Calculo II - Resumo Com Exerc_cios
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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA CÁLCULO II Prof. Francisco Leal Moreira 2004/2
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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL
FACULDADE DE MATEMÁTICA
CÁLCULO II
Prof. Francisco Leal Moreira
2004/2
SUMÁRIO 1. INTEGRAL INDEFINIDA .............................................................................................................................................1
1.1. EXERCÍCIOS DE REVISÃO .................................................................................................................................1 1.2. RESPOSTAS .............................................................................................................................................................2
2. INTEGRAÇÃO POR PARTES .....................................................................................................................................3 2.1. RESPOSTAS.............................................................................................................................................................3
3. INTEGRAL DEFINIDA .................................................................................................................................................4 3.1. PROPRIEDADES BÁSICAS ................................................................................................................................4 3.2. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL DEFINIDA ..............................................................5 3.3. ÁREA ENTRE DUAS CURVAS..........................................................................................................................6 3.4. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS .................................................................................................................................7 3.4. RESPOSTAS.............................................................................................................................................................7
4. CÁLCULO SOMATÓRIO.............................................................................................................................................8 4.1. NÚMERO DE PARCELAS DO SOMATÓRIO .................................................................................................8 4.2. PROPRIEDADES DO SOMATÓRIO .................................................................................................................9 4.3. PRINCÍPIO DA INDUÇÃ O FINITA(PIF) ........................................................................................................11 4.4. SOMATÓRIO DUPLO .........................................................................................................................................12 4.5. RESPOSTAS...........................................................................................................................................................13
5. SEQÜÊNCIAS E SÉRIES ............................................................................................................................................14 5.1. INTRODUÇÃO......................................................................................................................................................14 5.2. SEQÜÊNCIAS INFINITAS.................................................................................................................................14 5.3. LIMITE DE UMA SEQÜÊNCIA ........................................................................................................................15 5.4. SÉRIES INFINITAS..............................................................................................................................................15 5.5. SOMA DE UMA SÉRIE.......................................................................................................................................17 5.6. SÉRIES GEOMÉTRICAS....................................................................................................................................17 5.7. PROPRIEDADES DAS SÉRIES .........................................................................................................................18 5.8. TESTE DA DIVERGÊNCIA ...............................................................................................................................19 5.9. TESTE DA INTEGRAL .......................................................................................................................................19 5.10. SÉRIE-P..................................................................................................................................................................19 5.11. TESTE DA COMPARAÇÃO DO LIMITE......................................................................................................20 5.12. SÉRIES ALTERNADAS.....................................................................................................................................20 5.13. TESTE DE LEIBNIZ............................................................................................................................................20 5.14. CONVERGÊNCIA ABSOLUTA E CONVERGÊNCIA CONDICIONAL..............................................21 5.15. TESTE DA RAZÃO.............................................................................................................................................21 5.16. SÉRIES DE POTÊNCIAS...................................................................................................................................22 5.17. INTERVALO DE CONVERGÊNCIA ..............................................................................................................22 5.18. FUNÇÕES DEFINIDAS POR SÉRIES DE POTÊNCIAS............................................................................23 5.19. DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO DE SÉRIES DE POTÊNCIAS................................................................24 5.20. SÉRIES DE TAYLOR .........................................................................................................................................24 5.21. RESPOSTAS .........................................................................................................................................................26
6. OS CONJUNTOS 2
ℜ E 3
ℜ ................................................................................................................................27
6.1. O CONJUNTO 2
ℜ ...........................................................................................................................................27
6.2. O CONJUNTO 3
ℜ ............................................................................................................................................27 7. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS......................................................................................................................28
7.2. CURVAS DE NÍVEL............................................................................................................................................29
7.3. RESPOSTAS...........................................................................................................................................................30
8. DERIVADAS PARCIAIS............................................................................................................................................31 8.1. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DAS DERIVADAS PARCIAIS.......................................................31 8.2. DERIVADAS PARCIAIS DE SEGUNDA ORDEM ......................................................................................32 8.3. HESSIANO .............................................................................................................................................................32 8.4. RESPOSTAS...........................................................................................................................................................33
9. MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS.....................................................................34 9.1. PONTO CRÍTICO DE UMA FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS................................................................35 9.2. CRITÉRIO PARA CARACTERIZAÇÃO DE PONTOS EXTREMANTES ..............................................35 9.3. MÁXIMOS E MÍNIMOS CONDICIONADOS................................................................................................36 9.4. RESPOSTAS...........................................................................................................................................................37
10. BIBLIOGRAFIA ..........................................................................................................................................................38
1
1. INTEGRAL INDEFINIDA DERIVAÇÃO F F’= f PRIMITIVAÇÃO 1.1. EXERCÍCIOS DE REVISÃO E1) Encontre:
1) 2dx1)(2x 3∫ − 2) xdx2.1x 2∫ − 3) xdx)4x3( 52∫ +
4) ∫− 2x5
xdx 5) ∫ − 4)x1(
dx 6) ∫ + 32 2)(x
xdx
7) ∫−3 2x3
xdx 8) ∫ − 12x
dx 9) ∫ + 53)(2x
dx
10) dxx3
x25
e3 2x∫
+− 11) ∫ − dxe 1x3 12) ∫ + 1xdxx
3
2
13) ∫ −1xe
dx2 14) ∫ − 2x4
dx 15) ∫ + dxxe3 32x
16) ∫ + 10x
xdx202
17) dxe5 2
x
∫ 18) ∫ xe
dx
19) ∫ + dxe)2e( x25x2 20) ∫ xdx3cos 21) ∫ xdx5sen
22) ∫ + dx)1x3cos( 23) ∫ dxxcosx2 2 24) ∫ + dx)x4x2(senx 32
25) ∫ xdxcose xsen 26) ∫ xdxcos)x(sen 5 27) xdxcos.xsen∫
28) ∫ − 3)xcos5(xdxsen
2
1.2. RESPOSTAS
E1) 1) k4
)1x2( 4
+−
2) k3
)1x(2 32
+−
3) k36
)4x3( 62
++
4) – kx5 2 +− 5) k)x1(3
13
+−
6) k)2x(4
122
++−
7) k4
)x3(33 22
+−−
8) k1x2 +− 9) k)3x2(8
14
++
−
10) kx3
|x|ln25
e3 x +−− 11) k3
e 1x3
+−
12) k|1x|ln31 3 ++
13) ke
21x
+−−
14) k|2x4|ln41
+− 15) k2
e3 3x2
++
16) 10ln(x2 +10) + k 17) 10 ke 2x
+ 18) ke
1x
+−
19) k12
)2e( 6x2
++
20) k3
x3sen+ 21) k
5x5cos
+−
22) k3
)1x3(sen+
+ 23) sen x2 + k 24) kx
6x2cos 4
3
++−
25) esen x+ k 26) k6
xsen6
+ 27) k3
xsen2 3
+
28) k)xcos5(2
12
+−
−
3
2. INTEGRAÇÃO POR PARTES Sabemos que [ f (x).g(x) ]’ = f(x).g’(x) + g(x).f ’(x) ou f(x).g’(x) = [ f(x) . g(x) ]’ – g (x). f ’(x)
Integrando ambos os membros dessa equação , obtemos ∫ ∫−= dx)x('f).x(g)x(g)x(fdx)x('g).x(f
Fazendo f(x) = u e g(x) = v, vem: ∫ ∫−= du.vv.udv.u
E1)Calcule :
1) ∫ dxxe x 2) ∫ xdxsenx 3) ∫ xdxln
4) ∫ − xdxcos)1x2( 5) ∫ dxxlnx 6) ∫ dxxlnx2
7) ∫ dxxsecx 2 8) ∫ + xdx2cos)1x( 9) ∫ xdx3lnx
10) ∫ dxxe x4
2.1. RESPOSTAS
E1) 1) xex – ex + k 2) – xcos x + sen x + k 3)xln x – x + k
4) (2x – 1)sen x + 2cos x + k 5) k9x4
xln3x2 33
+− 6) k9
x3
xlnx 33
+−
7) xtg x + ln | cos x | + k 8) k4
x2cos2
x2sen)1x(++
+ 9) k
4x
2x3lnx 22
+−
10) k16e
4xe x4x4
+−
4
3. INTEGRAL DEFINIDA Seja f uma função e F uma primitiva de f. A integral definida de f de a até b é o núme ro real
representado por ∫b
af(x)dx e calculado por F(b) - F(a).
