumas regras que iro facilitar o clculo das derivadas das funes sem recorrer a definio. 1. Derivada de uma funo constante. Se( ) c x f = ,c uma constante real, ento( ) 0 x f'= . ( )( ) ( )0 0 limxc climxx f x x flim x f0 x 0 x 0 x'= == += . 2. Derivada da funo potncia. Se n um inteiro positivo e( )nx x f = , ento( )1 n 'nx x f= . Prova:( )( ) ( ) ( )xx x xlimxx f x x flim x fn n0 x 0 x' += += Usando o Binmio de Newton para expandir( )nx x + , obtemos ( ) = x f'( )( ) ( ) ( )=

+ + + + + xx x x nx ... x x! 21 n nx nx xlimn n 1 n 2 2 n 1 n n0 x ( )( ) ( ) ( )=

+ + + + = xx x nx ... x x! 21 n nnx xlim1 n 2 n 2 n 1 n0 x ( )( ) ( ) ( )1 n 1 n 2 n 2 n 1 n0 xnx x x nx ... x x! 21 n nnx lim =

+ + + + = . Exemplo 22.Calcule as derivadas das funes abaixo: a)( ) x x f =b)( )2x x f = c)( )5x x f = a)( ) ( ) 1 x 1 x ' f x x f1 1 1= = =. Logo( ) 1 x ' f = . b)( ) ( ) x 2 x 2 x ' f x x f1 2 2= = =. Logo( ) x 2 x ' f = . c)( ) ( )4 1 5 5x 5 x 5 x ' f x x f = = =. Logo( )4x 5 x ' f = . Obs.: Se nfor um nmero inteiro negativo ou racional o resultado contnua vlido. Atividades (grupo 18). 1. Mostre, usando a regra e a definio, que a derivada da funo( )1x x f= ( )2x x ' f = . 2. Mostre, usando a regra e a definio, que a derivada da funo( ) x x f = ( )x 21x ' f = . lvaro Fernandes29 3. Derivada do produto de uma constante por uma funo. Se( ) x f umafunoderivvelecumaconstantereal,entoafuno( ) ( ) x cf x g = tem derivada dada por( ) ( ) x ' cf x ' g = . Prova:( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | | = += += += xx f x x f climxx cf x x cflimxx g x x glim x g0 x 0 x 0 x ( ) ( )( ) x cfxx f x x flim c0 x= + = . Exemplo 23.Se( )3x 5 x f =ento( ) ( )2 2x 15 x 3 5 x ' f = = . 4. Derivada de uma soma de funes. Se( ) x f e( ) x g sofunoderivveis,entoafuno( ) ( ) ( ) x g x f x h + = temderivadadadapor ( ) ( ) ( ) x ' g x ' f x ' h + = . Pesquise a demonstrao deste resultado num livro de clculo. Exemplo 24.Se( ) 5 x x 3 x 4 x f2 3+ + =ento( ) 1 x 6 x 12 x ' f2 + = . 5. Derivada de um produto de funes. Se( ) x f e( ) x g sofunoderivveis,entoafuno( ) ( ) ( ) x g x f x h = temderivadadadapor ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x ' g x f x g x ' f x ' h + = . Pesquise a demonstrao deste resultado num livro de clculo. Exemplo 25. Se( ) ( )( ) x 2 x x x f3 =ento( ) ( )( ) ( )( ) 2 x 2 x 6 x 4 1 0 x x x 2 1 x 3 x ' f2 3 3 2 + + = + = . 6. Derivada de um quociente de funes. Se( ) x f e( ) x g sofunoderivveis,entoafuno( )( )( ) x gx fx h = temderivadadadapor ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) | |2x gx ' g x f x g x ' fx ' h = . Pesquise a demonstrao deste resultado num livro de clculo. Exemplo 26.Se( )x 28 x 5x f2=ento( )( ) ( ) ( ) ( )2222x 28 x 5...x 42 8 x 5 x 2 x 10x ' f+= = = . lvaro Fernandes30Atividades (grupo 19). 1. Usando as regras de derivao, calcule as derivadas das funes abaixo: a)( ) 1 x 3 x x f2+ + =.b)( ) ( ) ( ) 3 x x x f8+ = .c)( ) ( )( ) x 6 x x 3 x f4 + = . d)( ) ( )3 2x 2 3 x x f = .e)( )3x23 x 5x f += .f)( ) ( ) x 2 x x f4 1 = . g)( ) 6 x1 xxx f2+ ++=. h)( )2x x 2x f= . i)( ) ( )2 4 3x 1 x x f = . 2.Determineosvaloresdasconstantesaebnaparbola( ) b ax x f2+ = demodoquearetade equao4 x 8 y + =sejatangente a parbola no ponto2 x = . Derivada da funo composta (Regra da cadeia) Atomomentosabemosderivarafuno( )3x x g = etambmafuno( ) 1 x 2 x f + = . Considereagoraafunocomposta( ) ( ) ( ) ( )31 x 2 x f g x gof + = = .Comopoderemosobteraderivada dafunocomposta( ) x gof semdesenvolveroBinmio?Aregraqueveremosagoraestabeleceuma forma de obter a derivada da funo composta em termos das funes elementaresfeg. Regra da cadeia Se( ) u g y = ,( ) x f u = easderivadas dudye dxduexistem,entoafunocomposta ( ) ( ) ( ) x f g x gof y = =tem derivada dada por dxdududydxdy =ou( ) ( ) ( ) x u u y x y = ou ( ) ( ) ( ) ( ) x f x f g x gof = . As trs formas acima so equivalentes, mudam apenas as notaes. Exemplo 27.Calcule a derivada das funes abaixo: a)( )31 x 2 y + = b)3 x 5 y + = c) 5x 3 1xy |.|

\|= Paracalcularaderivadadessasfunes,precisamosidentificarasfuneselementares( ) u g y = e ( ) x f u =(cujas derivadas conhecemos) que formam a funo composta e aplicar a regra. a)( )31 x 2 y + = + ==1 x 2 uu y3

Ento( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 x 2 6 2 1 x 2 3 2 u 3 x y x u u y x y + = + = = = . Logo( ) ( )21 x 2 6 x y + = . lvaro Fernandes31b)3 x 5 y + = + ==3 x 5 uu y

Ento( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 x 5 255u 21x y x u u y x y+= = = .Logo( )3 x 5 25x y+= . c) 5x 3 1xy |.|

\|= ==x 3 1xuu y5

Ento( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( )=

= =24x 3 13 x x 3 1 1u 5 x y x u u y x y ( )( ) ( )( )( ) ( )6424x 3 1x 5x 3 13 x x 3 1 1x 3 1x5=

|.|

\|= . Logo( )( )64x 3 1x 5x y= . Proposio: Se( ) x f uma funo derivvel e n um nmero inteiro no nulo, ento ( ) | | ( ) | | ( ) x f . x f n x fdxd1 n n = Prova: Fazendo nu y = , onde( ) x f u =e aplicando a regra da cadeia, temos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | | ( ) x f x f n x y x f nu x y x u u y x y1 n 1 n = = = . A proposio continua vlida se n for um nmero racional no nulo. Exemplo 28.Calcule a derivada da funo 3 3x x 1 4 y + = . Podemos escrever( )3 13x x 1 4 y + =e calcular a derivada usando a proposio acima: ( ) ( ) ( )23 23x 3 1 x x 1314 x y + =. Obs:Comaregradaproposioacimapoderamoscalculartodososexercciosdoexemplo27. Masaregradacadeiamaiscompleta,elapossibilitararesoluodeoutrosproblemasmais complicados... lvaro Fernandes32Atividades (grupo 20). Calcule a derivada das funes abaixo: a)( )63x 2 y = .b)( )342 x y = . c)3 x 2 y = . d) ( )( ) x 5 1x 3 1y2+= .e) ( )( )34x 1x 2y= f) 1 xx 4 1y3++= Derivada da funo inversa Seumafuno( ) x f y = admiteumafunoinversa( ) y f x1 = ,entoafunoinversatem derivada dada por ( ) ( )( ) x f 1y f1=, ( ) 0 x f . Sabemos que( ) x x of f1=. Aplicando a regra da cadeia, obtemos que( ) ( ) ( ) ( ) 1 x f x f f1= , da ( ) ( )( ) x f 1y f1=, desde que( ) 0 x f . Exemplo 29.Seja( )3x 5 x f y = = . Calcule a derivada( ) ( ) 40 f1 invertendo a funo e usando a regra da derivada da inversa. Invertendo a funo: ( ) ( )3 131 35y5yy f x x 5 x f y |.|

