Cálculo elétrico de linhas de transmissão -Notas de aula

CC© Carlos Kleber da Costa Arruda∗CEFET-RJ

13 de fevereiro de 2014

Sumário1 Introdução 2

2 Uma ideia sobre as grandezas envolvidas 3

3 Estudos em linhas de transmissão 3

4 Cálculo dos parâmetros elétricos - modelagem básica 4

5 Desempenho elétrico de uma linha de transmissão 16

6 Limites de transmissão 21

7 Modelo do quadripolo 23

8 Modelo de fluxo de potência 27

9 Compensação de linhas 28

10 Cálculo dos parâmetros elétricos - modelo detalhado 31

11 Estudo detalhado de um sistema de transmissão através dematriz Ybarra 37

12 Requisitos elétricos de projeto de linhas de transmissão 38

13 Comportamento não-linear em sistemas de transmissão 44∗carloskleber@gmail.com / http://sites.google.com/site/carloskleber/ - BY:© $\©

Permitido uso não comercial, citando o autor e fonte.

1

14 Considerações finais 45

A Tabela comparativa de parâmetros 46

B Cálculo dos parâmetros elétricos - modelo simplificado 47

C Tópicos avançados 47

1 Introdução

1.1 Sobre a apostilaEste material tem como objetivo subsidiar a disciplina de cálculo elétrico delinhas de transmissão, lecionada no CEFET-RJ. Para o assunto, existe umaliteratura muito vasta, incluindo artigos, normas, teses e dissertações. Partiu-se da ideia de resumir alguns conceitos, considerados básicos, deixando partesde maior profundidade para capítulos seguintes, formando assim uma “espiral”que retorna ao ponto inicial, de forma mais detalhada.

Devido a disciplina não abranger o cálculo mecânico, cuja interação com aparte elétrica é muito íntima, aborda-se somente alguns conceitos nesta parte,como flecha e ampacidade, ficando ao aluno consultar livros como [14], e aapostila da parte mecânica [3].

Procurou-se incluir referências adicionais, que apesar de estarem fora doescopo da graduação, são inspiração para pontos de partida para estudossubsequentes.

1.2 Nota sobre unidades de medida e convençõesTodas as unidades são no sistema métrico, exceto quando a unidade é referên-cia usual (como por exemplo a especificação de cabos usa-se MCM ou kcmil1),mas mesmo estas tendem a serem substituídas.

Em todas as fórmulas e equações supõe-se que as grandezas estejam semmúltiplos e submúltiplos, ou seja, recomenda-se atenção ao omitir mili, micro,quilo, mega; em várias tabelas, utiliza-se múltiplos e submúltiplos para deixaro texto mais legível, evitando as potências de 10.

O estudo de linhas de transmissão envolve as equações do eletromag-netismo, aonde aplica-se, no vácuo, as constantes de permissividade, ε0 =8, 8541878 · 10−12 F/m, e a permeabilidade magnética, µ0 = 4π 10−7 H/m.

1cmil: circular mil, área de um círculo com diâmetro de um milésimo de polegada, sendoMCM igual a 1000 circular mil. 1 MCM ∼= 0, 5 mm2.

2

2 Uma ideia sobre as grandezas envolvidasSomente vendo esta apostila, ou até em sala de aula, não temos noção dagrandeza que é uma linha de transmissão. Qual a capacidade de uma linhade 500 kV? Qual é a corrente típica de curto-circuito? Quanto pesa um cabo?A tabela 1 dá um ideia destes valores, obtida a partir de diversas fontes. Sãovalores médios, somente para uma ordem de grandeza.

Tabela 1: Ordem de grandeza em linhas de transmissão.Potênciatransmitida

230 kV: 200 MW345 kV: 500 MW500 kV: 1 GW750 kV: 2 GW

Comprimentos Vão típico: 300-500 mVão de travessia: 1000-2000 mLT “curta”: < 100 kmComprimento máximo sem subestação intermediária: 300 kmLinha de meia-onda: 2250 km

Altura de torre Linha de transmissão: 30-50 mVão de travessia: 100-300 m

Temperatura nocabo

Limite nominal: 70-90Limite de emergência: 100-130Limite para cabos especiais: 200

Distâncias deisolamento(eficaz,fase-neutro)

500 kV: 2 m500 kV (com considerações usuais de projeto): 5-8 m

Peso linear decabos

ACSR Linnet (336 MCM): 688 kg/kmACSR Rail (954 MCM): 1600 kg/kmACSR Thrasher (2312 MCM): 3760 kg/km

3 Estudos em linhas de transmissãoUma linha de transmissão é um elemento fundamental em um sistema depotência, ligando fontes de geração com cargas consumidoras.

O projeto de uma linha de transmissão inicia-se com a necessidade detransportar uma quantidade de energia entre dois pontos. Após estudar adistribuição de carga nas linhas existentes, observa-se o efeito de uma novalinha no sistema, chegando a um novo ponto de equilíbrio.

3.1 Transmitir?Pode-se abrir esta questão em alguns pronomes: o quê, quando, como, ondee quanto.

O quê transmitir a interligação entre centros de geração e consumo, quando

3

invevitavelmente a fonte de energia é interessante, mesmo com o custoda linha.

Quando transmitir a necessidade futura surgir, ou seja, projetando o cres-cimento do consumo e incluindo o tempo de construção, tanto das usinasquanto da própria linha.

Como transmitir a tecnologia a ser usada, definindo se a linha será em CAou CC, e os níveis de tensão.

Onde passa eventualmente existe a opção de quais centros de geração irãointerligar quais centros de carga (ex. Belo Monte liga com Sudeste ouNordeste) e definição do traçado da linha.

Quanto custa transmitir o custo está envolvido desde a primeira questão,dependendo ainda da economia e da política de comercialização (ex.ganho em escala na fabricação dos cabos, ou regras tarifárias).

Estima-se que esta energia obtida seja distribuída, ao longo da vida útilda linha, em um perfil de demanda, resultando na linha transmitindo umapotência média, com eventuais necessidades de sobrecarga. Para um estudomais didático, podemos assumir uma potência constante.

A distância entre os dois pontos está sujeita ao traçado da linha, aondeobserva-se desde a topografia até a viabilidade de aquisição dos terrenos. Adistância real pode variar não mais do que 10% de um traçado em linha reta.

Assumindo assim a potência e o comprimento da linha, chega-se aos cri-térios de escolha do tipo (CA ou CC) e nível de tensão.

4 Cálculo dos parâmetros elétricos - modelagembásica

Nesta parte será apresentado o modelo básico de linha de transmissão paraestudo em regime permanente. Assume-se que a linha é trifásica, fazendo-seuma aproximação monofásica, que de acordo com o sistema de componentessimétricas é aplicável para sistemas equilibrados ou não.

Inicialmente demonstra-se a relação de parâmetros entre fases, aonde exis-tem componentes próprias (que afetam somente a fase em questão) e compo-nentes mútuas (que afetam as fases vizinhas). Por reciprocidade, as compo-nentes mútuas são simétricas, ou seja, o efeito que a fase a causa na fase b éigual ao efeito da fase b na fase a.

Sabe-se pela teoria de circuitos que impedância e admitância são gran-dezas recíprocas. Por convenção em linhas de transmissão, nomeia-se como

4

Figura 1: Exemplo ilustrativo de seleção de nível de tensão, a partir de pre-missas de projeto conservadoras [12]

impedância a componente longitudinal por unidade de comprimento, sendoem geral um elemento RL em série2.

Nomeia-se como admitância a componente transversal (paralela ou shunt)por unidade de comprimento, sendo em geral um elemento RC em para-lelo, sendo a resistência R, representativa da corrente de fuga, desprezível3.Desta forma pode-se estimar a impedância e admitância total de uma linhamultiplicando-se diretamente seus respectivos valores pelo comprimento.

Da mesma forma que a impedância, a admitância é definida pelo númerocomplexo Y = G+ jB, sendo G a condutância e B a susceptância.

Na seção C.1 apresenta-se o desenvolvimento das equações de linhas detransmissão, também chamadas de equações do telegrafista.

Na prática aproxima-se o circuito ladder para elementos discretos, sendo omais simples o equivalente “pi” (uma impedância em série e duas admitânciasem paralelo nas extremidades).

2Em linhas CC, a indutância não se aplica em regime permanente, mas em estudostransitórios, como por exemplo na propagação de surtos, ele é determinante.

3Em linhas CC, pela falta da corrente pelo efeito capacitivo, a resistência shunt R torna-se novamente relevante, por exemplo, no cálculo de coordenação de isolamento.

5

4.1 ResistênciaA resistência, como tradicionalmente é ensinada, é determinada pela resisti-vidade do material, a seção transversal e o comprimento:

R = ρl

S(4.1)

sendo ρ a resistividade e a condutividade o seu inverso: σ = 1/ρ, l o compri-mento e S a seção transversal.

Em corrente alternada, o efeito pelicular distorce a resistência efetiva docabo: o efeito de repulsão das linhas de corrente provoca um subaproveita-mento da seção transversal do cabo. Este efeito é mais evidente em bitolasmaiores, pois ele não é proporcional ao diâmetro, logo sendo pouco percebidopor exemplo em instalações residenciais.

Os cabos usuais em CA são compostos por dois materiais, geralmenteum núcleo com fios mais resistente à tração e uma coroa com fios de boacondutividade, e ao mesmo tempo leve e econômico. Este conjunto aumentaa complexidade do estudo, por exemplo no cálculo mecânico, mas no cálculoda resistência possuirá baixa influência, pois o efeito pelicular irá posicionara corrente na região da coroa, evitando o material do núcleo.

Outro efeito importante é a variação da resistência pela temperatura. Emgeral a resistência em catálogos é tabelada para alguns valores típicos, como75, mas o valor exato depende da própria corrente, entre outros fatoresambientais.

Na seção 10.1 apresenta-se uma fórmula para o cálculo da impedância pró-pria, incluindo o efeito pelicular. O valor calculado será próximo aos valoresencontrados em catálogos4.

Observa-se que a maioria dos cabos é composta por fios entrelaçados, ha-vendo então lacunas no interior do cabo. Outra característica comum é apresença de dois materiais no mesmo cabo, como alumínio e aço. Estas eoutras características acrescentam uma complexidade no cálculo exato da re-sistência, particularmente ao se considerar os efeitos da temperatura.

Em geral as resistências são tabeladas, incluindo o efeito pelicular (“re-sistência CA”). Também é usual tabelar a resistência para algumas faixas detemperatura.

Para um cálculo iterativo, é prudente iniciar o cálculo da resistência comum valor de temperatura próximo do nominal, e após determinar a tempera-tura real do condutor, realizar a correção.

Para uma configuração de feixe de condutores, a resistência será divididapelo número de cabos em cada fase.

A tabela 2 exemplifica a resistividade dos materiais usados em linhas detransmissão, bem como outros parâmetros relevantes para o projeto.