∫b
af(x)dx = b
a[F(x)] = F(b) - F(a)
E1) Calcule:
1) dxx3
0
2∫ 2) dxx)(141
1∫−−
3.1. PROPRIEDADES BÁSICAS
a) ∫a
af(x)dx = 0
b) ∫b
af(x)dx = - ∫
a
bf(x)dx
c) ∫b
ac.f(x)dx = c. ∫
b
af(x)dx , sendo c uma constante
d) ∫ ±b
ag(x)]dx[f(x) = ∫
b
af(x)dx ± ∫
b
ag(x)dx
e) ∫b
af(x)dx = ∫
c
af(x)dx + ∫
b
cf(x)dx , com a < c < b
f) ∫b
af(x)dx ≥ 0, se f(x) ≥0, ∈∀x [a,b]
E2)Calcule:
1) ∫ +−1
0
34 dx)1x3x( 2) ∫−−+−
0
1
25 dx)1x2x3x3( 3) ∫ ++5
2
2 du)u3u22(
4) dtt
1t
9
1∫
− 5) ∫
2
0
2 1)dx -(x x 6) ∫+1
2 2t
1tdt
7) ∫2
15 dx4) -(2x 8) ∫
2
44 dx6) -(2x 9) ∫ +
1
032 dx 1) 8x(x
5
10) ∫+
4
0 16u
1du 11) ∫ +
2
1 23
2
)1x(
x dx 12) du12uu)uu( 241
0
3 +++∫
13) ∫−−
3
2dx|1x| 14) ∫ +−
2
0 2 96xx
dx 15) ∫
0
1- x-1
dx
16) dx2
|x|x
1
1∫−
− 17) ∫−−
5
2dt|42t| 18) ∫
−3
1
34
xxx
dx
3.2. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL DEFIN IDA Seja f uma função continua em [a,b] com f(x) ≥ 0, ∈∀x [a,b]. Vamos calcular a área da região situada entre o gráfico de f e o eixo das abscissas de a até b. y f f(x+ ? x ) A1 A2 f(x) A3 A ? A 0 a x x + ? x b x A é a área da região hachurada, ? A é o acréscimo que sofre a área A quando x recebe um acréscimo ? x .
A3 ≤ ( A2 + A3 ) ≤ (A1 + A2 + A3 ) ⇔ f(x). ? x ≤ ? A ≤ f(x + x). ? x ⇒ f(x) ≤ ? x? A ≤ f(x + ? x )
0x
lim→∆
f(x) ≤0
lim→∆x ? x
? A≤
0xlim
→∆f(x + ? x ) ⇔ f(x) ≤
0lim
→∆x ? x? A
≤ f(x ) ⇒0
lim→∆x ? x
? A = f(x) ⇔ A’ = f(x)
Então A é uma primitiva de f(x) , logo A = F(x) + k. Para x = a, A = 0 e k = -F(a), logo A = F(x) - F(a) Para calcular a área de a até b basta tomar x = b.
Para x = b, A = F(b) - F(a) = ∫b
af(x)dx
Se f é uma função continua e não negativa em [a,b], o número ∫b
af(x)dx representa a área da região
limitada pelo gráfico de f, pelo eixo Ox e pelas retas verticais x = a e x = b.
6
y f R 0 a b x
AR = ∫b
af(x)dx
3.3. ÁREA ENTRE DUAS CURVAS Sejam f e g funções continuas em [a,b] , com f(x) ≥ g(x) , ∈∀x [a,b]. Se R é a região limitada pelos
gráficos de f, g, x=a e x=b então AR = ∫b
ag(x)]dx-[f(x)
y f R g 0 a b x E3)Calcule a área da região limitada por:
1) y=-x2 + 4 e y=0 2) y=x2 – 4, y=0, x=-1 e x=2 3) y=x, y=0, x=-2 e x=1 4) y=x2 – 1 e y=3 5) y=x2 + 1, y=2x - 2, x=-1 e x=2 6) y=x3, y=-x + 2 e y=0
7) y= x e y=x2 8) y=x e y=x3
7
3.4. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS
A integral imprópria de f sobre o intervalo ),a[ +∞ é definida por ∫∫ ∞→
∞=
t
atadx)x(flimdx)x(f .
Se o resultado é um número real, dizemos que a integral imprópria converge. Se o limite não existe ou é infinito, dizemos que a integral imprópria diverge.
E4) Determine se cada integral abaixo converge ou diverge. No caso de convergência, ache seu valor.
1) ∫∞
1 3x
dx 2) ∫
∞
1 xdx 3) ∫
∞
1 x
dx 4) ∫
∞
0 x
2
dxe
x3
5) ∫∞
+0 3
2
dx1x
x
3.4. RESPOSTAS
E1) 1) 9 2) 532
E2) 1) 209 2)
27
− 3) 144 4)340 5)
34 6) 2ln
21
−− 7) 3
16− 8)
532
− 9) 15
10) 34 . 11)
547 12)
67 13)
213
14)32 15) 222 − 16)
21
− 17) 25 18)3
34
E3) 1) 3
32 2) 9 3)
25
4)3
32 5) 9 6)
43
7)31
8)21
E4) 1) Converge, 1/2 2) Diverge 3) Diverge 4) Converge, 1/3 5) Diverge
8
4. CÁLCULO SOMATÓRIO
Consideremos a seguinte soma indicada : 0 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + ... + 100 Podemos observar que cada parcela é um número par e portanto pode ser representada pela forma 2n,
neste caso, com n variando de 0 a 50. Esta soma pode ser representada abreviadamente por: ∑=
50
0n
n.2 que se
lê: “somatório de 2n com n variando de 0 a 50”. A letra ∑ que é o esse maiúsculo grego (sigma) é denominada sinal de somatório e é usada para
indicar uma soma de várias parcelas.
