Cálculo Diferencial e Integral- Unidade_1,2

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_________________________________________________________ Este trabalho foi elaborado por Professores Fernando Guerra e Inder Jeet Taneja para os cursos de Ciências Contábeis e Economia. 1 Unidades 1 e 2 Conjuntos e Relações 1.1 Noção intuitiva de conjuntos A noção de conjuntos, fundamental na Matemática de nossos dias, não é suscetível de definição precisa a partir de noções mais simples, ou seja, é uma noção primitiva, introduzida pelo matemático russo GEORG CANTOR (1845 – 1918). Intuitivamente, sob a designação de conjunto entendemos toda coleção bem definida de objetos (chamados os elementos do conjunto), não importa de que natureza, considerados globalmente. Segundo GEORG CANTOR: “Chama-se conjunto o grupamento num todo de objetos, bem definidos e discerníveis, de nossa percepção ou de nosso entendimento, chamados os elementos do conjunto”. Em Matemática definem-se e estudam-se conjuntos de números, de pontos, de retas, de curvas, de funções, etc. Exemplos de conjuntos: O conjunto dos livros da área de contabilidade de uma biblioteca, O conjunto dos pontos de um plano, O conjunto das letras da palavra “Contabilidade”, O conjunto dos conselhos regionais de contabilidade (CRC) existentes no Brasil, O conjunto dos escritórios de contabilidade da região sul, O conjunto dos professores, alunos e servidores técnicos administrativo do Departamento de Ciências Contábil da UFSC. Notação dos conjuntos Normalmente adotamos, na teoria dos conjuntos, a seguinte notação: a) Os conjuntos são indicados por letras maiúsculas: , , ,..., , , A BC XYZ ; b) Os elementos são indicados por letras minúsculas: , , ,..., , , abc xyz . O conjunto A cujos elementos são , , ,... abc representa-se pela notação: { } , , ,... A abc = que se lê: A é o conjunto cujos elementos são , , ,... abc . Por exemplo, (i) Conjunto dos nomes dos dias da semana que começam pela letra s: { } , , segunda sexta sábado

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Professores Fernando Guerra e Inder Jeet Taneja para os cursos de Ciências Contábeis e Economia.

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Unidades 1 e 2 Conjuntos e Relações

1.1 Noção intuitiva de conjuntos A noção de conjuntos, fundamental na Matemática de nossos dias, não é suscetível de definição precisa a partir de noções mais simples, ou seja, é uma noção primitiva, introduzida pelo matemático russo GEORG CANTOR (1845 – 1918).

Intuitivamente, sob a designação de conjunto entendemos toda coleção bem definida de objetos (chamados os elementos do conjunto), não importa de que natureza, considerados globalmente. Segundo GEORG CANTOR: “Chama-se conjunto o grupamento num todo de objetos, bem definidos e discerníveis, de nossa percepção ou de nosso entendimento, chamados os elementos do conjunto”. Em Matemática definem-se e estudam-se conjuntos de números, de pontos, de retas, de curvas, de funções, etc. Exemplos de conjuntos:

• O conjunto dos livros da área de contabilidade de uma biblioteca, • O conjunto dos pontos de um plano, • O conjunto das letras da palavra “Contabilidade”, • O conjunto dos conselhos regionais de contabilidade (CRC) existentes no

Brasil, • O conjunto dos escritórios de contabilidade da região sul, • O conjunto dos professores, alunos e servidores técnicos administrativo do

Departamento de Ciências Contábil da UFSC. Notação dos conjuntos

Normalmente adotamos, na teoria dos conjuntos, a seguinte notação: a) Os conjuntos são indicados por letras maiúsculas: , , ,..., , ,A B C X Y Z ; b) Os elementos são indicados por letras minúsculas: , , ,..., , ,a b c x y z .

O conjunto A cujos elementos são , , ,...a b c representa-se pela notação:

{ }, , ,...A a b c= que se lê: “ A é o conjunto cujos elementos são , , ,...a b c ”. Por exemplo, (i) Conjunto dos nomes dos dias da semana que começam pela letra s:

{ }, ,segunda sexta sábado

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(ii) Conjunto das disciplinas da segunda fase do curso de ciências contábeis da

UFSC, conforme novo currículo: { }, , ,matemática financeira direito comercial estatística contabilidade II .

(iii) Conjunto dos nomes dos cursos do Centro Sócio Econômico da UFSC:

{ }, , ,admistração ciências contábeis ciências econômicas serviço social . Conjuntos numéricos fundamentais

a) Conjunto dos naturais

Notação: { }0,1, 2,...= .

b) Conjunto dos inteiros Notação: { }..., 3, 2, 1,0,1, 2,3,...= − − − .

c) Conjunto dos racionais

Notação: , 0p p q e qq

⎧ ⎫= ∈ ≠⎨ ⎬⎩ ⎭

.

d) Conjunto dos irracionais

Notação: Ι .

e) Conjunto dos reais. Notação: , onde = Ι∪ .

