Cálculo I - Limites, Derivadas e Integrais (Exercicios Resolvidos e Comentados)
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Esse material é muito bom pessoal, vale a pena!
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CAPA DO LIVRO
CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS
Exercícios Resolvidos e Comentados
ISBN-13: 978-84-16036-29-5 Nº Registro: 201421493
http://www.eumed.net/libros-gratis/2014/1371/index.htm
Editado por la Fundación Universitaria Andaluza Inca Garcilaso para eumed.net Derechos de autor protegidos. Solo se permite
la impresión y copia de este texto para uso personal y/o académico.
Málaga-Espanha Março 2014
C512c Chaves, Marcelo Santos
Cálculo I: Limites, Derivadas e Integrais (exercícios resolvidos e comentados).
93p. :il. Color. ; 21x30 cm. Inclui referências ISBN-13: 978-84-16036-29-5
1. Matemática. 2. Cálculo Diferencial e Integral. 3. Exercícios. 4. I.
Título.
CDD 510
A modesta contribuição que aqui
segue transcrita dedico ao infinito
Deus que nos concedeu o dom da
vida e ao meu paizinho e professor
Otávio, in memoriam, pela
intransigência e perseverança na
moldagem de minha educação e
qualificação acadêmica. Que este
livro seja a expressão do profundo
amor que nos une, nesta vida e na
outra.
EPÍGRAFES
“Se eu enxerguei mais longe, foi por
estar de pé sobre ombros de
gigantes.”
sir Isaac Newton
"Um nome pode permitir que sejas
lembrado, mas apenas as ideias o
tornaram um imortal.”
Marcelo Santos Chaves
APRESENTAÇÃO
No Brasil as evidencias quanto ao fracasso na disciplina de Cálculo Diferencial
e Integral (CDI) são elevadas, causando visíveis prejuízos no aproveitamento
de discentes da área das ciências exatas, ao ponto de conduzi-los a
sucessivas reprovações ou até mesmo ocasionando o seu jubilamento
(desligamento compulsório do curso). Essas são as conclusões de Bressan
(2009), Rezende (2003), Frota (2001), Baruffi (1999) entre outros. Face a este
cenário desfavorável na práxis do ensino superior, um dos grandes desafios na
área de ciências exatas atualmente é, sem sombra de dúvidas, encontrar
formas de superar o fracasso no ensino do Cálculo. E é sob tal motivação que
o presente trabalho se propõe a constituir-se em um escopo sistemático de
técnicas de resolução de problemas sobre Limites, Derivadas e Integrais,
ambicionando uma ilustração didática e objetiva capaz de transpor o
conhecimento cientificopara um conhecimento capaz de tornar-se efetivamente
ensinável.
PRESENTATION In Brazil the evidence about the failure in the discipline of Differential and
Integral Calculus (CDI) are generally high, causing visible damage in the
exploitation of students in the area of exact sciences, to the point of leading
them to successive failures or even causing the your jubilamento (off course).
These are the findings of Bressan (2009), Rezende (2003), Frota (2001), Baruffi
(1999) among others. Against this unfavorable scenario in the praxis of higher
education a major challenge in the field of exact sciences is currently without a
doubt, find ways to overcome failure in the teaching of calculus. And under such
motivation is that this paper proposes to form themselves into a systematic
scope of technical troubleshooting on Limits, Derivatives and Integrals, coveting
a didactic illustration and objectively able to translate scientific knowledge into a
knowledge capable of making be effectively taught.
.
PRESENTACIÓN En Brasil, la evidencia sobre el fracaso en la disciplina de Cálculo Diferencial e
Integral (CDI) son generalmente altos , causando daños visibles en la
explotación de los estudiantes en el área de las ciencias exactas , hasta el
punto de llevarlos a los sucesivos fracasos o incluso causar la Su jubilamento
(por supuesto) . Estas son las conclusiones de Bressan (2009), Rezende
(2003), Frota (2001), Baruffi (1999) entre otros. Frente a este escenario
desfavorable en la praxis de la educación superior un gran reto en el campo de
las ciencias exactas es actualmente , sin duda , encontrar la manera de superar
el fracaso en la enseñanza del cálculo . Y bajo esa motivación es que este
trabajo se propone constituirse en un ámbito de aplicación sistemática de la
solución de problemas técnicos de límites, derivadas e integrales , codiciar una
ilustración didáctica y objetivamente capaces de traducir el conocimiento
científico en un saber capaz de hacer enseñar con eficacia.
SUMÁRIO
Um pouco sobre História do Cálculo............................................................................... 11
Capitulo I – Estudo dos Limites....................................................................................... 12
1. Limites e Continuidades................................................................................................ 13 1.1 Limites Laterais............................................................................................................ 20 1.2 Limites no Infinito e Limites Infinitos......................................................................... 27
1.2.1 Limites no Infinito....................................................................................................... 27 1.2.2 Limites Infinitos......................................................................................................... 32
1.3 Limites Exponenciais................................................................................................... 34 1.4 Limites Trigonométricos.............................................................................................. 40 Capitulo II – Estudo das Derivadas.................................................................................. 49 2. Derivada de uma Função............................................................................................... 50 2.1 Regras de Derivação.................................................................................................... 50
2.1.1 Derivação pela Regra do Produto................................................................................ 50 2.1.2 Derivação pela Regra do Quociente............................................................................. 51 2.1.3 Derivação pela Regra da Potência............................................................................... 52
2.2 Derivação de Funções Particulares................................................................................... 53 2.2.1 Derivação de Função Exponencial............................................................................... 53 2.2.2 Derivação de Função Exponencial de Base e............................................................... 54 2.2.3 Derivação de um Logaritmo Natural............................................................................. 54 2.2.4 Derivação de Função Logarítmica................................................................................ 55
2.3 Derivação de Funções Trigonométricas.................................................................... 55 2.4 Derivação de Funções Trigonométricas Inversas..................................................... 57 2.5 Derivações de Ordem Sucessivas.............................................................................. 58 2.6 Derivações Híbridas..................................................................................................... 58
2.6.1 Envolvendo Regra da Potência e Quociente................................................................ 58 2.6.2 Envolvendo Regra da Potência e Produto.................................................................... 59
2.6.3 Envolvendo Regra do Quociente e Função Exponencial na base e................................ 60
2.6.4 Envolvendo Regra do Produto e Função Exponencial na base e.................................. 60
2.6.5 Envolvendo Logaritmo Natural e Regra do Quociente.................................................... 60 2.6.6 Envolvendo Funções Trigonométricas e Regra do Quociente ...................................... 61 2.6.7 Envolvendo Funções Trigonométricas e Regra do Logaritmo Natural............................ 62 2.6.8 Envolvendo Funções Trigonométricas Inversas e Regra da Função Composta............... 62 2.6.9 Envolvendo Funções Trigonométricas Inversas e Regra da Função Potência................. 63 2.6.10 Envolvendo Funções Trigonométricas Inversas e Regra do Logaritmo Natural............. 63 2.6.11 Envolvendo Funções Trigonométricas Inversas e Regra da Função Exponencial......... 63 2.6.12 Envolvendo Funções Trigonométricas Inversas e Regra da Função Composta............. 64
Capitulo III – Estudo das Integrais.................................................................................... 65
3.Integrais Indefinidas....................................................................................................... 66 3.1 Regras de Integração................................................................................................... 66
3.1.1 Pelo Teorema Fundamental do Cálculo........................................................................ 66
3.1.2 Para uma Função Exponencial....................................................................................
66
3.1.3 Para uma Função Exponencial de basee................................................................................. 66
3.1.4 Para Deslocamento de uma Constante........................................................................ 67 3.1.5 Para uma Função Logaritmo Natural............................................................................ 67
3.1.6 Para uma Soma e Subtração....................................................................................... 67
3.1.7 Veja algumas Resoluções........................................................................................... 68 3.2 Técnicas de Integração................................................................................................ 69
3.2.1 Método da Substituição............................................................................................... 69 3.2.2 Método Integração por Partes...................................................................................... 70 3.2.2.1 Obtenção de Formulas de Redução....................................................................... 71
3.2.3 Aplicações envolvendo as Técnicas de Integração....................................................... 73 Referências Bibliográficas................................................................................................ 89 Apêndices............................................................................................................................ 90 Apêndice A: Tabela de Identidades Trigonométricas......................................................... 91 Apêndice B: Tabela de Derivadas Usuais.......................................................................... 92 Apêndice C: Tabela de Integrais......................................................................................... 93
11
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
UM POUCO SOBRE A HISTORIA DO CALCULO
É bastante comum nos depararmos com literaturas que ratificam um
entendimento. O de que sir Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Wilhelm
Leibniz (1646-1716) foram oscriadores do Cálculo Diferencial e Integral (CDI).
Mas será possível tomar ao pé da letra
tal assertiva enquanto verdade? Stewart
(2010), por exemplo, pontifica que as
ideias fundamentais por trás da
integração foram examinadas há pelo
menos 2500 anos pelos antigos gregos,
tais como Eudóxio e Arquimedes. Além
disso, assim como Alarcón et. al
(2005), sabemos que os métodos para encontrar as tangentes foram criadas,
entre outros, por Pierre de Fermat (1601-1665) e Isaac Barrow (1630-1677). Da
mesma forma, concordamos com Almeida (2003) na
constatação de que Barrow, na condição de professor
em Cambridge que exerceu grande influência sobre
Newton, foi o pioneiro no entendimento quanto à
existência de uma relação inversa entre a derivação e
a integração. Assim, concluímos que, o que Newton e
Leibniz fizeramnão tratou-se de uma criação genuína
na acepção da palavra, e sim utilizaram a relação
descoberta por Barrow, para constituírem o Teorema Fundamental do Cálculo,
e assim desenvolver o CDI enquanto disciplina matemática sistemática e
ensinável. Portanto, é sob estes termos e ressalvas que atribuímos a Newton e
a Leibniz a primazia no desenvolvimento do CDI.
sir Isaac Newton
Isaac Barrow
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Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
CAPÍTULO I
ESTUDO DOS LIMITES
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Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
1. LIMITES E CONTINUIDADES
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Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
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Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
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Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
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Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
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Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
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2x2x
−=
−=
++−××
=
+⋅+
−⋅+⋅+=
++
−⋅+⋅+=
++⋅−
−⋅−⋅+⋅+=
++⋅−
−⋅−⋅+=
−
−⋅−⋅+=
−
−⋅−=
−−
⋅−
−=
−
−=
−
−=
→
→
→
→
→→
→→
→→
→→
→→
→→
→→
→→
20
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
1.1 LIMITES LATERAIS
1) Dado
>−
=−
<−
=
1,3
1,1
1,4
)(
2
xsex
xse
xsex
xf , calcule os limites das funções e esboce o
gráfico.
