PONTIFCIA UNIVERSIDADE CATLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMTICA CLCULO II Prof. Francisco LealMoreira 2004/2 SUMRIO 1. INTEGRALINDEFINIDA.............................................................................................................................................1 1.1.EXERCCIOSDE REVISO.................................................................................................................................1 1.2.RESPOSTAS .............................................................................................................................................................2 2.INTEGRAO POR PARTES .....................................................................................................................................3 2.1.RESPOSTAS.............................................................................................................................................................3 3.INTEGRALDEFINIDA.................................................................................................................................................4 3.1.PROPRIEDADES BSICAS ................................................................................................................................4 3.2.INTERPRETAOGEOMTRICA DA INTEGRALDEFINIDA ..............................................................5 3.3.REA ENTRE DUAS CURVAS..........................................................................................................................6 3.4. INTEGRAISIMPRPRIAS .................................................................................................................................7 3.4.RESPOSTAS.............................................................................................................................................................7 4.CLCULO SOMATRIO.............................................................................................................................................8 4.1.NMERO DEPARCELAS DO SOMATRIO .................................................................................................8 4.2.PROPRIEDADES DO SOMATRIO.................................................................................................................9 4.3.PRINCPIO DA INDUO FINITA(PIF) ........................................................................................................11 4.4.SOMATRIO DUPLO .........................................................................................................................................12 4.5.RESPOSTAS...........................................................................................................................................................13 5.SEQNCIASE SRIES............................................................................................................................................14 5.1.INTRODUO......................................................................................................................................................14 5.2.SEQNCIAS INFINITAS.................................................................................................................................14 5.3.LIMITE DE UMA SEQNCIA........................................................................................................................15 5.4.SRIES INFINITAS..............................................................................................................................................15 5.5.SOMA DEUMA SRIE.......................................................................................................................................17 5.6.SRIESGEOMTRICAS....................................................................................................................................17 5.7.PROPRIEDADES DAS SRIES.........................................................................................................................18 5.8.TESTE DA DIVERGNCIA ...............................................................................................................................19 5.9.TESTE DA INTEGRAL.......................................................................................................................................19 5.10. SRIE-P..................................................................................................................................................................19 5.11. TESTE DA COMPARAO DOLIMITE......................................................................................................20 5.12. SRIES ALTERNADAS.....................................................................................................................................20 5.13. TESTE DELEIBNIZ............................................................................................................................................20 5.14. CONVERGNCIA ABSOLUTAE CONVERGNCIA CONDICIONAL..............................................21 5.15. TESTE DA RAZO.............................................................................................................................................21 5.16. SRIES DE POTNCIAS...................................................................................................................................22 5.17. INTERVALO DECONVERGNCIA..............................................................................................................22 5.18. FUNES DEFINIDAS POR SRIES DEPOTNCIAS............................................................................23 5.19. DERIVAO E INTEGRAODESRIES DE POTNCIAS................................................................24 5.20. SRIES DE TAYLOR .........................................................................................................................................24 5.21. RESPOSTAS .........................................................................................................................................................26 6.OSCONJUNTOS 2 E3 ................................................................................................................................27 6.1.OCONJUNTO 2 ...........................................................................................................................................27 6.2.OCONJUNTO 3 ............................................................................................................................................27 7.FUNES DEVRIASVARIVEIS......................................................................................................................28 7.2.CURVASDE NVEL............................................................................................................................................29 7.3.RESPOSTAS...........................................................................................................................................................30 8.DERIVADAS PARCIAIS............................................................................................................................................31 8.1.INTERPRETAOGEOMTRICA DAS DERIVADASPARCIAIS.......................................................31 8.2.DERIVADASPARCIAIS DE SEGUNDA ORDEM......................................................................................32 8.3.HESSIANO .............................................................................................................................................................32 8.4.RESPOSTAS...........................................................................................................................................................33 9.MXIMOSEMNIMOS DE FUNES DE DUASVARIVEIS.....................................................................34 9.1.PONTO CRTICO DEUMA FUNODE DUAS VARIVEIS................................................................35 9.2.CRITRIO PARACARACTERIZAODEPONTOSEXTREMANTES ..............................................35 9.3.MXIMOSE MNIMOS CONDICIONADOS................................................................................................36 9.4.RESPOSTAS...........................................................................................................................................................37 10. BIBLIOGRAFIA ..........................................................................................................................................................38 1 1. INTEGRAL INDEFINIDA DERIVAO

F F= f PRIMITIVAO 1.1. EXERCCIOS DE REVISO E1) Encontre: 1) 2dx 1) (2x3 2)xdx 2 . 1 x2 3)xdx ) 4 x 3 (5 2+ 4) 2x 5xdx 5) 4) x 1 (dx6) +3 22) (xxdx 7) 3 2x 3xdx8) 1 2xdx9) +53) (2xdx 10)dxx3x 25e 32x

,`

.|+ 11) dx e1 x 3 12) +1 xdx x32 13) 1 xedx 2 14) 2 x 4dx 15) +dx xe 332x 16) +10 xxdx 20217)dx e 52x 18) xedx 19) + dx e ) 2 e (x 2 5 x 2 20)xdx 3 cos21) xdx 5 sen 22)+ dx ) 1 x 3 cos( 23)dx x cos x 2224)+ dx ) x 4 x 2 (sen x3 2

25)xdx cos ex sen 26)xdx cos ) x (sen5 27)xdx cos . x sen

28)3) x cos 5 (xdx sen

2 1.2. RESPOSTAS E1) 1)k4) 1 x 2 (4+ 2)k3) 1 x ( 23 2+3)k36) 4 x 3 (6 2++ 4) k x 52+ 5) k) x 1 ( 313 + 6)k) 2 x ( 412 2++ 7)k4) x 3 ( 33 2 2+ 8)k 1 x 2 + 9)k) 3 x 2 ( 814++

10)kx3| x | ln25e 3x+ 11) k3e1 x 3+12)k | 1 x | ln313+ + 13) ke21 x+14)k | 2 x 4 | ln41+ 15)k2e 33 x2++ 16) 10ln(x2 +10) + k17) 10 k e2x+18) ke1x+ 19) k12) 2 e (6 x 2++20)k3x 3 sen+21) k5x 5 cos+ 22) k3) 1 x 3 ( sen++23) sen x2 + k 24) k x6x 2 cos43+ + 25) esen x+ k26) k6x sen6+27) k3x sen 23+ 28) k) x cos 5 ( 212+ 3 2.INTEGRAO POR PARTES Sabemos que [ f (x).g(x) ] =f(x).g(x) + g(x).f (x) ouf(x).g(x)= [ f(x) . g(x) ] g (x). f (x) Integrando ambos os membros dessa equao , obtemos dx ) x ( ' f ). x ( g ) x ( g ) x ( f dx ) x ( ' g ). x ( f Fazendo f(x) = u e g(x) = v, vem:

du . v v . u dv . u E1)Calcule : 1)dx xex2)xdx sen x 3)xdx ln 4) xdx cos ) 1 x 2 ( 5)dx x ln x6)dx x ln x2

7)dx x sec x2 8)+ xdx 2 cos ) 1 x (9)xdx 3 ln x 10)dx xex 4 2.1.RESPOSTAS E1)1) xex ex + k 2) xcos x + sen x + k3)xln x x + k 4) (2x 1)sen x + 2cos x + k 5) k9x 4x ln3x 23 3+ 6) k9x3x ln x3 3+ 7) xtg x + ln | cos x | + k 8) k4x 2 cos2x 2 sen ) 1 x (+ ++ 9)k4x2x 3 ln x2 2+ 10) k16e4xex 4 x 4+ 4 3.INTEGRAL DEFINIDA