Seja {a1, a2, a3, ..., an} um conjunto de n números reais, o símbolo ∑=
n
1iia representa a sua soma,
isto é, ∑=
n
1iia = a1 + a2 + a3 + ... + an.
Em ∑=
n
1iia :
a) A letra i é denominada índice do somatório e, em seu lugar, pode figurar qualquer outra letra. b) Os valores 1 e n, neste caso, são denominados, respectivamente, limites inferior e superior. E1)Desenvolva os seguintes somatórios:
1) ∑=
−5
1x
2 )xx( 2) ∑∞
=
−2j
j j.)1( 3) ∑=
5
0nna!n
E2)Escreva sob a forma de somatório as seguintes expressões:
1) 1 – 3 + 5 – 7 + ... 2)5
2446
32
21
1 ++++ 3) 11.9
10...
6.45
5.34
4.23
3.12
+++++
E3)Calcule o valor de:
1) ∑=
−5
0n
n !n.)1( 2) ∑∑==
−
5
0i
2
25
0i
ii
4.1. NÚMERO DE PARCELAS DO SOMATÓRIO
na1papan
piia ++++
==∑ L , logo ∑
=
n
piia tem ( n – p + 1 ) parcelas
E4)Destaque a parcela central e a décima parcela de ∑=
−100
0n
n n3.)1( .
9
4.2. PROPRIEDADES DO SOMATÓRIO 1. Somatório de uma constante Sejam a i = k , com i = p,...,n.
k)1pn(kkkaaaak n1pp
n
pii
n
pi
+−=+++=+++== +==∑∑ LL
∑=
+−=n
pi
k).1pn(k
2. Somatório do produto de uma constante por uma variável Sejam ka i , com i = p,...,n.
∑∑=
++=
=+++=+++=n
piin1ppn1pp
n
pii ak)aaa(kkakakaka LL
∑∑==
=n
pii
n
pii akka
3. Somatório de uma soma algébrica Sejam a i ± bi , com i = p,...,n.
)bbb()aaa()ba()ba()ba()ba( n1ppn1ppnn1p1ppp
n
piii +++±+++=±++±+±=± ++++
=∑ LLL
∑∑==
±=n
pii
n
pii ba
∑∑∑===
±=±n
pii
n
pii
n
piii ba)ba(
4. Separação do último termo
n
1n
pii
n
pii aaa += ∑∑
−
==
5. Separação do primeiro termo
∑∑+=
+=
=
n
1piiapa
n
piia
10
6. Avanço dos limites
j)jn(j1)jp(j)jp()jj(n)jj(1p)jj(pn1pp
n
pii aaa)aaaaaaa −+−++−+−+−++−++
=
+++=+++=+++=∑ LLL
∑+
+=−=
jn
jpijia
∑∑+
+=−
=
=jn
jpiji
n
pii aa
E5) Complete a tabela abaixo: i xi yi xi
2 yi2 xi
2yi xiyi 1 1 2 2 1 3 3 2 2 4 3 4 5 4 1 6 0 5 ∑
E6) Com os valores da tabela acima e o uso das propriedades do somatório, calcule:
1) ∑=
+−6
1iii )4y3x2( 2) ∑∑
==
−
5
1i
2i
25
1ii xx 3) )yx()yx( ii
6
2iii +−∑
=
4) 10x5
2i
2i +∑
=
5) ∑=
−6
1i
2ii )yx( 6) ∑
=
+5
1i
2i )3y(
7) ∑=
−−5
2i1ii )xx( 8) ∑
=+
3
0i2iy
11
4.3. PRINCÍPIO DA INDUÇÃO FINITA(PIF) E7) Para n ∈N, p(n) = n 2 + n + 41 sempre dá um número primo ? Uma proposição P(n) é verdadeira para todo natural n 0n≥ se e somente se: i) P(n) é verdadeira para n = n0 ; ii) Se P(k) é verdadeira para um certo k natural então P(k+1) também é verdadeira. Exemplo:
Use o PIF para mostrar que ∑=
+=++++=
n
1i 2)1n(n
n321i L
Solução: Vamos mostrar que∑=
+=
n
1i 2)1n(n
i .
i) Para n = 1, os dois membros da expressão assumem o valor 1, logo P(1) é verdadeira;
ii) Vamos supor P(k) verdadeira , isto é, ∑=
+=
k
1i 2)1k(k
i é verdadeira. Agora devemos mostrar
que P(k+1) também é verdadeira, isto é, que ∑+
=
+++=
1k
1i 2]1)1k)[(1k(
i também é verdadeira.
Da propriedade 4 , pagina 14, ∑∑=
+
=
++=k
1i
1k
1i
)1k(ii (1), da hipótese, ∑=
+=
k
1i 2)1k(k
i (2)
Substituindo a (2) em (1) vem,
2
]1)1k)[(1k(2
)2k)(1k(2
)1k(2)1k(k)1k(
2)1k(k
i1k
1i
+++=
++=
+++=++
+=∑
+
=
Logo, por indução matemática, mostramos que a expressão ∑=
+=
n
1i 2)1n(n
i é verdadeira para n .1≥
E8) Use o PIF para mostrar que:
1) r1
araarararaar
n1n2
n
1i
1i
−−
=++++= −
=
−∑ L , r ≠ 1
2) ∑=
++=++++=
n
1i
22
6)1n2)(1n(n
n941i L
3) ∑=
+=++++=
n
1i
2233
4)1n(n
n2781i L
E9) Encontre uma fórmula(em função de n) para cada um dos somatórios abaixo:
1) ∑=
−n
1i
2)1i( 2) ∑=
+n
1i
)2i(n 3) ∑=
+n
1i
)1i(ni 4) ∑=
n
0i
i2 5) ∑+
=
3n
1i
ni
12
4.4. SOMATÓRIO DUPLO
Seja a matriz A =
mn3m2m1m
n2232221
n1131211
xxxx
xxxx
xxxx
L
MMMML
L
As somas dos elementos de cada uma das linhas de A são:
∑∑∑===
n
1jmj
n
1jj2
n
1jj1 x,,x,x L
A soma de todos os elementos da matriz A é:
∑∑∑∑∑∑= =====
=+++=+++n
1j
m
1iijmjj2
n
1jj1
n
1jmj
n
1jj2
n
1jj1 x)xxx(xxx LL
Observações:
a) ∑∑∑∑= == =
=m
qi
n
pjij
n
pj
m
qiij xx
b) ∑∑= =
n
pj
m
qiijx tem (n – p + 1)(m – q + 1) parcelas.
