Calculo diferencial - Matemáticas II

7/26/2019 Calculo diferencial - Matemáticas II

http://slidepdf.com/reader/full/calculo-diferencial-matematicas-ii 1/360

CAPITULO I

LA INTEGRAL INDEFINIDA

1.

ANTIDERIVADA DE UNA FUNCIÓNUna función F(x) se llama Antiderivada de otra función f(x) continua sobre un

intervalo I si se verifica que: F’(x) = f(x), x ε I.

F(x) = x4 es una Antiderivada de f(x) = 4x3 x ε , pues:

F’(x) = f(x) => 4x3 = 4x3

Sin embargo la función G(x) = x4 + C es también una Antiderivada de

f(x) = 4x3 pues se verifica:

]Cx[dx

d[G(x)]

dx

d 4 4x3 = f(x) , x ε ,

OBSERVACIONES:

1. Si F(x) es una Antiderivada particular de f(x) en I entonces la

Antiderivada General de f(x) en I esta dada por la función G(x) = F(x)+C

f(x) = 4x3 tiene su Antiderivada general en G(x) = x4 + C pues:

G’(x) = 4x3 = f(x) x ε I.

2. De (1) se deduce que si F(x) es una Antiderivada de f(x) en I cualquier

otra Antiderivada de f en I es una curva paralela al gráfico de y = F(x)

F(x) = x4 G(x) = x4 + 1 H(x) = x4 – 1

y

x

1xG(x)4

4

xF(x)

1xH(x)4



2. DEFINICIÓN (INTEGRAL INDEFINIDA)

Si F(x) es una Antiderivada de f(x) en I. La I ntegral I ndefi nida de f(x) es el

conjunto de las Antiderivadas de f(x) en dicho intervalo y es denotado por:

CF(x)dxf(x)

Donde:

- C ε R y es llamado constante de integración

- f(x) es llamado integrando

- f(x) dx es llamado elemento de integración

- x es la variable de integración

- es el símbolo de la integral

OBSERVACIONES:

De la definición anterior se deduce:

1. f(x)(x)F'C}{F(x)dx

d}dxf(x){

dx

d

Por lo cual se dice que la integración es la operación inversa de ladiferenciación.

2. dxf(x)dx(x)F'dxC}'{F(x)dx}'dxf(x){}dxf(x)d{

3. Si f es derivable en I entonces una primitiva o antiderivada de f ’ es f

entonces:

Cf(x)dx(x)'f

4. dx(x)'f d{f(x)} de (3) se deduce:

Cf(x)d{f(x)}

Ejemplos:

- 1n , C

1n

xdxx

1nn



Pues:n

n1n

x1n

x1)(nC)

1n

x(

dx

d

- Cx3

1C

12

xdxx

312

2

Pues:2

23

x3

x(3)C)

3

x(

dx

d

- Csen xdxxcos

Pues: xcosC)(sen xdx

d

- Cxcosdxsen x

- Cxctgdxxcsc2

NOTA: Todas estas integrales son llamadas integrales inmediatas pues se

verifica que Cf(x)dx(x)'f

PROBLEMAS

1. Hallar una antiderivada de c/u de las siguientes funciones

a) f(x) = 3x + 2 => C2xx2

3F(x)

2

b) f(x) = 3 cos 4x => C4xsen

4

3F(x)

c) f(x) = – sec x tg x => CxsecF(x)

2. Encontrar las funciones F(x) tal que

a) F’(x) = 3x2 , F(1) = 2

dx3xdx(x)'F2

)d(xd{F(x)} 3



F(x) = x3 + C Antiderivada general

F(1) = (1)3 + C = 2 => C = 1

1xF(x) 3

Antiderivada particular

b)

F’(x) = sen 2x , F(π/3) = 1

dx2xsendx(x)'F

)2

2xcosd(d{F(x)}

C2xcos

2

1F(x) Antiderivada general

1C)3

2π(cos

2

1)3/πF( =>

4

3C

4

32xcos

2

1F(x) Antiderivada particular

3. La pendiente de una curva en cualquier punto ( x , y ) de ella es igual a

4x + 6. Si la curva pasa por el punto ( 1 , 1 ) de una ecuación de ella.Sea: F’(x) = 4x + 6

dx)64x(dx(x)'F

C6x2xF(x)2

C6x2xF(x)y2

Ecuación general de la curva

Como F(x) pasa por ( 1 , 1 ) satisface su ecuación

C6(1)2(1)12

=> C = – 7

76x2xF(x) 2

Ecuación particular de la curva

4. En cada punto de una curva cuya ecuación es y = F(x); yD2x = 6x – 2 y en

el punto ( 1 , 2 ) la pendiente de la curva es 8. Halle una ecuación de la

curva.



Sea: F’’(x) = 6x – 2

dx)26x(dx(x)''F

C2x3x(x)'F2

Para x = 1 , y’ = F’(1) = 8

C2(1)3(1)82

=> C = 7

72x3x(x)'F 2

dx)72x3x(dx(x)'F2

C7xxxF(x)y 23 Ecuación general de la curva

Como pasa por ( 1 , 2 ) satisface su ecuación

C7(1)(1)(1)223

=> C = – 5

57xxxF(x) 23

Ecuación particular de la curva

5. Hallar una antiderivada de c/u de las siguientes funciones

a) f(x) = x2 + 2x3 => Cx2

1x

3

1F(x)

43

b) f(x) = 3 sec4x => Cxtgxtg3F(x)3

c) bax

1f(x)

=> C bax

a

2F(x)

6.

Encontrar la función tal que:

a) x

2(x)'F , F(1) = 4

x

dx2dx(x)'F

)xd(4d{F(x)}

Cx4F(x) Antiderivada general



4C14F(1) => C = 0

x4F(x) Antiderivada particular

b)

2

sen xx(x)'F , 2

1)2/πF(

dxsen xxdx(x)'F2

)xcos2

1d(d{F(x)}

2

Cxcos

2

1F(x)

2 Antiderivada general

2

1C)2/π(cos

2

1)2/πF(

2 =>

2

1C

2

1 xcos

2

1F(x)

2 Antiderivada particular

c) 2x9x(x)'F , 1)5F(

dxx9xdx(x)'F 2

})x9(3

1d{d{F(x)}

3/22

C)x9(3

1F(x)

3/22 Antiderivada general

1C])5(9[31)5F( 3/22 => 3

11C

3

11)x9(

3

1F(x)

3/22 Antiderivada particular

7. La pendiente de una curva en un punto cualquiera ( x , y ) de ella es igual

a cos x. Encontrar una ecuación si esta pasa por el punto ( π/2 , 2 )

Sea: F’(x) = cos x

dxxcosdx(x)'F



Csen xF(x)y Ecuación general de la curva

Como pasa por ( π/2 , 2 ) satisface su ecuación

C

2

πsen2 => C = 1

1sen xF(x) Ecuación particular de la curva

2.1. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA

Proposición: Si f y g son funciones que admiten Antiderivadas en I

entonces lo mismo sucede con f g; Kf donde K es constante

a) dxg(x)dxf(x)dx]g(x)f(x)[

b) dxf(x)K dxf(x)K

2.2. FORMULAS ELEMENTALES DE INTEGRACIÓN

1. Cudu

2. CuLndu

u

3. 1n , C1n

uduu

1nn

4. Cedueuu

5. 0a , CaLn

adua

uu

6. Cucosduusen

7. Cusenduucos

8. CucosLnCusecLnduutg

9.

CusenLnduuctg



10. CutgusecLnduusec

11. CuctgucscLnduucsc

12.

Cutgduusec2

13. Cuctgduucsc2

14. Cusecduuu tgsec

15. Cucscduuctgucsc

16. Cucoshduusenh

17. Cusenhduucosh

18. CucoshLnduutgh

19. CusenhLnduuctgh

20. Cutghduusech2

21. Cuctghduucsch2

22. Cusechduuu tghsech

23.

Cucschduuctghucsch

24. 0a , C)a

u(tgarc

a

1

ua

du22

25. 0a , Cau

au Ln

2a

1

au

du22

26.

0a , Cau

au

Ln2a

1

ua

du

22



27. 0a , C)a

u(senarc

ua

du

22

28.

CauuLnau

du 22

22

29. 0a , Ca

usecarc

a

1

auu

du

22

30. 0a , C])a

u(senarcauau[

2

1duua

22222

31. C] auuLnaauu[2

1duau 2222222

PROBLEMAS

1. Evaluar:

dx

x6

4

2

C)6

x

(senarc4x)6(

dx

4I 22

2. Evaluar:

dxe52x

Ce2

1)dx2(e

2

1I

52x52x

3. Evaluar:

dx)73x(sen

C)73x(cos3

1)dx3()73x(sen

3

1I

4. Evaluar:

dx5

322x

1xx

C)

5

6(Ln

)

5

6(

25

3dx)5

6(25

3dx

5

6

25

3dx

5

32

25

3I

x

x

x

x

x

xx



3. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

3.1. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE

Si en la integral dxf(x) se sustituye:

(u)ψx

du(u)'ψdx

Entonces:

du(u)'ψ (u)]ψ[f dxf(x)

OBSERVACIONES:

1.

Después de la integración la variable u será reemplazada por su

expresión en función de x teniendo en cuenta que (u)ψx . La

elección de (u)ψx debe hacerse de modo que se pueda calcular la

integral du(u)'ψ (u)]ψ[f

2. En ciertos casos es preferible hallar la sustitución de la variable en la

forma:

(x)ψu

dx(x)'ψdu

PROBLEMAS

1. dx)34x(3

Hacemos: u = 4x + 3

du = 4 dx

Cu16

1duu

4

1)dx4()34x(

4

1I

433

C)34x(16

1I

4

2.

dxe 57x



Hacemos: u = 7x + 5

du = 7 dx

Ce7

1due

7

1)dx7(e

7

1I

uu57x

Ce7

1I

57x

3.

dx

54xx

8x3x23

2

Hacemos: u = x3 + 4x2 + 5

du = ( 3x2 + 8x ) dx

CuLnu

dudx

54xx

8x3xI

23

2

C54xxLnI 23

4. dx2xcos212xsen

Hacemos: u = 1 + 2 cos 2xdu = – 4 sen 2x dx

Cu6

1duu

4

1dx2xcos212xsen4

4

1I

3/2

C)2xcos21(6

1I

3/2

5. 2x8

dxx

Hacemos: u = 8 + x2

du = 2x dx

Cuu

du

2

1

x8

dx2x

2

1I

2

Cx8I 2



6. dx)4x(x33/2

Hacemos: 4xu3/2

dxx23du

Cu6

1duu

3

2dx)4x(x

2

3

3

2I

4333/2

C)4x(6

1I

43/2

7.

dxx

xtg2

Hacemos: xu

x2

dxdu

C2uutg2du)1usec(2duutg2dx

x2

xtg2I

222

Cx2xtg2I

8. dx

)cosh x1(

senh x3

Hacemos: u = 1 + cosh x

du = senh x dx

C2u

1

u

dudx

)cosh x1(

senh xI

233

C)cosh x1(2

1I

2

3.2. MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES

Dadas las funciones u = u (x) y v = v (x) diferenciables en I entonces se

tiene que:



d (uv) = u dv + v du

Aplicando integral a ambos miembros se tiene:

duvdvu(uv)d

duvdvuuv

duvuvdvu Fórmula de I ntegración por Partes

OBSERVACIÓN:

1. En la práctica se sigue los siguientes pasos:

Identificar:

dx(x)'g(x)f

Normalmente se hace:

(x)f u dx(x)'gdv

dx(x)'f du (x)gv

La fórmula de integración por partes indica que:

dx(x)'f (x)g(x)g(x)f dx(x)'g(x)f

NOTA:

Para descomponer el elemento de integración dados en dos factores u y dv

normalmente se elige como u aquellos que se simplifican con la

derivación xn (n ε N), arc tg x, arc sen x, arc sec x, etc.

Pri oridad para la variable u: Estableceremos un orden de prioridad parala variable u

1. Ln x

2. xn , n ε N

3. ekx

Es decir:

Si uno de los factores es una función logarítmica tal función tendráque tomarse como u.



Si no existe función logarítmica pero si una potencia de x esta se

convierte entonces en la variable u.

Si no existe función logarítmica ni potencia de x se toma entonces

como u la función exponencial. Si se tiene en cuenta este orden de prioridad se evitaran muchos

intentos fallidos al elegir u y dv.

PROBLEMAS

1. dxxsecx2

Hacemos: xu dxxsecdv2

dxdu xtgv

CxsecLnxx tgdxxtgxx tgdxxsecxI2

CxcosLnxx tgI

2. dx

x

Ln x3

Hacemos: Ln xu 3x

dxdv

x

dxdu

22x

1v

32323

x

dx

2

1

2x

Ln x

2x

dx

2x

Ln xdx

x

Ln xI

C4x

)1Ln x2(C

4x

1

2x

Ln xI

222

3. dxx

xtgarc2

Hacemos: xtgarcu 2x

dxdv

2x1

dxdu

x

1v



)x1(x

dx

x

xtgarcdx

x

xtgarcI

22

dx

)x1(x

x)x1(

x

xtgarc

)x1(x

dx

x

xtgarcI

2

22

2

dx

x1

x

x

dx

x

xtgarcI

2

dx

x1

2x

2

1

x

dx

x

xtgarcI

2

Cx1Ln2

1 xLn

x

xtgarcI 2

Cx1

xLn

x

xtgarcI

2

4. dx)Ln x(sen2

Hacemos: z = Ln x

x = ez

dx = ez

dz

dzzsenedx)Ln x(senI2z2

Hacemos: zeu dz

2

2zcos1dzzsendv

2

dzeduz

4

2zsen

2

zv

dz)4

2zsen

2

z (e)

4

2zsen

2

z (eI

zz

dz2zsene4

1dzez

2

1)

4

2zsen

2

z (eI

zzz …(1)

dzezIz

1

Hacemos: u = z dv = ez dz

du = dz v = ez



1

zzzzz

1 CeezdzeezdzezI …(2)

dz2zseneIz

2

Hacemos: zeu dz2zsendv

dzeduz

2zcos2

1v

dz2zcose2

12zcose

2

1dz2zseneI

zzz

2

dz2zcose

2

12zcose

2

1I

zz

2

Hacemos: zeu dz2zcosdv

dzeduz

2zsen2

1v

]dz2zsene2

12zsene

2

1 [

2

12zcose

2

1I zzz

2

]dz2zsene2

12zsene

2

1 [

2

12zcose

2

1I zzz

2

dz2zsene4

12zsene

4

12zcose

2

1I

zzz

2

2

zz

2 I4

12zsene

4

12zcose

2

1I

2zsene412zcose

21I

41I zz

22

2zsene4

12zcose

2

1I

4

5 zz

2

2

zz

2 C2zsene5

12zcose

5

2I …(3)

Reemplazando (2) y (3) en (1):



)C2zsene5

1

2zcose5

2 (

4

1)Ceez(

2

1)

4

2zsen

2

z (eI

2

z

z 1

zzz

2

z

z

1

zzzz

C4

12zsene

20

1

2zcose10

1C

2

1e

2

1ez

2

12zsene

4

1ez

2

1I

21

zzzC

4

1C

2

12zcose

10

12zsene

5

1e

2

1I

C2zcose10

12zsene5

1e2

1Izzz

C)Ln x2(cosx10

1)Ln x2(senx

5

1x

2

1I

3.3. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA

Si el integrando contiene una expresión de la forma 22 ua , 22 ua ,

22 au donde ( a > 0 ) a menudo es posible realizar la integración

haciendo una sustitución trigonométrica lo cual nos da una integral que

tiene funciones trigonométricas.

1º CASO: Si la integral contiene el radical 22 ua ( a > 0 ) mediante

la sustitución:

θsenau

Se elimina el radical pues:

θcosaθcosaθsen1aθsenaaua 2222222

Para regresar a la variable original u se emplea el triángulo:

22 ua

ua

θ a

uθsen



2º CASO: Si la integral contiene el radical 22 ua ( a > 0 ) mediante

la sustitución:

θtgau


θsecaθsecaθtg1aθtgaaua 2222222


3º CASO: Si la integral contiene el radical 22au ( a > 0 ) mediante

la sustitución:

θsecau


θtgaθtga1θsecaaθsecaau 2222222


NOTA:

En ciertos casos en lugar de las sustituciones trigonométricas es preferible

emplear las sustituciones hiperbólicas

Para 22 ua la sustitución es: θtghau => θsechaua 22

Para 22 ua la sustitución es: θsenhau => θcoshaua 22

Para 22 au la sustitución es: θcoshau => θsenhaau 22

22 ua u

a

θ

22 au u

a

θ

a

uθtg

a

uθsec



PROBLEMAS

1. dxx4x 22

Hacemos: θsen2x

dθθcos2dx

)dθθcos2()θsen2(4)θsen2(dxx4xI 2222

)dθθcos2()θsen1(4)θsen4(I 22

dθθcosθsen16dθθcosθsen1θsen16I2222

dθθsen16dθθsen16dθ)θsen1(θsen16I4222

dθ)2

2θcos1(16dθ

2

2θcos116I

2

dθ)2θcos1(4dθ)2θcos1(8I2

dθ)2θcos2θcos21(4dθ)2θcos1(8I

2

dθ2θcos4dθ2θcos8dθ4dθ2θcos8dθ8I2

dθ2θcos4dθ4dθ2θcos4dθ4I22

dθ)4θcos1(2dθ4dθ2

4θcos14dθ4I

dθ4θcos2dθ2dθ4θcos2dθ2dθ4I

C4θsen2

12θ)dθ4(4θcos

2

12θI

C4θsen2

12θ)dθ4(4θcos

2

12θI

C2θcosθcosθsen22θC2θcos2θsen2θI

C]θsenθcos[θcosθsen22θI 22 …(1)



Volviendo a la variable original

Sustituyendo en (1):

C])2

x()

2

x4([)

2

x4()

2

x(2

2

xsenarc2I

2222

C]

4

x

4

x4 [)

2

x4()

2

x(2

2

xsenarc2I

222

C)2

x2()

2

x4()

2

x(2

2

xsenarc2I

22

Cx4)x2(x4

1

2

xsenarc2I 2

2

2.

dx

1x4cosxcos

sen x

2

Hacemos: u = cos x

du = – sen x dx

14uu

dudx

1x4cosxcos

sen xI

22

3)2u(

duI

2

Hacemos: θsec32u

dθθtgθsec3du

dθ3)θsec3(

θtgθsec3

3)2u(

duI

22

dθθtg

θtgθsec dθ1θsec

θtgθsec dθ3θsec3

θtgθsec3I22

2x4

x2

θ 2

xθsen



1CθtgθsecLndθθsecI …(1)



1

2

C3

14uu

3

2u LnI

1

2

C3

14uu2u LnI

12 C3Ln14uu2uLnI

C14uu2uLnI 2

Como: u = cos x

C1xcos4xcos2xcosLnI 2

3. 3xx

dx

24

Hacemos. θsenh3x

dθθcosh3dx

dθ3)θsenh3()θsenh3(

θcosh3

3xx

dxI

2424

dθ1θsenh θsenh

θcosh

9

1dθ

3θsenh3 θsenh9

θcosh3I

2424

dθθcsch9

1

θsenh

dθ

9

1dθ

θcoshθsenh

θcosh

9

1I

4

44

3

14uu2

2u

θ 3

2uθsec



dθθcsch)1θctgh(9

1dθθcschθcsch

9

1I

2222

Hacemos: u = ctgh θ

du = – csch θ d θ

du)1u(9

1)dθθcsch()1θctgh(

9

1I

222

Cu9

1u

27

1C)uu

3

1 (

9

1I

33

Como: u = ctgh θ

Cθctgh9

1θctgh27

1I

3


3

xθsenh

3

3xθcosh

2

x

3xθctgh

2

C)x

3x(

9

1)

x

3x(

27

1I

23

2

C]1)x

3x(

3

1 [)

x

3x(

9

1I

222

C]13x

3x [)

x

3x(

9

1I

2

22

C)3x

3x2()

x

3x(

9

1C)

3x

3x3x()

x

3x(

9

1I

2

22

2

222

C3x)27x

32x(I

2

3

2



Identidad

θsenhθcosheθ

θsenhθcoshLneLnθ

θsenhθcoshLnθ

OBSERVACIONES:

1. Si una integral es de la forma

dx)xa,x(f 22n ó dx)ax,x(f 22n

Donde:

-

n es un número entero impar positivo

Es preferible usar la sustitución:

222xaz ó

222axz

2. Para calcular la integral

n22 )k u(

duI

Se puede usar la sustitución trigonométrica:

u = k tg θ ó

También la fórmula de reducción dada por:

1n2221n222

)k u(

du

1)(n2k

32n

)k u()1n(2k

uI , n ≥ 2

PROBLEMAS

1.

dxx4

x

2

3

Hacemos:22

x4z

dxx2dz2z => dxxdzz



)dzz(z

z4)dzz(

z

z4)dxx(

x4

xI

2

2

2

2

2

Cz

3

14zdz)z4(I

32 Cx4)8x(

3

1C)x4(

3

1x44I 223/222

2. dx

)1x(

2x42

3

Hacemos: 1xz2

dx2xdz

dz)z

1

z

1(dz

z

1z)dx2x(

)1x(

xI

43442

2

C)1x(3

1

)1x(2

1C

3z

1

2z

1I

322232

3.

32 )52xx(

dx

32 ]4)1x([

dxI

Donde: k = 2

n = 3

13221322 ]4)1x([

dx

1)(3(2)2

32(3)

]4)1x([1)(32(2)

1x

I

2222 ]4)1x([

dx

16

3

]4)1x([16

1xI …(1)

221]4)1x([

dxI

Donde: k = 2

n = 2



122212221]4)1x([

dx

1)(2(2)2

32(2)

]4)1x([1)(22(2)

1xI

4)1x(

dx

8

1

]4)1x([8

1xI 221

121 C)2

1x(tgarc

16

1

]4)1x([8

1xI

…(2)

Reemplazando (2) en (1):

}C)2

1x(tgarc

16

1

]4)1x([8

1x {

16

3

]4)1x([16

1xI 1222

C)2

1x(tgarc

256

3

)52xx(128

)1x(3

)52xx(16

1xI

222

3.4. INTEGRALES DE ALGUNAS FUNCIONES QUE CONTIENEN

UN TRINOMIO CUADRADO

Se presentan 4 casos que son:

1º

CASO: r qx px

dx2

2º CASO: r qx px

dx

2

3º CASO:

dx

r qx px

bax2

4º CASO: dx

r qx px

bax2

En los casos 1 y 2 basta completar cuadrados en el trinomio y aplicar las

fórmulas elementales: 23, 24, 25 ó 26. En los casos 3 y 4 se usa el

siguiente artificio:

b2p

aq)q2px(

2p

a bax

La expresión ( 2px + q ) es la derivada del trinomio cuadrado entonces:



3º CASO:

dx

r qx px

] b2p

aq)q2px(

2p

a [

dxr qx px

baxI

22

r qx px

dx)

2p

aq b(dx

r qx px

q2px

2p

aI

22

r qx px

dx)

2p

aq b(rqx pxLn

2p

aI

2

2 …(1)

r qx px

dxM

2 …(2)


M)2p

aq b(rqx pxLn

2p

aI 2

4º CASO:

dxr qx px

] b

2p

aq)q2px(

2p

a [

dxr qx px

baxI22

r qx px

dx)

2p

aq b(dx

r qx px

q2px

2p

aI

22

r qx px

dx)

2p

aq b(r qx px

p

aI

2

2 …(1)

r qx px

dx N

2 …(2)


N)2p

aq b(r qx px

p

aI 2

NOTA:

Las integrales M y N son de los CASOS 1 y 2 respectivamente



PROBLEMAS

1.

dx

82xx

7x4

2

Donde: p = 1 q = 2

a = – 7 b = 4

4)1(2

)2()7(]2)x12([

)1(2

747x

11)22x(

2

747x

dx

82xx

]11)22x(2

7 [

dx82xx

7x4I

22

82xx

dx11dx

82xx

22x

2

7I

22

9)1x(dx1182xx7I

22

Hacemos: θsec31x

dθθtgθsec3dx

dθ9)θsec3(

θtgθsec31182xx7I

2

2

dθ1θsec

θtgθsec1182xx7I

2

2

dθθtg

θtgθsec1182xx7I

2

1

2CθtgθsecLn1182xx7I …(1)





1

22

C3

82xx

3

1x Ln1182xx7I

122

C3Ln1182xx1xLn1182xx7I

C82xx1xLn1182xx7I 22

3.5. INTEGRALES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS E

HIPERBÓLICAS

Daremos una tabla de identidades que son importantes para resolver

ciertos tipos de integrales de funciones trigonométricas e hiperbólicas.

NOTA:

1. 1ucosusen22

1’. 1usenhucosh22

2. 1utgusec22

2’. 1utghusech22

3. 1uctgucsc22

3’. 1ucschuctgh22

4. 2

2ucos1usen

2 4’.

2

12ucoshusenh

2

5. 2

2ucos1ucos

2 5’.

2

12ucoshucosh

2

6. ucosusen22usen 6’. ucoshusenh22usenh

7. usenucos2ucos22

7’. usenhucosh2ucosh22

I. INTEGRALES DE LA FORMA

dxxcosxsen

nm

y dxxcoshxsenh

nm

Se consideran dos casos:

3

82xx2

1x

θ 3

1xθsec



1º CASO: Uno de los exponentes m ó n es un entero impar positivo

Si m es impar positivo se factoriza sen x dx ( senh x dx ) y se

expresa los senos (senos hiperbólicos) restantes en función de

cosenos (cosenos hiperbólicos) usando la identidad:xcos1xsen

22 ó 1xcoshxsenh

22

PROBLEMAS

1. dxxsenh3

)dxsenh x(xsenhdxxsenhI23

)dxsenh x()1xcosh(I 2

Hacemos: u = cosh x

du = senh x dx

Cuu3

1du)1u(I

32

Como: u = cosh x

Ccosh xxcosh3

1I

3

Si n es impar positivo se factoriza cos x dx ( cosh x dx ) y se

expresa los cosenos (cosenos hiperbólicos) restantes en función

de senos (senos hiperbólicos) usando la identidad:

xsen1xcos22

ó xsenh1xcosh22

PROBLEMAS

1. dxxcosh3

)dxcosh x(xcoshdxxcoshI23

)dxcosh x()xsenh1(I2

Hacemos: u = senh x

du = cosh x dx



Cu3

1udu)u1(I

32

Como: u = senh x

Cxsenh31senh xI 3

2º CASO: Ambos exponentes m y n son enteros pares y mayores o

iguales que cero. En este caso se usan las identidades:

2

2xcos1xsen

2 ó

2

12xcoshxsenh

2

2

2xcos1xcos

2 ó 2

12xcoshxcosh

2

NOTA:

Al efectuar las operaciones se obtienen términos que contienen

potencias pares e impares de cos 2x. Los términos que tienen las

potencias impares se integran teniendo en cuenta el 1º CASO. Los

términos que tienen las potencias pares se reducen de nuevo usando

sucesivamente las fórmulas indicadas.

PROBLEMAS

1. dx3xcos3xsen42

dx)3xcos(3xsendx3xcos3xsenI22242

dx]2

6xcos1 [)2

6xcos1(I

2

dx)6xcos1()6xcos1(8

1I

2

dx)6xcos6xcos21()6xcos1(8

1I

2

dx)6xcos6xcos6xcos1(

8

1I

32



dx)6xcos2

12xcos16xcos1(

8

1I

3

dx)6xcos12xcos2

16xcos

2

1 (

8

1I

3

dx)6xcos6xcos12xcos2

16xcos

2

1 (

8

1I

2

dx]6xcos)6xsen1(12xcos2

16xcos

2

1 [

8

1I

2

dx)6xcos6xsen6xcos12xcos2

16xcos

2

1 (

8

1I

2

dx)6xcos6xsen12xcos2

1

2

1 (

8

1I

2

dx6xcos6xsen8

1dx12xcos

16

1dx

16

1I

2

dx6xcos6xsen8

112xsen

192

1x

16

1I

2

Hacemos: u = sen 6x

du = 6 cos 6x dx

)dx6xcos6(6xsen48

112xsen

192

1x

16

1I

2

duu48

112xsen

192

1x

16

1I

2

Cu144

112xsen

192

1x

16

1I

3

Como: u = sen 6x

C6xsen144

112xsen

192

1x

16

1I

3

II. INTEGRALES DE LA FORMA

dxxsecxtg nm ;

dxxcscxctg nm



dxxsechxtghnm ; dxxcschxctgh

nm

Se consideran dos casos:

1º

CASO: Si m es un entero impar positivo se factoriza tg x sec x

( ctg x csc x dx ) ó tgh x sech x dx ( ctgh x csch x dx ) y se expresa

las tangentes (cotangentes) ó tangentes hiperbólicas (cotangentes

hiperbólicas) restantes en términos de secantes (cosecantes) ó secante

hiperbólico (cosecante hiperbólico) mediante la identidad:

1xsecxtg22

ó xsech1xtgh22

1xcscxctg

22

ó xcsch1xctgh

22

PROBLEMAS

1. dxxsen

xcos4

3

dxxcscxctgdxsen x

1.

xsen

xcosdx

xsen

xcosI

3

3

3

4

3

)dxxctgxcsc()1xcsc()dxxcscxctg(xctgI 22

Hacemos: u = csc x

du = – csc x ctg x dx

)dxxctgxcsc()xcsc1(I2

Cu3

1

udu)u1(I

32

Como: u = csc x

Cxcsc3

1 xcscI

3

2º CASO: Si n es un entero par positivo se factoriza sec²x dx

( csc²x dx ) ó sech²x dx ( csch²x dx ) y el resto de los secantes

(cosecantes) ó secantes hiperbólicos (cosecantes hiperbólicos) se



transforman en términos de tangente (cotangente) ó tangente

hiperbólico (cotangente hiperbólico) usando la identidad:

xtg1xsec22

ó xtgh1xsech22

xctg1xcsc 22 ó 1xctghxcsch 22

PROBLEMAS

1. dxxtg

xsec4

4

)dxxsec(xtg

xtg1)dxxsec(

xtg

xsecdx

xtg

xsecI

2

4

22

4

2

4

4

)dxxsec()xtg

1

xtg

1 (I

2

24

Hacemos: u = tg x

du = sec²x dx

C

u

1

3u

1du)

u

1

u

1 (I

324

Como: u = tg x

Cxctgxctg3

1C

xtg

1

xtg3

1I

3

3

2. xcosxsen

dx

53

dxxsecxcscxcosxsen

dx

xcosxsen

dxI

5/23/2

5/23/253

)dxxsec(xsecxcscI21/23/2

)dxxsec(xsecxsecxcscI22/233/2

)dxxsec(xsecxtg)dxxsec(xsec

xsec

xcscI

223/222

3/2

3/2



)dxxsec()xtg1(xtgI

223/2

)dxxsec()xtgxtg(I

21/23/2

Hacemos: u = tg x

du = sec²x dx

Cu3

2

u

2du)uu(I

3/2

1/2

1/23/2

Como: u = tg x

Cxtg3

2 xctg2Cxtg

3

2

xtg

2I 33/2

1/2

III. INTEGRALES DE LA FORMA

dxnxcosmxsen ; dxnxcoshmxsenh

dxnxsenmxsen ; dxnxsenhmxsenh

dxnxcosmxcos ; dxnxcoshmxcosh

Para calcular estas integrales se usan las fórmulas:

]n)x(msenn)x(msen[2

1nx cosmxsen

]n)x(m cosn)x(m cos[2

1nxsenmxsen

]n)x(m cosn)x(m cos[2

1

nx cosmxcos

]n)x(msenhn)x(msenh[2

1nxcoshmxsenh

]n)x(mcoshn)x(mcosh[2

1nxsenhmxsenh

]n)x(mcoshn)x(mcosh[

2

1nxcoshmxcosh



PROBLEMAS

1. dx5xcoshxsenh2

dx5xcosh)2

12xcosh

(dx5xcoshxsenhI

2

dx5xcosh2

1dx2xcosh5xcosh

2

1I

dx5xcosh2

1dx]2)x(5cosh2)x(5cosh[

2

1

2

1I

dx5xcosh

2

1dx)3xcosh7xcosh(

4

1I

dx5xcosh2

1dx3xcosh

4

1dx7xcosh

4

1I

C5xsenh10

13xsenh

12

17xsenh

28

1I

3.6. INTEGRALES DE FUNCIONES RACIONALES POR

FRACCIONES PARCIALESSea la función racional

Q(x)

P(x)(x)f ; Df = { x ε R / Q(x) ≠ 0 }

P(x), Q(x) son polinomios de grados m y n (m, n ε N) respectivamente.

Función Racional Propia

Q(x)P(x)(x)f es propia si se verifica esta condición m < n

Función Racional I mpropia

Q(x)

P(x)(x)f es impropia si se verifica esta condición m ≥ n

PROBLEMAS

1. 3xx

12xxf(x)

3

24

=> f(x) es una función racional impropia



2. 2x

1xf(x)

3

3

=> f(x) es una función racional impropia

3.

2x

xf(x)

2

=> f(x) es una función racional propia

NOTA:

Toda fracción impropia puede ser expresada como la suma de un

polinomio y de una fracción propia es decir:

Q(x)

R(x)(x)C

Q(x)

P(x)(x)f , Donde: Gr [R(x)] < Gr [Q(x)]

Por lo tanto:

Q(x)

R(x)(x)C

Q(x)

P(x) => dx

Q(x)

R(x)dxC(x)dx

Q(x)

P(x)

Donde: dxC(x) es elemental

PROBLEMAS

1. 1x

23xxf(x)

3

6

44x

24x

xx

23xx

4xxxx

1 x23x x

2

2

223

3

1x

6)4xx(

1x

23xxf(x)

23

Donde:

4xxC(x)2

6R(x)



1xQ(x)

OBSERVACIÓN:

1. Veremos el método de integración para fracciones propias el cual se

basa en que “Toda fracción racional propia puede ser descompuestaen la suma de fracciones simples”.

TEOREMA

Cualquier polinomio Q(x) de grado n ≥ 1 con coeficientes reales puede ser

expresado como un producto de factores lineales y cuadráticos siendo

estos irreducibles en el sistema de los números reales.

CASOS1º CASO: Los factores de Q(x) son todos lineales y ninguno se repite es

decir: Q(x) = ( x – a1 ) ( x – a2 ) ( x – a3 ) … ( x – an ), donde no hay

dos ai idénticas en este caso escribimos a la fracción propia:

n

n

3

3

2

2

1

1

ax

A .. .

ax

A

ax

A

ax

A

Q(x)

P(x)

Donde: A1, A2, A3, … , An son constantes que van a ser determinadosPROBLEMAS

1.

dx

82xx

14x4xx2

24

64x18

64x168x

x28x

16x4x2x

14x4x2x

8x2xx8x2x

8x2 xx14x4 x

2

2

23

23

2

234

224

dx)

82xx

6418x82xx(dx

82xx

14x4xxI

2

2

2

24



dx

82xx

6418xdx)82xx(I

2

2

dx

82xx

6418x8xxx

3

1I

2

23 …(1)

dx

)2x()4x(

6418xdx

82xx

6418xI

21

2x

B

4x

A

)2x()4x(

6418x

)4xB()2xA(6418x

4BBx2AAx6418x 4B)2A(B)xA(6418x

3

14B ,

3

68A

644B2A

18BA

dx)

2x

14/3

4x

68/3 (dx

)2x()4x(

6418xI1

2x

dx

3

14

4x

dx

3

68I1

C2xLn3

14 4xLn

3

68I1 …(2)


C2xLn3

14 4xLn3

688xxx3

1I

23

2º CASO: Los factores de Q(x) son todos lineales y algunos están

repetidos por lo que si ( x – ai ) es un factor que se repite p veces

entonces correspondientes a este factor habrá la suma de p fracciones

parciales es decir:

i

p

2 pi

3

1 pi

2 pi

1 pi ax

A

... )ax(

A

)ax(

A

)ax(

A

)ax(

P(x)



Donde: A1, A2, A3, … , A p son constantes que van a ser determinados

PROBLEMAS

1.

dx

1xxx

1xx23

2

dx

)1x(1)x(

1xxdx

1xxx

1xxI

2

2

23

2

1x

C

)1x(

B

1x

A

)1x(1)x(

1xx22

2

)1x()1xC()1xB()1xA(1xx22

)1xC()1xB()12xxA(1xx222

CCxBBxA2AxAx1xx222

)CBA()xB2A()xCA(1xx22

4

5C ,

2

1B ,

4

1A

1CBA

1B2A

1CA

dx]

1x

5/4

)1x(

1/2

1x

1/4 [dx

)1x(1)x(

1xxI

22

2

1x

dx

4

5

)1x(

dx

2

1

1x

dx

4

1I

2

C1xLn4

5

)1x(2

1 1xLn

4

1I

3º CASO: Los factores de Q(x) son lineales y cuadráticos y ninguno de

los factores cuadráticos se repite correspondiente al factor cuadrático

x2 + px + q en el denominador. Esta fracción parcial es de la forma:

q pxx

BAx

2

Ejemplo:



22xx

CBx

3x

A

)22xx()3x(

1x22

2

ó más conveniente:

22xx

C2)B(2x

3x

A

)22xx()3x(

1x22

2

PROBLEMAS

1. dx

1x

x3

5

dx

1x

xdxxdx)

1x

x x(dx

1x

xI

3

22

3

22

3

5

dx

)1xx()1x(

xx

3

1dx

1x

xx

3

1I

2

23

3

23 …(1)

dx

)1xx()1x(

xI

2

2

1

1xx

C)12xB(

1x

A

)1xx()1x(

x22

2

)1xC()1x)(12xB()1xxA(x22

)1xC()1x2xB()1xxA(x222

CCxBBx2BxAAxAxx222

)CBA()xCBA()x2BA(x

22

0C , 3

1B ,

3

1A

0CBA

0CBA

1B2A

dx

1xx

12x

3

1

1x

dx

3

1dx]

1xx

1)(2x3

1

1x

3

1

[I221



C1xxLn3

1 1xLn

3

1I 21 …(2)


C1xxLn31 1xLn

31x

31I 23

C1xLn3

1x

3

1I 33

4º CASO: Los factores de Q(x) son lineales y cuadráticos y algunos de

los factores cuadráticos se repiten si x2 + px + q es un factor que se

repite n veces entonces correspondiente a este factor habrá la suma de

n fracciones parciales es decir:

q pxx

BxA..

q) px(x

BxA

q) px(x

BxA

q) px(x

BAx2

nn1n2

22n2

11n2

Ejemplo:

92xx

F2)E(2x

9)2x(x

D2)C(2x

9)2x(x

B2)A(2x

9)2x(x

1x2223232

2

PROBLEMAS

1.

dx

)2x(

1xx22

3

2x

DC(2x)

)2x(

BA(2x)

)2x(

1xx22222

3

)2xD()2x(C(2x)BA(2x)1xx223

2DDx4Cx2CxB2Ax1xx233

2D)(B4C)x2A(Dx2Cx1xx233

0D ,

2

1C , 1B ,

2

1A

12DB

1C42A

0D

1C2



dx]

2x

(2x)2

1

)2x(

1(2x)2

1

[dx)2x(

1xxI

22222

3

dx2x

2x

2

1

)2x(

dxdx

)2x(

2x

2

1I 22222

22222 )2x(

dxdx

2x

2x

2

1dx

)2x(

2x

2

1I

22

2

2 )2x(

dx)2x(Ln

2

1

2)(x2

1I …(1)

221)2x(

dxI

Hacemos: θtg2x

dθθsec2dx2

dθ

)1θtg(

θsec

4

2dθ

]2θ)tg2([

θsec2I

22

2

22

2

1

dθθcos4

2

θsec

dθ

4

2dθ

θsec

θsec

4

2I

2

24

2

1

dθ2θcos8

2dθ

8

2dθ

2

2θcos1

4

2I1

Cθcosθsen8

2θ

8

2C2θsen

16

2θ

8

2I1

…(*)


Sustituyendo en (*):

2

x2x2

θ 2

xθtg



C)2x

2()

2x

x(

8

2)

2

x(tgarc

8

2I

221

C2)(x4

x)

2

x(tgarc

8

2I

21

…(2)


C2)4(x

x)

2

x(tgarc

8

2)2x(Ln

2

1

2)(x2

1I

2

2

2

C)2

x(tgarc

8

2)2x(Ln

2

1

)2x(4

2xI

2

2

3.7.

INTEGRALES DE FUNCIONES RACIONALES

TRIGONOMÉTRICAS

En general las funciones que contienen combinaciones de funciones

trigonométricas no son integrables por medio de procedimientos

elementales. Veremos algunos casos en los que la expresión a integrarse

puede ser racionalizada.

INTEGRALES DE LA FORMA

dx)sen x,xcosR(

Un integrando que contiene una función racional de sen x y cos x se puede

reducir a una función racional en la variable z por medio de la sustitución

z = tg (x/2). Obteniéndose de esta una integral que va a quedar de la

siguiente forma:

222

2

z1

dz2 )

z1

2z ,

z1

z1 R(dx)sen x,xcosR(

Luego la integral del segundo miembro es la integral de una función

racional en la variable z.