Solução:
3414)( 22
11−=−=−=
−− →→xLimxfLim
xx 2133)(
11=−=−=
++ →→xLimxfLim
xx Existe Não )( Então ),()( :Como
111=≠
→→→ −+xfLimxfLimxfLim
xxx
Agora vamos estabelecer os pontos:
( ) ( )( ) ( )
3
2)t(fLim
111
11)t(fLim
1tt
1tLim)t(fLim
1t1t1t
1t1tLim)t(fLim
1t
1tLim)t(fLim
1t
1tLim)t(fLim
1t
1tLim)t(fLim
txFaça
:Solução
1x
1xLim)x(fLim)13
1t
21t
21t1t
221t1t
33
22
1t1t
3
2
1t1t
6
3 6
1t1t
6
3
1x1x
=
++
+=
++
+=
+⋅+⋅−
−⋅+=
−
−=
−
−=
−
−=
=→
−
−=
→
→
→→
→→
→→
→→
→→
→→
21
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
-3
-4
Esbouço do Gráfico (Ráio x)
2
4
4
04
4)(
2
2
2
±=
=
=
=−
→−=
x
x
x
x
Parábolaxxf
→>−
−→=−
−→<−
=
)2,1(1,3
)1,1(1,1
)3,1(1,4
)(
2
xsex
xse
xsex
xf3
03
3)(
=
=−
→−=
x
x
retaxxf
2
1 2 3
3
y
x -1
-2
22
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
-2
2/3
2) Dado
<+
=
>−
=
1,14
1,2
1,23
)(
xsex
xse
xsex
xf , calcule os limites das funções e esboce o
gráfico.
Solução:
121323)(11
=−⋅=−=++ →→
xLimxfLimxx
511414)(
11=+⋅=+=
−− →→xLimxfLim
xx
Existe Não )( Então ),()( :Como111
=≠→→→ −+
xfLimxfLimxfLimxxx
Vamos estabelecer os pontos:
Esbouço do Gráfico (Raio x)
3
2
023
23)(
=
=−
→−=
x
x
retaxxf
→<+
→=
→>−
=
)5,1(1,14
)2,1(1,2
)1,1(1,23
)(
xsex
xse
xsex
xf
4
1
014
14)(
−=
=+
→+=
x
x
retaxxf
1
1
2
y
x
-1/4
5
23
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
3
3) Dado
>−
=
<+
=
2,9
2,2
2,1
)(
2
2
xsex
xse
xsex
xf , calcule os limites das funções e esboce o
gráfico.
Solução:
5299)( 22
22=−=−=
++ →→xLimxfLim
xx
5121)( 22
22=+=+=
−− →→xLimxfLim
xx
5 )( Então ),()( :Como222
==→→→ −+
xfLimxfLimxfLimxxx
Vamos estabelecer os pontos:
Esbouço do Gráfico (Raio x)
função para raízes há Não
1
01
1)(
2
2
∃=
−=
=+
→+=
x
x
x
Parábolaxxf
→>−
→=
→<+
=
)5,2(2,9
)2,2(2,2
)5,2(2,1
)(
2
2
xsex
xse
xsex
xf
3
9
09
9)(
2
2
±=
=
=−
→−=
x
x
x
Parábolaxxf
1
2
2
y
x
5
24
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
4) Dado
>−
≤−=
3,73
3,1)(
xx
xxxf , calcule os limites abaixo e esboce o gráfico.
).x(fLim)f);x(fLim)c
);x(fLim)e);x(fLim)b
);x(fLim)d);x(fLim)a
5x3x
5x3x
5x3x
→→
→→
→→
++
−−
Solução:
2)x(fLim:temos),x(fLim)x(fLimSeja
)x(fLim)c
2)x(fLim
733)x(fLim
7x3Lim)x(fLim)b
2)x(fLim
13)x(fLim
1xLim)x(fLim)a
3x3x3x
3x
3x
3x
3x3x
3x
3x
3x3x
==
=
−⋅=
−=
=
−=
−=
→→→
→
→
→
→→
→
→
→→
+−
+
+
++
−
−
−−
Nas alternativas a seguir veja que para )(5
xfLimx→
, temos x para valores maiores
que 3, pois sua tendência é 5, logo, somente a função 73 −x satisfaz )(5
xfLimx→
,
pois sua restrição é definida para 3>x . Façamos então:
25
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
8)x(fLim:temos),x(fLim)x(fLimSeja
)x(fLim)f
8)x(fLim
753)x(fLim
7x3Lim)x(fLim)e
8)x(fLim
753)x(fLim
7x3Lim)x(fLim)d
5x5x5x
5x
5x
5x
5x5x
5x
5x
5x5x
==
=
−⋅=
−=
=
−⋅=
−=
→→→
→
→
→
→→
→
→
→→
+−
+
+
++
−
−
−−
Esbouço do Gráfico: Vamos estabelecer os pontos para 3→x :
→>−
→≤−=
)2,3(3,73
)2,3(3,1)(
xx
xxxf
Vamos estabelecer os pontos para 5→x :
→>−
→>−=
+
−
→
→
)(/),8,5(3,73
)(/),8,5(3,73
)(
5
5
xfLimpxx
xfLimpxx
xf
x
x
Daí ilustramos:
1
01
1)(
=
=−
→−=
x
x
retaxxf
3
7
73
073
73)(
=
=
=−
→−=
x
x
x
retaxxf
26
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
1
-7
27
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
1.2 LIMITES NO INFINITO E LIMITES INFINITOS 1.2.1 Limites no Infinito Se “n” é um número inteiro positivo, então:
0x
1Lim)II
0x
1Lim)I
nx
nx
=
=
−∞→
+∞→
As expressões ∞∞∞×∞−∞∞∞
1,,0,0,,,0
0 00
são todas indeterminações.
Veja algumas resoluções:
( )[ ]( )
−∞=
∞−=
⋅+∞+⋅−⋅
=
⋅+
−⋅=
+⋅
−⋅=
+−
=
+−
=
+∞→
+∞→
+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
)(
8)(
028
305)(
128
31
5
)(
28
35
)(
28
35)(
:
28
35)()1
2
2
2
3
3
xfLim
xfLim
xfLim
x
xx
LimxfLim
xx
xx
x
LimxfLim
x
xLimxfLim
Solução
x
xLimxfLim
x
x
x
xx
xx
xx
xx
( )( )
7
5)(
037
025)(
137
125
)(
37
25
)(
37
25)(
:
37
25)()2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
−=
⋅+⋅−−
=
⋅+
⋅−−=
+⋅
−⋅−=
+
+−=
+
+−=
+∞→
+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
xfLim
xfLim
x
xLimxfLim
xx
xx
LimxfLim
x
xLimxfLim
Solução
x
xLimxfLim
x
x
xx
xx
xx
xx
28
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
1)(
1
1)(
01
01)(
11
11
)(
11
11
)(
11
11
)(
11
11
)(
1
1)(
:
1
1)()3
2
2
2
2
2
2
2
2
=
=
++
=
+
+
=
+⋅
+⋅
=
+⋅
+⋅
=
+⋅
+⋅
=
++
=
++
=
+∞→
+∞→
+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
xfLim
xfLim
xfLim
x
xLimxfLim
xx
xx
LimxfLim
xx
xx
LimxfLim
xx
xx
LimxfLim
x
xLimxfLim
Solução
x
xLimxfLim
x
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
xx
29
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
( )
( )( ) ( )
( )
0)(
2
0)(
11
0)(
0101
02)(
11
11
12
)(
11
11
2
)(
11
11
2)(
11
11
11)(
11
11
11)(
11
11
11)(
11
1111)(
:
11)()4
22
22
22
22
22
2
2
2
2
22
2
2
2
2
22
22
22
2222
22
=
=
+=
−++
⋅=
−++
⋅=
−++⋅
=
−++⋅
=
−⋅+
+⋅
+−+=
−⋅++⋅
−−+=
−⋅+
+⋅
−−+=
−++
−++⋅−−+=
−−+=
+∞→
+∞→
+∞→
+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
xfLim
xfLim
xfLim
xfLim
xx
xLimxfLim
x
xxx
xLimxfLim
xxx
LimxfLim
xx
xx
xxLimxfLim
xx
xx
xxLimxfLim
xx
xx
xxLimxfLim
xx
xxxxLimxfLim
Solução
xxLimxfLim
x
x
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
30
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
( )
( )( )( )[ ] ( )
( )( )[ ] ( )( )
( )
2
1)(
11
1)(
101
1)(
11
1
1)(
11
1
1)(
1
11
1)(
1
11
1)(
11
1)(
11
)(
11
)(
11
1)(
1
1)(
1
11)(
1)(
1)(
:
1)()5
2
22
2
2
22
22
2
22
424
22
422
22
222
2
22
2222
22
2
2
−=
⇒+−
=⇒+−
−=⇒
+−
−=⇒
⇒
+
−⋅
−=⇒
+−⋅
−=⇒
⇒
+
−⋅
−=⇒
+−
−=
+
−⋅
−=
+
−⋅
−−=
+
−⋅
−⋅−=
+⋅−
−⋅−=
+⋅−
+⋅−⋅−⋅−=
−⋅−=
−−=
−−=
+∞→
+∞→+∞→+∞→+∞→
+∞→+∞→+∞→+∞→
+∞→+∞→+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
xfLim
xfLimxfLim
x
LimxfLim
x
xx
LimxfLim
x
xx
LimxfLim
x
xx
LimxfLim
x
xLimxfLim
x
xx
xLimxfLim
x
xx
xxxLimxfLim
x
xx
xxxLimxfLim
xxx
xxxLimxfLim
xxx
xxxxxxLimxfLim
xxxLimxfLim
xxxLimxfLim
Solução
xxxLimxfLim
x
xxxx
xxxx
xxxx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
31
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
+∞=
∞+=
−−∞+
=
−
−=
−⋅
−⋅=
−
−=
−
−⋅=
−
−=
=→
−−
=
+∞→
+∞→
+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
)(
3)(
03
0)(
13
1
)(
13
1
)(
13
1)(
13
1)(
13
1)(
:
13
1)()6
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
22
2
xfLim
xfLim
xfLim
x
xx
LimxfLim
xx
xxx
LimxfLim
x
xLimxfLim
x
xxLimxfLim
x
xxLimxfLim
xvFaça
Solução
v
vvLimvfLim
x
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
vv
+∞=
∞+=
++∞+
=
⋅+⋅
⋅+⋅=
+⋅
+⋅=
++
=
++
=
+∞→
+∞→
+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
)(
1)(
01
0)(
128
13
)(
28
3
)(
2
3)(
:
2
3)()7
2
2
xfLim
xfLim
xfLim
xx
xxx
LimxfLim
xx
xxx
LimxfLim
x
xLimxfLim
Solução
x
xLimxfLim
x
x
x
xx
xx
xx
xx
32
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
1.2.2 Limites Infinitos
Se “n” é um número inteiro positivo qualquer, então:
∞−
∞+=
+∞=
−
+
→
→
ímparé"n"se,
paré"n"se,
x
1Lim)II
x
1Lim)I
n0x
n0x
As expressões ∞∞∞×∞−∞∞∞
1,,0,0,,,0
0 00 são todas indeterminações.
