Calculo Diferencial e Integral II 1361970429

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65 Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II Professor: Eduardo Gonçalves dos Santos Curso de Licenciatura em Matemática – UFPBVIRTUAL [email protected] Ambiente Virtual de Aprendizagem: Moodle www.ead.ufpb.br Site da UFPBVIRTUAL www.virtual.ufpb.br Site do curso www.mat.ufpb.br/ead Telefone UFPBVIRTUAL (83) 3216 7257 Carga horária: 60 horas Créditos: 04 Ementa Derivadas e Integrais. Descrição Esta disciplina consiste de uma continuação do estudo das derivadas iniciado no curso de Cálculo Diferencial e Integral I, bem como de uma apresentação ao conceito de integral. O programa da disciplina está dividido em cinco unidades. Na primeira ampliaremos o nosso leque de regras de derivação, através de um aprofundamento no estudo da regra da cadeia que possibilitará a derivação de funções compostas, bem como de funções dadas na forma implícita e de funções inversas. A segunda unidade aborda algumas aplicações da derivada, destacando-se aí aquelas relativas ao estudo do comportamento de uma função no que se refere a máximos, mínimos, crescimento, decrescimento e concavidades. A terceira unidade introduz os conceitos de integral definida e primitiva, relacionando-os através do chamado Teorema Fundamental do Cálculo. A quarta unidade faz um estudo sobre algumas técnicas para a determinação de primitivas. Na quinta unidade serão dadas algumas aplicações geométricas da integral definida, como o cálculo de áreas, volumes e comprimentos de arcos. Também durante a quarta unidade será feito um rápido estudo sobre o sistema de coordenadas polares. As idéias presentes neste curso são bastante antigas e sobre elas vários homens de ciência dedicaram boa parte de suas carreiras nos mais variados períodos da história da humanidade. Dentre eles, podemos citar Arquimedes de Siracusa, Isaac Newton, Gottfried Leibniz, Pierre Fermat, Augustin Cauchy, Joseph-Louis Lagrange, Julius Dedekind, Bernhard Riemann e Karl Weierstrass. Esse ramo da Matemática, conhecido em um contexto mais avançado como Análise Matemática, despertou paixões, causou crises e, logicamente, promoveu o avanço do conhecimento humano. O seu estudo, além de enriquecedor no sentido da aquisição pura e simples do conhecimento, é útil e importante na formação do futuro professor uma vez que proporciona uma forte ligação entre conceitos de aspectos puramente teóricos a situações das mais variadas naturezas. Objetivos Ao final do curso, espera-se que o aluno esteja habilitado a: Compreender o funcionamento da regra da cadeia e utilizá-la no cálculo de derivadas de funções dadas tanto na forma explícita quanto na forma implícita. Compreender a interpretação dada à derivada de uma função como sendo uma velocidade e utilizá-la na resolução de diversos problemas. Estudar o comportamento de uma função no que diz respeito a pontos extremos, concavidade e comportamento no infinito. Esboçar com rigor o gráfico das principais funções. Compreender o significado da integral definida e relacioná-lo com o conceito de primitiva.

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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II Professor: Eduardo Gonçalves dos Santos

Curso de Licenciatura em Matemática – UFPBVIRTUAL [email protected]

Ambiente Virtual de Aprendizagem: Moodle www.ead.ufpb.br

Site da UFPBVIRTUAL www.virtual.ufpb.br Site do curso www.mat.ufpb.br/ead

Telefone UFPBVIRTUAL (83) 3216 7257

Carga horária: 60 horas Créditos: 04 Ementa

Derivadas e Integrais. Descrição

Esta disciplina consiste de uma continuação do estudo das derivadas iniciado no curso de Cálculo Diferencial e Integral I, bem como de uma apresentação ao conceito de integral. O programa da disciplina está dividido em cinco unidades. Na primeira ampliaremos o nosso leque de regras de derivação, através de um aprofundamento no estudo da regra da cadeia que possibilitará a derivação de funções compostas, bem como de funções dadas na forma implícita e de funções inversas. A segunda unidade aborda algumas aplicações da derivada, destacando-se aí aquelas relativas ao estudo do comportamento de uma função no que se refere a máximos, mínimos, crescimento, decrescimento e concavidades. A terceira unidade introduz os conceitos de integral definida e primitiva, relacionando-os através do chamado Teorema Fundamental do Cálculo. A quarta unidade faz um estudo sobre algumas técnicas para a determinação de primitivas. Na quinta unidade serão dadas algumas aplicações geométricas da integral definida, como o cálculo de áreas, volumes e comprimentos de arcos. Também durante a quarta unidade será feito um rápido estudo sobre o sistema de coordenadas polares.

As idéias presentes neste curso são bastante antigas e sobre elas vários homens de ciência dedicaram boa parte de suas carreiras nos mais variados períodos da história da humanidade. Dentre eles, podemos citar Arquimedes de Siracusa, Isaac Newton, Gottfried Leibniz, Pierre Fermat, Augustin Cauchy, Joseph-Louis Lagrange, Julius Dedekind, Bernhard Riemann e Karl Weierstrass.

Esse ramo da Matemática, conhecido em um contexto mais avançado como Análise Matemática, despertou paixões, causou crises e, logicamente, promoveu o avanço do conhecimento humano. O seu estudo, além de enriquecedor no sentido da aquisição pura e simples do conhecimento, é útil e importante na formação do futuro professor uma vez que proporciona uma forte ligação entre conceitos de aspectos puramente teóricos a situações das mais variadas naturezas. Objetivos

Ao final do curso, espera-se que o aluno esteja habilitado a:

Compreender o funcionamento da regra da cadeia e utilizá-la no cálculo de derivadas de funções dadas tanto na forma explícita quanto na forma implícita.

Compreender a interpretação dada à derivada de uma função como sendo uma velocidade e utilizá-la na resolução de diversos problemas.

Estudar o comportamento de uma função no que diz respeito a pontos extremos, concavidade e comportamento no infinito.

Esboçar com rigor o gráfico das principais funções.

Compreender o significado da integral definida e relacioná-lo com o conceito de primitiva.

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Utilizar a integral definida para calcular áreas, volumes e comprimentos de arco em alguns casos.

Ler, interpretar e comunicar idéias matemáticas.

Unidades Temáticas Integradas

Unidade I Regras de Derivação

• Derivada da função composta • Derivada de funções dadas na forma implícita • Derivada da função inversa • Derivadas de algumas funções inversas

Unidade II Interpretando e Utilizando a Derivada

• Taxas de variação • Crescimento e decrescimento • Máximos e mínimos locais • Máximos e mínimos globais • Concavidade e pontos de inflexão • Esboço de gráficos • O Teorema do valor médio

Unidade III Integral Definida e Primitivas

• Motivação inicial: o problema da área • Integral definida: definição e propriedades • Primitivas • O teorema fundamental do cálculo

Unidade IV Algumas Técnicas para se Encontrar Primitivas

• Integração por substituição • Integração por partes • Substituições trigonométricas • O método das frações parciais

Unidade V Aplicações Geométricas da Integral Definida

• Cálculo de áreas • O sistema de coordenadas polares • Comprimentos de arcos • Volumes de sólidos de revolução

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Unidade I: Regras de Derivação

1. - Situando a Temática No curso de Cálculo Diferencial e Integral I tivemos a oportunidade de definir e interpretar

geometricamente um objeto bastante importante na matemática que é a derivada de uma função. Vimos que para obtê-la existem algumas regras que evitam o uso da definição e tornam seu cálculo bastante simplificado. Nesta unidade ampliaremos o estudo da Regra da Cadeia o que nos permitirá derivar uma quantidade considerável de funções.

Além disso, utilizaremos a referida regra para obter a derivada de funções dadas na forma implícita e a derivada da inversa de algumas funções.

2. - Problematizando a Temática

As primeiras regras de derivação que foram estudadas em Cálculo Diferencial e Integral I não eram

suficientes para derivar uma quantidade importante de funções como determinados tipos de funções compostas. Para tratar desse problema, tornou-se necessária a introdução de uma nova regra, conhecida como Regra da Cadeia. Aqui vamos explorar este tema de uma forma mais profunda.

3. - Conhecendo a Temática 3.1. - Derivada da Função Composta

No curso de Matemática para o Ensino Básico II tomamos contato com uma situação que permitia obter

uma nova função a partir de duas outras. Mais especificamente, dadas :f A B→ e :g B C→ funções,

definimos a função :h A C→ pela fórmula ( ) ( )( )h x g f x= . A função h é chamada de função composta de

g e f e denotada por .g f Estamos interessados aqui em obter uma fórmula que forneça a derivada da função h a partir das derivadas de f e .g Com esse objetivo em mente vamos analisar o seguinte exemplo:

Exemplo 3.1.1. Considere a função ( ) ( )22 3h x x= + e vamos tentar obter sua derivada. O nosso impulso inicial é desenvolver o quadrado do binômio. Fazendo isso ficamos com:

( ) 24 12 9.h x x x= + + Agora usamos a regra de derivação de polinômios e vemos que:

( )' 8 12.h x x= + Aqui há algo que simplificou bastante essa tarefa: o expoente do binômio é pequeno, o que permitiu que nós o desenvolvêssemos. Se o expoente fosse, por exemplo, 20, tal desenvolvimento, apesar de possível, seria bastante laborioso e o cálculo da derivada tornar-se-ia bastante penoso. Imagine o caso em que o expoente é 100.

A situação discutida no Exemplo 3.1.1. nos mostra ser necessário o conhecimento de uma nova regra de derivação que permita derivar funções como aquela que lá foi discutida. Essa nova regra será chamada Regra da Cadeia pelo fato de que as derivadas serão executadas como num processo em cadeia, em seqüência. Vamos revisitar o Exemplo 3.1.1. a fim de que possamos ter uma pista acerca do funcionamento da dita regra. Exemplo 3.1.1 (Revisitado). Em primeiro lugar vamos encarar h como uma função composta. De fato, se fizermos ( ) 2g x x= e ( ) 2 3f x x= + então vemos que ( ) ( )( ).h x g f x= Agora perceba que:

( ) ( )' 8 12 2 2 3 2.h x x x= + = × + ×

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Mas veja que ( )' 2g x x= , ( )' 2f x = e ( )( ) ( )' 2 2 3 .g f x x= × + Portanto olhando para a expressão de

( )'h x obtida antes vemos que:

( ) ( )( ) ( )' ' ' .h x g f x f x= ×

A conclusão obtida na nova visita que fizemos ao Exemplo 3.1.1. nos dá uma pista sobre o aspecto da Regra da Cadeia. Ela sugere que a derivada da função composta é obtida multiplicando as derivadas das funções envolvidas, mas com uma ressalva: nesse produto a derivada da função g está calculada no ponto ( )f x . Em termos mais precisos podemos enunciá-la assim. Regra da Cadeia: Se ( ) ( )( )h x g f x= e f e g são funções deriváveis então

( ) ( )( ) ( )' ' ' .h x g f x f x= ×

A demonstração da Regra da Cadeia ficará postergada para o curso de Introdução à Análise. Aqui vamos explorar o seu poder para derivar funções mais complexas. Veremos agora diversos exemplos. Exemplo 3.1.2. Calcule a derivada das seguintes funções:

a. ( ) ( )20082 3h x x= + b. ( )52

2

3 42 1x xh xx

⎛ ⎞+= ⎜ ⎟+⎝ ⎠

c. ( )22 1

5 3xh xx

−+⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠ d. ( ) 3 23 5 6h x x x x= + +

Vejamos a letra (a). Temos que ( ) ( )( ) ,h x g f x= onde ( ) 2 3f x x= + e ( ) 2008.g x x= Como ( )' 2f x = e

( ) 2007' 2008 ,g x x= segue pela regra da cadeia que:

( ) ( ) ( )2007 2007' 2008 2 3 2 4016 2 3 .h x x x= + × = + Vejamos a letra (b). Aqui vamos precisar lembrar a regra de derivação do quociente. Em primeiro lugar temos

( ) ( )( ) ,h x g f x= onde ( )2

2

3 42 1x xf xx+

=+

e ( ) 5g x x= . Note que:

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )

2 2 2

2 22 2

2 1 6 4 3 4 4 6 4 8'2 1 2 1

x x x x x x xf xx x

+ + − + + −= =

+ +

e que ( ) 4' 5 .g x x= Assim, pela regra da cadeia, podemos dizer que:

( )( )

( ) ( )( )

44 2 22 2

2 62 2 2

5 3 4 6 4 83 4 6 4 8' 52 1 2 1 2 1

x x x xx x x xh xx x x

+ + −⎛ ⎞+ + −= =⎜ ⎟+⎝ ⎠ + +

.

Passemos à letra (c). Temos que ( ) ( )( ) ,h x g f x= onde ( ) 2 15 3

xf xx+

=+

e ( ) 2.g x x−= Agora note que

( ) ( ) ( )( ) ( )2 2

2 5 3 5 2 1 1'5 3 5 3

x xf x

x x

+ − += =

+ + e que ( ) 3

2'g xx−

= . Portanto

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( )( )

( )( )3 2 3

2 5 32 1'2 1 5 3 2 15 3

xh x

x x xx

+= − × = −

+ + +⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

.

Finalmente, vejamos a letra (d). Note que ( ) ( )( ) ,h x g f x= onde ( )g x x= e ( ) 3 23 5 6f x x x x= + + .

Como ( ) 1'2

g xx

= e ( ) 2' 9 10 6f x x x= + + , temos que

( ) ( )2

2

2 2 2 2

1 9 10 6' 9 10 62 3 5 6 2 3 5 6

x xh x x xx x x x x x

+ += × + + =

+ + + +.

Exemplo 3.1.3. Na tabela abaixo, são dadas informações sobre as funções f e g :

x ( )f x ( )'f x ( )g x ( )'g x -1 2 3 2 -3 2 0 4 1 -5

Vamos determinar o valor de ( )' 1h − , onde ( ) ( )( )h x f g x= . Observe que, pela regra da cadeia, temos que

( ) ( )( ) ( )' ' ' ,h x f g x g x= × ou seja, quando fizermos 1,x = − vamos obter

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )' 1 ' 1 ' 1 ' 2 ' 1 4 3 12h f g g f g− = − × − = × − = × − = − . De forma análoga, podemos calcular

( )' 1e − , onde ( ) ( )( ).e x g f x= Com efeito, pela regra da cadeia, temos que ( ) ( )( ) ( )' ' ' ,e x g f x f x= × ou

seja, ( ) ( )( ) ( ) ( )' 1 ' 1 ' 1 5 3 15.e g f f− = − × − = − × = −

Exemplo 3.1.4. Calcule a derivada das seguintes funções: a. ( ) ( )( )( )cosf x sen tg x= b. ( ) ( )( )2cos ln 1g x x= +

Observe que nesses dois exemplos há uma composição de mais de duas funções. Nesse caso, como em outros desse tipo, usamos uma interpretação muito útil e que simplifica bastante o uso da Regra da Cadeia. Se observarmos, em todos os exemplos até agora vistos, a regra da cadeia funciona assim: Começamos derivando a função mais externa, sem mexer naquela que está “dentro” dela e multiplicamos essa derivada pela derivada daquela que está “dentro”. Enquanto houver funções “dentro”, continuamos derivando, até chegarmos à variável independente. Vamos ver como funciona isso nesse caso. A função mais externa é o seno, em seguida vem o co-seno e por último vem a tangente. Seguindo a interpretação dada, primeiro derivamos o seno, sem mexer no que está dentro dele. Fazendo isso, obtemos ( )( )( )cos cos tg x . Em seguida, multiplicamos essa derivada pela derivada da

próxima função, sem derivar quem está dentro dela. Fazendo isso, obtemos

( )( )( ) ( )( )( )cos cos .tg x sen tg x× − Finalmente, derivamos a última função e obtemos:

( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )2 2' cos cos sec cos cos sec .f x tg x sen tg x x tg x sen tg x x= × − × = −

Vejamos agora a letra (b). A função mais externa é o co-seno, seguida do logaritmo e por último a função quadrática. Repetindo o argumento anterior, ficamos com:

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( ) ( )( ) ( )( )22

2 2

2 ln 11' ln 1 2 .1 1

xsen xg x sen x x

x x

− += − + × × =

+ +

Ampliando o seu Conhecimento

3.2. - Derivadas de funções dadas na forma implícita

Na linguagem quotidiana a palavra implícita diz respeito a algo que não está dito de modo claro, evidente. Em matemática o significado é bastante semelhante. Para entendermos isso basta olharmos para as funções com as quais temos lidado até agora. Quando dizemos seja ( )y f x= uma função de x, fica claro, explícito a maneira de associar um único y para cada x atribuído. Entretanto, nem sempre as coisas acontecem assim. Em determinados contextos, nos é dada uma expressão envolvendo x e y e pergunta-se: em que condições essa expressão nos permite explicitar y como função de x, ou o contrário? A resposta não é simples e não trataremos desta questão aqui. O nosso principal interesse é o seguinte: Dada uma expressão envolvendo x e y, e supondo que essa expressão nos permita explicitar y como função de x, como fazer para encontrar a derivada de y com relação a x? Antes de prosseguirmos, convém adotarmos uma notação. Nesta seção a derivada de y com relação a x será denotada por y’. Vejamos através de alguns exemplos, como proceder para atingirmos nosso objetivo.

A segunda será aquela que nós utilizaremos com mais freqüência. Derivamos diretamente a expressão, sempre lembrando que é possível explicitar y como função de x. Fazendo isso, teremos:

( )' 0xy = , uma vez que a derivada da função constante é zero. Usando a regra do produto, ficaremos com:

' ' 0x y xy+ = . como a derivada de x com relação a x é 1, temos que essa última igualdade toma o seguinte aspecto:

' 0,y xy+ = ou ainda,

' .yyx−

=

Leia com atenção os exemplos acima. Não deixe de compreender nenhuma passagem. Na plataforma MOODLE vamos disponibilizar mais exemplos resolvidos para que você fique bastante familiarizado com a regra da cadeia. Não deixe de visitar o nosso ambiente virtual.

Exemplo 3.2.1. Vamos olhar para a expressão 1xy = cujo gráfico no plano cartesiano é uma curva chamada hipérbole que está desenhada ao lado. Observe que, neste caso, a expressão tanto fornece y como função de x como o contrário. Se quiséssemos encontrar y’ poderíamos proceder de duas maneiras. A primeira é expressar diretamente y como função de x usando a equação, o que resulta em:

1yx

= ,

que, quando derivada, nos fornece

2

1'yx

= − .

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Notemos que se substituirmos y por 1 ,x

obteremos nessa última expressão 2

1'yx

= − , ou seja, o mesmo que

encontramos anteriormente. Agora um comentário sobre este exemplo: ele é muito especial, pois a expressão nos permite tirar y como função de x e o contrário. Agora vamos ver um exemplo onde não podemos fazer isso. Exemplo 3.2.2. Supondo que a expressão 4 3 3 60x y xy− = defina implicitamente y como função de x, vamos encontrar y’. Usando a regra do produto e a regra da cadeia para derivar ambos os membros da igualdade com relação a x, ficaremos com:

( )3 3 2 44 3 ' 3 ' 0x y y y x y xy+ − + = . Agora isolando y’ ficamos com

3 3

2 4

3 4'3 3

y x yyy x x−

=−

.

Perceba uma diferença entre este exemplo e o anterior. No primeiro, y’ ficou apenas em função de x, enquanto que no segundo, y’ ficou em função tanto de y como de x. Isso aconteceu porque no primeiro exemplo pudemos explicitar y como função de x, enquanto que no segundo isso não foi possível. Lembre que, no curso de Cálculo Diferencial e Integral I, foi visto que a derivada de uma função f no ponto

( )( ),a f a é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico daquela função naquele ponto. Portanto, quando

calculamos a derivada y’ de uma função definida implicitamente por uma expressão envolvendo x e y o que estamos encontrando é o coeficiente angular da reta tangente àquela curva - já que no plano cartesiano a expressão é representada por uma curva - num dado ponto. Vamos ver dois exemplos sobre isso.