Relação de pertinência

Para indicar que um elemento x pertence ou não a um conjunto A , escreve-se simbolicamente: x A∈ e x A∉ e que se lê: x pertence a A e x não pertence a A . Esta notação é devida ao matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932). Determinação de um conjunto

Um conjunto é bem determinado quando se sabe quais são os elementos que o constituem. Um conjunto pode ser definido por um dos seguintes modos:

a) Por extensão – Consiste em enumerar ou listar os seus elementos, colocados entre

chaves. Por exemplo, { }, , , ,A a e i o u= e { }1,3,5,7B = .

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b) Por compreensão – Consiste em mencionar uma propriedade característica de seus elementos. Por exemplo, { }A x x é positivo= ∈ .

c) Diagrama de Euler-Venn – A fim de facilitar o entendimento de certas definições

e demonstrações da Teoria dos Conjuntos, é muito útil a representação de um conjunto por um recinto plano delimitado por uma linha fechada qualquer. Uma tal representação recebe o nome de diagrama de Eule-Venn.

Exemplo 1. A figura abaixo é o diagrama de Euler-Venn dos conjuntos:

{ } { }1, 2,3, 4 1, 2,5,7A e B= = .

Figura 1.1 Conjuntos: Vazio, unitário, finito e infinito

a) Conjunto vazio. É todo conjunto que não possui nenhum elemento.

Notação: { } ou φ . Exemplo 2. (i) { }homem e é mulherA x x é x φ= = .

(ii) { }9 10B x x φ= ∈ < < = .

b) Conjunto unitário. É todo conjunto constituído de um único elemento. Exemplo 3. 1) O conjunto das raízes da equação 2 1 7x + = : Resposta: { }3 .

2) { } { }3 5 4A x x= ∈ < < = .

Observação. Uma correspondência entre dois conjuntos A e B é dita biunívoca se cada elemento do conjunto A está associado a um só elemento do conjunto B e vice-versa.

Exemplo 4.

{ }

{ }

, , ,

1, 2, 3, 4

A x t y z

B

=

=

3 4 1

2 57

A B

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c) Conjunto finito. Um conjunto A é dito finito quando existe n∈ tal pode-se estabelecer uma correspondência biunívoca entre os elementos do conjunto A e os elementos do conjunto { }1, 2,3,...,B n= .

Exemplo 5. O conjunto { }0, 2, 4,6A = é finito, pois,

{ }

{ }

0, 2, 4, 6

1, 2, 3, 4 .

A

B

=

=

d) Conjunto infinito. É todo conjunto que contém um número infinito de

elementos. Por exemplo, { }0, 2, 4,6,8,...M = é um conjunto infinito.

e) Conjunto universo. É o conjunto que contém todos os elementos utilizados num determinado assunto.

Notação: U

Exemplo 6. Seja U = . Ao procurarmos as raízes reais de algumas equações temos:

Equação raíz real

2 0x − = 2 2 1 0x + = Não tem raiz

real 2 2 3 0x x+ − = 1 e 3−

Igualdade entre dois conjuntos

O conjunto A é igual ao conjunto B , se e somente se A está contido em B e B está contido em A . Simbolicamente:

A B A B e B A= ⇔ ⊂ ⊂ . Família de conjuntos ou coleção de conjuntos

É um conjunto cujos elementos também são conjuntos, por exemplo, o conjunto

{ } { } { }{ }3, 4 , 1, 2 , 1D = − − , Observe que { }3, 4 D− ∈ , { }1, 2 D− ∈ e { }1 D∈ .

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Relação de inclusão Dizemos que um conjunto A está contido em um conjunto B , se, e somente se, todo elemento de A é também elemento de B . Notação: A B ou B A⊂ ⊃ . Simbolicamente: A B x A x B⊂ ⇔∀ ∈ ⇒ ∈ . Graficamente:

Figura 1.2

Observação: (i) ,A Aφ∀ ⊂ . (ii) Quando A B⊂ , dizemos que A é um subconjunto de B . Conjunto das partes de um conjunto

É o conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos de A . Notação: ( )P A . Exemplo 7. Seja o conjunto { }2,3, 4A = , logo

{ } { } { } { } { } { }{ }( ) , 2 , 3 , 4 , 2,3 , 2, 4 , 3, 4 ,P A Aφ= . O número de elementos de ( )P A é 8. Observação. Todo conjunto finito A com n elementos tem 2n subconjuntos.

A

B

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1.2 Operações com conjuntos. Intersecção de conjuntos

Dados dois conjunto A e B , chamamos de intersecção de A com B , e anotamos por A B∩ , ao conjunto constituído por todos os elementos que pertencem simultaneamente a A e a B . Simbolicamente:

{ }A B x x A e x B= ∈ ∈∩ . Exemplo 8. Sejam os conjuntos { }2,3,6,8A = , { } { }2 7 3,4,5,6B x x= ∈ < < = e

{ }5C = . Assim,

{ }3,6A B =∩ , A C φ=∩ e { }5B C =∩ . Observação: Quando A B φ=∩ , dizemos que A e B são disjuntos.

Propriedades

Dados os conjuntos A e B , temos as seguintes propriedades da intersecção.

P1 - A φ φ=∩ . P2 - A U A=∩ . P3 - A B B A=∩ ∩ . (comutativa) P4 - ( ) ( )A B C A B C=∩ ∩ ∩ ∩ . (associativa) P5 - A B A B A⊂ ⇔ =∩ .