OBSERVACIÓN:

Para obtener:



2

2

z1

z1 xcos

2z1

z2sen x

2z1

dz2dx

Nos valemos de la sustitución:

)2x( tgz

1

z)

2

x( tg

)z1

1()

z1

z(2)

2

x(cos)

2

x(sen2)

2

x(2sensen x

22

2z1z2sen x

2

2

2

2

22)

z1

z()

z1

1()

2

x(sen)

2

x(cos)

2

x(2cosxcos

2

2

z1

z1 xcos

)2x( tgz =>

2xztgarc => ztgarc2x

2z1

dz2dx

PROBLEMAS

1. xcos3sen x2

dx

Hacemos: )2

x( tgz

2z1

z2sen x

2

2

z1

z1 xcos

2z1

dz2dx

)z1

z13(

z1

2z2

z1

dz2

xcos3sen x2

dx

I

2

2

2

2

1

z2z1

x/2



2222 z332zz22

dz 2

)z3(12z)z2(1

dz 2I

6)1z(

dz 2

52zz

dz 2

52zz

dz 2I

222

)61z()61z(

dz 2I

61z

B

61z

A

)61z()61z(

1

)61B(z)61A(z1

)61B(z)61A(z1

])B16()A16([)zBA(1

62

1B ,

62

1A

11)B6(1)A6(

0BA

dz]61z

62

1

61z

62

1

[2I

61z

dz

6

1

61z

dz

6

1I

C61zLn

6

1 61zLn

6

1I

C61z

61z Ln

6

1I

Como: )2

x( tgz

C61)

2

x(tg

61)2

x(tg

Ln6

1

I



OBSERVACIÓN:

1. La sustitución z = tg (x/2) ofrece la posibilidad de integrar cualquier

función racional de sen x y cos x sin embargo en la práctica conduce

a menudo a funciones racionales demasiado complicadas por estarazón en algunos casos es preferible usar la sustitución:

xtgt

1

t xtg

2

t1

tsen x

2t1

1 xcos

ttgarcx =>2

t1

dtdx

Esta sustitución debe ser usada cuando la función racional

trigonométrica tiene la forma:

dx)xsen,xcosR(

k n ; k, n son números enteros pares

dx)xtgR(

PROBLEMAS

1.

dx

xcos3

xcos2xsen

2

22

Hacemos: xtgt

2t1

tsen x

2t1

1 xcos

2t1

dtdx

22

2

2

2

2

2

2

22

t1

dt

.)

t1

1(3

)t1

1(2)

t1

t(

dxxcos3

xcos2xsen

I

1

t2t1

x



22

2

2

2

22

2

t1

dt.

1)t3(1

2t

t1

dt.

t1

13

t1

2

t1

t

I

dt

)t1()3t2(

2t

t1

dt.

1t33

2tI

22

2

22

2

2222

2

t1

DC(2t)

3t2

BA(6t)

)t1()3t2(

2t

)3tD(2)3tC(2t)(2)tB(1)tA(6t)(12t22222

23232 3Dt2D6Ct4CtBtB6At6At2t

2D)(B4C)t(6A3D)t(B6C)t(6A2t232

3D , 0C , 8B , 0A

22DB

0C46A

13DB

06C6A

2222 t1

dt3

3t2

dt8dt]

t1

3

3t2

8 [I

C])

3

2

t(tgarc

3

2

1 [

3

8 ttgarc3

t3

2

dt

3

8

t1

dt3I

22

C)2

t3(tgarc

23

38 ttgarc3I

Como: t = tg x

C)2

xtg3(tgarc

23

38)xtg(tgarc3I

C)2

xtg3

(tgarc3

64

3xI



3.8. INTEGRALES DE FUNCIONES IRRACIONALES

En la sección anterior hemos visto que las funciones racionales poseen

integrales que se expresan como combinaciones lineales finitas de

funciones elementales esto no sucede con las funciones irracionales salvoen casos particulares.

Ahora vamos a estudiar ciertas funciones irracionales cuya integral puede

ser expresada como una suma finita de funciones elementales para esto es

necesario un adecuado cambio de variable de manera que el integrando de

la nueva integral sea una función racional.

I. INTEGRALES DE LA FORMA

dx])

dxc

bxa(,...,)

dxc

bxa(,xR[ k

n

k m

in

im

Donde:

- R es una función irracional en la variable x

-

k

n

k m

i

n

im

)dxc

bxa(,...,)dxc

bxa(

mi, … , mk ; ni, … , nk ε Z

i

i

n

m ; i = 1, 2, … , k es número racional

Para que:

])dxc

bxa(,...,)

dxc

bxa(,xR[ k

n

k m

in

im

Se transforme en una función racional en la variable t se hace el

cambio de variable:

dxc

bxat

n

Donde:- n es el M.C.M. [ n1, n2, … , nk ]



n

n

td b

atcx

dt

)td b(

n t)dac b(dx

2n

1n

PROBLEMAS

1. 3xx

dx

1/31/23 xx

dx

xx

dxI

n = M.C.M. [ 2 , 3 ] = 6Hacemos: x = t6

dx = 6t5 dt

dt

tt

t6dt

)(t)(t

6t

xx

dxI

23

5

1/361/26

5

1/31/2

dt1t

t

6dt)1t(t

t

6I

3

2

5

1

1t

t

tt

t

1tt tt

1 t t

2

2

223

3

1t

dt6dt)1tt(6dt)

1t

11tt(6I

22

C1tLn6t3t2tI23

Como: t = x1/6

C1)(xLn6x)3(x)2(xI 1/61/621/631/6



C1xLn6x3x2xI 1/61/61/31/2

C1xLn6xx 3x2I663

2. 128x32x)52x(

dx

)32x(432x)832x(

dxI

n = M.C.M. [ 1 , 2 ] = 2

Hacemos: 2x – 3 = t²

dx = t dt

4t8t

dt

4tt)8t(

dtt

4tt)8t(

dttI

222222

4)2t(

dt

84tt

dtI

22

Por Fórmula Elemental: ( ó por sustitución t + 2 = 2 tg θ )

C)2

2t(tgarc

2

1I

Como: 32xt

C)2

232x(tgarc

2

1I

II. INTEGRALES DE LA FORMA

r qx px)ax(

dx

2n , n ε N

Para evaluar este tipo de integrales se emplea la sustitución:

t

1ax

2tdtdx



PROBLEMAS

1. 2x3x)1x(

dx

2

Hacemos:t11x

2t

dtdx

2)t

1t(3)t

1t(t

1

t

dt

2x3x)1x(

dxI

2

2

2

22

2

2

2t1)(t3t1)(tt

1

t

dt

I

22

2t1)(t3t1)(t

dtI

t1

dt

t1

dt

2t3t3t12tt

dtI

222

Ct12I

Como:1x

1t

C1x

2x2C1x

112I

2. 4x2xx

dx

22

Hacemos:t

1x

2t

dtdx



4)t

1(2)

t

1()

t

1(

t

dt

4x2xx

dxI

22

2

22

12t4t

dtt

4t2t1

dtt

4t

2

t

1

t

1

t

dt

I22

22

2

Hacemos:4

1)28t(

8

1t

dt

12t4t

4

1)28t(

8

1

I2

12t4t

dt

4

1dt

12t4t

28t

8

1I

22

12t4t

dt

4

112t4t

4

1I

2

2

4

1t

2

1t

dt

8

112t4t

4

1I

2

2

16

3)

4

1 t(

dt

8

112t4t

4

1I

2

2

Por Fórmula Elemental: ( ó por sustitución θtg4

3

4

1t )

C4

1t

2

1t

4

1 tLn

8

112t4t

4

1I 22

C4

12t4t14t

Ln8

1

12t4t4

1

I

22



C12t4t14tLn8

112t4t

4

1I 22

Como:x

1t

C1x

2

x

41

x

4 Ln

8

11

x

2

x

4

4

1I

22

Cx

42xx1

x

4 Ln

8

1

4x

42xxI

22

Cx

42xxx4 Ln81

4x42xxI

22

III. INTEGRALES DE LA FORMA

dx)c bxax,xR(2

Donde:

-

)c bxax,xR(

2

es una función racional de las

variables x , c bxax2

Esta integral puede ser reducida mediante las sustituciones de Euler,

las que permiten el integrando en una función racional en una sola

variable t se presentan tres casos:

1º CASO: ( c ≥ 0 ) Se hace el cambio de variable:

ctxc bxax2

Donde los signos se eligen de forma tal que los cálculos se

simplifiquen. Sin embargo de cualquiera de las elecciones siempre se

obtiene una función racional en la variable t.

PROBLEMAS

1.

dxxx1xxx112

2



dx

1xxx

1xx1dx

xx1x

xx11I

2

2

2

2

Hacemos: 1tx1xx2

222)1tx()1xx(

12t xxt1xx222

2t xxtxx222

)2txt(x)1x(x2

2txt1x2

2t1xxt2

2t1)1t(x2

1t

2t1x

2

dt)1t(

2t)(2t)(11)2(tdx 22

2

dt)1t(

1)t(t2dx

22

2

dt)1t(

)1tt(2.

]1)1t

2t1

(t[)1t

2t1

(

]1)1t

2t1(t[1

I22

2

22

2

dt)1t(

)1tt(.

]1)1t

2t1(t[)

1t

2t1(

)1t

2t1(t

2I22

2

22

2

dt

)1t(

)1tt(.

]1)1t

2t1(t[

t2I

22

2

2



dt

)1t(

)1tt(.

]1t

1t)2t1(t[

t2I

22

2

2

2

dt

)1t()1tt(.

)1t

1t2tt (

t2I22

2

2

22

dt

)1t(

)1tt(.

)1t

1tt (

t2I

22

2

2

2

dt1t

2tdt

1t

t2dt

)1t(

)1tt(.

)1t

1tt (

t2I 2222

2

2

2

C1tLnI 2

Como:x

11xxt

2

2

222

x

11xx21xxt

C1x

11xx21xx LnI

2

22

Cx

1xx22x LnI

2

2

2º CASO: ( a ≥ 0 ) Se hace el cambio de variable:

txac bxax2

Donde la selección de los signos es arbitraria y se eligen

fundamentalmente de manera que se simplifique los cálculos.

PROBLEMAS

1. dx2x2xx2



Hacemos: tx12x2x2

222)xt()22xx(

222

x2t xt22xx 2t xt22x

2

2t2x2t x2

2t)22t(x2

)1t(2

2tx

2

dt)1t(2

22ttdx

2

2

dt

)1t(2

22tt .]t

)1t(2

2t []

)1t(2

2t [I

2

222

dt

)1t(

22tt .])1t(2t)2t([]

)1t(

2t [

8

1I

2

22

2

2

dt

)1t(

22tt .)2t2t2t(]

)1t(

2t [

8

1I

2

222

2

2

dt

)1t(

22tt .)22tt(]

)1t(

2t [

8

1I

2

22

2

2

dt

)1t(

)22tt()2t(

8

1I 4

222

dt

14t6t4tt

816t12t6t4tt

8

1I

234

2456

816t13t4t

t tt46t4tt

14t6t4t t 816t12t6t4t t

23

223456

2342456

________ __________



dt)

14t6t4tt

816t13t4t t(

8

1I

234

232

dt

14t6t4tt

44tt)412t12t4t(

8

1dtt

8

1I

234

2232

dt

)1t(

44tt

8

1dt

14t6t4tt

412t12t4t

8

1t

24

1I

4

2

234

233

dt

)1t(

44tt

8

1 14t6t4ttLn

8

1t

24

1I

4

22343

dt)1t(

44tt

8

1

)1t(Ln8

1

t24

1

I 4

243

dt

)1t(

44tt

8

1 1tLn

2

1t

24

1I

4

23 …(1)

dt

)1t(

44ttI

4

2

1

1tD

)1t(C

)1t(B

)1t(A

)1t(44tt

2344

2

3221)D(t1)C(t1)B(tA44tt

1)3t3tD(t1)2tC(t1)B(tA44tt2322

D3Dt3DtDtC2CtCtBBtA44tt2322

D)CB(At3D)2CB(t3D)C(Dt44tt232

0D , 1C , 2B , 1A

4DCBA

43DC2B

13DC

0D

dt]

)1t(1

)1t(2

)1t(1 [dt

)1t(44ttI 2344

2

1



2341)1t(

dt

)1t(

dt2

)1t(

dtI

1231 C

1t

1

)1t(

1

)1t3(

1I

…(2)


C)1t(8

1

)1t(8

1

)1t(24

1 1tLn

2

1t

24

1I

23

3

C)1t(24

)1t(3)1t(31 1tLn

2

1t

24

1I

3

23

C)1t(24

36t3t33t1 1tLn

2

1t

24

1I

3

23

C)1t(24

79t3t 1tLn

2

1t

24

1I

3

23

Como: 22xxxt2

C)22xx1x(24

22xx)96x()1315x6x(

22xx1xLn2

1

24

)22xxx(I

32

22

232

3º CASO: Cuando las raices del trinomio ax² + bx + c son reales es

decir: )xx()xx(ac bxax 21

2 ; se hace el cambio de

variable:

)xx(t)xx()xx(ac bxax 121

2 , x1 < x2

PROBLEMAS

1.

dx

6x5xx

6x5xx

2

2

Hacemos: )2x(t)3x()2x(6x5x2



222)2x(t])3x()2x([

22)2x(t)3x()2x(

)2x(t3x2

22t2x t3x

22t23x tx

22t23)t1(x

2

2

t1

t23x

dt)t1(

2tdx

22

dt)t1(

2t.

t)2t1

2t3 (

t1

2t3

t)2t1

2t3 (

t1

2t3

I22

2

2

2

2

2

2

2

2

dt

)t1(

2t.

)t1(2t)2t3(t2t3

)t1(2t)2t3(t2t3I

22222

222

dt

)t1(

2t.

t22t2t3t2t3

t22t2t3t2t3I

22332

332

dt

)t1(

t.

3t2t

3t2t2dt

)t1(

2t.

3t2t

3t2tI

222

2

222

2

dt

)1t(

t.

)1t()32t(

)1t()32t(2dt

)1t(

t.

3t2t

3t2t2I

22222

2

dt

)1t()1t(

t.

)1t()32t(

)1t()32t(2I

22

dt)1t()1t()32t(

6t4t

I 3

2



1t

E

)1t(

D

)1t(

C

1t

B

32t

A

)1t()1t()32t(

6t4t233

2

1)(t1)3)(tE(2t1)1)(t3)(tD(2t

1)3)(tC(2t1)3)(tB(2t1)(t1)A(t6t4t

2

332

3E)3D3C3BA(

tE)2D5C7B2A(t5E)3D2C3B(

tE)2D3B(2At2E)2B(A6t4t

2

342

500

49E ,

50

19D

5

1C , 4

5B , 125

288A

0E3D3C3B3A

6ED2C5B7A2

45E3D2CB3

0E2D3B2A

02E2BA

1t

dt

500

49

)1(t

dt

50

19

)1(t

dt

5

1

1t

dt

4

5

32t

dt

125

288I

23

C1tLn500

49

1)(t50

19

1)(t10

1 1tLn

4

5 32tLn

125

144I

2

Como:2x

65xxt

2

C12x

65xx Ln500

49

1)2x

65xx(50

19

1)2x

65xx(10

1

12x

65xx Ln

4

5 3

2x

65xx2 Ln

125

144I

2

22

2

22



3.9. INTEGRALES DE LA FORMA

dx) bxa(x pnm

Donde: m, n y p son números racionales (se entiende que a y b son

constantes reales no nulos). A una expresión de la forma

dx) bxa(x pnm

se le llama Binomio Diferencial . El destacado

matemático ruso más eminente del siglo XIX: Pafnuty Lvovich

Chevyshev, demostró que la integral de los binomios diferenciales, con

exponentes racionales puede expresarse mediante funciones elementales

solamente en los casos siguientes, (siempre que a ≠ 0 y b ≠ 0):

CASO I: p es un número entero

CASO II:n

1m es un número entero

CASO III: pn

1m

es un número entero

Si ninguno de los números p, n

1m , pn

1m

es entero, la integral no

puede ser expresada por funciones elementales.

En los 3 casos, mediante sustituciones adecuadas, la integral del binomio

diferencial puede reducirse a la integral de una función racional.

CASO III: Si p es un número entero, la sustitución será:

r zx

Donde:

- r es el M.C.M. de los denominadores de las

fracciones m y n.

CASO III: Sin

1m es un número entero, la sustitución será:

snz bxa

Donde:



- s es el denominador de la fracción p (por ser p un

número racionals

r p , r y s son números enteros

coprimos).

CASO III: Si pn

1m

es un número entero, la sustitución será:

nsnxz bxa ó sn

z bax

Donde:

- s es el denominador de la fracción p.

PROBLEMAS1.

dx)x1(x

21/31/2

En la integral2

1m ,

3

1n y 2 p (p es un número entero)

r = M.C.M. [ 2 , 3 ] = 6

Hacemos: 6zx

dzz6dx5

)dz6z(])(z1[)(zdx)x1(xI521/361/2621/31/2

dz

)z1(

z6)dz6z()z1(zI

22

85223

dz]

)z1(

34z32zz[6dz

1z2z

z6I 22

2

2424

8

dz

)z1(

34z6dz)32zz(6I

22

224

dz

)z1(

34z618z4zz

5

6I

22

235 …(1)

dz

)z1(

34zI

22

2

1



Hacemos: z = tg θ

dz = sec2θ dθ

)dθθsec(

θsec

3θtg4)dθθsec(

])θtg(1[

3)θtg(4I

2

4

22

22

2

1

dθ)θcos3θsen4(dθθsec

3θtg4I

22

2

2

1

dθ]2

2θcos33)2θcos1(2[I1

dθ)2θcos

2

1

2

7 (dθ)2θcos

2

3

2

32θcos22(I1

111 Cθcosθsen2

1θ

2

7C2θsen

4

1θ

2

7I …(*)

Volviendo a la variable z


1221 C)1z

1 ()

1z

z (

2

1ztgarc

2

7I

121 C)1z(2

zztgarc

2

7I

…(2)


]C)1z(2

zztgarc

2

7 [618z4zz

5

6I 12

35

C1z

3zztgarc2118z4zz

5

6I

2

35

Como:1/6

xz

1

z1z2

θ

zθtg



C1x

x 3xtgarc21x 18x4x

5

6I

3

6665/6

2. dx)x2(x1/42/31/3

En la integral3

1m ,

3

2n y

4

1 p => 2

n

1m

Hacemos: 42/3zx2 => 2zx

42/3

dzz4dxx3

2 31/3

=> dzzx6dx31/3

)dzz6x()z(xdx)x2(xI

31/31/441/31/42/31/3

dz)2zz(6dzz)2z(6dzzx6I484442/3

Cz5

12z

3

2I

59

Como: 1/42/3)x2(z

C)x2(5

12)x2(

3

2I

5/42/39/42/3

3. 1/666)x65(x

dx

dx)x65(xI1/666

En la integral 6m , 6n y 61 p => 1 p

n1m

Hacemos: 666 xzx65 => 66

z165x

dzz6dx)6x(6557

=> dzzx65

1dx

57

dzzxzx

65

1)dzzx

65

1 ()xz(xI

5717571/6666

Cz325

1dzz

65

1I

54



Como:x

)x65(z

1/66

C

x325

)x65(I

5

5/66

4.

INTEGRALES DE LAS FORMAS

1. C(x)Qdxe(x)Pax

n

ax

n e

01

2n

2n

1n

1n

n

nn bx b...x bx bx b(x)Q

2. C]...

a

(x)'''P

a

(x)''P

a

(x)'PP(x)[

a

edxeP(x)

32

axax

3. ].. .a

(x)P

a

(x)''PP(x)[

a

axcosdxaxsenP(x)

4

(4)

2

C]...a

(x)P

a

(x)'''P

a

(x)'P [

a

axsen5

(5)

3

4.

].. .

a

(x)P

a

(x)''PP(x)[

a

axsendxaxcosP(x)

4

(4)

2

C]...a

(x)P

a

(x)'''P

a

(x)'P [

a

axcos

5

(5)

3

5.

c bxax

dx λ c bxax.(x)Qdx

c bxax

(x)P

2

2

1n2

n

Qn – 1(x) se escribe con coeficientes indeterminados. Se deriva ambos miembros

y encontramos los valores de estos coeficientes indeterminados de Qn – 1(x) y elvalor de λ

6. Ccosh x bsenh xaLnBAxdxcosh x bsenh xa

cosh xdsenh xc

Derivando ambos miembros se determina los valores de A y B

7. Cxcos bsen xaLnBAxdx

xcos bsen xa

xcosdsen xc

Derivando ambos miembros se determina los valores de A y B



PROBLEMAS

1. dxe)52x6x8x(4x23

Ce) bx bx bx b(dxe)52x6x8x(4x

01

2

2

3

3

4x23

Derivando ambos miembros

]e) bx bx bx b([dx

de)52x6x8x(

4x

01

2

2

3

3

4x23

4x

10

21

2

32

3

3

4x23

e]) b b4(

x) b2 b4(x)3b b4(x4b[e)52x6x8x(

8

9 b ,

2

1 b , 0 b , 2 b

5 b4b

22b4b

63b4b

84b

0123

10

21

32

3

Ce)

8

9x

2

12x(dxe)52x6x8x(I

4x34x23

2. dxe)3xx(6x3

C]...a

(x)'''P

a

(x)''P

a

(x)'PP(x)[

a

edxeP(x)

32

axax

x3xP(x)3

3x3(x)'P2

x6(x)''P

6(x)'''P

C])6(

6

)6(

6x

6

33x3xx[

6

eI

32

23

6x

C]361

6x

21x3xx[

6eI

23

6x



C]16x1818x108x36x[216

eI

236x

C]17102x18x36x[216eI 23

6x

C)17102x18x36x(216

1I

6x23 e

3. dx2xsen)12x2x(4

].. .a

(x)P

a

(x)''P

P(x)[a

axcos

dxaxsenP(x) 4

(4)

2

C]...a

(x)P

a

(x)'''P

a

(x)'P [

a

axsen5

(5)

3

1x2x2P(x)4

2x8(x)'P3

2x24(x)''P

x48(x)'''P

48(x)P(4)

])2(

48

)2(

24x12x2x[

2

2xcosdx2xsen)12x2x(I

42

244

C])2(

48x

2

28x [

2

2xsen3

3

C]6x14x[2

2xsen]36x12x2x[

2

2xcosI

324

C2xcos)1x3xx(2xsen)2

13x2x(I

243

4. dxxcosx4



].. .a

(x)P

a

(x)''PP(x)[

a

axsendxaxcosP(x)

4

(4)

2

C]...

a

(x)P

a

(x)'''P

a

(x)'P [

a

axcos

5

(5)

3

4

xP(x)

3x4(x)'P

2x12(x)''P

x24(x)'''P

24(x)P (4)

C])1(

24x

1

4x [

1

xcos]

)1(

24

)1(

12x x[

1

sen xdxxcosxI

3

3

42

244

Csen x)2412xx(xcos)24x4x(I243

5.

dx

54xx

3x

2

3

c bxax

dx λ c bxax.(x)Qdx

c bxax

(x)P

2

2

1n2

n

54xx

dx λ 54xx.)CBxAx(dx

54xx

3x

2

22

2

3

Derivando ambos miembros e igualando los coeficientes del numerador

λ )2x()CBxAx()54xx()B2Ax(3x223

)λ 2C5B(x)C6B10A(x)2B10A(3A x3x233

15λ , 20C , 5B , 1A

0λ 2C5B

0C6B10A

02B10A

33A



54xx

dx 1554xx.)20x5x(dx

54xx

3xI

2

22

2

3

1)2x(

dx 1554xx)20x5x(I

2

22 …(1)

1)2x(

dxI

21

Hacemos: x + 2 = tg θ

dx = sec2θ dθ

dθθsecdθθsec

θsec

dθ1θtg

θsec

1)2x(

dx

I

2

2

2

21

11 CθtgθsecLnI …(*)



12

12

1 C54xx2xLnC2x54xxLnI …(2)


]C54xx2xLn[1554xx)20x5x(I1

222

C54xx2xLn1554xx)20x5x(I 222

6. dx

cosh x2senh x

cosh x

Ccosh x2senh xLnBAxdxcosh x2senh x

cosh x


1

2x 54xx2

θ

2xθtg



)senh x2cosh x(B)cosh x2senh x(Acosh x

cosh x)B2A(senh x)2BA(cosh x

3

1

B , 3

2

A 1B2A

02BA

Ccosh x2senh xLn3

1x

3

2dx

cosh x2senh x

cosh x

7.

dx

xcos3sen x2

xcossen x5

Cxcos3sen x2LnBAxdx xcos3sen x2

xcossen x5


)sen x3xcos2(B)xcos3sen x2(Axcossen x5

xcos)2B3A(sen x)3B2A(xcossen x5

1B , 1A

1B23A

53B2A

Cxcos3sen x2Lnxdx xcos3sen x2

xcossen x5

5. FÓRMULAS RECURSIVAS

Cuando una integral In depende de un parámetro real n, generalmente un valor

entero, se trata de hallar una fórmula que relacione In con In – 1 y ciertas

funciones conocidas, o sino una fórmula que relacione In con In – 1 , In – 2 yciertas funciones conocidas.

PROBLEMAS

1. Probar que dxexI xβn

n satisface la fórmula de recurrencia

(reducción): 1n

xβn

n Iβ

nex

β

1I

Hacemos: nxu dxedv

xβ



dxnxdu1n

xβe

β

1v

dxex

β

nex

β

1I

xβ1nxβn

n

1n

xβn

n Iβ

nex

β

1I

2. Evaluar dxexI5x2

2

Esta integral corresponde a nI para n = 2 y β = 5; entonces

1n xβn

n Iβnex

β1I

) Iβ

1nex

β

1 (

β

nex

β

1I 2n

xβ1nxβn

n

2n2

xβ1n

2

xβn

n Iβ

)1n(nex

β

nex

β

1I

Donde:

Ceβ

1dxedxexII

xβxβxβ0

02n ( n = 2 )

Ceβ

1.

β

)1n(nex

β

nex

β

1I

xβ

2

xβ1n

2

xβn

n

Ceβ

)1n(nex

β

nex

β

1I

xβ

3

xβ1n

2

xβn

n

Ce]β

)1n(nx

β

nx

β

1 [I

xβ

3

1n

2

n

n

Para n = 2 y β = 5

Ce])5(

)12(2x

)5(

2x

5

1 [I

5x

3

12

2

2

2

Ce)125

2x

25

2x

5

1 (I

5x2

2



CAPITULO II

LA INTEGRAL DEFINIDA

1.

SUMATORIASDados m y n ε Z tales que m ≤ n y f una función definida para cada i ε Z con i

variando entre m y n; m ≤ i ≤ n el símbolo

n

mi

)i(f => Representa la suma de los términos f (m), f (m+1), … , f (n)

Es decir:

(n)f .. .2)(mf 1)(mf (m)f )i(f

n

mi

Donde:

(sigma) = Símbolo de la sumatoria

i = Índice o variable ya que se puede usar otra letra

m = Limite inferior

n = Limite superior

Ejemplos:

1. 54325

2i

i5

2i

eeeee)i(f

2. xtg.. .xtgxtgxtgxtgxtg(k)f 3n12963

n

1k

3k n

1k

OBSERVACIÓN:

1.

En la sumatoria

n

mi

)i(f existen ( n – m + 1 ) sumandos y son f (m),

f (m+1), … , f (n)

Particularmente si m = 1 , n ≥ 1

n

1i

)i(f existen n sumandos

1.1. PROPIEDADES DE LAS SUMATORIAS

1. C)1mn(Cn

mi

, C es constante



2.

n

mi

n

mi

n

mi

)i(g)i(f ])i(g)i(f [

Propiedades Telescópicas

3.

1)(mf (n)f ])1i(f )i(f [

n

mi

4. 1)(mf (m)f (n)f 1)(nf ])1i(f )1i(f [n

mi

Si m = 1 y n ≥ 1 => Las propiedades anteriores tienen la forma

1’. CnCn

1i

, C es constante

2’.

n

1i

n

1i

n

1i

)i(g)i(f ])i(g)i(f [

3’. (0)f (n)f ])1i(f )i(f [n

1i

4’. (0)f (1)f (n)f 1)(nf ])1i(f )1i(f [n

1i

1.2. FÓRMULAS IMPORTANTES DE LA SUMATORIA

1. 2

)1n(ni

n

1i

2. 6

)12n()1n(ni

n

1i

2

3. 4

)1n(ni

22n

1i

3

4. 30

)1n9n6n()1n(ni

23n

1i

4

PROBLEMAS

1. Determinar una fórmula para

n

2k 2 1k

1

n

2k

n

2k

n

2k 2 ]1k

B

1k

A

[ )1k ()1k (

1

1k

1



1k

B

1k

A

)1k ()1k (

1

)1k (B)1k (A1

)BA(k )BA(1

2

1B ,

2

1A

1BA

0BA

n

2k

n

2k

n

2k 2

]1k

1

1k

1 [

2

1]

1k

1/2

1k

1/2 [

1k

1

Sabemos:

1)(mf (m)f (n)f 1)(nf ])1k (f )1k (f [n

mk

Además:

1k

11)(k f

;

k

1(k)f ;

1k

11)(k f

](1)f (2)f (n)f 1)(nf [2

1

1k

1

n

2k 2

] 2

3

n

1

1n

1 [

2

1] 1

2

1

n

1

1n

1 [

2

1

1k

1

n

2k 2

] )1n(2n

)1n(3n)1n(22n [

2

1

1k

1

n

2k 2

])1n(2n

2n3n [

2

1]

)1n(2n

3n3n22n2n [

2

1

1k

1

22n

2k 2

)1n(4n

2n3n

1k

1

2n

2k 2

)1n(4n

)23n()1n(

1k

1

n

2k 2

2.

100

1k

2k

2xsen

Sabemos:



(0)f (n)f ])1k (f )k(f [n

1k

Además:

2xsen(k)f

2k

; 2xsen1)(k f

)1k (2

2xsen2xsen]2xsen2xsen[02n

n

1k

22k 2k

12xsen]2xsen

2xsen2xsen[

2nn

1k 2

2k 2k

12xsen]

2xsen

11[2xsen

2nn

1k

2

2k

12xsen2xsen )2xsen

12xsen (

2nn

1k

2k

2

2

)12xsen

2xsen ()12xsen(2xsen

2

22n

n

1k

2k

Si n = 100

)12xsen

2xsen ()12xsen(2xsen2

2200100

1k

2k

)2xsen1

2xsen ()12xsen(2xsen

2

2200

100

1k

2k

)2xcos

2xsen ()2xsen1(2xsen

2

2200

100

1k

2k

)2xsen1(2xtg2xsen 2002100

1k

2k

3. Determinar la fórmula de

n

1k k

k k

6

32

n

1k k k

n

1k k k

k

k k

k n

1k k k

k k n

1k k

k k

]2

1

3

1 [ ]

32

3

32

2 [

32

32

6

32

n

1k k

n

1k k

n

1k k

k k

21

31

632 …(1)



Sabemos:

(0)f (n)f ])1k (f )k(f [n

1k

Además:

k 3

1(k)f ;

1k 3

11)(k f

0n

n

1k 1k k

3

1

3

1]

3

1

3

1 [

13

1]

3

3

3

1 [

n

n

1k k k

13

1]31[

3

1

n

n

1k k

13

1

3

1 )2(

n

n

1k k

)3(2

1

2

1

3

1

n

n

1k

k

…(2)

Además:

k 2

1(k)f ;

1k 2

11)(k f

0n

n

1k 1k k

2

1

2

1]

2

1

2

1 [

12

1]

2

2

2

1 [

n

n

1k k k

12

1]21[

2

1

n

n

1k k

12

1

2

1 )1(

n

n

1k k

n

n

1k k

2

11

2

1

…(3)




nn

n

1k k

k k

2

11

)3(2

1

2

1

6

32

nn

n

1k k

k k

2

1

)3(2

1

2

3

6

32

nn

n1n1n1nn

1k k

k k

32

3232

6

32

n

n1n1n1nn

1k k

k k

6

3232

6

32

2. CÁLCULO DEL ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA POR

SUMATORIAS

2.1. PARTICIÓN DE UN INTERVALO CERRADO

DEFINICIÓN: Sea [ a , b ] un intervalo cerrado una partición de [ a , b ]

es toda colección P de puntos x0, x1, … , xn tales que:

a = x0 < x1 < x2 < … < xn = b

NOTACIÓN

P = { x0, x1, … , xn }

OBSERVACIONES:

1.

Toda partición P del intervalo [ a , b ] divide en n subintervalos alintervalo cerrado [ a , b ].

2. La longitud de cada subintervalo [ xi – 1 , xi ] para i = { 1, 2 , … , n } se

denota con ix = xi – xi – 1 se verifica que:

a bxΔ n

1k i

3.

Se llama norma de la partición P al número:}n,...2,1,i;xΔ{MaxP i

0x1x 2x nx

1ix ixa b

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .



Dado por el máximo del incremento de todos los subintervalos.

4. Cuando el intervalo [ a , b ] se divide en n subintervalos que tiene la

misma longitud. La longitud de cada subintervalo es:

na bΔx

En este caso los extremos de cada subintervalo son:

x0 = a , x1 = a + x , x2 = a + 2 x , … , xi = a + i x , … , xn = b

2.2. APROXIMACIÓN DEL ÁREA DE UNA REGIÓN POR ÁREAS DE

RECTÁNGULOS INSCRITOS

Sea f: [ a , b ] → R una función continua y no negativa ( f (x) ≥ 0 ) en el

intervalo cerrado [ a , b ]. Sea la región plana Ω limitada por las graficas

y = f (x), x = a , x = b; dividimos el intervalo [ a , b ] en n subintervalos

de igual longitud.

Como f es continua en el intervalo [ a , b ] => es continua en cada

subintervalo cerrado. Por el teorema del valor extremo existe un número

en cada subintervalo para el cual f tiene un valor mínimo absoluto. Sea ci

este número en el i-esimo intervalo [ xi – 1 , xi ]

ax0 bxn

1x2x

x x

Ω

x

y

(x)f y

. . . . .

Δx Δx Δx Δxa b

0x 1x 2x nx

Δx2

Δx

. . . . . . . . . .



Entonces f (ci ) es el valor mínimo absoluto de f en el i-esimo intervalo.

Construimos n rectángulos cada uno con base x y altura f (ci )

Las sumas de las áreas de estos n rectángulos es:

Δx)(cf .. .Δx)(cf Δx)(cf Δx)(cf Sn n321

n

1ii Δx)(cf Sn

Sn es una aproximación al área de la región Ω. Si el área de la región Ω es

A ≥ Sn.

Si n crece el número de rectángulos crece y la región sombreada tiende a

aproximarse a la región Ω. Por lo tanto si n crece sin límite entonces Sn

se aproxima a un límite el cual es “A” (medida del área de la región Ω).

1ix ixic

)(cf i

a b

(x)f y

y

x

x

ic

)(cf i

a b

(x)f y

y

x

x1c ..

)(cf 1



DEFINICIÓN: Si f es continua en el intervalo [ a , b ] con f (x) ≥ 0 ,

x ε [ a , b ] y Ω es la región acotada por la curva y = f (x) , Eje x ,

x = a , x = b. Dividimos el intervalo [ a , b ] en n subintervalos cada uno

de longitud: na bΔx

y denotamos el i-esimo subintervalo por

[ xi – 1 , xi ] entonces si f (ci ) es valor mínimo absoluto de f en este

intervalo. La medida del Á rea de la región Ω esta dada por:

b

a

n

1i

i n

dx(x)f Δx)(cf LimA

2.3. APROXIMACIÓN DEL ÁREA DE UNA REGIÓN POR ÁREAS DE

RECTÁNGULOS CIRCUNSCRITOS

El procedimiento es similar al anterior solo que en este caso tomamos

como altura de los rectángulos el valor máximo de f en cada subintervalo

por lo tanto:

_ b

a

n

1i

i n

dx(x)f Δx)(df LimA

A = Área de la región Ω

f (di ) = valor máximo absoluto de f

NOTA: En conclusión la medida del área de la región Ω es la misma si se

calcula tomando los rectángulos inscritos o circunscritos es decir:

_

b

a

b

a dx(x)f dx(x)f A

y

x

)(df i

)(df 1

a b1d idx

....

(x)f y ASn:Donde



PROBLEMAS

1. Encontrar el área de la región acotada por la curva y = x² , el eje x

y la recta x = 2, tomando rectángulos inscritos y circunscritos.

Por rectángulos inscritos

Partición de [ 0 , 2 ]

x0 = 0 , x1 = 0 + x , x2 = 0 + 2x , … , xi – 1 = 0 + (i – 1)x ,

xi = 0 + i x , … , xn = 2

n

1i

1i n

Δx)(xf LimA …(1)

f representa el mínimo absoluto en xi – 1 y seria f (xi – 1 )

xi – 1 = (i – 1)x

f (x) = x²

f (xi – 1 ) = [ (i – 1)x ] ²

n

1i

32n

1i

2n

1i

1i Δx)1i(Δx]Δx)1i([Δx)(xf

n

1i

2

3

n

1i

32n

1i

1i )1i(n

8)

n

2()1i(Δx)(xf

n

1i3

n

1i3

n

1i

2

3

n

1i

2

3

n

1i

1i 1n

8i

n

16i

n

8)1i2i(

n

8Δx)(xf

(n)n

8]

2

1)(nn[

n

16]

6

1)(2n1)(nn[

n

8Δx)(xf

333

n

1i

1i

1ix ix 20x

y

2xy



222

n

1i

1in

8]

n

1)(n [8]

n

1)(2n1)(n [

3

4Δx)(xf

22

n

1i

1in

8)

n

1

n

1 (8)

n

12()

n

11(

3

4Δx)(xf

)n

1 (8)

n

12()

n

11(

3

4Δx)(xf

n

1i

1i

…(2)


])0(8)2()1(3

4 [])

n

1 (8)

n

12()

n

11(

3

4 [ LimA

n

3

8

A u²

Por rectángulos circunscr itos

n

1i

i n

Δx)(xf LimA …(1*)

f representa un valor máximo absoluto en xi y es f (xi )

xi = i x

f (x) = x²

f (xi ) = [ i x ] ²

n

1i

2

3

n

1i

32n

1i

32n

1i

2n

1i

i in

8)

n

2(iΔxiΔx]Δxi[Δx)(xf

)n

12()

n

11(

3

4]

6

1)(2n1)(nn[

n

8Δx)(xf

3

n

1i

i

…(2*)

Reemplazando (2*) en (1*):

1ix ix 20x

y

2xy



)2()1(3

4])

n

12()

n

11(

3

4 [ LimA

n

3

8A u²

2. Encontrar el área de la región sobre el eje x y a la izquierda de x = 1,

acotada por la curva y = 4 – x² , el eje x y x = 1

Partición de [ – 2 , 1 ] => [ – 2 , 0 ] , [ 0 , 1 ]

Por rectángulos inscritos

En [ – 2 , 0 ] la partición es: x0 = – 2 , x1 = – 2 + x , x2 = – 2 + 2x ,… , xi – 1 = – 2 + (i – 1) x , xi = – 2 + i x , … , xn = 0

n

1i

1i n

1 Δx)(xf LimA …(1)

En [ 0 , 1 ] la partición es: x0 = 0 , x1 = 0 + x , x2 = 0 + 2x ,

… , xi – 1 = 0 + (i – 1) x , xi = 0 + i x , … , xn = 1

n

1i

i n

2 Δx)(xf LimA …(2)

A = A1 + A2 …(3)

En [ – 2 , 0 ] :

xi – 1 = – 2 + (i – 1)x

f (x) = 4 – x²

f (xi – 1 ) = 4 – [ – 2 + (i – 1)x ] ²f (xi – 1 ) = 4 – [ 4 – 4 (i – 1)x + (i – 1)² x² ]

y

x22 10

2x4y

4



f (xi – 1 ) = [ 4 (i – 1)x – (i – 1)² x² ]

n

1i

22n

1i

1i Δx]x)1i(x)1i(4[Δx)(xf

n

1i

322n

1i

1i ]x)1i(x)1i(4[Δx)(xf

n

1i

32n

1i

2n

1i

1i x)1i(x)1i(4Δx)(xf

n

1i

32n

1i

2n

1i

1i )n

2()1i()

n

2()1i(4Δx)(xf

n

1i

23

n

1i2

n

1i

1i )1i( n

8)1i(

n

16Δx)(xf

n

1i

2

3

n

1i2

n

1i

1i )1i2i( n

8)1i(

n

16Δx)(xf

n

1i3

n

1i3

n

1i

2

3

n

1i2

n

1i2

n

1i

1i 1 n

8i

n

16i

n

81

n

16i

n

16Δx)(xf

(n)n

8]

2

1)(nn[

n

16

]6

1)(2n1)(nn

[n

8

(n)n

16

]2

1)(nn

[n

16

Δx)(xf

33

322

n

1i 1i

)

n

1(8

)n

1

n

1(8)

n

1(2)

n

1(1

3

4)

n

1(16)

n

1(18Δx)(xf

2

2

n

1i

1i

)n

1 (8)

n

12()

n

11(

3

4)

n

1(18Δx)(xf

n

1i

1i

…(4)


])n

1 (8)

n

12()

n

11(

3

4)

n

1(18[ LimA

n1

388)0(8)2()1(

34)1(8A1



3

16A1 u² …(1*)

En [ 0 , 1 ] :

xi = i x

f (x) = 4 – x²

f (xi ) = 4 – [ i x ] ²

f (xi ) = [ 4 – i² x² ]

n

1i

32n

1i

22n

1i

i ]xiΔx4[Δx]xi4[Δx)(xf

n

1i

32n

1i

n

1i

32n

1i

n

1i

i )n1(i)

n1(4xiΔx4Δx)(xf

]6

1)(2n1)(nn[

n

1)n(

n

4i

n

11

n

4Δx)(xf

3

n

1i

2

3

n

1i

n

1i

i

)n

12()

n

11(

6

14Δx)(xf

n

1i

i

…(5)


3

14)2()1(

6

14])

n

12()

n

11(

6

14[ LimA

n2

3

11A2 u² …(2*)

Reemplazando (1*) y (2*) en (3):

3

27

3

11

3

16

A

9A u²

3. LA INTEGRAL DEFINIDA (INTEGRAL DE RIEMANN)

DEFINICIÓN: Si f es continua sobre el intervalo cerrado [ a , b ] y si P dada

por P = { x0, x1, x2, … , xn } es una partición del intervalo [ a , b ] entonces:

n

1iii

0 p

xΔ) _ x(f Limdx(x)f

b

a

Si el límite existe y es finito donde:



n

1iii xΔ)

_ x(f es llamada Suma de Riemann

}n,.. .2,1,i /xxxΔ{MaxP 1iii

i

_

x = Es un número arbitrario en el i-esimo intervalo [ xi – 1 , xi ]

NOTA:

La ventaja de la aproximación dad por la Suma de Riemann cuando f es

continua, esta en la libertad de elegir los i

_ x que pertenecen al i-esimo

intervalo [ xi – 1 , xi ] tal es así que puede elegirse a i

_ x como el promedio del

subintervalo [ xi – 1 , xi ] es decir:

2

xxx 1ii

i

_

OBSERVACIONES:

1. Si la P → 0 entonces el número de rectángulos tiende al infinito

n → + ∞, de esto se deduce:

n

1iii

nxΔ)

_ x(f Limdx(x)f

b

a

Donde:

a = Límite inferior

b = Límite superior

2.

