Cálculo Diferencial e INtegral-Unidade_7

8/14/2019 Clculo Diferencial e INtegral-Unidade_7

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________________________________________________Este trabalho foi elaborado por

ProfessoresFernando Guerra e Inder Jeet Taneja para os cursos de

Cincias Contbeis e Economia.

1

Unidade 7: Integrais

Funo primitivaNo estudo da derivada tnhamos uma funo e obtivemos, a partir dela, umaoutra, a que chamamos de derivada. Nesta seo, faremos o caminho inverso,isto , dada a derivada, vamos encontrar ou determinar uma funo originalque chamaremos primitiva. Voc deve observar que importante conhecer bemas regras de derivao e as derivadas de vrias funes, estudadasanteriormente, para determinar primitivas. O que acabamos de mencionar nosmotiva a seguinte definio.

Definio 7.1.Uma funo ( )F x chamada umaprimitiva da funo ( )f x em um

intervalo I, se para todo x I , tem-se'( ) ( )F x f x= .

Exemplo 7.1.A funo5

( )5

xF x = uma primitiva da funo 4( )f x x= , pois

45

'( )5

xF x = = 4 ( )x f x= , x

Exemplo 7.2. As funes5 5

( ) 9 , ( ) 25 5

x xT x H x= + = tambm so primitivas da

funo4

( )f x x= , pois '( ) '( ) ( )T x H x f x= = .

Observao. Seja I um intervalo em . Se :F I uma primitiva de :f I , ento para qualquer constante real k, a

funo ( )G x dada por ( ) ( )G x F x k = + tambm uma primitiva

de ( )f x .

Se , :F G I so primitivas de :f I , ento existe uma constante real k

tal que ( ) ( )G x F x k = + , para todo x I .

Exemplo 7.3.Encontrar uma primitiva ( )F x , da funo 3 2( ) 2 4 5 1f x x x x= + , para

todo x que satisfaa a seguinte condio (1) 4F = .

Resoluo: Pela definio de funo primitiva temos '( ) ( )F x f x= para todo

x , assim, ( )F x ser uma funo cuja derivada ser a funo ( )f x dada.

Logo,3 2

42( ) 4 5

4 3 2

x xF x x x k = + + ,


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3

( )f x a funo integrando;

dx a diferencial que serve para identificar a varivel de integrao;C a constante de integrao.

L-se: Integral indefinida de ( )f x em relao a x ou

simplesmente integral de ( )f x em relao a x .

O processo que permite encontrar a integral indefinida de uma funo chamado integrao.

ObservaesDa definio de integral indefinida, temos as seguintes observaes:

(i) ( ) ( ) '( ) ( )f x dx F x C F x f x= + = .(ii) ( )f x dx

representa uma famlia de funes, isto , a famlia

ou o conjunto de todas primitivas da funo integrando.

(iii) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( )d d df x dx F x C F x F x f xdx dx dx

= + = = = .

Exemplo 7.4

(i) Se ( )4 34d

x xdx

= ento 3 44 +x dx x C = .

(ii) Se ( ) 12

dx

dx x= ento 1

2dx x C

x= + .

(iii) Se5 2

3 33

5

dx x

dx

=

ento

2 5

3 33

5

x dx x C = + .

Observao. Pelos exemplos acima temos:

( )( ) ( ) ( ) ( )df x dx F x C f x dx f xdx

= + = .Isto nos permite que obtenhamos frmulas de integrao diretamente das frmulas paradiferenciao.

Propriedades da integral indefinidaSejam ( ) e ( )f x g x funes reais definidas no mesmo domnio e k uma

constante real. Ento:

a) ( ) ( )k f x dx k f x dx= .

b) ( )( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx+ = + .


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4

Integrais imediatasNesta subseo, apresentaremos a tabela de integrais imediatas para que,

aplicando as propriedades da integral indefinida, voc possa calcular umaintegral imediata de uma funo.

Daremos a seguir algumas frmulas de integrais simples e imediatas. A tabelacompleta dada no final deste captulo.

A seguir apresentaremos tabela de integrais.

(i) dx x C = + .

(ii)

1

, 11

nn x

x dx C nx

+

= + + .

(iii) lndx

x Cx

= + .

(iv) , 0, 1ln

xx a

a dx C a aa

= + > .

(v) x xe dx e C = + .

(vi) 2 22 2

1ln ,

2

dx x aC x a

x a a x a

= + >

+.

