calculo diferencial I

of 102/102
Cálculo Diferencial e Integral Regina Maria Sigolo Bernardinelli Sandra Regina Leme Forster
  • date post

    02-Jul-2015
  • Category

    Documents

  • view

    14.290
  • download

    45

Embed Size (px)

Transcript of calculo diferencial I

Clculo Diferencial e Integral

Regina Maria Sigolo Bernardinelli Sandra Regina Leme Forster

Regina Maria Sigolo Bernardinelli e Sandra Regina Leme Forster

CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IEnsino a Distncia E a D

2

SUMRIOINTRODUO..................................................................................... 11.1 1.2 1.2.1 1.2.1.1 1.3 1.3.1 1.4 1.4.1 1.5 1.5.1 1.5.1.1 1.6 1.7 1.7.1 1.8

5 66 7 8 4 9 10 11 11 11 12 15 15 16 16 16

CONJUNTOS NUMRICOS............................................................CONJUNTO DOS NMEROS NATURAIS............................................. CONJUNTO DOS NMEROS INTEIROS............................................... Subconjuntos de Z................................................................................. Exerccios............................................................................................... CONJUNTO DOS NMEROS RACIONAIS........................................... Exerccios. NMEROS IRRACIONAIS...................................................................... Exerccios............................................................................................... CONJUNTO DOS NMEROS REAIS.................................................... Subconjuntos de R - Intervalos........................................................... Exerccios............................................................................................... Desigualdade.......................................................................................... Aplicaes............................................................................................. Exemplo............................................................................................... Exerccios do captulo...........................................................................

22.1 2.2 2.2.1 2.3 2.4 2.4.1 2.4.2 2.4.3. 2.4.4 2.4.5 2.4.5.1 2.4.5.1.1 2.4.5.1.2 2.4.5.2 2.4.5.2.1 2.4.5.3 2.4.5.3.1 2.4.5.4 2.4.5.4.1 2.4.5.5

FUNO...............................................................................................PAR ORDENADO................................................................................... PRODUTO CARTESIANO...................................................................... Exerccios............................................................................................... RELAO............................................................................................... FUNO................................................................................................. Definio................................................................................................. Observaes.......................................................................................... Notao................................................................................................... Exerccios............................................................................................... Funes do 1 Grau............................................................................... Funo Afim.......................................................................................... Exerccios.............................................................................................. Exerccios............................................................................................... Funo Linear........................................................................................ Exemplo.................................................................................................. Funo Identidade................................................................................. Exerccio................................................................................................. Funo Constante.................................................................................. Exerccio................................................................................................. Declividade.............................................................................................

1919 20 21 21 25 25 25 26 29 29 29 31 35 35 36 36 37 38 38 39

3

2.4.6 2.4.6.1 2.4.6.2 2.4.7 2.4.8 2.4.9 2.5 2.5.1 2.5.2 2.5.3 2.5.4 2.6

Funo Quadrtica................................................................................ Exerccios............................................................................................... Exerccios............................................................................................... Funo Exponencial.............................................................................. Funo Logartmica............................................................................... Funo Modular..................................................................................... APLICAES DAS FUNES.............................................................. Aplicao da funo polinomial do 1 grau........................................ Aplicao da funo polinomial do 2 grau........................................ Aplicao da funo exponencial........................................................ Aplicao da funo logartmica.......................................................... EXERCCIOS DO CAPTULO.................................................................

41 43 48 48 51 57 63 63 66 70 71 72

33.1 3.2 3.3 3.3.1 3.4 3.4.1 3.5 3.6 3.6.1 3.7 3.8 3.9 3.9.1 3.9.2

INTRODUO AO LIMITEINTRODUO.......................................................................................... SMBOLO MATEMTICO PARA LIMITE DE FUNO.......................... O CONCEITO DE LIMITE......................................................................... Exerccios.............................................................................................. PROPRIEDADES DOS LIMITES............................................................. Exerccios................................................................................................. LIMITES LATERAIS................................................................................. LIMITES INFINITOS................................................................................. Exerccios................................................................................................ LIMITE NO INFINITO............................................................................... EXERCCIOS............................................................................................ LIMITE DA FUNO RACIONAL............................................................ Exerccios................................................................................................ Exerccios................................................................................................

8282 83 84 86 88 88 88 89 89 90 92 92 93 93

CONSIDERAES FINAIS.................................................... REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS.............................................

98 99

2

2

APRESENTAO

com satisfao que a Unisa Digital oferece a voc, aluno, esta apostila de Clculo Diferencial e Integral I, parte integrante de um conjunto de materiais de pesquisa voltados ao aprendizado dinmico e autnomo que a educao a distncia exige. O principal objetivo desta apostila propiciar aos alunos uma apresentao do contedo bsico da disciplina. A Unisa Digital oferece outros meios de solidificar seu aprendizado, por meio de recursos multidisciplinares como chats, fruns, Aulas web, Material de Apoio e email. Para enriquecer o seu aprendizado, voc ainda pode contar com a Biblioteca Virtual: www.unisa.br, a Biblioteca Central da Unisa, juntamente com as bibliotecas setoriais, que fornecem acervo digital e impresso, bem como acesso a redes de informao e documentao. Nesse contexto, os recursos disponveis e necessrios para apoi-lo no seu estudo so o suplemento que a Unisa Digital oferece, tornando seu aprendizado eficiente e prazeroso, concorrendo para uma formao completa, na qual o contedo aprendido influencia sua vida profissional e pessoal. A Unisa Digital assim para voc: Universidade a qualquer hora e em qualquer lugar!

Unisa Digital

5

INTRODUO

Esta apostila destina-se aos alunos dos cursos de Engenharia de Ambiental e Engenharia de Produo com a finalidade de servir de orientao aos estudos da disciplina de Clculo Diferencial e Integral I. Ela foi elaborada com o objetivo de fornecer ferramentas para ampliar os conhecimentos e de auxiliar o aluno do ENSINO A DISTNCIA (EaD). Em sua elaborao, procurou-se criar uma linguagem diferenciada daquela que normalmente aparece nos livros a fim de proporcionar uma melhor compreenso para os alunos do ENSINO A DISTNCIA. A apresentao dos contedos est estruturada em partes tericas, aplicaes em forma de exerccios resolvidos que aparecem como exemplos, exerccios de aprendizagem para melhor compreenso dos assuntos abordados. Espera-se com este material, contribuir de forma expressiva no aprendizado dos alunos, porm sua participao nas aulas ao vivo, realizao das atividades e interao no correio, fruns de discusses e chats so fundamentais para o seu sucesso. Embora a apostila seja um pouco extensa, ela se divide em apenas trs captulos. No captulo 1, estudaremos os conjuntos numricos, pois necessrio que se entenda com clareza o nmero real, j que em todas as disciplinas a referncia ser esse conjunto. No captulo 2, ser tratado com detalhes o estudo de algumas funes, tais como a funo polinomial do 1 grau, do 2 grau, exponencial, logartmica e modular. A funo racional, to importante como as anteriormente citadas no est presente nessa apostila, mas ser apresentada em aula Web, junto ao limite de uma funo. No captulo 3, Introduo aos limites, ser apresentada apenas uma ideia do limite de uma funo, o qual ser estudado com mais detalhes na disciplina de Clculo Diferencial e Integral II. O captulo 3 ser utilizado com fonte de estudos para efeito de atividades e avaliaes, tanto no mdulo 4, como no mdulo 5, deste curso. Caso discorde de algo apresentado nessa apostila, comunique ao professor da disciplina, pois desejamos ouvi-los para que possamos melhorar o curso a cada trimestre. Sandra Regina Leme Forster

6

1 CONJUNTOS NUMRICOSA disciplina de Clculo, a qual ser desenvolvida ao longo desse curso, est dividida em quatro grandes tpicos, pois cada um deles tratar um contedo especfico, com aprofundamentos por meio de poucas demonstraes de algumas propriedades e por aplicaes diversas pertinentes a cada uma delas. O que todos esses tpicos tero em comum que sero desenvolvidos tendo como base os nmeros reais. Dessa forma, este primeiro captulo apresentar uma reviso acerca dos conjuntos numricos, j que no teria lgica iniciarmos pelos nmeros reais, pois estes esto formados por elementos pertencentes aos nmeros naturais, inteiros, racionais e irracionais.Conjuntos Numricos

Web

1.1 CONJUNTO DOS NMEROS NATURAIS

Indicado pela letra N, o seguinte conjunto: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }. Vejam sua representao na reta:

0

1

2

3

4

5

Quando exclumos o zero, obtemos o conjunto dos naturais no nulos, que indicado por: N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... }. Sejam m e n dois nmeros naturais. Ento podemos ter: m=n ou m>n ou m n (m n) e m < n (m n)

Observao Ao justificar as afirmaes acima, temos que m > n (m n) , pois como o m > n, o resultado m n, obrigatoriamente ser um nmero positivo, j que

7

est sendo realizada a subtrao de um nmero menor em relao a um nmero maior. E ainda temos que m < n (m n) , pois nessa operao o resultado ser negativo e vimos na pg. 2, o conjunto N constitudo de nmeros positivos e o zero.

Exemplos Leitura 1) 7 > 2 (7 2 = 5 e 5 ) 2) 3 < 10 ((3 10) ) 3){x | x > 6} = {7, 8, 9, 10, ... } 4){x | x 6} = { 6, 7, 8, 9, ... } 5){x | x < 6} = {0, 1, 2, 3, 4, 5} 6){x | x 6} = {0, 1, 2, 3, 4, 5,6} 7) {x | 3 < x < 7} = { 4, 5, 6} 8) {x | 3 x 7} = {3, 4, 5, 6, 7} 9) {x | 11 < x 16} =Sete maior do que dois. Sete menos dois igual a 5 e 5 um nmero natural diferente de zero. Trs menor do que dez. Trs menos dez um nmero negativo, logo esse resultado no ser um nmero natural. x pertence ao conjunto dos nmeros naturais tal que x maior do que seis. x pertence ao conjunto dos nmeros naturais tal que x maior ou igual a seis. x pertence ao conjunto dos nmeros naturais tal que x menor do que seis. x pertence ao conjunto dos nmeros naturais tal que x menor ou igual a seis. x pertence aos nmeros naturais tal que x est entre trs e sete. x pertence aos nmeros naturais tal que x est entre trs e sete, incluindo o trs e o sete. x pertence aos nmeros naturais tal que x est entre onze e dezesseis, incluindo o dezesseis.. x pertence aos nmeros naturais tal que x est entre onze e dezesseis, incluindo o onze.

{12, 13, 14, 15, 16}10) {x | 11 x < 16} =

{11, 12, 13, 14, 15}

1.2 CONJUNTO DOS NMEROS INTEIROS

Indicado pela letra Z, o seguinte conjunto: Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... } Vejam sua representao na reta:

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

8

1.2.1 Subconjuntos de Z

a) Conjunto dos inteiros no nulos: = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, ... } b) Conjunto dos inteiros positivos: = {1, 2, 3, 4, 5, ... } + c) Conjunto dos inteiros negativos: = {..., -5, -4, -3, -2, -1} d) Conjunto dos inteiros no negativos: + = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } e) Conjunto dos inteiros no positivos: = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0}

Note que o nmero zero no positivo e nem negativo e que tambm N Z, ou seja, N est contido em Z e alm disso o N = + Sejam m e n dois nmeros inteiros. Ento podemos ter:m=n

ou

m>n

ou

m n (m n) +

e m < n (m n) -

e ainda: m > 0 m positivo (m ) +

e m < 0 m negativo (m )

Exemplos

1) 6 > -8 (6 (-8) = 6 + 8 = 14 > 0) 2) -3 > -7 (-3 (-7) = -3 + 7 = 4 >0) 3) -6 < -2 (-6 (-2) = -6 + 2 = -4 < 0) 4) {x | x < 3} = {..., 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2} 5) { x | 2 x 6} = {2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

1.2.1.1 Exerccios

1) Explique detalhadamente as afirmaes contidas em cada retngulo.

Sejam m e n dois nmeros inteiros. Ento podemos ter: m = n ou m > n ou m < n sendo que:

9

m > n (m n) +

e m < n (m n) -

e ainda:m > 0 m positivo (m ) e m < 0 m negativo (m ) + 2) Escreva como se l cada um dos exemplos acima.

