Clculo Diferencial e Integral

Regina Maria Sigolo Bernardinelli Sandra Regina Leme Forster

Regina Maria Sigolo Bernardinelli e

Sandra Regina Leme Forster

CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Ensino a Distncia E a D

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SUMRIO

INTRODUO..................................................................................... 5

1 CONJUNTOS NUMRICOS............................................................ 6 1.1 CONJUNTO DOS NMEROS NATURAIS............................................. 6 1.2 CONJUNTO DOS NMEROS INTEIROS............................................... 7 1.2.1 Subconjuntos de Z................................................................................. 8 1.2.1.1 Exerccios............................................................................................... 4 1.3 CONJUNTO DOS NMEROS RACIONAIS........................................... 9 1.3.1 Exerccios. 10 1.4 NMEROS IRRACIONAIS...................................................................... 11 1.4.1 Exerccios............................................................................................... 11 1.5 CONJUNTO DOS NMEROS REAIS.................................................... 11 1.5.1 Subconjuntos de R - Intervalos........................................................... 12 1.5.1.1 Exerccios............................................................................................... 15 1.6 Desigualdade.......................................................................................... 15

1.7 Aplicaes............................................................................................. 16

1.7.1 Exemplo............................................................................................... 16 1.8 Exerccios do captulo........................................................................... 16

2 FUNO............................................................................................... 192.1 PAR ORDENADO................................................................................... 19 2.2 PRODUTO CARTESIANO...................................................................... 20 2.2.1 Exerccios............................................................................................... 21 2.3 RELAO............................................................................................... 21 2.4 FUNO................................................................................................. 25 2.4.1 Definio................................................................................................. 25 2.4.2 Observaes.......................................................................................... 25 2.4.3. Notao................................................................................................... 26 2.4.4 Exerccios............................................................................................... 29 2.4.5 Funes do 1 Grau............................................................................... 29 2.4.5.1 Funo Afim.......................................................................................... 29 2.4.5.1.1 Exerccios.............................................................................................. 31 2.4.5.1.2 Exerccios............................................................................................... 35 2.4.5.2 Funo Linear........................................................................................ 35 2.4.5.2.1 Exemplo.................................................................................................. 36 2.4.5.3 Funo Identidade................................................................................. 36 2.4.5.3.1 Exerccio................................................................................................. 37 2.4.5.4 Funo Constante.................................................................................. 38 2.4.5.4.1 Exerccio................................................................................................. 38 2.4.5.5 Declividade............................................................................................. 39

3

2.4.6 Funo Quadrtica................................................................................ 41 2.4.6.1 Exerccios............................................................................................... 43 2.4.6.2 Exerccios............................................................................................... 48 2.4.7 Funo Exponencial.............................................................................. 48 2.4.8 Funo Logartmica............................................................................... 51 2.4.9 Funo Modular..................................................................................... 57 2.5 APLICAES DAS FUNES.............................................................. 63 2.5.1 Aplicao da funo polinomial do 1 grau........................................ 63 2.5.2 Aplicao da funo polinomial do 2 grau........................................ 66 2.5.3 Aplicao da funo exponencial........................................................ 70 2.5.4 Aplicao da funo logartmica.......................................................... 71 2.6 EXERCCIOS DO CAPTULO................................................................. 72 3 INTRODUO AO LIMITE 82 3.1 INTRODUO.......................................................................................... 82 3.2 SMBOLO MATEMTICO PARA LIMITE DE FUNO.......................... 833.3 O CONCEITO DE LIMITE......................................................................... 84 3.3.1 Exerccios.............................................................................................. 86 3.4 PROPRIEDADES DOS LIMITES............................................................. 88

3.4.1 Exerccios................................................................................................. 88 3.5 LIMITES LATERAIS................................................................................. 88 3.6 LIMITES INFINITOS................................................................................. 89 3.6.1 Exerccios................................................................................................ 89 3.7 LIMITE NO INFINITO............................................................................... 90 3.8 EXERCCIOS............................................................................................ 92 3.9 LIMITE DA FUNO RACIONAL............................................................ 92

3.9.1 Exerccios................................................................................................ 93 3.9.2 Exerccios................................................................................................ 93

CONSIDERAES FINAIS.................................................... 98 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS............................................. 99

2

2

APRESENTAO

com satisfao que a Unisa Digital oferece a voc, aluno, esta apostila de

Clculo Diferencial e Integral I, parte integrante de um conjunto de materiais de

pesquisa voltados ao aprendizado dinmico e autnomo que a educao a distncia

exige. O principal objetivo desta apostila propiciar aos alunos uma apresentao do

contedo bsico da disciplina.

A Unisa Digital oferece outros meios de solidificar seu aprendizado, por meio

de recursos multidisciplinares como chats, fruns, Aulas web, Material de Apoio e e-

mail.

Para enriquecer o seu aprendizado, voc ainda pode contar com a Biblioteca

Virtual: www.unisa.br, a Biblioteca Central da Unisa, juntamente com as bibliotecas

setoriais, que fornecem acervo digital e impresso, bem como acesso a redes de

informao e documentao.

Nesse contexto, os recursos disponveis e necessrios para apoi-lo no seu

estudo so o suplemento que a Unisa Digital oferece, tornando seu aprendizado

eficiente e prazeroso, concorrendo para uma formao completa, na qual o contedo

aprendido influencia sua vida profissional e pessoal.

A Unisa Digital assim para voc: Universidade a qualquer hora e em

qualquer lugar!

Unisa Digital

5

INTRODUO

Esta apostila destina-se aos alunos dos cursos de Engenharia de

Ambiental e Engenharia de Produo com a finalidade de servir de orientao aos

estudos da disciplina de Clculo Diferencial e Integral I. Ela foi elaborada com o objetivo de fornecer ferramentas para ampliar os conhecimentos e de auxiliar o aluno

do ENSINO A DISTNCIA (EaD). Em sua elaborao, procurou-se criar uma linguagem diferenciada

daquela que normalmente aparece nos livros a fim de proporcionar uma melhor

compreenso para os alunos do ENSINO A DISTNCIA.

A apresentao dos contedos est estruturada em partes tericas,

aplicaes em forma de exerccios resolvidos que aparecem como exemplos,

exerccios de aprendizagem para melhor compreenso dos assuntos abordados.

Espera-se com este material, contribuir de forma expressiva no

aprendizado dos alunos, porm sua participao nas aulas ao vivo, realizao das

atividades e interao no correio, fruns de discusses e chats so fundamentais

para o seu sucesso.

Embora a apostila seja um pouco extensa, ela se divide em apenas trs

captulos. No captulo 1, estudaremos os conjuntos numricos, pois necessrio

que se entenda com clareza o nmero real, j que em todas as disciplinas a

referncia ser esse conjunto. No captulo 2, ser tratado com detalhes o estudo de

algumas funes, tais como a funo polinomial do 1 grau, do 2 grau, exponencial,

logartmica e modular. A funo racional, to importante como as anteriormente

citadas no est presente nessa apostila, mas ser apresentada em aula Web, junto

ao limite de uma funo. No captulo 3, Introduo aos limites, ser apresentada

apenas uma ideia do limite de uma funo, o qual ser estudado com mais detalhes

na disciplina de Clculo Diferencial e Integral II. O captulo 3 ser utilizado com fonte

de estudos para efeito de atividades e avaliaes, tanto no mdulo 4, como no

mdulo 5, deste curso.

Caso discorde de algo apresentado nessa apostila, comunique ao

professor da disciplina, pois desejamos ouvi-los para que possamos melhorar o

curso a cada trimestre.

Sandra Regina Leme Forster

6

1 CONJUNTOS NUMRICOS

A disciplina de Clculo, a qual ser desenvolvida ao longo

desse curso, est dividida em quatro grandes tpicos, pois cada um

deles tratar um contedo especfico, com aprofundamentos por meio

de poucas demonstraes de algumas propriedades e por aplicaes

diversas pertinentes a cada uma delas. O que todos esses tpicos tero

em comum que sero desenvolvidos tendo como base os nmeros reais. Dessa

forma, este primeiro captulo apresentar uma reviso acerca dos conjuntos

numricos, j que no teria lgica iniciarmos pelos nmeros reais, pois estes esto

formados por elementos pertencentes aos nmeros naturais, inteiros, racionais e

irracionais.

1.1 CONJUNTO DOS NMEROS NATURAIS

Indicado pela letra N, o seguinte conjunto: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }.

Vejam sua representao na reta: Quando exclumos o zero, obtemos o conjunto dos naturais no nulos, que indicado por: N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... }.

Sejam m e n dois nmeros naturais. Ento podemos ter: m = n ou m > n ou m < n

sendo que: m > n n)(m e m < n n)(m Observao

Ao justificar as afirmaes acima, temos que m > n n)(m , pois como o m > n, o resultado m n, obrigatoriamente ser um nmero positivo, j que

0 1 3 2 4 5

Web

Conjuntos Numricos

7

est sendo realizada a subtrao de um nmero menor em relao a um nmero

maior.

E ainda temos que m < n n)(m , pois nessa operao o resultado ser negativo e vimos na pg. 2, o conjunto N constitudo de nmeros positivos e o

zero.

Exemplos Leitura

1) 7 > 2 (7 2 = 5 e 5 ) Sete maior do que dois. Sete menos dois igual a 5 e 5 um nmero natural diferente de zero.

2) 3 < 10 ((3 10) ) Trs menor do que dez. Trs menos dez um nmero negativo, logo esse resultado no ser um nmero natural.

3){x | x > 6} = {7, 8, 9, 10, ... } x pertence ao conjunto dos nmeros naturais tal que x maior do que seis.

4){x | x 6} = { 6, 7, 8, 9, ... } x pertence ao conjunto dos nmeros naturais tal que x maior ou igual a seis.

5){x | x < 6} = {0, 1, 2, 3, 4, 5} x pertence ao conjunto dos nmeros naturais tal que x menor do que seis.

6){x | x 6} = {0, 1, 2, 3, 4, 5,6} x pertence ao conjunto dos nmeros naturais tal que x menor ou igual a seis.

7) {x | 3 < x < 7} = { 4, 5, 6} x pertence aos nmeros naturais tal que x est entre trs e sete.

8) {x | 3 x 7} = {3, 4, 5, 6, 7} x pertence aos nmeros naturais tal que x est entre trs e sete, incluindo o trs e o sete.

9) {x | 11 < x 16} = {12, 13, 14, 15, 16}

x pertence aos nmeros naturais tal que x est entre onze e dezesseis, incluindo o dezesseis..

10) {x | 11 x < 16} = {11, 12, 13, 14, 15}

x pertence aos nmeros naturais tal que x est entre onze e dezesseis, incluindo o onze.

