Calculo diferencialintegralcapitulo1

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CÆlculo Diferencial e Integral Captulo 1 Introduªo Bibliografia: Geraldo `vila James Stewart

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Cálculo Diferencial e Integral

Capítulo � 1

IntroduçãoBibliografia: Geraldo Ávila

James Stewart

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1.1 Desigualdades A representação geométrica dos números reais

sugere que estes podem ser ordenados. Usando os símbolos usuais para maior

(>),maior ou igual (≥),menor (<),menor ou igual (≤), podemos ver, por exemplo, que se a, b R e a < b, então b − a > 0;

no eixo coordenado temos que a está àesquerda de b.

Para todo a, b R temos: ou a > b, ou a < b, ou a = b.

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1.2 Intervalos

Muitos subconjuntos de R são definidos através de desigualdades. Os mais importantes são os intervalos.

Sejam a, b R tais que a < b.

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1.2 Intervalos

Intervalo aberto de extremidades a e b, denotado por (a, b) é definido por:

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1.2 Intervalos

Intervalo fechado de extremidades a e b, denotado por [a, b] é definido por:

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1.2 Intervalos Intervalo semi-aberto e intervalo semi-

fechado, são denotados e definidos, respectivamente, por:

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1.2 Intervalos Os quatro intervalos assim definidos são ditos

limitados. Introduzindo os símbolos −∞ e +∞, os quais não são números reais, podemos definir os intervalos ilimitados:

Note que R = (−∞,+∞). Os intervalos aparecem de forma natural na resolução de inequações, pois, a solução é, em geral, dada por um intervalo ou uma reunião de intervalos.

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Desigualdades Lineares

Determinemos o conjunto-solução de:

a x + b ≥ 0 é equivalente a a x ≥ −b; logo:

Se a > 0, x ≥ −b/a; o conjunto-solução é

Se a < 0, x ≤ −b/a; o conjunto-solução é

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Desigualdades Quadráticas

Seja a x2 + b x + c = 0 a equação de segundo grau.

Denotemos por = b2 − 4 a c o discriminante da equação e , as raízes reais da equação ( ≤ ). O conjunto-solução S de uma desigualdade quadrática depende do sinal de a e de .

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Desigualdades Quadráticas Para > 0. Se a > 0, a desigualdade a x2+b x+c ≥ 0

tem conjunto-solução (−∞, ] U [,+∞) e a x2 + b x + c ≤ 0 tem conjunto-solução [, ] Se a < 0, a desigualdade a x2+b x+c ≥ 0

tem conjunto-solução [, ] e a x2 + b x + c ≤ 0 tem conjunto-solução (−∞, ] U [,+∞) .

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Para = 0. Se a > 0, a desigualdade a x2+b x+c ≥ 0 tem conjunto-solução R e a x2+b x+c ≤ 0 tem conjunto-solução {}. Se a < 0, a desigualdade

a x2+b x+c ≥ 0 tem conjunto-solução {} e a x2+b x+c ≤ 0 tem conjunto-solução R.

Desigualdades Quadráticas

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Para < 0. Se a > 0, a desigualdade a x2+b x+c ≥ 0 tem conjunto-solução R e a x2+b x+c ≤ 0 tem conjunto-solução 0. Se a < 0, a desigualdade

a x2+b x+c ≥ 0 tem conjunto-solução 0 e a x2+b x+c ≤ 0 tem conjunto-solução R.

Desigualdades Quadráticas

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Exemplo 1.1

[1] Ache a solução de: x3 < x. Fatorando

x3 − x = x (x + 1) (x − 1); então, x3 − x < 0 éequivalente a x (x + 1) (x − 1) < 0, da qual

obtemos x < −1 ou 0 < x < 1.

O conjunto-solução é:

S = (−∞,−1) U (0, 1).

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Exemplo 1.1 [2] Ache a solução de: (3 x − 2 / x + 2) ≥ 5. Note que a desigualdade não é equivalente a

3 x−2 ≥ 5 (x+2). Se x+2 > 0, isto é x > −2; então, 3 x−2 ≥ 5 (x+2),

donde obtemos x ≤ −6. Se x+2 < 0, isto é x < −2; então, 3 x−2 ≤ 5 (x+2),

donde obtemos x ≥ −6. Logo, o conjunto-solução é: S = [−6,−2).

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Exemplo 1.1 [3] Ache a solução de: Resolvemos (x + 2 / x − 1) − (x / x + 4) ≤ 0, que é

equivalente a (7 x + 8) / (x − 1) (x + 4) ≤ 0, da qual

obtemos −(8 / 7) ≤ x < 1 ou x < −4. Logo, o conjunto-solução é: S = (−∞,−4) U ( −8/7 , 1).

