Calculo Do Momento Fletor e Tensao Cisalhante

8/4/2019 Calculo Do Momento Fletor e Tensao Cisalhante

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Mecnica Geral Esforos Internos em Vigas

Diagramas de Fora Cisalhante eMomento Fletor

Prof. Ricardo R. Fragelli

Setembro, 2004


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Mecnica Geral Esforos Internos em VigasProf. Ricardo R. Fragelli

DIAGRAMAS DE FORA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR AULA TERICA

Ao analisar as foras atuantes nos elementos de uma trelia,verificamos, atravs do mtodo das sees, que as foras so axiais emtoda a barra.

Veja:

a

Corte a-a:

F FF FA A A B

aF F

A BA


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Nos elementos de uma estrutura qualquer, os pontos internos no estosempre submetidos somente a foras axiais.

Estudaremos a seguir os esforos internos em uma viga submetida acarregamentos no axiais.

Considere a viga seguinte:

a

AF2 F3

F4

aA BF1 F5


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Ao fazermos o corte a-a devemos adicionar as reaes que a parte daviga secionada realizava sobre a viga restante.

Em geral, a viga secionada resiste translao em x e y, alm deresistir a uma tendncia de rotao em relao ao eixo z (perpendicularao plano xy).

F1A A

F2 V

N

M

BAF3

F5

F4

MN

V

a

a

F1A BA

F2 F3

F5

F4


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As reaes N, V e M so explicadas a seguir:

N conhecida como fora normal ou axial e responsvel pela trao oucompresso do elemento;

V a fora cortante ou cisalhante, responsvel pela tendncia de corteda viga;

M conhecido como momento fletor e responsvel pela flexo da viga. Em geral, os esforos V e M so mais importantes no projeto de umaestrutura do que N. Basta imaginar uma rgua, voc conseguiriaquebr-la por trao? Para quebrar a rgua, basta entort-la. Nesse

caso, dizemos que a rgua quebrou devido ao momento fletor.


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Convenciona-se adotar os seguintes sentidos positivos para V e M.

(i) Fora cisalhante (V>0)

a

A

Anlise do lado esquerdo, V para cima

A V A

VAnlise do lado esquerdo, V para baixo

B

aA BA

Corte a-a:


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Convenciona-se adotar os seguintes sentidos positivos para V e M.

(ii) Momento fletor (M>0)

a

AAM

A BM

aA BA

Corte a-a:

Anlise do lado esquerdo, V para cima Anlise do lado esquerdo, V para baixo


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Como dito anteriormente, no projeto de uma viga, as forascisalhantes e momentos fletores so geralmente mais importantesque as foras axiais e, portanto, estes sero os objetos de nossoestudo.

No exemplo seguinte, vamos calcular os valores de V e M em pontos

especficos de uma viga. Em seguida, vamos introduzir o estudo docomportamento de V e M ao longo de uma viga.


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Exemplo 1) Calcule V e M nos pontos B e D.

a

A EB

10N

b

b

DC

5N 5N1,0m 1,0m 1,0m 1,0m

a


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5N

a

a

A EB10N

b

b

DC

1,0m 1,0m 1,0m 1,0m5N

A B V N

M5N

A DV

N

M5N

10NC

Corte a-a: Corte b-b:

Anlise de Equilbrio do corte a-a:

Fx=0 N=0

Fy=0

V=5N

MB=0M=5N.m


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5N

a

a

A EB10N

b

b

DC

1,0m 1,0m 1,0m 1,0m5N

A B V N

M5N

A DV

N

M5N

10NC

Corte a-a: Corte b-b:

Anlise de Equilbrio do corte b-b:

Fx=0 N=0

Fy=0

V=-5N

MD=0M=-5N.m


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Visto que o clculo de V e M fundamental para o projeto de vigas(e todo tipo de estrutura ou elemento que contenha carregamentotransversal), deve-se estudar o comportamento dessas variveis aolongo da viga.

Para realizar esse estudo, basta que se faa cortes para distncias

arbitrrias em toda a extenso da viga. Estas sees devem serestudadas em regies determinadas pelo surgimento ou trmino de umnovo carregamento (fora concentrada, carga distribuda ou momento

binrio).

conveniente fazer os grficos de V e M logo abaixo darepresentao grfica do problema (desenho da viga).