1.2 CONJUNTO DOS NMEROS INTEIROS

Indicado pela letra Z, o seguinte conjunto:

Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }

Vejam sua representao na reta:

0 1 3 2 4 5 -1 -2 -3 -4

8

1.2.1 Subconjuntos de Z

a) Conjunto dos inteiros no nulos: = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, ... } b) Conjunto dos inteiros positivos: + = {1, 2, 3, 4, 5, ... } c) Conjunto dos inteiros negativos: = {..., -5, -4, -3, -2, -1} d) Conjunto dos inteiros no negativos: + = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } e) Conjunto dos inteiros no positivos: = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0} Note que o nmero zero no positivo e nem negativo e que tambm

N Z, ou seja, N est contido em Z e alm disso o N = + Sejam m e n dois nmeros inteiros. Ento podemos ter: m = n ou m > n ou m < n

sendo que: m > n + n)(m e m < n -n)(m e ainda: m > 0 )(mpositivom + e m < 0 )(mnegativom

Exemplos

1) 6 > -8 (6 (-8) = 6 + 8 = 14 > 0) 2) -3 > -7 (-3 (-7) = -3 + 7 = 4 >0) 3) -6 < -2 (-6 (-2) = -6 + 2 = -4 < 0) 4) {x 2}1,0,1,2,3,4,{...,3}x| = n ou m < n sendo que:

9

m > n + n)(m e m < n -n)(m

e ainda:

m > 0 )(mpositivom + e m < 0 )(mnegativom

2) Escreva como se l cada um dos exemplos acima.

1.3. CONJUNTO DOS NMEROS RACIONAIS

Indicado pela letra Q, o seguinte conjunto:

Q = {x | x = }nem,nm , ou seja, todo nmero obtido pela diviso de dois

inteiros.

Exemplos

1) 0,8 Q , pois 0,8 = 54=

108

2) -2,32 Q , pois -2,32 = 2558

50116 ==

100232

3) 5 Q , pois 5 = 15

4) 8 Q , pois - 8 =18

5) 0,333... Q , pois 0,333... = 31

6) -1,2333... Q , pois -1,2333... = -90111

Observando os exemplos acima, convm notar que quando escrevemos

um nmero racional na forma decimal, este pode apresentar um nmero finito de

casas decimais (decimal exato, como nos exemplos 1 e 2 ) ou um nmero infinito

10

de casas decimais (dzimas peridicas simples e composta, como nos exemplos 5

e 6 ). conveniente observar tambm que todo nmero inteiro racional, pois

pode ser escrito na forma }nem,nm . Logo Z Q .

importante saber que o nmero racional no representa apenas uma

diviso, mas tambm pode representar parte e todo, uma razo e um

operador.

Observao: o estudo sobre os tipos de representaes de nmeros

racionais e dzimas peridicas poder ser estudado com mais profundidade em

disciplinas que envolvem a didtica do ensino da matemtica.

Sejam x e y dois nmeros racionais. Ento podemos ter: x = y ou x > y ou x < y sendo que: x = y 0yx = ; x < y 0yx y 0yx > .

Exemplos

1) comparar x = 73 e y =

115

x y = yx077

277

3533115

73 =+=

1.3.1 Exerccios

1) D dois exemplos de nmeros racionais nas formas decimal finita, decimal infinita peridica simples e na decimal infinita peridica composta. Justifique o porqu de

cada exemplo dado ser um nmero racional.

11

2) Compare os nmeros racionais e apresente o caminho utilizado para fazer essa comparao.

a) x = 76 e y =

97 b) x =

710 e y =

811 c) x = 8 e y =

866

1.4 NMEROS IRRACIONAIS

So nmeros no peridicos que podem ser escritos na forma decimal com infinitas casas decimais. Esses nmeros no so racionais (no podem ser

obtidos pela diviso de dois inteiros) e ser indicado por Q (no racionais).

Exemplos

1) ..1,4142135.2 = 2) 653...0,836660020,7 = 3) ..1,6680095.216 = 4) ..3,1415926. = 5) e = 2,7182818284... 6) -13, 1231123111231...

1.4.1 Exerccios

Classifique cada nmero abaixo como racional ou irracional e em seguida explique a

sua resposta.

a) =12181 b) =0,256 c) =

9036 d) =0,328

1.5 CONJUNTO DOS NMEROS REAIS

todo nmero racional ou irracional. Desse modo, indicado pela letra R, a reunio do conjunto dos nmeros racionais (Q) com o conjunto dos nmeros irracionais

(Q ).

Web

Aula 1 A reta real e o

subconjunto de R

12

QQ= Convm notar que os nmeros reais podem ser representados numa reta

de tal modo que a todo nmero real corresponde um ponto da reta e a todo ponto da

reta corresponde um nmero real, e ainda que N Z Q .

Uma propriedade dos nmeros reais que eles se apresentam

ordenados: 0 menor do que 1, -2 menor do - 1,8, maior do 1,45327..., e assim por diante. Na reta real podemos observar que a menor do que b, se e

somente se a est esquerda de b.

Sejam a e b dois nmeros reais. Ento podemos ter: a = b ou a > b ou a < b sendo que: a = b 0ba = a < b 0ba b 0ba >

1.5.1 Subconjuntos de R - Intervalos

Sejam a e b dois nmeros reais com a < b. Temos:

0 1 3 2 4 5 -1 -2 -3 -4 21

21 -3,2 2 3

1 4,6

N Z Q

Q

13

Tipos de Intervalos Representao na

Reta Numrica Representao

Simblica Representao

Algbrica

1) Intervalo aberto

(a, b) = ]a, b[

b}xa|{x

14

1) Dados os intervalos: I = [2, 7] e J = ]5, 9[, determine I J .

I J = 7] ]5,7}x5|x =

15

b)

I J = ]0, 2] [5, + [ = 5}xou2x0|{x

16

resoluo da desigualdade aplicam-se as propriedades apresentadas na tabela

abaixo:

Nome Propriedade

Propriedade transitiva a < b e b < c a < c Adio de desigualdades a < b e c < d a + c < b + d Multiplicao por uma constante positiva a < b a.c < b.c, c > 0 Multiplicao por uma constante negativa a < b a.c > b.c, c < 0 Adio de uma constante a < b e a + c < b + c Subtrao de uma constante a < b e a - c < b - c

1.7 APLICAES

As desigualdades tm aplicao freqente para definir condies que

ocorrem em diversas reas, um exemplo disso est em analisarmos os nveis de

produo.

1.7.1 Exemplo Alm do custo administrativo fixo, de R$ 720,00, o custo da produo de x

unidades de certo item de R$ 3,00 por unidade. Durante o ms de outubro, o custo

total da produo variou entre o mximo de R$ 1.155,00 e no mnimo de 1.120,00

por dia. Determine os nveis de produo mximo e mnimo durante o ms.

Resoluo

Como o custo de produo de uma unidade de R$ 3,00, a produo de x unidades

de 3.x. Alm disso, como o custo fixo dirio de R$ 720,00, o custo total da

produo de x unidades C = 3.x + 720.

Ora, como o custo variou de R$ 1.120 a R$ 1.155, podemos escrever que:

1.120 3.x + 720 1.155

1.120 - 720 3.x + 720 720 1.155 720

400 3.x 435

17

3435

33

3400 x

133,33 x 145

Assim, os nveis de produo diria durante o ms variam entre um mnimo

de 133 unidades e um mximo de 145 unidades.

1.8 EXERCCIOS GERAIS DO CAPTULO

1) Forme os seguintes subconjuntos de Z: a) A = 3}x|{x > b) B = 2}x|{x c) C = 5}x|{x

18

c) I = ]- [2,[Je3], += d) I = [1, 4] e J = [4, 9] 5) Uma loja de chocolates em um Shoping Center vende o quilo de um determinado chocolate a R$ 23,00. Alm do custo fixo (aluguel, tarifas pblicas e seguro) de R$

150,00 por dia, a matria prima e mo de obra custam R$ 14,00 por quilo desse

chocolate. Se o lucro dirio varia entre R$550,00 e R$ 671,00, entre que nveis em

quilo variam as vendas dirias?

6) A receita da venda de x unidades de um produto R = 120,20x e o custo da produo de x unidades C = 98x +800. Para que haja lucro, a receita de venda h

de ser maior do que o custo. Para que valores de x este produto dar lucro?

7) Investem-se R reais taxa anula r de juros (simples). Aps t anos, o montante na conta dado por A = R + Rrt, onde a taxa de juros expressa em forma decimal.

Par que um investimento de R$ 5.000 ultrapasse R$ 6.000 em 2 anos, qual deve ser

a taxa de juros?

8) Uma grande empresa tem uma frota de motos cujo o custo operacional aual unitrio C = 0,15q + 800, onde qu o nmero de quilometragem percorridas por

uma moto em um ano. Qual quilometragem proporcionar um custo operacional

anual, por moto, inferior a R$ 5.000? Respostas da Lista de Exerccios (1.8) 1) a) {-2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }; b) {..., -4, -3, -2}; c) {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4};

d) {-7, -6, -5, -4}; e) {-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0}; f) {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}; 2) a) {-1, 0, 21 , 2};

b) {-1, 0, 2}; c) {0, 2}; d) {2}; 4) a) [0, 3]; [-3, 6]; b) ]2, 5[; ]1, 7[; c) [-2, 3]; ;d){4};[1,9] 5) 77,8 < x < 91,3; 6) x > 36,04; 7) 10%; 8) 28.000 km.

19

2 FUNO

Neste captulo sero discutidos vrios tipos de funes

que aparecem no Clculo. As funes so as melhores

ferramentas para descrever o mundo real em termos matemticos.

Este captulo apresenta as idias bsicas das funes,

seus grficos, seus mtodos para translad-los, mas, ao contrrio

do que normalmente se apresenta, existir uma preocupao em

apresentar a funo em suas diversas representaes, ou seja, a partir de uma

funo representada algebricamente, ser solicitado seu grfico, a partir do grfico

de uma funo ser pedida a sua representao numrica ou a partir de sua

representao numrica ser solicitada a sua representao algbrica.

Iniciaremos este captulo com algumas definies que iro nos auxiliar na

compreenso do conceito de funo.

2.1 PAR ORDENADO

Imaginem a seguinte situao: para formar a equipe de basquete de um colgio, vamos selecionar 5 alunos dentre os da 3 srie A e da 3 srie B, indicando

as quantidades de alunos escolhidos em cada classe do seguinte modo: anotamos

entre parnteses primeiro o nmero de selecionados da 3 srie A e depois o da 3

srie B.

Ento, (3, 2) indicar que foram selecionados 3 alunos da 3 A e 2 alunos

da 3 B, enquanto (2, 3) indicar que foram selecionados 2 alunos da 3 A e 3 alunos

da 3 B. Assim, em (3, 2) e (2, 3) temos as mesmas quantidades, 3 e 2, porm

dispostas em ordens diferentes. Por isso, dizemos que (3, 2) e (2, 3) so dois pares

ordenados diferentes. No nosso exemplo, podem ocorrer os seguintes pares

ordenados: (5, 0), (4, 1), (3, 2), (2, 3), (1, 4) e (0, 5).

Com esse exemplo, podemos formar a idia de par ordenado, como sendo um conjunto de dois elementos considerados numa dada ordem. Para lembrar

que na representao de um par ordenado a ordem importante, usamos

parnteses ao invs de chaves como nos conjuntos em geral. Assim, (x, y) o par

Web

Aula 2

Introduo Funo Par ordenado,

Produto cartesiano e Relao

20

ordenado de 1 termo x e 2 termo y, enquanto que (y, x) o par ordenado de 1

termo y e 2 termo x.

