calculo diferencial I
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Cálculo Diferencial e Integral Regina Maria Sigolo Bernardinelli Sandra Regina Leme Forster
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Cálculo Diferencial e Integral
Regina Maria Sigolo Bernardinelli Sandra Regina Leme Forster
Regina Maria Sigolo Bernardinelli e
Sandra Regina Leme Forster
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Ensino a Distância — E a D
2
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO..................................................................................... 5
1 CONJUNTOS NUMÉRICOS............................................................ 6 1.1 CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS............................................. 6 1.2 CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS............................................... 7 1.2.1 Subconjuntos de Z................................................................................. 8 1.2.1.1 Exercícios............................................................................................... 4 1.3 CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS........................................... 9 1.3.1 Exercícios……………………………………………………………………. 10 1.4 NÚMEROS IRRACIONAIS...................................................................... 11 1.4.1 Exercícios............................................................................................... 11 1.5 CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS.................................................... 11 1.5.1 Subconjuntos de R - Intervalos........................................................... 12 1.5.1.1 Exercícios............................................................................................... 15 1.6 Desigualdade.......................................................................................... 15
1.7 Aplicações............................................................................................. 16
1.7.1 Exemplo............................................................................................... 16 1.8 Exercícios do capítulo........................................................................... 16
2 FUNÇÃO............................................................................................... 192.1 PAR ORDENADO................................................................................... 19 2.2 PRODUTO CARTESIANO...................................................................... 20 2.2.1 Exercícios............................................................................................... 21 2.3 RELAÇÃO............................................................................................... 21 2.4 FUNÇÃO................................................................................................. 25 2.4.1 Definição................................................................................................. 25 2.4.2 Observações.......................................................................................... 25 2.4.3. Notação................................................................................................... 26 2.4.4 Exercícios............................................................................................... 29 2.4.5 Funções do 1º Grau............................................................................... 29 2.4.5.1 Função Afim.......................................................................................... 29 2.4.5.1.1 Exercícios.............................................................................................. 31 2.4.5.1.2 Exercícios............................................................................................... 35 2.4.5.2 Função Linear........................................................................................ 35 2.4.5.2.1 Exemplo.................................................................................................. 36 2.4.5.3 Função Identidade................................................................................. 36 2.4.5.3.1 Exercício................................................................................................. 37 2.4.5.4 Função Constante.................................................................................. 38 2.4.5.4.1 Exercício................................................................................................. 38 2.4.5.5 Declividade............................................................................................. 39
3
2.4.6 Função Quadrática................................................................................ 41 2.4.6.1 Exercícios............................................................................................... 43 2.4.6.2 Exercícios............................................................................................... 48 2.4.7 Função Exponencial.............................................................................. 48 2.4.8 Função Logarítmica............................................................................... 51 2.4.9 Função Modular..................................................................................... 57 2.5 APLICAÇÕES DAS FUNÇÕES.............................................................. 63 2.5.1 Aplicação da função polinomial do 1º grau........................................ 63 2.5.2 Aplicação da função polinomial do 2º grau........................................ 66 2.5.3 Aplicação da função exponencial........................................................ 70 2.5.4 Aplicação da função logarítmica.......................................................... 71 2.6 EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO................................................................. 72 3 INTRODUÇÃO AO LIMITE 82 3.1 INTRODUÇÃO.......................................................................................... 82 3.2 SÍMBOLO MATEMÁTICO PARA LIMITE DE FUNÇÃO.......................... 833.3 O CONCEITO DE LIMITE......................................................................... 84 3.3.1 Exercícios.............................................................................................. 86 3.4 PROPRIEDADES DOS LIMITES............................................................. 88
3.4.1 Exercícios................................................................................................. 88 3.5 LIMITES LATERAIS................................................................................. 88 3.6 LIMITES INFINITOS................................................................................. 89 3.6.1 Exercícios................................................................................................ 89 3.7 LIMITE NO INFINITO............................................................................... 90 3.8 EXERCÍCIOS............................................................................................ 92 3.9 LIMITE DA FUNÇÃO RACIONAL............................................................ 92
3.9.1 Exercícios................................................................................................ 93 3.9.2 Exercícios................................................................................................ 93
CONSIDERAÇÕES FINAIS.................................................... 98 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS............................................. 99
2
2
APRESENTAÇÃO
É com satisfação que a Unisa Digital oferece a você, aluno, esta apostila de
Cálculo Diferencial e Integral I, parte integrante de um conjunto de materiais de
pesquisa voltados ao aprendizado dinâmico e autônomo que a educação a distância
exige. O principal objetivo desta apostila é propiciar aos alunos uma apresentação do
conteúdo básico da disciplina.
A Unisa Digital oferece outros meios de solidificar seu aprendizado, por meio
de recursos multidisciplinares como chats, fóruns, Aulas web, Material de Apoio e e-
mail.
Para enriquecer o seu aprendizado, você ainda pode contar com a Biblioteca
Virtual: www.unisa.br, a Biblioteca Central da Unisa, juntamente com as bibliotecas
setoriais, que fornecem acervo digital e impresso, bem como acesso a redes de
informação e documentação.
Nesse contexto, os recursos disponíveis e necessários para apoiá-lo no seu
estudo são o suplemento que a Unisa Digital oferece, tornando seu aprendizado
eficiente e prazeroso, concorrendo para uma formação completa, na qual o conteúdo
aprendido influencia sua vida profissional e pessoal.
A Unisa Digital é assim para você: Universidade a qualquer hora e em
qualquer lugar!
Unisa Digital
5
INTRODUÇÃO
Esta apostila destina-se aos alunos dos cursos de Engenharia de
Ambiental e Engenharia de Produção com a finalidade de servir de orientação aos
estudos da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I. Ela foi elaborada com o
objetivo de fornecer ferramentas para ampliar os conhecimentos e de auxiliar o aluno
do ENSINO A DISTÂNCIA (EaD). Em sua elaboração, procurou-se criar uma linguagem diferenciada
daquela que normalmente aparece nos livros a fim de proporcionar uma melhor
compreensão para os alunos do ENSINO A DISTÂNCIA.
A apresentação dos conteúdos está estruturada em partes teóricas,
aplicações em forma de exercícios resolvidos que aparecem como exemplos,
exercícios de aprendizagem para melhor compreensão dos assuntos abordados.
Espera-se com este material, contribuir de forma expressiva no
aprendizado dos alunos, porém sua participação nas aulas ao vivo, realização das
atividades e interação no correio, fóruns de discussões e chats são fundamentais
para o seu sucesso.
Embora a apostila seja um pouco extensa, ela se divide em apenas três
capítulos. No capítulo 1, estudaremos os conjuntos numéricos, pois é necessário
que se entenda com clareza o número real, já que em todas as disciplinas a
referência será esse conjunto. No capítulo 2, será tratado com detalhes o estudo de
algumas funções, tais como a função polinomial do 1º grau, do 2º grau, exponencial,
logarítmica e modular. A função racional, tão importante como as anteriormente
citadas não está presente nessa apostila, mas será apresentada em aula Web, junto
ao limite de uma função. No capítulo 3, Introdução aos limites, será apresentada
apenas uma ideia do limite de uma função, o qual será estudado com mais detalhes
na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral II. O capítulo 3 será utilizado com fonte
de estudos para efeito de atividades e avaliações, tanto no módulo 4, como no
módulo 5, deste curso.
Caso discorde de algo apresentado nessa apostila, comunique ao
professor da disciplina, pois desejamos ouvi-los para que possamos melhorar o
curso a cada trimestre.
Sandra Regina Leme Forster
6
1 CONJUNTOS NUMÉRICOS
A disciplina de Cálculo, a qual será desenvolvida ao longo
desse curso, está dividida em quatro grandes tópicos, pois cada um
deles tratará um conteúdo específico, com aprofundamentos por meio
de poucas demonstrações de algumas propriedades e por aplicações
diversas pertinentes a cada uma delas. O que todos esses tópicos terão
em comum é que serão desenvolvidos tendo como base os números reais. Dessa
forma, este primeiro capítulo apresentará uma revisão acerca dos conjuntos
numéricos, já que não teria lógica iniciarmos pelos números reais, pois estes estão
formados por elementos pertencentes aos números naturais, inteiros, racionais e
irracionais.
1.1 CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS
Indicado pela letra N, é o seguinte conjunto: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }.
Vejam sua representação na reta: Quando excluímos o zero, obtemos o conjunto dos naturais não nulos,
que é indicado por: N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... }.
Sejam m e n dois números naturais. Então podemos ter:
m = n ou m > n ou m < n
sendo que: m > n ∗∈−⇔ Νn)(m e m < n Νn)(m ∉−⇔
Observação
Ao justificar as afirmações acima, temos que m > n ∗∈−⇔ Νn)(m , pois
como o m > n, o resultado m – n, obrigatoriamente será um número positivo, já que
0 1 3 2 4 5 ∙∙∙
Web
Conjuntos Numéricos
7
está sendo realizada a subtração de um número menor em relação a um número
maior.
E ainda temos que m < n Νn)(m ∉−⇔ , pois nessa operação o resultado
será negativo e vimos na pág. 2, o conjunto N é constituído de números positivos e o
zero.
Exemplos Leitura
1) 7 > 2 (7 – 2 = 5 e 5 ∗Ν∈ ) Sete é maior do que dois. Sete menos dois é igual a 5 e 5 é um número natural diferente de zero.
2) 3 < 10 ((3 – 10) Ν∉ ) Três é menor do que dez. Três menos dez é um número negativo, logo esse resultado não será um número natural.
3){x Ν∈ | x > 6} = {7, 8, 9, 10, ... } “x” pertence ao conjunto dos números naturais tal que “x” é maior do que seis.
4){x Ν∈ | x ≥ 6} = { 6, 7, 8, 9, ... } “x” pertence ao conjunto dos números naturais tal que “x” é maior ou igual a seis.
5){x Ν∈ | x < 6} = {0, 1, 2, 3, 4, 5} “x” pertence ao conjunto dos números naturais tal que “x” é menor do que seis.
6){x Ν∈ | x ≤ 6} = {0, 1, 2, 3, 4, 5,6} “x” pertence ao conjunto dos números naturais tal que “x” é menor ou igual a seis.
7) {x Ν∈ | 3 < x < 7} = { 4, 5, 6} “x” pertence aos números naturais tal que “x” está entre três e sete.
8) {x Ν∈ | 3≤ x ≤ 7} = {3, 4, 5, 6, 7} “x” pertence aos números naturais tal que “x” está entre três e sete, incluindo o três e o sete.
9) {x Ν∈ | 11 < x ≤ 16} =
{12, 13, 14, 15, 16} “x” pertence aos números naturais tal que “x” está entre onze e dezesseis, incluindo o dezesseis..
10) {x Ν∈ | 11 ≤ x < 16} =
{11, 12, 13, 14, 15} “x” pertence aos números naturais tal que “x” está entre onze e dezesseis, incluindo o onze.
1.2 CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS
Indicado pela letra Z, é o seguinte conjunto:
Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }
Vejam sua representação na reta:
0 1 3 2 4 5 ∙∙∙ ∙∙∙ -1 -2 -3 -4
8
1.2.1 Subconjuntos de Z
a) Conjunto dos inteiros não nulos: ∗Ζ = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, ... }
b) Conjunto dos inteiros positivos: ∗+Ζ = {1, 2, 3, 4, 5, ... }
c) Conjunto dos inteiros negativos: ∗−Ζ = {..., -5, -4, -3, -2, -1}
d) Conjunto dos inteiros não negativos: +Ζ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }
e) Conjunto dos inteiros não positivos: −Ζ = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0}
Note que o número zero não é positivo e nem negativo e que também
N⊂ Z, ou seja, N está contido em Z e além disso o N = +Ζ
Sejam m e n dois números inteiros. Então podemos ter:
m = n ou m > n ou m < n
sendo que: m > n ∗+Ζ∈−⇔ n)(m e m < n ∗Ζ∈−⇔ -n)(m
e ainda: m > 0 )Ζ(mpositivoém ∗+∈⇔ e m < 0 )Ζ(mnegativoém ∗
−∈⇔
Exemplos
1) 6 > -8 (6 – (-8) = 6 + 8 = 14 > 0)
2) -3 > -7 (-3 – (-7) = -3 + 7 = 4 >0)
3) -6 < -2 (-6 – (-2) = -6 + 2 = -4 < 0)
4) {x 2}1,0,1,2,3,4,{...,3}x|Ζ −−−−=<∈
5) { 6}5,4,3,2,1,0,1,2,{6}x2|Ζx −−=≤≤−∈
1.2.1.1 Exercícios
1) Explique detalhadamente as afirmações contidas em cada retângulo.
Sejam m e n dois números inteiros. Então podemos ter: m = n ou m > n ou m < n
sendo que:
9
m > n ∗+Ζ∈−⇔ n)(m e m < n ∗Ζ∈−⇔ -n)(m
e ainda:
m > 0 )Ζ(mpositivoém ∗+∈⇔ e m < 0 )Ζ(mnegativoém ∗
−∈⇔
2) Escreva como se lê cada um dos exemplos acima.
1.3. CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS
Indicado pela letra Q, é o seguinte conjunto:
Q = {x | x = }ΖneΖm,nm ∗∈∈ , ou seja, é todo número obtido pela divisão de dois
inteiros.
Exemplos
1) 0,8 Q∈ , pois 0,8 = 54
=108
2) -2,32 Q∈ , pois -2,32 = 2558
50116
−=−=−100232
3) 5 Q∈ , pois 5 = 15
4) – 8 Q∈ , pois - 8 =18
−
5) 0,333... Q∈ , pois 0,333... = 31
6) -1,2333... Q∈ , pois -1,2333... = -90111
Observando os exemplos acima, convém notar que quando escrevemos
um número racional na forma decimal, este pode apresentar um número finito de
casas decimais (decimal exato, como nos exemplos “1” e “2’ ) ou um número infinito
10
de casas decimais (dízimas periódicas simples e composta, como nos exemplos “5”
e “6” ). É conveniente observar também que todo número inteiro é racional, pois
pode ser escrito na forma }ΖneΖm,nm ∗∈∈ . Logo Z Q⊂ .
É importante saber que o número racional não representa apenas uma
“divisão”, mas também pode representar “parte e todo”, uma “razão” e um
“operador”.
Observação: o estudo sobre os tipos de representações de números
racionais e dízimas periódicas poderá ser estudado com mais profundidade em
disciplinas que envolvem a didática do ensino da matemática.
Sejam x e y dois números racionais. Então podemos ter:
x = y ou x > y ou x < y sendo que: x = y 0yx =−⇔ ; x < y 0yx <−⇔ ; x > y 0yx >−⇔ .
Exemplos
1) comparar x = 73 e y =
115
x – y = yx077
277
3533115
73
<⇒<−
=−
=−
2) comparar x = 47
− e y = 59
−
x – y = yx0201
203635)
59()
47( >⇒>=
+−=−−−
1.3.1 Exercícios
1) Dê dois exemplos de números racionais nas formas decimal finita, decimal infinita
periódica simples e na decimal infinita periódica composta. Justifique o porquê de
cada exemplo dado ser um número racional.
11
2) Compare os números racionais e apresente o caminho utilizado para fazer essa
comparação.
a) x = 76 e y =
97 b) x =
710
− e y = 811
− c) x = 8 e y = 8
66
1.4 NÚMEROS IRRACIONAIS
São números não periódicos que podem ser escritos na forma decimal
com infinitas casas decimais. Esses números não são racionais (não podem ser
obtidos pela divisão de dois inteiros) e será indicado por Q (não racionais).
Exemplos
1) ..1,4142135.2 = 2) 653...0,836660020,7 = 3) ..1,6680095.216 −=−
4) ..3,1415926.π = 5) e = 2,7182818284... 6) -13, 1231123111231...
1.4.1 Exercícios
Classifique cada número abaixo como racional ou irracional e em seguida explique a
sua resposta.
a) =12181 b) =0,256 c) =
9036 d) =0,328
1.5 CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS
É todo número racional ou irracional.
Desse modo, indicado pela letra R, é a reunião do conjunto
dos números racionais (Q) com o conjunto dos números irracionais
(Q ).
Web
Aula 1 A reta real e o
subconjunto de R
12
QQ∪=ℜ
Convém notar que os números reais podem ser representados numa reta
de tal modo que a todo número real corresponde um ponto da reta e a todo ponto da
reta corresponde um número real, e ainda que N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ ℜ .
Uma propriedade dos números reais é que eles se apresentam
ordenados: 0 é menor do que 1, -2 é menor do - 1,8, π é maior do 1,45327..., e
assim por diante. Na reta real podemos observar que a é menor do que b, se e
somente se a está à esquerda de b.
