Cálculo II

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    14-Jun-2015
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Transcript of Cálculo II

  • 1. Agnaldo Souza Pereira Cludio Barros Vitor Jefferson Pereira de OliveiraClculoII 4. Perodo Manaus 2007

2. FICHA TCNICAGovernador Eduardo Braga ViceGovernadorOmar Aziz ReitoraMarilene Corra da Silva FreitasViceReitorCarlos Eduardo S. GonalvesPrReitor de PlanejamentoOsail de Souza MedeirosPrReitor de AdministraoFares Franc Abinader Rodrigues PrReitor de Extenso e Assuntos Comunitrios Roglio Casado Marinho PrReitora de Ensino de GraduaoEdinea Mascarenhas Dias PrReitor de PsGraduao e Pesquisa Jos Luiz de Souza PioCoordenador Geral do Curso de Matemtica (Sistema Presencial Mediado) Carlos Alberto Farias JenningsCoordenador Pedaggico Luciano Balbino dos SantosNUPROMNcleo de Produo de Material Coordenador GeralJoo Batista GomesEditorao Eletrnica Helcio Ferreira JuniorReviso TcnicogramaticalJoo Batista GomesPereira, Agnaldo Souza.P436cClculo II / Agnaldo Souza Pereira, Cludio Barros Vitor,Jefferson Pereira de Oliveira. - Manaus/AM: UEA, 2007. -(Licenciatura em Matemtica. 4. Perodo) 92 p.: il. ; 29 cm. Inclui bibliografia. 1. Clculo - Estudo e ensino. I. Vitor, Cludio Barros. II.Oliveira, Jefferson Pereira de. III. Srie. IV. Ttulo. CDU (1997): 517.2/.3 3. SUMRIOUNIDADE I Funes de vrias variveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07TEMA 01 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10TEMA 02 Domnio e Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13TEMA 03 Grficos de funes de duas variveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15TEMA 04 Limites e continuidade para funes de vrias variveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19TEMA 05 Derivadas parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21TEMA 06 Derivadas de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25UNIDADE II Derivada direcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27TEMA 01 Vetor gradiente e derivadas direcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29TEMA 02 Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31UNIDADE III Integrais de linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35TEMA 01 Caminhos e curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37TEMA 02 Comprimento de curvas e caminhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41TEMA 03 Definio de integrais de linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45UNIDADE IV Integrais mltiplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51TEMA 01 Integrais duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54TEMA 02 Integrais repetidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56TEMA 03 Integrais triplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59TEMA 04 Mudana de variveis nas integrais duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62TEMA 05 Aplicaes da integral dupla e tripla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64UNIDADE V Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73Respostas de Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4. PERFIL DOS AUTORES Agnaldo Souza PereiraBacharel em Fsica - UFRJ Mestre em Fsica - UFRJLicenciado em Fsica - FTESM Doutor em Fsica - UFRJCludio Barros VitorLicenciado em Matemtica UFAMPs-graduado em Didtica e Metodologia do Ensino Superior - UNESC Jefferson Pereira de OliveiraLicenciado em Matemtica UCSalPs-Graduado em Instrumentao para o Ensino da Matemtica - UFF 5. UNIDADE IFunes de vrias variveis 6. Clculo II Funes de vrias variveis Alm das contribuies em cincias exatas, DAlembert tambm participou, com DenisUM BREVE HISTRICO Diderot, da elaborao de Enciclopdia, uma das maiores obras do Iluminismo. Ao contrrio do que faria supor sua infncia humilde, DAlembert freqentava lugares e fes- tas elegantes, onde conheceu a escritora Julie de Lespinasse, por quem se apaixonou. Quando DAlembert se tornou famoso por suas realizaes intelectuais, sua me biolgica apresentou-se, mas ele, que viveu na casa paterna at os 48 anos, disse-lhe: Sou filho do arteso e de sua mulher. Voc , no