Al valor común de las integrales superior e inferior se da el nombre de

Integral Definida (Riemann) y se denota por:

_ b

a

b

a

b

a dx(x)f dx(x)f dx(x)f

3. . . . du(u)f dt(t)f dx(x)f b

a

b

a

b

a

4.

Sea f (x) continua sobre el intervalo cerrado [ a , b ]



Si f (x) ≥ 0 , x ε [ a , b ] => b

a dx(x)f )ΩA(

Si f (x) ≤ 0 , x ε [ a , b ] =>

b

a dx(x)f )ΩA(

DEFINICIÓN: Si f es una función definida en el punto a se define la

integral: 0dx(x)f a

a

PROPOSICIÓN: Si f es una función continua en el intervalo I = [ a , b ]

entonces f es integrable en I.

3.1. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

1. Si f es integrable en [ a , b ] y k es constante entonces

b

a

b

a dx(x)f kdx(x)f k

b

a dx(x)f )ΩA(

x

y

(x)f y

a b

Ω

b

a dx(x)f )ΩA(

x

y

(x)f y

a b

Ω

(x)f y



2. Si k es constante; f (x) = k , x ε [ a , b ]

)a b(kdxkdx(x)f b

a

b

a

3. Si c ε [ a , b ] , f es integrable sobre [ a , c ] y [ c , b ] <=> f es

integrable sobre [ a , b ] y se tiene

b

c

c

a

b

a dx(x)f dx(x)f dx(x)f

4. Si f y g son integrables en el intervalo [ a , b ] entonces

b

a

b

a

b

a dx(x)gdx(x)f dx](x)g(x)f [

5.

Si f es integrable en el intervalo [ a , b ] y f (x) ≥ 0 , x ε [ a , b ]

entonces:

0dx(x)f b

a

6. Si f y g son integrables en el intervalo [ a , b ] y f (x) ≤ g (x) ó

g (x) ≤ f (x) , x ε [ a , b ] entonces:

b

a

b

a dx(x)gdx(x)f ó b

a

b

a dx(x)f dx(x)g

respectivamente

7. Si f es integrable sobre el intervalo [ A , B ] y si a, b ε [ A , B ] tal que

b < a

a

b

b

a dx(x)f dx(x)f

8. Si f es integrable en el intervalo [ a , b ] => f es integrable sobre

[ a , b ] y se tiene:

b

a

b

a dx(x)f dx(x)f

9. Si f es continua en el intervalo [ a , b ] , m y M son respectivamente

los valores mínimo absoluto y máximo absoluto de f en el

intervalo [ a , b ] tal que m ≤ f (x) ≤ M , x ε [ a , b ]



)a b(Mdx(x)f )a b(m b

a

10.

TEOREMA: Si f esta definida sobre [ a , b ] , si g es integrable sobre[ a , b ] y f (x) = g (x) para todo excepto un número finito de puntos

en x ε [ a , b ] => f (x) es integrable sobre el intervalo [ a , b ]

b

a

b

a dx(x)gdx(x)f

11. INVARIANCIA FRENTE A UNA TRASLACIÓN: Si f es

integrable sobre [ a , b ] => cualquier c ε R, se tiene:

c b

ca

b

a dxc)(xf dx(x)f

c b

ca

b

a dxc)(xf dx(x)f

12. DILATACIÓN O CONTRACCIÓN DEL INTERVALO DE

INTEGRACIÓN: Si f es integrable sobre [ a , b ] entonces para

cualquier número real c ≠ 0, se tiene que:

cb

ca

b

a dx)

c

x(f

c

1dx(x)f

b/c

a/c

b

a dx(cx)f cdx(x)f

13. Si f es seccionalmente continua sobre [ a , b ] entonces f es integrable

sobre [ a , b ]

m

M

(x)f y

y

xa b

)a b(m )a b(M



b

x

x

x

x

a

b

a 2 3

2

1 2

1

1

dx(x)f dx(x)f dx(x)f dx(x)f

4. TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO

Los teoremas fundamentales del cálculo relacionan los conceptos de derivada

e integral y prueban hasta cierto punto que la integración es la inversa de la

diferenciación.

4.1. PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

(TEOREMA DE BARROW)Si f es una función continúa en el intervalo I y F es la función definida

por:

x

a dt(t)f F(x) , x ε I

Entonces se tiene que la derivada de esta función

(x)f ]dt(t)f [dxd(x)'F x

a , x ε I

OBSERVACIÓN:

1. Este teorema establece un enlace entre los conceptos de integral

definida e indefinida. Ello prueba que una función continua en el

intervalo I admite una antiderivada dada por:

x

a dt(t)f F(x) pues se verifica F’(x) = f (x) , x ε I

y

xa b1x 2x

(x)f y

1f

2f 3

f

3

2

1

f

f

f

(x)f y



Por tal razón se considera a la integración como la inversa de la

diferenciación.

4.2. SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

Si f es una función continua en el intervalo I y F es una antiderivada de fen I. F’(x) = f (x) , x ε I entonces se tiene:

F(a)F(b)F(x)dx(x)f b

a

b

a

NOTA:

1. En la evaluación de integrales definidas se utiliza la notación

F(a)F(b)F(x)dx(x)'Fdx(x)f ba

b

a

b

a

2. En el segundo teorema fundamental del cálculo no interesa si a < b ó

a > b siempre se cumple que:

F(a)F(b)dx(x)'Fdx(x)f b

a

b

a

PROBLEMAS

1. Hallar la derivada de

x

a dt

1t

t F(x)

1x

x)dt

1t

t (

dx

d(x)'F

x

a

2. Hallar la derivada de x

a sen tarc

dt F(x)

sen xarc

1)

sen tarc

dt (

dx

d(x)'F

x

a

3. Hallar la derivada de z

0

0

z dtsen tdtsen tF(z)

zsen)dtsen t(dz

d(z)'F

z

0

4.

Hallar la integral π

0 dxsen x



)1()1()0cos(πcosxcosdxsen xπ

0

π

0

211dxsen xπ

0

4.3. CONSECUENCIAS DEL PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL

DEL CÁLCULO

Si f y g ε R y son continuas, g y h diferenciables en R entonces:

1. (x)'g ](x)g[f ]dt(t)f [dx

d g(x)

a , x ε R

2.

(x)'h](x)h[f (x)'g ](x)g[f ]dt(t)f [dx

d

g(x)

h(x)

3. g(x)

g(a)

x

a du(u)f dt(t)'g](t)g[f , x ε R

PROBLEMAS

1. Hallar la derivada de:

2

3 4

6 x

xdt

t1

t F(x)

)3x(.)(x1

)(x)2x(.

)(x1

)(x]dt

t1

t [

dx

d(x)'F

2

43

63

42

622

3 4

6

x

x

12

20

8

13

x1

3x

x1

2x(x)'F

2. Hallar la derivada de : x

2

y

3 2dy)

tcos

dt (F(x)

x

3

x

3

x

2

y

3

2

2 2dttsec

tcos

dt ]dy)

tcos

dt ([

dx

d(x)'F

3tgxtgttg(x)'Fx

3

3. Hallar la derivada de:

xcos

x1 3 2

2

dtt3

tcos F(x)



]dt3t

tcos [

dx

d(x)'F

xcos

x1 3 2

2

)3x(.

)x1(3

)x1(cos)sen x(.

xcos3

)xcos(cos(x)'F

2

23

32

2

2

23

322

2

2

)x1(

)x1(cosx

xcos3

)xcos(cossen x(x)'F

4. Hallar: ]dt)du u3([dx

d 2

32

2 x

2x

t3

t

}]dt)du u3([dx

d

{dx

d

G(x)

2

3

x

2x

t3

t

} du u3 2du u32x{dx

dG(x)

x23

8x

x3

x 3

2

6

]du u3[dx

d )2x(du u32G(x)

2

6

2

6

x3

x

x3

x

]du u3 [dx

d 2

x23

8x3

…(1)

2

6

3/22

6

x3

x

x3

x

)u3(

3

2du u3

3/263/222

6 )x(3

3

2)x3(3

3

2du u3

x3

x

3/263/222

6

)x(33

2)x(6

3

2du u3

x3

x

…(2)

6522

6 x36xx332x]du u3[

dx

d x3

x

6522

6 x36xx62x]du u3[

dx

d x3

x

…(3)

32

3

8x324x2x332]du u3 [

dx

d x23

8x



32

3

8x324x2x62]du u3 [dx

d x23

8x

…(4)

Reemplazando (2), (3) y (4) en (1):

32

6523/263/22

8x348x2x64

)x36xx6(2x2x)x(334)x(6

34G(x)

32

66223/263/22

8x348x2x64

x312xx64x)x(33

4)x(6

3

4G(x)

5. TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES

DEFINICIÓN: Sea f integrable sobre el intervalo [ a , b ] se define la media o

valor promedio de f sobre [ a , b ] al número:

a b

dx(x)f _

f

b

a

NOTA: Geométricamente _

f es la altura promedio de la función f sobre al

intervalo [ a , b ] . El área del rectángulo de altura _ f y base ( b – a ) es:

)a b( _ f dx(x)f

b

a

OBSERVACIÓN:

1. Esta definición esta sugerida por el promedio aritmético de n números

a1, a2, a3, … , an

n

1ii

n321 a n

1

n

a...aaa

_ a

_

f

(x)f y

a b

y

x



TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES

Si f es una función continua sobre el intervalo [ a , b ] ; a < b entonces existe

un número c ε b,a tal que f (c) = _

f es decir:

)a b( (c)f dx(x)f b

a

INTERPRETACIÓN: El teorema afirma que una función continua sobre el

intervalo [ a , b ] alcanza su valor promedio dentro del intervalo b,a .

Además b

a dx(x)f es la medida del área de la región acotada por y = f (x) ,

x = a , x = b y el eje x. El teorema del valor medio establece que existe un

número c en el intervalo b,a tal que el área del rectángulo AEFB de

altura f(c) y ancho ( b – a ) es igual al área de la región ADCB (Delimita por

la función y = f (x) , x = a , x = b ).

PROBLEMAS1. Encontrar el valor de c que satisfaga el T.V.M. para integrales de

f (x) = x³ en [ 1 , 2 ]

)12( cdxx32

1

3

32

1

4cx

4

1

443)1(

4

1)2(

4

1c

(c)f

(x)f y y

xa b

A B

C

D

FE

c



4

15

4

14c

3 => 55.1

4

15c 3 ε 2,1

75.3

4

15(c)f

2. Hallar: 2

0

dx)13x(1)x(

2

0

2

0

dx13x1xdx)13x(1)x(I

1 x,x1

1 x, 1x 1x

1/3 x,x31

1/3 x, 13x 13x

1/3 x, 14x3x)3x1()x1(

1x1/3 , 14x3x)13x()x1(

1 x, 14x3x)13x()1x(

13x1x

2

2

2

2

1

21

1/3

21/3

0

2 dx)14x3x(dx)14x3x(dx)14x3x(I

2

1

231

1/3

231/3

0

23)x2xx()x2xx()x2xx(I

12(1)(1)22(2)(2)

3

1)

3

12()

3

1(12(1)(1)02(0)(0)

3

1)

3

12()

3

1(I

2323

23232323

27

62121288

3

1

9

2

27

1121

3

1

9

2

27

1I

27

62dx)13x(1)x(

2

0

3. Hallar:

3

1

dx) 1/2xx(

0 2 31

3

1

R



3

1

3

1

3

1

dx1/2xdxxdx) 1/2xx(I

7/2

1/2

3

1

1/23

1/21

3

1

dxxdxxdx1/21/2xdxxI

nx => 1nxn

1n => 0x1

0n => 1x0

1n => 2x1

2n => 3x2

3n => 4x3

7/2

3

3

2

2

1

1

0

0

1/2

3

3

3

2

2

1

1

0

0

1

dx(3)dx(2)dx(1)dx(0)dx1)(

dx(3)dx(2)dx(1)dx(0)dx1)(I

7/2

3

3

2

2

1

0

1/2

3

2

2

1

0

1

dx3dx2dxdxdx2dxdxI

7/2

3

0

1/2

3

2

2

1

0

1

dx3dxdx4dx2dxI

7/2

3

0

1/2

3

2

2

1

0

1x3xx42xxI

692

21

2

108122410I

6dx) 1/2xx(3

1

6. CAMBIO DE VARIABLE EN UNA INTEGRAL DEFINIDA

TEOREMA: Si f es una función continua en el intervalo [ a , b ] y si se

reemplaza la variable de la integral x por g (t) es decir:

x = g (t)

β

α

b

a dt(t)'g](t)g[f dx(x)f …(*)

Donde:



g: [ , ] → I tiene derivada continua en el intervalo [ , ]

a = g ()

b = g ()

OBSERVACIONES:1. Si la función g: [ , ] → I es tal que g () = a , g () = b entonces en (*)

es sustituida por:

α

β

b

a dt(t)'g](t)g[f dx(x)f

2. Si se efectúa un cambio de variable en una integral definida aplicando (*)

no regresamos a la variable original.NOTA:

Para cambiar los límites en una integral definida basta reemplazar la variable

original x por los límites de integración en la correspondiente sustitución y

obtener los nuevos límites de integración.

PROBLEMAS

1.

3/π

4/πdx)sen x(Lnxctg

Hacemos: u = Ln ( sen x )

du = ctg x dx

x = /4 → u = Ln ( sen /4 ) = Ln (2

2)

x = /3 → u = Ln ( sen /3 ) = Ln ( 23 )

)2

3( Ln

)2

2(Ln

2)

2

3(Ln

)2

2(Ln

3/π

4/πu

2

1duudx)sen x(Lnxctg

)2

2(Ln

2

1)

2

3(Ln

2

1dx)sen x(Lnxctg

223/π

4/π



OBSERVACIONES:

1. Si f es continua en el intervalo [ 0 , a ] entonces

a

a

00dxx)(af dx(x)f

2. Si f es función par y continua en el intervalo [ – a , a ]

a

a

a 0dx(x)f 2dx(x)f

3. Si f es función impar y continua en el intervalo [ – a , a ]

0dx(x)f a

a

4.

Si f es función par y continua entonces

2/π

0

π

0

dx)xcos(f πdx)xcos(f x

5. Si f es continua entonces

π

0

π

0

dx)sen x(f

2

πdx)sen x(f x

PROBLEMAS

1. Demostrar que:

Si f es continua en el intervalo [ 0 , a ] entonces

a

a

00dxx)(af dx(x)f

a

0dxx)(af

Hacemos: z = a – xdz = – dx

x = 0 → z = a – 0 = a

x = a → z = a – a = 0

0

00

a

a

a

dz(z)f )dx(x)(af dxx)(af

a

a

00dz(z)f dxx)(af Como la variable z no tiene significado



a

a

00dx(x)f dxx)(af

2. Demostrar que:

Si f es función par y continua en el intervalo [ – a , a ]

a

a

a 0dx(x)f 2dx(x)f

a

a

a

a 0

0

dx(x)f dx(x)f dx(x)f …(1)

0

adx(x)f

Hacemos: x = – ydx = – dy

x = – a → y = – ( – a ) = a

x = 0 → y = – ( 0 ) = 0

a

a a a 0

000

dyy)(f dyy)(f )dy(y)(f dx(x)f

Por ser f función par f ( – y) = f (y)

a

a 0

0

dy(y)f dx(x)f Como la variable y no tiene significado

a

a 0

0

dx(x)f dx(x)f …(2)


a a a

a 00dx(x)f dx(x)f dx(x)f

a a

a 0dx(x)f 2dx(x)f

3. Demostrar que:

Si f es función impar y continua en el intervalo [ – a , a ]

0dx(x)f a

a

a

a

a

a 0

0dx(x)f dx(x)f dx(x)f …(1)



0

adx(x)f

Hacemos: x = – y

dx = – dy

x = – a → y = – ( – a ) = a

x = 0 → y = – ( 0 ) = 0

a

a a a 0

000

dyy)(f dyy)(f )dy(y)(f dx(x)f

Por ser f función impar f ( – y) = – f (y)

a

a 0

0

dy(y)f dx(x)f Como la variable y no tiene significado

a

a 0

0

dx(x)f dx(x)f …(2)


a a a

a 00dx(x)f dx(x)f dx(x)f

0dx(x)f

a

a

4. Demostrar que:

Si f es función par y continua entonces

2/π

0

π

0


π

2/π

2/π

0

π

0

dx)xcos(f xdx)xcos(f xdx)xcos(f x …(1)

π

2/π

dx)xcos(f x

Hacemos: x = – y

dx = – dy

x = → y = – =

x = → y = – = 0

0

2/π

π

2/π

)dy(])yπ(cos[f )yπ(dx)xcos(f x



cos ( – y ) = – cos y

0

2/π

π

2/π

dy)ycos(f )yπ(dx)xcos(f x

2/π

0

π

2/π


Como f es función par f ( – cos y) = f (cos y)

2/π

0

π

2/π


Como la variable y no tiene significado entonces

2/π

0

π

2/π

dx)xcos(f )xπ(dx)xcos(f x …(2)


2/π

0

2/π

0

π

0

dx)xcos(f )xπ(dx)xcos(f xdx)xcos(f x

2/π

0

π

0

dx)xcos(f )xxπ(dx)xcos(f x

2/π

0

π

0


5. Demostrar que:

Si f es continua entonces

π

0

π

0

dx)sen x(f

2

πdx)sen x(f x

π

0

dx)sen x(f x

Hacemos: x = – y

dx = – dy

x = 0 → y = – 0 =

x = → y = – = 0

0

π

π

0

)dy(])yπ(sen[f )yπ(dx)sen x(f x

sen ( – y ) = sen y



0

π

π

0

dy)ysen(f )yπ(dx)sen x(f x

π

0

π

0

dy)ysen(f )yπ(dx)sen x(f x

π

0

π

0

π

0

dy)ysen(f ydy)ysen(f πdx)sen x(f x

Como la variable y no tiene significado entonces

π

0

π

0

π

0

dx)sen x(f xdx)sen x(f πdx)sen x(f x

π

0

π

0

dx)sen x(f πdx)sen x(f x2

π

0

π

0

dx)sen x(f

2

πdx)sen x(f x

7. INTEGRACIÓN POR PARTES EN UNA INTEGRAL DEFINIDA

TEOREMA: Si u = u (x) , v = v (x) son funciones con derivadas continuas en

el intervalo I = [ a , b ] entonces:

b

a

b

a

b

a duvuvdvu

PROBLEMAS

1. 1

0

dxxcosarc

Hacemos: u = arc cos x dv = dx

2

x1

dxdu

v = x

1

0 2

1

0

1

0 dx

x1

x xcosarcxdxxcosarc

1

0 2

1

0

1

0 dx

x1

x2

2

1 xcosarcxdxxcosarc

1

0 2

1

0 dx

x1

2x

2

1)0(cosarc)0()1(cosarc)1(dxxcosarc



1

0 2

1

0 2

1

0 dx

x1

2x

2

1dx

x1

2x

2

100dxxcosarc

Hacemos: y = 1 – x²

dy = – 2x dxx = 0 → y = 1 – ( 0 )² = 1

x = 1 → y = 1 – ( 1 )² = 0

0101uu

du

2

1

u

du

2

1dxxcosarc

1

0

1

0

0

1

1

0

1dxxcosarc1

0

8. INTEGRALES IMPROPIAS

DEFINICIÓN: Decimos que la integral b

a dx(x)f es Impropia si:

1. La función integrando tiene puntos de discontinuidad en el intervalo

[ a , b ]

2. Por lo menos uno de los límites de integración a ó b es infinito es decir:

a dx(x)f ,

b dx(x)f ,

dx(x)f

OBSERVACIÓN:

1. Si la integral b

a dx(x)f resulta ser un número real es decir un valor

finito determinado entonces decimos que la integral es Convergente en

caso contrario se dice que es Divergente .

8.1. INTEGRAL IMPROPIA CUANDO LA FUNCIÓN ES

DISCONTINUA

DEFINICIÓN 1: Sea f continua en el intervalo < a , b ] entonces

considerando valores de ε > 0 se define:

b

εa

b

a

dx(x)f Limdx(x)f 0ε



OBSERVACIÓN:

1. Si f (x) ≥ 0 en < a , b ] y b

a dx(x)f es convergente y representa al

área de la región infinita comprendida entre el gráfico de f, el eje x y

las rectas x = a , x = b

DEFINICIÓN 2: Sea f continua en el intervalo [ a , b > entonces

considerando valores de ε > 0 se define:

ε b

a

b

a dx(x)f Limdx(x)f

0ε

OBSERVACIÓN:

1. Si f (x) ≥ 0 en [ a , b > y b

a dx(x)f es convergente y representa al

área de la región infinita comprendida entre el gráfico de f, el eje x y

las rectas x = a , x = b

DEFINICIÓN 3: Si f es continua en el intervalo [ a , b ] excepto x = c,

donde c ε [ a , b ] entonces considerando valores de ε , ε’ > 0 definimos:

b

ε'c

εc

a

b

a dx(x)f Limdx(x)f Limdx(x)f 0ε'0ε

(x)f y

y

xa εa b

(x)f y

y

xa εa b



OBSERVACIÓN:

1. Si la función f definida en el intervalo < a , b > donde a = – ∞ ,

b = +∞ tiene un número finito de puntos de discontinuidad

c1, c2, c3, …, cn entonces se define:

b

c

c

c

c

c

c

a

b

a n

n

1n

2

1

1dx(x)f dx(x)f .. .dx(x)f dx(x)f dx(x)f

y se dice que b

a dx(x)f es Convergente si todas las integrales del

segundo miembro son Convergentes . Si por lo menos uno de ellos

Diverge => la integral de f (x): [ a , b ] también Diverge .

PROBLEMAS

1.

1

0 2x1

dx

εε

1

00ε

1

0 20ε

1

0 2sen xarc Lim

x1

dx Lim

x1

dx

])0(senarc)ε1(senarc[ Limx1

dx 0ε

1

0 2

2

π)1(senarc)ε1(senarc Lim

x1

dx

0ε

1

0 2

La integral de f es convergente

2. 1

1 2/3

x

dx

1

0 2/30ε'

0

1 2/30ε

1

0 2/3

0

1 2/3

1

1 2/3 ε'

ε

x

dx Lim

x

dx Lim

x

dx

x

dx

x

dx

1 1/3

0ε'

1

1/3

0ε

1

1 2/3 ε'

ε

3x Lim3x Limx

dx

])'3(ε)13([ Lim])13(3ε[ Lim

x

dx

1/31/3

0ε'

1/31/3

0ε

1

1 2/3



33)13()13(x

dx

1

1 2/3

6

x

dx

1

1 2/3


3.

2

1 )x2()1x(

dx I

< 1 , 2 > = < 1 , 1.5 ] U [ 1.5 , 2 >

2

1.5

1.5

1 )x2()1x(

dx

)x2()1x(

dx I

ε'

ε

2

1.5 0ε'

1.5

1 0ε )x2()1x(

dx Lim

)x2()1x(

dx LimI

ε'

ε

2

1.50ε'

1.5

10ε)32x(senarc Lim)32x(senarc LimI

])12ε(senarc)0(senarc[ LimI

0ε

])0(senarc)'2ε1(senarc[ Lim 0ε'

)'2ε1(senarc Lim)12ε(senarc LimI0ε'0ε

2

π

2

π)1(senarc)1(senarcI

π)x2()1x(

dx I2

1


8.2. INTEGRAL IMPROPIA CUANDO LOS LÍMITES DE

INTEGRACIÓN SON INFINITOS

DEFINICIÓN 1: Si f es continua en el intervalo [ a , + ∞ > definimos:

b

a a dx(x)f Limdx(x)f

b



OBSERVACIÓN:

1. Cuando la integral impropia es convergente significa que ese número

a la cual converge la integral es el área de la región plana infinita

comprendida entre el gráfico de f , el eje x y la recta x = a.

DEFINICIÓN 2: Si f es continua en el intervalo < – ∞ , b ] definimos:

b

a

b dx(x)f Limdx(x)f

a

OBSERVACIÓN:

1. Cuando la integral impropia es convergente significa que ese número

a la cual converge la integral es el área de la región plana infinita

comprendida entre el gráfico de f , el eje x y la recta x = b.

DEFINICIÓN 3: Si f es continua para valores de x entonces:

b

a

b dx(x)f Limdx(x)f

a

b

a 0 b

0

a

dx(x)f Limdx(x)f Limdx(x)f

(x)f y

y

xa

(x)f y

y

x b



PROBLEMAS

1.

b

b

0 x b0 x b

0 x e2

dx Lim2

e

dx Lim

e

dx

)e

1

e

1 ( Lim2e

1 Lim2e

dx 0 b b0x b

0 x

b

)1e

1 (2)1

e

1 (2)1

e

1 ( Lim2

e

dx

b b

0 x

2)10(2e

dx

0 x

2.

2 x

dxex

0 x,x

0 x, xx

0

2 x0

2 x

2 x dxexdxexdxex

b

a 0

2 x

b

0 2 x

a

2 xdxexLimdxexLimdxex

b

a 0

2 x

b

0 2 x

a

2 xdxe2xLim

2

1dxe2xLim

2

1dxex

b

a

0

2 x

b

0

2 x

a

2 x

e Lim2

1e Lim

2

1dxex

)e1

e1 ( Lim

21)

e1

e1 ( Lim

21dxex 02

b20

a

2

xaa

)1e

1 ( Lim

2

1)

e

11( Lim

2

1dxex

2 b

2 a

2 x

aa

)1e

1 (

2

1)

e

11(

2

1dxex

2 x

121

21)10(

21)01(

21dxex 2 x



8.3. ALGUNOS CRITERIOS PARA LA CONVERGENCIA DE

INTEGRALES IMPROPIAS

1. CRITERIO DE COMPARACIÓN: Sean f y g funciones tales

que 0 ≤ f (x) ≤ g (x) ,

x ε [ a , b > se tiene:

b

a dx(x)f Converge =>

b

a dx(x)g también Converge

b

a dx(x)f Diverge =>

b

a dx(x)g también Diverge

2. CRITERIO DE CONVERGENCIA PARA FUNCIONES

DISCONTINUAS

TEOREMA 1: Sea f (x) una función continua en el intervalo [ a , b ]

excepto en el punto c si:

1. f (x) ≥ 0

2. Acx(x)f Limm

x c

Donde: A ≠ 0 , + ∞ en cuyo caso escribimos

m cx

A(x)f

cuando x → c

Entonces la integral impropia b

a dx(x)f

Es Convergente cuando 0 < m < 1

Es Divergente cuando m ≥ 1

3.

CRITERIO DE CONVERGENCIA CUANDO UN LÍMITE DE

INTEGRACIÓN ES INFINITO

TEOREMA 2: Sea f (x) una función continua en el intervalo

[ a , + ∞ > si:

1. f (x) ≥ 0

2. Ax(x)f Limm

x c

Donde: A ≠ 0 , + ∞ en cuyo caso escribimos



mx

A(x)f cuando x → + ∞

Entonces la integral impropia

a dx(x)f

Es Convergente cuando m > 1

Es Divergente cuando 0 < m ≤ 1

4. CRITERIO DEL LÍMITE

Sean f y g funciones positivas integrables en el intervalo [ a , b – ε ] ,

( b – ε ) Є [ a , b > y supongamos que:

A(x)g

(x)f Lim

bx

se tiene:

1. Si 0 < A < + ∞ entonces las integrales impropias

b

a dx(x)f F y

b

a dx(x)gG

Son ambas convergentes o ambas divergentes

2. Si A = 0 y G converge entonces F converge

3.

Si A = ∞ y G diverge entonces F diverge

PROBLEMAS

1. Analice la convergencia o divergencia de:

1 23 xx

dx

0xx

1

23 , x ε [ 1 , + ∞ >

323 x

1

xx

10

, x ε [ 1 , + ∞ >

0 < f (x) ≤ g (x)

b b

12 b1 3

b1 31 2x

1 Lim

x

dx Lim

x

dx dx(x)g

)1 b

1 ( Lim

2

1)

1

1

b

1 ( Lim

2

1dx(x)g

2 b

22 b1



2

1)10(

2

1dx(x)g

1

Como

1dx(x)g converge =>

1 23 xx

dx también converge

2. Determinar la convergencia de:

5

4 2 x25x

dx

x5x5x

1

)x5()x5(x

1

x25x

1(x)f

2

Es continua en [ 4 , 5 > f (x) ≥ 0 , x ε [ 4 , 5 >

1/21/2 )x5()x5(x

1(x)f

m cx

A(x)f

cuando x → 5 => 5 + x → 10

1/21/21/2)x5(105

1

)10()x5(5

1(x)f

2

1m ,

105

1A ≠ 0 , 0 < m < 1

Se concluye por el Teorema 1 que:

5

4 2 x25xdx es convergente

3. Verificar si

2 44 x1x

dx es convergente o divergente

644 x

1

x1x

10

, x ε [ 2 , + ∞ >

b b

25 b2 6

b2 62 5x

1 Lim

x

dx Lim

x

dx dx(x)g



160

1)

32

1

b

1 ( Lim

5

1)

2

1

b

1 ( Lim

5

1dx(x)g

5 b

55 b2

2dx(x)g converge =>

2 44

x1x

dx también converge

9. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

9.1. ÁREA DE REGIONES PLANAS

CASO I : Sea f : [ a , b ] → R una función continua y f (x) ≥ 0 ,

x ε [ a , b ]. El área de la región Ω limitada por la gráfica de f , el ejes y

las rectas x = a , x = b se define:

2u]dx(x)f [)ΩA( ba

CASO II: Si f y g son funciones continuas en [ a , b ] y g (x) ≤ f (x) ,

x ε [ a , b ]. El área de la región Ω limitada por las rectas x = a , x = b y

las gráficas de f y g esta dada por:

2u]dx}(x)g(x)f {[)ΩA(

b

a

Ω

(x)f y

y

xa b

Ω

(x)f y

(x)gy

a bx

y



OBSERVACIÓN:

1. Si la región Ω esta limitada por las gráficas de x = f (y) y x = g (y) ,

las rectas y = a , y =b. Donde f y g son continuas en [ a , b ] y

g (y) ≤ f (y) ,

y ε [ a , b ] , el área de la región Ω esta dada por: 2

u]dy}(y)g(y)f {[)ΩA( b

a

NOTA: Si f es integrable y no positivo f (x) ≤ 0 en [ a , b ] para calcular el área de

la región Ω acotada por la gráfica de f , el eje x y las rectas x = a , x = b.

Se calcula la integral de f desde a hasta b y se le cambia de signo a f es

decir:

b

a dx(x)f )ΩA(

Ω

(y)f x

(y)gx

a

b

x

y

Ω

(x)f y

y

xa b



PROBLEMAS

1. Hallar el área de la región Ω limitada por:

xcosy ,

6

πx ,

2

πx , 0y

2/π

6/πsen xdxxcos dx(x)f )ΩA(

2/π

6/π

b

a

2

3

2

11

6

πsen

2

πsen)

6

π(sen

2

πsen)ΩA( u²


yex , 0x , 0y , 4Lny

1º Método:

04Ln4Ln

0

y4Ln

0

y4Ln

0eeedye dy(y)f )ΩA(

314)ΩA( u²

2º Método:

4

1

1

0 dx](x)g(x)f [dx(x)f )ΩA(

xcosy

6π

2π

1

2π

y

x

yex

4Ln

0 1 4x

y



4

1

1

0 dx]Ln x4Ln[dx4Ln)ΩA(

4

1

4

1

1

0 dxLn xdx4Lndx4Ln)ΩA(

4

1 dxLn x4Ln)14(4Ln)01()ΩA(

4

1

4

1 dxLn x4Ln4dxLn x4Ln34Ln)ΩA( …(1)

4

1 dxLn x

Hacemos: u = Ln x dv = dx

x

dxdu v = x

4

1

4

1

4

1

4

1 x1Ln4Ln4dxLn xxdxLn x

34Ln4144Ln4dxLn x4

1 …(2)


334Ln44Ln4)34Ln4(4Ln4)ΩA( u²


2y4yx , 52yx

Ec. de la parábola

]4)2y([x2

4)2y(x2

)4x()2y(2

Vértice

V = ( h , k ) = ( 4 , 2 )

14p

=> 4

1

p

La parábola se abre hacia la izquierda



Interceptos con los ejes

Para x = 0

0y4y2

0)4y(y => 0y v 4y

Ec. de la recta

52yx =>2

5x

2

1y


Para x = 0

2

5)0(

2

1y => 5.2

2

5y

Para y = 0

2

5x

2

10 => 5y

Intersección entre gráficos

2y4yx …(1)

2y5x …(2)

(1) = (2):

2y4y2y5

056yy2

0)5y()1y( => 1y v 5y

En (2):

Si y = 1 => 3)12(5x

Si y = 5 => 5)52(5x

Entonces los puntos de intersección son:

A ( – 5 , 5 )

B ( 3 , 1 )



1º Método:

5

1

25

1 dy])2y5()y4y([dy](y)g(y)f [)ΩA(

5

1

25

1

2

dy)5y6y(dy)2y5y4y()ΩA(

5(1)(1)3

13(1)5(5)(5)

3

13(5)5yy

3

13y)ΩA(

32325

1

32

3325

31325

312575)ΩA( u²

2º Método:

4

3 21

3

5 1 dx](x)y(x)y[dx](x)y(x)y[)ΩA(

4

3

3

5

dy])x42()x42([

dy])2

5x

2

1 ()x42([)ΩA(

4

3

3

5 dxx42dx)x4

2

1x

2

1 ()ΩA(

4

3

3

5

3

5

2

dxx42dxx4x

2

1x

4

1)ΩA(

3

5

22

dxx45)(2

15)(4

1(3)2

1(3)4

1)ΩA(

y

x

2y4yx

y25x

0 3 4 55

4

1

2

5

x42y1

x42y2 2

5x

2

1y



4

3dxx42

4

3

3

5 dxx42dxx4

2

5

4

25

2

3

4

9)ΩA(

4

3

3

5 dxx42dxx48)ΩA( …(1)

3

5dxx4

Hacemos: u = 4 – x

du = – dx

x = – 5 => u = 4 – ( – 5 ) = 9x = 3 => u = 4 – 3 = 1

9

1

1

9

3

5

3

5 duuduu)dx(x4dxx4

3

52

3

218(1)

3

2(9)

3

2x

3

2dxx4

3/23/29

1

3/23

5 …(2)

4

3 dxx4

Hacemos: u = 4 – x

du = – dx

x = 3 => u = 4 – 3 = 1

x = 4 => u = 4 – 4 = 0

1

0

0

1

4

3

4

3

duuduu)dx(x4dxx4

3

20

3

2(0)

3

2(1)

3

2x

3

2dxx4

3/23/21

0

3/24

3 …(3)


3

32

3

4

3

528)

3

2(2

3

528)ΩA( u²

4.

Ω esta limitada por un lazo de la curva:)xa(xya

22442



)xa(a

xy

22

2

44

)xa(

a

x y 22

2

42

)xa(a

x y 22

2

42

)xa(a

xy 22

2

42

=> 222

2xa

a

xy , a > 0

22

2

xaa

x y

222

1 xaa

x y => 1/422

1 )xa(a

xy

222

2 xaa

xy => 1/422

2 )xa(a

xy

0xa 22 => 22 ax => axa

Df : [ – a , a ]

a

0 12 dx](x)y(x)y[)ΩA(

a

0

1/4221/422dx])xa(

a

x)xa(

a

x [)ΩA(

a

0

1/422dx)xa(

a

x 2)ΩA(

1/422

2 )xa(a

xy

1/422

1 )xa(a

xy

aa

x

y



Hacemos: u4 = a2 – x2

4u3 du = – 2x dx => 2u3 du = – x dx

x = 0 => u = a

x = a => u = 0

0 31/44

0

1/422

a

a

)du2u()u(

a

2dx)xa(

a

x 2)ΩA(

55

0

5

0

4)0(

a5

4)a(

a5

4u

a5

4duu

a

4)ΩA(

aa

25a

5

4)a(

a5

4)ΩA( u²

5. Graficar la región ilimitada Ω y hallar su área (si existe) Ω esta

comprendido entre las gráficas de:

4x1

x2y

,

4x1

x4y

0 x, x1

2x

0 x, x1

2x

y

4

4

1

0 x, x1

4x

0 x, x1

4x

y

4

4

2

44

21 dx] x1

x4

x1

x2 [dx](x)y(x)y[)ΩA(

4

21 dxx1

x6 dx](x)y(x)y[)ΩA(

1y

2y

y

x



0 x,x

0 x, xx

0

0

4

4dx

x1

6x dx

x1

6x )ΩA(

b

a

0 4 b

0

4 a

dxx1

2x Lim3dx

x1

2x Lim3)ΩA(

b

a

0 22 b

0

22 a

dx)x(1

2x Lim3dx

)x(1

2x Lim3)ΩA(

b

0

2

b

02

a a

xtgarc Lim3xtgarc Lim3)ΩA(

) b tgarc( Lim3)a tgarc( Lim3)ΩA(2

b

2

a

3π)2

π(3)

2

π(3)ΩA( u²

9.2. VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN

SÓLIDO DE REVOLUCIÓN

DEFINICIÓN: Es un sólido obtenido al girar una región de un plano

alrededor de una recta del plano llamado Eje de Revolución , el cual toca

la frontera de la región ó no intersecta la región en algún punto tal es el

caso.

VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN

Sea f continua en el intervalo [ a , b ] , f (x) ≥ 0 , x ε [ a , b ] ; sea A la

región acotada por y = f (x) , el eje x y las rectas x = a , x = b.

y

x

esfera una Genera

y

x

un toroGenera

conounGenera



Dada una partición P en el intervalo [ a , b ] es decir P = { x0, x1, .. , xn }

como consecuencia se obtiene n subintervalos [ xi – 1 , xi ] ,

i = {1, 2, ... , n} , ix = xi – xi – 1 escogiendo cualquier i

_ x ε [ xi – 1 , xi ] se

obtiene rectángulos de altura f ( i

_

x ) y base ix

Cuando el i-esimo rectángulo se gira alrededor del eje x se obtiene un

disco circular en la forma de un cilindro recto circular cuyo radio de la

base es f ( i

_

x ) y altura ix

La medida del volumen de este disco circular es:

xΔ]) _ x(f [πhr πVΔ i

2i

2

i

Como hay n rectángulos se obtiene n discos circulares entonces:

n

1ii

2i

n

1ii xΔ])

_ x(f [πVΔ

Esta sumatoria es una aproximación al volumen del sólido, si la norma de

la partición tiende a cero se obtiene el valor exacto del volumen del sólido

es decir:

1ix ixi

_ x

) _ x(f i

a b

(x)f y

y

x

xΔi

xi)x(f i

_



b

a dx(x)]f [πxΔ])

_ x(f [π LimVΔ LimV

2n

1ii

2i

0 P

n

1ii

0 P

9.2.1. MÉTODO DEL DISCO CIRCULAR

DEFINICIÓN: Si f es continua en el intervalo [ a , b ] y f (x) ≥ 0 ,

x ε [ a , b ] entonces el volumen del sólido de revolución S

engendrado al hacer girar sobre el eje x la región limitada por la

curva y = f (x) , el eje x y las rectas x = a , x = b esta dado por:

}dx(x)]f [π{xΔ]) _ x(f [π LimV(S)

b

a

2n

1ii

2i

0 P

u³

OBSERVACIÓN:

1. Si S es el sólido de revolución obtenido por la rotación entorno

al eje y de la región plana Ω limitada por la curva x = f (y)

(Donde f es continua en el intervalo [ c , d ] ) , el eje y , las

rectas y = c , y = d entonces el volumen del sólido S es:

}dy(y)]f [π{V(S) d

c

2

u³

PROBLEMAS

1. Hallar el volumen del sólido generado al girar el área limitada

por 2y = 6 – x , y = 0 , x = 4 alrededor del eje x

Ec, de la recta

3x2

1y

) _ y(f i

c

d

(y)f x

y

x

dy




Para x = 0

3)0(2

1y => 3y

Para y = 0

3x2

10 => 6x

4

0

24

0

2

dx)93xx4

1 (πdx)3x

2

1 (πV

40

23 )9xx23x

121 (πV

]9(0)(0)2

3(0)

12

19(4)(4)

2

3(4)

12

1 [πV

2323

π3

52)3624

3

16 (πV u³

2. Calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la

región Ω . 1 b

y

a

x2

2

2

2

alrededor del eje y

Ec. de la Elipse

1 b

y

a

x2

2

2

2

Centro de la elipse

C = ( h , k ) = ( 0 , 0 )

Eje mayor = 2a Eje menor = 2b

3x2

1y

y

x640

3



b

b

22

2

2 b

b

222

dy)y b(π b

ady)y b

b

a (πV

b

b

32

2

2)y

3

1y b(π

b

aV

]) b(3

1) b( b) b(

3

1) b( b[π

b

aV

3232

2

2

π ba3

4) b

3

4 (π

b

a) b

3

1 b b

3

1 b(π

b

aV

23

2

23333

2

2

u³

Otra forma:Por ser función par

b

0

222 b

b

222

dy)y b b

a (π2dy)y b

b

a (πV

b

0

32

2

2 b

b

22

2

2

)y3

1y b(π

b

2ady)y b(π

b

2aV

])0(31)0( b) b(

31) b( b[π

b2aV 3232

2

2

π ba3

4) b

3

2 (π

b

2a) b

3

1 b(π

b

2aV

23

2

233

2

2

u³

9.2.2.

MÉTODO DEL ANILLO CIRCULAR

DEFINICIÓN: Sean f y g : [ a , b ] → R funciones continuas

cuyas gráficas se encuentran a un mismo lado del eje x y además(x)f (x)g , x ε [ a , b ] , entonces el volumen del sólido de

22 y b b

ax

x

y

aa

b

b



revolución que se obtiene por la rotación entorno al eje x de la

región Ω acotada por las curvas y = f (x) , y = g (x) y las rectas

x = a , x = b esta dado por:

}dx)(x)]g[(x)]f [(π{V(S) b

a 22

u³

NOTA: Una regla práctica para recordar está fórmula es:

b

a dx)r R (πV

22

Donde:

R = es el radio mayor del anillo circularr = es el radio menor del anillo circular

Si r = 0 => b

a

b

a dx(x)]f [πdxR πV

22 Método del di sco

OBSERVACIONES:

1. Si f y g : [ a , b ] → R son continuas cuyas gráficas se

encuentran a un mismo lado de la recta y = c yc(x)f c(x)g , x ε [ a , b ] , entonces el volumen

del sólido de revolución que se obtiene por la rotación entorno

de la recta y = c de la región Ω acotada por las curvas

y = f (x) , y = g (x) y las rectas x =a , x = b esta dado por:

}dx)]c(x)g[]c(x)f [(π{V(S) b

a

22

u³

(x)f y

(x)gy

y

xa b

R

r



2. Si la región limitada por las gráficas de x = f (y) , x = g (y) y

por las rectas y = c , y = d gira alrededor de la recta x = k

donde las gráficas de f y g esta a un mismo lado del eje derotación y se tiene que las distancias k(y)f k(y)g ,

y ε [ c , d ] , entonces el volumen del sólido es:

}dy)]k(y)g[]k(y)f [(π{V(S) d

c

22

PROBLEMAS


región Ω alrededor de la recta L donde:

L: x = 0 , Ω:2x

ey , y = 0 , x = 0 , x =1

c

(y)gx

k x

x

y

d

k

(y)f x

R

r

(x)f y

(x)gy

y

xa b

cy c



e

1

221

0

2dy)](y)g[](y)f [(πdy](y)f [πV

e

1

221

0

2dy)]yLn[]1[(πdy]1[πV

e

1

1

0 dy)yLn1(πdyπV

e

e

11

1

0 dyyLnπdyπdyπV

e

1dyyLnπ)1e(π)01(πV

e

e

11dyyLnπeπdyyLnππeππV …(1)

e

1dyyLn

Hacemos: u = Ln y dv = dy

y

dydu v = y

e

e e

111dyyLnydyyLn

11ee1)(e1LneLnedyyLne

1 …(2)


π)1e(πeπV u³

2.

Calcular el volumen del sólido generado por la rotación de laregión Ω alrededor de la recta L donde:

e

0x

y

yLn(y)gx

1

1 1(y)f x



L: Eje x , Ω: 0c b2byyx2222

( b > c > 0 )

Ec. de la circunferencia

0c b2byyx2222

222c) by(x

Centro

C = ( h , k ) = ( 0 , b )

Radio

r = c

Luego:222

c) by(x

222xc) by(

22xc by

22 xc by

=> 221 xc by v 22

2 xc by

c

c

22dx)(x)]g[(x)]f [ (πV

c

c

222222 dx)]xc b[]xc b[ (πV

cc

cc

22 22 dxxcπ4bdxxc4bπV

22 xc b(x)f y

y

x

b

cc

22 xc b(x)gy



Por ser función par el integrando

c

0

22 dxxcπ8bV

Hacemos: x = c sen θ

dx = c cos θ dθ

x = 0 => θ = 0

x = c => θ = π/2

2/π

0

222

)dθθcosc( θsenccπ8bV

2/π

0

222/π

0

22

dθθcosπ8bcdθθcos θsen1π8bcV

2/π

0

2

dθ

2

2θcos1 π8bcV

2/π

0

2)2θsen

4

1θ

2

1 ( π8bcV

]2(0)sen

4

1(0)

2

1)

2

π2(sen

4

1)

2

π(

2

1 [ π8bcV

2

222 π2bc)

4

π ( π8bcV u³



L: y = – 2 , Ω:x

1xy , x = 1 , x = 4 , y = 0

x

1xy

y

x

2y

41

3/2

2



4

1

22dx)])2(0[])2((x)f [ (πV

4

1

22dx)]2[]2

x

1x [ (πV

4

1

2 dx]

x

)1x(4

x

)1x( [πV

4

1

4

1

2 dx

x

1x π4dx

x

)1x( πV

4

1

4

1

2 dx

x

1x π4dx

x

1x2x πV

4

1

4

1 dx

x

1x π4dx)

x

12x(πV

4

1

4

1

4

1 dx

x

1x π4

x

dx πdx)2x(πV

4

1

4

1

4

1

2 dx

x

1x 4πLn xπ)2xx

2

1 (πV

4

1

22

dx

x

1x 4π

)1Ln4Ln(π]2(1)(1)2

12(4)(4)

2

1 [πV

4

1 dx

x

1x 4π4Lnπ]2

2

188[πV

4

1 dx

x

1x 4π4Lnππ

2

3V …(1)

4

1 dx

x

1x

Hacemos: t2 = x

2t dt = dxx = 1 => t = 1



x = 4 => t = 2

2

1

22

1 2

24

1 )dtt(

t

1t 2)dt2t(

t

1t dx

x

1x

2

1

32

1

24

1 )tt

31 (2dt)1t( 2dx

x

1x

]1(1)3

12(2)

3

1 [2dx

x

1x

334

1

3

8)

3

4 (2)1

3

12

3

8 (2dx

x

1x

4

1

…(2)


π3

324Lnππ

2

3)

3

8(4π4Lnππ

2

3V

π)4Ln6

73 (V u³

4. Ω es la región infinita comprendida entre los gráficos de

x1y ,

1xxy

2 y que se encuentra a la derecha de

x = 1 y el eje de rotación es el Eje x. Calcular el volumen del

sólido generado.

x

1y

y

x1

1x

xy

2

1

1

1

1/2

1/2



1

2

2

2

1

22dx)]

1x

x []

x

1 [ (πdx)r R (πV

1 22

2

2dx]

)1x(

x

x

1 [πV

b

1 22

2

2 b

dx])1x(

x

x

1 [ Lim πV

b b

1 22

2

b1 2 b

dx)1x(

x Lim π

x

dx Lim πV

b

1 22

2

b

b

1 b dx)1x(

x

Lim πx

1

Lim πV

b

1 22

2

b bdx

)1x(

x Lim π)1

b

1 ( Lim πV

b

1 22

2

bdx

)1x(

x Lim π)10(πV

b

1 22

2

bdx

)1x(x Lim ππV

b

1 22

2

bdx

)1x(

1)1x( Lim ππV

b b

1 22 b1 2

b )1x(

dx Lim π

1x

dx Lim ππV

b

1 22 b

b

1 b )1x(

dx Lim πxtgarc Lim ππV

b

1 22 b b )1x(

dx Lim π)1tgarc btgarc( Lim ππV

b

1 22 b b )1x(

dx Lim π)

4

π btgarc( Lim ππV



b

1 22 b )1x(

dx Lim π)

4

π

2

π (ππV

b

1 22

b )1x(

dx Lim π)

4

π (ππV

b

1 22 b

2

)1x(

dx Lim π

4

ππV …(1)

b

1 22)1x(

dx

Hacemos: x = tg θ

dx = sec2θ dθ

x = 1 => θ = π/4

x = b => θ = arc tg b

b tgarc b tgarc b

4/π 4

2

4/π 22

2

1 22dθ

θsec

θsec dθ

)1θtg(

θsec

)1x(

dx

b tgarc b tgarc b

4/π

2

4/π 21 22 dθ θcosθsec

dθ

)1x(

dx

b tgarc b

4/π1 22dθ

2

2θcos1

)1x(

dx

b tgarc

4/π1 222θsen

4

1θ

2

1

)1x(

dx

b

2

πsen

4

1

8

π) btgarc2(sen

4

1 btgarc

2

1

)1x(

dx

b

1 22

4

1

8

π) btgarc2(sen

4

1 btgarc

2

1

)1x(

dx

b

1 22

…(2)


]

4

1

8

π) btgarc2(sen

4

1 btgarc

2

1 [ Lim π

4

ππV

b

2



]4

1

8

π)

2

π 2(sen

4

1)

2

π(

2

1 [π

4

ππV

2

)

4

1

8

π (π

4

ππ)

4

1

8

π

4

π (π

4

ππV

22

)8

π

4

3π (V

2

u³

9.2.3.

MÉTODO DE LA CORTEZA CILÍNDRICA

Hasta ahora hemos hallado el volumen de un sólido de revolución

tomando los elementos rectangulares de área perpendicular al eje

de revolución (Método del Disco y Anillo Circular) si un elemento

rectangular de área es paralelo al eje de revolución entonces

cuando este elemento de área se gira alrededor del eje de

revolución se obtiene una Corteza Cilíndr ica que es un sólido

contenido entre dos cilindros que tiene el mismo centro y eje.

r 1 = Radio exterior de la corteza cilíndrica

r 2 = Radio interior de la corteza cilíndrica

h = Altura de la corteza cilíndrica

El volumen será:V = π r 1 2 h – π r 2 2 h

h

2r

1r



DEFINICIÓN: Si f es continua en el intervalo [ a , b ] , a ≥ 0

y f (x) ≥ 0 , x ε [ a , b ] entonces el volumen del sólido de

revolución engendrado al hacer girar alrededor del eje y , la región

acotada por la curva y = f (x) , el eje x y las rectas x = a , x = besta dado por:

}dx(x)f x2π{V b

a u³

OBSERVACIÓN:

1.

Representaremos algunas extensiones de las fórmulas para

casos más especiales:

TEOREMA I: El volumen del sólido generado al girar el área

encerrada por las gráficas de las funciones continuas y = f (x)

, y = g (x) donde f (x) ≥ g (x) desde x = a hasta x = b con

0 ≤ a < b alrededor del eje y es:

(x)f y

y

xa b

x

u³}dx](x)g(x)f [x2π{V b

a

(x)f y

y

x

a bx

(x)gy



TEOREMA II: El volumen del sólido de revolución obtenido

al girar la región limitada por las gráficas de las

funciones y = f(x) , y = g (x) desde x = a hasta x = b

alrededor de la recta x = c , f (x) ≥ g (x) ,

x ε [ a , b ] esigual a:

}dx](x)g(x)f [ cx2π{V b

a u³

OBSERVACIÓN:

1. Se presentan dos posibilidades

a ≤ x ≤ b ≤ c => xccx

c ≤ a ≤ x ≤ b => cxcx

TEOREMA III: El volumen del sólido de revolución

obtenido al girar la región limitada por las gráficas de las

funciones x = f(y) , x = g (y) desde y = a hasta y = b

alrededor de la recta y = c , f (y) ≥ g (y) , y ε [ a , b ] es

igual a:

}dy](y)g(y)f [ cy2π{V b

a u³

OBSERVACIÓN:

1. Se presentan dos posibilidades

a ≤ y ≤ b ≤ c => yccy

c ≤ a ≤ y ≤ b => cycy

PROBLEMAS



L: Eje y , Ω: Es la región que se encuentra al lado derecho del

eje y y limitada por x = 0 ,222

x4y)x4(



Ec. de la curva

222x4y)x4(

2

22

x4

x4y

2

2

x4

x4 y

=>

2

2

1x4

x4y

v

2

2

2x4

x4 y

0x4

x42

2

=> 0x4

2 => 04x

2

0)2x()2x( => x ε [ – 2 , 2 ]

2

0 dx](x)g(x)f [x2πV

2

0 2

22

0 2

2

2

2

dx

x4

x4 x4πdx]

x4

x4

x4

x4 [x2πV

2

0 4

32

0 4

2

dx

x16

x4x 4πdx

x16

)x4(x4πV

2

0 4

32

0 4 dx

x16

x4 πdx

x16

2x 8πV …(1)

2

0 22

2

0 4 dx)x(16

2x dx

x16

2x

x

y

22

1

1

2

2

x4

x4(x)f

2

2

x4

x4 (x)g

0



Hacemos: u = x2

du = 2x dx

x = 0 => u = 0

x = 2 => u = 4

4

0 2

2

0 4 u16

du dx

x16

2x

Hacemos: u = 4 sen θ

du = 4 cos θ dθ

u = 0 => θ = 0

u = 4 => θ = π/2

2/π

0 2

2

0 4 dθ

θsen1616

θcos4 dx

x16

2x

2/π

0

2/π

0 2

2

0 4 dθdθ

θsen1

θcos dx

x16

2x

2

π02

πdx

x16

2x

2

0 4 …(2)

2

0 4

3

dx

x16

x4

Hacemos: u = 16 – x4

du = – 4x3 dx

x = 0 => u = 16x = 2 => u = 0

16

0

0

16

2

0 4

3

u

du

u

du dx

x16

4x

802162u2dx

x16

4x

16

0

2

0 4

3

…(3)




)8π4π(8)(π)2

π(8πV

2 u³

2. La curva 32x)x2a(y gira alrededor de su asintota

vertical. Hallar el volumen del sólido generado.Ec. de la curva

32x)x2a(y , a > 0

x2a

xy

32

x2a

x y

3

=> x2a

xy

3

1 v x2a

x y

3

2

0x2a

x3

=> 02ax

x3

Puntos críticos:

x = 0 y x = 2a

Df : x ε [ 0 , 2a >

x

y 2ax

x2a

x(x)f

3

0

x2a

x (x)g

3

0 2a



2/π

0

33

dθ)2θcos

2

4θcos12θ cos1(π8aV

2/π

0

23

dθ)2θcos2θsen4θcos

2

1

2

1 (π8aV

2/π

0

33)2θsen

6

14θsen

8

1θ

2

1 ( π8aV

]0sen6

1

0sen8

1(0)

2

1πsen

6

12πsen

8

1)

2

π(

2

1 [ π8aV

3

33

233 π2a)

4

π ( π8aV u³

9.3. VOLUMEN DE UN SÓLIDO QUE TIENE SECCIONES PLANAS

PARALELAS CONOCIDAS

INTRODUCCIÓN: Anteriormente hemos estudiado como encontrar un

volumen de un sólido de revolución para el cual todas las secciones planas

perpendiculares al eje de revolución son circulares (Disco y Anillo).Ahora generalizamos este método para hallar el volumen de un sólido para

el cual es posible expresar el área de cualquier sección plana no circular

perpendicular a una recta fija en términos de la distancia perpendicular de

la sección plana desde un punto fijo.

DEFINICIÓN: Sea Ω una región del plano x , y , z que se encuentra

entre dos planos perpendiculares al Eje x , x = a , x = b entonces elvolumen del sólido S se define como:

b

a dx(x)AV(S)

Donde:

A (x) = Área de la sección plana de S trazada perpendicularmente

al Eje x en el punto x. A (x) es continua en el intervalo[ a , b ]



INTERPRETACIÓN GEOMETRICA: Si el área de la base de un

cilindro recto es “A” y su altura es “h” entonces el volumen va a estar

dado por:

V = A h

El i-esimo cilindro recto tiene área A ( i

_ x ) y altura ix entonces:

iV = A ( i

_ x ) ix

Una aproximación al volumen de S será:

n

1iii

n

1ii xΔ)

_

x(AVΔ

Si la norma de la partición tiende a cero entonces:

b

a dx(x)AxΔ)

_ x(ALimVΔ LimV

n

1iii

0 P

n

1ii

0 P

NOTA: Las definiciones del anillo y disco son casos especiales de esta

definición.

OBSERVACIÓN:1. El volumen de un sólido S del espacio comprendido entre dos planos

perpendiculares al Eje y , y = c , y = d se define como:

d

c dy(y)AV

Donde:

A (y) = Área de la sección plana de S trazada Perpendicularmente alEje y en el punto y.

a b

A(x)

i

_ x

x

y

dx

z



PROBLEMAS

1. La base de un sólido S es la región limitada por:

ξ: 1

b

y

a

x2

2

2

2

Halle el volumen de S si todas las secciones transversales

perpendiculares al Eje x son triángulos equilateros.

Del triángulo equilatero:222

)2y(yh

2224yyh

223yh => y3h

Área del triángulo equilatero:

2y3

2

)y3()2y(

2

h bA(x) …(1)

1 b

y

a

x2

2

2

2

=> )xa(a

by

22

2

22

…(2)


])xa(

a

b [3A(x)

22

2

2

x

ya

a

b

b

z

y

y

h 2y

h 2y2y

yy



a

a

a

adx)xa(

a

b3dx(x)AV

22

2

2

a a

0

32

2

2

0

22

2

2

)x3

1 xa(

a

b32dx)xa(

a

b32V

])0(3

1)0(a)a(

3

1)a(a[

a

b32V

3232

2

2

3

ba34)a

3

2 (

a

b32)a

3

1a(

a

b32V

23

2

233

2

2

u³

2. La base de un sólido es la región entre las parábolas x = y2 y

x = 3 – 2y

2

. Hallar el volumen del sólido si las secciones planas perpendiculares al Eje x son cuadrados

Ec. de la parábola 1:

x = y2

Vértice

V = ( h , k ) = ( 0 , 0 )

4p = 1 => p = 1/4 ( La parabola se abre hacia la derecha )

Ec. de la parábola 2:

x = 3 – 2y2

2y)3x(

2

1

Vértice

V = ( h , k ) = ( 3 , 0 )

4p = – 1/2 => p = – 1/8 ( La parabola se abre hacia la izquierda )


Para x = 0

2y)30(

2

1

2

y2

3

=> 2

6y v 2

6y



Intersección entre las parábolas

2yx …(1)

2y)3x(

2

1 …(2)

(1) = (2):

)3x(2

1x

3x2x

33x => x = 1

En (1):2

y1 => y = – 1 v y = 1

Entonces los puntos de intersección serán:

A ( 1 , – 1 )

B ( 1 , 1 )

x

y

z

3

)1,1(B

)1,1(A

(x)A2

(x)A1

xy1

2

x3y3

xy2

2

x3

y4

0

1y2y

y y

zz

3y4y

(x)A1 (x)A21L 2L



Área del cuadrado A1 (x):

211 yyL

x2)x(xL1

4x)x2(L(x)A22

11

Área del cuadrado A2 (x):

432 yyL

2

x3 2)

2

x3 (

2

x3L2

x26)x3(2)2

x32(L(x)A

22

22

Luego:

3

1

1

0

3

1 2

1

0 1 dx)2x6(dx4xdx(x)Adx(x)AV

3

1

21

0

2)x6x(2xV

])1()1(6)3()3(6[)0(2)1(2V2222

6169182V u³

CAPITULO III

COORDENADAS POLARES

1. INTRODUCCIÓN

En el sistema de coordenadas cartesianas; las coordenadas ( x , y ) son

números llamados la abscisa y la ordenada los cuales son las distancias

dirigidas desde dos rectas fijas. En el Sistema de Coordenadas Polar es las

coordenadas ( r , θ ) son respectivamente la distancia y la medida de un

ángulo respecto a un punto fijo y aun rayo fijo.



2. POSICIÓN DE UN PUNTO EN COORDENADAS POLARES

Un punto P ε R² se representa en un sistema de coordenadas polares como:

P ( r , θ )

Donde:r = Es la longitud del segmento OP

θ = Es la medida en radianes del ángulo cuyo inicial es el

segmento OA y el lado terminal contiene al segmento OP

O = Es llamado Polo u origen

OA = Eje polar

OA’ = Eje θ

OBSERVACIÓN:

1. Para asociar las coordenadas polares a un punto es necesario tener en

cuenta lo siguiente:

Si el ángulo AOP se desplaza a partir de OA en sentido

Antihorario θ es positivo y negativo en caso contrario.

Si r > 0 entonces el punto P esta situado en el Eje θ.Ejemplo: P ( 3 , π/4 )

y

x

A'

AO

r

θ

)θ,r(P

4/πθ

)4/π,3(P



Si r < 0 entonces P esta situado en la prolongación del Eje θ.

Ejemplo: P ( – 3 , π/4 )

Si r = 0 entonces P es el Origen o Polo es decir: O = ( 0 , θ ) ,

θ ε R

PROBLEMAS

1. Localizar los puntos A ( 4 , π/6 ) , B ( – 3 , – 3π /4 ) , C ( 1 , π ) ,

D ( – 1.5 , π/3 ) , E ( 3 , 13π/4 ).

Para ubicar estos puntos con mayor facilidad haremos una Roseta

Polar donde cada circunferencia tiene valor constante de r unidades

y cada semirrecta un valor constante de θ

)θ,0(P

4/πθ

)4/π,3(P



NOTA:

Las coordenadas polares de un punto dado no son únicas de modo

que infinitos pares ( r , θ ) pueden representar el mismo punto en el

plano esto nos indica que no existe una correspondencia uno a uno

entre las coordenadas polares y la posición de los puntos en el plano

si las coordenadas polares de P son ( r , θ ) también son coordenadas

polares de P los pares: ( ( – 1 )n r , θ + nπ ) , n e Z. Ejemplos:

P ( 3 , π/4 ) , r = 3 , θ = π/4

n = 1 => P ( – 3 , 5π/4 )

n = 2 => P ( 3 , 9π/4 )

n = – 1 => P ( – 3 , – 3π/4 )

n = – 2 => P ( 3 , – 7π/4 )

Esto no sucede en el sistema de coordenadas cartesianas debido a que

existe una correspondencia biunivoca entre las coordenadas

cartesianas y las posiciones de los puntos en el plano para establecer

la correspondencia biunivoca entre puntos del plano y las

coordenadas polares se debe considerar los valores principales r ≥ 0

y 0 ≤ θ ≤ 2π

0

6/π

4/π

3/π

2/π3/2π

4/3π

6/5π

π

2/3π

6/7π 6/11π

4/5π 4/7π

3/4π 3/5π

A

B

C

DE



3. FÓRMULAS DE TRANSFORMACIÓN

Es importante saber como transformar coordenadas y ecuaciones dadas en

forma cartesiana a la forma polar y viceversa para ello consideremos el

sistema de coordenadas rectangulares x o y. Si P es un punto del planocuyas coordenadas rectangulares y polares son ( x , y ) y ( r , θ )

respectivamente.

El cambio de Coordenadas Rectangulares a Coordenadas Polares se

efectua considerando las relaciones:

x = r cos θ

y = r sen θ

El cambio de Coordenadas Polares a Coordenadas Rectangulares se

efectúa a través de las relaciones:

222yxr => r = 22

yx

Tg θ = y / x => θ = arc tg ( y / x )

OBSERVACIÓN:

1.

Estas fórmulas son validas aún si r es negativoPROBLEMAS

1. Graficar cada punto dado en coordenadas polares y hallar sus

coordenadas rectangulares

a) P ( 4 , π/3 )

b) Q ( – 3 , – π/6 )

Hallamos las coordenadas rectangularesa) P ( 4 , π/3 ) = ( r , θ )

x = r cos θ => x = 4 cos π/3 = 4 ( 1/2 ) = 2

y = r sen θ => y = 4 sen π/3 = 4 32)/23(

b) Q ( – 3 , – π/6 ) = ( r , θ )

x = r cos θ => x = – 3 cos ( – π/6 ) = – 32

33)/23(

y = r sen θ => y = – 3 sen ( – π/6 ) = – 3 ( – 1/2 ) = 3/2



Gráfica de los puntos

2. Hallar todas las coordenadas polares posibles ( r , θ ) , 0 ≤ θ ≤ 2π de

cada uno de los puntos cuyas coordenadas cartesianas se dan

)1,3( ; ( 0 , – 3 ) ; ( – 6 , 0 ) ; ( – 3 , – 3 ) ; )32,2(

Hallamos las coordenadas polares

)1,3( = ( x , y )

r = 22yx => r = 2)1()3(

22

θ = arc tg ( y / x ) => θ =6

5π)

3

1 (tgarc

θ = 6

11π

, 6

5π

, 0 ≤ θ ≤ 2π

( r , θ ) = )6

11π ,2()

6

5π ,2(

( 0 , – 3 ) = ( x , y )

r = 22yx => r = 3)3()0(

22

3/π

6/π

)32,2()/3 π,4(P

)2

3 ,

2

33 ()/6π,3(Q



θ = arc tg ( y / x ) => θ =2

3π)

0

3 (tgarc

θ =

2

3π ,

2

π , 0 ≤ θ ≤ 2π

( r , θ ) = )2

3π ,3()

2

π ,3(

( – 6 , 0 ) = ( x , y )

r = 22yx => r = 6)0()6(

22

θ = arc tg ( y / x ) => θ = 0)6

0 (tgarc

θ = π, 0 , 0 ≤ θ ≤ 2π

( r , θ ) = )π,6()0,6(

( – 3 , – 3 ) = ( x , y )

r = 22yx => r = 23)3()3(

22

θ = arc tg ( y / x ) => θ =4

π)

3

3 (tgarc

θ =4

5π ,

4

π , 0 ≤ θ ≤ 2π

( r , θ ) = )4

5π ,23()4π ,23(

)32,2( = ( x , y )

r = 22yx => r = 4)32()2(

22

θ = arc tg ( y / x ) => θ =3π)

232 (tgarc



θ =3

4π ,

3

π , 0 ≤ θ ≤ 2π

( r , θ ) = )

3

4π ,4()

3

π ,4(

4. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN COORD. POLARES

DEFINICIÓN: La distancia entre los puntos A ( r 1 , θ1 ) ; B ( r 2 , θ2 )

esta dado por: )θθ( cosr r 2r r d 1221

2

2

2

1

5. ECUACIÓN POLAR DE UNA RECTA

DEFINICIÓN 1: La ecuación polar de una recta que pasa por el origen

es: θ = C , R r , C es una constante.

d

)θ,r (A 11

)θ,r (B22

1r

1θ

2r

2θ

Cθ

)θ,4()θ,3(

)θ,3(

)θ,4(

)θ,2(

)θ,2(



DEFINICIÓN 2: La ecuación polar de una recta L que no pasa por elorigen es: r cos ( θ – β ) = p , p > 0

OBSERVACIONES:

1.

Si la recta es perpendicular al eje polar y esta a p unidades del polo, laecuación r cos ( θ – β ) = p , p > 0 se transforma en:

r cos θ = p , p > 0 , β = 0

El signo de p es positivo si la recta esta a la derecha del polo.

El signo de p es negativo si la recta esta a la izquierda del polo.

Ejemplo: Graficar r cos θ = 4 ; r cos θ = – 2

/4πθ

/4π

L

)θ,r(P

θ p

β

r

)β, p(Q

genérico Punto

paso de Punto



6. ECUACIÓN POLAR DE UNA CIRCUNFERENCIA

La ecuación polar de una circunferencia con centro en C ( p , α ) y radio

a > 0 es: 222a)αθ(cos pr2 pr …(*)

OBSERVACIONES:

1. Si la circuenferencia pasa por el polo y su centro esta en el eje polar

(o en su prolongación) la ecuación (*) se reduce a

θcos p2r , α = 0

El centro de esta circunferencia es C ( p , O ) y el radio es | p |

2. Si la circunferencia pasa por el polo y su centro esta en el eje π/2

(o en su prolongación) la ecuación (*) se reduce a

θsen p2r , α = π/2

El centro de esta cir cunferencia es C ( p , π/2 ) y el radio es | p |

)α, p(C

)θ,r(P

r p

α

θ

a

)0, p(C

| p|



3. Si el centro es el polo es decir p = 0 la ecuación (*) se transforma o

se reduce a

ar

Ejemplo: Hallar la ecuación polar de la circunferencia con centro en

C ( 1 , π/2 ) y radio 1

θsen p2r => θsen)1(2r => θsen2r

Ejemplo: Graficar 2r

)/2π, p(C

| p|

)/2π,1(C

1

a

ar

a



7. DISCUSIÓN Y GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN POLAR

E ( r , θ ) = 0

Para trazar la gráfica de una ecuación en coordenadas polares

E ( r , θ ) = 0 es conveniente realizar los siguientes pasos:

7.1. INTERSECCIÓN

a) Con el Eje Polar (o su prolongación), θ = n π , n Z

b) Con el Eje π/2 (o su prolongación), θ = π/2 + n π , n Z

c)

Con el Polo r = 0

OBSERVACIÓN:

i. Al resolver la ecuación r = 0 se hallan las rectas tangentes en el

polo que son rectas que pasan por el origen cuya forma general es

θ = θk constantes.

7.2. SIMETRIAS

a) Con respecto al Eje Polar se reemplaza

( r , θ ) = ( ( – 1 )n r , – θ + n π ) , n Z

Si la ecuación no varia para algun valor de n la curva

presenta simetria.

Si la ecuación varía n Z la curva no es simetrica. b) Con respecto al Eje π/2 se reemplaza

2

2r

2r



( r , θ ) = ( – ( – 1 )n r , – θ + n π ) , n Z


presenta simetria.

Si la ecuación varía n Z la curva no es simetrica.c) Con respecto al Polo se reemplaza

( r , θ ) = ( – ( – 1 )n r , θ + n π ) , n Z


presenta simetria.

Si la ecuación varía n Z la curva no es simetrica.

7.3. EXTENSIÓN

La extensión esta determinada por una constante M > 0 tal que

| r | ≤ M r , θ lo que representa el hecho que la gráfica esta

encerrada dentro de una circunferencia de radio M y centrada en el

origen.

7.4. TABULACIÓN

Se determinan los valores de la variable r correspondiente a los

valores asignados a θ.

7.5. TRAZADO DE LA GRÁFICA

En un sistema de coordenadas polares (es preferible usar la roseta

polar) se localizan los puntos obtenidos y se traza la curva.

Ejemplo: Gráficar r = 1 + sen 2θ

Interceptos

a) Con el Eje Polar, θ = n π , n Z

r = 1 + sen 2 ( nπ )



- n es par

n = 0 => r = 1 + sen 0 = 1 => ( r , θ ) = ( 1 , 0 )

- n es impar

n = 1 => r = 1 + sen π = 1 => ( r , θ ) = ( 1 , π ) b) Con el Eje π/2, θ = π/2 + n π , n Z

r = 1 + sen 2 ( π/2 + n π )

- n es par

n = 0 => r = 1 + sen π = 1 => ( r , θ ) = ( 1 , π/2 )

- n es impar

n = 1 => r = 1 + sen 3π = 1 => ( r , θ ) = ( 1 , 3π/2 )

c) Con el Polo, r = 0

r = 1 + sen 2θ

0 = 1 + sen 2θ

sen 2θ = – 1 => 2θ = 3π/2 v 2θ = 7π/2

Rectas tangentes al Polo

θ = 3π/4 v θ = 7π/4

Simetrias

a) Con el Eje Polar ( r , θ ) = ( ( – 1 )n r , – θ + n π )

( – 1 )n r = 1 + sen 2 ( – θ + n π )

- n es par

n = 0 => r = 1 + sen 2 ( – θ ) = 1 – sen 2θ Varia

- n es impar

n = 1 => – r = 1 + sen 2 ( – θ + π ) => r = – 1 + sen 2θ

Varia

/ Simetria con el Eje Polar

b) Con el Eje π/2 ( r , θ ) = ( – ( – 1 )n r , – θ + n π )

– ( – 1 )n r = 1 + sen 2 ( – θ + n π )

- n es par

n = 0 => – r = 1 + sen 2 ( – θ ) => r = – 1 + sen 2θ Varia



- n es impar

n = 1 => r = 1 + sen 2 ( – θ + π ) = 1 – sen 2θ Varia

/ Simetria con el Eje π/2

c)

Con el Polo ( r , θ ) = ( – ( – 1 )n

r , θ + n π ) – ( – 1 )n r = 1 + sen 2 ( θ + n π )

- n es par

n = 0 => – r = 1 + sen 2θ => r = – 1 – sen 2θ Varia

- n es impar

n = 1 => r = 1 + sen 2 ( θ + π ) = 1 + sen 2θ No varia

Simetria con el Polo Extensión

r = 1 + sen 2θ

– 1 ≤ sen 2θ ≤ 1

1 – 1 ≤ sen 2θ ≤ 1 + 1

– 2 ≤ 0 ≤ 1 + sen 2θ ≤ 2 => | 1 + sen 2θ | ≤ 2

| r | ≤ 2 Circunferencia de radio 2 y centrada en el origen Tabulación

r = 1 + sen 2θ , 0 ≤ θ ≤ 2π

θ r

0 1

π/6 1.866

π/4 2

π/3 1.866π/2 1

2π/3 0.134

3π/4 0

7π/4 0

11π/6 0.1342π 1



Trazo de la gráfica

8. ALGUNAS ECUACIONES POLARES DE INTERES

r cos θ = a => x = a Recta vertical

r sen θ = a => y = a Recta horizontal

Circunferencias

-

r = 2a cos θ

1 2

/6π

/4π

/3π/32π

/43π

/65π

/2π

π 0

/67π

/45π

/34π

/23π

/35π

/47π

/611π

/2π

π 0

/23π

aa

0a 0a



- r = 2a sen θ

Cardioides ( a > 0 )

- r = a ( 1 ± sen θ )

- r = a ( 1 ± cos θ )

/2π

π 0

/23π

a

a

0a

0a

/2π

π 0

/23π

a

)θsen1(ar

2a

)θsen1(ar



OBSERVACIONES:

1. Si el foco de una conica (parábola, elipse o hipérbola) esta en el polo

y la directriz de la conica es una recta perpendicular al eje polar que

esta a una distancia de 2p, p > 0 la ecuación de la conica esta dada

por:

θcose1

pe2r

e: Excentricidad de la conica

La conica es una elipse si la excentricidad se encuentra 0 < e < 1, es

una parábola si e = 1 y es una hipérbola si e > 1.

Si la directriz esta a la izquierda del polo entonces la ecuación de

la conica es:

θcose1

pe2r

/2π

π 0

/23π

a

)θcos1(ar

2a

)θcos1(ar



Si la directriz esta a la derecha del polo la ecuación de la conica

es:

θcose1

pe2

r

2. Si el foco de una conica se mantiene en el polo y la directriz es

paralela al eje polar la ecuación de la conica esta dada por:

θsene1

pe2r

e: Excentricidad de la conica

Si la directriz esta debajo del eje polar entonces la ecuación de la

conica es:

θsene1

pe2r

Si la directriz esta sobre el eje polar entonces la ecuación de la

conica es:

θsene1

pe2r

e),P(d

)F,P(d

L θ

r

2p

)θ,r(P

FOx

yL



Ejemplo:

1. Hallar la ecuación de la conica con foco en el polo excentricidad

e = 1/2 y directriz L al eje polar por el punto ( – 4 , 0 ).

θcose1 pe2r

e = 1/2

0 < 1/2 < 1 La conica es una elipse

2p = 4 => p = 2

θcos)1/2(1

)2()1/2(2r

2

θcos2

2r

=>

θcos2

4r

9. INTERSECCIÓN DE GRÁFICAS EN COORDENADAS POLARES

PROPOSICIÓN: r = f ( θ ) es la ecuación de una curva en coordenadas

polares entonces )nπθ(f r )1(n

, n ϵ Z . . . (*) es tambien la

ecuación de dicha curva considerando esta proposición para hallar la

intersección de dos curvas cuyas ecuaciones en coordenadas polares

son: r = f ( θ ) y r = g ( θ ) se siguen los siguientes pasos:

Fx

yL

4

2p



1. Se obtienen todas las ecuaciones distintas de las dos curvas aplicando

(*) a cada una de ellas.

)θ(f r , )θ(f r 1 , )θ(f r 2 , . . .

)θ(gr , )θ(gr 1 , )θ(gr 2 , . . .2. Se resuelven para las variables r y θ las ecuaciones simultáneas.

)θ(gr

)θ(f r ,

)θ(gr

)θ(f r

1

1 ,

)θ(gr

)θ(f r

2

2 , . . .

3. Se verifica si el polo es un punto de intersección haciendo r = 0 en

cada ecuación para determinar si Ǝ solución para “θ” (no

necesariamente la misma)

OBSERVACIÓN

i) Para tener una idea respecto a la cantidad de puntos de intersección de

dos curvas es recomendable trazar sus graficos para simplificar el

trabajo.

Ejemplo:

1. Hallar los puntos de intersección de las siguientes gráficas

)θsen1(4r yθsen1

3r

)nπθ(f r )1(n

)θsen1(4r => ))nπθ(sen1(4r )1(n

n es par

n = 0 => )θsen1(4r )θ(f 1

n es impar

n = 1 => ))πθ(sen1(4r

=> )θsen1(4r )θ(f 2



θsen1

3r

=>

)nπθ(sen1

3r )1(

n

n es par

n = 0 =>θsen1

3r

)θ(g1

n es impar

n = 1 =>)πθ(sen1

3r

=>θsen1

3r

)θ(g2

)θ(gr

)θ(f r

1

1 ,

)θ(gr

)θ(f r

2

2

θsen1

3r

)θsen1(4r

,

θsen1

3r

)θsen1(4r

θsen1

3)θsen1(4

4

3)θsen1()θsen1(

4

3θsen1

2

4

31θsen

2

4

1θsen

2 =>

2

1θsen

6

11π ,

6

7π ,

6

5π ,

6

πθ



Si θ = π/6 => r = 4 ( 1 – sen π/6 ) = 2 => A( 2 , π/6 )

Si θ = 5π/6 => r = 4 ( 1 – sen 5π/6 ) = 2 => B( 2 , 5π/6 )

Si θ = 7π/6 => r = 4 ( 1 – sen 7π/6 ) = 6 => C( 6 , 7π/6 )

Si θ = 11π/6 => r = 4 ( 1 – sen 11π/6 ) = 6 => D( 6 , 11π/6 )

Verificar si el polo es un punto de intersección

El polo no es punto de intersección de las curvas ya que el foco de

la parábola esta en el polo.

2.

Hallar los puntos de intersección de las siguientes curvasi. r = a , r = 2a cos 2θ

)/6π,2(A)/6π5,2(B

)/6π7,6(C )/6π11,6(D

3

/2π

π 0

/23π



Si θ = π/3 => r = 2a cos 2π/3 = – a => F( – a , π/3 )

Si θ = 2π/3 => r = 2a cos 4π/3 = – a => G( – a , 2π/3 )

Si θ = 5π/6 => r = 2a cos 5π/3 = a => D( a , 5π/6 )

Si θ = 7π/6 => r = 2a cos 7π/3 = a => E( a , 7π/6 ) Si θ = 4π/3 => r = 2a cos 8π/3 = – a => B( – a , 4π/3 )

Si θ = 5π/3 => r = 2a cos 10π/3 = – a => C( – a , 5π/3 )

Si θ = 11π/6 => r = 2a cos 11π/3 = a => H( a , 11π/6 )


El polo no es punto de intersección de las dos curvas ya que el

centro de la circunferencia esta en el polo.

