Calculo eletrico de linhas de transmissão-Notas de aulas

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  • Clculo eltrico de linhas de transmisso -Notas de aula

    CC Carlos Kleber da Costa ArrudaCEFET-RJ

    13 de fevereiro de 2014

    Sumrio1 Introduo 2

    2 Uma ideia sobre as grandezas envolvidas 3

    3 Estudos em linhas de transmisso 3

    4 Clculo dos parmetros eltricos - modelagem bsica 4

    5 Desempenho eltrico de uma linha de transmisso 16

    6 Limites de transmisso 21

    7 Modelo do quadripolo 23

    8 Modelo de fluxo de potncia 27

    9 Compensao de linhas 28

    10 Clculo dos parmetros eltricos - modelo detalhado 31

    11 Estudo detalhado de um sistema de transmisso atravs dematriz Ybarra 37

    12 Requisitos eltricos de projeto de linhas de transmisso 38

    13 Comportamento no-linear em sistemas de transmisso [email protected] / http://sites.google.com/site/carloskleber/ - BY: $\

    Permitido uso no comercial, citando o autor e fonte.

    1

  • 14 Consideraes finais 45

    A Tabela comparativa de parmetros 46

    B Clculo dos parmetros eltricos - modelo simplificado 47

    C Tpicos avanados 47

    1 Introduo

    1.1 Sobre a apostilaEste material tem como objetivo subsidiar a disciplina de clculo eltrico delinhas de transmisso, lecionada no CEFET-RJ. Para o assunto, existe umaliteratura muito vasta, incluindo artigos, normas, teses e dissertaes. Partiu-se da ideia de resumir alguns conceitos, considerados bsicos, deixando partesde maior profundidade para captulos seguintes, formando assim uma espiralque retorna ao ponto inicial, de forma mais detalhada.

    Devido a disciplina no abranger o clculo mecnico, cuja interao com aparte eltrica muito ntima, aborda-se somente alguns conceitos nesta parte,como flecha e ampacidade, ficando ao aluno consultar livros como [14], e aapostila da parte mecnica [3].

    Procurou-se incluir referncias adicionais, que apesar de estarem fora doescopo da graduao, so inspirao para pontos de partida para estudossubsequentes.

    1.2 Nota sobre unidades de medida e convenesTodas as unidades so no sistema mtrico, exceto quando a unidade refern-cia usual (como por exemplo a especificao de cabos usa-se MCM ou kcmil1),mas mesmo estas tendem a serem substitudas.

    Em todas as frmulas e equaes supe-se que as grandezas estejam semmltiplos e submltiplos, ou seja, recomenda-se ateno ao omitir mili, micro,quilo, mega; em vrias tabelas, utiliza-se mltiplos e submltiplos para deixaro texto mais legvel, evitando as potncias de 10.

    O estudo de linhas de transmisso envolve as equaes do eletromag-netismo, aonde aplica-se, no vcuo, as constantes de permissividade, 0 =8, 8541878 1012 F/m, e a permeabilidade magntica, 0 = 4pi 107 H/m.

    1cmil: circular mil, rea de um crculo com dimetro de um milsimo de polegada, sendoMCM igual a 1000 circular mil. 1 MCM = 0, 5 mm2.

    2

  • 2 Uma ideia sobre as grandezas envolvidasSomente vendo esta apostila, ou at em sala de aula, no temos noo dagrandeza que uma linha de transmisso. Qual a capacidade de uma linhade 500 kV? Qual a corrente tpica de curto-circuito? Quanto pesa um cabo?A tabela 1 d um ideia destes valores, obtida a partir de diversas fontes. Sovalores mdios, somente para uma ordem de grandeza.

    Tabela 1: Ordem de grandeza em linhas de transmisso.Potnciatransmitida

    230 kV: 200 MW345 kV: 500 MW500 kV: 1 GW750 kV: 2 GW

    Comprimentos Vo tpico: 300-500 mVo de travessia: 1000-2000 mLT curta: < 100 kmComprimento mximo sem subestao intermediria: 300 kmLinha de meia-onda: 2250 km

    Altura de torre Linha de transmisso: 30-50 mVo de travessia: 100-300 m

    Temperatura nocabo

    Limite nominal: 70-90Limite de emergncia: 100-130Limite para cabos especiais: 200

    Distncias deisolamento(eficaz,fase-neutro)

    500 kV: 2 m500 kV (com consideraes usuais de projeto): 5-8 m

    Peso linear decabos

    ACSR Linnet (336 MCM): 688 kg/kmACSR Rail (954 MCM): 1600 kg/kmACSR Thrasher (2312 MCM): 3760 kg/km

    3 Estudos em linhas de transmissoUma linha de transmisso um elemento fundamental em um sistema depotncia, ligando fontes de gerao com cargas consumidoras.

    O projeto de uma linha de transmisso inicia-se com a necessidade detransportar uma quantidade de energia entre dois pontos. Aps estudar adistribuio de carga nas linhas existentes, observa-se o efeito de uma novalinha no sistema, chegando a um novo ponto de equilbrio.

    3.1 Transmitir?Pode-se abrir esta questo em alguns pronomes: o qu, quando, como, ondee quanto.

    O qu transmitir a interligao entre centros de gerao e consumo, quando

    3

  • invevitavelmente a fonte de energia interessante, mesmo com o custoda linha.

    Quando transmitir a necessidade futura surgir, ou seja, projetando o cres-cimento do consumo e incluindo o tempo de construo, tanto das usinasquanto da prpria linha.

    Como transmitir a tecnologia a ser usada, definindo se a linha ser em CAou CC, e os nveis de tenso.

    Onde passa eventualmente existe a opo de quais centros de gerao irointerligar quais centros de carga (ex. Belo Monte liga com Sudeste ouNordeste) e definio do traado da linha.

    Quanto custa transmitir o custo est envolvido desde a primeira questo,dependendo ainda da economia e da poltica de comercializao (ex.ganho em escala na fabricao dos cabos, ou regras tarifrias).

    Estima-se que esta energia obtida seja distribuda, ao longo da vida tilda linha, em um perfil de demanda, resultando na linha transmitindo umapotncia mdia, com eventuais necessidades de sobrecarga. Para um estudomais didtico, podemos assumir uma potncia constante.

    A distncia entre os dois pontos est sujeita ao traado da linha, aondeobserva-se desde a topografia at a viabilidade de aquisio dos terrenos. Adistncia real pode variar no mais do que 10% de um traado em linha reta.

    Assumindo assim a potncia e o comprimento da linha, chega-se aos cri-trios de escolha do tipo (CA ou CC) e nvel de tenso.

    4 Clculo dos parmetros eltricos - modelagembsica

    Nesta parte ser apresentado o modelo bsico de linha de transmisso paraestudo em regime permanente. Assume-se que a linha trifsica, fazendo-seuma aproximao monofsica, que de acordo com o sistema de componentessimtricas aplicvel para sistemas equilibrados ou no.

    Inicialmente demonstra-se a relao de parmetros entre fases, aonde exis-tem componentes prprias (que afetam somente a fase em questo) e compo-nentes mtuas (que afetam as fases vizinhas). Por reciprocidade, as compo-nentes mtuas so simtricas, ou seja, o efeito que a fase a causa na fase b igual ao efeito da fase b na fase a.

    Sabe-se pela teoria de circuitos que impedncia e admitncia so gran-dezas recprocas. Por conveno em linhas de transmisso, nomeia-se como

    4

  • Figura 1: Exemplo ilustrativo de seleo de nvel de tenso, a partir de pre-missas de projeto conservadoras [12]

    impedncia a componente longitudinal por unidade de comprimento, sendoem geral um elemento RL em srie2.

    Nomeia-se como admitncia a componente transversal (paralela ou shunt)por unidade de comprimento, sendo em geral um elemento RC em para-lelo, sendo a resistncia R, representativa da corrente de fuga, desprezvel3.Desta forma pode-se estimar a impedncia e admitncia total de uma linhamultiplicando-se diretamente seus respectivos valores pelo comprimento.

    Da mesma forma que a impedncia, a admitncia definida pelo nmerocomplexo Y = G+ jB, sendo G a condutncia e B a susceptncia.

    Na seo C.1 apresenta-se o desenvolvimento das equaes de linhas detransmisso, tambm chamadas de equaes do telegrafista.

    Na prtica aproxima-se o circuito ladder para elementos discretos, sendo omais simples o equivalente pi (uma impedncia em srie e duas admitnciasem paralelo nas extremidades).

    2Em linhas CC, a indutncia no se aplica em regime permanente, mas em estudostransitrios, como por exemplo na propagao de surtos, ele determinante.

    3Em linhas CC, pela falta da corrente pelo efeito capacitivo, a resistncia shunt R torna-se novamente relevante, por exemplo, no clculo de coordenao de isolamento.

    5

  • 4.1 ResistnciaA resistncia, como tradicionalmente ensinada, determinada pela resisti-vidade do material, a seo transversal e o comprimento:

    R = l

    S(4.1)

    sendo a resistividade e a condutividade o seu inverso: = 1/, l o compri-mento e S a seo transversal.

    Em corrente alternada, o efeito pelicular distorce a resistncia efetiva docabo: o efeito de repulso das linhas de corrente provoca um subaproveita-mento da seo transversal do cabo. Este efeito mais evidente em bitolasmaiores, pois ele no proporcional ao dimetro, logo sendo pouco percebidopor exemplo em instalaes residenciais.

    Os cabos usuais em CA so compostos por dois materiais, geralmenteum ncleo com fios mais resistente trao e uma coroa com fios de boacondutividade, e ao mesmo tempo leve e econmico. Este conjunto aumentaa complexidade do estudo, por exemplo no clculo mecnico, mas no clculoda resistncia possuir baixa influncia, pois o efeito pelicular ir posicionara corrente na regio da coroa, evitando o material do ncleo.

    Outro efeito importante a variao da resistncia pela temperatura. Emgeral a resistncia em catlogos tabelada para alguns valores tpicos, como75, mas o valor exato depende da prpria corrente, entre outros fatoresambientais.

    Na seo 10.1 apresenta-se uma frmula para o clculo da impedncia pr-pria, incluindo o efeito pelicular. O valor calculado ser prximo aos valoresencontrados em catlogos4.

    Observa-se que a maioria dos cabos composta por fios entrelaados, ha-vendo ento lacunas no interior do cabo. Outra caracterstica comum apresena de dois materiais no mesmo cabo, como alumnio e ao. Estas eoutras caractersticas acrescentam uma complexidade no clculo exato da re-sistncia, particularmente ao se considerar os efeitos da temperatura.

    Em geral as resistncias so tabeladas, incluindo o efeito pelicular (re-sistncia CA). Tambm usual tabelar a resistncia para algumas faixas detemperatura.

    Para um clculo iterativo, prudente iniciar o clculo da resistncia comum valor de temperatura prximo do nominal, e aps determinar a tempera-tura real do condutor, realizar a correo.

    Para uma configurao de feixe de condutores, a resistncia ser divididapelo nmero de cabos em cada fase.

    A tabela 2 exemplifica a resistividade dos materiais usados em linhas detransmisso, bem como outros parmetros relevantes para o projeto.

