Calculo II Derivadas e Aplicacoes

Clculo II - Derivadas e Aplicaes 0

Faculdade de Tecnologia de Tatu

Prof. Wilson Roberto Ribeiro de Camargo

Calculo II

Sumrio

1. Derivao Implcita ...................................................................................................................... 1

2. Taxas Relacionadas ...................................................................................................................... 7

3. Estudos da funo .......................................................................................................................... 15

3.1. Anlise do Comportamento das Funes ............................................................................ 15

3.2. Valor funcional Mximo ..................................................................................................... 15

3.3. Valor mximo e mnimo absoluto num intervalo p(220) ........................................................ 20

3.4. Extremo absoluto .................................................................................................................... 21

3.5. Teorema do valor Extremo ..................................................................................................... 22

3.6. Concavidade e pontos de inflexo (p241) ............................................................................... 23

3.7. Pontos de inflexo ................................................................................................................... 24

3.8. Teste da derivada segunda para extremos relativos ................................................................ 26

4. Teorema de Rolle e Teorema do Valor Mdio (p.231) .................................................................. 31

5. Aplicaes Envolvendo extremos absolutos num intervalo fechado ............................................. 35


1. Derivao Implcita

A equao 0122 yx como sabemos, a equao da circunferncia de centro na

origem C (0,0) e raio r = 1.

Tal circunferncia no grfico de uma funo, pois existe uma reta vertical que encontra a

circunferncia em dois pontos. Isto fica tambm evidente se explicitarmos y:

0122 yx 22 1 xy

21 xy

Podemos obter uma funo g escolhendo um arco da circunferncia acima do eixo Ox, caso

em que ela tem por expresso:

21)( xxgy

Escolhendo um arco abaixo do eixo Ox, obteremos uma funo h, que tem por expresso: 21)( xxhy

Note que: 01))((22 xgx e 01))(( 22 xhx

Chamando 1),(22 yxyxF , essas relaes ficam:

0))(,( xgxF e 0))(,( xhxF

Com os exemplos introduzidos, acreditamos que fica inteligvel a seguinte definio:

Definio:

Seja 0),( yxF uma equao em x e y. Se existir uma funo f tal que para todo x do seu

domnio se tenha 0))(,( xfxF , diz-se que f dada implicitamente por essa equao.

De acordo com essa definio, as funes g e h vistas so dadas implicitamente pela equao

122 yx

Observao:

No exemplo que vimos para motivar a definio acima, pudemos explicitar g e h em termos

de x. Mas isto no ocorre em geral.

a

brC

P(x,y)

y

x

222 )()( rbyax

a

brC

P(x,y)

y

x

222 )()( rbyax


Por exemplo:

Sendo 1),( 2244 yxyxyxyxF ,

A equao 0),( yxF : 012244 yxyxyx ,

E neste caso no h como explicitar y em termos de x.

Mas pode suceder que exista uma funo f que satisfaz a equao, no sentido que:

1)())(())(( 2244 xfxxfxxfx para todo x do domnio. Alias, o nosso interesse que

exista tal funo com a qualidade de ser derivvel, pois queremos calcular sua derivada. Isto de fato

ocorre, porm no temos meios no momento para justificar a afirmao, pois usa conceitos relativos

a funes de duas variveis, e por isso no ser dado no momento. Nos exemplos e exerccios, ser

sempre admitida a existncia de uma tal funo.

Exemplos:

1) Dada equao abaixo, derive implicitamente. Achedx

dy.

a) 122 yx

)1()( 22

dx

dyx

dx

d

022 dx

dyyx

y

x

dx

dy

2

2

y

x

dx

dy

b) 12244 yxyxyx

)1()( 2244

dx

dyxyxyx

dx

d

012244 33 dx

dy

dx

dyyx

dx

dyyx

024124 33 dx

dy

dx

dyy

dx

dyyxx

0)124(124 33 dx

dyyyxx

124

1243

3

xx

yy

dx

dy

c) 352 yyx

)3()( 52 ydx

dyx

dx

d

dx

dyx

dx

dyyxy 152 245

dx

dyyx

dx

dyxy 425 52

dx

dyyxxy 425 512

42

5

51

2

yx

xy

dx

dy


d) 2566 32 yyyxx

yyy

x

dx

dy

2518

2645

5

) 342 73 = 4 8

3[(4) 2 + [(2) 4]] 7[() 3 + (3) ] = (4) (8)

3 [432 + 2

4] 7 [3 + 32

] = 0 8

1232 + 64

73 212

= 8

64

212

+ 8

= 73 1232

(64 212 + 8) = 73 1232

=

73 1232

64 212 + 8

) ( + )2 ( )2 = 4 + 4 2( + )21[() + ()] 2( )21[() ()] = (4) + (4)

2( + ) [1 +

] 2( + ) [1

] = 43 + 43

( 2)

( + ) (1 +

) ( + ) (1

) = 23 + 23

+

+ +

+

+

= 23 + 23

2

+ 2 = 23 + 23

( 2)

+ = 3 + 3

3

= 3

( 3)

= 3

=

3

3

g) 1coscos xyyx [() cos + [(cos ) ]] + [() cos + [(cos ) ]] = (1)

[1 cos + [(sen )

]] + [

cos + [(sen ) ]] = 0

cos sen

+ cos

sen = 0

(cos sen )

= sen cos


=

sen cos

cos sen

2) Dada equao 922 yx ache:

a) dx

dy por derivao implcita;

Vamos derivar implicitamente.

022 dx

dyyx

xdx

dyy 22

y

x

dx

dy

b) As duas funes definidas pela equao;

922 yx

29 xy

Sejam f1 e f2 as duas funes para as quais:

21 9)( xxf e

22 9)( xxf

c) A derivada de cada funo obtida na parte;

2

1

)9()( 21 xxf 22

21

992

2)2()9(

2

1)( 2

1

x

x

x

xxxxf

2

1

)9()( 22 xxf 22

22

992

2)2()9(

2

1)( 2

1

x

x

x

xxxxf

d) Comprove que o resultado obtido na parte (a) esta de acordo com os resultados obtidos na parte

(c).

- Para 21 9)( xxfy , segue da parte (c) que: y

x

x

xxf

21

9)(

- Para 22 9)( xxfy , segue da parte (c) que: y

x

y

x

x

xxf

22

9)(

O que tambm esta de acordo com o resultado obtido na parte (a).

3) Ache uma equao da reta tangente e normal curva 3 + 3 = 9 no ponto (1,2) e o ngulo de inclinao da reta tangente e normal.

