Calculo diferencialintegralcapitulo1

download

of 47

Embed Size (px)

transcript

  • Clculo Diferencial e Integral

    Captulo 1

    IntroduoBibliografia: Geraldo vila

    James Stewart

    id176343 pdfMachine by Broadgun Software - a great PDF writer! - a great PDF creator! - http://www.pdfmachine.com http://www.broadgun.com

  • 1.1 Desigualdades A representao geomtrica dos nmeros reais

    sugere que estes podem ser ordenados. Usando os smbolos usuais para maior

    (>),maior ou igual (),menor ( 0;

    no eixo coordenado temos que a est esquerda de b.

    Para todo a, b R temos: ou a > b, ou a < b, ou a = b.

  • 1.2 Intervalos Muitos subconjuntos de R so definidos

    atravs de desigualdades. Os mais importantes so os intervalos.

    Sejam a, b R tais que a < b.

  • 1.2 Intervalos Intervalo aberto de extremidades a e b,

    denotado por (a, b) definido por:

  • 1.2 Intervalos Intervalo fechado de extremidades a e b,

    denotado por [a, b] definido por:

  • 1.2 Intervalos Intervalo semi-aberto e intervalo semi-

    fechado, so denotados e definidos, respectivamente, por:

  • 1.2 Intervalos Os quatro intervalos assim definidos so ditos

    limitados. Introduzindo os smbolos e +, os quais no so nmeros reais, podemos definir os intervalos ilimitados:

    Note que R = (,+). Os intervalos aparecem de forma natural na resoluo de inequaes, pois, a soluo , em geral, dada por um intervalo ou uma reunio de intervalos.

  • Desigualdades Lineares Determinemos o conjunto-soluo de:

    a x + b 0 equivalente a a x b; logo: Se a > 0, x b/a; o conjunto-soluo

    Se a < 0, x b/a; o conjunto-soluo

  • Desigualdades Quadrticas Seja a x2 + b x + c = 0 a equao de

    segundo grau. Denotemos por = b2 4 a c o

    discriminante da equao e , as razes reais da equao ( ). O conjunto-soluo S de uma desigualdade quadrtica depende do sinal de a e de .

  • Desigualdades Quadrticas Para > 0. Se a > 0, a desigualdade a x2+b x+c 0

    tem conjunto-soluo (, ] U [,+) e a x2 + b x + c 0 tem conjunto-soluo [, ] Se a < 0, a desigualdade a x2+b x+c 0

    tem conjunto-soluo [, ] e a x2 + b x + c 0 tem conjunto-soluo (, ] U [,+) .

  • Para = 0. Se a > 0, a desigualdade a x2+b x+c 0 tem conjunto-soluo R e a x2+b x+c 0 tem conjunto-soluo {}. Se a < 0, a desigualdade a x2+b x+c 0 tem conjunto-soluo {} e a x2+b x+c 0 tem conjunto-soluo R.

    Desigualdades Quadrticas

  • Para < 0. Se a > 0, a desigualdade a x2+b x+c 0 tem conjunto-soluo R e a x2+b x+c 0 tem conjunto-soluo 0. Se a < 0, a desigualdade a x2+b x+c 0 tem conjunto-soluo 0 e a x2+b x+c 0 tem conjunto-soluo R.

    Desigualdades Quadrticas

  • Exemplo 1.1 [1] Ache a soluo de: x3 < x. Fatorandox3 x = x (x + 1) (x 1); ento, x3 x < 0 equivalente a x (x + 1) (x 1) < 0, da qual obtemos x < 1 ou 0 < x < 1. O conjunto-soluo : S = (,1) U (0, 1).

  • Exemplo 1.1 [2] Ache a soluo de: (3 x 2 / x + 2) 5. Note que a desigualdade no equivalente a

    3 x2 5 (x+2). Se x+2 > 0, isto x > 2; ento, 3 x2 5 (x+2),

    donde obtemos x 6. Se x+2 < 0, isto x < 2; ento, 3 x2 5 (x+2),

    donde obtemos x 6. Logo, o conjunto-soluo : S = [6,2).

