Clculo FinanceiroCarlos RebochoTlm.: 96 803 31 70; e-mail: chcrebocho@sapo.pt

Nuno Angelino

Apresentao Disciplina Conceitos bsicos Capitalizao, Actualizao e taxas de

juros

Operaes financeiras Rendas Emprstimos: Bancrios Obrigacionistas

Conceitos bsicos O tempo O capital A taxa de juro

Capitalizao, Actualizao e Taxas juro

Capitalizao, Actualizao e taxas juro Consumo Aforro (ou Poupana) Entesouramento (Capital monetrio) Improdutivo

Investimento (Capital financeiro) Juro

Capitalizao, Actualizao e taxas juro Capitalizao

Co

Cn

Co = Capital inicial Cn = Capital futuro

Capitalizao, Actualizao e taxas juroRegime de capitalizao (Lei de formao do juro)

Regime juro composto

Regime juro simples

Regime puro simples

Regime dito simples

Capitalizao, Actualizao e taxas juro Frmula Geral de Capitalizao

C0 C1 C2 C3 C40i0

Ct-1 Ctt-1it1

1i1

2i2

3i3

4

t

C1 = C0 + C0 io = C0(1+i0) C2 = C1 + C1 i1 = C1 (1+i1) = C0(1 + i0)(1+i1) C3 = C2 + C2 i2 = C2 (1+i2) = C0(1 + i0)(1+i1)(1+i2)

Ct = Ct-1 + Ct-1 it-1 = Ct-1 (1+it-1) = C0(1 + i0)(1+i1)(1+i2)(1+it-1)

Capitalizao, Actualizao e taxas juro Frmula Geral de CapitalizaoCt = Ct-1 + Ct-1 it-1 = Ct-1 (1+it-1) = C0(1 + i0)(1+i1)(1+i2)(1+it-1)

t-1

Ct = C0 . 4 (1+is)s=0

Capitalizao, Actualizao e taxas juroRegime Juro Simples

Hiptese:

i0 it = 1 + i0.tem que : it = Taxa de capitalizao i0 = Taxa Juro do perodo [0,1] t = n. perodos

Capitalizao, Actualizao e taxas juroRegime Juro Simplesi0 i0 i0 i0 [1 + Ct = C0 (1+i0) (1 + ) (1 + ) (1 + ) ] 1+i0.1 1+i0.2 1+i0.3 1+i0.(t-1)1+i0.2 1+i0.3 1+i0.4 1+i0.t )( ) ( )[ ] 1+i0.1 1+i0.2 1+i0.3 1+i0.(t-1)

Ct = C0 (1+i0) (

Ct = C0 (1+i0.t)

Capitalizao, Actualizao e taxas juroRegime Juro Simples

Taxa de Capitalizao it = Juro peridico = C0 x i0 = Ct x it Juro = Ct C0 Juro = C0 x i0.t

i0 i0.t

Capitalizao, Actualizao e taxas juroExemplo : O Sr. Joaquim depositou a quantia de 1.000 durante 3 anos taxa de juro inicial de 10% ao ano. a) Determine o juro vencido em cada ano b) Determine o total de juros vencidos c) Determine o valor acumulado

Capitalizao, Actualizao e taxas juroResoluo:

Regime Juro Simples

a) Determine o juro vencido em cada ano : Juro peridico = C0 x i0 = Ct x it Juro 1 = 1.000 x 0,1 Juro 1 = 100 Juro 2 = 1.000 x 0,1 = 1.100 x 0,0909 Juro 2 = 100 Juro 3 = 1.000 x 0,1 = 1.200 x 0,0833 Juro 3 = 100

Capitalizao, Actualizao e taxas juroResoluo:

Regime Juro Simples

Ct = C0 (1 i0.t)

b) Determine o total de juros vencidos :

Juro = C0 x i0.t Juro = 1.000 x 0,1 x 3 Juro = 300

Capitalizao, Actualizao e taxas juroResoluo:

Regime Juro Simples c) Determine o valor acumulado :

Ct = C0 x ( 1 + i0.t ) Ct = 1.000 x ( 1 + 0,1 x 3) Ct = 1.300

Capitalizao, Actualizao e taxas juroRegime Juro Composto Hiptese: i0 = i1 = i2 = = it = i Taxa de capitalizao constante (1+i)