Seja f uma funo e Fuma primitiva de f. A integral definida de f de a at b o nme ro real representado por baf(x)dxe calculado por F(b) - F(a). baf(x)dx= ba[F(x)] = F(b) - F(a)

E1) Calcule: 1) dx x302 2)dx x) (1411 3.1.PROPRIEDADES BSICAS a)aaf(x)dx= 0 b)baf(x)dx= - abf(x)dx c)bac.f(x)dx= c.baf(x)dx , sendo c uma constante d)tbag(x)]dx [f(x)= baf(x)dx bag(x)dx e)baf(x)dx=caf(x)dx+ bcf(x)dx , com a < c < b f)baf(x)dx 0,se f(x)0, x[a,b] E2)Calcule: 1)+ 103 4dx ) 1 x 3 x ( 2) + 012 5dx ) 1 x 2 x 3 x 3 ( 3) + +522du ) u 3 u 2 2 (

4)dtt1t91

,`

.|5) 202 1)dx - (xx6) +122t1 tdt 7) 215dx 4) - (2x 8) 244dx 6) - (2x 9) +103 2 dx 1) 8x(x 5 10) +401 6u1du 11) +212 32) 1 x (x dx 12)du 1 2u u ) u u (2 4103+ + +

13) 32dx | 1 x |14) + 2029 6x xdx 15) 01 -x - 1dx 16)dx2| x |x11

,`

.| 17) 52dt | 4 2t | 18) 313 4xx x dx 3.2.INTERPRETAO GEOMTRICA DA INTEGRAL DEFINIDA Seja f uma funo continua em [a,b] com f(x) 0, x[a,b]. Vamos calcular a reada regio situada entre o grfico de f e o eixo das abscissas de a at b. yf f(x+ ? x ) A1 A2 f(x) A3

A ? A

0ax x +? x bx A a rea da regio hachurada,? A o acrscimo que sofre a rea A quando x recebe um acrscimo? x . A3 ( A2+ A3 ) (A1+ A2+ A3 ) f(x). ? x ? A f(x +x). ? x f(x) ? x? A f(x + ? x )

0 xlim f(x)0lim x ? x? A 0 xlim f(x +? x) f(x)0lim x ? x? A f(x )0lim x ? x? A = f(x)A = f(x) Ento A uma primitiva de f(x) ,logo A = F(x) + k. Parax = a,A = 0 ek =-F(a),logo A = F(x) - F(a) Para calcular a rea de a at b basta tomar x = b.

Para x = b,A = F(b) - F(a) = baf(x)dx Se f uma funo continua e no negativa em [a,b], o nmerobaf(x)dxrepresenta a rea da regio limitada pelo grfico de f, pelo eixo Ox e pelas retas verticais x = a e x = b. 6 y f R 0 ab x

AR =baf(x)dx 3.3.REA ENTRE DUAS CURVAS Sejam f e g funes continuas em [a,b] , com f(x) g(x) , x[a,b]. Se R a regio limitada pelos grficosde f, g, x=a e x=b ento AR =bag(x)]dx - [f(x) y f R g 0 ab x E3)Calcule a rea da regio limitada por: 1) y=-x2 + 4 e y=0 2) y=x2 4, y=0, x=-1 e x=2 3) y=x, y=0, x=-2 e x=1 4) y=x2 1 e y=3 5) y=x2 + 1, y=2x - 2, x=-1 e x=2 6) y=x3,y=-x + 2 e y=0 7) y=xe y=x2

8) y=x e y=x3 7 3.4. INTEGRAIS IMPRPRIAS A integral imprpria de f sobre o intervalo) , a [ + definida por ta t adx ) x ( f lim dx ) x ( f . Se o resultado um nmero real, dizemos que a integral imprpria converge. Se o limite no existe ou infinito, dizemos que a integral imprpria diverge. E4) Determine se cada integral abaixo converge ou diverge. No caso de convergncia, ache seu valor. 1)13xdx 2)1 xdx3)1xdx 4)0 x2dxex35)+032dx1 xx

3.4.RESPOSTAS E1) 1) 9 2) 532 E2) 1) 2092)27 3) 144 4)340 5) 346)2 ln21 7) 316 8)532 9) 15 10) 34 . 11)547 12)6713)213 14)3215) 2 2 2 16)2117) 25 18)334 E3) 1) 332 2) 9 3) 254)332 5) 9 6)43 7)31 8)21

E4) 1) Converge, 1/2 2) Diverge3) Diverge 4) Converge, 1/35) Diverge 8 4.CLCULO SOMATRIO Consideremos a seguinte soma indicada : 0 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + ... + 100 Podemos observar que cada parcela um nmero par e portanto pode ser representada pela forma 2n, neste caso, com n variando de 0 a 50. Esta soma pode ser representada abreviadamente por: 500 nn . 2que se l: somatrio de 2n com n variando de 0 a 50. A letra que o esse maisculo grego (sigma) denominada sinal de somatrioe usada para indicar uma soma de vrias parcelas. Seja {a1, a2, a3, ..., an} um conjunto de n nmeros reais, o smbolo n1 iiarepresenta a sua soma,isto , n1 iia = a1 + a2 + a3 + ... + an.

Em n1 iia : a) A letra i denominada ndice do somatrio e, em seu lugar, pode figurar qualquer outra letra. b) Os valores 1 e n, neste caso, so denominados, respectivamente, limites inferior e superior. E1)Desenvolva os seguintes somatrios: 1) 51 x2) x x (2) 2 jjj . ) 1 ( 3) 50 nna ! n E2)Escreva sob a forma de somatrio as seguintes expresses: 1) 1 3 + 5 7 + ... 2)5244632211 + + + + 3) 11 . 910...6 . 455 . 344 . 233 . 12+ + + + + E3)Calcule o valor de: 1) 50 nn! n . ) 1 (2)

,`

.|50 i2250 ii i 4.1.NMERO DE PARCELAS DO SOMATRIO na1 papanp iia + +++L , logo np iiatem ( n p + 1 ) parcelas E4)Destaque a parcela central e a dcima parcela de 1000 nnn 3 . ) 1 ( .9 4.2.PROPRIEDADES DO SOMATRIO 1.Somatrio de uma constante Sejam ai = k , com i = p,...,n. k ) 1 p n ( k k k a a a a kn 1 p pnp iinp i+ + + + + + + + L L

+ np ik ). 1 p n ( k 2.Somatrio do produto de uma constante por uma varivel Sejam kai , com i = p,...,n.

