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    hallo

  • 2

  • CALCULO DIFERENCIAL E

    INTEGRAL I

    NOTAS DE AULAS

    Universidade de Sao Paulo

    Faculdade de Filosofia, Ciencias e Letras de

    Ribeirao Preto

    Departamento de Computacao e Matematica

    Prof. Dr. Jair Silverio dos Santos

  • 2

  • Contents

    0.0.1 Progressao Geometrica e Juro Composto . . . . . . . . . . . . . 60.0.2 Potenciacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70.0.3 Valor Presente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70.0.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    1 FUNCOES 111.1 Relacao entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    1.1.1 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2 Grafico de Funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    1.2.1 Funcoes Lineares e Quadraticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.2 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.3 Inequacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.4 Funcao Modulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.5 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.2.6 Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.2.7 Metodo da Chave para Divisao de Numeros . . . . . . . . . . . 251.2.8 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.2.9 Funcoes Pares e Impares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.2.10 Composicao de Funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.2.11 Exerccio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.2.12 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.2.13 Oferta e Demanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.2.14 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.2.15 Funcao exponencial e funcao logartmica . . . . . . . . . . . . . 331.2.16 Funcoes Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    1.3 Funcoes Limitadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.3.1 DISTANCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.3.2 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    2 Limite 432.0.1 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.0.2 Ponto de Acumulacao e Definicao de Limite . . . . . . . . . . . 442.0.3 Propriedades de Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.0.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.0.5 Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.0.6 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    3

  • 4 CONTENTS

    2.1 LIMITES INFINITO E NO INFINITO . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.1.1 Limites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.1.2 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.1.3 Teorema do Sanduiche e Limites Fundmentais . . . . . . . . . . 64

    2.2 LIMITES FUNDAMENTAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.2.1 Primeiro Limite Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.2.2 Segundo Limite Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.2.3 Problema dos Juros Compostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.2.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.2.5 Limites Infinitos no Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

    2.3 Assntotas Verticais e Horizontais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

    3 CONTINUIDADE 79

    4 DERIVADAS 814.1 Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

    4.1.1 Funcao Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.1.2 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.1.3 Propriedades da Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.1.4 Derivada do Produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.1.5 Derivada do Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.1.6 Derivada da Funcao Seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.1.7 Derivada da Funcao Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.1.8 Derivada da Funcao Logartmica . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.1.9 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.1.10 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

    4.2 Aplicacoes da Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.2.1 Reta Tangente ao Grafico de uma Funcao . . . . . . . . . . . . 974.2.2 Extremos de Funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.2.3 Valor Crtico e Ponto Crtico de uma Funcao . . . . . . . . . . . 984.2.4 Elasticidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.2.5 Classificacao de pontos Crticos de uma funcao . . . . . . . . . . 994.2.6 Derivada da Funcao Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.2.7 Concavidade do Grafico de uma Funcao . . . . . . . . . . . . . 1054.2.8 Teorema do Valor Medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.2.9 Regra de LHospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.2.10 Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.2.11 Formula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

    5 INTEGRAL 1215.1 Calculo de Areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

    5.1.1 Propridades da Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.1.2 Teorema do Valor Medio Para Integrais . . . . . . . . . . . . . . 127

    5.2 Teorema Fundamental do Calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1295.2.1 Funcao Primitiva e Integral Indefinida . . . . . . . . . . . . . . 133

  • CONTENTS 5

    5.2.2 Area Entre Graficos de funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1345.2.3 Integral por Substituicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1355.2.4 Integracao por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1375.2.5 Fracoes Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

    5.3 Integral Impropria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1425.3.1 EXERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

  • 0.0.1 Progressao Geometrica e Juro Composto

    A taxa de crescimento i de uma grandeza que passa do valor a (a R) para o valor b(b R) e dada por

    i =b aa

    .

    Veja que a taxa de crescimento de uma grandeza que passa de 4 para 5 e igual a

    i =5 4

    4= 0, 25.

    Exemplo 1. Suponha que uma populacao aumenta 2% ao ano. Entao, a quantidadePn de indivduos desta populacao no ano n (n-esimo ano) sera igual a quantidadePn1 de indivduos desta populacao do ano anterior mais o aumento de populacao,que e igual a 2% de Pn1, isto e

    Pn = Pn1 + (0, 02)Pn1 = (1 + 0, 02)Pn1 = 1, 02Pn1.

    Veja que a quantidade de indivduos desta populacao em um determinado ano, dig-amos n-esimo ano, e proporcional a quantidade de indivduos desta populacao no anosubsequente ou (n 1)-esimo ano e a constante de proporcionalidade e 1, 02. Observeque a taxa de crescimento da grandeza quantidade de indivduos desta populacao edada por

    i =Pn Pn1Pn1

    =1, 02Pn1 Pn1

    Pn1= 0, 02.

    Exemplo 2. Suponha que uma bomba de succao retira de um vasilhame, em cadaintervalo de tempo, 3% do material existente neste vasilhame. Entao, a quantidade dematerial Pn existente no vasilhame apos n succoes (n-esima succao ) sera igual aquantidade de material Pn1 que estava contida no vasilhame apos a succao anterior,menos o decrecimo de maretial causado por uma succao, que e igual a 3% de Pn1,isto e

    Pn = Pn1 (0, 03)Pn1 = (1 0, 03)Pn1 = 0, 97Pn1,

    Pn1 = Pn2 (0, 03)Pn2 = (1 0, 03)Pn2 = 0, 97Pn2,

    ......

    ......

    P1 = P0 (0, 03)P0 = (1 0, 03)P0 = 0, 97P0.

    Segue que a construcao acima que

    Pn = Pn1 (0, 03)Pn1 = (1 0, 03)nP0 = (0, 97)nP0,

    onde P0 e a quantidade inicial de material no vasilhame.

  • CONTENTS 7

    0.0.2 Potenciacao

    Sejam x, y e z numeros reais positivos e m, n numeros inteiros nao negativos. Entao

    (i) xmxn = xm+n.

    (ii) (xm)n = xmn.

    (iii) (xyz)n = xnynzn.

    (iv)(xy

    )m=xm

    ym.

    (v) xm =1

    xm.

    (vi)xm

    xn= xmn.

    (vii) xmn = n

    xm.

    OBSERVACAO: Se x R for nao nulo entao x0 = 1. Seja a R e a 6= 0, entaox0 = xaa =

    xa

    xax 6=0= 1.

    0.0.3 Valor Presente

    a) Suponha que um indivduo toma um emprestimo hoje de P0 unidades de moedaem uma instituicao financeira e ele repoe P0 em parcelas mensais a uma taxapreviamente combinada de 3% ao mes (desconto), entao o valor presente P1 aposo perodo de um mes, e dado por

    P1 = P0 (0, 03)P0 = 0, 97P0.

    A quantidade P1, o que resta da dvida ainda nao resgatada, e denominadada dvida. Veja que a taxa de desconto e dada por

    i =P1 P0P0

    = 0, 03.

    b) Se P0 unidades de moeda foi investido, a um ano atras, com taxa de atualizacaodo capital de 100r por cento ao ano, ao atualizar quantidade de moeda ao finaldo primeiro ano, teremos o valor dada por

    P1 = P (um ano) = P0 + rP0 = (1 + r)P0.

    b1) Ao final do segundo ano a quantidade atualizada de moeda sera dada por

    P2 = P (dois anos) = P0(1 + r) + rP0(1 + r) = (1 + r)2P0.

  • 8 CONTENTS

    b2) Ao final de n anos a quantidade atualizada de moeda sera dada por

    P (n) = (1 + r)nP0.

    Note que o juro no iesimo perodo (rPi1) compoe o capital do (i 1)esimo(Pi1) e forma a quantidade Pi = (1 + r)Pi1. Observe que em cada perodo e validaa regra

    Pi Pi1Pi1

    = r, (ver [3]).

    c) Se a composicao fosse semestral teramos r2

    como taxa de juros e ao final de t anoso capital P0 composto com a taxa semestral de juros seria dado por P (n anos ) =

    P (dois n semestres) = (1+r

    2)2nP0. Neste caso os juros sao compostos duas vezes

    ao ano.

    d) Se os juros compuser o capital m vezes ao ano teramos rm

    como taxa de juros e

    ao final de n anos o capital P0 composto com a taxar

    mde juros seria dado por

    P (n anos) = P (m.n perodos) = (1 +r

    m)m.nP0 (ver [3], [8]). (0.0.1)

    Uma pergunta pertinente : Qual quantidade P de unidades moeda teremos queinvestir no instante atual, para que ao final de n anos tenhamos F unidades moeda, seos juros compuserem o capital P m-vezes ao ano, a taxa de juros 100r%? (ver [8])

    Como vimos acima se o capital X for investido a taxa de juros 100r%, e os juroscompuserem o capital m-vezes ao ano, ao final de n anos a o capital atualizado seradado por

    F = P (1 +r

    m)m.n Valor Futuro (ver [3]). (0.0.2)

    Portanto,

    P = F (1 +r

    m)m.n, Valor Presente (ver [3])

    e

    (1 +r

    m)m.n, fator de desconto (ver [3])

    Exemplo 3. Investe-se em uma carteira P0 = 5000, 00u.m. a 4% de juros ao ano. Qualsera o valor atualizado com os juros se quantidade de moeda P0 permanecer aplicada,sem retidadas, por 10 anos? Quanto este homem teria que aplicar a 4% de juros aoano para que ao final de quatro anos ele tivesse disponvel 1200.00u.m.?

  • CONTENTS 9

    Resolucao Veja que em (0.0.1),r

    m= 0.4 e m.n = 10. Portanto,

    P (10) = (1 + 0, 04)105000 = 7.401, 22u.m.

    Para responder a segunda pergunta, veja que em (0.0.2) temos F = 1.200,r

    m= 0.4 e

    m.n = 10. Entao

    P = 1200(1 + 0.04)10 = 810, 677.

    Exemplo 4. Ao se tomar hoje, por empestimo, 150, 00u.m. a uma taxa de juros de12% ao mes, qual sera o valor corrigido com juros tres meses depois? Quanto deveriaser investido a taxa de juros de 12% ao mes para que ao final de cinco meses o valorpresente fosse 250, 00 u.m.?

    Resolucao Veja que P0 = 150, a taxa anual de juros e m12

    100= 0, 12m. Entao

    r

    m= 0, 12 e mt = 3, Como m = 12 teremos r = 1, 44 e n =

    1

    4= 0.25. Assim, segue de

    (0.0.1) que

    P (0.25) = (1 + 0, 12)3150 = 210, 74.

    Vamos responder a segunda pergunta: veja em (0.0.2) que F = 250,r

    m= 0, 12 e

    mt = 5. Entao

    P = 250(1 + 0.12)5 = 141, 85.

    0.0.4 Exerccios

    (i) Suponha que a taxa de juros e 7% ao ano. Se for investido 72 unidades de moeda,qual e o valor um vez ao ano, atualizado um dois anos depois.

    (ii) Suponha que a taxa de juros e 7% ao ano. Se for investido 72 unidades de moeda,qual e o valor duas vezes ao ano, atualizado um ano depois (ver [8]).

    (iii) Suponha que o capital investido sera atualizado uma vez ao ano. Quanto deve serinvestido hoje taxa de juros e 5% ao ano para se ter atualizado dois anos depois127 unidades de moeda (ver [8]) ?

    (iv) Suponha que o capital investido sera atualizado tres vezes ao ano. Quanto deveser investido hoje taxa de juros e 5% ao ano para se ter atualizado dois anosdepois 127 unidades de moeda (ver [8])?

  • 10 CONTENTS

  • Chapter 1

    FUNCOES

    1.1 Relacao entre conjuntos

    Dados dois conjuntos A e B, chama-se de A por B ao conjunto

    A B = {(x, y) par ordenado tal que x A e y B}.Note que A = B entao (x, y) = (y, x) se e somente se x = y.

    Definicao 1. Chama-se relacao entre dois conjuntos A e B qualquer subconjunto doproduto cartesiano de A por B.

    Exemplo 5. Se A = {1, 2} e B = {a,1}, R0 = (o conjunto vazio), R1 ={(1, a); (2; a)} e R2 = {(1,1) ; (1, a)} sao relacoes entre A e B.

    ResolucaoComo

    A B = {(1, a) ; (1,1) ; (2, a) ; (2,1)},segue da Definicao 1 que uma relacao entre A e B e qualquer um dos subconjuntos deAB. Mas R0, R1 e R2 sao subconjuntos de AB e assim, elas sao relacoes entre Ae B.

    O conjunto vazio dado por e uma destas relacoes. Aqui, nenhum elemento deA esta associado a qualquer elemento de B.

    Considere a relacao {(1, a); (2; a)} entre A e B. Veja que esta relacao entre A eB e constante, todos elementos de A estao associados a um unico elemento de B.

    Tome a relacao {(1,1) ; (1, a)}. Veja que nesta relacao um elemento de A estaassociado dois elementos de B e o outro elemento de A nao tem seu correspondenteem B.

    11

  • 12 CHAPTER 1. FUNCOES

    Definicao 2. Dados dois conjuntos A e B, chama-se funcao de A em B a qualquerrelacao entre A e B que a cada elemento do conjunto A assosia um unico elemento emB. Indica-se esta funcao por f : A B.

    Dizemos que f esta definida em A e toma valores em B.