Ct = C0 (1+i) (1+i) (1+i) (1+i)

t

vez es

Capitalizao, Actualizao e taxas juroRegime Juro Composto

Capitalizao

Ct = C0 ( 1 + i ) tem que :

Ct = Capital Futuro (valor acumulado) C0 = Capital Inicial (valor actual) i = Taxa de Juro t = n. perodos

Capitalizao, Actualizao e taxas juroRegime Juro CompostoCapitalizao

Ct = C0 (1+ i)

t

Juro do perodo t = Ct-1 x i = C0 (1+i)t-1 x i Juro = Ct C0

Capitalizao, Actualizao e taxas juroExemplo : O Sr. Joaquim depositou a quantia de 1.000 durante 3 anos taxa de juro de 10% ao ano. a) Determine o juro vencido em cada ano b) Determine o valor acumulado c) Determine o total de juros vencidos

Capitalizao, Actualizao e taxas juroResoluo:

Regime Juro Composto a) Determine o juro vencido em cada ano : Juro t = Ct-1 x i Juro 1 = 1.000 * 0,1 Juro 1 = 100 Juro 2 = 1.100 * 0,1 Juro 2 = 110 Juro 3 = 1.210 * 0,1 Juro 3 = 121

Capitalizao, Actualizao e taxas juroResoluo:

Regime Juro Composto b) Determine o valor acumulado :

Ct = C0 ( 1 + i ) t Ct = 1.000 x ( 1 + 0,1 ) 3 Ct = 1.331

Capitalizao, Actualizao e taxas juroResoluo:

Regime Juro Composto c) Determine o total de juros vencidos :

Juro = Ct C0 Juro = 1.331 1.000 Juro = 331

Capitalizao, Actualizao e taxas juroConcluso:

Regime Juro Simples Ct = 1.300

Regime Juro Composto Ct = 1.331

Capitalizao, Actualizao e taxas juro Porqu a diferena ?

No regime de juro simples a taxa de capitalizao decrescente, da resultando um juro peridico constante, enquanto no regime de juro composto, com uma taxa de capitalizao constante e igual taxa de juro inicial, o juro peridico cresce de forma exponencial.

Capitalizao, Actualizao e taxas juroRegime Juro Simples Perodo Juro Vencido Capital Acumulado 1.100 Juro Vencido Capital Acumulado 1.100 Regime Juro Composto

1

100

100

2

100

1.200

110

1.210

3

100

1.300

121

1.331

Capitalizao, Actualizao e taxas juroActualizao

Capitalizao, Actualizao e taxas juro Actualizao

C0

Ct

C0 = Capital inicial Ct = Capital futuro

Capitalizao, Actualizao e taxas juroRegime Juro Composto

Actualizao

C0 = Ct ( 1 + i ) -tem que : Ct = Capital Futuro Co = Capital Inicial i = Taxa de Juro t = n. perodos

Capitalizao, Actualizao e taxas juroExemplo : Na aquisio de um computador, o Sr. Joaquim pagou 1.000 e comprometeu-se a pagar os restantes 500 passados 3 anos. Aps um ano, face aos excedentes de tesouraria apurados, props, ao fornecedor do equipamento, liquidar a sua dvida. Sabendo que a taxa de juro de 15% anual, quanto deve pagar ?

Capitalizao, Actualizao e taxas juroResoluo:

Regime Juro Composto 500 0

1

2

3

C0 = Ct ( 1 + i ) -t C0 = 500 x ( 1 + 0,15 ) -2 C0 = 378,07

Capitalizao, Actualizao e taxas juroCapitalizao ou Acumulao

C0

Actualizao ou Desconto

Ct

C0 = Capital inicial Ct = Capital futuro

Capitalizao, Actualizao e taxas juroTaxas juro

Capitalizao, Actualizao e taxas juroTaxa juro nominal Regime proporcionalidade

i (m)

m.i

m

N de vezes que o perodo da taxa i cabe no perodo da taxa nominal i (m)Regime equivalncia

Taxa juro efectiva

i

i

( 1 + i ) = ( 1 + i )

m

Capitalizao, Actualizao e taxas juro Proporcionalidade

m=

i = i (m) / m , em que perodo taxa referncia i (m) perodo taxa pretendida i

Equivalncia ( 1 + i ) = ( 1 + i ) m , i taxa maior i taxa menor perodo taxa maior perodo taxa menor em que

m=

Capitalizao, Actualizao e taxas juroFrmula Actualizao

C0 = Ct ( 1 + i ) -tFrmula Capitalizao

Ct = C0 ( 1 + i ) tTanto na Actualizao como na Capitalizao i e t tm que ter o mesmo horizonte temporal