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Exemplo 2) Faa os diagramas de fora de cisalhamento e momentofletor da viga abaixo:

A C10N

B

5N2,0m 2,0m

5N

Existem duas regies de corte, uma entre os pontos A e B eoutra entre B e C. Teremos, portanto, duas funes para V(x) e

duas para M(x).


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Exemplo 2)

A

5N

C10N

B

5N2,0m 2,0m

Primeiro corte: (a-a) a

ax

A AV

N

M5N x


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Exemplo 2)

A AV

N

M5N x


* Vlido para (0


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Exemplo 2)

A

5N

C10NB

5N2,0m 2,0m

b

b

x

A BV

N

M5N

10NB

x

Segundo corte: (b-b)


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Exemplo 2)

A BV

NM

5N

10N

B

x


* Vlido para (2


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Exemplo 2)

Diagramas de V e M: AC

10N

B

5N 5N2,0m 2,0m

2.0 4.0

x [m]

V [N] M [N.m]5.0

10.0

4.0 x [m]2.0

-5.0


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Existe uma relao diferencial entre V(x) e M(x), vamos demonstr-la agora.

Considere uma seo de uma viga sujeita a um carregamentodistribudo w(x):

a

a

A BA b

b

B

w(x)

V(B)

N(B)

M(B)

N(A)

V(A)

M(A)

x


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Fazendo dois cortes em A e B, distanciados em x, podemos estudaro comportamento de V(x) e M(x) sob a ao do carregamentodistribudo w(x). Considerando x suficientemente pequeno, podemosconsiderar a variao do carregamento desprezvel.

a

a

A BA b

b

B

w(x)

V(B)

N(B)

M(B)

N(A)

V(A)

M(A)

x


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Fazendo o estudo de equilbrio da viga restante (lembrando que x to pequeno quanto se queira), seo entre A e B, temos que:

Anlise de Equilbrio:

Fx=0 N(x+x)=N(x)

Fy=0

V(x +

x)-V(x)=-w(x)

xMB=0M(x +x)-M(x)=V(x) xB V(x+x)

N(x+x)

M(x +x)x

w(x)

AN(x)

M(x)

Fazendo x 0, temos que

V(x) = -w(x) e M(x) = V(x)Por outro lado, integrando em relao a xentre A e x:

V(x) = V(A) - w(x) dxM(x) = M(A) + V(x) dx

x

A x

A

V(x)


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Exemplo 3) Faa os diagramas de fora de cisalhamento e momentofletor da viga abaixo:

20N/m

Ay

A B

By10m

Existe apenas uma regio de anlise, portanto, existe apenasuma funo para V(x) e uma para M(x).


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Exemplo 3)

20N/m

Ay

A B

By10m

Antes de encontrar as equaes para V(x) e M(x), devem ser calculadasas reaes Ay e By. Para isso, basta transformar a carga distribuda emuma fora concentrada aplicada no centride de rea do carregamento.

Neste caso, a figura um retngulo e, portanto, a fora resultante iguala sua rea, i.e., F=200N aplicada em x = 5m.


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Exemplo 3)

20N/m

100N 100N10m

A B

Sendo assim, como existe simetria no problema, Ay = By = 100N.


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Exemplo 3)

20N/m

100N 100N10m

Como w(x)=20, temos que:

V(x) = V(A) - w(x) dx V(x) = 100 - 20xM(x) = M(A) + V(x) dx M(x) = 100x - 10x2

x

A

xA

0

A B


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Exemplo 3)

Diagramas de V e M:

100

5.0 10.0

x [m]

V [N]

250

5.0 10.0 x [m]

M [N.m]

A B

20N/m

100N 100N

10m

M(x) = 100x - 10x2V(x) = 100 - 20x

-100

M i G l E f I t Vi


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Para complementar o estudo, no deixe de acessar as aulas

interativas em Flash.O contedo mostrado aqui suficiente para resolver os problemasreferentes a este assunto, contudo, depende do aluno no limitar oseu conhecimento a isto. Foram colocados textos e artigos mais

aprofundados no assunto, bem como possveis paradoxos e desafiosque sero discutidos no Frum. Para testar o seu potencial de

resoluo faa os exerccios da lista.

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Diagramas de Fora Cisalhante eMomento Fletor

Prof. Ricardo R. Fragelli(dvidas? [email protected])

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