\|= = = = =.Assim( ) ( )515y31y f3 21 |.|

\|= Logo( ) ( ) ( )( )6018 15 18151515403140 f3 23 23 21= = = |.|

\|=. Usando a regra da derivada da inversa: Se 40 y = e ( )3x 5 x f y = =, ento2 8540x33= = = .Como( )2x 15 x f = , obtemos ( ) ( )( )( ) ( )( )( )6012 1512 f 140 fx f 1y f21 1= = = = . lvaro Fernandes33Atividades (grupo 21). 1. Seja( ) 3 x 5 x f y = = . Calcule a derivada( ) ( ) 2 f1 usando a regra da derivada da inversa. 2. Seja( ) 0 x , x x f y2> = =. Calcule a derivada( ) ( ) 3 f1 usando a regra da derivada da inversa. Derivada das funes elementares. Vamosagoraapresentarasderivadasdasfuneselementaresdoclculo.Soelasasfunes exponenciais, logartmicas, trigonomtricas e trigonomtricas inversas. 1. Derivada da funo exponencial. Proposio: Se( ) ( ) 1ea 0 a , a x fx > =, ento( ) ( ) a ln a x fx= . Prova:( )( ) ( )( ) a ln ax 1 alim a limx1 a alimxa alim x fxx0 xx0 xx x0 xx x x0 x= = == + . Lembre-seque ( )( ) a lnx 1 alimx0 x= umaconseqnciaimportantedolimitefundamental exponencial (item ii pg. 14). Caso particular: Se( )xe x f = , ento( ) ( )x xe e ln e x f = = , ondee o nmero neperiano. Exemplo 30.Determine a deriva da funo xe 6 y = . Usando a regra da cadeia, obtemos: ( ) ( ) ( )xe 3x 21e 6 x u u y x yx ue 6 yxuu= = ===. Atividades (grupo 22). 1. Calcule a derivada das funes abaixo: a)( )1 x2 x f+= . b)( )x 2e x f = . c)( )1 x 5 2e x 3 x f+ = . d)( )2x2ex 1x f= . 2.Calculeareadotringuloretngulosombreadonafiguraabaixo,sabendo-sequenareta normal a( )xe x f = no ponto de abscissa1 =0x . Resp.:2 e3 lvaro Fernandes342. Derivada da funo logartmica. Proposio: Se( ) ( ) ( ) 1ea 0 a , x log x fa > =, ento( )( ) a ln x1x f = . Prova:Afunologartmica( ) ( ) x log x f ya= = ainversadafunoexponencial ( )y 1a y f x = =.Podemosentousaroresultadodaderivadadafunoinversaparadeterminar ( ) x f . Assim: ( )( ) ( ) ( ) ( ) a ln x1a ln a1y f1x fy 1= = = . Caso particular: Se( ) ( ) x ln x f = , ento( )( ) x1e ln x1x f = = . Exemplo 31.Determine a deriva da funo ( ) x lney1 x 4 += . Usandoaregradaderivadadoquociente 2g fg g fgf =||.|

\|earegradacadeianafuno exponencial, obtemos: ( ) ( ) | | ( )( ) | |21 x 4 1 x 4x lnx1e x ln 4 e y|.|

\| =+ + Atividades (grupo 23). 1. Calcule a derivada das funes abaixo: a)( ) ( ) x 5 log 4 x f2= .b)( ) ( ) 1 x 2 ln x f + = .c)( ) ( ) x ln e x fx 3 = . d)( )( )x 2ex 3 lnx f= . 3. Derivada das funes trigonomtricas. Proposio: a)( ) x sen y = ( ) x cos y = . b)( ) x cos y = ( ) x sen y = . c)( ) x tg y = ( ) x sec y2= . d)( ) x g cot y = ( ) x ec cos y2 = . e)( ) x sec y = ( ) ( ) x tg x sec y = . f)( ) x ec cos y = ( ) ( ) x g cot x ec cos y = . Prova:Vamosprovarositens(a),(c)e(e).Osoutrositenstmdemonstraesanlogaseficam como exerccio. lvaro Fernandes35a)( ) x sen y = .Aplicando a definio... ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + = += xx sen x cos x sen x cos x senlimxx sen x x senlim y0 x 0 x ( ) ( ) ( ) ( ) | | ( ) ( ) ( ) ( ) | | = += + = x1 x cos x senlimxx cos x senlimx1 x cos x sen x cos x senlim0 x 0 x 0 x ( )( )( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x cos 0 x sen 1 x cosx1 x coslim x senx x senlim x cos0 x 0 x= + = + = . Lembre-se que ( )1x x senlim0 x= o limite trigonomtrico fundamentale( )0x1 x coslim0 x= foi resolvido no exemplo 13 (c) da pg. 15. c)( ) x tg y = Como( )( )( ) x cos x senx tg = ejsabemosaderivadafuno( ) x sen ,podemosaplicaraderivadado quociente: ( ) ( ) ( ) ( ) | |( )( ) ( )( ) ( )( ) x secx cos1x cosx sen x cosx cosx sen x sen x cos x cos y22 22 22= =+= = . Lembre-se que( ) ( ) 1 x sen x cos2 2= + a relao trigonomtrica fundamental. e)( ) x sec y = Como( )( ) x cos1x sec =e sabendo-se que a derivada da funo( ) x cos ( ) x sen , podemos aplicar a derivada do quociente: ( ) ( ) ( ) ( ) | |( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )( ) x tg x secx cos x senx cos1x cosx sen 1x cosx sen 1 x cos 0 y2 2= = = = . Exemplo 32.Calcule a derivada das funes compostas abaixo: a)( )2x 3 sen y = . b)( ) x cos y3= . c)( )x 5e x tg y = .d) ( )( ) x sec1 x tgy= . Solues: a)( )2x 3 sen y = Usando a regra da cadeia, obtemos: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )22x 3 cos x 6 x 6 u cos x u u y x yx 3 uu sen y= = ===. lvaro Fernandes36b)( ) x cos y3= Usando a regra da cadeia, obtemos: ( )( ) ( ) ( ) ( ) | | ( ) ( ) x cos x sen 3 x sen u 3 x u u y x yx cos uu y2 23 = = ===. c)( )x 5e x tg y = Usando a regra da derivada do produto( ) fg g f g f + = e a regra da cadeia, obtemos: ( ) ( ) ( ) 5 e x tg ex 21x sec yx 5 x 5 2 +||.|

\|= . d) ( )( ) x sec1 x tgy= Usando a regra da derivada do quociente 2g fg g fgf =||.|

\| e a regra da cadeia, obtemos: ( ) | | ( ) | | ( ) | | ( )( ) | |( ) x secx tg x sec 1 x tg x sec x sec y22 = . Mostre que esta expresso igual a ( )( ) x sec1 x tg y+= . Simplifique-a utilizando a relao trigonomtrica ( ) ( ) x sec x tg 12 2= +se necessrio. Atividades (grupo 24). 1. Calcule a derivada das funes abaixo: a)( ) ( )2x sec x 3 x f + = . d)( )( )( ) x g cot 1x senx f+= . b)( ) ( ) ( ) x 2 cos x sen x f = .e)( )|.|

\|+=1 x1 xec cos x f . c)( ) ( )3x tg x f = .f)( )||.|

\|=xecos x fx. lvaro Fernandes374. Derivada das funes trigonomtricas inversas Proposio: a)( ) x arcsen y = 2x 11 y= . b)( ) x arccos y = 2x 11 y= . c)( ) x arctg y = 2x 11 y+= . d)( ) x g cot arc y = 2x 11 y+= . e)( ) x sec arc y = 1 x ,1 x x1 y2>=. f)( ) x ec arccos y = 1 x ,1 x x1 y2>=. Prova:Vamosprovarositens(a),(c)e(e).Osoutrositenstmdemonstraesanlogaseficam como exerccio. a) Seja| | | | 2 , 2 1 , 1 : f definida por( ) ( ) x arcsen x f y = = . Esta funo tem como inversa afuno( ) ( ) y sen y f x1= =.Podemosentousaroresultadodaderivadadafunoinversapara determinar( ) x f . Assim: ( )( )( )( )2 21x 1 1y sen 11y cos1y f1x f== = =. Observeque| | 2 , 2 y .Nestecasoosinaldafuno( ) y cos positivo.Usandoarelao trigonomtrica fundamental( ) ( ) 1 y sen y cos2 2= + , obtemos( ) ( ) y sen 1 y cos2 = . c)Seja( ) 2 , 2 : f definidapor( ) ( ) x arctg x f y = = .Estafunotemcomoinversaa funo( ) ( ) y tg y f x1= =.Podemosentousaroresultadodaderivadadafunoinversapara determinar( ) x f . Assim: ( )( ) ( ) ( )2 2 2 1x 11y tg 11y sec1y f1x f+=+= = =. Lembre-se que( ) ( ) y tg 1 y sec2 2+ = . lvaro Fernandes38e) Seja( ) x sec arc y = . Podemos reescrever esta expresso como1 x ,x1arccos y > |.|

\|=. Usando o item (b) da proposioe a regra da cadeia, obtemos: 1 x x11 x xxx1 xx1x1 xx1x1 xx1x 1x111 y2 2 2 2222222222=====||.|

\| |.|

\|= . Obs.: lembre-se que 2x1x1 = |.|

\|. Exemplo 33.Calcule a derivada das funes abaixo: a)( ) 1 x 2 arcsen y = .b) ||.|

\|+=22x 1x 1arctg y . Soluo: a)( ) 1 x 2 arcsen y = . Usando a regra da cadeia, obtemos: ( )( ) ( ) ( ) ( )( )2 21 x 2 122u 11x u u y x y1 x 2 uu arcsen y = = = ==. b) ||.|