Isolando o termo y’, ficaremos com: 2 2

2 2

6 3 2'3 6 2

y x y xyy x y x− −

= =− −

,

Agora fazendo x=3 e y=3, encontraremos ' 1.y = − Portanto, a equação da reta tangente ao Fólium de Descartes no ponto ( )3,3 será dada por:

3 13

yx−

= −−

,

ou seja, 3 3 ,y x− = − ou ainda, 6.x y+ = Veja que na figura acima a reta possui coeficiente angular negativo, o que se confirma no coeficiente por nós encontrado.

Exemplo 3.2.3. Usando a técnica da derivação implícita, vamos encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da curva

3 3 6x y xy+ = no ponto ( )3,3 . Ao lado está mostrado o esboço de um pedaço dessa curva, conhecida como Fólium de Descartes. Observe que para encontrarmos a equação da reta pedida, devemos primeiro encontrar o seu coeficiente angular que será dado por y’, calculado em ( )3,3 . Derivando a equação da curva com respeito a x, ficamos com:

( )2 23 3 ' 6 ' .x y y y xy+ = +

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Exemplo 3.2.4. Vamos determinar os pontos da curva 2 2 3,x xy y− + = onde a reta tangente é horizontal. A curva dada representa uma elipse com eixos não paralelos aos eixos cartesianos. Para encontrarmos os pontos pedidos, devemos derivar a equação implicitamente com relação a x e encontrarmos os pontos onde ' 0.y = Fazendo isso, obtemos:

( )2 ' 2 ' 0.x y xy yy− + + =

Isolando ',y ficamos com:

2'2y xy

y x−

=−

.

Ampliando o seu Conhecimento 3.3. - Derivada da função inversa

A regra da cadeia vista anteriormente nos serve para encontrar a derivada da inversa de uma função. Vamos recordar a seguinte definição

Uma função :f A B→ é dita invertível se existir uma outra função :g B A→ de modo que ( )( ) ,g f x x=

para todo x A∈ e ( )( ) ,f g x x= para todo .x B∈

Em termos mais concretos, a função f é invertível, se existir uma outra função g que desfaça o que ela

faz. Perceba que se f é invertível então a g que desfaz o que ela faz também é invertível, pois f desfaz o que g faz! Chamamos a função g de inversa da função f. Pela discussão precedente, a função f será chamada de inversa da função g.

Exemplo 3.3.1. A função :f R R→ dada por ( ) 3f x x= é invertível, pois a função ( )13g x x= satisfaz

( )( ) ,g f x x= para todo x R∈ e ( )( ) ,f g x x= para todo x R∈ .

Existe um critério bastante interessante que nos permite dizer se uma dada expressão da forma ( ), 0F x y = define y como função de x ou o contrário. Esse resultado é conhecido como Teorema

da Função Implícita e é um dos principais resultados da disciplina chamada Análise Matemática.

Nos pontos que queremos determinar vale .0'=y Portanto, .2xy = Substituindo na equação da curva, teremos:

( ) ( ) ,322 22 =+− xxxx

ou seja, 33 2 =x o que nos fornece 12 =x e, portanto, 1=x ou

1−=x . Assim, substituindo em ,2xy = ficaremos com dois valores, 2=y ou 2−=y e daí os pontos serão ( )2,1 e ( )2,1 −− . Veja a figura ao lado.

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Nosso interesse agora é obter uma fórmula para o cálculo da derivada da função inversa. Seja então :f A B→ uma função invertível, onde A e B são subconjuntos de R..Derivando a igualdade

( )( ) ,f g x x= ficaremos com

( )( )( ) ' 1,f g x =

Usando a Regra da Cadeia, esta igualdade transforma-se em:

( )( ) ( )' ' 1,f g x g x× =

ou seja, ( ) ( )( )1' .

'g x

f g x= para todo x onde essa fração fizer sentido. Podemos então enunciar o seguinte

fato: Fórmula para a derivada da função inversa: Se :f A B→ é uma função invertível, onde A e B são subconjuntos de R e :g B A→ é a sua inversa, então

( ) ( )( )1' .

'g x

f g x=

onde essa fração fizer sentido Vamos discutir alguns exemplos. Exemplo 3.3.2. Considere a função ( ) 32 5 3f x x x= + + . Podemos mostrar que f é invertível. Não faremos isso

aqui. Vamos explorar outro aspecto. Chamando a inversa de f de g, podemos calcular ( )' 3 .g Usando a fórmula para a derivada da função inversa, temos que:

( ) ( )( )1' 3 .

' 3g

f g=

Sabemos que ( ) 2' 6 5,f x x= + mas não conhecemos o valor de ( )3 .g Mas veja que se fizermos ( )3g a= e

levarmos em conta que g é a inversa de f, teremos que ( ) 3.f a = Como o único número cujo f é 3 é 0, segue que a=0. Portanto, usando a fórmula anterior, temos

( ) ( )( ) ( ) 2

1 1 1 1' 3' 0 6 0 5 5' 3

gff g

= = = =× +

.

Exemplo 3.3.3. Considere a função ( ) 3 2f x x= + . Observe que a função inversa de f é ( ) 3 2g x x= − .

Vamos calcular ( )' 10g de duas maneiras: primeiro derivando g diretamente e segundo utilizando a fórmula para a derivada da função inversa. Derivando g, obtemos:

( ) ( )2

31' 2 .3

g x x−

= −

Portanto, ( ) ( )2

31 1' 10 83 12

g−

= = . Agora vamos obter esse mesmo resultado usando a fórmula para a derivada

da função inversa. A dita fórmula nos diz que

( ) ( )( )1' 10 .

' 10g

f g=

Observe que ( ) 2' 3f x x= e ( )10 2g = , portanto ( ) ( ) 2

1 1 1' 10 .' 2 3 2 12

gf

= = =×

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3.4. - Derivadas de algumas funções inversas

Vamos utilizar os conhecimentos adquiridos nos parágrafos anteriores para obtermos a derivada de algumas funções inversas muito importantes.

3.4.1. - Função Logarítmica A função logarítmica é a inversa da função exponencial. Mais precisamente, seja ( ) xf x e= a função

exponencial de base e. A inversa de f é a função ( ) ( )ln .g x x= Sabemos do curso de Cálculo I que a derivada

de f é dada por ( )' xf x e= . Usando a fórmula para a derivada da inversa temos que

( ) ( )( ) ( )ln

1 1 1'' xg x

xf g x e= = = , ou seja,

( )( )' 1ln ,xx

= para todo 0.x >

Exemplo 3.4.1.1. Calcule a derivada das seguintes funções:

a. ( ) ( )2ln 1f x x= + b. ( ) ( )2ln 1 xf x e= +

Observe que, na letra (a), ( ) ( )( ) ,f x m n x= onde ( ) ( )lnm x x= e ( ) 2 1.n x x= + Assim, usando a Regra da

Cadeia, ficaremos com:

( ) ( )( ) ( ) 2 2

1 2' ' ' 21 1

xf x m n x n x xx x

= × = × =+ +

.

No caso da letra (b), a função mais externa é ( )ln .x Vamos derivá-la, sem mexer no que está dentro dela, que no

nosso caso é 2

1 xe+ . Feito isso obtemos 2

11 xe+

. Em seguida, multiplicamos esse resultado pela derivada da

função que estava dentro. Só que essa também possui uma dentro de si. Assim, repetimos o mesmo processo de

antes. Quando fizermos esse produto ficaremos com 2

2

11

x

xe

+. Agora multiplicamos esse resultado pela

derivada da função que estava dentro de 1 xe+ que era 2x . Feito isso ficaremos com:

( )2

2

2 2

1 2' 2 .1 1

xx

x x

xef x e xe e

= × × =+ +

3.4.2. - Função arco seno A função ( ) ( )f x sen x= possui como domínio o conjunto dos números reais, conforme aprendemos

no curso de Matemática para o ensino básico II, e imagem o intervalo fechado [ ]1,1 .− Entretanto ela não é invertível pelo fato de não ser injetora. Esse impedimento será contornado agora a fim de possibilitar que esta função, bem como as outras funções trigonométricas, possua inversa. O nosso procedimento aqui parecerá arbitrário e até mesmo artificial numa primeira olhada, mas, em alguns casos, os fins justificam os meios. A nossa estratégia será diminuir o domínio da função f a fim de que, neste novo domínio, ela passe a ser invertível. Observe o gráfico ao lado:

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75

Vamos tomar a função seno definida apenas no intervalo fechado ,2 2π π⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦

e tomando valores em [ ]1,1− .

Agora definiremos uma função [ ]: 1,1 ,2 2

g π π⎡ ⎤− → −⎢ ⎥⎣ ⎦ da seguinte maneira:

Dado [ ]1,1 ,x∈ − ( )g x é definido como o único ,2 2

y π π⎡ ⎤∈ −⎢ ⎥⎣ ⎦ tal que ( ) .sen y x=

Perceba algo de muito interessante com a função g: a sua definição foi construída de propósito, para que ela fosse a inversa de f. A função g definida acima será chamada de função arco seno e representada assim ( ) ( ).g x arcsen x= Antes de passarmos para o cálculo da derivada da função arco seno, vamos ver um

exemplo.

Exemplo 3.4.2.1. Vamos calcular ( )0arcsen . Quem é ele? É o único ,2 2

y π π⎡ ⎤∈ −⎢ ⎥⎣ ⎦ tal que ( ) 0.sen y = Esse

y é justamente 0. Portanto, ( )0 0.arcsen = Calculemos agora ( )1 .arcsen Ele é o único ,2 2

y π π⎡ ⎤∈ −⎢ ⎥⎣ ⎦ tal que

( ) 1.sen y = Mas 1.2

sen π⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

Logo ( )1 .2

arcsen π=

Passaremos agora ao cálculo da derivada de ( ) ( ).g x arcsen x= Se fizermos ( ) ,arcsen x y= então teremos

( )sen y x= e, como conseqüência da identidade ( ) ( )2 2cos 1,sen y y+ = teremos ( ) 2cos 1y x= − que é

positivo, pois ,2 2

y π π⎡ ⎤∈ −⎢ ⎥⎣ ⎦. Utilizando a fórmula para a derivada da função inversa com ( ) ( )f x sen x= e

( ) ( )g x arcsen x= bem como o fato de que a derivada da função seno é a função co-seno, teremos que

( )( ) ( )( ) 2

1 1 1'coscos 1

arcsen xyarcsen x x

= = =−

.

Como essa expressão só faz sentido se ( )1,1 ,x∈ − segue que a derivada da função arco seno só existe nesse intervalo. Resumindo nossa discussão, destacamos:

( )( )'

2

11

arcsen xx

=−

, com ( )1,1 ,x∈ −

Exemplo 3.4.2.2. Calcule a derivada das seguintes funções: a. ( ) ( )3f x arcsen x= b. ( ) ( )2 2m x arcsen x= Comecemos pela letra (a). Observe que ( ) ( )( )f x g h x= , onde ( ) ( )g x arcsen x= e ( ) 3 .h x x= Portanto,

pela Regra da Cadeia temos que:

( ) ( )( ) ( )( )2 2

1 3' ' ' 31 91 3

f x g h x h xxx

= × = × =−−

Vejamos agora a letra (b). Em primeiro lugar derivamos a função mais de externa, que é 2x sem mexermos na que está dentro. Feito isso obteremos ( )( )2 2arcsen x . Em seguida multiplicamos esse resultado pela derivada

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76

da próxima função, que no caso é ( )arcsen x , mas sem mexer no que está dentro dela. Assim procedendo

obteremos ( )( )( )2

12 2 .1 2

arcsen xx−

Para finalizar, multiplicamos esse resultado pela derivada da próxima

função que é 2x e obteremos:

( ) ( )( )( )2

1' 2 2 21 2

f x arcsen xx

= × ×−

Portanto:

( ) ( )2

4 2' .

1 4

arcsen xf x

x=

3 .4.3. - Função arco tangente A função ( ) ( )f x tg x= possui como domínio o

conjunto dos números reais diferentes de 2π

, 32π

, bem

como de seus múltiplos e imagem o conjunto dos números reais. Ela, assim como a função seno, não é invertível. A nossa missão aqui é a mesma do item anterior, ou seja, reduzir convenientemente o seu domínio a fim de que ela passe a ter inversa e, depois, encontrar a derivada dessa inversa. Observe o gráfico mostrado ao lado:

Se tomarmos ( ) ( )f x tg x= definida apenas no intervalo ,2 2π π⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠ tomando valores em R, podemos definir a

função : ,2 2

g R π π⎛ ⎞→ −⎜ ⎟⎝ ⎠

da seguinte maneira:

Dado x R∈ , ( )g x é definido como o único ,2 2

y π π⎛ ⎞∈ −⎜ ⎟⎝ ⎠

tal que ( ) .tg y x=

Essa função, pela sua própria construção, é a inversa de f. Ela será chamada de função arco tangente e será representada por ( ) ( ).g x arctg x= Vamos ver um exemplo.

Exemplo 3.4.3.1. Vamos calcular ( )3arctg . Ele é o único ,2 2

y π π⎛ ⎞∈ −⎜ ⎟⎝ ⎠

tal que ( ) 3tg y = . A

Trigonometria nos ensina que esse y é .3π

Portanto ( )3 .3

arctg π=

Vamos agora efetuar o cálculo da derivada de ( ) ( ).g x arctg x= Se fizermos ( )y arctg x= , teremos

( )tg y x= e, conseqüentemente, ( )2 2sec 1 .y x= + Utilizando agora a fórmula da derivada da função inversa e lembrando que a derivada da tangente é a secante ao quadrado, teremos

( )( ) ( )( ) ( )2 22

1 1 1' .sec 1sec

arctg xy xarctg x

= = =+

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77

Como essa expressão faz sentido para qualquer ,x R∈ segue que a função arco tangente é derivável em todo o conjunto dos números reais. Assim, podemos destacar:

( )( ) 2

1' ,1

arctg xx

=+

para todo .x R∈

Exemplo 3.4.3.2. Calcule a derivada das seguintes funções: a. ( ) ( )21f x arctg x= − b. ( ) ( )( )2 cosg x x arctg x=

Comecemos pela letra (a). Derivando a função mais externa, sem mexer naquela que está dentro, obtemos

( )2 2 42

1 12 21 1 x xx

=− ++ −

. Agora multiplicamos esse resultado pela derivada da que está dentro. Fazendo

isso, ficamos com:

( ) ( )2 4 2 4

1 2' 22 2 2 2

xf x xx x x x

−= × − =

− + − +

Vejamos agora a letra (b). Aqui primeiro vamos usar a regra do produto. Fazendo isso, obtemos:

( ) ( )( ) ( )( )( )2' 2 cos cos 'g x xarctg x x arctg x= +

Falta agora calcular ( )( )( )cos '.arctg x Agora é que entra em ação a regra da cadeia. Derivando a função mais

externa, obtemos ( )2

1 .1 cos x+

Agora multiplicamos esse resultado pela derivada da função que está dentro.

Fazendo isso, ficamos com:

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 22

1' 2 cos cos ' 2 cos .1 cos

g x xarctg x x arctg x xarctg x x sen xx

= + = + −+

3.4.4. - Função arco secante A função ( ) ( )secf x x= possui o mesmo domínio da função tangente e sua imagem é o conjunto dos números reais cujo módulo é maior que ou igual a um. Como as duas funções precedentes ela também não é invertível. Observe o seu gráfico mostrado ao lado.

Observe que, a despeito de terem o mesmo domínio, não usaremos o mesmo intervalo que o da tangente para inverter a função secante. Isso porque, no intervalo onde invertemos a tangente, a função secante não é

injetora, não podendo ser, portanto, invertível. A solução é considerar a união dos intervalos 0,2π⎡ ⎞⎟⎢⎣ ⎠

e , .2π π⎛ ⎤⎜ ⎥⎝ ⎦

Se considerarmos ( ) ( )secf x x= definida apenas nessa união, podemos definir a função

{ }: | 1 0, ,2 2

g x R x π π π⎡ ⎞ ⎛ ⎤∈ ≥ → ∪⎟ ⎜⎢ ⎥⎣ ⎠ ⎝ ⎦ da seguinte maneira:

Dado { }| 1 ,x x R x∈ ∈ ≥ ( )g x é definido como o único 0, ,2 2

y π π π⎡ ⎞ ⎛ ⎤∈ ∪⎟ ⎜⎢ ⎥⎣ ⎠ ⎝ ⎦ tal que ( )sec .y x=

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78

A função g, pela sua própria construção é a inversa de f, será chamada de função arco secante e será representada por ( ) ( )sec .g x arc x= Vejamos um exemplo.

Exemplo 3.4.4.1. Vamos calcular ( )sec 1 .arc Ele é o único 0, ,2 2

y π π π⎡ ⎞ ⎛ ⎤∈ ∪⎟ ⎜⎢ ⎥⎣ ⎠ ⎝ ⎦ tal que ( )sec 1.y = Como

( ) ( )1sec ,

cosy

y= para que ( )sec 1,y = devemos ter ( )cos 1.y = Mas em 0, ,

2 2π π π⎡ ⎞ ⎛ ⎤∪⎟ ⎜⎢ ⎥⎣ ⎠ ⎝ ⎦

o único y que

possui essa característica é 0,y = o que nos mostra que ( )sec 1 0.arc = Vamos agora calcular a derivada de ( ) ( )sec .g x arc x= Se fizermos ( )sec ,y arc x= teremos que

( )sec y x= e, portanto, ( ) 1cos .yx

= Usando a identidade ( ) ( )2 2cos 1,sen y y+ = obtemos

( )2

2

1.xsen yx−

= Agora utilizando a fórmula para a derivada da função inversa e o fato de que

( )( ) ( )( )2sec ' ,

cossen y

yy

= vamos ficar com:

( )( )( )( )( ) ( )( )

( )( )

2 2

'' 2 2 2 2

1cos1 1 1sec ' .

secsec sec 1 1 1

y xxarc xsen yyarc x x x x x x

x

= = = = = =− − −

Como a expressão acima só faz sentido se 1,x > segue que a função arco secante só é derivável no conjunto

{ }| 1 .x R x∈ > Assim podemos destacar

( )( )2

1sec ' ,1

arc xx x

=−

para todo { }| 1 ,x x R x∈ ∈ ≥

Veremos agora alguns exemplos sobre as derivadas vistas acima. Exemplo 3.4.4.2. Calcule a derivada das funções abaixo: a. ( ) ( )( )sec lnf x arc x= b. ( ) ( )secxarc xg x e=

Comecemos pela letra (a). Usando a regra da cadeia temos

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 2

1 1 1' .ln ln 1 ln ln 1

f xxx x x x x

= × =− −

Agora a letra (b). Usando a regra da cadeia temos

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2sec sec

2 2

1 sec1' sec1 1

xarc x xarc x x x arc x xg x e arc x x e

x x x x

⎛ ⎞⎛ ⎞ − +⎜ ⎟⎜ ⎟= + ⋅ =

⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠.

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79

Dialogando e Construindo Conhecimento 4. Avaliando o que foi construído Nesta unidade você ampliou seus conhecimentos acerca da regra da cadeia e pode perceber a sua potência tanto para derivar funções dadas na forma explícita, quanto funções dadas na forma implícita, bem como no cálculo da derivada de algumas inversas. O que vimos aqui é muito importante para a próxima unidade.

No Moodle. . .

Observação: Podemos demonstrar fórmulas análogas para a derivada de outras funções trigonométricas inversas.