    Ao conjunto A denomina-se domnio da funcao f (Dm(f)).

    Ao conjunto B denomina-se Contradomnio de f .

    Ao conjunto Im(f) = {y B tais que existe x A que satisfaz f(x) = y}denomina-se aimagem da funcao f .

    Nosso principal interesse sao as funcoes definidas e subconjuntos dos numeros reaise tomando valores reais; isto e, os conjuntos A e B serao subconjutos do conjunto dosnumeros reais.

    1.1.1 Exerccios

    1 Considere os conjuntos A = {, a} e B = {, },

    calcule o produto cartesiano de A por B, todas as relacoes possveis indique aquelas relacoes que sao funcoes.

    2 Dados S = {1, 3, 5} e P = {m,n}. Calcule

    o produto cartesiano de S por P , todas as relacoes possveis indique aquelas relacoes que sao funcoes.

    3 Considere a tabela abaixo como a descricao dos elementos do produto cartesianode dois conjuntos A e B.

    (1,1)

    (1,2)

    (1,3)

    (1,4)

    (1,5)

    (2,1)

    (2,2)

    (2,3)

    (2,4)

    (2,5)

    (3,1)

    (3,2)

    (3,3)

    (3,4)

    (3,5)

    (4,1)

    (4,2)

    (4,3)

    (4,4)

    (4,5)

    (5,1)

    (5,2)

    (5,3)

    (5,4)

    (5,5)

  • 1.1. RELACAO ENTRE CONJUNTOS 13

    Descreva os dois conjuntos. Descreva quatro relacoes de modo que cada uma delas seja uma funcao. Descreva quatro relacoes de modo que cada uma delas nao seja seja uma

    funcao.

    Descreva as funcoes contantes.

    4 Considere o conjunto RR que aqui sera denotado por R2. Valha-se da definicaode coordenadas cartesianas e desenhe cada um dos conjuntos abaixo:

    a- A1 = {(x, y) R2 tal que x+ 2y = 4, 2 < x 2}.b- A2 = {(x, y) R2 tal que x+ 2y < 4, 2 < x 2, y > 0}.c- A3 = {(x, y) R2 tal que x+ 2y 4, 2 < x 2, y 0}.d- B3 = {(x, y) R2 tal que x y 0, 2 < x 2}.e- B3 = {(x, y) R2 tal que x y 0, 2 < x 2}.

    5 Dada f : R R uma funcao que satisfaz

    f(2x+ 3) = x2.

    Calcule f(0), f(3), f(2u) u R, g(x) = f(x+ 2), h(x) = f(x2).

    6 Podemos afirmar que se f(2x+ 3) = x2, entaof(2x+ 3) = x?

    7 Podemos afirmar que se f(2x+ 3) = x2, entao 3f(2x+ 3) = x?

    8 Dada f : R R uma funcao que satisfaz

    f(x) = 2x2 + 3.

    Calcule f(1), f(4), (v) = f(2v) v R, g(x) = f(x+ 5), h(x) = f(x3).

    9 Existe uma funcao f : R R tal que

    f(x2) = 2x+ 3.

    10 Se f(x) = 3x2 e g(x) = 1x

    , encontre todos os valores reais tais que f(x) = g(x).

    11 Se m e um numero real constante e f(x) = mx + 5 e g(x) =1

    x, encontre todos

    os valores reais tais que f(x) = g(x).

    12 Se m e um numero real constante e f(x) = 3x+ 5 e g(x) = mx

    , encontre todos

    os valores reais tais que f(x) = g(x).

  • 14 CHAPTER 1. FUNCOES

    13 Se m e n sao numeros reais constantes e f(x) = mx + n e g(x) =1

    x, encontre

    todos os valores reais tais que f(x) = g(x).

    14 Se m e n sao numeros reais constantes e f(x) = x + n e g(x) = mx

    , encontre

    todos os valores reais tais que f(x) = g(x).

    1.2 Grafico de Funcao

    Definicao 3. Dada f : A B funcao, chama-se Grafico da funcao f ao conjuntoG(f) = {(x, y) A B tal que y = f(x)}.

    1.2.1 Funcoes Lineares e Quadraticas

    (i) Vamos denominar funcao linear aquelas funcoes cujo grafico e uma reta, ou sejaf : R R dadas por f(x) = ax + b, onde a R. Se a = 0, f e uma funcaoconstante.

    (ii) Se a, b e c sao numeros reais, considere a funcao quadratica f : R R dada por

    f(x) = ax2 + bx+ c, a 6= 0. (1.2.1)

    Queremos resolver a equacao f(x) = 0. Como em (1.2.1) a 6= 0 podemos somar

    em ambos os membrosb2

    4ae escrevermos

    a[x2+2

    ( b2a

    )x+

    b2

    4a2

    ]=b2

    4ac, ou seja a

    (x+

    b

    2

    )2=b2 4ac

    4a, entao

    (x+

    b

    2

    )2=b2 4ac

    4a2.

    que e equivalente a

    (x+

    b

    2ab2 4ac

    2a

    )(x+

    b

    2a+

    b2 4ac

    2a

    )= 0

    Portanto,

    x0 =b+

    b2 4ac

    2ae x1 =

    bb2 4ac

    2a(1.2.2)

    sao as razes da equacao (1.2.1). Alem disso, em (1.2.2), x0 e x1 serao numerosreais se e somente se = b2 4ac for um numero real nao negativo, ( 0).

    Exemplo 6. Seja f(x) = x2 4x+ 1. Vamos resolver a equacao f(x) = 0.

  • 1.2. GRAFICO DE FUNCAO 15

    Resolucao Veja que a = c = 1 e b = 4. Entao = (4)2 4 = 12. Segue de(1.2.2) que as razes de f(x) = 0 sao x0 = 2

    3 e x0 = 2 +

    3.

    Como exemplo tome f : [0, 2] R dada por f(x) = x2.

    -oxO

    oy

    x...

    ...

    ...

    ...

    ...

    ...

    ...

    ...

    ...

    ...

    ... f(x)

    (x, f(x))

    6

    Figura 1

    1.2.2 Exerccios

    (i) Considere as curvas

    6

    3

    22

    3

    56

    76

    43 3

    2

    53

    116

    0 0.5 1 1.5 2

    6

    3

    22

    3

    56

    76

    43 3

    2

    53

    116

    0 2 4

    6

    3

    22

    3

    56

    76

    43 3

    2

    53

    116

    0 0.5 1 1.5 2

    6

    3

    22

    3

    56

    76

    43 3

    2

    53

    116

    0 1 2 3

    Explique porque estas curvas nao podem ser graficos de funcao.

  • 16 CHAPTER 1. FUNCOES

    (ii) Condidere a figura

    10 5 0 5 10

    10

    5

    0

    5

    10

    Podemos afirmar que esta curva e grafico de funcao?

    (iii) a) Se o domnio da funcao f(x) = 5 + 3x for {x R, tais que 1 x 4},determine a imagem de f .

    b) Se o domnio da funcao f(x) = 5 3x2 for {x R, tais que 1 x 4},determine a imagem de f .

    (iv) Suponha que f(2) = 2 e descreva a funcao cujo grafico e dado pela curva,

    4 2 2 4

    4

    2

    2

    4

    x

    y

    (v) (FUVEST 2017) Considere uma folha de papel retangular com medida dos lados20 e 16. Apos remover um quadrado cuja medida do lado e lado x, de cada umdos cantos da folha de papel realize quatro dobras para voce obter uma caixasem tampa em forma de paraleleppedo com altura x.

    Expresse o volume da caixa em funcao de x. Determine o intervalo real onde se encontra x para o qual o voluma da caixa

    e maior que 384.

    Qual sao as medidas da caixa cujo volume e maximo.

  • 1.2. GRAFICO DE FUNCAO 17

    (vi) (FUVEST 2017) Dado a R e 1 < a 2, considere a funcao fa : [0; 1] [0; 1]dada por

    fa(x) =

    {ax se 0 x 1

    2,

    a(1 x) se 12< x 1.

    Encontre x0 tal que fa(x0) = x0. Verifique que x0 = x(a). Mostre que fa(fa(12)) 0, ou f(x) 0, ou f(x) < 0, ou f(x) 0, onde x A.

    Note que as desigualdades nos informam qual e o sinal da funcao f

    Se multiplicarmos ambos os membros de uma desigualdade por um numero realpositivo, esta desigualdade matem-se com o mesmo sentido.

    Veja que 2xx3 > x22 e equivalente a (x2 +1)[2xx3] > (x2 +1)[x22], porquex2 + 1 e positivo para todo numero real x .

    Se multiplicarmos ambos os membros de uma desigualdade por um numeronegativo esta desigualdade troca o seu sentido.

    Veja que 2x x3 > x2 2 e equivalente a (x2 1)[2x x3] > (x2 1)[x2 2];somente se x2 1 for positivo ou zero. Se x2 1 for negativo ou seja se x (2; 2)(intrevalo), entao (x2 1)[2x x3] < (x2 1)[x2 2].

    1.2.4 Funcao Modulo

    Definicao 5. O modulo de um numero real x e dado por

    |x| ={

    x; se x 0,x; se x < 0.

    Temos |x| < m, se e somente se m < x < m. Ainda, |x| m, se e somentese m x m.

    Temos |x| > m, se e somente se x < m ou x > m. Analogamente ao casoanterior, |x| m, se e somente se m x ou x m.

    Exemplo 7. Se f : R R for dada por f(x) = |x|, o grafico de f esta dado na figuraabaixo:

    Observacao 1. Da definicao de modulo de um numero real segue quex2 = |x|.

    Exemplo 8. Seja f : R R dada por f(x) = |x2 + 4x 5|.

  • 1.2. GRAFICO DE FUNCAO 19

    Veja que o grafico de f esta esbocado na figura acima. Para compreender o graficoacima temos que resolver as inequacoes gerada pela definicao da funcao modulo, ouseja

    f(x) =

    {x2 + 4x 5; se x2 + 4x 5 0,(x2 + 4x 5); se x2 + 4x 5 < 0.

    Veremos facil que se F1 = {x R ( < x 5 ou 1 x < } e F2 = {x R (5 < x 1}, teremos f(x) 0 para todo x F1 e f(x) 0 para todo x F2.

    Exemplo 9. Encontre o conjunto de numeros reais que satisfaz |x 5| < 4.

    Resolucao Note que ha aqui um caso como acima, entao

    4 < x 5 < 4, o que nos da 1 < x < 9.

    Assim, o conjunto solucao e dado por {x R tais que 1 < x < 9}.

    Exemplo 10. Encontre o conjunto de numeros reais que satisfaz3 2x2 + x

    4. (1.2.3)Resolucao Pelo que vimos acima

    4 3 2x2 + x

    4. (1.2.4)

  • 20 CHAPTER 1. FUNCOES

    Para resolver a inequacao (1.2.4) devemos multiplicar todos os seus membros porx+ 2. Entao devemos saber mais sobre o sinal deste fator. Note que se x 2 o fator x+ 2 sera positivo. Entao

    4(x+ 2) 3 2x2 + x

    (x+ 2) 4(x+ 2).

    Observe que as desigualdades nao se alteram. O que nos da

    8 4x 3 2x 8 + 4x.

    Temos entao duas desigualdades. E conveniente resolve-las separadamente. O con-junto solucao para estas desigualdades e igual ao conjunto sulucao para o sistema deinequacoes {

    8 4x 3 2x3 2x 8 + 4x

    Apos alguns calculos simples, vemos que, x sera solucao para a primeira inequacao

    se x 112

    ; e x sera solucao para a segunda inequacao se x 52

    . Como trata-se de

    um sistema e inequacoes, devemos ter as duas inequacoes satisfeitas, entao x devera

    ser maior que o maior entre tres numeros reais 2; 112

    e x = 56

    . Logo, x 56

    .

    Temos assim a primeira parte da resposta, o conjunto

    S0 = {x R, tal que x 5

    6}.

    Veja que se x 2 o fator x+2 sera negativo. Entao 4(x+2) 3 2x2 + x

    (x+2) 4(x+ 2). Note que as desigualdades se ateraram. Entao temos

    4(2 + x) 3 2x (2 + x)4. (1.2.5)

    O conjunto solucao para (1.2.5) e igual ao conjunto solucao para o sistema{8 4x 3 2x3 2x 8 + 4x

    Repetindo o procedimento anterior vemos que x deve ser menor que o menor entre os

    tres numeros 2, 56

    e 112

    .

    Temos assim a segunda e ultima parte parte da resposta, o conjunto

    S1 = {x R, tal que x 11

    2}.

    O conjunto solucao para a inequacao (1.2.3) e

    S = S0 S1.

  • 1.2. GRAFICO DE FUNCAO 21

    Exemplo 11. Encontre o conjunto de numeros reais que satisfaz |3x+ 2| > 5.

    Resolucao Da definicao 5 vemos que a desigualdade do exemplo (5.1.1) e equiva-lente a

    3x+ 2 > 5 ou 3x+ 2 < 5.