Veja algumas resoluções:
+∞=
∞++=
++=
++=
++=
→
→
→→→→
→→
→→
)(
00)(
1)(
1)(
:
1)()1
0
0
00
3
00
3
00
3
00
xfLim
xfLim
xLimxLimxLimxfLim
xxxLimxfLim
Solução
xxxLimxfLim
x
x
xxxx
xx
xx
+∞=
=
=
=
<−
≥
=
+
++
++
++
++
→
→→
→→
→→
→→
)(
1)(
)(
)(
0,
0,:
:
)()2
0
00
200
200
200
xfLim
xLimxfLim
x
xLimxfLim
x
xLimxfLim
xsex
xsexxCondição
Solução
x
xLimxfLim
x
xx
xx
xx
xx
33
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
-1
-1/2
1 2
y
x 0
4) Na figura abaixo está esboçado o gráfico de uma função )(xfy = . Complete
as igualdades.
( )
∞+=
∞−−=
−=
−=
=
=
−
−
−−
−−
−−
−−
→
→
→→
→→
→→
→→
)(
)(
: temosímpar, é x de exponte o Como
1)(
)(
)(
:
)()3
0
0
100
200
200
200
xfLim
xfLim
xLimxfLim
x
xLimxfLim
x
xLimxfLim
Solução
x
xLimxfLim
x
x
xx
xx
xx
xx
∞−=−=−=−=
=∞+=−=∞−=
−∞→+∞→→→
→→→→
+−
+−+−
)x(fLim)h2
1)x(fLim)g1)x(fLim)f1)x(fLim)e
0)x(fLim)d)x(fLim)c2
1)x(fLim)b)x(fLim)a
xx0x0x
2x2x1x1x
34
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
1.3 LIMITES EXPONENCIAIS Relação Fundamental:
ex
Lim
x
x=
+∞→
11
Inversão de variável:
Se y
1x =
Então ( ) ey1Lim y
1
0y=+
→
Artifícios de auxilio:
akx
aLima
x
aLim
xk
x
x
xln
1ln
1
00⋅=
−⇔=
− ⋅
→→
( ) ll
⋅
→=+ k
y
yekyLim 1
0
l
l
⋅⋅
∞→=
+ k
x
xe
x
kLim 1
Veja algumas resoluções:
35
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
( )eyfLim
eyfLim
eyfLim
yLimLim
yLimLim
yfLim
y
yLimyfLim
y
yLimyfLim
y
yLimyfLim
y
yLimyfLim
n
nLimxfLim
y
n
yn
ynFaça
Solução
n
nLimxfLim
yyy
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
yy
y
yy
y
yy
y
yy
n
xx
n
nn
−=⇒−⋅⋅
=⇒
−∞
⋅
⋅=
−⋅
+⋅
=
−⋅
+⋅
=
−
+=
−−
+−=
−
−⋅
+
−⋅
=
−
+=
∞→∴∞=+∞
∞→∴−=∴=+
−+
=
∞→∞→∞
∞→
∞→∞→
∞→∞→
∞→
∞→∞→
∞→∞→
∞→∞→
∞→∞→
+
∞→∞→
+
∞→∞→
)(11
1)(
11
2
2)(
11
2
11
2
)(
31
2
11
2
)(
32
12
)(
122
322
)(
111
2
311
2
)(
12
32)(
11
111:
:
12
32)()1
1
0
0
11
11
1
1
1
1
1
1
1
36
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
( )
( )
2)y(fLim
11)y(fLim
y1Lim)y(fLim
xTg
11Lim)x(fLim
1y12
Tg
2x
y
1xTgy
xTg
1:Faça
:Solução
xTg
11Lim)x(fLim)2
1y
1
1
1y
y
1
1y1y
xTg
2x
2x
xTg
2x
2x
=
+=
+=
+=
→∴=
→∴=∴=
+=
→
→
→→
→→
→→
ππ
ππ
π
π
( )
( )
( )
e)y(fLim
y1Lim)y(fLim
xCos1Lim)x(fLim
0y02
3Cos
2
3x
xCosyy
1
xCos
1:Faça
:Solução
xCos1Lim)x(fLim)3
0y
y
1
0y0y
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2
3x
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ππ
ππ
π
π
37
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
( )
( )10
0
101
00
10
00
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1)(
1)(
101)(
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yLimyfLim
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x
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Solução
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x
xx
x
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∞→∞→
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xLimxfLim
Solução
xLimxfLim
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x
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Solução
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x
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x
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x
xx
x
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( )
( )
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2x
155Lim)x(fLim
2x
15
55
Lim)x(fLim
2x
55Lim)x(fLim
2x
255Lim)x(fLim
:Solução
2x
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2x2x
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38
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
( )
( )
( )
3ln20
1)(
55
55
4
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13
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55
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55
55
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5555
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15
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15
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4
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4
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11
4
1
11
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x
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x
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x
xSen
x
LimxfLim
x
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xSenLimxfLim
xSenLimxfLim
Solução
xSenLimxfLim
x
x
x
xx
x
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
39
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
( )( )
( )abxfLim
baxfLim
xfLim
eeexfLim
e
eexfLim
x
e
e
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x
e
ee
LimxfLim
x
eeLimxfLim
Solução
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x
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e
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x
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00
00
00
40
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
1.4 LIMITES TRIGONOMÉTRICOS Relação Fundamental:
1x
xSenLim
0x=
→
Veja algumas resoluções:
2)x(fLim
12)x(fLim
x2
x2SenLim2Lim)x(fLim
x2
x2Sen2Lim)x(fLim
2
2
x
x2SenLim)x(fLim
x
x2SenLim)x(fLim
:Solução
x
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0x
0x
0x0x0x
0x0x
0x0x
0x0x
0x0x
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⋅=
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443
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4
3
)(
4
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4
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××
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⋅=
⋅
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⋅
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xfLim
x
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x
xSenLimLim
xfLim
x
xSenx
xSen
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x
xSenx
xSen
LimxfLim
x
xSenx
xSen
LimxfLim
xSen
xSenLimxfLim
Solução
xSen
xSenLimxfLim
x
x
xx
xx
x
xx
xx
xx
xx
xx
41
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
1)(
11)(
0
11)(
1)(
1)(
)(
)(
:
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x
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x
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x
x
x
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xx
xx
xx
xx
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11)(
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2
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Cos
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Cos
SenSenLimxfLim
Cos
SenLimxfLim
Cos
CosLimxfLim
Cos
CosLimxfLim
Cos
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CosLimxfLim
Solução
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x
x
x
x
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xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
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θ
θ
θ
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
θθθθ
θθθ
θθθ
θθθ
θθ
θθθθ
θθ
42
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
7
10)(
17
110)(
7
77
10
1010
)(
7
7710
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7
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x
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xSen
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Solução
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x
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x
xx
xx
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xx
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b
b
x
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x
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LimxfLim
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Solução
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xx
xx
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x
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x
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x
xSenLimxfLim
Solução
x
xSenLimxfLim
x
x
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xx
xx
xx
xx
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x
xSenLimLimxfLim
x
xSenLimLimxfLim
x
xSenLimxfLim
Solução
x
xSenLimxfLim
x
x
xxxx
xxx
xxx
xx
xx
43
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
axfLim
axfLim
CosaxfLim
axCosLim
ax
axSenLimaLimxfLim
axCosax
axSenaLimxfLim
a
a
xaxCos
axSenLimxfLim
xaxCos
axSenLimxfLim
x
axCos
axSen
LimxfLim
x
axTgLimxfLim
Solução
x
axTgLimxfLim
x
x
x
xxxx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
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u
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x
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LimxfLim
x
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LimxfLim
Solução
x
xTg
LimxfLim
u
u
u
uuu
uu
uu
uu
uu
xx
xx
xx
xx
π
π
π
πππ
ππ
ππ
ππ
ππ
π
πππ
π
44
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
( )
( )
( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( )
( )