    4Existem ainda outros fatores que influenciam no clculo da resistncia, como por exem-

    6

  • Tabela 2: Caractersticas fsicas de alguns materiais.Condutivi-dade IACS

    (%)

    Resistivi-dade

    (mm2/m)

    Coeficiente devariao da

    resistncia (1)

    Massaespecfica(g/cm3)

    Alumnio 1350 61,0 0,028264 0,00403 2,705Alumnio liga 6201 52,5 0,032840 0,00347 2,690Cobre duro comercial 97,0 0,017775 0,00381 8,89Cobre padro IACS 100,0 0,017241 0,00393 8,89Ao - 0,17 - 7,9

    Observa-se que apesar do cobre possuir uma condutividade mais favorvel,sua massa e preo (da ordem de 4 mais caro) inviabilizam a aplicao emlinhas de transmisso.

    4.1.1 Variao com a temperatura

    Para o uso preciso da resistncia, particularmente no clculo das perdas, deve-se realizar a correo pela temperatura. Este clculo pode se tornar compli-cado, considerando que a resistncia ir influenciar a corrente, que por suavez ir ditar a temperatura do condutor, juntamente com outros fatores, alemdos cabos geralmente serem compostos por dois materiais.

    Em geral os fabricantes fornecem os valores de resistncia (CA ou CC)para alguns valores de temperatura. Atente em utilizar uma resistncia parauma temperatura prxima s condies de operao.

    A tabela 3 ilustra alguns valores de resistncia CA e CC para alguns cabos.

    Tabela 3: Exemplos de alguns cabos comerciaisTipo Denominao Bi-

    tola(MCM)

    Seotransversal

    total(mm)

    Di-metro(mm)

    ResistnciaCC

    (/km 20)

    ResistnciaCA

    (/km 75)

    ACSR Hawk 477 280,85 21,78 0,1196 0,1435ACSR Grosbeak 636 322,3 25,16 0,0896 0,1075ACSR Rail 954 526,8 29,59 0,0597 0,0733ACSR Bittern 1272 726,4 34,16 0,0448 0,0558ACSR Thrasher 2312 1235,2 45,78 0,0248 0,0327AAC Sagebrusch 2250 1139,5 43,9 0,0255 0,034AAAC 1000 506,7 29,2 0,0661 0,0802

    4.2 IndutnciaA indutncia o efeito do campo magntico sobre um circuito, representadopor exemplo pela lei de Faraday. Pode-se ter indutncia prpria, quando

    plo o efeito transformador do ncleo de ao e o comprimento adicional devido helicoidaldos fios.

    7

  • uma linha de corrente no condutor induz potencial em outra seo do prpriocondutor, ou indutncia mtua, quando uma corrente em um condutor externoinduz este potencial.

    Assim como as cargas eltricas, todas as correntes que no sejam cons-tantes induzem potencial em qualquer elemento condutor, e se esse elementofechar um circuito, surge a corrente induzida. Logo, uma linha pode induzirem cercas metlicas, cabos aterrados, encanamentos, etc.

    A induo tambm depender se os elementos estiverem paralelos, entoa induo ser mnima se os condutores estiverem perpendiculares.

    4.2.1 Premissas

    Uma considerao, geralmente pouco evidenciada, sobre a corrente: paraque haja uma corrente eltrica em regime permanente, supe-se que ela re-torna para a sua fonte de energia (ou fecha o somatrio, no caso de vriasfontes, seguindo as Leis de Kirchhoff). Este retorno pode ser por um segundocondutor ou pelo solo, fechando um lao de corrente.

    O entendimento de lao de corrente fundamental para a validade da lei deAmpre, que nos fornecer a propriedade da indutncia do circuito. Ento,no faz sentido pensar em um condutor singelo com uma corrente, pois aequao s fecha com uma corrente retornando em sentido contrrio.

    O clculo da indutncia em um condutor dividido na sua parte internae na parte externa. Em ambos, parte-se da lei de Ampre.

    Para a indutncia interna, como primeira aproximao um condutor comuma seo circular, com raio r, aonde atravessa uma corrente I distribudauniformemente, obtm-se um valor constante de 0, 5107 H/m [19]. A parcelada indutncia externa relacionada ao raio e a altura, unindo as parcelas:

    Lii =02pi

    (1

    4+ ln

    2h

    r

    )(4.2)

    sendo Lii a indutncia prpria do condutor i, com a soma do fluxo magnticointerno e externo, e a permeabilidade magntica do ar 0 = 4pi 107 H/m.Usualmente a equao manipulada da forma:

    Lii =02pi

    (ln e

    14 + ln

    2h

    r

    )(4.3)

    Lii =02pi

    ln2h

    r e14

    (4.4)

    Lii =02pi

    ln2h

    r(4.5)

    A varivel r corresponde ao raio equivalente do condutor ao se considerar aparte interna do fluxo [19, p. 52], para um cabo de alumnio, a permeabilidade

    8

  • igual ao do ar, no qual = 0, r = r e1/4 = 0, 7788r. Para cabos de ao oucom permeabilidade superior a 0, r = r e

    r4 , no qual r a permeabilidade

    relativa do condutor, r = /0.O fluxo externo ser influenciado pela permeabilidade do ar, igual a 0.

    4.3 Impedncia mtuaA impedncia mtua entre dois condutores essencialmente a indutncia,definida pelas distncias e a caracterstica magntica do ar (as propriedadesdo condutor influencia somente na indutncia interna):

    Lij =02pi

    lnDijdij

    (4.6)

    sendo Dij a distncia do condutor i a imagem do condutor j, e dij a distnciado condutor i para o condutor j.

    O exemplo de um cabo Rail (29, 59 mm, composto essencialmentede alumnio, = 0), a uma altura de 20 m, sua indutncia prpria ser

    Laa =02pi

    ln2h

    r= 2 107 ln 2 20

    0,02959/2 0, 7788 = 1, 6305 106 H/m

    A indutncia mtua entre dois cabos, dispostos na horizontal a umadistncia de 8 m, ser

    Lab =02pi

    lnDabdab

    = 2 107 ln

    402 + 82

    8= 1, 981 107 H/m

    Dois cabos de alumnio, com 1 cm de raio, 30 m de altura e separados a10 m, possuem uma impedncia mtua Zm. Calcule a variao percentualde Zm ao (a) aproximar os cabos para 5 m, (b) abaixar os cabos para10 m de altura.

    A impedncia mtua proporcional s distncias, mas no depen-dente do raio: Zm ln Dijdij . Fazendo a conta somente com o logaritmo,na condio inicial Dij =

    102 + 602 = 60, 8, dij = 10, Zm 1, 8055.

    Na condio (a), Zm(a) ln52+602

    5 = 2, 4884, um aumento de 1 2,48841,8055 = 37, 8%.

    Na condio (b), Zm(b) ln102+202

    10 = 0, 8047, uma reduo de1 0,80471,8055 = 55, 4%.

    9

  • 4.4 Distncia mdia geomtrica e raio mdio geomtricoChama-se DMG a distancia mdia geomtria, que neste caso ser aplicado sdistncias entre condutores. Quando trata-se de condutores de uma mesmafase, ou feixe de condutores, tambm chamado de raio mdio geomtrico(RMG ou GMR), que neste caso ir representar um condutor equivalentepara aspectos de indutncia e capacitncia.

    Para n condutores arrumados em posies genricas, o RMG ser igual a

    RMG = n2

    ni=1

    nj=1

    dij =n2

    (d11 d12 d1n)(d21 d22 . . . d2n) (dn1 dn2 dnn)

    (4.7)sendo dii o raio do condutor i, com a correo da impedncia interna, ri, edij a distncia entre os condutores i e j.

    Para feixes regulares, ou seja, condutores formados em polgonos de ladod, o RMG do feixe ser

    RMG2 =r d (4.8a)

    RMG3 =3r d2 (4.8b)

    RMG4 = 1, 094r d3 (4.8c)

    no qual RMG2, RMG3 e RMG4 so os RMGs para feixes de 2, 3 e 4 condutoresem feixes regulares.

    Lembrando que o efeito pelicular, representado por r, s incorporado naimpedncia. Logo teremos um RMG para o clculo da impedncia e um RMGpara a admitncia. Por exemplo, para um feixe de 4 condutores, teremos

    RMGZ4 = 1, 094r d3 (4.9a)

    RMGY4 = 1, 094r d3 (4.9b)

    Definindo como M a matriz caracterstica da geometria da linha:

    L =

    2piMZ (4.10)

    sendo

    MZii = ln2hiri

    (4.11a)

    MZij = lnDijdij

    (4.11b)

    E a matriz impedncia ser

    Z = R I+ j L = R I+ j

    2piMZ (4.12)

    10

  • abrindo os termos das matrizes:

    Z =

    R 0 00 R 00 0 R

    + j 2pi

    ln2hara

    ln Dabdab lnDacdac

    ln Dbadba ln2hbrb

    ln Dbcdbcln Dcadca ln

    Dcbdcb

    ln 2hcrc

    (4.13)Sendo R a resistncia de cada condutor, considerando iguais, e I a matriz

    identidade (no haver resistncia mtua). Observar que, para feixes de con-dutores, dividir a resistncia individual pelo nmero de condutores e trocarri por RMGi.

    Seguindo como exemplo completo a linha de 500 kV raquete, cujoperfil ilustrado na figura 2, este exemplo faremos o clculo completo dosparmetros, comeando pela impedncia conforme acabou de se mostrarneste captulo.

    A LT possui feixes de 4 cabos Rail, cujos parmetros relevantes jforam levantados no exemplos anteriores, com flecha de 16 m, e o feixe um quadrado de 45,7 cm, correspondente ao padro comercial de 18.Os cabos pra-raios tambm esto ilustrados na figura, mas por ora nosero considerados.

    A resistncia do feixe (considerando temperatura de operao de 75)ser 0,07334 = 0, 018325 /km. Para a indutncia, primeiramente calcula-se o RMG:

    RMG = 1, 09 4

    (0, 02959

    2 0, 7788

    )0, 4573 = 0, 1985 m

    Utiliza-se tambm as altura mdias dos cabos: a fase central est a 342163 = 23, 33 m, e as fases laterais esto a 28 2163 = 17, 33 m.Calculando agora as parcelas geomtricas referentes s indutncias

    prprias para cada fase, usando a conveno de (a,b,c) para enumerar asfases, sendo (b) a fase central:

    Maa = ln2 17, 330, 1985

    = 5, 16277

    Mbb = ln2 23, 330, 1985

    = 5, 46002

    Mcc = Maa

    11

  • fazendo agora as parcelas referentes s indutncias mtuas,

    Mab = ln

    52 + (23, 33 + 17, 33)252 + (23, 33 17, 33)2 = 1, 65731

    Mbc = Mab

    Mac = ln

    (2 5)2 + (2 17, 33)2

    2 5 = 1, 28298

    Podendo ser diretamente inseridos em um programa, pro-vendo um vetor de coordenadas x e h, implementa-se na formadij = sqrt[(xi xj)2 + (hi + hj)2], Dij = sqrt[(xi xj)2 + (hi hj)2] eMij = log[Dij/dij], lembrando da conveno da funo log[x] em geralser o logaritmo natural, ln(x).