mximo, minha madrasta. Jean Le Rond DAlembert faleceu aos 76 anos de idade, em 1783, como um clebre cientistaJean Le Rond DAlembert nasceu em 16 dee renomado homem de cultura.novembro de 1717, em Paris. Era filho ilegtimoda marquesa Claudine Guerin de Tencin,escritora, e do cavaleiro Louis-CamusDestouches, oficial do exrcito francs.Logo aps o nascimento, foi abandonado porsua me nas escadarias da Capela de SaintJean Le Rond, de onde foi levado para umorfanato, espera de adoo.O beb recebeu o nome do santo protetor dacapela, e foi adotado por um humilde arteso esua esposa. Seu pai biolgico, mesmo noreconhecendo a paternidade, custeou-lhe aeducao por meio de uma penso.Aos 12 anos de idade, DAlembert ingressou noWilliam Rowan Hamilton nasceu em Dublin,Colgio Mazarin, onde estudou Filosofia, Artes em 8 de agosto de 1805. Seus pais morrerame Direito, e formou-se advogado em 1738, aos deixando o pequeno rfo aos cuidados de um21 anos de idade. Mais tarde, passa a interes- tio, que o educou dentro de uma severa linhasar-se por Medicina e Matemtica, sendo quede comportamento, dando-lhe uma educaoseu primeiro trabalho matemtico publicado abrangente, com forte nfase em lnguasem 1739, no qual ele apresenta correes deestrangeiras. O pequeno Hamilton, aos 5 anoserros que encontrou em um dos livros usado de idade, lia e recitava Homero em grego; aosem sua formao. Aos 24 anos de idade, 8 anos, j falava fluentemente o italiano e oDAlembert j era clebre por seu trabalho emfrancs. Aos 10 anos de idade, aprendeu a ln-Clculo Integral, e aos 26 anos, ele publica seu gua rabe. Seu interesse pela matemticaTratado de Dinmica, com importantes con-surgiu aos quinze anos de idade, ao conhecertribuies cincia da mecnica.um jovem norte-americano chamado ZertahDeixou tambm contribuies para a teoria dasColburn, que possua fantstica habilidade paraequaes diferenciais, em que se destaca o realizar clculos mentais. Ingressou no Trinitymtodo de soluo de DAlembert para resolverCollege, em 1824, tendo sido o primeiro coloca-equaes diferenciais no-homogneas por do entre 100 candidatos no concurso de admis-meio de uma equao auxiliar.so. Aos 22 anos, ainda estudante, j era dire- 9 7. UEA Licenciatura em Matemticator de um observatrio. Hamilton dedicou-se leitura das obras de Newton e de Laplace, e TEMA 01criou sua prpria formulao da mecnica, con-hecida hoje como mecnica hamiltoniana, queINTRODUO tremendamente importante em todos os cam-pos da fsica moderna, notadamente na fsica O conceito de funo de vrias variveis estquntica. Sua vida particular no foi das mais intimamente ligado aos fenmenos mais com-tranqilas; ele teve srios problemas com oplexos no campo da matemtica aplicada f-alcoolismo. Aps terrvel luta contra o vcio, sica e engenharia. Se um meteorologista, porconvence-se de que a nica soluo seria exemplo, tiver de determinar o comportamentonunca mais ingerir nenhum tipo de bebida futuro da temperatura de uma regio, ele preci-alcolica. sar de um conjunto de dados atmosfricos, como presso do ar, velocidade dos ventos ePor dois anos, Hamilton manteve-se sbrio, umidade do ar.mas durante uma discusso com o astrnomoGeorge Airy, que debochou de seu hbito de Podemos ver, claramente, que a temperaturabeber apenas gua durante festas e do ar depende de vrias outras grandezas, de forma que, quando esse conjunto de variveissolenidades, Hamilton voltou a beber e caiu, se altera, ela tambm se altera, ou seja, ela afundando-se ainda mais no vcio. Apesar da uma funo que depende de vrias outras var-desordem em que estava mergulhada sua vida iveis.privada, Hamilton ainda se mantinha firme nacompetio matemtica. Contribuiu para o Ainda como exemplo, podemos enxergar odesenvolvimento do clculo, sendo de sua preo de um produto com sendo dependente do preo da matria-prima, do preo de mo-autoria o termo gradiente para designar o vetor de-obra e do custo do transporte, pois se essesque aponta na direo de maior variao de elementos variam, o preo final do produto va-uma funo escalar. Hamilton tambm realizou riar tambm.pesquisas em tica e solues numricas deequaes diferenciais. O homem que amava osMatematicament