    Neste caso, e conveniente resolver cada uma desas desigualdades em separado e depoisconstruir o conjunto solucao. Vemos facilmente que se x resolve a primeira inequacao,

    entao x > 1. Analogamente, se x resolve a segunda inequacao entao x < 73

    . Portanto,

    conjunto solucao que procuramos e dado por

    S = {x R, tal que < x < 73

    ou 1 < x |3x 2| ?Pela Observacao 1 temos |x 4| =

    (x 4)2 e |3x 2| =

    (3x 2)2. Portanto,

    a desigualdade em () e equivalente a(x 4)2 >

    (3x 2)2; ou seja (x 4)2 > (3x 2)2.

    Alguns calculos nos mostram que nosso problema e equivalente a 2x2 x 3 < 0.Para encontrar o conjunto solucao para esta ultima desigualdade devemos encontrar odiscriminante da equacao 2x2x 3 = 0 (ver (1.2.2)) que e dado por = 1 + 24 = 25e as suas razes sao dadas por;

    x0 =b

    2a=(1)

    25

    4= 1 e x1 =

    b+

    2a=(1) +

    25

    4=

    3

    2.

    Mas, 2x2 x 3 = 2(x x0)(x x1) = (x+ 1)(x 3). Queremos que (x+ 21)(x 3)seja negativo. Portanto, o conjunto solucao que procuramos e dado por

    S = {x R, tal que 1 < x < 32}.

    Observacao 2. Se x, y R podemos verificar que

    min{x, y} = x+ y |x y|2

    e max{x, y} = x+ y + |x y|2

    . (1.2.6)

    Valha-se das propriedades anteriores, resolva em R as igualdades, desigualdades edescreva geometricamente o conjunto solucao de cada uma delas:

  • 22 CHAPTER 1. FUNCOES

    1.2.5 Exerccios

    1 Um fabricante produz canetas ao custo de 10 u.m. (unidades de moeda) porunidade. Estima-se que, se cada caneta for vendida por x u.m., os consumidorescomprarao aproximadamente 80 x canetas por mes. Expresse o lucro mensaldo fabricante como funcao do preco devenda de cada caneta. Construa o graficodesta funcao e calcule o preco p0 para o qual o lucro mensal e o maior possvel(Veja que o lucro e dado pelo produto do numero de canetas vendidas pelo lucropor caneta).

    Duas propriedades esperadas para um mercado qualquer:

    A quantidade de produto ofertada aumenta se o preco deste aumentar. Istonos diz que as variaveis ofertada e preco estao de alguma forma relacionadas.

    A quantidade de produto demandada diminui se o preco deste aumentar. Istonos diz que as variaveis demandada e preco estao de alguma forma relacionadas

    2 Dez relogios de pulso sao vendidos quando o seu preco for 80 u.m.; 20 destesrelogios serao vendidos quando o preco for 60 u.m. Suponha que a demanda poreste tipo de relogio seja uma funcao linear do seu preco neste mercado. Qual ea equacao de demanda para este produto? Faca o grafico desta funcao.

    3 Quando o preco for de 50 u.m., cinquenta maquinas fotograficas de um deter-minado tipo estarao disponveis no mercado; quando o 75 u.m., cem maquinasfotograficas de um determinado tipo estarao disponveis no mesmo mercado (pro-duto em oferta). Suponha que a oferta deste tipo de maquina seja uma funcaolinear do seu preco neste mercado. Qual e a equacao de oferta para este produto?Faca o grafico desta funcao.

    4 Resolva as equacoes e inequacoes e represente graficamente o conjunto solucaode cada item.

    (a) x 2 < 18 3x. S = {x R tal que < x < 5};(b) 4 < 2 3x 17. S = {x R tal que 5 x < 2};

    (c)3x 1x+ 2

    5. S = {x R tal que 112 x < 2};

    (d) x2 81. S = {x R tal que 9 x 9};(e) x2 x 0. S = {x R tal que 0 < x < 1};(f) Se f(x) = |5x+ 2|+ 3, resolva f(x) = 0; S = ; Faca o grafico de f(x).

    (g) Se f(x) = |2x1| |4x+3|, resolva f(x) = 0: S = {2,13}. Faca o grafico

    de f(x).

    (h) Se f(x) = |x 5| 1 + 2x, resolva f(x) = 0; S = {4}. Faca o grafico def(x).

    (i)3x+ 82x 3

    = 4, S = { 411, 4};

  • 1.2. GRAFICO DE FUNCAO 23

    (j) |2x 1| > |x+ 2|. S = (,13

    ) (3,);

    (k) 1 < |x+ 2| < 4. S = {x R tal que 6 < x < 3 ou 1 < x < 2};

    (k) |3x+ 7| > 2. S = {x R tal que < x < 3 ou 53< x 3; (c) |x+4| < 7; Resp. {x R; 11 < x < 3};

    (d) |3x 4| 2; Resp. {x R; 23 x 2}; (e) |2x 5| > 3;

    Resp. {x R, < x < 1 ou 4 < x 2; (m)2x+ 3

    5

    2

    x+ 2

    (u) (x 1)2(x 2)(x+ 1)3 > 0 (v) (x 1)2(x 2)(x+ 1)3

    x(x2 + 1)(x2 1)< 0.

    (i) Faca o grafico de f(x) quando:

    f(x) = x2 + x + 1; Desenhe no plano cartesiano o conjunto S = {(x, y) R2 tal que 0 f(x) x 1} para 2 < x 2.

    f(x) = x2 + x 2; Desenhe no plano cartesiano o conjunto S = {(x, y) R2 tal que 0 f(x) x+ 1} para 3 < x 5.

    (ii) Se f(x) = 3x + 2 e g(x) = 5x + 4, faca o grafico de h(x) = max{f(x), g(x)} eH(x) = min{f(x), g(x)} (Ver Observacao 2).

    (iii) Se f(x) = x2 1 e g(x) = 2 x2, faca o grafico de h(x) = max{f(x), g(x)} eH(x) = min{f(x), g(x)} (Ver (1.2.6)).

  • 24 CHAPTER 1. FUNCOES

    1.2.6 Polinomios

    Definicao 6. Sejam ar, ar1, , a0 numeros reais. Um polinomio e uma funcao q :A R B R dada por q(x) = arxr + ar1xr1 + + a0. Se ar for nao nulodiremos que o grau de q e r e indicamos por q = r.

    Seja q(x) um polinomio. Suponhamos que o grau de q = r. Sabemos que opolinomio q pode ser decomposto em fatores da forma{

    x x, x R;x2 + x+ , 2 4 < 0; , , R, (ver(1.2.2)).

    o valor x e denominado raiz real de q. Cada fator da forma x2 + x + com apropriedade 2 4 < 0 nao tem raiz real. Suponha que q tenha apenas razes reais. Sejam n N e x0, x1, , xn as razes

    de q (n r). Ha que se lembrar que cada uma destas razes tem sua multiplicidade.Entao suponha que s0, s1, , sn N, indica respectivamente as multiplicidades dasrazes do polinomio q. Entao s0 + s1 + + sn = q.

    Exemplo 12. Seja q(x) = x2 3x+ 2 = (x 1)(x 2).

    x0 = 1, s0 = 1,x1 = 2, s1 = 1s0 + s1 = q = 2.

    Exemplo 13. Seja q(x) = (x+ 1)2(x 2)3.

    x0 = 1, s0 = 2,x1 = 2, s1 = 3s0 + s1 = q = 5.

    Suponhamos que q : R R seja dado pela expressao q(x) = arxr+ar1xr1+ +a0com ar 6= 0 e que todas as suas razes sejam reais. Entao podemos escrever

    q(x) = ar(x x0)s0(x x1)s1 (x xn)sn . (1.2.7)

    e s0 + s1 + + sn = q = r.Ve-se facilmente que se alguma raiz de q tiver multiplicidade maior que um, algum

    si sera nulo, e o fator correspondente x xi nao aparecera na expressao (1.2.7).

  • 1.2. GRAFICO DE FUNCAO 25

    1.2.7 Metodo da Chave para Divisao de Numeros

    Veja que se p(x) = x 5 e g(x) = x 13 5 13 , podemos realizar adivisao do polinomiop(x) por g(x) pelo metodo da chave e obtermos resto zero. Considere o esquema abaixocom suas instrucoes:

    Note que multiplicacao da primeira parcela do quociente pelo divisor nos dax x 23a 13 . Subtraia x x 23 5 13 do dividendo.

    A multiplicacao da segunda parcela do quociente pelo divisor nos da x 23 5 13x 13 5 23 .Sutraia-a do dividendo.

    A multiplicacao da ultima parcela do dividendo pelo divisor nos da x 13 5 23 5.Subtaria-a do dividendo e voce obtera resto ZERO.

    x 5 x 13 5 13

    x+ x 23 5 13 x 23 + x 13 5 13 + 5 23x

    23 5

    13 5

    x 23 5 13 + x 13 5 23

    x13 5

    13 5

    x 13 5 13 + 50 + 0

    Portanto,

    x 5 = (x 13 5 13 )[x 23 + x 13 5 13 + 5 23 ]

    ou seja,

    x 5x

    13 5 13

    x 6=5= x

    23 + x

    13 5

    13 + 5

    23 .

    Com este algortmo podemos escrever

    x13 5 13x 5

    x 6=5=

    1

    x23 + x

    13 5

    13 + 5

    23

    . (1.2.8)

    1.2.8 Exerccios

    (i) Consider a curva na figura abaixo. Suponha que f(32) = 0. Defina uma fuccao

    polinomial tal que a curva seja o grafico da funcao f .

  • 26 CHAPTER 1. FUNCOES

    x

    y

    -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

    (ii) Sejam p(x) e q(x) polinomios dados abaixo. Calcule o resto da divisao de p(x)por q(x) (use o metodo da chave).

    p(x) = x3 2x2 + 1 e q(x) = x2 + 1; p(x) = x4 x3 e q(x) = x2 4x+ 2.

    (iii) Sejam f(x) e g(x) funcoes dados abaixo. Calcule o resto da divisao de f(x) porg(x) (use o metodo da chave).

    f(x) = x 2 e g(x) = 3x 3

    2;

    f(x) = x 3 e g(x) = 3x 3

    3 ,

    f(x) = x 5 e g(x) = 4x 4

    5;

    f(x) = x+ 3 e g(x) = 3x+ 3

    3.

    f(x) = x a e g(x) = 3x 3a;

    f(x) = x a e g(x) = 3x 3a ,

    f(x) = x b e g(x) = 4x 4b;

    f(x) = x+ b e g(x) = 5x+ 5b.

    Em cada um dos casos acima escreva a fracao analoga a fracao em (1.2.8).

    (iv) - Dadas as funcoes abaixo, calcule g(x) =f(x) f(a)

    x apara x 6= a, onde a e um

    numero real que esta no domnio da funcao f . Em cada um dos casos acimaescreva a fracao analoga a fracao em (1.2.8).

    f(x) = x2 + 3 , f(x) = x2 x+ 1 ,

    f(x) = x 13

    f(x) = x 14

    f(x) = x 15

    f(x) = sen (x) f(x) = cos(x), (compare os cinco primeiros tens com o exerccio anterior).

  • 1.2. GRAFICO DE FUNCAO 27

    (v) Seja a um numero real fixo, calcule g(h) =f(a+ h) f(a)

    hpara cada uma das

    funcoes abaixo. Em cada um dos casos acima escreva a fracao analoga a fracaoem (1.2.8).

    f(x) = x2 + 3, f(x) = x2 x+ 1,

    f(x) = x 13

    f(x) = x 14

    f(x) = x 15 , f(x) = sen (x) f(x) = cos(x), (compare os com o exerccio anterior).

    1.2.9 Funcoes Pares e Impares

    Uma funcao y = f(x) e uma (i) funcao par de x se f(x) = f(x), (ii) funcaompar de x se f(x) = f(x). Verifique se as funcoes abaixo sao pares ou mpares.

    (i) f(x) = x2,

    (ii) f(x) = x3 + x, (iv) f(x) = x2 + x3,

    (iii) f(x) = x3 + x+ 1,

    (iv) f(x) = x2 + 1

    (v) f(x) = |x|

    (vi) f(x) = |x 1|. Esboce os grafico de cada uma das funcoes dos tens (i) e (vi);(vii) e (iii) e compare-os.

    1.2.10 Composicao de Funcoes

    Definicao 7. Dadas f : A B e g : C D duas funcoes. Se Im(f) Dom(g)entao podemos definir uma outra funcao h : A D tal que h(x) = g(f(x). A funcaoh e denominada composicao de g por f , . Denotaremos esta composicao por g f .

    Note que se h(x) = 3x2 4x+ 7, podemos dizer que h e uma composicao de

    funcoes. As funcoes envolvidas sao g(x) = 3x e f(x) = x2 4x+ 7.

  • 28 CHAPTER 1. FUNCOES

    (i) Determinar o domnio das seguintes funcoes e escreva a funcao h como composicaode duas outras funcoes:

    h(x) = 1x 4

    ,

    h(x) =x2 + 2x 3,

    h(x) =

    x

    x2 + 1,

    h(x) = 3

    x

    x2 + 1,

    h(x) = 4x2 3x+ 5

    x 4.

    (ii) Calcule, quando for possvel, a composicao de f por g e de g por f nos casosabaixo e de o domnio de f , g, f g e g f

    f(s) = s2 + 2s+ 1 e g(x) = 2x2 5; f(s) =

    x e g(x) = x2 + 1,

    f(s) = |s2 + 3| e g(x) = x2 + 1

    x 1.

    f(s) = sen (x2 + 1) e g(x) = 3x

    (iii) Calcule f(g(x)), g(f(x)), h(f(g(x))), verifique que f g 6= g f , de o domnio def , g e h, onde estas funcoes estao dadas abaixo e :

    f(x) =x2 + 1

    x 1, h(x) =

    x, g(x) = x2 3x+ 2.g(x) = 1 x2, h(x) = x2 + 6x 16.