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1.3 Valor Absoluto O valor absoluto ou módulo de um número real a,

denotado por |a| é definido como o maior número do conjunto {a, −a}, ou equivalentemente:

|a| = {a se a ≥ 0} ou {−a se a < 0}. Observe que o valor absoluto de um número real

é sempre não negativo e possui as seguintes propriedades imediatas. Sejam a, b R; então:

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1. √a2 = |a|, para todo a R 2. |b| < a se, e somente se b (−a, a), a > 0 3. |a · b| = |a| · |b| 4. |b| ≥ a se, e somente se b ≥ a ou b ≤ −a, a > 0

5. |a/b| = |a| / |b|, se b 0 6. |a + b| ≤ |a| + |b|. 7. |y| < r, logo �r < y < r 8. |y| ≥ 1 , y ≤ -1 ou y ≥ 1

1.3 Valor Absoluto

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Exemplo 1.2 [1] Achar a solução de: |x2 − x + 1| > 1. Pelas propriedades anteriores, |x2−x+1| > 1 é

equivalente a: x2−x+1 > 1 ou x2−x+1 < −1. Se x2−x+1 > 1, então x (x−1) > 0 e x < 0 ou x > 1; se x2−x+1 < −1, então (x−1/2)2 + 7/4 < 0, o que é impossível. O conjunto-solução é: (−∞, 0) U (1,+∞).

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Exemplo 1.2 [2] Achar a solução de: |9 − 2 x| ≥ |4 x|. Pela propriedades anteriores, |9−2 x| ≥ |4 x| é

equivalente a: 9−2 x ≥ |4 x| ou 9−2 x ≤ −|4 x|; Se 9 − 2 x ≥ |4 x|, então 2 x − 9 ≤ 4 x ≤ 9 − 2 x;

logo, −9/2 ≤ x ≤ 3/2. Se 9−2 x ≤ −|4 x|, então 9−2 x ≤ 4 x ≤ 2 x−9, que

não possui solução. O conjunto-solução é: [−9/2,3/2].

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1.3.1 Distância Usando o valor absoluto podemos definir a

distância entre dois números reais. A distância entre os números reais a e b é|a − b|. Então |a| é a distância de a àorigem.

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Exemplo 1.3

[1] A distância entre os números e − é| - (−) | = 2 .

[2] A distância entre os números −5 e −2 é| − 5 − (−2) | = | − 3| = 3 e a distância entre os números 6 e −1 é |6 − (−1)| = 7.

[3] A distância entre os números −1/5 e 2/3 é: | −1/5 −2/3 | = | −13 / 15 | = 13/15.

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1.4 Plano de Coordenado Um par ordenado de números reais é uma dupla

de números reais (x, y), tais que (x, y) = (y, x) se, e somente se x = y. O elemento x do par ordenado é chamado primeira coordenada do par e y é chamado a segunda coordenada do par.

De forma análoga à representação geométrica dos números reais, podemos representar geometricamente os pares ordenados.

Para isto consideramos duas retas, que por conveniência impomos que se intersectem perpendicularmente.

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A reta horizontal é chamada eixo das abscissas ou eixo dos x e a reta vertical é chamada eixo das ordenadas ou eixo dos y.

A interseção das retas é chamada origem, à qual associamos o par (0, 0) e atribuímos sentidos a estas retas, que descrevem um plano, chamado plano coordenado. As quatros regiões determinadas no plano por estas retas são chamadas quadrantes.

A representação de um par ordenado como um ponto do plano ( e reciprocamente), é feita de forma análoga a do eixo coordenado.

1.4 Plano de Coordenado

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Por exemplo, os seguintes pontos: A = (1, 2), B = (−2, 1), C = (−2,−1), e

D = (1,−2), tem a seguinte representação no plano coordenado:

1.4 Plano de Coordenado

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Usando o teorema de Pitágoras podemos definir a distância entre dois pontos do plano coordenado. Sejam A = (x1, y1) e B = (x2, y2) pontos do plano. A distância d entre A e B é:

1.4 Plano de Coordenado

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A distância possui as seguintes propriedades imediatas.

Proposição 1.1. Sejam A, B e C pontos do plano, então:

1. d(A,B) ≥ 0 e d(A,B) = 0 se, e somente se A = B.

2. d(A,B) = d(B,A). 3. d(A,B) ≤ d(A,C) + d(C,B).

1.4 Plano de Coordenado

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Exemplo 1.4 [1] Calcule a distância entre os pontos A = (2,−3) e B = (−2, 1). Aplicando a fórmula:

d(A,B) = [(−2 − 2)2 + (1 − (−3))2 ]1/2

d(A,B) = (32)1/2

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[2] Determine o ponto Q, que divide na razão 3/4 o segmento de reta que liga os pontos (−4,−1) e (12, 11).