4Existem ainda outros fatores que influenciam no cálculo da resistência, como por exem-

6

Tabela 2: Características físicas de alguns materiais.Condutivi-dade IACS

(%)

Resistivi-dade

(Ω·mm2/m)

Coeficiente devariação da

resistência (−1)

Massaespecífica(g/cm3)

Alumínio 1350 61,0 0,028264 0,00403 2,705Alumínio liga 6201 52,5 0,032840 0,00347 2,690Cobre duro comercial 97,0 0,017775 0,00381 8,89Cobre padrão IACS 100,0 0,017241 0,00393 8,89Aço - 0,17 - 7,9

Observa-se que apesar do cobre possuir uma condutividade mais favorável,sua massa e preço (da ordem de 4× mais caro) inviabilizam a aplicação emlinhas de transmissão.

4.1.1 Variação com a temperatura

Para o uso preciso da resistência, particularmente no cálculo das perdas, deve-se realizar a correção pela temperatura. Este cálculo pode se tornar compli-cado, considerando que a resistência irá influenciar a corrente, que por suavez irá ditar a temperatura do condutor, juntamente com outros fatores, alemdos cabos geralmente serem compostos por dois materiais.

Em geral os fabricantes fornecem os valores de resistência (CA ou CC)para alguns valores de temperatura. Atente em utilizar uma resistência parauma temperatura próxima às condições de operação.

A tabela 3 ilustra alguns valores de resistência CA e CC para alguns cabos.

Tabela 3: Exemplos de alguns cabos comerciaisTipo Denominação Bi-

tola(MCM)

Seçãotransversal

total(mm²)

Diâ-metro(mm)

ResistênciaCC

(Ω/km 20)

ResistênciaCA

(Ω/km 75)

ACSR Hawk 477 280,85 21,78 0,1196 0,1435ACSR Grosbeak 636 322,3 25,16 0,0896 0,1075ACSR Rail 954 526,8 29,59 0,0597 0,0733ACSR Bittern 1272 726,4 34,16 0,0448 0,0558ACSR Thrasher 2312 1235,2 45,78 0,0248 0,0327AAC Sagebrusch 2250 1139,5 43,9 0,0255 0,034AAAC 1000 506,7 29,2 0,0661 0,0802

4.2 IndutânciaA indutância é o efeito do campo magnético sobre um circuito, representadopor exemplo pela lei de Faraday. Pode-se ter indutância própria, quando

plo o efeito “transformador” do núcleo de aço e o comprimento adicional devido à helicoidaldos fios.

7

uma linha de corrente no condutor induz potencial em outra seção do própriocondutor, ou indutância mútua, quando uma corrente em um condutor externoinduz este potencial.

Assim como as cargas elétricas, todas as correntes que não sejam cons-tantes induzem potencial em qualquer elemento condutor, e se esse elementofechar um circuito, surge a corrente induzida. Logo, uma linha pode induzirem cercas metálicas, cabos aterrados, encanamentos, etc.

A indução também dependerá se os elementos estiverem paralelos, entãoa indução será mínima se os condutores estiverem perpendiculares.

4.2.1 Premissas

Uma consideração, geralmente pouco evidenciada, é sobre a corrente: paraque haja uma corrente elétrica em regime permanente, supõe-se que ela re-torna para a sua fonte de energia (ou “fecha” o somatório, no caso de váriasfontes, seguindo as Leis de Kirchhoff). Este retorno pode ser por um segundocondutor ou pelo solo, fechando um laço de corrente.

O entendimento de laço de corrente é fundamental para a validade da lei deAmpére, que nos fornecerá a propriedade da indutância do circuito. Então,não faz sentido pensar em um condutor singelo com uma corrente, pois aequação só fecha com uma corrente retornando em sentido contrário.

O cálculo da indutância em um condutor é dividido na sua parte internae na parte externa. Em ambos, parte-se da lei de Ampére.

Para a indutância interna, como primeira aproximação um condutor comuma seção circular, com raio r, aonde atravessa uma corrente I distribuídauniformemente, obtém-se um valor constante de 0, 5·10−7 H/m [19]. A parcelada indutância externa é relacionada ao raio e a altura, unindo as parcelas:

Lii =µ0

2π

(1

4+ ln

2h

r

)(4.2)

sendo Lii a indutância própria do condutor i, com a soma do fluxo magnéticointerno e externo, e a permeabilidade magnética do ar µ0 = 4π · 10−7 H/m.Usualmente a equação é manipulada da forma:

Lii =µ0

2π

(ln e

14 + ln

2h

r

)(4.3)

Lii =µ0

2πln

2h

r e14

(4.4)

Lii =µ0

2πln

2h

r′(4.5)

A variável r′ corresponde ao raio equivalente do condutor ao se considerar aparte interna do fluxo [19, p. 52], para um cabo de alumínio, a permeabilidade

8

é igual ao do ar, no qual µ = µ0, r′ = r e−1/4 ∼= 0, 7788r. Para cabos de aço oucom permeabilidade superior a µ0, r′ = r e−

µr4 , no qual µr a permeabilidade

relativa do condutor, µr = µ/µ0.O fluxo externo será influenciado pela permeabilidade do ar, igual a µ0.

4.3 Impedância mútuaA impedância mútua entre dois condutores é essencialmente a indutância,definida pelas distâncias e a característica magnética do ar (as propriedadesdo condutor influencia somente na indutância interna):

Lij =µ0

2πlnDij

dij(4.6)

sendo Dij a distância do condutor i a imagem do condutor j, e dij a distânciado condutor i para o condutor j.

O exemplo de um cabo Rail (∅29, 59 mm, composto essencialmentede alumínio, µ = µ0), a uma altura de 20 m, sua indutância própria será

Laa =µ0

2πln

2h

r′= 2 · 10−7 ln

2 · 200,02959/2 · 0, 7788

= 1, 6305 · 10−6 H/m

A indutância mútua entre dois cabos, dispostos na horizontal a umadistância de 8 m, será

Lab =µ0

2πlnDab

dab= 2 · 10−7 ln

√402 + 82

8= 1, 981 · 10−7 H/m

Dois cabos de alumínio, com 1 cm de raio, 30 m de altura e separados a10 m, possuem uma impedância mútua Zm. Calcule a variação percentualde Zm ao (a) aproximar os cabos para 5 m, (b) abaixar os cabos para10 m de altura.

A impedância mútua é proporcional às distâncias, mas não é depen-dente do raio: Zm ∝ ln

Dijdij

. Fazendo a conta somente com o logaritmo,na condição inicial Dij =

√102 + 602 = 60, 8, dij = 10, Zm ∝ 1, 8055.

Na condição (a), Zm(a) ∝ ln√52+602

5 = 2, 4884, um aumento de 1 −2,48841,8055 = 37, 8%.

Na condição (b), Zm(b) ∝ ln√102+202

10 = 0, 8047, uma redução de1− 0,8047

1,8055 = 55, 4%.

9

4.4 Distância média geométrica e raio médio geométricoChama-se DMG a distancia média geométria, que neste caso será aplicado àsdistâncias entre condutores. Quando trata-se de condutores de uma mesmafase, ou feixe de condutores, também é chamado de raio médio geométrico(RMG ou GMR), que neste caso irá representar um condutor equivalentepara aspectos de indutância e capacitância.

Para n condutores arrumados em posições genéricas, o RMG será igual a

RMG = n2

√√√√ n∏i=1

n∏j=1

dij = n2√

(d11 d12 · · · d1n)(d21 d22 . . . d2n) · · · (dn1 dn2 · · · dnn)

(4.7)sendo dii o raio do condutor i, com a correção da impedância interna, r′i, edij a distância entre os condutores i e j.

Para feixes regulares, ou seja, condutores formados em polígonos de ladod, o RMG do feixe será

RMG2 =√r′ d (4.8a)

RMG3 =3√r′ d2 (4.8b)

RMG4 = 1, 094√r′ d3 (4.8c)

no qual RMG2, RMG3 e RMG4 são os RMGs para feixes de 2, 3 e 4 condutoresem feixes regulares.

Lembrando que o efeito pelicular, representado por r′, só é incorporado naimpedância. Logo teremos um RMG para o cálculo da impedância e um RMGpara a admitância. Por exemplo, para um feixe de 4 condutores, teremos

RMGZ4 = 1, 094√r′ d3 (4.9a)

RMGY4 = 1, 094√r d3 (4.9b)

Definindo como M a matriz característica da geometria da linha:

L =µ

2πMZ (4.10)

sendo

MZii = ln2hir′i

(4.11a)

MZij = lnDij

dij(4.11b)

E a matriz impedância será

Z = R I + j ωL = R I + j ωµ

2πMZ (4.12)

10

abrindo os termos das matrizes:

Z =

R 0 00 R 00 0 R

+ j ωµ

2π

ln 2har′a

ln Dabdab

ln Dacdac

ln Dbadba

ln 2hbr′b

ln Dbcdbc

ln Dcadca

ln Dcbdcb

ln 2hcr′c

(4.13)

Sendo R a resistência de cada condutor, considerando iguais, e I a matrizidentidade (não haverá resistência mútua). Observar que, para feixes de con-dutores, dividir a resistência individual pelo número de condutores e trocarri por RMGi.

Seguindo como exemplo completo a linha de 500 kV “raquete”, cujoperfil é ilustrado na figura 2, este exemplo faremos o cálculo completo dosparâmetros, começando pela impedância conforme acabou de se mostrarneste capítulo.

A LT possui feixes de 4 cabos Rail, cujos parâmetros relevantes jáforam levantados no exemplos anteriores, com flecha de 16 m, e o feixeé um quadrado de 45,7 cm, correspondente ao padrão comercial de 18”.Os cabos pára-raios também estão ilustrados na figura, mas por ora nãoserão considerados.

A resistência do feixe (considerando temperatura de operação de 75)será 0,0733

4 = 0, 018325 Ω/km. Para a indutância, primeiramente calcula-se o RMG:

RMG = 1, 09 4

√(0, 02959

2· 0, 7788

)0, 4573 = 0, 1985 m

Utiliza-se também as altura médias dos cabos: a fase central está a 34−2·163 = 23, 33 m, e as fases laterais estão a 28− 2·16

3 = 17, 33 m.Calculando agora as parcelas geométricas referentes às indutâncias

próprias para cada fase, usando a convenção de (a,b,c) para enumerar asfases, sendo (b) a fase central:

Maa = ln2 · 17, 33

0, 1985= 5, 16277

Mbb = ln2 · 23, 33

0, 1985= 5, 46002

Mcc = Maa

11

fazendo agora as parcelas referentes às indutâncias mútuas,

Mab = ln

√52 + (23, 33 + 17, 33)2√52 + (23, 33− 17, 33)2

= 1, 65731

Mbc = Mab

Mac = ln

√(2 · 5)2 + (2 · 17, 33)2

2 · 5= 1, 28298

Podendo ser diretamente inseridos em um programa, pro-vendo um vetor de coordenadas x e h, implementa-se na formadij = sqrt[(xi − xj)

2 + (hi + hj)2], Dij = sqrt[(xi − xj)

2 + (hi − hj)2] e

Mij = log[Dij/dij], lembrando da convenção da função log[x] em geralser o logaritmo natural, ln(x).