Vamos derivar implicitamente em relao a x.

32 + 32

= 0

32

= 32

=

32

32

=

2

2

Logo, no ponto (1,2),

=

2

2=

12

22=

1

4


A equao da reta tangente no ponto ),( oo yx , ento:

)( oo xxdx

dyyy (Guidorizzi, 204)

)1(4

12 xy

)1(24 xy 184 xy

094 yx

A equao da reta normal no ponto ),( oo yx , ento:

)(1

oo xx

dx

dyyy (Guidorizzi, 204)

)1(1

241

xy

)1(42 xy

442 xy

0424 xy

024 xy

O ngulo de inclinao da reta tangente.

= (

) = (

1

4) = 165,96

O ngulo de inclinao da reta normal.

= (1

) = (1

14

) = (4)

= 75,96

4) Ache uma equao e funo da reta tangente e normal curva 164 + 4 = 32 no ponto )2;1( e

o ngulo de inclinao da reta tangente e normal.

16 43 + 4 3

= 0

=

643

43

=

163

3


=

16 13

23=

16

8

= 2

Angulo da tangente

= (

) = (2)

= 116,57

Equao da reta tangente

)( oo xxdx

dyyy

)1(22 xy

222 xy

042 xy

Funo da reta tangente

42 xy

ngulo da normal.

= (1

)

= (1

2)

= (1

2) = 26,56

A equao da reta normal

)(1

oo xx

dx

dyyy

)1(2

12

xy

)1(2

12 xy

1)2(2 xy

142 xy

032 xy

Funo da reta normal

2

3

2

xy

5) Ache uma equao da reta tangente e normal curva 2 + + 2 3 = 10


no ponto (2;3).

(2) + [() + ()] + (2) (3) = (10)

2 + 1 + 1

+ 2

3

= 0

(2 + 3)

= (2 + )

=

2 +

2 + 3


=

2 2 + 3

2 3 + 2 3=

4 + 3

6 + 2 3

=

7

5

O ngulo de inclinao da reta

tangente.

= (

) = (

7

5)

= 125,54

O ngulo de inclinao da reta

normal.

= (1

75

)

= (5

7)

= 35,54

Equao da reta tangente

)( oo xxdx

dyyy

)2(5

73 xy

)2(735 xy 147155 xy

0141575 xy

02975 xy

Em funo

5

297

xy

5

29

5

7

xy

A equao da reta normal

)(1

oo xx

dx

dyyy

)2(

5

7

13

xy

)2(7

53 xy

)2(537 xy 105217 xy

0211057 xy

01157 xy

Em funo

7

11

7

5

xy

6) Ache uma equao da reta tangente e normal curva 1933 yx no ponto (1,2).

Respostas:

A equao da reta tangente no ponto ),( oo yx , ento: 0194 xy

A equao da reta normal no ponto ),( oo yx , ento: 02249 xy


2. Taxas Relacionadas

Um problema envolvendo taxas de variao de variveis relacionadas chamado de

problema de taxas relacionadas.

Os passos a seguir representam um procedimento possvel para resolver problemas

envolvendo taxas relacionadas.

1 Faa uma figura, se isso for possvel; 2 Defina as variveis. Em geral defina primeiro t, pois as outras variveis usualmente dependem de t.

3 Escreva todos os fatos numricos conhecidos sobre as variveis e suas derivadas em relao t. 4 Obtenha uma equao envolvendo as variveis que dependem de t. 5 Derive em relao a t ambos os membros da equao encontrada na etapa 4. 6 Substitua os valores de quantidades conhecidas na equao da etapa 5 e resolva em termos da quantidade desejada.

Comearemos nossa discusso com um exemplo que descreve uma situao real.

Exemplos:

1) Uma escada com 25 unidades de comprimento est apoiada numa parede vertical. Se o p da

escada for puxado horizontalmente, afastando-se da parede a 3 unidades de comprimento por

segundo, qual a velocidade com que a escada est deslizando, quando seu p esta a 15 unidades de

comprimento da parede?

- Figura (desenho esquemtico) - Definio das variveis:

t tempo decorrido desde que a escala comeou a deslizar pela

parede em segundos.

y distncia do cho ao topo da escada.

x distncia do p da escada ate a parede.

z comprimento da escada.

- Fatos numricos

conhecidos:

= 3

=? Quando x = 15

= 0

- Equao envolvendo as

variveis que dependem de t:

Teorema de Pitgoras:

2 + 2 = 2

- Derivando em relao a t:

2 + 2 = 2

2

+ 2

= 2

( 2)

+

= 0

=

=

- Substituindo os valores de quantidades conhecidas:

Devemos encontrar y para x = 15, substituindo na

equao:

2 + 2 = 2

= 2 22

= 252 152 = 400 = 20

] =

=

15

20 3 = 2,25

Logo o topo da escada esta deslizando a uma taxa de 2,25 unidades de comprimento por segundo. O

sinal negativo significa que y decrescente, quanto t cresce.

x

y

25

x

y

25


2) Um tanque tem a forma de um cone invertido com 16m de altura e uma base com 4m de raio. A

gua flui no tanque a uma taxa de 2 3 . Com que velocidade o nvel da gua estar se elevando quando sua profundidade for de 5m?

1- Figura (desenho esquemtico) 2- Definio das variveis:

t tempo em (min) com que a gua flui no tanque.

V volume em m3 de gua.

h nvel em (m) com que a gua esta se elevando no tanque.

r raio em (m) do nvel da gua no tanque.

3- Fatos numricos conhecidos:

min

3

2 m

dt

dV

min? m

dt

dh quando mh 5

4- Equao envolvendo as variveis que dependem de t:

mh 16 para mr 4 4

4h

rrh

hrV 2

3

3

2

16343hh

hV

5- Derivando em relao a t:

3

163hV

dt

dhh

dt

dhh

dt

dV

163

163

22

dt

dV

hdt

dh

2

16

6- Substituindo os valores de quantidades conhecidas:

Encontrando agora 5

hdt

dh

min225 25

322

5

1616 m

dt

dV

hdt

dh

min5

407,0 m

dt

dz

4m

r m

h m

16 m

4m

r m

h m

16 m


3) Dois carros esto se encaminhando em direo a um cruzamento, um seguindo a direo leste a

uma velocidade de 90km/h e o outro seguindo a direo sul, a 60km/h. Qual a taxa segundo a qual

eles se aproximam um do outro no instante em que o primeiro carro est 0,2km do cruzamento e o

segundo a 0,15km?