1.3. CONJUNTO DOS NMEROS RACIONAIS

Indicado pela letra Q, o seguinte conjunto: Q = {x | x =inteiros. m , m e n } , ou seja, todo nmero obtido pela diviso de dois n

Exemplos

1) 0,8 Q , pois 0,8 =

8 4 = 10 5

2) -2,32 Q , pois -2,32 = 3) 5 Q , pois 5 =

232 116 58 = = 100 50 25

5 18 1

4) 8 Q , pois - 8 =

5) 0,333... Q , pois 0,333... =

1 3111 90

6) -1,2333... Q , pois -1,2333... = -

Observando os exemplos acima, convm notar que quando escrevemos um nmero racional na forma decimal, este pode apresentar um nmero finito de casas decimais (decimal exato, como nos exemplos 1 e 2 ) ou um nmero infinito

10

de casas decimais (dzimas peridicas simples e composta, como nos exemplos 5 e 6 ). conveniente observar tambm que todo nmero inteiro racional, pois pode ser escrito na forma

m , m e n } . Logo Z Q . n

importante saber que o nmero racional no representa apenas uma diviso, mas tambm pode representar parte e todo, uma razo e um operador. Observao: o estudo sobre os tipos de representaes de nmeros racionais e dzimas peridicas poder ser estudado com mais profundidade em disciplinas que envolvem a didtica do ensino da matemtica. Sejam x e y dois nmeros racionais. Ento podemos ter:x=y

ou

x>y

ou

x 0.

Exemplos

1) comparar x =

3 5 ey= 7 11

xy=

3 5 33 35 2 = = y 20 20 5 4

1.3.1 Exerccios

1) D dois exemplos de nmeros racionais nas formas decimal finita, decimal infinita

peridica simples e na decimal infinita peridica composta. Justifique o porqu de cada exemplo dado ser um nmero racional.

11

2) Compare os nmeros racionais e apresente o caminho utilizado para fazer essa

comparao. a) x =6 7 ey= 7 9

b) x =

10 11 ey= 7 8

c) x = 8 e y =

66 8

1.4 NMEROS IRRACIONAIS

So nmeros no peridicos que podem ser escritos na forma decimal com infinitas casas decimais. Esses nmeros no so racionais (no podem ser obtidos pela diviso de dois inteiros) e ser indicado por Q (no racionais).

Exemplos

1)

2 = 1,4142135. ..

2)

0,7 = 0,83666002 653...

3) 6 21 = 1,6680095. .. 6) -13, 1231123111231...

4) = 3,1415926. ..

5) e = 2,7182818284...

1.4.1 Exerccios

Classifique cada nmero abaixo como racional ou irracional e em seguida explique a sua resposta.a)81 = 121

b)

0,256 =

c)

36 = 90

d)

0,328 =

1.5 CONJUNTO DOS NMEROS REAIS

todo nmero racional ou irracional. Desse modo, indicado pela letra R, a reunio do conjunto dos nmeros racionais (Q) com o conjunto dos nmeros irracionais ( Q ).

Web

Aula 1 A reta real e o subconjunto de R

12

= QQ

Convm notar que os nmeros reais podem ser representados numa reta de tal modo que a todo nmero real corresponde um ponto da reta e a todo ponto da reta corresponde um nmero real, e ainda que N Z Q . -4 -3 -3,2 -2 -1 0 1 12 12

2

3

4 4,6

5

1 2

3

N

Z

Q

Q

Uma propriedade dos nmeros reais que eles se apresentam ordenados: 0 menor do que 1, -2 menor do - 1,8, maior do 1,45327..., e assim por diante. Na reta real podemos observar que a menor do que b, se e somente se a est esquerda de b. Sejam a e b dois nmeros reais. Ento podemos ter:a=b