Podemos representar os pares ordenados de nmeros reais por pontos de

um plano.

Consideremos duas retas orientadas (eixos) x e y, perpendiculares e que

se cortam num ponto O. Ento, essas duas retas concorrentes determinam um nico

plano cujos pontos sero associados aos pares ordenados (a, b) de nmeros reais do seguinte modo:

1) Marcamos em x o ponto P1 correspondente ao nmero a e por ele traamos a

reta y paralela a y;

2) Marcamos em y o ponto P2 correspondente ao nmero b e por ele traamos a

reta x paralela a x.

Desse modo, as retas x e y interceptam-se num ponto P, que associado

ao par (a, b).

Temos ento:

P o ponto de coordenadas (a, b); O nmero a a abscissa de P; O nmero b a ordenada de P; O eixo x o eixo das abscissas; O eixo y o eixo das ordenadas; O ponto O a origem e tem

coordenadas (0, 0).

A cada par de nmeros reais fazemos corresponder um ponto do plano e tambm a cada ponto do plano corresponde um par de nmeros reais. Essa

correspondncia denominada sistema de coordenadas cartesianas ortogonais (ou

sistema cartesiano ortogonal). O plano chamado plano cartesiano.

2.2 PRODUTO CARTESIANO

x

y

P1

P2 P (a, b)

a

b

O

x

y

21

Sejam A e B dois conjuntos no vazios. Denominamos produto cartesiano de A por B o conjunto A x B cujos elementos so todos pares ordenados (x, y), onde o primeiro elemento pertence a A e o segundo elemento pertence a B.

B}yeAx/y){(x,BA = O smbolo A x B l-se: A cartesiano B ou produto cartesiano de A por B

Quando A = ou B = , temos que A x B = . Quando B = A, temos A x A = A2 e l-se, A dois.

Exemplos 1) Se A = {1, 2} e B = {2, 3, 4}, o produto cartesiano:

Representao Simblica

Representao Numrica

Representao Grfica

a) A x B

{(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2,

4)}

b) B x A

{(2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4,

2)}

c) A x A = A2

{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}

y

x 1 2

2 3 4

x

y

1

2

2

3 4

x

y

1 2

2 1

22

2) Se A = 4}x/2{x

23

2.2.1 Exerccios

1) Observando o exemplo (1), o que se pode concluir em relao quantidade de elementos de um produto cartesiano, ou seja, se o conjunto A tem m elementos e o

conjunto B tem n elementos, ento o conjunto A x B ser formado por quantos pares

ordenados?

2) Se o conjunto A diferente do conjunto B, ento A X B e B X A so diferentes? Explique detalhadamente a sua resposta.

3) Se o conjunto A est composto por 3 elementos e o conjunto B por 4 elementos, ento a quantidade de elementos, ou seja, de pares ordenados de A X B e de B x A

so diferentes? Justifique a sua resposta.

4) Explique o porqu do grfico do exemplo (2) ser um segmento de reta a, alm disso, o fato de conter a extremidade esquerda e no conter a extremidade direita.

5) Justifique o fato dos grficos do exemplo (3) serem representados pela rea de uma regio retangular. Explique ainda, as linhas tracejadas em cada retngulo.

2.3 RELAO

Denominamos relao de A em B a todo subconjunto R de A x B. R uma relao de A em B BAR

Exemplos

1) Se A = {1, 2} e B = {2, 3, 4}, determine a R = y}x/BAy){(x,

24

A x B = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4)}.

Representao Numrica Representao Grfica

Cartesina Diagrama de Flechas

R = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}

2) Dados A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 3, 5, 7}, represente numericamente e em forma de diagramas de flechas as relaes de A em B:

a) R = 8}yx/BAy){(x, =+ b) S = 10}xy/BAy){(x, a) A relao R formada pelos pares (x, y), Ax e By , com a soma dos termos x + y = 8. Estes pares so: (1, 7) e (3, 5). Logo, R = {(1, 7), (3, 5)}.

b) A relao S formada pelos pares (x, y), Ax e By , com o produto dos termos 10 . Estes pares so: (1, 1), (1, 3), (1, 5), (1, 7), (2, 1), (2, 3), (2, 5), (3, 1), (3, 3) e (4, 1) Logo,

S = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (1, 7), (2, 1), (2, 3), (2, 5), (3, 1), (3, 3), (4, 1)}

Diagrama de Flechas Diagrama de Flechas

A B 1 1

2

3

4

3

5

7

R A B

1 1

2

3

4

3

5

7

S

A B

1

23

4

2R

x

y

1 2

234

25

2.3.1 Exerccio

Observando o exemplo (1), explique qual a diferena do produto cartesiano e da

relao.

2.4 FUNO

2.4.1 Definio

Sejam dois conjuntos A e B, com BeA . Uma funo ou aplicao de A em B uma relao que a todo

elemento x de A faz corresponder um nico elemento y de B.

Exemplo

O permetro (y) de um quadrado funo do lado (x) desse quadrado. Se o lado

medir 2 cm, o permetro ser 8 cm; se o lado medir 10 cm, o permetro ser 40 cm;

para cada x, o permetro ser y = 4x, onde x pode ser qualquer nmero real

positivo.

2.4.2 Observaes

1) Em relao ao diagrama de flechas, uma relao de A em B uma funo se: a) Todo elemento de A ponto de partida de flecha; b) Cada elemento de A ponto de partida de uma nica flecha. 2) Em relao representao cartesiana, uma relao de A em B uma funo se: A reta paralela ao eixo y conduzida pelo ponto (x, 0), onde Ax , encontra sempre o grfico da funo em um s ponto. 3) A seguinte linguagem utilizada: a) O conjunto A o domnio da funo;

Web

Aula 3 Funo

26

b) O conjunto B o contradomnio da funo; c) O elemento y de B, associado ao elemento x de A, denominado imagem de x; d) O subconjunto de B formado pelos elementos que so imagens dos elementos de A denominado conjunto-imagem (ou apenas imagem) da funo.

2.4.3. Notao

Funo: em geral, usamos as letras f, g, h e outras para designarmos as funes. Tambm podemos escrever:

BA:f (leia: f de A em B), para indicar uma funo f de A em B; y = f (x) (leia: y = f de x), para indicar que y a imagem de x.

Domnio: utilizamos D ou D (f) (leia: D de f) para indicarmos o domnio da funo f. Imagem: utilizamos Im ou Im (f) (leia: imagem de f), para indicarmos a imagem da funo f.

Assim, para uma funo BA:f , temos: D (f) = A e Im (f) = {y y)}(x)f/Ax(/B =

Para uma funo f ficar bem definida, devemos dizer quem o domnio

(A), o contradomnio (B) e a lei (ou regra) pela qual a cada x de A corresponde o

elemento y = f (x) de B.

Diagrama de Flechas

A = D (f) B

Im (f)

x y

f

27

Observem ainda que quando temos uma funo BA:f , tal que y = f (x), x e y recebem o nome de variveis, com x como varivel independente e y, varivel dependente. (Vejam o exemplo dado na definio 2.4.1)

Exemplos

1) Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e B = {-1, 0, 1, 2, 3}, verifique pelo diagrama de flechas, quais das seguintes relaes definidas abaixo,so funes.

a) R = 2}xy/BAy){(x, += b) S = { }xy/BAy)(x, 22 = c) T = x}y/BAy){(x, = d) V = 2x}xy/BAy){(x, 2 = e) W = 3}y/BAy){(x, =

Resoluo

a) R = {(0, 2), (1, 3)} a) b) S = {(0, 0), (1, -1), (1, 1), (2, 2), (3, 3)} c) T = {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3)} d) V = {(0, 0), (1, -1), (2, 0), (3, 3)} e) W = {(0, 3), (1, 3), (2, 3), (3, 3)} b) c)

A B 0

0

1 1

-1

2 2

3 3

no funo

R

B A 0

0 1

1

-1

2 2

3 3

No funo

S A B 0

0 1 1

-1

2 2 3 3

funo

T

28

d) e)

2) Dadas as representaes cartesianas das relaes f de A em , verifique quais so funes:

a) A = 2}x1/{x b) A = 1}x1/{x

c) A = 3}x0/{x

A B 0 0 1

1

-1

2

2 3

3

funo

V A B 0

0 1 1

-1

2 2 3 3

funo

W

-1 2 x

y

x

y

-1 1

2 x

y

3 0

29

Observem que o item (a) representa uma funo, pois qualquer reta traada paralelamente a y por pontos do intervalo [-1, 2] intercepta o grfico

cartesiano num nico ponto. O item (b) no representa uma funo, pois se traarmos retas paralelas a y, por pontos do intervalo [-1, 1], estas interceptam o

grfico cartesiano em dois pontos. O item (c) tambm no representa uma funo, pois retas traadas paralelamente a y por pontos do intervalo [0, 2[ no interceptam

o grfico cartesiano em ponto algum. Se no item (c) tivssemos A = { 3}x2/x , da teramos uma funo. 3) Dado A = {-1, -2, -3, -4}, consideremos a funo A:f definida por f (x) = 2 x. Qual a imagem dessa funo?

Atribuindo a x os valores do D (f) = A, temos:

Para x = -1, f (-1) = 2 . (-1) = -2

Para x = -2, f (-2) = 2 . (-2) = -4

Para x = -3, f (-3) = 2 . (-3) = -6

Para x = -4, f (-4) = 2 . (-4) = -8

Portanto, Im (f) = {-2, -4, -6, -8}

2.4.4 Exerccios

1) Com base nas observaes do tpico 2.4.2, justifique as respostas do exemplo (1).

2) Qual a diferena de uma relao e de uma funo? Toda funo uma relao? E toda relao uma funo?

2.4.5. Funes do 1 Grau

2.4.5.1. Funo Afim

A = D (f) -1

-2 -2

-3

-4

-4

-6

-8

Im (f)

f

-4

Web

Aulas 4 e 5 Funo

do 1 grau

30

Definio: uma aplicao de em recebe o nome de funo afim quando a cada x estiver associado o elemento (ax +b) com a 0, isto :

0ab,ax(x)fyx:f

+==

a

Exemplos

Apresente as funes dos itens (a), (b) e (c) nas representaes algbrica, numrica

e grfica.

Representao Algbrica

Representao Numrica

Representao Grfica

a) y = 2 x + 3 com

a = 2 e b = 3

x y

0 3

-1 1

b) y = 3 x 1 com

a = 3 e b = -1

x y

0 -1

1 2

c) y = - x + 3 com

a = -1 e b = 3

x y

0 3

1 2

31

2.4.5.1.1 Exerccio

Observando os exemplos anteriores, podemos notar que para

representar essa funo por meio de um grfico apenas dois pontos foram utilizados.

O que ocorreria se utilizssemos mais de 2 pontos? O que garante que apenas dois

pontos sejam necessrios para o esboo do grfico da funo polinomial do 1 grau?

Domnio e Imagem: D (f) = e Im (f) = . Coeficientes da Funo Afim: f (x) = ax + b a: coeficiente angular ou declividade da reta representada no plano cartesiano.

b: coeficiente linear (ordenada do ponto onde a reta corta o eixo y).

Exemplos

1) Obter a equao da reta que passa pelos pontos (1, 2) e (3, -2).

