Calculo Diferencial e Integral II 1361970429

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65 Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II Professor: Eduardo Gonçalves dos Santos Curso de Licenciatura em Matemática – UFPBVIRTUAL [email protected] Ambiente Virtual de Aprendizagem: Moodle www.ead.ufpb.br Site da UFPBVIRTUAL www.virtual.ufpb.br Site do curso www.mat.ufpb.br/ead Telefone UFPBVIRTUAL (83) 3216 7257 Carga horária: 60 horas Créditos: 04 Ementa Derivadas e Integrais. Descrição Esta disciplina consiste de uma continuação do estudo das derivadas iniciado no curso de Cálculo Diferencial e Integral I, bem como de uma apresentação ao conceito de integral. O programa da disciplina está dividido em cinco unidades. Na primeira ampliaremos o nosso leque de regras de derivação, através de um aprofundamento no estudo da regra da cadeia que possibilitará a derivação de funções compostas, bem como de funções dadas na forma implícita e de funções inversas. A segunda unidade aborda algumas aplicações da derivada, destacando-se aí aquelas relativas ao estudo do comportamento de uma função no que se refere a máximos, mínimos, crescimento, decrescimento e concavidades. A terceira unidade introduz os conceitos de integral definida e primitiva, relacionando-os através do chamado Teorema Fundamental do Cálculo. A quarta unidade faz um estudo sobre algumas técnicas para a determinação de primitivas. Na quinta unidade serão dadas algumas aplicações geométricas da integral definida, como o cálculo de áreas, volumes e comprimentos de arcos. Também durante a quarta unidade será feito um rápido estudo sobre o sistema de coordenadas polares. As idéias presentes neste curso são bastante antigas e sobre elas vários homens de ciência dedicaram boa parte de suas carreiras nos mais variados períodos da história da humanidade. Dentre eles, podemos citar Arquimedes de Siracusa, Isaac Newton, Gottfried Leibniz, Pierre Fermat, Augustin Cauchy, Joseph-Louis Lagrange, Julius Dedekind, Bernhard Riemann e Karl Weierstrass. Esse ramo da Matemática, conhecido em um contexto mais avançado como Análise Matemática, despertou paixões, causou crises e, logicamente, promoveu o avanço do conhecimento humano. O seu estudo, além de enriquecedor no sentido da aquisição pura e simples do conhecimento, é útil e importante na formação do futuro professor uma vez que proporciona uma forte ligação entre conceitos de aspectos puramente teóricos a situações das mais variadas naturezas. Objetivos Ao final do curso, espera-se que o aluno esteja habilitado a: Compreender o funcionamento da regra da cadeia e utilizá-la no cálculo de derivadas de funções dadas tanto na forma explícita quanto na forma implícita. Compreender a interpretação dada à derivada de uma função como sendo uma velocidade e utilizá-la na resolução de diversos problemas. Estudar o comportamento de uma função no que diz respeito a pontos extremos, concavidade e comportamento no infinito. Esboçar com rigor o gráfico das principais funções. Compreender o significado da integral definida e relacioná-lo com o conceito de primitiva.
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Disciplina: Clculo Diferencial e Integral IIProfessor: Eduardo Gonalves dos Santos Curso de Licenciatura em Matemtica UFPBVIRTUAL [email protected] Ambiente Virtual de Aprendizagem: Moodle www.ead.ufpb.br Site da UFPBVIRTUAL www.virtual.ufpb.br Site do curso www.mat.ufpb.br/ead Telefone UFPBVIRTUAL (83) 3216 7257 Carga horria: 60 horas Crditos: 04

EmentaDerivadas e Integrais.

DescrioEsta disciplina consiste de uma continuao do estudo das derivadas iniciado no curso de Clculo Diferencial e Integral I, bem como de uma apresentao ao conceito de integral. O programa da disciplina est dividido em cinco unidades. Na primeira ampliaremos o nosso leque de regras de derivao, atravs de um aprofundamento no estudo da regra da cadeia que possibilitar a derivao de funes compostas, bem como de funes dadas na forma implcita e de funes inversas. A segunda unidade aborda algumas aplicaes da derivada, destacando-se a aquelas relativas ao estudo do comportamento de uma funo no que se refere a mximos, mnimos, crescimento, decrescimento e concavidades. A terceira unidade introduz os conceitos de integral definida e primitiva, relacionando-os atravs do chamado Teorema Fundamental do Clculo. A quarta unidade faz um estudo sobre algumas tcnicas para a determinao de primitivas. Na quinta unidade sero dadas algumas aplicaes geomtricas da integral definida, como o clculo de reas, volumes e comprimentos de arcos. Tambm durante a quarta unidade ser feito um rpido estudo sobre o sistema de coordenadas polares. As idias presentes neste curso so bastante antigas e sobre elas vrios homens de cincia dedicaram boa parte de suas carreiras nos mais variados perodos da histria da humanidade. Dentre eles, podemos citar Arquimedes de Siracusa, Isaac Newton, Gottfried Leibniz, Pierre Fermat, Augustin Cauchy, Joseph-Louis Lagrange, Julius Dedekind, Bernhard Riemann e Karl Weierstrass. Esse ramo da Matemtica, conhecido em um contexto mais avanado como Anlise Matemtica, despertou paixes, causou crises e, logicamente, promoveu o avano do conhecimento humano. O seu estudo, alm de enriquecedor no sentido da aquisio pura e simples do conhecimento, til e importante na formao do futuro professor uma vez que proporciona uma forte ligao entre conceitos de aspectos puramente tericos a situaes das mais variadas naturezas.

ObjetivosAo final do curso, espera-se que o aluno esteja habilitado a: Compreender o funcionamento da regra da cadeia e utiliz-la no clculo de derivadas de funes dadas tanto na forma explcita quanto na forma implcita. Compreender a interpretao dada derivada de uma funo como sendo uma velocidade e utiliz-la na resoluo de diversos problemas. Estudar o comportamento de uma funo no que diz respeito a pontos extremos, concavidade e comportamento no infinito. Esboar com rigor o grfico das principais funes. Compreender o significado da integral definida e relacion-lo com o conceito de primitiva.

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Utilizar a integral definida para calcular reas, volumes e comprimentos de arco em alguns casos. Ler, interpretar e comunicar idias matemticas.

Unidades Temticas IntegradasUnidade I Unidade II Unidade III Unidade IV Unidade V Regras de Derivao Derivada da funo composta Derivada de funes dadas na forma implcita Derivada da funo inversa Derivadas de algumas funes inversas Interpretando e Utilizando a Derivada Taxas de variao Crescimento e decrescimento Mximos e mnimos locais Mximos e mnimos globais Concavidade e pontos de inflexo Esboo de grficos O Teorema do valor mdio Integral Definida e Primitivas Motivao inicial: o problema da rea Integral definida: definio e propriedades Primitivas O teorema fundamental do clculo Algumas Tcnicas para se Encontrar Primitivas Integrao por substituio Integrao por partes Substituies trigonomtricas O mtodo das fraes parciais Aplicaes Geomtricas da Integral Definida Clculo de reas O sistema de coordenadas polares Comprimentos de arcos Volumes de slidos de revoluo

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Unidade I:

Regras de Derivao

1. - Situando a TemticaNo curso de Clculo Diferencial e Integral I tivemos a oportunidade de definir e interpretar geometricamente um objeto bastante importante na matemtica que a derivada de uma funo. Vimos que para obt-la existem algumas regras que evitam o uso da definio e tornam seu clculo bastante simplificado. Nesta unidade ampliaremos o estudo da Regra da Cadeia o que nos permitir derivar uma quantidade considervel de funes. Alm disso, utilizaremos a referida regra para obter a derivada de funes dadas na forma implcita e a derivada da inversa de algumas funes.

2. - Problematizando a TemticaAs primeiras regras de derivao que foram estudadas em Clculo Diferencial e Integral I no eram suficientes para derivar uma quantidade importante de funes como determinados tipos de funes compostas. Para tratar desse problema, tornou-se necessria a introduo de uma nova regra, conhecida como Regra da Cadeia. Aqui vamos explorar este tema de uma forma mais profunda.

3. - Conhecendo a Temtica3.1. - Derivada da Funo Composta No curso de Matemtica para o Ensino Bsico II tomamos contato com uma situao que permitia obter uma nova funo a partir de duas outras. Mais especificamente, dadas f : A B e g : B C funes, definimos a funo h : A C pela frmula h ( x ) = g f ( x ) . A funo h chamada de funo composta de

(

)

g e f e denotada por g D f . Estamos interessados aqui em obter uma frmula que fornea a derivada da funo h a partir das derivadas de f e g . Com esse objetivo em mente vamos analisar o seguinte exemplo:Exemplo 3.1.1. Considere a funo h ( x ) = ( 2 x + 3) e vamos tentar obter sua derivada. O nosso impulso2

inicial desenvolver o quadrado do binmio. Fazendo isso ficamos com:

h ( x ) = 4 x 2 + 12 x + 9.Agora usamos a regra de derivao de polinmios e vemos que:

h ' ( x ) = 8 x + 12.Aqui h algo que simplificou bastante essa tarefa: o expoente do binmio pequeno, o que permitiu que ns o desenvolvssemos. Se o expoente fosse, por exemplo, 20, tal desenvolvimento, apesar de possvel, seria bastante laborioso e o clculo da derivada tornar-se-ia bastante penoso. Imagine o caso em que o expoente 100. A situao discutida no Exemplo 3.1.1. nos mostra ser necessrio o conhecimento de uma nova regra de derivao que permita derivar funes como aquela que l foi discutida. Essa nova regra ser chamada Regra da Cadeia pelo fato de que as derivadas sero executadas como num processo em cadeia, em seqncia. Vamos revisitar o Exemplo 3.1.1. a fim de que possamos ter uma pista acerca do funcionamento da dita regra. Exemplo 3.1.1 (Revisitado). Em primeiro lugar vamos encarar h como uma funo composta. De fato, se fizermos g ( x ) = x 2 e f ( x ) = 2 x + 3 ento vemos que h ( x ) = g f ( x ) . Agora perceba que:

(

)

h ' ( x ) = 8 x + 12 = 2 ( 2 x + 3) 2.

67

Mas veja que g ' ( x ) = 2 x , f ' ( x ) = 2 e g ' f ( x ) = 2 ( 2 x + 3) . Portanto olhando para a expresso de

(

)

h ' ( x ) obtida antes vemos que:

h ' ( x ) = g ' ( f ( x )) f ' ( x ).

A concluso obtida na nova visita que fizemos ao Exemplo 3.1.1. nos d uma pista sobre o aspecto da Regra da Cadeia. Ela sugere que a derivada da funo composta obtida multiplicando as derivadas das funes envolvidas, mas com uma ressalva: nesse produto a derivada da funo g est calculada no ponto f ( x ) . Em termos mais precisos podemos enunci-la assim. Regra da Cadeia: Se h ( x ) = g f ( x ) e f e g so funes derivveis ento

(

)

h ' ( x ) = g ' ( f ( x )) f ' ( x ).

A demonstrao da Regra da Cadeia ficar postergada para o curso de Introduo Anlise. Aqui vamos explorar o seu poder para derivar funes mais complexas. Veremos agora diversos exemplos. Exemplo 3.1.2. Calcule a derivada das seguintes funes: a. h ( x ) = ( 2 x + 3)2008

3x 2 + 4 x b. h ( x ) = 2 2x + 1

5

c. h ( x ) =

2x +1 5x + 3

2

d. h ( x ) = 3 x 3 + 5 x 2 + 6 x

Vejamos a letra (a). Temos que h ( x ) = g f ( x ) , onde f ( x ) = 2 x + 3 e g ( x ) = x 2008 . Como f ' ( x ) = 2 e

(

)

g ' ( x ) = 2008 x 2007 , segue pela regra da cadeia que: h ' ( x ) = 2008 ( 2 x + 3)2007

2 = 4016 ( 2 x + 3)

2007

.

Vejamos a letra (b). Aqui vamos precisar lembrar a regra de derivao do quociente. Em primeiro lugar temos

h ( x ) = g ( f ( x ) ) , onde f ( x ) =

f '( x) =e que g ' ( x ) = 5 x 4 .

3x 2 + 4 x e g ( x ) = x 5 . Note que: 2x2 + 1 2 x2 + 1 ( 6 x + 4 ) 3x2 + 4 x ( 4 x )

(

)

( 2x

(

2

+1

)

)

2

=

6 x + 4 8x2

(2x

2

+1

)

2

Assim, pela regra da cadeia, podemos dizer que:

4 2 2 3x 2 + 4 x 6 x + 4 8 x 2 5 3x + 4 x 6 x + 4 8 x . h '( x) = 5 = 2 6 2 2x + 1 2x2 + 1 2x2 + 1

(

)

(

(

)(4

)

)

Passemos letra (c). Temos que h ( x ) = g f ( x ) , onde f ( x ) =

(

)

f '( x) =

2 ( 5 x + 3) 5 ( 2 x + 1)

2x + 1 e g ( x ) = x 2 . Agora note que 5x + 3

( 5 x + 3)

2

=

1

( 5 x + 3)

2

e que g ' ( x ) =

2 . Portanto x3

68

2 x + 1 ( 5 x + 3) ( 2 x + 1) 5x + 3 Finalmente, vejamos a letra (d). Note que h ( x ) = g ( f ( x ) ) , onde g ( x ) = x e f ( x ) = 3 x 3 + 5 x 2 + 6 x .3 2 3

h '( x) =

2

1

=

2 ( 5 x + 3)

.