União de conjuntos

Dados dois conjunto A e B , chamamos de união ou reunião de A com B , e anotamos por A B∪ , ao conjunto constituído por todos os elementos que pertencem a A ou a B . Simbolicamente:

{ }A B x x A ou x B= ∈ ∈∪ . Exemplo 9. Sejam os conjuntos

{ } { }4 0,1,2,3,4A x x= ∈ ≤ = ,

{ } { }2 7 2,3,4,5,6B x x= ∈ ≤ < = e

{ }10,12C = .

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Assim,

{ } { }0,1,2,3,4,5,6 6A B x x= = ∈ ≤∪ .

{ }0,1, 2,3, 4,10,12A C =∪ .

{ }2,3, 4,5,6,10,12B C =∪ . Propriedades da união

Dados os conjuntos ,A B e C , temos as seguintes propriedades da união. P1 - A Aφ =∪ . P2 - A U U=∪ . P3 - A B B A=∪ ∪ . (comutativa) P4 - ( ) ( )A B C A B C=∪ ∪ ∪ ∪ . (associativa) P5 - A A B ou B A B⊂ ⊂∪ ∪ . P6 - A B A B B⊂ ⇔ =∪ . P7 - ( ) ( ) ( )A B C A B A C=∪ ∩ ∪ ∩ ∪ . P8 ( ) ( ) ( )A B C A B A C=∩ ∪ ∩ ∪ ∩ . Observação. O número de elementos de ( ), ,A B n A B∪ ∪ é dado por

( ) ( ) ( ) ( )n A B n A n B n A B= + −∪ ∩ . Conjunto complementar

Seja A U⊂ . O conjunto complementar de A em relação U , é o conjunto dos elementos de U que não pertencem a A . Notação:

( ) ', ( ), CUC A C A A e A .

Simbolicamente: { }CA x x U e x A= ∈ ∉ .

Exemplo 10. Sejam os conjuntos

{ } { }7 0,1,2,3,4,5,6,7U x x= ∈ ≤ = ;

{ }0,1, 2,3A = e

{ }2, 4,6,7B = . Assim.

{ }4,5,6,7CA = e { }0,1,3,5CB = .

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Propriedades de complementação Dados os conjuntos A e B , temos as seguintes propriedades: P1 - ( )C Uφ = .

P2 - ( )CU φ= .

P3 - ( )( )CCA A= .

P4 - CA A φ=∩ . P5 - CA A U=∪ . P6 - ( )C C CA B A B=∩ ∪ .

P7 - ( )C C CA B A B=∪ ∩ . As propriedades P6 e P7 são conhecidas como Leis de De Morgam. Diferença de conjuntos

Dados dois conjuntos A e B , chamamos de diferença entre A e B , e anotamos por A B− , ao conjunto constituído por todos os elementos que pertencem a A e que não pertence a B . Simbolicamente:

{ }A B x x A e x B− = ∈ ∉ . Usando o diagrama de Euler-Venn, vem

Figura 1.3 Exemplo 11. (i) Sejam os conjuntos { }1, 2,3, 4,5,6A = e { }4,5,6,7,8B = , assim

{ }1, 2,3A B− = e { }7,8B A− = . (ii) { } { } { }, , , ,a b c b c d a− = . (iii) { } { } { }, , , , , ,d e f a b c d e f− = .

A B−

A B

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Propriedades da diferença Dados os conjuntos A e B , temos as seguintes propriedades: P1 - A B A− ⊂ e B A B− ⊂ . P2 - CA B A B− = ∩ . P3 - C CA B B A− = − . P4 - ( ) ( )CA B C A B C− =∪ ∩ ∪ . Observação: Dados os conjuntos A e B temos que

( ) ( ) ( )n A B n A n A B− = − ∩ . 1.3 Reta numérica Uma maneira prática de representar os números reais é através da reta real. Observe que essa representação começa com a escolha de um ponto arbitrário, denominado origem ou ponto zero, e um outro ponto arbitrário a sua direita, o ponto 1. A distância entre esses pontos (distância unitária) serve como escala por meio da qual é possível associar pontos da reta a números inteiros positivos ou negativos, como ilustrado na figura 1.4, e também a números racionais. Todos os números positivos estão à direta do zero, no “sentido positivo”, e todos os números negativos estão à sua esquerda.

Figura 1

Figura 1.4 Intervalos

São particularmente importantes alguns subconjuntos de , denominados intervalos. Os intervalos podem ser limitados ou ilimitados.

o Intervalos limitados (i) Fechado [ ] { },a b x a x b= ∈ ≤ ≤ . (ii) Aberto ( ) ] [ { }, ,a b a b x a x b= = ∈ < < .

-3 -2 -1 0 1 2 3

3 2

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(iii) Semi-abertos ( ] ] ] { }, , a b a b x a x b= = ∈ < ≤ ;

[ ) [ [ { }, ,a b a b x a x b= = ∈ ≤ < .

o Intervalos ilimitados (i) Fechados [ ) [ [ { }, ,a a x x a+ ∞ = +∞ = ∈ ≥ ;

( ] ] ] { } , ,b b x x b− ∞ = −∞ = ∈ ≤ .