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011)(
11
011)(
10
011)(
1
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11)(
11)(
1
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1
11)(
1
111)(
11)(
11)(
1)(
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x
xCosLimLimxfLim
x
xCosLimLimxfLim
x
xCosLimxfLim
x
xCosLimxfLim
Solução
x
xCosLimxfLim
x
x
x
x
xxxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xx
xx
xx
45
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
( )
( )
( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )
2
1)(
2
11)(
11
11)(
10
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1
11)(
11)(
11)(
1
11)(
1
11)(
1
111)(
11)(
11)(
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2
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2000
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xSenLimLimxfLim
xCosx
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xCos
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x
xCosLimLimxfLim
x
xCosLimLimxfLim
x
xCosLimxfLim
x
xCosLimxfLim
Solução
x
xCosLimxfLim
x
x
x
x
xxxxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xx
xx
xx
46
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )( )( )( )( )( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
π
π
ππππ
π
ππππ
π
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ππππ
ππ
ππ
ππ
π
π
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3
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3
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x
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x
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x
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x
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x
x
LimxfLim
xSen
xLimxfLim
xSen
xLimxfLim
xSenxLimxfLim
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Solução
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x
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xx
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xx
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xx
xx
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xSenLimLim
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LimxfLim
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LimxfLim
x
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x
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LimxfLim
xSenx
xSenxLimxfLim
Solução
xSenx
xSenxLimxfLim
x
x
x
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xx
x
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xx
xx
xx
xx
xx
47
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
2
5)(
112
5)(
2
2
2
5
2
5
2
5)(
2
2
2
5
2
5
2
5
)(
2
2
2
5
2
5
2
5
)(
22
22
52
)(
2
2
22
52
)(
22
52
)(
22
52
)(
22
52
)(
22
52
)(
2
32
2
322
)(
32)(
:
32)()15
0
0
0000
0000
0000
00
200
200
200
200
200
200
=⇒
××=⇒
⋅
⋅=⇒
⇒
⋅⋅
⋅=⇒
⋅
⋅
⋅
=⇒
⇒
⋅
⋅
=⇒
⋅
⋅
=
⋅
=
⋅
=
−⋅
−
=
−⋅
−=
−⋅
+−
=
−=
−=
→
→
→→→→
→→→→
→→→→
→→
→→
→→
→→
→→
→→
→→
xfLim
xfLim
x
xSen
Limx
xSen
LimLimxfLim
x
xSen
x
xSen
LimxfLimx
xSen
x
xSen
LimxfLim
x
xSen
x
xSen
LimxfLim
x
xSen
x
xSen
LimxfLim
x
xSen
x
xSen
LimxfLim
x
xSen
xSen
LimxfLim
x
xSen
xSen
LimxfLim
x
xSen
xSen
LimxfLim
x
xxSen
xxSen
LimxfLim
x
xCosxCosLimxfLim
Solução
x
xCosxCosLimxfLim
x
x
xxxx
xxxx
xxxx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
48
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
[ ]
1)(
21)(
2
2
2)(
2
24
24
)(2
22
22
24
)(
2
2
2
2
2
24
)(
224
)(
224
)(
22
4
)(
222
)(
12)(
222)(
2121)(
221)(
:
221)()16
0
0
2
2
002
2
00
2
2
2
2
002
2
2
00
2
2
2
00
2
2
2
00
2
2
2
2
00
2
22
00
2
22
00
2
2
00
2
2
00
2
2
00
200
200
−=⇒
−=⇒
⋅−
=⇒
⇒−
⋅
=⇒−
⋅⋅
⋅
=
−
⋅⋅
⋅
=
−⋅
=
−
=
−
=
−
⋅
=
−−⋅=
−−=
−+−=
+−=
+−=
→
→
→→→→
→→→→
→→
→→
→→
→→
→→
→→
→→
→→
→→
→→
xfLim
xfLim
x
xSenLimLim
x
xSen
LimxfLim
x
xSen
x
xSen
LimxfLimx
xSen
xx
xSen
LimxfLim
x
xSen
xx
xSen
LimxfLim
x
xSen
xx
xSen
LimxfLim
x
xSen
x
xSen
LimxfLim
x
xSenx
Sen
LimxfLim
x
xSenx
Sen
LimxfLim
x
xSenxCosLimxfLim
x
xSenxCosLimxfLim
x
xSenxCosLimxfLim
x
xCosxCosLimxfLim
Solução
x
xCosxCosLimxfLim
x
x
xxxx
xxxx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
49
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
CAPÍTULO II
ESTUDO DAS DERIVADAS
50
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
2. DERIVADA DE UMA FUNÇÃO 2.1 REGRAS DE DERIVAÇÃO 2.1.1 Derivação pela Regra do Produto Formula:
)x('g)x(f)x('f)x(g)x(h ⋅+⋅=
Veja algumas resoluções:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
12x6x18'y
x6x1212x6'y
x61x26x32'y
6x31x26x31x2'y
:Solução
6x31x2y)1
2
22
2
'22'
2
++=
+++=
⋅+++⋅=
+⋅+++⋅+=
+⋅+=
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
13x12)x('f
x615x62)x('f
3x252x31)x('f
'x31x25'x25x31)x('f
:Solução
x25x31)x(f)2
+−=
−+−−=
⋅−+−⋅+=
+⋅−+−⋅+=
−⋅+=
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
3x20x45)x('f
x30x20x153)x('f
x10x323x51)x('f
'x51x32'x32x51)x('f
:Solução
x32x51)x(f)3
2
22
2
22
2
++=
+++=
⋅++⋅+=
+⋅+++⋅+=
+⋅+=
51
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
2.1.2 Derivação pela Regra do Quociente Formula:
[ ]2)x(f)x(g)x('f)x(f)x('g
)x(h⋅−⋅
=
Veja algumas resoluções:
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( ) ( )2222
2
2
''
1x3
14'y
1x3
122'y
1x3
12x62x6'y
1x3
12x62x6'y
1x3
34x21x32'y
1x3
1x34x21x34x2'y
:Solução
1x3
4x2y)1
−−=⇒
−
−−=⇒
−
−−−=⇒
−
+−−=
−
⋅+−−⋅=
−
−⋅+−−⋅+=
−+
=
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )
( )2
2
2
2
4x3
20)x('f
4x3
24x34x3)x('f
4x3
38x14x3)x('f
4x3
'4x38x'8x4x3)x('f
:Solução
4x3
8x)x(f)2
−=
−
+−−=
−
⋅−−⋅−=
−
−⋅−−⋅−=
−−
=
-
52
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )[ ]
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )4
22
4
22
4
22
22
'22'22
2
2
3x
x5x4)5x8(3x)x('f
3x
1x5x4)5x8(3x)x('f
3x
xxx5x4)5x8(3x)x('f
3x
3xx5x4x5x43x)x('f
:Solução
3x
x5x4)x(f)3
+
+⋅++⋅+=
+
⋅+⋅++⋅+=
+
+⋅+⋅++⋅+=
+
+⋅++⋅+=
+
+=
6)(2x -
6)(2x -
3)'(3)2( -
-
2.1.3 Derivação pela Regra da Potência
Formula:
[ ] [ ] '1n)x(u)x(un)x('f ⋅⋅= −
Veja algumas resoluções:
( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )35x147x5x'y
5x27x5x7'y
7x5x7x5x7'y
:Solução
7x5xy)1
62
62
'262
72
+⋅++=
+⋅++⋅=
++⋅++⋅=
++=
53
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )
14x2x2
2x2)x('f
14x2x
2x2
2
1)x('f
2x214x2x
1
2
1)x('f
2x214x2x2
1)x('f
14x2x14x2x2
1)x('f
14x2x)x(f
:Solução
14x2x)x(f)2
2
2
2/12
2/12
'22/12
2/12
2
++
+=
++
+⋅=
+⋅++
⋅=
+⋅++⋅=
++⋅++⋅=
++=
++=
−
−
2.2 DERIVAÇÃO DE FUNÇÕES PARTICULARES 2.2.1 Derivação de Função Exponencial
Formula:
auaaf uu ln)(' ' ⋅⋅=
Veja algumas resoluções:
( )( ) 3ln.3x43'y
3ln1x3x23'y
:Solução
3y)1
1x3x2
'21x3x2
1x3x2
2
2
2
+⋅=
⋅++⋅=
=
++
++
++
54
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
[ ] ( ) ( )
( )
2
1ln
x2
1
2
1'y
2
1ln
x
1
2
1
2
1'y
2
1ln
x
1
2
1
2
1'y
2
1lnx
2
1
2
1'y
2
1lnx
2
1'y
2
1lnx
2
1'y
:Solução
2
1y)2
x
x
2
1
x
2
1x'
2
1x
'
x
x
⋅⋅
=⇒
⋅⋅
=⇒
⋅⋅
=⇒
⇒⋅⋅⋅
=⇒⋅
⋅
=⇒⋅⋅
=
=
−
2.2.2 Derivação de Função Exponencial de Base e
Formula:
( )')(' xexf x ⋅=
Exemplo:
( )
( ) ( )( )
( )xx
xx
'2xx
xx
2
2
2
2
ex2)x('f
x2e)x('f
xxe)x('f
:Solução
e)x(f
+
+
+
+
⋅=
⋅=
+⋅=
=
2.2.3 Derivação de um Logaritmo Natural Formula:
u
uu'f
'
=
Exemplo:
55
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
( )
( )
7x3
x6'y
7x3
'7x3'y
:Solução
7x3lny
2
2
2
2
−=
−
−=
−=
2.2.4 Derivação de Função Logarítmica
Formula:
( )alnu
ulog'f
'u
a ⋅=
Exemplo:
( )
( )( )
( ) 2ln1x7x3
7x6'y
2ln1x7x3
1x7x3'y
:Solução
logy
2
2
'2
1x7x3
2
2
⋅−+
+=
⋅−+
−+=
= −+
2.3 DERIVAÇÃO DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Relações Fundamentais:
'xxCos'y
:Solução
xSeny)1
⋅=
=
'xxSen'y
:Solução
xCosy)2
⋅−=
=
'xxSec'y
:Solução
xTgy)3
2 ⋅=
=
xsecCos'x'y
:Solução
xCotgy)4
2⋅−=
=
xTgxSec'x'y
:Solução
xSecy)5
⋅⋅=
=
xCotgxsecCos'x'y
:Solução
xsecCosy)6
⋅⋅−=
=
Veja algumas resoluções:
56
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
( )( )
( )
( )
1xTg1xSec1x2
1'y
1xTg1xSec1x
1
2
1'y
1xTg1xSec
1x
1
2
1'y
1xTg1xSec1x2
1'y
1xTg1xSec1x'y
1xTg1xSec1x'y
:Solução
1xSecy)1
2
1
2
1
'
2
1
'
−⋅−⋅−
=
−⋅−⋅−
⋅=
−⋅−⋅−
⋅=
−⋅−⋅−⋅=
−⋅−⋅
−=
−⋅−⋅−=
−=
−
( )
( ) ( ) ( )( ) ( )4xCotg4xsecCosx2'y
4xCotg4xsecCos4x'y
:Solução
4xsecCosy)2
22
22'2
2
+⋅+⋅−=
+⋅+⋅+−=
+=
( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )x2xsecCos2x3'y
x2xsecCos2x3'y
x2xsecCosx2x'y
:Solução
x2xCotgy)3
322
322
32'3
3
−⋅+−=
−⋅−−=
−⋅−−=
−=
( )( )
2
2'2
2'2
2
x3Senx6'y
x3Senx3'y
x3Senx3'y
:Solução
x3Cosy)4
⋅−=
⋅−=
⋅−=
=
( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )1x3Sec1x3Tg9'y
31x3Sec1x3Tg3'y
1x31x3Sec1x3Tg3'y
1x3Tg1x3Tg3'y
:Solução
1x3Tgy)5
22
22
'22
'13
3
+⋅+⋅=
⋅+⋅+⋅=
+⋅+⋅+⋅=
+⋅+⋅=
+=
−
57
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
2.4 DERIVAÇÃO DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Formulas Fundamental:
( )
( )
( )
( )
( )1
sec)5
1)4
1)3
1)2
1)1
2
''
2
''
2
''
2
''
2
''
−⋅
−=
−⋅=
+=
−
−=
−=
uu
uuCosarc
uu
uuSecarc
u
uuTgarc
u
uuCosarc
u
uuSenarc
Veja algumas resoluções:
( )( )
x1x2
1y
x1