Capitalizao, Actualizao e taxas juroTaxa corrente/Taxa real Taxa corrente a taxa convencionada

utilizada no clculo do valor acumulado de um capital durante um determinado perodo de tempo. Taxa real a constante de proporcionalidade entre o valor real de um capital acumulado e o valor do capital inicial quando aplicado durante a unidade de tempo, ou seja, o capital acumulado taxa de juro corrente deflacionado taxa de inflao.

Capitalizao, Actualizao e taxas juroTaxa corrente/Taxa real Juro: Compensao da eroso monetria Remunerao do capital

C0 . (1 + i) = C0 . [(1 + I).(1 + r)], em que: i Taxa corrente I Taxa de Inflao r Taxa real

i = I + r + I.r

r

( (

i) I)

Capitalizao, Actualizao e taxas juroTaxas de Rendimento/Custo EfectivasT.A.E.G. (D.L. 325/91, de 21/9) Taxa Anual de Encargos Efectiva Global(Crdito ao consumo)

T.A.E. T.A.E.L

(D.L. 220/94, de 23/8)

(Crdito bancrio)

Taxa Anual Efectiva Lquida (p/depsitos) . Carta Circular do Banco de Portugal, de 12/11/93

Capitalizao, Actualizao e taxas juroSe i # n, como se resolve ?

Encontramos o 1 momento de convertibilidade. o momento em que a tx. Nominal igual tx. Efectiva.

Capitalizao, Actualizao e taxas juroExpresses que definem um horizonte temporal Perodo da taxa de juro

Convertvel xxx vezes Periodicidade dos juros Pagamento de juros ............................

Capitalizao, Actualizao e taxas juro Exemplo :

Dada a taxa anual nominal de 12 %, convertvel mensalmente, calcular a taxa efectiva anual.

Capitalizao, Actualizao e taxas juro Resoluo :

i (m) = 0,12 e m = 12/1 i = i (m) / m

i = 0,12 / (12/1) i = 0,01 Taxa Efectiva Mensal

( 1 + i ) = ( 1 + i ) m ( 1 + i ) = ( 1 + 0,01)

12

i = 0,1268 i = 12,68% - Taxa Efectiva Anual i (m) = 12% - Taxa Nominal Anual

Capitalizao, Actualizao e taxas juro

Interpolao Linear

Capitalizao, Actualizao e taxas juro O que a Interpolao Linear ?

Interpolao Linear permite estimar, com um grau de certeza muito elevado, uma taxa desconhecida numa dada operao financeira, assentando no pressuposto de que a funo em estudo tem um comportamento linear entre dois valores extremos conhecidos.

Capitalizao, Actualizao e taxas juro Exemplo :

Sabendo que o Sr. Joaquim pediu um emprstimo de 10.000 e que se comprometeu a liquidar essa dvida atravs do pagamento de 3 anuidades de 4.000 , determine qual a taxa de juro utilizada nesta operao.

Capitalizao, Actualizao e taxas juro Resoluo :

+10.000

-4.000

-4.000

-4.000

0i

1

2

3

ACTUALIZAO C0 = Ct ( 1 + i ) -t

Capitalizao, Actualizao e taxas juro Resoluo :

+10.000

-4.000

-4.000

-4.000

0i

1-1

2

3-2

10.000 = 4.000(1+i)

+ 4.000(1+i)

+ 4.000(1+i)

-3

Capitalizao, Actualizao e taxas juro i0 = i2 [ (C0 C2 ).( i2 i1 )] / ( C1 C2 ), em que

:

i0 = taxa pretendida C0 = Capital dado equao i1 = taxa escolhida que substituda na equao

origina um C1 = Capital LIGEIRAMENTE superior a C0 i2 = taxa escolhida que substituda na equao origina um C2 = Capital LIGEIRAMENTE inferior a C0

Capitalizao, Actualizao e taxas juro Como se utiliza ?10.000 = 4.000(1+i) -1 + 4.000(1+i) -2 + 4.000(1+i) 3

i0 = ? C0 = 10.000 i1 = ? - C1 = i2 = ? - C2 =

C0 C0

Capitalizao, Actualizao e taxas juro Como se utiliza ?10.000 = 4.000(1+i) -1 + 4.000(1+i) -2 + 4.000(1+i) -3 Por exemplo, i1 = 9%-1