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80

Unidade II: Interpretando e Utilizando a Derivada

1. - Situando a Temática

O que faz da derivada um objeto tão importante na Matemática é, dentre outras coisas, a possibilidade de que, através dela, podemos obter informações muito valiosas acerca do comportamento de uma dada função. O conhecimento da derivada de uma função nos permite descobrir seus pontos de máximo e mínimo locais, em alguns casos até os globais, aspectos ligados à sua concavidade, dentre outros. Por outro lado, graças à sua interpretação como velocidade, podemos ter idéia de como grandezas que se relacionam entre si de forma explícita e, até mesmo de forma implícita, se comportam uma em relação à outra.

2. - Problematizando a Temática

Os problemas de máximo e mínimo estão entre os mais belos e antigos da Matemática. Determinar os pontos de máximo e mínimo de uma função com a ajuda das suas derivadas é uma tarefa que envolve um raciocínio simples, elegante e, acima de tudo, útil. Traçar o gráfico de uma função com rigor é uma tarefa que, para nós, até então, só está perfeitamente justificada para o caso das funções do primeiro grau. Como justificar, por exemplo, que a parábola tem aquela aparência ou porque outros gráficos têm este ou aquele jeito? Com o auxílio da derivada poderemos responder a estas e a outras interessantes questões acerca do comportamento de uma função de uma maneira bastante satisfatória.

3. - Conhecendo a Temática 3.1. - Taxas de variação

Uma das interpretações mais importantes da derivada diz respeito a como uma grandeza varia em função de uma outra. Sendo mais específicos, poderíamos perguntar: se y é função de x podemos dizer o que ocorre com y quando x aumenta ou diminui? com que rapidez y cresce ou decresce quando x cresce ou decresce? Essas perguntas nos enviam a uma das mais importantes interpretações que a derivada possui que é a de Velocidade. A princípio associamos velocidade quando estamos diante do movimento de um carro, um avião, ou outro tipo de veículo. Vamos ver agora que o conceito de velocidade se expande um pouco mais. Começaremos com um exemplo: imagine que um veículo desloca-se por uma estrada e sua posição em um determinado instante é dada pela seguinte função ( ) 22 4 8 ,S t t t= + + onde t é dado em segundos e S é dado em metros. Um conceito que

surge, particularmente na Física, é o de Velocidade Média. Dados dois tempos 1t e 2t , com 1 2t t< , definimos a

velocidade média do móvel entre 1t e 2t , como sendo:

( ) ( )2 1

2 1

.m

S t S tV

t t−

=−

Essa nova grandeza nos diz de que forma a posição do móvel variou entre 1t e 2t . Se, por exemplo,

1 2t = e 2 4t = , então:

( ) ( ) ( ) ( )2 1

2 1

4 2 146 42. 52 /4 2 2m

S t S t S SV m s

t t− − −

= = = =− −

.

O que nos diz esse número? Ele diz que nesse intervalo de tempo, o móvel percorreu, em média, 52 metros a cada segundo. Entretanto, ele não nos diz, por exemplo, se o móvel parou em algum instante ou se deu marcha ré em algum instante, dentre outras possibilidades. Portanto, é um conceito que não oferece muito em termos de informação quantitativa do movimento do veículo. Para termos um conceito que nos informe um pouco mais sobre o movimento do veículo, precisamos de um conceito mais fino, que é o de Velocidade Instantânea. Imagine que queiramos saber quanto vale a velocidade do móvel no instante 2.t = Primeiro vamos tentar

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81

construir o que significa a expressão velocidade num determinado instante. Imaginemos que o instante 2t = está fixo. A velocidade média entre 2t = e um instante 2t > é dada por:

( ) ( ) 2 22 2 4 8 42 8 4 402 2 2m

S t S t t t tVt t t− + + − + −

= = =− − −

.

Se fizermos esse instante t se aproximar cada vez mais de 2, essa velocidade média será calculada em um intervalo de tempo cada vez menor, [ ]2, t . Em virtude disso, é razoável definirmos a Velocidade Instantânea em

2t = como sendo:

( )( )( ) ( )

2

2 2 22

8 20 28 4 40lim lim lim lim 8 20 362 2m t t tt

t tt tV tt t→ → →→

+ −+ −= = = + =

− −.

O que nos diz esse número? Ele diz que se de repente o móvel passasse a se mover exatamente como está em

2t = ele percorreria 2 metros a cada segundo. Outro fato importante nessa forma de pensar a velocidade instantânea é que ela é dada pela derivada da função ( )S t calculada no instante 2t = . De fato, veja que

( )' 16 4S t t= + e daí ( )' 2 16 2 4 36.S = × + = Na discussão acima, as grandezas S e t tiveram um papel apenas ilustrativo. Na realidade se uma

grandeza y é função de uma outra x, podemos definir a Velocidade Média ou, como é mais comum, a Taxa de variação média de y com relação a x, quando x varia de 1x até 2x como sendo:

( ) ( )2 1

2 1

y x y xy

x x−

=−

.

Também podemos definir a Velocidade instantânea ou, como é mais comum, a Taxa de variação

instantânea de y com relação a x, quando 1x x= , como sendo ( )1' .y x Portanto, quando calculamos uma derivada, podemos interpretá-la como uma velocidade. Vamos ver alguns exemplos dessa situação. Exemplo 3.1.1. Suponhamos que um petroleiro esteja com um vazamento de óleo no mar e que a mancha de óleo formada tenha um formato circular. Com o passar do tempo tanto a área A da mancha, bem como o seu raio r, muda com relação ao tempo. Vamos avaliar como variam. Digamos que a velocidade de crescimento da área A seja constante e igual a 10000 2 /m hora . Queremos determinar a velocidade de crescimento do raio r quando ele for igual a 20 m. Observe que a área A e o raio r relacionam-se através da fórmula: 2.A rπ= Sabemos que

tanto A como r são funções do tempo t. O dado que temos é que 210000 /dA m horadt

= e r=20 m. Derivando a

fórmula que dá a área em função do raio, levando em conta que, tanto A como r são funções implícitas de t, teremos:

2 ,dA drrdt dt

π=

donde concluímos, substituindo os valores de dAdt

e r ,que 10000 79,6140

drdt π

= ≈ m/hora.

Exemplo 3.1.2. Uma cidade é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam que o número de pessoas atingidas pela referida moléstia depois de um tempo t (medido em dias a partir do primeiro dia da

epidemia) é dado, aproximadamente, por ( )3

64 .3tn t t= − Observe que 264dn t

dt= − . Como a derivada de n

com relação a t mede a velocidade do número de casos em relação ao tempo, temos que se essa derivada for

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82

positiva, o referido número de casos está aumentando, ao passo que se ela for negativa, então esse número de

casos está diminuindo. Como 0,t ≥ temos que 0dndt

≥ apenas quando 0 8,t≤ ≤ ou seja, até o oitavo dia a

epidemia cresceu. Do oitavo dia em diante a epidemia arrefeceu, pois, a partir desse dia, 0.dndt

<

Exemplo 3.1.3. Um tanque de água em forma de um cone circular reto invertido está sendo esvaziado a uma taxa de 32 /m h . O raio da base do cone é 5 m e a sua altura é 14 m. Determine:

a) A taxa de variação da altura da água, quando a mesma for 6 m. b) A taxa de variação do raio do topo da água quando a altura da mesma for 6 m.

Dela podemos concluir que 5 14 ,r h= ou seja,

514

hr = . Portanto, substituindo esse valor de r na fórmula de V,

ficaremos com: 2 3

21 1 5 25 .3 3 14 588

h hV r h h ππ π ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠

Derivando essa última igualdade com relação a t, ficaremos com:

275 .588

dV h dhdt dt

π= ×

Substituindo os valores dados, obtemos:

54002 ,588

dhdt

π− = ×

donde concluímos que: 1176 0,07 /16956

dh m hdt

≈ − ≈ − .

Note que o valor que encontramos é negativo, o que corrobora com o fato de que a altura está diminuindo com

relação ao tempo. Agora vamos à letra (b). O que queremos encontrar é drdt

quando 6h = m. O procedimento

Vejamos a letra (a). Sabemos que o volume de um cone circular reto é dado por:

21 ,3

V r hπ=

onde r é o raio de sua base e h é a sua altura. Queremos encontrar dhdt

quando 6h = m. Na fórmula que dá o volume em função de r e

h, precisaremos explicitar r em função de h. Para isso, vamos usar semelhança de triângulos. Veja a figura ao lado. Dela podemos

concluir que 5 14 ,r h= ou seja,

514

hr = .

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83

aqui é semelhante ao que foi feito na letra (a). A mesma semelhança de triângulos obtida na letra (a) nos permite

dizer que 14 .

5rh = Quando 6h = , temos que

30 .14

r = Substituindo o valor de h na fórmula de V vamos obter:

32 21 1 14 14 .

3 3 5 15r rV r h r ππ π ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟

⎝ ⎠

Derivando essa igualdade com relação a t, obteremos:

2145

dV r drdt dt

π= × .

Substituindo os valores dados, obteremos:

31502245

drdt

π− = ×

ou seja, 0,05 /dr m hdt

≈ − . Observe que a taxa de variação do raio com respeito ao tempo é negativa pelo fato de

que ele está diminuindo com o passar do tempo.

Veremos agora alguns problemas envolvendo taxas de variação um pouco diferentes dos exemplos acima. Nos exemplos que seguem, não há uma forma explícita que nos permita obter uma variável em função da outra. Mas isso não será problema, pois basta usarmos a técnica da derivação implícita. Problemas desse tipo costumam ser chamados de problemas de Taxas Relacionadas. Exemplo 3.1.4. Sales e Joaquim estão fazendo um passeio aéreo usando um balão de ar quente. O balão sobe a uma taxa de 3 /m s . Passados 15 segundos, Lenimar lembra-se de que eles não levaram um rádio para contato. Lenimar, que havia estacionado seu carro a 50m do ponto de partida, desloca-se em direção a este com uma velocidade de 2 /m s . Vamos determinar a velocidade com que aumenta a distância entre o balão e o carro de Lenimar, quando o balão estiver a 30m do solo. Desenhar uma figura sempre ajuda. Façamos uma então.

Lembrando que queremos encontrar dsdt

, derivamos a igualdade acima. Fazendo isso, obteremos:

2 2 2 ,ds dx dys x ydt dt dt

× = × + ×

ou seja:

.ds dx dys x ydt dt dt

× = × + ×

Na figura acima, y denota a altura do balão em relação ao ponto de partida, x denota a distância do ponto de partida até onde Lenimar estacionou seu carro e s a distância do carro Lenimar até o balão. Agora veja, essa figura vai começar a se transformar, pois as distâncias x,y e s estarão se modificando. Mas veja uma peculiaridade que esta figura vai manter: o fato desse triângulo ser retângulo. Portanto, pelo Teorema de Pitágoras teremos:

2 2 2.s x y= +

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84

Agora note que no instante em que Lenimar partiu em direção ao balão, este já estava a 15m acima do solo. Portanto, quando o balão estiver a 30m do solo, significa que, para efeito da nossa análise, passaram-se 5s já que a velocidade do balão é 3 / .m s Nesse período o carro avançou 10m , já que sua velocidade é 2 / .m s Portanto, os valores de x e y no triângulo acima são 30x = e 40y m= , donde 50 .s m= Portanto, teremos:

( )50 30 2 40 3dsdt

× = × − + × ,

ou seja, 1, 2 / .ds m sdt

= Na expressão acima usamos a velocidade com um sinal negativo pelo fato de que a

distância x vai estar diminuindo. 3.2. - Crescimento e decrescimento

A interpretação da derivada como sendo o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de uma função agora

vai se mostrar muito eficaz nesta seção. Com a ajuda dessa interpretação vamos poder estudar os intervalos onde a função cresce e onde ela decresce. Se nós refletirmos um pouco, esse problema só está respondido satisfatoriamente no caso das funções do primeiro grau. Recorde que se ( ) ,f x ax b= + com 0,a ≠ a função f

será crescente se 0a > e decrescente se 0.a < Para funções do segundo grau também temos um critério, mas que aparece sem a devida justificativa. Vamos recordar algumas definições.

• Uma função f definida num certo intervalo I do eixo-x é dita crescente nesse intervalo quando para

todos 1 2x x I∈ , com 1 2x x< tivermos ( ) ( )1 2 .f x f x<

• Uma função f definida num certo intervalo I do eixo-x é dita decrescente nesse intervalo quando para

todos 1 2x x I∈ , com 1 2x x< tivermos ( ) ( )1 2 .f x f x>

Analogamente constatamos que, para valores de x pertencentes ao intervalo ( )4,+∞ , os coeficientes

angulares das retas tangentes ao gráfico de f são negativos. Note também que a função é decrescente no

intervalo ( )4,+∞ . Como o coeficiente angular ao gráfico de f no ponto ( )( ),x f x é dado por ( )'f x

podemos arriscar um palpite: A função f será crescente onde a sua derivada for positiva e decrescente onde sua derivada é negativa. De fato, o nosso palpite está correto e o resultado que temos é o seguinte:

• Se 'f é positiva num intervalo I do eixo-x então f será crescente em .I • Se 'f é negativa num intervalo I do eixo-x então f será decrescente em .I

O aspecto do gráfico de uma função crescente é o de uma curva ascendente, enquanto que o de uma função decrescente é o de uma curva descendente. Nosso intuito é relacionar o crescimento e o decrescimento de uma função com a sua derivada. Para termos uma pista de tal relação, vamos observar atentamente o gráfico mostrado a seguir. Perceba que, para valores de x pertencentes ao intervalo ( ), 4−∞ , os coeficientes angulares das retas tangentes ao gráfico dessa função nos pontos ( )( ),x f x são positivos. Note também

que, a função é crescente justamente no intervalo ( ), 4−∞ .

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85

Essas observações podem ser provadas com o uso do conhecido Teorema do Valor Médio, mas não faremos isso agora. O que faremos é analisar o crescimento e o decrescimento de algumas funções conhecidas. Exemplo 3.2.1. Considere a função do primeiro grau ( ) .f x ax b= + Vamos obter o seu crescimento, que já é

conhecido, através dos nossos novos conhecimentos. Observe que ( )' .f x a= Portanto, se 0a > então f será

crescente em todo o eixo-x e se 0a < , f será decrescente em todo o eixo-x.

Exemplo 3.2.3. Considere a função ( ) 2 1f x x= − . Temos que ( )' 2 .f x x= Como ( )' 0f x > quando 0,x >

concluímos que f é crescente quando 0.x > Por outro lado,

( )' 0f x < apenas quando 0x < , o que implica ser f decrescente apenas quando 0.x < Exemplo 3.2.4. Determine os intervalos onde ( ) 3 26 9 1f x x x x= − + + é crescente e os intervalos onde ela é

decrescente. Inicialmente vamos encontrar a derivada de .f Temos que ( ) 2' 3 12 9.f x x x= − + As raízes da equação ( )' 0f x = irão nos indicar os intervalos pedidos. De fato, a equação

( ) 2' 3 12 9 0f x x x= − + = possui duas raízes reais e diferentes, a

saber, 1x = e 3.x = Como ( )'f x é uma função do segundo grau, o estudo do seu sinal é simples e está resumido na tabela abaixo, onde também está mostrado o gráfico de f ao lado.

Valores de x Sinal de ( )'f x Conclusão

1x < positivo f é crescente 1 3x≤ ≤ negativo f é decrescente

3x > positivo f é crescente

Exemplo 3.2.2. Considere a função ( ) 3f x x x= + .

Observe que ( ) 2' 3 1f x x= + é sempre positiva. Portanto,

f é crescente em todo o seu domínio. Veja um esboço do gráfico desta funçãna figura ao lado.

Exemplo 3.2.5. Considere a função definida por

( )2 4 3

8 3x se x

f xx se x

⎧ − <= ⎨

− ≥⎩, cujo gráfico está mostrado ao lado.

Vamos determinar os seus intervalos de crescimento e de decrescimento. Inicialmente vamos determinar quem é

( )' .f x Observe que para 3x < nós temos ( )' 2f x x= e que para

3x > nós temos ( )' 1.f x = − Resta-nos descobrir se existe ( )' 3f .

Page 22: Calculo Diferencial e Integral II 1361970429

86

Observe que a derivada à esquerda ( )_' 3 6f = e que a derivada à direita ( )' 3 1f + = − . Como esses valores são

diferentes segue que f não é derivável em 3.x = Assim:

( ) 2 3'

1 3x se x

f xse x

<⎧= ⎨− >⎩

Observe que o ponto 3x = vai nos auxiliar na determinação dos intervalos pedidos. Veja que o estudo do sinal de ( )'f x e as conclusões dele decorrentes estão listados na tabela abaixo:

Valores de x Sinal de ( )'f x Conclusão

0x < negativo f é decrescente 0 3x≤ < positivo f é crescente

3x > negativo f é decrescente

Valores de x Sinal de ( )'f x Conclusão

0x < negativo f é decrescente 0 1x< < positivo f é crescente

1x > negativo f é decrescente

3.3. - Máximos e mínimos locais Com o auxílio da derivada podemos abordar interessantes questões acerca de máximos e mínimos de

funções. Vamos dar algumas definições para, em seguida, abordarmos os problemas.

• Sejam f uma função definida num intervalo I do eixo-x e 0x I∈ .Diremos que c é um ponto de máximo

local para f se existir um intervalo J I⊂ com c J∈ de modo que ( ) ( )f x f c≤ para todo x J∈ .

• Sejam f uma função definida num intervalo I do eixo-x e 0x I∈ .Diremos que c é um ponto de mínimo

local para f se existir um intervalo J I⊂ com c J∈ de modo que ( ) ( )f x f c≥ para todo x J∈ .

Exemplo 3.2.6. Considere a função ( ) 2/33 2f x x x= − .

Observe que ( ) 1/3' 2 2f x x−= − . Vamos analisar o sinal

de ( )'f x . Podemos escrever ( )'f x da seguinte forma:

( ) ( )3

1/3 1/33

1' 2 2 2 1 2 xf x x xx

− − ⎛ ⎞−= − = − = ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Inicialmente note que 1x = é a única solução da equação ( )' 0.f x = Por outro lado a função ( )f x não é

derivável em 0.x = O estudo do sinal de ( )'f x e as conclusões dele decorrentes estão reunidas na tabela abaixo:

Page 23: Calculo Diferencial e Integral II 1361970429

87

Usando outros termos, o ponto c é um ponto de máximo local se, próximo dele, nenhum ponto tem o valor de f maior que ( )f c . Da mesma forma, o ponto c é um ponto de mínimo local se, próximo dele,

nenhum ponto tem o valor de f menor que ( )f c . Vamos observar agora um fato importante que ficou implícito nos exemplos da seção anterior. Para

descobrirmos os intervalos onde uma dada função era crescente e os intervalos onde ela era decrescente foi preciso fazer o estudo do sinal de 'f . Em certos casos, para fazer este estudo, precisamos encontrar as raízes da equação ( )' 0f x = ou os pontos onde a função f não é derivável (veja os exemplos 3.2.3, 3.2.4 e 3.2.5 e 3.2.6). Esses pontos irão desempenhar um importante papel no estudo dos máximos e mínimos e, por isso, recebem o nome de Pontos críticos.

Assim, com essa análise podemos enunciar um critério bastante prático para a determinação de extremos

locais, conhecido como Teste da derivada primeira:

Teste da derivada primeira: Sejam f uma função contínua definida num intervalo I do eixo-x e c I∈ um ponto crítico de f. Então: • Se ( )' 0f x < para x à esquerda e próximo de c e Se ( )' 0f x > para x à direita e próximo de c então c é

um ponto de mínimo local para f. • Se ( )' 0f x > para x à esquerda e próximo de c e Se ( )' 0f x < para x à direita e próximo de c então c é

um ponto de máximo local para f. Vamos ver agora alguns exemplos utilizando esse teste.