1
x2
1y
x1
x2
1
y
x1
x
1
2
1
yx1
x
1
2
1
yx1
x2
1
yx1
x
y
x1
xy
:Solução
xSenarcy)1
'''
'2
1
'
2
1
'
'
2
1
'
2
'
'
−⋅=⇒
−⋅=⇒
−=⇒
⇒−
⋅=⇒
−
⋅
=⇒−
⋅=⇒
−
=⇒−
=
=
−
( )( )
( )4
22
'2
2
x1
x2'y
x1
x'y
:Solução
xTgarcy)2
+=
+=
=
58
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
2.5 DERIVAÇÕES DE ORDEM SUCESSIVAS
Veja algumas resoluções:
2.6 DERIVAÇÕES HÍBRIDAS 2.6.1 Envolvendo Regra da Potência e Quociente Veja algumas resoluções:
0y
360y
x360y
x180y
16x60y
x16x15y
:Solução
6n,x8x3y)1
''''''
'''''
''''
2'''
3''
4'
25
=
=
=
=
+=
+=
=+=
2
x
'''2
x
'''
'
2
x
'''2
x
''
2
x
''
'
2
x
''
2
x
'
2
x
'
'
2
x
'
2
x
e8
1ye
2
1
4
1y
x2
1e
4
1ye
4
1y
e2
1
2
1y
x2
1e
2
1y
e2
1y
ey
2
xey
:Solução
3n,ey)2
⋅=⇒⋅⋅=⇒
⇒
⋅⋅⋅=⇒⋅=
⋅⋅=
⋅⋅⋅=
=
⋅=
⋅=
==
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )
( )
+⋅
++
⋅=
+
−−+⋅
++
⋅=
+
⋅+−+⋅⋅
++
⋅=
+
+⋅+−+⋅+⋅
++
⋅=
++
⋅
++
⋅=
++
=
2
4
2
4
2
4
2
''4
'4
5
1x
1
1x
2x35'y
1x
2x33x3
1x
2x35'y
1x
12x31x3
1x
2x35'y
1x
1x2x31x2x3
1x
2x35'y
1x
2x3
1x
2x35'y
:Solução
1x
2x3y)1
59
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
( )( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )62
22423232
232
22423232
232
'22242'23232
232
'3242'4232
32
42
xx2
3x12xx2x3x512x40x3x5xx2)x('f
xx2
1x4xx23x3x53x10x3x54xx2)x('f
xx2
xx2xx23x3x5x3x5x3x54xx2)x('f
xx2
xx2x3x5x3x5xx2)x('f
:Solução
xx2
x3x5)x(f)2
+
+⋅+⋅+−+⋅+⋅+=
+
+⋅+⋅⋅+−+⋅+⋅⋅+=
+
+⋅+⋅⋅+−+⋅+⋅⋅+=
+
+⋅+−+⋅+=
+
+=
2.6.2 Envolvendo Regra da Potência e Produto Veja algumas resoluções:
( ) ( )
( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )x21x2x21x3xx1x3x18'y
x21xx21x3xxx61x33'y
xxxx21x3xx1x31x33'y
xx1x3xx1x3'y
:Solução
xx1x3y)1
2322222
2322222
'223222'222
'223222'32
2232
−⋅−⋅++−⋅+⋅=
−⋅−⋅⋅++−⋅⋅+⋅=
−⋅−⋅⋅++−⋅+⋅+⋅=
−⋅++−⋅+=
−⋅+=
( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )12x40x3x5)xx2()3x12()xx2(x3x5)x('f
3x10x3x54)xx2()1x4()xx2(3x3x5)x('f
'x3x5x3x54)xx2()'xx2()xx2(3x3x5)x('f
'x3x5)xx2(')xx2(x3x5)x('f
:Solução
)xx2(x3x5)x(f)2
32322242
32322242
2323222242
42323242
3242
+⋅+⋅+++⋅+⋅+=
+⋅+⋅⋅+++⋅+⋅⋅+=
+⋅+⋅⋅+++⋅+⋅⋅+=
+⋅+++⋅+=
+⋅+=
60
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
2.6.3 Envolvendo Regra do Quociente e Função Exponencial na base e
Exemplo:
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
−
−⋅=⇒
−
−−−⋅=⇒
−
⋅+−−⋅⋅=
⋅
−
−⋅+−−⋅+⋅=
⋅
−+
⋅=
=
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
2
1x
1x
2
1x
1x
2
1x
1x
2
''
1x
1x
'
1x
1x
1x
1x
1x
2e'y
1x
1x1xe'y
1x
11x1x1e'y
11x
1x1x1x1xe'y
eln1x
1xe'y
:Solução
ey
2.6.4 Envolvendo Regra do Produto e Função Exponencial na base e
Exemplo:
( )( )
( )1xlne'y
x
1xxlne'y
x
xxxln1e'y
1xlnxxlnxe'y
elnxlnxe'y
:Solução
ey
xlnx
xlnx
'xlnx
''xlnx
'xlnx
xlnx
+⋅=
⋅+⋅=
⋅+⋅⋅=
⋅⋅+⋅⋅=
⋅⋅⋅=
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
2.6.5 Envolvendo Logaritmo Natural e Regra do Quociente Exemplo:
61
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )( )
( )[ ]( )
[ ]( )
( )( )1x
x'y
e
1x
1x
11xe'y
1x
e
1x
11xe
'y
1x
e
1x
e1xe
'y
1x
e
1x
1e1xe
'y
1x
e
1x
1xe1xe
'y
1x
e
1x
e
'y
:Solução
1x
elny
x2
x
x
2
x
x
2
xx
x
2
xx
x
2
'x'x
x
'x
x
+=⇒
+⋅
+
−+⋅=⇒
⇒
+
+
−+⋅
=⇒
+
+
−+⋅
=⇒
+
+
⋅−+⋅
=⇒
⇒
+
+
+⋅−+⋅
=⇒
+
+=
+=
2.6.6 Envolvendo Funções Trigonométricas e Regra do Quociente Exemplo:
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( )( )( )
( )x4Sen1
4'y
x4Sen1
1x4Sen4'y
x4Sen1
14x4Sen4'y
x4Sen1
x4Cosx4Sen4x4Sen4'y
x4Sen1
x4Cos4x4Sen4x4Sen4'y
x4Sen1
x4Cosx4Cos4x4Sen1x4Sen4'y
x4Sen1
x4Cosx4x4Cosx4Sen1x4Senx4'y
x4Sen1
x4Sen1x4Cosx4Sen1x4Cos'y
:Solução
x4Sen1
x4Cosy
2
2
2
22
2
22
2
2
''
2
''
−=
−
+−⋅=
−
⋅+⋅−=
−
+⋅+⋅−=
−
⋅+⋅+⋅−=
−
⋅⋅+−⋅⋅−=
−
⋅−⋅−−⋅⋅−=
−
−⋅−−⋅=
−=
62
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
2.6.7 Envolvendo Funções Trigonométricas e Regra do Logaritmo Natural
Exemplo:
( )
( )( )( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )
( )( )
xsecCos'yxCotgxsecCos
xsecCosxCotgxsecCos'y
xCotgxsecCos
xsecCosxCotgxsecCos'y
xCotgxsecCos
xsecCosxCotgxsecCos'y
xCotgxsecCos
xCotgxsecCos'y
xCotgxsecCos
xCotgxsecCos'y
:Solução
xCotgxsecCoslny
22
''
'
−=⇒+
+⋅−=⇒
⇒+
−⋅−=⇒
+−+⋅−
=
++
=
++
=
+=
2.6.8 Envolvendo Funções Trigonométricas Inversas e Regra da Função Composta Exemplo:
⋅+⋅=
⋅⋅+⋅
=
⋅⋅+⋅⋅=
⋅⋅+⋅⋅⋅=
⋅⋅+⋅⋅=
=
−
−
xlnxCosx
xSenx'y
xlnxCosxx
xxSen'y
xlnxCosxx
1xxSen'y
xlnxCosx1xxxSen'y
xlnxSenxxxxSen'y
:Solução
xy
xSen
xSenxSen
xSen
1
xSen
xSen1xSen
'xSen'1xSen
xSen
63
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
2.6.9 Envolvendo Funções Trigonométricas Inversas e Regra da Função Potência Exemplo:
( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( )
( )2
2
'
2
2'
2
'2'
'13'
3
x91
x3Cosarc19y
x91
3x3Cosarc13y
x31
x30x3Cosarc13y
x3Cosarc1x3Cosarc13y
:Solução
x3Cosarc1y
−
+⋅−=
−
−⋅+⋅=
−
−+⋅+⋅=
+⋅+⋅=
+=
−
2.6.10 Envolvendo Funções Trigonométricas Inversas e Regra do Logaritmo Natural
Exemplo:
( )
( )( )
( )( )
( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )24
'
24
'
2
4'
2
22
'2
'
2
'2'
2
xTgarcx1
x2y
xTgarc
1
x1
x2y
xTgarc
x1
x2
yxTgarc
x1
x
y
xTgarc
xTgarcy
:Solução
xTgarclny
⋅+=⇒
⇒⋅+
=⇒+
=⇒+
=
=
=
2.6.11 Envolvendo Funções Trigonométricas Inversas e Regra da Função Exponencial Exemplo:
64
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
( )( )( )
6
2xSenarc'
6
2xSenarc'
23
'3xSenarc'
'3xSenarc'
xSenarc
x1
3lnx33y
3lnx1
x33y
3ln
x1
x3y
3lnxSenarc3y
:Solução
3y
3
3
3
3
3
−
⋅⋅=
⋅
−⋅=
⋅
−⋅=
⋅⋅=
=
2.6.12 Envolvendo Funções Trigonométricas Inversas e Regra da Função Composta
Exemplo:
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( )
( ) ( )( )
( )
( ) ( )( )
( )2
xtgarc2xtgarc
'
2
xtgarc2xtgarc'
2
'xtgarc'2
1
xtgarc'
'xtgarc'1xtgarc'
'xtgarc'1xtgarc'
xtgarc
x1
TglnxTg
xTg
xSecxTgxtgarcy
Tglnx1
1xTg1xSec
xTg
1xTgxtgarcy
Tglnx1
xxTgxxSec
xTg
1xTgxtgarcy
TglnxtgarcxTgxTgxTgxTgxtgarcy
TglnxtgarcxTgxTgxTgxtgarcy
:Solução
xTgy
+
⋅+
⋅⋅=
⋅+
⋅+⋅⋅⋅⋅=
⋅+
⋅+⋅⋅⋅⋅=
⋅⋅+⋅⋅⋅=
⋅⋅+⋅⋅=
=
−
−
65
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
CAPÍTULO III
ESTUDO DAS INTEGRAIS
66
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
3. INTEGRAIS INDEFINIDAS 3.1 REGRAS DE INTEGRAÇÃO
3.1.1 Pelo Teorema Fundamental do Cálculo Formula:
C1n
xdxx
1nn +
+=∫
+
Exemplo:
C5
x)x(f
14
x)x(f
dxx
5
14
4
+=
+=
+
∫
3.1.2 Para uma Função Exponencial
Formula:
Calnk
adxa
xkxk +
⋅=∫
⋅⋅
Exemplo:
C3ln4
3dx3
x4x4 +
⋅=∫
3.1.3 Para uma Função Exponencial de base e Formula:
Ck
edxe
xkxk +=
⋅⋅∫
Exemplo:
67
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
C6
edxe
x6x6 +=∫
3.1.4 Para Deslocamento de uma Constante Formula:
Caxdxa
dxa
+=
⋅
∫∫
Exemplo:
Cx2dx2
dx2
+=∫∫
3.1.5 Para uma Função Logaritmo Natural Formula:
C)x(lndxx
1+=∫
Exemplo:
C)x(ln6dxx
16dx
x
6+⋅=⋅⇒ ∫∫
3.1.6 Para uma Soma e Subtração Formula:
[ ]
∫∫∫
±
±
dx)x(gdx)x(f
dx)x(g)x(f
Exemplo:
68
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
( )
Cxx
4
x4
3
x3
13
x4
12
x3
dxx4dxx3
dxx4dxx3
:Solução
dxx4x3
43
43
1312
32
32
32
+−=
⋅−⋅=
+⋅−
+⋅=
−
−
−
++
∫∫∫∫
∫
3.1.7 Veja algumas Resoluções
( )
Ct2t5)x(f
2
t4t5)x(f
11
t4t5)x(f
tdt4dt5
tdt4dt5
:Solução
dtt45)1
2
2
11
+−=
⋅−=
+⋅−=
−
−
−
+
∫∫∫∫
∫
( ) ( )
C)xln(3x6x4)x(f
)xln(32
x12
3
x12)x(f
dxx
13
13
x12
14
x12)x(f
dxxx3dxxx12dxx12
x
x3
x
x12
x
12
:Solução
dxx
x3x1212)2
23
23
1314
4344
4
3
44
4
3
+−+−=
−−⋅+
−⋅=
−+−
⋅++−
⋅=
⋅−⋅+
−+
−+
−−
−−
+−+−
−−−
∫
∫ ∫∫
∫ ∫∫
∫
( ) ( )
( )( )
C5
x
3
x5x6)x(f
14
x
12
x5x6)x(f
dxxdxx5dx6
dxxx56
dxxx3x26
:Solução
dxx3x2)3
53
1412
42
42
422
22
++⋅+=
++
+⋅+=
++
++
+++
+×+
++
∫ ∫ ∫∫∫
∫
( )( )
Cxxy
4
x4
3
x3y
13
x4
12
x3y
dxx4dxx3y
dxx4x3dy
dxx4x3dy
:Solução
x4x3dx
dy)4
43
43
1312
32
32
32
32
+−=
×−×=
+×−
+×=
−=
−=
−=
−=
++
∫∫∫∫
69
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
3.2 TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 3.2.1 Método da Substituição Formula:
( )[ ] ( ) ( )∫∫ ⋅=⋅⋅ duufdxx'gxgf
Veja algumas aplicações:
C1)2/1(
x)x(f
dxx
:Solução
dxx)5
1)2/1(
2/1
++
=+
∫
∫
Cx40y
5
x200y
14
x200y
dxx200dy
dxx200dy
:Solução
x200dx
dy)6
5
5
14
4
4
4
+=
×=
+×=
=
=
=
+
∫∫C)zln(4)x(f
dzz
14
:Solução
dzz4)7 1
+=
∫
∫ −
( )
C3
)5x3()x(F
3
u)x(F
duu
:Logo
dx3du3dx
du
5x3u
:Solução
dx35x3)1
3
3
2
2
++
=
=
=∴=
+=
⋅+
∫
∫
Ce)x(F
e)x(F
due
:Logo
dx5du5dx
du
x5u
:Solução
dx5e)2
x5
u
u
x5
+=
=
=∴=
=
⋅
∫
∫
70
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
3.2.2 Método Integração por Partes Formula:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dxx'fxgxgxfdxx'gxf ⋅⋅−⋅=⋅⋅ ∫∫
( ) ∫∫ ⋅−⋅=⋅ duvvudvu
Veja algumas aplicações:
( )C
11
3x)x(F
11
u)x(F
duu
:Logo
dxdu1dx
du
3xu
:Solução
dx)3x()4
11
11
10
10
++
=
=
⋅
=∴=
+=
⋅+
∫
∫
C)x1ln()x(F
)uln()x(F
duu
1
:Logo
xdx2dux2dx
du
x1u
:Solução
xdx2x1
1)3
2
2
2
++=
=
⋅
=∴=
+=
⋅+
∫
∫
( )
C)1x(edvu
exedvu
dxeexdvu
ev
dxedv
dxedv
dxdu1dx
du
xu
:Solução
dxxe)1
x
xx
xx
x
x
x
x
+−=⋅
−=⋅
⋅−⋅=⋅
=
=
=
=∴=
=
∫∫
∫∫
∫ ∫
∫
71
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
3.2.2.1 Obtenção de Formulas de Redução
Através da técnica de integração por partes é possível a obtenção de
Fórmulas de Redução para determinados tipos de integrais trigonométricas.