+ + + + + + + + np ii n 1 p p n 1 p pnp iia k ) a a a ( k ka ka ka ka L L np iinp iia k ka 3.Somatrio de uma soma algbrica Sejam ai tbi , com i = p,...,n. ) b b b ( ) a a a ( ) b a ( ) b a ( ) b a ( ) b a (n 1 p p n 1 p p n n 1 p 1 p p pnp ii i+ + + t + + + t + + t + t t+ + + +L L L

t np iinp iib a t tnp iinp iinp ii ib a ) b a ( 4.Separao do ltimo termo n1 np iinp iia a a + 5.Separao do primeiro termo + + n1 p iiapanp iia 10 6. Avano dos limites j ) j n ( j 1 ) j p ( j ) j p ( ) j j ( n ) j j ( 1 p ) j j ( p n 1 p pnp iia a a ) a a a a a a a + + + + + + + + ++ + + + + + + + + L L L ++ j nj p ij ia ++ j nj p ij inp iia a

E5) Complete a tabela abaixo: ixi yixi2 yi2xi2yixiyi

11 2 21 3 32 2 4 3 4 54 1 60 5

E6) Com os valores da tabela acima e o uso das propriedades do somatrio, calcule: 1) + 61 ii i) 4 y 3 x 2 (2)

,`

.|51 i2i251 iix x 3)) y x ( ) y x (i i62 ii i+

4)10 x52 i2i+5) 61 i2i i) y x (6) +51 i2i) 3 y ( 7) 52 i1 i i) x x (8) +30 i2 iy 11 4.3.PRINCPIO DA INDUO FINITA(PIF) E7) Para n N, p(n) = n2 + n + 41 sempre d um nmero primo ? Uma proposio P(n) verdadeira para todo naturaln0n se e somente se: i) P(n) verdadeira paran = n0 ; ii) Se P(k) verdadeira para um certo k natural ento P(k+1) tambm verdadeira. Exemplo: Use o PIF para mostrarque + + + + + n1 i2) 1 n ( nn 3 2 1 i L Soluo:Vamos mostrar que+n1 i2) 1 n ( ni . i) Para n = 1, os dois membros da expresso assumem o valor 1, logo P(1) verdadeira; ii) Vamos suporP(k)verdadeira , isto , +k1 i2) 1 k ( ki verdadeira. Agora devemos mostrar que P(k+1) tambm verdadeira, isto , que ++ + +1 k1 i2] 1 ) 1 k )[( 1 k (itambm verdadeira. Da propriedade 4, pagina 14, ++ + k1 i1 k1 i) 1 k ( i i (1), da hiptese, +k1 i2) 1 k ( ki (2) Substituindo a (2) em (1) vem,

2] 1 ) 1 k )[( 1 k (2) 2 k )( 1 k (2) 1 k ( 2 ) 1 k ( k) 1 k (2) 1 k ( ki1 k1 i+ + ++ ++ + + + +++ Logo, por induo matemtica, mostramos que a expresso +n1 i2) 1 n ( ni verdadeira para n . 1 E8) Use o PIF para mostrarque: 1) r 1ar aar ar ar a arn1 n 2n1 i1 i + + + + L ,r 1 2) + + + + + + n1 i2 26) 1 n 2 )( 1 n ( nn 9 4 1 i L 3) + + + + + n1 i2 23 34) 1 n ( nn 27 8 1 i L

E9) Encontre uma frmula(em funo de n) para cada um dos somatrios abaixo: 1) n1 i2) 1 i (2) +n1 i) 2 i ( n 3) +n1 i) 1 i ( ni4) n0 ii25) +3 n1 ini12 4.4.SOMATRIO DUPLO Sejaa matriz A =]]]]]]]

mn 3 m 2 m 1 mn 2 23 22 21n 1 13 12 11x x x xx x x xx x x xLM M M MLL As somas dos elementos de cada uma das linhas de A so:

n1 jmjn1 jj 2n1 jj 1x , , x , x L A soma de todos os elementos da matriz A :

+ + + + + +n1 jm1 iij mj j 2n1 jj 1n1 jmjn1 jj 2n1 jj 1x ) x x x ( x x x L L Observaes: a) mq inp jijnp jmq iijx x b) np jmq iijx tem(n p + 1)(m q + 1)parcelas. E10) Desenvolva os seguintes somatrios: 1) 31 x42 y) 10 xy (2) +52 x32 y2) y x ( 3) 32 x41 yyx 4) 31 i42 ji j) x y ( E11) Calcule o valor de: 1) 31 x21 y) 5 xy ( 2) 31 i42 j) j x ( 3) 52 x32 y2z4) +42 x32 y2) 1 x ( E12) Escrever sob a forma de somatrio as expresses: 1) 23 + 24 + 25 + 33 + 34 +352) 5444534352425141+ + + + + + + E13) Encontre uma frmula(em funo de n) para cada um dos somatrios abaixo: 1) +n 21 i1 i0 jn2) +n1 in1 j) j i (3) +n1 in1 j) i n ( 4) n1 ii3 ji13 4.5.RESPOSTAS E1) 1) 0 + 2 + 6 + 12 + 202) 2 3 + 4 5 + ...3) a0 + a1 + 2a2 + 6a3+ 24a4 + 120a5

E2) 1) + 0 ii) 1 i 2 .( ) 1 ( 2) +40 i1 i! i3) ++91 i) 2 i ( i1 i E3)1) 100 2)170 E4)a50 =150ea10 = -27 E6) 1) 5 2) 903) 25 4) 40 5) 40 6) 1517)38) 10 E7) p(40) = 1681 no primo, pois divisvel por 41. E9) 1)6) 1 n 3 n 2 ( n2+ 2) 2) 5 n ( n2+3)3) 2 n )( 1 n ( n2+ + 4) 2n+1 15) 2) 4 n )( 3 n ( n + + E10) 1) 8 7 6 6 4 2 4 1 + 2 2) 16 + 25 + 25 + 36 + 36 +49 + 49 + 64 3) 2 + 4 + 8 + 16 + 3 + 9 + 27 + 81 4) (y2 x1) + (y3 x1) + (y4 x1) + (y2 x2) + (y3 x2) + (y4 x2)+ (y2 x3) + (y3 x3) + (y4 x3) E11)1) 122) 9x 27 3) 8z24) 100 E12) 1) 32 i53 jji 2) 41 i54 jji E13) 1)) 5 n 2 ( n2+2) n2 (n + 1)3)2) 1 n 3 ( n2+ 4)6) 5 n 2 )( 1 n ( n + 14 5.SEQNCIAS E SRIES 5.1.INTRODUO As sries infinitas podem ser usadas para obter valoresfuncionais. Podemos representar certasfunes como sries infinitas cujos termos contm potncias de uma varivel x. Substituindo x por um nmero real c e determinando a soma infinita resultante, obtemos o valor def(c).Isto , em essncia, o que umacalculadora faz quando calcula valores de funes. A representao por sries infinitas, de sen x , ex e outras expresses nos permite abordar problemas que no podem ser resolvidos por mtodos finitos, como por exemplo, a integral. dx e2x 5.2.SEQNCIAS INFINITAS Uma seqncia infinita uma lista de nmeros numa certa ordem. a1, a2, a3,...,an,... onde: a1 : 10 termo a2 : 20 termo ..................

an: n-simo termo ou termo geral Notaes: { a1, a2, a3,...,an,... } ou {an}

Exemplos: a) Os termos daseqncia ''+1 nnso:,...54,43,32,21 Representaogrfica da seqncia : an

1 0,9Observa-se que: se n cresce sem limites, an cresceaproximando-se de 1, isto , ,`

.|+ 1 nnlim limnnna10,5 Neste caso, dizemos que a seqncia converge para 1.0,1 0 1 23 4567 89 10 n

15

b)Os termos daseqncia{ 2 n2 nso:0, 1, 2 ,3 , 2,5 ,... Representaogrfica da seqncia : an