    A matriz M ser ento

    M =

    5, 1627716 1, 6573122 1, 28298041, 6573122 5, 4600231 1, 65731221, 2829804 1, 6573122 5, 1627716

    obtm-se a matriz indutncia L multiplicando M por 02pi , e na sequnciaa matriz Z multiplicando L por j e somando a matriz R, que umamatriz diagonal com as resistncias dos feixes. Resumindo, tem-se:

    Z =R+ j 02piM

    =

    0, 018325 + j0, 3892730 j0, 1249613 j0, 0967367j0, 1249613 0, 018325 + j0, 4116857 j0, 1249613j0, 0967367 j0, 1249613 0, 018325 + j0, 3892730

    /km

    observando atentamente ao expressar ou calcular os valores em /m ou/km.

    4.5 Capacitncia e admitncia transversalA capacitncia da linha tambm ser definida a partir de sua geometria5.Partindo do exemplo terico de um cabo singelo polarizado com um potencialV em relao ao solo, este cabo ter uma capacitncia em funo do seu raio

    5Em [19, p. 72] desenvolve-se a teoria da capacitncia em LTs, mas com a aproximaoem unir todas as fases em uma distncia mdia geomtrica.

    12

  • 34

    28

    5

    4 ???????????????????

    ? 0,457

    Figura 2: Exemplo de perfil de LT.

    e da sua altura:

    C = 2pi 0

    (ln

    2h

    r

    )1(4.14)

    generalizando para uma linha com n condutores, desenvolve-se um relaogeomtrica descrita por uma matriz MY, similar a MZ:

    C = 2pi 0MY1 (4.15)

    No qual 0 a permissividade do ar, igual a 8, 85 1012 F/m. Aqui no hcapacitncia interna, logo no h correo do raio dos condutores, comovisto na equao 4.5, mas o termo referente mtua rigorosamente igual:

    MY ii = ln2hiri

    (4.16a)

    MY ij = lnDijdij

    (4.16b)

    A admitncia definida por:

    Y = G+ j C (4.17)

    13

  • Desconsiderando a parcela de condutncia, obtm-se a forma usual da admi-tncia para linhas CA:

    Y = j C (4.18)

    Seguindo o exemplo anterior, para o clculo da admitncia, pode-seaproveitar parcialmente a matriz M, recalculando a diagonal conside-rando o raio real dos cabos. Primeiramente, o RMG:

    RMG = 1, 09 4

    (0, 02959

    2

    )0, 4573 = 0, 2113 m

    e os elementos prprios da matriz:

    Maa = ln2 17, 330, 2113

    = 5, 10027

    Mbb = ln2 23, 330, 2113

    = 5, 39752

    Mcc = Maa

    tem-se assim a matriz M e a sua inversa:

    M =

    5, 1002713 1, 6573122 1, 28298041, 6573122 5, 3975229 1, 65731221, 2829804 1, 6573122 5, 1002713

    M1 =

    0, 224171 0, 0572269 0, 03779490, 0572269 0, 2204133 0, 05722690, 0377949 0, 0572269 0, 224171

    obtendo-se a matriz de capacitncia C multiplicando por 2pi 0, e a ad-mitncia multiplicando por j , calculando diretamente:

    Y = j 2pi 0M1

    =

    j4, 6994162 j1, 1996776 j0, 7923144j1, 1996776 j4, 6206408 j1, 1996776j0, 7923144 j1, 1996776 j4, 6994162

    S/kmAqui novamente para evitar o uso de um expoente, no caso 109 [S/m],

    optou-se em expressar os valores utilizando mltiplos e submltiplos dasunidades.

    14

  • 4.6 Efeito da transposioPara obter um equilbrio nos parmetros da linha, as fases so trocadas deposio em alguns pontos da linha. Matematicamente, sera equivalente atrocar linhas nas matrizes Z e Y. Seja as matrizes Z(1), Z(2) e Z(3) referentesa trs trechos:

    Z(1) =

    Zaa Zab ZacZba Zbb ZbcZca Zcb Zcc

    (4.19)Z(2) =

    Zbb Zbc ZbaZcb Zcc ZcaZab Zac Zaa

    (4.20)Z(3) =

    Zcc Zca ZcbZac Zaa ZabZbc Zba Zbb

    (4.21)Sendo uma transposio ideal (no caso de uma linha de circuito simples,

    dividida em trs trechos de mesmo comprimento), pode-se supor um desem-penho equivalente da linha em uma matriz mdia

    Z =1

    3

    (Z(1) + Z(2) + Z(3)

    )=

    1

    3

    Zaa + Zbb + Zcc Zab + Zbc + Zca Zac + Zba + ZcbZba + Zcb + Zac Zbb + Zcc + Zaa Zbc + Zca + ZabZca + Zab + Zbc Zcb + Zac + Zba Zcc + Zaa + Zbb

    (4.22)Podemos definir um termo de impedncia prpria, Zp = 13 (Zaa + Zbb + Zcc),

    e considerando que temos uma simetria do tipo Zij = Zji, um termo de im-pedncia mtua Zm = 13 (Zab + Zbc + Zca), a matriz de uma linha idealmentetransposta igual a

    Z =

    Zp Zm ZmZm Zp ZmZm Zm Zp

    (4.23)Para a matriz admitncia, segue-se a mesma metodologia:

    Y =

    Yp Ym YmYm Yp YmYm Ym Yp

    (4.24)sendo Yp = 13 (Yaa + Ybb + Ycc) e Ym =

    13 (Yab + Ybc + Yca).

    15

  • Continuando nosso exemplo, obtm-se:

    Zp = 0, 018325 + j0, 3967439 /kmZm = j0, 115553 /kmYp = j4, 6731578 S/kmYm = j1, 0638899 S/km

    5 Desempenho eltrico de uma linha de trans-misso

    5.1 Representao em componentes simtricasO mtodo de componentes simtricas utilizado em sistemas trifsicos equi-librados ou desequilibrados, de forma a decompor o estudo em trs circuitosmonofsicos, no qual seus equivalentes Thvenin podem ser combinados no es-tudo de regime permanente, faltas e defeitos em geral. Nesta seo apresenta-se como representar uma linha de transmisso neste sistema. Maiores detalhessobre esta metodologia podem ser encontrado, por exemplo, em [10, 19].

    Para a transformao linear da matriz Z, dita em coordenadas de fase,para o sistema de coordenadas de modo, ou componentes simtricas, utiliza-sea matriz A, definida por

    A =

    1 1 11 a2 a1 a a2

    (5.1)no qual a = 1 120 e a2 = 1 120, obtem-se a matriz de impedncias emcoordenadas de modo, Z012. Se as matrizes Z e Y corresponderem a umalinha de transmisso idealmente transposta, obtem-se as matrizes Z012 e Y012somente com termos na diagonal:

    Z012 = A1 ZA =

    Z0 0 00 Z1 00 0 Z2

    =

    Zp + 2Zm 0 00 Zp Zm 00 0 Zp Zm

    (5.2)

    16

  • Y012 = A1YA =

    Y0 0 00 Y1 00 0 Y2

    =

    Ys + 2Ym 0 00 Ys Ym 00 0 Ys Ym

    (5.3)Para estudos de fluxo de potncia em regime permanente, ou estudo de

    faltas simtricas, utiliza-se somente os parmetros de sequncia positiva:

    Z1 = Zp Zm (5.4a)Y1 = Yp Ym (5.4b)

    correspondentes ao elemento na posio (2,2) da matriz. Destes parmetrosque se obtm a impedncia caracterstica Zc e a constante de propagao ,vistos a seguir.

    5.2 Impedncia caractersticaA impedncia caracterstica6 definida como o balano entre os campos el-trico e magntico da linha, no qual uma carga resistiva neste valor ter amaior eficincia de absoro de um pulso, tambm dito como casamento deimpedncia. um parmetro em comum como outros tipos de linha detransmisso (em RF, microondas, coaxial ou microstrip, etc).

    calculada pelos parmetros de sequncia positiva Z1 e Y1, simplificadosaqui em diante como Z e Y :

    Zc =

    Z

    Y=

    R+ j L

    j C(5.5)

    Sendo aqui Z = R + j L e Y = j C os equivalentes monofsicos para umestudo em regime permanente7.

    Usualmente representa-se somente a parte real de Zc, correspondendo en-to a uma linha sem perdas. Porm, deve-se usar o clculo preciso de Zc aose aplicar s frmulas de linha longa, na seo 5.6.

    Ao considerar a linha com perda desprezvel (retirando R), a impednciacaracterstica ser aproximadamente

    Zc =L

    C(5.6)

    sendo assim um nmero real e, aproximadamente, independente da frequncia.6Em ingls referenciado como surge impedance, ou impedncia de surto.7Para estudos em componentes simtricas, pode-se deduzir os equivalentes para sequn-

    cia negativa e zero, Zc2 e Zc0 respectivamente, que so aplicveis em estudos de transitrios.

    17

  • 5.3 Constante de propagaoA constante de propagao demonstra a deformao da onda ao longo dalinha. definida como

    =Y Z =

    (R+ j L)j C (5.7)

    sendo sua unidade em m1. A constante de propagao pode ser desmem-brada na forma = + j , sendo a constante de atenuao (em Neper/m)e a constante de fase (em rad/m). Pode-se ento obter o comprimento deonda da linha :

    =2pi

    (5.8)

    Considerando a linha aproximadamente sem perdas, possuir somente aconstante de fase :

    =j L j C = j

    LC (5.9)

    = LC (5.10)

    e este parmetro, para linhas areas, independente do nvel de tenso, seraproximadamente igual a 0,0013 rad/km. Para cabos, este valor pode variarentre 0,0046 a 0,0091 rad/km.

    Outro parmetro representativo da linha o seu comprimento eltrico, oungulo de linha:

    = l (5.11)

    que indica a defasagem natural que ocorrer na transmisso, mesmo que seconsidere a linha como sem perdas. Este fato devido ao princpio de circuitodistribudo, ou que a energia transmitida possui velocidade finita de propa-gao. Por exemplo, uma linha area de 300 km ter um ngulo de 0,39 rad,ou 22,34.

    A velocidade de propagao na linha calculada por v = f , e muitoimportante no estudo de surtos rpidos (entre 100 kHz e 1 MHz). Observa-seque a velocidade de propagao da ordem, mas nunca igual ou superior, avelocidade da luz no vcuo.

    5.4 Potncia caractersticaA potncia caracterstica Pc a potncia entregue pela linha para um cargaresistiva, com valor igual impedncia caracterstica. Para linhas longas, um critrio adequado para estimar a capacidade de transmisso em geral. definida por:

    Pc =U20Zc

    (5.12)

    18

  • sendo U0 a tenso mdia de linha ao longo da LT, ou seja, consegue-se elevara capacidade de transmisso, mas sacrificando a confiabilidade e elevandoperdas corona.

    Mantendo a considerao de linha sem perdas, a potncia caractersticaser um nmero real, ou seja, expresso em W. Mesmo para uma linha comperdas, usual expressar somente a parte real.

    Para nosso exemplo, para sequncia positiva,

    Z1 = 0, 018325 + j0, 2811908 /kmY1 = j5, 7370477 S/km

    e em seguida

    Zc = 221, 506 j7, 2100622 = (0, 0413645 + j1, 2707934) 106 Np/m

    Quando a LT calculada sem perdas (sem considerar a resistncia),Zc ser um nmero real e um nmero imaginrio.