Resoluo:

1- Figura (desenho esquemtico)

2- Definio das variveis:

t tempo em (h) desde que os carros comearam a se aproximar.

x distncia em (km) do primeiro carro em relao a P (direo leste).

y distncia em (km) do segundo carro em relao a P (direo sul).

z distncia em (km) entre os dois carros.

3- Fatos numricos conhecidos: 4- Equao envolvendo as variveis que dependem de t:

x = 0,2km

= 90

Pelo teorema de Pitgoras temos:

2 = 2 + 2 y = 0,15km

= 60

- Encontrando z:

= 2 + 22

= 0,22 + 0,1522

= 0,06252

= 0,25 z = (?) km

= (? )


2

= 2

+ 2

= ( 2)

=

+

6- Substituindo os valores de quantidades

conhecidas:

] =

0,2(90) + 0,15(60)

0,25

] = 108/

4) Um avio voa a 152,4m/s paralelamente ao solo, a uma altitude de 1.220m no sentido oeste,

tomando como referncia um holofote fixado no solo que o focaliza e que se encontra esquerda da

projeo vertical do avio em relao ao solo. Sabendo-se que a luz do holofote dever permanecer

iluminando o avio, qual dever ser a velocidade angular (de giro) do holofote, no instante em que a

distncia horizontal entre ele e a projeo vertical do avio for de 610m?

Norte

Sul

Leste Oeste

P

y (km)

x (km)

z (km

)

direo

sul

direo

leste

P

y (km)

x (km)

z (km

)

direo

sul

direo

leste



t tempo em (s) com que o avio se desloca na direo oeste.

ngulo de elevao (em radianos) do feixe luminoso emitido pelo holofote em relao ao solo.

x distncia em (m) medida horizontalmente entre o holofote e a projeo vertical do avio em relao

ao solo.

y distncia em (m) medida verticalmente entre o holofote e a projeo vertical do avio no solo.


x = 610m

= 152,4

y = 1220km

= 0

= (?) km

= (? )


tan =

2 = 1 + 2


(tan ) = (12201)

2

= 1220 (1)11

2

= 1220 2

2

=

1220

2

=

1220

2 2

6- Substituindo os valores das grandezas

conhecidas temos:

tan =1220

=

1220

610= 2

2 = 1 + 22 = 1 + 4 = 5

=

1220

6102 5(152,4)

= 0,1

5) Um tanque cbico horizontal tem aresta medindo 2m, e a vazo de gua constante, valendo

0,5m3/s. Determine a velocidade de subida do nvel da gua.


t tempo em (s) com que a gua esta sendo vazada no tanque.

h altura em (m) do tanque cbico (aresta vertical).

V volume do tanque cbico.

P (avio)

holofote

x = 610m

y = 1220m

Direo

oeste

P (avio)

holofote

x = 610m

y = 1220m

Direo

oeste



sm

dt

dV 35,0 hhAV b

22

sm

dt

dh(?) mh 2


hV 4


dt

dh

dt

dV 4

dt

dV

dt

dh

4

1

6- Substituindo os valores das grandezas conhecidas temos:

sm

dt

dh125,0

4

5,05,0

4

1

6) Uma pipa esta voando a uma altura de 40m. Uma criana esta empinando-a de tal forma que ela

se mova horizontalmente, a uma velocidade de 3m/s. Se a linha estiver esticada, com que

velocidade a linha estar sendo dada, quando o comprimento da linha desenrolada for de 50m?


t tempo em (s) com que a criana empina a pipa

x distncia em (m) medida horizontalmente entre a criana e a projeo vertical da pipa no solo.

y distncia em (m) medida verticalmente entre a pipa e o solo.

z distncia em (m) medida entre a pipa e a criana.


sm

dt

dx3 mx (?)

sm

dt

dy0 my 40

s

m

dt

dz(?) mz 50


Pelo teorema de Pitgoras temos: 222 yxz


dt

dyy

dt

dxx

dt

dzz 222

z

dt

dyy

dt

dxx

dt

dz

x

y

z

P

x

y

z

P



Devemos encontrar z, substituindo na equao: 222 yxz

900160025004050 2222 yzx

30x

Encontrando agora 50

zdt

dz

50

90

50

040330

dt

dz

sm

dt

dz

5

9

7) Um balo esfrico est sendo inflado de tal forma que seu volume aumente a uma taxa de

5m3/min. Qual a taxa de crescimento do dimetro quando ele mede 12m?


t tempo (em min.) com que o balo esta sendo inflado.

d dimetro (em m) do balo esfrico.

V volume (em m3) do balo esfrico.


.min(?)

d m

dt

d md 12

.mine 35

V m

dt

d mVe (?)


333

3

683

4

23

4

3

4d

ddrVe

22

drrd


3

6dVe

dt

dd

dt

dd

dt

dVe d

2

d3

6

22

dt

dV

dt

d e2d

12d


Encontrando agora 12

d

ddt

d

.min22 72

5

144

105

21

12

d

12d me

dt

dV

dt

d

.min.min022,0

72

5d mm

dt

d

dd


8) Uma bola de neve est se formando de tal modo que seu volume cresa a uma taxa de 8cm3/min.

Ache a taxa segundo a qual o raio esta crescendo quando a bola de neve tiver 4cm de dimetro.


t tempo (em min.) com que a bola de neve esta se formando.

r raio (em cm) com que a bola de neve esta crescendo.

V volume (em cm3) da bola de neve que esta se formando.


.min(?)

r cm

dt

d cmr 2

2

4

.mine 38

V cm

dt

d cmVe (?)


3

3

4rVe


3

3

4rVe

dt

dr

dt

dr

dt

dVe r4r

33

4 22

dt

dV

rdt

d e

24

1r


Encontrando agora 2

r

rdt

d

2

1

16

8

44

88

24

1r

2

dt

d

.min2

1r cm

dt

d

9) Suponha que quando o dimetro da bola de neve do exerccio anterior (exerccio 8) for de 6cm,

ela pare de crescer e comece a derreter a uma taxa de 1/4cm3/min. Ache a taxa segundo a qual o

raio estar variando, quando o raio for de 2cm.

.min64

1r cm

dt

d

10) Uma certa quantidade de areia despejada a uma taxa de 10m3/min, formando um monte

cnico. Se a altura do monte for sempre o dobro do raio da base, com que taxa a altura estar

crescendo quando o monte tiver 8m de altura?