Exerccios propostos1) Determinar a funo primitiva ( )F x da funo ( )f x , onde

a) 2( ) 5 7 2f x x x= + + . b)5

4( )f x x

= .

c)1

( )f xx x

= . d)1

( ) para 11

f x xx

= >

.

e) 4( ) xf x e= .

2) Encontrar uma funo primitiva ( )F x da funo ( )f x dada, que satisfaa

a condio inicial dada, onde

a)2

31

( ) tal que (1)2

f x x x F

= + = .

b) 3( ) tal que (0) 2xf x x x e F = + = .


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6

Na notao ( )ba

f x dx , ( )f x chamada funo integrando,

o smbolo da integral, e os nmeros a e b so chamados limitesde integrao onde a o limite inferior e b o limite superior da

integrao.

Se ( )ba

f x dx existe, diz-se que f integrvel em [ , ]a b e

geometricamente a integral representa a rea da regio limitadapela funo ( )f x , s retas ex a x b= = e o eixo x, desde que

( ) 0f x [ ],x a b .

Chamamos a ateno do leitor para o fato de que a integral no significanecessariamente uma rea. Dependendo do problema, ela pode representar

grandezas como volume, quantidade de bactrias presentes em certo instante,trabalho realizado por uma fora, momentos e centro de massa (ponto deequilbrio).

A definio acima pode ser ampliada de modo a incluir o caso em que o limiteinferior seja maior do o limite superior e o caso em que os limites inferior esuperior so iguais, seno vejamos.

Definio 7.3.Se a b> , ento

( )

b

af x dx = ( )

a

bf x dx

se a integral direita existir.

Definio 7.5. Se e ( )a b f a= existe, ento

( ) 0

a

a

f x dx = .

Teorema 7.1.Se ( )f x uma funo contnua no intervalo fechado [ , ]a b , ento ( )f x

integrvel em[ , ]a b .

Propriedades da integral definidaAs propriedades da integral definida no sero demonstradas, pois foge doobjetivo do nosso curso.

P1 - Se a funo ( )f x integrvel no intervalo fechado [ , ]a b e se k uma

constante real qualquer, ento


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7

( ) ( )

b b

a a

k f x dx k f x dx= .

P2 - Se as funes ( )f x e ( )g x so integrveis em [ , ]a b , ento ( ) ( )f x g x

integrvel em [ , ]a b e

( )( ) ( ) ( ) ( )b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx = .

P3 - Se a c b< < e a funo ( )f x integrvel em [ , ]a c e em [ , ]c b , ento ( )f x

integrvel em [ , ]a b e

( ) ( ) ( )

b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx= + .

P4 - Se a funo ( )f x integrvel e se ( ) 0f x para todo x em [ , ]a b , ento

( ) 0b

a

f x dx .

P5 - Se as funes ( )f x e ( )g x so integrveis em [ , ]a b e ( ) ( )f x g x para

todo x em [ , ]a b , ento

( ) ( )b b

a a

f x dx g x dx .

P6 - Se ( )f x uma funo integrvel em[ ],a b , ento ( )f x integrvel em

[ ],a b e

( ) ( )b b

a a

f x dx f x dx .

Observao. Calcular uma integral atravs do limite das Somas de Riemann (definio5.3) geralmente uma tarefa rdua. Por isso nosso prximo objetivo estabelecer ochamado Teorema Fundamental do Clculo, o qual nos permite calcular muitasintegrais de forma surpreendentemente fcil!

Teorema fundamental do clculoEsta subseo contm um dos mais importantes teoremas do clculo. Esteteorema permite calcular a integral de uma funo utilizando uma primitiva damesma, e por isso, a chave para calcular integral. Ele diz que, conhecendouma funo primitiva de uma funo ( )f x integrvel no intervalo fechado


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8

[ , ]a b , podemos calcular a sua integral. As consideraes acima motivam o

teorema a seguir.

Teorema 7.2 (Teorema fundamental do clculo).Se a funo ( )f x integrvel no

intervalo fechado [ , ]a b e se ( )F x uma funo primitiva de ( )f x neste intervalo, ento

( ) ( ) ( )

b

a

f x dx F b F a= .

Costuma-se escrever ( )b

aF x para indicar ( ) ( )F b F a .

Exemplo 7.5.Determinar2

0

x dx .

Resoluo: Sabemos que2

( )

2

xF x = uma primitiva da funo ( )f x , pois

'( ) 2 ( )2

xF x x f x= = = .