E10) Desenvolva os seguintes somatórios:
1) ∑∑= =
−3
1x
4
2y
)10xy( 2) ∑∑= =
+5
2x
3
2y
2)yx( 3) ∑∑= =
3
2x
4
1y
yx 4) ∑∑= =
−3
1i
4
2jij )xy(
E11) Calcule o valor de:
1) ∑∑= =
−3
1x
2
1y
)5xy( 2) ∑∑= =
−3
1i
4
2j
)jx( 3) ∑∑= =
5
2x
3
2y
2z 4) ∑∑= =
+4
2x
3
2y
2)1x(
E12) Escrever sob a forma de somatório as expressões:
1) 23 + 24 + 25 + 33 + 34 +35 2) 54
44
53
43
52
42
51
41
+++++++
E13) Encontre uma fórmula(em função de n) para cada um dos somatórios abaixo:
1) ∑∑=
+
=
n2
1i
1i
0j
n 2) ∑∑= =
+n
1i
n
1j
)ji( 3) ∑∑= =
+n
1i
n
1j
)in( 4) ∑∑= =
n
1i
i
3j
i
13
4.5. RESPOSTAS E1) 1) 0 + 2 + 6 + 12 + 20 2) 2 – 3 + 4 – 5 + ... 3) a0 + a1 + 2a2 + 6a3 + 24a4 + 120a5
E2) 1) ∑∞
=
+−0i
i )1i2.()1( 2) ∑= +
4
0i 1i!i
3) ∑= +
+9
1i )2i(i1i
E3) 1) – 100 2)170 E4) a50 =150 e a 10 = -27 E6) 1) –5 2) 90 3) –25 4) 40 5) 40 6) 151 7) 3 8) 10 E7) p(40) = 1681 não é primo, pois é divisível por 41.
E9) 1)6
)1n3n2(n 2 +− 2) 2
)5n(n 2 + 3)
3)2n)(1n(n 2 ++ 4) 2n+1 – 1 5)
2)4n)(3n(n ++
E10) 1) –8 – 7 – 6 – 6 – 4 – 2 – 4 – 1 + 2 2) 16 + 25 + 25 + 36 + 36 + 49 + 49 + 64 3) 2 + 4 + 8 + 16 + 3 + 9 + 27 + 81 4) (y2 – x1) + (y3 – x1) + (y4 – x1) + (y2 – x2) + (y3 – x2) + (y4 – x2)+ (y2 – x3) + (y3 – x3) + (y4 – x3) E11)1) – 12 2) 9x – 27 3) 8z2 4) 100
E12) 1) ∑∑= =
3
2i
5
3j
ji 2) ∑∑= =
4
1i
5
4j ji
E13) 1) )5n2(n 2 + 2) n2 (n + 1) 3)2
)1n3(n 2 + 4)
6)5n2)(1n(n −+
14
5. SEQÜÊNCIAS E SÉRIES 5.1. INTRODUÇÃO As séries infinitas podem ser usadas para obter valores funcionais. Podemos representar certas funções como séries infinitas cujos termos contêm potências de uma variável x. Substituindo x por um número real c e determinando a soma infinita resultante, obtemos o valor de f(c). Isto é, em essência, o que uma calculadora faz quando calcula valores de funções. A representação por séries infinitas, de sen x , ex e outras expressões nos permite abordar problemas que
não podem ser resolvidos por métodos finitos, como por exemplo, a integral .dxe2x
∫−
5.2. SEQÜÊNCIAS INFINITAS Uma seqüência infinita é uma lista de números numa certa ordem. a1, a2, a3,...,an,... onde: a1 : 1
0 termo a2 : 2
0 termo ..................
an: n-ésimo termo ou termo geral Notações: { a1, a2, a3,...,an,... } ou {an} Exemplos:
a) Os termos da seqüência
+ 1nn
são: ,...54
,43
,32
,21
Representação gráfica da seqüência : an 1 0,9 Observa-se que: se n cresce sem limites, an cresce aproximando-se de 1, isto é,
=
=
+∞→∞→ 1n
nlimlimn
nn
a 1 0,5
Neste caso, dizemos que a seqüência converge para 1. 0,1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n
15
b)Os termos da seqüência { }∞=− 2n2n são: 0, 1, 2 , 3 , 2, 5 ,...
Representação gráfica da seqüência : an 3 Observa-se que: se n cresce sem limites, an também cresce sem limites, isto é, 2
=−=∞→∞→
2na limlimn
nn
∞
1 Neste caso, dizemos que a seqüência diverge. n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
5.3. LIMITE DE UMA SEQÜÊNCIA Dizemos que a seqüência {an} converge para um número real L, ou que tem por limite L quando .Lalim n
n=
∞→ Se n
nalim
∞→não existe, dizemos que a seqüência {an} não converge(diverge).
Outros exemplos de seqüências:
a) an =1n1n
+−
é o termo geral da seqüência 0, ,...53
,42
,31
b)A seqüência de Fibonacci é definida por a1 = 1, a 2 = 1 e an+1 = an + an-1 , para n 2≥ Os termos da seqüência de Fibonacci são 1, 1, 2, 3, 5, 8,... Esta seqüência tem importância especial na ciência da computação; o estado de um computador, a cada tique do seu relógio interno, depende do seu estado no tique anterior. c) A seqüência dos números primos: {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,...} 5.4. SÉRIES INFINITAS
Se {an} é uma seqüência infinita, então uma expressão ...a...aaa n211n
n ++++=∑∞
= é chamada série
numérica infinita de termo geral an.
16
Exemplos:
a) ...n...321n1n
+++++=∑∞
=
Soma parciais: S1 = 1, S2 = 3, S3 = 6, S4 = 10, S5 = 15, ..., Sn=2
)1n(n +
Representação gráfica da seqüência {Sn}
=+
=∞→∞→ 2
)1n(nS limlim
nnn ∞ Sn
15 Portanto, a seqüência das somas parciais diverge. 10
Dizemos, neste caso, que a série ∑∞
=1n
n diverge. 5
0 1 2 3 4 5 n
b) ...)1(...111)1( n
1n
n +−++−+−=∑ −∞
=
Soma parciais: S1 = -1, S2 = 0 , S3 = -1, S4 = 0, S5 = -1, Sn=−
parénse,0imparénse,1
, Sn oscila
Representação gráfica da seqüência {Sn} Sn .existenãoSnlim
n ∞→
Portanto, a seqüência das somas parciais diverge. 0 n
Dizemos, neste caso, que a série ∑∞
=
−1n
n)1( diverge.
c) ...2
1...
81
41
21
2
1n
1nn
+++++=∑∞
=
Soma parciais: S1 =21
, S2 = 43
, S3 = 87 , S4 =
1615 , ..., Sn=
n
n
2
12 −
Representação gráfica da seqüência {Sn} Sn
=∞→
nn
Slim 12
11lim
2
12lim
nnn
n
n=
−=−
∞→∞→ 1
Portanto, a seqüência das somas parciais converge para 1. 0,5
Dizemos, neste caso, que a série ∑∞
=1nn2
1 converge para 1.
0 1 2 3 4 5 6 n
17
5.5. SOMA DE UMA SÉRIE
Dizemos que o número real S é a soma da série ∑∞
=1nna , ou que a série ∑
∞
=1nna converge para S, se e
somente se SSlim nn
=∞→
(o limite da seqüência das somas parciais S1, S2, S3,...,Sn é S). Neste caso,
escrevemos S = ∑∞
=1nna . Quando n
nSlim
∞→ não existe, dizemos que a série ∑
∞
=1nna diverge. A divergência
pode ocorrer porque Sn torna-se infinita ou Sn oscila quando n ∞→ . Outros exemplos de séries:
d) 2,4,6,8,10,12,14,16 é uma seqüência finita e 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 = ∑=
8
1n
n2 é uma série
finita de termo geral an = 2n.
e) 1, 2, 6, 24, 120,... é uma seqüência infinita e 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + ... = ∑∞
=1n
!n é uma série infinita de
de termo geral an = n!.
f) A série harmônica ∑∞
=
=+++++1n n
1...
n1
...31
21
1 cujo termo geral an = n1
5.6. SÉRIES GEOMÉTRICAS
Uma série geométrica é uma série da forma a + ar + ar2 +ar3 + ...+arn-1 + ... = ∑∞
=
−
1n
1nar com a ≠ 0.