    Exemplo 14. Tome A um conjunto qualquer e f : A A dada por f(x) = x.

    Note que f(f(x)) = f(x) = x. A inversa de f e ela mesma (uma funcao Nacisista).Esta e uma razao muito forte para que f seja nomeada FUNCAO IDENTIDADE.

    Definicao 8. Dadas f : A B e g : F G funcoes, Suponhamos que

    Im(f) Dm(g) e Im(g) Dm(f)

    Segue da Definicao 7 que pode ser definidas as funcoes f g : F B e g f : A Gdadas por

    g f(x) = g(f(x)) para todo x A e f g(y) = f(g(y)) para todo y F.

  • 1.2. GRAFICO DE FUNCAO 29

    Se

    g f(x) = g(f(x)) = x para todo x A e f g(y) = f(g(y)) = y para todo y F,

    dizemos que g e a funcao inversa da funcao f .

    No caso em que f : A B e satisfaz uma condicao especial, isto e que existauma funcao g : B A tal que

    f(g(y) = y e g(f(x) = x,

    dizemos que a func ao g e a Funcao Inversa da funcao f . Denotamos g por f1. Oexemplo mais simples que ilustra tal situacao e o seguinte:

    Exemplo 15. Tome R o conjunto dos numeros reais e f : R R dada por f(x) =ax+ b, com a 6= 0.

    Note que g : R R dada por g(y) = 1a

    (y b) satisfaz f(g(y)) = a(1a

    (y b))

    + b =

    [y b] + b = y e g(f(x) = 1a

    [(ax+ b) b] = x

    1.2.11 Exerccio

    Em cada um dos tens abaixo determine a funcao f1 inversa. Faca os graficos dafuncao e de sua inversa, primeiro no m,esmo plano e depois em planos separados.

    (i) f(x) = 3x+ 4, (ii) f(x) =1

    x a, a R (iii) f(x) = x+ a

    x a, a R.

    Funcao Injetora Uma funcao f : A B e injetora se para todo x, y A talque f(x) = f(y), implicar que x = y.

    Como exemplo tome f : R R dada por f(x) = ax + b, com a e b numeros reais,sendo a 6= 0.Vamos mostrar que f e injetora.

    Se x, y R sao tais que f(x) = f(y), entao ax + b = ay + b. Ou seja, ax = ay.Como a 6= 0, temos que x = y. Portanto, f e injetora.

    Funcao Sobrejetora Uma funcao f : A B e sobrejetora se Im(f) = B .

    Funcao Bijetora Uma funcao f : A B e Bijetora se ela for injetora esobrejetora .

    Teorema 1. Uma funcao f : A B e Invertvel se e somente se ela for bijetora.

    Exemplo 16. Seja f : Z N dada por

    f(n) =

    n

    2, se n for par,

    n 12 1, se n for mpar.

  • 30 CHAPTER 1. FUNCOES

    E facil ver que f e uma bijecao.

    A quantidade demandada por um produto no mercado onde p e o nvel de precodeste produto, e uma funcao do preco, isto e, D : [0,) [0,) e dada por D(p).

    A quantidade ofertada ao mercado de produto com preco p e uma funcao dopreco, isto e, S : [0,) [0,) e dada por S(p).

    1.2.12 Exerccios

    (i) Uma lata fechada de estanho, de volume fixado V , deve ter a forma de um clindroreto, encontre o volume e a area deste cilindro como funcao apenas de r e depoisapenas de h respectivamente.

    (ii) Como sabemos o volume e a area de qualquer cone reto sao funcoes do seu raio re da sua altura h. Um cone reto deve ser inscrito em uma esfera de raio conhecidoa0. Enconter a area e o volume deste cone como funcao apenas de r e depois deh

    (iii) Como sabemos a area de um retangulo e uma funcao de seus lados, digamos xe y. Considere apenas os retangulos que tem mesmo permetro p0, e obtenha aarea destes retangulos como funcao de apenas um de seus lados.

    (iv) Como sabemos o volume e a area de qualquer cilindro reto sao funcoes do seuraio r e da sua altura h. De a expressao de cada uma destas funcoes. Considereum cilindro reto de raio r e altura h inscrito em uma esfera de raio fixo a. De ovolume e a area da deste cilindro em funcao apenas de h e a, e depois em funcaode r e a.

    1.2.13 Oferta e Demanda

    Em um mercadode bens, tem-se quantidade ofertada de bens e a quantidade deman-dada de bens ao nvel de preco p. Entao tem-se D,S : [0,) [0,) forem a funcaodemanda (D) ao preco p e a funcao oferta ao preco p , estas funcoes serao linearesse existirem numeros reais 0, 1, 0, 1 tais que

    (a) D(p) = 0 + 1p 0(b) S(p) = 0 + 1p 0.

    (1.2.9)

    Veja que nao ha oferta nem demanda negativa.

    Diz-se que um mercado atua em O EQUILIBRIO ECONOMICO se existirum nvel de preco p0 que faz a funcao a oferta calculada em p0 assumir o mesmo valorque a funcao demanda neste ponto, isto e D(p0) = S(p0). Neste caso diz-se que p0 envel de preco de equilbrio para este mercado .

  • 1.2. GRAFICO DE FUNCAO 31

    Em linguagem costumeiramente usada em economia, para (1.2.9a) , p e denom-inada Variavel Exogena e D Variavel Endogena . Analogamente, para (1.2.9b) , p edenominada Variavel Exogena e S Variavel Endogena

    Duas propriedades esperadas para um mercado qualquer: A quantidade de produto demandada diminui se o preco deste aumentar 1 > 0

    em (1.2.9a). A quantidade de produto ofertada aumenta se o preco deste aumentar, 1 > 0

    em (1.2.9b).Veja em 1.2.9 as curvas de demanda e oferta sao retas. Nao podemos esperar que

    as curvas de demanda e ofertas sejam retas. Nos grafico abaixo que as curvas O e Dsao curvas de Oferta e Demanda, respectivamente, nao sao retas . Veja a interpretacao

    Economica da regioes delimitadas pelas duas curva, uma que contem o segmentoab e

    a outra contem o segmentocd (ver [1, 11]).

    Na Figura abaixo podemos observar interpretacao das regioes hachuradas. veja asjustificativas em [1, 11].

    Para qualquer funcao de demanda dada por y = f(x) onde y e o preco e x, o custo

  • 32 CHAPTER 1. FUNCOES

    de producao e uma funcao C : [0,) R, e o Custo Medio e dada por

    C(x) =y

    x=f(x)

    x,

    a Receita Total R : [0,) R e dada por

    R(x) = xy = xf(x).

    e o Lucro e a funcao L : [0,) R a Receita Total menos o Custo.

    1.2.14 Exerccios

    (i) Suponha que em um mercado a quantidade produto tem nvel de preco p. Comeste nvel de preco a oferta e dada por S(p) = ap + 3 e a demanda e D(p) =bp+ 17,onde a e b sao constantes positivas.

    Encontre nvel de precop0 para que o mercado atue em equilbrio. Encontre os valores de p para que a oferta seja maior que a demanda. Encontre os valores de p para que a oferta seja menor que a demanda.

    Calcule D(p0 + 3)D(p0)3

    eS(p0 + 3) S(p0)

    3. Interprete os numeros

    que voce calculou.

    Calcule D(p0 + q)D(p0)q

    eS(p0 + q) S(p0)

    q. Interprete os numeros

    que voce calculou.

    Defina a funcao E : [0,) R dada por E(p) = D(p)S(p). Qual o nomeque voce dariapara esta funcao ?

    Encontre os intervalos onde se encontra valores p para os quais a funcao Ee positiva.

    Encontre os intervalos onde se encontra valores p para os quais a funcao Ee negativa.

    Calcule E(p0 + 3) E(p0)3

    (ii) Suponha que em um mercado a quantidade produto tem nvel de preco p. Comeste nvel de preco a oferta e dada por S(p) = ap2 + 3 e a demanda e D(p) =bp2 + 17,onde a e b sao constantes positivas. Encontre o intervalo de definicaopara D e S para que estas funcoes representem a Demanda e Oferta de umproduto em algum mercado.

    Encontre nvel de preco p0 para que o mercado atue em equilbrio. Encontre os valores de p para que a oferta seja maior que a demanda. Encontre os valores de p para que a oferta seja menor que a demanda.

  • 1.2. GRAFICO DE FUNCAO 33

    Calcule D(p0 + 3)D(p0)3

    eS(p0 + 3) S(p0)

    3. Interprete os numeros

    que voce calculou.

    Calcule D(p0 + q)D(p0)q

    eS(p0 + q) S(p0)

    q. Interprete os numeros

    que voce calculou.

    Defina a funcao E : [0,) R dada por E(p) = D(p)S(p). Qual o nomeque voce dariapara esta funcao ?

    Encontre os intervalos onde se encontra valores p para os quais a funcao Ee positiva.

    Encontre os intervalos onde se encontra valores p para os quais a funcao Ee negativa.

    Calcule E(p0 + 3) E(p0)3

    (iii) Se x e a quatidade demandada e y e o preco e 3x + y = 10, faca o grafico dafuncao receita.

    (iv) Se x e a quatidade demandada e y e o preco e 5x + 7y = 13, faca o grafico dafuncao receita.

    1.2.15 Funcao exponencial e funcao logartmica

    Dados um numero real a positivo, chama-se funcao exponencial de a a relacao f : RR dada por f(x) = ax. Note que f toma qualquer numero real mas produz apenas numeros reais posi-

    tivos.

    ? Note que f(x+ y) = f(x)f(y) para todo x R.

    ? Note que f(x y) = f(x)f(y)

    para todo x R.

    Ainda, f(0) = f(1 + (1)) = f(1)f(1) = a1a1 = aa

    = 1.

    Funcao Logartmica

    Definicao 9. Dados a, b R positivos. Se a 6= 1, chama-se logartmo de b na base aum numero real y tal que ay = b .

    Se g : (0,) R for uma funcao dada g(x) = logax, diremos que g e a Funcao

    Logartmica. Ainda Como ja vimos, se f : R (0,), for dada por f(x) = ax,teremos

    (i) f(g(y) = aloga y = y.

  • 34 CHAPTER 1. FUNCOES

    (ii) g(f(x)) = logaax = x.

    Pela Definicao 8, vemos que a funcao exponencial e a inversa da funcao logartmica.

    Propriedades

    1 : loga(xy) = log

    ax+ loga y.

    2 : logaa = 1 e log

    a1 = 0.

    3: loga(x1) = log

    ax.

    4 : loga(xy) = y log

    ax.

    NOTACAO : logab = y ay = b.

    A figura abaixo mostra o grafico da funcao esponencial f a funcao logartimica g(uma inversa da outra) para o caso onde a > 1.

    Exemplo 17. Suponha que uma certa quantidade de Moeda, digamos P0, e investidaem uma carteira de poupanca a uma taxa de r juros que compoe o capital inicial aofim de um determinado perodo fixo de tempo, digamos trinta dias. Se nao houverretiradas, Qual quantidade de capital presente apos n > 1 perodos ?

    Resolucao Note que ao fim do primeiro perodo o capital P1 e P0 composto coma parcela de juros rP0,o que nos da P1 = P0 + rP0 = P0(1 + r) . Como nao ha retiradas, ao fim do segundo perodo o capital P2 e composto da

    seguinte forma P2 = P2 + rP2 = P0(1 + r) + rP0(1 + r) = P0[1 + 2r+ r2] = P0(1 + r)

    2. Analogamente, P3 = P2 + rP2 = P0(1 + r)2 + rP0(1 + r)2 = P0(1 + r)3 Portanto, Pn = P0(1 + r)n.Veja que temos a seguinte funcao exponencial: f : N N tal que f(n) = P0(1+r)n.

    Se tomarmos a = 1 + r, teremos f(n) = P0an que e a quantidade de capital presente

    apos n perodos.

  • 1.2. GRAFICO DE FUNCAO 35

    1.2.16 Funcoes Trigonometricas

    x

    y

    1 1

    1

    12

    1

    sin

    cos

    tan =sin

    cos

    No exemplo o angulo e 30

    (/6 em radianos). O seno de, que e o comprimento do seg-mento vermelho, e

    sin = 1/2.

    Segue do Teorema de Pitagorasque cos2 + sin2 = 1. Enaoo comprimento do segmentoazul que e cosseno de , deveser dado por

    cos =

    1 1/4 = 12

    3.

    Entao tan, que e o compri-mento do segmento marrom edadao por

    tan =sin

    cos= 1/

    3.

    Lembrete sen (u+v) = senu cos v+senu cos v e cos(u+v) = cos u cos vsenusen v

    O

    A

    G

    X

    B

    6

    -

    Lembrete Se, na circunferencia trigonometrica abaixo, x R for a medida doarco BX, teremos as coordenadas retangulares do ponto X dadas por (cos(x), sen (x)).Veja que o comprimento do segmento GX e o cosx e o comprimento do segmento AXe o senx . Entao, como o triangulo OGX e um triangulo retangulo cuja hipotenusatem comprimento um, segue do Teorema de Pitagoras que

    cos2 x+ sen 2x = 1.