ou a < b ab < 0 a > b ab > 0

a>b

ou

a a}6) Intervalo infinito direitaa[a,+) = [a,+[{x | x a}Exemplos141) Dados os intervalos: I = [2, 7] e J = ]5, 9[, determine I J . I J I J 5 7 2 5 7 9I J = x | 5 < x 7} =]5, 7]2) Sendo I = [-1, 6] e J = ]3, 8[, determine I J. 6I J IJ-1 38-18I J = [-1, 8[ = {x | 1 x < 8}3) Sendo I = ]0, 2] e J = [5, + [, determine: a) I J; b) I J.a I J = I J I J 0 2 515b) I J IJ 0 2 0 2 5 5I J = ]0, 2] [5, + [ = {x | 0 < x 2 ou x 5}1.5.1.1 Exerccios1) Explique as respostas de cada um dos exemplos acima. 2) Em cada um dos itens abaixo, complete com V (verdadeiro) ou F (falso) ejustifique as alternativas falsas.a) ( b) ( c) ( d) ( e) () A = [2,10[ um intervalo semi-aberto em que o extremo esquerdo pertence ) B = (2,3) um conjunto com um nmero infinito de elementos. ) C = [2,4] = {2, 3, 4} ) Sejam A, B e C os conjuntos dos itens anteriores, pode-se afirmar que ) Sejam A, B e C os conjuntos dos itens anteriores, pode-se afirmar queao conjunto A e o extremo direito no pertence.ABC=A (A B ) C = {2, 3, 4}1.6 DESIGUALDADESMuitas vezes devemos resolver desigualdades que envolvem expresses como 2x 5 < 9. O nmero a uma soluo de uma desigualdade se esta verdadeira quando substitumos x por a. O conjunto de todos os valores de x que satisfazem uma desigualdade chamado conjunto soluo da desigualdade. Na16resoluo da desigualdade aplicam-se as propriedades apresentadas na tabela abaixo:NomePropriedadePropriedade transitiva Adio de desigualdades Multiplicao por uma constante positivaa 0b) y = f (x) = -3x + 6a = -3 < 0 f decrescentef (x) = 0 -3x + 6 = 0 -3x = -6 x = 2 (zero ou raiz)+ _ 2Atenoc/a f (x) = 0 + x f (x) > 0 2m/a _ f (x) < 0Quando igualamos a zero a funo y = f (x) para determinar sua raiz (interseco da reta com o eixo x), passamos a ter uma equao do 1 grau naincgnita x, a qual queremos determinar.2.4.5.1.2 ExerccioDados os grficos das funes dos itens (a) e (b):351) Represente a funo algebricamente. 2) Determine os coeficientes (angular e linear). 3) Determine o zero de cada uma das funes. 4) As funes so crescentes ou decrescentes? Por qu? a)y x4 2 2 2 4 4 2 2 2 4b)y xf4 6 8 4 6 8f2.4.5.2 Funo LinearDefinio: se na funo afim y = f (x) = ax + b, a 0 tivermos b = 0, teremos a funo linear que uma aplicao de em e que associa a cada elementox o elemento ax , a 0. f : x a y = f (x) = ax, a 0Domnio e Imagem: D (f) = e Im (f) = .ExemplosRepresente as funes abaixo, numrica e graficamente:a) y = 2x36xy0 10 2b) y = -2x x y0 10 -22.4.5.2.1 ExemploComo pode ser observado nos exemplos acima, o grfico da funo linear tambm representado por uma reta, mas esse grfico apresenta uma particularidade em relao funo afim. Qual essa particularidade?2.4.5.3 Funo IdentidadeDefinio: se na funo afim y = f (x) = ax + b, a 0 tivermos b = 0 e a = 1, teremosa funo identidade, que uma aplicao de em e que associa a cada elemento x o prprio x. f : x a y = f (x) = xGrfico: o grfico da funo identidade tambm uma reta que contm asbissetrizes do 1 e 3 quadrantes e que passa pela origem.Domnio e Imagem: D (f) = e Im (f) = .37ExemplosConstruir o grfico das funes:a) y = x b) y = -xPara cada item, vamos atribuir valores a x.a) x y b) x y0 10 10 10 -12.4.5.3.1 Exerccio 1) Existe diferena entre as funes linear e identidade? Em caso afirmativo, quais? 2) Toda funo linear identidade? E toda funo identidade linear? Por qu? 3) Por que o domnio de uma funo linear so todos os nmeros reais? 4) Se uma funo linear estiver definida para x / 3 < x < 10, a sua imagem estarcomposta por todos os nmeros reais? Por qu?5) Se uma funo linear estiver definida para x / 3 < x < 5, a sua imagem estarcomposta por um nmero finito de elementos? Por qu?382.4.5.4 Funo Constante1) Definio: se na funo afim y = f (x) = ax + b, tivermos a = 0, teremos a funo constante, que uma aplicao de em e que associa a cada elemento x ,sempre o mesmo elemento b . f : x a y = f (x) = b (constante)Grfico: o grfico da funo constante uma reta paralela ao eixo x, passando peloponto (0, b).Domnio e Imagem: D (f) = e Im (f) = {b}ExemplosConstruir os grficos das funes:a) y = 4 b) y = -2Observem que as duas funes no dependem de x, isto , para qualquer x , em (a), o y vale sempre 4 e em (b) vale sempre -2.a) b)2.4.5.4.1 ExerccioA funo constante uma funo polinomial do 1 grau? Por qu?392.4.5.5 DeclividadeDeclividade da reta tangente do ngulo que a reta forma com o eixo Ox. Na funo polinomial do primeiro grau, esta tangente coincide com a prpria reta do grfico da funo e tem valor igual ao coeficiente angular a. A partir do grfico da funo do 1 grau possvel determinar o valor do coeficiente angular. Para isso, tomamos dois pontos A e B da funo; ou da reta. Para determinar a declividade ou coeficiente angular de uma reta prosseguimos conforme pode ser lido abaixo. Seja a o coeficiente angular da reta, entoa= y 2 y1 , onde A = (x1,y1) e B = (x2,y2) x 2 x1Note que o tringulo ABC destacado da figura um tringulo retngulo. Assim, temos:a=y 2 y1 BC cateto oposto a a= = a = tag AC cateto adjacente a x 2 x1Exemplos1) Determine a inclinao da reta apresentada no grfico abaixo.4 2Resoluo Uma das forma de determinar a inclinao de uma reta 2 442 2 4aplicar a frmula a =y 2 y1 . Para isso devemos conhecer x 2 x1ao menos dois dos pontos da reta. Note, que no grfico apresentado, temos bem definidos dois de seus pontos,que so as interseces da reta com os eixos coordenados. No eixo Ox, vamos40denominar o ponto de A, ento A = (-2,0) e no eixo Ou, vamos denominar de B, ento B = (0,4). Seja ento, x1 = -2, x2 = 0, y1 = 0 e y2 = 4, substituindo ema= y 2 y1 40 4 , teremos a = = = 2 . Logo, o coeficiente angular dessa reta, ou x 2 x1 0 ( 2) 2a declividade igual a 2.2) Determine a equao da reta do exemplo anterior.Resoluo Uma das formas de determinar a equao de uma reta usar a equao reduzida da reta, dada por: y y0 = m(x x0), onde m o coeficiente angular da reta, tambm conhecido por a e as coordenadas (x0,y0) representam as coordenadas de qualquer ponto conhecido da reta. Para o exemplo em questo, conhecemos as coordenadas dos pontos A e B, portanto pode-se usar qualquer um dos dois pontos. Ainda temos o coeficiente angular m = a = 2. Substituindo o 2 e o ponto A, por exemplo, teremos: y y0 = m(x x0), y (0) = 2(x (-2)) y = 2x + 4. Portanto, a equao da reta dada por: y = 2x + 4.2.4.6. Funo QuadrticaWebDefinio: uma aplicao f de R em R recebe o nome de funo quadrtica ou do 2 grau quando associa a cada x R o elementoAula 6 Funo do 2 grau(ax2 + bx + c) R , onde f : a 0.x a y = f (x) = ax 2 + bx + c, a 0Exemplosa) f (x) = x2 2x + 3; a = 1; b = -2; c = 3 b) f (x) = -2x2 + 5x 1; a = -2; b = 5; c = -1 c) f (x) = x2 4; a = 1; b = 0; c = -441d) f (x) = -2x2 + 3x; a = -2; b = 3; c = 0 e) f (x) = -4x2; a = -4; b = 0; c = 0 Grfico: o grfico da funo quadrtica f (x) = ax2 + bx + c, a 0, uma parbola.Concavidade a) a > 0 concavidade voltada para cima (boca pra cima)yxb) a < 0 concavidade voltada para baixo (boca pra baixo)yxZeros da funo do 2 grauOs zeros ou razes da funo quadrtica y = f (x) = ax2 + bx + c, a 0 so os valores de x reais tais que f (x) = 0 e, portanto, as solues da equao do 2 grau ax2 + bx + c = 0 na incgnita x. Discusso: ax2 + bx + c = 0; = b2 4ac (discriminante da equao do 2 grau) b+ x1 = 2a 1) > 0, a equao apresenta duas razes reais e distintas x = b 2 2a (a parbola corta o eixo dos x em dois pontos) b 2) = 0, a equao apresenta duas razes reais e iguais x1 = x 2 = 2a (a parbola tangencia o eixo dos x)3) < 0, a equao no apresenta razes reais, pois .(a parbola no corta o eixo dos x)42ExemploDetermine os valores de m para que a funo quadrtica f (x) = mx2 + (2m 1)x + (m 2) tenha dois zeros reais e distintos. Resoluo Para a funo ser quadrtica, devemos ter a = m 0. Para que a funo tenha dois zeros reais e distintos, devemos ter > 0. > 0 (2m 1)2 4m (m 2) > 0 4m2 4m + 1 4m2 + 8m > 0 4m + 1 > 0 4m > -1 m> 1 4 1 4 b , ) chamado vrtice da parbola 2a 4aPortanto, devemos ter: m 0 e m > Vrtice da Parbola: o ponto V = ( representativa da funo quadrtica.Mximo e Mnimo: dizemos que o nmero yM Im (f) (ou ym Im (f)) o valor demximo (ou mnimo) da funo y = f (x) se, e somente se, yM y (ou ym y) para qualquer y Im (f) e o valor xM D (f) (ou xm D (f)) tal que yM = f (xM) (ou ym = f (xm)) chamado ponto de mximo (ou mnimo) da funo. Teorema: A funo quadrtica y = ax2 + bx + c, a 0 admite um valor mximo (ou mnimo) y= b em x = se, e somente se, a < 0 (ou a > 0). 4a 2aExemplos431) Determine o valor mximo ou o valor mnimo e o ponto de mximo ou o ponto demnimo das funes abaixo, definidas em .a) y = 4x2 8x + 4Resoluo:a) y = 4x2 8x + 4; a = 4 > 0 y = o valor mnimo da funo, no ponto de 4amnimo x = = b2 4acb . 2a = (-8)2 4 . 4 . 4 = 64 64 = 0 Portanto, o valor mnimo da funo ym = 0 e o ponto de mnimo da funo : xm = b 8 = = 1. Logo, o vrtice o ponto V = (1, 0). 2a 82.4.6.1 Exerccios1) Determine o valor mximo ou o valor mnimo e o ponto de mximo ou o ponto demnimo das funes abaixo, definidas em . y = -3x2 + 12x2) Determine o valor de m na funo real f (x) = (m 1)x2 + (m + 1)x - m para que ovalor mnimo seja 1.Domnio e Imagem: D (f) = . Para determinarmos a Im (f), fazemos:f (x) = ax2 + bx + c, a 0a) a > 0 y b) a < 0 y , x Im (f) = {y / y } 4a 4a , x Im (f) = {y / y } 4a 4aExemplos441) Obter a imagem da funo f de em definida por: f (x) = 2 x2 8x + 6.a = 2 > 0 Im (f) = {y / y Vamos determinar : = b2 4ac = (-8)2 4 . 2 . 6 = 64 48 = 16 } 4aPortanto, Im (f) = {y / y 16 } = {y / y } Im (f) = {y / y 2} 4a 82) Determinar m na funo f (x) = 3x2 4x + m definida em para que a imagemseja Im (f) = { y / y 2} a = 3 > 0 Im (f) = {y / y Vamos determinar : = b2 4ac = (-4)2 4 . 3 . m = 16 12m Im (f) = {y / y 16 - 12m } } = {y / y 12 4a } 4aComo queremos que Im (f) = { y / y 2} , fazemos: 40 10 16 12m = 2 16 + 12m = 24 12m = 40 m = = 12 12 3Sinal da Funo Quadrtica: f (x) = ax2 + bx + c, a 0 1 caso: < 0 a equao ax2 + bx + c = 0 no apresenta razes reais aparbola no corta o eixo dos x. ya) a > 0f (x) > 0 m/a + + + + + + + + + +x x45ym/a _ _ _ _ _ _ _ _ _ _x xb) a < 0f (x) < 02 caso: = 0 a equao ax2 + bx + c = 0 apresenta duas razes reais e iguais:x1 = x2 = b a parbola tangencia o eixo dos x. 2aa) a > 0 yf (x) > 0 f (x) = 0f (x) > 0xm/a + f (x) = 0 x1 = x2m/a +xb) a < 0yf (x) = 0 f (x) < 0x f (x) < 0m/a _ f (x) = 0 x1 = x2m/a _x3 caso: > 0 a equao ax2 + bx + c = 0 apresenta duas razes reais e b+ x1 = 2a distintas x = b 2 2a a parbola corta o eixo dos x em dois pontos.46a) a > 0yf (x) > 0 f (x) > 0 f (x) = 0 f (x) < 0 f (x) = 0xm/a + f (x) = 0 x1c/a _m/a f (x) = 0 + x2xb) a < 0 yf (x) > 0 f (x) = 0 f (x) < 0 f (x) < 0Exemplosm/a _ f (x) = 0 f (x) = 0xc/a +m/a f (x) = 0 _ x2xx1Faa o estudo completo das funes:1) f (x) = x2 2x + 1 2) f (x) = x2 x 6Resoluo:1) f (x) = x2 2x + 1; a = 1 > 0 a parbola tem a concavidade voltada para cima.Vamos achar as razes da funo. Para isso, fazemos f (x) = 0 e obtemos a seguinte equao na incgnita x: x2 2x + 1 = 0 = b2 4ac = (-2)2 4 . 