Resoluo

A equao da reta da forma: y = ax + b

(1, 2) pertence reta 2 = a + b (3, -2) pertence reta -2 = 3a + b

=+=+

2b3a2ba

(-)

2a = -4 a = -2 b = 4. Portanto, a equao da reta : y = -2x + 4

b) Obter a equao da reta que passa pelo ponto (1,3) e tem coeficiente angular igual a 2.

Resoluo

A equao da reta da forma: y = ax + b

Se o coeficiente angular igual a 2, temos que a = 2

Portanto a equao fica: y = 2x + b

32

Como o ponto (1, 3) pertence reta, vem: 3 = 2 . 1 + b b = 1 Portanto, a equao da reta : y = 2x + 1

c) Obter a equao da reta que passa pelo ponto (-2, 1) e tem coeficiente linear igual a 4.

Resoluo

A equao da reta da forma: y = ax + b

Se o coeficiente linear igual a 4, temos que b = 4

Portanto, a equao fica: y = ax + 4

Como o ponto (-2, 1) pertence reta, vem: 1 = -2a + 4 -2a = -3 a = 23

Portanto, a equao da reta : y = 23 x + 4

Zero da Funo Afim: todo nmero x cuja imagem nula, isto , f (x) = 0. x zero de y = f (x) f (x) = 0

Exemplo

y = f (x) = 2x 2 f (x) = 0 2x 2 = 0 2x = 2 x = 1 Graficamente, o zero da funo afim a abscissa do ponto onde a reta corta o eixo

x.

Funes Crescentes ou Decrescentes

Funo Crescente: a funo f: A B definida por y = f (x) crescente no conjunto A1 A se, para dois valores quaisquer x1 e x2 de A1, com x1 < x2, tivermos f (x1) < f (x2).

33

Funo Decrescente: a funo f: A B definida por y = f (x) decrescente no conjunto A1 A se, para dois valores quaisquer x1 e x2 de A1, com x1 < x2, tivermos f (x1) > f (x2).

Teorema: a funo afim crescente ou decrescente se, e somente se, o coeficiente angular respectivamente positivo ou negativo.

Exemplos

a) y = 2x 3; a = 2 > 0 y crescente.

b) y = -3x +3; a = -3 < 0 y decrescente.

Sinal da Funo Afim: seja y = f (x) = ax + b

f (x) = 0 ax + b = 0 x = ab (zero ou raiz da funo afim)

a) Se a > 0 :

Se a < 0 :

Portanto, podemos resumir os dois casos acima em um nico caso:

ab x

+ _

ab +

_ c/a m/a 0

x

ab x

+ _

ab +

_ c/a m/a 0

x

ab

c/a m/a y = 0

x

34

Exemplos

Estude as funes:

a) y = f (x) = 2x 2 b) y = f (x) = -3x +6

Resoluo

a) y = f (x) = 2x 2 a = 2 > 0 f crescente f (x) = 0 2x 2 = 0 2x = 2 x = 1 (zero ou raiz)

b) y = f (x) = -3x + 6 a = -3 < 0 f decrescente f (x) = 0 -3x + 6 = 0 -3x = -6 x = 2 (zero ou raiz)

Ateno

Quando igualamos a zero a funo y = f (x) para determinar sua raiz

(interseco da reta com o eixo x), passamos a ter uma equao do 1 grau na incgnita x, a qual queremos determinar.

2.4.5.1.2 Exerccio

Dados os grficos das funes dos itens (a) e (b):

1 x _

+

1

_ +

m/a c/a f (x) = 0

f (x) > 0 f (x) < 0

2 x _

+

2

+ _ m/a c/a f (x) = 0

f (x) < 0 f (x) > 0

35

1) Represente a funo algebricamente.

2) Determine os coeficientes (angular e linear).

3) Determine o zero de cada uma das funes.

4) As funes so crescentes ou decrescentes? Por qu?

a) b)

2.4.5.2 Funo Linear

Definio: se na funo afim y = f (x) = ax + b, a 0 tivermos b = 0, teremos a funo linear que uma aplicao de em e que associa a cada elemento x o elemento ax , a 0.

0aax,(x)fyx:f

==

a

Domnio e Imagem: D (f) = e Im (f) = .

Exemplos

Represente as funes abaixo, numrica e graficamente:

a) y = 2x

4 2 2 4

8

6

4

2

xy

f

4 2 2 4

8

6

4

2

xy

f

36

b) y = -2x

2.4.5.2.1 Exemplo

Como pode ser observado nos exemplos acima, o grfico da funo

linear tambm representado por uma reta, mas esse grfico apresenta uma

particularidade em relao funo afim. Qual essa particularidade?

2.4.5.3 Funo Identidade

Definio: se na funo afim y = f (x) = ax + b, a 0 tivermos b = 0 e a = 1, teremos a funo identidade, que uma aplicao de em e que associa a cada elemento x o prprio x.

x(x)fyx:f

==

a

Grfico: o grfico da funo identidade tambm uma reta que contm as bissetrizes do 1 e 3 quadrantes e que passa pela origem.

Domnio e Imagem: D (f) = e Im (f) = .

x y

0 0

1 2

x y

0 0

1 -2

37

Exemplos Construir o grfico das funes: a) y = x b) y = -x

Para cada item, vamos atribuir valores a x.

a) b)

2.4.5.3.1 Exerccio 1) Existe diferena entre as funes linear e identidade? Em caso afirmativo, quais? 2) Toda funo linear identidade? E toda funo identidade linear? Por qu?

3) Por que o domnio de uma funo linear so todos os nmeros reais?

4) Se uma funo linear estiver definida para x / 3 < x < 10, a sua imagem estar composta por todos os nmeros reais? Por qu?

5) Se uma funo linear estiver definida para x / 3 < x < 5, a sua imagem estar composta por um nmero finito de elementos? Por qu?

x y

0 0

1 1

x y

0 0

1 -1

38

2.4.5.4 Funo Constante

1) Definio: se na funo afim y = f (x) = ax + b, tivermos a = 0, teremos a funo constante, que uma aplicao de em e que associa a cada elemento x , sempre o mesmo elemento b .

)(constante b(x)fyx:f

==

a

Grfico: o grfico da funo constante uma reta paralela ao eixo x, passando pelo ponto (0, b).

Domnio e Imagem: D (f) = e Im (f) = {b}

Exemplos

Construir os grficos das funes:

a) y = 4 b) y = -2

Observem que as duas funes no dependem de x, isto , para qualquer x , em (a), o y vale sempre 4 e em (b) vale sempre -2. a) b)

2.4.5.4.1 Exerccio

A funo constante uma funo polinomial do 1 grau? Por qu?

39

2.4.5.5 Declividade

Declividade da reta tangente do ngulo que a reta forma com o eixo Ox.

Na funo polinomial do primeiro grau, esta tangente coincide com a prpria reta do

grfico da funo e tem valor igual ao coeficiente angular a.

A partir do grfico da funo do 1 grau possvel determinar o valor do coeficiente

angular. Para isso, tomamos dois pontos A e B da funo; ou da reta.

Para determinar a declividade ou coeficiente angular de uma reta

prosseguimos conforme pode ser lido abaixo.

Seja a o coeficiente angular da reta, ento

12

12

xxyya

= , onde A = (x1,y1) e B = (x2,y2)

Note que o tringulo ABC destacado da

figura um tringulo retngulo. Assim,

temos:

tagaaadjacentecateto

aopostocatetoACBCa

xxyya

12

12 ====

Exemplos

1) Determine a inclinao da reta apresentada no grfico abaixo.

Resoluo

Uma das forma de determinar a inclinao de uma reta

aplicar a frmula 12

12

xxyya

= . Para isso devemos conhecer

ao menos dois dos pontos da reta. Note, que no grfico

apresentado, temos bem definidos dois de seus pontos,

que so as interseces da reta com os eixos coordenados. No eixo Ox, vamos

4 2 2 4

4

2

2

4

40

denominar o ponto de A, ento A = (-2,0) e no eixo Ou, vamos denominar de B,

ento B = (0,4). Seja ento, x1 = -2, x2 = 0, y1 = 0 e y2 = 4, substituindo em

12

12

xxyya

= , teremos 224

)2(004a ==

= . Logo, o coeficiente angular dessa reta, ou

a declividade igual a 2.

2) Determine a equao da reta do exemplo anterior.

Resoluo

Uma das formas de determinar a equao de uma reta usar a

equao reduzida da reta, dada por: y y0 = m(x x0), onde m o coeficiente

angular da reta, tambm conhecido por a e as coordenadas (x0,y0) representam as

coordenadas de qualquer ponto conhecido da reta. Para o exemplo em questo,

conhecemos as coordenadas dos pontos A e B, portanto pode-se usar qualquer um

dos dois pontos. Ainda temos o coeficiente angular m = a = 2. Substituindo o 2 e o

ponto A, por exemplo, teremos: y y0 = m(x x0), y (0) = 2(x (-2)) y = 2x + 4.

Portanto, a equao da reta dada por: y = 2x + 4.

2.4.6. Funo Quadrtica

Definio: uma aplicao f de R em R recebe o nome de funo quadrtica ou do 2 grau quando associa a cada x R o elemento (ax2 + bx + c) R , onde a 0.

0ac,bxax(x)fyx

:f2 ++==

a

Exemplos

a) f (x) = x2 2x + 3; a = 1; b = -2; c = 3 b) f (x) = -2x2 + 5x 1; a = -2; b = 5; c = -1 c) f (x) = x2 4; a = 1; b = 0; c = -4

Web

Aula 6 Funo

do 2 grau

41

d) f (x) = -2x2 + 3x; a = -2; b = 3; c = 0 e) f (x) = -4x2; a = -4; b = 0; c = 0

Grfico: o grfico da funo quadrtica f (x) = ax2 + bx + c, a 0, uma parbola.

Concavidade a) a > 0 concavidade voltada para cima (boca pra cima)

b) a < 0 concavidade voltada para baixo (boca pra baixo)

Zeros da funo do 2 grau

Os zeros ou razes da funo quadrtica y = f (x) = ax2 + bx + c, a 0 so os valores de x reais tais que f (x) = 0 e, portanto, as solues da equao do 2

grau

ax2 + bx + c = 0 na incgnita x.

Discusso: ax2 + bx + c = 0; = b2 4ac (discriminante da equao do 2 grau)

1) > 0, a equao apresenta duas razes reais e distintas

=

+=

2abx

2abx

2

1

(a parbola corta o eixo dos x em dois pontos)

2) = 0, a equao apresenta duas razes reais e iguais ==

2abxx 21

(a parbola tangencia o eixo dos x)

3) < 0, a equao no apresenta razes reais, pois . (a parbola no corta o eixo dos x)

x

y

y

x

42

Exemplo

Determine os valores de m para que a funo quadrtica f (x) = mx2 + (2m 1)x + (m 2) tenha dois zeros reais e distintos.

Resoluo

Para a funo ser quadrtica, devemos ter a = m 0. Para que a funo tenha dois zeros reais e distintos, devemos ter > 0. > 0 (2m 1)2 4m (m 2) > 0 4m2 4m + 1 4m2 + 8m > 0

4m + 1 > 0

4m > -1

m > 41

Portanto, devemos ter: m 0 e m > 41

Vrtice da Parbola: o ponto V = (4a,

2ab ) chamado vrtice da parbola

representativa da funo quadrtica.