Como g ' ( x ) =

1 2 x

e f ' ( x ) = 9 x 2 + 10 x + 6 , temos que

2 3x 2 + 5 x 2 + 6 x Exemplo 3.1.3. Na tabela abaixo, so dadas informaes sobre as funes f e g :x-1 2

h '( x) =

1 2 3x 2 + 5 x 2 + 6 x

( 9 x 2 + 10 x + 6 ) =

9 x 2 + 10 x + 6

.

f ( x)2 0

f '( x)3 4

g ( x)2 1

g '( x)-3 -5

Vamos determinar o valor de h ' ( 1) , onde h ( x ) = f g ( x ) . Observe que, pela regra da cadeia, temos que

h ' ( x ) = f ' ( g ( x ) ) g ' ( x ) , ou

(

)

seja,

quando

fizermos

x = 1,

vamos

obter

e ' ( 1) , onde e ( x ) = g ( f ( x ) ) . Com efeito, pela regra da cadeia, temos que e ' ( x ) = g ' ( f ( x ) ) f ' ( x ) , ouseja, e ' ( 1) = g ' f ( 1) f ' ( 1) = ( 5 ) 3 = 15. Exemplo 3.1.4. Calcule a derivada das seguintes funes: a. f ( x ) = sen cos tg ( x )

h ' ( 1) = f ' ( g ( 1) ) g ' ( 1) = f ' ( 2 ) g ' ( 1) = 4 ( 3) = 12 . De forma anloga, podemos calcular

(

)

( (

))

b. g ( x ) = cos ln x 2 + 1

( (

))

Observe que nesses dois exemplos h uma composio de mais de duas funes. Nesse caso, como em outros desse tipo, usamos uma interpretao muito til e que simplifica bastante o uso da Regra da Cadeia. Se observarmos, em todos os exemplos at agora vistos, a regra da cadeia funciona assim: Comeamos derivando a funo mais externa, sem mexer naquela que est dentro dela e multiplicamos essa derivada pela derivada daquela que est dentro. Enquanto houver funes dentro, continuamos derivando, at chegarmos varivel independente. Vamos ver como funciona isso nesse caso. A funo mais externa o seno, em seguida vem o co-seno e por ltimo vem a tangente. Seguindo a interpretao dada, primeiro derivamos o seno, sem mexer no que est dentro dele. Fazendo isso, obtemos cos cos tg ( x ) prxima

( ( )

) ) . Em seguida, multiplicamos essa derivada pela derivada daest dentro dela. Fazendo isso, obtemos

cos cos ( tg ( x ) ) sen ( tg ( x ) ) . Finalmente, derivamos a ltima funo e obtemos:

(

funo,

) ( (

sem

derivar

quem

f ' ( x ) = cos cos ( tg ( x ) ) sen ( tg ( x ) ) sec 2 ( x ) = cos cos ( tg ( x ) ) sen ( tg ( x ) ) sec 2 ( x ) .Vejamos agora a letra (b). A funo mais externa o co-seno, seguida do logaritmo e por ltimo a funo quadrtica. Repetindo o argumento anterior, ficamos com:

) (

)

(

)

69

2 xsen ln x 2 + 1 1 g ' ( x ) = sen ln x + 1 2 2 x = . x +1 x2 + 1

( (

2

))

( (

))

Ampliando o seu ConhecimentoLeia com ateno os exemplos acima. No deixe de compreender nenhuma passagem. Na plataforma MOODLE vamos disponibilizar mais exemplos resolvidos para que voc fique bastante familiarizado com a regra da cadeia. No deixe de visitar o nosso ambiente virtual.

3.2. - Derivadas de funes dadas na forma implc ita Na linguagem quotidiana a palavra implcita diz respeito a algo que no est dito de modo claro, evidente. Em matemtica o significado bastante semelhante. Para entendermos isso basta olharmos para as funes com as quais temos lidado at agora. Quando dizemos seja y = f ( x ) uma funo de x, fica claro, explcito a maneira de associar um nico y para cada x atribudo. Entretanto, nem sempre as coisas acontecem assim. Em determinados contextos, nos dada uma expresso envolvendo x e y e pergunta-se: em que condies essa expresso nos permite explicitar y como funo de x, ou o contrrio? A resposta no simples e no trataremos desta questo aqui. O nosso principal interesse o seguinte: Dada uma expresso envolvendo x e y, e supondo que essa expresso nos permita explicitar y como funo de x, como fazer para encontrar a derivada de y com relao a x? Antes de prosseguirmos, convm adotarmos uma notao. Nesta seo a derivada de y com relao a x ser denotada por y. Vejamos atravs de alguns exemplos, como proceder para atingirmos nosso objetivo. Exemplo 3.2.1. Vamos olhar para a expresso xy = 1 cujo grfico no plano cartesiano uma curva chamada hiprbole que est desenhada ao lado. Observe que, neste caso, a expresso tanto fornece y como funo de x como o contrrio. Se quisssemos encontrar y poderamos proceder de duas maneiras. A primeira expressar diretamente y como funo de x usando a equao, o que resulta em:

y=

1 , x1 . x2

que, quando derivada, nos fornece

y' =

A segunda ser aquela que ns utilizaremos com mais freqncia. Derivamos diretamente a expresso, sempre lembrando que possvel explicitar y como funo de x. Fazendo isso, teremos:

( xy )

'

= 0,

uma vez que a derivada da funo constante zero. Usando a regra do produto, ficaremos com:

x ' y + xy ' = 0 . como a derivada de x com relao a x 1, temos que essa ltima igualdade toma o seguinte aspecto: y + xy ' = 0, y' = y . xou ainda,

70

Notemos que se substituirmos y por

1 1 , obteremos nessa ltima expresso y ' = 2 , ou seja, o mesmo que x x

encontramos anteriormente. Agora um comentrio sobre este exemplo: ele muito especial, pois a expresso nos permite tirar y como funo de x e o contrrio. Agora vamos ver um exemplo onde no podemos fazer isso. Exemplo 3.2.2. Supondo que a expresso x 4 y 3 3 xy = 60 defina implicitamente y como funo de x, vamos encontrar y. Usando a regra do produto e a regra da cadeia para derivar ambos os membros da igualdade com relao a x, ficaremos com:

4 x 3 y 3 + 3 y 2 y ' x 4 3 ( y + xy ' ) = 0 .Agora isolando y ficamos com

y' =

3 y 4 x3 y 3 . 3 y 2 x 4 3x

Perceba uma diferena entre este exemplo e o anterior. No primeiro, y ficou apenas em funo de x, enquanto que no segundo, y ficou em funo tanto de y como de x. Isso aconteceu porque no primeiro exemplo pudemos explicitar y como funo de x, enquanto que no segundo isso no foi possvel. Lembre que, no curso de Clculo Diferencial e Integral I, foi visto que a derivada de uma funo f no ponto

( a, f ( a ) )

o coeficiente angular da reta tangente ao grfico daquela funo naquele ponto. Portanto, quando

calculamos a derivada y de uma funo definida implicitamente por uma expresso envolvendo x e y o que estamos encontrando o coeficiente angular da reta tangente quela curva - j que no plano cartesiano a expresso representada por uma curva - num dado ponto. Vamos ver dois exemplos sobre isso. Exemplo 3.2.3. Usando a tcnica da derivao implcita, vamos encontrar a equao da reta tangente ao grfico da curva x3 + y 3 = 6 xy no ponto ( 3,3) . Ao lado est mostrado o esboo de um pedao dessa curva, conhecida como Flium de Descartes. Observe que para encontrarmos a equao da reta pedida, devemos primeiro encontrar o seu coeficiente angular que ser dado por y, calculado em ( 3,3) . Derivando a equao da curva com respeito a x, ficamos com:

3 x 2 + 3 y 2 y ' = 6 ( y + xy ') .

Isolando o termo y, ficaremos com:

y' =

6 y 3x 2 2 y x 2 = , 3y2 6x y2 2x

Agora fazendo x=3 e y=3, encontraremos y ' = 1. Portanto, a equao da reta tangente ao Flium de Descartes no ponto ( 3,3) ser dada por:

ou seja, y 3 = 3 x, ou ainda, x + y = 6. Veja que na figura acima a reta possui coeficiente angular negativo, o que se confirma no coeficiente por ns encontrado.

y 3 = 1 , x3

71

Exemplo 3.2.4. Vamos determinar os pontos da curva x 2 xy + y 2 = 3, onde a reta tangente horizontal. A curva dada representa uma elipse com eixos no paralelos aos eixos cartesianos. Para encontrarmos os pontos pedidos, devemos derivar a equao implicitamente com relao a x e encontrarmos os pontos onde y ' = 0. Fazendo isso, obtemos:

2 x ( y + xy ' ) + 2 yy ' = 0.Isolando y ', ficamos com:

y' =

y 2x . 2y x

Nos pontos que queremos determinar vale y ' = 0. Portanto, y = 2 x. Substituindo na equao da curva, teremos:

x 2 x(2 x ) + (2 x ) = 3,2

ou seja, 3 x 2 = 3 o que nos fornece x 2 = 1 e, portanto, x = 1 ou x = 1 . Assim, substituindo em y = 2 x, ficaremos com dois valores, y = 2 ou y = 2 e da os pontos sero (1,2 ) e ( 1,2 ) . Veja a figura ao lado.

Ampliando o seu ConhecimentoExiste um critrio bastante interessante que nos permite dizer se uma dada expresso da forma da Funo Implcita e um dos principais resultados da disciplina chamada Anlise Matemtica.

F ( x, y ) = 0 define y como funo de x ou o contrrio. Esse resultado conhecido como Teorema

3.3. - Derivada da funo inversa A regra da cadeia vista anteriormente nos serve para encontrar a derivada da inversa de uma funo. Vamos recordar a seguinte definio Uma funo f : A B dita invertvel se existir uma outra funo g : B A de modo que g f ( x ) = x, para todo x A e f g ( x ) = x, para todo x B. Em termos mais concretos, a funo f invertvel, se existir uma outra funo g que desfaa o que ela faz. Perceba que se f invertvel ento a g que desfaz o que ela faz tambm invertvel, pois f desfaz o que g faz! Chamamos a funo g de inversa da funo f. Pela discusso precedente, a funo f ser chamada de inversa da funo g. Exemplo 3.3.1. A funo f : R R dada por f ( x ) = x 3 invertvel, pois a funo g ( x ) = x 3 satisfaz1

(

)

(

)

g ( f ( x ) ) = x, para todo x R e f ( g ( x ) ) = x, para todo x R .

72

f : A B uma funo invertvel, onde A e B so subconjuntos de R..Derivandof ( g ( x ) ) = x, ficaremos com

Nosso interesse agora obter uma frmula para o clculo da derivada da funo inversa. Seja ento a igualdade

( f ( g ( x )))

' = 1,

Usando a Regra da Cadeia, esta igualdade transforma-se em:

f ' ( g ( x ) ) g ' ( x ) = 1,ou seja, g ' ( x ) = fato: Frmula para a derivada da funo inversa: Se f : A B uma funo invertvel, onde A e B so subconjuntos de R e g : B A a sua inversa, ento

1 . para todo x onde essa frao fizer sentido. Podemos ento enunciar o seguinte f '( g ( x ))

g '( x) =onde essa frao fizer sentido

1 . f ' ( g ( x ))

Vamos discutir alguns exemplos. Exemplo 3.3.2. Considere a funo f ( x ) = 2 x 3 + 5 x + 3 . Podemos mostrar que f invertvel. No faremos isso aqui. Vamos explorar outro aspecto. Chamando a inversa de f de g, podemos calcular g ' ( 3) . Usando a frmula para a derivada da funo inversa, temos que:

g ' ( 3) =

Sabemos que f ' ( x ) = 6 x 2 + 5, mas no conhecemos o valor de g ( 3) . Mas veja que se fizermos g ( 3) = a e levarmos em conta que g a inversa de f, teremos que f ( a ) = 3. Como o nico nmero cujo f 3 0, segue que a=0. Portanto, usando a frmula anterior, temos

1 . f ' ( g ( 3) )

g ' ( 3) =

1 1 1 1 = = = . 2 f ' ( g ( 3) ) f ' ( 0 ) 6 0 + 5 53

Exemplo 3.3.3. Considere a funo f ( x ) = x 3 + 2 . Observe que a funo inversa de f g ( x ) = para a derivada da funo inversa. Derivando g, obtemos:

x2 .