A matriz M será então

M =

5, 1627716 1, 6573122 1, 28298041, 6573122 5, 4600231 1, 65731221, 2829804 1, 6573122 5, 1627716

obtém-se a matriz indutãncia L multiplicando M por µ0

2π , e na sequênciaa matriz Z multiplicando L por j ω e somando a matriz R, que é umamatriz diagonal com as resistências dos feixes. Resumindo, tem-se:

Z =R + j ωµ0

2πM

=

0, 018325 + j0, 3892730 j0, 1249613 j0, 0967367j0, 1249613 0, 018325 + j0, 4116857 j0, 1249613j0, 0967367 j0, 1249613 0, 018325 + j0, 3892730

Ω/km

observando atentamente ao expressar ou calcular os valores em Ω/m ouΩ/km.

4.5 Capacitância e admitância transversalA capacitância da linha também será definida a partir de sua geometria5.Partindo do exemplo teórico de um cabo singelo polarizado com um potencialV em relação ao solo, este cabo terá uma capacitância em função do seu raio

5Em [19, p. 72] desenvolve-se a teoria da capacitância em LTs, mas com a aproximaçãoem “unir” todas as fases em uma “distância média geométrica.”

12

34

28

5

4 × RAIL (Ø 29,59 mm)

0,457

Figura 2: Exemplo de perfil de LT.

e da sua altura:

C = 2π ε0

(ln

2h

r

)−1(4.14)

generalizando para uma linha com n condutores, desenvolve-se um relaçãogeométrica descrita por uma matriz MY, similar a MZ:

C = 2π ε0 MY−1 (4.15)

No qual ε0 a permissividade do ar, igual a 8, 85 · 10−12 F/m. Aqui não há“capacitância interna”, logo não há correção do raio dos condutores, comovisto na equação 4.5, mas o termo referente à mútua é rigorosamente igual:

MY ii = ln2hiri

(4.16a)

MY ij = lnDij

dij(4.16b)

A admitância é definida por:

Y = G + j ωC (4.17)

13

Desconsiderando a parcela de condutância, obtém-se a forma usual da admi-tância para linhas CA:

Y = j ωC (4.18)

Seguindo o exemplo anterior, para o cálculo da admitância, pode-seaproveitar parcialmente a matriz M, recalculando a diagonal conside-rando o raio real dos cabos. Primeiramente, o RMG:

RMG = 1, 09 4

√(0, 02959

2

)0, 4573 = 0, 2113 m

e os elementos próprios da matriz:

Maa = ln2 · 17, 33

0, 2113= 5, 10027

Mbb = ln2 · 23, 33

0, 2113= 5, 39752

Mcc = Maa

tem-se assim a matriz M e a sua inversa:

M =

5, 1002713 1, 6573122 1, 28298041, 6573122 5, 3975229 1, 65731221, 2829804 1, 6573122 5, 1002713

M−1 =

0, 224171 −0, 0572269 −0, 0377949−0, 0572269 0, 2204133 −0, 0572269−0, 0377949 −0, 0572269 0, 224171

obtendo-se a matriz de capacitância C multiplicando por 2π ε0, e a ad-mitância multiplicando por j ω, calculando diretamente:

Y = j ω 2π ε0 M−1

=

j4, 6994162 −j1, 1996776 −j0, 7923144−j1, 1996776 j4, 6206408 −j1, 1996776−j0, 7923144 −j1, 1996776 j4, 6994162

µS/km

Aqui novamente para evitar o uso de um expoente, no caso 10−9 [S/m],optou-se em expressar os valores utilizando múltiplos e submúltiplos dasunidades.

14

4.6 Efeito da transposiçãoPara obter um equilíbrio nos parâmetros da linha, as fases são trocadas deposição em alguns pontos da linha. Matematicamente, sera equivalente atrocar linhas nas matrizes Z e Y. Seja as matrizes Z(1), Z(2) e Z(3) referentesa três trechos:

Z(1) =

Zaa Zab ZacZba Zbb ZbcZca Zcb Zcc

(4.19)

Z(2) =

Zbb Zbc ZbaZcb Zcc ZcaZab Zac Zaa

(4.20)

Z(3) =

Zcc Zca ZcbZac Zaa ZabZbc Zba Zbb

(4.21)

Sendo uma transposição ideal (no caso de uma linha de circuito simples,dividida em três trechos de mesmo comprimento), pode-se supor um desem-penho equivalente da linha em uma matriz média

Z =1

3

(Z(1) + Z(2) + Z(3)

)=

1

3

Zaa + Zbb + Zcc Zab + Zbc + Zca Zac + Zba + ZcbZba + Zcb + Zac Zbb + Zcc + Zaa Zbc + Zca + ZabZca + Zab + Zbc Zcb + Zac + Zba Zcc + Zaa + Zbb

(4.22)

Podemos definir um termo de impedância própria, Zp = 13 (Zaa + Zbb + Zcc),

e considerando que temos uma simetria do tipo Zij = Zji, um termo de im-pedância mútua Zm = 1

3 (Zab + Zbc + Zca), a matriz de uma linha idealmentetransposta é igual a

Z =

Zp Zm ZmZm Zp ZmZm Zm Zp

(4.23)

Para a matriz admitância, segue-se a mesma metodologia:

Y =

Yp Ym YmYm Yp YmYm Ym Yp

(4.24)

sendo Yp = 13 (Yaa + Ybb + Ycc) e Ym = 1

3 (Yab + Ybc + Yca).

15

Continuando nosso exemplo, obtém-se:

Zp = 0, 018325 + j0, 3967439 Ω/km

Zm = j0, 115553 Ω/km

Yp = j4, 6731578 µS/km

Ym = −j1, 0638899 µS/km

5 Desempenho elétrico de uma linha de trans-missão

5.1 Representação em componentes simétricasO método de componentes simétricas é utilizado em sistemas trifásicos equi-librados ou desequilibrados, de forma a decompor o estudo em três circuitosmonofásicos, no qual seus equivalentes Thévenin podem ser combinados no es-tudo de regime permanente, faltas e defeitos em geral. Nesta seção apresenta-se como representar uma linha de transmissão neste sistema. Maiores detalhessobre esta metodologia podem ser encontrado, por exemplo, em [10, 19].

Para a transformação linear da matriz Z, dita em coordenadas de fase,para o sistema de coordenadas de modo, ou componentes simétricas, utiliza-sea matriz A, definida por

A =

1 1 11 a2 a1 a a2

(5.1)

no qual a = 1 120° e a2 = 1 −120°, obtem-se a matriz de impedâncias emcoordenadas de modo, Z012. Se as matrizes Z e Y corresponderem a umalinha de transmissão idealmente transposta, obtem-se as matrizes Z012 e Y012

somente com termos na diagonal:

Z012 = A−1 ZA =

Z0 0 00 Z1 00 0 Z2

=

Zp + 2Zm 0 00 Zp − Zm 00 0 Zp − Zm

(5.2)

16

Y012 = A−1 YA =

Y0 0 00 Y1 00 0 Y2

=

Ys + 2Ym 0 00 Ys − Ym 00 0 Ys − Ym

(5.3)

Para estudos de fluxo de potência em regime permanente, ou estudo defaltas simétricas, utiliza-se somente os parâmetros de sequência positiva:

Z1 = Zp − Zm (5.4a)Y1 = Yp − Ym (5.4b)

correspondentes ao elemento na posição (2,2) da matriz. Destes parâmetrosque se obtém a impedância característica Zc e a constante de propagação γ,vistos a seguir.

5.2 Impedância característicaA impedância característica6 é definida como o balanço entre os campos elé-trico e magnético da linha, no qual uma carga resistiva neste valor terá amaior eficiência de absorção de um pulso, também dito como “casamento deimpedância”. É um parâmetro em comum como outros tipos de linha detransmissão (em RF, microondas, coaxial ou microstrip, etc).

É calculada pelos parâmetros de sequência positiva Z1 e Y1, simplificadosaqui em diante como Z e Y :

Zc =

√Z

Y=

√R+ j ω L

j ω C(5.5)

Sendo aqui Z = R + j ω L e Y = j ω C os equivalentes monofásicos para umestudo em regime permanente7.

Usualmente representa-se somente a parte real de Zc, correspondendo en-tão a uma linha sem perdas. Porém, deve-se usar o cálculo preciso de Zc aose aplicar às fórmulas de linha longa, na seção 5.6.

Ao considerar a linha com perda desprezível (retirando R), a impedânciacaracterística será aproximadamente

Zc ∼=√L

C(5.6)

sendo assim um número real e, aproximadamente, independente da frequência.6Em inglês referenciado como surge impedance, ou impedância de surto.7Para estudos em componentes simétricas, pode-se deduzir os equivalentes para sequên-

cia negativa e zero, Zc2 e Zc0 respectivamente, que são aplicáveis em estudos de transitórios.

17

5.3 Constante de propagaçãoA constante de propagação demonstra a deformação da onda ao longo dalinha. É definida como

γ =√Y Z =

√(R+ j ω L)j ωC (5.7)

sendo sua unidade em m−1. A constante de propagação pode ser desmem-brada na forma γ = α+ j β, sendo α a constante de atenuação (em Neper/m)e β a constante de fase (em rad/m). Pode-se então obter o comprimento deonda da linha λ:

λ =2π

β(5.8)

Considerando a linha aproximadamente sem perdas, γ possuirá somente aconstante de fase β:

γ =√j ω L j ω C = j ω

√LC (5.9)

β = ω√LC (5.10)

e este parâmetro, para linhas aéreas, independente do nível de tensão, seráaproximadamente igual a 0,0013 rad/km. Para cabos, este valor pode variarentre 0,0046 a 0,0091 rad/km.

Outro parâmetro representativo da linha é o seu comprimento elétrico, ouângulo de linha:

θ = β l (5.11)

que indica a defasagem natural que ocorrerá na transmissão, mesmo que seconsidere a linha como sem perdas. Este fato é devido ao princípio de circuitodistribuído, ou que a energia transmitida possui velocidade finita de propa-gação. Por exemplo, uma linha aérea de 300 km terá um ângulo de 0,39 rad,ou 22,34°.

A velocidade de propagação na linha é calculada por v = λ f , e é muitoimportante no estudo de surtos rápidos (entre 100 kHz e 1 MHz). Observa-seque a velocidade de propagação é da ordem, mas nunca igual ou superior, avelocidade da luz no vácuo.

5.4 Potência característicaA potência característica Pc é a potência entregue pela linha para um cargaresistiva, com valor igual à impedância característica. Para linhas longas, éum critério adequado para estimar a capacidade de transmissão em geral. Édefinida por:

Pc =U20

Zc(5.12)

18

sendo U0 a tensão média de linha ao longo da LT, ou seja, consegue-se elevara capacidade de transmissão, mas sacrificando a confiabilidade e elevandoperdas corona.

Mantendo a consideração de linha sem perdas, a potência característicaserá um número real, ou seja, expresso em W. Mesmo para uma linha comperdas, é usual expressar somente a parte real.