\|+=22x 1x 1arctg y . Novamente a regra da cadeia... ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( )=

+ + |.|

\|+= =+==222 2222x 1x 2 x 1 x 1 x 2u 11x u u y x yx 1x 1uu arctg y ( )

+

||.|

\|++=22222x 1x 4x 1x 111 simplifique esta expresso e mostre que igual a 4x 1x 2+. Logo( )4x 1x 2x y+= . Atividades (grupo 25). Determine a derivada das funes: a)( ) 1 x arccos y2 = .b)( )xe arctg x 3 y = . lvaro Fernandes39Tabela de derivadas Vamosfazerumresumodasderivadasdasprincipaisfunesvistasataqui.Nesta tabelau uma funo derivvel na varivelx.So constantes reais c, n e a. ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ).u' u ec cos y' u g cot y 10.u' u sec y' u tg y 9.u' u sen y' u cos y 8.u' u cos y' u sen y 7uu'y' 0 u , u ln y 6a ln u. u'y' , u log y 5.u' a ln . a y' a y 4.u' n.u y' u y 3nx y' x y 20 y' c y 122au u1 n n1 n n = == = = == == > == == == == == = ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )1 u u' u' y 1 u , u arc y 181 u u' u' y 1 u , u s arc y 17u 1' u' y u c arc y 16u 1' u' y u t arc y 15u 1' u' y u c arc y 14u 1' u' y u sen arc y 13.u' u g cot u ec cos y' u ec cos y 12.u' u tg u sec y' u sec y 11222222 = > == > =+ = =+= = = == = = == =cosececotggos Regras operacionais Se uev so funes derivveis, ento: 2vv u v uyvuyv u v u y v u yv u y v u y = |.|

\|= + = = = =3)2)1)lvaro Fernandes40 Derivadas sucessivas Emalgumasaplicaesprecisamosderivarumafunomaisdeumavez.Seuma funo( ) x f y =for derivvel, isto , existe( ) x f , podemos pensar na derivada de( ) x fe assim sucessivamente. Definimosedenotamosasderivadassucessivasdeumafuno( ) x f y = deacordocomatabela abaixo: Como l-se:Notao: 1a derivada ou derivada de 1a ordem ( )dxdyou x f 2a derivada ou derivada de 2a ordem( )22dxy dou x f 3a derivada ou derivada de 3a ordem( )33dxy dou x f 4a derivada ou derivada de 4a ordem ( )( )444dxy dou x fM M na derivada ou derivada de na ordem ( )( )nnndxy dou x f Justificativa para as notaes: ( ) ( ) | | x f x f = ,( ) ( ) | | x f x f = , a partir da quarta derivada usamos o cardinal. |.|

\|=dxdydxddxy d22,||.|

\|=2233dxy ddxddxy d, e assim sucessivamente. Exemplo 34. a) Se( ) 1 x 2 x x f4 + = , ento: ( ) 2 x 4 x f3+ =( )2x 12 x f =( ) x 24 x f =( )( ) 24 x f4=( )( ) 0 x f5= ... ( )( ) 0 x fn= , para todo5 n . lvaro Fernandes41b) Se( )x 2e x f = , ento: ( )x 2e 2 x f =( )x 2e 4 x f =( )x 2e 8 x f =( )( )x 2 4e 16 x f = ... ( )( )x 2 n ne 2 x f = . c) Se( ) ( ) x sen x f = , ento: ( ) ( ) x cos x f =( ) ( ) x sen x f =( ) ( ) x cos x f =( )( ) ( ) x sen x f4= ... ( )( )( )( )( )( )== = ==,... 12 , 8 , 4 n , x sen,... 11 , 7 , 3 n , x cos,... 10 , 6 , 2 n , x sen,... 9 , 5 , 1 n , x cosx fn Atividades (grupo 26). 1. Calcule as derivadas sucessivas at a ordemnindicada. a)4 n 9 x 2 x 3 y4= = , . b)3 cx+d, n bx ax y2 3= + + = . c)3 nx 1 1y == , . d)( ) 5 n x 5 sen y = = , . e)( ) 3 n x 1 ln y2= = , . 2. Calcule ( )( ) 99f , sendo( ) ( ) x 2 sen e x fx 3+ = .lvaro Fernandes42Derivada na forma implcita At agora sabemos derivar funes que so expressas na forma( ) x f y = . Agora iremos determinarumamaneiradederivarexpressesquenotenhamavarivel yisolada(explicitada) emumdosmembros.Soexemplosdessasexpresses1 y x2 2= + ,( ) 4 y ln xy2= + ,etc.Em algumassituaesinconvenienteouatmesmoimpossveldeexplicitaravarivelynessas expresses. O mtodo da derivao implcita permite encontrar a derivada de uma expresso desta forma, sem a necessidade de explicit-la. Uma funo na forma( ) x f y = , onde a varivelyaparece isolada no primeiro membro chamada de funo explcita. Entretanto, algumas vezes as funes esto definidas por equaes nas quais a varivelyno est isolada. Por exemplo x 1 y x y 22= + + no est na forma explcita( ) x f y = . Mesmo assim, esta equao ainda defineycomo uma funo dex, pois podemos escrev-la como 2 x1 xy2+= . Caso quisssemos calcular y , poderamos utilizar esta ltima expresso. Umaequaoemxeypodedefinirmaisdoqueumafuno.Porexemplo1 y x2 2= + que representa graficamente uma circunferncia de centro( ) 0 , 0e raio unitrio (figura 1). Explicitando a varivelyencontramos duas funes 2x 1 y = . Afuno 2x 1 y + = representaasemicircunfernciasuperior(figura2)e 2x 1 y =representa a semicircunferncia inferior (figura 3). figura 1figura 2figura 3 Caso quisssemos calcular y , poderamos utilizar uma das expresses 2x 1 y = . Ainda neste casopossvelexplicitaravarively,mesmosabendoquepartedogrficosuprimidoneste processo. lvaro Fernandes43 s vezes o processo para explicitar a varively bastante longo e trabalhoso, como o caso da expresso 0 xy 3 y x3 3= + e at mesmo impossvel por qualquer mtodo elementar, como neste caso ( ) 0 y xy sen = . O mtodo da derivao implcita permitir encontrar a derivada ysem a necessidade de explicitar a funo como( ) x f y = . Definio: Uma expresso na forma( ) 0 y , x F =define implicitamente uma funo( ) x f y =se o grfico de( ) x f y =coincide com alguma parte do grfico de( ) 0 y , x F = . Exemplo 35. Exemplos de funes definidas implicitamente: a)0 x 1 y x y 22= + + . b)0 1 y x2 2= + . c)0 xy 3 y x3 3= + . d)( ) 0 y xy sen = . Vamosagoramostrarcomoobteraderivada y ,noscasosdoexemplo35,semexplicitary. Usaremos a regra da cadeia para derivar os termos da expresso( ) 0 y , x F =que envolvem y. a)0 x 1 y x y 22= + + . Esta expresso define y como uma funo de x implicitamente, logo: ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ).2 xxy 2 1 yxy 2 1 2 x y0 1 y x xy 2 y 20 1dxdyx xy 2dxdy20 x 1dxdy xdxdy 2dxd0dxdx 1 y x y 2dxd222222+= = += + += + + += + += + + Observe que usamos a derivada de um produto em( ) y xdxd2. Derivamos ambos os membros em relao ax. Derivada de uma soma de funes. Apenas mudamos os smbolos:( ) y x ydxdy= = . lvaro Fernandes44Poderamos obter a derivada y derivando diretamente 2 x1 xy2+= . Vejamos: ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )222222 22222 xx x 2 22 xx 2 x 2 2 x2 xx 2 1 x 2 x 1 y+ +=++ +=+ += ,logo( )2222 xx x 2 2 y+ += . Voc pode estar se perguntando: Obtivemos ( )2222 xx x 2 2 y+ += ,masanteriormentecalculamos 2 xxy 2 1 y2+= .Estasexpressesso distintas? Obviamenteno,poissefizermos 2 x1 xy2+= naexpresso 2 xxy 2 1 y2+= ,vamosobter ( )2222 xx x 2 2 y+ += : ( )222222 2222222 xx x 2 22 x2 xx 2 x 2 2 x2 x2 xx 2 x 212 x2 x1 xx 2 1 y+ +=+||.|

\|++ +=+||.|

\|+=+|.|

\|+= . Ateno:Nonecessrioverificarseasderivadascalculadasnasformasexplcitaeimplcita coincidem, mesmo porque em alguns casos no possvel mesmo isolar a varivel y. Casoqueiramoscalcularovalordaderivada y numponto,porexemplo 2 xo = ,basta encontrarmosovalordaimagem oy ,substituindo ox naexpresso0 x 1 y x y 22= + + .Depois calculamos y com estes dois valores, pois 2 xxy 2 1 y2+=depende de duas variveis. Vejamos: 61y 0 2 1 y 4 y 2 0 x 1 y x y 2o o o o o2o o= = + + = + + . ( )1812 2612 2 12 xy x 2 1 y2 2oo o=+|.|