Vamos calcular g ' (10 ) de duas maneiras: primeiro derivando g diretamente e segundo utilizando a frmula

g '( x) =Portanto, g ' (10 ) =

2 1 ( x 2) 3 . 3

1 32 1 (8) = . Agora vamos obter esse mesmo resultado usando a frmula para a derivada 3 12 g ' (10 ) = 1 . f ' ( g (10 ) ) 1 1 1 = = . 2 f ' ( 2 ) 3 2 12

da funo inversa. A dita frmula nos diz que

Observe que f ' ( x ) = 3 x 2 e g (10 ) = 2 , portanto g ' (10 ) =

73

3.4. - Derivadas de algumas funes inversas Vamos utilizar os conhecimentos adquiridos nos pargrafos anteriores para obtermos a derivada de algumas funes inversas muito importantes. 3.4.1. - Funo Logartmica A funo logartmica a inversa da funo exponencial. Mais precisamente, seja f ( x ) = e x a funo exponencial de base e. A inversa de f a funo g ( x ) = ln ( x ) . Sabemos do curso de Clculo I que a derivada de f dada por f ' ( x ) = e x . Usando a frmula para a derivada da inversa temos que

g '( x) =

1 1 1 = ln ( x ) = , ou seja, x f ' ( g ( x )) e'

, para todo x > 0. ( ln ( x ) ) = 1 xExemplo 3.4.1.1. Calcule a derivada das seguintes funes: a. f ( x ) = ln x 2 + 1

(

)(

b. f ( x ) = ln 1 + e x

Observe que, na letra (a), f ( x ) = m n ( x ) , onde m ( x ) = ln ( x ) e n ( x ) = x 2 + 1. Assim, usando a Regra da Cadeia, ficaremos com:

)

(

2

)1 2x . 2x = 2 x +1 x +12

f ' ( x ) = m '( n ( x )) n '( x ) =1 1 + ex2

No caso da letra (b), a funo mais externa ln ( x ) . Vamos deriv-la, sem mexer no que est dentro dela, que no nosso caso 1 + e x . Feito isso obtemos2

. Em seguida, multiplicamos esse resultado pela derivada da

funo que estava dentro. S que essa tambm possui uma dentro de si. Assim, repetimos o mesmo processo de antes. Quando fizermos esse produto ficaremos com

1 1+ ex2x2

e x . Agora multiplicamos esse resultado pela

2

derivada da funo que estava dentro de 1 + e x que era x 2 . Feito isso ficaremos com:

f '( x) =3.4.2. - Funo arco seno

1 1 + ex2

e 2x =

2 xe x

2 2

1 + ex

.

A funo f ( x ) = sen ( x ) possui como domnio o conjunto dos nmeros reais, conforme aprendemos no curso de Matemtica para o ensino bsico II, e imagem o intervalo fechado [ 1,1] . Entretanto ela no invertvel pelo fato de no ser injetora. Esse impedimento ser contornado agora a fim de possibilitar que esta funo, bem como as outras funes trigonomtricas, possua inversa. O nosso procedimento aqui parecer arbitrrio e at mesmo artificial numa primeira olhada, mas, em alguns casos, os fins justificam os meios. A nossa estratgia ser diminuir o domnio da funo f a fim de que, neste novo domnio, ela passe a ser invertvel. Observe o grfico ao lado:

74

Vamos tomar a funo seno definida apenas no intervalo fechado , e tomando valores em [ 1,1] . 2 2 Agora definiremos uma funo g : [ 1,1]

, da seguinte maneira: 2 2 , tal que sen ( y ) = x. 2 2

Dado x [ 1,1] , g ( x ) definido como o nico y

Perceba algo de muito interessante com a funo g: a sua definio foi construda de propsito, para que ela fosse a inversa de f. A funo g definida acima ser chamada de funo arco seno e representada assim g ( x ) = arcsen ( x ) . Antes de passarmos para o clculo da derivada da funo arco seno, vamos ver um exemplo. Exemplo 3.4.2.1. Vamos calcular arcsen ( 0 ) . Quem ele? o nico y

tal que sen ( y ) = 0. Esse , 2 2 y justamente 0. Portanto, arcsen ( 0 ) = 0. Calculemos agora arcsen (1) . Ele o nico y , tal que 2 2 sen ( y ) = 1. Mas sen = 1. Logo arcsen (1) = . 2 2 Passaremos agora ao clculo da derivada de g ( x ) = arcsen ( x ) . Se fizermos arcsen ( x ) = y, ento teremos sen ( y ) = x e, como conseqncia da identidade sen 2 ( y ) + cos 2 ( y ) = 1, teremos cos ( y ) = 1 x 2 que positivo, pois y

g ( x ) = arcsen ( x ) bem como o fato de que a derivada da funo seno a funo co-seno, teremos que

, . Utilizando a frmula para a derivada da funo inversa com f ( x ) = sen ( x ) e 2 2

( arcsen ( x ) )

'=

1 1 1 = = . cos ( arcsen ( x ) ) cos y 1 x2

Como essa expresso s faz sentido se x ( 1,1) , segue que a derivada da funo arco seno s existe nesse intervalo. Resumindo nossa discusso, destacamos:

( arcsen ( x ) ) ='

1 1 x2

, com x ( 1,1) ,

Exemplo 3.4.2.2. Calcule a derivada das seguintes funes: a. f ( x ) = arcsen ( 3 x ) b. m ( x ) = arcsen 2 ( 2 x )

Comecemos pela letra (a). Observe que f ( x ) = g h ( x ) , onde g ( x ) = arcsen ( x ) e h ( x ) = 3 x. Portanto, pela Regra da Cadeia temos que:

(

)

f '( x ) = g ' ( h ( x )) h ' ( x ) =

1 1 ( 3x )2

3 =

3 1 9x2

que est dentro. Feito isso obteremos 2 arcsen ( 2 x ) . Em seguida multiplicamos esse resultado pela derivada

Vejamos agora a letra (b). Em primeiro lugar derivamos a funo mais de externa, que x 2 sem mexermos na

(

)

75

da prxima funo, que no caso arcsen ( x ) , mas sem mexer no que est dentro dela. Assim procedendo obteremos 2 arcsen ( 2 x )

(

)

1 1 ( 2x )2

. Para finalizar, multiplicamos esse resultado pela derivada da prxima

funo que 2 x e obteremos:

f ' ( x ) = 2 ( arcsen ( 2 x ) ) Portanto:

1 1 (2x) .2

2

f '( x) =3.4.3. - Funo arco tangente

4arcsen ( 2 x ) 1 4x2

A funo f ( x ) = tg ( x ) possui como domnio o conjunto dos nmeros reais diferentes de

2

,

3 , bem 2

como de seus mltiplos e imagem o conjunto dos nmeros reais. Ela, assim como a funo seno, no invertvel. A nossa misso aqui a mesma do item anterior, ou seja, reduzir convenientemente o seu domnio a fim de que ela passe a ter inversa e, depois, encontrar a derivada dessa inversa. Observe o grfico mostrado ao lado: Se tomarmos f ( x ) = tg ( x ) definida apenas no intervalo funo g : R

, tomando valores em R, podemos definir a 2 2

, da seguinte maneira: 2 2 , tal que tg ( y ) = x. 2 2

Dado x R , g ( x ) definido como o nico y

Essa funo, pela sua prpria construo, a inversa de f. Ela ser chamada de funo arco tangente e ser representada por g ( x ) = arctg ( x ) . Vamos ver um exemplo. Exemplo 3.4.3.1. Vamos calcular arctg Trigonometria nos ensina que esse y

( 3) .

Ele o nico y

3

. Portanto arctg

Vamos agora efetuar o clculo da derivada de g ( x ) = arctg ( x ) . Se fizermos y = arctg ( x ) , teremos

. ( 3) = 3

, tal que tg ( y ) = 3 . A 2 2

tg ( y ) = x e, conseqentemente, sec 2 ( y ) = 1 + x 2 . Utilizando agora a frmula da derivada da funo inversa elembrando que a derivada da tangente a secante ao quadrado, teremos

( arctg ( x ) ) ' = sec

2

1 1 1 = = . 2 ( arctg ( x ) ) sec ( y ) 1 + x2

76

Como essa expresso faz sentido para qualquer x R, segue que a funo arco tangente derivvel em todo o conjunto dos nmeros reais. Assim, podemos destacar:

( arctg ( x ) ) ' = 1 +1xa. f ( x ) = arctg 1 x 2

2

, para todo x R.

Exemplo 3.4.3.2. Calcule a derivada das seguintes funes:

(

)

b. g ( x ) = x 2 arctg cos ( x )

(

)

Comecemos pela letra (a). Derivando a funo mais externa, sem mexer naquela que est dentro, obtemos

1 1+ 1 x

(

2

)

2

=

1 . Agora multiplicamos esse resultado pela derivada da que est dentro. Fazendo 2 2 x2 + x4 f '( x) = 1 2 x ( 2 x ) = 2 4 2 2x + x 2 2x2 + x4

isso, ficamos com:

Vejamos agora a letra (b). Aqui primeiro vamos usar a regra do produto. Fazendo isso, obtemos:

g ' ( x ) = 2 xarctg ( cos ( x ) ) + x 2 arctg ( cos ( x ) ) 'Falta agora calcular arctg cos ( x ) '. Agora que entra em ao a regra da cadeia. Derivando a funo mais externa, obtemos

(

(

))

(

)

1 . Agora multiplicamos esse resultado pela derivada da funo que est dentro. 1 + cos 2 ( x )

Fazendo isso, ficamos com:

g ' ( x ) = 2 xarctg ( cos ( x ) ) + x 2 arctg ( cos ( x ) ) ' = 2 xarctg ( cos ( x ) ) + x 23.4.4. - Funo arco secante A funo f ( x ) = sec ( x ) possui o mesmo domnio da funo tangente e sua imagem o conjunto dos nmeros reais cujo mdulo maior que ou igual a um. Como as duas funes precedentes ela tambm no invertvel. Observe o seu grfico mostrado ao lado.

(

)

1 ( sen ( x ) ) . 1 + cos 2 ( x )

Observe que, a despeito de terem o mesmo domnio, no usaremos o mesmo intervalo que o da tangente para inverter a funo secante. Isso porque, no intervalo onde invertemos a tangente, a funo secante no injetora, no podendo ser, portanto, invertvel. A soluo considerar a unio dos intervalos 0, Se considerarmos f ( x ) = sec ( x ) definida apenas nessa unio, podemos

e , . 2 2 a

definir

funo

g : { x R | x 1} 0, , da seguinte maneira: 2 2 Dado x x R | x 1 , g ( x ) definido como o nico y 0,

{

}

, tal que sec ( y ) = x. 2 2

77

A funo g, pela sua prpria construo a inversa de f, ser chamada de funo arco secante e ser representada por g ( x ) = arc sec ( x ) . Vejamos um exemplo. Exemplo 3.4.4.1. Vamos calcular arc sec (1) . Ele o nico y 0,

, tal que sec ( y ) = 1. Como 2 2 1 sec ( y ) = , para que sec ( y ) = 1, devemos ter cos ( y ) = 1. Mas em 0, , o nico y que cos ( y ) 2 2

possui essa caracterstica y = 0, o que nos mostra que arc sec (1) = 0. Vamos agora calcular a derivada de g ( x ) = arc sec ( x ) . Se fizermos y = arc sec ( x ) , teremos que

sec ( y ) = x

e,

portanto,

1 cos ( y ) = . Usando x

a

identidade

sen 2 ( y ) + cos 2 ( y ) = 1, obtemos

x2 1 sen ( y ) = . Agora utilizando a frmula para a derivada da funo inversa e o fato de que x2 sen ( y ) ( sec ( y ) ) ' = cos2 ( y ) , vamos ficar com:

( arc sec ( x ) ) ' =

( sec ( arc sec ( x )) ) ('

1

cos 2 ( y ) 1 = = = sen ( y ) sec' ( y )

)

1 x x2 = = 2 2 x 1 x x2 1 x x

1 x2 1

.

Como a expresso acima s faz sentido se x > 1, segue que a funo arco secante s derivvel no conjunto

{ x R | x > 1}. Assim podemos destacar

( arc sec ( x ) ) ' =

1 x x2 1

, para todo x { x R | x 1} ,

Veremos agora alguns exemplos sobre as derivadas vistas acima. Exemplo 3.4.4.2. Calcule a derivada das funes abaixo: a. f ( x ) = arc sec ln ( x )

(

)

b. g ( x ) = e

xarc sec( x )

Comecemos pela letra (a). Usando a regra da cadeia temos

f '( x) =

1 ln ( x )

( ln ( x ) )

2

1 = x x ln ( x ) 1

1

( ln ( x ) )

2

. 1

Agora a letra (b). Usando a regra da cadeia temos

g '( x) = e

xarc sec( x )

arc sec ( x ) + x x

1

xarc sec x x ( ) =e 2 x 1

x 2 1arc sec ( x ) + x . x x2 1

78

Observao: Podemos demonstrar frmulas anlogas para a derivada de outras funes trigonomtricas inversas.