Mximo e Mnimo: dizemos que o nmero yM Im (f) (ou ym Im (f)) o valor de mximo (ou mnimo) da funo y = f (x) se, e somente se, yM y (ou ym y) para qualquer y Im (f) e o valor xM D (f) (ou xm D (f)) tal que yM = f (xM) (ou ym = f (xm)) chamado ponto de mximo (ou mnimo) da funo. Teorema:

A funo quadrtica y = ax2 + bx + c, a 0 admite um valor mximo (ou mnimo) y =

4a em x =

2ab se, e somente se, a < 0 (ou a > 0).

Exemplos

43

1) Determine o valor mximo ou o valor mnimo e o ponto de mximo ou o ponto de mnimo das funes abaixo, definidas em . a) y = 4x2 8x + 4 Resoluo:

a) y = 4x2 8x + 4; a = 4 > 0 y = 4a o valor mnimo da funo, no ponto de

mnimo x = 2ab .

= b2 4ac = (-8)2 4 . 4 . 4 = 64 64 = 0 Portanto, o valor mnimo da funo ym = 0 e o ponto de mnimo da funo :

xm = 2ab = 1

88 = . Logo, o vrtice o ponto V = (1, 0).

2.4.6.1 Exerccios

1) Determine o valor mximo ou o valor mnimo e o ponto de mximo ou o ponto de mnimo das funes abaixo, definidas em . y = -3x2 + 12x

2) Determine o valor de m na funo real f (x) = (m 1)x2 + (m + 1)x - m para que o valor mnimo seja 1.

Domnio e Imagem: D (f) = . Para determinarmos a Im (f), fazemos: f (x) = ax2 + bx + c, a 0 a) a > 0 y }

4ay/{y(f)Imx,

4a =

b) a < 0 y }4ay/{y(f)Imx,

4a =

Exemplos

44

1) Obter a imagem da funo f de em definida por: f (x) = 2 x2 8x + 6. a = 2 > 0 }

4ay/{y(f)Im =

Vamos determinar : = b2 4ac = (-8)2 4 . 2 . 6 = 64 48 = 16

Portanto, }4ay/{y(f)Im = = 2}y/{y(f)Im}

816y/{y =

2) Determinar m na funo f (x) = 3x2 4x + m definida em para que a imagem seja Im (f) = { 2}y/y

a = 3 > 0 }4ay/{y(f)Im =

Vamos determinar : = b2 4ac = (-4)2 4 . 3 . m = 16 12m

}1212m-16-y/{y}

4ay/{y(f)Im ==

Como queremos que Im (f) = { 2}y/y , fazemos:

310

1240m4012m2412m162

1212m16 ====+=

Sinal da Funo Quadrtica: f (x) = ax2 + bx + c, a 0 1 caso: < 0 a equao ax2 + bx + c = 0 no apresenta razes reais a parbola no corta o eixo dos x.

a) a > 0

x

y

f (x) > 0

+ + + + + + + + + + m/a

x

45

b) a < 0

2 caso: = 0 a equao ax2 + bx + c = 0 apresenta duas razes reais e iguais: x1 = x2 = 2a

b a parbola tangencia o eixo dos x. a) a > 0

b) a < 0

3 caso: > 0 a equao ax2 + bx + c = 0 apresenta duas razes reais e

distintas

=

+=

2abx

2abx

2

1 a parbola corta o eixo dos x em dois pontos.

y

x

f (x) < 0

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ m/a

x

x

y

f (x) > 0 f (x) > 0

f (x) = 0 + +

m/a

x

m/a f (x) = 0

x1 = x2

_ _ m/a

x

m/a f (x) = 0

x1 = x2 x

y

f (x) < 0 f (x) < 0

f (x) = 0

46

a) a > 0

b) a < 0

Exemplos

Faa o estudo completo das funes:

1) f (x) = x2 2x + 1 2) f (x) = x2 x 6 Resoluo:

1) f (x) = x2 2x + 1; a = 1 > 0 a parbola tem a concavidade voltada para cima. Vamos achar as razes da funo. Para isso, fazemos f (x) = 0 e obtemos a seguinte

equao na incgnita x:

x2 2x + 1 = 0

= b2 4ac = (-2)2 4 . 1 . 1

x

y

f (x) > 0 f (x) > 0

f (x) = 0 f (x) = 0

f (x) < 0

m/a

x

m/a f (x) = 0

x1 x2

f (x) = 0 + + _ c/a

f (x) < 0

x

y

f (x) < 0 f (x) = 0 f (x) = 0

f (x) > 0 + _ _

m/a

x

m/a f (x) = 0

x1 x2 f (x) = 0

c/a

47

= 4 4 = 0, temos, portanto, duas razes reais e iguais: x1 = x2 = 122

2ab ==

Portanto, a parbola tangencia o eixo x.

Sinal: Para x < 1 f (x) > 0 Para x = 1 f (x) = 0 Para x > 1 f (x) > 0 Vrtice: V = (

4a,

2ab ) = (1, 0) ponto de mnimo da funo

Imagem: Im (f) = 0}y/{y}4ay/{y =

2) f (x) = x2 x 6; a = 1 > 0 a parbola tem a concavidade voltada para cima. Vamos achar as razes da funo. Para isso, fazemos f (x) = 0 e obtemos a seguinte

equao na incgnita x:

x2 x 6 = 0

= b2 4ac = (-1)2 4 . 1 . (-6) = 1 + 24 = 25 > 0, temos, portanto, duas razes reais e distintas

==

====

224x

ou

326x

251

2abx

2

1

Portanto, a parbola intercepta o eixo x em dois pontos.

-2

f (x) = 0 + +

x

m/a m/a

3

f (x) = 0 _ c/a

1

f (x) = 0 + +

x

m/a m/a

48

Sinal: Para x < -2 f (x) > 0 Para x = -2 f (x) = 0 Para -2 < x < 3 f (x) < 0 Para x = 3 f (x) = 0 Para x > 3 f (x) > 0 Vrtice: V = (

4a,

2ab ) = )

425,

21( ponto de mnimo da funo

Imagem: Im (f) = }4

25y/{y}4ay/{y =

2.4.6.1.2 Exerccio

Faa o estudo completo da funo definida por: f (x) = -2x2 + 3x - 2

2.4.7 Funo Exponencial

Definio: chama-se funo exponencial de base a, com { }1a + ,a funo f de + definida por xaf(x) = .

Exemplos

1) Construa os o grficos das funes exponenciais +:f definidas por x2f(x) = e x)

21(g(x) = e em seguida, comparando-os escreva algumas

concluses.

x -3 -2 -1 0 1 2 3

x2f(x)y == 81

212 3

3 == 41

212 2

2 ==212 1 = 120 = 221 = 422 = 823 =

49

Concluses

a) O grfico da funo exponencial est sempre acima do eixo Ox, pois

> x,0ax .

b) O grfico da funo exponencial sempre intercepta o eixo Oy no ponto (0,1), pois

{ }1a,1a0 = + . c) Se a > 1 a funo exponencial estritamente crescente.

d) Se 0 < a < 1 a funo exponencial estritamente decrescente.

e) A funo exponencial sobrejetora, pois o contradomnio e o conjunto imagem

so, ambos, iguais a + .

f) A funo exponencial injetora, pois qualquer reta horizontal intercepta seu grfico no mximo uma vez.

g) A funo exponencial , pois, bijetora.

x -3 -2 -1 0 1 2 3

x

21(g(x)y )== 82)

21( 33 == 42)

21( 22 == 22)

21( 11 == 1)

21( 0 =

21)

21( 1 = 4

1)21( 2 = 8

1)21( 3 =

4 3 2 1 1 2 3

21

1234567

x

y

f(x)

4 3 2 1 1 2 3

21

1234567

x

y

g(x)

50

h) 21xx xxaa 21 == , pois a funo exponencial injetora.

i) Se a > 1, ento 21xx xxaa 21 , pois a funo exponencial estritamente

crescente.

j) Se 0 < a < 1, ento 212x1x xxaa , pois a funo exponencial estritamente

decrescente.

2) Determine m para que a funo f (x) = (2m 1)x seja crescente em .

Resoluo

Vimos que a funo exponencial f (x) = ax estritamente crescente quando a > 1.

Na funo dada, a = 2m 1. Logo, fazemos:

2m 1 > 1 2m > 2 m > 1

3) Esboce o grfico e determine o conjunto imagem da funo de domnio :

f (x) = 2x 2

x -3 -2 -1 0 1 2 3

2-2f(x)y x== 2-3 2 =

815

81 = 2

2-2 2 =

47

41 = 2

2-1 2 =

23

21 = 2

20 2

= 1

2 = -1

21 2

= 2

2 = 0

22 2

= 4

2 = 2

23 2 = 8 2 = 6

2}y/{y(f)Im >=

4 3 2 1 1 2 3 4 5

21

1234

x

y

51

2.4.8 Funo Logartmica

Definio: chama-se funo logartmica de base a, com a > 0 e 1a , a funo +:f definida por xlog(x)f a= .

Definio de Logaritmo: se 010,, >

52

Concluses

a) O grfico da funo logartmica est sempre direita do eixo Oy, pois seu

domnio + .

b) O grfico da funo logartmica sempre intercepta o eixo Ox no ponto (1,0), pois

{ }1a,01log a = + . c) Se a > 1 a funo logartmica estritamente crescente.

d) Se 0 < a < 1 a funo logartmica estritamente decrescente.

e) A funo logartmica sobrejetora, pois o contradomnio e o conjunto imagem so ambos iguais a .

53

f) A funo logartmica injetora, pois qualquer reta horizontal intercepta o seu grfico no mximo uma vez.

g) A funo logartmica , pois, bijetora.

h) A funo exponencial de em + e a funo logartmica de + em so inversas uma da outra.

De fato: xx aya(x)f == .

Trocando-se x por y e vice versa, vem: yax = . Isolando-se y, temos: xlogy a= .

xlog(x)fa(x)f a1x ==

i) Por serem inversas uma da outra, o grfico da funo exponencial e o grfico da funo logartmica so simtricos em relao bissetriz dos

quadrantes mpares que a reta de equao y = x.

Exemplos

1) xlog(x)f)21(f(x)

21

1x ==

54

2) xlog(x)f2f(x) 21x ==

j) 0xxxlogxlog 212a1a >== , pois a funo logartmica injetora. l) Se a > 1, ento 0xxxlogxlog 212a1a >>> , pois a funo logartmica estritamente crescente.

m) Se 0< a < 1, ento 212a1a xx0xlogxlog

1a0e

0b

Exemplo

55

Qual o domnio da funo 6)x(xlogy 2x += ? Resoluo

Para determinarmos o domnio da funo devemos aplicar as condies de

existncia para a funo blogy a= , que so:

1a0e

0b

Observem que a = x e b = x2 + x 6. Ento fica:

x2 + x 6 > 0. Devemos, portanto, fazer o estudo do sinal de uma funo quadrtica.

a = 1 > 0, a parbola tem a concavidade voltada para cima (boca pra cima).