    Considerando como uma LT de 500 kV, considerando somente a partereal de Zc, a potncia caracterstica ser 1129 MW. Se apertar a tensomdia para 525 kV, a potncia eleva-se para 1244 MW.

    5.5 Reativo transversal de linhaUm parmetro relevante o reativo capacitivo que uma linha possui, tambmchamado de line charging. Pode ser calculado aproximadamente multiplicandoa susceptncia pelo quadrado da tenso de operao:

    Qc = V2Bc (5.13)

    Sendo usualmente representado em Mvar/km.

    Para nosso exemplo, sendo Bc = 5, 7370477 109 S/m, obtm-se1,4343 kvar/m, que equivale a 1,4343 Mvar/km.

    Observe que esta premissa supe que o perfil de tenso ao longo dalinha constante, o que no realista - observe por exemplo o efeito Fer-ranti, que eleva a tenso na extremidade em aberto, fora outras condiesoperacionais no qual o ponto de tenso mais elevada pode ser no meio dalinha!

    19

  • 5.6 Modelo de circuitoO equivalente monofsico (modelo pi) ser composto pela impedncia Z1 emsrie e a admitncia Y1 dividida em duas, em cada extremidade. Para linhascurtas (at 200 km), multiplica-se a impedncia pelo comprimento da linha:

    Ze = Z l (5.14)

    Ye2 =Y l

    2(5.15)

    Acima de 200 km, o efeito da propagao torna-se mais evidente, necessi-tando realizar uma correo hiperblica:

    Ze = Zc sinh l (5.16)

    Ye2 =1

    Zctanh

    l

    2(5.17)

    no qual Ye2 j a metade da admitncia da linha. Naturalmente pode-se usara formulao de linha longa direto para linhas curtas. Observa-se tambm queZc e devem ser os valores precisos, considerando as perdas, para obter-se osvalores corretos de Ze e Ye2.

    Ze

    Ye2 Ye2

    I1

    V1

    I2

    V2

    Figura 3: Representao por equivalente pi, com as convenes de tenses ecorrentes.

    No confunda modelo de linha com a prpria linha.O modelo de linha longo serve pra calcular linhas curtas e linhas lon-

    gas, ou seja, existe uma mal interpretao que cada comprimento possuium modelo! Somente o modelo de linha curta que no se adequa a linhaslongas.

    20

  • Os parmetros Ze e Ye2 so os valores a serem usados para um estudo deredes em equivalente monofsico, utilizando por exemplo equivalente Thvenine matriz Ybarra.

    Eventualmente, para diferenciar dentro de um mesmo problema, pode-se usar a conveno de letras minsculas para parmetros por unidade decomprimento (z em /m, y em S/m) e letras maisculas para parmetrostotais (Z em e Y em S). Novamente, mesmo sendo nmeros complexos,suprimiu-se o ponto (sendo correto Z).

    Para o nosso exemplo, supondo uma linha de 300 km, obtm-se

    Ze = 5, 2343219 + j82, 339206 Ye2 = 0, 6986822 + j871, 12182 S

    Se usarmos a considerao da LT sem perdas, as correo hiperblicapode ser feita com maior facilidade:

    Ze = 221, 5 sinh(j1, 2707936 106 300 103)

    = 221, 5j sen (0, 381238) = j82, 415911

    Ye2 =1

    221, 5tanh

    (j1, 2707936 106 300 10

    3

    2

    )=

    1

    221, 5j tg (0, 190619) = j871, 13386 S

    6 Limites de transmissoComo todo equipamento, uma linha tem limites operativos, que podem serconsiderados para regime permanente ou transitrio. Por exemplo, para umasituao hipottica de curto-circuito, a linha pode suportar o dobro de correntenominal, ou no caso de um surto originado por uma descarga atmosfrica, oisolamento tolera mais que o dobro de tenso nominal8.

    Nesta apostila primeiramente ser tratado os limites para condio nomi-nal. Uma relao conhecida por Curva de St. Clair ilustrada na figura 4, o

    8Na verdade neste caso trata-se as sobretenses pelo valor de crista (ou pico) e fase-neutro, em vez do valor eficaz (RMS) fase-fase, ou seja, uma diferena de

    23

    21

  • que indica a capacidade de transmisso da linha igual a potncia caracterstica(SIL) para um comprimento de 300 milhas.

    Figura 4: Curvas de St. Clair [18]

    Os limites da linha que norteam este grfico, so divididos em trs critrios,cada um vlido para um comprimento.

    6.1 Limite trmicoO limite trmico determinante para linhas curtas (at 40 km). Consisteem dois efeitos: o aumento da flecha nos cabos, reduzindo as distncias desegurana com o solo ou outros objetos; e a degradao do metal. Em ambosos casos, os limites praticados podem ser encontrados na norma [1], e osestudos so tratados na apostila de clculo mecnico [3] ou em livros como[14].

    22

  • Vs = 1 pu

    Srl

    Vr

    Figura 5: Exemplo sobre limite de transmisso.

    6.2 Limite de regulao

    6.3 Limite de estabilidade

    7 Modelo do quadripoloUm quadripolo relaciona dois pares de grandezas eltricas, tenses e correntes,associados a dois bipolos, um de entrada e outro de sada. O quadripolo umaalternativa aos modelos convencionais de circuitos, aonde pela aproximaoque duas grandezas so variantes, determina-se o outro par de grandezas.

    O modelo de quadripolo de parmetros generalizados, ou ABCD, relacionatenso e corrente de entrada, V1 e I1, com tenso e corrente de sada, V2 e I2,em um modelo monofsico, no qual as tenses aplicadas so as fase-neutro. Afigura 3 mostra a conveno de tenses e correntes. Usando a conveno dacorrente I1 entrando no quadripolo e a corrente I2 saindo:

    V1 = AV2 +B I2 (7.1a)I1 = C V2 +D I2 (7.1b)[

    V1I1

    ]= T

    [V2I2

    ]=

    [A BC D

    ] [V2I2

    ](7.2)

    7.1 Modelo de linha curtaDesenvolvendo a relao entre entrada e sada, para linhas curtas, teremos

    V1 =

    (V2Y

    2+ I2

    )Z + V2 (7.3a)

    V1 =

    (Z Y

    2+ 1

    )V2 + Z I2 (7.3b)

    I1 = V1Y

    2+ V2

    Y

    2+ I2 (7.4a)

    I1 = V2 Y

    (1 +

    Z Y

    4

    )+

    (Z Y

    2+ 1

    )I2 (7.4b)

    23

  • Comparando com as equaes (7.1), temos como parmetros

    A =Z Y

    2+ 1 (7.5a)

    B = Z (7.5b)

    C = Y

    (1 +

    Z Y

    4

    )(7.5c)

    D = A (7.5d)

    sendo a propriedade AD BC = 1, representativa de um quadripolo sim-trico.

    7.2 Modelo de linha longaPara linhas longas, desenvolve-se as equaes a partir da teoria do eletromag-netismo [10, p. 211], chegando na forma:

    V1 = V2 cosh( l) + I2 Zc sinh( l) (7.6a)

    I1 = I2 cosh( l) +V2Zc

    sinh( l) (7.6b)

    sendo ento os parmetros do quadripolo:

    A = cosh( l) (7.7a)B = Zc sinh( l) (7.7b)

    C =1

    Zcsinh( l) (7.7c)

    D = A (7.7d)

    sendo o modelo de linhas longas tambm vlido para o clculo de linhascurtas.

    Do modelo do quadripolo que pode-se calcular o circuito pi equivalente dalinha longa. Considerando o mesmo circuito da figura 3, a partir das equaes(7.3), trocando Z por Ze e Y por Ye:

    V1 =

    (Ze Ye

    2+ 1

    )V2 + Ze I2 (7.8)

    Obtemos aquiZe = Zc sinh( l) (7.9)

    24

  • para a admitncia

    Ze Ye2

    + 1 = cosh( l) (7.10)

    Ye Zc sinh( l)

    2+ 1 = cosh( l) (7.11)

    Ye2

    =1

    Zc

    cosh( l) 1sinh( l)

    (7.12)

    aproveitando-se de uma relao hiperblica:

    tanhx

    2=

    coshx 1sinhx

    (7.13)

    chegamos relao apresentada na equao (5.16):

    Ye2

    =1

    Zctanh

    l

    2(7.14)

    O modelo por quadripolo ABCD apropriado quando se fornece a tensoe a corrente no receptor (V2 e I2). Para uma potncia aparente trifsicaS2 = S , pode se arbitrar uma tenso desejada U0 e calcular a corrente:

    V2 =U0

    3(7.15a)

    I2 =S2

    U0

    3 (7.15b)

    podendo por exemplo escolher U0 a tenso nominal da linha, sendo que noquadripolo a tenso deve ser fase-terra, e S2 = Pc, a potncia caracterstica.Outras opes so arbitrar uma condio de sobrecarga, curto-circuito (V2 =0) ou circuito aberto (I2 = 0).

    Exemplo: seja o quadripolo representativo de uma linha de transmis-so, definido por

    A = D = 0, 9672 0, 23

    B = 75, 15 83, 2

    C = j8, 633 104 S

    Calcule as perdas na linha para uma sada com 400 MW, 345 kV.Soluo:

    V2 =345

    3kV I2 = 669, 39 A

    25

  • Fazendo a operao matricial, os valores em mdulo so

    V1 = 204, 98

    3 = 355, 04 kV I1 = 670, 55 A

    A potncia aparente ser S1 = (412, 32 j5, 48) MVA, subtraindo aspartes reais, P = 12, 32 MW.

    Algumas relaes trigonomtricas teis:

    sinh j = j sencosh j = cos

    tanh j = j tgsinh = j sen jcosh = cos j

    tanh = j tg jsinh(+ j) = sinh cos + j cosh sencosh(+ j) = cosh cos + j sinh sen

    Lembrando sempre de considerar os valores em radianos.

    7.3 Associao em cascataAtravs da teoria dos quadripolos, pode-se estudar a associao de linhas emcascata. Sendo dois quadripolos Q1 e Q2, a associao em srie ser igual aQ = Q1 Q2, ou:[

    V1I1

    ]=

    [A1 B1C1 D1

    ][A2 B2C2 D2

    ] [V2I2

    ]= (7.16)

    =

    [A1A2 +B1C2 A1B2 +B1D2C1A2 +D1C2 C1B2 +D1D2

    ] [V2I2

    ]sendo que a ordem dos circuitos relevante, logo a associao Q = Q2 Q1.De maneira geral, Q 6= Q.

    A associao em cascata pode ser usada para calcular o quadripolo equi-valente de uma LT com compensao.

    Ex. seja uma linha com parmetros por unidade de comprimento dez = j0, 34 /km, y = j4, 8 S/km, (a) calcule o quadripolo para umcomprimento de 600 km, obtendo os parmetros de entrada para uma

    26

  • saida de 750 kV, 2 GW, (b) divida a linha em dois quadripolos de 300 km,obtendo o quadripolo equivalente, verificando com a resposta em (a), (c)calcule os parmetros no meio da linha a partir dos calculos em (b).