Sejam P = (−4,−1), R = (12, 11) os pontos dados, Q = (x, y) o ponto procurado e S = (x,−1), T = (12,−1) pontos auxiliares como no desenho:

Exemplo 1.4

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Os triângulos PQS e PRT são semelhantes; logo:

Por outro lado

Exemplo 1.4

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Exemplo 1.4

Aplicando a fórmula da distância, temosque:

d(P, S) = x + 4, d(Q, S) = y + 1 e

d(R, T) = 12.

Obtemos o sistema:

que tem como solução: x = y = 8;

logo Q = (8, 8).

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1.5 Equação da Reta 1.5.1 Equação Geral da Reta Sejam P1 = (x1, y1) e P2 = (x2, y2) dois pontos

distintos no plano: A equação da reta que passa pelos pontos P1 e

P2 é: a x + b y + c = 0 ; onde a = y1 − y2, b = x2 − x1 e c = x1y2 − x2y1. Se a = 0 a reta é horizontal; se b = 0 a reta é

vertical. O ponto P0 = (x0, y0) pertence à reta a x + b y + c = 0 se a x0 + b y0 + c = 0.

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1.5 Equação da Reta

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[1] Ache a equação da reta que passa pelos pontos P1 = (−1, 3) e P2 = (2,−4).

Neste caso: a = 3 + 4 = 7, b = 2 + 1 = 3 e

c = −2; logo, a equação é: 7 x + 3 y − 2 = 0.

Exemplo 1.5

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Exemplo 1.5

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Exemplo 1.5

[2] Determine k tal que o ponto P = (3, k) pertença à reta 3 x + 5 y − 12 = 0.

O ponto P = (3, k) pertence à reta

3 x + 5 y − 12 = 0 se, e somente se 3 · 3+ 5 · k − 12 = 0; logo, k = 3 / 5.

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Exemplo 1.5

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1.5.2 Equação Reduzida da Reta Se uma reta não é paralela ao eixo dos y,

então b 0. Fazendo: m = (y2 − y1) / (x2 − x1) e

n = (x2y 1 − x1 y2) / (x2 − x1) ,

obtemos a equação reduzida da reta:

y = m x + n.

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m é chamado coeficiente angular da reta e n coeficiente linear da reta.

É fácil ver que a equação da reta que passa pelo ponto P0 = (x0, y0) e tem coeficiente angular m é:

y − y0 = m (x − x0)

1.5.2 Equação Reduzida da Reta

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Exemplo 1.6

[1] Obtenha a equação reduzida da reta que passa pelos pontos P1 = (2, 1) e P2 = (6, 5).

Neste caso: m = 1 e fazemos P0 = P1 ou P0= P2; então, se x0 = 2 e y0 = 1, temos, y−x+1 = 0 ou y = x − 1.

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Exemplo 1.6

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[2] Escreva na forma reduzida a equação: 4 x + 2 y + 5 = 0.

A forma reduzida é do tipo y = mx + n; então,

y = −2 x − 5/2

Exemplo 1.6

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1.5.3 Paralelismo e Perpendicularismo de Retas Sejam y = m1 x + n1 e y = m2 x + n2 as equações

de duas retas. As retas são paralelas se, e somente se:

m1 = m2. As retas são perpendiculares se, e somente se: m1 · m2 = −1. Logo, as retas de equações a1 x + b1 y + c1 = 0 e

a2 x + b2 y + c2 = 0 são perpendiculares, se, e somente se: a1 a2 + b1 b2 = 0

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Exemplo 1.7 [1] Ache o valor de k tal que as retas: (a) y − [(2 + k) x / (2 − k)] = 1 e y − 3 x + [(k − 2) /

(k + 2)] = 0 sejam paralelas. (b) k y = x + k3 e y − 1 = 2 k2x sejam

perpendiculares. (a) As retas são paralelas se os coeficientes

angulares são iguais; logo, (2 + k) / (2 − k)= 3; donde k = 1.

(b) As retas são perpendiculares se: (1/ k) · (2 k2) = −1; donde k = −1/2.

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Exemplo 1.7

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[2] Determine a reta que passa pelo ponto de interseção das retas 2 x−3 y+7 = 0 e 5 x+y+9 = 0 e é perpendicular a 2 x − y + 1 = 0.

Primeiramente, determinemos o ponto de interseção das retas, resolvendo o sistema:

2 x − 3 y = −7 5 x + y = −9

Exemplo 1.7

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Obtemos o ponto (−2, 1). A reta que procuramos tem equação y = m2 x+b tal que m1·m2 = −1, onde m1 = 2 é o coeficiente angular da reta 2 x−y+1 = 0; logo, m2 = −1/2 e y = −x/2 + b.

Como a reta passa por (−2, 1), a reta procurada é x + 2 y = 0.

Exemplo 1.7

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Exemplo 1.7