Igualando a zero para achar as razes, temos:

x2 + x 6 = 0

4acb 2 = = 12 4 . 1 . (-6)

= 1 + 24 = 25

e x > 0 e x 1

2}x/{x(f)D >=

Exemplos

==

====

224x

ou

326x

251

2abx

-3 2

+ + _

-3 0 1 2

56

a) Construa o grfico da funo: f (x) = 22 xlog . C.E.: x 0

x y = f (x) = 22 xlog x y = f (x) = 2

2 xlog

-8

62log(8)log8)(log

62

22

22

===

21

2)(2og

l)21(log

212

22

==

-4

42log(4)log4)(log

42

22

22

===

1 0(1)log 22 =

-2 2(2)log2)(log 222

2 == 2 2(2)log 22 = -1 0(1)log1)(log 22

22 == 4 42log(4)log 4222 ==

21

2)(2log

)21(log)

21(log

212

22

22

===

8 62log(8)log 622

2 ==

b) Seja f (x) = )(2xlog 2 . Determine:

1) o domnio de f; 2) os valores de x, tais que f (x) = 1 Observao: quando a base do logaritmo no especificada, vale 10. Por exemplo,

3log3log 10= . Tambm usamos a seguinte notao:

57

5ln5log e = , onde e = 2,7182818284590453..., chamado nmero de Nepper, um nmero real irracional para o qual usamos a seguinte aproximao: 2,718e . Resoluo

1) blogy a= , C.E.

1a0e

0b

Em y = f (x) = )(2xlog 2 , a = 10. Vamos, portanto, impor a condio: b = 2x2 > 0.

Temos ento, uma funo quadrtica cujas razes so reais e iguais: x1 = x2 = 0.

== 0}x/{xD

2) f (x) = 1 )(2xlog 2 = 1, pela definio de logaritmo, x = xa abblog = , vem: 101 = 2x2 x2 = 5 x = 5

c) Dada f (x) = 2x

xlog2

2 + , calcule se existir: 1) f (0)

f (0) = ==+ 0log20log

2xxlog 22

2

2 no existe.

2) f (-1)

f (-1) = 01log11log

21-(-1)log

2xxlog 22

2

2

2

2 ===+=+ 3) f (-4)

f (-4) = ==+=+ 8)(log2-16log

24-(-4)log

2xxlog 22

2

2

2

2 no existe

2.4.9 Funo Modular

Definio: uma aplicao de em recebe o nome de funo mdulo ou modular quando a cada x associa o elemento x .

0

+ +

58

xx:fa

Utilizando o conceito de mdulo de um nmero real, a funo modular

pode ser definida da seguinte forma:

59

b) Construir o grfico da funo definida em por: f (x) = |x 1| + 1.

Resoluo

Seja

60

a) para 2x f (x) = x + 2 + x 1

f (x) = 2x + 1

b) para x < -2 f (x) = -x 2 + x 1

f (x) = -3

Logo,

61

f (x) = -3x

b) para 1x21 21 )

f (x) = x 1 + 2x + 1

f (x) = 3x

Logo,

62

63

64

1) Uma pessoa vai escolher um plano de sade entre duas opes: A e B. Condies dos planos:

Plano A: cobra um valor fixo mensal de R$ 150,00 e R$ 22,00 por consulta num

certo perodo.

Plano B: cobra um valor fixo mensal de R$ 128,00 e R$ 27,00 por consulta num

certo perodo.

Temos que o gasto total de cada plano dado em funo do nmero de consultas x

dentro do perodo pr estabelecido.

Vamos determinar:

a) A funo correspondente a cada plano. b) Em qual situao o plano A mais econmico; o plano B mais econmico; os dois se equivalem.

c) Esboce um grfico de comparao das duas funes dos dois planos. d) Para uma pessoa que tem certeza que usar no mximo 3 consultas por ms, qual a melhor opo de plano?

Resoluo

a) Para determinar a funo correspondente a cada plano, vamos adotar a funo do plano A como PA(x) e funo correspondente ao plano B, como PB(x). Ento

teremos:

Plano A: PA(x) = Valor fixo mensal + Valor de uma consulta X a quantidade de

consultas realizadas, ou seja, PA(x) = 22x + 150

Plano B: Valor fixo mensal + Valor de uma consulta X a quantidade de consultas

realizadas, ou seja, PB(X)= 27x + 128

b) Para que o plano A seja mais econmico: PB(x) > PA(x)

27x + 128 > 22x + 150

27x 22x > 150 128

5x > 22

x > 22/5

x > 4,4

65

Como o x corresponde a um nmero de consulta e essas admitem apenas valores

inteiros (ningum marca consulta!), ento devemos considerar o x > 4. Logo, o

plano A ser mais econmico, para um nmero de consultas igual ou superior a 5.

Para que o Plano B seja mais econmico, como podemos notar na resoluo

anterior, o nmero de consultas tem de ser igual ou inferior a 4.

Para que eles sejam equivalentes, devemos ter um nmero de consulta que faa

que o pagamento dos dois planos sejam idnticos. Para isso devemos resolver:

PB(x) = PA(x)

27x + 128 = 22x + 150

o que resultar em x = 4,4. Logo, no existir um nmero de consulta que torne

esses planos equivalentes, pois 4,4, como j vimos, no um nmero admissvel

para consultas, ou seja, no faz parte do domnio dessas funes.

c) Para esboar o grfico de cada uma dessas funes, so suficientes dois pontos, pois so funes do 1 grau, e desta forma, seus grficos so representados por

retas. Ento, d dois valores inteiros para o x de cada questo e determine o valor

do plano para cada x. Esboce o grfico. Como o objetivo comparar as duas

funes, ento os grficos sero esboados em um mesmo plano cartesiano.

Observaes sobre o grfico:

Os dois grficos tem um ponto I de encontro. Esse

ponto o suposto ponto de equilbrio, ou seja, o ponto

que torna os dois planos mdicos equivalentes. Mas

como vimos, esse ponto est para x = 4,4, logo ele

fictcio.

Tambm importante observar que essas retas no

deveriam ser traadas com essas linhas contnuas, j que a funo no est definida

para todos os nmeros reais, e sim para os valores inteiros de x 0. Logo, os

grficos dessas funes esto representados apenas pelos pontos sobre a linha.

Note ainda, que as retas no esto traadas esquerda do eixo y, pois no existe

quantidade de consulta negativa.

2 2 4 640

4080120160200240280

n.consultas

Valor a ser pagoI

66

d) Para uma pessoa que usar apenas 3 vezes por ms o plano de sade, ou seja, passar por consulta no mximo 3 vezes por ms, o melhor plano o B.

2) (Vunesp) Apresentamos a seguir o grfico do volume do lcool em funo de sua massa, a uma temperatura

fixa de 0C.

Com base nos dados do grfico, determine:

a) a lei da funo apresentada no grfico. b) a massa (em gramas) de 30 cm de lcool.

Resoluo

a) A lei de formao dessa reta dada pela equao da reta. J vimos que das formas de determinar a equao de uma reta usar a equao reduzida da reta,

dada por: y y0 = m(x x0), onde m o coeficiente angular da reta. As coordenadas

(x0,y0) representam as coordenadas de qualquer ponto conhecido da reta. Para o

exemplo em questo, conhecemos as coordenadas dos pontos O(0,0) e A,(40,50),

portanto pode-se usar qualquer um dos dois pontos.

O coeficiente angular m, ser determinado por: 12

12

xxyym

= , logo

45

4050

040050m ==

= Substituindo o m e o ponto O, na equao reduzida da reta, teremos:

y y0 = m(x x0), y (0) = 45 (x-0) y =

45 x .

Portanto, alei da funo apresentada no grfico V(x) = 45 x .

b) O x representa a massa e V o volume. Logo, para V = 30 cm, teremos que

30 = 45 x 30x4 = 5x 120 = 5x x = 120/5 x = 24. Logo a massa de 24g.

2.5.2 Aplicao da funo polinomial do 2 grau

40

50Volume(m^3)

Massa(g)(0,0)

67

Exemplos

1) (Faap-SP) Suponha que no dia 5 de dezembro de 1995 o Servio de Meteorologia do Estado de So Paulo tenha informado que a temperatura na cidade de So Paulo

atingiu o seu valor mximo s 14h00, e que nesse dia a temperatura f(t) em graus

uma funo do tempo t medido em horas, dada por f(t) = -t + bt 156, quando 8 < t

< 20. Obtenha o valor do b.

Resoluo

Os dados fornecidos no problema so:

- A funo f(t) = -t + bt 156 (1)

- A abscissa do ponto de mximo dessa funo, ou seja xv = 14 (2)

O problema pede:

Determinar o valor do b.

Sabemos que para determinar o xv da funo do 2 grau, pode-se usar a frmula:

a2bxv = (3)

Na funo dada em (1), tem-se que a = -1 e b desconhecido. Em (2) tem-se que

o xv = 14 .

Substitudo (1) e (2) em (3), vem que:

28bb28)1.(2

b14a2

bxv ==== .

Logo, b = 28.

2) (UFPE) Num vo com capacidade para 100 pessoas, uma companhia area cobra R$ 200,00 por pessoa quando todos os lugares esto ocupados. Se existirem

lugares no ocupados, o preo de cada passagem ser acrescido a importncia de

R$ 4,00 para cada lugar no ocupado (por exemplo, se existirem 10 lugares no

ocupados o preo de cada passagem ser de R$ 240,00). Quantos devem ser os

lugares no ocupados para que a companhia obtenha o faturamento mximo?

Resoluo

68

Vamos, inicialmente, fazer uma simulao da relao existente entre nmeros de

cadeiras no ocupadas, valor a ser acrescido no pagamento por pessoa e valor que

a empresa receber pelo total de pessoas no avio.

N de lugar vazio N de pessoas no avio Valor acrescido por

passageiro (R$)

Receber pelo total de

pessoas no avio

1 (100 1) = 99 4 (100-1) x (200 +4.1)

2 (100 2) = 98 8 = 4.2 (100-2) x (200 +4.2)

3 (100 3) = 97 12 = 4.3 (100-3) x (200 +4.3)

4 (100 4) = 96 16 = 4.4 (100-4) x (200 +4.4) . . .

......

. . . 10 (100-10) = 90 40 = 4 . 10 (100-10) x (200 + 4.10). . .

......

. . . n (100 n) 4n (100-n) x (200 + 4.n)

Ento, a funo que expressa o valor a ser acrescido uma funo de varivel

independente n, em que n o nmero de cadeiras vazias, tal que

f(n) = (100-n) x (200 + 4.n)

o desenvolvimento dessa funo, nos leva a uma funo do 2 grau, observe:

f(n) = 20.000 + 400n 200n 4n

f(n) = 20.000 + 200n 4n

O problema pede o nmero de lugares para a empresa obter faturamento mximo.

Como se trata de uma funo do 2 grau e com concavidade para baixo, ento o

nmero de pessoas para que o faturamento seja mximo est representado no

vrtice dessa funo, ou seja:

25b8

200)4.(2

200xa2

bx vv === .

Para empresa obter o faturamento mximo o nmero mximo de acentos no

ocupados deve ser 25.