Dialogando e Construindo ConhecimentoRena-se com os colegas para discutir os temas abordados. Procure os Tutores para esclarecer as dvidas sobre algum tema que no tenha sido bem assimilado. Comunique-se! Ns estamos sempre dispostos a orient-lo e ajud-lo em caso de dificuldade no estudo da disciplina. Acredite em seu potencial e conte conosco.

4. Avaliando o que foi construdoNesta unidade voc ampliou seus conhecimentos acerca da regra da cadeia e pode perceber a sua potncia tanto para derivar funes dadas na forma explcita, quanto funes dadas na forma implcita, bem como no clculo da derivada de algumas inversas. O que vimos aqui muito importante para a prxima unidade.

No Moodle...Visite o espao reservado disciplina Clculo Diferencial II na plataforma MOODLE, onde voc ter a oportunidade de revisar, testar e enriquecer seus conhecimentos. Lembre-se de que somos parceiros nos estudos e, portanto, devemos caminhar juntos no curso. Aguardo voc no MOODLE!

79

Unidade II:

Interpretando e Utilizando a Derivada

1. - Situando a TemticaO que faz da derivada um objeto to importante na Matemtica , dentre outras coisas, a possibilidade de que, atravs dela, podemos obter informaes muito valiosas acerca do comportamento de uma dada funo. O conhecimento da derivada de uma funo nos permite descobrir seus pontos de mximo e mnimo locais, em alguns casos at os globais, aspectos ligados sua concavidade, dentre outros. Por outro lado, graas sua interpretao como velocidade, podemos ter idia de como grandezas que se relacionam entre si de forma explcita e, at mesmo de forma implcita, se comportam uma em relao outra.

2. - Problematizando a TemticaOs problemas de mximo e mnimo esto entre os mais belos e antigos da Matemtica. Determinar os pontos de mximo e mnimo de uma funo com a ajuda das suas derivadas uma tarefa que envolve um raciocnio simples, elegante e, acima de tudo, til. Traar o grfico de uma funo com rigor uma tarefa que, para ns, at ento, s est perfeitamente justificada para o caso das funes do primeiro grau. Como justificar, por exemplo, que a parbola tem aquela aparncia ou porque outros grficos tm este ou aquele jeito? Com o auxlio da derivada poderemos responder a estas e a outras interessantes questes acerca do comportamento de uma funo de uma maneira bastante satisfatria.

3. - Conhecendo a Temtica3.1. - Taxas de variao Uma das interpretaes mais importantes da derivada diz respeito a como uma grandeza varia em funo de uma outra. Sendo mais especficos, poderamos perguntar: se y funo de x podemos dizer o que ocorre com y quando x aumenta ou diminui? com que rapidez y cresce ou decresce quando x cresce ou decresce? Essas perguntas nos enviam a uma das mais importantes interpretaes que a derivada possui que a de Velocidade. A princpio associamos velocidade quando estamos diante do movimento de um carro, um avio, ou outro tipo de veculo. Vamos ver agora que o conceito de velocidade se expande um pouco mais. Comearemos com um exemplo: imagine que um veculo desloca-se por uma estrada e sua posio em um determinado instante dada pela seguinte funo S ( t ) = 2 + 4t + 8t 2 , onde t dado em segundos e S dado em metros. Um conceito que surge, particularmente na Fsica, o de Velocidade Mdia. Dados dois tempos t1 e t2 , com t1 < t2 , definimos a velocidade mdia do mvel entre t1 e t2 , como sendo:

Vm =

S ( t2 ) S ( t1 ) t2 t1

.

Essa nova grandeza nos diz de que forma a posio do mvel variou entre t1 e t2 . Se, por exemplo,

t1 = 2 e t2 = 4 , ento: Vm =

S ( t2 ) S ( t1 ) t2 t1

=

S ( 4) S ( 2) 42

.=

146 42 = 52m / s . 2

O que nos diz esse nmero? Ele diz que nesse intervalo de tempo, o mvel percorreu, em mdia, 52 metros a cada segundo. Entretanto, ele no nos diz, por exemplo, se o mvel parou em algum instante ou se deu marcha r em algum instante, dentre outras possibilidades. Portanto, um conceito que no oferece muito em termos de informao quantitativa do movimento do veculo. Para termos um conceito que nos informe um pouco mais sobre o movimento do veculo, precisamos de um conceito mais fino, que o de Velocidade Instantnea. Imagine que queiramos saber quanto vale a velocidade do mvel no instante t = 2. Primeiro vamos tentar

80

construir o que significa a expresso velocidade num determinado instante. Imaginemos que o instante t = 2 est fixo. A velocidade mdia entre t = 2 e um instante t > 2 dada por:

Vm =

S (t ) S ( 2) t 2

=

2 + 4t + 8t 2 42 8t 2 + 4t 40 . = t2 t2

Se fizermos esse instante t se aproximar cada vez mais de 2, essa velocidade mdia ser calculada em um intervalo de tempo cada vez menor, [ 2, t ] . Em virtude disso, razovel definirmos a Velocidade Instantnea em

t = 2 como sendo:

lim Vm = limt 2

(8t + 20 )( t 2 ) = lim 8t + 20 = 36 . 8t 2 + 4t 40 = lim ( ) t 2 t 2 t 2 t 2 (t 2)

O que nos diz esse nmero? Ele diz que se de repente o mvel passasse a se mover exatamente como est em t = 2 ele percorreria 2 metros a cada segundo. Outro fato importante nessa forma de pensar a velocidade instantnea que ela dada pela derivada da funo S ( t ) calculada no instante t = 2 . De fato, veja que

S ' ( t ) = 16t + 4 e da S ' ( 2 ) = 16 2 + 4 = 36.Na discusso acima, as grandezas S e t tiveram um papel apenas ilustrativo. Na realidade se uma grandeza y funo de uma outra x, podemos definir a Velocidade Mdia ou, como mais comum, a Taxa de variao mdia de y com relao a x, quando x varia de x1 at x2 como sendo:

y=

y ( x2 ) y ( x1 ) x2 x1

.

Tambm podemos definir a Velocidade instantnea ou, como mais comum, a Taxa de variao instantnea de y com relao a x, quando x = x1 , como sendo y ' ( x1 ) . Portanto, quando calculamos uma derivada, podemos interpret-la como uma velocidade. Vamos ver alguns exemplos dessa situao. Exemplo 3.1.1. Suponhamos que um petroleiro esteja com um vazamento de leo no mar e que a mancha de leo formada tenha um formato circular. Com o passar do tempo tanto a rea A da mancha, bem como o seu raio r, muda com relao ao tempo. Vamos avaliar como variam. Digamos que a velocidade de crescimento da rea A seja constante e igual a 10000 m 2 / hora . Queremos determinar a velocidade de crescimento do raio r quando ele for igual a 20 m. Observe que a rea A e o raio r relacionam-se atravs da frmula: A = r 2 . Sabemos que tanto A como r so funes do tempo t. O dado que temos que

dA = 10000m 2 / hora e r=20 m. Derivando a dt

frmula que d a rea em funo do raio, levando em conta que, tanto A como r so funes implcitas de t, teremos:

dA dr = 2 r , dt dtdonde conclumos, substituindo os valores de

dA dr 10000 e r ,que = 79, 61 m/hora. dt dt 40

Exemplo 3.1.2. Uma cidade atingida por uma molstia epidmica. Os setores de sade calculam que o nmero de pessoas atingidas pela referida molstia depois de um tempo t (medido em dias a partir do primeiro dia da epidemia) dado, aproximadamente, por n ( t ) = 64t

t3 dn = 64 t 2 . Como a derivada de n . Observe que dt 3

com relao a t mede a velocidade do nmero de casos em relao ao tempo, temos que se essa derivada for

81

positiva, o referido nmero de casos est aumentando, ao passo que se ela for negativa, ento esse nmero de casos est diminuindo. Como t 0, temos que

dn 0 apenas quando 0 t 8, ou seja, at o oitavo dia a dt dn < 0. epidemia cresceu. Do oitavo dia em diante a epidemia arrefeceu, pois, a partir desse dia, dt

Exemplo 3.1.3. Um tanque de gua em forma de um cone circular reto invertido est sendo esvaziado a uma taxa de 2m3 / h . O raio da base do cone 5 m e a sua altura 14 m. Determine: a) A taxa de variao da altura da gua, quando a mesma for 6 m. b) A taxa de variao do raio do topo da gua quando a altura da mesma for 6 m. Vejamos a letra (a). Sabemos que o volume de um cone circular reto dado por:

1 V = r 2 h, 3onde r o raio de sua base e h a sua altura. Queremos encontrar

dh quando h = 6 m. Na frmula que d o volume em funo de r e dth, precisaremos explicitar r em funo de h. Para isso, vamos usar semelhana de tringulos. Veja a figura ao lado. Dela podemos concluir que

5 14 5h . = , ou seja, r = 14 r h

Dela podemos concluir que ficaremos com:

5 14 5h = , ou seja, r = . Portanto, substituindo esse valor de r na frmula de V, r h 14

1 1 5h 25 h3 V = r 2h = h = . 3 3 14 5882

Derivando essa ltima igualdade com relao a t, ficaremos com:

dV 75 h 2 dh = . dt dt 588Substituindo os valores dados, obtemos:

2 =donde conclumos que:

5400 dh , dt 588

dh 1176 0, 07 m / h . dt 16956Note que o valor que encontramos negativo, o que corrobora com o fato de que a altura est diminuindo com relao ao tempo. Agora vamos letra (b). O que queremos encontrar

dr quando h = 6 m. O procedimento dt

82

aqui semelhante ao que foi feito na letra (a). A mesma semelhana de tringulos obtida na letra (a) nos permite dizer que h =

14r 30 . Quando h = 6 , temos que r = . Substituindo o valor de h na frmula de V vamos obter: 5 14 3 1 1 14r 14 r = . V = r 2h = r 2 3 3 15 5

Derivando essa igualdade com relao a t, obteremos:

dV 14 r 2 dr = . dt dt 5Substituindo os valores dados, obteremos:

2 =ou seja,

3150 dr 245 dt

dr 0, 05m / h . Observe que a taxa de variao do raio com respeito ao tempo negativa pelo fato de dt

que ele est diminuindo com o passar do tempo. Veremos agora alguns problemas envolvendo taxas de variao um pouco diferentes dos exemplos acima. Nos exemplos que seguem, no h uma forma explcita que nos permita obter uma varivel em funo da outra. Mas isso no ser problema, pois basta usarmos a tcnica da derivao implcita. Problemas desse tipo costumam ser chamados de problemas de Taxas Relacionadas. Exemplo 3.1.4. Sales e Joaquim esto fazendo um passeio areo usando um balo de ar quente. O balo sobe a uma taxa de 3m / s . Passados 15 segundos, Lenimar lembra-se de que eles no levaram um rdio para contato. Lenimar, que havia estacionado seu carro a 50m do ponto de partida, desloca-se em direo a este com uma velocidade de 2m / s . Vamos determinar a velocidade com que aumenta a distncia entre o balo e o carro de Lenimar, quando o balo estiver a 30m do solo. Desenhar uma figura sempre ajuda. Faamos uma ento.

Na figura acima, y denota a altura do balo em relao ao ponto de partida, x denota a distncia do ponto de partida at onde Lenimar estacionou seu carro e s a distncia do carro Lenimar at o balo. Agora veja, essa figura vai comear a se transformar, pois as distncias x,y e s estaro se modificando. Mas veja uma peculiaridade que esta figura vai manter: o fato desse tringulo ser retngulo. Portanto, pelo Teorema de Pitgoras teremos:

s 2 = x2 + y 2 .

Lembrando que queremos encontrar

ds , derivamos a igualdade acima. Fazendo isso, obteremos: dt ds dx dy 2s = 2 x + 2 y , dt dt dt s ds dx dy = x + y . dt dt dt83

ou seja:

Agora note que no instante em que Lenimar partiu em direo ao balo, este j estava a 15m acima do solo. Portanto, quando o balo estiver a 30m do solo, significa que, para efeito da nossa anlise, passaram-se 5s j que a velocidade do balo 3m / s. Nesse perodo o carro avanou 10m , j que sua velocidade 2m / s. Portanto, os valores de x e y no tringulo acima so x = 30 e y = 40m , donde s = 50m. Portanto, teremos:

50 ou seja,

ds = 30 ( 2 ) + 40 3 , dt

ds = 1, 2m / s. Na expresso acima usamos a velocidade com um sinal negativo pelo fato de que a dt distncia x vai estar diminuindo.