Logo, pelo Teorema Fundamental do Clculo, vem2 22 2

0 00

( ) (2) (0)2

xx dx F x F F = = =

=2 22 0 4 0

= = 2 0 = 22 2 2 2

.

Portanto,2

0

2x dx = .

Exemplo 7.6.Calcular

( )3

2

1

4x dx+ .

Resoluo: Aqui, temos3

( ) 43

xF x x= + que uma primitiva de 2( ) 4f x x= + ,

pois

2 2'( ) 3 4 1 4 ( )3

xF x x f x= + = + = .

Logo, pelo Teorema Fundamental do Clculo, vem

( )3 3 3

2

11

4 4 (3) (1)3

xx dx x F F

+ = + =

( )3 33 1 1

4 3 4 1 9 12 ( 4)3 3 3

= + + = + +


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9

1 12 13 63 13 50=21 = 21 =

3 3 3 3

+ =

.

Portanto,

( )3

2

1

504

3

x dx+ = .

Observe que podemos calcular a integral ( )3

2

1

4x dx+ usando as propriedades P1

e P2 da integral definida e o teorema fundamental do clculo, o resultado ser omesmo. De fato,

( )3 3 3

2 2

1 1 1

4 4x dx x dx dx+ = +

=3 3 3 3 3

2

1 11 1

4 4

3

xx dx dx x+ = +

= ( )3 3

3 1 27 1+ 4 3 1 = + 4 2

3 3 3 3

=26 26 + 24 50

+ 8 = =3 3 3

.

Assim,

( )3

2

1

504

3x dx+ = .

Portanto, usando propriedades da integral definida e o TFC chegamos ao

mesmo valor no clculo da integral ( )3

2

1

4x dx+ que 503 , voc pode usar

sempre este fato.

Exerccios propostos4) Calcular a integral

3

0

( )f x dx onde7 , 2

( )3, 2

x se xf x

x se x


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Integrao por substituioVeremos nesta seo uma tcnica utilizada com o objetivo de desenvolver oclculo de integrais indefinidas de funes que possuem primitivas. A esta

tcnica damos o nome de integrao por substituio ou mudana de varivel.

Suponha que voc tem uma funo ( )g x e uma outra funo f tal que ( )( )f g x

esteja definida ( ef g esto definidas em intervalos convenientes). Voc quer

calcular uma integral do tipo

( )( ) '( )f g x g x dx ,Logo,

( ) ( )( ) '( ) ( ) .f g x g x dx F g x C = +

Fazendo ( ) '( ) '( )du

u g x g x du g x dxdx

= = = e substituindo na equao acima,

vem

( ) `( ) ( ) ( ) ( ) .f g x g x dx f u du F u C = = + Vejamos agora alguns exemplos de como determinar a integral indefinida deuma funo aplicando a tcnica da mudana de varivel ou substituio.

Exemplo 7.7. Calcular a integral

( )3

25 2x x dx+ .

Resoluo: Fazendo a substituio de 2 5x + por u na integral dada, ou seja,2

5u x= + , vem

25 2 0 2

duu x x x

dx= + = + = 2du x dx= .

Agora, vamos em ( )3

25 2x x dx+ , substitumos

2 5x + por u e 2x dx por du

e temos

( )4

32 3

5 2

4

ux x dx u du C + = = + ,

Como

( )4

242

55

4 4

xuu x C C

+= + + = + .

Portanto,

( )3

2 5 . 2x x dx+ =( )

42 5

4

xC

++ .


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11

Exemplo 7.8. Calcular2

3

3

1

xdx

x+.

Resoluo: Fazendo a substituio de

3

1 x+

por u na integral dada, ou31u x= + , vem

3 2 21 0 3 = 3du

u x x xdx

= + = + 2= 3du x dx .

Agora, vamos em2

3

3

1

xdx

x+, substitumos 31u x= + por u e 23x dx por du e

temos2

3

3ln

1

x dx duu C

x u= = +

+ . (Pela frmula (iii) da tabela de integrais).

Como3 31 ln ln 1u x u C x C = + + = + + .

Portanto,2

3

3

1

xdx

x+3

ln 1 x C= + + .

Exerccios propostosCalcular as seguintes integrais abaixo:

6)( )

3

4

7 5dx

x . 7) 2

1dx

x .

8) 2 42x x dx . 9)4 5

1

ln tdt

t .