Para nosso exemplo, para sequência positiva,

Z1 = 0, 018325 + j0, 2811908 Ω/km

Y1 = j5, 7370477 µS/km

e em seguida

Zc = 221, 506− j7, 2100622 Ω

γ = (0, 0413645 + j1, 2707934) · 10−6 Np/m

Quando a LT é calculada “sem perdas” (sem considerar a resistência),Zc será um número real e γ um número imaginário.

Considerando como uma LT de 500 kV, considerando somente a partereal de Zc, a potência característica será 1129 MW. Se “apertar” a tensãomédia para 525 kV, a potência eleva-se para 1244 MW.

5.5 Reativo transversal de linhaUm parâmetro relevante é o reativo capacitivo que uma linha possui, tambémchamado de line charging. Pode ser calculado aproximadamente multiplicandoa susceptância pelo quadrado da tensão de operação:

Qc = V 2Bc (5.13)

Sendo usualmente representado em Mvar/km.

Para nosso exemplo, sendo Bc = 5, 7370477 · 10−9 S/m, obtém-se1,4343 kvar/m, que equivale a 1,4343 Mvar/km.

Observe que esta premissa supõe que o perfil de tensão ao longo dalinha é constante, o que não é realista - observe por exemplo o efeito Fer-ranti, que eleva a tensão na extremidade em aberto, fora outras condiçõesoperacionais no qual o ponto de tensão mais elevada pode ser no meio dalinha!

19

5.6 Modelo de circuitoO equivalente monofásico (modelo π) será composto pela impedância Z1 emsérie e a admitância Y1 dividida em duas, em cada extremidade. Para linhascurtas (até 200 km), multiplica-se a impedância pelo comprimento da linha:

Ze = Z l (5.14)

Ye2 =Y l

2(5.15)

Acima de 200 km, o efeito da propagação torna-se mais evidente, necessi-tando realizar uma correção hiperbólica:

Ze = Zc sinh γ l (5.16)

Ye2 =1

Zctanh

γ l

2(5.17)

no qual Ye2 já é a metade da admitância da linha. Naturalmente pode-se usara formulação de linha longa direto para linhas curtas. Observa-se também queZc e γ devem ser os valores precisos, considerando as perdas, para obter-se osvalores corretos de Ze e Ye2.

Ze

Ye2 Ye2

I1

V1

I2

V2

Figura 3: Representação por equivalente pi, com as convenções de tensões ecorrentes.

Não confunda modelo de linha com a própria linha.O modelo de linha longo serve pra calcular linhas curtas e linhas lon-

gas, ou seja, existe uma mal interpretação que cada comprimento possuium modelo! Somente o modelo de linha curta que não se adequa a linhaslongas.

20

Os parâmetros Ze e Ye2 são os valores a serem usados para um estudo deredes em equivalente monofásico, utilizando por exemplo equivalente Thévenine matriz Ybarra.

Eventualmente, para diferenciar dentro de um mesmo problema, pode-se usar a convenção de letras minúsculas para parâmetros por unidade decomprimento (z em Ω/m, y em S/m) e letras maiúsculas para parâmetrostotais (Z em Ω e Y em S). Novamente, mesmo sendo números complexos,suprimiu-se o ponto (sendo correto Z).

Para o nosso exemplo, supondo uma linha de 300 km, obtém-se

Ze = 5, 2343219 + j82, 339206 ΩYe2 = 0, 6986822 + j871, 12182 µS

Se usarmos a consideração da LT sem perdas, as correção hiperbólicapode ser feita com maior facilidade:

Ze = 221, 5 sinh(j1, 2707936 · 10−6 · 300 · 103

)= 221, 5j sen (0, 381238) = j82, 415911 Ω

Ye2 =1

221, 5tanh

(j1, 2707936 · 10−6

300 · 103

2

)=

1

221, 5j tg (0, 190619) = j871, 13386 µS

6 Limites de transmissãoComo todo equipamento, uma linha tem limites operativos, que podem serconsiderados para regime permanente ou transitório. Por exemplo, para umasituação hipotética de curto-circuito, a linha pode suportar o dobro de correntenominal, ou no caso de um surto originado por uma descarga atmosférica, oisolamento tolera mais que o dobro de tensão nominal8.

Nesta apostila primeiramente será tratado os limites para condição nomi-nal. Uma relação conhecida por Curva de St. Clair é ilustrada na figura 4, o

8Na verdade neste caso trata-se as sobretensões pelo valor de crista (ou pico) e fase-neutro, em vez do valor eficaz (RMS) fase-fase, ou seja, uma diferença de

√2√3

21

que indica a capacidade de transmissão da linha igual a potência característica(SIL) para um comprimento de 300 milhas.

Figura 4: Curvas de St. Clair [18]

Os limites da linha que norteam este gráfico, são divididos em três critérios,cada um válido para um comprimento.

6.1 Limite térmicoO limite térmico é determinante para linhas curtas (até 40 km). Consisteem dois efeitos: o aumento da flecha nos cabos, reduzindo as distâncias desegurança com o solo ou outros objetos; e a degradação do metal. Em ambosos casos, os limites praticados podem ser encontrados na norma [1], e osestudos são tratados na apostila de cálculo mecânico [3] ou em livros como[14].

22

Vs = 1 pu

Srl

Vr

Figura 5: Exemplo sobre limite de transmissão.

6.2 Limite de regulação

6.3 Limite de estabilidade

7 Modelo do quadripoloUm quadripolo relaciona dois pares de grandezas elétricas, tensões e correntes,associados a dois bipolos, um de entrada e outro de saída. O quadripolo é umaalternativa aos modelos convencionais de circuitos, aonde pela aproximaçãoque duas grandezas são variantes, determina-se o outro par de grandezas.

O modelo de quadripolo de parâmetros generalizados, ou ABCD, relacionatensão e corrente de entrada, V1 e I1, com tensão e corrente de saída, V2 e I2,em um modelo monofásico, no qual as tensões aplicadas são as fase-neutro. Afigura 3 mostra a convenção de tensões e correntes. Usando a convenção dacorrente I1 entrando no quadripolo e a corrente I2 saindo:

V1 = AV2 +B I2 (7.1a)I1 = C V2 +D I2 (7.1b)[

V1I1

]= T

[V2I2

]=

[A BC D

] [V2I2

](7.2)

7.1 Modelo de linha curtaDesenvolvendo a relação entre entrada e saída, para linhas curtas, teremos

V1 =

(V2Y

2+ I2

)Z + V2 (7.3a)

V1 =

(Z Y

2+ 1

)V2 + Z I2 (7.3b)

I1 = V1Y

2+ V2

Y

2+ I2 (7.4a)

I1 = V2 Y

(1 +

Z Y

4

)+

(Z Y

2+ 1

)I2 (7.4b)

23

Comparando com as equações (7.1), temos como parâmetros

A =Z Y

2+ 1 (7.5a)

B = Z (7.5b)

C = Y

(1 +

Z Y

4

)(7.5c)

D = A (7.5d)

sendo a propriedade AD − BC = 1, representativa de um quadripolo simé-trico.

7.2 Modelo de linha longaPara linhas longas, desenvolve-se as equações a partir da teoria do eletromag-netismo [10, p. 211], chegando na forma:

V1 = V2 cosh(γ l) + I2 Zc sinh(γ l) (7.6a)

I1 = I2 cosh(γ l) +V2Zc

sinh(γ l) (7.6b)

sendo então os parâmetros do quadripolo:

A = cosh(γ l) (7.7a)B = Zc sinh(γ l) (7.7b)

C =1

Zcsinh(γ l) (7.7c)

D = A (7.7d)

sendo o modelo de linhas longas também é válido para o cálculo de linhascurtas.

Do modelo do quadripolo é que pode-se calcular o circuito π equivalente dalinha longa. Considerando o mesmo circuito da figura 3, a partir das equações(7.3), trocando Z por Ze e Y por Ye:

V1 =

(Ze Ye

2+ 1

)V2 + Ze I2 (7.8)

Obtemos aquiZe = Zc sinh(γ l) (7.9)

24

para a admitância

Ze Ye2

+ 1 = cosh(γ l) (7.10)

Ye Zc sinh(γ l)

2+ 1 = cosh(γ l) (7.11)

Ye2

=1

Zc

cosh(γ l)− 1

sinh(γ l)(7.12)

aproveitando-se de uma relação hiperbólica:

tanhx

2=

coshx− 1

sinhx(7.13)

chegamos à relação apresentada na equação (5.16):

Ye2

=1

Zctanh

γ l

2(7.14)

O modelo por quadripolo ABCD é apropriado quando se fornece a tensãoe a corrente no receptor (V2 e I2). Para uma potência aparente trifásicaS2 = S φ, pode se arbitrar uma tensão desejada U0 e calcular a corrente:

V2 =U0√

3(7.15a)

I2 =S2

U0

√3−φ (7.15b)

podendo por exemplo escolher U0 a tensão nominal da linha, sendo que noquadripolo a tensão deve ser fase-terra, e S2 = Pc, a potência característica.Outras opções são arbitrar uma condição de sobrecarga, curto-circuito (V2 =0) ou circuito aberto (I2 = 0).

Exemplo: seja o quadripolo representativo de uma linha de transmis-são, definido por

A = D = 0, 9672 0, 23°

B = 75, 15 83, 2° Ω

C = j8, 633 · 10−4 S

Calcule as perdas na linha para uma saída com 400 MW, 345 kV.Solução:

V2 =345√

3kV I2 = 669, 39 A

25

Fazendo a operação matricial, os valores em módulo são

V1 = 204, 98√

3 = 355, 04 kV I1 = 670, 55 A

A potência aparente será S1 = (412, 32 − j5, 48) MVA, subtraindo aspartes reais, ∆P = 12, 32 MW.

Algumas relações trigonométricas úteis:

sinh jβ = j senβcosh jβ = cosβ

tanh jβ = j tgβsinhα = −j sen jαcoshα = cos jα

tanhα = −j tg jαsinh(α+ jβ) = sinhα cosβ + j coshα senβcosh(α+ jβ) = coshα cosβ + j sinhα senβ

Lembrando sempre de considerar os valores em radianos.

7.3 Associação em cascataAtravés da teoria dos quadripolos, pode-se estudar a associação de linhas emcascata. Sendo dois quadripolos Q1 e Q2, a associação em série será igual aQ = Q1 ·Q2, ou:[

V1I1

]=

[A1 B1

C1 D1

]·[A2 B2

C2 D2

] [V2I2

]= (7.16)

=

[A1A2 +B1C2 A1B2 +B1D2

C1A2 +D1C2 C1B2 +D1D2

] [V2I2

]sendo que a ordem dos circuitos é relevante, logo a associação Q′ = Q2 ·Q1.De maneira geral, Q 6= Q′.

A associação em cascata pode ser usada para calcular o quadripolo equi-valente de uma LT com compensação.

Ex. seja uma linha com parâmetros por unidade de comprimento dez = j0, 34 Ω/km, y = j4, 8 µS/km, (a) calcule o quadripolo para umcomprimento de 600 km, obtendo os parâmetros de entrada para uma

26

saida de 750 kV, 2 GW, (b) divida a linha em dois quadripolos de 300 km,obtendo o quadripolo equivalente, verificando com a resposta em (a), (c)calcule os parâmetros no meio da linha a partir dos calculos em (b).