)/6π,a(A

a

/2π

π 0

/23π

2a

2a

2a

2a

a

a

a

)/3π4,a(B )/3π5,a(C

)/6π5,a(D

)/6π7,a(E

)/3π,a(F )/3π2,a(G

)/6π11,a(H



ii. 3r = 4 cos θ ,θ cos1

1r

θ cos)3

2 (2r ,

θ cos1

)1/2()1(2r

)nπθ(f r )1(n

θ cos3

4r => )nπθ( cos

3

4r )1(

n

n es par

n = 0 => θ cos34r )θ(f 1

n es impar

n = 1 => )πθ( cos3

4r

=> θ cos3

4r )θ(f 2

θ cos1

1r

=>

)nπθ( cos1

1r )1(

n

n es par

n = 0 =>θ cos1

1r

)θ(g1

n es impar

n = 1 =>)πθ( cos1

1r

=>θ cos1

1r

)θ(g2

)θ(gr

)θ(f r

1

1 ,

)θ(gr

)θ(f r

2

2



θ cos1

1r

θ cos3

4r

,

θ cos1

1r

θ cos3

4r

θ cos1

1θ cos

3

4

θ cos1

1θ cos

3

4

4

3)θ cos1(θ cos

4

3)θ cos1(θ cos

04

3θ cosθcos

2 04

3θ cosθcos

2

2

1θ cos

2

1θ cos

3

2π ,

3

πθ

Si θ = π/3 => r = 4/3 cos π/3 = 2/3 => A( 2/3 , π/3 )

Si θ = 2π/3 => r = 4/3 cos 2π/3 = – 2/3 => B( – 2/3 , 2π/3 )


El polo no es punto de intersección de las dos curvas ya que el

foco de la parábola esta en el polo.

)/3π,2/3(A1

/2π

π 0

/23π

1

4/3

)/32π,2/3(B



iii. 82θsenr 2

, 2θ cosr

8θ cos θsenr 22

4θ cos θsenr 2

4)θ cosr()θsenr(

θsen

2r ,

θ cos

2r

)nπθ(f r )1(n

θsen2r =>

)nπθ(sen2r )1( n

n es par

n = 0 =>θsen

2r )θ(f 1

n es impar

n = 1 => )πθ(sen2r

=>θsen

2r )θ(f 2

θ cos

2r =>

)nπθ( cos

2r )1(

n

n es par

n = 0 =>θ cos

2r )θ(g1

n es impar

n = 1 =>)πθ( cos

2r

=> θ cos

2

r )θ(g2



)θ(gr

)θ(f r

1

1 ,

)θ(gr

)θ(f r

2

2

θ cos

2r

θsen2r

,

θ cos

2r

θsen2r

θ cos

2

θsen

2

1θ cos

θsen

1θtan

4

πθ

Si θ = π/4 => 22 /4sen π

2r => A( 22 , π/4 )


El polo no es punto de intersección ya que la recta no pasa por

polo ( r cos θ = 2 ).

)/4π,22(A

/2π

π 0

/23π

22

2

22



iv. r = a ( 1 + sen θ ) , r = a ( 1 – sen θ )

)nπθ(f r )1(

n

)θsen1(ar => ))nπθ(sen1(ar )1( n

n es par

n = 0 => )θsen1(ar )θ(f 1

n es impar

n = 1 => ))πθ(sen1(ar

=> )θsen1(ar )θ(f 2

)θsen1(ar => ))nπθ(sen1(ar )1(n

n es par

n = 0 => )θsen1(ar )θ(g1

n es impar

n = 1 => ))πθ(sen1(ar

=> )θsen1(ar )θ(g2

)θ(gr

)θ(f r

1

1 ,

)θ(gr

)θ(f r

2

2

)θsen1(ar

)θsen1(ar

,

)θsen1(ar

)θsen1(ar

)θsen1(a)θsen1(a

θsen1θsen1

0θsen1θsen1

0θsen

π, 0θ



Si θ = 0 => r = a ( 1 + sen 0 ) = a => A( a , 0 )

Si θ = π => r = a ( 1 + sen π ) = a => B( a , π )


Si r = 0 => 0 = a ( 1 – sen θ ) => sen θ = 1 => θ = π/2

C ( 0 , π/2 ) punto de intersección de las curvas en el polo.

v. r = 2 + cos 2θ , r = 2 + sen θ

)nπθ(f r )1(n

2θ cos2r => )nπθ2( cos2r )1(n

n es par

n = 0 => 2θ cos2r )θ(f 1

n es imparn = 1 => )πθ2( cos2r

/2π

π 0

/23π

2a

)0,a(A)π,a(B

)/2π,0(C

a



=> 2θ cos2r )θ(f 2

θsen2r => )nπθ(sen2r )1(n

n es par

n = 0 => θsen2r )θ(g1

n es impar

n = 1 => )πθ(sen2r

=> θsen2r )θ(g2

)θ(gr

)θ(f r

1

1

,

)θ(gr

)θ(f r

2

2

θsen2r

2θ cos2r ,

θsen2r

2θ cos2r

θsen22θ cos2

02θ cosθsen

0θsenθcosθsen22

01θsenθsenθcos122

01θsenθsen22

02

1θsen2

1θsen2

0169)

41θsen(

2

16

9)

4

1θsen(2

4

3

4

1θsen

4

1

4

3

θsen



2

1θsen 1θsen

2

3π ,

6

5π ,

6

πθ

Si θ = π/6 => r = 2 + cos π/3 = 5/2 => A( 5/2 , π/6 )

Si θ = 5π/6 => r = 2 + cos 5π/3 = 5/2 => B( 5/2 , 5π/6 )

Si θ = 3π/2 => r = 2 + cos 3π = 1 => C( 1 , 3π/2 )


El polo no es punto de intersección de las dos curvas.

)/6π,5/2(A

3

/2π

π 0

/23π

1

3

)/6π5,5/2(B

)/2π3,1(C



vi. r = 3 + cos 4θ , r = 2 – cos 4θ

vii. r = 2 ( 1 – cos θ ) ,θ cos1

1r

viii.

1θcos3

θsen2r 2 , θsen7

8r

10. AREAS DE REGIONES PLANAS EN COORDENADAS POLARES

DEFINICION: Si r = f ( θ ) es una función continua y no negativa

sobre α ≤ θ ≤ β el área A de la región limitada por la grafica de la

ecuación polar r = f ( θ ) y los rayos θ = α , θ = β viene a ser:

β

α

2βθ

αθ

2 dθr 2

1dθ])θ(f [

2

1 A

Donde:

α y β varian en el intervalo [ 0 , 2π > ó [ – π , π > según sea más

conveniente.

/2π

π 0

/23π

βθ

αθ A

)θ(f r



Ejemplo:

1. Encontrar el área de la región limitada por la curva r = 1 + sen 2θ

θ ϵ [ α , β ] => θ ϵ [ – π/4 , 3π/4 ]

β

α

21 dθr

2

1A

1A2A

/43π

/4π

2 dθ)2θsen1(

2

1 . 2A

/43π

/4π

2 dθ)2θsen2θsen21( A

/43π

/4π

/43π

/4π

/43π

/4π dθ)

2

4θ cos1 ( dθ 2θsen2dθ A

/43π

/4π

/43π

/4π

/43π

/4π

/43π

/4π4θsen

8

1

2

θ2θ cosθA

)π(sen8

1)3π(sen

8

1

8

π

8

3π)

2

π ( cos)

2

3π ( cos

4

π

4

3πA

2

/2π

π 0

/23π

1

/4π

/43π

1A



8

1

8

1

8

π

8

3π

4

π

4

3πA

2u

2

3πA

2. Encontrar el área de la región limitada por r 2 = 2a2 cos 2 (θ/2) (Doble

cardiode).

θ ϵ [ α , β ] => θ ϵ [ 0 , π/2 ]

β

α

21 dθr

2

1A

1A4A

/2π

0 22 dθ ])θ/2(cos2a[

2

1 . 4A

/2π

π 0

/23π

2a

a

1A



/2π

0

2/2π

0

2dθ )θ cos1( 2adθ

2

θ cos1 4aA

/2π

0

2/2π

0

2θsen2aθ2aA

)0sen2

πsen(2a)0

2

π (2aA

22

2222u a)2π(2aaπA

OBSERVACION:

Para calcular el área A de la región encerrada por las graficas de dos

ecuaciones polares r = f ( θ ) y r = g ( θ ) y por los rayos θ = α , θ = β.

Donde α < β en el dominio [ 0 , 2π > ó en el dominio [ – π , π > y donde

0 ≤ g ( θ ) ≤ f ( θ )

Primero se calcula el área correspondiente a r = f ( θ ) y luego se le

resta el área correspondiente a la ecuación r = g ( θ ) es decir:

βθ

αθ22 dθ }])θ(g[])θ(f [{

21 A

/2π

π 0

/23π

βθ

αθ A

)θ(f r

)θ(gr



Ejemplo:

1. Dadas las curvas r = 2 cos 2θ , r = 1

a) Hallar el área de la región dentro de y fuera de

b)

Hallar el área de la región fuera de

y dentro de

c) Hallar el área de la región interior a ambas y

)nπθ(f r )1(

n

2θ cos2r => )nπθ2( cos2r )1(n

n es parn = 0 => 2θ cos2r )θ(f 1

n es impar

n = 1 => )πθ2( cos2r

=> 2θ cos2r )θ(f 2

/2sen πr => )nπ/2π(senr )1(

n

2

/2π

π 01A

)/6π,1(A

/23π



n es par

n = 0 => 1r )θ(g1

n es impar

n = 1 => )π/2π(senr

=> 1r )θ(g2

)θ(gr

)θ(f r

1

1 ,

)θ(gr

)θ(f r

2

2

1r

2θ

cos2r ,

1r

2θ

cos2r

12θ cos2 12θ cos2

2

12θ cos

2

12θ cos

6

11π ,

3

5π ,

3

4π ,

6

7π ,

6

5π ,

3

2π ,

3

π ,

6

πθ

Si θ = π/6 => r = 2 cos π/3 = 1 => A( 1 , π/6 )

a) Hallamos el área de la región dentro de y fuera de

1A8A

/6π

0

22 dθ ])1()2θ cos2([ 2

1 . 8A

/6π

0

2 dθ )12θcos4( 4A

/6π

0

/6π

0 dθ 4 dθ

2

4θ cos1 16A

6/π

0

6/π

0

6/π

0θ44θsen2θ8A



)06

π (4)0sen

3

2πsen(2)0

6

π (8A

3

2π

2

32

3

4πA

2u )3

3

2π (A

b) Hallamos el área de la región fuera de y dentro de

/4π

/6 π22 dθ ])2θ cos2()1([

2

1 . 8A

/4π

/6 π

2 dθ )2θcos41( 4A

/4π

/6 π

/4π

/6 πdθ

2

4θ cos1 16 dθ 4A

/4π

6/π

/4π

6/π

/4π

6/π 4θ

sen2θ

8θ

4A

)3

2πsensen π(2)

6

π

4

π (8)

6

π

4

π (4A

2

32

3

2π

3

πA

2u )

3

π3(A

c) Hallamos el área de la región interior a ambas y

/4π

/6 π

2/6π

0

2 dθ)2θ cos2( 2

1 . 8 dθ)1(

2

1 . 8A

/4π

/6 π

2/6π

0 dθ 2θcos4 4 dθ 4A



/4π

/6 π

/6π

0 dθ

2

4θ cos1 16 dθ 4A

/4π

6/π

/4π

6/π

/6π

0 4θsen2θ8θ4A

)3

2πsensen π(2)

6

π

4

π (8)0

6

π (4A

2

32

3

2π

3

2πA

2u )3

3

4π (A

Ejercicios:

1. Hallar el área de la región limitada por las curvas

a) r = sen θ

1A2A

/2π

0

2 dθ θsen2

1 . 2A

/2π

0 dθ

2

2θ cos1 A

/2π

π 0

/23π

1/2

)/2π,1(

1A



2/π

0

2/π

0 2θsen

4

1

2

θA

)0sensen π(4

1)0

2

π (

2

1A

2u

4

πA

b) θaer , θ = 0 , θ = π/2

a = 1

/2π

0

θa2/2π

0

θa2 dθ 2a e 4a

1dθ e

2

1A

| ee |4a

1| e |

4a

1A

0πa2/π

0

θa2

2 πa

u 4a

| 1e |A

/2π

π 0

/23π

A

)0,1(

πe

/2πe

πe

/23πe

2πe



c) Dentro de r = sen θ y fuera de r = 1 – cos θ

/2π

0

22dθ ])θ cos1()θsen([

2

1A

/2π

0

22 dθ )θcosθ cos21θsen( 2

1A

/2π

0 2 dθ )θcos2θ cos2(

2

1

A

/2π

0

2/2π

0 dθ θcos dθ θ cos A

/2π

0

/2π

0 dθ

2

θ cos1 dθ θ cos A

22/π

0

2/π

0

2/π

0

u )4

π1(2θsen

4

1

2

θθsenA

A

/2π

π 0

/23π

2

1



d) Dentro de r = a ( 1 + sen θ ) y fuera de r = a sen θ

21 A2A2A

/2π

0

221 dθ })θsena(])θsen1(a[{

2

1A

/2π

0

2222221 dθ )θsenaθsenaθsen2aa(

2

1A

/2π

0

221 dθ )θsen2aa(

2

1A

2/π

0

22/π

0

2

1 θ cosa2

θaA

22222

1 u )aa

4

π ()0 cos

2

π cos(a)0

2

π (

2

aA

/2π

π 0

/23π

2a

1Aa

2A



2π

/23π

22 dθ ])θsen1(a[

2

1A

2π

/23π

22222 dθ )θsenaθsen2aa(

2

1A

2π

/23π

2222 dθ ])

2

2θ cos1 (aθsen2aa[

2

1A

2π

2/3π

22π

2/3π

22π

2/3π

2

2 2θsen8

aθ cosa

4

θa3A

222

2 u )aa

8

π3 (A

Luego:

)aa8

π3 (2)aa

4

π (2A

2222

222222u a

4

π5a2a

4

π3a2a

2

πA

e) | θsen|r

/2π

π 0

/23π

1

1A



1A4A

/2π

0

2 dθ )| θsen|( 2

1 . 4A

/2π

0

/2π

0 dθ θsen2dθ | θsen| 2A

2/π

0 θ cos2A

)0 cos2

π cos(2A

2

u 2A

f) xyxyx 2222

Sabemos que:

θ cosrx

θsenry

θ cosr)θsenr()θ cosr()θsenr()θ cosr( 2222

θ cosrθsenr θcosr θsenr θcosr 22222222

θ cosr)θsenθcos(r )θsenθcos(r 222222

θ cosrr r 22

θ cosrr r 2

)θ cos1(rr 2

θ cos1r

r 2

θ cos1r (Cardioide)



1A2A

π

0

2 dθ )θ cos1( 2

1 . 2A

π

0

2 dθ )θcosθ cos21( A

π

0 dθ )

2

2θ cos1θ cos21( A

π

0 dθ )2θ cos

2

1θ cos2

2

3 ( A

π

0

π

0

π

02θsen

4

1θsen2θ

2

3A

)0sen2πsen(4

1)0sensen π(2)0π(

2

3A

2u

2

3πA

/2π

π 0

/23π

2

1

1A



g) )yx(xy4a)yx(222322

, a > 0

h) 2244yxyx

i) θer , 0 ≤ θ ≤ π , θ

er , 2π ≤ θ ≤ 3π y los rayos θ = 0 y

θ = π

j) Dentro r = 2 + cos 2θ y fuera de r = 2 + sen θ

11. VOLUMEN DE REVOLUCION EN COORDENADAS POLARES

DEFINICION 1: El volumen del solido generado al rotar la región plana

limitada por la grafica polar de r = f ( θ ) , entre los rayos θ = α y θ = βalrededor del eje x, donde 0 ≤ α ≤ θ ≤ β ≤ π , es igual a:

β

α

3βθ

αθ

3 dθ θsenr 3

2πdθ θsen])θ(f [

3

2πV

DEFINICION 2: El volumen del solido generado al rotar la región plana

limitada por la grafica polar de r = f ( θ ) , entre los rayos θ = α y θ = β

alrededor del eje y, donde – π/2 ≤ α ≤ θ ≤ β ≤ π/2 , es igual a:

β

α

3βθ

αθ

3 dθ θ cos r 3

2πdθ θ cos ])θ(f [

3

2πV

NOTA: En cualquiera de las dos formulas previas se debe tener cuidado

de que no haya superposición de volúmenes.

Ejemplo:

1. Hallar el volumen del solido generado por la rotación de la cardioide

r = a ( 1 + cos θ ) , θ ϵ [ 0 , 2π ] , a > 0 alrededor del eje x

π

0

3 dθ θsen])θ cos1(a[ 3

2πV

π

0

33dθ θsen)θ cos1( a

3

2πV



3π

0

43a

3

8π)θ cos1(a

6

πV

2. Hallar el volumen del solido generado por la rotación de la lemniscata

( x² + y² )² = a² ( x² – y² ) , a > 0 , alrededor de:

i. El eje x

ii. El eje y

Pasando a coordenadas polaresx = r cos θ

y = r sen θ

( r² cos ² θ + r² sen ² θ )² = a² ( r² cos ² θ – r² sen ² θ )

r 4 = r² a² cos 2θ

r² = a² cos 2θ

2θ cosar

/2π

π 0

/23π

2a

a



i. El eje x

] dθ θsen)2θ cosa( 3

2π [ 2V

/4π

0

3

/4π

0

3/23dθ θsen)2θ cos( a

3

4πV

/4π

0

3/223dθ θsen)1θcos2( a

3

4πV

Hacemos:

u sec 2

1θ cos

duuu tansec 2

1dθ θsen

0θ =>4

πu

4

πθ => 0u

a

/2π

π 0

/23π

/4π



0

/4π

3/223duuu tansec )1usec( a

23

4πV

/4π

0

3/223duuu tansec )utan( a

23

4πV

/4π

0

43duusecutana

23

4πV

/4π

0

223duusec )utan( a

23

4πV

/4π

0

223duusec )1usec( a

23

4πV

/4π

0

243duusec )1usec 2usec( a

23

4πV

/4π

0

353du )usecusec 2usec( a

23

4πV

/4π

0

33

)uu tg sec8

5

u u tgsec4

1

|utgu sec |Ln8

3

( a23

4π

V

]3

2)12(Ln2[ a

4

πV

3

ii. El eje y

] dθ θ cos )2θ cosa( 3

2π

[ 2V

/4π

0

3

/4π

0

3/23dθ θ cos )2θ cos( a

3

4πV

/4π

0

3/223dθ θ cos )θsen21( a

3

4πV

Hacemos:



usen2

1θsen

duucos

2

1dθ θ cos

0θ => 0u

4

πθ =>

2

πu

/2π

0

3/223duucos )usen1( a

23

4πV

/2π

0

3/223duucos )ucos( a

23

4πV

/2π

0

43duucos a

23

4πV

/2π

0

23du )

2

2u cos1 ( a

23

4πV

32/2π

0

3a

24

π)4usen

4

12usen23u ( a

26

πV

CAPITULO IV

CURVAS PARAMETRICAS

DEFINICION 1: Una Curva Parametrica

] t, t[ t, )t(yy

)t(xx

10

C

Es una curva cerrada si la particula regresa al mismo punto de donde partio es decir

si las coordenadas del punto final y el punto inicial coinciden:

))t(y, )t(x())t(y, )t(x(1100



Ejemplo:

1. ] π, 0[ t, 2t cosy

2tsenx

C

Para t = 0 => ( x , y ) = ( 0 , 1 )

Para t = π/4 => ( x , y ) = ( 1 , 0 )

Para t = π/2 => ( x , y ) = ( 0 , – 1 )

Para t = 3π/4 => ( x , y ) = ( – 1 , 0 )

Para t = π => ( x , y ) = ( 0 , 1 )

2tsenx22

2tcosy22

2tsen2tcosyx2222

1yx22

Es una curva cerrada pues ))π(y, )π(x())0(y, )0(x( => ( 0 , 1 ) = ( 0, 1 )

/4πt

0t

/2πt

y

1

x /4π3t

11

1



DEFINICION 2: Un punto multiple de una curva paramétrica es un punto que

es alcanzado en dos instantes diferentes t1 y t2 sobre la curva es decir si es que

sus coordenadas coinciden para estos dos valores del parámetro t.

))t(y, )t(x())t(y, )t(x( 2211

AREAS LIMITADAS POR CURVAS PARAMETRICAS CERRADAS

Presentaremos tres formulas para hallar el área “A” limitada por una curva

paramétrica cerrada C seccionalmente diferenciable.

Si la orientación de la curva cerrada C

)t(yy

)t(xxC

que encierra al área “A” esta orientada en sentido antihorario entonces

βt

αtdt )t(' x)t(yA . . . ( 1 )

βt

αt

dt )t('y)t( xA . . . ( 2 )

βt

αtdt ])t(' x)t(y)t('y)t(x[

2

1A . . . ( 3 )

Donde el punto ( x ( α ) , y ( α ) ) = ( x ( β ) , y ( β ) ) coinciden con el punto

inicial y el punto final de la trayectoria de una particula sobre tal cura cerrada.

OBSERVACIONES:

i. La formula ( 3 ) se puede expresar como

β

α dt

)t('y)t('x

)t(y)t(x

2

1A

ii. Si una curva C estuviese orientada en sentido horario entonces a cualquiera

de las tres formulas se les debe cambiar de signo para que sean validas.



Ejemplos:

1. Hallar el área “A” de la región encerrada por el lazo de la curva

2

3

tt)t(y

tt)t(xC

para que la curva sea cerrada debemos hallar un punto multiple

))t(y, )t(x())t(y, )t(x( 2211

=> )t(x)t(x 21 , )t(y)t(y 21

222

211

2

3

21

3

1

tttt

tttt

21

2

221

2

12121

3

2

3

1 tt)tttt()tt( tttt

)tt()tt()tt( tttt 21212112

2

2

2

1

1tttt2

221

2

1 . . . ( * )

1t t 1tt 2121 . . . ( ** )

Sustituyendo ( ** ) en ( * ) tenemos:

1tt)1t()1t(2

222

2

2

1ttt1t2t2

22

2

22

2

2

0tt 2

2

2

0t)1t( 22

1t2 => 0t1

0t2 => 1t1

, t,

tt)t(y

tt)t(x

2

3

C

))0(y, )0(x())1(y, )1(x( => )0 , 0()0 , 0(



En t ϵ [ – 2 , 2 ]

Para t = – 2 => ( – 6 , 2 )

Para t = – 1 => ( 0 , 0 )

Para t = – 1/2 => ( 0.375 , – 0.25 )

Para t = 0 => ( 0 , 0 )

Para t = 1 => ( 0 , 2 )

Para t = 2 => ( 6 , 6 )

Aplicando la formula ( 1 )

horarioSentido dt )t(' x)t(yAβt

αt

0

1

22 dt ])13t()tt([ A

0

1

234 dt )tt3t3t( A

0

1

2345)t

2

1t

3

1t

4

3t

5

3 (A

2u

60

1

2

1

3

1

4

3

5

3A

2t

y

x1t

0t

2/1t

1t

2t

horarioSentido




horarioSentido dt )t('y)t( xAβt

αt

0

1

3

dt ])t21()tt([ A

0

1

234 dt )tt2t2t( A

0

1

2345)t

2

1t

3

2t

4

1t

5

2 (A

2u

60

1

2

1

3

2

4

1

5

2A


horarioSentido dt ])t(' x)t(y)t('y)t(x[ 2

1A

βt

αt

0

1

223 dt ])13t()tt()t21()tt([

2

1A

0

1

234 dt )tt2t( 2

1A

0

1

345)t

6

1t

3

1t

10

1 (A

6

1

4

1

10

1A

2u

60

1A

2. Hallar el área de la región encerrada por la cardioide

)Cardioide(

2tsenasen t2a)t(y

2tcosatcos2a)t(xC



Para t = 0 => ( a , 0 )

Para t = π/2 => ( a , 2a )

Para t = 3π/4 => ( 2a , a2a )

Para t = π => ( – 3a , 0 )

Para t = 5π/4 => ( 2a , a2a )

Para t = 3π/2 => ( a , – 2a )

Para t = 2π => ( a , 0 )

1A2A


oantihorariSentido dt )t(' x)t(y2Aβt

αt

π

0 dt ])2tsena2sen t2a()2tsenasen t2a([ 2A

a

y

xπt

3a

1A

0t

/2πt

/2π3t

/4π3t

/4π5t

π2t



2. Hallar el área de la región limitada por la curva

a) 2t1

2at)t(x

,

t1

tπ)t(y

, t ϵ [ 0 , + ∞ > y el eje y.

b) 2t1

2at)t(r

,t1

tπ)t(θ

VOLUMENES DE REVOLUCION GENERADOS POR CURVAS

PARAMETRICAS CERRADAS

Cuando una región plana esta encerrada por una curva definida por las

ecuaciones paramétricas

)t(yy

)t(xxC

Donde: dt )t('xdx

Entonces para calcular el volumen del solido de revolución generado al rotar la

región plana, alrededor de alguna recta L, utilizaremos alguna de las formulas

hasta aquí estudiadas, adaptándolas al problema en cuestión mediante secciones

transversales circulares, en general.

Ejemplos:

1. Calcular el volumen del solido de revolución obtenido al rotar la región

encerrada por la curva

]2π , 0[ t, ) tcos1(a)t(y

)sen tt(a)t(x

C , a > 0 y el eje x, alrededor

a) Del eje x

b) Del eje y

c) De la recta x = πa



a)

Alrededor del eje x

a2πx

0x

2 dx y πV

2πt

0t

2 dt )t(' x])t(y[ πV

) tcos1(a)t('x

2π

0 2 dt ) tcos1(a ]) tcos1(a[ πV

2π

0

33dt ) tcos1( aπV

2π

0

323dt )tcostcos3 tcos31( aπV

2π

0

23dt ] tcos )tsen1()2tcos1(

2

3 tcos31[ aπV

2π

0

23dt ] tcostsen2t cos

2

3 tcos4

2

5 [ aπV

π2

0

33)tsen

3

12tsen

4

3sen t4t

2

5 ( aπV

)2πsen

3

14πsen

4

32πsen45π( aπV

33

32aπ5V

y

xa2πaπ0

0t

πt

π2t

aπx



b) Alrededor del eje y

a2πx

0xdxyxπ2V

2πt

0t dt )t(' x)t(y)t( xπ2V

) tcos1(a)t('x

2π

0 dt ) tcos1(a ) tcos1(a )sen tt(a π2V

2π

0

23

dt ) tcos1( )sen tt( aπ2V

2π

0

23dt )tcos tcos21( )sen tt( aπ2V

33aπ6V

c) Alrededor de la recta x = πa

aπx

0xdxy| aπ x| π2V

πt

0tdt )t(' x)t(y])t(xaπ[ π2V

) tcos1(a)t('x

πt

0tdt ) tcos1(a ) tcos1(a ])sen tt(aaπ[ π2V

πt

0t

23dt ) tcos1( )sen ttπ( aπ2V

πt

0t

23dt )tcos tcos21( )sen ttπ( aπ2V

32

aπ6

)16π9(

V



CAPITULO V

OTRAS APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

10.

LONGITUD DE ARCOTEOREMA: Si f y f ’ son continuas en el intervalo [ a , b ] entonces la

longitud de arco de la curva y = f ( x ) del punto ( a , f ( a ) ) al punto

( b , f ( b ) ) esta dada por:

b

a

2 b

a

2 dx ]dx

dy [1 dx ])x('f [1 L

La porción de la curva desde el punto A hasta el punto B se llama un arco.

OBSERVACIONES:

i. La longitud de la curva x = g ( y ) comprendida entre las rectas y = c ,

y = d donde g es una función con derivada continua en el intervalo [ c , d ]

esta dada por:

d

c

2d

c

2

dy ]dy

dx

[1 dy ])y('g[1 L

ba

y

x

)) b(f , b(B)x(f y

))a(f ,a(A



ii. Si la ecuación de la curva viene dada paramétricamente mediante un par de

funciones con derivadas continuas esto es:

]β , α[ t,

)t(yy

)t(xx

C

Entonces la longitud de la curva C es:

22 dt ])t('y[])t('x[ L

iii. Si una curva C esta definida por la ecuación polar r = f ( θ ) donde f es

continua y tiene derivada continua sobre α ≤ θ ≤ β entonces la curva puede

ser representada por dos ecuaciones paramétricas con parámetro t = θ esdecir:

]β , α[θ , θsenr)θ(y

θ cosr)θ(x

C

Aplicando la formula de longitud de arco de una curva dada la ecuación

paramétrica se obtiene que la longitud de arco de esta ecuación polar

r = f ( θ ) desde θ = α hasta θ = β esta dada:

β

α

22 dθ ])θ('r[])θ(r[ L

Ejemplo:

1. Determinar la longitud del arco de curva descrito por:

]e , 1[ y,yLn21

4yx

2

e

1

2 dy ]dy

dx [1 L

2y

1

2

y

dy

dx

e

1 2

2e

1

2 dy 4y

1

2

1

4

y1 dy ]

2y

1

2

y [1 L



e

1

2e

1 2

2

dy ]2y

1

2

y [ dy

4y

1

2

1

4

y L

e

1

dy )

2y

1

2

y ( L

4

1e)yLn

2

1

4

y (

2e

1

2

L

2. Hallar la longitud total de la circunferencia

222ayx

Parametrizando

]2π , 0[ t, sen t a)t(y

tcos a)t(x

C

/2πt

0 t

22 dt ])t('y[])t('x[ 4 L

/2π

0

22 dt ) tcosa()sen ta( 4 L

/2π

0

2222 dt tcosatsena 4 L

0t

/2πt

/2π3t

y

a

xπt

aa

a



/2π

0

222 dt )tcostsen(a 4 L

Sabemos que: 1tcostsen22

/2π

0

/2π

0

2 dt 4adt a 4 L

2aπt4a /2π

0 L

3. Calcular la longitud del arco de la curva )θ cos1(ar , a > 0

π

0

22 dθ ])θ('r[])θ(r[ 2 L

π

0

22 dθ ]θsena[])θ cos1(a[ 2 L

π

0

222222 dθ θsenaθcosaθ cosa2a 2 L

/2π

π 0

/23π

2a

a



π

0

22222 dθ )θsenθcos(aθ cosa2a 2 L

Sabemos que: 1θsenθcos22

π

0

22π

0

222 dθ θ cosa22a 2dθ aθ cosa2a 2 L

π

0

π

0

2π

0 dθ

2

θ cos 4adθ

2

θ cos 4adθ

2

θ cos1 4a L

8a2

θsen8a

π

0 L

Ejercicios:

1. Determine la longitud del arco de la curva descrito por:

]1 , 0[ x, x3

1x)x(f

3/21/2

2. ]5 , 2[ x, 2x

1x

6

1)x(f

3

3. ]5 , 3[ x, )1xx(Ln2

11xx

2

1)x(f 22

4. ]1 , 0[ y, y4

3y

5

3x

1/35/3

5. La longitud del astroide

]2π , 0[ t, tsena)t(y

tcos a)t(x

3

3

C

6. ]3 , 1[ t,

4t

1

8

t)t(y

t)t(x

2

C

7. Calcular la distancia recorrida por una particula que viaja a lo largo de la

trayectoria dada durante el tiempo indicado:



a) ]2 , 0[ t,3t)t(y, 3t)t(x2

b) ]2 , 1[ t,Ln t)t(y, t

1)t(x

8.

Hallar cada una de las longitudes de las siguientes curvas

a) ar 0 , 0m , ear θm

b) ]2π , 0[ θ , θsenr

c) θsen42r

d) 2θsen4r

11. ÁREA DE SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN

i. AREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCION GENERADA POR

UNA FUNCION y = f ( x )

DEFINICION 1: Sea f: [ a , b ] → R , f ( x ) ≥ 0 y con derivada continua en

el intervalo [ a , b ] si hacemos girar la grafica de f desde x = a hasta x = b

alrededor del eje x seobtiene una superficie de revolución. El área de estasuperficie S es:

b

a

2 dx ])x('f [1 )x(f 2πA(S)

y

x ba

)x(f y



OBSERVACION:

i. El área S de la superficie de revolución generada por la rotación de la

grafica de x = g ( y ) con y ϵ [ c , d ] donde g ( y ) ≥ 0 al girar

alrededor del eje y es igual a:

d

c

2 dy ])y('g[1 )y(g 2πA(S)

DEFINICION 2: Sea f: [ a , b ] → R una función con derivada continua en

el intervalo [ a , b ] tal que su grafica esta a un mismo lado de la recta y = c

al girar la grafica de f desde x = a hasta x = b alrededor de la recta y = c

se obtiene una superficie de revolución cuya área esta dada por:

b

a

2 dx ])x('f [1 | c)x(f | 2πA(S)

OBSERVACION:

i. Si la ecuación del arco de una curva C esta dada por x = g ( y )

y ϵ [ c , d ] donde g es una función con derivada continua en el

intervalo [ c , d ] y si S es la superficie de revolución que se obtiene al

hacer girar la curva C alrededor de la recta x = k el área de la superficie

S esta dada por:

y

x

cy

)x(f y

| c)x(f |

a

b



d

c

2 dy ])y('g[1 |k)y(g | 2πA(S)

ii. AREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCION GENERADA POR

UNA CURVA PARAMETRICA

DEFINICION 1: Sea

] b , a[ t, )t(yy

)t(xx

C

Una curva paramétrica suave (diferenciable) donde y ( t ) ≥ 0 el área S de

la superficie de revolución generada al girar esta curva C alrededor del eje x

es igual a:

bt

a t22 dt ])t('y[])t('x[ )t(y2πA(S)

DEFINICION 2: Sea

] b , a[ t, )t(yy

)t(xx

C

Una curva paramétrica liza donde x ( t ) ≥ 0 el área S de la superficie de

revolución generada al girar esta curva C alrededor del eje y es igual a:

y

x

k x

| k )y(g |

c

d

)y(gx



bt

a t

22 dt ])t('y[])t('x[ )t( x2πA(S)

Ejemplos:

1. Hallar el área de la superficie de revolución que se obtiene al girar

alrededor del eje x la curva

3

x)x(f

3

, x ϵ [ 0 , 2 ]

2

0

2 dx ])x('f [1 )x(f 2πA(S)

2x)x('f

2

0

223

dx )x(1 3

x 2πA(S)

2

0

43 dx x1 4x 6

πA(S)

]1)17([9

π

)x1(3

2

.6

π

A(S)

3/22

0

34

2. Hallar el área de la superficie generada por la rotación del arco

2x1y , x ϵ [ – 1 , 1 ]

y

x20

3

xy

3

8/3



i. Alrededor de la recta y = – 1

2x1y => 1yx22

1

1

2 dx ])x('f [1 | c)x(f | 2πA(S)

2x1x)x('f

1

1

2

2

2 dx ]x1

x [1 | )1(x1 | 2πA(S)

1

1 2

22 dx

x1

x1 | 1x1 | 2πA(S)

1

1 2

2 dx x1

1 ) 1x1 ( 2πA(S)

1

0 2

2 dx x1

1 ) 1x1 ( 4πA(S)

21

0

1

0

2π4πarcsen x 4π x4πA(S)

)2π(2πA(S)

1y

y

x

11

1y



ii. Alrededor de la recta y = 1

1

1

2 dx ])x('f [1 | c)x(f | 2πA(S)

2x1

x)x('f

1

1

2

2

2 dx ]x1

x [1 | 1x1 | 2πA(S)

1

1 2

22 dx

x1

x1 ) x11 ( 2πA(S)

1

1 2

2 dx x1

1 ) x11 ( 2πA(S)

1

0 2

2 dx x1

1 ) x11 ( 4πA(S)

1

0

1

0

x4πarcsen x 4πA(S)

4π2πA(S)2

)2π(2πA(S)

3. Hallar el área de la superficie generada por la rotación de la cicloide

]2π , 0[ t, ) tcos1(a)t(y

)sen tt(a)t(x

C

a) Alrededor del eje y

b) Alrededor de la recta y = 2a

Para t = 0 => ( 0 , 0 )

Para t = π => ( πa , 2a )

Para t = 2π => ( 2πa , 0 )



a)

Alrededor del eje y

2πt

0 t

22 dt ])t('y[])t('x[ )t( x2πA(S)

) tcos1(a)t('x

sen ta)t('y

2π

0

22 dt ]sen ta[]) tcos1(a[ )sen tt(a 2πA(S)

2π

0

222dt tsentcos tcos21 )sen tt( a2πA(S)

2π

0

2dt 1 tcos21 )sen tt( a2πA(S)

2π

0

2

dt tcos22 )sen tt( a2πA(S)

2π

0

2dt

2

tcos1 )sen tt( a4πA(S)

2π

0

22dt )t /2(sen)sen tt( a4πA(S)

2π

0

2dt )t /2(sen)sen tt( a4πA(S)

22aπ16A(S)

y

xa2πaπ0

0t

πt

π2t

2ay



b) Alrededor de la recta y = 2a

2πt

0 t

22 dt ])t('y[])t('x[ | 2a)t(y| 2πA(S)

) tcos1(a)t('x

sen ta)t('y

2π

0

22 dt]sen ta[]) tcos1(a[]) tcos1(a2a[2πA(S)

2π

0

222dt tsentcos tcos21 ) tcos1( a2πA(S)

2π

0

2dt 1 tcos21 ) tcos1( a2πA(S)

2π

0

2dt tcos22 ) tcos1( a2πA(S)

2π

0

2dt

2

tcos1 ) tcos1( a4πA(S)

2π

0

22dt )t /2(sen) tcos1( a4πA(S)

2π

0

2dt )t /2(sen) tcos1( a4πA(S)

2aπ

3

32A(S)

Ejercicios:

1. Hallar el área de la superficie generada por cada una de las curvas al

girar alrededor del eje x

a) f ( x ) = cos x , x ϵ [ - π/2 , 0 ]

b) 2

4

8y

1

4

yx , y ϵ [ 1 , 2 ]

2.

Se hace girar alrededor del eje x la región limitada por y = 1/x el eje x

y la recta x = 1 que esta situada a la derecha de esta recta. Demuestre



que el volumen del solido generado es finito pero que el área de su

superficie es infinita.

3. Hallar el área de superficie de revolución que se obtiene al girar

alrededor del eje x las curvas

a)

tsena)t(y

tcos a)t(x

3

3

C

b)

sen t a)t(y

]))t /2(tan(Lntcos[ a)t(xC

12. CENTRO DE MASA

INTRODUCCION: Una aplicación importante del valor promedio de una

función sucede en física en relación con el concepto de centro de masa.

MOMENTO DE MASA: El momento de masa de una particula respecto a una

recta L se define como el producto de su masa y su distancia a la recta L.

M1 = m . d

Donde:

m = Masa de la particula

d = Distancia de la particula a la recta L

OBSERVACIONES:

i. Es conveniente considerar la particula localizada en un plano de

coordenadas y determinar el momento de la particula respecto a un eje de

coordenadas (o a una recta paralela a un eje de coordenadas) en este caso se

L

m

d



usan las distancias dirigidas asi el momento será positivo, negativo o cero

según la ubicación de la particula.

ii. Si la particula de masa “m” esta en el punto ( x , y ) entonces sus momentos

respecto a los ejes ( Mx , My ) son:

Mx = m . d1 = m . y

My = m . d2 = m . x

MOMENTO DE MASA DE UN SISTEMA DE PARTICULAS

Si un sistema de “n” partículas de masas m1, m2, … , mn están situados en los

puntos ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , … , ( xn , yn ) respectivamente los momentos Mx

y My del sistema de n partículas se definen:

n

iii

1

ymMx ,

n

iii

1

xmMy . . . ( I )

nn2211 ym . . . ymymMx

nn2211 xm . . . xmxmMy

y

x1x

2x 3x nx. . .

1y

2y

3y

ny

1m

2m

3m

nm

y

x

x

y

)y,x(Pm



CENTRO DE MASA (CENTRO DE GRAVEDAD) DE UN SISTEMA DE

PARTICULAS

El centro de masa de un sistema de partículas en un punto ) _ y ,

_ x (P tal que

si la masa total “m” del sistema fuese concentrada en el punto “P” e ntonces losmomentos del punto “P” y del sistema coinciden. Consideremos nuevamente el

sistema de n partículas de masas m1, m2, … , mn ubicados en los puntos

( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , … , ( xn , yn ) respectivamente si el punto “P” es el centro

de gravedad del sistema y i

mm es la masa total del sistema entonces

los momentos Mx, My de P están dados por: _ y.mMx

_ x.mMy

De ( I ) se tiene:

_ y.mym

n

iii

1

_ x.mxm

n

iii

1

Entonces despejando _ x e

_ y

m

xm

m

xm _ x

n

i ii

n

ii

n

i ii 1

1

1

m

ym

m

ym _ y

n

iii

n

ii

n

iii

1

1

1



En resumen si Mx y My son los momentos de un sistema de partículas

respecto a los ejes x e y respectivamente y ) _ y ,

_ x (P es el centro de masa o

centro de gravedad del sistema entonces:

m

My _ x

m

Mx _ y

Ejemplo

1.