11) Suponha que um tumor no corpo de uma pessoa tenha a forma esfrica. Se, quando o raio do

tumor for 0,5cm, o raio estiver crescendo a uma taxa de 0,001cm por dia, qual ser a taxa de

aumento do volume do tumor naquele instante?

dd


diacm

dt

dV 3001,0

12) Suponha que um tumor no corpo de uma pessoa tenha a forma esfrica. Se, quando o raio do

tumor for 0,5cm, o raio estiver crescendo a uma taxa de 0,001cm por dia, qual ser a taxa de

crescimento da sua rea?

diacm

dt

dA 2004,0

13) Uma pedra jogada em um lago, provocando uma onde circular de raio r, o qual varia com o

tempo a uma taxa constante de 3cm/s. Calcule a taxa de variao, com o tempo, da rea do circulo

limitado pela onda, no instante em que o raio vale 20cm. {PB e9.6}

scm

dt

dA 21203202

14) Um balo esfrico, que esta sendo inflado, mantm sua forma esfrica. Seu raio aumenta a uma

taxa constante de 0,05m/s. Calcule a taxa da variao do seu volume, no instante em que seu raio

vale 2m.

sm

dt

dV 38,0

15) Um cubo de metal, que esta sendo aquecido, mantm sua forma. Uma aresta aumenta a uma

taxa que, no instante t0, vale 0,05cm/s, instante no qual a aresta mede 10cm. Calcule a taxa de

expanso do volume do cubo no instante t0.

scm

dt

dV 315

16) Uma moeda que esta sendo aquecida, mantm sua forma. Calcule o quociente entre a taxa de

variao com o tempo da rea de uma face e a taxa de variao com o tempo do dimetro, num

instante em que o dimetro mede 1cm.

cm

dt

dddt

dA

2

17) Uma escada, de comprimento 2m, desliza no cho, mantendo-se apoiada em uma parede. Em

um determinado instante, sua base dista 0,6m da parede e se afasta da mesma razo de 0,3m/s.

Calcule a velocidade com que seu topo desliza parede abaixo, no instante em questo.

smdt

dy/094,0

18) Uma escada, 6m de comprimento, apia-se durante seu movimento, no cho e na parede

vertical. Em um instante t0, o seu topo dista 3,6m do cho, e a sua base afasta-se da parede vertical

taxa de 1m/s. Calcule a velocidade escalar do topo no instante t0.

smdt

dy/

3

4


3. Estudos da funo

3.1. Anlise do Comportamento das Funes

Dada uma curva y = f(x) usaremos a derivada para obter alguns dados acerca da curva.

Discutiremos os pontos de mximos e mnimos, os intervalos onde a curva crescente ou

decrescente. A interpretao geomtrica da derivada de uma funo a inclinao da reta tangente

no grfico da funo em um ponto. Esse fato possibilita aplicar derivadas como recurso auxiliar no

esboo de grficos. Por exemplo, podemos usar a derivada para determinar os pontos onde a reta

tangente horizontal, ou seja, onde a derivada zero. Antes de empregar a derivada para fazer

esboos de grficos, precisamos de algumas definies e teoremas.

s

t

A

By

y0

x0 x

x

y

C

Figura 1 Interpretao geomtrica da derivada de uma funo.

3.2. Valor funcional Mximo

Definio 1

A funo f ter um valor mximo relativo em c se existir um intervalo aberto contendo c, no qual

f(x) esteja definida, tal que )()( xfcf para todo x nesse intervalo.

As Figuras 2 e 3 mostram o esboo de parte do grfico de uma funo, tendo um valor

mximo relativo em c.

Figura 2 Valor mximo relativo para

f(c) = 0.

Figura 3 Valor mximo relativo para o qual f(c) no existe.


Definio 2

A funo f ter um valor mnimo relativo em c se existir um intervalo aberto contendo c, no qual

f(x) esteja definida, tal que )()( xfcf para todo x nesse intervalo.

As Figuras 4 e 5 mostram o esboo de parte do grfico de uma funo, tendo um valor

mnimo relativo em c.

Figura 4 Valor mnimo relativo para f(c) = 0.

Figura 5 Valor mnimo relativo para o qual f(c) no existe.

Se a funo f tiver um mximo relativo em c ou um mnimo relativo ento diz que f tem um

extremo relativo em c. O seguinte teorema ser usado para localizar os valores possveis de c para

os quais existe um extremo relativo.

Observao:

c numero critico esta no domnio da funo f(c) = 0 ou f(c) no existe f(c) extremo relativo esta na imagem da funo valor mximo ou mnimo

Teorema

Se f(x) foi definida para todos os valores de x no intervalo aberto (a,b) e se f tiver um

extremo relativo em c, onde a < c


Figura 6 Esboo de uma funo com pontos de extremo relativo.

Exemplos:

1) Consideremos a funo definida por 3)1()( xxf . Um esboo da funo esta na figura 7.

Figura 7 Esboo de f(x) = (x-1)3

2)1(3)( xxf , e sendo assim,

0)1(3)( 2 xxf

Somente quando:

0)1(3 2 x 1x

Ou seja:

0)1( f

Mas:

0)( xf se 1x e

0)( xf se 1x .

Sendo assim, f no tem um extremo relativo em 1, apesar da derivada primeira ser igual a zero.


2) Seja a funo definida por:

3 xsex -8

3 xse 12)(

xxf

A funo f tem um valor mximo relativo em 3. Apesar de no ser derivvel em 3.

A derivada esquerda em 3 dada por: 2)3( f

A derivada direita em 3 dada por: 1)3( f

Logo conclumos que f(3) no existe.

Figura 8 Esboo da funo

3 xsex -8

3 xse 12)(

xxf

Definio

Se c for um nmero do domnio da funo f e se 0)( cf ou )(cf no existir, ento c ser

chamada de nmero crtico de f.

Dessa definio e da discusso anterior, um condio necessria (mas no suficiente) existncia

de um extremo relativo em c que c seja um nmero crtico de f.

Exemplo:

1) Ache os nmeros crticos extremos relativos da funo f definida por:

() = 43

+ 43

Soluo:

() = 43

+ 43

= 43 + 4

13

() =4

3

431 + 4

1

3

131 =

4

3

13 +

4

3

23 =

4

3(

13 +

23)

() =4 (

13 +

23)

23

323

=4 (

13 +

23)

23

323

=4 (

13+

23 +

23+

23)

323

=4 (

33 + 0)

323

() =4( + 1)

323


Quando 4( + 1) = 0 = 1, () = 0

Quando 323

= 0 = 0, () no existe.

Ambos -1 e 0 esto no domnio de f; Logo os pontos crticos de f so -1 e 0.