3

Observa-se que: se n cresce sem limites, an tambmcresce sem limites, isto , 2 2 n alim limnnn 1 Neste caso, dizemos que a seqncia diverge. n 0 1 23 4567 89 1011 5.3.LIMITE DE UMA SEQNCIA Dizemos que a seqncia {an} converge para um nmero real L, ou que tem por limite L quando . L alim nn Se nnalim no existe, dizemos que a seqncia {an} no converge(diverge). Outros exemplos de seqncias: a) an =1 n1 n+ o termo geral da seqncia 0, ,...53,42,31 b)A seqncia de Fibonacci definida por a1 = 1, a2 = 1 e an+1 = an + an-1 , para n 2 Os termos da seqncia de Fibonacci so 1, 1, 2, 3, 5, 8,... Esta seqncia tem importncia especial na cincia da computao; o estado de um computador, a cada tique do seu relgio interno, depende do seu estado no tique anterior. c) A seqncia dos nmeros primos: {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,...} 5.4.SRIES INFINITAS Se {an} umaseqnciainfinita, ento uma expresso... a ... a a an 2 11 nn+ + + + chamada srie numrica infinita de termo geral an. 16 Exemplos: a)... n ... 3 2 1 n1 n+ + + + +

Soma parciais:S1 = 1, S2 = 3, S3 = 6, S4 = 10, S5 = 15, ..., Sn=2) 1 n ( n + Representao grfica da seqncia {Sn} + 2) 1 n ( nSlim limn nnSn 15 Portanto, a seqncia das somas parciais diverge. 10Dizemos, neste caso, quea srie 1 nndiverge. 50 1 2 34 5 n b)... ) 1 ( ... 1 1 1 ) 1 (n1 nn+ + + + Soma parciais:S1 = -1, S2 = 0 , S3 = -1, S4 = 0, S5 = -1, Sn='par n se , 0impar n se , 1, Sn oscila Representao grfica da seqncia {Sn} Sn

. existe no Snlimn Portanto, a seqncia das somas parciais diverge. 0 n Dizemos, neste caso, queasrie 1 nn) 1 (diverge. c)...21...81412121n1 nn+ + + + + Soma parciais: S1 =21, S2 = 43 , S3 = 87 , S4 = 1615 , ..., Sn=nn21 2 Representao grfica da seqncia {Sn} Sn

nnS lim 1211 lim21 2limnnnnn ,`

.| 1 Portanto, a seqncia das somas parciais converge para 1. 0,5 Dizemos, neste caso, quea srie 1 nn21converge para 1. 01 234 56 n17 5.5.SOMA DE UMA SRIE Dizemos que o nmero real S a soma da srie 1 nna , ou que a srie 1 nna converge para S, se e somenteseS S limnn (olimitedaseqnciadassomasparciaisS1, S2, S3,...,Sn S). Nestecaso, escrevemos S =1 nna .Quando nnSlim no existe, dizemos que a srie 1 nna diverge. Adivergncia pode ocorrer porque Sn torna-se infinita ou Sn oscila quando n . Outros exemplos de sries: d) 2,4,6,8,10,12,14,16 uma seqnciafinitae 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 =81 nn 2umasrie finita de termo geralan = 2n. e) 1, 2, 6, 24, 120,... uma seqncia infinita e1 + 2 + 6 + 24 + 120 + ... = 1 n! n umasrieinfinitade de termo geralan = n!. f) A srie harmnica + + + + +1 nn1...n1...31211cujo termo geralan = n1

5.6.SRIES GEOMTRICAS Uma srie geomtrica uma srie da formaa + ar + ar2 +ar3 + ...+arn-1 + ... =1 n1 narcom a 0. Da pgina 16, exerccio E8, 1, a n-sima soma parcial da srie geomtrica Sn= a +ar+ ar2 + ar3 + ... + arn-1= r 1) r 1 ( an, r 1 Se| r | < 1 , 0 r limnn , e assim r 1ar 1) r 1 ( alimnn . Se | r | > 1,nnr lim no existe, e assim r 1) r 1 ( alimnn no existe. Se r = 1, ento Sn= nae portanto, nnS lim no existe. Se r = -1, ento Sn oscila e portanto, nnS lim no existe. A a s rie geomtrica converge se| r | < 1e sua soma S = r 1a. A a srie geomtricadivergese | r |1 18 E1) Determinese a srie convergente ou divergente, se convergente encontre a soma. 1) ...8141211 + + + + 2)...82749231 + + + + 3) +1 n1 n) 1 ( E2) Determine a srie infinita que tem a seguinte seqncia de somas parciais: 1){Sn} = ''+1 nn 42){Sn} = ''+1 n 3n 23){Sn} = ''+1 nn2 4){Sn} ={ n2 E3) Expresse a dizima peridica 0,222... como uma frao comum. 5.7.PROPRIEDADES DAS SRIES a) Se 1 nnaconverge e c um nmero real, ento 1 nnca tambm converge e 1 nnca = c1 nna . Exemplo:1 nn25 convergente. Justifique. b) Se 1 nna e 1 nnb convergem , ento t1 nn n) b a ( tambm converge e t1 nn n) b a ( =1 nna t1 nnb . Exemplo:)3121(1 nn n convergente. Justifique. c) Se 1 nna converge e 1 nnb diverge, ento t1 nn n) b a (diverge. Exemplo:) 231(1 nnn + divergente. Justifique. Observao: Se1 nna diverge e1 nnb diverge, ento t1 nn n) b a (pode convergir ou divergir. d) Se 1 nna converge, ento0 alim nn . Justificativa: Se1 nna converge,nnSlim = S e1 nnS lim = S. ComoSn= a1 + a2 + ... an-1 + an , an = Sn Sn-1. Logo, nnalim =nnSlim -1 nnS lim = S S = 0 E4) Verifique se a srie converge, em caso afirmativo, determine a sua soma: 1)1 nn212)1 n13)+1 n ) 1 n ( n1(srie telescpica) Para muitas sries difcil oupraticamenteimpossvelencontrar umafrmulasimples para Sn . Em tais casos, so usados alguns testes que no nos fornecem a soma S da srie; dizem-nos apenasse a soma existe. Isto suficiente na maioria das aplicaes porque, sabendo que a soma existe, podemos aproximar o seu valor com um grau arbitrrio de preciso, bastando somar um nmero suficiente de termos da srie. 19 5.8.TESTE DA DIVERGNCIA Se0 alimnn , ento a srie infinita1 nna diverge. Observao:O 0 alim nn no garante a convergncia da srie. E5) Prove que as sries seguintes so divergentes: 1)+1 n22n1 n 2) +1 n1 n) 1 .( 2 3)...1 n 2n...735231+++ + + + 5.9.TESTE DA INTEGRAL

Sejam1 nna uma srie de termos positivos e f uma funo continua, tal que f(n) = an , para todo n. Ento 1 nna converge1dx ) x ( f converge. E6) Determine se a srie dada convergente ou divergente. 1) 1 n n12)1 n2n13)1 nn1 4) 1 nne5)1 n n ln n16) 1 nnne 5.10. SRIE-P Umasrie do tipo 1 npn1 denominadasrie- p e, converge se p >1 e diverge se p 1. Justificativa: Para p = 1, a srie -p torna-se1 nn1, e chamadasrie harmnica. Diverge(exerccioE6, 1) Se p 1,) 1 b ( limp 111 pxlim dx x limxdxp 1bb11 pb 1b1pbp]]]]

+ + Para p > 1,p 11) 1b1( limp 11) 1 b ( limp 111 pbp 1b . Logo a srie p converge. Para 0 < p < 1, ) 1 b ( limp 11p 1b. Logo a srie p diverge. Parap< 0, pnpnnnn limn1lim a lim . Logo, a srie p diverge. Para p = 0, a srie-p torna-se 1 n1 que uma srie divergente. Portanto, a srie-p convergente somente quando p > 1. 20 5.11. TESTE DA COMPARAO DO LIMITE