Sejam a e b dois números reais. Então podemos ter:
a = b ou a > b ou a < b sendo que: a = b 0ba =−⇔
a < b 0ba <−⇔
a > b 0ba >−⇔
1.5.1 Subconjuntos de R - Intervalos
Sejam a e b dois números reais com a < b. Temos:
0 1 3 2 4 5 ∙∙∙ ∙∙∙ -1 -2 -3 -4 21
21
− -3,2 2
31 4,6
N Z Q
Q
ℜ
13
Tipos de Intervalos Representação na
Reta Numérica Representação
Simbólica Representação
Algébrica
1) Intervalo aberto
(a, b) = ]a, b[
b}xa|{x <<ℜ∈
2) Intervalo fechado
[a, b]
b}xa|{x ≤≤ℜ∈
3) Intervalo aberto à
esquerda e fechado à
direita
(a, b] = ]a, b]
b}xa|{x ≤<ℜ∈
4) Intervalo fechado à
esquerda e aberto à
direita
[a, b) = [a, b[
b}xa|{x <≤ℜ∈
5) Intervalo infinito à
esquerda
a[,]a),( ∞−=−∞
a}x|{x <ℜ∈
a],]a],( ∞−=−∞
a}x|{x ≤ℜ∈
6) Intervalo infinito à
direita
( []a,),a +∞=+∞
x|{x ℜ∈ > a}
[[a,)[a, +∞=+∞
a}x|{x ≥ℜ∈
Exemplos
a b
a b
a b
a b
a
a
a
a
14
1) Dados os intervalos: I = [2, 7] e J = ]5, 9[, determine I∩ J .
I ∩ J = 7] ]5,7}x5|x =≤<ℜ∈
2) Sendo I = [-1, 6] e J = ]3, 8[, determine I∪ J.
I∪ J = [-1, 8[ = 8}x1|{x <≤−ℜ∈
3) Sendo I = ]0, 2] e J = [5, +∞ [, determine: a) I∩ J; b) I∪ J.
a I∩ J = ∅
2 7
5 9
I
J
I ∩ J
5 7
-1 6 I
J 3 8
-1 8
I∪ J
0 2
5
I
J
I∩ J
15
b)
I∪ J = ]0, 2] ∪ [5, +∞ [ = 5}xou2x0|{x ≥≤<ℜ∈
1.5.1.1 Exercícios
1) Explique as respostas de cada um dos exemplos acima.
2) Em cada um dos itens abaixo, complete com V (verdadeiro) ou F (falso) e
justifique as alternativas falsas.
a) ( ) A = [2,10[ é um intervalo semi-aberto em que o extremo esquerdo pertence
ao conjunto A e o extremo direito não pertence.
b) ( ) B = (2,3) é um conjunto com um número infinito de elementos.
c) ( ) C = [2,4] = {2, 3, 4}
d) ( ) Sejam A, B e C os conjuntos dos itens anteriores, pode-se afirmar que
A ∪ B ∪ C = A
e) ( ) Sejam A, B e C os conjuntos dos itens anteriores, pode-se afirmar que
(A ∩ B ) ∪ C = {2, 3, 4}
1.6 DESIGUALDADES
Muitas vezes devemos resolver desigualdades que envolvem expressões
como 2x – 5 < 9. O número a é uma solução de uma desigualdade se esta é
verdadeira quando substituímos x por a. O conjunto de todos os valores de x que
satisfazem uma desigualdade é chamado conjunto solução da desigualdade. Na
0 2
5
I
J
I∪ J 0 2 5
16
resolução da desigualdade aplicam-se as propriedades apresentadas na tabela
abaixo:
Nome Propriedade
Propriedade transitiva a < b e b < c ⇒ a < c
Adição de desigualdades a < b e c < d ⇒ a + c < b + d
Multiplicação por uma constante positiva a < b ⇒ a.c < b.c, c > 0
Multiplicação por uma constante negativa a < b ⇒ a.c > b.c, c < 0
Adição de uma constante a < b e ⇒ a + c < b + c
Subtração de uma constante a < b e ⇒ a - c < b - c
1.7 APLICAÇÕES
As desigualdades têm aplicação freqüente para definir condições que
ocorrem em diversas áreas, um exemplo disso está em analisarmos os níveis de
produção.
1.7.1 Exemplo Além do custo administrativo fixo, de R$ 720,00, o custo da produção de x
unidades de certo item é de R$ 3,00 por unidade. Durante o mês de outubro, o custo
total da produção variou entre o máximo de R$ 1.155,00 e no mínimo de 1.120,00
por dia. Determine os níveis de produção máximo e mínimo durante o mês.
Resolução
Como o custo de produção de uma unidade é de R$ 3,00, a produção de x unidades
é de 3.x. Além disso, como o custo fixo diário é de R$ 720,00, o custo total da
produção de x unidades é C = 3.x + 720.
Ora, como o custo variou de R$ 1.120 a R$ 1.155, podemos escrever que:
1.120 ≤ 3.x + 720 ≤ 1.155
1.120 - 720 ≤ 3.x + 720 – 720 ≤ 1.155 – 720
400 ≤ 3.x ≤ 435
17
3435
33
3400
≤⋅
≤x
133,33 ≤ x ≤ 145
Assim, os níveis de produção diária durante o mês variam entre um mínimo
de 133 unidades e um máximo de 145 unidades.
1.8 EXERCÍCIOS GERAIS DO CAPÍTULO
1) Forme os seguintes subconjuntos de Z:
a) A = 3}x|Ζ{x −>∈ b) B = 2}x|Ζ{x −≤∈ c) C = 5}x|Ζ{x <∈
d) D = 3}x-8|Ζ{x −<<∈ e) E = 0}x-6|Ζ{x ≤≤∈ f) F = 3}x-3|Ζ{x ≤≤∈
2) Determine os elementos de cada conjunto:
a) A = 0}4)(2x.1)(2x.1)(x.x|Q{x =−−+∈
b) B = 0}4)(2x.1)(2x.1)(x.x|{x =−−+Ζ∈
c) C = 0}4)(2x.1)(2x.1)(x.x|{x =−−+Ν∈
d) D = 0}4)(2x.1)(2x.1)(x.x|{x =−−+Ν∈ ∗
3) Represente na reta os seguintes subconjuntos de ℜ :
a) {0}0}x|{x −ℜ=≠ℜ∈=ℜ∗ b) [[0,0}x|{x ∞+=≥ℜ∈=ℜ+
c) []0,0}x|{x ∞+=>ℜ∈=ℜ∗+ d) 0],]0}x|{x ∞−=≤ℜ∈=ℜ−
e) 0[,]0}x|{x ∞−=<ℜ∈=ℜ∗−
4) Determine I∩ J e I∪ J nos casos:
a) I = [-3, 3] e J = [0, 6] b) I = ]1, 7[ e J =]2, 5[
Produção diária máxima
Produção diária mínima
Produção de cada dia durante o mês recaiu nesse intervalo
0 100 150 200
133 145
18
c) I = ]- [2,[Je3], ∞+−=∞ d) I = [1, 4] e J = [4, 9]
5) Uma loja de chocolates em um Shoping Center vende o quilo de um determinado
chocolate a R$ 23,00. Além do custo fixo (aluguel, tarifas públicas e seguro) de R$
150,00 por dia, a matéria prima e mão de obra custam R$ 14,00 por quilo desse
chocolate. Se o lucro diário varia entre R$550,00 e R$ 671,00, entre que níveis em
quilo variam as vendas diárias?
6) A receita da venda de x unidades de um produto é R = 120,20x e o custo da
produção de x unidades é C = 98x +800. Para que haja lucro, a receita de venda há
de ser maior do que o custo. Para que valores de x este produto dará lucro?
7) Investem-se R reais à taxa anula r de juros (simples). Após t anos, o montante na
conta é dado por A = R + Rrt, onde a taxa de juros é expressa em forma decimal.
Par que um investimento de R$ 5.000 ultrapasse R$ 6.000 em 2 anos, qual deve ser
a taxa de juros?
8) Uma grande empresa tem uma frota de motos cujo o custo operacional aual
unitário é C = 0,15q + 800, onde qu é o número de quilometragem percorridas por
uma moto em um ano. Qual quilometragem proporcionará um custo operacional
anual, por moto, inferior a R$ 5.000? Respostas da Lista de Exercícios (1.8) 1) a) {-2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }; b) {..., -4, -3, -2}; c) {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4};
d) {-7, -6, -5, -4}; e) {-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0}; f) {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}; 2) a) {-1, 0, 21 , 2};
b) {-1, 0, 2}; c) {0, 2}; d) {2}; 4) a) [0, 3]; [-3, 6]; b) ]2, 5[; ]1, 7[; c) [-2, 3]; ℜ ;d){4};[1,9]
5) 77,8 < x < 91,3; 6) x > 36,04; 7) 10%; 8) 28.000 km.
19
2 FUNÇÃO
Neste capítulo serão discutidos vários tipos de funções
que aparecem no Cálculo. As funções são as melhores
ferramentas para descrever o mundo real em termos matemáticos.
Este capítulo apresenta as idéias básicas das funções,
seus gráficos, seus métodos para transladá-los, mas, ao contrário
do que normalmente se apresenta, existirá uma preocupação em
apresentar a função em suas diversas representações, ou seja, a partir de uma
função representada algebricamente, será solicitado seu gráfico, a partir do gráfico
de uma função será pedida a sua representação numérica ou a partir de sua
representação numérica será solicitada a sua representação algébrica.
Iniciaremos este capítulo com algumas definições que irão nos auxiliar na
compreensão do conceito de função.
2.1 PAR ORDENADO
Imaginem a seguinte situação: “para formar a equipe de basquete de um
colégio, vamos selecionar 5 alunos dentre os da 3ª série A e da 3ª série B, indicando
as quantidades de alunos escolhidos em cada classe do seguinte modo: anotamos
entre parênteses primeiro o número de selecionados da 3ª série A e depois o da 3ª
série B”.
Então, (3, 2) indicará que foram selecionados 3 alunos da 3ª A e 2 alunos
da 3ª B, enquanto (2, 3) indicará que foram selecionados 2 alunos da 3ª A e 3 alunos
da 3ª B. Assim, em (3, 2) e (2, 3) temos as mesmas quantidades, 3 e 2, porém
dispostas em ordens diferentes. Por isso, dizemos que (3, 2) e (2, 3) são dois pares
ordenados diferentes. No nosso exemplo, podem ocorrer os seguintes pares
ordenados: (5, 0), (4, 1), (3, 2), (2, 3), (1, 4) e (0, 5).
Com esse exemplo, podemos formar a idéia de par ordenado, como
sendo um conjunto de dois elementos considerados numa dada ordem. Para lembrar
que na representação de um par ordenado a ordem é importante, usamos
parênteses ao invés de chaves como nos conjuntos em geral. Assim, (x, y) é o par
Web
Aula 2
Introdução à Função Par ordenado,
Produto cartesiano e Relação
20
ordenado de 1º termo x e 2º termo y, enquanto que (y, x) é o par ordenado de 1º
termo y e 2º termo x.
Podemos representar os pares ordenados de números reais por pontos de
um plano.
Consideremos duas retas orientadas (eixos) x e y, perpendiculares e que
se cortam num ponto O. Então, essas duas retas concorrentes determinam um único
plano α cujos pontos serão associados aos pares ordenados (a, b) de números
reais do seguinte modo:
1º) Marcamos em x o ponto P1 correspondente ao número a e por ele traçamos a
reta y’ paralela a y;
2º) Marcamos em y o ponto P2 correspondente ao número b e por ele traçamos a
reta x’ paralela a x.
Desse modo, as retas x’ e y’ interceptam-se num ponto P, que é associado
ao par (a, b).
Temos então:
• P é o ponto de coordenadas (a, b);
• O número a é a abscissa de P;
• O número b é a ordenada de P;
• O eixo x é o eixo das abscissas;
• O eixo y é o eixo das ordenadas;
• O ponto O é a origem e tem
coordenadas (0, 0).
A cada par de números reais fazemos corresponder um ponto do plano α
e também a cada ponto do plano corresponde um par de números reais. Essa
correspondência é denominada sistema de coordenadas cartesianas ortogonais (ou
sistema cartesiano ortogonal). O plano α é chamado plano cartesiano.
2.2 PRODUTO CARTESIANO
x
y
P1
P2 P (a, b)
a
b
O
x’
y’
∙
∙ ∙
∙
∙ α
21
Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Denominamos produto cartesiano de A por B o conjunto A x B cujos elementos são todos pares ordenados
(x, y), onde o primeiro elemento pertence a A e o segundo elemento pertence a B.
B}yeAx/y){(x,BA ∈∈=×
O símbolo A x B lê-se: “A cartesiano B” ou “produto cartesiano de A por B”
Quando A = ∅ ou B = ∅, temos que A x B = ∅.
Quando B = A, temos A x A = A2 e lê-se, “A dois”.
Exemplos 1) Se A = {1, 2} e B = {2, 3, 4}, o produto cartesiano:
Representação Simbólica
Representação Numérica
Representação Gráfica
a) A x B
{(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2,
4)}
b) B x A
{(2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4,
2)}
c) A x A = A2
{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}
y
x 1 2
2 3 4
∙ ∙
∙ ∙ ∙
∙
∙ ∙ ∙ ∙ ∙
∙
x
y
1
2
2
3 4
∙ ∙
∙ ∙
x
y
1 2
2 1
22
2) Se A = 4}x/2{x <≤ℜ∈ e B = {3}, apresente em diferentes representações:
Representação Simbólica
Representação Algébrica Representação Gráfica
A X B
4}x2/3){(x,A}x/3){(x, <≤=∈
3) Se A = 4}x/2{x ≤<ℜ∈ e 6}x/2{xB <≤ℜ∈= , apresente em diferentes
representações:
Representação Simbólica
Representação Algébrica Representação Gráfica
A X B
6}y2e4x2/y){(x, <≤≤<ℜ×ℜ∈
B X A
4}y2e6x2/y){(x, 2 <≤≤<ℜ∈
x
y
2
3
4
x
y
2
6
4
2
4
6
x
y
2 6
4
2
4
6
23
2.2.1 Exercícios
1) Observando o exemplo (1), o que se pode concluir em relação à quantidade de
elementos de um produto cartesiano, ou seja, se o conjunto A tem m elementos e o
conjunto B tem n elementos, então o conjunto A x B será formado por quantos pares
ordenados?
2) Se o conjunto A é diferente do conjunto B, então A X B e B X A são diferentes?
Explique detalhadamente a sua resposta.
3) Se o conjunto A está composto por 3 elementos e o conjunto B por 4 elementos,
então a quantidade de elementos, ou seja, de pares ordenados de A X B e de B x A
são diferentes? Justifique a sua resposta.
4) Explique o porquê do gráfico do exemplo (2) ser um segmento de reta a, além
disso, o fato de conter a extremidade esquerda e não conter a extremidade direita.
5) Justifique o fato dos gráficos do exemplo (3) serem representados pela área de
uma região retangular. Explique ainda, as linhas tracejadas em cada retângulo.
2.3 RELAÇÃO
Denominamos relação de A em B a todo subconjunto R de A x B.
R é uma relação de A em B BAR ×⊂⇔
Exemplos
1) Se A = {1, 2} e B = {2, 3, 4}, determine a R = y}x/BAy){(x, <×∈ a qual está
sendo apresentada em uma linguagem simbólica, nas representações numéricas e
gráficas
24
A x B = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4)}.
Representação Numérica Representação Gráfica
Cartesina Diagrama de Flechas
R = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}
2) Dados A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 3, 5, 7}, represente numericamente e em forma de
diagramas de flechas as relações de A em B:
a) R = 8}yx/BAy){(x, =+×∈
b) S = 10}xy/BAy){(x, ≤×∈
a) A relação R é formada pelos pares (x, y), Ax∈ e By∈ , com a soma dos termos
x + y = 8. Estes pares são: (1, 7) e (3, 5). Logo, R = {(1, 7), (3, 5)}.
b) A relação S é formada pelos pares (x, y), Ax∈ e By∈ , com o produto dos
termos 10≤ . Estes pares são: (1, 1), (1, 3), (1, 5), (1, 7), (2, 1), (2, 3), (2, 5), (3, 1),
(3, 3) e (4, 1) Logo,
S = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (1, 7), (2, 1), (2, 3), (2, 5), (3, 1), (3, 3), (4, 1)}
Diagrama de Flechas Diagrama de Flechas
A B
1 1
2
3
4
3
5
7
R
A B
1 1
2
3
4
3
5
7
S
A B
1
23
4
2R
x
y
1 2
234
∙
∙ ∙ ∙ ∙
∙
25
2.3.1 Exercício
Observando o exemplo (1), explique qual é a diferença do produto cartesiano e da
relação.
2.4 FUNÇÃO
2.4.1 Definição
Sejam dois conjuntos A e B, com ØBeØA ≠≠ .
Uma função ou aplicação de A em B é uma relação que a todo
elemento x de A faz corresponder um único elemento y de B.
Exemplo
“O perímetro (y) de um quadrado é função do lado (x) desse quadrado. Se o lado
medir 2 cm, o perímetro será 8 cm; se o lado medir 10 cm, o perímetro será 40 cm;
para cada x, o perímetro será y = 4x, onde x pode ser qualquer número real
positivo”.