(ii) Abertos ( ) ] [ { }, ,a a x x a+ ∞ = +∞ = ∈ > ;

( ) ] [ { } , ,b b x x b− ∞ = −∞ = ∈ < .

(iii) Aberto e fechado ] [( , ) ,−∞ +∞ = −∞ +∞ = .

Vamos verificar se você está acompanhando tudo até aqui? Procure, então, atender aos exercícios propostos.

Exercícios propostos - 1 1) Observe as seguintes definições:

(a) Triângulo é todo polígono de três lados; vamos chamar de T o conjunto dos triângulos.

(b) Triângulo isósceles é todo triângulo que possui pelo menos dois lados de mesma medida; vamos chamar de I o conjunto dos triângulos isósceles.

(c) Triângulo eqüilátero é todo triângulo que possui os três lados iguais; vamos chamar de E o conjunto dos triângulos eqüiláteros.

(d) Triângulo retângulo é todo triângulo que possui um ângulo reto 90o ; vamos chamar de R o conjunto dos triângulos retângulos.

Complete então com ⊂ ou ⊄ :

(a) T ___ R (b) E ____ I (c) R _____ I (d) I ____ E (e) E ____ T.

2) Observe as seguintes definições:

• Quadrilátero é todo polígono de 4 lados; vamos chamar de U o conjunto dos quadriláteros.

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• Quadrado é todo quadrilátero que possui os 4 lados iguais e também os 4 ângulos iguais; vamos chamar de Q o conjunto dos quadrados.

• Retângulo é todo quadrilátero que possui os 4 ângulos retos; vamos chamar de R o conjunto dos retângulos.

• Losango é todo quadrilátero que possui 4 lados congruentes; vamos chamar de L o conjunto dos losangos.

• Trapézio é todo quadrilátero que possui pelo menos um par de lados paralelos; vamos chamar de T o conjunto dos trapézios.

• Paralelogramo é todo quadrilátero que possui os lados opostos paralelos; vamos chamar de P o conjunto dos paralelogramos.

Complete então com ⊂ ou ⊄ : (a) R ___ L (b) P ____ R (c) L ____ U (d) U ____ T (e) T ____ Q (f) Q ___ P.

3) Sejam os seguintes conjuntos: U dos quadriláteros; Q dos quadrados: R dos

retângulos; L dos losangos; T dos trapézios e P dos paralelogramos. Determinar os seguintes conjuntos:

a) Q ∪ T; b) L ∪ Q; c) P ∪ U ;

d) R ∩ L. 4) Dados dois conjuntos A e B , e sabendo-se que ( ) 23n A = , ( ) 37n B = e

( ) 8n A B =∩ , determine ( )n A B∪ . 5) Dois clubes A e B têm juntos 141 sócios. O clube B possui 72 sócios e os clubes

possuem em comum 39 sócios. Determinar o número de sócios de A . 6) Sendo { }, ,A x y z= , { }, ,B x w v= e { }, ,C y u t= , determinar os seguintes conjuntos:

a) A B− ; b) B A− ; c) A C− ; d) C A− ; e) B C− ; f) C B− .

7) Dados os conjuntos A e B , ( ) 18n A = , ( ) 21n B = e ( ) 7n A B =∩ . Determinar

( ) ( )n A B e n B A− − .

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8) Sejam os conjuntos: { }é inteiro positivoA x x= , { }é par positivoB x x= e

{ }é ímpar positivoC x x= . Determinar os conjuntos. a) B C∪ ; b) B C∩ ; c) B C− ; d) C B− ; e) ( )AC B ; f) ( )AC A .

9) Dados os intervalos [ )1, 4A = e ( ]2,8B = , determinar os seguintes conjuntos:

a) A B∪ ; b) A B∩ ; c) A B− ; d) B A− ; e) ( )C A .

10) Sejam os conjuntos { }1, 2,3, 4A = e { }2, 4,6,8B = . Determine o conjunto

( ) ( )A B A B−∪ ∩ . 11) Sejam os conjuntos { }1, 2,...,9U = , { }1, 2,3, 4A = , { }2, 4,6,8B = e { }3, 4,5,6C = .

Determinar: a) CA ; b) ( )CA C∩ ; c) B C− .

12) Sejam { }, , , ,U a b c d e= , { }, ,A a b d= e { }, ,B b d e= , determinar:

a) CA B∩ ; b) C CA B∩ ; c) C CB A− .

13) Em cada caso, escreva o conjunto resultante com a simbologia de intervalo.

a) { } { }1 3 2x x x x≥ − − < <∩ .

b) { } { }2 0x x x x< ≥∪ .

c) { } { }3 1 2x x x x− < ≤ >∩ .

d) { } { }2 3 1x x x x− < ≤ <∪ .

e) { } { }3 0 2 3x x x x− ≤ ≤ − < <∩ .