Figura 9 Esboo da funo () = 4

3+ 4

3

2) Ache os nmeros crticos da funo g definida por xsenxxg cos )(

Figura 10 Esboo da funo xsenxxg cos )(

Resoluo:

Como: cosx 22 senxxsen

xsenxg 2)(21

2)2(cos)(21 xxg x2cos

Desde que )(xg exista para todo x, os nicos nmeros crticos so aqueles para ao quais 0)( xg .

Como 02cos x , quando: kx 212 onde k um inteiro qualquer.

Os nmeros crticos de g(x) so:

kk

x21

412

1

2

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-2 -1 0 1

-0,5

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0 90 180 270 360 450 540 630 720


3.3. Valor mximo e mnimo absoluto num intervalo p(220)

Seja uma funo dada num certo intervalo, onde queremos encontrar o maior ou o menor

valor da funo.

O maior valor da funo no intervalo chamado de valor mximo absoluto. O menor valor

da funo chamado de valor mnimo absoluto.

Definio 1

A funo f ter um valor mximo absoluto num intervalo, se existir algum nmero c no

intervalo, tal que )()( xfcf para todo x no intervalo. Em tal caso, f(c) ser o valor mximo

absoluto de f no intervalo.

Definio 2

A funo f ter um valor mnimo absoluto num intervalo, se existir algum nmero c no

intervalo, tal que )()( xfcf para todo x no intervalo. Em tal caso, f(c) ser o valor mnimo

absoluto de f no intervalo.

Um extremo absoluto de uma funo num intervalo um valor mximo ou mnimo

absoluto da funo no intervalo. Uma funo pode ou no ter um extremo absoluto num intervalo

dado.

Exemplos:

1) Suponha que f seja a funo definida por xxf 2)( no intervalo )4,1[ .

Um esboo grfico da funo:

No h valor mximo absoluto de f em )4,1[ ,

pois 8)(lim4

xfx

, mas f(x) sempre menor

do que 8 no intervalo dado.

A funo tem um valor mnimo absoluto

de 2 em f em [1,4).

2) Consideremos a funo definida por 2)( xxf no intervalo ]2,3(

Um esboo do grfico:


02)( xxf 0 x

Portanto a funo tem um valor mximo

absoluto em 0.

No h valor mnimo absoluto pois

9)(lim3

xfx

, mas f(x) sempre maior

do que 9 no intervalo dado.

3.4. Extremo absoluto

Podemos falar de um extremo absoluto de uma funo, mesmo que no seja especificado o

intervalo. Em tal caso, estamos nos referindo ao extremo absoluto da funo em todo o seu

intervalo.

Definio 1

f(c) ser o valor mximo absoluto da funo f se c estiver no domnio de f e se )()( xfcf

para todos os valores de x no domnio de f.

Definio 2

f(c) ser o valor mnimo absoluto da funo f se c estiver no domnio de f e se )()( xfcf

para todos os valores de x no domnio de f.

Exemplo:

1) Seja o grfico da funo f definida por 84)(2 xxxf :

uma parbola, e o ponto mais baixo da parbola esta em (2,4) e a parbola abre-se para cima.

042)( xxf

242 xx e

4824284)2( 22 xxf

A funo tem um valor mnimo absoluto

em x =2.

No h valor mximo absoluto em f.


3.5. Teorema do valor Extremo

Se a funo f for contnua no intervalo fechado ],[ ba , ento f ter um valor mximo absoluto

e um valor mnimo absoluto em ],[ ba

O teorema assegura que a continuidade de uma funo em um intervalo fechado condio

suficiente para garantir que a funo tenha no intervalo ambos os valores, mximo e mnimo,

absolutos.

Um extremo absoluto de uma funo contnua num intervalo fechado deve ser um extremo

relativo, ou um valor de funo num extremo do intervalo.

Como uma condio necessria para que uma funo tenha um extremo relativo num

nmero c que c seja um nmero critico o valor mximo absoluto e o mnimo absoluto de uma

funo contnua f num intervalo fechado ],[ ba podem ser determinados pelo seguinte

procedimento:

1 Ache os valores da funo nos nmeros crticos de f em (, ). 2 Ache os valores de f(a) e f(b). 3 O maior dentre os valores das etapas 1 e 2 ser o valor mximo absoluto e o menor ser o valor mnimo absoluto.

Exemplo:

1) Ache os extremos absolutos de f em [2,1

2] se () = 3 + 2 + 1

Soluo:

Como f continua em 21,2 , o teorema do valor extremo pode ser aplicado.

Para achar os nmeros crticos de f, vamos calcular primeiro f:

() = 32 + 2 1

16124)1(34)2(4 22 acb

3

1

6

2

6

42

16

6

6

42

6

42

32

162

22

1

x

x

a

bx

Como )(xf existe para todos os nmeros reais, os nicos nmeros crticos de f sero os valores de

x para os quais () = 0

0)1)(13(123)( 2 xxxxxf 31

1 c e 12 c

Os valores nos extremos so:

1)( 23 xxxxf

112481)2()2()2()2( 23 f

211111)1()1()1()1( 23 f 81,011

2722

2727931

31

91

271

312

313

31

31 f

875,01187

88421

21

41

81

212

213

21

21 f

- O valor mximo absoluto de f em 21,2 2 ,que ocorre no nmero crtico c = -1.

- O valor mnimo absoluto de f em 21,2 -1, que ocorre no nmero crtico c = 2.

x -2 -1 1/3 1/2

f(x) -1 2 0,81 0,875


3.6. Concavidade e pontos de inflexo (p241)

O conceito de concavidade muito til no esboo de uma curva. Analisando

geometricamente a figura 1, e figura 2 observamos que dada um ponto qualquer c no intervalo (a,b)

o grfico de f esta acima da tangente curva no ponto P(c,f(c)). Dizemos que a curva tem

concavidade voltada para cima no intervalo (a,b). Geometricamente, isto significa que a reta

tangente gira no sentido anti-horrio medida que avanamos sobre a curva da esquerda para a

direita.

Figura 1 concavidade voltada para cima. Figura 2 reta tangente gira no sentido anti-

horrio.

Na figura 3 e 4 descrevemos uma funo que tem concavidade voltada para baixo no

intervalo (a,b). Neste caso vemos que a tangente gira no sentido horrio quando deslocamos sobre a

curva da esquerda para a direita.

y = f(x)

b

y

P

a x

y = f(x)

b

y

a x


Figura 3 concavidade voltada para baixo. Figura 4 reta tangente gira no sentido horrio.

Observando as figuras podemos propor as seguintes definies:

Definio 1:

Uma funo f dita cncova para cima no intervalo (a,b) se f(x) crescente neste intervalo.