3.2. - Crescimento e decrescimento A interpretao da derivada como sendo o coeficiente angular da reta tangente ao grfico de uma funo agora vai se mostrar muito eficaz nesta seo. Com a ajuda dessa interpretao vamos poder estudar os intervalos onde a funo cresce e onde ela decresce. Se ns refletirmos um pouco, esse problema s est respondido satisfatoriamente no caso das funes do primeiro grau. Recorde que se f ( x ) = ax + b, com a 0, a funo f ser crescente se a > 0 e decrescente se a < 0. Para funes do segundo grau tambm temos um critrio, mas que aparece sem a devida justificativa. Vamos recordar algumas definies. Uma funo f definida num certo intervalo I do eixo-x dita crescente nesse intervalo quando para todos x1 x2 I , com x1 < x2 tivermos f ( x1 ) < f ( x2 ) . Uma funo f definida num certo intervalo I do eixo-x dita decrescente nesse intervalo quando para todos x1 x2 I , com x1 < x2 tivermos f ( x1 ) > f ( x2 ) .

O aspecto do grfico de uma funo crescente o de uma curva ascendente, enquanto que o de uma funo decrescente o de uma curva descendente. Nosso intuito relacionar o crescimento e o decrescimento de uma funo com a sua derivada. Para termos uma pista de tal relao, vamos observar atentamente o grfico mostrado a seguir. Perceba que, para valores de x pertencentes ao intervalo ( , 4 ) , os coeficientes angulares das retas tangentes ao grfico dessa funo nos pontos

( x, f ( x ) )

so positivos. Note tambm

que, a funo crescente justamente no intervalo ( , 4 ) . Analogamente constatamos que, para valores de x pertencentes ao intervalo intervalo

( 4, + ) ,

os coeficientes

angulares das retas tangentes ao grfico de f so negativos. Note tambm que a funo decrescente no

( 4, + ) .

Como o coeficiente angular ao grfico de f no ponto

( x, f ( x ) )

dado por f ' ( x )

podemos arriscar um palpite: A funo f ser crescente onde a sua derivada for positiva e decrescente onde sua derivada negativa. De fato, o nosso palpite est correto e o resultado que temos o seguinte: Se f ' positiva num intervalo I do eixo-x ento f ser crescente em I . Se f ' negativa num intervalo I do eixo-x ento f ser decrescente em I .

84

Essas observaes podem ser provadas com o uso do conhecido Teorema do Valor Mdio, mas no faremos isso agora. O que faremos analisar o crescimento e o decrescimento de algumas funes conhecidas. Exemplo 3.2.1. Considere a funo do primeiro grau f ( x ) = ax + b. Vamos obter o seu crescimento, que j conhecido, atravs dos nossos novos conhecimentos. Observe que f ' ( x ) = a. Portanto, se a > 0 ento f ser crescente em todo o eixo-x e se a < 0 , f ser decrescente em todo o eixo-x. Exemplo 3.2.2. Considere a funo

f ( x ) = x3 + x .

Observe que f ' ( x ) = 3 x 2 + 1 sempre positiva. Portanto,

f crescente em todo o seu domnio. Veja um esboo do grfico desta funna figura ao lado.

Exemplo 3.2.3. Considere a funo f ( x ) = x 2 1 . Temos que f ' ( x ) = 2 x. Como f ' ( x ) > 0 quando x > 0,

f crescente quando x > 0. Por outro lado, f ' ( x ) < 0 apenas quando x < 0 , o que implica ser f decrescente apenas quando x < 0.conclumos que Exemplo Determine os intervalos onde f ( x ) = x 6 x + 9 x + 1 crescente e os intervalos onde ela 3 2

3.2.4.

decrescente. Inicialmente vamos encontrar a derivada de f . Temos que f ' ( x ) = 3 x 2 12 x + 9. As razes da equao f ' ( x ) = 0 iro nos indicar os intervalos pedidos. De fato, a equao f ' ( x ) = 3 x 2 12 x + 9 = 0 possui duas razes reais e diferentes, a saber, x = 1 e x = 3. Como f ' ( x ) uma funo do segundo grau, o estudo do seu sinal simples e est resumido na tabela abaixo, onde tambm est mostrado o grfico de f ao lado. Valores de x Sinal de f ' ( x ) positivo negativo positivo Concluso

x 3

f crescente

f decrescente f crescente

Exemplo 3.2.5. Considere a funo definida por

x 2 4 se x < 3 , cujo grfico est mostrado ao lado. f ( x) = 8 x se x 3Vamos determinar os seus intervalos de crescimento e de decrescimento. Inicialmente vamos determinar quem f ' ( x ) . Observe que para x < 3 ns temos f ' ( x ) = 2 x e que para

x > 3 ns temos f ' ( x ) = 1. Resta-nos descobrir se existe f ' ( 3) .

85

Observe que a derivada esquerda f '_ ( 3) = 6 e que a derivada direita f '+ ( 3) = 1 . Como esses valores so diferentes segue que f no derivvel em x = 3. Assim:

2 x se x < 3 f '( x) = 1 se x > 3Observe que o ponto x = 3 vai nos auxiliar na determinao dos intervalos pedidos. Veja que o estudo do sinal de f ' ( x ) e as concluses dele decorrentes esto listados na tabela abaixo: Valores de x Sinal de f ' ( x ) negativo positivo negativo Concluso

x 0 para x esquerda e prximo de c e Se f ' ( x ) < 0 para x direita e prximo de c ento c um ponto de mximo local para f. Vamos ver agora alguns exemplos utilizando esse teste. Exemplo 3.3.1. Determine os pontos de mximo e de mnimo locais da funo f ( x ) = que f ' ( x ) = equao

1 4 x 4 x3 . Observe 5

(

)

4 3 12 2 x x . Como f ' ( x ) existe para todo x R , os nicos pontos crticos de f so as razes da 5 5 f ' ( x ) = 0 . Vamos encontr-las. Fazendo f ' ( x ) = 0 , ficamos com 4 x3 12 x 2 = 0 , ou seja,

4 x 2 ( x 3) = 0 cujas razes so x = 0 e x = 3 . Fazendo o estudo do sinal de f ' ( x ) ficamos com:

87

Valores de x

Sinal de f ' ( x ) negativo negativo positivo

x1Veja a cima um esboo do grfico de f :

Em determinados casos o estudo do sinal da derivada primeira de uma funo antes e depois de um ponto crtico onde ela derivvel pode se tornar difcil. Nessa situao, quando a funo for duas vezes derivvel temos um critrio mais efetivo para nos garantir quando este ponto crtico de mximo ou de mnimo. Mas o que significa uma funo ser duas vezes derivvel? A resposta simples: quando pudermos calcular a derivada de sua derivada. A derivada da derivada chamada de derivada segunda. Ns vamos representar a derivada segunda de uma funo f por f '' . Por exemplo, se f ( x ) = x 2 , temos f ' ( x ) = 2 x e f '' ( x ) = 2 . Analogamente, se f ( x ) = senx , temos que f ' ( x ) = cos x e f '' ( x ) = senx . A derivada da derivada da derivada chamada de derivada terceira, e assim sucessivamente. claro que nem sempre podemos ir derivando assim. preciso ter cuidado. Por exemplo, existem funes que s possuem a derivada primeira. Existem funes que no possuem sequer a derivada primeira. Agora podemos voltar ao critrio para classificar pontos crticos. Esse critrio conhecido como teste da derivada segunda e o seguinte: Teste da derivada segunda: Sejam f uma funo definida num intervalo I do eixo-x e c I um ponto crtico de f. Suponha que f derivvel duas vezes em c . Ento Se f '' ( c ) < 0 ento c um ponto de mximo local para f. Se f '' ( c ) > 0 ento c um ponto de mnimo local para f. Se f '' ( c ) = 0 ento o teste no conclusivo.

Um interessante exerccio que voc pode fazer utilizar o teste da derivada segunda para classificar os pontos crticos das funes dos exemplos anteriores. Mas veja bem, ele s serve para os pontos crticos onde a funo duas vezes derivvel. Vamos utilizar o teste da derivada segunda para solucionarmos dois interessantes problemas

88

Exemplo 3.3.3. Qual o retngulo de permetro 40 cm que possui a maior rea? Vamos denotar por x e y os lados do retngulo. O seu permetro dado por p = 2 x + 2 y o qual, pelo enunciado vale 40 cm, ou seja, temos 2 x + 2 y = 40, o que nos fornece x + y = 20. A rea do retngulo dada por A = xy. Tirando o valor de y na expresso obtida a partir do permetro temos que y = 20 x que substituda na expresso da rea nos d

A = x ( 20 x ) = 20 x x 2 . A funo da qual queremos achar o mximo A. Vamos achar os seus pontoscrticos. Derivando a funo A, encontramos A ' = 20 2 x. O nico ponto crtico de A x = 10 .Derivando A novamente, encontramos A '' = 2 , portanto o ponto x = 10 um ponto de mximo local. Com esse valor de x tiramos y = 10 e, portanto, o retngulo pedido um quadrado de lado 10 cm. Exemplo 3.3.4. Uma caixa aberta com base quadrada deve ser construda com 48 m2 de papelo.Vamos enccontrar as dimenses da caixa de maior volume possvel que pode ser feita. Vamos denotar por x o lado da base da caixa, que estamos supondo quadrada, e por y a altura da caixa. A rea total da caixa dada por A = x 2 + 4 xy . Pela informao do enunciado temos que x 2 + 4 xy = 48 . O volume da caixa, que a funo que queremos maximizar, dado por V = x 2 y . Tirando o valor de y da expresso que d a rea total, ficamos com y = dado por:

48 x 2 , assim, o volume da caixa ser 4x

V = x2

2 48 x 2 x 48 x 1 1 = = x 48 x 2 = 48 x x 3 . 4x 4 4 4

(

)

(

)

(

)

Vamos encontrar os pontos crticos. Derivando V, obtemos V ' =

pontos crticos so x = 4 e x = 4 , sendo que o primeiro o nico que nos interessa por ser positivo. Derivando V novamente temos que V '' =

1 48 3 x 2 , donde conclumos que os nicos 4

(

)

6 3 x = x e que, portanto, x = 4 um ponto de mximo pelo teste da 4 2 48 x 2 , derivada segunda. Portanto as dimenses da caixa pedida so x = 4 m e, substituindo x = 4 em y = 4x encontramos y = 2 m.3.4. - Mximos e mnimos globais Os pontos de mximos e mnimos que apareceram na seo anterior, a princpio, s poderiam ser classificados como locais. O tipo de problema de mximos e mnimos que trataremos nesta seo so aqueles conhecidos como problemas de mximos e mnimos globais. Por um ponto de mximo global de uma funo f definida em D, entendemos um ponto c tal que f ( x ) f ( c ) para todo x D . Analogamente definimos ponto de mnimo global. Para esse tipo de problema, o principal resultado que temos devido ao matemtico alemo Karl Weierstrass que diz o seguinte: Teorema de Weierstrass: Se f : [ a, b ] R uma funo contnua ento f possui pontos de mximo e mnimo globais.

89

Agora atente bem. O Teorema de Weierstrass apenas diz que os pontos de mximo e mnimo globais existem, mas no diz como encontr-los. Olhando para a figura abaixo vemos que existem os seguintes candidatos a extremos globais: os pontos crticos de f que pertencem ao interior do intervalo e os extremos do intervalo. Portanto, o roteiro a ser seguido para encontrarmos os extremos globais de uma funo f : [ a, b ] R contnua o seguinte: 1. Determinar os pontos crticos de f que pertencem a ( a, b ) e calcular o valor de f nestes pontos 2. Calcular o valor de f nos extremos do intervalo [ a, b ] e 3. Comparar os valores obtidos nos itens (1) e (2). O ponto que fornecer o maior valor para f ser o ponto de mximo e o que fornecer o menor valor ser o de mnimo. Observe que neste caso no necessrio fazer o estudo do sinal da derivada nem fazer o teste da derivada segunda. Vamos ver alguns exemplos: Exemplo 3.4.1. Considere a funo definida por f ( x ) = 2 x 3 9 x 2 + 1 . Vamos determinar os valores de mximo e de mnimo de f no intervalo [ 1,1] . Observe que a funo f contnua, portanto o Teorema de Weierstrass nos garante que existem os pontos de mximo e mnimo global. Vamos localiz-los atravs do procedimento sugerido acima. Derivando f , obtemos f ' ( x ) = 6 x 2 18 x . Portanto, os pontos crticos de

f so x = 0 e x = 3 . Calculando o valor de f em ambos obtemos f ( 0 ) = 1 e f ( 3) = 26 . Agora calculamoso valor de f nos extremos. Feito isso, obtemos f ( 1) = 10 e f (1) = 6 . Assim coletando os dados numa tabela ficamos com as seguintes informaes: ponto Valor de f classificao Mximo global Mnimo global nada nada

x=0x=3 x = 1

f (0) = 1f ( 3) = 26 f ( 1) = 10

x =1

f (1) = 6

Exemplo 3.4.2. Determine as dimenses do retngulo de maior rea que pode ser inscrito na regio fechada limitada pelo eixo-x, pelo eixo-y e pelo grfico de y = 8 x 3 . A regio e um retngulo tpico esto mostrados na figura ao lado. A rea do retngulo dada por A = xy . Vamos expressar y em funo de x. Observe que como o ponto ( x, y ) pertence ao grfico da curva dada, temos que y = 8 x 3 . Portanto,

A = xy = x 8 x3 = 8 x x 4 . De acordo com a figura, temos que0 x 2 , o que acarreta que desejamos encontrar o ponto de mximo global da funo A no intervalo fechado [ 0, 2] .Como A uma funo contnua, o Teorema de Weierstrass garante a existncia do ponto de mximo. Vamos encontrar os pontos crticos de A. Derivando, obtemos A ' = 8 4 x3 , donde o nico pontos crtico de A

(

)

90

x = 3 2 . Assim, calculando A em x = 0, x = 3 2 e x = 2 verificamos que o ponto de mximo x = 3 2 .Portanto as dimenses do retngulo so x =3

2 e y = 82 = 6.