Tres partículas están en los puntos P1 ( – 1 , 3 ) , P2 ( 5 , 3 ) , P3 ( 3 , – 1 )y sus masas son m1 = 1 , m2 = 2 , m3 = 3 respectivamente determinar el

centro de gravedad del sistema formado por estas tres partículas

321 mmmm

321m

6m

332211 xmxmxmMy

)3()3()5()2()1()1(My 18My

y

x

1m1 2m2

3m3

6m



332211 ymymymMx

)1()3()3()2()3()1(Mx

6Mx

6

18

m

My _ x => 3

_ x

6

6

m

Mx _ y => 1

_ y

) 1 , 3 () _ y ,

_ x (

CENTRO DE GRAVEDAD DE UNA REGION PLANA O LÁMINA

Es necesario tener en cuenta las siguientes consideraciones:

a) Una lámina es llamado homogénea si dos posiciones iguales de área tienen

el mismo peso.

b) La densidad ρ de una lámina es la masa de una unidad cuadrada de lámina

si una lámina es homogénea entonces su densidad (de área ρ) es constante

y si A es el área de dicha lámina entonces su masa es m = ρ A.

c) El centro de masa de una lámina homogénea es el punto de equilibrio de la

lámina si esta lámina tiene un centro geométrico este será tambien el centro

de masa. Ejemplo: El centro de masa de una lámina rectangular

homogénea es el centro del rectángulo (intersección de las diagonales).

d) El momento de una lámina de masa “m” respecto a una recta es el

momento de una particula de masa “m” situado en el centro de masa de la

lámina.

e) Si una lámina se corta en trozos el momento de la lámina es la suma de los

momentos de las partes.



GENERALIZACION DEL CENTRO DE MASA DE UNA REGION

PLANA

Sea F una lámina homogénea cuya densidad de área constante es ρ si F es la

región limitada por las graficas de y = f ( x ) , y = g ( x ) las rectas x = a, x = b donde f y g son continuas en el intervalo [ a , b ] y f ( x ) ≥ g ( x )

] b,a[x .

Sea P = { x0 , x1 , . . . , xn } una partición del intervalo [ a , b ] , C i punto medio

del i – esimo intervalo Ci ϵ [ xi – 1 , xi ] por m = ρ A entonces se tiene:

x ])C(g)C(f [ρmiiii

i = 1, 2, . . . , n

im = es la masa del i – esimo rectángulo donde:

x ])C(g)C(f [Aiiii

El centro de masa o centro de gravedad del i – esimo rectángulo se encuentra

localizado en el punto ) 2

)C(g)C(f , C ( ii

i

sustituyendo cada rectángulo

por un punto material y localizando la masa de cada rectángulo en su centro de

)x(f y

ax bx 1ix

y

)x(gy

ixiC

x

) )C(f , C ( ii

) 2

)C(g)C(f , C ( ii

i

) )C(g , C ( ii



gravedad se obtiene que los momentos de cada masa de los “n” rectángulos

determinados por la partición respecto a los ejes x e y son:

n

i

iiiii

n

i ii 11

}

2

)C(g)C(f { }x])C(g)C(f [ρ {ymMx

n

iiiii

n

iii

11

C }x])C(g)C(f [ρ {xmMy

Luego el centro de gravedad ) _ y ,

_ x ( estará aproximadamente en el centro de

gravedad de los rectángulos determinados por la partición es decir:

n

iiii

n

iiiii

1

1

x ])C(g)C(f [ ρ

x C ])C(g)C(f [ ρ

m

My

_ x

n

iiii

n

iiii

1

1

22

x ])C(g)C(f [ ρ

x } ])C(g[])C(f [ { ρ 2

1

m

Mx

_ y

Si || P || → 0 se obtiene que las coordenadas ) _ y ,

_ x ( del centro de gravedad

de la lámina F están dadas por:

b

a

b

a

dx ] )x(g)x(f [

dx ] )x(g)x(f [ x

)F(A

My

_ x

b

a

b

a

22

dx ] )x(g)x(f [

dx } ])x(g[])x(f [ { 2

1

)F(A

Mx

_ y

DEFINICION 1: Si la región plana F esta limitada por las graficas y = f ( x ) ,y = g ( x ) las rectas x = a , x = b donde f y g son funciones continuas en el



intervalo [ a , b ] y f ( x ) ≥ g ( x ) ] b,a[x el centro de gravedad

) _ y ,

_ x ( de la región F esta dado por:

b

a

b

a

dx ] )x(g)x(f [

dx ] )x(g)x(f [ x _ x

b

a

b

a

22

dx ] )x(g)x(f [

dx } ])x(g[])x(f [ { 2

1

_ y

DEFINICION 2: Si la región plana F esta limitada por las graficas x = f ( y ) ,x = g ( y ) y las rectas y = c , y = d donde f y g son funciones continuas en el

intervalo [ c , d ] y f ( y ) ≥ g ( y ) ]d,c[y el centro de gravedad

) _ y ,

_ x ( de la región F esta dado por:

d

c

d

c

22

dy ] )y(g)y(f [

dy } ])y(g[])y(f [ {

2

1

_

x

)y(f x

cy

dy

1iy

y

)y(gx

iy

iC

x

) C , )C(f ( ii

) C , 2

)C(g)C(f (

i

ii

) C , )C(g ( ii



d

c

d

c

dy ] )y(g)y(f [

dy ] )y(g)y(f [y _ y

NOTA:

1. Las coordenadas del centro de masa de una lamina homogénea no

dependen de su densidad propia solo dependen de su forma.

2. Usualmente al centro de masa de una lamina se le denomina centro de

gravedad o centroide reservando el termino centro de masa para un solido.

OBSERVACION:

i. Si la región plana F es simétrica con respecto a la recta 0xx entonces la

abscisa del centro de gravedad es 0x _ x . Si la región plana F es simétrica

con respecto a la recta 0yy entonces la ordenada del centro de gravedad

es 0y _ y .

Ejemplo:

1. Hallar el centro de gravedad de la región limitada por x = 4y – y² , y = x

Ecuacion de la parábola

x = – ( y² – 4y + 4 – 4 )

x = – ( y – 2 )² + 4

( y – 2 )² = – ( x – 4 )

Vertice de la parábola

V = ( 4 , 2 )

Intercepto con el eje y

Hacemos: x = 0

( y – 2 )² = – ( 0 – 4 )

=> y = 0=> y = 4



Intersecciones de la recta con la parábola

y = 4y – y²

y² – 3y = 0

y ( y – 3 ) = 0=> y = 0

=> y = 3

3

0 dy ] )y(g)y(f [ )F(A

3

0

2dy )yy4y( )F(A

3

0

2dy )y3y( )F(A

2

9)y

3

1y

2

3 ()F(A

3

0

32

3

0

22dy } ])y(g[])y(f [ {

2

1My

3

0

222dy ] )y()y4y( [

2

1My

3

0

2432dy ) yy8y16y (

21My

x

F

y

xy



3

0

432dy ) y8y15y (

2

1My

5

54)y

5

12y5y(

2

1My

3

0

543

3

0 dy ])y(g)y(f [yMx

3

0

2dy )yy4y(yMx

3

0

32dy )y3y( Mx

427)y

41y(Mx 3

0

43

5

12

2/9

5/54

)F(A

My

_ x

2

3

2/9

4/27

)F(A

Mx

_ y

) 23 ,

512 () _ y , _ x (

2. Encontrar el centro de gravedad de la región limitada por el lazo de

y² = x4 ( 3 – x )

)x3(xy 4

0)x3(x4

0)3x(x4

03x

3x

] 3 , x

Bosquejo:



F es simétrica con respecto a la recta y = 0 entonces 0 _ y solo queda

encontrar _ x .

3

0 dx ] )x(g)x(f [ )F(A

3

0

44 dx } ] )x3(x [)x3(x { )F(A

)8(35

336dx )x3(x 2)F(A

3

0

4

3

0 dx ])x(g)x(f [ xMy

3

0 44 dx } ] )x3(x [)x3(x { xMy

)16(105

3108dx )x3(x x2My

3

0

4

2

)8(35

336

)16(105

3108

)F(A

My

_ x

) 0 , 2 () _ y ,

_ x (

y

x

)x3(xy 4

)x3(xy 4

F



CENTRO DE MASA DE UN SOLIDO DE REVOLUCION

Sea f una función continua en el intervalo [ a , b ] y supongamos f ( x ) ≥ 0,

] b,a[x . Ω es la región acotada por y = f ( x ) , el eje x y las rectas x = a,

x = b. S es el solido de revolución homogéneo cuya densidad de volumenconstante es ρ y que es generado al girar la región Ω alrededor del eje x,

entonces bajo la hipótesis de que el centro de masa esta sobre el eje de

revolución se tiene que 0 _ z

_ y

Por lo tanto solamente necesitamos encontrar _ x para lo cual haremos uso del

momento del solido de revolución con respecto al plano yz. Sea P una partición

del intervalo [ a , b ] , P = { x0 , x1 , x2 , . . . , xn } , [ xi – 1 , xi ] es el i – esimo

subintervalo i = 1 , 2 , . . . , n , Ci punto medio del i – esimo subintervalo

formando n rectángulos con altura f ( Ci ) y base Δix. Si cada uno de los n

rectángulos es rotado alrededor del eje x se generan n discos circulares,

el i – esimo rectángulo genera un disco circular de radio f ( Ci ) y altura Δix.

x])C(f [ πhR πV i

2

i

2

CCR

z

y

x

b

a

1ix

ix iC

))C(f ,C( ii

) 0 , 0 , _ x ()

_ z ,

_ y ,

_ x (



xΔ])C(f [ πρVρm i

2

i

El centro de masa del disco circular esta sobre el eje de revolución en el centro

del disco y es el punto ( Ci , 0 , 0 ). El momento de masa del disco con respecto

al plano yz es:

}xΔ])C(f [ πρ { CMyzΔ i

2

iii

La suma de las medidas de los momentos de masa de los n discos circulares con

respecto al plano yz esta dada por la suma de Riemann

n

iiii

n

i i

1

2

1

}xΔ])C(f [ πρ { C MyzΔ

n

iiii

1

2 }xΔ])C(f [ πρ { C Myz0 || p ||

Lim

b

a

2 dx ])x(f [ xπρMyz

La masa del solido S se define por:

n

iii

1

2

xΔ])C(f [ πρ m 0 || p || Lim

b

a

2 dx ])x(f [ πρm

Por lo tanto se define el centro de masa de S como el punto )0,0, _ x( tal que:

b

a

2

b

a

2

b

a

2

b

a

2

dx ])x(f [

dx ])x(f [ x

dx ])x(f [ πρ

dx ])x(f [ xπρ

m

Myz

_ x

)C(f i

xi



METODO DEL ANILLO

Momento de masa con respecto al plano yz esta dada por:

n

iiiii

1

22 }xΔ ) ])C(g [])C(f [ ( πρ { C Myz0 || p ||

Lim

b

a

22 dx } ])x(g [])x(f [ { xπρMyz

La masa del solido S se define por:

n

i

iii

1

22 xΔ } ])C(g [])C(f [ { πρ m0 || p ||

Lim

b

a

22 dx } ])x(g [])x(f [ { πρm

Por lo tanto se define el centro de masa de S como el punto )0,0, _ x( tal que:

b

a

22

b

a

22

dx } ])x(g [])x(f [ { πρ

dx } ])x(g [])x(f [ { xπρ

m

Myz

_ x

b

a

22

b

a

22

dx } ])x(g [])x(f [ {

dx } ])x(g [])x(f [ { x _ x

NOTA:

m

Myz

_ x

m

Mxz

_ y

m

Mxy

_ z

Ejemplo:

1. Encontrar el centroide del solido de revolución generado al rotar la región

acotada por x + 2y = 2 , el eje x y el eje y alrededor del eje x tomándose

los elementos rectangulares perpendiculares al eje de revolución.



2

0

2 dx ])x(f [ xπρMyz

πρ 3

1dx ]

2

x2 [ xπρMyz

2

0

2

2

0

2 dx ])x(f [ πρm

πρ 3

2dx ]2

x2 [ πρm

2

0

2

2

1

πρ 3

2

πρ 3

1

m

Myz

_ x

) 0 , 0 , 2

1 ()

_ z ,

_ y ,

_ x (

OBSERVACION

i. El centroide de un solido de revolución tambien puede encontrarse por

el método de la corteza cilíndrica sea Ω la región acotada y = f ( x ) ,

el eje x y las rectas x = a , x = b donde f es continua y f ( x ) ≥ 0 en el

intervalo [ a , b ]. Sea S el solido de revolución generado al rotar Ω

alrededor del eje y el centroide de S esta entonces en el punto )0, _ y,0(

x

y

2

x2y

0 2

1



si los elementos rectangulares son tomados paralelos al eje y entonces el

elemento de volumen es una corteza cilíndrica. Si el i – esimo

rectángulo de ancho Δix. Ci punto medio del i – esimo subintervalo el

centroide de la corteza cilíndrica obtenida al rotar este rectánguloalrededor del eje y esta en el centro de la corteza cilíndrica el cual es el

punto ) 0 , )C(f 2

1 , 0 ( i

.

El momento con respecto al plano xz del solido (Mxz) esta dado por:

n

iiiii

1

}xΔ )C(f C π2 { )C(f 2

1 Mxz

0 || p ||Lim

b

a

2 dx ])x(f [ xπMxz

n

iiii

1

xΔ )C(f C π2 Vm0 || p ||

Lim

b

a dx )x(f xπ2V

b

a

b

a

2

b

a

b

a

2

dx )x(f x2

dx ])x(f [ x

dx )x(f xπ2

dx ])x(f [ xπ

V

Mxz

_ y

x

y

1ix

)x(f y

ax bx iC ix

) )C(f 2

1 , C ( ii

) )C(f , C ( ii



Ejemplo:

1. Encontrar el centroide de revolución generado al rotar la región

dada alrededor de la recta indicada

a)

La región acotada por las rectas y = x , y = 2x , x + y = 6alrededor del eje y

Metodo de la corteza

21 mm

xz''Mxz'M

m

Mxz

_ y

xz''Mxz'MMxz Partición en [ 0 , 2 ] U [ 2 , 3 ]

}dx])x(g)x(f [ xπ2 { ρ ]2

)x(g)x(f [m.dxz'M 1

}dx])x(g)x(h[ xπ2 { ρ ]2

)x(g)x(h[m.dxz''M 2

21 mmm Partición en [ 0 , 2 ] U [ 2 , 3 ]

}dx])x(g)x(f [ xπ2 { ρm1

}dx])x(g)x(h[ xπ2 { ρm2

)x(f )x(g

)x(h

0x

y

xy

2 3

3

x2y

x6y

6

4

6



2

0

22 dx } ])x(g [])x(f [ { xπρxz'M

2

0

22 dx ] )x()2x( [ xπρxz'M

πρ12dx 3x πρxz'M2

0

3

3

2

22 dx } ])x(g [])x(h[ { xπρxz''M

3

2

22 dx ] )x()x6( [ xπρxz''M

πρ14dx ) 12x36x ( πρxz''M

3

2

2

2

0 1 dx ] )x(g)x(f [ xπρ 2m

2

0 1 dx )x2x( xπρ 2m

πρ 3

16dx x πρ 2m

2

0

21

3

2 2 dx ] )x(g)x(h[ xπρ 2m

3

2 2 dx )xx6( xπρ 2m

πρ 3

14dx )x26x( πρ 2m

3

2 22

πρ14πρ12Mxz

πρ26Mxz

πρ 3

14 πρ

3

16m

πρ 10m

5

13

πρ10

πρ26

m

Mxz

_ y

) 0 , 13/5 , 0 () _ z ,

_ y ,

_ x (



Metodo del anillo

21 mm

xz''Mxz'M

m

Mxz

_ y

xz''Mxz'MMxz Partición en [ 0 , 3 ] U [ 3 , 4 ]

}dy) ])y(g [])y(f [ ( π{ ρym.dxz'M22

1

}dy) ])y(g [])y(h[ ( π{ ρym.dxz''M22

2

21 mmm Partición en [ 0 , 3 ] U [ 3 , 4 ]

}dy) ])y(g [])y(f [ ( π{ ρm22

1

}dy) ])y(g [])y(h[ ( π{ ρm22

2

3

0

22 dy } ])y(g [])y(f [ {yπρxz'M

3

0

22 dy ] )y2

1 ()y( [yπρxz'M

πρ 16243dx y

43 πρxz'M 3

0

3

)y(g )y(f

)y(h

0x

y

yx

2 3

3

y2

1x

y6x

6

4

6



4

3

22 dy } ])y(g [])y(h[ {yπρxz''M

4

3

22 dy ] )y2

1 ()y6( [yπρxz''M

πρ 16

173dy ) y

4

312y36y ( πρxz''M

4

3

32

3

0

221 dy } ])y(g [])y(f [ { πρm

3

0

221 dy ] )y

2

1 ()y( [ πρm

πρ 4

27dy y4

3 πρm3

0

21

4

3

222 dy } ])y(g [])y(h[ { πρm

4

3

222 dy ] )y

2

1 ()y6( [ πρm

πρ 4

13dy ) y4

312y36 ( πρm

4

3

22

πρ 16

173 πρ

16

243Mxz

πρ26Mxz

πρ 4

13 πρ

4

27m

πρ 10m

5

13

πρ10

πρ26

m

Mxz

_ y

) 0 , 13/5 , 0 () _ z ,

_ y ,

_ x (

2. Encontrar el centroide del solido de revolución generado al rotar la

región acotada por y = x³ , x = 2 y el eje x alrededor de la recta



x = 2 tomese los elementos rectangulares perpendiculares al eje de

revolución.

) 0 , _ y , 2 ()

_ z ,

_ y ,

_ x (

8

0

23 dy ) y2 (yπρMxz

πρ 7

32dy ) y y 44y ( πρMxz

8

0

3 53 4

8

0 23 dy ) y2 ( πρm

πρ 5

16dy ) y y 44 ( πρm

8

0

3 23

7

10

πρ 5

16

πρ 7

32

m

Mxz

_ y

) 0 , 10/7 , 2 () _ z ,

_ y ,

_ x (

2x

0x

y

2

8

3 yx



Ejercicios:

1. Encontrar el centroide de revolución generado al rotar la región

dada alrededor de la recta indicada

a)

La región acotada por x4

y = 1 , y = 1 y y = 4 alrededor deleje y.

b) La región acotada por y = x² y y = x + 2 alrededor de la recta

y = 4.

c) La región acotada por 4pxx , el eje x y la recta x = p

alrededor de la recta x = p.

TEOREMA DE PAPPUS (PARA VOLUMENES)

Si un solido S es obtenido al hacer girar una región plana F entorno de una

recta del mismo plano que no sea secante a la región F entonces el volumen de

S esta dado por:

V = 2 π r A

Donde:

A = Es el área de la región F.r = Radio de la circunferencia descrita por el centro de gravedad de la región F.

) _ y ,

_ x (

F

x

y

L

r



10

1dx )xx3x2 ( Mx

1

0

42

1

0

2 dx ] )1x()1x( [ A

6

1dx )xx( A

1

0

2

2

1

6/1

12/1

A

My

_ x

5

3

6/1

10/1

A

Mx

_ y

) 3/5 , 1/2 () _ y , _ x (

En ( * ):

20

2

2

| 1 5

3

2

1 |

r

V = 2 π r A

π60

2)

6

1 ( )

20

2 ( π2V

Ejercicios:

1. Aplicando el teorema de pappus hallar el volumen de un cono recto

circular de altura a y radio de la base b.

2.

El volumen del solido obtenido al girar 4 ( x – 6 )² + 9 ( y – 5 )² = 36alrededor del eje x.

3. A ( 0 , 0 ) , B ( a , 0 ) , C ( 0 , a/2 ) a > 0 son los vértices de un triangulo

calcular el volumen del solido obtenido por la rotación entorno de la recta

y = x – a de la región limitada por el triangulo ABC.

4. La región limitada por las graficas de y² = 20x , x² = 20y gira alrededor

de la recta 3x + 4y + 12 = 0 calcular el volumen del solido generado.



13. MOMENTO DE INERCIA (SEGUNDO MOMENTO DE MASA)

DEFINICION 1: El momento de inercia de una particula cuya masa es m

respecto al eje L se define como:

2

d.mI L Donde:

d = Distancia perpendicular de la particula al eje L

DEFINICION 2: El momento de inercia de un sistema de n partículas es la

suma de los momentos de inercia de todas las partículas es decir:

n

iii

1

2

d.m I

Ejemplo:

1. Para el sistema de partículas indicado hallar el momento de inercia

respecto al eje xx

L

m

d

x

kg1m2

x

m2

m1

kg3

kg2



3

iiixx

1

2d.m I

2

33

2

22

2

11 d.md.md.mIxx

222)m1()kg2()m2()kg3()m2()kg1(Ixx

2m.kg18Ixx

NOTA: 2d.m esta sumatoria es una propiedad del objeto en rotación

depende de la masa total pero tambien depende de la forma de esta masa se

encuentra distribuida respecto al eje xx constituye una propiedad física delobjeto y se dice que es el segundo momento de masa o el momento de inercia

del objeto por lo tanto el momento de inercia esta relacionado con el

movimiento de rotación mientras que el momento de masa (primer momento de

masa) esta relacionado con el movimiento de traslación.

RADIO DE GIRO

Si imaginamos la masa total M del sistema colocada a una distancia k del eje xx

de tal como que la energía cinetica de M sea la misma que la energía cinetica

total de las partículas dispersas (la energía poseída por el objeto como

consecuencia de su movimiento se llama energian cinetica).

2 vm

2

1E.C

M

Ik xx2

k recibe el nombre de radio de giro del objeto respecto al eje particular de

rotación k ≥ 0.

MOMENTO DE INERCIA DE UNA AREA PLANA

Consideremos la región contenida en un plano esta región es una lamina fina

cuya masa es homogénea.



Consideremos a y como el eje de rotación entonces

i. Tomamos una banda elemental paralelo al eje de rotación y a una distancia

Ci de el.

ii. Construimos la expresión de su momento de inercia respecto al eje y es

decir:

dIy = m . d² = ρ A C i2

dIy = ρ [ f ( Ci ) Δix ] Ci2

iii. Haciendo la suma para todos estos rectángulos se va obtener

n

iiii

n

i 1

2

1

]xΔ )C(f [ C ρ dIy

|| p || → 0 entonces

b

a

2 dx )x(f x ρIy

NOTA:

Todos los resultados que se obtengan para placas delgadas resultan aplicables a

figuras planas siempre que la masa sea sustituida por el área asi se tiene que:

2d.mI L

=> 2d.AI L

ba

y

x

iC

)x(f y

))C(f ,C( ii



M

I k L =>

A

I k L

El momento de inercia de un área plana será:

b

a

2 b

a

2 dx )x(f xdA d Iy

EN GENERAL

Si F es la región del plano acotada por las rectas x = a , x = b y las

curvas 0 ≤ g ( x ) ≤ f ( x ) , x variando entre a ≤ x ≤ b entonces se cumple

b

a

2 dx ] )x(g)x(f [ xIy

b

a

33 dx } ] )x(g [])x(f [ { 3

1Ix

dA ) y x(IyIxIo 22

Io = Momento de inercia respecto al origen o Momento Polar

Ejemplo:

1. Hallar el momento de inercia de un área rectangular A de dimensiones a

y b con respecto a un lado.

b

a

y

x

iC

) b/2,C( i

) b,a(



dIy = A d2 = ( b Δix ) Ci2

ba3

1dx b xIy

3a

0

2

22 aA31a) ba(

31Iy

OBSERVACION:

i. El momento de inercia de un area rectangular con respecto a uno de sus

lados es igual a un tercio del producto del area por el cuadrado de la

longitud del otro lado.

Ejemplo:

1. Hallar el momento de inercia del área plana dada con respecto a la recta

indicada

a) y = 8x3 , y = 0 , x = 1 , respecto al eje x y respecto al eje y

Eje x: dIx = dA . d2 = [ Δiy ( 1 – f ( Ci ) ] Ci2

8

1

y

x0

)8,1(



15

256dy ) y

2

11 ( y Ix

8

0

32

Eje y: dIy = dA . d2 = [ f ( Ci ) Δix ] Ci2

34dx ) 8x ( xIx

1

0 32


indicada

a) y = 4 – x² , x = 0 , y = 0 , respecto al eje x y respecto al eje y

Eje x: dIx = dA . d2 = [ Δiy f ( Ci ) ] Ci2

1052048dy y4 y Ix

4

0

2

Otro Metodo

dIx =3

1 dA . a2 =

3

1 [ Δix f ( Ci ) ] [ f ( Ci ) ] 2

105

2048dx )x4(

3

1Ix

2

0

32

Eje y: dIy = dA . d2 = [ Δix f ( Ci ) ] Ci2

4

2

y

x2



15

64dx )x4( xIy

2

0

22

Otro Metodo

1564dy )y4(

31Iy

4

0 3

Ejercicios:


indicada

a) x² + y² = a² , un diámetro

b) y² = 4x , x = 1 , con respecto al eje x y con respecto al eje y

c) 4x² + 9y² = 36 , con respecto al eje x y con respecto al eje y

TEOREMA DE STEINER (TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS)

El momento de inercia de un área, arco o volumen con respecto a un eje

cualquiera AB es igual al momento de inercia con respecto a un eje paralelo a

el que pase por el centro geométrico más el producto del área, longitud de arco

o volumen por el cuadrado de la distancia entre dichos ejes.

2

GAB LAII

L

G

y

x

A

B



Ejemplo:

1. Hallar el momento de inercia del área dada con respecto a la recta que se

indica x² + y² = a² una tangente.

Teorema de Steiner

2G LAII L

22

x )a()aπ(II L

dIx = dA . d2 = [ Δiy f ( Ci ) ] Ci2

4a

0

222 aπ4

1dy ya y 4Ix

224

a)aπ(aπ4

1I L

2222a)aπ(a)aπ(

4

1I L

22a)aπ(

4

5I L

2aA

4

5I L

a

a

y

x

L



TEOREMA DE LOS EJES PERPENDICULARES (PARA PLACAS

DELGADAS)

Si se conoce el momento de inercia respecto a dos ejes perpendiculares en el

plano de la placa el momento de inercia respecto a un tercer eje perpendicular alos dos (pasando por el punto de intersección) viene dado por:

Iz = Ix + Iy

MOMENTO DE INERCIA DE UN SOLIDO

Para hallar el momento de inercia I L de un solido de volumen V generado en la

rotación de un área plana alrededor de una recta L de su plano con respecto a

esta recta (eje del solido) se sigue los siguientes pasos. Se dibuja el área

trazando una franja representativa paralela al eje es decir se hace una partición

hallando el rectángulo genérico correspondiente, se calcula el producto del

volumen generado con la rotación del rectángulo alrededor del eje por el

cuadrado de la distancia del centro geométrico del rectángulo a dicho eje y se

escribe la suma correspondiente a todos los rectángulos.

Si el número de rectángulos crece indefinidamente entonces estaremos hallando

el momento de inercia del solido con respecto a la recta L.

Ejemplo:

1. Hallar el momento de inercia con respecto a su eje del solido generado en

la rotación del área plana alrededor de la recta que se indica

a) y = 4x – x2 , y = 0 , con respecto al eje x y con respecto al eje y

P = [ 0 , 4 ]

Con respecto al eje y

dIy = m . d2 = V . d2

dIy = [ 2π x f ( x ) dx ] . x2

V5

32dx )x4x( x π2Iy

4

0

23



Con respecto al eje x

dIx = V . d2

dIx = [ 2π y { f ( y ) – g ( y ) } dy ] . y2

V21

128dy y4 y π4Ix

4

0

3

Ejercicios:

1. Hallar el momento de inercia del área dada por y = 4 – x2 , y = 0 con

respecto a la recta x = 4. ( Rpta. 84A/5 )

2. Hallar el momento de inercia del área dada por y2 = 4x , x = 1 respecto a

x = 1. ( Rpta. 10A/7 )

3.

Hallar el momento de inercia de un cilindro circular recto de altura h yradio de la base r. ( Iy = 1/2 . V . r 2 )

4. Hallar el momento de inercia con respecto a su eje del solido generado en

la rotación del área plana dada alrededor de la recta indicada

a) y2 = 8x , x = 2 , con respecto al eje x y con respecto al eje y.

( Rpta. 16V/3 , 20V/9 )

b)

x2

+ y2

= a2

, y = b , b > a. ( Rpta. ( b2

+ 3a2

/4 ) V )

4

4

y

x0



14. TRABAJO MECÁNICO

INTRODUCCION: El trabajo realizado por una fuerza que actua sobre un

objeto esta definido en física como fuerza por desplazamiento.

W = F ( b – a )Donde:

W = Es el numero de N – m de trabajo hecho por la fuerza.

F = Fuerza constante medida en N (Newtons) que esta actuando sobre el

objeto en la dirección del movimiento de a → b.

( b – a ) : Desplazamiento del objeto medida en metros.

NOTA:

En esta sección consideraremos el trabajo hecho por una fuerza variable la cual

es una función de la posición del objeto sobre el cual actua la fuerza.

Definiremos el termino trabajo en tal caso supongamos que f ( x ) donde f es

continua en el intervalo [ a , b ] el numero de unidades de la fuerza que actua

en la dirección del movimiento sobre un objeto cuando se mueve a la derecha

del eje x de a hasta b sea P = { a = x0 , x1 , . . . , xn = b } una partición de

[ a , b ] , [ xi – 1 , xi ] i – esimo subintervalo. Si xi – 1 esta cercano al punto xi

la fuerza es casi constante en este subintervalo suponiendo que la fuerza es

constante [ xi – 1 , xi ] y Ci pertenece al i – esimo subintervalo entonces:

ΔiW = f ( Ci ) ( xi – xi – 1 )

ΔiW = f ( Ci ) Δix que es el trabajo hecho sobre el objeto cuando se mueve de

xi – 1 hasta xi

ΔiW = ∑ f ( Ci ) Δix es una aproximación al trabajo total.

DEFINICION: Sea f continua en el intervalo [ a , b ] y sea f ( x ) la fuerza

que actua sobre un objeto en el punto x sobre el eje x entonces el trabajo

hecho por la fuerza cuando el objeto se mueve de a → b esta dado por:

n

iii

1

xΔ )C(f W0 || p ||

Lim



b

a dx )x(f W

LEY DE HOOKE

Si un resorte es estirado x metros mas alla de su longitud natural se contrae

con una fuerza igual a kx newtons donde k = constante que depende del

alambre usado. La Ley de Hooke se cumple para compresión como para

extensión.

Ejemplo:

1. Un resorte tiene una longitud natural de 8 m si una fuerza de 20 N estira el

resorte 1/2 m encontrar el trabajo realizado al estirar el resorte de 8 m a

12 m.

f ( x ) = kx

f ( 1/2 ) = 20 N

k ( 1/2 ) = 20k = 40 N/m

b

a

b

a dxkxdx )x(f W

4

0 dx40xW

m N 32020xW4

0

2

m8 m4

INICIO

0 4

x

FINAL



El peso del i – esimo cilindro es ω π [ f ( Ci ) ]2 Δix

Donde:

ω = Es el peso de una unidad cubica del liquido.

El trabajo que se realiza al subir un peso es igual al producto del peso por la

altura vertical por lo tanto el trabajo de subir el i – esimo cilindro de liquido a laaltura Ci será:

ΔiW = { ω π [ f ( Ci ) ]2 Δix } Ci

Peso Altura

n

iiii

1

2

} CxΔ ])C(f [ πω { W 0 || p || Lim

b

a

2 dx ])x(f [ xπω W

Ejemplo:

1. Un tanque hemisférico de 3 m de diámetro esta lleno de petróleo que pesa

800 kg/m3. Calcular el trabajo de subir el petróleo al borde del tanque.

x

y

a

b

)C(f i

iC

a

b



ΔiW = P . d [ 0 , 3/2 ]

ΔiW = { ω π [ f ( Ci ) ]2 Δix } Ci

Peso Altura

3/2

0

2 dx ])x(f [ xπωW

3/2

0

22 dx ]x4

9 [ xπ800W

3/2

0

2 dx )x4

9 ( xπ800W

3/2

0

3 dx )xx4

9 ( π800W

mkg π2

2025)x4

1x8

9 ( π800W3/2

0

42

2. Una cisterna conica que tiene 6 m de diámetro superior y 6 m de

profundidad esta llena de agua. Calcular el trabajo de subir el agua 5 m

más alto que el borde.

ΔiW = P . d [ 0 , 6 ]

x

y

3kg/m 800ω

3/2

2x

4

9 )x(f

iC 222)

2

3 (yx



ΔiW = { ω π [ f ( Ci ) ]2 Δix } ( Ci + 5 )

6

0

2 dx ])x(f [ )5x( πωW

6

0

2 dx )2

x6 ( )5x( πωW

6

0

2 dx )x12x63( )5x( 4

πωW

6

0

232 dx )x560x180x12x6x3( 4

πωW

6

0

23 dx )18024xx7x( 4

πωW

6

0

234)180x12xx

3

7x

4

1 (

4

πωW

])6(180)6(12)6(3

7)6(

4

1 [

4

πωW

234

πω 117W

x

y3

6 2

x6)x(f

iC

5

5



ΔiW = P . d [ 0 , 6 ]

ΔiW = { ω π [ f ( Ci ) ]2 Δiy } ( 11 – Ci )

6

0

2 dy ])y(f [ )y11( πωW

6

0

2 dy )2

y ( )y11( πωW

6

0

2 dy )y( )y11( 4

πωW

6

0

32 dy )y11y( 4 πωW

6

0

43)y

4

1y

3

11 (

4

πωW

])6(4

1)6(

3

11 [

4

πωW

43

πω 117W

y

x

6

0

2

y)y(f iC

11

iC11

3



3. Un tanque en forma de paralelepípedo rectangular de 6 m de profundidad

4 m de ancho y 12 m de largo. Esta lleno de aceite que pesa 50 kg/m3

cuando ha sido realizado 1/3 del trabajo para bombear el aceite hasta la

parte superior del tanque. Encontrar cuanto ha bajado la superficie delaceite.

ΔiW = P . d P [ 0 , 6 ]

ΔiW = [ ω ( 12 ) ( 4 ) Δix ] Ci

6

0 dx48x50W

6

0

2)24x( 50W

])6(24[ 50W2

mkg 20043W . . . ( 1 )

Luego:

a

0 dx48x50

3

W

a

0

2)24x( 50

3

W

x

y

3kg/m 50ω

6

4iC

12

a



21200a

3

W

6003

W a . . . ( 2 )

Reemplazando ( 1 ) en ( 2 ) tenemos:

6003

20043 a

32a

m 32 bajadoaaceitedelsuperficieLa

Ejercicios:

1. Una cisterna cilíndrica vertical de 5 m de diámetro y 8 m de profundidad

esta llena de agua. Calcular el trabajo al bombear el agua hasta el borde de

la cisterna.

2. Un tanque cilíndrico recto circular con una profundidad de 12 m y un

radio de 4 m es llenado a la mitad de aceite que pesa 60 kg/m3. Encontrar

el trabajo realizado al bombear el aceite a una altura de 6 m sobre el

tanque.

3. Un tanque cilíndrico de 20 m de altura y 5 m de radio descansa sobre

una plataforma de 60 m de altura. Encontrar la profundidad cuando se ha

realizado el 1/2 trabajo requerido para llenar el tanque desde el nivel del

suelo a través de una pipa en el fondo.

4. Un resorte tiene una longitud natural de 10 m y una fuerza de 30 N lo

estira a 11 ½ m. Encontrar el trabajo realizado al estirar el resorte de 10 m

a 11 m. Luego encontrar el trabajo realizado al estirar el resorte de 12 m

a 14 m.

5. Un resorte tiene una longitud natural de 6 m una fuerza de 1 200 N lo

comprime a 5 ½ m. Encontrar el trabajo realizado al comprimirlo de 6 m

a 4 ½ m.



15. PRESIÓN DE LÍQUIDOS

INTRODUCCION. Otra aplicación de la integral definida en física es

encontrar la fuerza originada por la presión de liquidos sobre una placa

sumergida en el líquido o sobre un lado del recipiente que contiene el líquido.Si una placa plana es insertada verticalmente en un líquido dentro de un

recipiente. El peso del líquido ejerce una fuerza sobre la placa la fuerza por

unidad cuadrada de área ejercida por el líquido sobre la placa se llama la

presión del líquido y lo denotamos asi:

F = ω h A

Donde:

F = Es # de newtons de la fuerza originada por la presión del líquido que actua

sobre la cara superior de la placa.

ω = Es # de newons del peso de 1 m3 del líquido.

h = Es # de metros a la profundidad de un punto bajo la superficie del líquido.

A = Es # de metros cuadrados de área de una placa plana que esta sumergida

horizontamente en el líquido.

Supongamos que la placa es sumergida verticalmente en el líquido entonces el

punto que estén a diferentes profundidades la presión sera distinta y será mayor

en la parte inferior de la placa que en la parte superior.

Procedemos a definir la fuerza originada por la presión del líquido cuando la placa es sumergida verticalmente en el líquido.

Usamos el principio de pascal “En cualquier punto en un liquido la presión es

la misma en todas direcciones”.

Sea ABCD la región acotada por el eje las rectas x = a , x = b y y = f ( x )donde f es continua en el intervalo [ a , b ] , f ( x ) ≥ 0.



Sea P partición del intervalo [ a , b ] y Ci cualquier punto del i – esimo

subintervalo [ xi – 1 , xi ] tal que xi – 1 ≤ Ci ≤ xi trazamos n rectángulos

horizontales el i – esimo rectángulo tiene longitud f ( Ci ) metros y ancho

Δix metros si rotamos cada elemento rectangular a través de un ángulo de 90º

cada elemento se convierte en un plano sumergido en el liquido a una

profundidad Ci metros bajo la superficie del liquido y perpendicular a la

región ABCD entonces la fuerza sobre el i – esimo elemento rectangular esta

dada por:

ΔiF = ω h A

ΔiF = ω Ci [ f ( Ci ) Δix ]

∑ ΔiF es una aproximacion a la medida de la fuerza total originada por la

presion del liquid que actua sobre la cara superior de la region ABCD.

DEFINICION: Si una placa plana es sumergida verticalmente en un liquido de

peso ω newtons por unidad cubica, la longitud de la placa a una profundidad

de x unidades debajo de la superficie del liquido es f ( x ) unidades donde f

es continua en el intervalo [ a , b ] , f ( x ) ≥ 0 entonces F es el numero de

newtons originada por la presión del liquido sobre la placa y esta dada por:

x

y

a

b

)C(f i

A B

CD

ix1ix



n

iiii

1

} ]xΔ )C(f [ C ω { F0 || p ||

Lim

b

a

dx )x(f xωF

Ejemplo:

1. Una lamina tiene la forma de un rectángulo y es sumergida verticalmente

en un tanque con agua con el borde superior en la superficie del liquido, si

el ancho de la lamina es de 10 m y el largo es de 8 m. Encontrar la fuerza

debida a la presión del liquido sobre un lado de la lamina.

ΔiF = ω h A P [ 0 , 8 ]

ΔiF = ω Ci [ ( 10 ) Δix ]

8

0 dx10xωF

8

0

2)5x( ωF

])8(5[ ωF2

ω320F

iC

x

y0

8

10



2. La cara de una presa adyacente al agua es vertical y su forma es la de un

triangulo isósceles de 250 m de ancho en la parte superior y 100 m de

altura en el centro, si el agua esta a 10 m de profundidad en el centro.

Encontrar la fuerza total sobre la presa debida a la presión del líquido.

ΔiF = ω h A P [ 0 , 10 ]

ΔiF = ω ( 10 – Ci ) [ 2 f ( Ci ) Δiy ]

10

0 dy )y

4

5 (.2.)y10( ωF

10

0

2dy )y10y( ω

2

5F

10

0

32)y

3

15y( ω

2

5F

])10(3

1)10(5[ ω

2

5F

32

)3

1000500( ω

2

5F

ω

3

1250F

y

x

100

0

y4

5)y(f

iC

10

iC10

125



Ejercicios:

1. La cara de una compuerta de una presa es vertical y tiene la forma de un

trapezoide isósceles de 3 m de ancho en la parte superior 4 m de ancho

en la parte inferior y 3 m de altura, si la base superior esta 20 m bajo lasuperficie del agua. Encontrar la fuerza total debida a la presión del líquido

sobre la compuerta.

2. Una lámina cuadrada de 4 m de lado es sumergida verticalmente en un

tanque con agua y su centro esta 2 m bajo la superficie. Encontrar la

fuerza debida a la presión del líquido sobre un lado de la lámina.

3. Una lamina que tiene la forma de un triangulo rectángulo isósceles es

sumergida verticalmente en un tanque de agua con un cateto en la

superficie cada uno de los catetos mide 6 m. Encontrar la fuerza debida a

la presión del liquido sobre un lado de la lamina.

4. Los extremos de una pila son triángulos equiláteros que tiene lado de 2 m

de longitud, si el agua en la pila tiene 1 m de profundidad. Encontrar la

fuerza debido a la presión del líquido sobre un extremo.

5. Un tanque con aceite tiene la forma de un cilindro recto circular de 4 m

de diámetro y su eje es horizontal, si el tanque contiene la mitad de su

capacidad de aceite que pesa 50 kg/m3. Encontrar la fuerza total sobre un

extremo debido a la presión del líquido.

6. La cara de una presa adyacente al agua esta inclinada formando un angulo

de 30º con la vertical la forma de la cara es un rectángulo de 50 m de

ancho y 30 m de altura inclinada, si la presa esta llena de agua. Encontrar

la fuerza total debida a la presión del agua sobre la cara.

7. El fondo de una alberca es un plano inclinado, la alberca tiene 2 m de

profundidad en un extremo y 8 m en el otro, si el ancho de la alberca es

25 m y la longitud es 80 m. Encontrar la fuerza total debida a la presión

del líquido sobre el fondo.