\|=+= . Observe que encontramos este mesmo valor usando ( )2222 xx x 2 2 y+ +=no ponto2 xo = : ( )( )1813622 22 2 2 2 y222= =+ += . Mas lembre-se: nem sempre possvel isolar a varivelypara calcular y . lvaro Fernandes45b)0 1 y x2 2= + . ( ) ( ) ( ) .yx y 0 yy 2 x 2 0 0 ydxdx 2 0dxd1 y xdxd2 2 2 = = + = + + = + c)0 xy 3 y x3 3= + . ( ) ( ) ( ) ( ) = + = + 0 xydxd3 ydxdx 3 0dxdxy 3 y xdxd3 2 3 3 ( ) | | ( ) .x yx y yx 3 y 3x 3 y 3 y x 3 y 3 x 3 y 3 y 0 xy y 1 3 y y 3 x 322222 2 2 2= = = = + + d)( ) 0 y xy sen = . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | | 0 y xy y 1 xy cos 0dxdydxdxy sendxd0dxdy xy sendxd= + = = ( ) ( )( )( ).1 xy cos xxy cos y y 0 y xy cos xy xy cos y = = + Vejamos alguns exemplos que ocorrem com maior freqncia em derivao implcita: ( ) y ny ydxd1 n n =. ( ) | | ( ) y y sec y tgdxd2 = . | | y e edxdy y = . ( ) | | yy1y lndxd = . ( ) | | yy 11y arctgdxd2 += . lvaro Fernandes46Atividades (grupo 27). 1. Determine a derivada' ydas curvas dadas implicitamente por: a)4 y x2 2= + b)y 2 x y 2 xy3 2 = + c)( ) 0 y sen x y x2 2= + d)3 y x exy + =e)0y xy xy3=+f)( ) 1 xy y tg = 2.Determineaequaodaretatangenteedaretanormalaogrficodecadafunoabaixo,nos pontos indicados. a)( )2y x y ln + =no ponto( ) 1 , 1 P . b) y 32 . y x= ,no ponto em que a normal vertical. c)19 y 13 x 62 2= +(elipse), nos pontos onde a normal paralela reta 0 7 y 12 x 26 = . 3. Seja C a circunferncia dada implicitamente por1 y x2 2= + eta reta tangente C no ponto de abscissa2 2 xo = , como mostra a figura abaixo. Calcule o valor da rea sombreada. 4. Determine a rea do tringulo AOB na figura abaixo sabendo-se que r a reta tangente a curva C, dada implicitamente por ( ) x 3 1 x cos 2 e2 xy= + ,no ponto( ) 0 , 1 A. lvaro Fernandes47Derivada de uma funo na forma paramtrica Funo na forma paramtrica Sejam ( )( )==t y yt x xfunes de uma mesma varivel t,| | b , a t . A cada valor de t no intervalo| | b , acorresponde um nico par( ) ( ) ( ) t y , t x Pno plano cartesiano. Se as funes( ) t x x = e ( ) t y y =forem contnuas, quando t variar deaatb, o ponto P descrever uma curva no plano. Asequaes ( )( )==t y yt x xsochamadasdeequaesparamtricasdacurvaetchamadode parmetro. Seafuno( ) t x x = admiteumainversa( ) x t t = ,podemosescrever( ) ( ) x t y y = ,eliminandoo parmetro t. Neste caso, temosy como uma funo dex, isto ,( ) x y y = . Mesmo quando a funo( ) t x x =no admite inversa, em alguns casos, podemos obter uma forma implcita da curva, eliminando o parmetro t de forma conveniente. Dizemos que as equaes ( )( )==t y yt x xdefinem a forma paramtrica de uma curva plana. Exemplo 36. a) As equaes = + =t ,t 2 y1 t x , definem a reta de equao2 x 2 y = . Para verificar isto basta isolar o parmetrotna equao1 t x + =e substituir emt 2 y = . b)Asequaes = =t ,1 t yt 1 x2 ,definemaparboladeequaox 2 x y2 = .Paraverificar isto basta isolar o parmetrotna equaot 1 x =e substituir em1 t y2 = . c) As equaes ( )( )| | ==2 , 0 t ,t sen 2 yt cos 2 x, definem a circunfernciade equao4 y x2 2= + . Poisasequaes( ) t cos 2 x = e ( ) t sen 2 y =satisfazem4 y x2 2= + , para todo t . lvaro Fernandes48( ) | | ( ) | | ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 t sen t cos 4 t sen 4 t cos 4 t sen 2 t cos 2 y x2 2 2 2 2 2 2 2= + = + = + = + . Observe neste caso que a funo( ) t cos 2 x =no admite inversa no intervalo| | 2 , 0 t e a forma encontrada para a curva foi implcita. Caso geral: ( )( )| | + =+ =2 , 0 t ,t sen a y yt cos a x xoo ,0 a > ,definemacircunfernciadeequao ( ) ( )2 2o2oa y y x x = + . Prove! d) Forma paramtrica da Elipse: ( )( )| | + =+ =2 , 0 t ,t sen b y yt cos a x xoo, b a eambospositivos,definemaelipsedeequao ( ) ( )1by yax x22o22o=+. Pois ( )( )ax xt coso= , ( )( )by yt seno= e( ) ( ) 1 t sen t cos2 2= + . Vamos ver agora como obter a derivada de uma funo na forma paramtrica. Seja ( )( )==t y yt x xa forma paramtrica que defineycomo uma funo de x. Suponha que as funes( ) t y y = , ( ) t x x = e a sua inversa( ) x t t =sejam derivveis. Podemos ento obter a composta( ) ( ) x t y y = e aplicar a regra da cadeia para calcular( ) x y : ( ) ( ) ( ) x t t y x y = . Vimos no estudo da derivada da funo inversa que( )( ) t x1x t = . Da, temos que ( ) ( )( )( )( ) t xt yt x1t y x y = = . ( )( )( ) t xt yx y = a derivada de uma funo na forma paramtrica. lvaro Fernandes49Exemplo 36. a)Calculeaderivada( ) x y dafuno( ) x y y = definidanaformaparamtricapor = =tt 6 1 y5 t 3 x, . ( )( )( )236t xt yx y == = . Poderamosobteresteresultadoeliminadooparmetrot,obtendoafuno( ) x y y = ecalculando diretamente( ) x y : 9 x 23 5 x6 1 y3 5 xt 5 t 3 x = |.|

\| + = += = .Da,( ) 2 x y = . b)Calculeaderivada( ) x y dafuno( ) x y y = definidanaformaparamtricapor + = =tt t yt 1 x2, . ( )( )( )1 t 211 t 2t xt yx y =+= = . Para obter a derivada em funo de x, basta substituirtporx 1 : ( ) ( ) ( ) ( ) 3 x 2 x y 3 x 2 1 x 1 2 x y 1 t 2 x y = = = = . Observe que novamente poderamos obter este resultado eliminado o parmetro t, obtendo a funo ( ) ( ) x 1 x 1 y2 + =e calculando( ) ( )( ) 3 x 2 1 1 x 1 2 x y = + = . c) Determine a equao da reta tangente a elipse ( )( )| | + =+ =2 , 0 t ,t sen 4 2 yt cos 2 1 x no ponto 4t= . A equao da reta tangente ( )o ox x y y y = . Clculo de ox :2 1222 14cos 2 1 xo+ = + = |.|

\| + = . Clculo de oy :( ) 2 1 2 2 2 2224 24sen 4 2 yo+ = + = + = |.|

\| + = . Clculo de yno ponto 4t= : ( )( )( )( )( ) ( ) 2 1 24g cot 2 y . t g cot 2t sen 2t cos 4t xt y y = = |.|

\| = == = . Logo, a reta tangente igual a( ) ( ) 2 1 x 2 2 1 2 y = + ou( ) 2 1 4 x 2 y + + = . lvaro Fernandes50Grfico: Atividades (grupo 28). 1. Calcule a derivada( ) x ydas funes definidas parametricamente nos pontos indicados. a) 3t ,t 3 cos yt 2 sen x===. b) 6t ,t sen yt cos x33===. 2.Determineaequaodaretatangenteedaretanormalaogrficodecadafunoabaixo,nos pontos indicados. a)