  • 36 CHAPTER 1. FUNCOES

    Se permitirmos que x percorra o conjunto dos numeros reais, teremos as funcoessen , cos : R [1; 1] cujos graficos sao apresentados abaixo:

    f(x) = cos x f(x) = sin x

    Como se sabe

    (i) sen (a+ b) = sen a cos b+ sen b cos a, e (ii) cos(a+ b) = cos a cos b sen asen b.(1.2.10)

    Se a = b, segue de (1.2.10i) que

    sen 2a = 2sen a cos b, (1.2.11)

    e de (1.2.10ii) segue que

    cos 2a = cos2 a sen 2a. (1.2.12)

    Substituindo sen 2a = 1 cos2 a em (1.2.12), teremos

    cos2 a =cos 2a+ 1

    2. (1.2.13)

    Substituindo cos2 a = 1 sen 2a em (1.2.12), teremos

    sen 2a =1 cos 2a

    2. (1.2.14)

    Como cosx e uma funcao par, cos x = cos(x) e senx e uma funcao mpar,senx = sen (x). Entao

    (i) sen (a b) = sen a cos(b) + sen (b) cos a, sen (a b) = sen a cos b sen b cos a,e

    (ii) cos(a b) = cos a cos(b) sen a sen (b), cos(a b) = cos a cos b+ sen a sen b.(1.2.15)

    1.3 Funcoes Limitadas

    Definicao 10. Dada f : A R B R, dizemos que f e limitada em A se existiremM e N numeros reais tais que M f(x) N para todo x A .

    Observacao 3. Se f : A R B R for tal que M < f(x) < N , entao |f(x)| max{|M |, |N |}. Neste caso M e um limitante inferior para f(x) e N a um limitantesuperior para f(x).

  • 1.3. FUNCOES LIMITADAS 37

    Observacao 4. Sejam f, h, g : R R forem dadas por f(x) = 1, h(x) = cos(1x

    )e g(x) = 1, teremos f(x) h(x) g(x) para todo x R. Veja na Figura a seguir ografico da funcao h.Como vemos a informacao de limitacao da funcao h nao nos assegura um compor-tamento sem oscilacoes para o conjunto Imagem da funcao h.

    Exemplo 18. Seja f : R R dada por f(x) = x|x|+ 1

    . Mostre que M = 1 e

    limitante inferior de f e N = 1 e limitante superior de f .

    Resolucao Veja que x1 + |x|

    = |x|1 + |x|

    1, por que na fracao |x|1 + |x|

    , o numerador e

    menor que o denominador para todo x R. Por definicao de modulo 1 x1 + |x|

    1.

    Portanto, M = 1 e limitante inferior de f e N = 1 e limitante superior de f . Vejaainda que

    f(x) =

    x

    x+ 1se x 0,

    x

    x+ 1se x < 0.

    Exemplo 19. Seja f : R Sn R, onde Sn = {

    2+ n, com n Z} dada por

    f(x) =senx

    cosx. Vemos facilmente que f nao e limitada. Veja figura abaixo.

    1.3.1 DISTANCIAS

    Se f : A R B R e uma funcao, entao tem-se x A e y = f(x) B. Se x0 Ae fixado, entao f(x0) B e podemos perguntar

    Se Dist(x, x0) < 2, entao podemos afirmar que Dis(f(x), f(x0) e menor que 3?

  • 38 CHAPTER 1. FUNCOES

    Ha alguma relacao entre Dist(x, x0) e Dis(f(x), f(x0))?

    Veja que na figura (abaixo) se tomarmos f(x) = x2 para 2 x 2, teremos queDist(x, 0) < 2 e Dist(f(x), 0) < 4. Mas e a relacao entre Dist(x, 2) e Dis(f(x), f(0))?Note que

    Dis(f(x), f(0)) = |f(x) f(0)| = |x2| = |(x 0)(x 0)| =

    |(x 0)||(x 0)| = Dist(x, 0) Dist(x, 0) < 22 = 4.

    -oxO

    oy

    4

    (x, f(x))

    2 2

    6

    Figura

    Veja que na figura se tomarmos f(x) = x2 para 2 x 2, teremos queDist(x, 0) < 1 e Dist(f(x), 0) < 4. Mas e a relacao entre Dist(x, 2) e Dis(f(x), f(0))?Note que

    Dis(f(x), f(0)) = |f(x) f(0)| = |x2| = |(x 0)(x 0)| =

    |(x 0)||(x 0)| = Dist(x, 0) Dist(x, 0) < 12 = 1.

  • 1.3. FUNCOES LIMITADAS 39

    a) Suponha que f : R R, dada por f(x) = 3x 4. Seja x R, tal queDist(x,1) < 2. Vamos encontrar limites superior e inferior paraDist(f(x),7).Resolucao Veja que Dist(f(x),7) = |f(x) (7)| = |3x 4 + 7| = |3x +3| = |3(x + 1)| = 3Dist(x,1) < 6. Portanto, um limitante inferior paraDist(f(x),7) e M = 6 e um limitante superior para Dist(f(x),7) e N = 6.Veja que ha relacao entre Dist(x, x0) e Dis(f(x), f(x0)).

    b) Suponha que f : R R, dada por f(x) = 3x 1. Seja x R, tal queDist(x,1) < 4. Vamos encontrar limites superior e inferior paraDist(f(x),4).Resolucao Veja que Dist(f(x),4) = |f(x) (4)| = |3x 1 (4)| =|3x+3| = |3(x+1)| = 3Dist(x,1). Assim, Dist(f(x),1) = 3Dist(x,1) < 12.Portanto, um limitante inferior para Dist(f(x),7) e M = 12 e um limitantesuperior para Dist(f(x),7) e N = 12.

    Exemplo 20. Suponha que f : R R e dada por f(x) = (x + 2)(x 1).Seja x R, tal que Dist(x,1) < 2. Entao como f(x) = (x + 2)(x 1) e seDist(x,1) < 2, entao |x+ 1| < 2 e assim, 2 < x+ 1 < 2.

    Vemos que se somamos um em ambos os membros teremos 1 < x + 2 < 3 e|x+ 2|max{2, | 1|} = 2 (veja Obeservacao 3).

    Em seguida se subtrairmos dois, teremos 3 < x 1 < 0, o que nos da |x 1| 0 tal que Dist(f(x),6) Dist(x, 4).

    (iv) Seja x R encontre limitantes inferior e superior para H(x) = x1 + x2

    (v) Seja x [7, 9] encontre limitantes inferior e superior para H(x) = xsen (x)

  • 1.3. FUNCOES LIMITADAS 41

    (vi) Encontre limitantes inferior e superior para (x) = x2x2 se : [4, 10] R(siga os passos do Exemplo 20).

    (vii) Encontre limitantes inferior e superior para (x) = x2 x 2 se : [4, 5] R(siga os passos do Exemplo 20).

    (viii) Uma companhia de televisao a cabo estima que com x milhares de assinantes, Ro faturamento e C os custos mensais (em milhares de unidades de moeda) saodados por

    (a)

    R(x) = 32x 21

    10x2,

    C(x) =280

    7+ 12x.

    (b)

    R(x) = 32x 21

    10x2,

    C(x) =270

    5+ 12x.

    Encontre os valores de x (numeros de assinantes) para os quais o faturamentoe igual ao custo.

    Resp (a)280

    21;

    120

    21Resp (b)

    145

    42;

    155

    42.

    Veja que faturamento e custo sao funcoes R,C : [0, 1007

    ] R. Esboce o grafioda funcao lucro. Determine a funcao lucro.

    Faca o grafico das funcoes faturamento e custo no mesmo plano cartesiano edetermine a regiao de lucro e regiao de perdas.

    Encontre limitantes inferior e superior para as funcoes, faturamento, custo elucro.

  • 42 CHAPTER 1. FUNCOES

  • Chapter 2

    Limite

    Considere a funcao f(x) = 3x 5 para x R. Seja x0 = 2 e L = 1.Pergunta Quao proximo de x0 = 2 devemos tomar valores x para que a imagem

    cada um destes valores x pela funcao f que e f(x), esteja a uma distancia menor queum de L = 1 ?

    Organizaremos nossa busca em duas etapas.

    Primeiro Observemos a segunda parte da pergunta (a imagem de x pela funcaof dada por f(x) deve ficar a uma distancia menor que um de L = 1). Em linguagemMATEMATICA, o que queremos e resolver, para x 6= x0, a inequacao

    Dist(f(x), 2) = |3x 5 1| < 1 = |3(x 2)| < 1, ou seja, Dist(f(x), 2) = 3Dist(x, 2)

    para todo x R, e assim, 13< x 2 < 1

    3. Entao

    5

    6< x 0 deL = 1 (siga os passos do Exemplo 20) ?

    (iv) Considere a funcao f(x) = 2x2 + x 3 para x R . Seja x0 = 1 e L = 0. sigaos passos do exemplo anterior e responda a seguinte pergunta (siga os passos doExemplo 20).

    2.0.2 Ponto de Acumulacao e Definicao de Limite

    Dado um subconjunto de numeros reais A (A R), um numero real x0 e ponto deacumulacao de A se qualquer intervalo aberto J contendo x0, tambem contem infinitospontos de A.

    Exemplo 23. Seja A = { xn R tal que xn =1

    n} e x0 = 0.

    Note que, x0 = 0 e ponto de acumulacao de A e x0 nao e elemento de A.

    Exemplo 24. Seja A = { x R tal que 1 x 2 }.

    Note que, qualquer ponto de A e ponto de acumulacao de A.

    Exemplo 25. Seja A = { x R tal que 1 < x 2 }.

  • 45

    Note que, qualquer ponto de A e ponto de acumulacao de A. Ainda, x0 = 1 nao eelemento de A, mas tambem e ponto de acumulacao de A.

    Definicao 11. Dada f : A R R e x0 um ponto de acumulacao de A, dizemos queo limite de f(x) quando x se aproxima de x0 e um numero real L, se dado (epsilon)numero real positivo ( > 0), existir R positivo ( > 0) tal que se x estiver auma distancia de x0 menor que , a imagem deste x por f que e f(x), estaraa uma distancia de menor que de L.

    Em linguagem Matematica, escervemos limxx0

    f(x) = L.

    Exemplo 26. Considere f : R R, dada por a funcao f(x) = 3x 2, para x R.Mostre que lim

    x23x 2 = 4.

    Resolucao Vamos seguir os passos dos tnes (a) e (b), anterior ao Exemplo 20e posteriormente a Definicao 11. Observe que x0 = 2 e L = 4. Dado > 0, vamoscalcular a distancia de f(x) ate 4. Isto e,

    Dist(f(x), 4) = |f(x) 4| = |3x 2 4| = |3x 6| = |3(x 2)| = 3|x 2|. (2.0.1)

    Veja que Dist(f(x), 4) = 3Dist(x, 2) para todo x R. Ainda, note que, se adistancia de x a 2 for menor que =

    3, teremos Dist(x, 2) = |x 2| <

    3e a imagem

    deste x pela funcao f , que e dada por f(x) estara a uma distancia menor que deL = 4. Veja as contas abaixo:

    Dist(f(x), 4) = |f(x) 4| = 3|x 2| = 3Dist(x, 2) < 3(

    3

    )= .

    Portanto, limx2

    3x 2 = 4.

    Teorema 2. Dadas f, g : A R R duas funcoes e x0 um ponto de acumulacao deA. Suponhamos que

    (i) f(x) = g(x) para todo x em A, que seja diferente de x0.(ii) lim

    xx0g(x) = g(x0).

    Entao o limite de f(x) quando x se aproxima de x0 tambem e L. Isto e, limxx0

    f(x) =

    g(x0).

    Exemplo 27. Tomemos f : R R dada por f(x) = x2 4x 2

    . Vamos calcular

    limx2

    x2 4x 2

    .

  • 46 CHAPTER 2. LIMITE

    ResolucaoNote que, o numerador e o denominador da fracao envolvida na expresao de f(x)

    sao polinomios de graus diferentes. Entao ha a possibilidade de realizarmos a divisaode um polinomio pelo outro. Neste caso teremos

    f(x) =(x 2)(x+ 2)

    x 2x 6=2= x+ 2.

    Tome g : R R, dada por g(x) = x + 2. Note que, g e f satisfazem a hipotese (i)do Teorema 2, ou seja f(x) = g(x) para x 6= 2. Veja que nao podemos calcular f(2).? O limite de g(x) quando x se aproxima de x0 = 2 e 4. Em linguagem Matematicalimx2

    x + 2 = 4. A seguir usaremos a Definicao 11 e provaremos esta ultima afirmacao.

    Dado > 0, tome = . Como em (2.0.1) vamos calcular a distancia de g(x) ateL = 4.

    |g(x) 4| = |x+ 2 4| = |x 2|.

    Veja que, se x estiver a uma distancia menor que de 2 (|x 2| < ), a imagemdeste x pela funcao g que e dada por g(x), estara a uma distancia menor que de 4(|g(x) 4| < ). Entao, a Definicao 11 nos garante que lim

    x2g(x) = lim

    x2x + 2 = 4.