Definio 2:

Uma funo f dita cncova para baixo no intervalo (a,b) se f(x) decrescente neste intervalo.

Podemos determinar a concavidade de uma curva analisando o sinal da derivada segunda f(x).

Teorema:

Seja f uma funo diferenciavel at segunda ordem em algum intervalo aberto contendo c.

Ento:

(i) se 0)( cf , o grfico de f cncavo para cima em (c,f(c))

(ii) se 0)( cf , o grfico de f cncavo para baixo em (c,f(c))

3.7. Pontos de inflexo

Podem existir pontos no grfico de uma funo nos quais a concavidade muda de sentido.

Esses pontos so chamados pontos de inflexo.

Definio:

O ponto ))(,( cfc ser um ponto de inflexo do grfico da funo f se o grfico tiver nele

uma reta tangente e se existir um intervalo aberto I contendo c, tal que se x estiver em I, ento:

(i) 0)( xf se cx e 0)( xf se cx , ou

(ii) 0)( xf se cx e 0)( xf se cx .

Teorema:

Se a funo f for derivvel em algum intervalo aberto contendo c e se ))(,( cfc for um ponto

de inflexo do grfico de f, ento 0)( cf ou )(cf no existe.

Exemplos:

1) Dada a funo. () = 3 62 + 9 + 1

y = f(x)

b

y

P

c a x

y = f(x)

b

y

a x


a) Ache os mximos e mnimos relativos de f, aplicando o teste da derivada segunda;

b) Ache os pontos de inflexo do grfico de f;

c) Determine onde o grfico cncavo para cima e onde cncavo para baixo;

d) Faa um esboo do grfico;

Soluo:

() = 32 12 + 9 () = 6 12

Encontrando os nmeros crticos, ou seja, () = 0 () = 32 12 + 9 = 0 32 12 + 9 = 0 ( 3) 2 4 + 3 = 0

= 2 4 = (4)2 4 1 3 = 16 12 = 4

=

2=

(4) 4

2 1=

4 2

2= {

1 =4 2

2=

2

2= 1

2 =4 + 2

2=

6

2= 3

Encontrando o ponto de inflexo, ou seja, () = 0 () = 6 12 = 0 6 = 12

=12

6= 2

)(xf )(xf )(xf Concluso

x = 1 5 0 - Cncavo para baixo, ponto de mximo.

x = 2 3 0 Ponto de inflexo

x = 3 1 0 + Cncavo para cima, ponto de mnimo.

Grfico da funo () = 3 62 + 9 + 1.

2) Dada funo () = 3

.

Ache o ponto de inflexo do grfico de f.

Determine onde o grfico cncavo para cima e onde cncavo para baixo.

Faa um esboo do grfico.

Soluo:

3 221 1

2

1)( 3

2

xxxf

3 592 1

9

2)( 3

5

xxxf

2

4

1 2 3



0x + + f crescente e cncava para cima

0x 0 no existe no existe Ponto de inflexo

0x + - f crescente cncava para baixo

Na figura mostramos que o eixo y a reta tangente ao grfico da funo em (0,0) e um ponto de

inflexo. A concavidade do grfico determinada pelo sinal de )(xf .

Grafico da funo () =

3.

3.8. Teste da derivada segunda para extremos relativos

Teorema

Seja c um nmero critico de uma funo f, no qual 0)( cf e suponhamos que f exista para

todos os valores de x em algum intervalo aberto contendo c. Se )(cf existe e:

i) Se 0)( cf , ento f tem um valor mximo relativo em c;

ii) Se 0)( cf , ento f tem um valor mnimo relativo em c;

Exemplo:

1) Dada funo 23344 4)( xxxxf :

a) Ache os mximos e mnimos relativos de f, aplicando o teste da derivada segunda;

b) Ache os pontos de inflexo do grfico de f;

c) Determine onde o grfico cncavo para cima e onde cncavo para baixo;

d) Faa um esboo do grfico;

Soluo:

Calculando as derivadas primeira e segunda de f.

xxxxf 844)( 23

8812)( 2 xxxf

Equacionando 0)( xf temos:

0)2(4)(0

2

xxxxf

022 xx

981)2(1414 22 acb

-1

1

-2 2

-1

1

-2 2


22

31

12

31

2

31

12

91

2

1

x

x

x

1

2

0

0)1)(2(4)(

x

x

x

xxxxf

Sendo assim os nmeros crticos de f so -2, 0, 1.

Vamos determinar os pontos de inflexo

08812)( 2 xxxf

44838464)8(12484 22 acb

548,0

215,1

3

71

38

788

122

728

2

16

x

xx

Vamos determinar os extremos relativos entre estes nmeros crticos, encontrando o sinal de

derivada segunda neles.

x )(xf )(xf )(xf Concluso

-2 67,103

32 0 + Valor mnimo relativo

-1,215 -6,12 8,4 0 Ponto de inflexo

0 0 0 - Valor mximo relativo

0,548 -0,89 -2,5 0 Ponto de inflexo

1 67,13

5 0 + Valor mnimo relativo

2) Dada funo 33 2 22)( 31

32

xxxxxf :

Ache os extremos relativos de f, aplicando o teste da derivada segunda, quando possvel;

Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexo do grfico de f e;

Determine onde o grfico cncavo para cima e onde cncavo para baixo;

Faa um esboo grfico de f.

Soluo:

Calculando as derivadas de primeira e segunda de f.

3 2332

32

3

2

3

2)( 3

231

xxxxxf


3 53 494

92

9

4

9

2)( 3

534

xxxxxf

Como )0(f no existe, 0 um nmero critico de f.

Encontramos os demais nmeros crticos equacionando 0)( xf

032

31

3

2

3

2 xx

03

232

32

31

32

32

xx

032

32

32

31

xx

0032

31

xx

0131

x

131

x

1x

Assim 1 ponto critico tambm.

Podemos determinar se h um extremo relativo em 1 aplicando o teste da derivada segunda.

Como )0(f no existe, (0,0) um possvel ponto de inflexo. Para achar outras possibilidades

equacionamos 0)0( f .

035

34

9

4

9

2

xx

042 35

35

35

34

xx

042 031

xx

42 31

x

2

431

x

32x 8x

A tabela abaixo resume nossos resultados.

f(x) f(x) f(x) Concluso

x < 0 - - decrescente; cncavo para baixo.

x = 0 0 no existe no existe f no tem extremo relativo; ponto de inflexo.

0


3) Dada funo 3)21()( xxf .

Ache o ponto de inflexo do grfico de f.