2.4.2 Observações
1) Em relação ao diagrama de flechas, uma relação de A em B é uma função se:
a) Todo elemento de A é ponto de partida de flecha;
b) Cada elemento de A é ponto de partida de uma única flecha.
2) Em relação à representação cartesiana, uma relação de A em B é uma função se:
“A reta paralela ao eixo y conduzida pelo ponto (x, 0), onde Ax∈ , encontra sempre
o gráfico da função em um só ponto”.
3) A seguinte linguagem é utilizada:
a) O conjunto A é o domínio da função;
Web
Aula 3 Função
26
b) O conjunto B é o contradomínio da função;
c) O elemento y de B, associado ao elemento x de A, é denominado imagem de x;
d) O subconjunto de B formado pelos elementos que são imagens dos elementos de
A é denominado conjunto-imagem (ou apenas imagem) da função.
2.4.3. Notação
Função: em geral, usamos as letras f, g, h e outras para designarmos as funções.
Também podemos escrever:
BA:f → (leia: f de A em B), para indicar uma função f de A em B;
y = f (x) (leia: y = f de x), para indicar que y é a imagem de x.
Domínio: utilizamos D ou D (f) (leia: D de f) para indicarmos o domínio da função f.
Imagem: utilizamos Im ou Im (f) (leia: imagem de f), para indicarmos a imagem da
função f.
Assim, para uma função BA:f → , temos:
D (f) = A e Im (f) = {y y)}(x)f/Ax(/B =∈∃∈
Para uma função f ficar bem definida, devemos dizer quem é o domínio
(A), o contradomínio (B) e a lei (ou regra) pela qual a cada x de A corresponde o
elemento y = f (x) de B.
Diagrama de Flechas
A = D (f) B
Im (f) ∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
x y
f
27
Observem ainda que quando temos uma função BA:f → , tal que
y = f (x), x e y recebem o nome de variáveis, com x como variável independente e
y, variável dependente. (Vejam o exemplo dado na definição 2.4.1)
Exemplos
1) Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e B = {-1, 0, 1, 2, 3}, verifique pelo diagrama
de flechas, quais das seguintes relações definidas abaixo,são funções.
a) R = 2}xy/BAy){(x, +=×∈
b) S = { }xy/BAy)(x, 22 =×∈
c) T = x}y/BAy){(x, =×∈
d) V = 2x}xy/BAy){(x, 2 −=×∈
e) W = 3}y/BAy){(x, =×∈
Resolução
a) R = {(0, 2), (1, 3)} a)
b) S = {(0, 0), (1, -1), (1, 1), (2, 2), (3, 3)}
c) T = {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3)}
d) V = {(0, 0), (1, -1), (2, 0), (3, 3)}
e) W = {(0, 3), (1, 3), (2, 3), (3, 3)}
b) c)
A B 0
0
1 1
-1
2 2
3 3
não é função
R
B A 0
0 1
1
-1
2 2
3 3
Não é função
S A B 0
0 1 1
-1
2 2 3 3
É função
T
28
d) e)
2) Dadas as representações cartesianas das relações f de A em ℜ , verifique quais
são funções:
a) A = 2}x1/{x ≤≤−ℜ∈ b) A = 1}x1/{x ≤≤−ℜ∈
c) A = 3}x0/{x ≤≤ℜ∈
A B 0 0 1
1
-1
2
2 3
3
É função
V A B 0
0 1 1
-1
2 2 3 3
É função
W
-1 2 x
y
x
y
-1 1
2 x
y
3 0
29
Observem que o item (a) representa uma função, pois qualquer reta
traçada paralelamente a y por pontos do intervalo [-1, 2] intercepta o gráfico
cartesiano num único ponto. O item (b) não representa uma função, pois se
traçarmos retas paralelas a y, por pontos do intervalo [-1, 1], estas interceptam o
gráfico cartesiano em dois pontos. O item (c) também não representa uma função,
pois retas traçadas paralelamente a y por pontos do intervalo [0, 2[ não interceptam
o gráfico cartesiano em ponto algum. Se no item (c) tivéssemos A =
{ 3}x2/x ≤≤ℜ∈ , daí teríamos uma função.
3) Dado A = {-1, -2, -3, -4}, consideremos a função ℜ→A:f definida por f (x) = 2 x.
Qual a imagem dessa função?
Atribuindo a x os valores do D (f) = A, temos:
Para x = -1, f (-1) = 2 . (-1) = -2
Para x = -2, f (-2) = 2 . (-2) = -4
Para x = -3, f (-3) = 2 . (-3) = -6
Para x = -4, f (-4) = 2 . (-4) = -8
Portanto, Im (f) = {-2, -4, -6, -8}
2.4.4 Exercícios
1) Com base nas observações do tópico 2.4.2, justifique as respostas do exemplo
(1).
2) Qual é a diferença de uma relação e de uma função? Toda função é uma
relação? E toda relação é uma função?
2.4.5. Funções do 1º Grau
2.4.5.1. Função Afim
A = D (f) ℜ -1
-2 -2
-3
-4
-4
-6
-8
Im (f)
f
-4
Web
Aulas 4 e 5 Função
do 1º grau
30
Definição: uma aplicação de ℜ em ℜ recebe o nome de função afim quando a
cada x ℜ∈ estiver associado o elemento (ax +b) ℜ∈ com a≠ 0, isto é:
0ab,ax(x)fyx:f
≠+==ℜ→ℜ
a
Exemplos
Apresente as funções dos itens (a), (b) e (c) nas representações algébrica, numérica
e gráfica.
Representação Algébrica
Representação Numérica
Representação Gráfica
a) y = 2 x + 3
com
a = 2 e b = 3
x y
0 3
-1 1
b) y = 3 x – 1
com
a = 3 e b = -1
x y
0 -1
1 2
c) y = - x + 3
com
a = -1 e b = 3
x y
0 3
1 2
31
2.4.5.1.1 Exercício
Observando os exemplos anteriores, podemos notar que para
representar essa função por meio de um gráfico apenas dois pontos foram utilizados.
O que ocorreria se utilizássemos mais de 2 pontos? O que garante que apenas dois
pontos sejam necessários para o esboço do gráfico da função polinomial do 1° grau?
Domínio e Imagem: D (f) = ℜ e Im (f) = ℜ .
Coeficientes da Função Afim: f (x) = ax + b
a: coeficiente angular ou declividade da reta representada no plano cartesiano.
b: coeficiente linear (ordenada do ponto onde a reta corta o eixo y).
Exemplos
1) Obter a equação da reta que passa pelos pontos (1, 2) e (3, -2).
Resolução
A equação da reta é da forma: y = ax + b
(1, 2) pertence à reta ⇒ 2 = a + b
(3, -2) pertence à reta ⇒ -2 = 3a + b
⎩⎨⎧
−=+=+
2b3a2ba
(-)
2a = -4 ⇒ a = -2 ⇒ b = 4. Portanto, a equação da reta é: y = -2x + 4
b) Obter a equação da reta que passa pelo ponto (1,3) e tem coeficiente angular
igual a 2.
Resolução
A equação da reta é da forma: y = ax + b
Se o coeficiente angular é igual a 2, temos que a = 2
Portanto a equação fica: y = 2x + b
32
Como o ponto (1, 3) pertence à reta, vem: 3 = 2 . 1 + b ⇒ b = 1
Portanto, a equação da reta é: y = 2x + 1
c) Obter a equação da reta que passa pelo ponto (-2, 1) e tem coeficiente linear igual
a 4.
Resolução
A equação da reta é da forma: y = ax + b
Se o coeficiente linear é igual a 4, temos que b = 4
Portanto, a equação fica: y = ax + 4
Como o ponto (-2, 1) pertence à reta, vem: 1 = -2a + 4 ⇒ -2a = -3 ⇒ a = 23
Portanto, a equação da reta é: y = 23 x + 4
Zero da Função Afim: é todo número x cuja imagem é nula, isto é, f (x) = 0.
x é zero de y = f (x) ⇔ f (x) = 0
Exemplo
y = f (x) = 2x – 2
f (x) = 0 ⇒ 2x – 2 = 0 ⇒ 2x = 2 ⇒ x = 1
Graficamente, o zero da função afim é a abscissa do ponto onde a reta corta o eixo
x.
Funções Crescentes ou Decrescentes
Função Crescente: a função f: A → B definida por y = f (x) é crescente no conjunto
A1 ⊂ A se, para dois valores quaisquer x1 e x2 de A1, com x1 < x2, tivermos f (x1) < f
(x2).
33
Função Decrescente: a função f: A → B definida por y = f (x) é decrescente no
conjunto A1 ⊂ A se, para dois valores quaisquer x1 e x2 de A1, com x1 < x2, tivermos f
(x1) > f (x2).
Teorema: “a função afim é crescente ou decrescente se, e somente se, o coeficiente
angular é respectivamente positivo ou negativo”.
Exemplos
a) y = 2x – 3; a = 2 > 0 ⇒ y é crescente.
b) y = -3x +3; a = -3 < 0 ⇒ y é decrescente.
Sinal da Função Afim: seja y = f (x) = ax + b
f (x) = 0 ⇒ ax + b = 0 ⇒ x = ab
− (zero ou raiz da função afim)
a) Se a > 0 :
Se a < 0 :
Portanto, podemos resumir os dois casos acima em um único caso:
ab
− x
+ _
ab
− + _
c/a m/a 0
x
ab
− x
+ _
ab
− + _
c/a m/a 0
x
ab
−
c/a m/a y = 0
x
34
Exemplos
Estude as funções:
a) y = f (x) = 2x – 2
b) y = f (x) = -3x +6
Resolução
a) y = f (x) = 2x – 2 a = 2 > 0 ⇒ f é crescente
f (x) = 0 ⇒ 2x – 2 = 0
2x = 2 ⇒ x = 1 (zero ou raiz)
b) y = f (x) = -3x + 6 a = -3 < 0 ⇒ f é decrescente
f (x) = 0 ⇒ -3x + 6 = 0
-3x = -6 ⇒ x = 2 (zero ou raiz)
Atenção
Quando igualamos a zero a função y = f (x) para determinar sua raiz
(intersecção da reta com o eixo x), passamos a ter uma equação do 1º grau na
incógnita x, a qual queremos determinar.
2.4.5.1.2 Exercício
Dados os gráficos das funções dos itens (a) e (b):
1 x _ +
1
_ +
m/a c/a f (x) = 0
f (x) > 0 f (x) < 0
2 x _
+
2
+ _ m/a c/a f (x) = 0
f (x) < 0 f (x) > 0
35
1) Represente a função algebricamente.
2) Determine os coeficientes (angular e linear).
3) Determine o zero de cada uma das funções.
4) As funções são crescentes ou decrescentes? Por quê?
a) b)
2.4.5.2 Função Linear
Definição: se na função afim y = f (x) = ax + b, a ≠ 0 tivermos b = 0, teremos a
função linear que é uma aplicação de ℜ em ℜ e que associa a cada elemento
x ℜ∈ o elemento ax ℜ∈ , a ≠ 0.
0aax,(x)fyx:f
≠==ℜ→ℜ
a
Domínio e Imagem: D (f) = ℜ e Im (f) = ℜ .
Exemplos
Represente as funções abaixo, numérica e graficamente:
a) y = 2x
−4 −2 2 4
8
−6
−4
−2
xy
f
−4 −2 2 4
8
−6
−4
−2
xy
f
36
b) y = -2x
2.4.5.2.1 Exemplo
Como pode ser observado nos exemplos acima, o gráfico da função
linear também é representado por uma reta, mas esse gráfico apresenta uma
particularidade em relação à função afim. Qual é essa particularidade?
2.4.5.3 Função Identidade
Definição: se na função afim y = f (x) = ax + b, a ≠ 0 tivermos b = 0 e a = 1, teremos
a função identidade, que é uma aplicação de ℜ em ℜ e que associa a cada
elemento x ℜ∈ o próprio x.
x(x)fyx:f
==ℜ→ℜ
a
Gráfico: o gráfico da função identidade também é uma reta que contém as
bissetrizes do 1º e 3º quadrantes e que passa pela origem.
Domínio e Imagem: D (f) = ℜ e Im (f) = ℜ .
x y
0 0
1 2
x y
0 0
1 -2
37
Exemplos Construir o gráfico das funções: a) y = x b) y = -x
Para cada item, vamos atribuir valores a x.
a) b)
2.4.5.3.1 Exercício 1) Existe diferença entre as funções linear e identidade? Em caso afirmativo, quais?
2) Toda função linear é identidade? E toda função identidade é linear? Por quê?
3) Por que o domínio de uma função linear são todos os números reais?
4) Se uma função linear estiver definida para x ∈ ℜ/ 3 < x < 10, a sua imagem estará
composta por todos os números reais? Por quê?
5) Se uma função linear estiver definida para x ∈ ℜ/ 3 < x < 5, a sua imagem estará
composta por um número finito de elementos? Por quê?
x y
0 0
1 1
x y
0 0
1 -1
38
2.4.5.4 Função Constante
1) Definição: se na função afim y = f (x) = ax + b, tivermos a = 0, teremos a função constante, que é uma aplicação de ℜ em ℜ e que associa a cada elemento x ℜ∈ ,
sempre o mesmo elemento b ℜ∈ .
)(constante b(x)fyx:f
==ℜ→ℜ
a
Gráfico: o gráfico da função constante é uma reta paralela ao eixo x, passando pelo
ponto (0, b).
Domínio e Imagem: D (f) = ℜ e Im (f) = {b}
Exemplos
Construir os gráficos das funções:
a) y = 4 b) y = -2
Observem que as duas funções não dependem de x, isto é, para qualquer x ℜ∈ , em
(a), o y vale sempre 4 e em (b) vale sempre -2.
a) b)
2.4.5.4.1 Exercício
A função constante é uma função polinomial do 1° grau? Por quê?
39
2.4.5.5 Declividade
Declividade da reta é à tangente do ângulo que a reta forma com o eixo Ox.
Na função polinomial do primeiro grau, esta tangente coincide com a própria reta do
gráfico da função e tem valor igual ao coeficiente angular “a”.
A partir do gráfico da função do 1º grau é possível determinar o valor do coeficiente
angular. Para isso, tomamos dois pontos A e B da função; ou da reta.
Para determinar a declividade ou coeficiente angular de uma reta
prosseguimos conforme pode ser lido abaixo.
Seja “a” o coeficiente angular da reta, então
12
12
xxyya
−−
= , onde A = (x1,y1) e B = (x2,y2)
Note que o triângulo ABC destacado da
figura é um triângulo retângulo. Assim,
temos:
αtagaαaadjacentecateto
αaopostocatetoACBCa
xxyya
12
12 =⇒==⇒−−
=
Exemplos
1) Determine a inclinação da reta apresentada no gráfico abaixo.
Resolução
Uma das forma de determinar a inclinação de uma reta é
aplicar a fórmula 12
12
xxyya
−−
= . Para isso devemos conhecer
ao menos dois dos pontos da reta. Note, que no gráfico
apresentado, temos bem definidos dois de seus pontos,
que são as intersecções da reta com os eixos coordenados. No eixo Ox, vamos
−4 −2 2 4
−4
−2
2
4
40
denominar o ponto de A, então A = (-2,0) e no eixo Ou, vamos denominar de B,
então B = (0,4). Seja então, x1 = -2, x2 = 0, y1 = 0 e y2 = 4, substituindo em
12
12
xxyya
−−
= , teremos 224
)2(004a ==−−−
= . Logo, o coeficiente angular dessa reta, ou
a declividade é igual a 2.
2) Determine a equação da reta do exemplo anterior.
Resolução
Uma das formas de determinar a equação de uma reta é usar a
equação reduzida da reta, dada por: y – y0 = m(x – x0), onde m é o coeficiente
angular da reta, também conhecido por “a” e as coordenadas (x0,y0) representam as
coordenadas de qualquer ponto conhecido da reta. Para o exemplo em questão,
conhecemos as coordenadas dos pontos A e B, portanto pode-se usar qualquer um
dos dois pontos. Ainda temos o coeficiente angular m = a = 2. Substituindo o 2 e o
ponto A, por exemplo, teremos: y – y0 = m(x – x0), ⇒ y – (0) = 2(x – (-2)) ⇒ y = 2x +
4.
Portanto, a equação da reta é dada por: y = 2x + 4.
2.4.6. Função Quadrática
Definição: uma aplicação f de R em R recebe o nome de função quadrática ou do 2º grau quando associa a cada x R∈ o elemento
(ax2 + bx + c) R∈ , onde a ≠ 0.
0ac,bxax(x)fyx
:f2 ≠++==
ℜ→ℜ
a
Exemplos
a) f (x) = x2 – 2x + 3; a = 1; b = -2; c = 3
b) f (x) = -2x2 + 5x – 1; a = -2; b = 5; c = -1
c) f (x) = x2 – 4; a = 1; b = 0; c = -4
Web
Aula 6 Função
do 2º grau
41
d) f (x) = -2x2 + 3x; a = -2; b = 3; c = 0
e) f (x) = -4x2; a = -4; b = 0; c = 0
Gráfico: o gráfico da função quadrática f (x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0, é uma parábola.