1 . 147 = 4 4 = 0, temos, portanto, duas razes reais e iguais: x1 = x2 = Portanto, a parbola tangencia o eixo x.2 b = =1 2a 2m/a +Sinal:f (x) = 0 1m/a +xPara x < 1 f (x) > 0 Para x = 1 f (x) = 0 Para x > 1 f (x) > 0Vrtice: V = ( b ) = (1, 0) ponto de mnimo da funo , 2a 4a } = {y / y 0} 4aImagem: Im (f) = {y / y 2) f (x) = x2 x 6; a = 1 > 0 a parbola tem a concavidade voltada para cima.Vamos achar as razes da funo. Para isso, fazemos f (x) = 0 e obtemos a seguinte equao na incgnita x: x2 x 6 = 0 = b2 4ac = (-1)2 4 . 1 . (-6) = 1 + 24 = 25 > 0, temos, portanto, duas razes reais e distintas 6 x1 = 2 = 3 b 1 5 x= = ou 2a 2 4 x 2 = = 2 2 Portanto, a parbola intercepta o eixo x em dois pontos.m/a +c/a f (x) = 0 _ f (x) = 0 -2 3m/a +x48Sinal:Para x < -2 f (x) > 0 Para -2 < x < 3 f (x) < 0 Para x > 3 f (x) > 0Vrtice: V = ( Para x = -2 f (x) = 0 Para x = 3 f (x) = 0b 1 25 , ) = ( , ) ponto de mnimo da funo 2a 4a 2 4 25 } = {y / y } 4 4aImagem: Im (f) = {y / y 2.4.6.1.2 ExerccioFaa o estudo completo da funo definida por: f (x) = -2x2 + 3x - 22.4.7 Funo Exponencial1 Definio: chama-se funo exponencial de base a, com a { } ,a funo f de + definida por f(x) = a x . +Exemplos1)Construa os o grficos das funes exponenciais f : definidas por +1 f(x) = 2x e g(x) = ( ) x e em seguida, comparando-os escreva algumas 2 concluses. x -323 = 1 1 = 23 8-22 2 = 1 1 = 2 2 4-121 = 1 2020 = 1121 = 2222 = 43y = f(x) = 2 x23 = 849x1 y = g(x) = ( ) x 2-31 ( )3 = 23 = 8 2-21 ( ) 2 = 2 2 = 4 2(-11 1 ) = 21 = 2 201 ( )0 = 1 211 1 ( )1 = 2 221 1 ( )2 = 2 431 1 ( )3 = 2 8y7 6 5 4 3 2 1 4 3 2 1 1 2 7 6 5 4yf(x)3 2g(x)x3 4 3 2 11 1 2x31 21 2Conclusesa) O grfico da funo exponencial est sempre acima do eixo Ox, poisa x > 0 , x .b) O grfico da funo exponencial sempre intercepta o eixo Oy no ponto (0,1), poisa 0 = 1, a { } . 1 +c) Se a > 1 a funo exponencial estritamente crescente. d) Se 0 < a < 1 a funo exponencial estritamente decrescente. e) A funo exponencial sobrejetora, pois o contradomnio e o conjunto imagemso, ambos, iguais a . +f) A funo exponencial injetora, pois qualquer reta horizontal intercepta seugrfico no mximo uma vez.g) A funo exponencial , pois, bijetora.50h) a x1 = a x 2 x1 = x 2 , pois a funo exponencial injetora. i) Se a > 1, ento a x1 a x2 x1 x 2 , pois a funo exponencial estritamentecrescente.j) Se 0 < a < 1, ento a x1 a x 2 x1 x 2 , pois a funo exponencial estritamentedecrescente.2) Determine m para que a funo f (x) = (2m 1)x seja crescente em .Resoluo Vimos que a funo exponencial f (x) = ax estritamente crescente quando a > 1. Na funo dada, a = 2m 1. Logo, fazemos: 2m 1 > 1 2m > 2 m > 13) Esboce o grfico e determine o conjunto imagem da funo de domnio :f (x) = 2x 2 xy = f(x) = 2 x - 2-3-2-101232-3 2 = 2-2 2 = 2-1 2 = 20 2 21 2 22 2 23 21 15 2= 8 81 7 2 = 4 41 3 2= 2 2= 1 = 2 = 4 =82 2 = -1 2 = 0 2 = 2 = 6Im (f) = {y / y > 2}4 3 2 1yx4 3 2 1 1 2 1 2 3 4 5512.4.8 Funo LogartmicaDefinio: chama-se funo logartmica de base a, com a > 0 e a 1, a funof : definida por f (x) = log +ax.Definio de Logaritmo: se a, b , 0 < a 1 e b > 0 , entolog a b = x a x = b . (l-se: logaritmo de b na base a log a b ), onde: b ologaritmando; a a base do logaritmo; x o logaritmo.Exemplos de Grficos1) Construa os grficos das funes f : definida por f (x) = log 2 x e +g (x) = log 1 x e em seguida, comparando-os, escreva algumas concluses.2x1 8x1 log 2 ( ) = l 8 log 2 (2 3 ) = 31 41 log 2 ( ) = 4 log 2 (2 -2 ) = 21 21 log 2 ( ) = 2 log 2 (2 -1 ) = 1124y = f (x) = log2log 2 1 =0log =122log 2 4 = log 2 2 2 =2x1 8xlog log =3 1 ( )= 8 1 ( )3 21 4log log =2 1 ( )= 4 1 ( )2 2log =11 21 ( ) 2124y = f (x) = log21 21 21 2log 1 12log log1 22= 1 ( ) 1 2log log1 24= 1 ( ) -2 21 2=01 21 21 2= 1= 252Conclusesa) O grfico da funo logartmica est sempre direita do eixo Oy, pois seudomnio . +b) O grfico da funo logartmica sempre intercepta o eixo Ox no ponto (1,0), poislog a 1 = 0 , a { }. 1 +c) Se a > 1 a funo logartmica estritamente crescente. d) Se 0 < a < 1 a funo logartmica estritamente decrescente. e) A funo logartmica sobrejetora, pois o contradomnio e o conjunto imagem soambos iguais a .53f) A funo logartmica injetora, pois qualquer reta horizontal intercepta o seugrfico no mximo uma vez.g) A funo logartmica , pois, bijetora. h) A funo exponencial de em e a funo logartmica de em so + +inversas uma da outra. De fato: f (x) = a x y = a x . Trocando-se x por y e vice versa, vem: x = a y . Isolando-se y, temos: y = log a x . f (x) = a x f 1 (x) = log a xi)Por serem inversas uma da outra, o grfico da funo exponencial e o grfico da funo logartmica so simtricos em relao bissetriz dos quadrantes mpares que a reta de equao y = x.Exemplos1 1) f(x) = ( ) x f 1(x) = log 1 x 2 2542) f(x) = 2 x f1(x) = log 2 xj) logax 1 = log a x 2 x 1 = x 2 > 0 , pois a funo logartmica injetora.l) Se a > 1, ento log a x1 > log a x 2 x1 > x 2 > 0 , pois a funo logartmica estritamente crescente.m) Se 0< a < 1, ento logax 1 > log a x 2 0 < x 1 < x 2 , pois a funo logartmica estritamente decrescente.Condies de Existnciab > 0 C.E. e 0 < a 1 y = log a b ,Exemplo55Qual o domnio da funo y = log x (x 2 + x 6) ? Resoluo Para determinarmos o domnio da funo devemos aplicar as condies deb > 0 existncia para a funo y = log a b , que so: e 0 < a 1 Observem que a = x e b = x2 + x 6. Ento fica: x2 + x 6 > 0. Devemos, portanto, fazer o estudo do sinal de uma funo quadrtica. a = 1 > 0, a parbola tem a concavidade voltada para cima (boca pra cima). Igualando a zero para achar as razes, temos: x2 + x 6 = 0 = b2 4ac = 12 4 . 1 . (-6) = 1 + 24 = 256 x = 2 = 3 b 1 5 x= = ou 2a 2 4 x = = 2 2 +_+-32ex>0ex 1-3 D (f) = {x / x > 2}012Exemplos56a) Construa o grfico da funo: f (x) = log 2 x 2 . C.E.: x 0xy = f (x) = log 2 x 2log 2 ( 8) 2 = log 2 (8)2 = log 2 2 6 = 6xy = f (x) = log 2 x 21 log 2 ( ) 2 = l 2 og 2 (2 1 )2 = 2-81 2 1-4log 2 ( 4) 2 = log 2 (4) 2 = log 2 2 4 = 4log 2 (1)2 = 0 log 2 (2)2 = 2 log 2 (4)2 = log 2 2 4 = 4 log 2 (8)2 = log 2 26 = 6-2 -1 1 2log 2 ( 2)2 = log 2 (2)2 = 2 log 2 ( 1) 2 = log 2 (1)2 = 01 1 log 2 ( )2 = log 2 ( ) 2 2 2 1 2 = log 2 (2 ) = 22 4 8b) Seja f (x) = log (2x 2 ) . Determine: 1) o domnio de f; 2) os valores de x, tais que f (x) = 1Observao: quando a base do logaritmo no especificada, vale 10. Por exemplo, log 3 = log 10 3 . Tambm usamos a seguinte notao:57log e 5 = ln 5 , onde e = 2,7182818284590453..., chamado nmero de Nepper, um nmero real irracional para o qual usamos a seguinte aproximao: e 2,718 . Resoluo 1) y = log a b ,b > 0 C.E. e 0 < a 1 Em y = f (x) = log (2x 2 ) , a = 10. Vamos, portanto, impor a condio: b = 2x2 > 0. Temos ento, uma funo quadrtica cujas razes so reais e iguais: x1 = x2 = 0.+ 0 D = {x / x 0} = +2) f (x) = 1 log (2x 2 ) = 1, pela definio de logaritmo, x = log a b b = a x , vem:101 = 2x2 x2 = 5 x = 5c) Dada f (x) = log 2 1) f (0)x2 , calcule se existir: x+2f (0) = log 22) f (-1)x2 0 = log 2 = log 2 0 x+2 2no existe.f (-1) = log 23) f (-4)x2 (-1)2 1 = log 2 = log 2 = log 2 1 = 0 x+2 - 1+ 2 1 x2 = log x+2 (-4)2 = log -4+2f (-4) = log22216 = log -22( 8) no existe2.4.9 Funo ModularDefinio: uma aplicao de em recebe o nome de funo mdulo ou modular quando a cada x associa o elemento x .58f : xa x Utilizando o conceito de mdulo de um nmero real, a funo modular pode ser definida da seguinte forma: x, se x < 0 f (x) = x, se x 0Grfico: o grfico da funo modular a reunio de duas semi-retas de origem O,que so as bissetrizes do 1 e 2 quadrantes.f (x) = -xf (x) = xDomnio e Imagem:Domnio: D (f) = . Imagem: Im (f) = +Exemplosa) Construir o grfico da funo real definida por: f (x) = x + 2Resoluo x + 2, se x + 2 0 x 2 f (x) = x + 2 f (x) = x 2, se x + 2 < 0 x < 2 Portanto, a funo f (x) ser a reta x +2, para valores de x -2 e a funo f (x) ser a reta x 2, para valores de x < -2.59f (x) = x + 2 f (x) = -x - 2b) Construir o grfico da funo definida em por: f (x) = |x 1| + 1.Resoluo x 1, se x 1 0 x 1 Seja g (x) = x 1 g (x) = x + 1, se x 1 < 0 x < 1 Portanto, a funo g (x) ser a reta x 1, para valores de x 1 e a funo g (x) ser a funo x + 1, para valores de x < 1. Logo, a funo f (x) ser dada por g (x) + 1, ficando f (x) = x, para valores de x 1 e f (x) = -x + 2, para valores de x < 1.f (x) = -x + 2f (x) = xg (x) = -x + 1 g (x) = x - 1c) Construir o grfico da funo definida em por: f (x) = |x + 2| + x 1.Resoluo x + 2, se x + 2 0 x 2 x+2 = x 2, se x + 2 < 0 x < 2 Portanto, a funo f (x) ser :60a) para x 2f (x) = x + 2 + x 1 f (x) = 2x + 1b) para x < -2f (x) = -x 2 + x 1 f (x) = -3 2x + 1, se x 2 Logo, f (x) = 3, se x < 2f (x) = 2x + 1f (x)d) Construir o grfico da funo definida em por: f (x) = |2x + 1| + |x 1|Resoluo 1 2x + 1, se 2x + 1 0 2x 1 x 2 2x + 1 = 2x 1, se 2x + 1 < 0 2x < 1 x < 1 2 x 1, se x 1 0 x 1 x 1 = x + 1, se x 1 < 0 x < 1 Os intervalos de x, ficam:x PA(x) 27x + 128 > 22x + 150 27x 22x > 150 128 5x > 22 x > 22/5 x > 4,465Como o x corresponde a um nmero de consulta e essas admitem apenas valores inteiros (ningum marca consulta!), ento devemos considerar o x > 4. Logo, o plano A ser mais econmico, para um nmero de consultas igual ou superior a 5. Para que o Plano B seja mais econmico, como podemos notar na resoluo anterior, o nmero de consultas tem de ser igual ou inferior a 4. Para que eles sejam equivalentes, devemos ter um nmero de consulta que faa que o pagamento dos dois planos sejam idnticos. Para isso devemos resolver: PB(x) = PA(x) 27x + 128 = 22x + 150 o que resultar em x = 4,4. Logo, no existir um nmero de consulta que torne esses planos equivalentes, pois 4,4, como j vimos, no um nmero admissvel para consultas, ou seja, no faz parte do domnio dessas funes.c) Para esboar o grfico de cada uma dessas funes, so suficientes dois pontos,pois so funes do 1 grau, e desta forma, seus grficos so representados por retas. Ento, d dois valores inteiros para o x de cada questo e determine o valor do plano para cada x. Esboce o grfico. Como o objetivo comparar as duas funes, ento os grficos sero esboados em um mesmo plano cartesiano. Observaes sobre o grfico: Os dois grficos tem um ponto I de encontro. Esse ponto o suposto ponto de equilbrio, ou seja, o ponto que torna os dois planos mdicos equivalentes. Mas como vimos, esse ponto est para x = 4,4, logo ele fictcio.2 4 n.consultas 6280 240 200 160 120 80 40 2Valor a ser pago I40Tambm importante observar que essas retas nodeveriam ser traadas com essas linhas contnuas, j que a funo no est definida para todos os nmeros reais, e sim para os valores inteiros de x 0. Logo, os grficos dessas funes esto representados apenas pelos pontos sobre a linha. Note ainda, que as retas no esto traadas esquerda do eixo y, pois no existe quantidade de consulta negativa.66d) Para uma pessoa que usar apenas 3 vezes por ms o plano de sade, ou seja,passar por consulta no mximo 3 vezes por ms, o melhor plano o B.2) (Vunesp) Apresentamos a seguir o grfico do volumeVolume(m^3)do lcool em funo de sua massa, a uma temperatura fixa de 0C. Com base nos dados do grfico, determine:a) a lei da funo apresentada no grfico. b) a massa (em gramas) de 30 cm de lcool.50(0,0)40Massa(g)Resoluoa) A lei de formao dessa reta dada pela equao da reta. J vimos que dasformas de determinar a equao de uma reta usar a equao reduzida da reta, dada por: y y0 = m(x x0), onde m o coeficiente angular da reta. As coordenadas (x0,y0) representam as coordenadas de qualquer ponto conhecido da reta. Para o exemplo em questo, conhecemos as coordenadas dos pontos O(0,0) e A,(40,50), portanto pode-se usar qualquer um dos dois pontos. O coeficiente angular m, ser determinado por: m = m= 50 0 50 5 = = 40 0 40 4 5 5 (x-0) y = x . 