3.5. - Concavidade e Pontos de Inflexo A nossa prxima aplicao da derivada diz respeito a um aspecto muito importante de uma curva que a concavidade. Vamos dar algumas definies. Diremos que o grfico de f tem a concavidade voltada para cima em um intervalo I do eixo-x se estiver acima de todas as retas tangentes a ele no intervalo I , exceto no ponto de tangncia. Diremos que o grfico de f tem a concavidade voltada para baixo em I se estiver acima de todas as retas tangentes a ele neste intervalo, exceto no ponto de tangncia.

Observer as figuras abaixo. Na figura 1 o grfico de f tem concavidade voltada para baixo, enquanto que na figura 2 o grfico de f tem concavidade voltada para cima.

Figura 1

Figura 2

O nosso intuito procurar relacionar essa idia geomtrica de concavidade com as derivadas de uma funo. Vamos fazer uma discusso bastante intuitiva. Observe a figura a seguir. Nela vemos que o grfico da funo no trecho considerado cncavo para cima. Alm disso, e este o fato que devemos perceber bem, os coeficientes angulares das retas tangentes vo crescendo medida que x aumenta. Isso quer dizer que a funo que fornece esses coeficientes angulares crescente. Mas esses coeficientes angulares so dados pela derivada da funo f nos respectivos pontos. Portanto, no trecho considerado, a funo f ' crescente, ou seja, f '' > 0 .

Atravs de uma discusso semelhante somos levados a concluir que, num intervalo onde o grfico da funo f cncavo para baixo, temos f '' < 0 . Veja a figura ao lado:

Assim resumimos o resultado de nossa discusso: Seja f uma funo real definida num intervalo I do eixo-x e que possui derivada segunda em seu domnio. Se f '' > 0 em I ento o grfico de f tem a concavidade voltada para cima em I. Se f '' < 0 em I ento o grfico de f tem a concavidade voltada para baixo em I.

91

A figura ao lado d uma idia acerca desse importante critrio. Observe que antes do ponto P a funo tem seu grfico com a concavidade voltada para baixo. Aps o ponto P h uma mudana da concavidade. Um ponto onde ocorre uma mudana na concavidade conhecido como um ponto de inflexo. Para localizarmos esses pontos descobrimos as razes da equao f '' ( x ) = 0 e os pontos onde f '' no existe e, em seguida, fazemos o estudo do sinal de f ''. Veremos agora alguns exemplos. Exemplo 3.5.1. Seja f ( x ) = ax 2 + bx + c , com a 0 . Vamos estudar a concavidade de f . A derivada de f dada por f ' ( x ) = 2ax + b e sua derivada segunda por f '' ( x ) = 2a. Portanto, se a > 0 o grfico de f tem a concavidade voltada para cima e se a < 0 , ter a concavidade voltada para baixo. Isso ns conhecamos desde o 9. Ano do ensino fundamental. S no tnhamos uma justificativa mais precisa. Exemplo que 3.5.2. Seja

f ( x ) = 2 x3 12 x 2 + 18 x 2 .e

Vamos investigar a concavidade do grfico de f . Observe

f ' ( x ) = 6 x 2 24 x + 18

f '' ( x ) = 12 x 24 = 12 ( x 2 ) . Vemos que x = 2 anica raiz de f '' ( x ) = 0 . Pela anlise do sinal de f '' vemos que para valores de x menores que 2 o grfico de f tem concavidade voltada para baixo e para valores de x maiores que 2 tem concavidade voltada para cima. Veja um esboo do grfico de f na figura ao lado.

Exemplo 3.5.3. Nem sempre um ponto que raiz da equao f '' ( x ) = 0 fornece pontos de inflexo. Tomemos a funo

f ( x ) = x 4 . Temos que f ' ( x ) = 4 x 3 e f '' ( x ) = 12 x 2 cujanica raiz x = 0 . Entretanto o grfico de f tem sempre a concavidade voltada para cima antes e depois do ponto em que x = 0. Ao lado est mostrado um esboo do grfico de f .

3.6. - Esboo de grficos Chegamos nossa ltima aplicao da derivada e, com certeza, uma das mais importantes: a construo do grfico de algumas funes de uma varivel. As ferramentas desenvolvidas nas sees anteriores sero de grande importncia aqui. Daremos a seguir um pequeno roteiro para o traado do grfico de uma funo f definida em algum subconjunto do eixo-x.

92

a) Determinamos o seu domnio. Caso esse domnio contenha pontos de descontinuidade devemos analisar os limites laterais em cada um deles. b) Determinamos os pontos onde o grfico da funo corta os eixos coordenados. Esses pontos so chamados de interceptos. Em alguns casos pode ser difcil encontrar os interceptos do eixo-x. O intercepto do eixo-y f (0) . c) Determinamos os intervalos onde f crescente e os intervalos onde f decrescente, atravs do estudo do sinal da derivada primeira antes e depois dos pontos crticos. d) Determinamos os intervalos onde o grfico de f tem a concavidade voltada para cima e os intervalos onde o grfico de f tem a concavidade voltada para baixo, atravs do estudo do sinal da derivada segunda antes dos pontos de inflexo. e) Determinamos o comportamento de f quando x . Vejamos alguns exemplos Exemplo 3.6.1. Vamos fazer um esboo do grfico de f ( x ) = 3 x 4 + 4 x 3 . Inicialmente observamos que o seu domnio o conjunto dos nmeros reais. Vejamos os interceptos. Os pontos onde o grfico de f corta o eixo-x so dados pelas razes da equao f ( x ) = 3 x 4 + 4 x 3 = 0 , ou seja, x 3 ( 3 x + 4 ) = 0 que so x = 0 e x =

ponto onde o grfico de f corta o eixo-y f ( 0 ) = 0. Vamos agora determinar os pontos crticos de f. Temos que

4 .O 3

f ' ( x ) = 12 x 3 + 12 x 2 . Os pontos crticos so x = 0 e x = 1. Agora vamos estudar o sinal de f '. Podemosreescrev-la como f ' ( x ) = 12 x 3 + 12 x 2 = 12 x 2 ( x + 1) . Como o fator 12 x 2 sempre 0 , o sinal de f ' o mesmo de x + 1 . As concluses esto listadas na tabela a seguir Valores de x Sinal de f ' ( x ) negativo positivo positivo Concluso

x < 1 1 < x < 0 x>0

f decrescente f crescente f crescente

Da tabela acima vemos que o ponto x = 1 um ponto de mnimo local. Vamos agora determinar os pontos de inflexo de f. Temos que f '' ( x ) = 36 x 2 + 24 x . Vamos determinar agora os pontos de inflexo. Comeamos localizando as razes da equao f '' ( x ) = 0, ou seja, 36 x 2 + 24 x = 0 que so x = 0 e

2 x = . Agora vamos estudar o sinal de f '' . Como se trata de uma funo do segundo grau, reunimos na 3tabela abaixo as nossas concluses: Valores de x Sinal de f '' ( x ) positivo negativo positivo Concluso

x 0 , ou seja, f ( b ) > f ( a ) .

Ampliando o seu ConhecimentoImagine que um objeto move-se em linha reta com sua posio sendo dada por uma funo s = s ( t ) com t a, b . Ento de acordo com o Teorema do Valor Mdio, existe um instante t = c ( a, b ) tal que a velocidade instantnea em c igual velocidade mdia do mvel entre

[

]

t = a e t = b.

4. - Avaliando o que foi construdoNesta unidade voc teve a oportunidade de apreciar uma nova interpretao da derivada e viu como a derivada til no estudo do comportamento de uma funo. Dentre os conhecimentos mais marcantes que vimos aqui podemos destacar a construo rigorosa do grfico de uma funo. Como dissemos anteriormente s as funes do primeiro grau possuam um grfico com construo totalmente justificada.

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Dialogando e Construindo ConhecimentoRena-se com os colegas para discutir os temas abordados. Procure os Tutores para esclarecer as dvidas sobre algum tema que no tenha sido bem assimilado. Comunique-se! Ns estamos sempre dispostos a orient-lo e ajud-lo em caso de dificuldade no estudo da disciplina. Acredite em seu potencial e conte conosco.

96

Unidade III:

Integral Definida e Primitivas

1. - Situando a TemticaA partir de agora ns vamos conhecer dois novos objetos da Matemtica. So a integral definida e a primitiva. A primeira vai ser definida a partir de uma situao concreta, a saber, a determinao de uma rea. Como quase tudo o que feito em Matemtica, comea-se com uma situao concreta, esta motiva uma definio abstrata e esta ltima cria vida prpria e desenvolve-se dando origem a novos resultados que podem incluir at mesmo outras situaes concretas diversas daquela inicial. Durante este curso esta atitude j foi tomada com relao derivada. Motivaremos a integral definida para uma situao particular e sempre voltaremos a essa interpretao. O outro objeto, a primitiva de uma funo, ser definida como um processo inverso ao da derivao, ou seja, dada uma funo f, procura-se uma outra g tal que a derivada de g seja f. A funo g ser chamada uma primitiva para f . Apesar da aparente simplicidade, tal procura, em geral, pode ser bastante laboriosa. O mais impressionante ser o relacionamento entre os dois novos objetos introduzidos: a integral definida e a primitiva de uma funo relacionam-se harmoniosamente num resultado conhecido como Teorema fundamental do clculo.

2. - Problematizando a TemticaDeterminar a rea de uma figura plana foi um problema bastante atacado pelos antigos cientistas e, muito satisfatoriamente, por um dos maiores gnios da antiguidade, Arquimedes de Siracusa. Aqui abordaremos alguns problemas semelhantes aos que ele abordou e os resolveremos de uma maneira moderna usando o chamado Teorema fundamental do Clculo.

3. - Conhecendo a Temtica3.1 - Motivao inicial: o problema da rea O clculo das reas de polgonos j era conhecido desde Euclides. Entretanto foi Arquimedes quem primeiro construiu uma idia satisfatria no clculo de reas de figuras planas em geral. A sua idia baseava-se na aproximao da regio por polgonos, dos quais se sabia efetivamente calcular a rea. Vejamos a seguinte situao. Tomemos a funo f ( x ) = x 2 + 1 e o nosso problema determinar a rea da regio S do plano limitada pelo grfico de f , pelo eixo-x e pelas retas x = 0 e x = 2 , conforme a figura ao lado: Vamos dividir o intervalo Como so 4 intervalos,

[0, 2]

em 4 intervalos iguais. ter comprimento

20 2 Assim, teremos os intervalos x = = = 0,5 . 4 4 3 1 1 3 0, , ,1 , 1, e , 2 . Em cada um desses intervalos 2 2 2 2

cada

um

escolhemos um ponto qualquer. Vamos escolher o ponto extremo direito. Consideramos ento os retngulos de base igual a cada intervalo e altura igual ao valor de f no ponto especificado. Calculamos a soma das reas de cada um desses retngulos e obtemos um valor aproximado para a rea desejada. Aqui temos um valor aproximado para essa rea:

97

1 1 1 5 1 1 13 1 1 1 3 1 f + f (1) + f + f ( 2 ) = + 2 + + 5 = 5.75 . 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 2Evidentemente a escolha do ponto extremo direito foi uma opo nossa. Poderamos tambm ter escolhido o ponto extremo esquerdo, ou outro qualquer. Caso tivssemos escolhido o extremo esquerdo e repetido o processo, um valor aproximado para a rea pedida seria

1 1 f (0) + 2 2

1 1 1 f + f (1) + 2 2 2

1 5 1 1 13 3 1 f = 1 + + 2 + = 3.75 2 4 2 2 4 2 2

Uma figura neste caso est mostrada abaixo:

Se tivssemos tomado o ponto mdio de cada intervalo, um valor aproximado para a rea seria

1 1 1 3 1 5 1 7 1 17 1 25 1 41 1 65 f + f + f + f = + + + = 4.625. 2 4 2 4 2 4 2 4 2 16 2 16 2 16 2 16Uma figura representando essa situao est mostrada abaixo:

Observe que o valor dessas aproximaes vai melhorando cada vez mais quando fizermos a quantidade de intervalos aumentar. Se ao invs de 4 tivssemos tomado 8, a aproximao seria 4,65625 usando como ponto escolhido o ponto mdio de cada intervalo. S para se ter uma idia, o valor exato de tal rea