Concavidade a) a > 0 ⇒ concavidade voltada para cima (boca pra cima)
b) a < 0 ⇒ concavidade voltada para baixo (boca pra baixo)
Zeros da função do 2° grau
Os zeros ou raízes da função quadrática y = f (x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0 são
os valores de x reais tais que f (x) = 0 e, portanto, as soluções da equação do 2º
grau
ax2 + bx + c = 0 na incógnita x.
Discussão: ax2 + bx + c = 0; Δ = b2 – 4ac (discriminante da equação do 2º grau)
1º) Δ > 0, a equação apresenta duas raízes reais e distintas
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−−=
+−=
2aΔbx
2aΔbx
2
1
(a parábola corta o eixo dos x em dois pontos)
2º) Δ = 0, a equação apresenta duas raízes reais e iguais ⎩⎨⎧ −==
2abxx 21
(a parábola tangencia o eixo dos x)
3º) Δ < 0, a equação não apresenta raízes reais, pois ℜ∉Δ .
(a parábola não corta o eixo dos x)
x
y
y
x
42
Exemplo
Determine os valores de m para que a função quadrática
f (x) = mx2 + (2m – 1)x + (m – 2) tenha dois zeros reais e distintos.
Resolução
Para a função ser quadrática, devemos ter a = m ≠ 0.
Para que a função tenha dois zeros reais e distintos, devemos ter Δ > 0.
Δ > 0 ⇒ (2m – 1)2 – 4m (m – 2) > 0
4m2 – 4m + 1 – 4m2 + 8m > 0
4m + 1 > 0
4m > -1
m > 41
−
Portanto, devemos ter: m ≠ 0 e m > 41
−
Vértice da Parábola: o ponto V = (4aΔ,
2ab
−− ) é chamado vértice da parábola
representativa da função quadrática.
Máximo e Mínimo: dizemos que o número yM ∈ Im (f) (ou ym ∈ Im (f)) é o valor de
máximo (ou mínimo) da função y = f (x) se, e somente se, yM ≥ y (ou ym ≤ y) para
qualquer y ∈ Im (f) e o valor xM ∈ D (f) (ou xm ∈ D (f)) tal que yM = f (xM) (ou ym = f
(xm)) é chamado ponto de máximo (ou mínimo) da função. Teorema:
A função quadrática y = ax2 + bx + c, a ≠ 0 admite um valor máximo (ou mínimo)
y = 4aΔ
− em x = 2ab
− se, e somente se, a < 0 (ou a > 0).
Exemplos
43
1) Determine o valor máximo ou o valor mínimo e o ponto de máximo ou o ponto de
mínimo das funções abaixo, definidas em ℜ .
a) y = 4x2 – 8x + 4
Resolução:
a) y = 4x2 – 8x + 4; a = 4 > 0 ⇒ y = 4aΔ
− é o valor mínimo da função, no ponto de
mínimo x = 2ab
− .
Δ = b2 – 4ac
Δ = (-8)2 – 4 . 4 . 4
Δ = 64 – 64 = 0
Portanto, o valor mínimo da função é ym = 0 e o ponto de mínimo da função é:
xm = 2ab
− = 188=
−− . Logo, o vértice é o ponto V = (1, 0).
2.4.6.1 Exercícios
1) Determine o valor máximo ou o valor mínimo e o ponto de máximo ou o ponto de
mínimo das funções abaixo, definidas em ℜ .
y = -3x2 + 12x
2) Determine o valor de m na função real f (x) = (m – 1)x2 + (m + 1)x - m para que o
valor mínimo seja 1.
Domínio e Imagem: D (f) = ℜ . Para determinarmos a Im (f), fazemos:
f (x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0
a) a > 0 ⇒ y }4aΔy/{y(f)Imx,
4aΔ
−≥ℜ∈=∴ℜ∈∀−≥
b) a < 0 ⇒ y }4aΔy/{y(f)Imx,
4aΔ
−≤ℜ∈=∴ℜ∈∀−≤
Exemplos
44
1) Obter a imagem da função f de ℜ em ℜ definida por: f (x) = 2 x2 – 8x + 6.
a = 2 > 0 ⇒ }4aΔy/{y(f)Im −≥ℜ∈=
Vamos determinar Δ :
Δ = b2 – 4ac
Δ = (-8)2 – 4 . 2 . 6
Δ = 64 – 48 = 16
Portanto, }4aΔy/{y(f)Im −≥ℜ∈= = 2}y/{y(f)Im}
816y/{y −≥ℜ∈=⇒−≥ℜ∈
2) Determinar m na função f (x) = 3x2 – 4x + m definida em ℜ para que a imagem
seja Im (f) = { 2}y/y ≥ℜ∈
a = 3 > 0 ⇒ }4aΔy/{y(f)Im −≥ℜ∈=
Vamos determinar Δ :
Δ = b2 – 4ac
Δ = (-4)2 – 4 . 3 . m
Δ = 16 – 12m
}1212m-16-y/{y}
4aΔy/{y(f)Im ≥ℜ∈=−≥ℜ∈=∴
Como queremos que Im (f) = { 2}y/y ≥ℜ∈ , fazemos:
310
1240m4012m2412m162
1212m16
==⇒=⇒=+−⇒=−
−
Sinal da Função Quadrática: f (x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0
1º caso: Δ < 0 ⇒ a equação ax2 + bx + c = 0 não apresenta raízes reais ⇒ a
parábola não corta o eixo dos x.
a) a > 0
x
y
f (x) > 0
+ + + + + + + + + + m/a
x
45
b) a < 0
2º caso: Δ = 0 ⇒ a equação ax2 + bx + c = 0 apresenta duas raízes reais e iguais:
x1 = x2 = 2ab
− ⇒ a parábola tangencia o eixo dos x.
a) a > 0
b) a < 0
3º caso: Δ > 0 ⇒ a equação ax2 + bx + c = 0 apresenta duas raízes reais e
distintas
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−−=
+−=
2aΔbx
2aΔbx
2
1 ⇒ a parábola corta o eixo dos x em dois pontos.
y
x
f (x) < 0
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ m/a
x
x
y
f (x) > 0 f (x) > 0
f (x) = 0 + +
m/a
x
m/a f (x) = 0
x1 = x2
_ _ m/a
x
m/a f (x) = 0
x1 = x2
x
y
f (x) < 0 f (x) < 0
f (x) = 0
46
a) a > 0
b) a < 0
Exemplos
Faça o estudo completo das funções:
1) f (x) = x2 – 2x + 1
2) f (x) = x2 – x – 6
Resolução:
1) f (x) = x2 – 2x + 1; a = 1 > 0 ⇒ a parábola tem a concavidade voltada para cima.
Vamos achar as raízes da função. Para isso, fazemos f (x) = 0 e obtemos a seguinte
equação na incógnita x:
x2 – 2x + 1 = 0
Δ = b2 – 4ac
Δ = (-2)2 – 4 . 1 . 1
x
y
f (x) > 0 f (x) > 0
f (x) = 0 f (x) = 0
f (x) < 0
m/a
x
m/a f (x) = 0
x1 x2
f (x) = 0 + + _ c/a
f (x) < 0
x
y
f (x) < 0 f (x) = 0 f (x) = 0
f (x) > 0 + _ _
m/a
x
m/a f (x) = 0
x1 x2 f (x) = 0
c/a
47
Δ = 4 – 4 = 0, temos, portanto, duas raízes reais e iguais: x1 = x2 = 122
2ab
=−
−=−
Portanto, a parábola tangencia o eixo x.
Sinal: Para x < 1⇒ f (x) > 0
Para x = 1 ⇒ f (x) = 0
Para x > 1 ⇒ f (x) > 0
Vértice: V = (4aΔ,
2ab
−− ) = (1, 0) ⇒ ponto de mínimo da função
Imagem: Im (f) = 0}y/{y}4aΔy/{y ≥ℜ∈=−≥ℜ∈
2) f (x) = x2 – x – 6; a = 1 > 0 ⇒ a parábola tem a concavidade voltada para cima.
Vamos achar as raízes da função. Para isso, fazemos f (x) = 0 e obtemos a seguinte
equação na incógnita x:
x2 – x – 6 = 0
Δ = b2 – 4ac
Δ = (-1)2 – 4 . 1 . (-6)
Δ = 1 + 24 = 25 > 0, temos, portanto, duas raízes reais e distintas
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−=−=
==
⇒±
=±−
=
224x
ou
326x
251
2aΔbx
2
1
Portanto, a parábola intercepta o eixo x em dois pontos.
-2
f (x) = 0 + +
x
m/a m/a
3
f (x) = 0 _ c/a
1
f (x) = 0 + +
x
m/a m/a
48
Sinal: Para x < -2 ⇒ f (x) > 0 Para x = -2 ⇒ f (x) = 0
Para -2 < x < 3 ⇒ f (x) < 0 Para x = 3 ⇒ f (x) = 0
Para x > 3 ⇒ f (x) > 0
Vértice: V = (4aΔ,
2ab
−− ) = )4
25,21( − ⇒ ponto de mínimo da função
Imagem: Im (f) = }4
25y/{y}4aΔy/{y −≥ℜ∈=−≥ℜ∈
2.4.6.1.2 Exercício
Faça o estudo completo da função definida por: f (x) = -2x2 + 3x - 2
2.4.7 Função Exponencial
Definição: chama-se função exponencial de base a, com { }1a −ℜ∈ ∗+ ,a função f de
∗+ℜ→ℜ definida por xaf(x) = .
Exemplos
1) Construa os o gráficos das funções exponenciais ∗+ℜ→ℜ:f definidas por
x2f(x) = e x)21(g(x) = e em seguida, comparando-os escreva algumas
conclusões.
x -3 -2 -1 0 1 2 3
x2f(x)y == 81
212 3
3 ==− 41
212 2
2 ==−
212 1 =− 120 = 221 = 422 = 823 =
49
Conclusões
a) O gráfico da função exponencial está sempre acima do eixo Ox, pois
ℜ∈∀> x,0ax .
b) O gráfico da função exponencial sempre intercepta o eixo Oy no ponto (0,1), pois
{ }1a,1a0 −ℜ∈∀= ∗+ .
c) Se a > 1 a função exponencial é estritamente crescente.
d) Se 0 < a < 1 a função exponencial é estritamente decrescente.
e) A função exponencial é sobrejetora, pois o contradomínio e o conjunto imagem
são, ambos, iguais a ∗+ℜ .
f) A função exponencial é injetora, pois qualquer reta horizontal intercepta seu
gráfico no máximo uma vez.
g) A função exponencial é, pois, bijetora.
x -3 -2 -1 0 1 2 3
x
21(g(x)y )== 82)
21( 33 ==− 42)
21( 22 ==− 22)
21( 11 ==− 1)
21( 0 =
21)
21( 1 = 4
1)21( 2 = 8
1)21( 3 =
−4 −3 −2 −1 1 2 3
2
−1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
f(x)
−4 −3 −2 −1 1 2 3
2
−1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
g(x)
50
h) 21xx xxaa 21 =⇔= , pois a função exponencial é injetora.
i) Se a > 1, então 21xx xxaa 21 ≥⇔≥ , pois a função exponencial é estritamente
crescente.
j) Se 0 < a < 1, então 212x1x xxaa ≤⇔≥ , pois a função exponencial é estritamente
decrescente.
2) Determine m ℜ∈ para que a função f (x) = (2m – 1)x seja crescente em ℜ.
Resolução
Vimos que a função exponencial f (x) = ax é estritamente crescente quando a > 1.
Na função dada, a = 2m – 1. Logo, fazemos:
2m – 1 > 1 ⇒ 2m > 2 ⇒ m > 1
3) Esboce o gráfico e determine o conjunto imagem da função de domínio ℜ :
f (x) = 2x – 2
x -3 -2 -1 0 1 2 3
2-2f(x)y x== 2-3 – 2 =
815
81
−=− 2
2-2 – 2 =
47
41
−=− 2
2-1 – 2 =
23
21
−=− 2
20 – 2
= 1 –
2 = -1
21 – 2
= 2 –
2 = 0
22 – 2
= 4 –
2 = 2
23 – 2 = 8 – 2 = 6
2}y/{y(f)Im −>ℜ∈=
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−2
−1
1
2
3
4
x
y
51
2.4.8 Função Logarítmica
Definição: chama-se função logarítmica de base a, com a > 0 e 1a ≠ , a função
ℜ→ℜ∗+:f definida por xlog(x)f a= .
Definição de Logaritmo: se 010,, >≠<ℜ∈ beaba , então
baxb xa =⇔=log . (lê-se: “logaritmo de b na base a” balog→ ), onde: b é o
logaritmando; a é a base do logaritmo; x é o logaritmo.
Exemplos de Gráficos
1º) Construa os gráficos das funções ℜ→ℜ∗+:f definida por xlog(x)f 2= e
xlog(x)21=g e em seguida, comparando-os, escreva algumas conclusões.
x 81
41
21 1 2 4
xlog(x)fy 2==
3)(2log
l)81(log
32
2
−=
=
− 2
)(2log
)41(log
2-2
2
−=
=
1
)(2log
)21(log
1-2
2
−=
= 0
1log 2
=
12log 2
=
22log4log
22
2
=
=
x 81
41
21 1 2 4
xlog(x)fy 2==
3
)21(log
)81(log
3
21
21
=
=
2
)21(log
)41(log
2
21
21
=
=
1
)21(log
21
=
0
1log21
=
1
)21(log
2log
1
21
21
−=
=
−
2
)21(log
4log
2-
21
21
−=
=
52
Conclusões
a) O gráfico da função logarítmica está sempre “à direita do eixo Oy”, pois seu
domínio é ∗+ℜ .
b) O gráfico da função logarítmica sempre intercepta o eixo Ox no ponto (1,0), pois
{ }1a,01log a −ℜ∈∀= ∗+ .
c) Se a > 1 a função logarítmica é estritamente crescente.
d) Se 0 < a < 1 a função logarítmica é estritamente decrescente.
e) A função logarítmica é sobrejetora, pois o contradomínio e o conjunto imagem são
ambos iguais a ℜ .
53
f) A função logarítmica é injetora, pois qualquer reta horizontal intercepta o seu
gráfico no máximo uma vez.
g) A função logarítmica é, pois, bijetora.
h) A função exponencial de ℜ em ∗+ℜ e a função logarítmica de ∗
+ℜ em ℜ são
inversas uma da outra.
De fato: xx aya(x)f =⇒= .
Trocando-se x por y e vice versa, vem: yax = . Isolando-se y, temos: xlogy a= .
xlog(x)fa(x)f a1x =⇔=∴ −
i) Por serem inversas uma da outra, o gráfico da função exponencial e o
gráfico da função logarítmica são simétricos em relação à bissetriz dos
quadrantes ímpares que é a reta de equação y = x.
Exemplos
1º) xlog(x)f)21(f(x)
21
1x =⇔= −
54
2º) xlog(x)f2f(x) 21x =⇔= −
j) 0xxxlogxlog 212a1a >=⇔= , pois a função logarítmica é injetora.
l) Se a > 1, então 0xxxlogxlog 212a1a >>⇔> , pois a função logarítmica é
estritamente crescente.
m) Se 0< a < 1, então 212a1a xx0xlogxlog <<⇔> , pois a função logarítmica é
estritamente decrescente.
Condições de Existência
blogy a= , C.E.⎪⎩
⎪⎨
⎧
≠<
>
1a0e
0b
Exemplo
55
Qual é o domínio da função 6)x(xlogy 2x −+= ?
Resolução
Para determinarmos o domínio da função devemos aplicar as condições de
existência para a função blogy a= , que são: ⎪⎩
⎪⎨
⎧
≠<
>
1a0e
0b
Observem que a = x e b = x2 + x – 6. Então fica:
x2 + x – 6 > 0. Devemos, portanto, fazer o estudo do sinal de uma função quadrática.
a = 1 > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima (boca pra cima).
Igualando a zero para achar as raízes, temos:
x2 + x – 6 = 0
4acbΔ 2 −=
Δ = 12 – 4 . 1 . (-6)
Δ = 1 + 24 = 25
e x > 0 e x ≠ 1
2}x/{x(f)D >ℜ∈=∴
Exemplos
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
==
−=−=
⇒±−
=±−
=
224x
ou
326x
251
2aΔbx
-3 2
+ + _
-3 0 1 2
56
a) Construa o gráfico da função: f (x) = 22 xlog . C.E.: x ≠ 0
x y = f (x) = 22 xlog x y = f (x) = 2
2 xlog
-8
62log(8)log8)(log
62
22
22
==
=− 2
1
2)(2og
l)21(log
212
22
−=
=
−
-4
42log(4)log4)(log
42
22
22
==
=−
1 0(1)log 22 =
-2 2(2)log2)(log 22
22 ==− 2 2(2)log 2
2 =
-1 0(1)log1)(log 22
22 ==− 4 42log(4)log 4
22
2 ==
21
−
2)(2log
)21(log)
21(log
212
22
22
−==
=−
−
8 62log(8)log 6
22
2 ==
b) Seja f (x) = )(2xlog 2 . Determine:
1º) o domínio de f;
2º) os valores de x, tais que f (x) = 1
Observação: quando a base do logaritmo não é especificada, vale 10. Por exemplo,
3log3log 10= .
