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  • 1

    hallo

  • 2

  • CALCULO DIFERENCIAL E

    INTEGRAL I

    NOTAS DE AULAS

    Universidade de Sao Paulo

    Faculdade de Filosofia, Ciencias e Letras de

    Ribeirao Preto

    Departamento de Computacao e Matematica

    Prof. Dr. Jair Silverio dos Santos

  • 2

  • Contents

    0.0.1 Progressao Geometrica e Juro Composto . . . . . . . . . . . . . 60.0.2 Potenciacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70.0.3 Valor Presente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70.0.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    1 FUNCOES 111.1 Relacao entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    1.1.1 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2 Grafico de Funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    1.2.1 Funcoes Lineares e Quadraticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.2 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.3 Inequacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.4 Funcao Modulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.5 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.2.6 Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.2.7 Metodo da Chave para Divisao de Numeros . . . . . . . . . . . 251.2.8 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.2.9 Funcoes Pares e Impares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.2.10 Composicao de Funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.2.11 Exerccio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.2.12 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.2.13 Oferta e Demanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.2.14 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.2.15 Funcao exponencial e funcao logartmica . . . . . . . . . . . . . 331.2.16 Funcoes Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    1.3 Funcoes Limitadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.3.1 DISTANCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.3.2 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    2 Limite 432.0.1 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.0.2 Ponto de Acumulacao e Definicao de Limite . . . . . . . . . . . 442.0.3 Propriedades de Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.0.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.0.5 Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.0.6 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    3

  • 4 CONTENTS

    2.1 LIMITES INFINITO E NO INFINITO . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.1.1 Limites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.1.2 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.1.3 Teorema do Sanduiche e Limites Fundmentais . . . . . . . . . . 64

    2.2 LIMITES FUNDAMENTAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.2.1 Primeiro Limite Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.2.2 Segundo Limite Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.2.3 Problema dos Juros Compostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.2.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.2.5 Limites Infinitos no Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

    2.3 Assntotas Verticais e Horizontais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

    3 CONTINUIDADE 79

    4 DERIVADAS 814.1 Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

    4.1.1 Funcao Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.1.2 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.1.3 Propriedades da Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.1.4 Derivada do Produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.1.5 Derivada do Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.1.6 Derivada da Funcao Seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.1.7 Derivada da Funcao Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.1.8 Derivada da Funcao Logartmica . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.1.9 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.1.10 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

    4.2 Aplicacoes da Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.2.1 Reta Tangente ao Grafico de uma Funcao . . . . . . . . . . . . 974.2.2 Extremos de Funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.2.3 Valor Crtico e Ponto Crtico de uma Funcao . . . . . . . . . . . 984.2.4 Elasticidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.2.5 Classificacao de pontos Crticos de uma funcao . . . . . . . . . . 994.2.6 Derivada da Funcao Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.2.7 Concavidade do Grafico de uma Funcao . . . . . . . . . . . . . 1054.2.8 Teorema do Valor Medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.2.9 Regra de LHospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.2.10 Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.2.11 Formula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

    5 INTEGRAL 1215.1 Calculo de Areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

    5.1.1 Propridades da Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.1.2 Teorema do Valor Medio Para Integrais . . . . . . . . . . . . . . 127

    5.2 Teorema Fundamental do Calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1295.2.1 Funcao Primitiva e Integral Indefinida . . . . . . . . . . . . . . 133

  • CONTENTS 5

    5.2.2 Area Entre Graficos de funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1345.2.3 Integral por Substituicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1355.2.4 Integracao por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1375.2.5 Fracoes Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

    5.3 Integral Impropria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1425.3.1 EXERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

  • 0.0.1 Progressao Geometrica e Juro Composto

    A taxa de crescimento i de uma grandeza que passa do valor a (a R) para o valor b(b R) e dada por

    i =b aa

    .

    Veja que a taxa de crescimento de uma grandeza que passa de 4 para 5 e igual a

    i =5 4

    4= 0, 25.