3) A quantidade demandada de bolas de futebol da marca Esporte Mximo dada pela lei qd = 900 p, onde qd a quantidade demandada e p o preo.

a) Esboce o grfico.

69

b) Qual a demanda se o preo for R$ 12,00 a unidade?

Resoluo

a) para esboar o grfico de uma funo do 2 grau podemos usar uma tabela de valores ou determinar os pontos principais (razes, vrtice, intercepto em Oy e

concavidade). Tambm sabemos que a funo do 2 grau tem como grfico uma

parbola, e com referncia nisso j fica mais fcil termos uma ideia em como ficar

esse grfico.

Como a funo dada se refere a uma aplicao, em que a varivel independente o

preo de uma bola, ento essa varivel dever ser um valor positivo, ou seja, o

domnio dessa funo so valores reais e positivos. Alm disso, esses valores

devero garantir que a quantidade demandada seja positiva ou nula, pois no existe

quantidade demandada negativa. Logo, qd 0, ou seja, 900 p 0, ento 0< p

30. Esse o domnio dessa funo, ou seja, essa funo existe para 0< p 30.

- Ao determinarmos o zeros da funo, teremos que 900 p = 0 p = 30. Como p > 0, ento o nico zero dessa funo o p = 30.

- O vrtice dessa funo pode ser determinado pela frmula

9000900)0(f)p(fqde0p)1.(2

0pa2

bx 2vvvvv =======

Logo, o vrtice dessa funo est no ponto de mximo

dessa funo e ser V(0,900).

Observaes sobre o grfico: note que a parte da parbola que representa essa

funo est destacada em negrito. No correto desenhar parte da parbola para x

< 0, pois para esses valores essa funo na est definida. Tambm no possvel

desenhar a parbola abaixo do eixo Ox, pois para quantidades negativas essa

funo tambm no tem lgica.

b) Para o preo de R$ 12,00 a demanda de qd = 900 12 = 900 144 = 756 unidades.

4) (GV) O preo de ingresso numa pea de teatro (p) relaciona-se com a quantidade de freqentadores (x) por sesso atravs da relao: p = - 0,2x + 100

10 20 30 40 50

300

600

900

Preo

Quantidade demandada

70

a) Qual a receita arrecadada por sesso, se o preo do ingresso for R$60,00? b) Qual o preo que deve ser cobrado para dar a mxima receita por sesso?

Resoluo

a) A receita arrecadada dada pela frmula R = preo x quantidade de freqentadores, ou seja, R = (-0,2x + 100).x.

Primeiro, devemos determinar a quantidade de freqentadores se o preo for de R$

60,00.

Ento, como P = 60 -0,2x + 100 = 60 -0,2x = 60 100 x = 40 : 0,2 x = 200.

Logo, para o preo de R$ 60,00, haver 200 freqentadores, ou seja, x = 200.

Agora, possvel determinar a Receita arrecadada para o valor do ingresso de R$

60,00, pois faremos R = (-0,2x + 100).x R = 60.200 = 1.200,00. Logo a receita ser de R$ 1.200,00.

b) A receita por sesso dada por R = (-0,2x + 100).x R = -0,2x + 100x. Ento, a receita mxima ser encontrada para a quantidade que dar a receita mxima, ou

seja, na abscissa do vrtice (xv).

250x4,0

100x)2,0.(2

100xa2

bx vvvv ====

Ento, o preo a ser cobrado para dar a mxima receita por sesso ser

determinado por p = - 0,2x + 100 p = - 0,2.250 + 100 p = - 50 + 100 p = 50 Logo, o preo ser de R$ 50,00.

2.5.3 Aplicao da funo exponencial

Exemplo

1) O montante M quantia que uma pessoa deve receber Aps aplicar um capital C, a juros compostos, a uma taxa i durante um tempo t. O montante pode ser

calculado pela frmula M = C(1 + i)t. Supondo que o capital aplicado de R$

71

500.000,00 a uma taxa de 12% ao ano durante 5 anos, qual o montante no final da

aplicao?

Resoluo

C = 500.000

I = 12% ao no (0,12)

t = 5

M = 500.000(1 + 0,12)5 = 500.000(1,12)5 = 500.000 x 1,762 = 8881.170,84

2.5.4 Aplicao da funo logartmica

Exemplo

1) (Dante 2005) O nmero de bactrias numa cultura, depois de um tempo t, dado por N = N0ert, em que N0 o nmero inicial (quando t = 0) e r a taxa de

crescimento relativo. Em quanto tempo o nmero de bactrias dobrar se a taxa de

crescimento contnuo de 5% ao minuto?

Resoluo

Pelos dados do problema, a questo : em quanto tempo N = 2N0?

Assim, temos:

N = N0ert, ento como N = 2N0, faremos

2N0 = N0ert (simplificando N0 com N0) e substituindo os dados do problema,

2 = e0,05t (como no 2 membro tem uma exponencial de base e, ajuda escrever os dois membros como ln)

ln2 = lne0,05t (por propriedade de logaritmo, o expoente do logaritmando, multiplica o logaritmo)

ln2 = 0,05t.lne (sabemos que lne = 1)

ln2 = 0,05t.1

ln2 = 0,05t 05,02lnt = (usando a calculdora, verifique que ln2 0,6931), portanto,

s48emin13min108emin13min8,13

05,06931,0t ====

Logo, o nmero de bactrias dobrar em 13 minutos e 48 segundos.

72

2.6 EXERCCIOS DO CAPTULO

1) Dados os conjuntos A = {1, 3, 4} e B = {-2, 1}, representar pelos elementos e pelo grfico cartesiano os seguintes produtos:

a) A x B b) B x A c) B2 2) Dados os conjuntos: B = {x 2}x2/ e C = {x 1}x4/

73

a) b)

c) d)

e) f)

5) Seja f a funo de R em R assim definida:

+=

Qxse1xQxse1

(x)f . Calcule:

a) f (3) b) f (73 ) c) f ( 2 )

6) Quais so os valores do domnio da funo real definida por f (x) = x2 5x + 9 que produzem imagem igual a 3?

74

Dos exerccios 7 ao 44, determine o domnio das funes reais:

7) y = 7x + 12 8) y = x +5x + 10 9) y = x - 9x -2x +23 10) y = 6x

1+ 11) y =

3x1

12) y = x12

6

13) y = x

3x 14) y = 16x3x2

15) y =

81x9x

16) y =

4xx9+

17) y = 27x.12x

6+ 18) y = 10x7x

12x4+

+ 19) y = 49x14x6x.7x

++ 20) y =

1xx5x7++

21) y = 6x 22) y = x12 23) y = x16 24) y = x2x + 25) y =

6x +

26) y = 4x8x5 ++ 27) y = 1x1x

+ 28) y =

4.3+xx 29) y =

9x9

30) y =

36xx4

31) y = 94

xx 32) y = 3 7x + 33) y = 3 x3 34) y =

3 x81 35) y = 4x +

8x1

36) y = 8xx ++ 37) y = 8x

12x

1+ 38) y = x

x4 39) y =

9x1

4xx7

+

40) y = 21.10

1

+ xxx 41) y = 1+

x62

x11

+

42) f (x) = 4x1x

2 43) f (x) =

3x2x3

+

44) f (x) = 2x2x

+

45) Para que valores de m a funo f (x) = (2m + 1)x + (m 1) crescente?

75

46) Para que valores de m a funo f (x) = 1 (3 m)x decrescente? Nos exerccios 47 a 59, esboce o grfico e faco estudo completo de cada uma das

funes.

47) f(x) = -2 48)f(x) = -3x + 1 49) f (x) = 22x + 50) f (x) = 5 2x 51) f (x) = 3x -

9 52) f (x) = 2x2 + x + 1 53) f (x) = -x2 2x + 3 54) f (x) = 6x2 +10x 4 55)f(x) = 0 56) y = -x + 4 57)f(x) = x 58) y = x - 4x + 3 59) y = - 2x + 4x + 6 Nos exerccios 50 a 66 resolva os problemas de aplicaes sobre funes

polinomiais do 1 grau.

60) Certa agncia locadora de automveis cobra R$ 55,00 por dia, mais R$ 1,30 por quilmetro percorrido.

a) Exprima o custo dirio da locao de um automvel desta agncia, em funo do nmero de quilmetros(x) percorridos. Construa o grfico correspondente.

b) Quanto custa o aluguel dirio de um automvel, sabendo-se que se pretende realizar uma viagem de 120 km?

c) Quantos km foram percorridos se o custo dirio do aluguel foi de R$ 198,00?

61) Certa escola permite que a matrcula para um de seus cursos seja feita antecipadamente (durante o vero) via correio, ou pessoalmente, no decorrer da

primeira semana de aulas. Nesta ltima hiptese, o funcionrio encarregado de

efetuar as matrculas consegue registrar 25 alunos por hora. Suponhamos que,

aps 5 horas de trabalho na semana em questo, haja 300 alunos registrados

(incluindo os que se matricularam com antecedncia).

a) Qual o nmero de alunos matriculados anteriormente, durante o vero? b) Expresse o nmero de alunos em funo do tempo e construa o grfico correspondente

c) Qual o nmero de alunos matriculados aps 4 horas?

62) A taxa de inscrio num clube de natao de R$ 240,00 para o curso de 12 semanas. Se uma pessoa se inscreve aps o incio das aulas, a taxa reduzida

linearmente.

76

a) Expresse a taxa de inscrio em funo do nmero de semanas transcorridas desde o incio do curso e construa o grfico correspondente.

b) Calcule: quanto uma pessoa pagou ao se inscrever 4 semanas aps o incio do curso.

63) Um engenheiro possui livros tcnicos no valor de R$ 45.000,00, valor que, para efeito do Imposto de Renda, sofre uma depreciao linear at zero, num perodo de

10 anos. Expresse o valor dos livros como funo do tempo e construa o grfico

correspondente.

64) Desde o incio do ms, um reservatrio de gua de determinado local tem sofrido um vazamento numa razo constante. No dia 12, o reservatrio possua 200

milhes de litros de gua e , no dia 21, possua somente 164 milhes de litros.

a) Expresse a quantidade de gua como funo do tempo e construa o grfico correspondente.

b) Quantos litros de gua havia no reservatrio, no dia 5? c) Se este vazamento permanecer, quanto de gua haver no dia 29?

65) Que quantidade de mercadoria deve vender uma empresa, se pretende ter um lucro dirio de R$ 1.800,00 sabendo-se que o preo de venda de R$ 19,00, o

custo fixo de R$ 1400,00 e que o custo unitrio de produo de R$ 13,00.

66) Estamos estabelecendo um negcio de tempo parcial com investimento inicial de R$ 6.000,00. O custo unitrio do produto R$ 10,20, e o preo de venda R$

21,99.

a) determine a equao do custo total C e a receita total R para x unidades. b) Determine o ponto de equilbrio, determinando o ponto de interseco das equaes de custo e da receita.

c) Quantas unidades proporcionaro um lucro de R$ 150,00?

Nos exerccios 67 a 70, determine a venda necessria para equilibrar as equaes dadas de custo e receita. (arredonde a sua resposta para o inteiro mais prximo).