4 4 5 x. 4y 2 y1 , logo x 2 x1Substituindo o m e o ponto O, na equao reduzida da reta, teremos: y y0 = m(x x0), y (0) =Portanto, alei da funo apresentada no grfico V(x) =b) O x representa a massa e V o volume. Logo, para V = 30 cm, teremos que30 =5 x 30x4 = 5x 120 = 5x x = 120/5 x = 24. Logo a massa de 24g. 42.5.2 Aplicao da funo polinomial do 2 grau67Exemplos1) (Faap-SP) Suponha que no dia 5 de dezembro de 1995 o Servio de Meteorologiado Estado de So Paulo tenha informado que a temperatura na cidade de So Paulo atingiu o seu valor mximo s 14h00, e que nesse dia a temperatura f(t) em graus uma funo do tempo t medido em horas, dada por f(t) = -t + bt 156, quando 8 < t < 20. Obtenha o valor do b. Resoluo Os dados fornecidos no problema so: - A funo f(t) = -t + bt 156 (1) - A abscissa do ponto de mximo dessa funo, ou seja xv = 14 (2) O problema pede: Determinar o valor do b. Sabemos que para determinar o xv da funo do 2 grau, pode-se usar a frmula: xv = b (3) 2aNa funo dada em (1), tem-se que a = -1 e b desconhecido. Em (2) tem-se que o xv = 14 . Substitudo (1) e (2) em (3), vem que: xv = b b 14 = 28 = b b = 28 . 2a 2.( 1)Logo, b = 28.2) (UFPE) Num vo com capacidade para 100 pessoas, uma companhia areacobra R$ 200,00 por pessoa quando todos os lugares esto ocupados. Se existirem lugares no ocupados, o preo de cada passagem ser acrescido a importncia de R$ 4,00 para cada lugar no ocupado (por exemplo, se existirem 10 lugares no ocupados o preo de cada passagem ser de R$ 240,00). Quantos devem ser os lugares no ocupados para que a companhia obtenha o faturamento mximo? Resoluo68Vamos, inicialmente, fazer uma simulao da relao existente entre nmeros de cadeiras no ocupadas, valor a ser acrescido no pagamento por pessoa e valor que a empresa receber pelo total de pessoas no avio.N de lugar vazio N de pessoas no avio Valor acrescido por passageiro (R$) Receber pelo total de pessoas no avio1 2 3 4 . . . 10 . . . n(100 1) = 99 (100 2) = 98 (100 3) = 97 (100 4) = 96 . . . (100-10) = 90 . . . (100 n)4 8 = 4.2 12 = 4.3 16 = 4.4 . . . 40 = 4 . 10 . . . 4n(100-1) x (200 +4.1) (100-2) x (200 +4.2) (100-3) x (200 +4.3) (100-4) x (200 +4.4) . . . (100-10) x (200 + 4.10) . . . (100-n) x (200 + 4.n)Ento, a funo que expressa o valor a ser acrescido uma funo de varivel independente n, em que n o nmero de cadeiras vazias, tal que f(n) = (100-n) x (200 + 4.n) o desenvolvimento dessa funo, nos leva a uma funo do 2 grau, observe: f(n) = 20.000 + 400n 200n 4n f(n) = 20.000 + 200n 4n O problema pede o nmero de lugares para a empresa obter faturamento mximo. Como se trata de uma funo do 2 grau e com concavidade para baixo, ento o nmero de pessoas para que o faturamento seja mximo est representado no vrtice dessa funo, ou seja: xv = b 200 200 xv = b = 25 . 2a 2.( 4) 8Para empresa obter o faturamento mximo o nmero mximo de acentos no ocupados deve ser 25.3) A quantidade demandada de bolas de futebol da marca Esporte Mximo dadapela lei qd = 900 p, onde qd a quantidade demandada e p o preo.a) Esboce o grfico.69b) Qual a demanda se o preo for R$ 12,00 a unidade?Resoluoa) para esboar o grfico de uma funo do 2 grau podemos usar uma tabela devalores ou determinar os pontos principais (razes, vrtice, intercepto em Oy e concavidade). Tambm sabemos que a funo do 2 grau tem como grfico uma parbola, e com referncia nisso j fica mais fcil termos uma ideia em como ficar esse grfico. Como a funo dada se refere a uma aplicao, em que a varivel independente o preo de uma bola, ento essa varivel dever ser um valor positivo, ou seja, o domnio dessa funo so valores reais e positivos. Alm disso, esses valores devero garantir que a quantidade demandada seja positiva ou nula, pois no existe quantidade demandada negativa. Logo, qd 0, ou seja, 900 p 0, ento 0< p 30. Esse o domnio dessa funo, ou seja, essa funo existe para 0< p 30. - Ao determinarmos o zeros da funo, teremos que 900 p = 0 p = 30. Como p > 0, ento o nico zero dessa funo o p = 30. - O vrtice dessa funo pode ser determinado pela frmula b 0 pv = pv = 0 2a 2.( 1)900Quantidade demandada600xv = eqd v = f (p v ) = f (0) = 900 0 2 = 900300Logo, o vrtice dessa funo est no ponto de mximo dessa funo e ser V(0,900).10203040P reo50Observaes sobre o grfico: note que a parte da parbola que representa essa funo est destacada em negrito. No correto desenhar parte da parbola para x < 0, pois para esses valores essa funo na est definida. Tambm no possvel desenhar a parbola abaixo do eixo Ox, pois para quantidades negativas essa funo tambm no tem lgica.b) Para o preo de R$ 12,00 a demanda de qd = 900 12 = 900 144 = 756unidades.4) (GV) O preo de ingresso numa pea de teatro (p) relaciona-se com a quantidadede freqentadores (x) por sesso atravs da relao: p = - 0,2x + 10070a) Qual a receita arrecadada por sesso, se o preo do ingresso for R$60,00? b) Qual o preo que deve ser cobrado para dar a mxima receita por sesso?Resoluoa) A receita arrecadada dada pela frmula R = preo x quantidade defreqentadores, ou seja, R = (-0,2x + 100).x. Primeiro, devemos determinar a quantidade de freqentadores se o preo for de R$ 60,00. Ento, como P = 60 -0,2x + 100 = 60 -0,2x = 60 100 x = 40 : 0,2 x = 200. Logo, para o preo de R$ 60,00, haver 200 freqentadores, ou seja, x = 200. Agora, possvel determinar a Receita arrecadada para o valor do ingresso de R$ 60,00, pois faremos R = (-0,2x + 100).x R = 60.200 = 1.200,00. Logo a receita ser de R$ 1.200,00.b) A receita por sesso dada por R = (-0,2x + 100).x R = -0,2x + 100x. Ento,a receita mxima ser encontrada para a quantidade que dar a receita mxima, ou seja, na abscissa do vrtice (xv). xv = b 100 100 xv = xv = x v = 250 2a 2.( 0,2) 0,4Ento, o preo a ser cobrado para dar a mxima receita por sesso ser determinado por p = - 0,2x + 100 p = - 0,2.250 + 100 p = - 50 + 100 p = 50 Logo, o preo ser de R$ 50,00.2.5.3 Aplicao da funo exponencialExemplo1) O montante M quantia que uma pessoa deve receber Aps aplicar um capitalC, a juros compostos, a uma taxa i durante um tempo t. O montante pode ser calculado pela frmula M = C(1 + i)t. Supondo que o capital aplicado de R$71500.000,00 a uma taxa de 12% ao ano durante 5 anos, qual o montante no final da aplicao? Resoluo C = 500.000 I = 12% ao no (0,12) t=5 M = 500.000(1 + 0,12)5 = 500.000(1,12)5 = 500.000 x 1,762 = 8881.170,842.5.4 Aplicao da funo logartmicaExemplo1) (Dante 2005) O nmero de bactrias numa cultura, depois de um tempo t, dado por N = N0ert, em que N0 o nmero inicial (quando t = 0) e r a taxa de crescimento relativo. Em quanto tempo o nmero de bactrias dobrar se a taxa de crescimento contnuo de 5% ao minuto? Resoluo Pelos dados do problema, a questo : em quanto tempo N = 2N0? Assim, temos: N = N0ert, ento como N = 2N0, faremos 2N0 = N0ert (simplificando N0 com N0) e substituindo os dados do problema, 2 = e0,05t (como no 2 membro tem uma exponencial de base e, ajuda escrever os dois membros como ln) ln2 = lne0,05t ln2 = 0,05t.1 ln2 = 0,05t t = t= ln 2 0,05(usando a calculdora, verifique que ln2 0,6931), (por propriedade de logaritmo, o expoente do logaritmando, multiplica o logaritmo) (sabemos que lne = 1)ln2 = 0,05t.lneportanto,0,6931 8 = 13,8 min = 13 min e min = 13 min e 48 s 10 0,05Logo, o nmero de bactrias dobrar em 13 minutos e 48 segundos.722.6 EXERCCIOS DO CAPTULO1) Dados os conjuntos A = {1, 3, 4} e B = {-2, 1}, representar pelos elementos e pelogrfico cartesiano os seguintes produtos:a) A x B b) B x A c) B22) Dados os conjuntos: B = {x / 2 x 2} e C = {x / 4 < x 1} ,represente graficamente os seguintes produtos:a) B x C b) C x B c) C23) Estabelecer se cada um dos esquemas das relaes abaixo define ou no umafuno de A = {-1, 0, 1, 2} em B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}. Justificar.a) Ab)-1 0 1 2-2 -1 0 1 2 3BAB-1 0 1 2-2 -1 0 1 2 3c) A-1 0 1 2-2 -1 0 1 2 3Bd) A-1 0 1 2-2 -1 0 1 2 3B4) Quais das relaes de em cujos grficos aparecem abaixo, so funes? Justificar.73a)b)c)d)e)f)se x Q 1 5) Seja f a funo de R em R assim definida: f (x) = . Calcule: x + 1 se x Qa) f (3) b) f ( 3 ) 7c) f ( 2 )6) Quais so os valores do domnio da funo real definida por f (x) = x2 5x + 9 queproduzem imagem igual a 3?74Dos exerccios 7 ao 44, determine o domnio das funes reais:7) y = 7x + 12 8) y = x +5x + 10 9) y = x - 9x -2x +23 10) y =1 x+611) y =1 x 312) y =6 12 x13) y =x3 x18) y =14) y =2x 3 x 1615) y = 9x x 9 16) y = x 81 x + 420) y =17) y =7x 5 x + x + 16 x 12.x + 27 4 x + 12 x 7.x + 6 19) y = x + 7 x 10 x 14 x + 4921) y = x 6 x + 622) y =12 x 23) y =16 x 24) y = x + 2x 25) y =26) y =5x + 8x + 427) y =x +1 28) y = x 13. x x + 429) y =9 x 930) y =4x x 3631) y =x4 x932) y =3x+733) y =33 x34) y =138 x35) y = 4x +1 x 836) y =x + x+8 1 x 9137) y =1 x2+1 x838) y =4 x x39) y = 7x x + 43 1+ 1 x x 42) f (x) = x 1 43) f (x) = x + 2 40) y = 41) y = 1+ x 10.x + 21 x 3 x2 4 26 x44) f (x) =x+2 x245) Para que valores de m a funo f (x) = (2m + 1)x + (m 1) crescente?7546) Para que valores de m a funo f (x) = 1 (3 m)x decrescente?Nos exerccios 47 a 59, esboce o grfico e faco estudo completo de cada uma das funes.47) f(x) = -2 48)f(x) = -3x + 1 49) f (x) = x + 2 50) f (x) = 5 2x 251) f (x) = 3x 55)f(x) = 0952) f (x) = 2x2 + x + 1 53) f (x) = -x2 2x + 3 54) f (x) = 6x2 +10x 4 57)f(x) = x 58) y = x - 4x + 356) y = -x + 459) y = - 2x + 4x + 6Nos exerccios 50 a 66 resolva os problemas de aplicaes sobre funes polinomiais do 1 grau.60) Certa agncia locadora de automveis cobra R$ 55,00 por dia, mais R$ 1,30 porquilmetro percorrido.a) Exprima o custo dirio da locao de um automvel desta agncia, em funo donmero de quilmetros(x) percorridos. Construa o grfico correspondente.b) Quanto custa o aluguel dirio de um automvel, sabendo-se que se pretenderealizar uma viagem de 120 km?c) Quantos km foram percorridos se o custo dirio do aluguel foi de R$ 198,00? 