Da página 16, exercício E8, 1, a n-ésima soma parcial da série geométrica é
Sn= a + ar + ar2 + ar3 + ... + arn-1 =
r1)r1(a n
−−
, r ≠ 1
Se | r | < 1 , 0rlim n
n=
∞→, e assim
r1a
r1)r1(a
limn
n −=
−−
∞→.
Se | r | > 1, n
nrlim
∞→não existe, e assim
r1)r1(a
limn
n −−
∞→ não existe.
Se r = 1, então Sn= na e portanto, n
nSlim
∞→ não existe.
Se r = -1, então Sn oscila e portanto, n
nSlim
∞→não existe.
A a s érie geométrica converge se | r | < 1 e sua soma é S = r1
a−
.
A a série geométrica diverge se | r | ≥ 1
18
E1) Determine se a série é convergente ou divergente, se convergente encontre a soma.
1) ...81
41
21
1 ++++ 2) ...827
49
23
1 ++++ 3) ∑ −∞
=
+
1n
1n)1(
E2) Determine a série infinita que tem a seguinte seqüência de somas parciais:
1){Sn} =
+1nn4
2){Sn} =
+1n3n2
3){Sn} =
+ 1nn 2
4){Sn} = { }n2
E3) Expresse a dizima periódica 0,222... como uma fração comum. 5.7. PROPRIEDADES DAS SÉRIES
a) Se ∑∞
=1nna converge e c é um número real, então ∑
∞
=1nnca também converge e ∑
∞
=1nnca = c ∑
∞
=1nna .
Exemplo: ∑∞
=1nn2
5é convergente. Justifique.
b) Se ∑∞
=1nna e ∑
∞
=1nnb convergem , então ∑ ±
∞
=1nnn )ba( também converge e ∑ ±
∞
=1nnn )ba( = ∑
∞
=1nna ± ∑
∞
=1nnb .
Exemplo: )31
21
(1n nn∑ −
∞
=é convergente. Justifique.
c) Se ∑∞
=1nna converge e ∑
∞
=1nnb diverge, então ∑ ±
∞
=1nnn )ba( diverge.
Exemplo: )23
1(
1n
nn∑ +
∞
=é divergente. Justifique.
Observação: Se ∑∞
=1nna diverge e ∑
∞
=1nnb diverge, então ∑ ±
∞
=1nnn )ba( pode convergir ou divergir.
d) Se ∑∞
=1nna converge, então 0alim n
n=
∞→.
Justificativa: Se ∑∞
=1nna converge, n
nSlim
∞→= S e 1n
nSlim −
∞→= S. Como Sn= a1 + a2 + ... an-1 + an , an = Sn – Sn-1.
Logo, nn
alim∞→
= nn
Slim∞→
- 1nn
Slim −∞→
= S – S = 0
E4) Verifique se a série converge, em caso afirmativo, determine a sua soma:
1) ∑∞
=1n n21 2) ∑
∞
=1n
1 3) ∑+
∞
=1n )1n(n1
(série telescópica)
Para muitas séries é difícil ou praticamente impossível encontrar uma fórmula simples para Sn . Em tais casos, são usados alguns testes que não nos fornecem a soma S da série; dizem-nos apenas se a soma existe. Isto é suficiente na maioria das aplicações porque, sabendo que a soma existe, podemos aproximar o seu valor com um grau arbitrário de precisão, bastando somar um número suficiente de termos da série.
19
5.8. TESTE DA DIVERGÊNCIA
Se 0alim nn
≠∞→
, então a série infinita ∑∞
=1nna diverge.
Observação: O 0alim n
n=
∞→ não garante a convergência da série.
E5) Prove que as séries seguintes são divergentes:
1) ∑+∞
=1n 2
2
n
1n 2) ∑ −
∞
=
+
1n
1n)1.(2 3) ...1n2
n...
73
52
31
++
++++
5.9. TESTE DA INTEGRAL
Sejam ∑∞
=1nna uma série de termos positivos e f uma função continua, tal que f(n) = an , para todo n.
Então ∑∞
=1nna converge ⇔ ∫
∞
1dx)x(f converge.
E6) Determine se a série dada é convergente ou divergente.
1) ∑∞
=1n n1 2) ∑
∞
=1n2n
1 3) ∑
∞
=1n n
1 4) ∑
∞
=
−
1n
ne 5) ∑∞
=1n nlnn
1 6) ∑
∞
=
−
1n
nne
5.10. SÉRIE-P
Uma série do tipo ∑∞
=1npn
1 é denominada série- p e, converge se p >1 e diverge se p ≤ 1.
Justificativa: Para p = 1, a série -p torna-se ∑∞
=1n n1
, e é chamada série harmônica. Diverge(exercícioE6, 1)
Se p ≠ 1, )1b(limp1
11p
xlimdxxlim
x
dx p1
b
b
1
1p
b1
b
1
p
bp−
−=
+−== −
∞→
+−
∞→
∞−
∞→∫ ∫
Para p > 1, p1
1)1
b
1(lim
p11
)1b(limp1
11pb
p1
b −=−
−=−
− −∞→
−
∞→. Logo a série p converge.
Para 0 < p < 1, ∞=−−
−
∞→)1b(lim
p11 p1
b. Logo a série p diverge.
Para p< 0, ∞=== −
∞→∞→∞→
p
npnnnnlim
n
1limalim . Logo, a série p diverge.
Para p = 0, a série-p torna-se ∑∞
=1n
1 que é uma série divergente.
Portanto, a série-p é convergente somente quando p > 1.
20
5.11. TESTE DA COMPARAÇÃO DO LIMITE
Sejam ∑∞
=1nna e ∑
∞
=1nnb séries de termos positivos . Se ,c
ba
limn
n
n=
∞→onde c é um número positivo,
então ambas as séries convergem ou ambas as séries divergem.
E7) Determine se a série dada é convergente ou divergente.
1) ∑∞
= +1nn31
1 2) ∑∞
= +1n2 2n
1 3) ∑∞
= −1n 1n2
2 4) ∑
∞
= ++1n24 2nn
1
5) ∑∞
= +1n2 1n
n 6) ∑∞
=
+
1n3n
1n
5.12. SÉRIES ALTERNADAS
Uma série alternada é uma série da forma ∑ −∑ −∞
=
∞
=
+
1nn
n
1nn
1n a)1(oua)1( com a n > 0.
5.13. TESTE DE LEIBNIZ
Seja uma série alternada. Se an ≥ an+1 e 0alim n
n=
∞→, então a série converge.
E8) Determine se as séries alternadas convergem ou divergem.