10)3

20

1

xdx

x + .

Integrao por partesNa seo anterior, estudamos como calcular integral usando o mtodo da

substituio. Mas, existem algumas integrais tais como: lnxdx ,x

x e dx ,3cosx x dx , etc. que no podem ser resolvidas aplicando o mtodo da

substituio. Necessitamos de alguns conhecimentos mais. Neste caso,iniciaremos apresentando a tcnica de integrao por partes.


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12

Sejam ( )u x e ( )v x funes diferenciveis num intervalo ( , )a b . Ento podemos

escrever( )uv uv vu = + ,

ou seja,( )vu uv uv = .

Integrando os dois membros da igualdade acima, temos

( )b b b

a a avu dv uv dx uv dx = ,

ou,b bb

aa avdu uv udv= .

E para a integral indefinida tem-se

b bb

aa avdu uv udv= ,

ou simplesmente,

vdu uv udv= .

A expresso acima conhecida como a frmula de integrao por partes. Quando

aplicarmos esta frmula para resolver a integral ( )f x dx , devemos separar ointegrando dada em duas partes, uma sendo u e a outra, juntamente com dx ,sendo dv . Por essa razo o clculo de integral utilizando a frmula chamadointegrao por partes. Para escolher u e dv , devemos lembrar que:

A parte escolhida como dv , deve ser facilmente integrvel e a

integral v du deve ser mais simples que u dv .

Exemplo 7.9. Calcular a integralx

x e dx .

Resoluo: Sejam u x= e xdv e dx= . Assim, teremos du dx= e xv e= . Aplicando

a frmula u dv uv v du= , obtemos

.

x x x

x x

x e dx x e e dx

x e e C

=

= +


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13

Exemplo 7.10.Calcular a integral

ln .xdx

Soluo. Sejam lnu x= e dv dx= . Assim, teremos1

du dx

x

= e .v x= Aplicando a

frmula (2), obtemos

1ln ln

ln .

x dx x x x dxx

x x x c

=

= +

Exerccios propostosCalcular as seguintes integrais usando o mtodo de integrao por partes.

11) ( )2

1xe x dx+ . 12)2 lnx x dx .

13) lnx x dx . 14)lnx

dxx

.

15) xx e dx .

Integrais imprpriasSabemos que toda funo contnua num intervalo fechado integrvel nesse

intervalo, ou seja, se f uma funo contnua em [ , ]a b ento existe ( )b

af x dx .

Quando fno est definida num dos extremos do intervalo [ , ]a b , digamos em

a , mas existe ( )b

tf x dx para todo ( , )t a b , podemos definir ( )

b

af x dx como

sendo o limite lim ( )b

tt af x dx

+ quando este limite existe. Para os outros casos asituao anloga. Nestes casos as integrais so conhecidas como integraisimprprias. A seguir apresentaremos a definio e o procedimento para calcular

integrais imprprias. Analisaremos cada caso separado.

(i) Dado : ( , ]f a b , se existe ( )bt

f x dx para todo ( , )t a b , definimos

( ) lim ( ) ,

b b

t aa t

f x dx f x dx a t b+

= <


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14

quando este limite existe. Caso no exista este limite diremos que a

integral ( )b

a

f x dx no existe, ou no converge.

Graficamente,

y

y = f x( )

a b x

(ii) Dado : [ , )f a b , se existe ( )ta

f x dx para todo ( , )t a b , definimos

( ) lim ( ) ,

b t

t ba a

f x dx f x dx a t b

= <


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15

( ) ( ) ( ) ,

b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx a c b= + <


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16

Portanto, a integral converge e temos1

0

21

dx

x=

.

Exemplo 7.12.Calcular se existir1

2

0

1dx

x

Resoluo. Observemos que a funo2

1( )f x

x= no est definida no ponto

0.x = Neste caso, calculamos o limite, usando (i)

1

20

limt t

dx

x+

11

0

lim

1t t

x+

=

0

1lim 1t t

+

= +

= .

Portanto, a integral1

2

0

dx

xdiverge ou no existe.

Exemplo 7.13.Determinar, se existir,4

02

dx

x .

Resoluo: Observemos que1

( )2

f xx

=

no contnua em 2.x = Assim,

4 2 4

0 0 22 2 2

dx dx dx

x x x= +

,

se as integrais do segundo membro convergirem.