    Agora a segunda hipotese do Teorema 2 esta satisfeita. Portanto, o Teorema 2 nos

    asegura que limx

    x2 4x 2

    = 4 = g(2).

    Observacao 5. Dizemos que o limite limxx0

    f(x) existe se ele for um numero real.

    Exemplo 28. Seja a funcao for dada por

    f(x) =

    {x2 se x 6= 2,0 se x = 2.

    (2.0.2)

    Mostre que limx2

    f(x) = 4

    Resolucao Seja > 0. Devemos encontrar > 0 tal que se

    Dist(x, 2) < , entao Dist(f(x), 4) < .

    Vamos calcular a distancia de f(x) a 4.

    Dist(f(x), 4) = |f(x) 4| = |x2 4| = |(x+ 2)(x 2)| =

    |x+ 2||x 2| = |x+ 2|Dist(x, 2)(2.0.3)

    Vemos que em (2.0.3) Dist(f(x), 4) e o produto do fator |x + 2| pela Dist(x, 2), oque faz entender que o fator |x + 2| deve ser estudado com detalhes. Queremos saberqual e o tamanho do fator |x+ 2| quando x estiver perto de 2. Vamos supor que x naose afasta de 2 mais que uma unidade, isto e Dist(x, 2) < 1 (a distancia de x ate 2 emenor que um).

  • 47

    Dist(x, 2) = |x 2| < 1 implica que 1 < x 2 < 1, entao 1 < x < 3,

    Somando 2 em ambos os membros da ultima desigualdade teremos 3 < x+2 < 5. Vejaque conseguimos uma limitacao para o fator |x + 2| se tomarmos valores x que naose afastam de 2 mais que uma unidade. Neste caso, se voltarmos em (2.0.3) e veremosque

    Dist(f(x), 4) < 5Dist(x, 2), sempre que x

    for escohido tal que Dist(x, 2) < 1.(2.0.4)

    Agora, dado > 0 tomemos = min{1, 5}. Observe que se Dist(x, 2) < , entao

    Dist(x, 2) < 1 e assim, ao tomarmos valores x que nao se afastam de 2 mais queuma unidade, (2.0.4) sera verdadeiro. Mas, Dist(x, 2) < tambem nos faz ver que

    Dist(x, 2) 0, tomamos = min{1, 5} e se

    Dist(x, 2) < , entao Dist(f(x), 4) < , ou seja limx2

    x2 = 4.

    Observacao 6. Note que no exemplo 28, limx2

    x2 = 4, mas a imagem de x0 = 2 pela

    funcao f e zero (f(2) = 0). Ainda, na figura abaixo vemos o grafico de duas funcoesdelas, hm : R R dadas por

    h(x) =

    {x2 6x+ 10, se x 6= 30 se x = 3

    e m(x) =

    {x2 4x+ 1, se x < 3,x2 4x+ 3 se x 3.

    2.0.3 Propriedades de Limite

    Teorema 3. Seja f : A R R funcao e x0 ponto de acumulacao de A. Se existiro limite lim

    xx0f(x) ele e unico .

    Prova Como por hipotese o limite limxx0

    f(x) existe, entao existe um numero real L

    tal que limxx0

    f(x) = L. Suponha (por absurdo) que existe M R tal que limxx0

    f(x) =

  • 48 CHAPTER 2. LIMITE

    M . Vamos mostrar que M e igual a L. Ou seja que a diferenca L M e zero. DaDefinicao 11, segue que dado > 0, existem 1 > 0 e 2 > 0 tal que

    |f(x) L| < 2, se |x x0| < 1 e |f(x)M | 0, seja = |m|

    . Como antes, vamos

    calcular a distancia de f(x) ate o numero real f(x0) = mx0 + n,

    |f(x) f(x0)| = |mx+ n (mx0 + n)| = |m(x x0)| = |m||x x0|.

    Veja que, se x estiver a uma distancia menor que

    |m|de x0, isto e se

    |x x0| 0 que satisfaca a definicao 11.

    1 (i) limx2

    6x+ 5 = 17 (ii) limx2

    x2 3x+ 9 = 19 (iii) limx2

    (x2 + 2x 1) = 1

    (ii) limx3

    x2 9x+ 3

    = 6. (ii) limx3

    x2 9x 3

    = 6.

  • 51

    2 (Leithold vol I, Exc 2.5 p 73 / resp. A 65) Encontre o valor do limite e conformeo caso indique os teoremas usados.

    (i) limx2

    (x2 +2x1) (ii) limx2

    x2 52x3 + 6

    (iii) limy2

    y3 + 8

    y + 2(vi) lim

    x3

    x2 + 5x+ 6

    x2 x 12

    (v) limr1

    8r + 1

    r + 3(vi) lim

    y3

    y2 9

    2y2 + 7y + 3(vii) lim

    x0

    x+ 2

    2

    x(Racionalize

    o numerador) (viii) limh0

    h+ 1 1

    h(ix) lim

    x3

    2x3 5x2 2x 34x3 13x2 + 4x 3

    Respostas ( 7, 122

    , 12, 17, 3

    2, 1

    5

    30, 1

    4

    2, 1

    3, 11

    17).

    3 Suponha que limx0

    f(x) = 1, limx0

    g(x) = 5, limx1

    h(x) = 5, limx1

    p(x) = 1 e

    limx1

    r(x) = 2. Especifique as regras (Teoremas) que estao sendo utilizadaspara efetuar os calculos do seguinte limites:

    (i) limx0

    2f(x) g(x)[f(x) + 7]

    23

    =7

    4(ii) lim

    x1

    5h(x)

    p(x)[4 r(x)]=

    5

    6(iii) lim

    x0f(x)g(x) = 5

    (iv) limx0

    f(x)

    [f(x) g(x)] 23(v) lim

    x0x

    2f(x) g(x)[f(x) + 7]

    23

    (vi) limx1

    (x2 1)

    5h(x)

    p(x)[4 r(x)]= 0

    (vii) limh0

    h+ 3

    3

    h(viii) lim

    t0

    2

    4 tt

    (ix) limh 3

    2

    8t3 274t2 9

    4 Em cada item abaixo calcule limxa

    f(x) f(a)x a

    ; a R, a 6= 0.

    (i) f(x) = 3x, R.

    1

    33a2

    ; (ii) f(x) = 4x, R.

    1

    44a3

    ; (iii) f(x) = 5x, R.

    1

    55a4

    ; (iv) f(x) = x2, R. 2a3; (v) f(x) = x3, R. 3a4;

    5 a Verifique que se f(x) = x2 + 5x 3, entao limx2

    f(x) = f(2)

    b Verifique que se g(x) =x2 4x 2

    , entao limx2

    g(x) = 4; mas que g(2) nao esta

    definida.

    c Dada a funcao f , em cada um dos casos, verifique se limx3

    f(x) = f(3)

    f(x) =

    {x2 9, se x 6= 34, x = 3.

    f(x) =

    {x29x+3

    , se x 6= 34, x = 3.

  • 52 CHAPTER 2. LIMITE

    2.0.5 Limites Laterais

    Definicao 12. Dada f : A R R funcao e x0 ponto de acumulacao de A. Suponhaexiste r > 0 tal que o intervalo aberto (x0 r, x0) e subconjunto de A. Dizemos queo limite de f(x) quando x se aproxima de x0 pela esquerda de x0 e L, se dado > 0,existir > 0 tal que para todo x < x0 e dist(x, x0) < tivermos dist(f(x), L) < .

    Notacao limxx0

    f(x) = L.

    -oxO

    oy

    ^

    _

    (x, f(x))

    1

    1

    1 +

    = (

    x

    ...

    ...

    .........

    6

    Figura 1

    Exemplo 33. Seja

    f(x) =

    {1, se x > 0,1, se x 0,

    Note que, x0 = 0 e L = 1, entao dado > 0, o intervalo (0 , 0) e subconjuntodo domnio de f . Note ainda que, se tomarmos = , veremos que, se x (, 0)entao dist(x, 0) < ou seja |x| < , e dist(f(x), 0) = | 1 + 1| = 0 < |x| < .

    Definicao 13. Dada f : A R R uma funcao e x0 um ponto de acumulacao de A.Suponha existe r > 0 tal que o intervalo aberto (x0, x0+r) e subconjunto de A. Dizemosque o limite de f(x) quando x se aproxima de x0 pela direita de x0 e L se dado > 0,existir > 0 tal que para todo x > x0 e dist(x, x0) < tivermos dist(f(x), L) < .

    Notacao limxx+0

    f(x) = L.

    Exemplo 34. Seja f(x) =

    {1, se x > 0,1, se x 0,

  • 53

    -oxO

    oy

    _

    ^

    (x, f(x))

    1 +

    1

    =

    f(1) = 1

    )x

    ...

    ...

    ...

    ...

    ...

    6

    Figura 2

    Note que, x0 = 0 e L = 1. Dado > 0 que o intervalo (0, ) e subconjunto dodomnio de f . Note ainda que, se tomarmos = , veremos que se x (0, ) = (0, )entao dist(x, 0) < , ou seja |x| < , e dis(f(x), 0) = |1 1| = 0 < |x| = x < .

    Teorema 7. Dada f : A R R uma funcao e x0 um ponto de acumulacao de A.O limite de f(x) quando x se aproxima de x0 existe se e somente se os limites lateraisexistirem e forem iguais; ou seja lim

    xx0f(x) = L R se e somente se lim

    xx0f(x) = L

    R; limxx+0

    f(x) = M R e L = M .

    Segue do Teorema 7 nos diz que se f for a funcao dada no exemplo 34 entao olimx0

    f(x) nao existe.

    Exemplo 35. Seja f : [4; 6] R funcao cujo grafico esta dado abaixo:

    Veja que limx1

    f(x) = 4 e limx1+

    f(x) = 2. Do Teorema 7 segue que limx1

    f(x) nao existe.

  • 54 CHAPTER 2. LIMITE

    2.0.6 Exerccios

    (i) Calcule os limites:

    (i) limx+

    x2 2

    x, Resp 0; (ii) lim

    x

    x2 2

    x, Resp 0

    (iii) limx+

    |x |2 2x

    , Resp 12; (iv) lim

    x

    |x |2 2x

    , Resp 12.

    2 Calcule os limites:

    (i) limz3

    |z 3|z2 4z + 3

    , Resp 12

    (ii) limz3+

    |z 3|z2 4z + 3

    , Resp 12.

    (iii) limu1+

    u2 6u 7u3 + 1

    , Resp 83

    . (iv) limu1

    u2 6u 7u3 + 1

    , Resp 83

    .

    (v) limz2

    |z3 x 6|2z2 + z 10

    , Resp 119

    . (vi) limu1

    |u2 6u 7|u3 + 1

    , Resp 83.

    A equacao ax2 + 2x 1 = 0, com a R uma constante, apresenta duas razes sea > 1, uma positiva e a outra negativa.

    r+(a) =1 +

    1 + a

    ae r(a) =

    1

    1 + a

    a.

    (a) O que acontece a funcao r+(a) quando a 0 ? Quando a 1+ ?

    (a) O que acontece a funcao r(a) quando a 0 ? Quando a 1+ ?

    Fundamente suas conclusoes tracando os graficos de r+(a) e r(a) em funcao dea. Descreva o que voce observa.

    3 limxa|x a|, tome a = 5, a = 2 e a = 6. lim

    xa

    |x2 a2|x a

    , tome a = 5, a = 2 e

    a = 6.

    2.1 LIMITES INFINITO E NO INFINITO

    Definicao 14. Dada f : (a,) R uma funcao. Dizemos que o limite de f(x)quando x se aproxima do infinito e L se dado > 0, existir N R positivo tal que,para cada x > N tem-se dist(f(x), L) < .

  • 2.1. LIMITES INFINITO E NO INFINITO 55

    -oxO

    _ b+

    ^ b N x

    f(x)

    oy

    (x,

    bx2

    (x a)2)

    y = b

    x = a

    6

    Figura 3

    Exemplo 36. Seja f : R {0} R dada por

    f(x) =1

    xentao temos lim

    xf(x) = 0.

    Observe que L = 0. Dado > 0, tome N0 N (numero natural) tal que1

    N0< .

    Note que se x > N0 entao 0 0, tome M0 Z ( inteiro negativo ) tal que1

    |M0|< . Note que se x < M0 entao 0 0 tome M =

    1r

    1r

    > 0. Veja

    que M r =

    e que se x > M entao xr > M r e assim,

    xr M , f(x) < . Portanto, segue da Definicao 14 que

  • 2.1. LIMITES INFINITO E NO INFINITO 57

    limx

    xr= 0.

    As outras da prova partes deste Teorema sera omitida. O leitor pode encontra-laem algum dos livros citados na bibliografia desta disciplina.

    Exemplo 38. Seja f : (0,) R funcao cujo grafico aparece esbocado na fuguraabaixo. Podemos ver que lim

    xf(x) = L.

    Veja que dad > 0 existe M > 0 tal que se x > M entao f(x) ( L; + L).

    Exemplo 39. Seja f : R {0} R dada por

    f(x) =1

    x2.

    Veja que neste exemplo temos r = 2 e = = 1. Entao pelo Teorema 8, temos

    limx

    1

    x2= 0 e lim

    x

    1

    x2= 0.

    Exemplo 40. Dada f(x) =4x 35x+ 5

    . Calcule limx

    f(x).