1) ∑ −∞
=
+
1n
1n)1( 2) ∑−∞
=1n
n
n)1(
3) 3n4
n2)1(
1n
1n
−∑ −∞
=
−
4) )1n(n
2n)1(
1n
n
++
∑ −∞
= 5)
3n4
n2)1(
21n
1n
−∑ −∞
=
−
O conceito a seguir permite que utilizemos testes para séries de termos positivos para determinar a convergência de outros tipos de séries.
21
5.14. CONVERGÊNCIA ABSOLUTA E CONVERGÊNCIA CONDICIONAL
a)Se ∑∞
=1nn |a| =|a1| + |a2| + |a3| +...+|an| +... converge, dizemos que uma série ∑
∞
=1nna é absolutamente
convergente.
b)Se ∑∞
=1nna converge e |a|
1nn∑
∞
=
diverge, dizemos que ∑∞
=1nna converge condicionalmente
E9) Determine se a série dada é absolutamente convergente.
1) ∑−∞
=
+
1n 2
1n
n
)1( 2) ∑
−∞
=
+
1n
1n
n
)1( 3) ∑
−∞
= −
+
1n 1n
1n
2
)1( 4) ∑
∞
=1n
n3
5) ∑∞
=
+−
1n
1n
n)1(
6) ∑∞
=
+−
1n2
n
n
)1n()1(
Observações:
a)Se ∑∞
=1nna é uma série de termos positivos, então |an | = an , portanto a convergência absoluta coincide
com a convergência.
b) Se uma série infinita ∑∞
=1nna é absolutamente convergente, então ∑
∞
=1nna é convergente.
5.15. TESTE DA RAZÃO
Seja ∑∞
=1nna uma série infinita com an ≠ 0, para todo n.
a) Se n
1n
n aa
lim+
∞→ < 1, então ∑
∞
=1nna converge absolutamente.
b) Se n
1n
n aa
lim +
∞→ > 1 ou
n
1n
n aa
lim +
∞→= ∞ , então ∑
∞
=1nna diverge.
c) Se n
1n
n aa
lim+
∞→= 1, então nenhuma conclusão quanto à convergência pode ser tirada do teste.
E10) Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
1) ∑∞
=1n !n1 2) ∑
∞
=1n 2n1 3) ∑
∞
=
+−1n
21n
n
!n)1( 4) ∑
∞
=1n n2!n
5) ∑∞
=
+−
1n
1n
n)1(
6) ∑ −∞
=1n
nn
!n3
)1( 7) ∑∞
=1n2
n
n
3 8) ∑
∞
=
+
−−
1n
1n
1n2n
)1(
Observação: O teste da razão é mais adequado quando an contém potências e produtos e não funciona em série -p.
22
5.16. SÉRIES DE POTÊNCIAS
Série de potências de x é uma série infinita da forma ∑∞
=0n
nn xb = b0 + b1 x + b2 x2 + b3x3 + ... + bnxn + ...
Uma série infinita da forma ∑∞
=
−0n
nn )cx(b = b0 + b1(x-c) + b2(x-c)2 + b3(x-c)3 + ... + bn(x-c)n + ... é uma
série de potências centrada em c.
Quando em uma série de potências a variável for substituída por um número, a série resultante é numérica e pode convergir ou não. 5.17. INTERVALO DE CONVERGÊNCIA
Para cada série de potências ∑∞
=
−0n
nn )cx(b , exatamente uma das seguintes afirmações é verdadeira.
a) A série converge somente quando x = c. c b) A série converge absolutamente para todo x real. ℜ c) Existe um número real positivo R, tal que a série é absolutamente convergente se | x – c | < R e é divergente se | x – c | > R. Neste caso, R é chamado raio de convergência da série e (c – R , c+ R) é o intervalo de convergência da série. c-R c c+R ? ? Procedimento para encontrar o intervalo de convergência de uma série de potências. 1. Aplicar o teste da razão. 2. Resolver a inequação resultante.
3. Analisar os extremos individualmente.
E11) Determine os intervalos de convergência das séries:
1) ∑∞
=1n
n
nx
2) ∑+∞
=0nn3
2n(x-2)n 3) ∑
∞
=0n
n
!nx
4) ∑−∞
=1n
nn
!n)x10(10
5) ∑∞
=0n
nnx 6) ∑ +∞
=0n
n)1x(!n 7) ∑∞
=0n
nx 8) ∑∞
=1n
n
n
x
23
5.18. FUNÇÕES DEFINIDAS POR SÉRIES DE POTÊNCIAS
Uma série de potências de x pode ser encarada como uma função de variável x, f(x) = ∑∞
=
−0n
nn )cx(b ,
onde o domínio de f é o conjunto dos valores de x que tornam a série convergente. Cálculos numéricos utilizando série de potências são a base para a construção de calculadoras. Cálculos algébricos, diferenciação e integração podem ser realizados com o uso de séries. O mesmo acontece com as funções trigonométricas, trigonométricas inversas, logarítmicas e hiperbólicas. E12) Ache uma função f representada pela série de potências 1 + x + x2 + x3 + ... + xn + ...
E13) Considere o exercício E12 e calcule o valor aproximado de f(1/10)
a) usando os dois primeiros termos da série. b) usando os três primeiros termos da série.
c) usando os quatro primeiros termos da série.
d) usando os cinco primeiros termos da série.
E14) Ca lcule o valor de f(1/10) usando a lei.
E15) Comparando os valores encontrados em E13 e E14, o que se pode concluir ?
E16) Considere o exercício E12 e calcule o valor aproximado de f(2)
a) usando os dois primeiros termos da série. b) usando os três primeiros termos da série.
c) usando os quatro primeiros termos da série.
E17) Calcule o valor de f(2) usando a lei.
E18) Comparando os valores encontrados em E16 e E17, o que se pode concluir ? E19) Considere o exercício E12 e obtenha uma representação em série de potências para
1)g1(x) =x1
1+
2) g2(x) =x1
1−
− 3) g3(x) =2x1
1
−
24
5.19. DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO DE SÉRIES DE POTÊNCIAS
Se f(x) = ∑∞
=
−0n
nn )cx(b está definida no intervalo (c – R , c + R) para algum R > 0, então:
a)f é derivável e f ’(x) = ∑∞
=
−−1n
1nn )cx(nb = ∑
∞
=+ −+
0n
n1n )cx(b)1n( , para todo x ∈(c – R , c + R).
b)f é integrável e ∫x
0dt)t(f = ∑
∞
=
+
+−
0n
1nn
1n)cx(b
, para todo x ∈(c – R , c + R).