4

2 20

lim lim2 2

t

t tt

dx dx

x x + +

4

02 2lim ln 2 lim ln 2

t

tt tx x

+ = +

( ) ( )2 2

lim ln 2 ln 2 lim ln 2 ln 2t t

t t +

= + .

Observamos que calculando o primeiro limite obtemos o resultado , logopodemos concluir que a integral proposta no existe, ou seja, a integral divergente.


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Exerccios propostosCalcular, se existirem, as seguintes integrais imprprias, indicar se converge oudiverge.

16) xe dx

. 17)

1

0

lnx x dx .

18)3

20 9

dx

x . 19)

1

2

1

dy

y .

AplicaesNesta seo abordaremos algumas aplicaes importantes da integral definida.Principalmente clculo de rea de uma regio plana e fechada.

Clculo de reaVamos considerar sempre a regio que est entre os grficos de duas funes.Suponhamos ento que ( )f x e ( )g x sejam funes contnuas no intervalo

fechado[ ],a b e que ( ) ( )f x g x para todo x em [ ],a b . Ento a rea da regio

limitada acima por ( )y f x= , abaixo por ( )y g x= esquerda pela reta x a= e

direita pela retax b= , conforme ilustra a figura abaixo,

( )( ) ( )b

a

A f x g x dx= .

0

y

x

f(x)

g(x)

a b

A

[ ]

Quando a regio no for to simples como a da figura 8.1, necessria umareflexo cuidadosa para determinar o integrando e os limites de integrao.


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Segue abaixo um procedimento sistemtico que podemos seguir paraestabelecer a frmula, utilizando os seguintes passos.

Passo 1. Voc faz o grfico da regio para determinar qual curvalimita acima e qual limita abaixo.

Passo 2. Voc determina os limites de integrao. Os limites a e bsero as abscissas x dos dois pontos de interseo das curvas

( )y f x= e ( )y g x= . Para tanto iguala-se ( )f x e ( )g x , ou

seja, faz ( ) ( )f x g x= e resolve-se a equao resultante em

relao a x.

Passo 3. Calcule a integral definida para encontrar a rea entre asduas curvas.

Observao. Consideremos agora a rea da figura plana limitada pelo grfico de ( )f x ,

pelas retas ex a x b= = e o eixo x, onde ( )f x uma funo contnua sendo ( ) 0f x ,

para todo x em [ ],a b , conforme figura abaixo.

0

y

x

f x( )

a b

A

O clculo da rea A dado por

( )

b

a

A f x dx= ,

ou seja, basta voc calcular a integral definida e considerar o mdulo ou valor absoluto

da integral definida encontrada.

Exemplo 7.14.Determinar a rea da regio limitada entre as curvas:

2( ) 6 e ( )y f x x y g x x= = + = = .

Resoluo: Utilizando o procedimento sistemtico apresentado acima, temos osseguintes passos.


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Passo 1. Esboo da regio

-2 -1 0 1 2 3

2

4

6

8

10

x

y

Passo 2. Para encontrar os limites de integrao fazemos ( ) ( )f x g x= , isto ,2 26 ou 6,x x x x+ = = + que fornece 2 6 0x x = . Pela frmula de Bhaskara

encontramos as razes da equao acima, 2 e 3x x= = , que sero os limites de

integrao. Observe pelo grfico acima, que 26x x+ , para todo x em [ ]2, 3 .

Passo 3. Calculando a rea da regio limitada por ( ) 6y f x x= = + e2( )y g x x= = em [ ]2, 3 temos

( )( ) ( )b

a

A f x g x dx=

= ( ) ( )3 3

2 2

2 2

6 6x x dx x x dx

+ = +

=3

2 3

2

62 3

x xx

+

=

2 3 2 33 3 ( 2) ( 2)6 3 6 ( 2)

2 3 2 3

+ +

= 29 4 8+ 18 3 122 2 3

=

9 8+ 18 9 2 12 +

2 3

= 9 8 9 18 30 89 102 3 2 3

+ + + + =

= 27 22 27 222 3 2 3

= + = 81 + 44 1256 6=

u.a.

Portanto, a rea limitada por 2( ) 6 e ( )y f x x y g x x= = + = = em [ ]2, 3 1256

unidades de rea.

Exemplo 7.15. Determinar a rea limitada pela curva 2( ) 5y f x x x= = o eixo x e as

retas 1 e 3x x= = .


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Cálculo Diferencial e INtegral-Unidade_7

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