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Respostas: 1) a) ⊄ b) ⊂ c) ⊄ d) ⊄ e) ⊂ . 2) a) ⊄ b) ⊄ c) ⊂ d) ⊄ e) ⊄ f) ⊂ . 3) a) T b) L c) U d) Q. 4) 52. 5) 108. 6) a) { },y z b) { },w v c) { },x z d) { },u t e) { }, ,x w v f) { }, ,y u t . 7) ( ) ( )11 14n A B e n B A− = − = . 8) a) A b) φ c) B d) C e) C f) B . 9) a) [ ]1,8 b) ( )2, 4 c) [ ]1, 2 d) [ ]4̀,8 e) { }1 4x x ou x∈ < ≥ .

10) { }1,3,6,8 . 11) a) { }5,6,7,8,9 b) { }1, 2,5,6,7,8,9 c) { }2,8 . 12) a) { }e b) { }c c) { }a . 13) a) [ )1, 2− b) ( ),−∞ +∞ = c) φ d) ( ],3−∞ e) ( ]2,0− .

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1.4 Plano Cartesiano ou sistema de coordenadas cartesianas O plano cartesiano ou sistema de coordenadas cartesianas é constituído de duas retas perpendiculares no plano uma é escolhida como sendo horizontal e outra como vertical. Essas retas interceptam num ponto 0 , chamado de origem. A reta horizontal é chamada eixo x e, a reta vertical é chamada eixo y . Uma escala numérica é colocada ao longo dos eixos x e y . Um ponto no plano pode ser representado de modo único no sistema de coordenadas por um par ordenado ( ),x y , onde x é o primeiro número e y é o segundo.

Figura 1.5: O sistema de coordenadas cartesianas. O primeiro número é representado no eixo x e o segundo no eixo y . No par ordenado ( ),x y , x é chamado de abscissa ou coordenada x , y é chamado de ordenada ou coordenada de y , x e y conjuntamente são chamados de coordenadas do ponto P . O leitor está famializado com o plano cartesiano, conforme figura acima.

Figura 1.6: Um par ordenado ( ),x y .

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A figura abaixo, mostra alguns pontos no plano cartesiano.

Figura 1.7: Alguns pontos do plano cartesiano.

Observação. De um modo geral, se x e y são números reais distintos então ( ) ( ), ,x y y x≠ e ( ) { }, ,x y x y≠ . De tudo que vimos acima nos motiva a seguinte definição. Definição: Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Denominamos produto cartesiano de A por B o conjunto A B× cujos elementos são todos os pares ordenados ( ),x y em que o primeiro elemento A e o segundo pertence a B . Simbolicamente:

( ){ },A B x y x A e y B× = ∈ ∈ . O símbolo A B× lê-se: “ A cartesiano B ”. Exemplo 12. Dados os conjuntos { }1,3A = e { }2, 4B = , temos

( ) ( ) ( ) ( ){ }1, 2 , 1, 4 , 3, 2 , 3, 4A B× = . A representação gráfica de A B× no plano cartesiano é mostrada na figura abaixo

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Figura 1.8 Exemplo 13. Dados os conjuntos { }1 5A x x= ∈ ≤ ≤ e { }2 4B x y= ∈ ≤ ≤ temos

( ){ },A B x y x A e y B× = ∈ ∈ e a representação gráfica de A B× é representado pelo conjunto dos pontos de um retângulo conforme figura 1.9. Note que ( ){ },B A y x y B e x A× = ∈ ∈ é representado por um retângulo diferente do anterior, veja figura 1.10. Figura 1.9

0 1 3

2

4

x

y

( )1, 4•

( )1, 2• ( )3,2•

( )3, 4•

0 1 5

2

4

x

y

A B×

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Figura 1.10

Propriedades do produto cartesiano Dados os conjuntos ,A B e C , temos as seguintes propriedades do produto cartesiano.

P1 - A relação A B φ× = é equivalente a A φ= ou B φ= . P2 - A relação A B B A× = × é equivalente a A φ= ou B φ= ou A B= . P3 - ( ) ( ) ( )A B C A B A C× = × ×∩ ∩ e ( ) ( ) ( )A B C A C B C× = × ×∩ ∩ . P4 - ( ) ( ) ( )A B C A B A C× = × ×∪ ∪ e ( ) ( ) ( )A B C A C B C× = × ×∪ ∪ . P5 - ( ) ( ) ( )A B C A B A C× − = × − × e ( ) ( ) ( )A B C A C B C− × = × − × .

Observação. Se An é o número de elementos do conjunto A , Bn é o número de elementos do conjunto B então o número de elementos de A B× é dado por A Bn n× , ou seja, ( ) A Bn A B n n× = × .