Vale a pena notar tambm que se dividirmos o intervalo [ 0, 2] em n subintervalos todos de igual comprimento

14 = 4, 666... 3

20 2 = teremos os seguintes subintervalos: n n 2 ( n 2) 2 2 4 4 6 I1 = 0, , I 2 = , , I 3 = , ,..., I n = , 2 . n n n n n n 98

Se escolhermos um ponto qualquer em cada um deles, c1 I1 , c2 I 2 ,..., cn I n , o valor para a aproximao neste caso ser:

(c

2 1

2 2 2 2 n 2 2 2 2 + 1) + ( c2 + 1) + ( c3 + 1) + ... + ( cn + 1) = ( ci2 + 1) , n n n n i =1 n

Onde o smbolo

n

i =1

(c

2

i

+1

)

2 indica a soma das n parcelas que esto do lado esquerdo. Veja que todas n

elas so semelhantes, s diferem no ndice. Por isso mesmo vamos usar com freqncia esta notao que muito mais econmica. 3.2. - Integral definida: definio e propriedades A idia surgida anteriormente para o clculo de rea agora ser usada como motivao para definirmos um novo objeto matemtico: a integral definida. Suponha que f seja uma funo contnua definida num intervalo

[ a, b ]

do eixo-x e n um nmero natural. Vamos dividir o intervalo [ a, b ] em n subintervalos, I1 , I 2 ,..., I n

todos de mesmo comprimento x =

ba . Vamos escolher pontos c1 I1 , c2 I 2 ,..., cn I n e consideremos a n

soma, conhecida como soma de Riemann:

f ( c1 ) x + f ( c2 ) x + f ( c3 ) x + ... + f ( cn ) xque pode ser reescrita numa forma mais compacta da seguinte maneira:

f ( c1 ) x + f ( c2 ) x + f ( c3 ) x + ... + f ( cn ) x = f ( ci ) x .n

Definimos a integral definida de f em [ a, b ] com sendo:n + i =1

i =1

lim f ( ci ) x .n

Vamos represent-la pelo smbolo f ( x ) dx. Devemos l-lo como a integral de f ( x ) entre a ea

b

b .Portanto, f ( x ) dx = lim f ( ci ) x . n +n a i =1

b

f em [ a, b ] representa a rea que est abaixo do grfico de f acima do eixo-x e limitada pelas retas x = a e x = b , conforme a figura ao lado.

Caso a funo f seja positiva no intervalo [ a, b ] a integral definida de

99

Agora devemos ter um cuidado: nem sempre a integral definida fornece a rea entre o grfico de f , o eixo-x e as retas x = a e x = b , conforme nos mostra a figura abaixo. Nela est mostrado o grfico da funo f ( x ) = ( x + 1)( x 1)( x 3) . Perceba que a rea da regio delimitada pelo grfico de f , pelo eixo-x e as retas x = 1 e x = 3 NO dada por f ( x ) dx ! Isso13

porque a funo nesse trecho assume valores positivos e negativos. Portanto o que essa integral nos fornece na realidade A1 A2 , onde A1 a rea da regio abaixo do grfico de f e acima do eixo-x entre x = 1 e x = 1 e

A2 a rea da regio acima do grfico de f e abaixo do eixo-x entre x = 1 e x = 3 .Veremos a seguir algumas propriedades da integral definida. Vamos adiar suas demonstraes para o curso de Introduo Anlise. Suponha que f e g sejam funes contnuas definidas no intervalo [ a, b ] . Ento valem as seguintes propriedades: 1. f ( x ) g ( x ) dx = f ( x ) dx g ( x ) dx ,a a a b

(

)

b

b

2. Se c ( a, b ) ento f ( x ) dx = f ( x ) dx + f ( x ) dx, .a a c b b

b

c

b

3. Se f ( x ) g ( x ) para todo x [ a, b ] ento f ( x ) dx g ( x )dx .a a

Faremos tambm as seguintes convenes: 1. f ( x ) dx = 0a a

2. f ( x ) dx = f ( x ) dx.b a

a

b

3.3. - Primitivas A partir de agora iremos a busca de calcular a integral definida de uma funo contnua f definida em um intervalo [ a, b ] . Quem vai interceder de maneira decisiva nesse clculo ser o objeto que estudaremos nesta seo, a chamada primitiva ou integral indefinida de uma funo. Sabemos do nosso estudo inicial de derivadas que a derivada de uma funo constante igual a zero. A pergunta que se nos pe a seguinte: uma funo que possua derivada igual nula constante? Colocada assim de uma forma to geral essa pergunta est longe de ter uma resposta afirmativa, como nos mostra o seguinte exemplo: Exemplo 3.3.1. Considere a funo:

1 se x > 0 f ( x) = 1 se x < 0Observe que essa funo tem derivada nula em todos os pontos do seu domnio, mas ela no uma funo constante.

100

Para responder pergunta formulada anteriormente de forma satisfatria usaremos o Teorema do Valor Mdio. A resposta definitiva a seguinte: Fato 1: Suponha que f seja uma funo contnua definida num intervalo aberto I do eixo-x e que x I . Ento f constante em I . para todo

Esse fato nos permite ainda tirar uma concluso bastante importante acerca de funes que possuem a mesma derivada: Fato 2: Suponha que f e g so funes contnuas definidas no mesmo intervalo aberto I do eixo-x e que

f ' ( x ) = g ' ( x ) para todo x I . Ento existe uma constante k tal que f ( x ) = g ( x ) + k , para todo x I .Passamos agora a definir o principal objeto dessa seo: Seja f uma funo definida num intervalo aberto I do eixo-x. Uma primitiva ou integral indefinida para f uma funo F definida em I tal que F ' ( x ) = f ( x ) para todo x I . Exemplo 3.3.2. A funo F ( x ) = x 2 uma primitiva para a funo f ( x ) = 2 x em R . Tambm so primitivas de f as funes F ( x ) = x 2 + 1 , F ( x ) = x 2 1 e, mais geralmente, F ( x ) = x 2 + k , onde k R qualquer constante. Uma pergunta que poderamos fazer nesse momento a seguinte: Todas as primitivas de f so dessa forma, ou seja, se F uma primitiva de f ento F ( x ) = x 2 + k ? A resposta sim. De fato, Se F e G so primitivas de f no intervalo aberto I , ento, em I , temos F ' ( x ) = G ' ( x ) . Logo, pelo fato 2 acima, conclumos que deve existir uma constante k tal que G ( x ) = F ( x ) + k , para todo x I . O que o exemplo 3.3.2. acima nos conta que se encontrarmos uma primitiva F de uma funo f ento todas as outras so obtidas a partir de F adicionando constantes (que podem ser negativas ou positivas). Portanto, nosso esforo estar concentrado na determinao de uma primitiva. Usaremos a notao abaixo para indicar que todas as primitivas de uma funo f so iguais a F adicionada a constantes: f ( x ) dx = F ( x ) + k , k uma constante. Observe que os smbolos f ( x ) dx e f ( x ) dx indicam objetos distintos apesar da semelhana entre eles.a b

A seguir exibiremos algumas propriedades da primitiva de uma funo. Se f e g so funes definidas em um intervalo I , ento valem as seguintes propriedades: 1. f ( x ) g ( x ) dx = f ( x ) dx g ( x ) dx, 2. cf ( x ) dx = c f ( x ) dx , onde c uma constante real. Agora atente bem porque no valem propriedades semelhantes para diviso e produto. Logo mais veremos como relacionar a idia de primitiva com o clculo de integrais definidas. Antes vejamos alguns exemplos que ilustram a importncia das primitivas. Exemplo 3.3.3. Vamos determinar a funo f que satisfaz s seguintes condies:

f ' ( x ) = 3x 2 . f (0) = 2 101

Como f ' ( x ) = 3 x 2 temos, por inspeo, que f ( x ) = x 3 + k , onde k uma constante. Como f ( 0 ) = 2 , temos que k = 2, donde f ( x ) = x 3 + 2 . Um problema como esse conhecido como problema de valor inicial, uma vez que alm da informao sobre a derivada da funo f tambm possumos uma informao sobre o valor de f em um ponto. Exemplo 3.3.4. Uma partcula desloca-se sobre o eixo-x. Sabe-se que no instante t, t>0, a sua velocidade v ( t ) = 2t + 1 . Sabe-se, ainda, que no instante t = 0 , a partcula encontra-se na posio x = 1. Determine a posio da partcula em um instante de tempo t > 0 qualquer. Sabemos que a velocidade v ( t ) da partcula dada pela derivada de sua posio x ( t ) . Portanto,

x ' ( t ) = 2t + 1 . Por inspeo, verificamos que

x ( t ) = t 2 + t + k , onde k uma constante. Como

x ( 0 ) = 1, devemos ter k = 1 o que acarreta x ( t ) = t 2 + t + 1 .Veremos agora um quadro resumido com algumas primitivas chamadas imediatas. O adjetivo refere-se ao fato de que so obtidas pelo processo inverso de derivao: k x dx =

x k +1 + C , se k 1 k +1

1 1 dx = x dx = ln x + C x x x e dx = e + C senxdx = cos x + C cos xdx = senx + C 2 sec xdx = tgx + C 1 dx = arcsenx + C 1 x2 1 dx = arctgx + C 1 + x2Ampliando o seu ConhecimentoAs funes e x2

, cos x 2 , sen ( x ) e muitas outras no possuem primitivas que possam ser

( )

expressas em termos das funes que conhecemos. Esse fato foi provado pelo matemtico francs Liouville.

3.4. - O Teorema fundamental do Clculo Chegamos a um dos resultados mais importantes do nosso curso. Aquele que nos permitir relacionar as noes de derivada e integral de uma forma bastante surpreendente e, como resultado, nos mostra um caminho prtico para calcularmos integrais definidas evitando o tortuoso caminho da definio. O resultado o seguinte: Teorema Fundamental do Clculo: Se f for contnua em [ a, b ] e se F for uma primitiva de f em [ a, b ] , ento:

a f ( x ) dx = F ( b ) F ( a ) .b

102

Vamos ver uma demonstrao deste fato. Ela simples e bonita o suficiente para apreciarmos. Supondo que f seja contnua em [ a, b ] . Ento:b a

f ( ci ) x f ( x ) dx = nlim +n i =1

existe independentemente da escolha dos ci ' s . O que faremos aqui fazer uma escolha particular dos ci ' s e aberto ( xi 1 , xi ) , existe, pelo Teorema do Valor Mdio, um ponto ci ( xi 1 , xi ) tal que:

que fornecer o resultado desejado. Como F contnua em cada intervalo I i = [ xi 1 , xi ] e derivvel no intervalo

F ( xi ) F ( xi 1 ) = F ' ci

( ) ( x x ) = f (c ) ( x x ) .i i 1 i i i 1

Agora vamos somar todas as parcelas do tipo acima. Mais especificamente:

F ( x1 ) F ( x0 ) + F ( x2 ) F ( x1 ) + F ( x3 ) F ( x2 ) + ... + F ( xn 1 ) F ( xn 2 ) + F ( xn ) F ( xn 1 ) =

f c1

( ) ( x x ) + f (c ) ( x1 0

2

2

x1 ) + f c3

( )( x

3

x2 ) + ... + f cn 1 ( xn 1 xn 2 ) + f cn

( )

( )( x

n

xn 1 )

O lado esquerdo dessa igualdade reduz-se a F ( xn ) F ( x0 ) = F ( b ) F ( a ) . Portanto a igualdade pode ser escrita numa forma mais compacta como: f ( ci ) ( xi xi 1 ) = F ( b ) F ( a ) . n

i =1

Agora fazendo n + ns obtemos:

n + i =1

lim f ci x = a f ( x ) dx = F ( b ) F ( a ) ,n b

( )b

donde: como queramos demonstrar.

a f ( x ) dx = F ( b ) F ( a ) ,

Vamos calcular algumas integrais definidas usando o Teorema Fundamental. Exemplo 3.4.1. Calcule3 2 3 2 ( x + x )dx . Em primeiro lugar vamos determinar uma primitiva para 2

f ( x ) = x + x . Usando a lista de primitivas vista no final da seo anterior, temos que uma primitiva para f

1

F ( x) =

x 4 x3 + . Portanto, pelo Teorema Fundamental do Clculo, temos que: 4 3

(x1

2

3

24 23 14 13 15 7 45 28 17 + x 2 dx = F ( 2 ) F (1) = + + = + = = 12 12 4 3 4 3 4 3

)

Exemplo 3.4.2. Calcule a rea limitada pelo grfico de f ( x ) = x 2 + 1 , as retas x = 0 , x = 2 e o eixo-x. Esse foi o problema com o qual iniciamos nosso estudo da integral definida. Pelo que j vimos a rea pedida igual a2 0 2 2 ( x + 1) dx . Uma primitiva para f ( x ) = x +1 F ( x ) =

x3 + x . Portanto: 3

103

(x0

2

2

23 03 8 14 + 1) dx = F ( 2 ) F ( 0 ) = + 2 + 0 = + 2 = . 3 3 3 3

Exemplo 3.4.3. Calcule a rea da regio limitada pelo grfico de f ( x ) = ( x + 1)( x 1)( x 3) entre os pontos

x = 1 e1

x = 3 . Revendo a discusso sobre reas e integrais a rea pedida ser dada por3

1

f ( x ) dx f ( x ) dx , ou seja, a rea pedida dada por:1

1

f ( x ) dx f ( x ) dx = ( x1

1

3

1

3

1

3 x x + 3 dx x3 3 x 2 x + 3 dx =2 1

)

3

(

)

x4 x2 3 Uma primitiva para f ( x ) = x 3 x x + 3 F ( x ) = x + 3 x . Portanto, a rea pedida ser 4 2 32 . igual a F (1) F ( 1) ( F ( 3) F (1) ) = 4 4. - Avaliando o que foi construdo3 2

Nesta unidade tivemos a oportunidade de conhecer dois objetos novos da matemtica: a integral definida e a primitiva de uma funo. Vimos que ambas resolvem problemas concretos e que relacionam-se atravs do conhecido Teorema Fundamental do Clculo. No Moodle...Na plataforma MOODLE, no espao reservado disciplina Clculo Diferencial e Integral II, voc poder testar seus conhecimentos a respeito do tema dessa unidade. Dedique-se leitura do material complementar e resoluo das tarefas relacionadas a este assunto. Vamos nos encontrar no MOODLE. At l!