4.000.[(1+0,09) = 10.125,18

+ (1+0,09) -2 + (1+0,09) -3]

C0

Capitalizao, Actualizao e taxas juro Como se utiliza ?10.000 = 4.000(1+i) -1 + 4.000(1+i) -2 + 4.000(1+i) -3

Por exemplo, i2 = 10%

4.000.[(1+0,1) -1 + (1+0,1) -2 + (1+0,1) -3]= 9.947,41 C0

Capitalizao, Actualizao e taxas juroi0 = i2 [ (C0 C2 ).( i2 i1 )] / ( C1 C2 ), em que : i0 = taxa

pretendida C0 = 10.000 i1 = 9% C1 = 10.125,18 i2 = 10% C2 = 9.947,41

Capitalizao, Actualizao e taxas juroi0 = i2 [ (C0 C2 ).( i2 i1 )] / ( C1 C2 ) i0 = 0,1 [ (10.000 9.947,41).(0,1 0,09) ] (10.125,18 9.947,41)i0 = 0,097 i0 = 9,7%

Capitalizao, Actualizao e taxas juro10.125,18 a

b' 10.000,00

c'

9.947,41

b

c

9,00%

Tx

10,00%

a b' a b

=

b' c' b c

10.12 ,1 - 10.000,00 x - 9,00% = 10.12 ,1 - 9.947,41 10,00% - 9,00%

= 9,70%

Operaes financeiras

Letras

Operaes financeiras O que uma letra ? Uma letra um ttulo de crdito ordem que pode ser transmitido por endosso (declarao assinada no verso da letra para ser pagaa uma terceira pessoa, que se designa por endossado).

Uma letra uma ordem de pagamento emitida pelo credor (sacador) que dever ser paga na data de vencimento ao seu legtimo portador (geralmente o sacador, ou aotomador pessoa a quem foi passada a letra ou ao endossado geralmente um banco)

A assinatura do sacado (aceite) confirma o contrato da letra

Operaes financeiras Como funciona ?

Quando o legtimo possuidor de uma letra pretende a antecipao do pagamento (relativamente data de vencimento) prope ao banco o seu recebimento mais cedo, descontando o juro e comisses devidas pela antecipao no recebimento, ou seja, prope ao banco o seu desconto.

Operaes financeiras O que o desconto ?

Diferena entre o valor nominal / facial da letra (exigvel na data de vencimento momento n) e o valor recebido aquando da concretizao da operao (momento actualou momento zero).

D = Cn C0

Operaes financeiras Tipos de desconto:

Regime Juro Composto - Desconto Composto Regime Juro Simples - Desconto por dentro, Interno ou Racional Desconto por fora, Externo ou Comercial

Operaes financeiras Regime Juro CompostoDesconto Composto - Dc

Dc = Cn C0Dc = Cn Cn ( 1 + i ) n

Dc = Cn . [ 1 ( 1+ i ) n ]

Operaes financeiras Regime Juro Simples Desconto por dentro, Interno ou Racional - DdDd = Cn C0 Dd = Cn Cn (1 + i0.n) -1 Dd = Cn [1 1/(1 + i0.n)] Dd = Cn.n.i0/(1 + i0.n) = Cn.n.in

Operaes financeiras Desconto por fora, Externo ou Comercial - Df

C0 0

Cn n

Df = Cn . i . nn N de dias i Taxa diria

Operaes financeirasDesconto Bancrio - DBDB = Df + Comisso Cobrana + Imposto Selo + PortesDf = Valor Facial x Tx. Anual nominal/N dias ano x (n+2)

Pretende-se obter uma taxa diria. A taxa utilizada neste desconto uma taxa nominal. n - n. dias que faltam para o vencimento da letra. Os 2 dias adicionais utilizados na contagem o perodo de dilao

Operaes financeirasDesconto Bancrio - DB

Comisso de cobrana - C Cob C Cob = Valor Facial (Cn) x % C Cob Imposto Selo - Imp Selo Imp Selo = ( Df + C Cob ) x % Imp Selo(Actualmente o Imposto de Selo de 4%)

(A % utilizada no clculo da Comisso de cobrana varia de banco para banco)