7.4 Associação em paraleloO quadripolo equivalente será dado por[

V1I1

]=

[A1B2+A2B1

B1+B2

B1B2

B1+B2

C1 + C2 + (A1−A2)(D2−D1)B1+B2

B2D1+B1D2

B1+B2

] [V2I2

](7.17)

Se tratar de duas linhas idênticas,[V1I1

]=

[A B

22C+ D

] [V2I2

](7.18)

8 Modelo de fluxo de potênciaPara um estudo mais apurado, seria necessário inserir o modelo da LT nocontexto de um sistema de transmissão, com barras geradoras e cargas, inte-ragindo entre si. De forma simplificada, pode-se arbitrar duas barras, aondeno modelo do quadripolo assume-se uma barra passiva, com tensão e correnteconhecidos. Outra forma prática de estudar é assumir duas barras ”fortes´´,com tensões definidas, calculando-se as correntes e potências.

Seja uma linha conectando duas barras com tensões definidas, V1 e V2,cujo módulos e ângulos não sejam alterados pela inserção da linha, a correnteentre as barras será determinada basicamente pela impedância longitudinal(usando tensão de fase), arbitrando o fluxo da barra 1 para 2:

I =V1 − V2Z√

3(8.1)

sendo esta corrente que determinará as perdas e parte do reativo. Outraparte significante do reativo estará na admitância, supondo esta concentradaem cada barra, obtém-se a corrente efetiva que entra ou sai de cada, I1 e I2:

I1 = I + IY 2 (8.2a)I2 = I − IY 2 (8.2b)

27

Exemplo: Calcule a potência transmitida e perdas em uma LT, 345 kV,impedância total de 6 + j50 Ω, as barras com tensões (fase-fase) V1 =345 0° kV e V2 = 320 −10° kV.

Solução: Lembrando em converter V1 e V2 para tensões fase-neutro, ouconvertendo direto na equação: I = V1−V2

Z√3

= 723, 32 −21, 4° A. Pode-secalcular a perda como ∆P = 3RI2 = 9, 4 MW.

A potência transmitida pode ser calculada por S2 = 3 V2 I∗ =

(392, 93 + j79, 30) MVA. (sendo esse reativo somente pela parte do Lda linha). Ou fazendo pela fórmula aproximada, P = |V1|·|V2|

X sen δ ∼=383, 4 MW.

9 Compensação de linhasA compensação de reativo em uma linha consiste em balançar a impedânciaou a admitância com capacitores em série ou reatores em paralelo, respecti-vamente. No ponto de vista elétrico, o efeito será de “encurtar” a linha.

Cada tipo de compensação é específica para uma condição da LT: a com-pensação série é específica para a condição de plena carga e a compensaçãoshunt para a linha em vazio. Fora destas condições, a compensação torna-seum excesso de reativo, mas o seu chaveamento raramente é apropriado.

A solução é o uso de elementos de compensação ativa, seja reatores oucapacitores chaveados por eletrônica, ou até elementos eletrônicos que contro-lam diretamente os reativos. Devido ao custo elevado destas soluções, pode-setambém utilizar configurações mistas de elementos passivos e ativos. Maioresdetalhes podem ser encontrados em [13, p. 627].

Para linhas muito longas, a compensação é distribuída ao longo da linha,criando-se subestações intermediárias.

9.1 Compensação sérieConsiste em reduzir a reatância longitudinal da linha utilizando-se capacitoressérie, reduzindo a impedância equivalente. O efeito será equivalente a umencurtamento elétrico, elevando a capacidade de transmissão.

Seja uma LT com uma impedância característica Zc no qual

Zc ∼=√L

C=

√Xl

Bc(9.1)

a compensação série será proporcional à reatância longitudinal, na forma

Xc = nsXl (9.2)

28

sendo ns o percentual de compensação série. Desenvolvendo, pode-se descre-ver a nova impedância característica na forma

Z ′c∼=√Xl −Xc

Bc= Zc

√1− ns (9.3)

juntamente com a constante de propagação

β′ ∼= β√

1− ns (9.4)

O uso de capacitores série deve ser feito cuidadosamente na proximidade deusinas, devido ao efeito de ressonância subsíncrona (ou SSR - subsynchronousressonance).

Vantagens e desvantagens:

• Aumenta a capacidade de transmissão

• Compensa a indutância da linha (XL −XC)

• Aproxima eletricamente as barras, aumentando a estabilidade

• Eleva a tensão de uma linha carregada

• Pode originar em ressonâncias sub-síncronas (SSR) com as máquinasgeradoras, em geral em máquinas térmicas.

• Origina sobretensões violentas, sendo necessário uma proteção específica(centelhadores, disjuntor de bypass, pára-raios)

• Equipamento pesado que encontra-se no potencial da linha, sendo ne-cessário uma estrutura grande de sustentação.

Um desenvolvimento da tecnologia é o TCSC (Tyristor controlled Series Ca-pacitor) no qual sua capacitância variável pode minimizar os problemas, prin-cipalmente de SSR.

Figura 6: Configuração de compensação série e TCSC

29

9.2 Compensação paralela (shunt)A compensação em geral é especificada em um percentual relativo à impedân-cia ou admitância da linha. Pode-se, a grosso modo, subtrair as reatânciasda linha com a da compensação para obter o equivalente. Na prática, os mó-dulos de compensação serão instalados nas extremidades da linha, dentro dassubestações.

9.3 Modelo de compensação por quadripolosUm módulo de compensação série/ paralelo também pode ser modelado comocircuito um como um quadripolo. Um capacitor série Cs teria como parâme-tros ABCD:

A = 1 (9.5a)

B =1

j ω Cs= −j nsXl (9.5b)

C = 0 (9.5c)D = 1 (9.5d)

Um reator shunt Lp seria

A = 1 (9.6a)B = 0 (9.6b)

C =1

j ω Lp= −j npBc (9.6c)

D = 1 (9.6d)

sendo np o percentual de compensação paralela.

Vendo como exemplo a figura 7, usando ambas as compensações, sendoQLT o quadripolo original da linha, Qc o quadripolo do capacitor série eQl o quadripolo do reator shunt, o quadripolo equivalente será

Q = Qc ·Ql ·QLT ·Ql ·Qc

respeitando-se a ordem dos elementos do circuito.

30

Ze = R + j Xl

Ye = j Bc

I1

V1

I2

V2

- j Xc - j Xc

- j Bl- j Bl

Figura 7: Representação por quadripolo de compensação série e paralelo emcada extremidade.

10 Cálculo dos parâmetros elétricos - modelodetalhado

Nesta seção apresenta-se um modelo que incorpora elementos adicionais, cujainfluência pode ser determinante em certas condições e estudos.

10.1 Modelo de impedância própria, considerando efeitopelicular

A premissa de corrente uniforme na equação 4.5 é uma aproximação usual,porém pouco usada na prática. Para incorporar o efeito pelicular no cálculoda impedância interna, é necessário resolver uma equação diferencial [15], cujoresultado é igual a

Zi =j ω µ

2π ρ

I0(ρ)

I1(ρ)(10.1)

ρ = r√−j ω σ µ (10.2)

sendo I0 e I1 as funções de Bessel de primeira e segunda espécie9, σ a condu-tividade do material, e µ a permeabilidade magnética. Esta fórmula é válidapara condutores de seção circular, e já fornece diretamente a resistência e areatância.

Para cabos compostos, pode-se desprezar o efeito do material do núcleo,considerando somente o material da coroa. Um cálculo mais preciso considerao condutor como um tubo, conforme descrito no anexo C.3. O valor real da

9Implementado no Matlab e Scilab como besseli(0,x) e besseli(1,x), respectiva-mente.

31

impedância própria será aproximadamente igual aos valores encontrados emtabela.

Para a correção da resistência pela temperatura, ajusta-se a condutivi-dade do material, sendo necessário conhecer o coeficiente de variação α (nãoconfundir com o coeficiente de dilatação):

σf = σ0[1 + α(θ0 − θ)] (10.3)

sendo σ0 a condutividade de referência e θ0 a temperatura no qual a condu-tividade inicial se refere.

O cálculo da matriz impedância será

Z =

Zia 0 00 Zib 00 0 Zic

+ j ωµ

2πM (10.4)

M =

ln 2hara

ln Dabdab

ln Dacdac

ln Dbadba

ln 2hbrb

ln Dbcdbc

ln Dcadca

ln Dcbdcb

ln 2hcrc

(10.5)

e não é mais necessário usar o raio corrigido r′, pois seu efeito está inclusonos elementos Zi, e a matriz M torna-se única para o cálculo da impedânciae da admitância.

Para uma linha com feixe de condutores, a matriz impedância será formadapor cada subcondutor. Por exemplo, uma linha trifásica com fases a, b e c,com cada feixe com n subcondutores:

Z =

Za11 Za12 Za1n Za1b1 · · · Za1c1 Za1cn

Za21 Za22 Za2n · · ·...

Zan1 Zan2 Zann

Zb1a1... Zb11 Zb1cn

.... . .

Zc1a1 Zc11Zcna1 · · · Zcnn

(10.6)

observa-se que é considerado o efeito entre cada subcondutor, individual-mente. Pode-se particionar a matriz pelas fases, sendo cada submatriz comn× n elementos10:

Z =

Zaa Zab ZacZba Zbb ZbcZca Zcb Zcc

(10.7)

no final queremos reduzir esta matriz para um equivalente por fase, 3× 3.10Não necessariamente cada fase tem que ter a mesma quantidade de subcondutores, por

este método pode-se ter qualquer possibilidade, só não é exposta uma forma “totalmentegenérica” porque seria “inovação em excesso”...

32

10.2 Efeito do soloAs equações 4.5 e seguintes assumem que o solo é “ideal”, ou seja possuicondutividade infinita ou resistividade zero, no qual desta forma comportarácomo um “espelho” no método das imagens.

Ao se considerar o solo com uma resistividade diferente de zero, e de fatopodemos ter valores de 10 a 10.000 Ω·m, o efeito do “espelho” será distorcido.Algumas teorias usuais são a aproximação de Pollaczek [16], Carson [4] e Deri[5], esta última conhecida como “profundidade complexa”: o efeito do soloé embutido nas equações existentes como um número complexo, ou seja, aparcela h será igual a:

h′ = h+ d (10.8)

d =1√

σ j ω µ=

√ρ

j ω µ(10.9)

sendo σ a condutividade do solo, ω a frequencia angular do sistema e µ apermeabilidade magnética, em geral próxima do vácuo (µ0 = 4π10−7 H/m).

Pensamento: na prática, os parâmetros do solo variam bastante, aolongo da linha, e até ao longo do tempo, mas sempre realizam-se estudoscom parâmetros “determinísticos”. Considere por exemplo uma transpo-sição, supostamente ideal, aonde um trecho passa por uma região comresistividade ρ1, o segundo trecho passa por uma resistividade ρ2... qualserá o efeito de se assumir um valor “fixo”?