67) C = 0,90x + 38.000; R = 1,7x 68) C = 7x + 400.000; R = 40x

77

69) C = 7890x + 280.000; R = 8870x 70) C = 5,5x + 10.000; R = 8,29x

71) Para que valores de m a funo f (x) = (-3m + 1)x decrescente em R? 72) Construa os grficos cartesianos das seguintes funes exponenciais e faa o estudo completo:

a) f (x) = 3x b) f (x) = x)31( c) f (x) = -3x + 2

73) Construa os grficos cartesianos das seguintes funes logartmicas e faa o estudo completo:

a) f (x) = xlog 3 b) f (x) = xlog31 c) f(x) = 2 + xlog 3

74) Determine o domnio das funes logartmicas:

a) f (x) = 2)(xlog x)(3 + b) f (x) = 2)-x(xlog 2x + c) f (x) = )x11x(log 5

+

75) Construir os grficos das funes definidas em R e faa o estudo completo: a) f (x) = |3x| b) f (x) = |x 1| c) f (x) = |2x 1| - 2 d) f (x) = |x + 1| - x + 3 e) f (x) = |3x + 3| - |2x 3| f) f (x) = ||2x + 3| - 2| g) f (x) = |x2 + 4x|

h) f (x) = |x2 + 4x + 3| - 1 i)y = x1 j)y =

x1 + 1 k) y = 2x - 4 l) y = 2-x - 4

m) f(x) = | x - 4x + 3| + 1 n) f(x) = |- 2x + 4x + 6| - 4 o) 3x1)x(f =

p) 5x1)x(f += q)

6x1)x(f = r) 43x

1)x(f += s)

>=

0xsex20xse2

)x(f

t)

78

76) (UFRN-01) O Sr. Jos dispe de 180 metros de tela, para fazer um cercado retangular, aproveitando, como um dos lados, parte de um extenso muro reto.

O cercado compe-se de uma parte paralela ao muro e trs outras perpendiculares

a ele (ver figura).

Para cercar a maior rea possvel, com a

tela disponvel, os valores de x e y so,

respectivamente:

a) 45m e 45m b) 30m e 90m c) 36m e 72m d) 40m e 60m e) 32m e 55m

77) (VUNESP) Num terreno, na forma de um tringulo retngulo com catetos com medidas 20 e 30 metros, deseja-se construir uma casa retangular de dimenses x e

y, como indicado na figura adiante.

a) Exprima y em funo de x. b) Para que valores de x e de y a rea ocupada pela casa ser mxima?

Uma partcula se move sobre o eixo das abscissas, de

modo que sua velocidade no instante t segundos v=t

metros por segundo.

78) (UFPE) O custo C, em reais, para se produzir n unidades de determinado produto dado por: C = 2510 - 100n + n.

Quantas unidades devero ser produzidas para se obter o custo mnimo?

79) (FEI) Durante o processo de tratamento uma pea de metal sofre uma variao de temperatura descrita pela funo: f(t) = 2 + 4t t , 0 < t < 5.

Em que instante t a temperatura atinge seu valor mximo?

a) 1 b) 1,5 c) 2 d) 2,5 e) 3

80)(GV) O lucro mensal de uma empresa dado por L = -x +30x-5, onde x a quantidade mensal vendida.

a) Qual o lucro mensal mximo possvel?

79

b) Entre que valores deve variar x para que o lucro mensal seja no mnimo igual a 195?

81) (PUCMG) A temperatura, em graus centgrados, no interior de uma cmara, dada por f(t) = t - 7t + A, onde t medido em minutos e A constante. Se, no

instante t = 0 , a temperatura de 10C, o tempo gasto para que a temperatura seja

mnima, em minutos, :

a) 3,5 b) 4,0 c) 4,5 d) 6,5 e) 7,5

82) (UFMG) Um certo reservatrio, contendo 72 m de gua, deve ser drenado para limpeza. Decorridas t horas aps o incio da drenagem, o volume de gua que saiu

do reservatrio, em m, dado por V(t) = 24t - 2t . Sabendo-se que a drenagem

teve incio s 10 horas, o reservatrio estar completamente vazio s:

a) 14 horas. b) 16 horas. c) 19 horas. d) 22 horas.

83) (VUNESP) Considere um retngulo cujo permetro 10 cm e onde x a medida de um dos lados. Determine:

a) a rea do retngulo em funo de x; b) o valor de x para o qual a rea do retngulo seja mxima.

84) (UFRJ) Um fabricante est lanando a srie de mesas "Super 4". Os tampos das mesas dessa srie so retangulares e

tm 4 metros de permetro. A frmica

usada para revestir o tampo custa

R$10,00 por metro quadrado. Cada metro

de ripa usada para revestir as cabeceiras

custa R$25,00 e as ripas para as outras

duas laterais custam R$30,00 por metro.

a) Determine o gasto do fabricante para revestir uma mesa dessa srie com

cabeceira de medida x.

b) Determine as dimenses da mesa da srie "Super 4" para a qual o gasto com revestimento o maior possvel.

80

85) (UERJ) No interior de uma floresta, foi encontrada uma rea em forma de retngulo, de 2km de largura por 5km de comprimento, completamente desmatada.

Os ecologistas comearam imediatamente o replantio, com o intento de restaurar

toda a rea em 5 anos. Ao mesmo tempo, madeireiras clandestinas continuavam o

desmatamento, de modo que, a cada ano, a rea retangular desmatada era

transformada em outra rea tambm retangular. Veja as figuras:

A largura (h) diminua com o replantio e

o comprimento (b) aumentava devido

aos novos desmatamentos.

Admita que essas modificaes foram

observadas e representadas atravs

das funes: h(t)=-(2t/5)+2 e b(t)=5t+5

(t = tempo em anos; h = largura em km

e b = comprimento em km).

a) Determine a expresso da rea A do retngulo desmatado, em funo do tempo t

(0t5), e represente A(t) no plano cartesiano. b) Calcule a rea mxima desmatada e o tempo gasto para este desmatamento, aps o incio do replantio.

86) (UERJ-02) Um fruticultor, no primeiro dia da colheita de sua safra anual, vende cada fruta por R$2,00.

A partir da, o preo de cada fruta decresce R$0,02 por dia.

Considere que esse fruticultor colheu 80 frutas no primeiro dia e a colheita aumenta

uma fruta por dia.

a) Expresse o ganho do fruticultor com a venda das frutas como funo do dia de colheita.

b) Determine o dia da colheita de maior ganho para o fruticultor. Respostas de Alguns Exerccios do Tpico 2.6 1) a) {(1, -2), (1, 1), (3, -2), (3, 1), (4, -2), (4, 1)} b) {(-2, 1), (-2, 3), (-2, 4), (1, 1), (1, 3), (1, 4)}; c) {(-2, -2), (-2, 1), (1, -2), (1, 1)};

3) So funes: c, d; 4) So funes: a, d, e; 5) a) 1; b) 1; c) 12 + ; 6) 2 ou 3;

81

7) D = R 8) D = R 9) D = R 10) D = {x R / x -6 } 11) D = {x R / x 3 } 12) D = {x R / x 12 } 13) D = {x R / x 0 } 14) D = {x R / x 4 } 15) D = {x R / x 9 } 16) D = R 17) D = {x R / x 3 x 9 } 18) D = {x R / x 2 x 5 } 19) D = {x R / x 7 } 20) D = R 21) D = {x R / x 6 } 22) D = {x R / x 12 } 23) D = {x R / -4 x 4 } 24) D = {x R / 0 x 2 } 25) D = R 26) D = R 27) D = {x R / x > 1 ou x -1

} 28) D = {x R / 0 x } 29) D = {x R / x >9 } 30) D = {x R / x < -6 ou x > 6 } 31) D = {x R / x > 9 } 32) D = R 33) D = R 34) D = {x R / x 8 } 35) D = {x R / x 4 } 36) D = {x R / 0 x } 37) D = {x R / x > 2 e x 8 } 38) D = {x R / -2 x 2 x 0 } 39) D = {x R / x 3 } 40) D = {x R / x 0, x 3, x 7 } 41) D = {x R / x 0 x 3 } 42) 2}{RD = ; 43) {3}RD = ; 44) 2}xe2x|R{xD = ; 45)

21m > ; 45) m < 3; 47 ao 59 (sem resposta); 60) a) Cd = 55 + 1,3 b) 211,00

c) 110 km 61) a) 475 b) 475 + 25x c) 575 62) a) 20x b) 160 63) a) 30.000 2.700 b) 13.800 64) a) (-4x + 248)milhes b) 228 milhes c) 132 milhes 65) aprox. 534 peas

66) b) 508,9 c) 521,6 67) 47.500 68) 12.121,21 69) 285,7 70) 3.703,7

71) 0 < m < 31 ; 72 e 73) sem resposta 74) a) x > 3 b) x > 1 c) -1 < x < 1

75) sem resposta 76)B 77) a) y = 2/3(30-x) b) Para x = 15 metros, y = 10

metros. 78) 50 79)C 80) a) 220 b) 10x 20 81) A 82) B 83) a) x + 5x (0< x < 5) b) 2,5 cm 84) a)Gasto = 120 + 10x - 10x b) 1/2 m 85) a) A(t) =[(-2t/5) + 2] . (5t + 5) OU SEJA A(t) = -2t + 8t + 10. b) rea mxima: 18 km. Ocorreu dois anos

aps o incio do replantio. 86) a)160 + 0,4n - 002 n b)10 dia.

82

3 INTRODUO AO LIMITE

3.1 INTRODUO

A definio de limite foi obtida no decorrer de um caminho muito longo

que teve incio com preocupaes acerca do problema do movimento, onde foi

necessrio encontrar uma explicao usando uma teoria quantitativa que nos

permite por meio do clculo a obter resultados. Para isso foi criado o conceito de

infinitsimo, para responder a questo do que se passa em um ponto, se passa em

pontos vizinhos. Com base nesse conceito, estabelece-se o de limite, o qual foi

escrito no decorrer desse captulo tendo como fonte as referncias apontadas no

final desta apostila.

Na linguagem cotidiana, referimo-nos ao limite de uma velocidade, ao

limite do peso de um lutador, ao limite da resistncia humana ou ao limite de um

desconto que pode ser oferecido na venda de uma mercadoria, ao limite de material

que pode ser usado ao produzir uma embalagem etc. Todas essas expresses

sugerem que limite uma cota, que em certas ocasies pode no ser atingida, mas

em outras pode.

Ento, todas as vezes que no estudo de um fenmeno de qualquer

natureza fsico, biolgico, econmico, geomtrico, - para a determinao

quantitativa de seu estado, nos aparea como indispensvel considerar a aparncia

desse estado com os estados vizinhos, essa determinao ser feita por meio do

limite limite que a resultante da infinidade de possibilidades dos estados

vizinhos.

Ento, este limite, um nmero, que por meio de uma operao reside

no fato de construir um resultado custa de uma infinidade de possibilidades,

tomando o infinito como um elemento ativo de construo.

O matemtico moderno, adotando em relao ao conceito de limite

uma atitude dinmica tomando-o audazmente, como elemento de construo, obtm

o resultado que a cincia confirma e constri o elemento matemtico que permita

integrar