Portes Valor determinado na negociao(Varivel de banco para banco)

DB = (Df + C Cob) x (1 + % Imp Selo) + Portes

Operaes financeirasDesconto Bancrio - DB Depois de obtidos todos os custos

associados ao desconto de uma letra, pode-se determinar o montante do valor efectivamente recebido, ou seja, o valor actual Co ou PRODUTO LQUIDO DO DESCONTO. Como ? Somam-se todos os custos, obtendo o DESCONTO BANCRIO TOTAL - DB DB = (Df + C Cob) x (1 + % Imp Selo) + Portes

Co = Cn - DB

Operaes financeiras O custo do crdito associado ao desconto

de uma letra determinado de acordo com o conceito de T.A. E.G. ( Taxa Anual de Encargos Efectiva Global )

A T.A.E.G. a taxa anual efectiva associada ao desconto efectuado, incluindo todos os encargos suportados. Como se determina ? Atravs da Frmula de Capitalizao no regime de juro composto.

Operaes financeirasC0 Cn 0

n Como se determina a T.A.E.G. ? Conhecidos os valores de C0 (Produto Lquido) e Cn (Valor Nominal), utiliza-se a frmula de Capitalizao de juro composto para determinar a T.A.E.G.

Cn = Co ( 1 + i ) n

Em que i a Taxa diria e n = N dias do Ano civil

Operaes financeiras Uma outra questo que se pode colocar no

clculo das letras a T.A.E. ( Taxa Anual Efectiva )

Qual a diferena entre a T.A.E.G. ou T.A.E. ? A NICA diferena entre a T.A.E.G. e a T.A.E. que esta ltima no entra em conta com o Imposto de Selo. Tudo o resto igual. a T.A.E. uma taxa de custo efectiva e Como no se considerando o Imposto de Selo que uma receita do Estado esta taxa reflecte unicamente o quanto custa o crdito bancrio.

Operaes financeiras Clculo da T.A.E. Depois de termos obtido todos os custos associados ao desconto de uma letra, podemos determinar o valor hoje recebido, ou seja, podemos determinar o C0 (Produto Lquido). Como ? Somam-se todos os custos e obtm-se o DESCONTO BANCRIO TOTAL ( DB )

DB = Df + C Cob + Imp Selo + Portes

C0 = Cn - DB

Operaes financeirasC0 0

Cn n

Como se determina a T.A.E. ? Conhecidos os valores de C0 e Cn, utiliza-se a frmula de Capitalizao de juro composto para determinar a T.A.E. n

Cn = C0 ( 1 + i )

Em que i a Taxa diria e n = N dias do Ano civil

EQUAO DO VALOR

Substituio de um conjunto de capitais com diversos vencimentos por um nico capital (CAPITAL COMUM) com um vencimento comum.C1 C2 n2 C3 n3 C4 n4 Ct nt

0

n1

1. Converso do conjunto de capitais primitivos em capitais equivalentes com vencimento comum n 2. Adicionar os valores obtidos

EQUAO DO VALORCapitalizaesC A P IT A L

ActualizaesCOMUM

C1 0 n1

C2 n2

C3 n3

C4 n4 ...

Ct nt

n

Para um capital Cs, com vencimento no prazo ns, o CAPITAL EQUIVALENTE Cn, no momento n, vem:

Cn = Cs . ( 1 + i ) n-ns

EQUAO DO VALOR Uma vez obtido o conjunto de capitais

equivalentes com igual vencimento, efectua-se a respectiva soma e obtm-se o CAPITAL COMUM (C) com

VENCIMENTO COMUM (n).

C = S=1 [ Cs. ( 1 + i ) n - ns ] 7

t

EQUAO DO VALOR

C.(1+i) = 7 Cs.( 1 + i )S=1

-n

t

-n

s

EQUAO DO VALOR Determinada a Equao do Valor

duas questes se colocam, depois da definio da taxa de avaliao :

1. Escolhido o vencimento comum (n), qual o capital comum? 2. Escolhido o capital comum (C), qual o vencimento comum?

EQUAO DO VALOR

Vencimento comum no momento actual n=0

C = S=1 Cs.( 1 + i ) - ns 7

t

Vencimento mdiot

C S=1 7 Cs =t

t

n=

Log S=1 Cs.vns Log S=1 Cs 7 7 Log v v = ( 1 + i ) -1