==2,2t ,t 2 sen yt sen x,no ponto 6t= . b)( )( )1 t 0 ,t 1 t 6 yt 1 t 6 x12 212 + =+ =,no ponto de abscissa 512. 3. Determine o valor da rea sombreada na figura abaixo. Sabe-se que r a reta tangente a elipse ( )( )| | ==2 , 0 t ,t sen yt cos 2 x: C ,no ponto 3t= . Obs.: A rea da elipse dada pela frmulaab A = , onde ae bso os comprimentos dos semi-eixos. Resp.: ( ) 6 3 3 8 lvaro Fernandes51Diferencial Atagora dxdytemsidovistoapenascomoumasimplesnotaoparaaderivadadeumafuno ( ) x f y =em relao a varivel x, isto ,( ) ( ) x f x ydxdy= = . O que faremos agora interpretar dxdy como um quociente entre dois acrscimos (diferenciais). Acrscimos e decrscimos Seapartirdeumdeterminadovalorxsomarmosousubtrairmosumdeterminadovalor *x , estaremos fazendo um acrscimo ou decrscimo na varivel x. Nesta figura temos que x > 0. Sem perda de generalidade, podemos supor0 x > para a nossa anlise. Seja( ) x f y =uma funo derivvel ex um acrscimo na varivel x. Definio: O diferencial de x, denotado por dx, o valor do acrscimox , isto ,x dx = . Considere t a reta tangente ao grfico de( ) x f y =no ponto x. Seja o ngulo de inclinao de t. Definio:Odiferencialdey,denotadopordy,oacrscimonaordenadadaretatangentet, correspondente ao acrscimodxem x. Deacordocomafigurapodemosobservarqueoquociente( ) = tgdxdy.Mas( ) ( ) x f tg = ,pois esta a interpretao geomtrica da derivada. Logo ( ) = x fdxdy( ) dx x f dy =O acrscimo dy pode ser visto como uma aproximao paray . Esta aproximao tanto melhor quanto menor for o valor de dx. Isto , se0 dx ,ento0 dy y . Da podemos dizer quedy y sedxfor bem pequeno. ( ) ( ) x f dx x f y + = lvaro Fernandes52Como( ) ( ) x f dx x f y + = e( ) dx x f dy =, obtemos que ( ) ( ) ( ) dx x f x f dx x f + , ou seja, ( ) ( ) ( ) x f dx x f dx x f + + . Exemplo 37. 1. Calcule o diferencial dy das funes abaixo: a)x 2 x y3+ = .b)( )2x sen y = . c)( ) ( ) x sec ln y = .

Solues: a)( )dx 2 x 3 dy2+ = .b)( )dx x cos x 2 dy2= . c)( )dx x tg dy = . 2. Calcule um valor aproximado para( )29 , 19usando diferenciais. Soluo: Podemos pensar na funo( )2x x f =onde queremos calcular um valor aproximado para( ) 9 , 19 f . Para isto vamos utilizar( ) ( ) ( ) x f dx x f dx x f + + , onde podemos fazer1 , 0 dx 20 x = =e . ( ) x 2 x f = . Da, ( ) ( ) ( ) x f dx x f dx x f + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 20 f 1 , 0 20 f 1 , 0 20 f + + ( ) ( ) ( ) ( ) 396 400 4 400 1 , 0 40 20 1 , 0 20 2 9 , 19 f2= + = + = + .Logo( ) 396 9 , 19 f . O valor exato 396,01. Lembre-se: quanto menor o valor dedx, melhor a aproximao. Atividades (grupo 29). 1. Encontredy ye para os valores dados nas funes abaixo e compare os resultados( ) dy y : a). 0 x ; 02 , 0 x ; x 6 x 5 y2= = =b). 1 x ; 1 , 0 x ;1 x1 x 2y = = += 2. Usando diferencial, calcule um valor aproximado para:a) 25 , 12 .b) 31 , 4 .c)13 . lvaro Fernandes53 Aplicaes da derivada A regra de LHospital Estaregrapermitecalcularcertostiposdelimites(cujasindeterminaessodotipo ou00) aplicando as regras de derivao. Sejamfegfunes derivveis num intervalo aberto I, exceto possivelmente, num pontoI a . Suponha que( ) a x I x , 0 x g e . a) Se( ) ( )( )( )Lx gx flim 0 x g lim x f lima x a x a x= = = e, ento ( )( )( )( )Lx gx flimx g x flima x a x= = ; b) Se( ) ( )( )( )Lx gx flim x g lim x f lima x a x a x= = = e, ento ( )( )( )( )Lx gx flimx g x flima x a x= = . Exemplo 38. Calcule os limites abaixo usando a regra de Lhospital. a) x1 - elimx0 x .b) 1 x2 x xlim241 x +. c) ( )2 e exx senlimx x0 x +. d) 2xxx elim + . e)( )x20 xx 2 x lim ++ Solues: a) x1 - elimx0 x . (verifique a indeterminao do tipo 00) 11elimx1 - elimx0 xx0 x= = . lvaro Fernandes54b) 1 x2 x xlim241 x +. (verifique a indeterminao do tipo 00) 25x 21 x 4lim1 x2 x xlim31 x241 x=+= + . c) ( )2 e exx senlimx x0 x +. (verifique a indeterminao do tipo 00) ( ) ( )x x0 xx x0 xe e1 x coslim2 e exx senlim = + Observe que ainda h uma indeterminao do tipo 00. Neste caso podemos continuar aplicando a regra... ( ) ( )020e ex senlime e1 x coslimx x0 xx x0 x= =+= .Logo, ( )02 e exx senlimx x0 x= +. d) 2xxx elim + . (verifique a indeterminao do tipo ) x 2 elimx elimxx2xx + + =Observe que ainda h uma indeterminao do tipo . Neste caso podemos continuar aplicando a regra... + = = + 2elimx 2 elimx0 xxx.Logo,+ =+ 2xxx elim. e)( )x20 xx 2 x lim ++.Verifiquequeaindeterminaoagoradotipo 00 .Nestecaso,precisamos transform-laem0 0 ou parapoderaplicararegradeLHospital.Vamosusarduas propriedades dos logartimos. So elas:( ) ( ) a ln x a lnx= e( )x ex ln= . ( )( ) ( )( )= = = = = = +++ +++++ + + + + + +x 2 xx 2 x 20 xx 1x 2 x2 x 20 xx 1x 2 x ln0 xx 2 x ln x0 xx 2 x ln0 xx20 x22 322 22x2e lim e lim e lim e lim e lim x 2 x lim 1 1 lim e lim e lim e lim0 x00 x200 x2 xx 2 x 20 x2= = = = =+ + + + ++. Podemos aplicar esta mesma tcnica para resolvermos indeterminaes do tipo 0 . Atividades (grupo 30). Calcule os seguintes limites usando a regra de Lhospital: a) x sen xx 2 e elimx x0 x . b) ( )x 2x senlim2 x. c)( ) ( ) x tg x sec lim2 x . d)( ) | |x 20 xx sen 1 lim ++. lvaro Fernandes55Interpretao cinemtica da derivada Vamosagorainterpretaraderivadadopontodevistadacinemtica,queestudaomovimentodos corpos. Veremos que a velocidade e a acelerao de um corpo podem ser determinadas atravs das derivadas de primeira e segunda ordem, respectivamente, quando conhecemos a funo horria do movimento do corpo. Velocidade.Considereumcorpoquesemoveemlinharetaeseja( ) t s s = asuafunohorria, isto,oespaopercorridoemfunodotempo.Odeslocamentodocorponointervalodetempo t t t + e definido por( ) ( ) t s t t s s + = . A velocidade mdia do corpo neste intervalo de tempo definida por ( ) ( )tt s t t stsvm +==. A velocidade mdia do corpo no d uma informao precisa sobre a velocidade em cada instante do movimento no intervalo de tempot t t + e . Para obtermos a velocidade instantnea do corpo noinstantet,precisamoscalcularavelocidademdiaemintervalosdetempocadavezmenores, isto , fazendo0 t . A velocidade instantnea do corpo no instante t definida por ( )( ) ( )( ) t stt s t t slimtslim v lim t v0 t 0 tm0 t= +== = .Assim,( ) ( ) t s t v =. A velocidade instantnea( ) t v a primeira derivada da funo horria( ) t s . Acelerao. De forma anloga ao conceito de velocidade vem o de acelerao: A acelerao mdia do corpo no intervalo de tempot t t + e definida por ( ) ( )tt v t t vtvam +==. A acelerao instantnea do corpo no instante t definida por ( )( ) ( )( ) t vtt v t t vlimtvlim a lim t a0 t 0 tm0 t= +== = .Assim,( ) ( ) t v t a = . Como( ) ( ) t s t v =podemos escrever a acelerao instantnea como a segunda derivada dos espao emrelao ao tempo. Assim ( ) ( ) t s t a = . Obs.: NoM.R.U.V.a funo horria do segundo grau( ) ( )2att v s t s20 o+ + = , sendo constantes os oespaoinicial, ov avelocidadeinicialea aaceleraodomovimento.Nestecaso,a velocidadeinstantneadadapor( ) ( ) at v t s t vo + = = eaaceleraoinstantneadadapor ( ) ( ) a t v t a = = . lvaro Fernandes56Exemplo 39. a) Suponha que um corpo em movimento retilneo tenha funo horria definida por ( )2t 2 t 12 t s =enoinstante0 t = eleiniciaomovimento.Considereoespaomedidoemmetroseotempoem segundos. Determine: i) a velocidade mdia do corpo no intervalo de tempo| | 3 , 1 ; ii) a velocidade do corpo no instante1 t = ; iii) a acelerao mdia do corpo no intervalo de tempo| | 3 , 1 ; iv) a acelerao do corpo no instante1 t = . Soluo: i) ( ) ( ) ( ) ( )s / m 4282 10 181 31 s 3 stt s t t stsvm= === +== . ii)( ) ( ) ( ) s / m 8 4 12 1 v t 4 12 t s t v = = = = . iii) ( ) ( ) ( ) ( )2ms / m 428 01 31 v 3 vtt v t t vtva === +== . iv)( ) ( ) ( )2s / m 4 3 a 4 t s t a = = = . b)Uma partcula em movimento retilneo tem a funo horria dada por( ) 3 t 60 t 21 t 2 t s2 3+ + = . Considere o espao medido em metros e o tempo em segundos. Determine: i) Em que instante a partcula pra, isto , tem velocidade nula? ii) Determine a acelerao da partcula no instantes 5 , 4 t = . Soluo: i)( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 5 t 2 t 6 10 7 t 6 t v 60 t 42 t 6 t s t v2 2 = + = + = = . ( ) ( )( ) s 2 t 0 5 t 2 t 6 0 t v = = = ous 5 t = .Assimapartculatemvelocidadenula nos instantess 2 t = e s 5 t = . ii)( ) ( ) ( ) ( )2s / m 12 42 5 , 4 12 5 , 4 a 42 t 12 t s t a = = = = . lvaro Fernandes57Atividades (grupo 31). 1.Dosoloumprojtildisparadoverticalmenteparacima.Suaaltura(emmetros)dadaem funo do tempo (em segundos) por( )2t 10 t 160 t h = . Determine: i) As funes velocidade e acelerao do projtil; ii) Em que instante0 t >o projtil pra? iii) Quantos segundos dura todo o trajeto do projtil? iv) Com que velocidade e acelerao o projtil atingir o solo? 2.Aequaodomovimentodeumapartcula( )32 t t s + = ,semmetrosetemsegundos. Determine: i) o instante em que a velocidade dem/s 12 1 ; ii) a distncia percorrida at este instante; iii) a acelerao da partcula quando t = 2s. 3.Aequaohorriadomovimentoretilneodeumapartcula( ) ( )235t6t4 t154t s + + = . Considere s em metros e t em segundos. Determine em que instante0 t >a acelerao da partcula nula. lvaro Fernandes58Taxa de variao Vimos na seo anterior que se( ) t s s = a funo horria do movimento retilneo de um corpo, a velocidademdiadadapor tsvm= eavelocidadeinstantneaadadapeladerivada ( ) ( )( ) ( )tt s t t slimtslim t s t v0 t 0 t +== = .Damesmaforma,aaceleraomdia tvam= ea acelerao instantnea dada pela derivada( ) ( )( ) ( )tt v t t vlimtvlim t v t a0 t 0 t +== = . Asrazes m ma v esoexemplosdetaxasmdiasdevariaonumintervaloeasrazes ( ) ( )tslim t s t v0 t= = e( ) ( )tvlim t v t a0 t= = soexemplosdetaxasinstantneasdevariao num ponto, ou simplesmente taxas de variao num ponto. Definio: De uma forma geral, se( ) x f y = uma funo, a razo xy chamada de taxa mdia devariaodafunofnointervalo| | x x , x + eaderivada ( )( ) ( )xx f x x flimxylim x f0 x 0 x +== chamada de taxa de variao da funofno ponto x. Toda taxa de variao pode ser interpretada como uma derivada. Interpretandoaderivadadestaforma,podemosresolverdiversosproblemasdascinciasque envolvem razes instantneas de variao. Exemplo 40. Suponha que um leo derramado atravs da ruptura do tanque de um navio se espalhe emformacircularcujoraiocresceaumataxade2m/h.Comquevelocidadeareado derramamento est crescendo no instante em que o raio atingir 60m? Soluo: A taxa com que o raio cresce de 2m/h. Podemos interpretar e denotar esta taxa de variao como h / m 2dtdr= . Queremos calcular a taxa com que a rea cresce em relao ao tempo. Podemos denotar esta taxa de variao comodtdA. A rea do derramamento circular, logo 2r A = . Queremoscalcular dtdAetemos dtdr.Aregradacadeiarelacionaestasrazesatravsde dtdrdrdAdtdA = .Assim,r 4 2 r 2dtdA = = .Quandooraioatingir60mareadoderramamento estar crescendo a uma taxa de( ) h / m 240 h / m 60 42 2 = . lvaro Fernandes59Diretrizes para resolver problemas de taxa de variao 1.Desenhe uma figura para auxiliar a interpretao do problema; 2.Identifique e denote as taxas que so conhecidas e a que ser calculada; 3.Ache uma equao que relacione a quantidade,cujataxaserencontrada, com as quantidades cujas taxas so conhecidas; 4.Derive esta equao em relao ao tempo, ouusearegradacadeia,ou a derivao implcita para determinar a taxa desconhecida; 5.Aps determinada a taxa desconhecida, calcule-a em um ponto apropriado. Exemplo 41. Um tanque de gua tem a forma de um cone circular invertido com base de raio 2m e altura igual a 4m. Se a gua est sendo bombeada dentro do tanque a uma taxa de 2m3/min, encontre a taxa na qual o nvel da gua est elevando quando a gua est a 3m de profundidade. 2hr42hr= = . Assim, 32h12h2h31V= |.|