Exemplo 3.3.1. Determine os pontos de máximo e de mínimo locais da função ( ) ( )4 31 45

f x x x= − . Observe

que ( ) 3 24 12'5 5

f x x x= − . Como ( )'f x existe para todo x R∈ , os únicos pontos críticos de f são as raízes da

equação ( )' 0f x = . Vamos encontrá-las. Fazendo ( )' 0f x = , ficamos com 3 24 12 0x x− = , ou seja,

( )24 3 0x x − = cujas raízes são 0x = e 3x = . Fazendo o estudo do sinal de ( )'f x ficamos com:

Suponhamos que f seja contínua. Digamos que x c= seja um ponto crítico. Vamos supor que, para valores de x que estão antes de c, a derivada de f é negativa e que para valores de x que estão depois de c a derivada de f é positiva. Pelo fato da derivada de f ser negativa antes de c vemos que o seu gráfico tem um aspecto de estar descendo. Pelo fato da derivada de f ser positiva depois de c vemos que a função f é crescente, ou seja, seu gráfico tem um aspecto de estar subindo. Portanto, nessa situação temos que o ponto x c= é um ponto de mínimo local. Veja a figura ao lado.

Façamos agora uma discussão semelhante para a situação contrária, ou seja, vamos supor que para valores de x que estão antes de c a derivada de f é positiva e que para valores de x que estão depois de c a derivada de f é negativa. Pelo fato da derivada de f ser positiva antes de c vemos que o seu gráfico tem um aspecto de estar subindo. Pelo fato da derivada de f ser negativa depois de c vemos que a função f é decrescente, ou seja, seu gráfico tem um aspecto de estar descendo. Portanto, nessa situação temos que o ponto cx = é um ponto de máximo local. Veja a figura ao lado.

Page 24: Calculo Diferencial e Integral II 1361970429

88

Valores de x Sinal de ( )'f x

0x < negativo 0 3x< < negativo

3x > positivo Portanto, vemos que o ponto 3x = é um ponto de mínimo local. Veja que o ponto 0x = apesar de ser ponto crítico não é de máximo nem de mínimo local. Veja ao lado um esboço do gráfico desta função.

Exemplo 3.3.2. Vamos determinar os pontos de máximo e de mínimo

locais da função ( ) 2

101

xf xx

=+

. Observe que Como ( )'f x existe

para todo x R∈ , os únicos pontos críticos de f são as raízes da equação ( )' 0f x = . Não é difícil verificar que essas raízes são 1x = e

1x = − . Fazendo o estudo do sinal de ( )'f x ficamos com: Valores de x Sinal de ( )'f x

1x < − negativo 1 1x− < < positivo

1x > negativo

Veja a cima um esboço do gráfico de f :

Em determinados casos o estudo do sinal da derivada primeira de uma função antes e depois de um ponto crítico onde ela é derivável pode se tornar difícil. Nessa situação, quando a função for duas vezes derivável temos um critério mais efetivo para nos garantir quando este ponto crítico é de máximo ou de mínimo. Mas o que significa uma função ser duas vezes derivável? A resposta é simples: quando pudermos calcular a derivada de sua derivada. A derivada da derivada é chamada de derivada segunda. Nós vamos representar a derivada segunda de uma função f por ''f . Por exemplo, se ( ) 2f x x= , temos ( )' 2f x x= e ( )'' 2f x = .

Analogamente, se ( )f x senx= , temos que ( )' cosf x x= e ( )''f x senx= − . A derivada da derivada da derivada é chamada de derivada terceira, e assim sucessivamente. É claro que nem sempre podemos ir derivando assim. É preciso ter cuidado. Por exemplo, existem funções que só possuem a derivada primeira. Existem funções que não possuem sequer a derivada primeira. Agora podemos voltar ao critério para classificar pontos críticos. Esse critério é conhecido como teste da derivada segunda e é o seguinte: Teste da derivada segunda: Sejam f uma função definida num intervalo I do eixo-x e c I∈ um ponto crítico de f. Suponha que f é derivável duas vezes em c . Então • Se ( )'' 0f c < então c é um ponto de máximo local para f.

• Se ( )'' 0f c > então c é um ponto de mínimo local para f.

• Se ( )'' 0f c = então o teste não é conclusivo.

Um interessante exercício que você pode fazer é utilizar o teste da derivada segunda para classificar os pontos críticos das funções dos exemplos anteriores. Mas veja bem, ele só serve para os pontos críticos onde a função é duas vezes derivável. Vamos utilizar o teste da derivada segunda para solucionarmos dois interessantes problemas

Page 25: Calculo Diferencial e Integral II 1361970429

89

Exemplo 3.3.3. Qual o retângulo de perímetro 40 cm que possui a maior área? Vamos denotar por x e y os lados do retângulo. O seu perímetro é dado por 2 2p x y= + o qual, pelo enunciado vale 40 cm, ou seja, temos 2 2 40,x y+ = o que nos fornece 20.x y+ = A área do retângulo é dada por .A xy= Tirando o valor de y na expressão obtida a partir do perímetro temos que 20y x= − que substituída na expressão da área nos dá

( ) 220 20 .A x x x x= × − = − A função da qual queremos achar o máximo é A. Vamos achar os seus pontos

críticos. Derivando a função A, encontramos ' 20 2 .A x= − O único ponto crítico de A é 10x = .Derivando A novamente, encontramos '' 2A = − , portanto o ponto 10x = é um ponto de máximo local. Com esse valor de x tiramos 10y = e, portanto, o retângulo pedido é um quadrado de lado 10 cm.

Tirando o valor de y da expressão que dá a área total, ficamos com 248

4xy

x−

= , assim, o volume da caixa será

dado por:

( ) ( ) ( )22

2 2 34848 1 148 48

4 4 4 4

x xxV x x x x xx

−−= × = = − = − .

Vamos encontrar os pontos críticos. Derivando V, obtemos ( )21' 48 34

V x= − , donde concluímos que os únicos

pontos críticos são 4x = e 4x = − , sendo que o primeiro é o único que nos interessa por ser positivo. Derivando

V novamente temos que 6 3''4 2

V x x= − = − e que, portanto, 4x = é um ponto de máximo pelo teste da

derivada segunda. Portanto as dimensões da caixa pedida são 4x = m e, substituindo 4x = em 248

4xy

x−

= ,

encontramos 2y = m. 3.4. - Máximos e mínimos globais

Os pontos de máximos e mínimos que apareceram na seção anterior, a princípio, só poderiam ser

classificados como locais. O tipo de problema de máximos e mínimos que trataremos nesta seção são aqueles conhecidos como problemas de máximos e mínimos globais. Por um ponto de máximo global de uma função f definida em D, entendemos um ponto c tal que ( ) ( )f x f c≤ para todo x D∈ . Analogamente definimos ponto de mínimo global. Para esse tipo de problema, o principal resultado que temos é devido ao matemático alemão Karl Weierstrass que diz o seguinte: Teorema de Weierstrass: Se [ ]: ,f a b R→ é uma função contínua então f possui pontos de máximo e mínimo globais.

Exemplo 3.3.4. Uma caixa aberta com base quadrada deve ser construída com 48 m2 de papelão.Vamos enccontrar as dimensões da caixa de maior volume possível que pode ser feita. Vamos denotar por x o lado da base da caixa, que estamos supondo quadrada, e por y a altura da caixa. A área total da caixa é dada por 2 4A x xy= + . Pela informação do enunciado

temos que 2 4 48x xy+ = . O volume da caixa, que é a função

que queremos maximizar, é dado por 2V x y= .

Page 26: Calculo Diferencial e Integral II 1361970429

90

Agora atente bem. O Teorema de Weierstrass apenas diz que os pontos de máximo e mínimo globais existem, mas não diz como encontrá-los. Olhando para a figura abaixo vemos que existem os seguintes candidatos a extremos globais: os pontos críticos de f que pertencem ao interior do intervalo e os extremos do intervalo. Portanto, o roteiro a ser seguido para encontrarmos os extremos globais de uma função [ ]: ,f a b R→ contínua é o seguinte: 1. Determinar os pontos críticos de f que pertencem a ( ),a b e calcular o valor de f nestes pontos

2. Calcular o valor de f nos extremos do intervalo [ ],a b e

3. Comparar os valores obtidos nos itens (1) e (2). O ponto que fornecer o maior valor para f será o ponto de máximo e o que fornecer o menor valor será o de mínimo.

Observe que neste caso não é necessário fazer o estudo do sinal da derivada nem fazer o teste da derivada segunda. Vamos ver alguns exemplos:

Exemplo 3.4.1. Considere a função definida por ( ) 3 22 9 1f x x x= − + . Vamos determinar os valores de

máximo e de mínimo de f no intervalo [ ]1,1− . Observe que a função f é contínua, portanto o Teorema de Weierstrass nos garante que existem os pontos de máximo e mínimo global. Vamos localizá-los através do procedimento sugerido acima. Derivando f , obtemos ( ) 2' 6 18f x x x= − . Portanto, os pontos críticos de

f são 0x = e 3x = . Calculando o valor de f em ambos obtemos ( )0 1f = e ( )3 26f = − . Agora calculamos

o valor de f nos extremos. Feito isso, obtemos ( )1 10f − = − e ( )1 6f = − . Assim coletando os dados numa tabela ficamos com as seguintes informações:

ponto Valor de f classificação

0x = ( )0 1f = Máximo global

3x = ( )3 26f = − Mínimo global

1x = − ( )1 10f − = − nada

1x = ( )1 6f = − nada

Como A é uma função contínua, o Teorema de Weierstrass garante a existência do ponto de máximo. Vamos encontrar os pontos críticos de A. Derivando, obtemos 3' 8 4A x= − , donde o único pontos crítico de A é

Exemplo 3.4.2. Determine as dimensões do retângulo de maior área que pode ser inscrito na região fechada limitada pelo eixo-x, pelo eixo-y e pelo gráfico de 38y x= − . A região e um retângulo típico estão mostrados na figura ao lado. A área do retângulo é dada por A xy= . Vamos expressar y em função de x. Observe que como o ponto ( ),x y

pertence ao gráfico da curva dada, temos que 38y x= − . Portanto,

( )3 48 8A xy x x x x= = × − = − . De acordo com a figura, temos que

0 2x≤ ≤ , o que acarreta que desejamos encontrar o ponto de máximo global da função A no intervalo fechado [ ]0, 2 .

Page 27: Calculo Diferencial e Integral II 1361970429

91

3 2x = . Assim, calculando A em 30, 2x x= = e 2x = verificamos que o ponto de máximo é 3 2x = .

Portanto as dimensões do retângulo são 3 2x = e 8 2 6y = − = . 3.5. - Concavidade e Pontos de Inflexão

A nossa próxima aplicação da derivada diz respeito a um aspecto muito importante de uma curva que é a

concavidade. Vamos dar algumas definições. • Diremos que o gráfico de f tem a concavidade voltada para cima em um intervalo I do eixo-x se estiver

acima de todas as retas tangentes a ele no intervalo I , exceto no ponto de tangência. • Diremos que o gráfico de f tem a concavidade voltada para baixo em I se estiver acima de todas as retas

tangentes a ele neste intervalo, exceto no ponto de tangência.

Observer as figuras abaixo. Na figura 1 o gráfico de f tem concavidade voltada para baixo, enquanto que na figura 2 o gráfico de f tem concavidade voltada para cima.

O nosso intuito é procurar relacionar essa idéia geométrica de concavidade com as derivadas de uma função. Vamos fazer uma discussão bastante intuitiva. Observe a figura a seguir. Nela vemos que o gráfico da função no trecho considerado é côncavo para cima. Além disso, e este é o fato que devemos perceber bem, os coeficientes angulares das retas tangentes vão crescendo à medida que x aumenta. Isso quer dizer que a função que fornece esses coeficientes angulares é crescente. Mas esses coeficientes angulares são dados pela derivada da função f nos respectivos pontos. Portanto, no trecho considerado, a função 'f é crescente, ou seja, '' 0f > .

Através de uma discussão semelhante somos levados a concluir que, num intervalo onde o gráfico da função f é côncavo para baixo, temos '' 0f < . Veja a figura ao lado:

Assim resumimos o resultado de nossa discussão:

Seja f uma função real definida num intervalo I do eixo-x e que possui derivada segunda em seu domínio. • Se '' 0f > em I então o gráfico de f tem a concavidade voltada para cima em I. • Se '' 0f < em I então o gráfico de f tem a concavidade voltada para baixo em I.

Figura 1 Figura 2

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92

A figura ao lado dá uma idéia acerca desse importante critério. Observe que antes do ponto P a função tem seu gráfico com a concavidade voltada para baixo. Após o ponto P há uma mudança da concavidade.

Um ponto onde ocorre uma mudança na concavidade é conhecido como um ponto de inflexão. Para localizarmos esses pontos descobrimos as raízes da equação ( )'' 0f x = e os pontos

onde ''f não existe e, em seguida, fazemos o estudo do sinal de ''.f Veremos agora alguns exemplos.

Exemplo 3.5.1. Seja ( ) 2f x ax bx c= + + , com 0a ≠ . Vamos estudar a concavidade de f . A derivada de f é

dada por ( )' 2f x ax b= + e sua derivada segunda por ( )'' 2 .f x a= Portanto, se 0a > o gráfico de f tem a

concavidade voltada para cima e se 0a < , terá a concavidade voltada para baixo. Isso nós conhecíamos desde o 9º. Ano do ensino fundamental. Só não tínhamos uma justificativa mais precisa. Exemplo 3.5.2. Seja ( ) 3 22 12 18 2f x x x x= − + − .

Vamos investigar a concavidade do gráfico de f . Observe que ( ) 2' 6 24 18f x x x= − + e

( ) ( )'' 12 24 12 2f x x x= − = − . Vemos que 2x = é a

única raiz de ( )'' 0f x = . Pela análise do sinal de ''f vemos que para valores de x menores que 2 o gráfico de f tem concavidade voltada para baixo e para valores de x maiores que 2 tem concavidade voltada para cima. Veja um esboço do gráfico de f na figura ao lado.

Exemplo 3.5.3. Nem sempre um ponto que é raiz da equação

( )'' 0f x = fornece pontos de inflexão. Tomemos a função

( ) 4f x x= . Temos que ( ) 3' 4f x x= e ( ) 2'' 12f x x= cuja

única raiz é 0x = . Entretanto o gráfico de f tem sempre a concavidade voltada para cima antes e depois do ponto em que

0.x = Ao lado está mostrado um esboço do gráfico de f .

3.6. - Esboço de gráficos Chegamos à nossa última aplicação da derivada e, com certeza, uma das mais importantes: a construção do

gráfico de algumas funções de uma variável. As ferramentas desenvolvidas nas seções anteriores serão de grande importância aqui. Daremos a seguir um pequeno roteiro para o traçado do gráfico de uma função f definida em algum subconjunto do eixo-x.

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93

a) Determinamos o seu domínio. Caso esse domínio contenha pontos de descontinuidade devemos analisar os limites laterais em cada um deles.

b) Determinamos os pontos onde o gráfico da função corta os eixos coordenados. Esses pontos são chamados de interceptos. Em alguns casos pode ser difícil encontrar os interceptos do eixo-x. O intercepto do eixo-y é ( )0f .

c) Determinamos os intervalos onde f é crescente e os intervalos onde f é decrescente, através do estudo do sinal da derivada primeira antes e depois dos pontos críticos.

d) Determinamos os intervalos onde o gráfico de f tem a concavidade voltada para cima e os intervalos onde o gráfico de f tem a concavidade voltada para baixo, através do estudo do sinal da derivada segunda antes dos pontos de inflexão.

e) Determinamos o comportamento de f quando x →±∞ .

Vejamos alguns exemplos

Exemplo 3.6.1. Vamos fazer um esboço do gráfico de ( ) 4 33 4f x x x= + . Inicialmente observamos que o seu domínio é o conjunto dos números reais. Vejamos os interceptos. Os pontos onde o gráfico de f corta o eixo-x

são dados pelas raízes da equação ( ) 4 33 4 0f x x x= + = , ou seja, ( )3 3 4 0x x + = que são 0x = e 43

x = − . O

ponto onde o gráfico de f corta o eixo-y é ( )0 0.f = Vamos agora determinar os pontos críticos de f. Temos que

( ) 3 2' 12 12 .f x x x= + Os pontos críticos são 0x = e 1.x = − Agora vamos estudar o sinal de '.f Podemos

reescrevê-la como ( ) ( )3 2 2' 12 12 12 1f x x x x x= + = + . Como o fator 212x é sempre 0≥ , o sinal de 'f é o

mesmo de 1x + . As conclusões estão listadas na tabela a seguir

Valores de x Sinal de ( )'f x Conclusão

1x < − negativo f é decrescente 1 0x− < < positivo f é crescente

0x > positivo f é crescente Da tabela acima vemos que o ponto 1x = − é um ponto de mínimo local. Vamos agora determinar os pontos de inflexão de f. Temos que ( ) 2'' 36 24f x x x= + . Vamos determinar agora os pontos de inflexão.

Começamos localizando as raízes da equação ( )'' 0,f x = ou seja, 236 24 0x x+ = que são 0x = e

23

x = − . Agora vamos estudar o sinal de ''f . Como se trata de uma função do segundo grau, reunimos na

tabela abaixo as nossas conclusões:

Valores de x Sinal de ( )''f x Conclusão

23

x < − positivo f é côncava para cima

2 03

x− < < negativo f é côncava para baixo

0x > positivo f é côncava para cima

Do estudo acima concluímos que 23

x = − e 0x = são pontos de inflexão. Para finalizar determinamos

( )limx

f x→+∞

e ( )limx

f x→−∞

. Vamos determinar o primeiro. Observe que

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94

( ) 4 3 4 4lim lim 3 4 lim 3x x x

f x x x xx→+∞ →+∞ →+∞

⎛ ⎞= + = + = +∞⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) 4 3 4 4lim lim 3 4 lim 3x x x

f x x x xx→−∞ →−∞ →−∞

⎛ ⎞= + = + = +∞⎜ ⎟⎝ ⎠

Um esboço do gráfico de f está mostrado abaixo

Exemplo 3.6.2. Vamos fazer um esboço do gráfico de ( )( )2

91xf x

x=

+. Inicialmente notamos que o domínio

de f é o conjunto os números reais diferentes de -1. Devemos, portanto, investigar o que ocorre com f próximo de 1x = − . Observe que quando x está próximo de 1− pela esquerda, o numerador está próximo de -9 e o

denominador próximo de 0, e ambos possuem sinais contrários. Em virtude disso, ( )1

limx

f x−→−

= −∞ . Por um

argumento semelhante temos que ( )1

limx

f x+→−

= −∞ . Determinemos agora os interceptos de f. O ponto onde f

corta o eixo-y é ( )0f que é igual a 0. Os pontos onde f corta o eixo-x são as raízes de ( ) 0f x = , ou seja, a raiz

de 9 0x = que é 0x = . Veremos agora os intervalos onde f é crescente e aqueles onde f é decrescente. Temos que

( ) ( ) ( )( )

( )( )( )

( )( )

2

4 4 3

9 1 18 1 9 1 1 9 1'

1 1 1

x x x x x xf x

x x x

+ − + + − −= = =

+ + +.

Portanto, os pontos críticos de f são 1x = − e 1x = . Observando a expressão da derivada, vemos que o estudo do seu sinal pode ser feito a partir do estudo do sinal do denominador uma vez que o denominador é sempre positivo. Assim sendo:

Valores de x Sinal de ( )'f x Conclusão

1x < − negativo f é decrescente 1 1x− < < positivo f é crescente

1x > negativo f é decrescente

Da tabela acima constatamos que 1x = é um ponto de máximo local. Apesar de 'f ter sinal negativo antes de 1x = − e positivo após, não podemos qualificá-lo como um ponto de mínimo local pois ele não pertence ao

domínio de f. Vamos agora determinar os pontos de inflexão de f. Temos que

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95

( ) ( ) ( )( )( )

( )( )

3 2

6 4

9 1 27 1 1 1 9 4 2''

1 1

x x x xf x

x x

− + − − + − −= =

+ +.