Também usamos a seguinte notação:
57
5ln5log e = , onde e = 2,7182818284590453..., chamado número de Nepper, é um
número real irracional para o qual usamos a seguinte aproximação: 2,718e ≅ .
Resolução
1º) blogy a= , C.E.⎪⎩
⎪⎨
⎧
≠<
>
1a0e
0b
Em y = f (x) = )(2xlog 2 , a = 10. Vamos, portanto, impor a condição: b = 2x2 > 0.
Temos então, uma função quadrática cujas raízes são reais e iguais: x1 = x2 = 0.
∗ℜ=≠ℜ∈=∴ 0}x/{xD
2º) f (x) = 1 ⇒ )(2xlog 2 = 1, pela definição de logaritmo, x = xa abblog =⇔ , vem:
101 = 2x2 ⇒ x2 = 5 ⇒ x = 5±
c) Dada f (x) = 2x
xlog2
2 +, calcule se existir:
1º) f (0)
f (0) = ∴==+
0log20log
2xxlog 22
2
2 não existe.
2º) f (-1)
f (-1) = 01log11log
21-(-1)log
2xxlog 22
2
2
2
2 ===+
=+
3º) f (-4)
f (-4) = ∴−==+
=+
8)(log2-
16log24-
(-4)log2x
xlog 22
2
2
2
2 não existe
2.4.9 Função Modular
Definição: uma aplicação de ℜ em ℜ recebe o nome de função módulo ou
modular quando a cada x ℜ∈ associa o elemento ℜ∈x .
0
+ +
58
xx:f
a
ℜ→ℜ
Utilizando o conceito de módulo de um número real, a função modular
pode ser definida da seguinte forma:
⎩⎨⎧
≥<−
=0xsex,0xsex,
(x)f
Gráfico: o gráfico da função modular é a reunião de duas semi-retas de origem O,
que são as bissetrizes do 1º e 2º quadrantes.
Domínio e Imagem: Domínio: D (f) = ℜ .
Imagem: Im (f) = +ℜ
Exemplos
a) Construir o gráfico da função real definida por: 2x(x)f +=
Resolução
⎩⎨⎧
−<⇒<+−−−≥⇒≥++
=⇒+=2x02xse2,x
2x02xse2,x(x)f2x(x)f
Portanto, a função f (x) será a reta x +2, para valores de x ≥ -2 e a função f (x) será
a reta –x – 2, para valores de x < -2.
f (x) = -x f (x) = x
59
b) Construir o gráfico da função definida em ℜ por: f (x) = |x – 1| + 1.
Resolução
Seja ⎩⎨⎧
<⇒<−+−≥⇒≥−−
=⇒−=1x01xse1,x
1x01xse1,x(x)g1x(x)g
Portanto, a função g (x) será a reta x – 1, para valores de x ≥ 1 e a função g (x) será
a função –x + 1, para valores de x < 1.
Logo, a função f (x) será dada por g (x) + 1, ficando f (x) = x, para valores de x ≥ 1 e
f (x) = -x + 2, para valores de x < 1.
c) Construir o gráfico da função definida em ℜ por: f (x) = |x + 2| + x – 1.
Resolução
⎩⎨⎧
−<⇒<+−−−≥⇒≥++
=+2x02xse2,x
2x02xse2,x2x
Portanto, a função f (x) será :
f (x) = x + 2 f (x) = -x - 2
g (x) = x - 1 g (x) = -x + 1
f (x) = x f (x) = -x + 2
60
a) para 2x −≥
f (x) = x + 2 + x – 1
f (x) = 2x + 1
b) para x < -2
f (x) = -x – 2 + x – 1
f (x) = -3
Logo, ⎩⎨⎧
−<−−≥+
=2xse3,
2xse1,2x(x)f
d) Construir o gráfico da função definida em ℜ por: f (x) = |2x + 1| + |x – 1|
Resolução
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−<⇒−<⇒<+−−
−≥⇒−≥⇒≥++=+
21x12x012xse1,2x
21x12x012xse1,2x
12x
⎩⎨⎧
<⇒<−+−≥⇒≥−−
=−1x01xse1,x
1x01xse1,x1x
Os intervalos de x, ficam:
Portanto, a função f (x) será:
a) para 21x −< (todo
21x −< , será < 1)
f (x) = -2x – 1 – x + 1
f (x) = 2x + 1
f (x)
21
− 1 21x −< 1x
21
<≤− 1x ≥
61
f (x) = -3x
b) para 1x21
<≤−
f (x) = 2x + 1 – x + 1
f (x) = x + 2
c) para 1x ≥ (todo x ≥ 1, será > 21
− )
f (x) = x – 1 + 2x + 1
f (x) = 3x
Logo,
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
≥
<≤−+
−<−
=
1xse3x,
1x21se2,x
21xse3x,
(x)f
e) Construir o gráfico da função definida em ℜ por: f (x) = ||2x – 2| - 6|
Resolução
Inicialmente vamos chamar de h (x) a função: |2x – 2|. Teremos então:
f (x) = -3x f (x) = x + 2
f (x) = 3x
62
⎩⎨⎧
<⇒<⇒<−+−≥⇒≥⇒≥−−
=−=1x22x022xse2,2x
1x22x022xse2,2x22x(x)h
Chamando de g (x) a função h (x) – 6, teremos:
a) para 1x ≥
g (x) = 2x – 2 – 6
g (x) = 2x – 8
b) para x < 1
g (x) = -2x + 2 – 6
g (x) = -2x –4
Finalmente, temos que f (x) = |g (x)|.
f (x) = |g (x)|⎪⎩
⎪⎨
⎧
<−−=
≥−=
⇒
(2)1xpara,42x(x)fou
(1)1xpara,82x(x)f
Analisando (1):
⎩⎨⎧
<≤+−≥−
=∴4x1se8,2x
4xse8,2x(x)f (3)
Analisando (2):
⎩⎨⎧
<−>⇒<−⇒<−−+<−≤⇒≥−⇒≥−−−−
=⇒−−=1xe2x42x042xse4,2x
1xe2x42x042xse4,2x(x)f42x(x)f
⎩⎨⎧
<<−+−≤−−
=∴1x2se4,2x
2xse4,2x(x)f (4)
De (3) e (4), temos que a função f (x) é dada por:
1 4
-2 1
63
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥−<≤+−<<−+
−≤−−
=∴
4xse8,2x4x1se8,2x1x2se4,2x
2xse4,2x
(x)f
2.5 APLICAÇÕES DAS FUNÇÕES
As funções são os principais instrumentos para descrever
matematicamente o mundo real. Com as funções pode-se estudar, por exemplo, as
alterações na freqüência cardíaca, o crescimento populacional de uma bactéria, o
movimento dos planetas e muito mais. Muitas funções são importantes devido ao
comportamento que descrevem, as funções exponenciais e logarítmicas, por
exemplo, descrevem o crescimento e declínio, e as funções polinomiais, podem
aproximar estas e muitas outras funções.
2.5.1 Aplicação da função polinomial do 1º grau
Exemplos
f (x) = 2x - 8
f (x) = -2x - 4 f (x) = 2x + 4 f (x) = -2x +8
f (x) = 2x -8
64
1) Uma pessoa vai escolher um plano de saúde entre duas opções: A e B.
Condições dos planos:
Plano A: cobra um valor fixo mensal de R$ 150,00 e R$ 22,00 por consulta num
certo período.
Plano B: cobra um valor fixo mensal de R$ 128,00 e R$ 27,00 por consulta num
certo período.
Temos que o gasto total de cada plano é dado em função do número de consultas x
dentro do período pré – estabelecido.
Vamos determinar:
a) A função correspondente a cada plano.
b) Em qual situação o plano A é mais econômico; o plano B é mais econômico; os
dois se equivalem.
c) Esboce um gráfico de comparação das duas funções dos dois planos.
d) Para uma pessoa que tem certeza que usará no máximo 3 consultas por mês,
qual é a melhor opção de plano?
Resolução
a) Para determinar a função correspondente a cada plano, vamos adotar a função
do plano A como PA(x) e função correspondente ao plano B, como PB(x). Então
teremos:
Plano A: PA(x) = Valor fixo mensal + Valor de uma consulta X a quantidade de
consultas realizadas, ou seja, PA(x) = 22x + 150
Plano B: Valor fixo mensal + Valor de uma consulta X a quantidade de consultas
realizadas, ou seja, PB(X)= 27x + 128
b) Para que o plano A seja mais econômico:
PB(x) > PA(x)
27x + 128 > 22x + 150
27x – 22x > 150 – 128
5x > 22
x > 22/5
x > 4,4
65
Como o “x” corresponde a um número de consulta e essas admitem apenas valores
inteiros (ninguém marca ½ consulta!), então devemos considerar o x > 4. Logo, o
plano A será mais econômico, para um número de consultas igual ou superior a 5.
Para que o Plano B seja mais econômico, como podemos notar na resolução
anterior, o número de consultas tem de ser igual ou inferior a 4.
Para que eles sejam equivalentes, devemos ter um número de consulta que faça
que o pagamento dos dois planos sejam idênticos. Para isso devemos resolver:
PB(x) = PA(x)
27x + 128 = 22x + 150
o que resultará em x = 4,4. Logo, não existirá um número de consulta que torne
esses planos equivalentes, pois 4,4, como já vimos, não é um número admissível
para consultas, ou seja, não faz parte do domínio dessas funções.
c) Para esboçar o gráfico de cada uma dessas funções, são suficientes dois pontos,
pois são funções do 1º grau, e desta forma, seus gráficos são representados por
retas. Então, dê dois valores inteiros para o x de cada questão e determine o valor
do plano para cada x. Esboce o gráfico. Como o objetivo é comparar as duas
funções, então os gráficos serão esboçados em um mesmo plano cartesiano.
Observações sobre o gráfico:
Os dois gráficos tem um ponto I de encontro. Esse
ponto é o suposto ponto de equilíbrio, ou seja, o ponto
que torna os dois planos médicos equivalentes. Mas
como vimos, esse ponto está para x = 4,4, logo ele é
“fictício”.
Também é importante observar que essas retas não
deveriam ser traçadas com essas linhas contínuas, já que a função não está definida
para todos os números reais, e sim para os valores inteiros de x ≥ 0. Logo, os
gráficos dessas funções estão representados apenas pelos pontos sobre a linha.
Note ainda, que as retas não estão traçadas à esquerda do eixo y, pois não existe
quantidade de consulta negativa.
−2 2 4 6−40
40
80
120
160
200
240
280
n.consultas
Valor a ser pagoI
66
d) Para uma pessoa que usará apenas 3 vezes por mês o plano de saúde, ou seja,
passará por consulta no máximo 3 vezes por mês, o melhor plano é o B.
2) (Vunesp) Apresentamos a seguir o gráfico do volume
do álcool em função de sua massa, a uma temperatura
fixa de 0ºC.
Com base nos dados do gráfico, determine:
a) a lei da função apresentada no gráfico.
b) a massa (em gramas) de 30 cm³ de álcool.
Resolução
a) A lei de formação dessa reta é dada pela equação da reta. Já vimos que das
formas de determinar a equação de uma reta é usar a equação reduzida da reta,
dada por: y – y0 = m(x – x0), onde m é o coeficiente angular da reta. As coordenadas
(x0,y0) representam as coordenadas de qualquer ponto conhecido da reta. Para o
exemplo em questão, conhecemos as coordenadas dos pontos O(0,0) e A,(40,50),
portanto pode-se usar qualquer um dos dois pontos.
O coeficiente angular m, será determinado por: 12
12
xxyym
−−
= , logo
45
4050
040050m ==
−−
=
Substituindo o “m” e o ponto “O”, na equação reduzida da reta, teremos:
y – y0 = m(x – x0), ⇒ y – (0) = 45 (x-0) ⇒ y =
45 x .
Portanto, alei da função apresentada no gráfico é V(x) = 45 x .
b) O “x representa a massa e V o volume. Logo, para V = 30 cm³, teremos que
30 = 45 x ⇒ 30x4 = 5x ⇒ 120 = 5x ⇒ x = 120/5 ⇒ x = 24. Logo a massa é de 24g.
2.5.2 Aplicação da função polinomial do 2º grau
40
50
Volume(m^3)
Massa(g)(0,0)
67
Exemplos
1) (Faap-SP) Suponha que no dia 5 de dezembro de 1995 o Serviço de Meteorologia
do Estado de São Paulo tenha informado que a temperatura na cidade de São Paulo
atingiu o seu valor máximo às 14h00, e que nesse dia a temperatura f(t) em graus é
uma função do tempo t medido em horas, dada por f(t) = -t² + bt – 156, quando 8 < t
< 20. Obtenha o valor do b.
Resolução
Os dados fornecidos no problema são:
- A função f(t) = -t² + bt – 156 (1)
- A abscissa do ponto de máximo dessa função, ou seja xv = 14 (2)
O problema pede:
Determinar o valor do “b”.
Sabemos que para determinar o xv da função do 2º grau, pode-se usar a fórmula:
a2bxv −= (3)
Na função dada em (1), tem-se que a = -1 e “b” é desconhecido. Em (2) tem-se que
o xv = 14 .
Substituído (1) e (2) em (3), vem que:
28bb28)1.(2
b14a2
bxv =⇒−=−⇒−
−=⇒−= .
Logo, b = 28.
2) (UFPE) Num vôo com capacidade para 100 pessoas, uma companhia aérea
cobra R$ 200,00 por pessoa quando todos os lugares estão ocupados. Se existirem
lugares não ocupados, o preço de cada passagem será acrescido a importância de
R$ 4,00 para cada lugar não ocupado (por exemplo, se existirem 10 lugares não
ocupados o preço de cada passagem será de R$ 240,00). Quantos devem ser os
lugares não ocupados para que a companhia obtenha o faturamento máximo?
Resolução
68
Vamos, inicialmente, fazer uma simulação da relação existente entre números de
cadeiras não ocupadas, valor a ser acrescido no pagamento por pessoa e valor que
a empresa receberá pelo total de pessoas no avião.
Nº de lugar vazio Nº de pessoas no avião Valor acrescido por
passageiro (R$)
Receberá pelo total de
pessoas no avião
1 (100 – 1) = 99 4 (100-1) x (200 +4.1)
2 (100 – 2) = 98 8 = 4.2 (100-2) x (200 +4.2)
3 (100 – 3) = 97 12 = 4.3 (100-3) x (200 +4.3)
4 (100 – 4) = 96 16 = 4.4 (100-4) x (200 +4.4) . . .
......
. . . 10 (100-10) = 90 40 = 4 . 10 (100-10) x (200 + 4.10). . .
......
. . . n (100 – n) 4n (100-n) x (200 + 4.n)
Então, a função que expressa o valor a ser acrescido é uma função de variável
independente “n”, em que n é o número de cadeiras vazias, tal que
f(n) = (100-n) x (200 + 4.n)
o desenvolvimento dessa função, nos leva a uma função do 2º grau, observe:
f(n) = 20.000 + 400n – 200n – 4n²
f(n) = 20.000 + 200n – 4n²
O problema pede o número de lugares para a empresa obter faturamento máximo.
Como se trata de uma função do 2º grau e com concavidade para baixo, então o
número de pessoas para que o faturamento seja máximo está representado no
vértice dessa função, ou seja:
25b8
200)4.(2
200xa2
bx vv =⇒⇒−
−=⇒−= .
Para empresa obter o faturamento máximo o número máximo de acentos não
ocupados deve ser 25.
3) A quantidade demandada de bolas de futebol da marca “Esporte Máximo” é dada
pela lei qd = 900 – p², onde qd é a quantidade demandada e p é o preço.
a) Esboce o gráfico.
69
b) Qual a demanda se o preço for R$ 12,00 a unidade?
Resolução
a) para esboçar o gráfico de uma função do 2º grau podemos usar uma tabela de
valores ou determinar os pontos principais (raízes, vértice, intercepto em Oy e
concavidade). Também sabemos que a função do 2º grau tem como gráfico uma
parábola, e com referência nisso já fica mais fácil termos uma ideia em como ficará
esse gráfico.
Como a função dada se refere a uma aplicação, em que a variável independente é o
preço de uma bola, então essa variável deverá ser um valor positivo, ou seja, o
domínio dessa função são valores reais e positivos. Além disso, esses valores
deverão garantir que a quantidade demandada seja positiva ou nula, pois não existe
quantidade demandada negativa. Logo, qd ≥ 0, ou seja, 900 – p² ≥ 0, então 0< p ≤
30. Esse é o domínio dessa função, ou seja, essa função existe para 0< p ≤ 30.
- Ao determinarmos o zeros da função, teremos que 900 – p² = 0 ⇒ p = ±30. Como
p > 0, então o único zero dessa função é o p = 30.