\| = . Derivando ambos os lados em relao ao tempo t, obtemos dtdVh4dtdhdtdhh 312 dtdVdtdhdhdVdtdV22= = = . Substituindomin m 2dtdV3= eh = 3m, temos min m 28 , 098234dtdh2= = . Dadomin m 2dtdV3= ,devemosencontrar dtdh quandoh=3m.AsgrandezasVehesto relacionadaspelaequaoh r31V2 = ,queo volume do cone. Para obter o volume V como funo da altura h,podemoseliminaravarivelrusando semelhana de tringulos: lvaro Fernandes60Atividades (grupo 32). 1)Umaboladeneveesfricaformadadetalmaneiraqueoseuvolumeaumentarazode8 cm3/min. Com que velocidade aumenta o raio no instante em que a bola tem 4 cm de dimetro? 2) Um automvel que viaja razo de 30 m/s, aproxima-se de um cruzamento. Quando o automvel est a 120 m do cruzamento, um caminho que viaja razo de 40 m/s atravessa o cruzamento. O automvel e o caminho esto em rodovias que formam um ngulo reto uma com a outra. Com que velocidade afastam-se o automvel e o caminho 2s depois do caminho passar pelo cruzamento? 3)Umaescadacom13mdecomprimentoestapoiadanumaparedeverticalealta.Num determinadoinstanteaextremidadeinferior,queseencontraa5mdaparede,estescorregando, afastando-sedaparedeaumavelocidadede2m/s.Comquevelocidadeotopodaescadaest deslizando neste momento? 4)Umbaloesta60macimadosoloeseelevaverticalmenterazode 5m/s.Umautomvel passaporbaixodobaloviajando12m/s.Comquevelocidadevaria,umsegundodepois,a distncia entre o balo e o automvel? 5)Despeja-seguanumrecipientedeformacnica,razode8cm3/min.Oconetem20cmde profundidadee10cmdedimetroemsuapartesuperior.Seexisteumfuronabase,eonvelda guaestsubindorazode1mm/min,comquevelocidadeaguaestarescoandoquandoesta estiver a 16cm do fundo? 6) Um lado de retngulo est crescendo a uma taxa de 17 cm/min e o outro lado est decrescendo a umataxade5cm/min.Numcertoinstante,oscomprimentosdessesladosso10cme7cm, respectivamente.Areadoretnguloestcrescendooudecrescendonesseinstante?Aque velocidade? 7)Doisresistoresvariveis 2 1R R esoligadosemparalelo.AresistnciatotalR calculada pelaequao( ) ( )2 1R 1 R 1 R 1 + = .Se 2 1R R eestoaumentandostaxasde s ohm 02 , 0 s ohm 01 , 0 e respectivamente,aquetaxavariaR noinstanteemque ohms 90R ohms 30 R2 1= = e? 8) Um tringulo issceles tem os lados iguais comcm 15 cada um. Se o ngulo entre eles varia razo derad 90 por minuto, determine a variao da rea do tringulo quando rad 6 = . lvaro Fernandes61Anlise grfica das funes Mximos e mnimos Definio:Umafuno( ) x f y = temumpontodemximorelativoem 0x x = ,seexisteum intervalo aberto A, contendo0x , tal que( ) ( ) x f x f0 , para todoA x . ( )0x f chamado de valor mximo relativo. Definio:Umafuno( ) x f y = temumpontodemnimorelativoem 1x x = ,seexisteum intervalo aberto B, contendo 1x , tal que( ) ( ) x f x f1 , para todoB x . ( )1x f chamado de valor mnimo relativo. Exemplo 42. A funo( )2 4x 4 x x f =tem um ponto de mximo relativo em0 x =e dois pontos demnimosrelativosem 2 x = .Ovalormximorelativo0 y = eovalormnimorelativo 4 y = . Aproposioseguintepermiteencontrarospossveispontosdeextremosrelativos(mximos relativos oumnimos relativos) de uma funo. lvaro Fernandes62Proposio:Seja( ) x f y = umafunodefinidanumintervaloaberto( ) b , a I = .Seftemum extremo relativo emI k e ( ) x fexiste para todoI x , ento( ) 0 k f = . Podemos interpretar geometricamente esta proposio da seguinte forma: A reta tangente ao grfico defno pontok x = horizontal, visto que ( ) 0 k f = . Definio:Umponto() f D c talque( ) 0 c f = ou( ) c f noexistechamadodeponto crtico def. Se houverem extremos relativos numa funo, estes ocorrem em ponto crticos. Exemplo 43. Algumas funes e seus pontos crticos. a) b) c) 3x y = 2 1 x y + =( ) 1 1 x y2+ = Observaes: No exemplo a)( ) 0 0 f = , mas0 x =no um ponto de extremo da funo. Noexemplob)noexiste( ) 1 f ,mas1 x = umpontodeextremo(mnimorelativo)da funo. No exemplo c)( ) 0 1 f =e1 x = um ponto de extremo (mnimo relativo) da funo. lvaro Fernandes63 Uma funo( ) x f y =pode admitir num intervalo( ) b , amais do que um ponto de extremo relativo. Omaiorvalordafunonumintervalochamadodevalormximoabsoluto.Analogamente,o menor valor chamado de valor mnimo absoluto. Algumasfunespodemnoapresentarextremosrelativosnumintervalo.Porexemplo ( ) 2 , 2 x , x y = . Funes crescentes e decrescentes Definio:Umafuno( ) x f y = ,definidanumintervaloI,crescentenesteintervalosepara quaisquerI , x x1 0 , 1 0x x < , temos que( ) ( )1 0x f x f < . (ver Fig. 1) Definio:Umafuno( ) x f y = ,definidanumintervaloI,decrescentenesteintervalosepara quaisquerI , x x1 0 , 1 0x x < , temos que( ) ( )1 0x f x f > . (ver Fig. 2) Fig. 1Fig. 2 Podemos identificar os intervalos onde uma funo crescente ou decrescente atravs do estudo do sinal da derivada da funo. Segue a proposio. ox o ponto de mximo absoluto def; ( )0x f o valormximo absoluto def; 1x o ponto de mnimo absoluto def; ( )1x f o valor mnimoabsoluto def. lvaro Fernandes64Proposio: Sejafuma funo contnua no intervalo| | b , ae derivvel no intervalo( ) b , a . a)Se( ) 0 x f >para todo( ) b , a x , entof crescente em| | b , a ; b)Se( ) 0 x f = . b) Se a funo derivada negativa para todo( ) b , a x ento, geometricamente, a reta tangente tem inclinao negativa para todo( ) b , a x . ( ) ( )o o180 90 0 tg x f < < < = . Exemplo 44. Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da funo( )2 4x 4 x x f = . Soluo: Vamos analisar o sinal da derivada desta funo. ( ) ( ) 2 x x 4 x 8 x 4 x f2 3 = = . Logo: f crescente para todo| | | | + , 2 0 , 2 x , pois a derivada positivanestes intervalos. fdecrescenteparatodo| | | | 2 , 0 2 , x ,poisaderivadanegativanestes intervalos. Observe o grfico da funo( )2 4x 4 x x f =no exemplo 42. lvaro Fernandes65Critrios para determinar os extremos de uma funo Teorema: (Critrio da primeira derivada para determinao de extremos) Sejafumafunocontnuanumintervalofechado| | b , a quepossuiderivadaemtodopontodo intervalo( ) b , a , exceto possivelmente num ponto k: a) Se( ) 0 x f >para todo x < ke ( ) 0 x f k, entoftem um mximo relativo em k; b) Se( ) 0 x f para todo x > k, entoftem um mnimo relativo em k;