Determine onde o grfico cncavo para cima e onde cncavo para baixo.

Faa um esboo do grfico.

Soluo: 2)21(6)( xxf

)21(24)( xxf

Como )(xf existe para todos os valores de x, o nico ponto de inflexo possvel onde

0)( xf . Ou seja: 0)21(24)( xxf

021 x 2

1x

O grfico tem uma reta tangente horizontal no ponto de inflexo pois 021 f .


21x + cncavo para cima

21x 0 0 0 Ponto de inflexo

21x - cncava para baixo

4) Ache os pontos de inflexo do grfico da funo seno.

Ache as inclinaes das tangentes nos pontos de inflexo.

Faa o grfico da funo seno num intervalo de 2 de comprimento, contendo o ponto de inflexo

com menor abscissa positiva.

Mostre um segmento da tangente nesse ponto de inflexo.

Soluo:

senxxf )(

xxf cos)(

senxxf )(

)(xf existe para todo x. Para determinar os pontos de inflexo, equacionamos 0)( xf

0 senx Pontos de inflexo: kx onde k um inteiro qualquer.

Inclinao dos pontos de inflexo:

impar inteirok se 1

par inteirok se 1 cos)( kkf

Logo, as inclinaes das tangentes nos pontos de inflexo so +1 ou -1.

-1

1

0,5 1


-1

1

2


4. Teorema de Rolle e Teorema do Valor Mdio (p.231)

Seja f uma funo contnua no intervalo fechado [a,b], derivvel no intervalo aberto (a,b) e

tal que 0)( af e 0)( bf . O matemtico francs Michel Rolle (1652-1719) provou que se uma

funo satisfaz essas condies, existe pelo menos um nmero c entre a e b para o qual 0)( cf .

Vejamos o significado geomtrico disto:

A figura 1 mostra um esboo do grfico de uma funo f que satisfaz as condies do

pargrafo precedente.

Vemos intuitivamente, que existe pelo menos um ponto P sobre a curva entre os pontos (a,0)

e (b,0), onde a reta tangente paralela ao eixo x; isto , a inclinao da reta tangente zero. Neste

ponto P a abscissa c, tal que 0)( cf .

Figura 1

A figura 2 mostra o esboo grfico de uma funo que no derivvel em um extremo, no

caso o extremo b, contudo existe uma reta tangente no ponto x = c no intervalo (a,b).

No entanto, necessrio que a funo seja continua no intervalo [a,b] para garantir a

existncia dessa tangente, conforme o esboo da figura 3.

Figura 2 Figura 3

Teorema de Rolle

Seja f uma funo, tal que:

i) ela seja contnua no intervalo fechado [a,b];

ii) ela seja derivvel no intervalo aberto (a,b);

iii) 0)( af e 0)( bf .

Ento existe pelo menos um ponto c no intervalo (a,b), tal que 0)( cf

c

P

a b

y

x

x b a c

P y

x a b

y


Exemplo:

1) Dada funo xxxf 94)( 3 comprove que as condies (i), (ii) e (iii) das hipteses do

teorema de Rolle esto satisfeitas em cada um dos seguintes intervalos: 0,23 ,

23,0 e

23

23 , .

Ache ento um valor de c em cada um desses intervalos para os quais 0)( xf .

Soluo:

912)( 2 xxf

Como )(xf existe para todos os valores de x, f derivvel em ),(

Sendo assim, as condies (i) e (ii) do teorema de Rolle so vlidas em qualquer intervalo.

Para determinar em quais intervalos a condio (iii) se verifica, encontramos os valores para os

quais 0)( xf .

23

23

0

492 00)(4)(

x

x

x

xxxf

Sendo assim o teorema de Rolle valido nos seguintes intervalos:

23

23

23

23

,

,0

0,

Os valores adequados de c so os que satisfazem equao 0)( xf .

23

23

2 0912x

xx

Portanto, para os intervalos encontrados pelo Teorema de Rolle os valores adequados para c so:

23

23

23

23

23

23

23

23

ou ,

,0

0,

cc

c

c

Figura 4

-6

-4

-2

2

4

6

-2 -1 1 2 2

3

2

3

2

3c

2

3c

x

y


Teorema do Valor Mdio

Seja f uma funo, tal que:

i) ela seja contnua no intervalo fechado [a,b];

ii) ela seja derivvel no intervalo aberto (a,b);

Ento, existir um nmero c no intervalo aberto (a,b), tal que ab

afbfcf

)()()(

Geometricamente, o teorema do valor mdio estabelece que se a funo )(xfy continua em

[a,b] e derivvel em (a,b), ento existe pelo menos um ponto c entre a e b onde a tangente curva

paralela corda que une os pontos ))(,( afaP e ))(,( bfbQ conforme figura 5.

Figura 5

Exemplo:

2) Dada xxx

xf 323

)( 23

comprove que as hipteses do teorema do valor mdio esto

satisfeitas para a=3 e b=6. Ento, encontre todos os nmeros c no intervalo aberto (3,6), tais que:

36

)3()6()(

ffcf .

Soluo:

Como f uma funo polinomial, ela ser continua e derivvel para todos os valores de x.

Logo, as hipteses do teorema do valor mdio esto satisfeitas para todo a e b.

34)( 2 xxxf

Calculando:

333323

3)3( 2

3

f

1263623

6)6( 2

3

f

53

15

36

)3(12

36

)3()6()(

ffcf

R

P

Q

a c b

f(a)

f(b)

x

y


Equacionando 5)( cf , obtemos:

534)( 2 cccf

5342 cc

0242 cc 522 2321616)2(24)4(4 acb

828,4

828,0)21(2222

2

244

12

24

2

15

c

cc

Como -0,828 no esta no intervalo aberto (3,6), o nico valor possvel 828,4c

Figura 6 Grfico de xxx

xf 323

)( 23

e 34)( 2 xxxf .


5. Aplicaes Envolvendo extremos absolutos num intervalo fechado

Exemplos:

1) Um fabricante de caixas de papelo deseja fazer caixas abertas a partir de pedaos de papelo

com 12 cm2 cortando quadrados iguais dos quatro cantos e dobrando os lados para cima. Queremos

encontrar o comprimento do lado do quadrado a ser cortado para obter uma caixa com o maior

volume possvel.

deprofundidalarguraaltura

)212()212()( xxxxV

)212)(212()( xxxxV 32 448144)( xxxxV

21296144)( xxxV

)(xV existe para todos os valores de x.