16. APLICACIÓN DE LA INTEGRAL EN LA ADMINISTRACION Y LA

ECONOMIA

16.1. EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR

Consideremos la función demanda p = f ( q ) de un determinado artículo,donde p = precio y q = cantidad. La grafica de esta función es la Curva

de Demanda. Por la Ley de la Demanda, “a mayor precio menor demanda

y a menor precio mayor demanda”, la función de demanda es decreciente.

Si el precio en el mercado del artículo en mención es p 0 y la

correspondiente demanda q0, entonces los consumidores que estuviesen en

condiciones de pagar por el artículo un precio mayor que p0 y ganan, por

el simple hecho de que el precio es menor. Bajo ciertas hipótesis

económicas la ganancia total del consumidor se representa por el área de

la región comprendida entre los ejes de coordenadas, la curva de demanda

y la recta p = p0. A esta área se le denomina excedente del consumidor

(E.C.) Luego:

00

0q

0

0q

0 0 q p dq )q(f dq ] p )q(f [ E.C. ó

1

p

0 p dp ) p(g E.C. , donde g = f – 1 y p1 = f ( 0 )

P

Q

1 p

0

) p(gq )q(f p

0 pE.C.

0q



16.2. EXCEDENTE DEL PRODUCTOR

Consideremos la función de oferta p = f ( q ) de un determinado artículo,

donde p = precio y q = cantidad. La gráfica de esta función es la Curva

de Oferta. Por la Ley de la Oferta, “a mayor precio mayor demanda y amenor precio menor demanda”, la función de oferta es creciente. Si el

precio en el mercado del articulo en mención es p0 y la correspondiente

demanda es q0, entonces los productores que estuviesen en condiciones

de vender el artículo a un precio menor, ganan, por el simple hecho de que

el precio es mayor. Bajo ciertas hipótesis económicas la ganancia total

del productor se representa por el área de la región comprendida entre los

ejes de coordenadas, la curva de oferta y la recta p = p0. A esta área se le

denomina excedente del productor (E.P.) Luego:

0q

0 00

0q

0 0 dq )q(f q pdq ] )q(f p [ E.P. ó

0 p

1 p

dp ) p(g E.P.

Ejemplo:

1.

Si la función de demanda es p = 9 – q2 y p0 = 5. Hallar el excedente

del consumidor.

P

Q1 p

0

) p(gq )q(f p

0 p

E.P.

0q



2

0

2 dq ] 5)q9( [ E.C.

2

0

2 dq )q4( E.C.

2

0

3)q

3

14q(E.C.

3

16])2(

3

1)2(4[E.C.

3

2. Si la función de oferta es p = 4 + 3q2 y q0 = 2. Calcular el excedente

del productor.

2

0

2 dq ] )q34(16 [ E.P.

2

0

2 dq )q312( E.P.

2

0

3)q12q(E.P.

5

P

Q

9

0

2q9 p

E.C.

2 3



16])2()2(12[E.P.3

3. Las funciones de demanda y de oferta, en situación de competencia

pura son, 2q

4

1227 p y 2

2q2 p , respectivamente.

Determinar el correspondiente excedente del consumidor y el

excedente del productor.

El precio en el mercado y la correspondiente cantidad está

determinado por el punto de equilibrio E (Ver figura). El punto de

equilibrio es la intersección de las curvas de oferta y de demanda.

222q2q

4

1227

2227q4

12q

22

225q4

9 2

100q2

=> 10q0 Donde 202 p0

P

Q

4

0

23q4 p

16

E.P.

2



10

0

2 dq ] 202)q4

1227( [ E.C.

10

0

2

dq )q4

1

25( E.C. 10

0

3)q

12

125q(E.C.

3

500])10(

12

1)10(25[E.C.

3

10

0

2 dq ] )q22(202 [ E.P.

10

0

2 dq )q2200( E.P.

10

0

3)q

3

2200q(E.P.

3

4000

])10(3

2

)10(200[E.P.3

202

P

Q

227

0

2q

4

1227 p

E.C.

10

22q2 p

E.P.

)202,10(E

2



4. La cantidad vendida y el correspondiente precio, en situación de

monopolio, se determinan por la función de demanda

2)q10(

4

1 p y el costo total es 5qq

4

1C

3 de tal manera que

se maximice la utilidad. Determinar el correspondiente excedente del

consumidor.

La utilidad es U = I – C , I = ingreso y C = costo total

0'U => 0'C 'I => CMgIMg

“La utilidad de maximiza si el ingreso marginal ( IMg'I ) es igual al

costo marginal ( CMg'C )”

Como I = pq donde p = precio de venta y q = cantidad vendida

q)q10(4

1I

2

2q

4

3q1025IMg'I

5q4

3CMg'C

2

Luego CMgIMg => 5q4

3q

4

3q1025

22 => q0 = 2

En q = 2 la utilidad es máxima porque 10)2(''U por tanto:

2

0

2 dq ] 16)q10(4

1 [ E.C.

2

0

2 dq )q4

1q59( E.C.

2

0

32)q

12

1q

2

59q(E.C.

326])2(

121)2(

25)2(9[E.C. 32



6. Hallar la cantidad producida que maximiza la utilidad y la

correspondiente utilidad total (suponiendo competencia perfecta). Si

IMg = 24 – 6q – q2 y CMg = 4 – 2q – q2.

La utilidad se maximiza (suponiendo competencia perfecta) cuando el

ingreso marginal (IMg) es igual al costo marginal (CMg), luego:

22q2q4q6q24 => q = 5

Como 4q20CMgIMgUMg'U y 0)5(''U

La utilidad se maximiza cuando q = 5 y la utilidad máxima es:

5

0 dq )4q20( U

5

0

2)2q20q(U

50])5(2)5(20[U2

7. Unaempresa textil ha comprado una maquina cuya producción

representa ganancias en un tiempo t dadas por G = 27 – 2t2 , donde G

está en unidades de S/. 3000 y t está en años. El costo de reparación y

mantenimiento en el tiempo está dado por 2tt3

1)tR(

2 , donde R

está en unidades de S/. 3000 y t está en años. Suponiendo que

lamaquina puede retirarse sin costo alguno en cualquier tiempo,

¿Cuántos años debe mantener la maquina para maximizar la utilidad

neta?

Las ganancias son iguales al costo de reparación y mantenimiento

cuando

2tt3

12t27

22 => t = 3



Por tanto, la máquina debe retirarse después de 3 años, la utilidad neta

después de 3 años son:

3

0 dt ])t(R )t(G[ U.N.

3

0

2 dt )t3

72t27( U.N.

3

0

32)t

9

7t27t(U.N.

51])3(9

7)3()3(27[U.N.

32

Luego la utilidad neta, después de 3 años es de 153 000 soles.

8. El valor de reventa de cierta maquina industrial disminuye durante un

periodo de 10 años a una tasa que cambia con el tiempo. Cuando la

maquina tiene x años, la tasa a la cual está cambiando su valor es de

220 ( x – 10 ) soles por año. ¿En qué cantidad se deprecia la maquina

al cumplir dos años y cual es su precio de reventa en un tiempo si su

costo fue de S/. 12 000?

Si V es el valor de la maquina )10x(220dx

dV luego

dx )10x(220)x(V

C200x2x110)x(V2

Como V ( 0 ) = 12 000

00012C)0(2002)0(110)0(V2

=> C = 12 000

00012200x2x110)x(V2

Para x = 2 años

040800012)2(2002)2(110)2(V2



El precio de reventa es de S/. 8 040 y la maquina ha sufrido una

depreciación de S/. 3 960.

Otro método para resolver este problema. El valor de depreciación es:

9603dx )10x(220 2

0

Esto significa que la maquina, en dos años se deprecia en S/. 3 960,

en ese tiempo el valor de reventa es 12 000 – 3 960 = 8 040 soles.

Ejercicios:

1. Si la función de demanda es p = 25 – q2 , hallar el excedente del

consumidor si la cantidad demandada en el mercado es q0 = 3.

2. Si la función de oferta es p = 3 Ln ( q + 2 ) , hallar el excedente del

productor si el precio de venta en el mercado es p0 = 3.

3. Las funciones de demanda y oferta en situación de libre competencia

son 2)q9(

4

1 p y )q31(

4

1 p , respectivamente. Calcular el

excedente del consumidor y el excedente del productor.

4. La cantidad vendida y el correspondiente precio, en situación de

monopolio, se determinan por la función de demanda 2q45 p y

el costo total es 76qq12

1C

3 de tal manera que se maximice

la utilidad. Calcular el correspondiente excedente del consumidor.5. El valor de venta de cierta maquina industrial disminuye a una tasa

que cambia con el tiempo. Cuando la maquina tiene t años, la tasa a la

cual está cambiando su valor es 5

t

e960

soles por año. Si el costo

de la maquina fué de S/. 5 000, ¿Cuál seria su valor 10 años más

tarde?



CAPITULO VI

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

VECTORES EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONALEl objetivo de esta sección es recordar las operaciones con vectores y sus

propiedades con la finalidad de hacer uso de ellas en la siguiente sección, razón por

la cual no se demostrara las propiedades.

EL ESPACIO R 3

El espacio R 3, es el conjunto:

R 3 = { ( x , y , z ) / x, y, z R }

Cada elemento de R 3 es llamado vector (del espacio R 3) y se representa por:a ,

b , etc.

i) IGUALDAD DE VECTORES

Dos vectores )a,a,a(a 321 y ) b, b, b( b 321 son iguales si y solo si:

11 ba , 22 ba y 33 ba

ii) SUMA DE VECTORES

Sean )a,a,a(a 321

y ) b, b, b( b 321

dos vectores, la suma de estos

vectores se define como:

) ba , ba , ba( ba 332211

iii) MULTIPLICACION DE UN VECTOR POR UN NUMERO REAL

Si r R y )a,a,a(a 321

R 3, se define:

)ar, ar, ar(ar 321



PROPIEDADES

Sia ,

b y

c son vectores en R 3 y r, s R, se verifican las siguientes

propiedades:

1. ba R 3

2.

a b ba (Prop. Conmutativa)

3.

c) ba()c b(a (Prop. Asociativa)

4. Existe un único vector cero )0,0,0(0

tal que

a0a , para todo

a R 3.

5. Para cada vector )a,a,a(a 321

, existe un único vector (opuesto dea ),

)a,a,a(a 321

tal que

0)a(a

6. ar R 3

7. brar) ba(r

8.

asara)sr (

9.

a)sr()as(r

10.

a)a.1 , para todoa R 3.

Cualquier sistema matemático en el que estas propiedades son validades recibe el

nombre de Espacio Vectorial real . De este modo R 3 es un espacio vectorial real.

iv) DIFERENCIA DE VECTORES

Sean )a,a,a(a 321

y ) b, b, b( b 321

dos vectores, la diferencia de

estos vectores se define como:

) ba , ba , ba() b(a ba 332211



REPRESENTACION GEOMETRICA DE UN VECTOR EN R 3

Un vector )z,y,x(a

se representa por un segmento dirigido (flecha). Si el

origen del vector es el origen de coordenadas y su extremo es el punto del espacio

P ( x , y , z ) como se puede ver en la figura, a estos vectores se les llama Vector

Posición. Si su origen es cualquier punto P0 del espacio y su extremo es el punto P1

del espacio (ver figura), a estos vectores se les llama Vectores Libres.

1P

y

z

x

O

a

0P

)z,y,x(P

y

z

x

O

a



Existe una correspondencia biunívoca entre el vector posición de )z,y,x(a

y

el punto del espacio P ( x , y , z ).

En la figura siguiente se representa geométricamente las operaciones entre los

vectoresa y

b .

VECTORES PARALELOS EN R 3

Se dice que dos vectoresa y

b en el espacio R 3 son paralelos, si uno de ellos es

múltiplo escalar del otro, es decir:a //

b <=>

br a v

as b , r, s R

Dos vectores paralelosa y

b tienen el mismo sentido si

br a , r > 0

Dos vectores paralelos

a y

b tienen sentidos opuestos si

br a , r < 0

a

b

ba

a

b

ba

1r 0 Si , ar

a

1r Si , ar

0r Si , ar



Ejemplo:

1. Si )4,3,1(a

y )2,1,2( b

, encuentre los vectores

ba ,

ba y

b2a3 .)2,2,3()2,1,2()4,3,1( ba

)6,4,1()2,1,2()4,3,1( ba

)16,11,1()2,1,2(2)4,3,1(3 b2a3

MODULO O LONGITUD DE UN VECTOR EN R 3

La longitud o norma o modulo de un vector )a,a,a(a 321

en el espacio R 3 se

denota y se define como:

23

22

21 aaa | |a| |

Ejemplo:

1. Hallar el modulo del vector )2,2,1(a

222 )2()2()1( | |a| |

39 | |a| |

OBSERVACION

i. La norma de un vector es la longitud del segmento que la representa.

ii. Todo vector de longitud igual a 1, se llama Vector Unitario.

iii. El vector

| |a| |

aua

Es unitario y es llamado vector unitario dea .



PROPIEDADES

1. 0 | |a| |

, 3R a

, 0 | |a| |

<=>

0a

2. | |a| | |r| | |ar | |

, R r , 3R a

3. | | b| || |a| | | | ba| |

, 3R b , a

(Desigualdad triangular)

4. | |a| | | |a| |

PRODUCTO INTERNO O ESCALAR DE VECTORES EN R 3

Dados dos vectores )a,a,a(a 321

y ) b, b, b( b 321

R 3 se define el

producto escalar dea y

b como:

332211 ba ba ba b.a

( Se leea punto

b )

Ejemplo:

1.

Hallar el producto escalar de los vectores )1,4,5(a y )3,1,2( b

)3()1()1()4()2()5( b.a

33401 b.a

PROPIEDADES

1.

a. b b.a , 3R b , a

(Prop. Conmutativa)

2. ) b.a(r b.)ar (

, 3R b , a

, R r

3.

c.a b.a)c b(.a , 3R c , b , a

(Prop. Distributiva)

4. 2| |a| | a.a

, 0a.a

<=>

0a

5. b.a2 | | b| || |a| | | | ba| |222 , 3

R b , a



6.

b.a2 | | b| || |a| | | | ba| |222 , 3

R b , a

7. 2222| | b| |2| |a| |2 | | ba| | | | ba| |

(Ley del paralelogramo)

ORTOGONALIDAD O PERPENDICULARIDAD DE VECTORES EN R 3

Dos vectoresa y

b R 3 son perpendiculares ( se escribe

ba ), si y solo si

| | ba| | | | ba| |

.

PROPIEDADES

1.

ba <=> 0 b.a

2.

ba <=> 222| | b| || |a| | | | ba| |

(Teorema de pitagoras)

3.

ba <=> 222| | b| || |a| | | | ba| |

Ejemplo:

1. Encuentre los vectores ortogonales a: )1,1,1(a

y )2,0,0( b

Sea )z,y,x(c

ortogonal a los vectoresa y

b , entonces:

0c.a

0)z,y,x( . )1,1,1( => 0zyx . . . ( 1 )

0c. b

0)z,y,x( . )2,0,0( => 0z2 => 0z . . . ( 2 )


00yx => yx

Luego:

)0,1,1(y)0,y,y(c => Por lo tanto, )0,1,1(rc , R r



RELACIONES ENTRE EL PRODUCTO ESCALAR Y EL ANGULO

ENTRE DOS VECTORES

Seana y

b dos vectores de R 3 con

0a y

0 b y θ el angulo formado

por ellos, 0º ≤ θ ≤ 180º.

Aplicando la Ley de los Cosenos al triangulo determinado por los vectoresa ,

b

y

a b se obtiene:

θ cos | | b| | | |a| | b.a

Luego la formula para calcular el ángulo entre dos vectoresa y

b diferentes del

vector cero, es:

| | b| | | |a| |

b.aθ cos

Ejemplo:

1. Seana y

b dos vectores que forman entre si un ángulo de 45º, 3 | |a| |

.

Hallar | | b| |

de modo que

a) ba( .

a) ba(

0a.) ba(

0 b.aa.a

a b

b

a

θ



b.aa.a

45º cos | | b| | | |a| | | |a| |2

)22 ( | | b| | )3()3( 2

=> 23 | | b| |

PRODUCTO VECTORIAL

El producto vectorial de dos vectores )a,a,a(a 321

y ) b, b, b( b 321

R 3

se define como:

) ba ba , ba ba , ba ba ( ba 122131132332 R 3 . . . ( * )

OBSERVACION

i. Los vectores unitarios que siguen el sentido positivo de los ejes coordenados

)0,0,1(i

, )0,1,0( j

y )1,0,0(k

forman la Base Fundamental de

R 3 y tienen la siguiente propiedad: “Todo )z,y,x(a R 3 acepta una

combinación lineal, única, de la forma

k z jyixa ”

ii. La definición dada en ( * ) se puede expresar como:

b b b

aaa

k ji

ba

321

321

k ) ba ba( j) ba ba(i) ba ba( ba 122113312332

Ejemplo:

1. Sean los vectores )1,2,1(a

y )3,1,2( b

, hallar

ba



k 3 ji5

312

121

k ji

ba

PROPIEDADES

Seana ,

b ,

c R 3 y r R entonces:

1. )a b( ba

(Prop. Anticonmutativa)

2.

ca ba)c b(a

3. 0 b.) ba(a.) ba(

( El vector

ba es perpendicular a los

vectoresa y

b )

4.

0aa

5. Sia //

b =>

0 ba

6.

2222 ) b.a( | | b| | | |a| | | | ba| |

7. θsen| | b| | | |a| | | | ba| |

, θ es el ángulo entrea y

b

8. Si

ba y

ca =>a //

c b

9.

0k k j jii

k ji ,

ik j ,

jik

a

a b

ba

b



APLICACIONES DE LOS VECTORES

1. AREA DE UN PARALELOGRAMO

Sean

a y

b dos vectores de R 3 diferentes del vector cero. El área del

paralelogramo determinado por los vectoresa y

b esta dado por:

| | ba| | A

h b A

θsen| | b| | | |a| | A

| | ba| | A

2. AREA DE UN TRIANGULO

Seana y

b dos vectores de R 3, no paralelos y diferentes del vector cero. El

área del triángulo determinado por los vectoresa y

b esta dado por:

| | ba| |2

1 A

a

b θsen| | b| | h

θ

a

b

h

θ



h b2

1 A

θsen| | b| | | |a| | 2

1 A

| | ba| |2

1 A

3. VOLUMEN DE UN PARALELEPIPEDO

Seana ,

b y

c tres vectores de R 3, no coplanares y diferentes del vector

cero. El volumen del paralelepípedo determinado por los vectores

a ,

b yc esta dado por:

|c b . a| V

4. VOLUMEN DE UN TETRAEDRO

Seana ,

b y

c tres vectores de R 3, no coplanares y diferentes del vector

cero. El volumen del tetraedro determinado por los vectoresa ,

b y

c esta

dado por:

|c b . a| 61 V

a

b

c



5. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

La distancia entre los puntos )z , y , x( P 1111 y )z , y , x( P 2222 esta dada

por:

212

212

21221 )zz()yy()xx( | | PP | | d

6. DIVISION DE UN SEGMENTO SEGÚN UNA RAZON DADA

Si P ( x , y , z ) es un punto que divide al segmento

21 PP donde

)z , y , x( P 1111 y )z , y , x( P 2222 , según la razón dada:

a

b

c

2P

y

z

x

O

d

1P



2

1

PP

PPr , r ≠ – 1

Entonces:

r 1

r xxx 21

,

r 1

yryy 21

,

r 1

zrzz 21

OBSERVACION

Si )z ,y,x( M es el punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos

)z , y , x( P 1111 y )z , y , x( P 2222 entonces:

1

PM

MPr

2

1

2

xxx 21 ,

2

yyy 21 ,

2

zzz 21

Ejemplo:

1. Dados los puntos )9,7,5( P1 y )7,5,3( P2 hallar los puntos de

trisección de

21 PP .

2

1

PA

APr

2

1

1P

2P

A

B

1

1

1



3

13

2

11

)3(2

15

x

, 3

2

11

)5(2

17

y

,

3

11

2

11

)7(2

19

z

) 3

11 , 3 ,

3

13 (A

2

PB

BPr

2

1

3

11

21

)3(25x

, 1

21

)5(27y

,

3

5

21

)7(29z

) 3

5 , 1 ,

3

11 ( B

Ejercicios:

1. Expresar el vectora como la suma de un vector paralelo al vector

b y un

vector ortogonal a b , si )1,1,2(a

y )2,4,1( b

.

2. Hallar el angulo entre los vectores )2,1,3(a

y )2,1,1( b

.

3. Si el ángulo que forman los vectoresa y

b es de 45º y 3 | |a| |

, hallar el

módulo de b para que

ba forme con

a un ángulo de 30º.

4.

Sean

a y

b dos vectores unitarios de R 3

. Demostrar que

ba es unvector unitario si y solo si el ángulo formado por ellos es de 120º.

5. Seana ,

b y

c tres vectores de módulos r, s y t respectivamente. Sea α el

ángulo entre b y

c , β el ángulo entre

a y

c y γ el ángulo entre

a y

b . Probar que el módulo S de la suma de los tres vectores está dado por la

fórmula.γcos sr2β cosr t2α costs2tsr S

2222



RECTAS EN EL ESPACIO

ÁNGULOS, COSENOS Y NÚMEROS DIRECTORES DE UNA RECTA

Definición 1: Sea L una recta en el espacio R 3

. Se llama conjunto de Ángulos Directores de la recta L al conjunto ordenado { α , β , γ }, donde α , β , γ son los

ángulos formados por los rayos positivos de los ejes de coordenadas x , y , z

respectivamente, con la recta L. Los ángulos directores toman valores entre 0º y

180º, es decir:

0º ≤ α , β , γ ≤ 180º

OBSERVACIÓN

El ángulo entre dos rectas que no se intersectan, se define como el ángulo formado por rectas que se intersectan y que, al mismo tiempo son paralelas a las rectas

dadas.

Si una recta no está orientada (con respecto al sentido que debe tomar) tiene dos

conjuntos de ángulos directores que son:

{ α , β , γ } y { 180º – α , 180º – β , 180º – γ }

En lo que sigue las rectas serán consideradas sin orientación.

x

y

z

L

α

β

γ



Definicion 2: Los cosenos de los ángulos directores de una recta se llaman

Cosenos Directores de la recta. Una recta tiene dos conjuntos de cosenos

directores.

{ cos α , cos β , cos γ } y { – cos α , – cos β , – cos γ }

Definicion 3: Un conjunto [ a , b , c ] es llamado Números Directores si existe una

constante k ≠ 0 tal que:

a = k cos α , b = k cos β , c = k cos γ

EXPRESION DE LOS COSENOS DIRECTORES DE UNA RECTA QUE

PASA POR DOS PUNTOS

Sea L una recta que pasa por los puntos )z , y , x( P 1111 y )z , y , x( P 2222 .

Sea | | PP | | d 21

y α , β , γ los ángulos directores se tiene:

d

xxα cos 12

,d

yyβ cos 12

,d

zz γcos 12

. . . ( 1 )

Tambien el conjunto {d

xx 12 ,d

yy 12 ,d

zz 12 } es un conjunto de

cosenos directores de L.

L

α

β

γ

2P

y

z

x

d

1P

O



RELACION ENTRE LOS COSENOS DIRECTORES DE UNA RECTA

En virtud de ( 1 ) se tiene:

1γcosβcosαcos222

. . . ( 2 )

Ejemplo:

1. Hallar los cosenos directores de una recta determinada por los puntos

)2,0,1( P1 y )3,2,3( P2 y dirigido de1P a

2P .

22221 )23()02()13( | | PP | | d

22221 )1()2()2( | | PP | | d

3144 | | PP | | d 21

3

2

3

13α cos

3

2

3

02

β cos

3

1

3

23 γcos

2. { 45º , 60º , γ } es un conjunto de ángulos direct ores de una recta. Calcular los

posibles valores del otro ángulo.

1γcos60ºcos45ºcos 222

1γcos4

1

2

1 2

4

1 γcos

2

=> 2

1

γcos , por tanto γ = 60º ó γ = 120º



ECUACIONES DE UNA RECTA

Sea )a,a,a(a 321

un vector diferente del vector cero. L una recta que pasa por

el punto )z , y , x( P 0000 y es paralelo al vectora . El vector

a se llama

Vector Dirección de la recta L.

Sea )z ,y,x( P un punto cualquiera de la recta L; Luego

PP0 es paralelo al

vectora , entonces existe t R tal que:

atPP0 , de donde

atPP

0

ó

a tPP 0 , t R

Es decir:

} R t, a tPP /)z,y,x(P {L 0

. . . ( * )

En lugar de ( * ) escribiremos:

L: a tPP 0 , t R . . . ( 3 )

x

y

z

LP

0P

a



A la expresión ( 3 ) se le llama Ecuación Vectorial de la recta L. Esta ecuación

tambien puede ser escrito como:

)a , a , a(t)z , y , x()z ,y,x( 321000 , t R ó

)atz , aty , atx()z ,y,x( 302010 , t R

Por la igualdad de vectores, se tiene:

30

20

10

atzz

atyy

atx x

, t R . . . ( 4 )

Esta expresión es conocida como Ecuación Parametrica de la recta L y t es

llamado Parametro. Si los tres números 1a , 2a y3a son diferentes de cero,

eliminando el parámetro t se obtiene.

3

0

2

0

1

0

a

zz

a

yy

a

xx

. . . ( 5 )

Esta expresión es llamada Forma Simetrica de la ecuación de la recta L.

OBSERVACION

i. Si uno de los números 1a , 2a ó 3a es igual a cero, por ejemplo 3a = 0, la

ecuación de la recta en su forma simétrica se escribirá como:

02

0

1

0 zz a

yy

a

xx

ii. Si dos de los números 1a , 2a ó 3a son nulos, por ejemplo 1a = 3a = 0, la

ecuación de la recta en su forma simétrica se escribirá como:

00 zz xx



OBSERVACION

Si )a,a,a(a 321

es el vector dirección de la recta L, las componentes del

vector unitario dea :

| |a| |

aua

Forman un conjunto de cosenos directores de la recta L y las componentes del

vectora forman un conjunto de números directores de la recta L, osea:

}

| |a| |

a ,

| |a| |

a ,

| |a| |

a {

321

Es un conjunto de cosenos directores y [ 1a , 2a ,3a ] es un conjunto de números

directores.

Ejemplo:

1.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A ( – 1 , 2 , 3 ) yB ( 2 , 1 , 4 ).

)3,2,1( )4,1,2(ABa

)1,1,3(a

La ecuación vectorial de la recta L es:

)1 , 1 , 3( t)3 , 2 , 1(P

, t RLa ecuación paramétrica de la recta L es:

t3z

t2y

t31 x

, t R

La ecuación de la recta L en su forma simétrica es:

3z1

2y

3

1x



2. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A ( 3 , 1 , 2 ) y cuyos

números directores son [ 2 , 0 , 1 ].

Ecuacion vectorial de la recta)1 , 0 , 2( t)2 , 1 , 3(P , t R

Ecuacion paramétrica de la recta

3t2z

1y

2t3 x

, t R

Forma simétrica de la recta

1y 3

2z

2

3x

RECTAS PARALELAS

Sean dos rectas:

L1:

a tPP 0 , t R y

L2:

b s QQ 0 , s R

Son paralelas, si sus vectoresa y

b son paralelos.

OBSERVACIÓN

i. Para todo punto P1 de R 3 y toda recta L:

a tPP 0 , t R, existe una

única recta L1 que pasa por el punto P1 y es paralela a la recta L.

ii. Si L1 y L2 son dos rectas paralelas, entonces L1 = L2 ó L1 ∩ L2 = ϕ.

iii.

Si las rectas L1 y L2 no son paralelas, entonces: L1 ∩ L2 = ϕ (las rectas no secruzan) ó L1 ∩ L2 consiste de un solo punto.



ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS – RECTAS PERPENDICULARES

En virtud de la definición de ángulo entre dos rectas, dos rectas determinan dos

ángulos: θ y π – θ. Luego es suficiente determinar uno de los ángulos, en este

caso el ángulo que forman sus vectores dirección. Luego, si

L1:

a tPP 0 , t R y

L2:

b s QQ 0 , s R

Son las ecuaciones vectoriales de dos rectas, la expresión para calcular el ángulo

entre las rectas L1 y L2 será:

| | b| | | |a| |

b.aθ cos

Por tanto, se deduce que la recta L1 es perpendicular a la recta L2 si

ba ó 0 b.a

.

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTASea )z , y , x(A 111 un punto del espacio y L la recta cuya ecuación vectorial es:

L:

a tPP 0 , t R

Si d es la distancia del punto A a la recta L, entonces:

θsen| | v | | d

a

v d

L

0P

θ

A



Donde θ es el ángulo que forman los vectoresa y

APv 0 . Una de las

propiedades del producto vectorial establece que

θsen| | v | | | | a | | | | va | |

De donde se deduce:

| | vu | |

| | a | |

| | va | | θsen| | v | | d a

Ejemplo:

1.

Calcular la distancia del punto A ( 3 , 2 , – 1 ) a la recta

L: )3, 2 , 1( t)2 , 3 , 1(P , t R

)3 , 2 , 1(a

)3 , 1 , 2()2 , 3 , 1()1 , 2 , 3(APv 0

)3 , 3 , 3(

312

321

k ji

va

222

222

)3()2()1(

)3()3()3(

| | a | |

| | va | |d

14

27

941

999d

2. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P0 ( 3 , 1 , 5 ) y es paralelo

a la recta L1: 2x – 2 = 1 – y 4z

Reescribiendo la ecuación de recta L1

2

1y1x

4z



La ecuación vectorial de la recta L1 será:

)0, 2 , 1( s )4 , 1 , 1(Q , s R

Como L // L1 => L //a , donde )0 , 2 , 1(a

es el vector dirección

de L1. Por tanto, la ecuación de la recta buscada es:

L:

a tPP 0 , t R

L: )0, 2 , 1( t)5 , 1 , 3(P , t R

3. Hallar la ecuación de la recta que pasa por P0 ( 3 , 1 , – 2 ) e intersecta y es

perpendicular a la recta L1: x + 1 = y + 2 = z + 1

Ecuacion vectorial de la recta L1

)1, 1 , 1( s )1 , 2 , 1(Q , s R

)1 , 2 , 1(Q0

)1 , 1 , 1( b

Sea A el punto de intersección de las rectas L1 y L. Como A L1, entonces

R k tal que A ( k – 1 , k – 2 , k – 1 ). Luego:

)1k , 3k , 4k ()2 , 1 , 3( )k1 ,k2 ,k1(AP0

)1 , 1 , 1( b

)1,2,1(Q0

1LL

)2,1,3(P0

)1k , 2k , 1k (A



Por la condición de perpendicularidad

)1 , 1 , 1( b )1k , 3k , 4k (AP0

Entonces:

0)1 , 1 , 1( . )1k , 3k , 4k ( b . AP0

01k 3k 4k

63k => k = 2 => A ( 1 , 0 , 1 )

La ecuación de la recta que pasa por los puntos P0 ( 3 , 1 , – 2 ) y A ( 1 , 0 , 1 )

es:

)3 , 1 , 2()1 , 0 , 1( )2 , 1 , 3(PAa 0

L:

a tPP 0 , t R

L: )3 , 1 , 2( t)2 , 1 , 3(P , t R

4. Determinar la ecuación de la recta que pasa por P0 ( 1 , 4 , 0 ) y es

perpendicular a las rectas

L1:

s1z

s4y

s3 x

, s R

L2:3

12y

6

4x

2

1z

Seaa el vector dirección de la recta buscada L. Un vector dirección de L 1 es

)1 , 1 , 1( b

y el vector dirección de L2 es )0 , 3/2 , 6(c

.

Como L L1 y L L2 =>

ba y

ca

=>a //

c b

Podemos tomar:a =

c b



)9/2 , 6 , 3/2(

03/26

111

k ji

c ba

Luego, la ecuación de la recta buscada es:

L:

a tPP 0 , t R

L: )9/2 , 6 , 3/2( t)0 , 4 , 1(P , t R

5. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto medio deAB y corta

bajo un ángulo de 60º a la recta que pasa por los puntos R y S, donde

A ( 2 , 4 , 0 ) ; B ( 0 , 0 , – 2 ) ; R ( – 1 , 3 , 3 ) ; S ( 3 , 3 , 3 ).

Este problema tiene dos soluciones como se puede observar en la siguiente

figura.

El punto medio M del segmentoAB es:

)

2

20 ,

2

04 ,

2

02 ( M

M ( 1 , 2 , – 1 )

a

I

)0 , 0 , 1( b

1L

LL'

A

M B

60º60º



El vector dirección de la recta L1 es:

)0 , 0 , 4()3 , 3 , 1( )3 , 3 , 3(RS

)0 , 0 , 1()0 , 0 , 4( 4

1

| | RS | |

RS b

La ecuación de la recta L1 que pasa por R y S es:

b s R Q , s R

)0, 0 , 1( s )3 , 3 , 1(Q , s R

Sea I el punto de intersección de L con L1 => I L1 => s R /

I ( s – 1 , 3 , 3 ).

El vector dirección de la recta L es:

)4 , 1 , 2s()1 , 2 , 1( )3 , 3 , 1s(MIa

De la condición

| | b| | | |a| |

b.a

60º cos

222222 )0()0()1( )4()1()2s(

)0 , 0 , 1( . )4 , 1 , 2s(

2

1

001 611)2s(

)0()4()0()1()1()2s(

2

1

2

17)2s(

2s

2

1

2

)2s(217)2s(2

222 ])2s(2[] 17)2s( [

22)2s(417)2s(

17)2s(32



3

17)2s(

2

3

17 2s =>

3

17 2s => ) 3 , 3 ,

3

17 1 ( I

El vector dirección de la recta L es:

) 4 , 1 , 3

17 (a

Luego las soluciones al problema son:

L:

a tMP , t R

L: ) 4 , 1 , 3

17 ( t)1 , 2 , 1(P , t R

L' :

a λ MP , R

L' : ) 4 , 1 , 3

17 ( λ )1 , 2 , 1(P , R

6. Hallar un punto en la L: P = ( 2 , 11 , 14 ) + t ( 2 , 4 , 5 ) , t R que equidista

de las rectas

L1: Eje x

L2: Q = ( 1 , 7 , 0 ) + s ( 0 , 0 , 1 ) , s R

Ecuacion vectorial de la recta L1

R = ( 0 , 0 , 0 ) + ( 1 , 0 , 0 ) , R (Eje x)

Sea A L, el punto que equidista de las rectas L1 y L2. Entonces:

A ( 2t + 2 , 4t + 11 , 5t + 14 )

| | )0 , 0 , 1( | |

| | )0 , 0 , 1( )145t , 114t , 22t( | | )L,A(d 1

221 )114t()145t()L,A(d . . . ( 1 )



| | )1 , 0 , 0( | |

| | )1 , 0 , 0( )145t , 44t , 12t( | | )L,A(d 2

222 )12t()44t()L,A(d . . . ( 2 )

De ( 1 ) y ( 2 ):

2222)12t()44t()114t()145t(

Resolviendo, se obtiene t = – 2 t = – 50/7

Luego las soluciones son: )4 , 3 , 2( A1 y )7

152 ,

7

123 ,

7

66 ( A2

Ejemplos:

1. Encontrar la distancia del punto A ( 3 , 2 , 1 ), a la recta que pasa por los

puntos P0 ( 1 , 2 , 9 ) y P1 ( – 3 , – 6 , – 3 ).

2. Sean:

L1: P = ( 1 , 0 , – 1 ) + t ( 1 , 1 , 0 ) , t R

L2: Q = ( 0 , 0 , 1 ) + s ( 1 , 0 , 0 ) , s R

Hallar la ecuación de la recta L que es perpendicular a L1 y L2 y las intersecta.

3. Determinar la ecuación de la recta que intersecta a las rectas:

L1: P = ( 1 , – 1 , 1 ) + t ( 1 , 0 , – 1 ) , t R

L2: Q = ( 1 , 0 , 0 ) + s ( – 1 , 1 , 1 ) , s R

En los puntos A y B, respectivamente, de tal manera que la longitud del

segmentoAB sea mínima.

4. Una recta pasa por el punto A ( 1 , 1 , 1 ) y forma ángulos de 60º y 30º con los

ejes x e y respectivamente. Hallar la ecuación vectorial de dicha recta.

Rpta. L: P = ( 1 , 1 , 1 ) + t ( 1 , 3 , 0 ) , t R

5. Una recta pasa por el punto A ( – 2 , 1 , 3 ), es perpendicular e intersecta a la

recta L1: P = ( 2 , 2 , 1 ) + t ( 1 , 0 , – 1 ) , t R. Hallar la ecuación vectorialde dicha recta. Rpta. Q = ( – 2 , 1 , 3 ) + s ( 1 , 1 , 1 ) , s R



PLANOS

ECUACIONES DE UN PLANO: VECTORIAL Y PARAMETRICA

Sea un plano que pasa por el punto P0 ( x0 , y0 , z0 ) y es paralelo a los vectores

)a,a,a(a 321

y ) b, b, b( b 321

cona no paralelo a

b . Sea P ( x , y , z )

un punto del plano , entonces existen r, s R tal que:

bsarPP0

Luego

bsarP P 0 , de donde

bs arPP 0

Es decir:

} R s,r, bs arPP /)z,y,x(P { 0

En lugar de esta expresión escribiremos

: R s,r, bs arPP 0

. . . ( 1 )

Esta expresión es llamada Ecuación Vectorial del plano . La ecuación ( 1 ) se

puede escribir como:

x

y

z

)z,y,x(P

0P

N

b

a



) b , b , b( s)a , a , a(r)z , y , x()z ,y,x( 321321000 , r , s R

Por la igualdad de vectores se obtiene:

330

220

110

b sarzz

b saryy

b sarx x

, r , s R . . . ( 2 )

Esta expresión es llamada Ecuación Parametrica del plano , r , s se denominan

Parametros.

Ejemplo:

1. Hallar las ecuaciones vectorial y paramétrica del plano que pasa por los puntos

P0 ( 3 , 1 , 2 ) , P1 ( 1 , – 1 , 2 ) y P2 ( 2 , 0 , 3 ).

)0 , 2 , 2()2 , 1 , 3( )2 , 1 , 1(PPa 10

)1 , 1 , 1()2 , 1 , 3( )3 , 0 , 2(PP b 20

Luego, una ecuación vectorial es:

: R s,r, bs arPP 0

: R s,r, )1 , 1 , 1( s )0 , 2 , 2(r)2 , 1 , 3(P

Ecuacion paramétrica del plano es:

:

s2z

sr 21y

sr 23 x

, r , s R

OBSERVACION

i. De la ecuación vectorial se obtiene que

ba N es un vector

perpendicular al plano. En general, todo vector no nulo perpendicular al plano

es llamado normal del plano.



ii. Si N es una normal del plano : R s,r, bs arPP 0

y P1 y P2

son dos puntos del plano entonces

21 PP a .

iii.

Si N es una normal del plano : R s,r, bs arPP 0

y

N PP 10 => P1 .

iv. Si N es una normal del plano : R s,r, bs arPP 0

entonces

} 0 PP . N /)z,y,x(P { 0

y es el único plano que pasa por P0 con

normal N .

ECUACION GENERAL DE UN PLANO

Sea un plano que pasa por el punto P0 ( x0 , y0 , z0 ) y cuyo vector normal es

)C , B ,A( N

. Sea P ( x , y , z ) un punto cualquiera del plano , entonces

N PP0 , luego:

0 PP . N 0

ó

0)PP( . N 0

0)zz(C)yy(B)xx(A 000

Por lo tanto, la ecuación general del plano es de la forma:

0DCzByAx . . . ( 3 )

La ecuación ( 3 ) tambien es llamada Ecuación Cartesiana del plano.

Ejemplo:

1. Hallar la ecuación cartesiana del plano que pasa por el punto P0 ( 2 , 3 , – 5 ) y

es ortogonal al segmentoPQ , donde P (1 , 3 , 0 ) y Q ( 3 , – 2 , 1 ).



Sea:

)1 , 5 , 2()0 , 3 , 1( )1 , 2 , 3(PQ N

)1 , 5 , 2()C , B ,A( N

P0 ( 2 , 3 , – 5 )

Entonces la ecuación del plano es:


0)5z(1)3y(5)2x(2

05z15y542x

016zy52x :

2. Hallar la ecuación cartesiana del plano que contiene a los puntos P ( 2 , 3 , – 5 )

Q ( 1 , 3 , 0 ) y R ( 3 , – 2 , 1 ).

)5 , 0 , 1()5 , 3 , 2( )0 , 3 , 1(PQa

)6 , 5 , 1()5 , 3 , 2( )1 , 2 , 3(PR b

Luego: N //

ba

)5 , 11 , 25(

651

501

k ji

ba N

)5 , 11 , 25()C , B ,A( N

P ( x0 , y0 , z0 ) = ( 2 , 3 , – 5 )

La ecuación del plano es:


0)5z(5)3y(11)2x(25

0585z11y25x :Π



OBSERVACIÓN:

i. Si L // <=>

a N <=> 0a . N

ii. Si L <=> N //

a

iii. Si L // => L ∩ = ϕ ó L

iv. Si L =>

a N y P0 L => P0

v. Si L no es paralelo a => L ∩ es un punto

Ejemplo:

1.

Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta

L: P = ( 1 , 2 , 2 ) + t ( 0 , 3 , 1 ) , t R y al punto Q0 ( 2 , – 3 , 8 )

)1 , 3 , 0(a

)6 , 5 , 1()2 , 2 , 1( )8 , 3 , 2(QP b 00

Sea

N la normal del plano, entonces:

a N y

b N => N //

ba

)3 , 1 , 23(

651

130

k ji

ba N

)3 , 1 , 23()C , B ,A( N

P0 ( x0 , y0 , z0 ) = ( 1 , 2 , 2 )



0)2z(3)2y(1)1x(23

0193zy23x :Π



PLANOS PARALELOS E INTERSECCIÓN DE PLANOS

Se dice que dos planos son paralelos si sus vectores normales son paralelos.

OBSERVACIÓN:i. Si 1 y 2 son dos planos paralelos, entonces 1 = 2 ó 1 ∩ 2 = ϕ.

ii. Si 1 y 2 son dos planos no paralelos, entonces 1 ∩ 2 es una recta. Si

las ecuaciones de los planos no paralelos son:

0DzCyBxA 1111 y

0DzCyBxA 2222

A la recta de intersección los denotaremos con:

L:

0DzCyBxA

0DzCyBxA

2222

1111 ó

L: 0DzCyBxA 1111 ; 0DzCyBxA 2222

iii. Dados dos planos no paralelos cuyas ecuaciones son:

0DzCyBxA 1111 y

0DzCyBxA 2222

La ecuación de la familia de planos que pasan por la intersección de estos

planos está dada por:

0)DzCyBxA(kDzCyBxA 22221111

Donde k es el parámetro de la familia

OBSERVACIÓN:

Es necesario conocer las ecuaciones de los planos coordenados y de los planos

paralelos a estos.

i. z = 0, es la ecuación del plano coordenado xy

ii.

x = 0, es la ecuación del plano coordenado yziii. y = 0, es la ecuación del plano coordenado xz



iv. z = k, es la ecuación del plano paralelo al plano xy, que pasa por el

punto ( 0 , 0 , k ).

v. x = k, es la ecuación del plano paralelo al plano yz, que pasa por el

punto ( k , 0 , 0 ).vi. y = k, es la ecuación del plano paralelo al plano xz, que pasa por el

punto ( 0 , k , 0 ).

Ejemplo:

1. Hallar la ecuación del plano que contiene al punto P0 ( 2 , 6 , – 1 ) y es

paralelo al plano 4x – 2y + z – 1 = 0

Sea N la normal plano buscado, entonces

N // ( 4 , – 2 , 1 ) tomando:

)1 , 2 , 4()C , B ,A( N

P0 ( x0 , y0 , z0 ) = ( 2 , 6 , – 1 )



0)1z(1)6y(2)2x(4

05zy24x :Π

2. Hallar la distancia del punto Q0 ( 2 , – 1 , 3 ) a la recta

L: 2x – y + z – 3 = 0 ; x + 2y – z + 1 = 0

La recta L es la intersección de los planos 2x – y + z – 3 = 0 y

x + 2y – z + 1 = 0. Para hallar la distancia, es necesario tener la ecuación

vectorial de la recta, para esto se resuelve simultáneamente las ecuaciones de

los dos planos.

03zy2x . . . ( 1 )

01zy2x . . . ( 2 )



( 1 ) + ( 2 ) entonces tenemos:

02y3x

3x2y . . . ( 3 )

Reemplazando ( 3 ) en ( 1 ) tenemos:03z)3x2(2x

03z3x22x

5x5z . . . ( 4 )

Para x = t , t R se obtiene:

tx

3t2y

5t5z

Luego:

L: ) 5 , 3 , 1 ( t)5 , 2 , 0(P , t R

)5 , 3 , 1(a

)2 , 3 , 2()5 , 2 , 0()3 , 1 , 2(QPv 00

)3 , 8 , 9(

232

531

k ji

va

222

222

)5()3()1(

)3()8()9(

| | a | |

| | va | |

d

5

22

2591

96481d

3. Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta de intersección de los

planos x – y + 2z + 4 = 0 , 2x + y + 3z – 9 = 0 y es paralelo a la recta cuyosnúmeros directores son [ 1 , 3 , – 1 ]



La ecuación de la familia de planos que pasan por la intersección de los

planos dados es:

0)9z3y2x(k4z2yx

0)9k4(z)23k (y)1k (x)12k ( 0DCzByAx

Luego:

)23k , 1k , 12k ()C , B ,A( N

Como el plano es paralelo al vector )1 , 3 , 1(a

, entonces:

0a . N

0) 1 , 3 , 1 ( . )23k , 1k , 12k (

023k 33k 12k

2k

Por lo tanto el plano buscado es:

0148zy5x

4. Dadas las rectas

L1: P = ( 1 , 2 , – 1 ) + t ( 1 , 3 , 1 ) , t R

L2: Q = ( 5 , – 1 , – 2 ) + s ( 2 , – 1 , 2 ) , s R

Hallar las ecuaciones de dos planos 1 y 2 de modo que L1 1 y

L2 2

)1 , 3 , 1(a

)2 , 1 , 2( b

Sea N la normal común de los planos 1 y 2 entonces:

a N y b N => N // ba



)7 , 0 , 7(

212

131

k ji

ba

)1 , 0 , 1(

| | ba| |

ba N

)1 , 0 , 1()C , B ,A( N

Las ecuaciones de los planos son:

P0 ( x0 , y0 , z0 ) = ( 1 , 2 , – 1 )


0)1z(1)2y(0)1x(1

02z x:Π 1

Q0 ( x0 , y0 , z0 ) = ( 5 , – 1 , – 2 )


0)2z(1)1y(0)5x(1

07z x:Π 2

5. Por el punto A ( 1 , 0 , 1 ) se traza una perpendicular al plano

07zy2x :Π . Si B es el pie de dicha perpendicular, determinar un

punto C en la recta L: P = ( – 1 , 1 , 0 ) + t ( 0 , 1 , 5 ) , t R de modo que el

volumen del tetraedro cuyos vértices son A, B, C y D es igual a 4 u³. D es el

punto de intersección de la recta L con el plano .

En primer lugar, determinaremos el punto B.

Sea: L N: Q = A + s N , s R



A ( 1 , 0 , 1 )

07zy2x :Π => )1 , 1 , 2( N

L N: ) 1 , 1 , 2 ( s )1 , 0 , 1(Q , s R

L N es la recta que pasa por A y es perpendicular al plano , entonces B L N

y B => B ( 2s + 1 , s , 1 – s )

Reemplazando en la ecuación del plano

07)s1(s)12s(2

07s1s24s

1s

=> B ( 3 , 1 , 0 )

En seguida determinaremos el punto D.

D = L ∩ => D L D => D ( – 1 , t0 + 1 , 5t0 )


07)5t()1t()1(2 00

075t1t2 00

2t0

=> D ( – 1 , – 1 , – 10 )

A

B

C

D

L

N



Por otro lado, si C L => C ( – 1 , t + 1 , 5t )

Sea:

)5t, t, 4()0 , 1 , 3()5t, 1 t, 1(BCa

)10 , 2 , 4()0 , 1 , 3()10 , 1 , 1(BD b

)1 , 1 , 2()0 , 1 , 3()1 , 0 , 1(BAc

Volumen del tetraedro

|c b . a| 6

1 V

4 |c b . a| 61

24 |c b . a|

24t48

112

1024

5tt4

c b . a

Luego:

24 |24t84| => t = – 1 t = – 3

Finalmente, el problema tiene dos soluciones:

C1 ( – 1 , 0 , – 5 )

C2 ( – 1 , – 2 , – 15 )

6. A ( 3 , 2 , 1 ) y B ( – 5 , 1 , 2 ) son dos puntos del espacio, hallar un punto C

en el plano x – y + 2z – 4 = 0 de modo que

CB AC sea mínimo.

Para que

CB AC sea mínimo, necesariamente A, B y C deben estar en un

plano perpendicular al plano . En la figura se muestra al plano de canto.Si 'B es el punto simétrico de B respecto al plano . Entonces



2d'CBCB

. Luego 21 dd es mínimo si C es la intersección de

'AB con

el plano .

Nota: Dos puntos B y 'B son Simétricos respecto al Plano , si es

perpendicular al segmento

'BB en el punto medio M (de

'BB )

En primer lugar determinaremos M. Sea L N: P = B + t N , t R, la recta

que pasa por B y es perpendicular al plano .

L N: P = ( – 5 , 1 , 2 ) + t ( 1 , – 1 , 2 ) , t R

Entonces M L N y M => M ( t – 5 , 1 – t , 2t + 2 ), reemplazando

en la ecuación del plano

04)22t(2)t1()5t(

0444tt15t

1t

=> M ( – 4 , 0 , 4 )

Como M es punto medio entre B y 'B , por la fórmula de punto mediodeterminamos el punto 'B .

N

'B

BA

C M

1d 2d



=> 'B ( – 3 , – 1 , 6 )

La ecuación de la recta que pasa por A y 'B es:

L: Q = ( 3 , 2 , 1 ) + r ( – 6 , – 3 , 5 ) , r R

C = L ∩ => C L y C C ( 3 – 6r , 2 – 3r , 1 + 5r )


04)5r1(2)3r2()6r3(

04r 1023r 26r 3

7

1r

=> C ( 15/7 , 11/7 , 12/7 )

DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO

Sea un plano cuya ecuación es Ax + By + Cz + D = 0 y Q ( x1 , y1 , z1 ) un

punto del espacio. Si d es la distancia del punto Q al plano ( la longitud del

segmento perpendicular trazado de Q a ), entonces:

θ cos | | QP | | d 0

. . . ( 1 )

Donde θ es el ángulo entre

QP0 y la normal

N , y P0 ( x0 , y0 , z0 ) es un punto del

plano . Como P0 entonces:

θ

0P

d

Q

N



Esto significa que: si las ecuaciones de dos planos paralelos son:

Ax + By + Cz + D = 0 y

Ax + By + Cz + D1 = 0

La distancia entre dichos planos está dada por la fórmula

222

1

CBA

| DD |d

. . . ( 6 )

Ejemplo:

1. Calcular la distancia del punto Q ( 1 , 2 , 3 ) al plano

: P = ( 2 , 1 , – 1 ) + r ( 1 , 1 , 1 ) + s ( – 1 , 1 , 0 ) , r, s R

Sea el vector normal al plano

)2 , 1 , 1(

011

111

k ji

ba N


0)1z( 2)1y( 1)2x( 1

052zyx

Distancia del punto Q al plano

222

)2()1()1(

| 5)3(221 |d

3

64

411

| 5621 |d

2. Encuentre la distancia entre los planos paralelos

1: x – 2y + 2z – 5 = 0

2: 3x – 6y + 6z – 7 = 0



Para aplicar la formula ( 6 ) es necesario que los dos planos paralelos tengan la

misma normal; para esto dividimos la ecuación del plano 2 entre 3

obtenemos las ecuaciones:

1: x – 2y + 2z – 5 = 02: x – 2y + 2z – 7/3 = 0

Finalmente:

222 )2()2()1(

| 7/35 |d

9

8

441

| 7/35 |d

3. La distancia del punto P ( 1 , 0 , 2 ) a un plano es 1. Si el plano pasa por la

intersección de los planos 4x – 2y – z + 3 = 0 , 2x – y + z – 2 = 0, hallar la

ecuación del plano.

La ecuación de la familia de planos que pasan por la intersección de los planosdado es:

4x – 2y – z + 3 + k ( 2x – y + z – 2 ) = 0

( 2k + 4 )x – ( k + 2 )y + ( k – 1 )z + 3 – 2k = 0

Por la condición del problema

1

)1k ()2k ()42k (

|2k3)1k (2)42k ( |d

222

12118k 6k

| 52k |

2

| 52k | 2118k 6k 2

Elevando al cuadrado ambos miembros

2520k 4k 2118k 6k 22

04k 22k 2



02k k 2

0)2k ()1k ( => k = – 1 ó k = 2

Luego, el problema tiene dos soluciones:

1: 2x – y – 2z + 5 = 0

2: 8x – 4y + z – 1 = 0

ANGULO ENTRE DOS PLANOS

Dos planos no paralelos 1 y 2 forman dos ángulos (diedros) θ y 180º – θ ,

luego es suficiente conocer uno de los ángulos. Uno de estos angulos es igual al

ángulo que forman sus normales. Si θ es este ángulo, entonces:

| | N| | | | N| |

N . Nθ cos

21

21

Donde

1 N y

2 N son respectivamente, las normales de 1 y 2.

Ejemplo:

1. Hallar el ángulo obtuso que forman los planos

1: 2x – y + z – 4 = 0 y

2: x + y + 2z – 5 = 0

1 N

2 N

1Π

2Π

θ



)1 , 1 , 2( N1

)2 , 1 , 1( N2

222222 )2()1()1( )1()1()2()2 , 1 , 1( . )1 , 1 , 2(θ cos

6 6

3

411 114

212θ cos

2

1θ cos => º60θ

Luego, el ángulo obtuso entre los planos es = 180º – 60º = 120º

ANGULO ENTRE RECTA Y PLANO

Sea L una recta cuyo vector dirección esa y un plano cuyo vector normal es

N . El ángulo entre la recta L y el plano se define como el angulo que forma

L con L, donde L es la proyección de L sobre . Si es uno de losangulos que forman L con (el otro angulo es 180º – ), entonces θ + = 90º,

θ es el angulo que forman el vector

N y el vectora => sen = cos θ pero:

| |a| | | | N| |

a . Nθ cos

Por lo tanto:

| |a| | | | N| |

|a . N|αsen

Ejemplo:

1.

Hallar el ángulo agudo que forman el plano : 2x + y + z – 5 = 0 con la rectaL: P = ( 2 , 3 , 5 ) + t ( 1 , – 1 , 2 ) , t R



En este caso, )2 , 1 , 1(a

y )1 , 1 , 2( N

, si es el ángulo que forma

la recta L con el plano , entonces:

| |a| | | | N| |

|a . N|αsen

222222 )2()1()1( )1()1()2(

| )2 , 1 , 1( . )1 , 1 , 2( |αsen

411 114

212αsen

2

1

6 6

3αsen

Luego, el ángulo agudo que forman L y es de 30º.

DISTANCIA MINIMA ENTRE RECTAS

Sean las rectas:

L1: P = P0 + ta , t R y

L2: Q = Q0 + s b , s R

Solamente existen dos posibilidades:

i. L1 // L2 =>a //

b

)L , P(d)L , Q(dd 2010

ii. L1 no // L2 =>a no //

b

ba N

00 QPC

| u . C |

| | N| |

| N . C|d N



Ejemplo:

1. Hallar la distancia minima entre las rectas

L1: P = ( 1 , 1 , 4 ) + t ( 0 , 1 , – 3 ) , t R y

L2: x = 4 + s , y = 5 , z = – 3 + 2s , s R

Se tiene:

P0 ( 1 , 1 , 4 ) L1

Q0 ( 4 , 5 , – 3 ) L2

)3 , 1 , 0(a

)2 , 0 , 1( b

)1 , 3 , 2(

201

310

k ji

ba N

)7 , 4 , 3()4 , 1 , 1()3 , 5 , 4(QPC 00

Luego:

| | N| |

| N . C|d

222 )1()3()2(

| )1 , 3 , 2( . )7 , 4 , 3( |d

194

| 7126 |d

14

1d

14

14d



CAPITULO VII

SUPERFICIES

DEFINICION: Sea E ( x , y , z ) = 0 una ecuación en las variables x , y , z. Lagráfica de esta ecuación (llamada superficie en el espacio tridimensional R 3), es el

conjunto de todos los puntos P ( x , y , z ) cuyas coordenadas satisfacen la

ecuación dada.

ESFERA

DEFINICION: Una esfera es un conjunto de todos los puntos del espacio que

equidistan de un punto fijo llamado centro. La distancia de cualquier punto al

centro se llama radio.

Sea P ( x , y , z ) cualquier punto de la esfera de centro C ( x0 , y0 , z0 ) y

radio r > 0, entonces la distancia al cuadrado del centro al punto P.

22

r )P,C(d 2

02

02

0 )zz()yy()xx( | |CP| | )P,C(d

2

0

2

0

2

0

2)zz()yy()xx()P,C(d

22

0

2

0

2

0 r )zz()yy()xx( . . . ( * )

Es llamada forma ordinaria de la ecuación de la esfera.

OBSERVACIONES:

i. Si el centro es el origen de coordenadas entonces ( * ) tiene la forma

2222r zyx forma canonica de la ecuación de la esfera.

ii. En ( * ) se tiene 22

0

2

0

2

0 r )zz()yy()xx( que al resolver nos da

0r zyxz)z2(y)y2(x)x2(zyx 220

20

20000

222



0GFzEyDxzyx222

. . . ( ** ) llamada forma general de la

ecuación de la esfera. Cualquier ecuación de la forma ( ** ) se puede expresar

en la forma

ε: t)lz()ky()hx( 222 . . . ( 1 )

Si t > 0 ( 1 ) representa a una esfera de centro C ( h , k , l ) y radio t .

Si t = 0 ( 1 ) representa al punto C ( h , k , l ).

Si t < 0 ( 1 ) representa al conjunto vacio.

Estas dos últimas son llamadas formas degeneradas de la esfera.

DEFINICIÓN (DISTANCIA DE UN PUNTO AL PLANO) Sea π un plano

cuya ecuación es π: Ax + By + Cz + D = 0 y Q ( x0 , y0 , z0 ) un punto del

espacio si d es la distancia del punto Q al plano π la longitud del segmento

perpendicular trazado de Q al plano π entonces la distancia va a estar dada por:

222

000

CBA

| DCzByAx |

d

Ejemplo:

1. Encontrar la ecuación de la esfera que es tangente al plano

074z8y x:π y es concéntrica a la esfera

033z6y4x12zyx222

09436339z6z4y4y36x12x222

016)3z()2y()6x(222

16)3z()2y()6x(222

Centro de la circunferencia C ( 6 , 2 , 3 )



Como la esfera es concéntrica la ecuación será:

2222r )3z()2y()6x(

La distancia del centro de la esfera al plano π será el radio de la esfera

222 )4()8()1(

| 7)3(4)2(8)6(1 |)π,)3,2,6(C(dr

=> 1r

Entonces la ecuación de la esfera será:

ε: 1)3z()2y()6x(222

DISCUSION Y GRAFICA DE LA ECUACION DE UNA SUPERFICIE

Para discutir la ecuación E ( x , y , z ) = 0 de una superficie se siguen los

siguientes pasos:

I. INTERSECCIONES CON LOS EJES COORDENADOS

i. Con el Eje x: Se reemplaza y = z = 0 en la ecuación de la superficie y se

analiza la ecuación resultante.

ii. Con el Eje y: Se reemplaza x = z = 0 en la ecuación de la superficie y se

analiza la ecuación resultante.

iii.

Con el Eje z: Se reemplaza x = y = 0 en la ecuación de la superficie y seanaliza la ecuación resultante.

r

π

)3,2,6(C

16)3z()2y()6x(222



II. TRAZAS SOBRE LOS PLANOS COORDENADOS

La traza de una superficie sobre un plano coordenado es la intersección de la

superficie y el plano coordenado.

i.

Con el Plano xy: Se reemplaza z = 0 en la ecuación de la superficie.ii. Con el Plano yz: Se reemplaza x = 0 en la ecuación de la superficie.

iii. Con el Plano xz: Se reemplaza y = 0 en la ecuación de la superficie.

III. SECCIONES TRANSVERSALES O PARALELAS A LOS PLANOS

COORDENADOS

Son las intersecciones de la superficie con planos paralelos a los planos

coordenados.

i. Sección Paralela al Plano xy: Se reemplaza z = k en la ecuación de la

superficie.

ii. Sección Paralela al Plano yz: Se reemplaza x = k en la ecuación de la

superficie.

iii. Sección Paralela al Plano xz: Se reemplaza y = k en la ecuación de la

superficie.

IV. EXTENSION DE LA SUPERFICIE

Son los valores reales que toman las variables x , y , z en la ecuación. El paso

III facilita la determinación de la extensión.

V. SIMETRIAS

P y Q son simétricos con respecto a un plano si el plano es perpendicular

al segmento que los une en su punto medio.

Una superficie es simétrica con respecto al plano π si el simétrico de

cada punto de la superficie respecto al plano π es tambien un punto de la

superficie.

Una superficie es simétrica con respecto a una recta L si el simétrico de

cada punto respecto a la recta L es tambien un punto de la superficie.



Una superficie es simétrica con respecto a un punto C si el simétrico de

cada punto respecto al punto C es tambien un punto de la superficie.

a) Simetrias con respecto a los Planos Coordenados

Si P ( x , y , z ) es un punto del espacio entonces el simétrico de Pi. Con respecto al Plano xy: Es Q ( x , y , – z )

ii. Con respecto al Plano yz: Es Q ( – x , y , z )

iii. Con respecto al Plano xz: Es Q ( x , – y , z )

b) Simetrias con respecto a los Ejes Coordenados

Si P ( x , y , z ) es un punto del espacio entonces el simétrico de P

i.

Con respecto al Eje x: Es Q ( x , – y , – z )ii. Con respecto al Eje y: Es Q ( – x , y , – z )

iii. Con respecto al Eje z: Es Q ( – x , – y , z )

c) Simetrias con respecto al Origen

Si P ( x , y , z ) es un punto del espacio entonces el simétrico de P

respecto al origen es Q ( – x , – y , – z )

TABLA DE RESUMEN

Si la ecuación de la superficie no se altera al reemplazar

1. x = – x La superficie es simétrica con respecto al Plano yz.

2. y = – y La superficie es simétrica con respecto al Plano xz.

3. z = – z La superficie es simétrica con respecto al Plano xy.

4. y = – y z = – z La superficie es simétrica con respecto al Eje x.

5.

x = – x z = – z La superficie es simétrica con respecto al Eje y.

6. x = – x y = – y La superficie es simétrica con respecto al Eje z.

7. x = – x y = – y z = – z La superficie es simétrica con respecto al

origen.

VI. CONSTRUCCION DE LA SUPERFICIE

Con la ayuda de los pasos anteriores se construye la grafica de una superficie.



Ejemplo:

1. Discutir y graficar la ecuación x² + z² – 4y = 0

I.

Intersecciones con los Ejes Coordenadosi. Con el Eje x y = z = 0

x² + ( 0 )² – 4 ( 0 ) = 0

=> x = 0 ( 0 , 0 , 0 )

ii.

Con el Eje y x = z = 0

( 0 )² + ( 0 )² – 4y = 0

=> y = 0 ( 0 , 0 , 0 )iii. Con el Eje z x = y = 0

( 0 )² + z² – 4 ( 0 ) = 0

=> z = 0 ( 0 , 0 , 0 )

II. Trazas sobre los Planos Coordenados

i.

Con el Plano xy z = 0x² + ( 0 )² – 4y = 0

=> x² = 4y Ecuacion de una parabola

ii. Con el Plano yz x = 0

( 0 )² + z² – 4y = 0

=> z² = 4y Ecuacion de una parabola

iii.

Con el Plano xz y = 0x² + z² – 4 ( 0 ) = 0

=> x² + z² = 0 ( 0 , 0 , 0 ) El origen de coordenadas

III. Secciones Transversales

i.

Con el Plano xy z = k

x² + k² – 4y = 0=> x² – 4y = – k² k R familia de parabolas



ii. Con el Plano yz x = k

k² + z² – 4y = 0

=> z² – 4y = – k² k R familia de parabolas

iii.

Con el Plano xz y = kx² + z² – 4k = 0

=> x² + z² = 4k k ≥ 0

Si k = 0 se tiene el origen de coordenadas ( 0 , 0 , 0 )

Si k > 0 la sección transversal será una circunferencia

IV.

Extensiónz = k como k R => z R

x = k como k R => x R

y = k como k [ 0 , + ∞ > => y [ 0 , + ∞ >

V. Simetrias

i.

Con respecto al Plano xy z = – zx² + ( – z )² – 4y = 0

x² + z² – 4y = 0 No varia

Existe simetría con respecto al plano xy

ii. Con respecto al Plano xz y = – y

x² + z² – 4 ( – y ) = 0

x² + z² + 4y = 0 Varia No existe simetría con respecto al plano xz

iii. Con respecto al Plano yz x = – x

( – x )² + z² – 4y = 0

x² + z² – 4y = 0 No varia

Existe simetría con respecto al plano yz

iv.

Con el Eje x y = – y z = – zx² + ( – z )² – 4 ( – y ) = 0



x² + z² + 4y = 0 Varia

No existe simetría con el eje x

v. Con el Eje y x = – x z = – z

( – x )² + ( – z )² – 4y = 0x² + z² – 4y = 0 No varia

Existe simetría con el eje y

vi. Con el Eje z x = – x y = – y

( – x )² + z² – 4 ( – y ) = 0

x² + z² + 4y = 0 Varia

No existe simetría con el eje zvii. Con el Origen x = – x y = – y z = – z

( – x )² + ( – z )² – 4 ( – y ) = 0

x² + z² + 4y = 0 Varia

No existe simetría con el origen

VI.

Construccion de la Superficie

4yx2

4yz2

x

y

z

CIRCULAR EPARABOLOID



2. Discutir y graficar la ecuación 9x² – 4y² + 4z² = 36

I. Intersecciones con los Ejes Coordenados

i.

Con el Eje x y = z = 09x² – 4 ( 0 )² + 4 ( 0 )² = 36

9x² = 36

x² = 4

=> x = ± 2 ( ± 2 , 0 , 0 )

ii. Con el Eje y x = z = 0

9 ( 0 )² – 4y² + 4 ( 0 )² = 36 – 4y² = 36

y² = – 9

=> y ϕ No existe intersección con el eje y

iii. Con el Eje z x = y = 0

9 ( 0 )² – 4 ( 0 )² + 4z² = 36

4z² = 36z² = 9

=> z = ± 3 ( 0 , 0 , ± 3 )

II. Trazas sobre los Planos Coordenados

i. Con el Plano xy z = 0

9x² – 4y² + 4 ( 0 )² = 36=> 9x² – 4y² = 36 Ecuacion de una hiperbola

ii. Con el Plano yz x = 0

9 ( 0 )² – 4y² + 4z² = 36

=> 4z² – 4y² = 36 Ecuacion de una hiperbola

iii. Con el Plano xz y = 0

9x² – 4 ( 0 )² + 4z² = 36

=> 9x² + 4z² = 36 Ecuacion de una elipse



III. Secciones Transversales

i. Con el Plano xy z = k

9x² – 4y² + 4k² = 36

=> 9x² – 4y² = 36 – 4k² k RSi k R – { – 3 , 3 } familia de hipérbolas

Si k = ± 3 Rectas cruzadas

ii. Con el Plano yz x = k

9k² – 4y² + 4z² = 36

=> 4z² – 4y² = 36 – 9k² k R

Si k R – { – 2 , 2 } familia de hipérbolasSi k = ± 2 Rectas cruzadas

iii. Con el Plano xz y = k

9x² – 4k² + 4z² = 36

=> 9x² + 4z² = 36 + 4k² k R familia de elipses

IV.

Extensiónz = k como k R => z R

x = k como k R => x R

y = k como k R => y R

V. Simetrias

i.

Con respecto al Plano xy z = – z9x² – 4y² + 4 ( – z )² = 36

9x² – 4y² + 4z² = 36 No varia

Existe simetría con respecto al plano xy

ii. Con respecto al Plano xz y = – y

9x² – 4 ( – y )² + 4z² = 36

9x² – 4y² + 4z² = 36 No varia Existe simetría con respecto al plano xz



VI. Construccion de la Superficie

Con la ayuda de los pasos anteriores se construye la superficie

Ejercicios:

Discutir y trazar la grafica de las siguientes superficies

1. x² + y² – z² = 0 Cono circular

2. 9x² – 4y² – 4z² = 36 Hiperboloide circular de dos hojas

3. y² – x² = 2z Paraboloide hiperbólico

4. 4x² + y² + z² = 4 Elipsoide

5. x² + y² + z² = 4 Esfera

6. y² – x³ = 0 Cilindro

7. y² – x² y = 0

8. z = | y |

364y9x22

364y4z22

x

y

z

HOJA UNADE

ELIPTICO DEHIPERBOLOI

223

3

364z9x22



CILINDROS

DEFINICION: Un cilindro es una superficie generada por una recta que se mueve

a lo largo de una curva plana dada permaneciendo siempre paralela a una recta fijaque no esta en el plano de dicha curva. La recta que se mueve es llamada generatriz

del cilindro, la curva plana es llamada directriz del cilindro.

OBSERVACIONES

1. Un cilindro es llamado cilindro recto si su generatriz es perpendicular al plano

de la directriz.

2.

Un cilindro es llamado cilindro oblicuo si su generatriz no es perpendicular al

plano de la generatriz.

3. Si la directriz es una recta entonces el cilindro es un plano.

NOTA:

Considerando que la directriz es una curva contenido en uno de los planos

coordenados en el espacio R³, la grafica de una ecuación en dos de las tres

variables x , y , z es un cilindro cuya directriz es una curva que se encuentra en el

P

Generatriz

y

z

x Directriz

O



plano asociado con las dos variables que aparecen en la ecuación y cuya generatriz

son paralelas al eje coordenado asociado con la variable faltante es decir:

1. E ( x , y ) = 0 Representa a un cilindro

E ( x , y ) = 0 z = 0 Directriz del cilindroEje z generatriz del cilindro

2. E ( x , z ) = 0 Representa a un cilindro

E ( x , z ) = 0 y = 0 Directriz del cilindro

Eje y generatriz del cilindro

3. E ( y , z ) = 0 Representa a un cilindro

E ( y , z ) = 0 x = 0 Directriz del cilindro

Eje x generatriz del cilindro

Ejemplo:

1. Trazar la grafica de la superficie y² – 2y + 4 = z

y² – 2y + 1 – 1 + 4 = z

y² – 2y + 1 = z – 3

( y – 1 ) ² = z – 3 V ( y , z ) = ( 1 , 3 )

)3,1(

z

x

y

O



Ejercicios:

1. Trazar la grafica de la superficie

a) z = x ex

b)

y = cos x x [ 0 , 4π ] c) y = Ln x

d) y² = 4z

e) x² – y² = 1

f) 1x

2xy

2

SUPERFICIES CUADRICAS

Una Superficie Cuadrica o simplemente Cuadrica es la grafica de una ecuación de

segundo grado en las variables x , y , z.

Algunas superficies cilíndricas o superficies de revolución son ejemplo de

cuadricas. En esta sección se dara algunas formas estándar de las superficies

cuadricas cuyas ecuaciones están en su forma más simple.

Considerando que el lector está en condiciones de discutir la ecuación de una

superficie, nos limitaremos a describir algunas propiedades de estas superficies.

a) ELIPSOIDE

Su ecuación es de la forma:

1c

z

b

y

a

x

2

2

2

2

2

2

Donde a , b , c son números positivos.

x [ – a , a ]

y [ – b , b ]

z [ – c , c ]



Si a² = b² = c² => Es una esfera.

Si a² = b² (ó b² = c² , ó a² = c²) => Es un elipsoide de revolución o

esferoide.

Un esferoide cuyo tercer número es mayor que los dos números iguales, sellama esferoide alargado (La elipse que la genera gira alrededor de su eje

mayor).

Si el tercer número es menor que los números iguales, se llama esferoide

achatado (La elipse que la genera gira alrededor de su eje menor).

Las secciones transversales a los planos coordenados son elipses ocircunferencias. En los planos x = ± a , y = ± b , z = ± c se reducen a un

punto.

Esta superficie es simétrica con respecto a uno de los planos coordenados,

simétrica con respecto a cada uno de los ejes coordenados y simétrica con

respecto al origen.

y

z

x

C

1 b

y

a

x

2

2

2

2

1c

z

a

x

2

2

2

2

1c

z

b

y

2

2

2

2



A continuación se describe algunas propiedades de esta superficie.

x < – ∞ , + ∞ >

y < – ∞ , + ∞ >

z < – ∞ , + ∞ >

Si a² = b² es una superficie de revolución (hiperboloide circular de una hoja).

Si a² ≠ b² es la hiperboloide elíptico de una hoja.

Las secciones transversales al plano xy son elipses o circunferencias según si

a² ≠ b² ó a² = b². Las secciones transversales al plano xz ó al plano yz son

hipérbolas.

En los planos y = ± b , x = ± a son dos rectas que se cortan. Esta superficie es

simétrica con respecto a los ejes coordenados, a los planos coordenados y al

origen.

El centro de esta superficie es el origen de coordenadas. Si el centro es

C ( x0 , y0 , z0 ), su ecuación es de la forma.

1c

)zz(

b

)yy(

a

)xx(

2

20

2

20

2

20

c) HIPERBOLOIDE ELIPTICO (O CIRCULAR) DE DOS HOJAS


1c

z

b

y

a

x

2

2

2

2

2

2

( ó 1c

z

b

y

a

x

2

2

2

2

2

2

, 1c

z

b

y

a

x

2

2

2

2

2

2

)


En la siguiente figura se muestra la grafica de:

1c

z

b

y

a

x

2

2

2

2

2

2



En lo que sigue, se describe algunas propiedades de esta superficie.

x < – ∞ , + ∞ >

y < – ∞ , – b ] U [ b , + ∞ >

z < – ∞ , + ∞ >

Si a² = c² es una superficie de revolución (hiperboloide circular de dos hojas).

Si a² ≠ b² es un hiperboloide elíptico de dos hojas.

Las secciones transversales al plano xz son circunferencias o elipses según si

a² ≠ c² ó a² = c².

En los planos y = ± b son puntos. Esta superficie es simétrica con respecto a

los ejes coordenados, a los planos coordenados y al origen.

El centro de esta superficie es el origen de coordenadas. Si el centro es

C ( x0 , y0 , z0 ), su ecuación es de la forma.

1

c

)zz(

b

)yy(

a

)xx(

2

20

2

20

2

20

1a

x

b

y

2

2

2

2

1c

z

b

y

2

2

2

2

y

z

x

C



OBSERVACION:

Las tres superficies cuadricas (Elipsoide, Hiperboloide de una hoja y

Hiperboloide de dos hojas) tambien se denominan Cuadricas Centrales. En

general cualquier ecuación de la forma:

1c

)zz(

b

)yy(

a

)xx(

2

20

2

20

2

20

Donde a , b , c son positivos representa a una Cuadrica Central con centro en

C ( x0 , y0 , z0 ).

Si los tres signos son psositivos: Elipsoide.

Si dos signos son positivos y uno negativo: Hiperboloide de una hoja.

Si dos signos son negativos y uno positivo: Hiperboloide de dos hojas.

Si los tres signos son negativos: El conjunto es vacio.

d) PARABOLOIDE ELIPTICO (O CIRCULAR)


cz b

y

a

x

2

2

2

2

( ó byc

z

a

x

2

2

2

2

, axc

z

b

y

2

2

2

2

)

Donde a , b , c son números positivos y c ≠ 0.


cz b

y

a

x

2

2

2

2

, con c > 0, (Si c < 0 el paraboloide se extiende hacia la parte

negativa del eje z).

Las propiedades de esta superficie son:

x < – ∞ , + ∞ >

y < – ∞ , + ∞ >

z [ 0 , + ∞ > ( Si c < 0 , z < – ∞ , 0 ] )



Si a² = b² , es una superficie de revolución (paraboloide circular).

Si a² ≠ b² , es un paraboloide elíptico.

Las secciones transversales al plano xy son circunferencias o elipses según si

a² = b² ó a² ≠ b².

En el plano z = 0 es un punto. Esta superficie es simétrica con respecto al eje

z, al plano xz y al plano yz.

El vértice de esta superficie es el origen de coordenadas. Si el vértice esV ( x0 , y0 , z0 ), su ecuación es de la forma:

)zz(c b

)yy(

a

)xx(02

20

2

20

En los otros casos, la ecuación es de la forma:

)yy( bc

)zz(

a

)xx(02

20

2

20

ó )xx(ac

)zz(

b

)yy(02

20

2

20

cz

b

y2

2

cza

x2

2

y

z

x



e) PARABOLOIDE HIPERBOLICO


cz

a

x

b

y

2

2

2

2

( ó by

a

x

c

z

2

2

2

2

, ax

b

y

c

z

2

2

2

2

)

Donde a , b , c son números positivos y c ≠ 0.


cza

x

b

y

2

2

2

2

, con c > 0

Las propiedades de esta superficie son:

x < – ∞ , + ∞ >

y < – ∞ , + ∞ >

z < – ∞ , + ∞ >

Las secciones transversales al plano xy son hipérbolas (En el plano z = 0 son

dos rectas que se cortan). Las secciones tranversales al plano xz y al plano yz

son parábolas.

y

z

x

S



Esta superficie es simétrica con respecto al eje z, al plano xz y al plano yz. El

origen de coordenadas es el Punto Silla (de montar) de esta superficie. Si el

Punto Silla es S ( x0 , y0 , z0 ), su ecuación es de la forma:

)zz(ca

)xx( b

)yy(02

20

2

20


)yy( ba

)xx(

c

)zz(02

20

2

20

ó )xx(a

b

)yy(

c

)zz(02

20

2

20

f) CONO ELIPTICO (O CIRCULAR)


2

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x ( ó

2

2

2

2

2

2

b

y

c

z

a

x ,

2

2

2

2

2

2

a

x

b

y

c

z )



2

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x , con c > 0

Esta superficie tiene las siguientes propiedades

x < – ∞ , + ∞ >

y < – ∞ , + ∞ > z < – ∞ , + ∞ >

Si a² = b² es una superficie de revolución (cono circular).

Si a² ≠ b² es el cono elíptico.

Las secciones transversales al plano xy son circunferencias o elipses según si

a² = b² ó a² ≠ b². (En el plano z = 0 la traza es el origen de coordenadas). Las



secciones transversales al plano xz y al plano yz son hipérbolas (En los

planos y = 0 y x = 0 son dos rectas que se cortan).

Esta superficie es simétrica con respecto a los ejes coordenados, alos planoscoordenados y al origen.

El origen de coordenadas es el vértice de esta superficie. Si el vértice es

V ( x0 , y0 , z0 ), la ecuación es de la forma:

2

20

2

20

2

20

c

)zz(

b

)yy(

a

)xx(


2

20

2

20

2

20

b

)yy(

c

)zz(

a

)xx(

ó

2

20

2

20

2

20

a

)xx(

c

)zz(

b

)yy(

y

z

x



COORDENADAS CILINDRICAS Y ESFERICAS

Las coordenadas de uso frecuente en el espacio tridimensional a parte de las

rectangulares son las coordenadas cilíndricas y las coordenadas esféricas.

COORDENADAS CILINDRICAS

Si el punto P R 3 y ( x , y , z ) son sus coordenadas rectangulares se define las

coordenadas cilíndricas de P como la terna ( r , θ , z ) donde ( r , θ ) son las

coordenadas polares de la proyección ortogonal del punto P sobre el plano xy.

RELACION ENTRE LAS COORDENADAS CARTESIANAS Y

CILINDRICAS

Si ( x , y , z ) y ( r , θ , z ) son respectivamente las coordenadas cartesianas y

cilíndricas de un punto P R 3 entonces el cambio de coordenadas cilíndricas a

rectangulares esta dado por:

θcosrx

θsenry

zz

y

z

x

r

O

)θ,r(

z

)z,θ,r()z,y,x(P

θ



El cambio de coordenadas rectangulares a cilíndricas esta dado por:

222yxr

x

yθtan

zz

OBSERVACIONES

1.

Las coordenadas cilíndricas principales son r > 0 ; 0 ≤ θ ≤ 2π. 2. Las coordenadas cilíndricas del origen son ( 0 , θ , 0 ) para cualquier angulo θ.

3. La ecuación de un cilindro circular recto de radio “a” en coordenadas

cartesianas esta dado por x² + y² = a² transformado a coordenadas cilíndricas

se obtiene la ecuación r² = a² => r = a.

Ejercicios:1. Hallar las coordenadas cilíndricas para los puntos

( 4 , 2 , – 4 ) ; ( 1 , – 3 , 4 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) ; ( 2 , 0 , 2 )

2. Hallar las coordenadas rectangulares para el punto cuyas coordenadas

cilíndricas son ( 2 , arccos (3/5) , 0 ) R. ( 6/5 , 8/5 , 0 )

COORDENADAS ESFERICAS

Las coordenadas esféricas de un punto P R 3 se define como la terna ( ρ , θ , ϕ )

donde:

ρ: Representa la distancia del punto P al origen.

ϕ: Es la medida del ángulo que forma el segmentoOP con el rayo positivo del eje

z ( ϕ es llamado colatitud del punto P, π/2 – ϕ es llamado latitud del punto P ).



θ: Es la medida del ángulo que forma el rayo positivo del eje x y el segmentoOQ

donde Q es la proyección ortogonal de P sobre el plano xy.

RELACIONES ENTRE LAS COORDENADAS CARTESIANAS Y

ESFERICAS

Si ( x , y , z ) y ( ρ , θ , ϕ ) son respectivamente las coordenadas cartesianas y

esfericas de un punto P R 3 entonces el cambio de coordenadas esféricas a

rectangulares esta dado por:

θcos senρx

θsensenρy

cos ρz

El cambio de coordenadas rectangulares a esféricas esta dado por:

y

z

x

ρO

Q

),θ,ρ()z,y,x(P

θ

π/2

Calculo diferencial - Matemáticas II

Documents

Transcript of Calculo diferencial - Matemáticas II