Qual será o desvio nos cálculos ao se considerar um valor de resisti-vidade diferente? Não há um método prático para resolver isso, somenteum tratamento estatístico pode avaliar o erro.

O efeito do solo real é mais relevante no cálculo nos parâmetros de sequên-cia zero, afetando particularmente os estudos de faltas monofásicas, e seusmeios de mitigação (ex. religamento monopolar).

Este modelo não se aplica para o cálculo da admitância, pois o solo nãoafeta significativamente a capacitância da linha.

Ex.: para um solo de 100 Ω·, a distância complexa para 60 Hz será

d =1√

1/100j 2π 60 · 4π10−7= 324, 87− j324, 87 m

para um solo de 10 Ω·, d = 102, 73 − j102, 73 m. Para o solo de 10 Ω·,com uma frequência de 1 kHz, d = 25, 16− 25, 16 m.

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Calculando a indutância própria de um cabo, com 1 cm de raio e umaaltura média de 10 m, primeiro com o solo ideal:

L =µ0

2πln

2 · 10

0, 01= 1, 5202 · 10−6 H/m

com o solo de 100 Ω·:

L =µ0

2πln

2 · (10 + 324, 87− j324, 87)

0, 01= (2, 2887− j0, 1541) · 10−6 H/m

essa “indutância complexa” irá se converter em uma resistência adicional.Desprezando a resistência do cabo, obtém-se

ZL = j ω L = (0, 0581 + j0, 8629) · 10−3 Ω/m

com o solo de 10 Ω·

L =µ0

2πln

2 · (10 + 102, 73− j102, 73)

0, 01= (2, 0651− j0, 1478) · 10−6 H/m

essa diferença tende a se anular quando calcula-se a impedância de sequên-cia positiva (Zp − Zm), porém o efeito se amplia na sequência zero(Zp + 2Zm).

10.3 Efeito dos cabos para-raiosOs cabos para-raios protegem as fases ou polos contra descargas atmosféricasdiretas. Mas sua proximidade provoca uma interação eletromagnética. Emnosso modelo o cabo será uma “fase” adicional, acrescentando mais uma linhae uma coluna na matriz.

Neste ponto é determinante o tipo de ligação dos para-raios, que podemser aterrados ou isolados11. O para-raio aterrado terá potencial zero (Vg = 0)e terá corrente induzida, enquanto que isolado não haverá corrente (Ig = 0),mas terá potencial induzido. Cada ligação tem vantagens e desvantagens.Para qualquer opção, a matriz impedância será na forma, por exemplo comdois cabos pára-raios:

11Na verdade a isolação do para-raio é mínima, somente para não circular corrente emcondições normais, pois na incidência de uma descarga ele deve escoar para o solo

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vavbvcvg1vg2

=

zaa zab zac zag1 zag2zba zbb zbc zbg1 zbg2zca zcb zcc zcg1 zcg2zg1a zg1b zg1c zg1g1 zg1g2zg2a zg2b zg2c zg2g1 zg2g2

iaibicig1ig2

(10.10)

Para cabos para-raios continuamente aterrados, divide-se a matriz impe-dância (ou particionamento) em quatro partes [6, p. 4-15]:[

vu

vg

]=

[Zuu Zug

Zgu Zgg

] [iuig

](10.11)

no qual a matriz reduzida será

vu = Zred · iu (10.12)

Zred = Zuu − Zug · Zgg−1 · Zgu (10.13)

o mesmo método pode ser aplicado na matriz M antes de determinar a ad-mitância12:

MY =

[Muu Mug

Mgu Mgg

](10.14)

MYred = Muu −Mug ·Mgg−1 ·Mgu (10.15)

C = 2π ε0MY−1red (10.16)

Lembrando que os cabos para-raios geralmente são de aço, com valoresde permeabilidade relativa acima de 1. Não existe referências exatasquanto a permeabilidade deste tipo de aço, sendo aceitável considerarvalores entre 50 e 100 µ0.

Por exemplo, para µr = 100, o raio equivalente será

r′ = r e−1004 = 1, 3888 · 10−11 r

ou seja, bem diferente de 0,7788!

12Para a impedância deve-se aplicar a redução após somar a resistência, incluindo doscabos para-raios.

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Exemplo: uma LT com cabos Falcon (Rca = 0, 0448 Ω/km, 39,23 mm), 3 cabos por fase, espaçamento 80 cm, disposição em nabla,fase central a 15 m de altura média, fases laterais a 8 m de distância ho-rizontal do centro, 20 m de altura média, com 2 cabos guarda (EHS 3/8”,Rca = 4, 2324 Ω/km, 9,14 mm, µ = 100µ0) a 6 m de distância horizon-tal do centro, 35 m de altura média. Obtém-se como matriz impedânciaprimitiva:

Z =

0.01493 j0.10077 j0.07468 j0.09735 j0.07671+j0.33657

j0.10077 0.01493 j0.10077 j0.06638 j0.06638+j0.33657

j0.07468 j0.10077 0.01493 j0.07671 j0.09735+j0.33657

j0.09735 j0.06638 j0.07671 4.2324 j0.13406+j2.61155

j0.07671 j0.06638 j0.09735 j0.13406 4.2324+j2.61155

Ω/km

aplicando a equação 10.15, obtém-se (em Ω/km):

Zred =

0.0123768 + j0.3382288 −0.0019213 + j0.1020155 −0.0024816 + j0.0762942−0.0019213 + j0.1020155 0.0134680 + j0.3158326 −0.0019213 + j0.1020155−0.0024816 + j0.0762942 −0.0019213 + j0.1020155 0.0123768 + j0.3382288

observa-se agora a presença de parte real nas mútuas, devido ao retorno

pelo para-raios. Para programar em Maltab ou Scilab, o comando será:zred = z(1:3,1:3) + z(1:3,4:5)/z(4:5,4:5)*z(4:5,1:3)

10.4 Modelo de circuito duploPode-se modelar uma linha com dois (ou mais) circuitos unindo a fase de cadacircuito. Porém, o uso do RMG deixa de ter validade para distâncias muitolongas. Será necessário um tratamento matricial.

Seja uma linha de seis condutores genéricos, com uma relação entre tensãoe corrente por unidade de comprimento representada abaixo:

V1V2V3V4V5V6

=

z11 z12 z13 z14 z15 z16z21 z22 z23 z24 z25 z26z31 z32 z33 z34 z35 z36z41 z42 z43 z44 z45 z46z51 z52 z53 z54 z55 z56z61 z62 z63 z64 z65 z66

I1I2I3I4I5I6

(10.17)

Sendo agora esse sistema ligado como um circuito duplo, no qual Va =V1 = V4, Vb = V2 = V5 e Vc = V3 = V6. Por sua vez, as correntes serão

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somadas, Ia = I1 + I4, Ib = I2 + I5 e Ic = I3 + I6.Esse procedimento pode ser encontrado em [2, p. 108], podendo inclusive

ser usada para o cálculo preciso da impedância de feixe de condutores. Namesma referência [2, p. 137] estuda-se o desbalanço entre os circuitos, que podecausar por exemplo correntes circulantes. Um procedimento mais completo éabordado em [6].

Pensamento: para modelar uma linha hexafásica, pode-se partir daequação 10.17, assumindo os valores V1 a V6 fasores simétricos defasadosem 60°, e seguindo a mesma metodologia do capítulo 4. Como chegar aoequivalente monofásico?

10.5 Cálculo das componentes de sequência zeroComo visto nas equações 5.2 e 5.3, a impedância e a admitância de sequênciazero é muito influenciada pela componente mútua (Zm e Ym). Neste ponto amodelagem correta do solo será determinante, e a aproximação de solo idealdeixa de ser desprezível.

Da mesma forma que na sequência positiva, podemos deduzir uma im-pedância característica de sequência zero, Zc0 =

√Z0

Y0, que determinará a

propagação de componentes homopolares.Conforme é mostrado em estudos de fluxo de potência e componentes

simétricas, a componente de sequência zero é influente no cálculo de falhas decurto-circuito, especificamente em curto monofásico, sendo este o tipo maiscomum de ocorrência em linhas de transmissão.

Estudos recentes buscam otimizar a recuperação da linha frente a defeitosmonofásicos, realizando o religamento monopolar.

11 Estudo detalhado de um sistema de trans-missão através de matriz Ybarra

Nesta seção apresenta-se um sistema completo, composto por um tronco com2 LTs, suas respectivas compensações, e duas barras de um sistema fictício,representadas por seus equivalente Thevenín.

Será estudado o estado do sistema em três condições: fluxo com potêncianominal das LTs, o sistema em vazio, energizado por uma das barras, e oefeito de curto-circuito em uma das LTs.

Novamente será usado o exemplo da LT “raquete”, para um comprimentode 300 km e compensada em 50%, tanto série quanto paralelo.

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12 Requisitos elétricos de projeto de linhas detransmissão

Nesta seção serão listados os requisitos elétricos, a parte do cálculo dos pa-râmetros básicos, fundamentais para avaliar o desempenho ou segurança doprojeto. Basicamente os requisitos são relacionados ao desempenho e a segu-rança.

Entende-se como desempenho os aspectos que descreveram o efeito da linhasob diversas condições, como em regime permanente e em regime transitório,como ao manobrar uma chave ou ao incidir uma descarga atmosférica.

Os requisitos de segurança traduzem o efeito da linha no ambiente, empessoas ou outros seres vivos, na forma de radiação não-ionizante, ruído e atériscos de queda e poluição visual. Para estes efeitos, a distância é elementodeterminante, e o que vai estipular a faixa de passagem da linha, sendo parcelaimportante no custo final.

Sobre o critério elétrico, podemos também dividir os efeitos na origem:seja na tensão, como em linhas EHV, ou na corrente, mais evidente em linhasde distribuição.

12.1 Efeitos originados pela tensão12.1.1 Efeito corona

O efeito corona é a causa de diversos fenômenos presentes particularmente emlinhas de extra-alta tensão (345 kV e superior), mas pode ocorrer em níveisde tensão mais baixos, de acordo com a instalação.

O efeito coroa é uma descarga parcial que ocorre em um meio gasoso, napresença de um gradiente de campo elétrico intenso, geralmente presente emcondutores com pequeno raio de curvatura, mas no qual não provoca a dis-rupção completa do gás. A geometria do condutor provocará uma deformaçãono campo, tornando a descarga autossustentada e com a ionização confinadapróxima ao condutor.

Deste fenômeno origina-se principalmente perdas elétricas, interferênciaeletromagnética, e ruído audível. Outros aspectos são a geração de ozônio,degradação de materiais e surgimento de um brilho violeta.

12.1.2 Radio-interferência

O efeito corona produz ruído eletromagnético em uma ampla faixa de frequên-cia, que estende-se pelas ondas de rádio e de TV. Atualmente não existe con-senso (normatização atualizada) quanto aos limites a serem impostos, especi-ficamente quanto a medição da interferência. Isto deve-se aos equipamentos,que usualmente medem somente uma frequência, ex. 500 kHz ou 1 MHz, masa interferência nem sempre se concentra em um valor usual.