61) Certa escola permite que a matrcula para um de seus cursos seja feitaantecipadamente (durante o vero) via correio, ou pessoalmente, no decorrer da primeira semana de aulas. Nesta ltima hiptese, o funcionrio encarregado de efetuar as matrculas consegue registrar 25 alunos por hora. Suponhamos que, aps 5 horas de trabalho na semana em questo, haja 300 alunos registrados (incluindo os que se matricularam com antecedncia).a) Qual o nmero de alunos matriculados anteriormente, durante o vero? b) Expresse o nmero de alunos em funo do tempo e construa o grficocorrespondentec) Qual o nmero de alunos matriculados aps 4 horas? 62) A taxa de inscrio num clube de natao de R$ 240,00 para o curso de 12semanas. Se uma pessoa se inscreve aps o incio das aulas, a taxa reduzida linearmente.76a) Expresse a taxa de inscrio em funo do nmero de semanas transcorridasdesde o incio do curso e construa o grfico correspondente.b) Calcule: quanto uma pessoa pagou ao se inscrever 4 semanas aps o incio docurso.63) Um engenheiro possui livros tcnicos no valor de R$ 45.000,00, valor que, paraefeito do Imposto de Renda, sofre uma depreciao linear at zero, num perodo de 10 anos. Expresse o valor dos livros como funo do tempo e construa o grfico correspondente.64) Desde o incio do ms, um reservatrio de gua de determinado local tem sofridoum vazamento numa razo constante. No dia 12, o reservatrio possua 200 milhes de litros de gua e , no dia 21, possua somente 164 milhes de litros.a) Expresse a quantidade de gua como funo do tempo e construa o grficocorrespondente.b) Quantos litros de gua havia no reservatrio, no dia 5? c) Se este vazamento permanecer, quanto de gua haver no dia 29? 65) Que quantidade de mercadoria deve vender uma empresa, se pretende ter umlucro dirio de R$ 1.800,00 sabendo-se que o preo de venda de R$ 19,00, o custo fixo de R$ 1400,00 e que o custo unitrio de produo de R$ 13,00.66) Estamos estabelecendo um negcio de tempo parcial com investimento inicial deR$ 6.000,00. O custo unitrio do produto R$ 10,20, e o preo de venda R$ 21,99.a) determine a equao do custo total C e a receita total R para x unidades. b) Determine o ponto de equilbrio, determinando o ponto de interseco dasequaes de custo e da receita.c) Quantas unidades proporcionaro um lucro de R$ 150,00?Nos exerccios 67 a 70, determine a venda necessria para equilibrar as equaes dadas de custo e receita. (arredonde a sua resposta para o inteiro mais prximo).67) C = 0,90x + 38.000; R = 1,7x 68) C = 7x + 400.000; R = 40x7769) C = 7890x + 280.000; R = 8870x70) C = 5,5x + 10.000; R =8,29x71) Para que valores de m a funo f (x) = (-3m + 1)x decrescente em R? 72) Construa os grficos cartesianos das seguintes funes exponenciais e faa oestudo completo:a) f (x) = 3x1 b) f (x) = ( )x 3c) f (x) = -3x + 273) Construa os grficos cartesianos das seguintes funes logartmicas e faa oestudo completo:a) f (x) = log 3 x b) f (x) = log1 3xc) f(x) = 2 + log 3 x74) Determine o domnio das funes logartmicas: a) f (x) = log (3 x) (x + 2) b) f (x) = log x (x 2 + x - 2) c) f (x) = log 5 (x +1 ) 1 x75) Construir os grficos das funes definidas em R e faa o estudo completo: a) f (x) = |3x| b) f (x) = |x 1| c) f (x) = |2x 1| - 2 f) f (x) = ||2x + 3| - 2| i)y = d) f (x) = |x + 1| - x + 3 g) f (x) = |x2 + 4x| l) y = 2-x - 4 e) f (x) = |3x + 3| - |2x 3| h) f (x) = |x2 + 4x + 3| - 1 m) f(x) = | x - 4x + 3| + 1 p) f ( x ) =1 xj)y =1 +1 xk) y = 2x - 4 o) f ( x ) =n) f(x) = |- 2x + 4x + 6| - 41 3 x1 +5 xq) f ( x ) =1 1 r) f ( x ) = 4 x6 x+3 2 se x 0 s) f ( x ) = 2x se x > 0 x se 0 x < 2 t) f ( x ) = 2x 2 se x 2 x 2 se 2 x < 2 u) f ( x ) = 3 se x2 x < 4 x se x 4 Nos exerccios 76 a 86 resolva os problemas de aplicaes sobre funes polinomiais do 1 grau.7876) (UFRN-01) O Sr. Jos dispe de 180 metros de tela, para fazer um cercadoretangular, aproveitando, como um dos lados, parte de um extenso muro reto. O cercado compe-se de uma parte paralela ao muro e trs outras perpendiculares a ele (ver figura). Para cercar a maior rea possvel, com a tela disponvel, os valores de x e y so, respectivamente:a) 45m e 45mb) 30m e 90mc) 36m e 72md) 40m e 60me) 32m e 55m77) (VUNESP) Num terreno, na forma de um tringulo retngulo com catetos commedidas 20 e 30 metros, deseja-se construir uma casa retangular de dimenses x e y, como indicado na figura adiante.a) Exprima y em funo de x. b) Para que valores de x e de y a rea ocupada pelacasa ser mxima? Uma partcula se move sobre o eixo das abscissas, de modo que sua velocidade no instante t segundos v=t metros por segundo.78) (UFPE) O custo C, em reais, para se produzir n unidades de determinadoproduto dado por: C = 2510 - 100n + n. Quantas unidades devero ser produzidas para se obter o custo mnimo?79) (FEI) Durante o processo de tratamento uma pea de metal sofre uma variaode temperatura descrita pela funo: f(t) = 2 + 4t t a) 1 b) 1,5 c) 2, 0 < t < 5. d) 2,5 e) 3Em que instante t a temperatura atinge seu valor mximo?80)(GV) O lucro mensal de uma empresa dado por L = -x +30x-5, onde x aquantidade mensal vendida.a) Qual o lucro mensal mximo possvel?79b) Entre que valores deve variar x para que o lucro mensal seja no mnimo igual a195?81) (PUCMG) A temperatura, em graus centgrados, no interior de uma cmara, dada por f(t) = t - 7t + A, onde t medido em minutos e A constante. Se, no instante t = 0 , a temperatura de 10C, o tempo gasto para que a temperatura seja mnima, em minutos, : a) 3,5 b) 4,0 c) 4,5 d) 6,5 e) 7,582) (UFMG) Um certo reservatrio, contendo 72 m de gua, deve ser drenado paralimpeza. Decorridas t horas aps o incio da drenagem, o volume de gua que saiu do reservatrio, em m, dado por V(t) = 24t - 2t . Sabendo-se que a drenagem teve incio s 10 horas, o reservatrio estar completamente vazio s: a) 14 horas. b) 16 horas. c) 19 horas. d) 22 horas.83) (VUNESP) Considere um retngulo cujo permetro 10 cm e onde x a medidade um dos lados. Determine:a) a rea do retngulo em funo de x; b) o valor de x para o qual a rea do retngulo seja mxima. 84) (UFRJ) Um fabricante est lanando a srie de mesas "Super 4". Os tampos dasmesas dessa srie so retangulares e tm 4 metros de permetro. A frmica usada para revestir o tampo custa R$10,00 por metro quadrado. Cada metro de ripa usada para revestir as cabeceiras custa R$25,00 e as ripas para as outras duas laterais custam R$30,00 por metro.a) Determine o gasto do fabricante pararevestir uma mesa dessa srie com cabeceira de medida x.b) Determine as dimenses da mesa da srie "Super 4" para a qual o gasto comrevestimento o maior possvel.8085) (UERJ) No interior de uma floresta, foi encontrada uma rea em forma deretngulo, de 2km de largura por 5km de comprimento, completamente desmatada. Os ecologistas comearam imediatamente o replantio, com o intento de restaurar toda a rea em 5 anos. Ao mesmo tempo, madeireiras clandestinas continuavam o desmatamento, de modo que, a cada ano, a rea retangular desmatada era transformada em outra rea tambm retangular. Veja as figuras: A largura (h) diminua com o replantio e o comprimento (b) aumentava devido aos novos desmatamentos. Admita que essas modificaes foram observadas e representadas atravs das funes: h(t)=-(2t/5)+2 e b(t)=5t+5 (t = tempo em anos; h = largura em km e b = comprimento em km).a) Determine a expresso da rea A do retngulo desmatado, em funo do tempo t(0t5), e represente A(t) no plano cartesiano.b) Calcule a rea mxima desmatada e o tempo gasto para este desmatamento,aps o incio do replantio.86) (UERJ-02) Um fruticultor, no primeiro dia da colheita de sua safra anual, vendecada fruta por R$2,00. A partir da, o preo de cada fruta decresce R$0,02 por dia. Considere que esse fruticultor colheu 80 frutas no primeiro dia e a colheita aumenta uma fruta por dia.a) Expresse o ganho do fruticultor com a venda das frutas como funo do dia decolheita.b) Determine o dia da colheita de maior ganho para o fruticultor.Respostas de Alguns Exerccios do Tpico 2.6 1) a) {(1, -2), (1, 1), (3, -2), (3, 1), (4, -2), (4, 1)} b) {(-2, 1), (-2, 3), (-2, 4), (1, 1), (1, 3), (1, 4)}; c) {(-2, -2), (-2, 1), (1, -2), (1, 1)}; 3) So funes: c, d; 4) So funes: a, d, e; 5) a) 1; b) 1; c) 2 + 1 ; 6) 2 ou 3;817) D = R 8) D = R 9) D = R 10) D = {x R / x -6 } 11) D = {x R / x 3 } 12) D = {x R / x 12 } 13) D = {x R / x 0 } 14) D = {x R / x 4 } 15) D = {x R / x 9 } 16) D = R 17) D = {x R / x 3 x 9 } 18) D = {x R / x 2 x 5 } 19) D = {x R / x 7 } 20) D = R 21) D = {x R / x 6 } 22) D = {x R / x 12 } 23) D = {x R / -4 x 4 } 24) D = {x R / 0 x 2 } 25) D = R 26) D = R 27) D = {x R / x > 1 ou x -1 } 28) D = {x R / 0 x } 29) D = {x R / x >9 } 30) D = {x R / x < -6 ou x > 6 } 31) D = {x R / x > 9 } 32) D = R 33) D = R 34) D = {x R / x 8 } 35) D = {x R / x 4 } 36) D = {x R / 0 x } 37) D = {x R / x > 2 e x 8 } 38) D = {x R / -2 x 2 x 0 } 39) D = {x R / x 3 } 40) D = {x R / x 0, x 3, x 7 } 41) D = {x R / x 0 x 3 } 42) D = R { 2} ; 43) D = R {3} ; 44) D = {x R | x 2 e x 2} ; 1 45) m > ; 45) m < 3; 47 ao 59 (sem resposta); 60) a) Cd = 55 + 1,3 b) 211,00 2 c) 110 km 61) a) 475 b) 475 + 25x c) 575 62) a) 20x b) 160 63) a) 30.000 2.700 b) 13.800 aprox. 534 peas64) a) (-4x + 248)milhes b) 228 milhes c) 132 milhes 65)66) b) 508,9 c) 521,6 67) 47.500 68) 12.121,21 69) 285,7 70) 3.703,7 71) 0 < m 3 b) x > 1 c) -1 < x < 1 376)B 77) a) y = 2/3(30-x) b) Para x = 15 metros, y = 10 85) a) A(t) =[(-2t/5) + 2] .75) sem respostametros. 78) 50 79)C80) a) 220 b) 10x 20 81) A 82) B 83) a) x + 5x (0< x< 5) b) 2,5 cm 84) a)Gasto = 120 + 10x - 10x b) 1/2 m(5t + 5) OU SEJA A(t) = -2t + 8t + 10. b) rea mxima: 18 km. Ocorreu dois anos aps o incio do replantio. 