- O vértice dessa função pode ser determinado pela fórmula
9000900)0(f)p(fqde0p)1.(2
0pa2
bx 2vvvvv =−====⇒
−−=⇒−=
Logo, o vértice dessa função está no ponto de máximo
dessa função e será V(0,900).
Observações sobre o gráfico: note que a parte da parábola que representa essa
função está destacada em negrito. Não é correto desenhar parte da parábola para x
< 0, pois para esses valores essa função na está definida. Também não é possível
desenhar a parábola abaixo do eixo Ox, pois para quantidades negativas essa
função também não tem lógica.
b) Para o preço de R$ 12,00 a demanda é de qd = 900 – 12² = 900 – 144 = 756
unidades.
4) (GV) O preço de ingresso numa peça de teatro (p) relaciona-se com a quantidade
de freqüentadores (x) por sessão através da relação: p = - 0,2x + 100
10 20 30 40 50
300
600
900
Preço
Quantidade demandada
70
a) Qual a receita arrecadada por sessão, se o preço do ingresso for R$60,00?
b) Qual o preço que deve ser cobrado para dar a máxima receita por sessão?
Resolução
a) A receita arrecadada é dada pela fórmula R = preço x quantidade de
freqüentadores, ou seja, R = (-0,2x + 100).x.
Primeiro, devemos determinar a quantidade de freqüentadores se o preço for de R$
60,00.
Então, como P = 60 ⇒ -0,2x + 100 = 60 ⇒ -0,2x = 60 – 100 ⇒ x = 40 : 0,2 ⇒ x =
200.
Logo, para o preço de R$ 60,00, haverá 200 freqüentadores, ou seja, x = 200.
Agora, é possível determinar a Receita arrecadada para o valor do ingresso de R$
60,00, pois faremos R = (-0,2x + 100).x ⇒ R = 60.200 = 1.200,00.
Logo a receita será de R$ 1.200,00.
b) A receita por sessão é dada por R = (-0,2x + 100).x ⇒ R = -0,2x² + 100x. Então,
a receita máxima será encontrada para a quantidade que dará a receita máxima, ou
seja, na abscissa do vértice (xv).
250x4,0
100x)2,0.(2
100xa2
bx vvvv =⇒=⇒−
−=⇒−=
Então, o preço a ser cobrado para dar a máxima receita por sessão será
determinado por p = - 0,2x + 100 ⇒ p = - 0,2.250 + 100 ⇒ p = - 50 + 100 ⇒ p = 50
Logo, o preço será de R$ 50,00.
2.5.3 Aplicação da função exponencial
Exemplo
1) O montante M é quantia que uma pessoa deve receber Após aplicar um capital
C, a juros compostos, a uma taxa i durante um tempo t. O montante pode ser
calculado pela fórmula M = C(1 + i)t. Supondo que o capital aplicado é de R$
71
500.000,00 a uma taxa de 12% ao ano durante 5 anos, qual o montante no final da
aplicação?
Resolução
C = 500.000
I = 12% ao não (0,12)
t = 5
M = 500.000(1 + 0,12)5 = 500.000(1,12)5 = 500.000 x 1,762 = 8881.170,84
2.5.4 Aplicação da função logarítmica
Exemplo
1) (Dante – 2005) O número de bactérias numa cultura, depois de um tempo t, é
dado por N = N0ert, em que N0 é o número inicial (quando t = 0) e r é a taxa de
crescimento relativo. Em quanto tempo o número de bactérias dobrará se a taxa de
crescimento contínuo é de 5% ao minuto?
Resolução
Pelos dados do problema, a questão é: em quanto tempo N = 2N0?
Assim, temos:
N = N0ert, então como N = 2N0, faremos
2N0 = N0ert (simplificando N0 com N0) e substituindo os dados do problema,
2 = e0,05t (como no 2º membro tem uma exponencial de base “e”, ajuda escrever os dois membros como “ln”)
ln2 = lne0,05t (por propriedade de logaritmo, o expoente do logaritmando, multiplica o logaritmo)
ln2 = 0,05t.lne (sabemos que lne = 1)
ln2 = 0,05t.1
ln2 = 0,05t ⇒ 05,02lnt = (usando a calculdora, verifique que ln2 ≅ 0,6931), portanto,
s48emin13min108emin13min8,13
05,06931,0t ====
Logo, o número de bactérias dobrará em 13 minutos e 48 segundos.
72
2.6 EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO
1) Dados os conjuntos A = {1, 3, 4} e B = {-2, 1}, representar pelos elementos e pelo
gráfico cartesiano os seguintes produtos:
a) A x B b) B x A c) B2
2) Dados os conjuntos: B = {x 2}x2/ ≤≤−ℜ∈ e C = {x 1}x4/ ≤<−ℜ∈ ,
represente graficamente os seguintes produtos:
a) B x C b) C x B c) C2
3) Estabelecer se cada um dos esquemas das relações abaixo define ou não uma
função de A = {-1, 0, 1, 2} em B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}. Justificar.
a) b)
c) d) 4) Quais das relações de ℜ em ℜ cujos gráficos aparecem abaixo, são funções? Justificar.
-1 -1 0 0
1 1 2
2
-2
3
A B
-1 -1 0
0
1 1
2 2
-2
3
A B
-1 -1
0 0
1 1
2 2
-2
3
A B
-1 -1 0
0
1 1
2 2
-2
3
A B
73
a) b)
c) d)
e) f)
5) Seja f a função de R em R assim definida: ⎩⎨⎧
∉+∈
=Qxse1x
Qxse1(x)f . Calcule:
a) f (3) b) f (73
− ) c) f ( 2 )
6) Quais são os valores do domínio da função real definida por f (x) = x2 – 5x + 9 que
produzem imagem igual a 3?
74
Dos exercícios 7 ao 44, determine o domínio das funções reais:
7) y = 7x + 12 8) y = x² +5x + 10 9) y = – x³ - 9x² -2x +23 10) y = 6x
1+
11) y =
3x1−
12) y = x12
6−
− 13) y = x
3x − 14) y = 16²x3x2
−− 15) y =
81²x9²x
−− 16) y =
4²xx9+
−
17) y = 27x.12²x
6+−
18) y = 10x7²x
12x4−+−
+− 19) y = 49x14²x6x.7²x
+−+− 20) y =
1x²x5²x7++
−
21) y = 6x − 22) y = x12 − 23) y = ²x16 − 24) y = x2²x +− 25) y =
6²x +
26) y = 4x8²x5 ++ 27) y = 1x1x
−+ 28) y =
4².3+xx 29) y =
9x9−
− 30) y =
36²xx4−
31) y = 94
−−
xx 32) y = 3 7x + 33) y = 3 ²x3 − 34) y =
3 ³x81−
35) y = 4x +
8x1−
36) y = 8xx ++ 37) y = 8x
12x
1−
+−
38) y = x
x²4 − 39) y =
9²x1
4²xx7
−−
+−
40) y = 21.10²
1
+− xxx 41) y = 1+
x62
x11
−
+ 42) f (x) =
4x1x
2 −− 43) f (x) =
3x2x3
−+
44) f (x) = 2x2x
−+
45) Para que valores de m a função f (x) = (2m + 1)x + (m – 1) é crescente?
75
46) Para que valores de m a função f (x) = 1 – (3 – m)x é decrescente?
Nos exercícios 47 a 59, esboce o gráfico e facão estudo completo de cada uma das
funções.
47) f(x) = -2 48)f(x) = -3x + 1 49) f (x) = 22x+− 50) f (x) = 5 – 2x 51) f (x) = 3x -
9 52) f (x) = 2x2 + x + 1 53) f (x) = -x2 – 2x + 3 54) f (x) = 6x2 +10x – 4 55)f(x) = 0
56) y = -x² + 4 57)f(x) = x³ 58) y = x² - 4x + 3 59) y = - 2x² + 4x + 6 Nos exercícios 50 a 66 resolva os problemas de aplicações sobre funções
polinomiais do 1º grau.
60) Certa agência locadora de automóveis cobra R$ 55,00 por dia, mais R$ 1,30 por
quilômetro percorrido.
a) Exprima o custo diário da locação de um automóvel desta agência, em função do
número de quilômetros(x) percorridos. Construa o gráfico correspondente.
b) Quanto custa o aluguel diário de um automóvel, sabendo-se que se pretende
realizar uma viagem de 120 km?
c) Quantos km foram percorridos se o custo diário do aluguel foi de R$ 198,00?
61) Certa escola permite que a matrícula para um de seus cursos seja feita
antecipadamente (durante o verão) via correio, ou pessoalmente, no decorrer da
primeira semana de aulas. Nesta última hipótese, o funcionário encarregado de
efetuar as matrículas consegue registrar 25 alunos por hora. Suponhamos que,
após 5 horas de trabalho na semana em questão, haja 300 alunos registrados
(incluindo os que se matricularam com antecedência).
a) Qual é o número de alunos matriculados anteriormente, durante o verão?
b) Expresse o número de alunos em função do tempo e construa o gráfico
correspondente
c) Qual é o número de alunos matriculados após 4 horas?
62) A taxa de inscrição num clube de natação é de R$ 240,00 para o curso de 12
semanas. Se uma pessoa se inscreve após o início das aulas, a taxa é reduzida
linearmente.
76
a) Expresse a taxa de inscrição em função do número de semanas transcorridas
desde o início do curso e construa o gráfico correspondente.
b) Calcule: quanto uma pessoa pagou ao se inscrever 4 semanas após o início do
curso.
63) Um engenheiro possui livros técnicos no valor de R$ 45.000,00, valor que, para
efeito do Imposto de Renda, sofre uma depreciação linear até zero, num período de
10 anos. Expresse o valor dos livros como função do tempo e construa o gráfico
correspondente.
64) Desde o início do mês, um reservatório de água de determinado local tem sofrido
um vazamento numa razão constante. No dia 12, o reservatório possuía 200
milhões de litros de água e , no dia 21, possuía somente 164 milhões de litros.
a) Expresse a quantidade de água como função do tempo e construa o gráfico
correspondente.
b) Quantos litros de água havia no reservatório, no dia 5?
c) Se este vazamento permanecer, quanto de água haverá no dia 29?
65) Que quantidade de mercadoria deve vender uma empresa, se pretende ter um
lucro diário de R$ 1.800,00 sabendo-se que o preço de venda é de R$ 19,00, o
custo fixo de R$ 1400,00 e que o custo unitário de produção é de R$ 13,00.
66) Estamos estabelecendo um negócio de tempo parcial com investimento inicial de
R$ 6.000,00. O custo unitário do produto é R$ 10,20, e o preço de venda é R$
21,99.
a) determine a equação do custo total C e a receita total R para x unidades.
b) Determine o ponto de equilíbrio, determinando o ponto de intersecção das
equações de custo e da receita.
c) Quantas unidades proporcionarão um lucro de R$ 150,00?
Nos exercícios 67 a 70, determine a venda necessária para equilibrar as equações
dadas de custo e receita. (arredonde a sua resposta para o inteiro mais próximo).
67) C = 0,90x + 38.000; R = 1,7x 68) C = 7x + 400.000; R = 40x
77
69) C = 7890x + 280.000; R = 8870x 70) C = 5,5x + 10.000; R =
8,29x
71) Para que valores de m a função f (x) = (-3m + 1)x é decrescente em R?
72) Construa os gráficos cartesianos das seguintes funções exponenciais e faça o
estudo completo:
a) f (x) = 3x b) f (x) = x)31( c) f (x) = -3x + 2
73) Construa os gráficos cartesianos das seguintes funções logarítmicas e faça o
estudo completo:
a) f (x) = xlog 3 b) f (x) = xlog31 c) f(x) = 2 + xlog 3
74) Determine o domínio das funções logarítmicas:
a) f (x) = 2)(xlog x)(3 +− b) f (x) = 2)-x(xlog 2x + c) f (x) = )
x11x(log 5 −
+
75) Construir os gráficos das funções definidas em R e faça o estudo completo: a) f (x) = |3x| b) f (x) = |x – 1| c) f (x) = |2x – 1| - 2 d) f (x) = |x + 1| - x + 3
e) f (x) = |3x + 3| - |2x – 3| f) f (x) = ||2x + 3| - 2| g) f (x) = |x2 + 4x|
h) f (x) = |x2 + 4x + 3| - 1 i)y = x1 j)y =
x1 + 1 k) y = 2x - 4 l) y = 2-x - 4
m) f(x) = | x² - 4x + 3| + 1 n) f(x) = |- 2x² + 4x + 6| - 4 o) 3x1)x(f −=
p) 5x1)x(f += q)
6x1)x(f−
= r) 43x
1)x(f −+
= s) ⎩⎨⎧
>≤
=0xsex2
0xse2)x(f
t) ⎩⎨⎧
≥−<≤
=2xse2x22x0sex
)x(f u) ⎪⎩
⎪⎨⎧
≥−<≤<≤−−
=4xsex
4x2xse32x2sex
)x(f
2
Nos exercícios 76 a 86 resolva os problemas de aplicações sobre funções
polinomiais do 1º grau.
78
76) (UFRN-01) O Sr. José dispõe de 180 metros de tela, para fazer um cercado
retangular, aproveitando, como um dos lados, parte de um extenso muro reto.
O cercado compõe-se de uma parte paralela ao muro e três outras perpendiculares
a ele (ver figura).
Para cercar a maior área possível, com a
tela disponível, os valores de x e y são,
respectivamente:
a) 45m e 45m b) 30m e 90m c) 36m e 72m d) 40m e 60m e) 32m e 55m
77) (VUNESP) Num terreno, na forma de um triângulo retângulo com catetos com
medidas 20 e 30 metros, deseja-se construir uma casa retangular de dimensões x e
y, como indicado na figura adiante.
a) Exprima y em função de x.
b) Para que valores de x e de y a área ocupada pela
casa será máxima?
Uma partícula se move sobre o eixo das abscissas, de
modo que sua velocidade no instante t segundos é v=t£
metros por segundo.
78) (UFPE) O custo C, em reais, para se produzir n unidades de determinado
produto é dado por: C = 2510 - 100n + n².
Quantas unidades deverão ser produzidas para se obter o custo mínimo?
79) (FEI) Durante o processo de tratamento uma peça de metal sofre uma variação
de temperatura descrita pela função: f(t) = 2 + 4t – t² , 0 < t < 5.
Em que instante t a temperatura atinge seu valor máximo?
a) 1 b) 1,5 c) 2 d) 2,5 e) 3
80)(GV) O lucro mensal de uma empresa é dado por L = -x² +30x-5, onde x é a
quantidade mensal vendida.
a) Qual o lucro mensal máximo possível?
79
b) Entre que valores deve variar x para que o lucro mensal seja no mínimo igual a
195?
81) (PUCMG) A temperatura, em graus centígrados, no interior de uma câmara, é
dada por f(t) = t² - 7t + A, onde t é medido em minutos e A é constante. Se, no
instante t = 0 , a temperatura é de 10°C, o tempo gasto para que a temperatura seja
mínima, em minutos, é:
a) 3,5 b) 4,0 c) 4,5 d) 6,5 e) 7,5
82) (UFMG) Um certo reservatório, contendo 72 m³ de água, deve ser drenado para
limpeza. Decorridas t horas após o início da drenagem, o volume de água que saiu
do reservatório, em m¤, é dado por V(t) = 24t - 2t² . Sabendo-se que a drenagem
teve início às 10 horas, o reservatório estará completamente vazio às:
a) 14 horas. b) 16 horas. c) 19 horas. d) 22 horas.
83) (VUNESP) Considere um retângulo cujo perímetro é 10 cm e onde x é a medida
de um dos lados. Determine:
a) a área do retângulo em função de x;
b) o valor de x para o qual a área do retângulo seja máxima.
84) (UFRJ) Um fabricante está lançando a série de mesas "Super 4". Os tampos das
mesas dessa série são retangulares e
têm 4 metros de perímetro. A fórmica
usada para revestir o tampo custa
R$10,00 por metro quadrado. Cada metro
de ripa usada para revestir as cabeceiras
custa R$25,00 e as ripas para as outras
duas laterais custam R$30,00 por metro.
a) Determine o gasto do fabricante para
revestir uma mesa dessa série com
cabeceira de medida x.
b) Determine as dimensões da mesa da série "Super 4" para a qual o gasto com
revestimento é o maior possível.
80
85) (UERJ) No interior de uma floresta, foi encontrada uma área em forma de
retângulo, de 2km de largura por 5km de comprimento, completamente desmatada.
Os ecologistas começaram imediatamente o replantio, com o intento de restaurar
toda a área em 5 anos. Ao mesmo tempo, madeireiras clandestinas continuavam o
desmatamento, de modo que, a cada ano, a área retangular desmatada era
transformada em outra área também retangular. Veja as figuras:
A largura (h) diminuía com o replantio e
o comprimento (b) aumentava devido
aos novos desmatamentos.