E20) Seja f(x) = x1
1−
= ∑∞
=0n
nx , determine:
1) f ’(x) e a série que representa f ’(x) 2) ∫ dx)x(f e a série que representa ∫ dx)x(f
3) ∫2/1
0 dx)x(f e a série que representa ∫2/1
0 dx)x(f
5.20. SÉRIES DE TAYLOR
Se f é uma função que admite uma representação em séries de potências f(x) = ∑∞
=
−0n
nn )cx(b , quem
são os bn ?
f(x) = b0 + b1(x-c) + b2(x-c)2 + b3(x-c)3 + b4(x-c)4 + ... + bn(x-c)n + ... ⇒ f(c) = b0
f ’(x) = b1 + 2b2(x-c) + 3b3(x-c )2 + 4b4(x-c )3 + ... + nbn(x-c)n-1 + ... ⇒ f ’(c) = b1 = 1!b1 e b1 =!1
)c('f
f ’’(x) = 2b2 + 3.2b 3(x-c) + 4.3b4(x-c )2 + ... + n(n-1)bn(x-c)n-2 + ... ⇒ f ’’(c) = 2b2 = 2!b2 e b2 =!2
)c(''f
f ’’’(x) = 3.2b3 + 4.3.2b4(x-c) + ... + n(n-1)(n-2)bn(x-c)n-3 + ... ⇒ f ’’’(c) = 3.2b3= 3!b3 e b 3 =!3
)c('''f
f (IV)(x) = 4.3.2b4 + ... + n(n-1)(n-2)(n-3)bn(x-c)n-4 + ... ⇒ f (IV)(c) = 4.3.2b4 = 4!b4 e b4 =!4
)c(f )IV(
M M M
Logo b0 = f(c) e bn = !n
)c(f )n(
para n ≥1 e portanto f(x) = f(c) + ∑ −∞
=1n
n)n(
)cx(!n
)c(f que é denominada
série de Taylor para f de centro em c, para todo x pertencente ao intervalo de convergência.
25
Se c = 0, a série de Taylor assume a forma
f(x) = f(0) + f ’(0)x + 2x2!(0)''f
+ 3x3!
(0)'''f+ ... + n
)n(
x!n
)0(f+ ...
que é denominada série de Maclaurin para f. E21) Encontre a série de Taylor de centro em c = 1 para:
1) f(x) = ln x 2) f(x) = ex 3) f(x) =x1
E22) No exercício anterior, para que valores de x a série encontrada representa a função f ?
E23) Encontre a série de Taylor de centro em c = 0 para:
1) f(x) = ln(1+ x) 2) f(x) = e x 3) f(x) = 2xe 4) f(x) = e-2x
5) f(x) = sen x 6) f(x) = sen 2x 7) f(x) = cos x 8) f(x) = 1x
1−
26
5.21. RESPOSTAS
E1) 1) Conv. S = 2 2) Div. 3) Div.
E2) 1) L++++51
31
32
2 2) L++++651
351
141
21 3) L++++
2019
1211
65
21 4) 2 + 2 + 4 + 8 + 16 + ..
E3) 92 E4) 1) Conv. S = 1 2) Div. 3) Conv. S = 1
E6) 1) Div. 2) Conv. 3)Div. 4) Conv. 5) Div. 6) Conv. E7) 1) Conv. 2) Conv. 3)Div. 4) Conv. 5) Conv. 6) Conv. E8) 1) Div. 2) Conv. 3)Div. 4) Conv. 5) Conv. E9) 1) Conv. Abs. 2) Conv. Cond. 3) Conv. Abs. 4) Div. 5) Conv. Cond. 6) Conv. Cond. E10) 1) Conv. 2) Conv. 3) Div. 4) Div. 5) Conv. Cond. 6) Conv. Abs. 7) Div. 8) Div. E11) 1) [-1,1) 2) (-1,5) 3) ℜ 4) ℜ 5) (-1,1) 6) {-1}
7) (-1,1) 8) [-1,1) E12) f(x) =x1
1−
, (-1,1) E13) a) 1,1 b) 1,11 c) 1,111 d) 1,1111
E14) 1,111... E16) a) 3 b) 7 c) 15 E17) –1 E19) 1) n
0n
n x)1(∑∞
=
− , | x | < 1
2) n
0n
x∑∞
=
− , | x | < 1 3) n2
0n
x∑∞
=
, | x | < 1 E20) 1) f ’(x) =2)x1(
1
− , 1n
1n
xn −∞
=∑
2) – ln (1 – x ) , ∑∞
=1n
n
nx
3) -ln21
, L++++641
241
81
21 E21) 1) ∑
∞
=
− −−
1n
n1n
n)1x()1(
2) ∑∞
=
−
0n
n
!n)1x.(e
3) n
0n
n )1x()1( −−∑∞
=
E22) 1) (0,2] 2) ℜ 3) (0,2)
E23) 1) ∑∞
=
+−
1n
n1n
nx)1(
2) ∑∞
=0n
n
!nx
3) ∑∞
=0n
n2
!nx
4) ∑∞
=
−
0n
nn
!nx.)2(
5) ∑∞
=
−+
−−
1n
1n21n
)!1n2(x)1(
6) ∑∞
=
−+
−−
1n
1n21n
)!1n2()x2()1(
7) ∑∞
=
−
0n
n2n
)!n2(x.)1(
8) n
0n
x∑∞
=
−
27
6. OS CONJUNTOS 2
ℜ E 3
ℜ
6.1. O CONJUNTO 2
ℜ
2ℜ = ℜℜx = { }ℜ∈y,x/)y,x( y y1 P(x1,y1) P(x,y) ∈Ox ⇔ y = 0 P(x,y) ∈Oy ⇔ x = 0 0 x1 x E1) Represente graficamente os conjuntos:
1) {(x,y) 2ℜ∈ / y = 2x} 2) {(x,y) 2ℜ∈ / y 2x≥ } 3) {(x,y) 2ℜ∈ / x < 2} 4) {(x,y) 2ℜ∈ / y < 3 - x} 5) {(x,y) 2ℜ∈ / 2y1 <≤ } 6) {(x,y) 2ℜ∈ / x2 + y2 ≥ 1}
7) {(x,y) 2ℜ∈ / y < e x }
6.2. O CONJUNTO 3
ℜ
3ℜ = ℜℜℜ xx = { }ℜ∈z,y,x/)z,y,x( z yOz P(x,y,z) ∈Ox ⇔ y = z = 0 z1 P(x,y,z) ∈Oy ⇔ x = z = 0 P (x1,y1,z1) P(x,y,z) ∈Oz ⇔ x = y = 0 xOz O y1 y P(x,y,z) ∈xOy ⇔ z = 0 x1 P(x,y,z) ∈xOz ⇔ y = 0 xOy P(x,y,z) ∈yOz ⇔ x = 0 x E2) Represente graficamente os pontos:
1) (0,2,0) 2) (-2,0,0) 3) (0,0,3) 4) (2,3,0) 5)(-1,0,2) 6) (0,-4,2) 7) (2,3,4) 8) (3,-2,-1) 9) (-1,-3,2) 10) (3,3,3) 11) (2,4,-3) 12) (-1,-2,-3)
E3) Represente graficamente os planos(equação de um plano do 3ℜ : ax + by + cz + d = 0):
1) z = 0 2) z = 4 3) y = 0 4) y = -2 5) x = 0 6) x = 3 7) 2x –3y + 4z – 12 =0 8) x – y + 2z – 4 = 0 9) 3x + 2y – 6 = 0 10) x + z – 2 = 0 11 ) 4y + 2z – 8 = 0
28
7. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
7.1. INTRODUÇÃO Quando dizemos que a medida do volume de um paralelepípedo retângulo depende das medidas das suas dimensões, queremos dizer que: conhecidas as medidas das arestas a, b e c, podemos determinar o seu volume V, através da expressão V = abc . A equação V = abc define V como função de a, b e c, pois dados os valores das variáveis independentes a, b e c , existe em correspondência um único valor para a variável dependente V. Uma relação deste tipo é denominada de função de três variáveis. Uma função de n variáveis é uma relação que a cada n-upla ordenada de números reais (x1 ,x2,...,xn ) faz corresponder um único número real. E1) Seja a função dada f(x,y) = x2 + y2 (duas variáveis). Encontre: a) f(1,2) b) f(0,0) c) f(-3,-4) d) Dom f e) Im f O gráfico de f é uma superfície do 3ℜ (parabolóide abaixo). z Observação: As funções de três ou mais variáveis não podem ser representadas graficamente. 0 y x