Interpretao geomtrica: a) A funof crescente para todo x < k , pois( ) 0 x f > edecrescente para todo x > k , pois ( ) 0 x f < . Desta forma,fassume um ponto de mximo relativo emk x = . b) A funof decrescente para todo x < k , pois( ) 0 x f < ecrescente para todo x > k , pois ( ) 0 x f > . Desta forma,fassume um ponto de mnimo relativo emk x = . Exemplo 45. Determine os extremos da funo( )2 4x 4 x x f = . Como vimos no exemplo anterior o sinal de( ) x f . Ento,deacordocomaproposio,2 x = sopontodemnimorelativoe0 x = pontode mximo relativo.Observe o grfico da funo( )2 4x 4 x x f =no exemplo 42. lvaro Fernandes66Oseguinteteorematambmutilizadoparadeterminaodeextremosdeumafuno.Ele aplicado quando a anlise do sinal da primeira derivada no imediata (simples). Teorema: (Critrio da segunda derivada para determinao de extremos) Sejafuma funo derivvel num intervalo( ) b , ae k um ponto crtico defneste intervalo, isto , ( ) 0 k f = . Ento: a)( ) < 0 k f ftem um mximo relativo em k; b)( ) > 0 k f ftem um mnimo relativo em k. Exemplo46.Determineosextremosdafuno( )2 4x 4 x x f = ,usandootestedasegunda derivada. ( ) ( ) 2 x x 4 x 8 x 4 x f2 3 = = . Os pontos crticos defso2 x 2 x 0 x2 1 o = = = e, . ( ) 8 x 12 x f2 = . ( ) 0 8 0 f < = , logo0 xo = ponto de mximo relativo. ( ) 0 16 2 f > = , logo2 x1 = ponto de mnimo relativo. ( ) 0 16 2 f > = , logo2 x2 = ponto de mnimo relativo. Este resultado est de acordo com o exemplo 45. Exemplo 47. Determine os extremos da funo( ) ( ) 0 x , x x ln x f2> =, usando o teste da segunda derivada. ( ) x 2x1x f = . ( )22x21x x 2x10 x 2x10 x f2 = = = = = . Como0 x > , temos que 22x = o ponto crtico def. Vamos agora determinar o sinal de ||.|