Os pontos onde ''f se anula ou não existe são 1x = − e 2x = , respectivamente. O estudo do sinal de ''f está listado na tabela abaixo:

Valores de x Sinal de ( )''f x Conclusão

1x < − negativo f é côncava para baixo 1 2x− < < negativo f é côncava para baixo

2x > positivo f é côncava para cima

Deste estudo concluímos que 2x = é o único ponto de inflexão de f . Para finalizarmos devemos estudar ( )lim

xf x

→+∞ e ( )lim

xf x

→−∞. Note

que:

( )( )

3

22

22

9 99 0lim lim lim lim 02 42 4 11 11

x x x x

x x xf xx x

x xx x→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

= = = = =⎛ ⎞+ + ++ +⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Analogamente mostramos que ( )lim 0x

f x→−∞

= .

Um esboço do gráfico de f está mostrado ao lado:

3.7. - O Teorema do valor médio

Todos os resultados sobre crescimento, decrescimento e concavidade que obtivemos até o momento

repousam essencialmente num dos teoremas mais importantes do Cálculo e que é conhecido como Teorema do valor médio. A primeira formulação feita desse teorema é devida ao matemático italiano Joseph-Louis Lagrange (1736-1813). O seu enunciado é o seguinte: Suponha que f seja uma função contínua no intervalo fechado [ ],a b e derivável no intervalo aberto

( ),a b ,Então existe ( ),c a b∈ tal que

( ) ( ) ( )'f b f a

f cb a−

=−

ou equivalentemente, ( ) ( ) ( )( )' .f b f a f c b a− = −

Geometricamente ele significa existe um ponto ( ),c a b∈ tal que a

reta tangente ao gráfico de f no ponto ( )( ),c f c é paralela à reta que

passa pelos pontos ( )( ),a f a e ( )( ),b f b , conforme nos mostra a

figura ao lado. Não faremos a prova desse Teorema. Indicamos o livro de Serge Lang, citado na bibliografia como fonte de consulta.

Page 32: Calculo Diferencial e Integral II 1361970429

96

Veremos agora através de um exemplo como esse resultado funciona. Para isso, vamos ver a prova de um resultado sobre crescimento estabelecido anteriormente que é o seguinte:

Seja f uma função definida num intervalo I do eixo-x. Se 'f é positiva em I então f será crescente em .I

De fato, sejam a e b em I, com a b< . Vamos provar que ( ) ( )f a f b< . Pelo teorema do valor médio,

existe ( ),c a b∈ tal que ( ) ( ) ( )( )' .f b f a f c b a− = − Como ambos os fatores do lado direito dessa igualdade

são positivos, pois 'f é positiva, então segue que ( ) ( ) 0f b f a− > , ou seja, ( ) ( )f b f a> .

Ampliando o seu Conhecimento 4. - Avaliando o que foi construído

Nesta unidade você teve a oportunidade de apreciar uma nova interpretação da derivada e viu como a

derivada é útil no estudo do comportamento de uma função. Dentre os conhecimentos mais marcantes que vimos aqui podemos destacar a construção rigorosa do gráfico de uma função. Como dissemos anteriormente só as funções do primeiro grau possuíam um gráfico com construção totalmente justificada.

No Moodle. . . Dialogando e Construindo Conhecimento

Dialogando e Construindo Conhecimento

Imagine que um objeto move-se em linha reta com sua posição sendo dada por uma função ( )s s t=

com [ ],t a b∈ . Então de acordo com o Teorema do Valor Médio, existe um instante ( ),t c a b= ∈

tal que a velocidade instantânea em c é igual à velocidade média do móvel entre t a= e .t b=

Vá à plataforma MOODLE e dedique-se à leitura do material disponibilizado, discussões nos fóruns e resolução das tarefas relacionadas ao assunto desta unidade. Procure sempre sanar as suas dúvidas. Exponha seus pontos de vista sobre o assunto para que possamos crescer juntos no curso.

Reúna-se com os colegas para discutir os temas abordados. Procure os Tutores para esclarecer as dúvidas sobre algum tema que não tenha sido bem assimilado. Comunique-se! Nós estamos sempre dispostos a orientá-lo e ajudá-lo em caso de dificuldade no estudo da disciplina. Acredite em seu potencial e conte conosco.

Page 33: Calculo Diferencial e Integral II 1361970429

97

Unidade III: Integral Definida e Primitivas

1. - Situando a Temática A partir de agora nós vamos conhecer dois novos objetos da Matemática. São a integral definida e a

primitiva. A primeira vai ser definida a partir de uma situação concreta, a saber, a determinação de uma área. Como quase tudo o que é feito em Matemática, começa-se com uma situação concreta, esta motiva uma definição abstrata e esta última cria vida própria e desenvolve-se dando origem a novos resultados que podem incluir até mesmo outras situações concretas diversas daquela inicial. Durante este curso esta atitude já foi tomada com relação à derivada. Motivaremos a integral definida para uma situação particular e sempre voltaremos a essa interpretação. O outro objeto, a primitiva de uma função, será definida como um processo inverso ao da derivação, ou seja, dada uma função f, procura-se uma outra g tal que a derivada de g seja f. A função g será chamada uma primitiva para f . Apesar da aparente simplicidade, tal procura, em geral, pode ser bastante laboriosa. O mais impressionante será o relacionamento entre os dois novos objetos introduzidos: a integral definida e a primitiva de uma função relacionam-se harmoniosamente num resultado conhecido como Teorema fundamental do cálculo.

2. - Problematizando a Temática

Determinar a área de uma figura plana foi um problema bastante atacado pelos antigos cientistas e,

muito satisfatoriamente, por um dos maiores gênios da antiguidade, Arquimedes de Siracusa. Aqui abordaremos alguns problemas semelhantes aos que ele abordou e os resolveremos de uma maneira moderna usando o chamado Teorema fundamental do Cálculo.

3. - Conhecendo a Temática 3.1 - Motivação inicial: o problema da área

O cálculo das áreas de polígonos já era conhecido desde Euclides. Entretanto foi Arquimedes quem primeiro construiu uma idéia satisfatória no cálculo de áreas de figuras planas em geral. A sua idéia baseava-se na aproximação da região por polígonos, dos quais se sabia efetivamente calcular a área. Vejamos a seguinte situação. Tomemos a função ( ) 2 1f x x= + e o nosso problema é determinar a área da região

S do plano limitada pelo gráfico de f , pelo eixo-x e pelas retas 0x = e 2x = , conforme a figura ao lado:

Vamos dividir o intervalo [ ]0, 2 em 4 intervalos iguais. Como são 4 intervalos, cada um terá comprimento

2 0 2 0,54 4

x −Δ = = = . Assim, teremos os intervalos

1 1 30, , ,1 , 1,2 2 2

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

e 3 , 22⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

. Em cada um desses intervalos

escolhemos um ponto qualquer. Vamos escolher o ponto extremo direito. Consideramos então os retângulos de base igual a cada intervalo e altura igual ao valor de f no ponto especificado.

Calculamos a soma das áreas de cada um desses retângulos e obtemos um valor aproximado para a área desejada.

Aqui temos um valor aproximado para essa área:

Page 34: Calculo Diferencial e Integral II 1361970429

98

( ) ( )1 1 1 1 3 1 1 5 1 1 13 11 2 2 5 5.752 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 2

f f f f⎛ ⎞ ⎛ ⎞× + × + × + × = × + × + × + × =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Evidentemente a escolha do ponto extremo direito foi uma opção nossa. Poderíamos também ter escolhido o

ponto extremo esquerdo, ou outro qualquer. Caso tivéssemos escolhido o extremo esquerdo e repetido o processo, um valor aproximado para a área pedida seria

( ) ( )1 1 1 1 1 3 1 1 5 1 1 130 1 1 2 3.752 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4

f f f f⎛ ⎞ ⎛ ⎞× + × + × + × = × + × + × + × =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Uma figura neste caso está mostrada abaixo:

Se tivéssemos tomado o ponto médio de cada intervalo, um valor aproximado para a área seria

1 1 1 3 1 5 1 7 1 17 1 25 1 41 1 65 4.625.2 4 2 4 2 4 2 4 2 16 2 16 2 16 2 16

f f f f⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞× + × + × + × = × + × + × + × =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Uma figura representando essa situação está mostrada abaixo:

Observe que o valor dessas aproximações vai melhorando cada vez mais quando fizermos a quantidade de intervalos aumentar. Se ao invés de 4 tivéssemos tomado 8, a aproximação seria 4,65625 usando como ponto

escolhido o ponto médio de cada intervalo. Só para se ter uma idéia, o valor exato de tal área é 14 4,666...3=

Vale a pena notar também que se dividirmos o intervalo [ ]0, 2 em n subintervalos todos de igual comprimento

2 0 2n n−

= teremos os seguintes subintervalos:

( )1 2 3

2 22 2 4 4 60, , , , , ,..., , 2n

nI I I I

n n n n n n⎡ ⎤−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

.

Page 35: Calculo Diferencial e Integral II 1361970429

99

Se escolhermos um ponto qualquer em cada um deles, 1 1 2 2, ,..., n nc I c I c I∈ ∈ ∈ , o valor para a aproximação neste caso será:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 21 2 3

1

2 2 2 2 21 1 1 ... 1 1n

n ii

c c c c cn n n n n=

+ × + + × + + × + + + × = + ×∑ ,

Onde o símbolo ( )2

1

21n

ii

cn=

+ ×∑ indica a soma das n parcelas que estão do lado esquerdo. Veja que todas

elas são semelhantes, só diferem no índice. Por isso mesmo vamos usar com freqüência esta notação que é muito mais econômica.

3.2. - Integral definida: definição e propriedades A idéia surgida anteriormente para o cálculo de área agora será usada como motivação para definirmos um

novo objeto matemático: a integral definida. Suponha que f seja uma função contínua definida num intervalo

[ ],a b do eixo-x e n um número natural. Vamos dividir o intervalo [ ],a b em n subintervalos, 1 2, ,..., nI I I

todos de mesmo comprimento b ax

n−

Δ = . Vamos escolher pontos 1 1 2 2, ,..., n nc I c I c I∈ ∈ ∈ e consideremos a

soma, conhecida como soma de Riemann:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 ... nf c x f c x f c x f c xΔ + Δ + Δ + + Δ

que pode ser reescrita numa forma mais compacta da seguinte maneira:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 31

...n

n ii

f c x f c x f c x f c x f c x=

Δ + Δ + Δ + + Δ = Δ∑ .

Definimos a integral definida de f em [ ],a b com sendo:

( )1

limn

in if c x

→+∞ =Δ∑ .

Vamos representá-la pelo símbolo ( ) .b

af x dx∫ Devemos lê-lo como a integral de ( )f x entre a e

b .Portanto, ( ) ( )1

limb n

in iaf x dx f c x

→+∞ == Δ∑∫ .

Caso a função f seja positiva no intervalo [ ],a b a integral definida de

f em [ ],a b representa a área que está abaixo do gráfico de f acima do

eixo-x e limitada pelas retas x a= e x b= , conforme a figura ao lado.

Page 36: Calculo Diferencial e Integral II 1361970429

100

Veremos a seguir algumas propriedades da integral definida. Vamos adiar suas demonstrações para o curso de Introdução à Análise. Suponha que f e g sejam funções contínuas definidas no intervalo [ ], .a b Então valem as seguintes propriedades:

1. ( ) ( )( ) ( ) ( )b b b

a a af x g x dx f x dx g x dx± = ±∫ ∫ ∫ ,

2. Se ( ),c a b∈ então ( ) ( ) ( ) ,b c b

a a cf x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫ .

3. Se ( ) ( )f x g x≤ para todo [ ],x a b∈ então ( ) ( )b b

a af x dx g x dx≤∫ ∫ .

Faremos também as seguintes convenções:

1. ( ) 0a

af x dx =∫ 2. ( ) ( ) .

a b

b af x dx f x dx= −∫ ∫

3.3. - Primitivas

A partir de agora iremos a busca de calcular a integral definida de uma função contínua f definida em um intervalo [ ],a b . Quem vai interceder de maneira decisiva nesse cálculo será o objeto que estudaremos nesta seção, a chamada primitiva ou integral indefinida de uma função. Sabemos do nosso estudo inicial de derivadas que a derivada de uma função constante é igual a zero. A pergunta que se nos põe é a seguinte: uma função que possua derivada igual nula é constante? Colocada assim de uma forma tão geral essa pergunta está longe de ter uma resposta afirmativa, como nos mostra o seguinte exemplo:

Exemplo 3.3.1. Considere a função:

( ) 1 01 0

se xf x

se x>⎧

= ⎨− <⎩

Observe que essa função tem derivada nula em todos os pontos do seu domínio, mas ela não é uma função constante.

Agora devemos ter um cuidado: nem sempre a integral definida fornece a área entre o gráfico de f , o eixo-x e as retas x a= e x b= , conforme nos mostra a figura abaixo. Nela está mostrado o gráfico da função ( ) ( )( )( )1 1 3f x x x x= + − − . Perceba que a área da

região delimitada pelo gráfico de f , pelo eixo-x e as

retas 1x = − e 3x = NÃO é dada por ( )3

1f x dx

−∫ ! Isso

porque a função nesse trecho assume valores positivos e negativos. Portanto o que essa integral nos fornece na realidade é 1 2A A− , onde 1A é a área da região abaixo do gráfico de f e acima do eixo-x entre 1x = − e 1x = e

2A é a área da região acima do gráfico de f e abaixo do eixo-x entre 1x = e 3x = .

Page 37: Calculo Diferencial e Integral II 1361970429

101

Para responder à pergunta formulada anteriormente de forma satisfatória usaremos o Teorema do Valor Médio. A resposta definitiva é a seguinte: Fato 1: Suponha que f seja uma função contínua definida num intervalo aberto I do eixo-x e que para todo x I∈ . Então f é constante em I . Esse fato nos permite ainda tirar uma conclusão bastante importante acerca de funções que possuem a mesma derivada: Fato 2: Suponha que f e g são funções contínuas definidas no mesmo intervalo aberto I do eixo-x e que

( ) ( )' 'f x g x= para todo x I∈ . Então existe uma constante k tal que ( ) ( )f x g x k= + , para todo x I∈ .

Passamos agora a definir o principal objeto dessa seção:

Seja f uma função definida num intervalo aberto I do eixo-x. Uma primitiva ou integral indefinida para f é uma função F definida em I tal que ( ) ( )'F x f x= para todo x I∈ .

Exemplo 3.3.2. A função ( ) 2F x x= é uma primitiva para a função ( ) 2f x x= em R . Também são primitivas

de f as funções ( ) 2 1F x x= + , ( ) 2 1F x x= − e, mais geralmente, ( ) 2F x x k= + , onde k R∈ é qualquer

constante. Uma pergunta que poderíamos fazer nesse momento é a seguinte: Todas as primitivas de f são dessa forma, ou seja, se F é uma primitiva de f então ( ) 2F x x k= + ? A resposta é sim. De fato, Se F e G são

primitivas de f no intervalo aberto I , então, em I , temos ( ) ( )' 'F x G x= . Logo, pelo fato 2 acima, concluímos

que deve existir uma constante k tal que ( ) ( )G x F x k= + , para todo x I∈ . O que o exemplo 3.3.2. acima nos conta é que se encontrarmos uma primitiva F de uma função f então todas as outras são obtidas a partir de F adicionando constantes (que podem ser negativas ou positivas). Portanto, nosso esforço estará concentrado na determinação de uma primitiva. Usaremos a notação abaixo para indicar que todas as primitivas de uma função f são iguais a F adicionada a constantes:

( ) ( )f x dx F x k= +∫ , k uma constante.

Observe que os símbolos ( )f x dx∫ e ( )b

af x dx∫ indicam objetos distintos apesar da semelhança entre eles.

A seguir exibiremos algumas propriedades da primitiva de uma função.

Se f e g são funções definidas em um intervalo I , então valem as seguintes propriedades: 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ,f x g x dx f x dx g x dx⎡ ⎤± = ±∫ ∫ ∫⎣ ⎦

2. ( ) ( )cf x dx c f x dx=∫ ∫ , onde c é uma constante real. Agora atente bem porque não valem propriedades semelhantes para divisão e produto. Logo mais veremos

como relacionar a idéia de primitiva com o cálculo de integrais definidas. Antes vejamos alguns exemplos que ilustram a importância das primitivas.

Exemplo 3.3.3. Vamos determinar a função f que satisfaz às seguintes condições:

( )( )

2' 30 2

f x xf

⎧ =⎪⎨ =⎪⎩

.

Page 38: Calculo Diferencial e Integral II 1361970429

102

Como ( ) 2' 3f x x= temos, por inspeção, que ( ) 3f x x k= + , onde k é uma constante. Como ( )0 2f = ,

temos que 2,k = donde ( ) 3 2f x x= + . Um problema como esse é conhecido como problema de valor inicial, uma vez que além da informação sobre a derivada da função f também possuímos uma informação sobre o valor de f em um ponto.

Exemplo 3.3.4. Uma partícula desloca-se sobre o eixo-x. Sabe-se que no instante t, t>0, a sua velocidade é ( ) 2 1v t t= + . Sabe-se, ainda, que no instante 0t = , a partícula encontra-se na posição 1.x = Determine a

posição da partícula em um instante de tempo 0t > qualquer. Sabemos que a velocidade ( )v t da partícula é dada pela derivada de sua posição ( )x t . Portanto,

( )' 2 1x t t= + . Por inspeção, verificamos que ( ) 2x t t t k= + + , onde k é uma constante. Como

( )0 1,x = devemos ter 1k = o que acarreta ( ) 2 1x t t t= + + .

Veremos agora um quadro resumido com algumas primitivas chamadas imediatas. O adjetivo refere-se ao fato de que são obtidas pelo processo inverso de derivação:

• 1

,1

kk xx dx C

k

+

= +∫+

se 1k ≠ −

• 11 lndx x dx x Cx

−= = +∫ ∫

• x xe dx e C= +∫ • cossenxdx x C= − +∫ • cos xdx senx C= +∫

• 2sec xdx tgx C= +∫

• 2

11

dx arcsenx Cx

= +∫−

• 2

11

dx arctgx Cx

= +∫+

Ampliando o seu Conhecimento

3.4. - O Teorema fundamental do Cálculo

Chegamos a um dos resultados mais importantes do nosso curso. Aquele que nos permitirá relacionar as noções de derivada e integral de uma forma bastante surpreendente e, como resultado, nos mostra um caminho prático para calcularmos integrais definidas evitando o tortuoso caminho da definição. O resultado é o seguinte:

Teorema Fundamental do Cálculo: Se f for contínua em [ ],a b e se F for uma primitiva de f em [ ],a b , então:

( ) ( ) ( ).ba f x dx F b F a= −∫

As funções ( ) ( )2 2, cos ,xe x sen x− e muitas outras não possuem primitivas que possam ser

expressas em termos das funções que conhecemos. Esse fato foi provado pelo matemático francês

Liouville.

Page 39: Calculo Diferencial e Integral II 1361970429

103

Vamos ver uma demonstração deste fato. Ela é simples e bonita o suficiente para apreciarmos. Supondo que f seja contínua em [ ],a b . Então:

( ) ( )1

limb n

in iaf x dx f c x

→+∞ == Δ∑∫

existe independentemente da escolha dos 'ic s . O que faremos aqui é fazer uma escolha particular dos 'ic s e

que fornecerá o resultado desejado. Como F é contínua em cada intervalo [ ]1,i i iI x x−= e derivável no intervalo

aberto ( )1,i ix x− , existe, pelo Teorema do Valor Médio, um ponto ( )1,i i ic x x∗−∈ tal que:

( ) ( ) ( )( ) ( )( )1 1 1'i i i i i i i iF x F x F c x x f c x x∗ ∗− − −− = − = − .

