Calculo diferencial integral_matematica_latex

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  • CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRALDE FUNCIONES DE UNA VARIABLEFrancisco Javier Prez GonzlezDepartamento de Anlisis MatemticoUniversidad de Granada
  • ILicencia. Este texto se distribuye bajo una licenciaCreative Commonsen virtud de la cual se permite:Copiar, distribuir y comunicar pblicamente la obra.Hacer obras derivadas.Bajo las condiciones siguientes:BY: Reconocimiento.Debe reconocer los crditos de la obra de la manera especificada por el autor oel licenciador (pero no de una manera que sugiera que tiene suapoyo o apoyan el uso que hacede su obra).$\ No comercial.No puede utilizar esta obra para fines comerciales.C Compartir bajo la misma licencia. Si altera o transforma esta obra, o genera una obra derivada,slo puede distribuir la obra generada bajo una licencia idntica a sta.Universidad de GranadaDpto. de Anlisis MatemticoProf. Javier PrezClculo diferencial e integralhttp://es.creativecommons.org/licencia/
  • Indice generalPrlogo XVIGuas de lectura XX1. Axiomas deR. Principio de induccin 11.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11.1.1. Axiomas, definiciones, teoremas, lemas, corolarios. . . . . . . . . . . . 11.2. Axiomas de los nmeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 41.2.1. Axiomas algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41.2.2. Axiomas de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51.2.2.1. Relacin de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51.2.3. Desigualdades y valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 61.2.3.1. La forma correcta de leer las matemticas . . . . . . . .. . 71.2.3.2. Una funcin aparentemente caprichosa . . . . . . . . . .. . 81.2.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 101.2.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 121.3. Principio de induccin matemtica . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 171.3.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 211.3.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 241.4. Complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .261.4.1. Nmeros y medida de magnitudes. Segmentos inconmensurables. . . . 26II
  • ndice general III1.4.1.1. La razn urea y el pentagrama . . . . . . . . . . . . . . . .271.4.1.2. Medimos con nmeros racionales . . . . . . . . . . . . . . .281.4.2. Hacer matemticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .291.4.3. Algunas razones para estudiar matemticas . . . . . . . .. . . . . . . 301.4.4. Lo que debes haber aprendido en este Captulo. Lecturas adicionales . . 322. Funciones elementales 332.1. Funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 332.1.1. Operaciones con funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 352.1.2. Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .362.2. Estudio descriptivo de las funciones elementales . . . .. . . . . . . . . . . . . 392.2.1. Funciones polinmicas y funciones racionales . . . . .. . . . . . . . . 392.2.2. Races de un nmero real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .392.2.3. Potencias racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 402.2.4. Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .402.2.5. Exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .412.2.5.1. Inters compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .412.2.5.2. Crecimiento demogrfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . .422.2.6. Funcin potencia de exponente reala . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.2.7. Funciones trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 432.2.7.1. Medida de ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .432.2.7.2. Funciones seno y coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . .442.2.7.3. Propiedades de las funciones seno y coseno . . . . . . .. . 452.2.7.4. Las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante . . . 462.2.7.5. Las funciones arcoseno, arcocoseno y arcotangente . . . . . 462.2.8. Las funciones hiperblicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 482.2.8.1. Las funciones hiperblicas inversas . . . . . . . . . . .. . . 492.2.9. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 512.2.10. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 542.3. Sobre el concepto de funcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 592.3.1. El desarrollo del lgebra y la invencin de los logaritmos . . . . . . . 612.4. Lo que debes haber aprendido en este captulo . . . . . . . . .. . . . . . . . . 633. Nmeros complejos. Exponencial compleja 64Universidad de GranadaDpto. de Anlisis MatemticoProf. Javier PrezClculo diferencial e integral
  • ndice general IV3.1. Un poco de historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 643.2. Operaciones bsicas con nmeros complejos . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 653.2.1. Comentarios a la definicin de nmero complejo . . . . . .. . . . . . 663.2.2. Forma cartesiana de un nmero complejo . . . . . . . . . . . .. . . . 663.2.3. Comentarios a la definicin usuali Dp1 . . . . . . . . . . . . . . . 673.2.4. No hay un orden enC compatible con la estructura algebraica . . . . .683.3. Representacin grfica. Complejo conjugado y mdulo . .. . . . . . . . . . . 683.3.1. Forma polar y argumentos de un nmero complejo . . . . . .. . . . . 703.3.2. Observaciones a la definicin de argumento principal. . . . . . . . . . 723.3.2.1. Frmula de De Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .733.3.3. Races de un nmero complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 743.3.3.1. Notacin de las races complejas . . . . . . . . . . . . . . .753.3.3.2. La igualdadnpz npw D npzw . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.3.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 773.3.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 803.4. Funciones elementales complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 913.4.1. La funcin exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 913.4.2. Logaritmos complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .923.4.3. Potencias complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .943.4.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 943.4.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 953.5. Aplicaciones de los nmeros complejos . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 973.5.1. Movimiento armnico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 973.5.2. Circuitos elctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 993.5.3. Procesamiento digital de seales . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 1014. Funciones Continuas y lmite funcional 1024.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1024.2. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1034.2.1. Propiedades bsicas de las funciones continuas . . . .. . . . . . . . . 1044.2.2. Propiedades locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1064.3. Teorema de Bolzano. Supremo e nfimo . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 1084.3.1. La propiedad del supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1094.3.2. Propiedad de extremo inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 110Universidad de GranadaDpto. de Anlisis MatemticoProf. Javier PrezClculo diferencial e integral
  • ndice general V4.3.3. Consecuencias del teorema de Bolzano . . . . . . . . . . . . .. . . . 1124.3.3.1. Continuidad y monotona . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1144.3.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 1164.3.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 1194.4. Continuidad en intervalos cerrados y acotados . . . . . . .. . . . . . . . . . . 1284.4.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 1324.4.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 1334.5. Lmite funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 1334.5.1. Lmites laterales de una funcin en un punto . . . . . . . .. . . . . . 1344.5.2. Lmites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1354.5.2.1. Funciones divergentes en un punto . . . . . . . . . . . . . .1354.5.2.2. Lmites en infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1364.5.2.3. Funciones divergentes en infinito . . . . . . . . . . . . . .. 1364.6. lgebra de lmites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 1374.6.1. Lmites y discontinuidades de funciones montonas .. . . . . . . . . . 1394.6.2. Comportamientos asintticos de las funciones elementales . . . . . . .1404.6.2.1. Lmites de exponenciales y logaritmos . . . . . . . . . .. . 1404.7. Indeterminaciones en el clculo de lmites . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 1414.7.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 1424.7.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 1445. Nmeros y lmites. El infinito matemtico 1505.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1505.2. Evolucin del concepto de nmero . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 1515.2.1. Nmeros y cantidades en la antigua Grecia . . . . . . . . . .. . . . . 1515.2.2. De la antigua Grecia a la invencin del Clculo . . . . . .. . . . . . . 1535.2.3. Infinitsimos y el continuo numrico . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 1575.2.4. El triunfo de Pitgoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1605.2.4.1. Cortaduras de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1625.2.4.2. Mtodos axiomticos y mtodos constructivos