    Note que4x 35x+ 7

    =4 3

    x

    5 + 7x

    para todo x R nao nulo. Ainda, pelo Teorema 8,

    limx

    3

    x= 0. Analogamente, lim

    x

    7

    x= 0. Portanto, podemos nos valer do Teorema 5(C)

    para ver que

    limx

    4x 35x+ 7

    = limx

    (4 3

    x

    )(

    5 + 7x

    ) = limx(

    4 3x

    )limx

    (5 +

    7

    x

    ) = 45

    .

  • 58 CHAPTER 2. LIMITE

    2.1.1 Limites Infinitos

    Definicao 16. Seja f : A R R uma funcao e x0 um ponto de acumulacao de A.Suponhamos que existe r > 0 tal que x (x0 r, x0) A. Dizemos que o limite def(x) quando x aproxima-se, pela esquerda, de x0 e infinto se dado N0 N existe > 0tal que para cada x (x0 , x0) tivermos f(x) > N0.

    Notacao limxx0

    f(x) =.

    -

    6

    x0

    oxO

    oy

    (x

    f(x)

    ...

    ...

    ...

    ...

    ...

    ...

    ...

    ...

    ... N0

    (x, f(x))

    x0

    6

    Figura 5

    Definicao 17. Seja f : A R R uma funcao e x0 um ponto de acumulacao deA. Suponhamos que existe r > 0 tal que x (x0 r, x0) A. Dizemos que o limitede f(x) quando x aproxima-se, pela esquerda, de x0 e menos infinto se dado N1 N,N1 < 0, existe > 0 tal que para cada x (x0 , x0) tivermos f(x) < N1.

    Notacao limxx0

    f(x) = .

    Teorema 9. Sejam f, g : A R R uma funcao e x0 um ponto de acumulacao deA. Suponha que

    limxx0

    g(x) = 0 e limxx0

    f(x) = R, com > 0 (2.1.11)

    (i) Se existir > 0, tal que se x (x0 , x0), tem-se g(x) > 0, entao limxx0

    f(x)

    g(x)=

    .

    (ii) Se existir > 0, tal se x (x0, x0), tem-se g(x) < 0, entao limxx0

    f(x)

    g(x)= .

  • 2.1. LIMITES INFINITO E NO INFINITO 59

    Definicao 18. Seja f : A R R uma funcao e x0 um ponto de acumulacao deA. Suponhamos que existe r > 0 tal que x (x0, x0 + r) A. Dizemos que o limitede f(x) quando x aproxima-se, pela direita, de x0 e menos infinto se dado M1 Z,M1 < 0, existir > 0 tal que para cada x (x0, x0 + ) tivermos f(x) < M.

    Notacao limxx+0

    f(x) = .

    Definicao 19. Seja f : A R R uma funcao e x0 um ponto de acumulacao de A.Suponhamos que existe r > 0 tal que x (x0, x0 + r) A. Dizemos que o limite def(x) quando x aproxima-se, pela direita, de x0 e infinto se dado M0 N, existir > 0tal que para cada x (x0, x0 + ) tivermos f(x) > M0.

    Notacao limxx+0

    f(x) =.

    Teorema 10. Sejam f, g : A R R uma funcao e x0 um ponto de acumulacao deA. Suponha que

    limxx+0

    g(x) = 0 e limxx+0

    f(x) = R, com > 0 (2.1.12)

    (i) Se existir > 0, tal que se x (x0, x0 +), tem-se g(x) > 0, entao limxx+0

    f(x)

    g(x)=

    .

    (ii) Se existir > 0, tal que se x (x0, x0 + ), tem-se g(x) < 0, entao limxx+0

    f(x)

    g(x)=

    .

    Exemplo 41. Seja h : (5; 5) R dada por h(x) = x2 + 2

    x2 4se x 6= 2 e x 6= 2.

    Calcule limx2

    x2 + 2

    x2 4e limx2+

    x2 + 2

    x2 4.

    Resolucao Veja que o sinal de x2 4 e dado por

    -oxO-2 2

    + + + + + + + + + +

    (i) Defina f(x) = x2 + 2 e f(x) = x2 4. Note que limx2

    g(x) = 0 e limx2

    f(x) =

    6 > 0 (ver (2.1.12)). Ainda, se 0 < < 1 e x (2, 2 + ), g(x) > 0, isto e, aimagem de cada um destes valores x pela funcao g, que e dado por g(x), e umnumero real positivo (ver figura acima)). Entao, podemos nos valer do primeiro

    item do Teorema 10 para obtermos limx2+

    x2 + 2

    (x2 4)=.

  • 60 CHAPTER 2. LIMITE

    (ii) Defina f(x) = x2 + 2 e g(x) = x2 4. Note agora que limx2+

    g(x) = 0 e

    limx2+

    f(x) = 6 > 0 (ver (2.1.11)). Ainda, se 0 < < 1 e x (2 , 2), g(x) < 0,isto e, a imagem de cada um destes valores x pela funcao g, que e dado por g(x),e um numero real negativo (ver figura acima ). Entao, podemos nos valer do

    primeiro item do Teorema 16 para obtermos limx2

    x2 + 2

    (x2 4)= .

    Teorema 11. Sejam f ; g : A R R funcoes e x0 um ponto de acumulacao de A.Suponhamos que

    (i) limxx+0

    g(x) = L R e limxx+0

    f(x) =.

    Entao(i) lim

    xx+0g(x)f(x) = se L > 0.

    (ii) limxx+0

    g(x)f(x) = se L < 0.

    Teorema 12. Sejam f ; g : A R R funcao e x0 um ponto de acumulacao de A.Suponhamos que

    (i) limxx0

    g(x) = L R e limxx0

    f(x) =.

    Entao(i) lim

    xx0g(x)f(x) = se L > 0.

    (ii) limxx0

    g(x)f(x) = se L < 0.

    Exemplo 42. Seja h : A R R dada por h(x) = x2 + 3x+ 4

    3x2 + 15x 12. Calcule

    limx4

    h(x).

    Resolucao Vamos denominar por g(x) = x2 + 3x + 4 e f(x) = 3x2 + 15x 12.Veja que x0 = 4 e raiz de g(x). Entao por divisao de polinomios obtemos g(x) =3(x 3

    2)(x 4) e assim o sinal de g(x) e dado por.

    -oxO3

    24

    + + + + + + +

    Tambem vemos que para calcular o limx4

    h(x) teremos que calcular limx4

    h(x) e

    limx4+

    h(x).

  • 2.1. LIMITES INFINITO E NO INFINITO 61

    Vamos calcular prmeiro limx4

    h(x). Como limx4

    f(x) = limx4

    x2 + 3x + 4 = 32 > 0 e

    existe > 0 tal que se 4 < x < 4 tem-se f(x) > 0 (veja figura acima), segue do

    Teorema 6i que limx4

    f(x) = limx4

    x2 + 3x+ 4

    3x2 + 15x 12=.

    Calcular agora limx4+

    h(x). Como limx4

    f(x) = limx4

    x2 + 3x + 4 = 32 > 0 e existe

    > 0 tal que se 4 < x < 4 + tem-se f(x) < 0 (veja figura acima), segue do Teorema

    6ii que limx4+

    f(x) = limx4+

    x2 + 3x+ 4

    3x2 + 15x 12= . Podemos afirma que nao existe

    nenhum dos limites limx4

    f(x), limx4+

    f(x) e limx4

    f(x).

    Exemplo 43. Calcule (a ) limx3+

    x2 + x+ 2

    x2 2x 3e ( b ) lim

    x3

    x2 + x+ 2

    x2 2x 3.

    Note que, limx3

    g(x) = limx3

    x2 +x+2 = 14 = L > 0 e limx3

    f(x) = limx3

    x22x3 = 0.Ainda, f(x) = (x 3)(x+ 1) e o sinal de f(x) aparece na figura abaixo:

    -

    1 3

    + + + + + +)3 + x

    (a) Veja na figura que, se > 0 e x (3 ; 3 + ) a imagem de x por f que e dada porf(x), e positiva. Como lim

    x3g(x) = lim

    x3x2 + x + 2 = 14 = L > 0, Teorema 6(iii) nos

    faz concluir

    limx3+

    x2 + x+ 2

    x2 2x 3=.

    (b) Veja tambem na figura que, se > 0 e x (3 ; 3) a imagem de x por f quee dada por f(x), e negativa. Como lim

    x3g(x) = lim

    x3x2 + x + 2 = 14 = L > 0, a parte

    Teorema 6(ii) nos faz concluir

    limx3+

    x2 + x+ 2

    x2 2x 3= .

    2.1.2 Exerccios

    1 Calcule os limites,

    (i) limx4+

    x

    x 4; R. ; (ii) lim

    h2+

    h+ 2

    h2 4; R. ; (iii) lim

    t2

    t+ 2

    t2 4; R. ;

    (iv) limx0

    3 + x2

    xR. ; (v) lim

    x3+

    x2 9x 3

    ; R. , (vi) limx0

    3 + x2

    x; R.

  • 62 CHAPTER 2. LIMITE

    ;

    (vii) limx0

    3 + x2

    x; (viii) lim

    h3

    h2

    9 h2(ix) lim

    x

    5x2 + 8x 33x2 + 3

    ; R 53.

    (x) limx

    5x2 + 8x 33x2 + 3

    ; R 53. (xi) lim

    x

    2x2 37x+ 4

    ; R. (xi) limx

    4x3 + 7x2x2 3x 10

    ;

    R .

    Encontre os limites a seguir. (i) limh+

    2h2 + 1

    5h2 2; (ii) lim

    x+

    x2 + 4

    3x3 6; (iii)

    limy+

    y3 + 4

    y + 4; (iv) lim

    x

    4x3 + 2x2 68x3 + x+ 2

    ; (v) limx+

    x2 + 1 x.

    (Resp. 25, 0, , 1

    2, 1).

    (vi) limx

    x2 2x+ 57x3 + x+ 1

    (vii) limx

    x2 + 4

    x+ 4(viii) lim

    x

    3x4 7x2 + 22x4 + 1

    .

    (vii) Seja h : A R R dada por h(x) = x2 + 3x+ 4

    3x3 + 15x 12. Calcule lim

    x1h(x),

    limx

    h(x) e limx

    h(x).

    2 Investigue a continuidade das funcoes a seguir, e indique os pontos de descon-tinuidade em cada item:

    (a) f(x) =

    2x+ 1, < x 1;x2 3x 4, 1 < x 2;x+ 1, 2 < x < 5.

    (b) g(x) =

    x2 + 1, < x < 1;x2 3x 4, 1 x 2;x+ 1, 2 < x 2.

    (d) g(x) =

    2x+2, < x < 0;x2 4x 5, 1 x 2;2x+ 1, 2 < x

  • 2.1. LIMITES INFINITO E NO INFINITO 63

    4 Investige a continuidade das funcoes f(x) e g(x) nos pontos x0, x1 e x2 indicados,quando x0 = 2, x1 = 1, x2 = 0 para f(x) e x0 = 1, x1 = 2, x2 = 0 para g(x) e

    f(x) =

    x3 8x2 4

    , se x 6= 2;

    3, se x = 2.

    g(x) =

    x2 + 1, se < x < 1;

    x2 3x 4, se 1 x 2;

    x+ 1, se 2 < x 0 e que f (a) nao exista.

    8 Resolva as questoes abaixo verifique se a afirmacao e falsa ou verdadeira.

    (i) Verifique se limx0

    3sen (x3 + )

    2(x2 1)=

    3

    2, e lim

    x3

    x2 10x 39x2 + 2x 3

    = 4,

    (iii) Verifique se limx

    4x2 10x 39x2 + 2x 3

    = 4, e limx5

    4x2 100x 5

    = 40,

    (v) Verifique se limx3

    x2 + 2x 15x2 + 4x+ 3

    = 1, e limx

    x2

    2sin(

    4

    x2) = 2.

  • 64 CHAPTER 2. LIMITE

    2.1.3 Teorema do Sanduiche e Limites Fundmentais

    Teorema 13. Sejam f ; g : A R R funcoes e x0 um ponto de acumulacao de A.Suponhamos que

    (i) limxx0

    f(x) = 0.

    (ii) Existe M > 0 tal que |g(x)| < M.

    Entao, limxx0

    g(x)f(x) = 0

    Exemplo 44. Seja h : A R R dada por h(x) = x7 sen ( 1x). Calcule lim

    x0h(x).

    Resolucao Nos podemos usar o Teorema 13 para calcular este limite. Veja queh(x) = f(x)g(x) onde f(x) = x7 e g(x) = sen ( 1

    x). Ainda lim

    x0f(x) = lim

    x0x = 0 e

    |g(x)| = |sen ( 1x)| 1. Pelo Teorema 13 lim

    x0h(x) = lim

    x0x7 sen (

    1

    x) = 0.

    Teorema 14. Dadas f, g, h : A R funcoes e x0 ponto de acumulacao de A.(i) Suponha existe > 0 tal que para cada x (x0 ;x0 + ) tem-se f(x) h(x) g(x).(ii) Suponha que lim

    xx0f(x) = L e lim

    xx0g(x) = L, onde L e um numero real.

    Entao limxx0

    h(x) = L.

    Exemplo 45. Seja h : A R R funcao dada por h(x) = x sen (1x

    ), e x0 = 0.