Estas fórmulas expressam uma integral com potência de função em termos de
integrais que expressam uma potência de valor menorem relação aquela
função.
Formulas:
∫∫
∫∫
⋅⋅−
+⋅⋅=⋅
⋅⋅−
+⋅⋅−=⋅
−−
−−
dxxCosn
1nxSenxCos
n
1dxxCos
dxxSenn
1nxCosxSen
n
1dxxSen
2n1nn
2n1nn
Veja algumas aplicações:
( )
( )
C4
xxln
2
xdvu
dxx2
1xln
2
xdvu
x
dx
2
x
2
xxlndvu
duvvudvu
2
xv
xdxdv
xdxdv
x
dxdu
x
1
dx
du
xlnu
:Solução
dxxlnx)2
22
2
22
2
+−⋅=⋅
−⋅=⋅
⋅−
⋅=⋅
×−⋅=⋅
=
=
=
=∴=
=
⋅
∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫ ∫
∫
( )
( ) ( )
( )[ ] Ce1x2exdvu
dxxe2exdvu
dxx2eexdvu
duvvudvu
ev
dxedv
dxedv
xdx2dux2dx
du
xu
:Solução
dxex)3
xx2
xx2
xx2
x
x
x
2
x2
+⋅−⋅−=⋅
−=⋅
⋅−⋅=⋅
⋅−⋅=⋅
=
=
=
=∴=
=
∫∫∫∫∫
∫∫
∫ ∫
∫
72
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
C3
2xSen
3
1xCosdxxSen
xCos3
2xCosxSen
3
1dxxSen
dxxSen3
2xCosxSen
3
1dxxSen
dxxSen3
13xCosxSen
3
1dxxSen
:Solução
dxxSen)1
23
23
23
23133
3
+
−⋅−⋅=⋅
⋅−⋅⋅−=⋅
⋅⋅+⋅⋅−=⋅
⋅⋅−
+⋅⋅−=⋅
⋅
∫
∫
∫∫
∫∫
∫
−−
Cx8
3xCos
8
3xCos
4
1xSendxxCos
x8
3xSenxCos
8
3xSenxCos
4
1dxxCos
x2
1xSenxCos
2
1
4
3xSenxCos
4
1dxxCos
dx12
1xSenxCos
2
1
4
3xSenxCos
4
1dxxCos
dxxCos2
12xSenxCos
2
1
4
3xSenxCos
4
1dxxCos
dxxCos4
3xSenxCos
4
1dxxCos
dxxCos4
14xSenxCos
4
1dxxCos
:Solução
dxxCos)2
34
34
34
34
221234
234
24144
4
+⋅+
⋅+⋅⋅=⋅
⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅
⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅=⋅
⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅=⋅
⋅⋅−
+⋅⋅⋅+⋅⋅=⋅
⋅⋅+⋅⋅=⋅
⋅⋅−
+⋅⋅=⋅
⋅
∫
∫
∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫
−−
−−
73
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
3.2.3 Aplicações envolvendo as Técnicas de Integração
∫ dxx5Senx)1
Solução: Consideramos:
dxdu
dx
du
xu
=
=
=
1
∫∫∫
=
=
=
dxxSenv
dxxSendv
dxxSendv
5
5
5
Veja que obtivemos uma 2º integral:
∫ dxxSen 5
Logo façamos:
dxdt
dx
dt
xt
⋅=
=
=
5
5
5
( ) xCostCosdttSen
dttSen
dxxSen
55
1
5
1
5
1
5
5
⋅−⇒−⋅⇒⋅
⋅
∫
∫
∫
Daí:
xCosv
dxxSenv
55
1
5
⋅−=
= ∫
Temos:
∫∫
∫∫
∫∫
⋅+⋅⋅−=⋅
⋅⋅−−
⋅−⋅=⋅
⋅−⋅=⋅
dxxCosxCosxdxxSenx
dxxCosxCosxdxxSenx
duvvudxxSenx
55
15
5
15
55
15
5
15
5
Veja que obtivemos uma 3º integral:
∫ ⋅dxxCos 5
74
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
Logo façamos:
dxdw
dx
dw
xw
⋅=
=
=
5
5
5
xSenwSendwwCos
dwwCos
dxxCos
55
1
5
1
5
1
5
5
⋅⇒⋅⇒⋅
⋅
∫
∫
∫
Continuando coma integral primária:
xSenxCosxdxxSenx
xSenxCosxdxxSenx
525
15
5
15
55
1
5
15
5
15
⋅+⋅⋅−=⋅
⋅⋅+⋅⋅−=⋅
∫
∫
Por tanto:
CxSenxCosxdxxSenx +⋅+⋅⋅−=⋅∫ 525
15
5
15
( )∫ − dxx1ln)2
Solução: Consideramos:
( )
dxx
du
xdx
du
xu
⋅−
−=
−−=
−=
1
1
1
1
1ln
xv
dxdv
dxdv
=
=
=
∫∫
Logo Façamos:
( ) ( )
( ) ( ) ∫∫
∫∫
∫∫
⋅
−
⋅+⋅−=−
⋅
−
−⋅−⋅−=−
⋅−⋅=⋅
dxx
xxxdxx
dxx
xxxdxx
duvvudvu
1
11ln1ln
1
11ln1ln
Veja que obtivemos uma 2º integral:
75
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
∫ ⋅
−
⋅ dxx
x1
1
Logo façamos:
dxdt
dx
dt
xt
=
=
=
1
( )xw
dxx
dw
dxx
dw
−=
⋅−
=
⋅−
=
∫∫1ln
1
1
1
1
Continuando com a integral primária:
( ) ( )
( ) ( ) [ ]( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )∫∫
∫∫∫∫
∫∫
⋅−−−⋅+⋅−=−
⋅−−−⋅+⋅−=−
⋅−⋅+⋅−=−
⋅
−
⋅+⋅−=−
dxxxxxxdxx
dxxxxxxdxx
dtwwtxxdxx
dxx
xxxdxx
1ln1ln1ln1ln
1ln1ln1ln1ln
1ln1ln
1
11ln1ln
Faça a transposição:
( ) Mdxx =−∫ 1ln
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( )[ ]
( ) xxM
xxM
xxxxMM
MxxxxM
dxxxxxxdxx
⋅−=
⋅−⋅=
−⋅+⋅−=+
−−⋅+⋅−=
⋅−−−⋅+⋅−=− ∫∫
1ln
1ln22
1ln1ln
1ln1ln
1ln1ln1ln1ln
Por tanto:
( ) ( ) Cxxdxx +⋅−=−∫ 1ln1ln
∫ dtet)3 t4
Solução: Consideramos:
76
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
dtdu
dt
du
tu
=
=
=
1
∫∫∫⋅=
⋅=
⋅=
dtev
dtedv
dtedv
t
t
t
4
4
4
Veja que obtivemos uma 2º integral:
∫ ⋅dte t4
Logo façamos:
dtdw
dt
dw
tw
⋅=
=
=
4
4
4
dwe
dwe
dwe
dte
w
w
w
t
⋅⋅
⋅⋅
⋅
⋅
∫
∫
∫
4
1
4
1
4
4
Então:
dwedtev wt ⋅⋅=⋅= ∫ 4
14
Voltemos a integral primária:
ttt
ttt
ttt
ttt
eetdtet
eetdtet
dteetdtet
dteetdtet
duvvudvu
444
444
444
444
16
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
⋅−
⋅⋅=
⋅⋅−
⋅⋅=
⋅−
⋅⋅=
⋅⋅−
⋅⋅=
⋅−⋅=⋅
∫
∫
∫∫
∫∫
∫∫
Por tanto:
Ceetdtet ttt +⋅−
⋅⋅=∫ 444
16
1
4
1
77
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
( )∫ ⋅+ dxx2Cos1x)4
Solução: Consideramos:
dxdu
dx
du
xu
=
=
+=
1
1
xSenv
dxxCosdv
dxxCosdv
22
1
2
2
⋅=
=
=
∫∫
Voltemos a integral primária:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) xCosxSenxdxxCosx
xCosxSenxdxxCosx
dxxSenxSenxdxxCosx
dxxSenxSenxdxxCosx
duvvudvu
⋅−⋅⋅+=+
⋅−⋅−⋅⋅+=+
⋅−⋅⋅+=+
⋅⋅−⋅⋅+=+
⋅−⋅=⋅
∫
∫
∫∫
∫∫
∫∫
4
12
2
1121
2
1
2
12
2
1121
22
12
2
1121
22
12
2
1121
Por tanto:
( ) ( ) CxCos4
1x2Sen
2
11xdxx2Cos1x +⋅−⋅⋅+=⋅+∫
∫ dxx3lnx)5
Consideramos:
dxx
du
xdx
du
xu
⋅=
=
=
1
3
3
3ln
2
2xv
dxxdv
dxxdv
=
=
=
∫∫
Voltemos a integral primária:
78
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
423ln3ln
22
1
23ln3ln
2
1
23ln3ln
1
223ln3ln
22
22
2
22
xxxdxxx
xxxdxxx
dxxx
xdxxx
dxx
xxxdxxx
duvvudvu
−⋅=
⋅−⋅=
⋅−⋅=
⋅⋅−⋅=
⋅−⋅=⋅
∫
∫
∫∫
∫∫
∫∫
Por tanto:
Cxx
xdxxx +−⋅=∫ 423ln3ln
22
∫ dxxCos)6 3
Solução: Vamos reescrever a Integral:
dxCosxxCos ⋅⋅2
Consideramos:
dxxSenxCosdu
xSenxCosdx
du
xCosu
⋅⋅⋅−=
⋅⋅−=
=
2
2
2
xSenv
dxxCosdv
dxxCosdv
=
=
=
∫∫
Temos:
79
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
( )
( )
[ ][ ]
xdxCosxSenxSenxCosdxxCos
xdxCosxSenxSenxCosdxxCos
dxxCosdxxCosxSenxCosdxxCos
dxxCosdxxCosxSenxCosdxxCos
dxxCosxCosxSenxCosdxxCos
dxxCosxSenxSenxCosdxxCos
dxxSenxCosxSenxSenxCosdxxCos
dxxSenxCosxSenxSenxCosdxxCos
∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫
⋅−⋅+⋅=
⋅−⋅+⋅=
⋅−⋅+⋅=
⋅−⋅+⋅=