1.4 Relação Consideremos os conjuntos { }1, 2,3, 4A = e { }1, 2,3, 4,5,6,7,8B = . Sabemos que o

produto cartesiano de A por B é o conjunto ( ){ },A B x y x A e y B× = ∈ ∈ , ou seja,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,1 , 1, 2 ,..., 2,1 , 2, 4 ,..., 3,1 ,..., 3,6 , 4,1 ,..., 4,8A B× = . Vamos considerar agora o conjunto dos pares ( ),x y de tal que x é o dobro de y , e temos o seguinte conjunto

0 2 4

1

5

x

y

B A×

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( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ){ }, 2 1,2 , 2,4 , 3,6 , 4,8R x y A B y x= ∈ × = = que é chamado uma relação entre os elementos de A e B , ou, uma relação R de A em B . O conjunto R está contido em A B× e é formado pelos pares ( ),x y em que o elemento x A∈ é “associado” ao elemento y B∈ mediante certo critério de “relacionamento”. Isto nos motiva a seguinte definição. Definição. Dados dois conjuntos A e B , chama-se relação de A em B todo subconjunto R de A B× . O conjunto A é chamado conjunto de partida da relação R e o conjunto B é chamado conjunto de chegada da relação R . Quando o par ordenado ( ),x y pertence à relação R , anotamos por x R y , que se lê “ x erre y ”, simbolicamente, vem ( ),x y R x R y∈ ⇔ . Exemplo 14. Sejam os conjuntos { }1, 2,5,7A = e { }0, 2, 4,6,8B = . Escreva a relação

( ){ },R x y A B x y= ∈ × > de A em B . Resolução: Os elementos de R são todos os pares ordenados de A B× nos quais o primeiro elemento é maior que o segundo, ou seja, são todos pares formados pela “associação” de cada elemento x A∈ com cada elemento y B∈ tal que x y> . Portanto, a relação pedida é

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,0 , 2,0 , 5,0 , 5, 2 5, 4 , 7,0 , 7, 2 , 7,4 , 7,6R = . Exemplo 15. Sejam os conjuntos { }2, 1,0,1, 2A = − − e { }0,1, 2,3, 4,5B = . Determine o

número de elemento de A B× e escreva a relação ( ){ }2 2,R x y A B x y= ∈ × = . Resolução: Como o número de elementos de A é 5 e o número de elementos de B é 6, logo o número de elementos de A B× é 5 6 30× = elementos. Agora, os elementos de R são todos pares ordenados de A B× no qual o quadrado do primeiro elemento é igual ao quadrado do segundo, ou seja,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }2, 2 , 1,1 , 0,0 , 1,1 , 2, 2R = − − . Exemplo 16. Sejam os conjuntos { }6,8,10,12,14A = e ( ){ }, 4R x y A A y x= ∈ × = + . Escreva a relação R acima.

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Resolução: Os elementos de R são todos pares ordenados de A A× no qual o segundo elemento é quatro unidades maior que o primeiro, portanto, a relação pedida é

( ) ( ) ( ){ }6,10 , 8,12 , 10,14R = . Exemplo 17. Dados os conjuntos { }0, 4,9,16A = e { }1, 2,3, 4B = . Escreva a relação R

definida por ( ){ },R x y A B y x= ∈ × = + .

Resolução: Os elementos de R são todos pares ordenados de A B× no qual o segundo elemento é a raiz quadrada positiva do primeiro, portanto, a relação pedida é

( ) ( ) ( ){ }4, 2 , 9,3 , 16, 4R = .

Domínio e imagem de uma relação

Definição: Seja R uma relação de A em B . Chama-se domínio de R , anotamos por ( )D R , o conjunto de todos os primeiros elementos dos pares ordenados pertencentes a R .

Chama-se imagem de R , anotamos por ( )Im R , o conjunto de todos os segundos elementos dos pares ordenados pertencentes a R . Exemplo 18. Dados os conjuntos { }3, 4,7,8A = e { }4,5,6,8, 20, 21, 23B = . Determine

( )D R e ( )Im R onde ( ){ }, é múltiplo de R x y A B y x= ∈ × . Resolução: Você escreve os elementos da relação R que são todos pares ordenados de A B× no qual o segundo elemento é múltiplo do primeiro, assim

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }3,6 , 3, 21 , 4, 4 , 4,8 , 4, 20 , 7, 21R = . Agora pela definição acima, vem

( ) { }3, 4,7D R = e ( ) { }Im 4,6,8, 20, 21R = . Exemplo 19. Dados os conjuntos { }1, 2,3A = e { }2,3B = . Determine ( )D R e ( )Im R para

a relação ( ){ }, 4R x y A B x y= ∈ × + > . Resolução: Calculando inicialmente A B× você tem

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1, 2 , 1,3 , 2, 2 , 2,3 , 3, 2 , 3,3A B× = .

Assim, ( ) ( ) ( ){ }2,3 , 3, 2 , 3,3R = .

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Portanto,

( ) { }2,3D R = e ( ) { }Im 2,3R = . Exemplo 20. Seja o conjunto { }0 50A x x= ∈ ≤ ≤ . Determinar o ( )D R e ( )Im R onde

( ){ }2 2,R x y A A A y x= ∈ × = = . Resolução: Calculando inicialmente 2A A A× = você tem

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){( ) ( ) ( ) ( ) ( )}0,0 ,..., 0,50 , 1,0 ,..., 1,50 , 3,0 ,...

3,9 ,..., 3,50 ,..., 7,0 ,..., 7,49 , 7,50

A A× =.