Sejam 1 nna e 1 nnbsries de termos positivos.Se, cbalimnnn onde c um nmero positivo, ento ambas as sries convergem ou ambas as sries divergem. E7) Determine se a srie dada convergente ou divergente. 1) +1 nn3 11 2) +1 n22 n1 3) 1 n1 n 224) + +1 n2 42 n n1

5) +1 n21 nn 6) +1 n3n1 n

5.12. SRIES ALTERNADAS Uma srie alternada uma srie da forma +1 nnn1 nn1 na ) 1 ( ou a ) 1 (com an > 0. 5.13. TESTE DE LEIBNIZ Seja uma srie alternada.Se an an+1e0 alim nn , ento a srie converge. E8) Determine se as sries alternadas convergem ou divergem. 1) +1 n1 n) 1 (2) 1 nnn) 1 ( 3) 3 n 4n 2) 1 (1 n1 n

4) ) 1 n ( n2 n) 1 (1 nn++5) 3 n 4n 2) 1 (21 n1 n O conceito a seguir permite que utilizemos testes para sries de termos positivos para determinar a convergncia de outros tipos de sries. 21 5.14. CONVERGNCIA ABSOLUTAE CONVERGNCIA CONDICIONAL a)Se 1 nn| a | =|a1| + |a2| + |a3| +...+|an| +... converge, dizemos que uma srie1 nna absolutamente convergente.b)Se 1 nna convergee| a |1 nn diverge, dizemos que1 nnaconverge condicionalmente E9) Determine se a srie dada absolutamente convergente. 1) +1 n21 nn) 1 (2)+1 n1 nn) 1 (3)+1 n1 n1 n2) 1 (4)1 nn3 5) +1 n1 nn) 1 ( 6) + 1 n2nn) 1 n ( ) 1 ( Observaes: a)Se1 nna uma srie de termos positivos, ento |an | = an , portanto a convergncia absoluta coincide com a convergncia. b) Se uma srie infinita1 nna absolutamente convergente, ento 1 nna convergente. 5.15. TESTE DA RAZO Seja 1 nna uma srie infinita com an 0, para todo n. a) Se n1 nn aalim+ < 1, ento 1 nnaconverge absolutamente. b) Se n1 nn aalim+ > 1 ou n1 nn aalim+ = , ento 1 nna diverge. c) Se n1 nn aalim+ =1, ento nenhuma concluso quanto convergncia pode ser tirada do teste. E10) Determine se a srie dada absolutamente convergente, condicionalmente convergenteou divergente. 1) 1 n ! n1 2) 1 n2n1 3) +1 n21 nn! n) 1 ( 4) 1 nn2! n

5) +1 n1 nn) 1 ( 6) 1 nnn! n3) 1 ( 7) 1 n2nn38) +1 n1 n1 n 2n) 1 ( Observao: O teste da razo mais adequado quando an contm potncias e produtos e no funciona em srie -p. 22 5.16. SRIES DE POTNCIAS Srie de potncias de x uma srie infinita da forma0 nnnx b = b0 + b1x + b2x2 + b3x3 + ... + bnxn + ... Uma srie infinita da forma 0 nnn) c x ( b = b0 + b1(x-c) + b2(x-c)2 + b3(x-c)3 + ... + bn(x-c)n + ... umasrie de potncias centrada em c. Quando em uma srie de potncias a varivel for substituda por um nmero, a srie resultante numrica e pode convergir ou no. 5.17. INTERVALO DE CONVERGNCIA Para cada srie de potncias0 nnn) c x ( b , exatamente umadas seguintes afirmaes verdadeira.a) A srie converge somente quando x = c. c b) A srie converge absolutamente para todox real. c) Existe umnmerorealpositivoR, talque a srie absolutamenteconvergentese| x c | < Re divergentese | x c | > R. Nestecaso,R chamadoraiodeconvergnciadasrie e(c R , c+ R) o intervalo de convergncia da srie.c-Rc c+R ?? Procedimento para encontrar o intervalo de convergncia de uma srie de potncias. 1.Aplicar o teste da razo. 2.Resolver a inequao resultante. 3.Analisar os extremos individualmente. E11) Determine os intervalos de convergnciadas sries: 1) 1 nnnx2)+0 nn32 n(x-2)n 3) 0 nn! nx4) 1 nn n! n) x 10 ( 10 5) 0 nnnx 6) +0 nn) 1 x ( ! n7) 0 nnx8) 1 nnnx 23 5.18. FUNES DEFINIDAS POR SRIES DE POTNCIAS

Uma srie de potncias de x pode ser encarada como uma funodevarivel x,f(x) =0 nnn) c x ( b , onde o domnio de f o conjunto dos valores de x que tornam a srie convergente. Clculos numricos utilizando srie de potncias so a base para a construo de calculadoras. Clculos algbricos, diferenciao e integrao podem ser realizados com o uso de sries. O mesmo acontececom as funes trigonomtricas, trigonomtricas inversas, logartmicas e hiperblicas. E12) Ache uma funo frepresentada pela srie de potncias 1 + x + x2 + x3 + ... + xn + ... E13) Considere o exerccio E12 e calcule o valor aproximado de f(1/10) a)usando os dois primeiros termos da srie. b)usando os trs primeiros termos da srie. c)usando os quatro primeiros termos da srie. d)usando os cinco primeiros termos da srie. E14) Ca lcule o valor de f(1/10) usando a lei. E15) Comparando os valores encontrados em E13 e E14, o que se pode concluir ? E16) Considere o exerccio E12 e calcule o valor aproximado de f(2) a)usando os dois primeiros termos da srie. b)usando os trs primeiros termos da srie. c)usando os quatro primeiros termos da srie. E17) Calcule o valor de f(2) usando a lei. E18) Comparando os valores encontrados em E16 e E17, o que se pode concluir ? E19) Considere o exerccio E12 e obtenha uma representao em srie de potncias para 1)g1(x) =x 11+ 2) g2(x) =x 11 3) g3(x) =2x 11

24 5.19. DERIVAO E INTEGRAO DE SRIES DE POTNCIAS Se f(x) = 0 nnn) c x ( b est definida no intervalo (c R , c + R) para algum R > 0, ento: a)f derivvel e f (x) =1 n1 nn) c x ( nb =+ +0 nn1 n) c x ( b ) 1 n ( , para todo x(c R , c + R). b)f integrvel ex0dt ) t ( f=++0 n1 nn1 n) c x ( b, para todo x(c R , c + R). E20) Seja f(x) = x 11=0 nnx , determine: 1) f (x) e a srie que representa f (x) 2) dx ) x ( fe a srie que representa dx ) x ( f 3) 2 / 10dx ) x ( fe a srie que representa 2 / 10dx ) x ( f 5.20. SRIES DE TAYLOR Se f uma funo que admite uma representao em sries de potnciasf(x) = 0 nnn) c x ( b , quemso os bn ? f(x) = b0 + b1(x-c) + b2(x-c)2 + b3(x-c)3 + b4(x-c)4 + ...+ bn(x-c)n + ... f(c) = b0 f (x) = b1 + 2b2(x-c) + 3b3(x-c)2 + 4b4(x-c)3 +... + nbn(x-c)n-1 + ...f (c) = b1 = 1!b1 e b1 =! 1) c ( ' f f (x) = 2b2 + 3.2b3(x-c) + 4.3b4(x-c)2 + ... + n(n-1)bn(x-c)n-2 + ...f (c) = 2b2 = 2!b2 e b2 =! 2) c ( ' ' f f (x) = 3.2b3 + 4.3.2b4(x-c) +... + n(n-1)(n-2)bn(x-c)n-3 + ... f (c) = 3.2b3= 3!b3 e b3 =! 3) c ( ' ' ' f f (IV)(x) = 4.3.2b4 + ... + n(n-1)(n-2)(n-3)bn(x-c)n-4 + ... f (IV)(c) = 4.3.2b4 = 4!b4 e b4 =! 4) c ( f) IV ( MM M Logo b0 = f(c)e bn = ! n) c ( f) n ( para n1 e portantof(x) = f(c) + 1 nn) n () c x (! n) c ( f que denominada srie de Taylor para f de centro em c, para todo x pertencente ao intervalo de convergncia. 25

Se c = 0, a srie de Taylor assume a forma f(x) = f(0) + f (0)x + 2x2!(0) ' ' f+3x3!(0) ' ' ' f+ ...+n) n (x! n) 0 ( f+ ...que denominada srie de Maclaurin para f. E21) Encontre a srie de Taylor de centro em c = 1 para: 1) f(x)= ln x2) f(x) = ex 3) f(x) =x1 E22) No exerccio anterior, para que valores de x a srie encontrada representa a funo f ?