Admita que essas modificações foram
observadas e representadas através
das funções: h(t)=-(2t/5)+2 e b(t)=5t+5
(t = tempo em anos; h = largura em km
e b = comprimento em km).
a) Determine a expressão da área A do retângulo desmatado, em função do tempo t
(0≤t≤5), e represente A(t) no plano cartesiano.
b) Calcule a área máxima desmatada e o tempo gasto para este desmatamento,
após o início do replantio.
86) (UERJ-02) Um fruticultor, no primeiro dia da colheita de sua safra anual, vende
cada fruta por R$2,00.
A partir daí, o preço de cada fruta decresce R$0,02 por dia.
Considere que esse fruticultor colheu 80 frutas no primeiro dia e a colheita aumenta
uma fruta por dia.
a) Expresse o ganho do fruticultor com a venda das frutas como função do dia de
colheita.
b) Determine o dia da colheita de maior ganho para o fruticultor.
Respostas de Alguns Exercícios do Tópico 2.6 1) a) {(1, -2), (1, 1), (3, -2), (3, 1), (4, -2), (4, 1)}
b) {(-2, 1), (-2, 3), (-2, 4), (1, 1), (1, 3), (1, 4)}; c) {(-2, -2), (-2, 1), (1, -2), (1, 1)};
3) São funções: c, d; 4) São funções: a, d, e; 5) a) 1; b) 1; c) 12 + ; 6) 2 ou 3;
81
7) D = R 8) D = R 9) D = R 10) D = {x ∈ R / x ≠ -6 } 11) D = {x ∈ R / x ≠ 3 } 12) D = {x ∈ R / x ≠ 12 } 13) D = {x ∈ R / x ≠ 0 } 14) D = {x ∈ R / x ≠ ± 4 } 15) D = {x ∈ R / x ≠ ± 9 } 16) D = R 17) D = {x ∈ R / x ≠ 3 ∧ x ≠ 9 } 18) D = {x ∈ R / x ≠ 2 ∧ x ≠ 5 } 19) D = {x ∈ R / x ≠ 7 } 20) D = R 21) D = {x ∈ R / x ≥ 6 } 22) D = {x ∈ R / x ≤ 12 } 23) D = {x ∈ R / -4 ≤ x ≤ 4 } 24) D = {x ∈ R / 0 ≤ x ≤ 2 } 25) D = R 26) D = R 27) D = {x ∈ R / x > 1 ou x ≤ -1
} 28) D = {x ∈ R / 0 ≤ x } 29) D = {x ∈ R / x >9 } 30) D = {x ∈ R / x < -6 ou x > 6 } 31) D = {x ∈ R / x > 9 } 32) D = R 33) D = R 34) D = {x ∈ R / x ≠ 8 } 35) D = {x ∈ R / x ≠ 4 } 36) D = {x ∈ R / 0 ≤ x } 37) D = {x ∈ R / x > 2 e x ≠ 8 } 38) D = {x ∈ R / -2 ≤ x ≤ 2 ∧ x ≠ 0 } 39) D = {x ∈ R / x ≠ ± 3 } 40) D = {x ∈ R / x ≠ 0, x ≠ 3, x ≠ 7 } 41) D = {x ∈ R / x ≠ 0 ∧ x ≠ 3 } 42) 2}{RD ±−= ; 43) {3}RD −= ; 44) 2}xe2x|R{xD ≠−≥∈= ;
45) 21m −> ; 45) m < 3; 47 ao 59 (sem resposta); 60) a) Cd = 55 + 1,3 b) 211,00
c) 110 km 61) a) 475 b) 475 + 25x c) 575 62) a) 20x b) 160 63) a) 30.000 –
2.700 b) 13.800 64) a) (-4x + 248)milhões b) 228 milhões c) 132 milhões 65) aprox. 534 peças
66) b) 508,9 c) 521,6 67) 47.500 68) 12.121,21 69) 285,7 70) 3.703,7
71) 0 < m < 31 ; 72 e 73) sem resposta 74) a) x > 3 b) x > 1 c) -1 < x < 1
75) sem resposta 76)B 77) a) y = 2/3(30-x) b) Para x = 15 metros, y = 10
metros. 78) 50 79)C 80) a) 220 b) 10≤x ≤20 81) A 82) B 83) a) – x² + 5x (0< x
< 5) b) 2,5 cm 84) a)Gasto = 120 + 10x - 10x² b) 1/2 m 85) a) A(t) =[(-2t/5) + 2] .
(5t + 5) OU SEJA A(t) = -2t² + 8t + 10. b) Área máxima: 18 km². Ocorreu dois anos
após o início do replantio. 86) a)160 + 0,4n - 002 n² b)10° dia.
82
3 INTRODUÇÃO AO LIMITE
3.1 INTRODUÇÃO
A definição de limite foi obtida no decorrer de um caminho muito longo
que teve início com preocupações acerca do problema do movimento, onde foi
necessário encontrar uma explicação usando uma teoria quantitativa que nos
permite por meio do cálculo a obter resultados. Para isso foi criado o conceito de
infinitésimo, para responder a questão do que se passa em um ponto, se passa em
pontos vizinhos. Com base nesse conceito, estabelece-se o de limite, o qual foi
escrito no decorrer desse capítulo tendo como fonte as referências apontadas no
final desta apostila.
Na linguagem cotidiana, referimo-nos ao limite de uma velocidade, ao
limite do peso de um lutador, ao limite da resistência humana ou ao limite de um
desconto que pode ser oferecido na venda de uma mercadoria, ao limite de material
que pode ser usado ao produzir uma embalagem etc. Todas essas expressões
sugerem que limite é uma cota, que em certas ocasiões pode não ser atingida, mas
em outras pode.
Então, todas as vezes que no estudo de um fenômeno de qualquer
natureza – físico, biológico, econômico, geométrico, - para a determinação
quantitativa de seu estado, nos apareça como indispensável considerar a aparência
desse estado com os estados vizinhos, essa determinação será feita por meio do
limite – limite que é a resultante da infinidade de possibilidades dos estados
vizinhos.
Então, este limite, é um número, que por meio de uma operação reside
no fato de construir um resultado à custa de uma infinidade de possibilidades,
tomando o infinito como um elemento ativo de construção.
O matemático moderno, adotando em relação ao conceito de limite
uma atitude dinâmica tomando-o audazmente, como elemento de construção, obtém
o resultado que a ciência confirma e constrói o elemento matemático que permita
integrar o movimento no mundo da continuidade.
83
3.2 SÍMBOLO MATEMÁTICO PARA LIMITE DE FUNÇÃO
O símbolo de limite para apresentarmos matematicamente a operação
solicitada só foi utilizado pela primeira vez por Cauchy, no século XIX. Vamos ver
então, um exemplo, de como é este símbolo, que representa este número real,
denominado de limite.
Para a função 5x25xy
2
−−
= , é possível achar o valor de y, menos quando
x = 5. No entanto, é possível fazer y ficar tão próximo de 10 quanto se queira,
bastando tomar x a uma distância conveniente de 5, quer pela sua esquerda, como
em 4,99, quer pela direita, como em 5,01.
A comunicação dos fatos descritos no parágrafo acima é feita em matemática,
escrevendo-se:
Porém, x² - 25, pode ser fatorado, ou seja, escrito em forma de produto.
Desta forma, vamos ter:
5x)5x()5x(lim
5x25xlim
5x
2
5x −−⋅+
=−−
→→
Simplificando
Vamos ter que:
1055)5x(lim5x25xlim
5x
2
5x=+=+=
−−
→→
A expressão pode ser interpretada assim: é possível fazer o valor
5x25xy
2
−−
= tornar-se tão próximo de 10 quanto se queira, bastando para isso tomar
valores de x, a uma distância suficientemente próxima a 5. No ponto x = 5, o limite é
10. Observar também que, para qualquer x ≠ 5, nunca y será 10. De todos os
números reais fica faltando apenas o par (5,10). Veja (na figura 4.1) o gráfico e a
tabela que representam essa situação, com eles podemos observar que a medida
5x)5x()5x(
−−⋅+
5x25xlim
2
5x −−
→
84
que nos aproximamos de 5, ou seja, a medida que a diferença do x para 5 se
aproxima de zero o f(x) se aproxima de 10, ou seja, o limite é 10
3.3 O CONCEITO DE LIMITE Tendo ainda como exemplo a função do tópico 2.2, poderíamos fazer diversos
questionamentos, como por exemplo:
Sendo f definida de ℜ→ℜ, para x ≠ 5, com 5x25x)x(f
2
−−
=
a) Quando x = 3, y vale ? Resposta: 8. Isto pode ser observado no gráfico desta função, assim como pelo cálculo do
valor da função no ponto 3.
b) Quando x se aproxima de 3, de qual valor y se aproxima?
Resolução: podemos responder esta questão que foi apresentada em linguagem
natural, usando registros de representações diferentes, por exemplo: registro gráfico,
registro numérico e registro algébrico.
b1) Por meio do registro gráfico esboçamos o gráfico desta função e passamos a
observar qual é o comportamento dela quando x se aproxima de 3, ou seja,
devemos observar para quais valores de y a função se aproxima, quando x se
aproxima de 3.
x y
4.00 9.00
4.20 9.20
4.40 9.40
4.60 9.60
4.80 9.80 5.00 indeter. 5.20 10.20
5.40 10.40
5.60 10.60
5.80 10.80
6.00 11.00
x y 4.988 9.988 4.990 9.990 4.992 9.992 4.994 9.994 4.996 9.996 4.998 9.998 5.000 indeter. 5.002 10.002 5.004 10.004 5.006 10.006 5.008 10.008 5.010 10.010 5.012 10.012
Gráf .3.1 - função y = (x² -25)/(x-5) ou y = x + 5 para x ≠ 5
−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8
2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
x
y
85
Devemos lembrar que quando x se aproxima de 3, ele se aproxima pelos
valores menores, ou seja, 2,8; 2,9; 2,99 etc e também pelos valores maiores que 3,
porém bem próximos, por exemplo, 3,1; 3,01, 3,001 etc. Observando os gráficos 4.2,
podemos notar que o y está se aproximando de 8.
Observação. Nem sempre a utilização do gráfico será indicada, pois muitas vezes é muito mais
demorado esboçar o gráfico de determinadas funções do que determinar esses valores por outros
procedimentos.
b2) Por meio de registro numérico, ou seja, vamos obter numericamente a resposta
deste exercício. Para tanto, costuma-se fazer uma tabela, tendo como “x” valores
bem próximos de 3 e com o y os valores da função nos pontos “x”. Observe as
tabelas abaixo.
x y 3.00 8.00 3.10 8.10 3.20 8.20 3.30 8.30 3.40 8.40 3.50 8.50 3.60 8.60 3.70 8.70 3.80 8.80 3.90 8.90 4.00 9.00
x y 2.00 7.00 2.10 7.10 2.20 7.20 2.30 7.30 2.40 7.40 2.50 7.50 2.60 7.60 2.70 7.70 2.80 7.80 2.90 7.90 3.00 8.00
Na 1ª. Parte da tabela podemos observar que a medida que os valores de x se aproximam do 3 a valores menores do que 3, o y se aproxima de 8.
Na 2ª. Parte da tabela podemos observar que a medida que os valores de x se aproximam do 3 a valores maiores do que 3, o y se aproxima de 8.
−5−4−3 −2−1 1 2 3 4 5 6 7 8−2−1
123456789
1011
x
y
−5−4−3−2−1 1 2 3 4 5 6 7 8−2−1
123456789
1011
x
y
−5−4−3−2−1 1 2 3 4 5 6 7 8−2−1
123456789
1011
x
y
X se aproximando de 3, pelos valores menores que 3 X se aproximando de 3, pelos valores maiores que 3 X se aproximando de 3,
Graf. 3.2 – Aproximações do “x” ao 3 e do “y” ao 8
86
b3) Por meio do registro algébrico, resolvemos o limite da seguinte maneira:
82
162259
53253
5x25xlim
22
3x=
−−
=−−
=−−
=−−
→
Esta forma de resolução é bastante rápida, mas é aconselhável apenas após
o entendimento de o porquê ela pode ser feita desta maneira!
O limite de f(x), quando x tende a a, é igual a L, e escrevemos L)x(flimax
=→
, se é
possível tomar valores de f(x) arbitrariamente próximos de L (tão próximos quanto
quisermos), tomando x suficientemente próximo de a, mas não igual a a.
3.3.1 Exercícios 1) O gráfico abaixo representa a função real definida por y
= x² - 4x + 3. Complete:
a) Quando x = 4, y vale ______
b) Quando x se aproxima de 4, y se aproxima de ______.
(use a tabela para resolver este exercício).
c) Quando x se aproxima de 2, y se aproxima de ______.
d) Quando x tende para 1, f(x) tende para ____________.
e) Quando x se aproxima de ½, f(x) se aproxima de ____.
f) x se aproximando de –2 faz y se aproximar de ______.
2)Dada a função y = x – 2
a) Esboce o gráfico desta função
b) f(4) = _______. c) Quando x se aproxima de 4, y se aproxima de ______.
d) Quando x tende a 1, f(x) tende a ______. e) Quando x se aproxima de 17, f(x) se
aproxima de ____. f) Se x tende a –8, f(x) tende a
____.
−2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8
2
−1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
87
3) Observe o gráfico da função definida por ⎪⎩
⎪⎨
⎧
>=<−
=1xsex1xse3
1xse1xy
2
a) Se x tende a 0, y tende a ______.
b) Se x é maior que 1, mas tende a 1, y tende a ____.
c) Se x é menor que 1, mas tende a 1, y tende a ____.
d) Se x = 1, y = ____. e) Se x tende a 3, f(x) tende a ____.
4) Considere o gráfico da função ⎩⎨⎧
≥+<+−
=02
022
xsexxsex
y
a)Esboce o gráfico dessa função.
b)Determine o domínio e a imagem de f.
c)Qual o comportamento de f, quanto ao crescimento e decrescimento?
d)Calcule; f(-1); f(0); f(1/2) e f(1)
e)Complete a tabela acima e responda as seguintes perguntas:
f) Quando nos aproximamos de x = 0 pelo lado esquerdo, o valor de f(x) aproxima-
se de qual valor?.
g) Quando nos aproximamos de x = 0 pelo lado direito, o que acontece com o f(x)?
h) Assim, escrevemos que o limite pela esquerda: =−→
)x(flim0x
____ e que o limite pela
direita: =+→
)x(flim0x
___ e =→
)x(flim0x
_____.
x f(x) x f(x)
- 0,5 0,5
-0,25 0,25
- 0,1 0,1
-0,01 0,01
-0,001 0,001
Neste caso temos: ⇔=→
L)x(flimax
==−→
L)x(flimax
)x(flimax +→
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
88
A leitura do quadro anterior é: O limite de f(x) para x tendendo a a é igual a L se, e somente se, o limite lateral de
f(x) para x tendendo a a pela esquerda for igual ao limite lateral de f(x) para x
tendendo a a pela direita e estes forem iguais a L.
3.4 PROPRIEDADES DOS LIMITES
Se existe os limite )x(flimax→
e )x(glimax→
e “K” é uma constante, então:
Nome Propriedade Leitura
Soma [ ] )x(glim)x(flim)x(g)x(flimaxaxax →→→
+=+ Limite da soma é igual a
soma dos limites.
Diferença [ ] )x(glim)x(flim)x(g)x(flimaxaxax →→→
−=− Limite da diferença é igual a
diferença dos limites.
Produto [ ] )x(glim).x(flim)x(g).x(flimaxaxax →→→
= Limite do produto é igual ao
produto dos limites.
Múltiplo constante [ ] )x(flimK)x(fKlimaxax →→
=⋅ Limite da constante que
multiplica a função é igual a
constante que multiplica o
limite da função.
Quociente =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡→ )x(g
)x(flimax )x(glim
)x(flim
ax
ax
→
→ se 0)x(glimax
≠→
Limite do quociente é igual
ao quociente dos limites,
para o denominador diferente
de zero
3.4.1 Exercícios
Determine os limites
a) =−−→
)3x(lim1x
b) =+−→
3xlim 2
2x c) =−
→
2
1x)3x2(lim d) =−
−→3xlim 3
2x
e) =+−
→ 2x7xlim
7x f) =
−−→ x
)3x(lim1x
g) =−−→ 2xxlim
2
1x h) =
−→18lim
2x
3.5 LIMITES LATERAIS
89
Nesse capítulo já estudamos um pouco sobre os limites laterais, porém, não
comentamos algo importante sobre a sua utilização.