Agora, você escreve os elementos da relação R que são todos pares ordenados de A A× no qual o segundo elemento é o quadrado do primeiro, assim

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }0,0 , 1,1 , 2, 4 , 3,9 , 4,16 , 5, 25 , 6,36 , 7, 49R = . Agora pela definição acima, vem

( ) { }0,1, 2,3, 4,5,6,7D R = e

( ) { }Im 0,1, 4,9,16, 25,36, 49R = .

Relação inversa Definição: Dada uma relação R de A em B , consideremos o conjunto

( ) ( ){ }1 , ,R y x B A x y R− = ∈ × ∈ .

Como 1R− é subconjunto de B A× , então 1R− é uma relação de B em A à qual definimos por relação inversa de R . Dessa definição decorre que 1R− é o conjunto dos pares ordenados de R invertendo-se a ordem dos termos de cada par. Observação: O par ( ),x y R∈ , se e somente se ( ) 1,y x R−∈ . Exemplo 21. Dados os conjuntos { }2,3, 4,5A = e { }1,3,5,7B = e a relação R definida por

( ){ },R x y A B x y= ∈ × < . Determine: (i) ( ) ( ), ImR D R e R .

(ii) ( ) ( )1 1 1, ImR D R e R− − − .

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Resolução: Você calcula inicialmente A B× , assim

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }2,1 , 2,3 ,..., 2,7 , 3,1 , 3,3 ,..., 4,1 ,..., 4,7 , 5,1 ,..., 5,7A B× = e

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1, 2 , 3, 2 ,..., 7, 2 , 1,3 , 3,3 ,..., 1, 4 ,..., 7, 4 , 1,5 ,..., 7,5B A× = . Agora, para responder a letra (i), os elementos da relação R são todos pares ordenados de A B× no qual o primeiro elemento é menor que o segundo, assim

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }2,3 , 2,5 , 2,7 , 3,5 , 3,7 , 5,7R = . Logo,

( ) { }2,3,5D R = e ( ) { }Im 3,5,7R = . Para responder a letra (ii), vem

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 3, 2 , 5, 2 , 7, 2 , 5,3 , 7,3 , 7,5R− = ;

( ) { } ( )1 3,5,7 ImD R R− = = ; e

( ) { } ( )1Im 2,3,5R D R− = = . Exemplo 22. Sejam os conjuntos { }0,1, 2,5A = e { }2, 1,0,1, 2B = − − e a relação R definida por

( ){ }, 1R x y A B y x= ∈ × = + − . Determine: (i) ( ) ( ), ImR D R e R .

(ii) ( ) ( )1 1 1, ImR D R e R− − − . Resolução: (i) Para cada elemento x A∈ você associa o elemento y B∈ , tal que

1y x= + − , ou seja, para 0x = vem 0 1 1y = + − = + − e ( )0, 1 R+ − ∉ ;

para 1x = vem 1 1 0 0y = + − = + = e ( )1,0 R∈ ;

para 2x = vem 2 1 1 1y = + − = + = e ( )2,1 R∈ ;

para 5x = vem 5 1 4 2y = + − = + = e ( )5, 2 R∈ . Assim, para responder a letra a, vem

( ) ( ) ( ){ }1,0 , 2,1 , 5, 2R = ,

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( ) { }1, 2,5D R = e

( ) { }Im 0,1, 2R = . Agora, para responder (ii), você tem

( ) ( ) ( ){ }1 0,1 , 1, 2 , 2,5R− = ,

( ) { } ( )1 0,1,2 ImD R R− = = e

( ) { } ( )1Im 1,2,5R D R− = = . Exemplo 23. Sejam { }1 5A x x= ∈ ≤ ≤ e { }2 10B y y= ∈ ≤ ≤ e a relação R definida

por ( ){ }, 2R x y A B y x= ∈ × = . Representar, graficamente, no plano cartesiano R e 1R− . Resolução: Você tem o gráfico de que é o retângulo da figura 1.11 abaixo. Figura 1.11 O gráfico de 1R− é o retângulo da figura 1.12 abaixo

0 1 5

2

10

x

y

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Figura 1.12 Propriedades da relação inversa

É fácil verificar as seguintes propriedades.

P1 - ( ) ( )1 ImD R R− = .

P2 - ( ) ( )1Im R D R− = .

P3 - ( ) 11R R−− = .

Vamos verificar se você está acompanhando tudo até aqui? Procure, então, atender aos exercícios propostos.

Exercícios propostos – 2 1. Dados os conjuntos { }1,3,5,7A = e { }1,5B = . Determinar:

a) A B∩ , b) A B− , c) ( ) ( )A B A B× −∩ .

2. O produto 2A A A× = é formado por 16 pares ordenados. Dois desses pares são

( )0,5 e ( )2,3 . Determinar os outros 14 pares. 3. Dados os conjuntos: { },A a b= , { }2,3B = e { }3, 4C = . Determinar:

a) ( )A B C× ∪ , b) ( )A B C× ∩ , c) ( )A B C× − ,

0 2 10

1

5

x

y

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d) ( ) ( )A B A C× ×∪ , e) ( ) ( )A B A C× ×∩ .