E23) Encontre a srie de Taylor de centro em c = 0 para: 1) f(x) = ln(1+ x) 2) f(x) = ex 3) f(x) = 2xe4) f(x) = e-2x 5) f(x) = sen x 6) f(x) = sen 2x 7) f(x) = cos x8) f(x) = 1 x1 26 5.21. RESPOSTAS E1) 1) Conv.S = 2 2) Div.3) Div. E2) 1)L + + + +51313222)L + + + +651351141213)L + + + +201912116521 4) 2 + 2 + 4 + 8 + 16 + .. E3) 92 E4) 1) Conv.S = 12) Div.3) Conv.S = 1 E6) 1) Div. 2) Conv.3)Div.4) Conv. 5) Div. 6) Conv. E7) 1) Conv.2) Conv. 3)Div.4) Conv.5) Conv. 6) Conv. E8) 1) Div. 2) Conv. 3)Div.4) Conv.5) Conv. E9) 1) Conv. Abs.2) Conv. Cond. 3) Conv. Abs. 4) Div.5) Conv. Cond.6) Conv. Cond. E10) 1) Conv.2) Conv. 3) Div. 4) Div. 5) Conv. Cond.6) Conv. Abs. 7) Div. 8) Div. E11) 1) [-1,1) 2) (-1,5) 3) 4) 5) (-1,1) 6) {-1} 7) (-1,1) 8) [-1,1) E12)f(x) =x 11 , (-1,1)E13) a) 1,1 b) 1,11c) 1,111 d) 1,1111 E14) 1,111... E16) a) 3b) 7 c) 15 E17) 1E19) 1)n0 nnx ) 1 ( , | x | < 1 2) n0 nx , | x | < 13) n 20 nx, | x | < 1E20)1) f (x) =2) x 1 (1, 1 n1 nx n 2) ln (1 x ) , 1 nnnx 3) -ln21, L + + + +6412418121 E21) 1) 1 nn 1 nn) 1 x ( ) 1 (

2) 0 nn! n) 1 x .( e3) n0 nn) 1 x ( ) 1 ( E22) 1) (0,2] 2) 3) (0,2) E23) 1) +1 nn 1 nnx ) 1 (2) 0 nn! nx3) 0 nn 2! nx 4) 0 nn n! nx . ) 2 (

5) +1 n1 n 2 1 n)! 1 n 2 (x ) 1 ( 6) +1 n1 n 2 1 n)! 1 n 2 () x 2 ( ) 1 ( 7) 0 nn 2 n)! n 2 (x . ) 1 ( 8) n0 nx 27 6.OS CONJUNTOS 2 E 3 6.1.O CONJUNTO 2

2 = x={ y , x / ) y , x (y y1P(x1,y1) P(x,y)Ox y = 0 P(x,y)Oy x = 0 0x1 x E1) Represente graficamente os conjuntos: 1) {(x,y)2 / y = 2x} 2) {(x,y)2 / y2x }3) {(x,y)2 / x < 2} 4) {(x,y)2 / y < 3 - x} 5) {(x,y)2 /2 y 1 < } 6) {(x,y)2 / x2 + y2 1} 7) {(x,y)2 / y < ex }

6.2.O CONJUNTO 3

3 = x x={ z , y , x / ) z , y , x (z yOz P(x,y,z)Oxy = z = 0 z1 P(x,y,z)Oy x = z = 0 P(x1,y1,z1) P(x,y,z)Oz x = y = 0 xOzOy1yP(x,y,z)xOy z = 0 x1P(x,y,z)xOz y = 0 xOy P(x,y,z)yOz x = 0x E2) Represente graficamente os pontos: 1) (0,2,0) 2) (-2,0,0)3) (0,0,3)4) (2,3,0)5)(-1,0,2) 6) (0,-4,2) 7) (2,3,4)8) (3, -2,-1) 9) (-1,-3,2) 10) (3,3,3)11) (2,4, -3)12) (-1,-2,-3) E3)Represente graficamente os planos(equao de um plano do 3 : ax + by + cz + d = 0): 1) z = 0 2) z = 43) y = 04) y =-2 5) x = 06) x = 3 7) 2x 3y + 4z 12 =0 8) x y + 2z 4 = 0 9) 3x + 2y 6= 0 10) x + z 2 = 0 11 ) 4y + 2z 8 =0 28 7.FUNES DE VRIAS VARIVEIS 7.1.INTRODUO

Quando dizemos que a medida do volume de um paraleleppedo retngulo depende das medidas das suas dimenses, queremosdizerque: conhecidasasmedidasdasarestasa, be c, podemosdeterminaroseu volume V, atravs da expresso V =abc . A equao V = abc define Vcomo funo de a, b e c, pois dados os valores das variveis independentes a, b e c, existeemcorrespondnciaumnicovalorpara a varivel dependente V. Uma relao deste tipo denominada de funo de trs variveis. Uma funo de n variveis uma relao que a cadan-upla ordenada de nmerosreais(x1 ,x2,...,xn )faz corresponder um nico nmero real. E1)Seja a funo dada f(x,y) = x2 +y2 (duas variveis). Encontre: a) f(1,2)b) f(0,0)c) f(-3,-4) d) Dom fe) Im f O grfico de f uma superfcie do 3 (parabolide abaixo). zObservao: As funes de trs ou mais variveis no

podem ser representadas graficamente.

0y x

E2)Seja a funo dada por f(x,y,z) =2 2 2z y x + + . Determine: 1) f(0,0,0) 2) f(-1,-1,1) 3) f(1,2,3)4) Dom f5) Im f E3) Seja a funo dada por f(x,y) =x yx 3. Determine: 1) f(1,0) 2) f(3,-7)3) f(1, -1)4) Dom f5) a representao grfica do Dom f E4) Seja f(x,y) =y x12. Determine: 1) f(1,0)2) f(3, -7)3) f(1,-1)4) Dom f 5) a representao grfica do Dom f 29 E5) Represente graficamente os domnios das seguintes funes : 1) f(x,y)= 1 y x + 2) 1 y x 21) y , x ( f+ 3) f(x,y)= ln (x2- y + 1) 4)f(x,y) =1 xx ln