Quando consideramos a x
lim→
f(x), estamos interessados em valores no intervalo
aberto contendo "a", mas não no próprio "a", isto é, em valores de "x" próximos a "a",
maiores ou menores do que "a". Mas, suponha que tenhamos a função f como por
exemplo, f(x) = 2x − . Como f(x) não existe para x < 2, f não está definida em
nenhum intervalo aberto contendo 2. Logo, 2
lim→x
2x − não tem significado. No
entanto, se "x" estiver restrito a valores maiores do que 2, o valor de 2x − poderá
se tornar tão próximo de zero quanto desejarmos, tomando "x" suficientemente
próximo de 2, mas, maior do que 2. Em tal caso, deixamos "x" aproximar-se de 2
pela direita e consideramos o limite lateral direito.
Agora, para qualquer valor de x > 2, verifica-se que os limites laterais existem e
são iguais e por este motivo podemos afirmar que para qualquer x > 2 a f(x) tem
limite.
3.6 LIMITES INFINITOS
Nos limites infinitos os valores das funções aumentam ou diminuem sem
limitações quando a variável aproxima-se cada vez mais de um número fixo. Vamos
ver nos gráficos 4.3 da próxima folha o que isto quer dizer.
4.6.1 Exercícios
Responda:
a)No gráfico 4.3(a) o comportamento da função é o mesmo se x tende a 2 pela
esquerda e pela direita? Por que?
b) No gráfico 4.3 (b) o comportamento da função é o mesmo se x tende a 1 pela
direita e pela esquerda? Por que?
c) No gráfico 4.3 (c) o comportamento da função é o mesmo se x tende a zero
90
(a)
(b)
(c)
Quando x tende ao número 2 a
2)2x(1
)x(f−
= aumenta sem limitações, ou
seja
Quando x tende ao número 1 o
2)1(2
- )(−
=x
xf diminui sem limitações, ou
seja
Quando x tende ao número 0 pela
direita o x1
)x(f =aumenta sem limitações
e quando o x tende a zero pela
esquerda o f(x) diminui sem limitações,
ou seja
∞=−→ 22x )2x(1lim
−∞=−→ 21x )1x(2 - lim
±∞=
→ x1lim
2x
Graf. 3.3 – Limite infinito
3.7 LIMITE NO INFINITO
Nos limites no infinito é a variável independente que cresce ou diminui
indefinidamente. Vamos ver os gráficos 4.4 da próxima folha o que isto quer dizer.
No gráfico 4.4(a), podemos observar que quando x cresce ou decresce
arbitrariamente, ou seja, quando ±∞→x , o (x – 2)² cresce arbitrariamente; logo
2)2x(1−
se aproxima de zero. (Se você não entendeu esta última afirmação, veja:
000001,01000
1)1002(f;0001,0)100(
1)102(f;01,010
1)12(f 222 ===−
=−== ; etc.) e indica-
se: 0)2x(
1lim 2x=
−±∞→.
2 x
y
1
x
y
x
y
91
(a)
(b)
(c)
Quando x aumenta e diminui
indefinidamente a
2)2x(1)x(f−
=
tende a zero, ou seja,
Quando x aumenta e diminui
indefinidamente a
2)1x(2 - )x(f−
= tende a zero, ou
seja,
Quando x aumenta e diminui
indefinidamente a 2
x1)x(f +=
tende a 2 , ou
seja
0)2x(
1lim 2x=
−±∞→ 0
)1x(2 - lim 2x
=−±→
22x1lim
x=+
±∞→
Graf.3.4 – Limites no infinito
3.8 EXERCÍCIOS
1)Considere a função f dada por 2x1)x(f = .
a) Construa a tabela abaixo: b) Esboce o gráfico de f
x x² 1/x²
±1
±0,1
±0,05
±0,001
±10-7 x
y
1
x
y
x
y
x
y
f(x) → 2
f(x) → 2
92
c) Determine o domínio e a imagem de f. d) A medida que x aproxima-se de 0, x² aproxima-se de __ e 1/x² aproxima-se de ____
Pelo gráfico, pode-se concluir que: +∞→⇒→ +2x
10x e também,
+∞→⇒→ −2x
10x
e) Nesse caso, escrevemos que ∞=→ 20x x
1lim e dizemos que o eixo y é uma assíntota
vertical de 2x1)x(f = .
f) Pelo gráfico, vemos que à medida que x aproxima-se de ∞± , 2x1 aproxima-se
de____. O eixo x é uma assíntota horizontal de 2x1)x(f = .
A reta x = a denomina-se assíntota vertical da curva y = f(x) se pelo menos uma das seguintes condições valem:
;)x(flimax
∞=+→
;)x(flimax
∞=−→
∞=→
)x(flimax
;)x(flimax
−∞=+→
;)x(flimax
−∞=−→
−∞=→
)x(flimax
A reta y = L denomina-se assíntota horizontal da curva y = f(x) se pelo menos uma das seguintes condições valem:
L)x(flimx
=+∞→
ou L)x(flimx
=−∞→
2) Considere 4
2)(−
=x
xf . Calcule:
a) =+→
)x(flim4x
_____e =−→
)x(flim4x
_____
Portanto, podemos concluir que =→
)x(flim4x
___. Assim, a assíntota vertical é x =
___e a assíntota horizontal é y = ___, pois __________________.
3.9 LIMITE DA FUNÇÃO RACIONAL
Uma função racional é aquela que pode ser escrita como quociente de
polinômios. Ela se diz imprópria se o grau do polinômio do numerador é maior ou
igual ao do polinômio do denominador; caso contrário ela se diz própria.
93
3.9.1 Exercícios
Calcule os limites das funções racionais:
a) =+−
−→ 8x6x
9xlim 2
2
0x b) =
+−−
→ 8x6x9xlim 2
2
3x
c) =+++
→ 1x2xxlim 2
2
0x d) =
−−
→ 4x2xlim 23x
e) =−−
→ 64x8xlim 23x
f) =++−+++++−
→ 7x5xx8x1321x7xx2x4x5lim 235
2457
0x
No início deste capítulo vocês tiveram a oportunidade de ler um exemplo
no qual a função que o representa é uma função racional (caso você ainda não o tenha lido, agora
é um excelente momento para fazê-lo). Trata-se de um exemplo, em que para resolver o seu
limite não basta fazê-lo da forma em que acabamos de proceder no exercício
anterior. Isto ocorre, pois pelo procedimento acima, vamos “encontrar” que o
5x25xlim
2
5x −−
→é igual a
00 e
00 não possui significado numérico. No entanto, o exemplo
mostra que ao fatorarmos o numerador, vamos poder simplificar os fatores que
anulam o numerador e o denominador, ou seja, 5x
)5x()5x(lim5x25xlim
5x
2
5x −−⋅+
=−−
→→, de
onde vamos obter que 1055)5x(lim5x25xlim
5x
2
5x=+=+=
−−
→→.
3.9.2 Exercícios
1) Calcule os limites
a) =−−
→ 5xx5xlim
2
5x b) =
−−+
→ 3x18x3xlim
2
3x c) =
+++
−→ 2x4x4xlim
2
2x
d) =++
−→ 3xx3xlim
2
3x e) =
+→ x
x3xlim2
0x f) =
+−+−
→ 14x9x10x7xlim 2
2
5x
2) Faça os gráficos de :
94
a) f:-{3}→ℜ /3x9x)x(f
2
−−
= b) g:ℜ→ℜ / 3x)x(g +=
a) f(x) e g(x) são funções iguais para todos os x reais? Por que?
b) Qual é o valor do limite da f(x) para x tendendo a 3?
c) Qual é o valor da função g(x) para x = 3?
Leia com atenção a observação abaixo e continue a resolução dos exercícios
dessa unidade.
Seja )()()(
xQxPxf = uma função racional. Pode ocorrer de P(a) = Q(a) = 0, ficando
00
)()(=
aQaP . Nestes casos, fatoramos e simplificamos (x-a) em cada termo, se
possível:
.0)a(Qse,)a(Q)a(P
)x(Q)ax()x(P)ax(lim
)x(Q)x(Plim 1
1
1
1
1
axax≠=
−−
=→→
“Reescrevemos” as funções, como no exercício 1 de 2.9.1 para calcular o
limite.
Mas pode decorrer de 0)a(P ≠ , e aí teremos como resposta +∞, - ∞ ou ∞± .
Vamos tentar entender o que está escrito na última linha do quadro
acima. Seja por exemplo, o 2x1xlim
2
2x −+
→. Para determinar o limite desta função,
podemos inicialmente calcular o valor da função do numerador no ponto “2”, ou seja,
−3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
x
y
−3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
x
yx f(x) g(x)
-2
-1
0
+1
+2
+3
-3
+0,5
95
P(2) = 5 e o valor da função do denominador no ponto 2, ou seja Q(2) = 0. Neste
caso, temos que P(2) ≠ 0 e Q(2) = 0. Aí conforme as informações do quadro acima,
vamos ter uma das três respostas, ou seja +∞, - ∞ ou ∞± . Para decidir por uma
dessas respostas, não é necessário representar a função por meio de um gráfico (a
não ser que você queira fazer utilizando este recurso). Então, devemos estudar o
sinal da função racional, para x próximo do ponto 2, lateralmente se necessário. Se
este sinal for positivo, o limite é +∞, se negativo é - ∞. Neste caso, ao estudarmos
lateralmente vamos ter que quando x se aproxima de 2 pela esquerda o sinal da
função nestes pontos será negativo, ou seja, 2x1xlim
2
2x −+
−→ terá um resultado negativo,
pois o numerador será sempre positivo e o denominador negativo (pois vamos
operar com x-2, para valores sempre menores que 2). Daí recorre o resultado
negativo, já que na divisão “positivo” com “negativo” é negativo. De maneira análoga
podemos estudar quando o x está se aproximando de 2 pela direita e desta forma
observar que esta função é positiva. Mas os nossos cálculos ainda não estão
terminados, pois até agora encontramos apenas os sinais dos limites laterais desta
função. Para finalizarmos, devemos notar, por exemplo, que no 2x1xlim
2
2x −+
−→, a medida
que nos aproximamos de x pela esquerda, o denominador irá se aproximar de 5 e o
denominador de “zero”, o quociente desses dois números será um número muito
grande, porém negativo. Para você entender este resultado pense no seguinte:
(5/(1,9 –2) = -50; 5/(1,99 –2) = - 500; 5/ (1,999-2) = -5000; etc). Como trata-se de
uma operação que estamos fazendo o x tender a 2 pela direita indefinidamente,
quanto mais próximo deste valor estivermos mais o resultado desta função estará
indo para a esquerda, ou seja, para o - ∞. De maneira análoga vamos concluir que
quando x tende a 2 pela direita a função estará tendendo a + ∞. Logo, nesta questão
vamos ter que ±∞=−+
→ 2x1xlim
2
2x.
3) Leia com atenção o texto acima e em seguida resolva os limites propostos.
a) =−
+−→ 25x
5x6xlim 2
2
5x b) =
−−−
−→ 49x30x2xlim 2
2
7x c) =
+−−
→ 14x9x7xlim 2
2
7x
d) =−−
→ x29xx18xlim 2
2
0x e) =
−−
→ 3x3xlim
3x
96
4) Observe a resolução dos três exemplos abaixo e em seguida responda as
questões:
a) =∞→ 3
7
x x4x5lim
Resolução
Ao iniciarmos a resolução deste exercício, devemos nos lembrar que “∞” não é número e
que portanto ∞∞
é uma indeterminação. O significado de x tender ao infinito é que x está
assumindo valores cada vez maiores, mas quais valores são estes? O fato de não sabermos
apontar quais valores são estes faz com que pensemos: “quanto vale o infinito do
numerador e quanto vale o infinito do denominador?” e é esta dúvida que torna esta
representação, ou seja, o ∞∞
uma indeterminação.
Para esta questão em que o grau do polinômio do numerador é maior que o grau do
polinômio do denominador, basta dividirmos o numerador pelo denominador, usando a
propriedade de potência (quociente de mesma base). Então vamos ter:
b) 45
45lim
x4x5lim
x7
7
x==
∞→∞→
c) 0045
x1lim
45
x1
45lim
x4x5lim 4x4x7
3
x=⋅==⋅=
∞→∞→∞→
d)Na resolução do limite de funções racionais, quando o expoente do numerador é
maior que o expoente do denominador e o x tende ao infinito, o que acontece com o
resultado?
e)Na resolução do limite de funções racionais, quando o expoente do numerador é
igual ao expoente do denominador e o x tende ao infinito, o que acontece com o
resultado?
∞=∞⋅==∞→∞→
443
7
45
45lim
45lim x
xx
xxRecomendo não registrar esta passagem, podendo
ir direto ao resultado.
97
f)Na resolução do limite de funções racionais, quando o expoente do numerador é
menor que o expoente do denominador e o x tende ao infinito, o que acontece com o
resultado?
5) Calcule os limites:
a) =+++−
∞→ 13x3x43x8x5lim 23
7
x
Resolução
Uma das formas de iniciarmos a resolução deste tipo de limites é dividindo o numerador e o denominador desta função pelo termo de maior expoente de cada um deles, ou seja:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
=++
+−
=+++−
∞→∞→∞→
33
2
3
33
777
77
x
3
233
7
77
x23
7
x
x13
xx3
xx4x
x3
xx8
xx5x
lim
x)13x3x4(x
x)3x8x5(x
lim13x3x43x8x5lim =
=++
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
∞→
3
764
x
x13
x34
x3
x85x
lim mas como já vimos anteriormente, 0x8lim 6x
=∞→
e de maneira
análoga vamos ter que o limite de outras parcelas desta função é zero. Sendo assim:
=++
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
∞→
3
764
x
x13
x34
x3
x85x
lim ( )=
+++−
∞→ 004005xlim
4
x∞=
∞→ 4x5lim
4
x. Que é igual a 3
7
x x4x5lim
∞→.
b) =+++−
∞→ 13x3x43x8x5lim 27
7
x c) =
+++−
∞→ 13x3x43x8x5lim 27
3
x
98
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Esta apostila é o ponto de partida para seus estudos nas disciplinas de
Cálculo Diferencial e Integral.
Ela é necessária e também suficiente para o seu bom desempenho na
disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, mas deverá ser complementada para a
sua formação mais ampla como engenheiro.
A lista oferecida nas Referências Bibliográficas e na Bibliografia
Complementar traz desde obras com abordagens voltadas ao Ensino Médio, outras
com variadas aplicações, chegando a obras com um trato mais formal e rigoroso do
tema. É importante conhecer ao menos algumas destas referências.
Toda a leitura poderá ser orientada, usando a ferramenta Correios,
disponível em nosso portal e também discutida com os colegas, ou simplesmente
comentada como contribuição ao bom desempenho de todos, usando os Fóruns
outra ferramenta do portal UNISA.
Complemente esta leitura também com as aulas WEB, que visam trazer
um pouco da discussão em outra abordagem, incluindo exemplos resolvidos.
Esteja presente às aulas-satélite, anotando apenas suas dúvidas, uma
vez que as projeções de aula serão disponibilizadas no Material de Apoio.
Um bom aproveitamento conceitual dos temas aqui abordados o
capacitará a futuros aprofundamentos e aplicações em diversas áreas.
99
REFERÊNCIAS
ÁVILA, G. Introdução à análise matemática. São Paulo: Edgar Blucher, 1993.
BOULOS, P. Cálculo Diferencial e integral. Vol 1. São Paulo: Makron Books do
Brasil, 1999.
DANTE, L.R. Matemática. Volume Único. São Paulo: Ática, 2005. CARAÇA, B.J. Conceitos fundamentais da matemática. Lisboa: [s.d.], 1975.
COURANT, R. e ROBBINS, H. O que é matemática. Rio de Janeiro: Ciência
Moderna, 2000.
FLORIANI, J.V. Limites: cálculo fácil. Blumenau: Editora da FURB, 1999. FORSTER, S. R. L. Ensino a distância: uma análise do design de um curso de Cálculo com um olhar no conteúdo de limites e continuidade. DISSERTAÇÃO DE MESTRADO. PUC-SP, 2007. HARIKI, Seiji e ABDOUNUR, Oscar João. Matemática aplicada: administração, economia, contabilidade. São Paulo: Saraiva, 1999.
IEZZI, G. e MURAKAMI, C. Fundamentos da matemática elementar, 1: conjuntos e funções. São Paulo: Atual, 2004.
IEZZI, G; DOLCE, O. e MURAKAMI C. Fundamentos da matemática elementar, 2: logaritmos. São Paulo: Atual, 2004.
KIYUKAWA, R. S.; SHIGEKIYO, C. T. e YAMAMOTO, K. Os elos da Matemática, 1.
2 ed. São Paulo: Saraiva, 1992.
LARSON, R.E. e outros. Cálculo com aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 1995.
LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica. Trad. Cyro de Carvalho Patarra.
3.ed.São Paulo: Harbra, 1994.
100
MACHADO, A. dos S. Matemática – Temas e Metas, 1: conjuntos numéricos e funções. São Paulo: Atual, 1986.
SWOKOWISKI, E. W. Cálculo com geometria analítica. Trad. Alfredo Alves de
Farias. São Paulo: Makron Books do Brasil, 1994.
THOMAS, G.B. Cálculo. V.1. São Paulo: Addison Wesley, 2002.