Dialogando e Construindo ConhecimentoRena-se com os colegas para discutir os temas abordados. Visite constantemente a plataforma MOODLE, faa as tarefas nela propostas. Procure os Tutores para esclarecer as dvidas sobre algum tema que no tenha sido bem assimilado. Comunique-se! Ns estamos sempre dispostos a orient-lo e ajud-lo em caso de dificuldade no estudo da disciplina. Participe! Acredite em seu potencial e conte conosco.

104

Unidade IV:

Algumas Tcnicas para se Encontrar Primitivas

1. - Situando a TemticaNa unidade anterior tivemos a oportunidade de conhecer o Teorema fundamental do clculo que fornece uma maneira mais rpida para se calcular a integral definida de uma funo f em termos de alguma de suas primitivas. O que faremos nesta unidade ser apresentar algumas tcnicas para a determinao de primitivas que tambm so conhecidas por tcnicas de integrao.

2. - Problematizando a TemticaAs primitivas imediatas vistas na unidade anterior so obtidas diretamente por um processo inverso de derivao. Em geral isso pode ser feito, mas por procedimentos um pouco mais delicados. Portanto o principal problema abordado aqui ser o de determinar primitivas de funes.

3. - Conhecendo a Temtica3.1. - Integrao por substituio Duas das tcnicas de integrao que estudaremos funcionam ao contrrio de duas regras de derivao. A primeira a integrao por substituio que funciona ao contrrio da Regra da Cadeia. Comearemos com um exemplo. Exemplo 3.1.1. Vamos determinar uma primitiva para a funo 2 x cos x 2 , o que equivalente a calcular2 2 2 x cos x dx. Observe que se fizermos u = x , e derivarmos com relao a x ficaremos com

( )

( )

modo que du = 2 xdx. Essa ltima passagem justificvel, mas no faremos isso aqui. Agora fazemos a substituio:2 2 2 2 x cos ( x ) dx = cos ( x ) 2 xdx = cos udu = senu + C = sen ( x ) + C .

du = 2 x, de dx

Perceba bem: o segredo aqui foi fazer uma escolha acertada da substituio, ou seja, uma escolha acertada de u. Vejamos outro exemplo: Exemplo 3.1.2. Calcule

x dx. Vamos fazer de duas formas para que fique claro que s vezes um mesmo 1 + x2 problema pode ser resolvido de duas ou mais maneiras diferentes. Vamos ao primeiro modo. Se fizermos u = x 2 du = 2 x, ou seja, du = 2 xdx. Mas veja que isso fornece e derivarmos com relao a x, ficaremos com dx du xdx = . Por que fizemos isso ? Porque no integrando temos xdx e no 2 xdx ! Agora substitumos e 2 x 1 1 du 1 1 dx = xdx = = du. 2 2 1+ x 1+ x 1+ u 2 2 1+ u

obtemos:

Aparentemente a nossa escolha de u no foi boa, porque nos conduziu a uma integral que tambm no da categoria das imediatas. Mas veja que podemos fazer uma nova substituio. Faremos v = 1 + u. Derivando v com relao a u, teremos

dv = 1, ou seja, dv = du. Agora substituindo, teremos: du 105

Portanto:

1 1 du = dv = ln v + C = ln 1 + u + C. 1+ u v

x 1 1 1 1 1 dx = du = ln u + C = ln 1 + x 2 + C = ln 1 + x 2 + C. 2 1+ x 2 1+ u 2 2 2

(

)

Vejamos agora uma substituio que mais rpida. Faamos u = 1 + x 2 . Derivando com relao a x, teremos

du du . Agora substituindo, teremos: = 2 x, ou seja, du = 2 xdx. Essa ltima nos leva a xdx = 2 dx x 1 du 1 1 1 1 dx = = du = ln u + C = ln 1 + x 2 + C. 2 1+ x u 2 2 u 2 2

(

)

Em resumo, a regra funciona assim: Regra da Substituio: Se quisermos calcular f g ( x ) g ' ( x ) dx , podemos fazer u = g ( x ) e da,

(

)

du = g ' ( x ) dx. Assim:

f ( g ( x ) ) g ' ( x ) dx = f ( u ) du.

Portanto, se soubermos calcular esta ltima e, digamos, que ela seja F ( x ) , a primeira ser F g ( x ) . Vejamos mais dois exemplos:

(

)

x dx . Observe que este caso um pouco diferente dos demais. Gostaramos muito x 1 x 1 que o integrando fosse o inverso do que realmente , ou seja, se fosse algo como dx seria fcil calcular xExemplo 3.1.3. Calcule (ser mesmo? Tente). Bom, mas esse impulso inicial vlido e vamos nos apegar a ele. Faamos u = x 1. Derivando com relao a x, obtemos du = dx. Mas o que fazer com o x que est no numerador j que ele no aparece na expresso de du ? Fazemos o seguinte, lembre que u = x 1, portanto, x = u + 1. Agora substitumos:

x u +1 u 1 1 dx = du = du + du = 1du + du = u + ln u + C = ( x 1) + ln x 1 + C. x 1 u u u u x dx. Observe que no est clara aqui nenhuma substituio. Vamos tentar 2x + 3

Exemplo 3.1.4. Calcule

du = 2, ou seja, du = 2dx. A mesma idia que usamos antes, ou seja, tirar o valor de x em dx u 3 funo de u nos leva a x = . Portanto substituindo ficaremos com: 2 u 3 1 u 3 x du 1 u 3 1 dx = 2 = du = du du = { u1/ 2 du 3 u 1/2 du} = 4 u 2x + 3 u 2 4 u u 4u = 2 x + 3. Veja que

=

( 2 x + 3) 1 u 3/ 2 u1/2 u 3/2 3 6u1/ 2 + C = = 4 3 / 2 1/ 2 6 6106

3/ 2

6 2 x + 3 + C.

H outra possibilidade que tentar u = 2 x + 3. Faa como exerccio.

3.2. - Integrao por partes A regra do produto para funes derivveis afirma que se u e v so funes derivveis ento o produto das duas tambm derivvel e sua derivada ser dada por:

( uv ) ' ( x ) = u ' ( x ) v ( x ) + u ( x ) v ' ( x ) .

A tcnica de integrao por partes ir reverter esse processo. Isso ser descrito a seguir. A primeira coisa para que devemos atentar que a frmula da derivada do produto nos diz que u ( x ) v ( x ) uma primitiva de u ' ( x ) v ( x ) + u ( x ) v ' ( x ) , ou seja,

( u ' ( x ) v ( x ) + v ( x ) u ' ( x ) ) dx = u ( x ) v ( x )

A segunda que, supondo que u ' ( x ) v ( x ) possua uma primitiva imediata, podemos escrever:

u ( x ) v ' ( x )dx = u ( x ) v ( x ) v ( x ) u ' ( x ) dxSe fizermos u ' ( x ) dx = du e v ' ( x ) dx = dv a frmula acima fica:

udv = uv vdu ,que conhecida como frmula da integrao por partes. Vamos ver alguns exemplos. Exemplo 3.2.1. Calcule x cos xdx. Observe que no h substituio que possa ser til para calcular essa integral. Vamos fazer u = x e dv = cos xdx. Com essas escolhas, temos que

du = 1, ou seja, du = dx e dx

dv = cos x , ou seja, v = senx. Assim, usando a frmula acima, temos que: dx x cos xdx = udv = uv vdu = xsenx senxdx = xsenx + cos x + C .Observe que as escolhas para u e dv foram muito importantes. Se tivssemos feito outras escolhas as coisas poderiam ter ficado mais complicadas. De fato, vamos ver o que ocorreria se tivssemos escolhido u = cos x e

dv = xdx. Nesse caso teremos

du dv x2 = senx, ou seja, du = senxdx e = x, o que implica v = . Assim, dx dx 2 x2 1 cos x + x 2 senxdx . 2 2

substituindo na frmula da integrao por partes, ficamos com

x cos xdx = udv = uv vdu =

Note que a ltima integral mais difcil de calcular que a primeira. Essa dificuldade maior surgiu em virtude da nossa escolha infeliz de u e de dv. Ficou evidenciado no exemplo acima que o sucesso do mtodo da integrao por partes reside na escolha certa de u e de dv . Assim, algumas recomendaes so teis. Escolha u e dv de modo que v e vdu possuam primitivas fceis de encontrar. No precisam ser imediatas, apenas fceis. Vamos ver mais alguns exemplos. Exemplo 3.2.2. Calcule x ln xdx. A melhor escolha para u e dv u = ln x e dv = xdx. Com essa escolha, temos du =

1 x2 dx e v = . Assim, usando a frmula da integral por partes ficamos com: 2 x x2 1 21 x2 1 2 x ln xdx = udv = uv vdu = ln x x dx = ln x x + C. x 2 2 2 4 107

Exemplo 3.2.3. Calcule x 2 e x dx. Vamos fazer u = x 2 e dv = e x dx. Com essas escolhas, teremos du = 2 xdx e v = e x . Assim, usando a frmula da integral por partes, ficaremos com:2 x 2 x x x e dx = udv = uv vdu =x e 2 xe dx.

Em uma primeira olhada, podemos pensar que a escolha foi ruim. Mas veja que a ltima integral pode ser calculada usando novamente partes. Note que apesar de termos cado novamente numa integral por partes a escolha foi boa porque ela proporcionou uma diminuio no expoente de x que era 2 e passou a ser 1. A ltima integral pode ser calculada usando novamente partes. Fazendo u = x e dv = e x dx, obtemos du = dx e

v = e x . Substituindo na frmula da integral por partes, ficaremos com:x x x x x xe dx = udv = uv vdu = xe e dx = xe e .

Agora substitumos esse valor na penltima integral e obtemos:2 x 2 x x 2 x x x x e dx = udv = uv vdu =x e 2 xe dx = x e 2 xe + 2e + C.

3.3. - Substituies trigonomtricas Existem algumas substituies que envolvem funes trigonomtricas e que servem para tratar um grande nmero de integrais. Elas so as chamadas Substituies Trigonomtricas e so trs. Integrais envolvendo expresses do tipo a 2 x 2 , com a > 0. Para esse tipo de integral, usaremos a substituio x = asen , com

2

2

. Com essa substituio temos

dx = a cos d e

a 2 x 2 = a 2 a 2 sen 2 = a 2 (1 sen 2 ) = a 2 cos 2 = a cos ,pela escolha do ngulo . Vamos a um exemplo: Exemplo 3.3.1. Calcule

9 x2 dx . Neste caso a = 3 e, portanto, usaremos a substituio x = 3sen . x2

Utilizando as frmulas descritas acima vamos fazer as substituies. Feito isso ficaremos com:

9 x2 3cos cos 2 3cos dx = d = d = cot g 2 d = ( cos ec 2 1) d = 2 2 2 x sen 9sen 2 = cos ec d d = cot g + C.x x , ou seja, = arcsen . Por outro lado, 3 3

Agora precisamos retornar varivel original que x. A nossa nica relao entre x e a da substituio, ou seja, x = 3sen . A primeira informao que tiramos que sen = como sen =

x , temos, que: 3

108

9 x2 x , cos = 1 sen = 1 = 3 32 2

donde, cot g =

cos = sen

9 x2 9 x2 3 e, portanto, = x x 3

9 x2 9 x2 x arcsen + C dx = cot g + C = 2 x x 3Integrais envolvendo expresses do tipo

a 2 + x 2 , com a > 0.