\|22 f : ( ) 2x1x f2 = . Assim0 422 f < =||.|

\| e ento 22x = ponto de mximo relativo de f. Veja o grfico da funo( ) ( ) 0 x , x x ln x f2> = ao lado. lvaro Fernandes67Concavidade e ponto de inflexo Sabemos que a parbola0 a c bx ax y2 + + =, , tem concavidade voltada para cima quando0 a >e concavidade voltada para baixo quando0 a < . No existe mudana de concavidade nos grficos destasfunes.Situaodiferenteaconteceem( ) x sen y = ou( ) x cos y = ,ondeverificamosessas mudanas. Os pontos de mudana de concavidade so chamados de pontos de inflexo. Atravs da derivada(segunda)podemosdeterminarosintervalosondeumafunotemconcavidadevoltada para cima ou para baixo e os pontos de inflexo. Estes conceitos so teis no esboo grfico de uma curva. Definio: Dizemos que uma funoftem concavidade voltada para cima (C.V.C) num intervalo ( ) b , ase f crescente neste intervalo. Em outras palavras, se o grfico da funo estiver acima de qualquer reta tangente. Figura 1 Definio: Dizemos que uma funoftem concavidade voltada para baixo (C.V.B) num intervalo ( ) b , ase f decrescente neste intervalo. Em outras palavras, se o grfico da funo estiver abaixo de qualquer reta tangente. Figura 2 Atravs do estudo do sinal da segunda derivada podemos determinar os intervalos onde uma funo tem concavidade voltada para cima ou para baixo. Vejamos a seguinte proposio. lvaro Fernandes68Proposio: Sejafuma funo contnua e derivvel at a segunda ordem no intervalo( ) b , a : a) Se( ) 0 x f >para todo( ) b , a x , entoftem concavidade voltada para cima em( ) b , a ; b) Se( ) 0 x f para todo( ) b , a x , ento( ) x f crescente em( ) b , a . Desta forma, o grfico deftem o aspecto do grfico da figura 1 anterior. De forma anloga prova-se o item b. Definio:Umponto( ) ( ) k f , k P dogrficodeumafunocontnuafchamadodepontode inflexo (P.I.) se ocorre uma mudana de concavidade na passagem por P. Figura 3 Figura 4 Paraverificaraexistnciadeumpontodeinflexo( ) ( ) k f , k P nogrficodeumafunof,basta verificar a mudana de sinal da segunda derivadana passagem por k. Observe simbolicamente como isto ocorre: Na figura 3 temos Na figura 4 temos Exemplo 48. Determineosintervalosondeafuno( )2 4x 4 x x f = temconcavidadevoltadaparacima,para baixo e os pontos de inflexo. lvaro Fernandes69Temos que( ) x 8 x 4 x f3 = e( ) 8 x 12 x f2 = . ( )32x32x32128x 0 8 x 12 0 x f2 2 < > = > > > ou . ( )32x3232128x 0 8 x 12 0 x f2 2< < = < < < . Assim,ftemC.V.C.nointervalo( ) ( ) + , 3 2 3 2 , etemC.V.B.em ( ) 3 2 , 3 2 . Os pontos de inflexo ocorrem nas abscissa 32x0 = e32x1 = . Assntotas horizontais e verticais Em algumas aplicaes prticas, encontramos grficos que se aproximam de uma reta. Estas retas so chamadas de assntotas. Vamos tratar mais detalhadamente das assntotas horizontais e verticais. lvaro Fernandes70Definio: A reta de equaok x = uma assntota vertical do grfico de uma funo( ) x f y = , se pelo menos uma das seguintes afirmaes for verdadeira: i)( ) + =+x f limk x ; ii)( ) + =x f limk x ; iii)( ) =+x f limk x ; iv)( ) =x f limk x . Exemplo 49 a) A reta de equao0 x = assntota vertical da funo( ) x ln y = , pois( ) =+x ln lim0 x. Observe o grfico da funo( ) x ln y = : b) A reta de equao1 x = assntota vertical da funo ( )21 xly= , pois ( )+ =21 x1 x1lim. Observe o grfico da funo ( )21 xly= : lvaro Fernandes71Definio:Aretadeequaok y = umaassntotahorizontaldogrficodeumafuno ( ) x f y = , se pelo menos uma das seguintes afirmaes for verdadeira: i)( ) k x f limx=+ ; ii)( ) k x f limx= . Exemplo 50 a) A reta de equao1 y = assntota horizontal da funo 22x 11 xy+= ,pois1x 11 xlim22xx=+ + ou. Observe o grfico da funo 22x 11 xy+= : b) A reta de equao0 y = assntota horizontal da funo ( )x x seny = ,pois ( )0x x senlimxx= + ou.Graficamentepodemosperceberqueasoscilaesvoreduzindoasuaamplitudeeogrficoda funo ( )x x seny =vai se aproximando da reta0 y = . Percebemos neste exemplo que a assintota horizontal toca o grfico da funo. lvaro Fernandes72Esboos de grficos Utilizandotodososresultadosdaanlisegrficadasfunes,podemosresumirnumatabelaos procedimentos para esboar o grfico de uma funo. PassosProcedimento 1oEncontrar o domnio da funo; 2oCalcular os pontos de interseo da funo com os eixos (quando no requer muito clculo); 3oCalcular os pontos crticos da funo; 4oDeterminar os intervalos de crescimento e decrescimento da funo; 5oEncontrar os pontos de mximos e mnimos relativos da funo; 6oDeterminar a concavidade e os pontos de inflexo; 7oDeterminar as assntotas horizontais e verticais (se existirem); 8oEsboar o grfico. Exemplo 51.Esboce o grfico da funo( )1 xxx f y2= =. 1o passo (Domnio): 1 x 1 x 1 x 0 1 x2 2 . Logo() { } 1 , 1 f D = . 2o passo (Pontos de interseo com os eixos): ( )( )= = == = =ponto mesmo O : ) (faa eixo o componto o temos Logo : ) (faa eixo o com. 0 , 0 . 0 y1 00y 0 x y. 0 , 0 . 0 x1 xx0 0 y x22 3o passo (Pontos crticos): ( )( ) ( )( ) ( )2222221 x1 x...1 xx 2 x 1 x 1x ' f = = = . ( )( )1 x 0 1 x 01 x1 x0 x ' f2 2222 = = = = .Noexistempontoscrticos, pois no existe xtal que1 x2 = . lvaro Fernandes734o passo (Intervalos de crescimento e decrescimento): ( )( )2221 x1 xx ' f = . Estudando o sinal da derivada... A funo decrescente{ } 1 , 1 x . 5o passo (Pontos de mximos e mnimos relativos): Como o sinal de( ) x ' fno muda ( sempre negativo), ento no existem extremos relativos paraf. 6o passo (Concavidade e pontos de inflexo): ( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )322422 2221 x3 x x 2...1 xx 2 1 x 2 1 x 1 x x 2x ' ' f += = = . Estudando o sinal da segunda derivada... ftem C.V.C. ( ) ( ) + , 1 0 , 1 x . f tem C.V.B. ( ) ( ) 1 , 0 1 , x . Como1 x = e 1 x =no fazem parte do domnio da funof , ento o nico ponto de inflexo 0 x =pois' ' fmuda de sinal quando passa por ele. lvaro Fernandes747o passo (Assntotas horizontais e verticais): Vertical: ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

= = == +=+ = == +== = = = +=+ = = = += + + + + + + + +assntota. reta A assntota. reta A 1 x.012 011 x 1 xxlim1 xxlim.012 011 x 1 xxlim1 xxlim1 x.010 2 11 x 1 xxlim1 xxlim.010 2 11 x 1 xxlim1 xxlim1 x21 x1 x21 x1 x21 x1 x21 x Horizontal:assntota. reta A l) (LHospital) (LHospita0 y. 0x 21lim1 xxlim. 0x 21lim1 xxlimx2xx2x== = == = = + + 8o passo (Esboo do grfico): Reunindo todos o elementos calculados, podemos agora traar o grfico: lvaro Fernandes75Atividades (grupo 33) Pontos crticos. 1. Determinar os pontos crticos das seguintes funes, se existirem. a)() f x x = + 3 2. d)() f x e xx= . b)() f x x x = +23 8 .e)( ) ( ) 4 x x x f2 = . c) () f x x = 33. f)() f x x x = 4 123 2. Crescimento e decrescimento. 2. Determinar os intervalos nos quais as funes a seguir so crescentes ou decrescentes. a)() f x x = 2 1. e)() f x x ex=. . b)() f x x x = + + 3 6 72. f)() f x xx= + 1. c)() f x x x x = + +3 22 4 2 . g)() () ( ) | | f x x x x = + 2 2 0 2 cos sen , , . d)() f x ex=.h)( ) ( ) 1 x x x f2 = . Pontos de extremos relativos. 3. Encontrar os pontos de mximos e mnimos relativos das seguintes funes, se existirem. a)() f x x x = + +3 23 1. d)() f x x x = 5 255 3. b)() f x x x = 8 42 3. e)( ) ( ) ( ) 1 x 1 x x f + = . c)( ) ( ) ( ) 5 x 6 2 x 3 x x f2 3+ + = .f)() f x xex= . 4.Encontreospontosdemximosemnimosrelativosdafuno ( ) ( ) ( ), x 2 cos x sen 2 x f + = | | 2 , 0 x , usando o critrio da segunda derivada. lvaro Fernandes76Concavidade e ponto de inflexo. 5.Determinarosintervalosondeasfunestmconcavidadevoltadaparacima(C.V.C.)e concavidade voltada para baixo (C.V.B.). Determine tambm os pontos de inflexo (P.I.). a)() f x x x x = + +3 22 1. d)() ( ) f x x = 221 . b)() f x x x = + 3 4 64 3.e)() f x x = 51. c)() f x x x = 2 66 4.f)() f x xex= . Assntotas. 6. Determine as assntotas horizontais e verticais das funes abaixo, se existirem. a)() f x x x = +3 23 2 . d)() f xxx x= 222. b)() f xxx=2922. e)()()f xxx= sen. c)() f xxx=+29.f)()()f xxx= ln3. Esboogrfico. 7.Paracadafunoaseguir,determine(sepossvel):odomnio,asinterseescomoseixos,as assntotashorizontaiseverticais,osintervalosdecrescimentoedecrescimento,osmximose mnimosrelativos,osintervalosondeogrficotemconcavidadeparacimaeondeogrficotem concavidade para baixo,os pontos de inflexo e o esboo grfico. Obs:Para confirmara sua resposta, construa os grficos utilizando um software matemtico. a)() f x x x x = + 10 12 3 22 3. d)() f x ex=2. b)( ) ( ) ( ) 1 x 1 x x f + = .e)() () f x x x = .ln . c)() f x x x = + 4 26 3 .f)( ) x e x fx= . lvaro Fernandes77Problemas de otimizao Agoraapresentaremososproblemasdeotimizao.Nestesproblemasbuscamos solues que so timas, do ponto de vista matemtico. Por exemplo: uma empresa deseja produzir potes cilndricos de 300ml para armazenar certo tipo de produto. Sabe-se que estes potes devem ter reatotalmnimaparareduzirocustodeimpressodosrtulos.Detodososcilindrosdevolume iguala300ml,qualpossuimenorreatotal(raiodabaseealtura)?Devemosentobuscaruma soluo que minimize a rea total do cilindro, reduzindo assim o custo de impresso dos rtulos nos potes.Variadosproblemasprticos,semelhantesaesse,emdiversosramosdoconhecimento,so resolvidos com o auxlio das derivadas. Iniciaremos resolvendo este problema. Exemplo 52.De todos os cilindros de volume igual a 300ml, qual possui menor rea total (raio da base e altura)? Abrindo o cilindro ns temos Sabe-se que o volume do cilindro h r V2 =e a rea total rh 2 r 2 A2 + = . Queremosdeterminarosvaloresdoraio(r)dabaseeaaltura(h)deumcilindrode300mlde volume (V) que possua mnima rea total (A). Jsabemosdeterminaropontodemnimodeumafunoatravsdosdoiscritriosvistos,masa funoreapossuiduasvariveisreh.Poderemosresolveresteproblemaisolandoumadas variveis emh r V2 =(com300 V = ) e substitu-la emrh 2 r 2 A2 + = . 22r300h h r 300= = . Temos ento que r600r 2r300r 2 r 2 A222+ = + = . Conseguimos ento tornar a funo rea como funo de uma nica varivel. Vamos determinar o ponto crtico desta funo: 2r600r 4 A = .Resolvendo agora a equao0 A = : cm 6 , 34600r4600rr600r 4 0r600r 4332 2= = = = . Como04600 A3>||.|

\|(verifique!),temosque 34600r= ponto