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12.1.3 Ruído audível

O efeito mais perceptível nas linhas de transmissão em condições normais é oruído acústico. O ruído de alta frequência assemelha-se a um som de “frita-deira”, característico do efeito corona em cabos e ferragens de linhas, enquantoque o ruído de 120 Hz, é mais grave, originado na vibração dos núcleos detransformadores, e eventualmente também nas linhas. Novamente, temos doisefeitos originados da tensão (corona) e da corrente (vibração magnética).

12.2 Campo elétricoA linha emitirá campo elétrico em toda a sua vizinhança, sendo proporcionala sua tensão. Este efeito é atenuado se as três fases (ou os dois polos) estaremmais próximas entre si, fazendo com que o campo elétrico distante de cada faseou polo se anule. Por razões óbvias há um limite prático na aproximação dasfases. Os cabos para-raios também interagem com o campo elétrico, podendoatenuá-lo como uma blindagem. Inclusive já se utiliza cabos aterrados abaixodas linhas para atenuar o campo elétrico em áreas críticas.

O efeito que o campo elétrico provoca em pessoas e objetos é a indu-ção de corrente por polarização. Este efeito é amplificado devido à distor-ção do campo provocada pela presença da pessoa, ou seja, o campo tende ase concentrar de 10 a 20 vezes na cabeça [7], comparado ao campo na au-sência de objetos. Portanto, o campo elétrico calculado ou medido (de 1 a10 kV/m) aparenta ser relativamente baixo, mas na prática ele eleva-se para20 a 200 kV/m.

Um experimento artístico (http://www.richardbox.com) demonstrou a in-dução em lâmpadas fluorescentes devido ao campo elétrico.

Adota-se no Brasil a orientação do ICNIRP [11], no qual limita a exposi-ção ocupacional (ou seja, por pessoal qualificado) em 10 kV/m a 50 Hz, ou8,33 kV/m a 60 Hz, e exposição do público em geral em 5 kV/m a 50 Hz, ou4,2 kV/m a 60 Hz.

12.2.1 Polarização e indução em cabos próximos

O campo elétrico também provoca polarização em objetos, incluindo circuitos,cercas e canalizações. Se os objetos estiverem isolados, a tensão induzidatende a se descarregar ao realizar o contato com o terra, que pode ser porexemplo uma pessoa abrindo uma cerca, ou uma manobra de manutenção emum gasoduto...

Pode-se simular o efeito da polarização em outros condutores (cabos telefô-nicos, linha de distribuição ou rede de dados, cercas e encanamentos) atravésde uma matriz: cada cabo paralelo entra como uma linha e uma coluna adi-cional na matriz impedância e admitância. Pode-se inclusive assumir umasimulação em alta frequência, supondo um sinal originado do efeito corona,induzindo interferência em uma rede de dados, entre outras possibilidades.

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12.2.2 Corrente iônica (CC)

Na presença de efeito corona, ocorre a geração de íons da mesma polaridadedo eletrodo, que serão repelidos. No caso da corrente alternada, a inversãode polaridade provoca uma atração destes íons no ciclo seguinte, porém emCC sempre haverá produção e repulsão de íons, preenchendo o ambiente emtorno do condutor.

A propagação dos íons no espaço é a corrente iônica, que provoca umaumento do campo elétrico no solo, aumentando ainda mais os efeitos sobreseres vivos.

Adicionalmente, os íons tendem a atrair partículas no ar, como poluição,provocando o acúmulo anormal, por exemplo, em cadeias de isoladores, motivopelo qual o isolamento em linhas de CC é um ponto crítico de projeto.

12.3 Efeitos originados pela corrente12.3.1 Ampacidade

A capacidade de corrente de um cabo depende simultaneamente de três fa-tores: resistência elétrica, temperatura máxima e flecha. O equilíbrio destestrês fatores indica a melhor aplicação do cabo.

A resistência elétrica traduz diretamente para perdas, logo em linhas lon-gas este fator será determinante. Eventualmente um cabo com maior resis-tência pode ser usado em trechos específicos, tais como uma travessia, aondea flecha será crítica.

A flecha do condutor é definida pela temperatura atual no condutor, ea tração mecânica no qual o cabo está solicitado. Atualmente estuda-se aelevação da tração de projeto, com o advento da monitoração on-line da linhapode-se acompanhar o desempenho.

A temperatura do cabo é influenciada pela corrente e radiação solar comoelementos de entrada de energia, e a dissipação por convecção natural, con-vecção forçada (vento) e radiação. O conjunto destes elementos produz umalcance estatistico da capacidade do cabo, que por sua vez influencia nos doisfatores anteriores.

Um aspecto mais complexo é o cálculo da ampacidade em condições tran-sitórias, como em curto-circuito. Nesta modelagem o cabo recebe um pulsode energia térmica, no qual sua dissipação é relativamente lenta, e o entendi-mento desta dinâmica é fundamental para condições de emergência.

12.3.2 Campo magnético

Adota-se no Brasil a orientação do ICNIRP, no qual limita a exposição ocu-pacional em 500 µT a 50 Hz, ou 420 µT a 60 Hz, e exposição do público emgeral em 100 µT a 50 Hz, ou 83 µT a 60 Hz.

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12.3.3 Indução

Da mesma forma que a polarização pelo campo elétrico, na seção 12.2, aindução magnética será provida pela indutância mútua entre circuitos. Nestecaso, a matriz impedância “expandida” (incorporando os condutores externos)é que determinará o efeito, ao contrário da polarização que é vista pela matrizadmitância.

12.4 Manutenção em linha vivaEm sistemas como do Brasil, com pouca tolerância à saída de linhas, é ne-cessária a prática de manutenção em linha viva. Para o projeto de linhas,não há uma metodologia definida, sendo necessário adotar a prática de cadaempresa.

12.5 Desempenho em sobretensõesO estudo de sobretensões pode ser realizado, por exemplo, com estudo depropagação de ondas. A noção básica é demonstrada na seção C.5.

Uma sobretensão é qualquer tensão transitória entre fase e terra, ou entrefases, cujo valor de pico seja superior ao valor da tensão máxima do sistema(Vm

√2√3para fase-terra, Vm

√2 entre fases)

12.6 Sobretensões transitórias de frente rápida (surtosatmosféricos)

Sobretensões originadas em linhas de transmissão, no qual ondas viajantespoderão chegar na subestação e danificar os equipamentos.

Ordem de 1 a 10 µs de tempo de frente, 50 a 100 µs de tempo de cauda.O tempo de norma é 1,2/ 50 µs.

Parâmetro significante em sistemas de tensão até 230 kV.

12.7 Sobretensões transitórias de frente lenta (surtos demanobra)

Parâmetro significante em sistemas de tensão acima de 230 kV.Ordem de 100 a 500 µs de tempo de frente, 1 a 5 ms de tempo de cauda.

O tempo de norma é 250/ 2500 µs.OrigensProcura-se estudar as sobretensões no terminal da origem do surto e no

terminal oposto, este segundo em geral apresentará a maior sobretensão.

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Figura 8: Sobretensões de energização devido a indutância da fonte e pelocomprimento da linha [9]

12.7.1 Energização de linha

Energização de uma linha em vazio, podendo conter uma carga no final ounão.

Surtos de 2,5 a 3 pu, podendo cair para 1,5 a 2,1 pu caso sejam utilizadosdisjuntores com resistores de pré-inserção, ou 1,5 a 1,7 pu com sincronizaçãode polos do disjuntor.

12.7.2 Religamento de linha

Energização de uma linha logo após o seu desligamento (em torno de 1 s), noqual a linha possa conter uma carga residual devido a sua capacitância. Asobretensão do religamento dependerá dá diferença entre as polaridades.

Surtos de 2,5 a 4 pu, podendo cair para 1,7 a 2,5 pu caso sejam utilizadosdisjuntores com resistores de pré-inserção, ou 1,2 a 1,7 pu com resistores deabertura, ou 1,3 a 1,6 pu com sincronização de polos do disjuntor.

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12.7.3 Ocorrência de falta

12.7.4 Chaveamento de corrente capacitiva

• Queda de linha

– Chaveamento de banco de capacitores (energização 1,5 a 3 pu, re-ligamento 2 a 3,5 pu)

12.7.5 Chaveamento de corrente indutiva

Corrente de magnetização de transformador: a característica não-linear dotransformador pode levar a sobretensões indesejáveis.

O laço de histerese apresenta um “joelho” no qual abaixo deste valor é oestado operativo normal do transformador, de forma aproximadamente linear.Para valores acima deste ponto de joelho, a corrente de excitação aumentabruscamente para um aumento gradual de fluxo magnético. Esta corrente deexcitação transitória é conhecida como corrente de inrush.

Nos primeiro ciclos após a energização, a corrente de inrush possui picosmuito superiores à corrente nominal. O valor inicial da corrente dependebasicamente do ponto de onda de tensão no qual ocorreu a energização e dofluxo residual no núcleo. Com um fluxo residual de 1 pu, o fluxo máximopode chegar a três vezes o fluxo nominal.

Chaveamento de reatores (1 a 1,5 pu)

12.7.6 Chaveamentos especiais

• Capacitores em série

– Circuitos ressonantes e ferroressonantes– Chaveamento secundário

12.8 AterramentoO aterramento das torres de uma linha de transmissão é vital para a segu-rança de pessoal e de operação, em condições nominais e particularmente napresença de faltas e surtos, aonde correntes descendentes podem produzir ele-vação de potencial nas redondezas. Esta elevação (em inglês, ground potentialrise - GPR) é representado por três valores: tensão de toque, tensão de passsoe tensão de transferência.

Normalmente o aterramento na torre é realizado por cabos nus enterradoshorizontalmente, chamados de cabos contrapeso. Estes cabos devem asseguraruma resistência de aterramento mínima (da ordem de 5Ω) para toda a vidaútil da linha.

As dificuldades inerentes no projeto e implantação do aterramento são amedição dos parâmetros do solo, basicamente resistividade, que pode variar

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de 10 a 10.000Ωm, e sendo o solo heterogêneo esses valores variam bastanteao longo do trajeto, e ainda ao longo do ano. Outro aspecto é a corrosão doaterramento e da própria torre, que irá degradar a resistência.

13 Comportamento não-linear em sistemas detransmissão

Até então apresentou-se modelos relacionados a linhas de transmissão aonde,quase todos, tratam de circuitos lineares. Infelizmente ao longo da vida útil dainstalação, diversos fenômenos não-lineares ocorrem, alguns sendo possíveisde serem tratados de forma linearizada, outros nem tanto. Lista-se algunsexemplos:

• Núcleo saturado de transformadores e reatores,

• Efeito corona,

• Efeito pelicular,

• Arco de potência na falta,

• Arco de potência na abertura de disjuntor,

• Descargas atmosféricas.

Considerando ainda as linhas CC, existe ainda as interações com os cir-cuitos eletrônicos, além de alguns fenômenos acima terem uma caracterizaçãobem diferente (ex. efeito corona).