    7.4 Associao em paraleloO quadripolo equivalente ser dado por[

    V1I1

    ]=

    [A1B2+A2B1B1+B2

    B1B2B1+B2

    C1 + C2 +(A1A2)(D2D1)

    B1+B2B2D1+B1D2B1+B2

    ] [V2I2

    ](7.17)

    Se tratar de duas linhas idnticas,[V1I1

    ]=

    [A B2

    2C+ D

    ] [V2I2

    ](7.18)

    8 Modelo de fluxo de potnciaPara um estudo mais apurado, seria necessrio inserir o modelo da LT nocontexto de um sistema de transmisso, com barras geradoras e cargas, inte-ragindo entre si. De forma simplificada, pode-se arbitrar duas barras, aondeno modelo do quadripolo assume-se uma barra passiva, com tenso e correnteconhecidos. Outra forma prtica de estudar assumir duas barras fortes,com tenses definidas, calculando-se as correntes e potncias.

    Seja uma linha conectando duas barras com tenses definidas, V1 e V2,cujo mdulos e ngulos no sejam alterados pela insero da linha, a correnteentre as barras ser determinada basicamente pela impedncia longitudinal(usando tenso de fase), arbitrando o fluxo da barra 1 para 2:

    I =V1 V2Z

    3(8.1)

    sendo esta corrente que determinar as perdas e parte do reativo. Outraparte significante do reativo estar na admitncia, supondo esta concentradaem cada barra, obtm-se a corrente efetiva que entra ou sai de cada, I1 e I2:

    I1 = I + IY 2 (8.2a)I2 = I IY 2 (8.2b)

    27

  • Exemplo: Calcule a potncia transmitida e perdas em uma LT, 345 kV,impedncia total de 6 + j50 , as barras com tenses (fase-fase) V1 =345 0 kV e V2 = 320 10 kV.

    Soluo: Lembrando em converter V1 e V2 para tenses fase-neutro, ouconvertendo direto na equao: I = V1V2

    Z3

    = 723, 32 21, 4 A. Pode-secalcular a perda como P = 3RI2 = 9, 4 MW.

    A potncia transmitida pode ser calculada por S2 = 3 V2 I =(392, 93 + j79, 30) MVA. (sendo esse reativo somente pela parte do Lda linha). Ou fazendo pela frmula aproximada, P = |V1||V2|X sen =383, 4 MW.

    9 Compensao de linhasA compensao de reativo em uma linha consiste em balanar a impednciaou a admitncia com capacitores em srie ou reatores em paralelo, respecti-vamente. No ponto de vista eltrico, o efeito ser de encurtar a linha.

    Cada tipo de compensao especfica para uma condio da LT: a com-pensao srie especfica para a condio de plena carga e a compensaoshunt para a linha em vazio. Fora destas condies, a compensao torna-seum excesso de reativo, mas o seu chaveamento raramente apropriado.

    A soluo o uso de elementos de compensao ativa, seja reatores oucapacitores chaveados por eletrnica, ou at elementos eletrnicos que contro-lam diretamente os reativos. Devido ao custo elevado destas solues, pode-setambm utilizar configuraes mistas de elementos passivos e ativos. Maioresdetalhes podem ser encontrados em [13, p. 627].

    Para linhas muito longas, a compensao distribuda ao longo da linha,criando-se subestaes intermedirias.

    9.1 Compensao srieConsiste em reduzir a reatncia longitudinal da linha utilizando-se capacitoressrie, reduzindo a impedncia equivalente. O efeito ser equivalente a umencurtamento eltrico, elevando a capacidade de transmisso.

    Seja uma LT com uma impedncia caracterstica Zc no qual

    Zc =L

    C=

    XlBc

    (9.1)

    a compensao srie ser proporcional reatncia longitudinal, na forma

    Xc = nsXl (9.2)

    28

  • sendo ns o percentual de compensao srie. Desenvolvendo, pode-se descre-ver a nova impedncia caracterstica na forma

    Z c =Xl XcBc

    = Zc

    1 ns (9.3)

    juntamente com a constante de propagao

    = 1 ns (9.4)

    O uso de capacitores srie deve ser feito cuidadosamente na proximidade deusinas, devido ao efeito de ressonncia subsncrona (ou SSR - subsynchronousressonance).

    Vantagens e desvantagens:

    Aumenta a capacidade de transmisso

    Compensa a indutncia da linha (XL XC) Aproxima eletricamente as barras, aumentando a estabilidade

    Eleva a tenso de uma linha carregada

    Pode originar em ressonncias sub-sncronas (SSR) com as mquinasgeradoras, em geral em mquinas trmicas.

    Origina sobretenses violentas, sendo necessrio uma proteo especfica(centelhadores, disjuntor de bypass, pra-raios)

    Equipamento pesado que encontra-se no potencial da linha, sendo ne-cessrio uma estrutura grande de sustentao.

    Um desenvolvimento da tecnologia o TCSC (Tyristor controlled Series Ca-pacitor) no qual sua capacitncia varivel pode minimizar os problemas, prin-cipalmente de SSR.

    Figura 6: Configurao de compensao srie e TCSC

    29

  • 9.2 Compensao paralela (shunt)A compensao em geral especificada em um percentual relativo impedn-cia ou admitncia da linha. Pode-se, a grosso modo, subtrair as reatnciasda linha com a da compensao para obter o equivalente. Na prtica, os m-dulos de compensao sero instalados nas extremidades da linha, dentro dassubestaes.

    9.3 Modelo de compensao por quadripolosUm mdulo de compensao srie/ paralelo tambm pode ser modelado comocircuito um como um quadripolo. Um capacitor srie Cs teria como parme-tros ABCD:

    A = 1 (9.5a)

    B =1

    j Cs= j nsXl (9.5b)

    C = 0 (9.5c)D = 1 (9.5d)

    Um reator shunt Lp seria

    A = 1 (9.6a)B = 0 (9.6b)

    C =1

    j Lp= j npBc (9.6c)

    D = 1 (9.6d)

    sendo np o percentual de compensao paralela.

    Vendo como exemplo a figura 7, usando ambas as compensaes, sendoQLT o quadripolo original da linha, Qc o quadripolo do capacitor srie eQl o quadripolo do reator shunt, o quadripolo equivalente ser

    Q = Qc Ql QLT Ql Qcrespeitando-se a ordem dos elementos do circuito.

    30

  • Ze = R + j Xl

    Ye = j Bc

    I1

    V1

    I2

    V2

    - j Xc - j Xc

    - j Bl- j Bl

    Figura 7: Representao por quadripolo de compensao srie e paralelo emcada extremidade.

    10 Clculo dos parmetros eltricos - modelodetalhado

    Nesta seo apresenta-se um modelo que incorpora elementos adicionais, cujainfluncia pode ser determinante em certas condies e estudos.

    10.1 Modelo de impedncia prpria, considerando efeitopelicular

    A premissa de corrente uniforme na equao 4.5 uma aproximao usual,porm pouco usada na prtica. Para incorporar o efeito pelicular no clculoda impedncia interna, necessrio resolver uma equao diferencial [15], cujoresultado igual a

    Zi =j

    2pi

    I0()

    I1()(10.1)

    = rj (10.2)

    sendo I0 e I1 as funes de Bessel de primeira e segunda espcie9, a condu-tividade do material, e a permeabilidade magntica. Esta frmula vlidapara condutores de seo circular, e j fornece diretamente a resistncia e areatncia.

    Para cabos compostos, pode-se desprezar o efeito do material do ncleo,considerando somente o material da coroa. Um clculo mais preciso considerao condutor como um tubo, conforme descrito no anexo C.3. O valor real da

    9Implementado no Matlab e Scilab como besseli(0,x) e besseli(1,x), respectiva-mente.

    31

  • impedncia prpria ser aproximadamente igual aos valores encontrados emtabela.

    Para a correo da resistncia pela temperatura, ajusta-se a condutivi-dade do material, sendo necessrio conhecer o coeficiente de variao (noconfundir com o coeficiente de dilatao):

    f = 0[1 + (0 )] (10.3)sendo 0 a condutividade de referncia e 0 a temperatura no qual a condu-tividade inicial se refere.

    O clculo da matriz impedncia ser

    Z =

    Zia 0 00 Zib 00 0 Zic

    + j 2piM (10.4)

    M =

    ln2hara

    ln Dabdab lnDacdac

    ln Dbadba ln2hbrb

    ln Dbcdbcln Dcadca ln

    Dcbdcb

    ln 2hcrc

    (10.5)e no mais necessrio usar o raio corrigido r, pois seu efeito est inclusonos elementos Zi, e a matriz M torna-se nica para o clculo da impednciae da admitncia.

    Para uma linha com feixe de condutores, a matriz impedncia ser formadapor cada subcondutor. Por exemplo, uma linha trifsica com fases a, b e c,com cada feixe com n subcondutores:

    Z =

    Za11 Za12 Za1n Za1b1 Za1c1 Za1cnZa21 Za22 Za2n

    ...Zan1 Zan2 Zann

    Zb1a1... Zb11 Zb1cn

    .... . .

    Zc1a1 Zc11Zcna1 Zcnn

    (10.6)

    observa-se que considerado o efeito entre cada subcondutor, individual-mente. Pode-se particionar a matriz pelas fases, sendo cada submatriz comn n elementos10:

    Z =

    Zaa Zab ZacZba Zbb ZbcZca Zcb Zcc

    (10.7)no final queremos reduzir esta matriz para um equivalente por fase, 3 3.

    10No necessariamente cada fase tem que ter a mesma quantidade de subcondutores, poreste mtodo pode-se ter qualquer possibilidade, s no exposta uma forma totalmentegenrica porque seria inovao em excesso...

    32

  • 10.2 Efeito do soloAs equaes 4.5 e seguintes assumem que o solo ideal, ou seja possuicondutividade infinita ou resistividade zero, no qual desta forma comportarcomo um espelho no mtodo das imagens.

    Ao se considerar o solo com uma resistividade diferente de zero, e de fatopodemos ter valores de 10 a 10.000 m, o efeito do espelho ser distorcido.Algumas teorias usuais so a aproximao de Pollaczek [16], Carson [4] e Deri[5], esta ltima conhecida como profundidade complexa: o efeito do solo embutido nas equaes existentes como um nmero complexo, ou seja, aparcela h ser igual a:

    h = h+ d (10.8)

    d =1

    j =

    j (10.9)

    sendo a condutividade do solo, a frequencia angular do sistema e apermeabilidade magntica, em geral prxima do vcuo (0 = 4pi107 H/m).

    Pensamento: na prtica, os parmetros do solo variam bastante, aolongo da linha, e at ao longo do tempo, mas sempre realizam-se estudoscom parmetros determinsticos. Considere por exemplo uma transpo-sio, supostamente ideal, aonde um trecho passa por uma regio comresistividade 1, o segundo trecho passa por uma resistividade 2... qualser o efeito de se assumir um valor fixo?

    Qual ser o desvio nos clculos ao se considerar um valor de resisti-vidade diferente? No h um mtodo prtico para resolver isso, somenteum tratamento estatstico pode avaliar o erro.

    O efeito do solo real mais relevante no clculo nos parmetros de sequn-cia zero, afetando particularmente os estudos de faltas monofsicas, e seusmeios de mitigao (ex. religamento monopolar).