  • Exemplo 1.1 [3] Ache a soluo de: Resolvemos (x + 2 / x 1) (x / x + 4) 0, que

    equivalente a (7 x + 8) / (x 1) (x + 4) 0, da qual

    obtemos (8 / 7) x < 1 ou x < 4. Logo, o conjunto-soluo : S = (,4) U ( 8/7 , 1).

  • 1.3 Valor Absoluto O valor absoluto ou mdulo de um nmero real a,

    denotado por |a| definido como o maior nmero do conjunto {a, a}, ou equivalentemente:

    |a| = {a se a 0} ou {a se a < 0}. Observe que o valor absoluto de um nmero real

    sempre no negativo e possui as seguintes propriedades imediatas. Sejam a, b R; ento:

  • 1. a2 = |a|, para todo a R 2. |b| < a se, e somente se b (a, a), a > 0 3. |a b| = |a| |b| 4. |b| a se, e somente se b a ou b a, a > 0 5. |a/b| = |a| / |b|, se b 0 6. |a + b| |a| + |b|. 7. |y| < r, logo r < y < r 8. |y| 1 , y -1 ou y 1

    1.3 Valor Absoluto

  • Exemplo 1.2 [1] Achar a soluo de: |x2 x + 1| > 1. Pelas propriedades anteriores, |x2x+1| > 1

    equivalente a: x2x+1 > 1 ou x2x+1 < 1. Se x2x+1 > 1, ento x (x1) > 0 e x < 0 ou x > 1; se x2x+1 < 1, ento (x1/2)2 + 7/4 < 0, o que impossvel. O conjunto-soluo : (, 0) U (1,+).

  • Exemplo 1.2 [2] Achar a soluo de: |9 2 x| |4 x|. Pela propriedades anteriores, |92 x| |4 x|

    equivalente a: 92 x |4 x| ou 92 x |4 x|; Se 9 2 x |4 x|, ento 2 x 9 4 x 9 2 x;

    logo, 9/2 x 3/2. Se 92 x |4 x|, ento 92 x 4 x 2 x9, que

    no possui soluo. O conjunto-soluo : [9/2,3/2].

  • 1.3.1 Distncia Usando o valor absoluto podemos definir a

    distncia entre dois nmeros reais. A distncia entre os nmeros reais a e b |a b|. Ento |a| a distncia de a origem.

  • Exemplo 1.3 [1] A distncia entre os nmeros e

    | - () | = 2 . [2] A distncia entre os nmeros 5 e 2

    | 5 (2) | = | 3| = 3 e a distncia entre os nmeros 6 e 1 |6 (1)| = 7.

    [3] A distncia entre os nmeros 1/5 e 2/3 : | 1/5 2/3 | = | 13 / 15 | = 13/15.

  • 1.4 Plano de Coordenado Um par ordenado de nmeros reais uma dupla

    de nmeros reais (x, y), tais que (x, y) = (y, x) se, e somente se x = y. O elemento x do par ordenado chamado primeira coordenada do par e y chamado a segunda coordenada do par.

    De forma anloga representao geomtrica dos nmeros reais, podemos representar geometricamente os pares ordenados.

    Para isto consideramos duas retas, que por convenincia impomos que se intersectem perpendicularmente.

  • A reta horizontal chamada eixo das abscissas ou eixo dos x e a reta vertical chamada eixo das ordenadas ou eixo dos y.

    A interseo das retas chamada origem, qual associamos o par (0, 0) e atribumos sentidos a estas retas, que descrevem um plano, chamado plano coordenado. As quatros regies determinadas no plano por estas retas so chamadas quadrantes.

    A representao de um par ordenado como um ponto do plano ( e reciprocamente), feita de forma anloga a do eixo coordenado.

    1.4 Plano de Coordenado

  • Por exemplo, os seguintes pontos: A = (1, 2), B = (2, 1), C = (2,1), e

    D = (1,2), tem a seguinte representao no plano coordenado:

    1.4 Plano de Coordenado

  • Usando o teorema de Pitgoras podemos definir a distncia entre dois pontos do plano coordenado. Sejam A = (x1, y1) e B = (x2, y2) pontos do plano. A distncia d entre A e B :

    1.4 Plano de Coordenado

  • A distncia possui as seguintes propriedades imediatas.