Fazendo 0)( xV temos:

0)128(12)(0

2

xxxV

6

20128

2

12

x

xxx

O domnio de V(x) ser o intervalo

fechado [0,6]. Como V(x) contnua em

[0,6], segue do teorema do valor extremo que

V(x) tem um valor mximo absoluto nesse

intervalo.

Os nmero crticos de V so 2 e 6, ambos pertencentes ao intervalo fechado [0,6].

O valor mximo absoluto de V em [0,6] precisa ocorrer num nmero crtico ou num extremo

do intervalo. 32 448144)( xxxxV

0040480144)0( 32 V

128242482144)2( 32 V

0646486144)6( 32 V

O valor mximo absoluto de V em [0,6] 128, ocorrendo quando x = 2.

Logo, o maior volume possvel de 128cm3, obtido quando o comprimento do lado do

quadrado a ser cortado de 2cm.


2) Os pontos A e B esto em lados opostos de um rio reto com 3km de largura. O ponto C est na

mesma margem que B, mas 2km rio abaixo. Uma companhia telefnica deseja estender um cabo de

A at C. Se o custo por quilmetro do cabo 25% maior sobre a gua do que em terra, como deve

ser estendido o cabo, de forma que o custo seja o menor para a companhia?

Soluo:

Seja:

k custo por quilometro em terra

k45 custo por quilometro sob gua

)(xC custo total da ligao.

Ento:

terrasob distncia

terrasob custo

gua sob distncia

22

gua sob custo

45 )2( 3)( xkxkxC

Como C contnua em [0,2], o teorema do valor extremo pode ser aplicado. Queremos encontrar o

valor mnimo absoluto.

Derivando em relao x temos:

)2()3()( 21

22

45 xkxkxC

)10(2)3()( 21

22

21

45

kxxkxC

kxkxxC

2

1

)3()( 2245

kx

kxxC

294

5)(

094

5)(

2

k

x

kxxC

094

5

2

k

x

kx

0194

5

2

x

x

194

5

2

x

x

2945 xx

)9(1625 22 xx

9169 2 x

162 x 4x


Como -4 e 4 no esto no intervalo [0,2]. Logo no existem nmeros crticos de C em [0,2].

O valor mnimo absoluto de C em [0,2] deve ocorrer num dos extremos do intervalo.

Calculando obtemos:

)2(3)( 2245 xkxkxC

kkkC42322

45 )02(03)0(

13)22(23)2(4522

45 kkkC

Logo o valor mnimo absoluto de C em [0,2] 1345 k , ocorrendo quando x = 2.

Logo, para minimizar o custo do cabo, devemos estend-lo diretamente de A at C sob a

gua.

3) (p266) Um campo retangular margem de um rio deve ser cercado com exceo do lado ao

longo do rio. Se o custo do material for de $12,00 por metro linear no lado paralelo ao rio e de

$8,00 por metro linear nos dois extremos, ache o campo de maior rea possvel que possa ser

cercado com $3.600,00 de material.

Soluo:

Seja:

x (m) o comprimento de cada extremo do campo; y (m) o comprimento do lado paralelo ao rio; A (m

2) a rea do campo.

(2) 600.31288

(1)

yxx

xyA

Isolando y de (2)

600.31216 yx

xx

y3

4300

12

16600.3

Substituindo em (1) obtemos:

xxxyA34300

(3) 300)(34 xxxA

Se y= 0, x = 225 e se x = 0, y = 300. Como ambos

no deverem ser negativos, o valor de x ira tornar

A um mximo absoluto esta entre [0, 225].

2

34300)( xxxA

xxA38300)(

Fazendo 0)( xA , temos:

x383000 300

38 x 5,112300

83 x

1501503005,11230030034

34 xy

16875

112,5 225 x

A(x)


2

34300)( xxxA

2

34 5,1125,112300)5,112( A

2875.16)5,112( mA

Assim sendo, a maior rea possvel que poder ser cercada com $3.600,00 de material ser A =

16.875m2, e isto acontece quando o lado paralelo ao rio tiver y = 150m e os extremos tiverem cada

um x = 112,5m.

4) Ao planejar um restaurante, estima-se que se houver de 40 a 80 lugares, o lucro bruto dirio ser

$16,00 por lugar. Se, contudo, o nmero de assentos for acima de 80 lugares, o lucro dirio por

lugar decrescer de $0,08 vezes o nmero de lugares acima de 80. Qual dever ser o nmero de

assentos para que o lucro dirio seja mximo?

Resoluo:

Seja:

- x o nmero de lugares;

- P(x) o lucro bruto dirio ($16,00 por lugar);

Quando 80x40 , calculamos o lucro da seguinte forma: O lucro por lugar ser: $16,00

P(x) obtido ao multiplicarmos por x pelo lucro por lugar, ou seja:

xxP 16)(

Quando 280x80 , calculamos o lucro da seguinte forma: O lucro por lugar ser: 16 0,08(x 80) O lucro ser obtido se multiplicarmos por x pelo lucro por lugar, ou seja:

xxP 80)]-0,08(x -16[)(

xxP 6,40)]0,08x -16[)(

xxP 0,08x] -40,22[)( 20,08 -40,22)( xxxP

Logo:

280x80 se 08,040,22

80x40 se 16)(

2xx

xxP

Mesmo que x, por definio, seja um inteiro, para ter uma funo contnua, vamos supor que x

possa assumir todos os valores reais no intervalo [40, 280].


H continuidade em 80, pois:

P(80) = 1.280

280.116lim)(lim8080

xxPxx

280.1)08,040,22(lim)(lim 28080

xxxPxx

Sendo assim, P continua no intervalo fechado [40, 280] e o teorema do valor extremo garante um

valor mximo absoluto de P nesse intervalo.

Quando 80x40 , 16)( xP

Quando 280x80 , xxP 0,16 -40,22)(

)80(P no existe, pois:

60,9)80(

16)80(

P

P

Equacionando 0)( xP , teremos:

00,16 -40,22 x

140x

Os nmeros crticos de P so ento, 80 e 140.

Vamos calcular P(x) nos pontos extremos do intervalo [40, 280] e nos pontos crticos.

P(40) = 640

P(80) = 1.280

P(140) = 1.568

P(280) = 0

O valor mximo absoluto de P , portanto 1.568, ocorrendo quando x = 140. A capacidade de

assentos deve ser de 140 lugares, o que d um lucro bruto dirio de $1.568,00

5) Ache as dimenses do cilindro circular reto de maior volume que possa ser inscrito num cone

circular reto com um raio de 5cm e 12cm de altura.

Calculo II Derivadas e Aplicacoes

Documents

Transcript of Calculo II Derivadas e Aplicacoes