    Este modelo no se aplica para o clculo da admitncia, pois o solo noafeta significativamente a capacitncia da linha.

    Ex.: para um solo de 100 , a distncia complexa para 60 Hz ser

    d =1

    1/100j 2pi 60 4pi107 = 324, 87 j324, 87 m

    para um solo de 10 , d = 102, 73 j102, 73 m. Para o solo de 10 ,com uma frequncia de 1 kHz, d = 25, 16 25, 16 m.

    33

  • Calculando a indutncia prpria de um cabo, com 1 cm de raio e umaaltura mdia de 10 m, primeiro com o solo ideal:

    L =02pi

    ln2 100, 01

    = 1, 5202 106 H/m

    com o solo de 100 :

    L =02pi

    ln2 (10 + 324, 87 j324, 87)

    0, 01= (2, 2887 j0, 1541) 106 H/m

    essa indutncia complexa ir se converter em uma resistncia adicional.Desprezando a resistncia do cabo, obtm-se

    ZL = j L = (0, 0581 + j0, 8629) 103 /m

    com o solo de 10

    L =02pi

    ln2 (10 + 102, 73 j102, 73)

    0, 01= (2, 0651 j0, 1478) 106 H/m

    essa diferena tende a se anular quando calcula-se a impedncia de sequn-cia positiva (Zp Zm), porm o efeito se amplia na sequncia zero(Zp + 2Zm).

    10.3 Efeito dos cabos para-raiosOs cabos para-raios protegem as fases ou polos contra descargas atmosfricasdiretas. Mas sua proximidade provoca uma interao eletromagntica. Emnosso modelo o cabo ser uma fase adicional, acrescentando mais uma linhae uma coluna na matriz.

    Neste ponto determinante o tipo de ligao dos para-raios, que podemser aterrados ou isolados11. O para-raio aterrado ter potencial zero (Vg = 0)e ter corrente induzida, enquanto que isolado no haver corrente (Ig = 0),mas ter potencial induzido. Cada ligao tem vantagens e desvantagens.Para qualquer opo, a matriz impedncia ser na forma, por exemplo comdois cabos pra-raios:

    11Na verdade a isolao do para-raio mnima, somente para no circular corrente emcondies normais, pois na incidncia de uma descarga ele deve escoar para o solo

    34

  • vavbvcvg1vg2

    =

    zaa zab zac zag1 zag2zba zbb zbc zbg1 zbg2zca zcb zcc zcg1 zcg2zg1a zg1b zg1c zg1g1 zg1g2zg2a zg2b zg2c zg2g1 zg2g2

    iaibicig1ig2

    (10.10)Para cabos para-raios continuamente aterrados, divide-se a matriz impe-

    dncia (ou particionamento) em quatro partes [6, p. 4-15]:[vuvg

    ]=

    [Zuu ZugZgu Zgg

    ] [iuig

    ](10.11)

    no qual a matriz reduzida ser

    vu = Zred iu (10.12)

    Zred = Zuu Zug Zgg1 Zgu (10.13)o mesmo mtodo pode ser aplicado na matriz M antes de determinar a ad-mitncia12:

    MY =

    [Muu MugMgu Mgg

    ](10.14)

    MYred = Muu Mug Mgg1 Mgu (10.15)C = 2pi 0MY

    1red (10.16)

    Lembrando que os cabos para-raios geralmente so de ao, com valoresde permeabilidade relativa acima de 1. No existe referncias exatasquanto a permeabilidade deste tipo de ao, sendo aceitvel considerarvalores entre 50 e 100 0.

    Por exemplo, para r = 100, o raio equivalente ser

    r = r e1004 = 1, 3888 1011 r

    ou seja, bem diferente de 0,7788!

    12Para a impedncia deve-se aplicar a reduo aps somar a resistncia, incluindo doscabos para-raios.

    35

  • Exemplo: uma LT com cabos Falcon (Rca = 0, 0448 /km, 39,23 mm), 3 cabos por fase, espaamento 80 cm, disposio em nabla,fase central a 15 m de altura mdia, fases laterais a 8 m de distncia ho-rizontal do centro, 20 m de altura mdia, com 2 cabos guarda (EHS 3/8,Rca = 4, 2324 /km, 9,14 mm, = 1000) a 6 m de distncia horizon-tal do centro, 35 m de altura mdia. Obtm-se como matriz impednciaprimitiva:

    Z =

    0.01493 j0.10077 j0.07468 j0.09735 j0.07671+j0.33657

    j0.10077 0.01493 j0.10077 j0.06638 j0.06638+j0.33657

    j0.07468 j0.10077 0.01493 j0.07671 j0.09735+j0.33657

    j0.09735 j0.06638 j0.07671 4.2324 j0.13406+j2.61155

    j0.07671 j0.06638 j0.09735 j0.13406 4.2324+j2.61155

    /km

    aplicando a equao 10.15, obtm-se (em /km):

    Zred =

    0.0123768 + j0.3382288 0.0019213 + j0.1020155 0.0024816 + j0.07629420.0019213 + j0.1020155 0.0134680 + j0.3158326 0.0019213 + j0.10201550.0024816 + j0.0762942 0.0019213 + j0.1020155 0.0123768 + j0.3382288

    observa-se agora a presena de parte real nas mtuas, devido ao retorno

    pelo para-raios. Para programar em Maltab ou Scilab, o comando ser:zred = z(1:3,1:3) + z(1:3,4:5)/z(4:5,4:5)*z(4:5,1:3)

    10.4 Modelo de circuito duploPode-se modelar uma linha com dois (ou mais) circuitos unindo a fase de cadacircuito. Porm, o uso do RMG deixa de ter validade para distncias muitolongas. Ser necessrio um tratamento matricial.

    Seja uma linha de seis condutores genricos, com uma relao entre tensoe corrente por unidade de comprimento representada abaixo:

    V1V2V3V4V5V6

    =z11 z12 z13 z14 z15 z16z21 z22 z23 z24 z25 z26z31 z32 z33 z34 z35 z36z41 z42 z43 z44 z45 z46z51 z52 z53 z54 z55 z56z61 z62 z63 z64 z65 z66

    I1I2I3I4I5I6

    (10.17)

    Sendo agora esse sistema ligado como um circuito duplo, no qual Va =V1 = V4, Vb = V2 = V5 e Vc = V3 = V6. Por sua vez, as correntes sero

    36

  • somadas, Ia = I1 + I4, Ib = I2 + I5 e Ic = I3 + I6.Esse procedimento pode ser encontrado em [2, p. 108], podendo inclusive

    ser usada para o clculo preciso da impedncia de feixe de condutores. Namesma referncia [2, p. 137] estuda-se o desbalano entre os circuitos, que podecausar por exemplo correntes circulantes. Um procedimento mais completo abordado em [6].

    Pensamento: para modelar uma linha hexafsica, pode-se partir daequao 10.17, assumindo os valores V1 a V6 fasores simtricos defasadosem 60, e seguindo a mesma metodologia do captulo 4. Como chegar aoequivalente monofsico?

    10.5 Clculo das componentes de sequncia zeroComo visto nas equaes 5.2 e 5.3, a impedncia e a admitncia de sequnciazero muito influenciada pela componente mtua (Zm e Ym). Neste ponto amodelagem correta do solo ser determinante, e a aproximao de solo idealdeixa de ser desprezvel.

    Da mesma forma que na sequncia positiva, podemos deduzir uma im-pedncia caracterstica de sequncia zero, Zc0 =

    Z0Y0

    , que determinar apropagao de componentes homopolares.

    Conforme mostrado em estudos de fluxo de potncia e componentessimtricas, a componente de sequncia zero influente no clculo de falhas decurto-circuito, especificamente em curto monofsico, sendo este o tipo maiscomum de ocorrncia em linhas de transmisso.

    Estudos recentes buscam otimizar a recuperao da linha frente a defeitosmonofsicos, realizando o religamento monopolar.

    11 Estudo detalhado de um sistema de trans-misso atravs de matriz Ybarra

    Nesta seo apresenta-se um sistema completo, composto por um tronco com2 LTs, suas respectivas compensaes, e duas barras de um sistema fictcio,representadas por seus equivalente Thevenn.

    Ser estudado o estado do sistema em trs condies: fluxo com potncianominal das LTs, o sistema em vazio, energizado por uma das barras, e oefeito de curto-circuito em uma das LTs.

    Novamente ser usado o exemplo da LT raquete, para um comprimentode 300 km e compensada em 50%, tanto srie quanto paralelo.

    37

  • 12 Requisitos eltricos de projeto de linhas detransmisso

    Nesta seo sero listados os requisitos eltricos, a parte do clculo dos pa-rmetros bsicos, fundamentais para avaliar o desempenho ou segurana doprojeto. Basicamente os requisitos so relacionados ao desempenho e a segu-rana.

    Entende-se como desempenho os aspectos que descreveram o efeito da linhasob diversas condies, como em regime permanente e em regime transitrio,como ao manobrar uma chave ou ao incidir uma descarga atmosfrica.

    Os requisitos de segurana traduzem o efeito da linha no ambiente, empessoas ou outros seres vivos, na forma de radiao no-ionizante, rudo e atriscos de queda e poluio visual. Para estes efeitos, a distncia elementodeterminante, e o que vai estipular a faixa de passagem da linha, sendo parcelaimportante no custo final.

    Sobre o critrio eltrico, podemos tambm dividir os efeitos na origem:seja na tenso, como em linhas EHV, ou na corrente, mais evidente em linhasde distribuio.

    12.1 Efeitos originados pela tenso12.1.1 Efeito corona

    O efeito corona a causa de diversos fenmenos presentes particularmente emlinhas de extra-alta tenso (345 kV e superior), mas pode ocorrer em nveisde tenso mais baixos, de acordo com a instalao.

    O efeito coroa uma descarga parcial que ocorre em um meio gasoso, napresena de um gradiente de campo eltrico intenso, geralmente presente emcondutores com pequeno raio de curvatura, mas no qual no provoca a dis-rupo completa do gs. A geometria do condutor provocar uma deformaono campo, tornando a descarga autossustentada e com a ionizao confinadaprxima ao condutor.

    Deste fenmeno origina-se principalmente perdas eltricas, interfernciaeletromagntica, e rudo audvel. Outros aspectos so a gerao de oznio,degradao de materiais e surgimento de um brilho violeta.

    12.1.2 Radio-interferncia

    O efeito corona produz rudo eletromagntico em uma ampla faixa de frequn-cia, que estende-se pelas ondas de rdio e de TV. Atualmente no existe con-senso (normatizao atualizada) quanto aos limites a serem impostos, especi-ficamente quanto a medio da interferncia. Isto deve-se aos equipamentos,que usualmente medem somente uma frequncia, ex. 500 kHz ou 1 MHz, masa interferncia nem sempre se concentra em um valor usual.

    38

  • 12.1.3 Rudo audvel

    O efeito mais perceptvel nas linhas de transmisso em condies normais orudo acstico. O rudo de alta frequncia assemelha-se a um som de frita-deira, caracterstico do efeito corona em cabos e ferragens de linhas, enquantoque o rudo de 120 Hz, mais grave, originado na vibrao dos ncleos detransformadores, e eventualmente tambm nas linhas. Novamente, temos doisefeitos originados da tenso (corona) e da corrente (vibrao magntica).

