Cálculo Diferencial e Integral T 7005 B - Web viewProf. Walter Martins Notas de aula Calculo...

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Clculo Diferencial e Integral T 7005 B

Prof. Walter Assunto: Centride

Prof. Walter Martins Notas de aula Calculo 2

SALA: 68- C Animais

Clculo Diferencial e Integral 2

Quarta Feira

4a Aula

Aplicaes de Integrais Definidas:

Centride e Volume

Turma: BCT

Prof. Walter Martins

Verso: 2o Semestre de 2010

Aplicaes das Integrais Definidas

A integral definida para clculo do Centride

O problema de determinar o centride de uma regio planar (R) definido como o centro de massa da regio. O centro de massa o ponto pelo qual esta regio R pode ser suspensa sem girar. As coordenadas (

,

y

) do centride so dadas por

-

=

2

1

)]

(

)

(

[

1

x

x

dx

x

x

g

x

f

A

x

-

=

2

1

)]

(

)

(

[

2

1

2

2

x

x

dx

x

g

x

f

A

y

Exemplo: Achar as coordenadas do centride da regio limitada pela curva y2 = 2x e o eixo x, no intervalo [0,3].

x

Soluo: Acha-se a rea

A

6

2

3

3

3

2

2

3

27

2

2

2

3

2

2

2

3

0

2

3

3

0

2

1

3

0

=

=

=

=

=

=

/

/

x

dx

x

dx

x

A

(

)

=

=

-

=

3

0

3

0

2

3

6

5

18

2

0

2

dx

x

dx

x

x

A

x

/

y

A =

3

0

EMBED Equation.3

dx

y

x

2

0

2

2

=

2

1

EMBED Equation.3

3

0

2

dx

x

=

2

1

. 2 .

3

0

2

2

x

=

2

9

2

x

y

4

2

=

Exemplo: Determinar o centride da figura entre as duas curvas

3

x

y

=

e

x

y

=

.

6

(

)

12

5

1

0

3

=

-

=

dx

x

x

A

(

)

5

1

1

0

3

=

-

=

dx

x

x

x

A

x

(

)

28

5

14

2

7

2

1

7

1

2

1

2

1

7

2

2

1

2

1

1

0

7

2

1

0

6

=

-

=

-

=

-

=

-

=

x

x

dx

x

x

A

y

48

,

0

25

12

12

5

5

2

=

=

=

x

y

=

12

5

28

5

=

28

5

12

5

=

28

12

=

7

4

4

3

=

7

3

= 0,43

Exemplo: Determinar o centride de uma semicircunferncia positiva.

Soluo:

A equao da circunferncia e

2

2

2

r

y

x

=

+

, onde

raio

r

=

. Ento,

2

2

x

r

y

-

=

a semicircunferncia.

(

)

4

,

4

-

2

2

r

A

p

=

-

-

=

r

r

dx

x

r

x

A

x

2

2

x

du

dx

xdx

du

x

r

u

2

2

2

2

-

=

-

=

-

=

r

r

r

r

r

r

r

r

u

u

du

u

x

du

u

x

A

x

-

-

-

-

-

=

-

=

-

=

-

=

3

3

2

2

1

2

1

2

.

.

2

/

3

2

/

3

2

/

1

2

/

1

(

)

(

)

(

)

0

1

4

2

2

3

2

2

3

2

2

2

3

2

2

=

-

-

-

-

=

-

-

=

-

r

r

r

r

r

x

r

x

r

r

p

p

,

como j era esperado.

(

)

3

2

3

3

3

2

1

3

2

1

2

1

3

3

3

3

3

3

3

3

2

2

2

r

r

r

r

r

r

r

x

x

r

dx

x

r

A

y

r

r

r

r

=

-

=

-

+

-

=

-

=

-

=

-

-

p

p

r

r

r

y

3

4

3

2

2

3

2

=

=

Exerccio: Calcule o centride de uma semicircunferncia. A equao da circunferncia e x2 + y2 = r2 , onde r = raio, r = 2. Ento y =

2

4

x

-

a semicircunferncia.

6

p

=

p

=

p

=

2

2

4

2

2

r

A

-

-

=

2

2

2

4

dx

x

x

A

x

-

=

-

=

-

=

x

du

dx

x

u

xdx

du

2

4

2

2

2

2

2

/

3

2

2

2

2

2

/

3

2

2

2

/

1

2

/

1

3

3

2

2

1

2

1

2

.

.

-

-

-

-

-

=

-

=

-

=

-

=

u

u

du

u

x

du

u

x

(

)

0

4

2

1

2

2

3

2

=

-

-

=

-

x

(como j era esperado)

y

A =

2

1

EMBED Equation.3

(

)

-

-

2

2

2

4

dx

x

=

2

1

2

2

3

3

4

-

-

x

x

=

2

1

+

-

-

-

3

8

8

3

8

8

=

3

16

y

A =

3

16

(

y

=

A

3

16

=

A

3

16

=

p

6

16

= 0,8488

Exerccio: Determinar o centride da rea delimitada pelas parbolas

x

y

20

2

=

,

0

16

4

2

=

-

+

y

x

e o eixo

X

.

4

4

4

4

16

4

16

0

16

4

2

2

2

2

x

x

x

y

y

x

-

=

-

=

-

=

=

-

+

4

2

y

x

=

-

+

-

=

-

=

-

=

-

-

12

64

16

12

64

16

12

4

4

4

4

4

3

4

4

2

x

x

dx

x

A

3

64

3

32

96

3

32

32

=

-

=

-

=

A

4

4

4

2

4

4

3

4

4

2

16

2

64

3

4

4

64

3

4

4

64

3

-

-

-

-

=

-

=

-

=

x

x

dx

x

x

dx

x

x

x

(

)

(

)

(