7.2.CURVAS DE NVEL Ck = { k ) y , x ( f / ) y , x (2

Seja a funo dada por z= x2 + y2 . As curvas de nvel para z = 0 ,z =1 , z = 2 e z = 4 so : z=0x2+ y2 = 0 (x = y = 0 ) z=1x2+ y2 = 1 (circunferncia de centro C(0,0) e raio 1 ) z=2x2+ y2 = 2 (circunferncia de centro C(0,0) e raio2) z=4x2+ y2 = 4 (circunferncia de centro C(0,0) e raio 2 ) Mapa de curvas de nvel y 2 z =4 2z = 2 1 Observao: As curvas de nvel nunca z = 1 se interceptam. z=0-2- 2-1 00 1 22x

-1

- 2 -2 Grfico da Funo (parabolide) z y x 30 E6) Esboce as curvas de nvel das funes: 1) z = y - x2para z= 0, z =1 e z =2 2) z = y xparaz = 0, z =2e z =4 3) z = y ln x para z= 0, z =1 e z =2 E7) Sejaa funo dada por z =2 2y x 4 1) Faa as curvas de nvel paraz = 0, z = 1 e z = 2 2) Represente graficamente a funo

7.3.RESPOSTAS E1)1) 5 2) 03) 25 4) 2 5)) , 0 [ + E2)1) 0 2)3 3)14 4) 35)) , 0 [ + E3)1) 3 2) 1093) 23 4) } x y / ) y , x {(2 E4) 1) 12) 413) 224) } x y / ) y , x {(2 2< E5) 1)} 1 x y / ) y , x {(2+ 2)} 1 x 2 y / ) y , x {(2+ 3)} 1 x y / ) y , x {(2 2+ < 4)} 1 x e 0 x / ) y , x {(2 > 31 8.DERIVADAS PARCIAIS Sey = f(x) umafuno de uma varivelreal, suaderivadaf (x) =x) x ( f ) x x ( flim0 x + pode ser interpretada como ataxa de variao de y em relao a xoucomo afuno declividadedaretatangente ao grfico de f. Sez = f(x,y) uma funo de duas variveis, podemos falar em duas derivadas, por isso, denominadas derivadas parciais. Uma derivada parcial obtida quando x varia e y permanece constante e, a outra, quando y varia e x permanece constante. As derivadas parciaisde f em relao a x e a y so denotadas por fx ou xf e fy ou yf e so definidasporfx(x,y) =x) y , x ( f ) y , x x ( flim0 x + efy(x,y) =y) y , x ( f ) y y , x ( flim0 y + Nota: uma variante da letra grega (delta minsculo). E1) Determine as derivadas parciais xze yzdas funes: 1) z = 4x2y 5x3y2 + 2x y 2) z =y x 3) z = ln(xy2)4) z =1 y x2 2 + 5) z = y 2 x 3xy 2 6) z = y 4 xy 3 x 22+ 7) z = (2x y)exy8) z = 2x2ysen 2y 9) z = 2xcos (1-xy)10) z = y 21x1+ ln exy 8.1.INTERPRETAO GEOMTRICA DAS DERIVADAS PARCIAIS Considere a superfcie abaixo, grfico de uma funo z = f(x,y). Para y = k (constante) a funo fse reduz a uma funo de uma varivel x, z = f(x,k). zt z = f(x,y)Py1= k 0y x1

x z= f(x,k)

Portanto, a derivada parcial de f em relao a xno ponto (x1,y1) representa a declividade da superfcie no ponto (x1,y1) na direo paralela ao eixo x, isto xf(x1,y1) = at 32 Analogamente , a derivada parcial de f em relao a yno ponto (x1,y1) representa a declividade da superfcie no ponto (x1,y1) na direo paralela ao eixo y, isto yf(x1,y1) = at E2) Encontraradeclividade daretatangentecurvaresultante daintersecode: 1) z = x2 + y2 com o plano x = 1, no ponto ( 1,2,5) 2) z = x2 + y2 com o plano y = 2, no ponto (2,2,8) 3) z =2 2y 4 x 9 34 com o plano y = 2, no ponto (1,2,3) E3) Dada a funo f(x,y) = ,y x1y2 22++determine : 1) o domnio de f 2) fx(3,4) 3) fy(3,4) 4) a declividade da reta tangente curvainterseco do grfico de f com o plano x = 3 noponto (3,4). 8.2.DERIVADAS PARCIAIS DE SEGUNDA ORDEM Derivadas puras: xx22fxfxfx ,`

.|; yy22fyfyfy

,`

.|

Derivadas mistas ou cruzadas:yx2fy xfyfx

,`

.|; xy2fx yfxfy ,`

.| E4) Determinar as derivadas parciais de segunda ordem das funes dadas por: 1) z = x2y xy2 + 2x y2) z =xy3) z = ln(xy) 4) z = 2xye5) z = xy 2 6) z = x3y2 7) z = xe-y 8) z = xsen 2y9) z = cos (x2-y) 10) z = xln exy Observao:

As derivadas parciais de segunda ordem mistas, so iguais para funes continuas com derivadas parciais continuas. 8.3.HESSIANO Chama-se Hessiano da funo z = f(x,y) a funo H(x,y) = ) y , x ( f ) y , x ( f) y , x ( f ) y , x ( fyy yxxy xx 33 E5) Calcule o Hessiano da funo dada por: 1)f (x,y) = x3 y3 + 2xy 1no ponto (2, -1) 2) f(x,y) = x2y3 + 2xy 4x + 3y 5 no ponto (-1,-1) 8.4.RESPOSTAS E1)1) 8xy 15x2y2 + 2 ; 4x2 10x3y 12) y; y 2x3) x1 ; y2 4)1 y xx2 2 + ; 1 y xy2 2 +5)22) y 2 x 3 (y 4 ; 22) y 2 x 3 (x 6 6) 2 22) y 4 x (y 8 xy 6 x 2++ + ; 2 22) y 4 x (x 8 x 3+ 7)exy(2xy y2 + 2) ; exy(2x2 xy 1) 8) 4xysen 2y ; 2x2(sen 2y + 2ycos 2y)9) 2cos(1-xy) + 2xysen(1-xy) ; 2x2sen(1-xy) 10)yx12 + ;xy 212 + E2)1) 4 2) 43) -3 E3)1))} 0 , 0 {(2 2)1253 3)125996E4) 125996 E4)1) 2y ;-2x ; 2x 2y 2) 0 ; 0 ; 1 3)2x1; 2y1; 04)2xy 4e y;) 1 xy 2 ( xe 22 xy2 ;) y xy ( e 23 xy2 5)3xy 4; 0 ; 2x26) 6xy2 ; 2x3 ; 6x2y 7) 0 ; xe-y ; -e-y 8) 0 ; -4xsen 2y ; 2cos 2y 9) 2sen(x2-y) 4x2cos(x2 y) ;-cos(x2 y) ;2xcos(x2 y) 10) 2y ; 0 ; 2x E5) 1) 682) -4 34 9.MXIMOS E MNIMOS DE FUNES DE DUAS VARIVEIS Seja z = f(x,y) uma funo de duas variveis. Dizemos que um ponto (xo,yo) do domnio de f ponto de mximo relativo ou local de f, se existir uma bola aberta de centro em (xo,yo) e raio r tal que, para todo ponto P(x,y) do domnio situado no interior dessa bola, tenhamosf(x,y) f(xo,yo). O nmero f(xo,yo) recebe o nome de mximo relativo ou local de f. Seja z = f(x,y) uma funo de duas variveis. Dizemos que um ponto (xo,yo) do domnio de f ponto de mnimo relativo ou local de f, se existir uma bola aberta de centro em (xo,yo) e raio r tal que, para todo ponto P(x,y) do domnio situado no interior dessa bola, tenhamosf(x,y) f(xo,yo). O nmero f(xo,yo) recebe o nome de mnimo relativo ou local de f. z (a,b) ponto de mximo relativo de f (c,d) ponto de mnimo relativo de f