    12.2 Campo eltricoA linha emitir campo eltrico em toda a sua vizinhana, sendo proporcionala sua tenso. Este efeito atenuado se as trs fases (ou os dois polos) estaremmais prximas entre si, fazendo com que o campo eltrico distante de cada faseou polo se anule. Por razes bvias h um limite prtico na aproximao dasfases. Os cabos para-raios tambm interagem com o campo eltrico, podendoatenu-lo como uma blindagem. Inclusive j se utiliza cabos aterrados abaixodas linhas para atenuar o campo eltrico em reas crticas.

    O efeito que o campo eltrico provoca em pessoas e objetos a indu-o de corrente por polarizao. Este efeito amplificado devido distor-o do campo provocada pela presena da pessoa, ou seja, o campo tende ase concentrar de 10 a 20 vezes na cabea [7], comparado ao campo na au-sncia de objetos. Portanto, o campo eltrico calculado ou medido (de 1 a10 kV/m) aparenta ser relativamente baixo, mas na prtica ele eleva-se para20 a 200 kV/m.

    Um experimento artstico (http://www.richardbox.com) demonstrou a in-duo em lmpadas fluorescentes devido ao campo eltrico.

    Adota-se no Brasil a orientao do ICNIRP [11], no qual limita a exposi-o ocupacional (ou seja, por pessoal qualificado) em 10 kV/m a 50 Hz, ou8,33 kV/m a 60 Hz, e exposio do pblico em geral em 5 kV/m a 50 Hz, ou4,2 kV/m a 60 Hz.

    12.2.1 Polarizao e induo em cabos prximos

    O campo eltrico tambm provoca polarizao em objetos, incluindo circuitos,cercas e canalizaes. Se os objetos estiverem isolados, a tenso induzidatende a se descarregar ao realizar o contato com o terra, que pode ser porexemplo uma pessoa abrindo uma cerca, ou uma manobra de manuteno emum gasoduto...

    Pode-se simular o efeito da polarizao em outros condutores (cabos telef-nicos, linha de distribuio ou rede de dados, cercas e encanamentos) atravsde uma matriz: cada cabo paralelo entra como uma linha e uma coluna adi-cional na matriz impedncia e admitncia. Pode-se inclusive assumir umasimulao em alta frequncia, supondo um sinal originado do efeito corona,induzindo interferncia em uma rede de dados, entre outras possibilidades.

    39

  • 12.2.2 Corrente inica (CC)

    Na presena de efeito corona, ocorre a gerao de ons da mesma polaridadedo eletrodo, que sero repelidos. No caso da corrente alternada, a inversode polaridade provoca uma atrao destes ons no ciclo seguinte, porm emCC sempre haver produo e repulso de ons, preenchendo o ambiente emtorno do condutor.

    A propagao dos ons no espao a corrente inica, que provoca umaumento do campo eltrico no solo, aumentando ainda mais os efeitos sobreseres vivos.

    Adicionalmente, os ons tendem a atrair partculas no ar, como poluio,provocando o acmulo anormal, por exemplo, em cadeias de isoladores, motivopelo qual o isolamento em linhas de CC um ponto crtico de projeto.

    12.3 Efeitos originados pela corrente12.3.1 Ampacidade

    A capacidade de corrente de um cabo depende simultaneamente de trs fa-tores: resistncia eltrica, temperatura mxima e flecha. O equilbrio destestrs fatores indica a melhor aplicao do cabo.

    A resistncia eltrica traduz diretamente para perdas, logo em linhas lon-gas este fator ser determinante. Eventualmente um cabo com maior resis-tncia pode ser usado em trechos especficos, tais como uma travessia, aondea flecha ser crtica.

    A flecha do condutor definida pela temperatura atual no condutor, ea trao mecnica no qual o cabo est solicitado. Atualmente estuda-se aelevao da trao de projeto, com o advento da monitorao on-line da linhapode-se acompanhar o desempenho.

    A temperatura do cabo influenciada pela corrente e radiao solar comoelementos de entrada de energia, e a dissipao por conveco natural, con-veco forada (vento) e radiao. O conjunto destes elementos produz umalcance estatistico da capacidade do cabo, que por sua vez influencia nos doisfatores anteriores.

    Um aspecto mais complexo o clculo da ampacidade em condies tran-sitrias, como em curto-circuito. Nesta modelagem o cabo recebe um pulsode energia trmica, no qual sua dissipao relativamente lenta, e o entendi-mento desta dinmica fundamental para condies de emergncia.

    12.3.2 Campo magntico

    Adota-se no Brasil a orientao do ICNIRP, no qual limita a exposio ocu-pacional em 500 T a 50 Hz, ou 420 T a 60 Hz, e exposio do pblico emgeral em 100 T a 50 Hz, ou 83 T a 60 Hz.

    40

  • 12.3.3 Induo

    Da mesma forma que a polarizao pelo campo eltrico, na seo 12.2, ainduo magntica ser provida pela indutncia mtua entre circuitos. Nestecaso, a matriz impedncia expandida (incorporando os condutores externos) que determinar o efeito, ao contrrio da polarizao que vista pela matrizadmitncia.

    12.4 Manuteno em linha vivaEm sistemas como do Brasil, com pouca tolerncia sada de linhas, ne-cessria a prtica de manuteno em linha viva. Para o projeto de linhas,no h uma metodologia definida, sendo necessrio adotar a prtica de cadaempresa.

    12.5 Desempenho em sobretensesO estudo de sobretenses pode ser realizado, por exemplo, com estudo depropagao de ondas. A noo bsica demonstrada na seo C.5.

    Uma sobretenso qualquer tenso transitria entre fase e terra, ou entrefases, cujo valor de pico seja superior ao valor da tenso mxima do sistema(Vm

    23para fase-terra, Vm

    2 entre fases)

    12.6 Sobretenses transitrias de frente rpida (surtosatmosfricos)

    Sobretenses originadas em linhas de transmisso, no qual ondas viajantespodero chegar na subestao e danificar os equipamentos.

    Ordem de 1 a 10 s de tempo de frente, 50 a 100 s de tempo de cauda.O tempo de norma 1,2/ 50 s.

    Parmetro significante em sistemas de tenso at 230 kV.

    12.7 Sobretenses transitrias de frente lenta (surtos demanobra)

    Parmetro significante em sistemas de tenso acima de 230 kV.Ordem de 100 a 500 s de tempo de frente, 1 a 5 ms de tempo de cauda.

    O tempo de norma 250/ 2500 s.OrigensProcura-se estudar as sobretenses no terminal da origem do surto e no

    terminal oposto, este segundo em geral apresentar a maior sobretenso.

    41

  • Figura 8: Sobretenses de energizao devido a indutncia da fonte e pelocomprimento da linha [9]

    12.7.1 Energizao de linha

    Energizao de uma linha em vazio, podendo conter uma carga no final ouno.

    Surtos de 2,5 a 3 pu, podendo cair para 1,5 a 2,1 pu caso sejam utilizadosdisjuntores com resistores de pr-insero, ou 1,5 a 1,7 pu com sincronizaode polos do disjuntor.

    12.7.2 Religamento de linha

    Energizao de uma linha logo aps o seu desligamento (em torno de 1 s), noqual a linha possa conter uma carga residual devido a sua capacitncia. Asobretenso do religamento depender d diferena entre as polaridades.

    Surtos de 2,5 a 4 pu, podendo cair para 1,7 a 2,5 pu caso sejam utilizadosdisjuntores com resistores de pr-insero, ou 1,2 a 1,7 pu com resistores deabertura, ou 1,3 a 1,6 pu com sincronizao de polos do disjuntor.

    42

  • 12.7.3 Ocorrncia de falta

    12.7.4 Chaveamento de corrente capacitiva

    Queda de linha

    Chaveamento de banco de capacitores (energizao 1,5 a 3 pu, re-ligamento 2 a 3,5 pu)

    12.7.5 Chaveamento de corrente indutiva

    Corrente de magnetizao de transformador: a caracterstica no-linear dotransformador pode levar a sobretenses indesejveis.

    O lao de histerese apresenta um joelho no qual abaixo deste valor oestado operativo normal do transformador, de forma aproximadamente linear.Para valores acima deste ponto de joelho, a corrente de excitao aumentabruscamente para um aumento gradual de fluxo magntico. Esta corrente deexcitao transitria conhecida como corrente de inrush.

    Nos primeiro ciclos aps a energizao, a corrente de inrush possui picosmuito superiores corrente nominal. O valor inicial da corrente dependebasicamente do ponto de onda de tenso no qual ocorreu a energizao e dofluxo residual no ncleo. Com um fluxo residual de 1 pu, o fluxo mximopode chegar a trs vezes o fluxo nominal.

    Chaveamento de reatores (1 a 1,5 pu)

    12.7.6 Chaveamentos especiais

    Capacitores em srie

    Circuitos ressonantes e ferroressonantes Chaveamento secundrio

    12.8 AterramentoO aterramento das torres de uma linha de transmisso vital para a segu-rana de pessoal e de operao, em condies nominais e particularmente napresena de faltas e surtos, aonde correntes descendentes podem produzir ele-vao de potencial nas redondezas. Esta elevao (em ingls, ground potentialrise - GPR) representado por trs valores: tenso de toque, tenso de passsoe tenso de transferncia.

    Normalmente o aterramento na torre realizado por cabos nus enterradoshorizontalmente, chamados de cabos contrapeso. Estes cabos devem asseguraruma resistncia de aterramento mnima (da ordem de 5) para toda a vidatil da linha.

    As dificuldades inerentes no projeto e implantao do aterramento so amedio dos parmetros do solo, basicamente resistividade, que pode variar

    43

  • de 10 a 10.000m, e sendo o solo heterogneo esses valores variam bastanteao longo do trajeto, e ainda ao longo do ano. Outro aspecto a corroso doaterramento e da prpria torre, que ir degradar a resistncia.

    13 Comportamento no-linear em sistemas detransmisso

    At ento apresentou-se modelos relacionados a linhas de transmisso aonde,quase todos, tratam de circuitos lineares. Infelizmente ao longo da vida til dainstalao, diversos fenmenos no-lineares ocorrem, alguns sendo possveisde serem tratados de forma linearizada, outros nem tanto. Lista-se algunsexemplos:

    Ncleo saturado de transformadores e reatores,

    Efeito corona,

    Efeito pelicular,

    Arco de potncia na falta,

    Arco de potncia na abertura de disjuntor,

    Descargas atmosfricas.

    Considerando ainda as linhas CC, existe ainda as interaes com os cir-cuitos eletrnicos, alm de alguns fenmenos acima terem uma caracterizaobem diferente (ex. efeito corona).

    Cabe ressaltar algumas premissas adotadas anteriormente que no serovlidas:

    A considerao de linha idealmente transposta, por exemplo, o efeitode uma falta ocorrendo em um trecho de transposio, tornando o pro-blema assimtrico, e provocando interaoes entre as componentes desequencia;

    O efeito do solo, considerando a maioria dos fenmenos com retorno pelosolo, pois a componente de sequncia zero possui desvio considervel aomodelar o solo real;

    A variao de alguns valores, como a resistividade do solo, ou o risco defalha no isolamento com sobretenses, impondo um tratamento estats-tico nos clculos.