86) a)160 + 0,4n - 002 n b)10 dia.823 INTRODUO AO LIMITE3.1 INTRODUOA definio de limite foi obtida no decorrer de um caminho muito longo que teve incio com preocupaes acerca do problema do movimento, onde foi necessrio encontrar uma explicao usando uma teoria quantitativa que nos permite por meio do clculo a obter resultados. Para isso foi criado o conceito de infinitsimo, para responder a questo do que se passa em um ponto, se passa em pontos vizinhos. Com base nesse conceito, estabelece-se o de limite, o qual foi escrito no decorrer desse captulo tendo como fonte as referncias apontadas no final desta apostila. Na linguagem cotidiana, referimo-nos ao limite de uma velocidade, ao limite do peso de um lutador, ao limite da resistncia humana ou ao limite de um desconto que pode ser oferecido na venda de uma mercadoria, ao limite de material que pode ser usado ao produzir uma embalagem etc. Todas essas expresses sugerem que limite uma cota, que em certas ocasies pode no ser atingida, mas em outras pode. Ento, todas as vezes que no estudo de um fenmeno de qualquer natureza fsico, biolgico, econmico, geomtrico, - para a determinao quantitativa de seu estado, nos aparea como indispensvel considerar a aparncia desse estado com os estados vizinhos, essa determinao ser feita por meio do limite limite que a resultante da infinidade de possibilidades dos estados vizinhos. Ento, este limite, um nmero, que por meio de uma operao reside no fato de construir um resultado custa de uma infinidade de possibilidades, tomando o infinito como um elemento ativo de construo. O matemtico moderno, adotando em relao ao conceito de limite uma atitude dinmica tomando-o audazmente, como elemento de construo, obtm o resultado que a cincia confirma e constri o elemento matemtico que permita integrar o movimento no mundo da continuidade.833.2 SMBOLO MATEMTICO PARA LIMITE DE FUNOO smbolo de limite para apresentarmos matematicamente a operao solicitada s foi utilizado pela primeira vez por Cauchy, no sculo XIX. Vamos ver ento, um exemplo, de como este smbolo, que representa este nmero real, denominado de limite. Para a funo y = x 2 25 , possvel achar o valor de y, menos quando x5x = 5. No entanto, possvel fazer y ficar to prximo de 10 quanto se queira, bastando tomar x a uma distncia conveniente de 5, quer pela sua esquerda, como em 4,99, quer pela direita, como em 5,01. A comunicao dos fatos descritos no pargrafo acima feita em matemtica, escrevendo-se: lim x 2 25 x 5 x 5Porm, x - 25, pode ser fatorado, ou seja, escrito em forma de produto. Desta forma, vamos ter: x 2 25 ( x + 5) ( x 5) lim = lim x 5 x 5 x 5 x5 Simplificando Vamos ter que: lim( x + 5) ( x 5 ) x5x 2 25 = lim( x + 5) = 5 + 5 = 10 x 5 x 5 x 5A expresso pode ser interpretada assim: possvel fazer o valor x 2 25 y= tornar-se to prximo de 10 quanto se queira, bastando para isso tomar x5 valores de x, a uma distncia suficientemente prxima a 5. No ponto x = 5, o limite 10. Observar tambm que, para qualquer x 5, nunca y ser 10. De todos os nmeros reais fica faltando apenas o par (5,10). Veja (na figura 4.1) o grfico e a tabela que representam essa situao, com eles podemos observar que a medida84que nos aproximamos de 5, ou seja, a medida que a diferena do x para 5 se aproxima de zero o f(x) se aproxima de 10, ou seja, o limite 10y11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 1 2 3 4 5 6 7x 4.00 4.20 4.40 4.604.80 5.00y 9.00 9.20 9.40 9.609.80 indeter. 4.988 4.990 4.992 4.994 4.996 4.998 5.000 5.002 5.004 5.006 5.008 5.010 5.012 9.988 9.990 9.992 9.994 9.996 9.998 indeter. 10.002 10.004 10.006 10.008 10.010 10.012 x y5.20 10.205.40 10.40 5.60 10.60 5.80 10.808x6.00 11.00Grf .3.1 - funo y = (x -25)/(x-5) ou y = x + 5 para x 53.3 O CONCEITO DE LIMITETendo ainda como exemplo a funo do tpico 2.2, poderamos fazer diversos questionamentos, como por exemplo: Sendo f definida de , para x 5, com f ( x ) = a) Quando x = 3, y vale ?Resposta: 8. Isto pode ser observado no grfico desta funo, assim como pelo clculo do valor da funo no ponto 3. b) Quando x se aproxima de 3, de qual valor y se aproxima?x 2 25 x5Resoluo: podemos responder esta questo que foi apresentada em linguagem natural, usando registros de representaes diferentes, por exemplo: registro grfico, registro numrico e registro algbrico. b1) Por meio do registro grfico esboamos o grfico desta funo e passamos a observar qual o comportamento dela quando x se aproxima de 3, ou seja, devemos observar para quais valores de y a funo se aproxima, quando x se aproxima de 3.85Devemos lembrar que quando x se aproxima de 3, ele se aproxima pelos valores menores, ou seja, 2,8; 2,9; 2,99 etc e tambm pelos valores maiores que 3, porm bem prximos, por exemplo, 3,1; 3,01, 3,001 etc. Observando os grficos 4.2, podemos notar que o y est se aproximando de 8.Observao. Nem sempre a utilizao do grfico ser indicada, pois muitas vezes muito mais demorado esboar o grfico de determinadas funes do que determinar esses valores por outros procedimentos.11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 1 2yx1 2 3 4 5 6 7 811 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 1 2yx1 2 3 4 5 6 7 811 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 1 2yx1 2 3 4 5 6 7 8X se aproximando de 3, pelos valores menores que 3X se aproximando de 3, pelos valores maiores que 3X se aproximando de 3,Graf. 3.2 Aproximaes do x ao 3 e do y ao 8b2) Por meio de registro numrico, ou seja, vamos obter numericamente a resposta deste exerccio. Para tanto, costuma-se fazer uma tabela, tendo como x valores bem prximos de 3 e com o y os valores da funo nos pontos x. Observe as tabelas abaixo.x 2.00 2.10 2.20 2.30 2.40 2.50 2.60 2.70 2.80 2.90 3.00 y 7.00 7.10 7.20 7.30 7.40 7.50 7.60 7.70 7.80 7.90 8.00 x 3.00 3.10 3.20 3.30 3.40 3.50 3.60 3.70 3.80 3.90 4.00 y 8.00 8.10 8.20 8.30 8.40 8.50 8.60 8.70 8.80 8.90 9.00Na 1. Parte da tabela podemos observar que a medida que os valores de x se aproximam do 3 a valores menores do que 3, o y se aproxima de 8.Na 2. Parte da tabela podemos observar que a medida que os valores de x se aproximam do 3 a valores maiores do que 3, o y se aproxima de 8.86b3) Por meio do registro algbrico, resolvemos o limite da seguinte maneira: lim x 2 25 3 2 25 9 25 16 = = = =8 x 3 x 5 2 2 35 Esta forma de resoluo bastante rpida, mas aconselhvel apenas aps o entendimento de o porqu ela pode ser feita desta maneira!O limite de f(x), quando x tende a a, igual a L, e escrevemos lim f ( x ) = L , se x apossvel tomar valores de f(x) arbitrariamente prximos de L (to prximos quanto quisermos), tomando x suficientemente prximo de a, mas no igual a a.3.3.1 Exerccios1) O grfico abaixo representa a funo real definida por y = x - 4x + 3. Complete: a) Quando x = 4, y vale ______b)7 6 5 4 3 2 1 2 1 1 2 1 2 3 4 5 6 7yQuando x se aproxima de 4, y se aproxima de ______.(use a tabela para resolver este exerccio). c) Quando x se aproxima de 2, y se aproxima de ______. d) Quando x tende para 1, f(x) tende para ____________. e) Quando x se aproxima de , f(x) se aproxima de ____. f) x se aproximando de 2 faz y se aproximar de ______. 2)Dada a funo y = x 2 a) Esboce o grfico desta funo b) f(4) = _______.x8c) Quando x se aproxima de 4, y se aproxima de ______.d) Quando x tende a 1, f(x) tende a ______. e) Quando x se aproxima de 17, f(x) se aproxima de ____. f) Se x tende a 8, f(x) tende a ____.4 3 2 1 4 3 2 1 1 2 3 4 1 2 3 4yx587x 2 1 se x < 1 3) Observe o grfico da funo definida por y = 3 se x = 1 x se x > 1 a) Se x tende a 0, y tende a ______. b) Se x maior que 1, mas tende a 1, y tende a ____. c) Se x menor que 1, mas tende a 1, y tende a ____. d) Se x = 1, y = ____. e) Se x tende a 3, f(x) tende a ____. x 2 + 2 se x < 0 4) Considere o grfico da funo y = x + 2 se x 04 3 2 1 4 3 2 1 1 2 3 4 1 2 3 4yx - 0,5x5f(x)x 0,5 0,25 0,1 0,010,001f(x)-0,25 - 0,1 -0,01-0,001a)Esboce o grfico dessa funo. b)Determine o domnio e a imagem de f. c)Qual o comportamento de f, quanto ao crescimento e decrescimento? d)Calcule; f(-1); f(0); f(1/2) e f(1) e)Complete a tabela acima e responda as seguintes perguntas: f) Quando nos aproximamos de x = 0 pelo lado esquerdo, o valor de f(x) aproximase de qual valor?. g) Quando nos aproximamos de x = 0 pelo lado direito, o que acontece com o f(x)? h) Assim, escrevemos que o limite pela esquerda: lim f ( x ) = ____ e que o limite pelax 0direita: lim+ f ( x ) = ___ e lim f ( x ) = _____.x 0 x 0Neste caso temos:lim f ( x ) = L lim f ( x ) = L = lim+ f ( x )x a x a x a88A leitura do quadro anterior :O limite de f(x) para x tendendo a a igual a L se, e somente se, o limite lateral de f(x) para x tendendo a a pela esquerda for igual ao limite lateral de f(x) para x tendendo a a pela direita e estes forem iguais a L.3.4 PROPRIEDADES DOS LIMITESSe existe os limite lim f ( x ) e lim g( x ) e K uma constante, ento:xa xaNomeSomax aPropriedadeLeituraLimite da soma igual a soma dos limites. Limite da diferena igual a diferena dos limites. Limite do produto igual ao produto dos limites. Limite da constante que multiplica a funo igual a constante que multiplica o limite da funo. Limite do quociente igual ao quociente dos limites, para o denominador diferente de zerox alim[f ( x ) + g( x )] = lim f ( x ) + lim g( x )x aDiferena Produtolim[f ( x ) g( x )] = lim f ( x ) lim g( x )x a x a x alim[f ( x ).g( x )] = lim f ( x ). lim g( x )x a x a x aMltiplo constantelim[K f ( x )] = K lim f ( x )x a x aQuociente f ( x ) lim f ( x ) lim = xa se lim g( x ) 0 x a g( x ) x a lim g( x ) x a3.4.1 ExercciosDetermine os limites a) lim ( x 3) =x 1b) lim x 2 + 3 =x 2c) lim(2x 3) 2 =x 1d) lim x 3 3 =x 2e) limx7 = x 7 x + 2f) lim( x 3) = x 1 xg) limx2 = x 1 x 2h) lim 18 =x 23.5 LIMITES LATERAIS89Nesse captulo j estudamos um pouco sobre os limites laterais, porm, no comentamos algo importante sobre a sua utilizao. Quando consideramos lim f(x), estamos interessados em valores no intervaloxaaberto contendo "a", mas no no prprio "a", isto , em valores de "x" prximos a "a", maiores ou menores do que "a". Mas, suponha que tenhamos a funo f como por exemplo, f(x) =x 2 . Como f(x) no existe para x < 2, f no est definida emx2nenhum intervalo aberto contendo 2. Logo,limx 2 no tem significado. No x 2 poderentanto, se "x" estiver restrito a valores maiores do que 2, o valor dese tornar to prximo de zero quanto desejarmos, tomando "x" suficientemente prximo de 2, mas, maior do que 2. Em tal caso, deixamos "x" aproximar-se de 2 pela direita e consideramos o limite lateral direito. Agora, para qualquer valor de x > 2, verifica-se que os limites laterais existem e so iguais e por este motivo podemos afirmar que para qualquer x > 2 a f(x) tem limite.3.6 LIMITES INFINITOSNos limites infinitos os valores das funes aumentam ou diminuem sem limitaes quando a varivel aproxima-se cada vez mais de um nmero fixo. Vamos ver nos grficos 4.3 da prxima folha o que isto quer dizer.4.6.1 ExercciosResponda: a)No grfico 4.3(a) o comportamento da funo o mesmo se x tende a 2 pela esquerda e pela direita? Por que? b) No grfico 4.3 (b) o comportamento da funo o mesmo se x tende a 1 pela direita e pela esquerda? Por que? c) No grfico 4.3 (c) o comportamento da funo o mesmo se x tende a zero90(a)yy(b)1(c)yxx2xQuando x tende ao nmero 0 pela Quando x tende ao nmero 2 af(x) = 1 (x 2)2Quando x tende ao nmero 1 of (x) = 2 (x 1) 2direita oaumenta sem limitaes, ou sejadiminui sem limitaes, ou sejaf(x) =1 aumenta xsem limitaese quando o x tende a zero pela esquerda o f(x) diminui sem limitaes, ou seja1 = x 2 (x 2)2 limlim x 12 = (x 1)2x 21 lim = xGraf. 