Agora vamos somar todas as parcelas do tipo acima. Mais especificamente:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 2 1 3 2 1 2 1... n n n nF x F x F x F x F x F x F x F x F x F x− − −− + − + − + + − + − =

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1 1 0 2 2 1 3 3 2 1 1 2 1... n n n n n nf c x x f c x x f c x x f c x x f c x x∗ ∗ ∗ ∗ ∗− − − −− + − + − + + − + −

O lado esquerdo dessa igualdade reduz-se a ( ) ( ) ( ) ( )0nF x F x F b F a− = − . Portanto a igualdade pode ser escrita numa forma mais compacta como:

( )( ) ( ) ( )11

n

i i ii

f c x x F b F a∗−

=− = −∑ .

Agora fazendo n →+∞ nós obtemos:

( ) ( ) ( ) ( )1

limn b

i an if c x f x dx F b F a∗

→+∞ =Δ = = −∑ ∫ ,

donde: ( ) ( ) ( )b

a f x dx F b F a= −∫ , como queríamos demonstrar.

Vamos calcular algumas integrais definidas usando o Teorema Fundamental.

Exemplo 3.4.1. Calcule ( )2

3 2

1x x dx+∫ . Em primeiro lugar vamos determinar uma primitiva para

( ) 3 2.f x x x= + Usando a lista de primitivas vista no final da seção anterior, temos que uma primitiva para f é

( )4 3

.4 3x xF x = + Portanto, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos que:

( ) ( ) ( )2 4 3 4 3

3 2

1

2 2 1 1 15 7 45 28 172 14 3 4 3 4 3 12 12

x x dx F F⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −

+ = − = + − + = + = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Exemplo 3.4.2. Calcule a área limitada pelo gráfico de ( ) 2 1f x x= + , as retas 0x = , 2x = e o eixo-x. Esse foi o problema com o qual iniciamos nosso estudo da integral definida. Pelo que já vimos a área pedida é igual a

( )2

2

01x dx+∫ . Uma primitiva para ( ) 2 1f x x= + é ( )

3

3xF x x= + . Portanto:

Page 40: Calculo Diferencial e Integral II 1361970429

104

( ) ( ) ( )2 3 3

2

0

2 0 8 141 2 0 2 0 23 3 3 3

x dx F F⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ = − = + − + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫ .

Exemplo 3.4.3. Calcule a área da região limitada pelo gráfico de ( ) ( )( )( )1 1 3f x x x x= + − − entre os pontos

1x = − e 3x = . Revendo a discussão sobre áreas e integrais a área pedida será dada por

( ) ( )1 3

1 1

f x dx f x dx−

−∫ ∫ , ou seja, a área pedida é dada por:

( ) ( ) ( ) ( )1 3 1 3

3 2 3 2

1 1 1 1

3 3 3 3f x dx f x dx x x x dx x x x dx− −

− = − − + − − − + =∫ ∫ ∫ ∫

Uma primitiva para ( ) 3 23 3f x x x x= − − + é ( )4 2

3 34 2x xF x x x= − − + . Portanto, a área pedida será

igual a ( ) ( ) ( ) ( )( ) 321 1 3 14

F F F F− − − − = .

4. - Avaliando o que foi construído Nesta unidade tivemos a oportunidade de conhecer dois objetos novos da matemática: a integral definida e a primitiva de uma função. Vimos que ambas resolvem problemas concretos e que relacionam-se através do conhecido Teorema Fundamental do Cálculo.

No Moodle. . .

Dialogando e Construindo Conhecimento

Na plataforma MOODLE, no espaço reservado à disciplina Cálculo Diferencial e Integral II, você poderá testar seus conhecimentos a respeito do tema dessa unidade. Dedique-se à leitura do material complementar e à resolução das tarefas relacionadas a este assunto. Vamos nos encontrar no MOODLE. Até lá!

Reúna-se com os colegas para discutir os temas abordados. Visite constantemente a plataforma MOODLE, faça as tarefas nela propostas. Procure os Tutores para esclarecer as dúvidas sobre algum tema que não tenha sido bem assimilado. Comunique-se! Nós estamos sempre dispostos a orientá-lo e ajudá-lo em caso de dificuldade no estudo da disciplina. Participe! Acredite em seu potencial e conte conosco.

Page 41: Calculo Diferencial e Integral II 1361970429

105

Unidade IV: Algumas Técnicas para se Encontrar Primitivas

1. - Situando a Temática Na unidade anterior tivemos a oportunidade de conhecer o Teorema fundamental do cálculo que fornece

uma maneira mais rápida para se calcular a integral definida de uma função f em termos de alguma de suas primitivas. O que faremos nesta unidade será apresentar algumas técnicas para a determinação de primitivas que também são conhecidas por técnicas de integração.

2. - Problematizando a Temática

As primitivas imediatas vistas na unidade anterior são obtidas diretamente por um processo inverso de

derivação. Em geral isso pode ser feito, mas por procedimentos um pouco mais delicados. Portanto o principal problema abordado aqui será o de determinar primitivas de funções.

3. - Conhecendo a Temática 3.1. - Integração por substituição

Duas das técnicas de integração que estudaremos funcionam ao contrário de duas regras de derivação. A primeira é a integração por substituição que funciona ao contrário da Regra da Cadeia. Começaremos com um exemplo.

Exemplo 3.1.1. Vamos determinar uma primitiva para a função ( )22 cos ,x x o que é equivalente a calcular

( )22 cos .x x dx∫ Observe que se fizermos 2 ,u x= e derivarmos com relação a x ficaremos com 2 ,du xdx

= de

modo que 2 .du xdx= Essa última passagem é justificável, mas não faremos isso aqui. Agora fazemos a substituição:

( ) ( ) ( )2 2 22 cos cos 2 cosx x dx x xdx udu senu C sen x C= = = + = +∫ ∫ ∫ .

Perceba bem: o segredo aqui foi fazer uma escolha acertada da substituição, ou seja, uma escolha acertada de u. Vejamos outro exemplo:

Exemplo 3.1.2. Calcule 2 .1

x dxx∫

+ Vamos fazer de duas formas para que fique claro que às vezes um mesmo

problema pode ser resolvido de duas ou mais maneiras diferentes. Vamos ao primeiro modo. Se fizermos 2u x=

e derivarmos com relação a x, ficaremos com 2 ,du xdx

= ou seja, 2 .du xdx= Mas veja que isso fornece

.2

duxdx = Por que fizemos isso ? Porque no integrando temos xdx e não 2xdx ! Agora substituímos e

obtemos:

2 2

1 1 1 1 .1 1 1 2 2 1

x dudx xdx dux x u u

= = =∫ ∫ ∫ ∫+ + + +

Aparentemente a nossa escolha de u não foi boa, porque nos conduziu a uma integral que também não é da categoria das imediatas. Mas veja que podemos fazer uma nova substituição. Faremos 1 .v u= + Derivando v

com relação a u, teremos 1,dvdu

= ou seja, .dv du= Agora substituindo, teremos:

Page 42: Calculo Diferencial e Integral II 1361970429

106

1 1 ln ln 1 .1

du dv v C u Cu v

= = + = + +∫ ∫+

Portanto:

( )2 22

1 1 1 1 1ln ln 1 ln 1 .1 2 1 2 2 2

x dx du u C x C x Cx u

= = + = + + = + +∫ ∫+ +

Vejamos agora uma substituição que é mais rápida. Façamos 21 .u x= + Derivando com relação a x, teremos

2 ,du xdx

= ou seja, 2 .du xdx= Essa última nos leva a .2

duxdx = Agora substituindo, teremos:

( )22

1 1 1 1 1ln ln 1 .1 2 2 2 2

x dudx du u C x Cx u u

= = = + = + +∫ ∫ ∫+

Em resumo, a regra funciona assim: Regra da Substituição: Se quisermos calcular ( )( ) ( )'f g x g x dx×∫ , podemos fazer ( )u g x= e daí,

( )' .du g x dx= Assim:

( )( ) ( ) ( )' .f g x g x dx f u du× =∫ ∫

Portanto, se soubermos calcular esta última e, digamos, que ela seja ( ) ,F x a primeira será ( )( ).F g x

Vejamos mais dois exemplos:

Exemplo 3.1.3. Calcule 1

x dxx∫ −

. Observe que este caso é um pouco diferente dos demais. Gostaríamos muito

que o integrando fosse o inverso do que realmente é, ou seja, se fosse algo como 1x dx

x−

∫ seria fácil calcular

(será mesmo? Tente). Bom, mas esse impulso inicial é válido e vamos nos apegar a ele. Façamos 1.u x= − Derivando com relação a x, obtemos .du dx= Mas o que fazer com o x que está no numerador já que

ele não aparece na expressão de du ? Fazemos o seguinte, lembre que 1,u x= − portanto, 1.x u= + Agora substituímos:

( )1 1 11 ln 1 ln 1 .1

x u udx du du du du du u u C x x Cx u u u u

+= = + = + = + + = − + − +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Exemplo 3.1.4. Calcule .2 3

x dxx

∫+

Observe que não está clara aqui nenhuma substituição. Vamos tentar

2 3.u x= + Veja que 2,dudx

= ou seja, 2 .du dx= A mesma idéia que usamos antes, ou seja, tirar o valor de x em

função de u nos leva a 3 .

2ux −

= Portanto substituindo ficaremos com:

{ }1/2 1/2

31 3 1 3 12 3

2 4 4 42 3

ux du u udx du du du u du u dux u u u u

−− ⎧ ⎫

= = = − = − =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫⎨ ⎬+ ⎩ ⎭

Há outra possibilidade que é tentar 2 3.u x= + Faça como exercício.

( )3/23/2 1/2 3/21/2 2 31 3 6 6 2 3 .

4 3 / 2 1/ 2 6 6xu u u u C x C+⎧ ⎫

= − = − + = − + +⎨ ⎬⎩ ⎭

Page 43: Calculo Diferencial e Integral II 1361970429

107

3.2. - Integração por partes A regra do produto para funções deriváveis afirma que se u e v são funções deriváveis então o produto das duas também é derivável e sua derivada será dada por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ' ' .uv x u x v x u x v x= +

A técnica de integração por partes irá reverter esse processo. Isso será descrito a seguir. A primeira coisa para que devemos atentar é que a fórmula da derivada do produto nos diz que ( ) ( )u x v x é uma primitiva

de ( ) ( ) ( ) ( )' 'u x v x u x v x+ , ou seja,

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )' 'u x v x v x u x dx u x v x+ =∫

A segunda é que, supondo que ( ) ( )'u x v x possua uma primitiva imediata, podemos escrever:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' 'u x v x dx u x v x v x u x dx= −∫ ∫

Se fizermos ( )'u x dx du= e ( )'v x dx dv= a fórmula acima fica:

,udv uv vdu= −∫ ∫ que é conhecida como fórmula da integração por partes. Vamos ver alguns exemplos. Exemplo 3.2.1. Calcule cos .x xdx∫ Observe que não há substituição que possa ser útil para calcular essa

integral. Vamos fazer u x= e cos .dv xdx= Com essas escolhas, temos que 1,dudx

= ou seja, du dx= e

cosdv xdx

= , ou seja, .v senx= Assim, usando a fórmula acima, temos que:

cos cosx xdx udv uv vdu xsenx senxdx xsenx x C= = − = − = + +∫ ∫ ∫ ∫ .

Observe que as escolhas para u e dv foram muito importantes. Se tivéssemos feito outras escolhas as coisas poderiam ter ficado mais complicadas. De fato, vamos ver o que ocorreria se tivéssemos escolhido cosu x= e

.dv xdx= Nesse caso teremos ,du senxdx

= − ou seja, du senxdx= − e ,dv xdx

= o que implica 2

2xv = . Assim,

substituindo na fórmula da integração por partes, ficamos com 2

21cos cos2 2xx xdx udv uv vdu x x senxdx= = − = +∫ ∫ ∫ ∫ .

Note que a última integral é mais difícil de calcular que a primeira. Essa dificuldade maior surgiu em virtude da nossa escolha infeliz de u e de .dv Ficou evidenciado no exemplo acima que o sucesso do método da integração por partes reside na escolha certa de u e de dv . Assim, algumas recomendações são úteis. Escolha u e dv de modo que v e vdu possuam primitivas fáceis de encontrar. Não precisam ser imediatas, apenas fáceis. Vamos ver mais alguns exemplos. Exemplo 3.2.2. Calcule ln .x xdx∫ A melhor escolha para u e dv é lnu x= e .dv xdx= Com essa escolha,

temos 1du dxx

= e 2

.2xv = Assim, usando a fórmula da integral por partes ficamos com:

2 22 21 1 1ln ln ln .

2 2 2 4x xx xdx udv uv vdu x x dx x x C

x= = − = − = − +∫ ∫ ∫ ∫

Page 44: Calculo Diferencial e Integral II 1361970429

108

Exemplo 3.2.3. Calcule 2 .xx e dx∫ Vamos fazer 2u x= e .xdv e dx= Com essas escolhas, teremos 2du xdx= e xv e= . Assim, usando a fórmula da integral por partes, ficaremos com:

2 2 2 .x x xx e dx udv uv vdu x e xe dx= = − = −∫ ∫ ∫ ∫

Em uma primeira olhada, podemos pensar que a escolha foi ruim. Mas veja que a última integral pode ser calculada usando novamente partes. Note que apesar de termos caído novamente numa integral por partes a escolha foi boa porque ela proporcionou uma diminuição no expoente de x que era 2 e passou a ser 1. A última integral pode ser calculada usando novamente partes. Fazendo u x= e ,xdv e dx= obtemos du dx= e

.xv e= Substituindo na fórmula da integral por partes, ficaremos com:

.x x x x xxe dx udv uv vdu xe e dx xe e= = − = − = −∫ ∫ ∫ ∫ Agora substituímos esse valor na penúltima integral e obtemos:

2 2 22 2 2 .x x x x x xx e dx udv uv vdu x e xe dx x e xe e C= = − = − = − + +∫ ∫ ∫

3.3. - Substituições trigonométricas

Existem algumas substituições que envolvem funções trigonométricas e que servem para tratar um grande número de integrais. Elas são as chamadas Substituições Trigonométricas e são três.

Integrais envolvendo expressões do tipo 2 2 ,a x− com 0.a >

Para esse tipo de integral, usaremos a substituição ,x asenθ= com 2 2π πθ− ≤ ≤ . Com essa substituição temos

cosdx a dθ θ= e

( )2 2 2 2 2 2 2 2 21 cos cos ,a x a a sen a sen a aθ θ θ θ− = − = − = =

pela escolha do ângulo .θ Vamos a um exemplo:

Exemplo 3.3.1. Calcule 2

2

9 x dxx−

∫ . Neste caso 3a = e, portanto, usaremos a substituição 3x senθ= .

Utilizando as fórmulas descritas acima vamos fazer as substituições. Feito isso ficaremos com:

( )2 2

2 22 2 2

9 3cos cos3cos cot cos 19

x dx d d g d ec dx sen sen

θ θθ θ θ θ θ θ θθ θ

−= × = = = − =∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2cos cot .ec d d g Cθ θ θ θ θ= − = − − +∫ ∫

Agora precisamos retornar à variável original que é x. A nossa única relação entre x e θ é a da substituição, ou

seja, 3x senθ= . A primeira informação que tiramos é que ,3xsenθ = ou seja,

3xarcsenθ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠. Por outro lado,

como ,3xsenθ = temos, que:

Page 45: Calculo Diferencial e Integral II 1361970429

109

2 22 9cos 1 1

3 3x xsenθ θ −⎛ ⎞= − = − =⎜ ⎟

⎝ ⎠,

donde,

2

29

cos 93cot

3

xxg xsen x

θθθ

−−

= = = e, portanto,

2 2

2

9 9cot3

x x xdx g C arcsen Cx x

θ θ− − ⎛ ⎞= − − + = − − +∫ ⎜ ⎟⎝ ⎠

Integrais envolvendo expressões do tipo 2 2a x+ , com 0.a >

Para esse tipo de integral, usaremos a substituição ,x atgθ= com 2 2π πθ− ≤ ≤ . Com essa substituição

temos 2secdx dθ θ= e

( )2 2 2 2 2 2 2 2 21 sec sec ,a x a a tg a tg a aθ θ θ θ+ = + = + = =

pela escolha do ângulo .θ Vamos a um exemplo.

Exemplo 3.3.2. Calcule 2

14

dxx

∫+

. Usando a substituição acima, com 2a = , isto é, 2 ,x tgθ= essa integral

vai tomar o seguinte aspecto: 2

2

1 2sec sec .2sec4

dx d dx

θ θ θ θθ

= =∫ ∫ ∫+

A última integral requer um pequeno truque para o seu cálculo. Primeiro note que:

2sec secsec ,sec

tgtg

θ θ θθθ θ+

=+

onde essa fração fizer sentido. Portanto:

2sec secsec .sec

tgd dtg

θ θ θθ θ θθ θ+

=∫ ∫+

Mas essa última integral pode ser calculada observando que a substituição secu tgθ θ= + é tal que

( )2sec sec .du tg dθ θ θ θ= + Assim: 2sec secsec ln ln sec .

sectg dud d u C tg C

tg uθ θ θθ θ θ θ θ

θ θ+

= = = + = + +∫ ∫ ∫+

Portanto: 2

2

1 2sec sec ln sec .2sec4

dx d d tg Cx

θ θ θ θ θ θθ

= = = + +∫ ∫ ∫+

Page 46: Calculo Diferencial e Integral II 1361970429

110

Agora precisamos expressar secθ e tgθ em função de x. A relação entre x e θ que possuímos é 2 ,x tgθ= o

que acarreta .2xtgθ = Agora lembre uma identidade muito importante da trigonometria, qual seja,

2 2sec 1 .tgθ θ= + Usando essa identidade, podemos concluir que: 2 2 2

2 4 4sec 1 1 .2 4 2x x xtgθ θ + +⎛ ⎞= + = + = =⎜ ⎟

⎝ ⎠

Portanto: 2 2

2

1 2sec 4sec ln sec ln .2sec 2 24

x xdx d d tg C Cx

θ θ θ θ θ θθ

+= = = + + = + +∫ ∫ ∫

+

Integrais envolvendo expressões do tipo 2 2 ,x a− com 0.a >

Para esse tipo de integral, usaremos a substituição sec ,x a θ= com 02πθ≤ < ou

3 .2ππ θ≤ < Com

essa substituição temos secdx tg dθ θ θ= e:

( )2 2 2 2 2 2 2 2 2sec sec 1 ,x a a a a a tg atgθ θ θ θ− = − = − = =

pela escolha do ângulo .θ Vamos a um exemplo.

Exemplo 3.3.3. Calcule 2

1 .25

dxx

∫−

Usando a substituição acima com 5a = , isto é, 5sec ,x θ= a integral

dada tomará o seguinte aspecto:

2

1 5sec sec ln sec .525

tgdx d d tg Ctgxθ θ θ θ θ θ θθ

= = = + +∫ ∫ ∫−

Precisamos agora voltar para a variável x. Da relação 5sec ,x θ= tiramos que sec .5xθ = Logo

2 2 22 25 25sec 1 1 .

5 25 5x x xtgθ θ − −⎛ ⎞= − = − = =⎜ ⎟

⎝ ⎠

Portanto 2

2

1 25sec ln sec ln .5 525x xdx d tg C C

xθ θ θ θ −

= = + + = + +∫ ∫−

3.4. - O método das frações parciais

O nosso objetivo aqui será calcular integrais do tipo ( )( )

p xdx

q x∫ onde p e q são polinômios em uma

variável com coeficientes reais. Vamos considerar, durante a discussão que segue, somente frações ( )( )

p xq x

onde

o grau do numerador é menor que o do denominador e onde o coeficiente do termo de maior grau do denominador seja 1.O porquê disso ficará mais claro adiante. O principal fato usado nesse método é um resultado de Álgebra Abstrata que é o seguinte:

Page 47: Calculo Diferencial e Integral II 1361970429

111

Todo polinômio com coeficientes reais pode ser escrito como um produto de polinômios de grau um e/ou de grau dois, todos com coeficientes reais, sendo que os polinômios de grau dois possuem discriminante negativo Vejamos alguns exemplos desse fato: Exemplo 3.4.1. O polinômio ( ) 3 1p x x= − pode ser escrito como ( ) ( )( )21 1p x x x x= − + + . Observe que o

discriminante do polinômio de grau 2 é 3.− Exemplo 3.4.2. O polinômio ( ) 3 22 3 2p x x x x= + − pode ser escrito como ( ) ( )( )2 1 2p x x x x= − + . Observe que ele não possui fatores de grau 2.