    Exemplo 1. Suponha que uma populacao aumenta 2% ao ano. Entao, a quantidadePn de indivduos desta populacao no ano n (n-esimo ano) sera igual a quantidadePn1 de indivduos desta populacao do ano anterior mais o aumento de populacao,que e igual a 2% de Pn1, isto e

    Pn = Pn1 + (0, 02)Pn1 = (1 + 0, 02)Pn1 = 1, 02Pn1.

    Veja que a quantidade de indivduos desta populacao em um determinado ano, dig-amos n-esimo ano, e proporcional a quantidade de indivduos desta populacao no anosubsequente ou (n 1)-esimo ano e a constante de proporcionalidade e 1, 02. Observeque a taxa de crescimento da grandeza quantidade de indivduos desta populacao edada por

    i =Pn Pn1Pn1

    =1, 02Pn1 Pn1

    Pn1= 0, 02.

    Exemplo 2. Suponha que uma bomba de succao retira de um vasilhame, em cadaintervalo de tempo, 3% do material existente neste vasilhame. Entao, a quantidade dematerial Pn existente no vasilhame apos n succoes (n-esima succao ) sera igual aquantidade de material Pn1 que estava contida no vasilhame apos a succao anterior,menos o decrecimo de maretial causado por uma succao, que e igual a 3% de Pn1,isto e

    Pn = Pn1 (0, 03)Pn1 = (1 0, 03)Pn1 = 0, 97Pn1,

    Pn1 = Pn2 (0, 03)Pn2 = (1 0, 03)Pn2 = 0, 97Pn2,

    ......

    ......

    P1 = P0 (0, 03)P0 = (1 0, 03)P0 = 0, 97P0.

    Segue que a construcao acima que

    Pn = Pn1 (0, 03)Pn1 = (1 0, 03)nP0 = (0, 97)nP0,

    onde P0 e a quantidade inicial de material no vasilhame.

  • CONTENTS 7

    0.0.2 Potenciacao

    Sejam x, y e z numeros reais positivos e m, n numeros inteiros nao negativos. Entao

    (i) xmxn = xm+n.

    (ii) (xm)n = xmn.

    (iii) (xyz)n = xnynzn.

    (iv)(xy

    )m=xm

    ym.

    (v) xm =1

    xm.

    (vi)xm

    xn= xmn.

    (vii) xmn = n

    xm.

    OBSERVACAO: Se x R for nao nulo entao x0 = 1. Seja a R e a 6= 0, entaox0 = xaa =

    xa

    xax 6=0= 1.

    0.0.3 Valor Presente

    a) Suponha que um indivduo toma um emprestimo hoje de P0 unidades de moedaem uma instituicao financeira e ele repoe P0 em parcelas mensais a uma taxapreviamente combinada de 3% ao mes (desconto), entao o valor presente P1 aposo perodo de um mes, e dado por

    P1 = P0 (0, 03)P0 = 0, 97P0.

    A quantidade P1, o que resta da dvida ainda nao resgatada, e denominadada dvida. Veja que a taxa de desconto e dada por

    i =P1 P0P0

    = 0, 03.

    b) Se P0 unidades de moeda foi investido, a um ano atras, com taxa de atualizacaodo capital de 100r por cento ao ano, ao atualizar quantidade de moeda ao finaldo primeiro ano, teremos o valor dada por

    P1 = P (um ano) = P0 + rP0 = (1 + r)P0.

    b1) Ao final do segundo ano a quantidade atualizada de moeda sera dada por

    P2 = P (dois anos) = P0(1 + r) + rP0(1 + r) = (1 + r)2P0.

  • 8 CONTENTS

    b2) Ao final de n anos a quantidade atualizada de moeda sera dada por

    P (n) = (1 + r)nP0.

    Note que o juro no iesimo perodo (rPi1) compoe o capital do (i 1)esimo(Pi1) e forma a quantidade Pi = (1 + r)Pi1. Observe que em cada perodo e validaa regra

    Pi Pi1Pi1

    = r, (ver [3]).

    c) Se a composicao fosse semestral teramos r2