3.3 Limite infinito3.7 LIMITE NO INFINITONos limites no infinito a varivel independente que cresce ou diminui indefinidamente. Vamos ver os grficos 4.4 da prxima folha o que isto quer dizer. No grfico 4.4(a), podemos observar que quando x cresce ou decresce arbitrariamente, ou seja, quando x , o (x 2) cresce arbitrariamente; logo 1 se aproxima de zero. (Se voc no entendeu esta ltima afirmao, veja: ( x 2) 2f (12) = 1 1 1 = 0,01; f ( 102 ) = = 0,0001; f (1002 ) = = 0,000001 ; etc.) e indica2 2 10 ( 100 ) 1000 2se: lim1 = 0. x ( x 2) 291(a)y(b)y1(c)yxf(x) 2 f(x) 2xxQuando x aumenta e diminui indefinidamente af(x) = 1 ( x 2) 2Quando x aumenta e diminui indefinidamente af(x) = 2 (x 1)2Quando x aumenta e diminui indefinidamente a1 f(x) = + 2 xtende a zero, ou seja,tende a zero, ou seja,tende a 2 , ouseja1 =0 x (x 2)2 limx lim -2 =0 (x 1)2xlim1 +2=2 xGraf.3.4 Limites no infinito3.8 EXERCCIOS1)Considere a funo f dada por f ( x ) = a) Construa a tabela abaixo: x1 0,1 0,05 0,001 10-71 . x2 b) Esboce o grfico de fyx1/xx92c) Determine o domnio e a imagem de f. d) A medida que x aproxima-se de 0, x aproxima-se de __ e 1/x aproxima-se de ____ 1 Pelo grfico, pode-se concluir que: x 0 + 2 + e tambm, x 1 x 0 2 + x 1 e) Nesse caso, escrevemos que lim 2 = e dizemos que o eixo y uma assntota x 0 x 1 vertical de f ( x ) = 2 . x 1 f) Pelo grfico, vemos que medida que x aproxima-se de , 2 aproxima-se x 1 de____. O eixo x uma assntota horizontal de f ( x ) = 2 . xA reta x = a denomina-se assntota vertical da curva y = f(x) se pelo menos uma das seguintes condies valem: lim+ f ( x ) = ; lim f ( x ) = ; lim f ( x ) = lim+ f ( x ) = ; lim f ( x ) = ;x a x a x a x a x alim f ( x ) = x aA reta y = L denomina-se assntota horizontal da curva y = f(x) se pelo menos uma das seguintes condies valem: lim f ( x ) = L ou lim f ( x ) = Lx + x 2) Considere f ( x) = a) lim+ f ( x )x 42 . Calcule: x4x 4 = _____elim f ( x ) =_____x 4Portanto, podemos concluir que lim f ( x ) =___. Assim, a assntota vertical x =___e a assntota horizontal y = ___, pois __________________.3.9 LIMITE DA FUNO RACIONALUma funo racional aquela que pode ser escrita como quociente de polinmios. Ela se diz imprpria se o grau do polinmio do numerador maior ou igual ao do polinmio do denominador; caso contrrio ela se diz prpria.933.9.1 ExercciosCalcule os limites das funes racionais: x2 9 a) lim 2 = x 0 x 6 x + 8 c) lim x2 + x + 2 = x 0 x2 + 1x 64x2 9 b) lim 2 = x 3 x 6 x + 8 d) limx 3x2 = x2 4e) lim x 8 = x 3 2f) lim5 x 7 4 x 5 + 2x 4 + x 2 + 7 x + 21 = x 0 13 x 5 + 8 x 3 x 2 + 5 x + 7No incio deste captulo vocs tiveram a oportunidade de ler um exemplo no qual a funo que o representa uma funo racional (caso voc ainda no o tenha lido, agora um excelente momento para faz-lo).Trata-se de um exemplo, em que para resolver o seulimite no basta faz-lo da forma em que acabamos de proceder no exerccio anterior. Isto ocorre, pois pelo procedimento acima, vamos encontrar que o lim0 0 x 2 25 igual a e no possui significado numrico. No entanto, o exemplo x 5 x 5 0 0mostra que ao fatorarmos o numerador, vamos poder simplificar os fatores que x 2 25 ( x + 5) ( x 5) = lim anulam o numerador e o denominador, ou seja, lim , de x 5 x 5 x 5 x 5 x 2 25 = lim( x + 5) = 5 + 5 = 10 . onde vamos obter que lim x 5 x 5 x 53.9.2 Exerccios1) Calcule os limites a) lim x 2 5x = x 5 x 5 b) lime) limx 2 + 3 x 18 = x 3 x3c) limf) limx 2 + 4x + 4 = x 2 x+2d) limx 2 + 3x = x 3 x + 3x 2 + 3x = x 0 xx 2 7 x + 10 = x 5 x 2 9 x + 142) Faa os grficos de :94a) f:-{3} / f ( x ) =6 5 4 3 2 1x2 9 x3x -2 -1 0xb) g: / g( x ) = x + 36 5 4 3 2 1yyf(x) g(x)+13 2 1x1 2 3 1 2 3 4 53211 2 3 412345+2 +3 -3 +0,54a) f(x) e g(x) so funes iguais para todos os x reais? Por que? b) Qual o valor do limite da f(x) para x tendendo a 3? c) Qual o valor da funo g(x) para x = 3? Leia com ateno a observao abaixo e continue a resoluo dos exerccios dessa unidade.Seja f ( x) =P( x) uma funo racional. Pode ocorrer de P(a) = Q(a) = 0, ficando Q ( x)P(a) 0 = . Nestes casos, fatoramos e simplificamos (x-a) em cada termo, se Q(a ) 0possvel:limx a( x a)P1 ( x ) P1 (a) P( x ) = lim = , se Q1 (a) 0. x a ( x a )Q ( x ) Q( x ) Q 1 (a ) 1Reescrevemos as funes, como no exerccio 1 de 2.9.1 para calcular o limite. Mas pode decorrer de P(a) 0 , e a teremos como resposta +, - ou .Vamos tentar entender o que est escrito na ltima linha do quadro acima. Seja por exemplo, o lim x2 + 1 . Para determinar o limite desta funo, x 2 x 2podemos inicialmente calcular o valor da funo do numerador no ponto 2, ou seja,95P(2) = 5 e o valor da funo do denominador no ponto 2, ou seja Q(2) = 0. Neste caso, temos que P(2) 0 e Q(2) = 0. A conforme as informaes do quadro acima, vamos ter uma das trs respostas, ou seja +, - ou . Para decidir por uma dessas respostas, no necessrio representar a funo por meio de um grfico (a no ser que voc queira fazer utilizando este recurso). Ento, devemos estudar o sinal da funo racional, para x prximo do ponto 2, lateralmente se necessrio. Se este sinal for positivo, o limite +, se negativo - . Neste caso, ao estudarmos lateralmente vamos ter que quando x se aproxima de 2 pela esquerda o sinal da funo nestes pontos ser negativo, ou seja, limx 2x2 + 1 ter um resultado negativo, x2pois o numerador ser sempre positivo e o denominador negativo (pois vamos operar com x-2, para valores sempre menores que 2). Da recorre o resultado negativo, j que na diviso positivo com negativo negativo. De maneira anloga podemos estudar quando o x est se aproximando de 2 pela direita e desta forma observar que esta funo positiva. Mas os nossos clculos ainda no esto terminados, pois at agora encontramos apenas os sinais dos limites laterais desta funo. Para finalizarmos, devemos notar, por exemplo, que no limx 2x2 + 1 , a medida x2que nos aproximamos de x pela esquerda, o denominador ir se aproximar de 5 e o denominador de zero, o quociente desses dois nmeros ser um nmero muito grande, porm negativo. Para voc entender este resultado pense no seguinte: (5/(1,9 2) = -50; 5/(1,99 2) = - 500; 5/ (1,999-2) = -5000; etc). Como trata-se de uma operao que estamos fazendo o x tender a 2 pela direita indefinidamente, quanto mais prximo deste valor estivermos mais o resultado desta funo estar indo para a esquerda, ou seja, para o - . De maneira anloga vamos concluir que quando x tende a 2 pela direita a funo estar tendendo a + . Logo, nesta questo vamos ter que lim x2 + 1 = . x 2 x 23) Leia com ateno o texto acima e em seguida resolva os limites propostos. a) lim x 2 6x + 5 = x 5 x 2 25 b) lim e) limx 3x 2 2x 30 = x 7 x 2 49 x 3 = x3c) limx2 7 = x 7 x 2 9 x + 14d) limx 2 18 x = x 0 x 2 29 x964) Observe a resoluo dos trs exemplos abaixo e em seguida responda as questes: a) lim 5x 7 = x 4 x 3Resoluo Ao iniciarmos a resoluo deste exerccio, devemos nos lembrar que no nmero e que portanto uma indeterminao. O significado de x tender ao infinito que x est assumindo valores cada vez maiores, mas quais valores so estes? O fato de no sabermos apontar quais valores so estes faz com que pensemos: quanto vale o infinito do numerador e quanto vale o infinito do denominador? e esta dvida que torna esta representao, ou seja, o uma indeterminao. Para esta questo em que o grau do polinmio do numerador maior que o grau do polinmio do denominador, basta dividirmos o numerador pelo denominador, usando a propriedade de potncia (quociente de mesma base). Ento vamos ter:x 4 xlim5x73= lim5 4 5 4 x = = 4 x 4Recomendo no registrar esta passagem, podendo ir direto ao resultado.5x 7 5 5 b) lim 7 = lim = x 4 x x 4 4 5x 3 5 1 5 1 5 = lim 4 = lim 4 = 0 = 0 x 4 x 7 x 4 x x x 4 4c) limd)Na resoluo do limite de funes racionais, quando o expoente do numerador maior que o expoente do denominador e o x tende ao infinito, o que acontece com o resultado? e)Na resoluo do limite de funes racionais, quando o expoente do numerador igual ao expoente do denominador e o x tende ao infinito, o que acontece com o resultado?97f)Na resoluo do limite de funes racionais, quando o expoente do numerador menor que o expoente do denominador e o x tende ao infinito, o que acontece com o resultado? 5) Calcule os limites: a) lim 5x 7 8x + 3 = x 4 x 3 + 3 x 2 + 13Resoluo Uma das formas de iniciarmos a resoluo deste tipo de limites dividindo o numerador e o denominador desta funo pelo termo de maior expoente de cada um deles, ou seja: 5x 7 8x 3 x 7 (5 x 7 8 x + 3 ) x7 7 7 + 7 x x x 5x 7 8x + 3 = x7 = lim 3 = lim lim 3 2 x x 4 x 3 + 3 x 2 + 13 x x ( 4 x 3 + 3 x 2 + 13 ) 4x 3x 13 x3 3 + 3 + 3 3 x x x x 8 3 x4 5 6 + 7 8 x x = mas como j vimos anteriormente, lim 6 = 0 e de maneira lim x x x 3 13 4+ + 3 x xanloga vamos ter que o limite de outras parcelas desta funo zero. Sendo assim:8 3 x4 5 6 + 7 x 4 (5 0 + 0 ) 5x 4 5x 7 x x = lim = . Que igual a lim 3 . = lim lim x 4 x x x 4 x 3 13 4+0+0 4+ + 3 x xb) lim5x 7 8x + 3 = x 4 x 7 + 3 x 2 + 13c) lim5x 3 8x + 3 = x 4 x 7 + 3 x 2 + 1398CONSIDERAES FINAISEsta apostila o ponto de partida para seus estudos nas disciplinas de Clculo Diferencial e Integral. Ela necessria e tambm suficiente para o seu bom desempenho na disciplina de Clculo Diferencial e Integral I, mas dever ser complementada para a sua formao mais ampla como engenheiro. A lista oferecida nas Referncias Bibliogrficas e na Bibliografia Complementar traz desde obras com abordagens voltadas ao Ensino Mdio, outras com variadas aplicaes, chegando a obras com um trato mais formal e rigoroso do tema. importante conhecer ao menos algumas destas referncias. Toda a leitura poder ser orientada, usando a ferramenta Correios, disponvel em nosso portal e tambm discutida com os colegas, ou simplesmente comentada como contribuio ao bom desempenho de todos, usando os Fruns outra ferramenta do portal UNISA. Complemente esta leitura tambm com as aulas WEB, que visam trazer um pouco da discusso em outra abordagem, incluindo exemplos resolvidos. Esteja presente s aulas-satlite, anotando apenas suas dvidas, uma vez que as projees de aula sero disponibilizadas no Material de Apoio. Um bom aproveitamento conceitual dos temas aqui abordados o capacitar a futuros aprofundamentos e aplicaes em diversas reas.99REFERNCIASVILA, G. Introduo anlise matemtica. So Paulo: Edgar Blucher, 1993. BOULOS, P. Clculo Diferencial e integral. Vol 1. So Paulo: Makron Books do Brasil, 1999. DANTE, L.R. Matemtica. Volume nico. So Paulo: tica, 2005. CARAA, B.J. Conceitos fundamentais da matemtica. Lisboa: [s.d.], 1975. COURANT, R. e ROBBINS, H. O que matemtica. Rio de Janeiro: Cincia Moderna, 2000. FLORIANI, J.V. Limites: clculo fcil. Blumenau: Editora da FURB, 1999. FORSTER, S. R. L. Ensino a distncia: uma anlise do design de um curso de Clculo com um olhar no contedo de limites e continuidade. DISSERTAO DE MESTRADO. PUC-SP, 2007. HARIKI, Seiji e ABDOUNUR, Oscar Joo. Matemtica aplicada: administrao, economia, contabilidade. So Paulo: Saraiva, 1999. IEZZI, G. e MURAKAMI, C. Fundamentos da matemtica elementar, 1: conjuntose funes. So Paulo: Atual, 2004.IEZZI, G; DOLCE, O. e MURAKAMI C. Fundamentos da matemtica elementar, 2:logaritmos. So Paulo: Atual, 2004.KIYUKAWA, R. S.; SHIGEKIYO, C. T. e YAMAMOTO, K. Os elos da Matemtica, 1. 2 ed. So Paulo: Saraiva, 1992. LARSON, R.E. e outros. Clculo com aplicaes. Rio de Janeiro: LTC, 1995. LEITHOLD, L. O clculo com geometria analtica. Trad. Cyro de Carvalho Patarra. 3.ed.So Paulo: Harbra, 1994.100MACHADO, A. dos S. Matemtica Temas e Metas, 1: conjuntos numricos efunes. So Paulo: Atual, 1986.SWOKOWISKI, E. W. Clculo com geometria analtica. Trad. Alfredo Alves de Farias. So Paulo: Makron Books do Brasil, 1994. THOMAS, G.B. Clculo. V.1. So Paulo: Addison Wesley, 2002.