    Calcule limx0

    h(x).

    Note que, x x sen (1x

    ) x, enta tome f(x) = x e g(x) = x e teremos f(x) h(x) g(x) para todo x R. Como limx0x = 0 = limx0 x, o Teorema 14 nosgarante que limx0 sen (

    1

    x) = 0.

  • 2.2. LIMITES FUNDAMENTAIS 65

    2.2 LIMITES FUNDAMENTAIS

    2.2.1 Primeiro Limite Fundamental

    Provemos que limx0

    senx

    x= 1.

    Consideremos o arco de circunferencia de raio um AOC na Figura abaixo. Con-sidere tambem o setor circular AOC e os triangulos BOC e AOG cujas as areas saorepresentasdas por s, B e G respectivamente.

    O A

    G

    C

    B

    6

    -

    E facil ver que B s G. Vamos denotar a medida do arco AC por x, e observarque a medida dos segmentos de reta OA, OB, BC, e AG sao um, cosx, senx e

    senx

    cosxrespectivamente. Com estes valores em mentevemos que estas areas satisfazem

    1

    2(sen x cosx) x

    2 1

    2

    senx

    cosxou seja sen x cosx x senx

    cosx.

    Invertendo todas as fracoes teremos

    1

    senx cosx 1

    x cosx

    senx.

    Multiplicando todos os membros das inequacoes acima por sen x (veja que senx > 0)teremos

    1

    cosx senx

    x cosx.

  • 66 CHAPTER 2. LIMITE

    Agora estamos em condicoes de nos valer do Teorema 14 com as funcoes f(x) =1

    cosx,

    g(x) = cosx e h(x) =senx

    x. Como lim

    x0+f(x) = lim

    x0+

    1

    cosx= 1 e lim

    x0+g(x) =

    limx0+

    cosx = 1, o Teorema 14 nos asegura que

    limx0+

    h(x) = limx0+

    senx

    x= 1.

    Note que todos os calculos acima podem ser desenvolvidos para x proximo de zero,mas pela esquerda de zero, o que nos faz ver que

    limx0

    h(x) = limx0

    senx

    x= 1.

    Como os limites pela esquerda e pela direita de zero existem e sao iguais, teremos

    limx0

    senx

    x= 1.

    Observacao 7. Veja que a hipotese limxa

    f(x) = limxa

    g(x) do Teorema 14 nao pode ser

    suprimida, porque se f, h, g : R R forem dadas por f(x) = 1, h(x) = cos(1x

    )e

    g(x) = 1, teremos a hipotese f(x) h(x) f(x) do Teorema 14 satisfeita. Comolimxa

    f(x) = 1, limxa

    g(x) = 1 e limxa

    f(x) 6= limxa

    g(x), a hipotese limxa

    f(x) = limxa

    g(x) do

    Teorema 14 nao esta satisfeita. Veja na Figura a seguir o grafico da funcao h. E facilver que a Definicao 11 nao vale para o limite lim

    x0f(x).

    Exemplo 46. Vamos calcular limx0

    1 cosx

    .

    Veja que a fracao dentro do limite pode ser escrita como

    1 cosx

    =1 cosx

    1 + cos x1 + cos x

    =1 cos2 xx[1 + cos x]

    =senx

    x senx 1

    [1 + cos x].

  • 2.2. LIMITES FUNDAMENTAIS 67

    Veja que limx0

    senx

    x= 1 (limite fundamental), lim

    x0senx = 0 e lim

    x0

    1

    1 + cos x= 1. Entao

    temos

    limx0

    1 cosx

    = limx0

    senx

    x senx 1

    [1 + cos x]= 1 0 1 = 0.

    Exemplo 47. Seja h : R R dada por h(x) = x2 cos 1x

    . Calcule limx0

    x2 cos1

    x

    Resolucao Tome f, g : R R dadas por f(x) = x2 e g(x)x2 e veja quef(x) h(x) g(x) para todo x R (ver figura abaixo). Ainda lim

    x0f(x) = lim

    x0x2 =

    limx0

    x2 limx0

    g(x). Segue do Teorema 14 que limx0

    h(x) = limx0

    x2 cos1

    x= 0.

    Exemplo 48. Seja h : R R dada por h(x) = x2 cos 1x

    . Calcule limx0

    x2 cos1

    x

    Resolucao Tome f, g : R R dadas por f(x) = x2 e g(x)x2 e veja quef(x) h(x) g(x) para todo x R (ver figura abaixo). Ainda lim

    x0f(x) = lim

    x0x2 =

    limx0

    x2 limx0

    g(x). Segue do Teorema 14 que limx0

    h(x) = limx0

    x2 cos1

    x= 0.

    Exerccio 1. (i) Calcule (i) limx0

    sen 3x

    x; (ii) lim

    x0

    senx

    x; (iii) lim

    x0

    sen 3x

    sen 5x; (iv)

    limx0

    sen 211x

    5x.

    (ii) Tome f(x) = cos x e calcule limh0

    f(a+ h) f(a)h

    (iii) (i) Calcule limx1

    sen x

    x 1. (ii) lim

    x0

    sen 17x

    sen x;

  • 68 CHAPTER 2. LIMITE

    (iv) a - Calcule limx

    2x2 x 3x3 2x2 x+ 2

    .

    b - Seja f : R R dada por f(x) = x 15 . Se a for um numero real fixo nao nulo,

    calculef(x) f(a)

    x a. Em seguida calcule lim

    xa(ax)

    15f(x) f(a)

    x a.

    (v) Calcule os limites abaixo :

    (i) limx0

    5

    3 + x2

    x3; (ii) lim

    x1

    2x2 x 3x3 2x2 x+ 2

    ; (use o item (i) exerccio 3).

    (vi) Encontre em R o conjunto solucao para as inequacoes abaixo :

    (a)2x2 x 3

    x3 2x2 x+ 2 0; (b) 3

    9 x 2x+ 2

    ;

    (c) Seja f : A R R dada por f(x) =|2x 1| |x+ 1|. Descreva o

    conjunto A.

    (vii) a Calcule as assntotas horizontais e verticais de f(x) =x2 4x3 + 8

    ,

    b Como sabemos da definicao de limite que limx2

    x2 + 2x 1 = 7 se dado > 0existir > 0 tal que, se dist(x; 2) < , entao dist(f(x), 7) < . Dado = 104,encontre algum > 0 adequado que satisfaca a definicao de limite.

    2.2.2 Segundo Limite Fundamental

    Primeiramente vamos mostrar que se n for um numero natural maior que dois entao[1 +

    1

    n

    ]n 2 se n 2.

    Usando o binomio de Newton, vemos facilmente que[1+

    1

    n

    ]n=

    ni=0

    (n

    i

    )1ni

    ( 1n

    )i=

    (n

    0

    )1n0

    ( 1n

    )0+

    (n

    1

    )1n1

    ( 1n

    )1+

    ni=2

    (n

    i

    )1ni

    ( 1n

    )i,

    mas veja que 1n0( 1n

    )0= 1 =

    (n

    1

    )1n1

    ( 1n

    )1. Entao 1n0

    ( 1n

    )0+

    (n

    1

    )1n1

    ( 1n

    )1=

    1 + 1 = 2, ainda note que ni=2

    (n

    i

    )1ni

    ( 1n

    )i> 0,

    pois todas as suas parcelas sao positivas. Portanto, se n 2 teremos[1 +

    1

    n

    ]n 2.

  • 2.2. LIMITES FUNDAMENTAIS 69

    Proposicao 1. Se e for o numero irracional neperiano cujo valor aproximado e2, 718281828459..., entao

    limt+

    [1 +

    1

    t

    ]t= e = lim

    t

    [1 +

    1

    t

    ]t.

    A prova da Proposicao 1 envolve o conceito de Series de numericas e sera omitida,mas faremos alumas observacoes sobre este assunto. Faca t N, (t assumir apenasnumeros Naturais). Neste caso e facil ver que

    Vamos provar que

    lims0

    [1 + s

    ]1s = e.

    (2.2.13)

    Fazendo t =1

    s, teremos que s + se t 0+, entao

    lims0+

    [1 + s

    ]1s = lim

    t

    [1 +

    1

    t

    ]t Prop 1= e.

    Ainda teremos que s se t 0, entao

    lims0

    [1 + s

    ]1s = lim

    t

    [1 +

    1

    t

    ]t Prop= e.

    Como os limites laterais sao iguais, teremos

    lims0

    [1 + s

    ]1s = e.

    2.2.3 Problema dos Juros Compostos

    Suponha que voce investiu um quantidade P0 de capital a uma taxa de juros de 6%ao ano. Entao uma conta simples mostra que ao final do primeiro perodo, o PrincipalP (valor atualizado), sera dado por :

  • 70 CHAPTER 2. LIMITE

    P = P0(1 + 0.06) se o juro for composto anualmente ao capital inicial P0.

    P = P0

    (1 +

    0.06

    2

    )2se o juro for composto semestralmente ao capital inicial P0.

    P = P0

    (1 +

    0.06

    3

    )3se o juro for composto quadrimestralmente ao capital inicial P0.

    P = P0

    (1 +

    0.06

    4

    )4se o juro for composto trimestralmente ao capital inicial P0.

    ......

    ......

    ......

    P = P0

    (1 +

    0.06

    12

    )12se o juro for composto mensalmente ao capital inicial P0.

    (2.2.14)Pode-se ver facilmente que se a taxa anual de juros for um numero real r, 0 < r < 1,e o Principal for composto m vezes ao ano (m N), ao final de n anos (n N) seradado por:

    Pn(m) = P0

    [(1 +

    r

    m

    )m]n(2.2.15)

    Entao, Principal e uma funcao que relaciona o conjunto dos numeros naturais como conjunto do numeros reais sob a luz da igualdade (2.2.15). Observe que no sentidoacima a acumulacao de capital, em verdade, e uma maneira de dois conjuntos N e Rtrocarem informacoes de acordo com a expressao (2.2.15).Podemos ver facilmente que[(

    1 +r

    m

    )m]n=[(

    1 +r

    m

    )rmr]n

    =(

    1 +r

    m

    )mr]nr

    (2.2.16)

    Entao,

    limm

    Pn(m) = P0 limm

    [(1 +

    r

    m

    )m]n= P0 lim

    m

    [(1 +

    r

    m

    )rmr]n

    =

    P0 limm

    [(1 +

    r

    m

    )mr]nr

    = P0

    [limm

    (1 +

    r

    m

    )mr]nr

    = P0ern

    (2.2.17)

    Apos n anos se o Principal for corrigido infinitas vezes a cada ano, teremos

    P (n) = P0ern. Substituindo n por t teremos P (t) = P0e

    rt. (2.2.18)

    Portanto, ao findar um perodo de tempo t a quantidade de capital P0, quandocomposta instantaneamente ou continuamente a uma taxa de juros r por cento ao ano,sera dada por

    P (t) = P0ert. (2.2.19)

    Exemplo 49. Quanto tempo sera necessario para que Q0 = 1, 00 unidades de moedadobre o valor nominal quando aplicado em uma carteira a taxa de juros 4% ao nao?

  • 2.2. LIMITES FUNDAMENTAIS 71

    Resolucao Segue de (2.2.19) que P (t) = P0e0,04t ou seja queremos saber para

    qual valor t0 teremos P (t0) = 2P0. Isto e P0e0,04t0 = 2P0. O valor de t0 deve satis-

    fazer e0,04t0 = 2. Calculando o logartmo m neperiano em amos os membros teremos.0, 04t0 = ln 2. Um calculo relativamente simples nos mostra que t0 = 17 anos e quatromeses, aproximadamente.

    Sabemos da teoria de limite que dadas f, g : [a, b] R tais que f e uma funcaocontnua em g(x0) [a, b] e existe lim

    xx0g(x) = L R, enao lim

    xx0f(g(x)) = f

    (limxx0

    g(x))

    =

    f(L). Note que este resultado e util para se calcular o limite abaixo:

    limx0

    ln[1 + x

    ]1x = ln

    [limx0

    (1 + x

    )1x]

    = ln e = 1.(2.2.20)

    Proposicao 2. Seja a R tal que 0 < a 6= 1, entao

    limx0

    ax 1x

    = ln a.

    Prova : Fazendo t = ax 1, teremos ax = t + 1. Calculando Logaritmo Neparianoem ambos os membros teremos

    ln ax = ln(t+ 1), entao x ln a = ln(t+ 1), portanto x =ln(t+ 1)

    ln a.

    E facil ver que se x 0 (x 6= 0) entao t 0 (t 6= 0), Assim teremos

    limx0

    ax 1x

    = limx0

    t

    ln(t+ 1)

    ln a

    = ln a limx0

    1

    ln(t+ 1)

    t

    = ln a.limx0

    1

    limx0

    ln(t+ 1)

    t

    ver(2)= ln a

    2.2.4 Exerccios

    1 Calcule

    (a) limx0

    sen (9x)

    x, R. 9; (b) lim

    x0

    sen (10x)

    sen (9x), R. 10

    9; (c) lim

    x0

    1 cosxx2

    ,

    (d) limx0

    sen 3 x2

    x3. R.

    1

    8(e) lim

    h0

    sen ( + h)

    h R, 1 (e) lim

    h0

    cos( + h)

    h R, 1

    (i) Use a teoria acima e calcule os limite