Cabe ressaltar algumas premissas adotadas anteriormente que não serãoválidas:

• A consideração de linha idealmente transposta, por exemplo, o efeitode uma falta ocorrendo em um trecho de transposição, tornando o pro-blema “assimétrico”, e provocando interaçoes entre as componentes desequencia;

• O efeito do solo, considerando a maioria dos fenômenos com retorno pelosolo, pois a componente de sequência zero possui desvio considerável aomodelar o solo real;

• A variação de alguns valores, como a resistividade do solo, ou o risco defalha no isolamento com sobretensões, impondo um tratamento estatís-tico nos cálculos.

Não se pretende nesta seção explicar a totalidade destes problemas, ficandocomo inspiração para trabalhos futuros.

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14 Considerações finaisEsta apostila apresenta um resumo muito breve do assunto, que possui as-pectos muito relevantes tanto para prática quanto para pesquisa e desenvolvi-mento. Fica como sugestão um artigo [17] que aborda de forma geral mas comalguns detalhes que, apesar da aparente complexidade, inspira curiosidade. Olivro [6] também é uma fonte importante, aonde descreve com profundidadevários aspectos de simulação de LTs.

Referências[1] ABNT. NBR 5422/85 – projeto de linhas aéreas de transmissão de

energia elétrica, 1985.

[2] Anderson, P. M., and Anderson, P. Analysis of faulted power sys-tems. IEEE press New York, 1995.

[3] Arruda, C. Cálculo mecânico de linhas de transmissão - notas de aula,2013.

[4] Carson, J. R., et al. Wave propagation in overhead wires with groundreturn. Bell system technical journal 5, 539-554 (1926).

[5] Deri, A., Tevan, G., Semlyen, A., and Castanheira, A. Thecomplex ground return plane a simplified model for homogeneous andmulti-layer earth return. Power Apparatus and Systems, IEEE Transac-tions on, 8 (1981), 3686–3693.

[6] Dommel, H. W. EMTP Theory Book. Microtran Co., 1995.

[7] EPRI. EPRI AC transmission line reference book: 200 kV and above,3rd ed. Electric Power Research Institute, Palo Alto, CA, EUA, 2005.

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[9] Furnas/ UFF, Ed. Transitórios Elétricos e Coordenação de Isolamento- Aplicação em Sistemas Elétricos de Alta Tensão. Furnas Centrais Elé-tricas, 1987.

[10] Grainger, J., and Stevenson, W. Power systems analysis. McGraw-Hill, 1994.

[11] ICNIRP. Guidelines for limiting exposure to time-varying electric, mag-netic, and electromagnetic fields (up to 300 GHz). Health Physics 74, 4(1998), 494–522.

45

[12] Kiessling, F., Nefzger, P., Nolasco, J., and Kaintzyk, U.Overhead power lines: planning, design, construction. Springer, 2003.

[13] Kundur, P. Power system stability and control. Tata McGraw-HillEducation, 1994.

[14] Labegalini, P. R., Labegalini, J. A., Fuchs, R. D., and Almeida,M. T. Projetos mecânicos das linhas aéreas de transmissão. EdgardBlucher, 1982.

[15] Lima, A. C. S. Campos & ondas - notas de aula, 2012.

[16] Pollaczek, F. Uber das feld einer unendlich langen wechselstromdur-chflossen einfachleitung. Elektr. Nachr. Technik 3, 9 (1926), 339–360.

[17] Portela, C. M. J. C. M., and Tavares, M. C. Modeling, simulationand optimization of transmission lines. applicability and limitations ofsome used procedures. In Proceedings IEEE Transmission and Distribu-tion 2002 (São Paulo, SP, Março 2002).

[18] St. Clair, H. P. Practical concepts in capability and performance intransmission lines. In AIEE Pacific General Meeting (1953), vol. 72.

[19] Stevenson, W. Elementos de análise de sistemas de potência, 2a ed.em português ed. McGraw Hill, 1986.

A Tabela comparativa de parâmetrosA tabela 4 ilustra alguns valores de parâmetros para algumas configurações delinhas de transmissão, incluindo impedância e admitância, mais a impedânciaem pu (Z1) na base da potência característica da linha.

Tabela 4: Exemplos de parâmetros para algumas configurações.Vff

[kV]Condutor PC

[MW]Z1 [Ω/km] Y1

[µS/km]Zc

[Ω]Z1

[pu/100 km]138 1× Linnet 47,8 0,205

+ j0,490j3,370 390 0,050

+ j0,121345 1× Drake 403 0,045

+ j0,377j4,397 295 0,015

+ j0,128500 4× Rail 1075 0,018

+ j0,295j5,484 232 0,008

+ j0,127765 4×

Bittern2024 0,016

+ j0.371j4,474 289 0,006

+ j0,1281000 6×

Bluebird4195 0,007

+ j0,305j5,441 238 0,003

+ j0,128

46

B Cálculo dos parâmetros elétricos - modelo sim-plificado

Atenção: o cálculo apresentado abaixo é uma aproximação, usual-mente encontrada na literatura. Recomenda-se realizar os cálculos comodemonstrado nas seções anteriores.

Para um cálculo expedito, utiliza-se o DMG entre as fases, Deq = 3√dab dbc dac,

obtendo-se

Z = R+ j ωµ

2πlnDeq

r′(B.1)

Y = j 2π ω ε0

(lnDeq

r

)−1(B.2)

Lembrando que o efeito pelicular, representado por r′, só é incorporadona impedância, valendo a regra de aplicar um RMG para impedância e outropara a admitância.

C Tópicos avançadosLista de tópicos para pesquisa ou simples curiosidade.

C.1 Teoria eletromagnética de linhas de transmissãoPara compreender totalmente a relação entre impedância e admitância, é ne-cessário abordar a teoria eletromagnética das linhas de transmissão.

Para uma linha relativamente longa em relação ao seu comprimento deonda, o modelo de circuito “concentrado” perde a validade, sendo necessário amodelagem por circuito distribuído. Seja uma linha como descrita na figura9, ao longo do eixo x, e sendo z e y as relações entre corrente longitudinal ile tensão transversal vt, sendo expressas aqui somente como i e v respectiva-mente, as relações para cada trecho infinitesimal é ditado pelo sistema:

dv

dx= i z (C.1a)

di

dx= v y (C.1b)

A figura 9 ilustra o modelo básico de linha de transmissão, em aproximaçãomonofásica, sendo o eixo x referente ao comprimento da linha, aonde divide-sea linha em elementos infinitesimais de comprimento dx, de impedância dz e

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admitância dy, formando um circuito escada (ou ladder). Com isso obtém-se,por exemplo, o perfil de tensões transversais vt(x) e correntes longitudinaisil(x) em qualquer ponto da linha..

dz

dy

il(x)

vt(x)

dx

Figura 9: Modelo de linha de transmissão

Desenvolvendo,

d2v

dx2= z

di

dx(C.2a)

d2i

dx2= y

dv

dx(C.2b)

Sendo a solução na forma exponencial,

v = A1 exp(x√y z) +A2 exp(−x√y z) (C.3)

no qual exp a é equivalente a ea. Derivando,

d2v

dx2= y z [A1 exp(x

√y z) +A2 exp(−x√y z)] (C.4)

substituindo

i =1√z/yA1 exp(x

√y z)− 1√

z/yA2 exp(−x√y z) (C.5)

sendo nesse ponto em diante assumimos z e y constantes ao longo da linha,e convencionando Zc ≡

√z/y e γ ≡ √y z, que serão discutidos em seguida.

Usando como condição de contorno a barra receptora, x = 0, v = VR e i = IR:

VR = A1 +A2 (C.6a)

IR =1

Zc(A1 −A2) (C.6b)

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resolvendo,

A1 =VR + IR Zc

2(C.7a)

A2 =VR − IR Zc

2(C.7b)

finalmente,

v(x) =VR + IR Zc

2exp(γ x) +

VR − IR Zc2

exp(−γ x) (C.8a)

i(x) =VR/Zc + IR

2exp(γ x) +

VR/Zc − IR2

exp(−γ x) (C.8b)

sendo assim possível obter v e i em qualquer ponto da linha, sabendo-se osvalores na barra receptora.

Pode-se também obter a energia na linha [8], no campo magnético:

dEm =i2Ldx

2(C.9)

e no campo elétrico

dEe =v2Cdx

2(C.10)

no total

v i dt =i2Ldx

2+v2Cdx

2(C.11)

sendo aproximadamente uma linha sem perda, u = i Zc = i√

LC ,

dEe =

(i

√L

C

)2Cdx

2=i2Ldx

2= dEm (C.12)

sendo assim a energia do campo elétrico igual ao do campo magnético.

C.2 Impedância de condutores compostosPara cabos de construção composto, ex. múltiplo fios ou diferentes materiais,o raio interno será dado pelo RMG, em geral tabelado.

C.3 Impedância de condutores tubularesO efeito pelicular em condutores compostos (como no caso do ASCR, alumíniocom alma de aço) provoca uma nova formulação da impedância interna. Con-siderando que o material da alma possui condutividade razoavelmente inferior

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ao da coroa, podemos considerar o cabo como sendo um condutor tubular,com raio interno r0 e raio externo r1. Sua impedância interna será

Zi =j ω µ

2π r0

K1(ρ0)I0(ρ1) +K0(ρ1) I1(ρ0)

I1(ρ1)K1(ρ0)− I1(ρ0)K1(ρ1)(C.13)

ρ0 = r0√−j ω σ µ (C.14)

ρ1 = r1√−j ω σ µ (C.15)

sendo I0, I1, K0 e K1 funções de Bessel.

C.4 Modelagem de cabos subterrâneos e submarinosO modelo elétrico de um cabo é análogo às linhas aéreas, mas a sua obtençãoé bem mais complexa, devido à variedade de materiais envolvidos, compa-rado aos cabos nus. Estes materiais irão impor uma variação dos parâmetroselétricos (ε e µ), que podem variar com diversos fatores como temperatura epressão, além da existência, não mais desprezível, da condutância transversalG.

O uso de cabos tripolares também elevará as componentes mútuas entreas fases, e este é o principal parâmetro que reduz a aplicação de cabos emalta tensão CA. Em CC, outro fatores regem o projeto, como a possibilidadede migração de íons no isolamento.

C.5 Propagação de ondasUma linha de transmissão usualmente encontra-se em uma dimensão de cir-cuito distribuído, ou seja, possui dimensões comparáveis, ou superiores, aocomprimento de onda elétrico. Desta forma, por exemplo, ao se ligar umafonte em uma extremidade da LT, a outra extremidade não será “sentida”até um tempo específico. Ou seja, em um tempo t = 0, a fonte “enxerga”somente o início da LT, injetando energia que percorrerá o circuito até o final,que então percebe-se uma impedância (ou um curto ou circuito aberto), quepor sua vez provocará uma reação, ou reflexão. Uma onda irá retornar atéa fonte, que então “enxergará” a totalidade do circuito, e rebaterá com umanova onda! Haverá então algumas interações entre as extremidades, até quefinalmente correntes e tensões entrem em convergência para um sistema emregime permanente. Esta dinâmica, que pode ser muita rápida para a per-cepção humana, implicará em sobretensões importantes, e que eventualmentenão deverão ser desprezadas.

Estes fenômenos podem ser estudados com a teoria da onda viajante.

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