    Proposio 1.1. Sejam A, B e C pontos do plano, ento:

    1. d(A,B) 0 e d(A,B) = 0 se, e somente se A = B.

    2. d(A,B) = d(B,A). 3. d(A,B) d(A,C) + d(C,B).

    1.4 Plano de Coordenado

  • Exemplo 1.4 [1] Calcule a distncia entre os pontos A = (2,3) e B = (2, 1). Aplicando a frmula: d(A,B) = [(2 2)2 + (1 (3))2 ]1/2 d(A,B) = (32)1/2

  • [2] Determine o ponto Q, que divide na razo 3/4 o segmento de reta que liga os pontos (4,1) e (12, 11).

    Sejam P = (4,1), R = (12, 11) os pontos dados, Q = (x, y) o ponto procurado e S = (x,1), T = (12,1) pontos auxiliares como no desenho:

    Exemplo 1.4

  • Os tringulos PQS e PRT so semelhantes; logo:

    Por outro lado

    Exemplo 1.4

  • Exemplo 1.4 Aplicando a frmula da distncia, temos

    que: d(P, S) = x + 4, d(Q, S) = y + 1 e d(R, T) = 12. Obtemos o sistema: que tem como soluo: x = y = 8; logo Q = (8, 8).

  • 1.5 Equao da Reta 1.5.1 Equao Geral da Reta Sejam P1 = (x1, y1) e P2 = (x2, y2) dois pontos

    distintos no plano: A equao da reta que passa pelos pontos P1 e

    P2 : a x + b y + c = 0 ; onde a = y1 y2, b = x2 x1 e c = x1y2 x2y1. Se a = 0 a reta horizontal; se b = 0 a reta

    vertical. O ponto P0 = (x0, y0) pertence reta a x + b y + c = 0 se a x0 + b y0 + c = 0.

  • 1.5 Equao da Reta

  • [1] Ache a equao da reta que passa pelos pontos P1 = (1, 3) e P2 = (2,4).

    Neste caso: a = 3 + 4 = 7, b = 2 + 1 = 3 e c = 2; logo, a equao : 7 x + 3 y 2 = 0.

    Exemplo 1.5

  • Exemplo 1.5

  • Exemplo 1.5 [2] Determine k tal que o ponto P = (3, k)

    pertena reta 3 x + 5 y 12 = 0. O ponto P = (3, k) pertence reta 3 x + 5 y 12 = 0 se, e somente se 3 3+ 5

    k 12 = 0; logo, k = 3 / 5.

  • Exemplo 1.5

  • 1.5.2 Equao Reduzida da Reta Se uma reta no paralela ao eixo dos y,

    ento b 0. Fazendo: m = (y2 y1) / (x2 x1) e n = (x2y 1 x1 y2) / (x2 x1) , obtemos a equao reduzida da reta: y = m x + n.

  • m chamado coeficiente angular da reta e n coeficiente linear da reta.

    fcil ver que a equao da reta que passa pelo ponto P0 = (x0, y0) e tem coeficiente angular m :

    y y0 = m (x x0)

    1.5.2 Equao Reduzida da Reta

  • Exemplo 1.6 [1] Obtenha a equao reduzida da reta

    que passa pelos pontos P1 = (2, 1) e P2 = (6, 5).

    Neste caso: m = 1 e fazemos P0 = P1 ou P0= P2; ento, se x0 = 2 e y0 = 1, temos, yx+1 = 0 ou y = x 1.

  • Exemplo 1.6

  • [2] Escreva na forma reduzida a equao: 4 x + 2 y + 5 = 0.

    A forma reduzida do tipo y = mx + n; ento,

    y = 2 x 5/2

    Exemplo 1.6

  • 1.5.3 Paralelismo e Perpendicularismo de Retas Sejam y = m1 x + n1 e y = m2 x + n2 as equaes

    de duas retas. As retas so paralelas se, e somente se:

    m1 = m2. As retas so perpendiculares se, e somente se: m1 m2 = 1. Logo, as retas de equaes a1 x + b1 y + c1 = 0 e

    a2 x + b2 y + c2 = 0 so perpen