⋅⋅−+⋅=
⋅⋅+⋅=
⋅⋅⋅+⋅=
⋅⋅⋅−⋅−⋅=
323
323
323
323
223
223
23
23
22
2
2
2
12
2
2
2
Faça a transposição:
MdxxCos =∫ 3
( )
xSenxSendxxCos
xSenxSenxSendxxCos
xSenxSenxSendxxCos
xSenxSenxCosdxxCos
xSenxSenxCosM
xSenxSenxCosM
xSenxSenxCosMM
MxSenxSenxCosM
xdxCosxSenxSenxCosdxxCos
33
33
23
23
2
2
2
2
323
3
1
3
2
3
1
3
1
3
21
3
1
3
2
3
1
3
2
3
1
23
22
22
22
⋅−=
⋅+⋅−⋅=
⋅+⋅−⋅=
⋅+⋅⋅=
⋅+⋅⋅=
⋅+⋅=
⋅+⋅=+
−⋅+⋅=
⋅−⋅+⋅=
∫
∫
∫
∫
∫∫
Por tanto:
CxSenxSendxxCos +⋅−=∫ 33
3
1
80
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
∫ dx2
xCose)7 x
Solução: Consideramos:
dxedu
edx
du
eu
x
x
x
⋅=
=
=
22
2
2
xSenv
dxx
Cosdv
dxx
Cosdv
⋅=
=
=
∫∫
Temos:
∫∫
∫∫
∫∫
⋅⋅−⋅⋅=
⋅⋅⋅−⋅⋅=
⋅−⋅=⋅
dxex
Senx
Senedxx
Cose
dxex
Senx
Senedxx
Cose
duvvudvu
xxx
xxx
22
22
2
22
22
2
Veja que obtivemos uma 2º integral:
∫ ⋅⋅ dxex
Sen x
2
Logo façamos:
dxedt
edx
dt
et
x
x
x
⋅=
=
=
22
2
2
xCosw
dxx
Sendw
dxx
Sendw
⋅−=
=
=
∫∫
Então:
dxx
Cosex
Cosedxex
Sen
dxex
Cosx
Cosedxex
Sen
dtwwtdwt
xxx
xxx
∫∫
∫∫
∫∫
⋅⋅+⋅⋅−=⋅⋅
⋅⋅⋅−−
⋅−⋅=⋅⋅
⋅−⋅=⋅
22
22
2
22
22
2
81
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
Continuando com a integral primária:
dxx
Cosex
Cosex
Senedxx
Cose
dxx
Cosex
Cosex
Senedxx
Cose
dxex
Senx
Senedxx
Cose
xxxx
xxxx
xxx
⋅⋅−⋅⋅+⋅=
⋅⋅+⋅⋅−−⋅=
⋅⋅−⋅=
∫∫
∫∫
∫∫
22
22
22
22
22
22
222
Faça a transposição:
22
3
1
23
1
2
22
3
1
23
1
22
23
22
22
22
22
2
xCose
xSenedx
xCose
xCose
xSeneM
xCose
xSeneM
xCose
xSeneMM
Mx
Cosex
SeneM
Mdxx
Cose
xxx
xx
xx
xx
xx
x
⋅⋅⋅+⋅⋅=
⋅⋅⋅+⋅⋅=
⋅⋅+⋅=
⋅⋅+⋅=+
−⋅⋅+⋅=
=
∫
∫
Por tanto:
Cx
Cosex
Senedxx
Cose xxx +⋅⋅⋅+⋅⋅=∫ 22
3
1
23
1
2
∫ dxxlnx)8
Solução: Vamos reescrever a Integral:
∫ dxxx ln2
1
Consideramos:
82
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
dxx
du
xdx
du
xu
⋅=
=
=
1
1
ln
2
52
5
2
1
2
1
5
2
2
5xv
xv
dxxdv
dxxdv
⋅=∴=
=
=
∫∫
Temos:
2
7
5 2
2
7
5 2
2
7
5 2
12
3
5 2
2
3
5 2
12
5
5 2
2
5
2
5
35
4
5
2lnln
7
2
5
2
5
2lnln
2
75
2
5
2lnln
12
35
2
5
2lnln
5
2
5
2lnln
5
2
5
2lnln
1
5
2
5
2lnln
xxxdxxx
xxxdxxx
xxxdxxx
xxxdxxx
dxxxxdxxx
dxxxxxdxxx
dxx
xxxdxxx
duvvudvu
⋅−⋅⋅=
⋅⋅−⋅⋅=
⋅−⋅⋅=
+⋅−⋅⋅=
⋅−⋅⋅=
⋅⋅−⋅⋅=
⋅⋅⋅−⋅⋅=
⋅−⋅=⋅
∫
∫
∫
∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
+
−
Por tanto:
Cxxxdxxx +⋅−⋅⋅=∫ 7 25 2
35
4ln
5
2ln
∫ dxxsecCos)9 3
Solução: Vamos reescrever a Integral:
∫ ⋅⋅ dxxCosxCos secsec 2
83
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
Consideramos:
dxxCotgxCosdu
xCotgxCosdx
du
xCosu
⋅⋅−=
⋅−=
=
sec
sec
sec
xCotgv
dxxCosdv
dxxCosdv
−=
=
=
∫∫ 2
2
sec
sec
Temos:
( ) ( )
( )
[ ]
∫∫∫∫∫
∫ ∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫
∫∫
⋅−−+⋅−=
⋅−⋅+⋅−=
⋅+⋅−⋅−=
⋅−⋅−⋅−=
⋅−−⋅−=
⋅⋅−−⋅−=
⋅⋅−⋅−=
⋅⋅⋅−⋅−=
⋅⋅−⋅−−−⋅=
⋅−⋅=⋅
dxxCosxCotgxCosxCotgxCosdxxCos
dxxCosdxxCosxCotgxCosdxxCos
dxxCosdxxCosxCotgxCosdxxCos
dxxCosdxxCosxCotgxCosdxxCos
dxxCosxCosxCotgxCosdxxCos
dxxCosxCosxCotgxCosdxxCos
dxxCosxCotgxCotgxCosdxxCos
dxxCotgxCosxCotgxCotgxCosdxxCos
dxxCotgxCosxCotgxCotgxCosdxxCos
duvvudvu
33
33
33
33
33
23
23
3
3
secseclnsecsec
secsecsecsec
secsecsecsec
secsecsecsec
secsecsecsec
sec1secsecsec
secsecsec
secsecsec
secsecsec
Faça a transposição:
MdxxCos =∫ 3sec
xCotgxCosxCotgxCosdxxCos
xCotgxCosxCotgxCosM
xCotgxCosxCotgxCosM
xCotgxCosxCotgxCosMM
MxCotgxCosxCotgxCosM
−⋅+⋅⋅−=
−⋅+⋅⋅−=
−+⋅−=
−+⋅−=+
−−+⋅−=
∫ secln2
1sec
2
1sec
secln2
1sec
2
1
seclnsec2
seclnsec
seclnsec
3
Por tanto:
CxCotgxCosxCotgxCosdxxCos +−⋅+⋅⋅−=∫ secln2
1sec
2
1sec3
84
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
∫ dxxCosx)10 2 α
Solução: Consideramos:
dxxdu
xdx
du
xu
⋅=
=
=
2
2
2
xSenv
dxxCosdv
dxxCosdv
αα
α
α
⋅=
=
=
∫∫1
Temos:
∫∫
∫∫
∫∫
⋅⋅−⋅⋅=
⋅⋅⋅−⋅⋅=
⋅−⋅=⋅
dxxxSenxSenxdxxCosx
dxxxSenxSenxdxxCosx
duvvudvu
αα
αα
α
αα
αα
α
21
211
22
22
Veja que obtivemos uma 2º integral:
∫ ⋅⋅ dxxxSen α
Logo façamos:
dxdt
dx
dt
xt
=
=
=
1
xCosw
dxxSendw
dxxSendw
αα
α
α
⋅−=
=
=
∫∫1
Então:
xSenxCosxdxxxSen
xSenxCosxdxxxSen
dxxCosxCosxdxxxSen
dxxCosxCosxdxxxSen
dtwwtdwt
αα
αα
α
ααα
αα
α
αα
αα
α
αα
αα
α
⋅+⋅⋅−=⋅⋅
⋅+⋅⋅−=⋅⋅
⋅+⋅⋅−=⋅⋅
⋅⋅−−
⋅−⋅=⋅⋅
⋅−⋅=⋅
∫
∫
∫∫
∫∫
∫∫
2
11
111
11
11
Continuando com a integral primária:
85
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
xSenxCosxxSenxdxxCosx
xSenxCosxxSenxdxxCosx
dxxxSenxSenxdxxCosx
αα
αα
αα
αα
αα
αα
ααα
⋅−⋅⋅+⋅=
⋅+⋅⋅−⋅−⋅=
⋅⋅−⋅=
∫
∫
∫∫
2
22
2
22
22
212
112
2
Por tanto:
CxSenxCosxxSenxdxxCosx +⋅−⋅⋅+⋅=∫ αα
αα
αα2
22 212
∫ dxxSenx)11 2
Solução: Consideramos:
dxxdu
xdx
du
xu
⋅=
=
=
2
2
2
xCosv
dxxSendv
dxxSendv
−=
=
=
∫∫
Temos:
( )
∫∫∫∫
∫∫
⋅⋅+⋅−=
⋅⋅−−−⋅=
⋅−⋅=
dxxxCosxCosxdxxSenx
dxxxCosxCosxdxxSenx
duvvudxxSenx
2
2
22
22
2
Veja que obtivemos uma 2º integral:
dxxxCos ⋅⋅∫ 2
Logo façamos:
dxdt
dx
dt
xt
⋅=
=
=
2
2
2
xSenw
dxxCosw
dxxCosdw
=
=
=
∫
Continuando com a integral primária:
86
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
[ ][ ][ ]
( )[ ]
[ ]
xCosxSenxxCosxdxxSenx
xCosxSenxxCosxdxxSenx
xCosxSenxxCosxdxxSenx
dxxSenxSenxxCosxdxxSenx
dxxSenxSenxxCosxdxxSenx
dtwwtxCosxdxxSenx
dxxxCosxCosxdxxSenx
⋅+⋅+⋅−=
⋅+⋅+⋅−=
−⋅−⋅+⋅−=
⋅−⋅+⋅−=
⋅⋅−⋅+⋅−=
⋅−⋅+⋅−=
⋅⋅+⋅−=
∫∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫∫
22
22
22
22
22
2
22
22
22
22
22
22
22
Por tanto:
CxCosxSenxxCosxdxxSenx +⋅+⋅+⋅−=∫ 2222
∫ dxxSene)12 x2
Solução: Consideramos:
dxedu
edx
du
eu
x
x
x
⋅⋅=
⋅=
=
2
2
2
2
2
xCosv
dxxSendv
dxxSendv
−=
=
=
∫∫
Temos:
( )
dxexCosxCosedxxSene
dxexCosxCosedxxSene
duvvudxxSene
xxx
xxx
x
⋅⋅+⋅−=
⋅⋅⋅−−−⋅=
⋅−⋅=
∫∫∫∫
∫∫
222
222
2
2
2
Veja que obtivemos uma 2º integral:
dxexCos x ⋅⋅∫ 2
Logo façamos:
87
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