O método das frações parciais consiste em decompor a fração ( )( )

p xq x

em frações mais simples, chamadas

frações parciais, que são mais fáceis de integrar. Essa decomposição será baseada nos fatores que aparecem na decomposição do denominador. Para facilitar o entendimento, dividiremos o estudo do método em quatro casos. 1º. Caso: Os fatores de ( )q x são todos de grau 1 e não há fatores repetidos. Nesse caso ( ) ( )( ) ( )1 2 ... ,kq x x a x a x a= − − − onde os números reais 1 2, ,..., ka a a são todos distintos. Assim

sendo a Álgebra Abstrata nos permite dizer que existem números reais 1 2, ,..., kA A A tais que

( )( ) ( ) ( ) ( )

1 2

1 2

... .k

k

p x AA Aq x x a x a x a

= + + +− − −

Vamos ver um exemplo

Exemplo 3.4.3. Calcule 3 2

1 .2

x dxx x x

−∫

− −Inicialmente note que:

( ) ( )( )3 2 22 2 2 1 .x x x x x x x x x− − = − − = − +

Pela decomposição fornecida acima temos que existem 1 2,A A e 3A tais que

31 23 2

1 .2 2 1

AA Axx x x x x x

−= + +

− − − +

O que faremos agora é encontrar esses números. Desenvolvendo o lado esquerdo da igualdade acima, ficaremos com

( )( ) ( ) ( )1 2 33 2 3 2

2 1 1 212 2

A x x A x x A x xxx x x x x x

− + + + + −−=

− − − −

E nessa igualdade de frações algébricas, podemos multiplicar ambos os membros pelo denominador comum de ambas as frações e ficaremos com a seguinte igualdade de polinômios:

( )( ) ( ) ( )1 2 31 2 1 1 2x A x x A x x A x x− = − + + + + − ,

que nos fornecerá, através de uma identidade de polinômios, 1 21 1,2 5

A A= = e 31 .

10A = − Portanto chegamos à

seguinte decomposição:

Page 48: Calculo Diferencial e Integral II 1361970429

112

3 2

1 111 5 1022 2 1

xx x x x x x

−= + −

− − − +.

Integrando essa última igualdade temos

3 2

1 1 1 1 1 1 1 ,2 2 5 2 10 1

x dx dx dx dxx x x x x x

−= + −∫ ∫ ∫ ∫

− − − +

Portanto

3 2

1 1 1 1ln ln 2 ln 1 .2 2 5 10

x dx x x x Cx x x

−= + − − + +∫

− −

Note que as duas últimas integrais logo acima foram obtidas por substituição. Tente fazer. 2º. Caso: Os fatores de ( )q x são todos de grau 1, mas alguns são repetidos. Digamos que o fator ( )jx a− apareça com potência ,k ou seja, ele repete-se k vezes na decomposição de

( )q x . A Álgebra Abstrata nos permite provar que esse fator vai originar k frações parciais do seguinte tipo:

( ) ( ) ( )1 2

2 ... kk

j j j

AA Ax a x a x a

+ + +− − −

.

Os demais fatores que não se repetem fornecem apenas uma fração parcial cada, conforme vimos no caso 1. Vamos ver um exemplo.

Exemplo 3.4.4. Calcule ( ) ( )2

4 .1 1

x dxx x

∫− +

De acordo com o que dissemos acima, a decomposição em frações

parciais do integrando será:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )31 2

2 24 ,

1 11 1 1AA Ax

x xx x x= + +

− +− + −

onde as duas primeiras frações foram originadas pelo fator ( )21x − e a última pelo fator ( )1 .x + Repetindo o mesmo processo do exemplo precedente, obtemos a seguinte identidade de polinômios

( ) ( ) ( ) ( )21 2 34 1 1 1 1 .x A x x A x A x= − + + + + −

Após desenvolvermos obteremos 1 21, 2A A= = e 3 1.A = − Portanto a decomposição fica:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 24 1 2 1 ,

1 11 1 1x

x xx x x−

= + +− +− + −

que quando integrada fica :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 24 1 2 1 ,

1 11 1 1x dx dx dx dx

x xx x x= + −∫ ∫ ∫ ∫

− +− + −

Ou seja,

Page 49: Calculo Diferencial e Integral II 1361970429

113

( ) ( )24 2ln 1 ln 1 .

11 1x dx x x C

xx x= − + − + +∫

−− +

3º. Caso: Alguns dos fatores de ( )q x são de grau dois mas não se repetem. Digamos que na decomposição de ( )q x apareça um fator do tipo 2ax bx c+ + que possua discriminante negativo. A Álgebra Abstrata garante esse fator gera uma fração parcial do tipo:

2

Ax Bax bx c

++ +

,

onde A e B são números reais. Vamos ver um exemplo.

Exemplo 3.4.5. Calcule 2

3

2 1 .x x dxx x+ +

∫+

Inicialmente observe que ( )3 2 1 ,x x x x+ = + sendo que o

discriminante desse último fator é negativo. Portanto, de acordo com o que vimos acima, a decomposição em frações parciais do integrando será:

2

3 2

2 1 ,1

x x A Bx Cx x x x+ + +

= ++ +

onde A,B e C são números reais a serem determinados. Procedendo como nos exemplos anteriores, concluímos que os valores de A,B e C são, respectivamente, 1,2 e 2. Logo a decomposição toma a seguinte forma:

2

3 2

2 1 1 2 21

x x xx x x x+ + +

= ++ +

.

Portanto, 2

3 2

2 1 1 2 2 .1

x x xdx dx dxx x x x+ + +

= +∫ ∫ ∫+ +

A primeira integral do lado direito da igualdade é imediata. Vamos ver a segunda. Observe que:

2 2 2

2 2 2 2 .1 1 1

x xdx dx dxx x x+

= +∫ ∫ ∫+ + +

Agora note que a primeira integral do lado direito pode ser tratada usando a substituição 2 1u x= + enquanto que a segunda é imediata. Após os cálculos ficamos com:

( ) ( )2

23

2 1 ln ln 1 2 .x x dx x x arctg x Cx x+ +

= + + + +∫+

4o. Caso: Alguns dos fatores de ( )q x são de grau dois e se repetem. Digamos que na decomposição de ( )q x apareça um fator do tipo 2ax bx c+ + que possua discriminante

negativo e se repita k vezes. A Álgebra Abstrata garante que esse fator gera k frações parciais do seguinte tipo:

( ) ( )1 1 2 2

22 2 2... k k

k

A x BA x B A x Bax bx c ax bx c ax bx c

++ ++ + +

+ + + + + +,

onde os iA e os jB são números reais a serem determinados.

Page 50: Calculo Diferencial e Integral II 1361970429

114

Exemplo 3.4.6. Calcule ( )22

1 .1

dxx x

∫+

Procedendo como está acima descrito, a decomposição em frações

parciais do integrando será:

( ) ( ) ( )2 222 2

1 ,11 1

A Bx C Dx Ex xx x x

+ += + +

++ +

onde , , ,A B C D e E são números reais a serem determinados. Procedendo como nos exemplos anteriores, os valores de , , ,A B C D e E são respectivamente, 1,-1,0,-2 e 0. Assim a decomposição em frações parciais fica:

( ) ( ) ( )2 222 2

1 1 211 1

x xx xx x x

= − −++ +

.

Integrando ficamos com:

( ) ( ) ( )( ) ( )

22 22 22 2

1 1 2 1 1ln ln 1 .21 11 1

x xdx dx dx dx x x Cx x xx x x

= − − = − + + +∫ ∫ ∫ ∫+ ++ +

4. - Avaliando o que foi construído

As técnicas que aqui estudamos serão muito importantes no futuro pois, como vimos na seção anterior, o cálculo de uma integral definida resume-se, em alguns casos, a determinar uma primitiva de uma função.

No Moodle. . .

Dialogando e Construindo Conhecimento

Na plataforma MOODLE, no espaço reservado à disciplina Cálculo Diferencial e Integral II, você poderá testar seus conhecimentos a respeito do tema desta unidade. Dedique-se ao estudo do material disponibilizado e à resolução das tarefas relacionadas a este assunto. Vamos nos encontrar no MOODLE. Até lá.

Reúna-se com os colegas para discutir os temas abordados. Visite constantemente a plataforma MOODLE, faça as tarefas nela propostas Procure os Tutores para esclarecer as dúvidas sobre algum tema que não tenha sido bem assimilado. Comunique-se! Nós estamos sempre dispostos a orientá-lo e ajudá-lo em caso de dificuldade no estudo da disciplina. Participe! Acredite em seu potencial e conte conosco.

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115

Unidade V: Aplicações Geométricas da Integral Definida

1. - Situando a Temática

Dentre as várias aplicações da integral definida vamos ver algumas de caráter geométrico. Além disso, conheceremos um novo sistema de coordenadas, o sistema de coordenadas polares que, além de nos mostrar uma nova forma de localizar pontos no plano, vai nos permitir abordar algumas aplicações da integral definida de forma mais ampla.

2. - Problematizando a Temática

Determinaremos aqui algumas áreas de figuras planas conhecidas, comprimentos de algumas curvas e volumes de alguns sólidos.

3. - Conhecendo a Temática 3.1. - Cálculo de áreas

A motivação que usamos para introduzir o conceito de integral definida foi o problema de determinar a

área de uma região plana. Aqui exploraremos mais essa motivação. Sabemos da unidade III que se f é uma função contínua definida em [ ],a b e positiva nesse intervalo então a área abaixo do gráfico de f , acima do

eixo-x e entre x a= e x b= é dada por ( )b

af x dx∫ . Demos alguns exemplos dessa situação logo após o Teorema

fundamental do cálculo. Veremos aqui um caso interessante e que pode ser resolvido usando esse mesmo raciocínio.

Vejamos alguns exemplos.

.

( ) ( ) ( )11 1 32 32

0 0 0

2 1 13 3 3

f x g x dx x x dx x x⎡ ⎤⎡ ⎤− = − = − =∫ ∫⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦.

A situação é a seguinte: sejam f e g funções contínuas em

[ ],a b tais que f g≥ nesse intervalo. Um exemplo dessa situação está ilustrado na figura ao lado. O que gostaríamos de determinar é o valor da área limitada pelos gráficos de f e de g entre x a= e x b= . Se repetirmos a mesma

argumentação vista na unidade III, constataremos que a área pedida é dada por:

( ) ( )b

af x g x dx⎡ ⎤−∫ ⎣ ⎦ .

Exemplo 3.1.1. Determine a área entre os gráficos das funções ( )f x x= e ( ) 2g x x= . Os gráficos estão ilustrados na figura ao lado. Na figura estão mostradas as curvas y x= que representa o gráfico de f e 2y x= que representa o gráfico de g. O ponto de interseção entre elas é obtido igualando as duas equações das curvas, ou seja, resolvendo a equação 2x x= . As soluções dessa equação são 0x = e 1x = .Portanto, pelo que vimos a área é dada por:

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116

( ) ( ) [ ] ( )33 3 3

2 2 3 2

1 1 1 1

2 644 16 2 10 4 2 6 2 63 3

g x f x dx x x dx x x dx x x x− − − −

⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤− = + − + = − + = − + + =∫ ∫ ∫⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

Exemplo 3.1.3. Calcule a área entre os gráficos de f e g das funções do exemplo anterior entre 2x = − e 5x = . Na figura abaixo estão representados os gráficos de f e de g, no trecho considerado. Observe que nesse trecho não há uma função que seja superior à outra inteiramente. Sendo mais específicos, de 2x = − a 1x = − a função f é maior que a função g. De 1x = − até 3x = a função g é superior a f e, de 3x = até 5x = novamente f passa a ser superior a g.A estratégia será usar a idéia anterior para dividirmos a área pedida em três: uma que vai de 2x = − a 1x = − , outra que vai de 1x = − até

3x = e a última que vai de 3x = até 5x = . Assim sendo, a área pedida será igual a:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 3 5 1 5

2 2

2 1 3 2 3

64 1422 10 4 16 2 10 4 163 3

f x g x dx g x f x dx f x g x dx x x dx x x dx−

− − −− + − + − = + − − + + + − − =∫ ∫ ∫ ∫ ∫

3.2. - O sistema de coordenadas polares

Faremos agora uma pequena mudança no nosso estudo para introduzirmos um novo sistema de

coordenadas no plano chamado sistema de coordenadas polares. No sistema de coordenadas cartesianas, que tem sido o mais usado por

nós até aqui, a localização de um ponto P baseia-se na sua distância a duas retas concorrentes: uma horizontal, chamada eixo concorrência das retas chama-se a origem do sistema de coordenadas. A distância orientada do ponto P até a reta vertical chama-se abscissa, em geral representada pela letra x e sua distância orientada até a reta horizontal chama-se ordenada, geralmente representada pela letra y. Veja a figura ao lado.

Um outro modo de localizar um ponto é baseado em duas outras entidades

associadas ao ponto P no plano. Essas entidades são: a sua distância orientada até a origem, que será denotada por r e o ângulo orientado que o vetor OP forma com o semi-eixo-x positivo, que será denotado por θ . Assim diremos que os números r e θ são coordenadas polares para P. Veja a figura ao lado.

Coordenadas polares do ponto P são representadas como um par ordenado ( ),r θ . O plano onde encaramos os pontos com suas coordenadas polares não possui o eixo-y, nem a parte negativa do eixo-x. Ele será chamado de plano polar. O ponto O será chamado de pólo e o eixo-x positivo passa a se chamar eixo polar.

Exemplo 3.1.2. Determine a área limitada pelos gráficos de ( ) 22 10f x x= + e ( ) 4 16.g x x= + Inicialmente vamos

determinar os pontos de interseção entre as curvas 22 10y x= + e 4 16y x= + que representam,

respectivamente, os gráficos de f e de g. Igualando as duas equações, ficamos com 22 10 4 16x x+ = + , cujas raízes são 1x = − e 3x = . Veja a figura ao lado. Portanto, pelo que vimos a área pedida é dada por:

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117

Antes de passarmos aos exemplos, cumpre fazermos um ligeiro comentário acerca do adjetivo orientado(a) que apareceu no texto anteriormente. Para nós, ele terá um significado associado ao sinal. Tanto ângulos como distâncias poderão estar acrescidas de um sinal. No caso de ângulos o sinal será positivo se os medirmos no sentido anti-horário e negativo caso a medida seja efetuada no sentido horário. Para as distâncias faremos o comentário logo após os exemplos.

Exemplo 3.2.1. Localize no plano polar o ponto cujas coordenadas

polares são 32,4π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

. Para isso, efetuamos uma rotação de 34π

radianos

no sentido anti-horário e marcamos desde o pólo uma distância de 2

unidades. A representação está mostrada ao lado. Observe que esse mesmo ponto possui 112,

4π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

como um par

de coordenadas polares. Se você notou que 11 3 2

4 4π π π= + não terá dificuldade em perceber que se

adicionarmos 2π ao ângulo, encontraremos um novo par de coordenadas polares para o ponto dado. Isso quer dizer que um mesmo ponto tem infinitos pares de coordenadas polares!

Queremos agora dar um sentido para coordenadas polares onde r possa assumir valores negativos. Vamos supor que

queiramos marcar no plano polar o ponto 2,6π⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠. A forma de

marcá-lo e que será conveniente quando formos traçar curvas no plano polar é a seguinte: primeiro marcamos o ponto com 0r > , ou

seja, 2,6π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

. Em seguida, tomamos seu simétrico com relação ao

pólo. Esse simétrico será a representação no plano polar de

2,6π⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠ .Veja a figura ao lado.

Agora temos uma grande liberdade de interpretar as coordenadas polares com vários sinais. Vejamos

mais um exemplo:

Exemplo 3.2.2. Determine pares de coordenadas polares para o ponto 5,3π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

que satisfaçam:

a) 0r > e 0θ < b) 0r < e 0θ > c) 0r < e 0θ <

Na letra (a), podemos tomar 55, 2 5,

3 3π ππ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠. Para a

letra (b), observamos que o ponto dado tem que ser o simétrico de um outro. O ângulo positivo que devemos girar para

marcarmos o ponto pedido deve ser 4

3 3π ππ + = , portanto,

nesse caso, um par de coordenadas polares é 45,3π⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Vejamos a letra (c). Novamente, o ponto dado tem que ser simétrico de um outro. Portanto, o ângulo negativo que devemos

Page 54: Calculo Diferencial e Integral II 1361970429

118

girar deve ser 2

3 3π ππ− = − . Assim, um par de coordenadas polares nesse caso é

25,3π⎛ ⎞− −⎜ ⎟

⎝ ⎠. Veja a figura a

cima: Uma pergunta que surge naturalmente é a seguinte: como relacionar um par de coordenadas polares de um ponto com as coordenadas cartesianas de um ponto P ?. Para respondê-la, vamos observar a figura ao lado. Da figura ainda,

podemos concluir que: ysenr

θ = , ou seja, y rsenθ= , bem como

que cos xr

θ = , ou seja, cosx r θ= . Assim, conhecidas coordenadas polares

para um ponto P então suas coordenadas cartesianas ficam automaticamente conhecidas através das expressões anteriores. Agora, vamos ao problema contrário. Suponhamos dadas as coordenadas cartesianas ( ),x y de P e vamos encontrar um par de coordenadas polares para ele. Comecemos com o caso onde 0.x = Nesse caso, o um

par de coordenadas polares para o ponto P é ,2

y π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

. Suponhamos agora que 0x ≠ . Então o triângulo da figura

anterior nos fornece:

,ytgx

θ = ou seja, yarctgx

θ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

.

O mesmo triângulo, através do Teorema de Pitágoras, nos fornece:

2 2r x y= + .

Para usarmos as fórmulas acima devemos tomar apenas um cuidado: o quadrante onde o ponto está não é, em geral, fornecido por elas. Portanto, devemos tomar cuidado quando formos utilizá-las. Vejamos alguns exemplos desse tipo de situação.

Exemplo 3.2.3. Suponha um par de coordenadas polares para o ponto P seja 5,3π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

. Vamos determinar as suas

coordenadas cartesianas. Sabemos que: 1 5cos 5cos 5

3 2 2x r πθ= = = × =

3 5 35 5 .3 2 2

y rsen senπθ= = = × =

Logo as coordenadas cartesianas de P são 5 5 3, .2 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Veja a figura do exemplo 3.2.2.

Exemplo 3.2.4. Vamos determinar um par de coordenadas polares para o ponto P cujas coordenadas cartesianas

são ( )1, 1− − . Inicialmente notamos que ( ) ( )2 21 1 2r = − + − = . Por outro lado,

( )1 11 4

arctg artcg πθ −⎛ ⎞= = =⎜ ⎟−⎝ ⎠. Como o ponto P pertence ao quarto quadrante este certamente não é um θ

para o ponto P, em virtude de nossa escolha para o sinal de r. Se observarmos bem, o ângulo correto é 34π

que também possui tangente igual a 1, mas é “esquecido” pela função arco-tangente, já que não pertence ao domínio usual de inversão da função tangente.