d by

a c x Seja z = f(x,y) uma funo de duas variveis. Dizemos que um ponto (xo,yo) do domnio de f ponto de mximo absoluto ou global de f, separa todo ponto P(x,y) do domnio, tivermosf(x,y) f(xo,yo). O nmero f(xo,yo) recebe o nome de mximo absoluto ou global de f. Seja z = f(x,y) uma funo de duas variveis. Dizemos que um ponto (xo,yo) do domnio de f ponto de mnimo absoluto ou global de f, separa todo ponto P(x,y) do domnio, tivermos f(x,y) f(xo,yo). O nmero f(xo,yo) recebe o nome de mnimo absoluto ou global de f. 35 9.1.PONTO CRTICO DEUMA FUNO DE DUAS VARIVEIS Seja z = f(x,y) uma funo definida num conjunto aberto D2 . Um ponto (xo,yo)D um ponto de f se as derivadas parciais fx(xo,yo)e fy(xo,yo)so nulas(extremos suaves) ou no existem(extremos bruscos). Geometricamente, so pontos do grfico da funo onde o plano tangente horizontal ou no existe. E1) Encontre os pontos crticos das funes:

1) f(x,y) = x2 + y2 2)f(x,y) = x3 + y3 3x2 3y 3)f(x,y) = 4x 2y + 44)f(x,y) = 2 2y x + 9.2.CRITRIO PARA CARACTERIZAO DE PONTOS EXTREMANTES TESTE DO HESSIANO Seja z = f(x,y) uma funo continua, com derivadas parciais at segunda ordem continuas e(xo,yo) um ponto crtico de f. a)Se H(xo,yo) > 0 e fxx(xo,yo) > 0 ento (xo,yo) ponto de mnimo relativo de f. b) Se H(xo ,yo) > 0 e fxx(xo,yo) < 0 ento (xo,yo) ponto de mximo relativo de f. c) Se H(xo ,yo) < 0ento (xo,yo)no e ponto extremante, ponto de sela. d) Se H(xo,yo) = 0, nada se pode afirmar. E2) Determine e caracterizeos pontos extremantesdas funes: 1)f(x,y) = 3x4 + 8x3 - 18x2 + 6y2 + 12y 4 2) f(x,y) = x2 + y2 2x + 1 3) f(x,y) = x3+ 3xy+ y2 2 4) f(x,y) =8x3- 3x2 + y2 + 2xy+ 2 5) f(x,y) = 3x2 + y2 xy+ 5 6) f(x,y) = x3+ y2 6xy + 6 7) f(x,y) = x3+ 2y2 3x 4y 8 36 9.3.MXIMOS E MNIMOS CONDICIONADOS Seja z = f(x,y) a funo da qual se quer determinar o mximo ou mnimo sujeito condio R(x,y) = 0. z z mx de f sem restriomx de f com restrio restrio R 0y0 y x x 1.MTODO DA SUBSTITUIO. Consiste em substituir x (ou y) obtido a partir da restrio R(x,y) = 0, na funo f. Obtm-se dessa forma uma funo de uma s varivel, e o problema se reduz determinaodemximos e mnimos dafuno deuma varivel.

E3) SejaL(x,y) = -2x2 - y2 + 32x + 20yafunolucro deumaindstriaque produze comercializa dois produtos em quantidades x e y. Calcular o lucro mximo, sabendo que a produo da indstria limitada em 24 unidades. 2.MTODO DOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE. Consiste em construir a funo de Lagrange L(x,y, ) = f(x,y)- R(x,y) e resolver o sistema

'0 ) y , x ( R0yL0xL

Os possveis pontos extremantes de f sujeita a restrioR(x,y) = 0 so os pontos (x0 ,y0) tais que (x0 ,y0, ) so solues do referido sistema. E4)Deseja-se cercar um terreno retangular de rea 60 m2, de modo que o custo para cercar as laterais seja R$ 300,00 por metro linear e o custo para cercar a frente e o fundo seja de R$ 500,00 por metro linear.

Determine as dimenses do terreno de tal modo que o custo para cerc-lo seja o menor possvel. Nesse caso, qual o custo mnimo para cerc-lo ? 37 E5) Ache o ponto de mximo ou de mnimo das funes a seguir: 1)f(x,y) = x2 + y2 , sujeito a x + y 4 = 0 2)f(x,y) = 2x + y 10 , sujeito a xy = 200 3)f(x,y) = 9 - x2 - y2 , sujeito a x + y 2 = 0 4) f(x,y) =2 / 1 2 / 1y x , sujeito a2x + 10y = 60 E6) Suponha que a funo Produo para uma empresa z = 2 / 1 2 / 1y x 10e que a funo Custo associada C = 2x + 2y + 10. Suponha, ainda, que ofabricante limita seu custo em 46e decida em queponto se tem a produo mxima com o custo fixado em 46. 9.4.RESPOSTAS E1)1) (0,0) 2) (0, -1),(0,1),(2, -1) e (2,1) 3) No tem 4) (0,0)

E2)1) (0,-1) ponto de sela , (1,-1) e (-3,-1) so pontos de mnimo 2) (1,0) ponto de mnimo 3) (0,0) ponto de sela;)49,23( ponto de mnimo 4) (0,0) ponto de sela; )31,31( ponto de mnimo 5) (0,0) ponto de mnimo 6) (0,0) ponto de sela; (6,18) ponto de mnimo 7) (-1,1) ponto de sela; (1,1) ponto de mnimo E3)204 E4)10 m, 6 m e R$ 12000,00 E5)1) (2,2)2) (10,20) 3) (1,1) 4) (15,3) E6)(9,9) 38 10. BIBLIOGRAFIA ANTON, Howard. Clculo: um novo horizonte.6.ed. Porto Alegre : Bookman, 2000. 2 v. VILA, Geraldo. Clculo 1: Funes de uma varivel. 6.ed. Rio de Janeiro : LTC, 1994.__________. Clculo 2: Funes de uma varivel. 5.ed . Rio de Janeiro : LTC, 1995. __________. Clculo 3: Funes de uma varivel. 5.ed. Rio de Janeiro : LTC, 1995. EDWARDS,C,PENNEY,David.Clculocomgeometriaanaltica. 4.ed.RiodeJaneiro:Prentice-Hall do Brasil, 1997. v.1 e v.2.__________. Calculus with analytic geometry. 5.ed. Rio de Janeiro : Prentice-Hall, 1998. HARRIS, K., LOPEZ, R. DiscoveringcalculuswithMaple. 2.ed. New York : John Wiley & Sons, Inc, 1995. LEITHOLD,Louis.Oclculocomgeometriaanaltica.2.ed.SoPaulo:Harper&RowdoBrasil, 1982. SALLAS, S., HILLE, E. Calculus. One variable. 7.ed New York : John Willey & Sons, Inc, 1995. SHENK, Al. Clculo e geometria analtica. 2.ed. Rio de Janeiro : Campus, 1985. v. 1 SILVA,JaimeCarvalhoe.Princpiosdeanlisematemticaaplicada. Alfragide:McGraw-Hill de Portugal, 1994. SIMMONS, George F. Clculo com geometria analtica.So Paulo : McGraw-Hill, 1987. SWOKOWSKI,EarlWilliam.Clculocomgeometriaanaltica.2.ed.SoPaulo:MakronBooks, 1994.v.1 WESTERMANN, Thomas.Mathematik fr ingenieure mit Maple. Karlsruhe : Springer, 1996.