dxedt
edx
dt
et
x
x
x
⋅⋅=
⋅=
=
2
2
2
2
2
xSenw
dxxCosw
dxxCosdw
=
=
=
∫
Continuando com a integral primária:
[ ][ ]
∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫
⋅⋅−⋅⋅+⋅−=
⋅⋅⋅−⋅⋅+⋅−=
⋅⋅⋅−⋅⋅+⋅−=
⋅−⋅⋅+⋅−=
⋅⋅+⋅−=
dxxSenexSenexCosedxxSene
dxexSenxSenexCosedxxSene
dxexSenxSenexCosedxxSene
dtwwtxCosedxxSene
dxexCosxCosedxxSene
xxxx
xxxx
xxxx
xx
xxx
2222
2222
2222
22
222
42
222
22
2
2
Faça a transposição:
xSenexCoseM
xSenexCoseM
xSenexCoseMM
MxSenexCoseM
MdxxSene
xx
xx
xx
xx
x
⋅⋅+⋅⋅−=
⋅⋅+⋅−=
⋅⋅+⋅−=+
−⋅⋅+⋅−=
=∫
22
22
22
22
2
5
2
5
1
25
24
42
Por tanto:
CxSenexCosedxxSene xxx +⋅⋅+⋅⋅−=∫ 222
5
2
5
1
∫ dxxSen)13 3
Vamos reescrever a Integral:
∫ dxxSenxSen 2
Consideramos:
dxxCosxSendu
xCosxSendx
du
xSenu
⋅⋅⋅=
⋅⋅=
=
2
2
2
xCosv
dxxSendv
dxxSendv
−=
=
=
∫∫
88
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
Temos:
( )
( )
[ ]
[ ]
∫∫∫∫
∫ ∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫
∫∫
⋅−−⋅−=
⋅−−⋅+⋅−=
⋅−⋅+⋅−=
⋅−⋅+⋅−=
⋅−⋅+⋅−=
⋅⋅−+⋅−=
⋅⋅+⋅−=
⋅⋅⋅⋅−−−⋅=
⋅−⋅=
dxxSenxCosxCosxSendxxSen
dxxSenxCosxCosxSendxxSen
dxxSendxxSenxCosxSendxxSen
dxxSendxxSenxCosxSendxxSen
dxxSendxxSenxCosxSendxxSen
dxxSenxSenxCosxSendxxSen
dxxSenxCosxCosxSendxxSen
dxxCosxSenxCosxCosxSendxxSen
duvvudxxSen
323
323
323
323
323
223
223
23
3
22
22
22
2
2
12
2
2
Faça a transposição:
MdxxSen =∫ 3
xCosxCosxSenM
xCosxCosxSenM
xCosxCosxSenMM
MxCosxCosxSenM
⋅−⋅⋅−=
−⋅−=
−⋅−=+
−−⋅−=
3
2
3
1
23
22
22
2
2
2
2
Por tanto:
CxCosxCosxSendxxSen +⋅−⋅⋅−=∫ 3
2
3
1 23
89
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ALARCÓN, Sérgio Alberto; SUESCÚN, Carlos Mario & DE LA TORRE, Andrés. El método de las tangentes de Fermat. In: Esculea Regional de Matemáticas – Universidad del Valle. Vol. XIII nº 2, Diciembre – Colombia, 2005.
ALMEIDA, Susana Gorete Monteiro. História da Matemática: Newton e Leibniz. In: Universidade Católica Portuguesa. Monografia. Lisboa-PT, 2003.
BARON, E.M. The Origins of the Infinitesimal Calculus (Pergamon Press), 1969.
BARUFI, Maria Cristina Bonomi. A construção/negociação de significados no curso universitário inicial de Cálculo Diferencial e Integral. Tese de Doutorado. São Paulo: FE-USP, 1999.
BERTOLONI, Meli D. Equivalence and Priority: Newton vs. Leibniz. Clarendon Press Oxford, 1993.
BOYER. Carl B. Tópicos de História da Matemática. Trad. Hygino H. Domingues. Ed. Atual. São Paulo, 1992.
BRESSAN, P. M. Calculo Diferencial e Integral I: Investigação sobre dificuldades dos alunos. In:X Salão de IniciaçãoCientífica PUCRS. Porto Alegre-RS, 2009.
FROTA, M. C. R. Duas abordagens distintas da estratégia de resolução de exercícios no estudo de Cálculo. In: LAUDARES, J. B.; LACHINI, J. (orgs.). Educação Matemática: a prática educativa sob o olhar de professores de Cálculo. Belo Horizonte: FUMARC – 2001.
REZENDE, Wanderley Moura. O Ensino de Cálculo: Dificuldades de Natureza Epistemológica. Tese (Doutorado em Educação). USP, São Paulo, 2003.
STEWART, James. Cálculo: Volume I. Editora: Cengace Learning. São Paulo, 2010.
STRONG, Edward W. Barrowand Newton. In: Journal of the History of Philosophy. Volume 8, Numero 2, Nova York, Abril 1970.
90
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
APÊNDICES
91
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
APÊNDICE A
Tabela de Identidades Trigonométricas
sen2x + cos
2x = 1 1 + tg
2x = sec
2x
1 + cotg2x = cosec
2x sen (-x) = -sen x
cos (-x) = cos x tg (-x) = -tg x
sen 2x = 2 senx.cos x
cos 2x = cos2x - sen
2x = 1 - 2 sen
2x = 2 cos
2x - 1
92
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
APÊNDICE B
Tabela de Derivadas Usuais
Função (y) Derivada (y’)
ny u= 1' 'ny nu u−⇒ = y u v= ' ' 'y u v v u⇒ = +
uy
v=
2
' ''
u v v uy
v
−⇒ =
uy a= ( )' (ln ) ', 0, 1uy a a u a a⇒ = > ≠ uy e= ' 'uy e u⇒ =
logay u= '
' loga
uy e
u⇒ =
lny u= 1
' 'y uu
⇒ =
vy u= 1' ' (ln ) 'v vy v u u u u v−⇒ = +
seny u= ' ' cosy u u⇒ =
cosy u= ' ' seny u u⇒ = −
tgy u= 2' ' secy u u⇒ =
cotgy u= 2' ' cosecy u u⇒ = −
secy u= ' ' sec tgy u u u⇒ =
cosecy u= ' ' cosec cotgy u u u⇒ = −
seny arc u= 2
''
1
uy
u⇒ =
−
cosy arc u= 2
''
1
uy
u
−⇒ =
−
tgy arc u= 2
''
1
uy
u⇒ =
+
coty arc g u= 2
'
1
u
u
−⇒
+
sec , 1y arc u u= ≥ 2
'' , 1
1
uy u
u u⇒ = >
−
cosec , 1y arc u u= ≥ 2
'' , 1
1
uy u
u u
−⇒ = >
−
93
Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados
APÊNDICE C
Tabela de Integrais
Integrais Usuais
C u du +=∫ C uln u
du+=∫ C
1α
uduu
1αα +
+=
+
∫
C lna
adua
uu +=∫ C edue uu +=∫ C u cos dusenu +−=∫
C u sen ducosu +=∫ C seculndutgu +=∫ C senulnducotgu +=∫
C cotgucoseculnducosecu +−=∫ C tguseculndusecu ++=∫ C tgu duu sec2 +=∫
C cotgu - duu cosec2 +=∫ C secu dusecu.tgu +=∫ C cosecu - dugu cosecu.cot +=∫
C a
usen arc
ua
du
22+=
−∫ C
a
u tgarc
a
1
ua
du
22+=
+∫ C
a
usec arc
a
1
auu
du
22+=
−∫
C coshu dusenhu +=∫ C senhu ducoshu +=∫ C tghu duu sech2 +=∫
C cotghu - duu cosech2 +=∫ C sechu du sechu.tghu +−=∫ C cosechu - dutghu cosechu.co +=∫
C auuln
au
du 22
22+±+=
±∫ C
au
auln
2a
1
ua
du
22+
−+
=−
∫ C aa
ln1
u au
du 22
22+
±+−=
±∫ u
u
a
Fórmulas de Recorrência
∫∫−
+−= duu senn
1nu u.cossen
n
1 duu sen 2-n1-nn
∫∫−
+= duu cosn
1nu u.sen cos
n
1 duu cos 2-n1-nn
∫∫ −= duu tut1-n
1 duu t 2-n1-nn ggg
∫∫ −= duu cotg-ucotg1-n
1 duu cotg 2-n1-nn
∫∫−
+= duu sec1-n
2nu u.tgsec
1-n
1duu sec 2-n2-nn
∫∫−
+−= duu cosec1-n
2nu u.cotgcosec
1-n
1 duu cosec 2-n2-nn
( )( )
( ) ( ) ( )∫∫ −
−
+−
−+
−
+=
+1n2222
n122
n 22 au
du
1n2a
32n
1n2a
auu.
au
du