Page 55: Calculo Diferencial e Integral II 1361970429

119

Passamos agora a uma situação que naturalmente surge nas coordenadas polares. Vamos introduzir algumas curvas e tentar desenhá-las. Uma curva em coordenadas polares é uma expressão do tipo ( )r f θ= . Vamos ver alguns exemplos e tentar desenhá-las. Você pode usar um software apropriado como o winplot ou o geogebra para fazer desenhos bem curiosos.

Exemplo 3.2.5. Vejamos o que representa no plano polar a equação 4πθ = . Como ela

não envolve r nós vemos que a única condição para que um ponto pertença a essa

curva é que o seu θ seja igual a 4π

. Portanto essa curva representa uma reta de

coeficiente angular 1. Veja a figura ao lado.

Exemplo 3.2.6. Vamos ver o que representa no plano polar a equação 7r = . Vamos abordar a questão de uma forma mais dialogada. O que significa 7r = em coordenadas polares? Significa que todos os pontos dessa curva estão a uma distância 7 do pólo. Muito bem. E pontos que estão a uma mesma distância de um ponto formam algo conhecido? Sim. Muito bem. E o que esses pontos formam? Uma circunferência, com centro no pólo e raio 7. Ótimo. Sem o diálogo, poderíamos converter essa equação em uma equação cartesiana que é a que conhecemos melhor. Como

2 2r x y= + , temos que a equação da nossa curva, agora em

coordenadas cartesianas, é 2 2 7x y+ = , ou seja, 2 2 49,x y+ = o que de fato coincide com o resultado obtido no nosso diálogo, ou seja, nossa curva é mesmo uma circunferência de centro no pólo (ou na origem) com raio 7. Uma figura dela está mostrada acima. Exemplo 3.2.7. Vejamos agora o que representa 4cosr θ= . Aqui um diálogo fica mais complicado pois a curva em questão não possui seu r constante como no exemplo anterior. Agora a curva reveste-se de um caráter dinâmico. No que segue faremos θ variar de 0 até 2π e acompanharemos o que sucede com r. Inicialmente note que se θ varia de

0 até 2π

, r varia de 4 até 0. Portanto, enquanto giramos no sentido anti-

horário saindo de 0 e nos aproximando de 2π

, r deverá sair de 4 e

colapsar até 0 . Veja na figura abaixo o primeiro trecho do gráfico

Agora faremos θ variar de 2π

até π . Quando fizermos isso, r variará entre

0 e -4. Aqui um cuidado: como 0r < vamos marcar pontos simétricos. Dizendo de outra forma, enquanto θ fizer seu passeio no segundo quadrante, nós estaremos marcando os pontos no quarto! Assim, o gráfico da figura anterior fica completo:

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

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120

Exemplo 3.2.8. Vamos fazer agora um esboço da curva ( )2 1r senθ= − . A

idéia é fazer θ variar em intervalos onde possamos acompanhar bem o que se

passa com r. Primeiro vamos fazer θ variar de 0 até 2π

. Com isso, r varia de

2 até 0. O trecho do gráfico correspondente a essa variação está mostrado na figura ao lado.

Agora faremos θ variar de 2π

até

π . Fazendo isso, r variará de 0 até 2. Ao lado vemos mais um trecho do gráfico.

Fazendo agora θ variar de π até 32π

, vemos que r varia de 2 até 4,

conforme mostra a figura ao lado:

Finalmente, faremos θ variar de 32π

até 2π o que acarreta uma

variação de r desde 4 até 2, completando o gráfico como nos mostra a figura ao lado. Essa curva chama-se cardióide, por ter um formato de coração.

Nosso intuito agora é calcular a área de uma região no plano polar limitada por duas retas, θ α= e θ β= e pela curva ( )r f θ= , conforme a figura ao lado. Podemos provar que a área pedida é dada por:

( )212

A f dβ

αθ θ= ∫ .

Consulte o livro de Serge Lang citado na bibliografia para ver a demonstração. Vejamos alguns exemplos:

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

Page 57: Calculo Diferencial e Integral II 1361970429

121

Exemplo 3.2.9. Vamos calcular a área de um círculo de raio 0a > . A equação de uma circunferência de raio a e, digamos, com centro no pólo é dada por r a= . A área limitada por esta circunferência é justamente a área pedida. Lembrando que, para cobrirmos a circunferência precisamos variar θ de 0 até 2π , a fórmula acima nos diz que:

( )2

2 2 2 2

0

1 1 1 22 2 2

A f d a d a aβ π

αθ θ θ π π= = = =∫ ∫ ,

que é a fórmula conhecida por todos nós. Exemplo 3.2.10. Vamos calcular a área limitada pela cardióide 1 cosr θ= − . A curva tem o aspecto mostrado na figura ao lado. Pela fórmula que vimos acima, a área é dada por:

( ) ( ) ( )2 2 222 2 2

0 0 0

1 1 1 11 cos 1 2cos cos cos2 2 2 2

A f d d d dβ π π π

αθ θ θ θ θ θ θ π θ θ= = − = − + = + =∫ ∫ ∫ ∫

2

0

1 1 1 3cos 22 2 2 2

dπ ππ θ θ⎡ ⎤= + + =∫ ⎢ ⎥⎣ ⎦

3.3. - Comprimento de Arco

Uma outra aplicação interessante da integral definida é a possibilidade de calcularmos o comprimento de

uma curva. Vamos considerar três casos desta situação. 3.3.1 - Gráficos de funções A nossa primeira situação ocorre quando a curva que desejamos calcular o comprimento é um pedaço do gráfico de uma função. Suponhamos então que f seja uma função definida num intervalo [ ],a b e que queremos calcular o comprimento do

gráfico de f entre x a= e x b= . Para esse fim devemos fazer algumas hipóteses sobre a função f. As hipóteses mais convenientes são a de que f é derivável e que sua derivada f’ é contínua. Uma função que satisfaz a essa condição é conhecida como uma função de classe 1C .No que segue obteremos uma fórmula para o cálculo do comprimento desejado. A idéia que permeará o nosso raciocínio será a de aproximar o comprimento pedido pelo comprimento de uma poligonal, conforme a figura acima: Escolhemos alguns pontos sobre a curva - na figura escolhemos 9 - de modo que ( )( ),a f a e ( )( ),b f b sejam o primeiro e o último,

respectivamente. Digamos que as coordenadas cartesianas de cada ponto escolhido sejam ( )( ),i ix f x , com

0,...,i n= . Agora ligamos os pontos consecutivos e formamos uma poligonal como ilustra a figura acima. O comprimento de cada lado dessa poligonal será dado pela distância entre os vértices sucessivos, ou seja, a distância entre iP e 1iP+ . Sabemos, pela Geometria Analítica, que essa distância é dada por:

( ) ( ) ( ) ( )( )221 1 1,i i i i i id P P x x f x f x+ + += − + − .

Agora usamos o Teorema do valor médio para a função f em cada intervalo [ ]1,i ix x + para obtermos um

ponto [ ]1,i i ic x x +∈ tal que ( ) ( ) ( )( )1 1'i i i i if x f x f c x x+ +− = − . Graças a isso, a expressão de ( )1,i id P P+ toma o seguinte aspecto:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 21 1 1 1 1, 'i i i i i i i i i i id P P x x f x f x x x f c x x+ + + + += − + − = − + − =

−2 −1 1 2

−2

−1

1

2

Page 58: Calculo Diferencial e Integral II 1361970429

122

que, por sua vez, ainda pode ser simplificada e tornar-se

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 21 1 1, 1 ' 1 'i i i i i i i id P P x x f c x x f c+ + += − + = − + .

O comprimento da poligonal será o igual à soma dos segmentos que a compõem. Assim, se denotarmos o seu comprimento por nL teremos que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2

0 1 1 2 1 1 10 0

, , ... , , 1 'n n

n n n i i i i ii i

L d P P d P P d P P d P P f c x x− −

− + += =

= + + + = = + −∑ ∑ .

Os pontos 0 1, ,..., nP P P podem ser escolhidos de forma que os intervalos [ ]1,i ix x + tenham o mesmo

comprimento que denotaremos por xΔ . Assim:

( )2

01 '

n

n ii

L f c x=

= + Δ∑ .

A aproximação acima será cada vez melhor desde que tomemos a quantidade de pontos cada vez maior. Como f’ é contínua, se fizermos ,n →+∞ na expressão de nL o limite existirá e será igual ao comprimento da curva em questão. Portanto:

( ) ( )2 2

0lim lim 1 ' 1 '

bn

n in n i aL L f c x f x dx

→+∞ →+∞ == = + Δ = +∑ ∫ ,

Ou seja, podemos enunciar que: Se [ ]: ,f a b R→ é uma função de classe 1C então o comprimento do gráfico de f no trecho variando de

x a= até x b= é dado por:

( )21 'b

aL f x dx= +∫

Vejamos agora alguns exemplos.

Exemplo 3.3.1.1. Vamos calcular o comprimento do gráfico da função ( )3 1

2 6xf x

x= + , com 1 3x≤ ≤ .

Começamos calculando a derivada de f que é dada por ( )2

2

3 1'2 6xf x

x= − . Agora note que:

( )2 22 4 2

22 4

3 1 9 1 1 3 11 ' 1 12 6 4 2 36 2 6x x xf x

x x x⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ = + − = + − + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Logo:

( )22 23 3 32

1 1 1

3 1 3 1 11 ' 13 ln 32 6 2 6 6x xL f x dx dx dx

x x⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= + = + = + = +∫ ∫ ∫⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

3.3.2 - Curvas na forma paramétrica

Vamos supor agora que queiramos calcular o comprimento de um pedaço de uma curva no plano e que esta curva esteja dada na forma paramétrica, ou seja, os pontos dessa curva são expressos através de funções de uma outra variável. Esse ponto de vista é particularmente interessante em física, quando estudamos o movimento de um projétil no plano e as variáveis x e y que descrevem o movimento do projétil são funções do tempo. Temos aqui uma fórmula análoga à do caso anterior e cuja demonstração também segue os mesmos passos. Vamos apenas enunciá-la. Aqueles que quiserem ver a demonstração podem consultar o livro de Serge Lang citado na bibliografia.

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123

Suponha que C seja uma curva no plano dada na forma paramétrica pelas equações ( )( )

,.

x x ty y t

⎧ =⎪⎨ =⎪⎩

com [ ]0 1,t t t∈ ,

onde as funções ( )x x t= e ( )y y t= são tais que suas derivadas são contínuas em [ ]0 1,t t . Então o

comprimento do arco de C entre os pontos 0t e 1t é dado por

( )( ) ( )( )1

0

2 2' '

t

tL x t y t dt= +∫

Vejamos dois exemplos.

Exemplo 3.3.2.1. Vamos calcular o comprimento da curva C dada por 3

3

22cos

x sen ty t

⎧ =⎨

=⎩, com 0, 2t π⎡ ⎤∈ ⎣ ⎦ .

Observe que ( ) 2' 6 cosx t sen t t= e ( ) 2' 6cosy t tsent= − . Assim sendo, temos que o comprimento pedido é dado por:

( ) ( )2 22 2 4 2 4 2

0 0' ' 36 cos 36cosL x t y t dt sen t t tsen tdt

π π

= + = + =∫ ∫

( )22 22 2 2 2 2 2 2 2

00 0 036 cos cos 36 cos 6 cos 3 3sen t t sen t t dt sen t tdt sent tdt sen t

π ππ π⎡ ⎤+ = = = =∫ ∫ ∫ ⎣ ⎦

Exemplo 3.3.2.2. Vamos calcular o comprimento de uma circunferência de raio a. A idéia é obter uma forma paramétrica para a circunferência. Observe a figura ao lado. Seja P um ponto da circunferência. Se denotarmos por t o ângulo que OP faz com o eixo-x, então o triângulo OPA nos fornece taOAx cos== e asentOBy == , com o ângulo t pertencendo ao intervalo [ ]π2,0 . Portanto temos a parametrização da circunferência como sendo:

( )( )⎩

⎨⎧

==

asenttytatx cos

com [ ]π2,0∈t . Daí ( ) asenttx −=' e ( ) taty cos' = .

donde ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2' ' cos cos .x t y t asent a t a sen t t a+ = − + = + = Daí, o comprimento pedido será

( )( ) ( )( )2 2 22 2 2

0 0 0' ' 2L x t y t dt a dt a dt a

π π ππ= + = = =∫ ∫ ∫ ,

que é um fato conhecido por nós, mas, até então, sem a devida justificativa. 3.3.3 - Curvas na forma polar Suponhamos que seja dada uma curva no plano polar cuja equação seja ( )r f θ= , com [ ],θ α β∈ , com

f sendo uma função de classe 1C em [ ],α β . Podemos encontrar uma expressão para o cálculo do comprimento dessa curva no trecho considerado usando a expressão anterior. Basta ver que essa curva admite uma parametrização bastante curiosa que é aquela que converte coordenadas polares para cartesianas. Assim sendo, temos a seguinte parametrização para a curva:

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124

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

cos cosx r fy rsen f senθ θ θ θθ θ θ θ

⎧ = =⎪⎨ = =⎪⎩

Agora, derivando as funções x e y nós ficamos com:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

' ' cos' ' cos

x f f seny f sen f

θ θ θ θ θθ θ θ θ θ

⎧ = −⎪⎨ = +⎪⎩

Agora utilizamos a fórmula da seção anterior com essa parametrização e obtemos:

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 2 2' ' 'L x y d f f d

β β

α αθ θ θ θ θ θ= + = +∫ ∫

Vejamos agora alguns exemplos. Exemplo 3.3.3.1. Vamos calcular o comprimento de uma circunferência de raio 0a > . Relembramos que não há problemas em considerá-la centrada na origem e que sua equação em coordenadas polares é dada por r a= . Assim, ( )f aθ = e, consequentemente, ( )' 0f θ = . Portanto, usando a fórmula anterior temos que:

( )( ) ( )( )2 2 22 2 2 2

0 0 0' 0 2L f f d a d ad a

π π πθ θ θ θ θ π= + = + = =∫ ∫ ∫ ,

o que é uma nova forma de provarmos um resultado já conhecido. Exemplo 3.3.3.2. Vamos calcular o comprimento da cardióide do exemplo 3.3.2. A equação da cardióide é

1 cosr θ= − . Note que nesse caso ( ) 1 cosf θ θ= − e, portanto, ( )'f senθ θ= . Logo:

( )( ) ( )( ) ( )2 2

0 0 02 ' 2 2 1 cos 2 2 1 cosL f f d d dπ π π

θ θ θ θ θ θ θ= + = − = − =∫ ∫ ∫

2

00 0

1 cos2 2 2 2 4 2 1 cos 81 cos 1 cos

send dπ π πθ θθ θ θ

θ θ− ⎡ ⎤= = = − + =∫ ∫ ⎣ ⎦+ +

.

3.3.4 - Volumes de sólidos de revolução Nesta seção vamos usar a integral definida para calcular o volume de um sólido de revolução, ou seja, um sólido que é obtido pela rotação de uma região do plano cartesiano em torno de uma reta dada, conhecida como eixo de rotação. A situação que se apresenta é a seguinte: seja [ ]: ,f a b R→ uma função contínua. Consideremos a

região do plano delimitada pelo gráfico de f, pelas retas x a= , x b= e pelo eixo-x, conforme nos mostra a figura (1) abaixo. Suponhamos que essa região sofra uma rotação em torno do eixo-x dando origem a um sólido mostrado na figura (2) abaixo

Page 61: Calculo Diferencial e Integral II 1361970429

125

Gostaríamos de encontrar uma expressão que nos permita calcular o volume de tal sólido. Usaremos o chamado método das seções planas. Para isso, vamos dividir o intervalo [ ],a b em n

subintervalos de comprimento b ax

n−

Δ = e escolhamos em cada

um desses subintervalos um ponto *ic . Considere em cada

subintervalo o cilindro de altura xΔ e raio ( )*if c .

O volume de cada um desses cilindros é ( )2*if c xπ Δ e a soma desses volumes dá um valor aproximado para o

volume do sólido dado, ou seja,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2* * * * *1 2 3

1...

n

n ii

V f c x f c x f c x f c x f c xπ π π π π=

≈ Δ + Δ + Δ + + Δ = Δ∑

Essa aproximação será cada vez melhor na medida em que escolhermos mais e mais pontos. Assim, fazendo n →∞ e levando em conta que f é contínua, temos:

( ) ( )2 2*

1lim

bn

in i aV f c x f x dxπ π

→∞ == Δ =∑ ∫ .

Portanto temos podemos enunciar o seguinte resultado:

Seja [ ]: ,f a b R→ uma função contínua. Suponha que a região do plano delimitada pelo gráfico de f, pelas retas x a= , x b= e pelo eixo-x, sofre uma rotação em torno do eixo-x. O volume do sólido obtido é dado por:

( )2b

aV f x dxπ= ∫

Vamos ver alguns exemplos Exemplo 3.3.4.1. Vamos calcular o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelo gráfico da função ( ) 2 4 5f x x x= − + , as retas 1x = , 4x = e o eixo-x, em torno desse último. Veja as figuras abaixo: Nesse caso temos uma aplicação direta da fórmula anterior, ou seja,

( ) ( )4 422 4 3 2

1 1

784 5 8 26 40 2515

V x x dx x x x x dx ππ π= − + = − + − + =∫ ∫ .

Page 62: Calculo Diferencial e Integral II 1361970429

126

Exemplo 3.3.4.2. Vamos calcular o volume de um cone de altura h e raio da base r. Esse cone é obtido pela rotação, em torno do eixo-x, da região

delimitada pelo gráfico de ( ) rf x xh

= , pela reta x h= e pelo eixo-x. Veja

a figura ao lado. Nesse caso usamos diretamente a fórmula acima e obtemos

2 2 2 32 2

2 20 0 0

13 3

hh hr r r xV x dx x dx r h

h h hπ π π π

⎡ ⎤⎛ ⎞= = = =∫ ∫⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦

,

que é outra fórmula que já conhecíamos.

Exemplo 3.3.4.3. Vamos calcular o volume de uma esfera de raio r. Metade da esfera é obtida pela rotação em torno do eixo-x da região delimitada pela circunferência 2 2 2x y r+ = , pelo eixo-y e pelo eixo-x. Veja as figuras abaixo:

A parte de cima da circunferência corresponde à função ( ) 2 2f x r x= − , obtida tirando o valor de y na equação da circunferência. Portanto, o volume da metade da esfera será dado por:

( ) ( )2

2 2 2 2 2 3 3 3 3

0 0 0

1 1 23 3 3

rr rV r x dx r x dx r x x r r rπ π π π π π π⎡ ⎤= − = − = − = − =∫ ∫ ⎢ ⎥⎣ ⎦

,

donde concluímos que o volume da esfera é dado por 3423

V rπ= .

Ampliando o seu Conhecimento

4. - Avaliando o que foi construído

Nesta unidade tivemos a oportunidade de ver como a integral definida pode ser útil no cálculo de comprimentos, áreas e volumes. Obtivemos a justificativa de algumas fórmulas que já eram conhecidas nossas.

Em alguns casos é possível calcularmos áreas de figuras infinitas usando o Teorema fundamental do Cálculo e as idéias de limite no infinito. Por exemplo, a área limitada pelo gráfico da função

( ) 2

1f xx

= , pela reta 1x = e pelo eixo-x possui um valor numérico associado que é 1. Esse tipo de

situação motiva o estudo de um interessante tema que são as integrais impróprias.

Page 63: Calculo Diferencial e Integral II 1361970429

127

No Moodle. . .

Dialogando e Construindo Conhecimento 5. Referências 1. Ávila, G.,CÁLCULO I: FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL, Editora LTC, 7a Edição 2003. 2. Lang, Serge., CÁLCULO , Volume 1, Editora LTC, 1975. 3. Simmons, George, CÁLCULO COM GEOMETRIA ANALÍTICA, Volume 1, McGraw-Hill,1985. 4. Stewart, James, CÁLCULO, Volume 1, Editora Pioneira, 4ª. Edição, 2003.

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