    No se pretende nesta seo explicar a totalidade destes problemas, ficandocomo inspirao para trabalhos futuros.

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  • 14 Consideraes finaisEsta apostila apresenta um resumo muito breve do assunto, que possui as-pectos muito relevantes tanto para prtica quanto para pesquisa e desenvolvi-mento. Fica como sugesto um artigo [17] que aborda de forma geral mas comalguns detalhes que, apesar da aparente complexidade, inspira curiosidade. Olivro [6] tambm uma fonte importante, aonde descreve com profundidadevrios aspectos de simulao de LTs.

    Referncias[1] ABNT. NBR 5422/85 projeto de linhas areas de transmisso de

    energia eltrica, 1985.

    [2] Anderson, P. M., and Anderson, P. Analysis of faulted power sys-tems. IEEE press New York, 1995.

    [3] Arruda, C. Clculo mecnico de linhas de transmisso - notas de aula,2013.

    [4] Carson, J. R., et al. Wave propagation in overhead wires with groundreturn. Bell system technical journal 5, 539-554 (1926).

    [5] Deri, A., Tevan, G., Semlyen, A., and Castanheira, A. Thecomplex ground return plane a simplified model for homogeneous andmulti-layer earth return. Power Apparatus and Systems, IEEE Transac-tions on, 8 (1981), 36863693.

    [6] Dommel, H. W. EMTP Theory Book. Microtran Co., 1995.

    [7] EPRI. EPRI AC transmission line reference book: 200 kV and above,3rd ed. Electric Power Research Institute, Palo Alto, CA, EUA, 2005.

    [8] Fuchs, R. Transmisso de Energia Eltrica: Linhas Areas; teoria dasLinhas em Regime Permanente, 2 edio ed. Editora livros Tcnicos eCientficos, Rio de Janeiro, RJ, 1979.

    [9] Furnas/ UFF, Ed. Transitrios Eltricos e Coordenao de Isolamento- Aplicao em Sistemas Eltricos de Alta Tenso. Furnas Centrais El-tricas, 1987.

    [10] Grainger, J., and Stevenson, W. Power systems analysis. McGraw-Hill, 1994.

    [11] ICNIRP. Guidelines for limiting exposure to time-varying electric, mag-netic, and electromagnetic fields (up to 300 GHz). Health Physics 74, 4(1998), 494522.

    45

  • [12] Kiessling, F., Nefzger, P., Nolasco, J., and Kaintzyk, U.Overhead power lines: planning, design, construction. Springer, 2003.

    [13] Kundur, P. Power system stability and control. Tata McGraw-HillEducation, 1994.

    [14] Labegalini, P. R., Labegalini, J. A., Fuchs, R. D., and Almeida,M. T. Projetos mecnicos das linhas areas de transmisso. EdgardBlucher, 1982.

    [15] Lima, A. C. S. Campos & ondas - notas de aula, 2012.

    [16] Pollaczek, F. Uber das feld einer unendlich langen wechselstromdur-chflossen einfachleitung. Elektr. Nachr. Technik 3, 9 (1926), 339360.

    [17] Portela, C. M. J. C. M., and Tavares, M. C. Modeling, simulationand optimization of transmission lines. applicability and limitations ofsome used procedures. In Proceedings IEEE Transmission and Distribu-tion 2002 (So Paulo, SP, Maro 2002).

    [18] St. Clair, H. P. Practical concepts in capability and performance intransmission lines. In AIEE Pacific General Meeting (1953), vol. 72.

    [19] Stevenson, W. Elementos de anlise de sistemas de potncia, 2a ed.em portugus ed. McGraw Hill, 1986.

    A Tabela comparativa de parmetrosA tabela 4 ilustra alguns valores de parmetros para algumas configuraes delinhas de transmisso, incluindo impedncia e admitncia, mais a impednciaem pu (Z1) na base da potncia caracterstica da linha.

    Tabela 4: Exemplos de parmetros para algumas configuraes.Vff[kV]

    Condutor PC[MW]

    Z1 [/km] Y1[S/km]

    Zc[]

    Z1[pu/100 km]

    138 1 Linnet 47,8 0,205+ j0,490

    j3,370 390 0,050+ j0,121

    345 1 Drake 403 0,045+ j0,377

    j4,397 295 0,015+ j0,128

    500 4 Rail 1075 0,018+ j0,295

    j5,484 232 0,008+ j0,127

    765 4Bittern

    2024 0,016+ j0.371

    j4,474 289 0,006+ j0,128

    1000 6Bluebird

    4195 0,007+ j0,305

    j5,441 238 0,003+ j0,128

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  • B Clculo dos parmetros eltricos - modelo sim-plificado

    Ateno: o clculo apresentado abaixo uma aproximao, usual-mente encontrada na literatura. Recomenda-se realizar os clculos comodemonstrado nas sees anteriores.

    Para um clculo expedito, utiliza-se o DMG entre as fases, Deq = 3dab dbc dac,

    obtendo-se

    Z = R+ j

    2pilnDeqr

    (B.1)

    Y = j 2pi 0

    (lnDeqr

    )1(B.2)

    Lembrando que o efeito pelicular, representado por r, s incorporadona impedncia, valendo a regra de aplicar um RMG para impedncia e outropara a admitncia.

    C Tpicos avanadosLista de tpicos para pesquisa ou simples curiosidade.

    C.1 Teoria eletromagntica de linhas de transmissoPara compreender totalmente a relao entre impedncia e admitncia, ne-cessrio abordar a teoria eletromagntica das linhas de transmisso.

    Para uma linha relativamente longa em relao ao seu comprimento deonda, o modelo de circuito concentrado perde a validade, sendo necessrio amodelagem por circuito distribudo. Seja uma linha como descrita na figura9, ao longo do eixo x, e sendo z e y as relaes entre corrente longitudinal ile tenso transversal vt, sendo expressas aqui somente como i e v respectiva-mente, as relaes para cada trecho infinitesimal ditado pelo sistema:

    dv

    dx= i z (C.1a)

    di

    dx= v y (C.1b)

    A figura 9 ilustra o modelo bsico de linha de transmisso, em aproximaomonofsica, sendo o eixo x referente ao comprimento da linha, aonde divide-sea linha em elementos infinitesimais de comprimento dx, de impedncia dz e

    47

  • admitncia dy, formando um circuito escada (ou ladder). Com isso obtm-se,por exemplo, o perfil de tenses transversais vt(x) e correntes longitudinaisil(x) em qualquer ponto da linha..

    dz

    dy

    il(x)

    vt(x)

    dx

    Figura 9: Modelo de linha de transmisso

    Desenvolvendo,

    d2v

    dx2= z

    di

    dx(C.2a)

    d2i

    dx2= y

    dv

    dx(C.2b)

    Sendo a soluo na forma exponencial,

    v = A1 exp(xy z) +A2 exp(xy z) (C.3)

    no qual exp a equivalente a ea. Derivando,

    d2v

    dx2= y z [A1 exp(x

    y z) +A2 exp(xy z)] (C.4)

    substituindo

    i =1z/yA1 exp(x

    y z) 1

    z/yA2 exp(xy z) (C.5)

    sendo nesse ponto em diante assumimos z e y constantes ao longo da linha,e convencionando Zc

    z/y e y z, que sero discutidos em seguida.

    Usando como condio de contorno a barra receptora, x = 0, v = VR e i = IR:

    VR = A1 +A2 (C.6a)

    IR =1

    Zc(A1 A2) (C.6b)

    48

  • resolvendo,

    A1 =VR + IR Zc

    2(C.7a)

    A2 =VR IR Zc

    2(C.7b)

    finalmente,

    v(x) =VR + IR Zc

    2exp( x) +

    VR IR Zc2

    exp( x) (C.8a)

    i(x) =VR/Zc + IR

    2exp( x) +

    VR/Zc IR2

    exp( x) (C.8b)

    sendo assim possvel obter v e i em qualquer ponto da linha, sabendo-se osvalores na barra receptora.

    Pode-se tambm obter a energia na linha [8], no campo magntico:

    dEm =i2Ldx

    2(C.9)

    e no campo eltrico

    dEe =v2Cdx

    2(C.10)

    no total

    v i dt =i2Ldx

    2+v2Cdx

    2(C.11)

    sendo aproximadamente uma linha sem perda, u = i Zc = i

    LC ,

    dEe =

    (i

    L

    C

    )2Cdx

    2=i2Ldx

    2= dEm (C.12)

    sendo assim a energia do campo eltrico igual ao do campo magntico.

    C.2 Impedncia de condutores compostosPara cabos de construo composto, ex. mltiplo fios ou diferentes materiais,o raio interno ser dado pelo RMG, em geral tabelado.

    C.3 Impedncia de condutores tubularesO efeito pelicular em condutores compostos (como no caso do ASCR, alumniocom alma de ao) provoca uma nova formulao da impedncia interna. Con-siderando que o material da alma possui condutividade razoavelmente inferior

    49

  • ao da coroa, podemos considerar o cabo como sendo um condutor tubular,com raio interno r0 e raio externo r1. Sua impedncia interna ser

    Zi =j

    2pi r0

    K1(0)I0(1) +K0(1) I1(0)

    I1(1)K1(0) I1(0)K1(1) (C.13)

    0 = r0j (C.14)

    1 = r1j (C.15)

    sendo I0, I1, K0 e K1 funes de Bessel.

    C.4 Modelagem de cabos subterrneos e submarinosO modelo eltrico de um cabo anlogo s linhas areas, mas a sua obteno bem mais complexa, devido variedade de materiais envolvidos, compa-rado aos cabos nus. Estes materiais iro impor uma variao dos parmetroseltricos ( e ), que podem variar com diversos fatores como temperatura epresso, alm da existncia, no mais desprezvel, da condutncia transversalG.

    O uso de cabos tripolares tambm elevar as componentes mtuas entreas fases, e este o principal parmetro que reduz a aplicao de cabos emalta tenso CA. Em CC, outro fatores regem o projeto, como a possibilidadede migrao de ons no isolamento.

    C.5 Propagao de ondasUma linha de transmisso usualmente encontra-se em uma dimenso de cir-cuito distribudo, ou seja, possui dimenses comparveis, ou superiores, aocomprimento de onda eltrico. Desta forma, por exemplo, ao se ligar umafonte em uma extremidade da LT, a outra extremidade no ser sentidaat um tempo especfico. Ou seja, em um tempo t = 0, a fonte enxergasomente o incio da LT, injetando energia que percorrer o circuito at o final,que ento percebe-se uma impedncia (ou um curto ou circuito aberto), quepor sua vez provocar uma reao, ou reflexo. Uma onda ir retornar ata fonte, que ento enxergar a totalidade do circuito, e rebater com umanova onda! Haver ento algumas interaes entre as extremidades, at quefinalmente correntes e tenses entrem em convergncia para um sistema emregime permanente. Esta dinmica, que pode ser muita rpida para a per-cepo humana, implicar em sobretenses importantes, e que eventualmenteno devero ser desprezadas.

    Estes fenmenos podem ser estudados com a teoria da onda viajante.

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