4. Calcular o produto cartesiano

( ) ( ){ } ( ) ( ){ }1 3 0 2 3 0x x x x x x∈ − ⋅ − = × ∈ − ⋅ − = . 5. Calcular o produto { } { } { }1, 2 2,3 4,5× × . 6. Dado o conjunto { }1,0,1, 2,3, 4A = − e a relação R definida por

( ){ }, 3R x y A A x y= ∈ × + = . Determinar: a) R , b) ( )D R , c) ( )Im R

7. Sejam os conjuntos { }0,1, 2,3, 4A = e { }1, 2, 4,8,16B = . Escreva simbolicamente a

relação ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }0,1 , 1, 2 , 2, 4 , 3,8 , 4,16R = de A em B . 8. Consideremos as relações

( ){ }, 5R x y x y= ∈ × + = e ( ){ }, 2 7S x y x y= ∈ × + = . Determinar R S∩ .

9. Sejam os conjuntos { }1, 4,9A = e { }2, 2,3B = − e a relação

( ){ }, 6R x y A B x y= ∈ × + ≤ . Determine: a) R , b) ( )D R , c) ( )Im R .

d) ( ) ( )1 1 1, ImR D R e R− − − .

10. Consideremos a relação ( ){ },R x y B A x y= ∈ × = + e os conjuntos { }1, 4,9A = e

{ }2, 2,3B = − . 11. Determine:

a) R , b) ( )D R , c) ( )Im R .

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12. Escreva a relação R , ( )D R e ( )Im R de

a) ( ){ }2,R x y y x= ∈ × = = .

b) ( ){ }2 2,R x y y x= ∈ = .

13. Represente simbolicamente cada uma das relações abaixo definidas em 2× = através de uma lei que relacione ou associe x e y .

a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }0,0 , 1,3 , 2,6 , 3,9 , 4,12 ,...R = , b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }2,0 , 3,1 , 4, 2 , 5,3 , 6, 4 ,...R = c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }0,0 , 1,1 , 2,8 , 3, 27 , 4,64 ,...R = .

14. Sejam os conjuntos [ )2,A = − +∞ e ( ]1,5B = . Determine graficamente A B× . 15. Dados os conjuntos { }1,1,3,5A = − e { }4, 2,0, 2, 4B = − − a relação definida por

( ){ }, 0R x y A B x y= ∈ × + < . Determine: a) R , ( )D R e ( )Im R .

b) ( ) ( )1 1 1, ImR D R e R− − − . Respostas: 1. a) { }1,5 , b) { }3,7 , c) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,3 , 1,7 , 5,3 , 5,7 .

2.

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

0,0 2,0 3,0 5,0

0, 2 2, 2 3, 2 5, 2

0,3 2,3 3,3 5,3

0,5 2,5 3,5 5,5

.

3. a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }, 2 , ,3 , , 4 , , 2 , ,3 , , 4a a a b b b . b) ( ) ( ){ },3 , ,3a b .

c) ( ) ( ){ }, 2 , , 2a b . d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }, 2 , ,3 , , 4 , , 2 , ,3 , , 4a a a b b b . e) ( ) ( ){ },3 , ,3a b .

4. ( )( ) ( ) ( ){ }1, 2 1,3 , 3, 2 , 3,3 . 5. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1, 2, 4 , 1, 2,5 , 1,3, 4 , 1,3,5 , 2, 2, 4 , 2, 2,5 , 2,3, 4 , 2,3,5 . 6. a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1, 4 , 0,3 , 1, 2 , 2,1 , 3,0 , 4, 1− − . b) A . c) A . 7. ( ){ }, 2xR x y A B y= ∈ × = .

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8. ( ){ }2,3 . 9. a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1, 2 , 1, 2 , 1,3 , 4, 2 , 4, 2R = − − .

b) ( ) { }1, 4D R = .c) ( ) { }Im 2, 2,3R = − .

d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 2,1 , 2,1 , 3,1 , 2, 4 , 2, 4R− = − − , ( ) { }1 2, 2,3D R− = − e ( ) { }1Im 1,4R− = .

10. a) ( ) ( ) ( ){ }2, 4 , 2, 4 , 3,9R = − . b) ( ) { }2, 2,3D R = − . c) ( ) { }Im 4,9R = . 11. a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }0,0 , 1,1 , 2, 2 , 3,3 , 4, 4 ,..., , ,...R x x= ; ( ) ( )ImD R R= = .

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }20,0 , 1,1 , 2,4 , 3,9 , 4,16 , 5,25 ,..., , ,...R x x= ; ( )D R = e

( ) { }2Im 0,1,4,9,25,..., ,...R x= .

12. a) ( ){ }2, 3R x y y x= ∈ = ,

b) ( ){ }2, 2R x y y x= ∈ = − ,

c) ( ){ }2 3,R x y y x= ∈ = . 13.

Figura 1.13 14. a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1, 4 , 1, 2 , 1,0 , 1, 4 , 1, 2 , 3, 4R = − − − − − − − − ; ( ) { }1,1,3D R = − e

( ) { }Im 4, 2,0R = − − .

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 4, 1 , 2, 1 , 0, 1 , 4,1 , 2,1 , 4,3R− = − − − − − − − − ; ( ) { }1 4, 2,0D R− = − − e

( ) { }1Im 1,1,3R− = −

0

1

5

x

y

A B×

2−