E2) Seja a função dada por f(x,y,z) = 222 zyx ++ . Determine: 1) f(0,0,0) 2) f(-1,-1,1) 3) f(1,2,3) 4) Dom f 5) Im f
E3) Seja a função dada por f(x,y) =xy
x3−
. Determine:
1) f(1,0) 2) f(3,-7) 3) f(1,-1) 4) Dom f 5) a representação gráfica do Dom f
E4) Seja f(x,y) =yx
12 −
. Determine:
1) f(1,0) 2) f(3,-7) 3) f(1,-1) 4) Dom f 5) a representação gráfica do Dom f
29
E5) Represente graficamente os domínios das seguintes funções :
1) f(x,y)= 1yx −+ 2) 1yx2
1)y,x(f
+−= 3) f(x,y)= ln (x2- y + 1) 4) f(x,y) =
1xxln
−
7.2. CURVAS DE NÍVEL Ck = { }k)y,x(f/)y,x( 2 =ℜ∈ Seja a função dada por z= x2 + y2 . As curvas de nível para z = 0 , z =1 , z = 2 e z = 4 são : z=0 ⇒ x2 + y2 = 0 (x = y = 0 ) z=1 ⇒ x2 + y2 = 1 (circunferência de centro C(0,0) e raio 1 ) z=2 ⇒ x2 + y2 = 2 (circunferência de centro C(0,0) e raio 2 ) z=4 ⇒ x2 + y2 = 4 (circunferência de centro C(0,0) e raio 2 ) Mapa de curvas de nível y
2 z =4
2 z = 2 1 Observação: As curvas de nível nunca z = 1 se interceptam. z=0
-2 - 2 -1 00 1 2 2 x -1 - 2 -2 Gráfico da Função (parabolóide) z y x
30
E6) Esboce as curvas de nível das funções: 1) z = y - x2 para z = 0, z =1 e z =2 2) z = y – x para z = 0, z =2 e z =4 3) z = y – ln x para z = 0, z =1 e z =2
E7) Seja a função dada por z = 22 yx4 −−
1) Faça as curvas de nível para z = 0, z = 1 e z = 2 2) Represente graficamente a função 7.3. RESPOSTAS E1) 1) 5 2) 0 3) 25 4) 2ℜ 5) ),0[ +∞
E2) 1) 0 2) 3 3) 14 4) 3ℜ 5) ),0[ +∞
E3) 1) – 3 2) –109 3)
23
− 4) }xy/)y,x{( 2 ≠ℜ∈
E4) 1) 1 2) 41
3) 22
4) }xy/)y,x{( 22 <ℜ∈
E5) 1) }1xy/)y,x{( 2 +−≥ℜ∈ 2) }1x2y/)y,x{( 2 +≠ℜ∈ 3) }1xy/)y,x{( 22 +<ℜ∈ 4) }1xe0x/)y,x{( 2 ≠>ℜ∈
31
8. DERIVADAS PARCIAIS
Se y = f(x) é uma função de uma variável real, sua derivada f ’(x) =x
)x(f)xx(flim
0x ∆−∆+
→∆ pode ser
interpretada como a taxa de variação de y em relação a x ou como a função declividade da reta tangente ao gráfico de f. Se z = f(x,y) é uma função de duas variáveis, podemos falar em duas derivadas, por isso, denominadas derivadas parciais. Uma derivada parcial é obtida quando x varia e y permanece constante e, a outra, quando y varia e x permanece constante.
As derivadas parciais de f em relação a x e a y são denotadas por fx ou xf
∂∂ e fy ou
yf
∂∂
e são definidas
por fx(x,y) =x
)y,x(f)y,xx(flim
0x ∆−∆+
→∆ e fy(x,y) =
y)y,x(f)yy,x(f
lim0y ∆
−∆+→∆
Nota: ∂ é uma variante da letra grega δ (delta minúsculo).
E1) Determine as derivadas parciais xz
∂∂ e
yz
∂∂
das funções:
1) z = 4x2y – 5x3y2 + 2x – y 2) z = yx 3) z = ln(xy 2) 4) z = 1yx 22 −+
5) z = y2x3
xy2−
6) z = y4x
y3x22 +
− 7) z = (2x – y)exy 8) z = 2x2ysen 2y
9) z = 2xcos (1-xy) 10) z = y21
x1
− + ln exy
8.1. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DAS DERIVADAS PARCIAIS Considere a superfície abaixo, gráfico de uma função z = f(x,y). Para y = k (constante) a função f se reduz a uma função de uma variável x, z = f(x,k). z t z = f(x,y) P y1= k 0 y x1 x z= f(x,k) Portanto, a derivada parcial de f em relação a x no ponto (x1,y1) representa a declividade da superfície no
ponto (x1,y1) na direção paralela ao eixo x, isto éxf
∂∂ (x1,y1) = at
32
Analogamente , a derivada parcial de f em relação a y no ponto (x1,y1) representa a declividade da
superfície no ponto (x1,y1) na direção paralela ao eixo y, isto éyf
∂∂
(x1,y1) = at
E2) Encontrar a declividade da reta tangente à curva resultante da intersecção de: 1) z = x2 + y2 com o plano x = 1, no ponto ( 1,2,5) 2) z = x2 + y2 com o plano y = 2, no ponto (2,2,8)
3) z = 22 y4x934 −− com o plano y = 2, no ponto (1,2,3)
E3) Dada a função f(x,y) = ,yx
1y
22
2
++ determine :
1) o domínio de f 2) fx(3,4) 3) fy(3,4) 4) a declividade da reta tangente à curva intersecção do gráfico de f com o plano x = 3 no ponto (3,4). 8.2. DERIVADAS PARCIAIS DE SEGUNDA ORDEM
Derivadas puras: xx2
2
fx
fxf
x=
∂∂=
∂∂
∂∂
; yy2
2
fy
fyf
y=
∂
∂=
∂∂
∂∂
Derivadas mistas ou cruzadas: yx
2
fyxf
yf
x=
∂∂∂
=
∂∂
∂∂
; xy
2
fxyf
xf
y=
∂∂∂=
∂∂
∂∂
E4) Determinar as derivadas parciais de segunda ordem das funções dadas por:
1) z = x2y – xy2 + 2x – y 2) z = xy 3) z = ln(xy) 4) z = 2xye− 5) z =
xy2
6) z = x3y2 7) z = xe -y 8) z = xsen 2y 9) z = cos (x2-y) 10) z = xln exy Observação: As derivadas parciais de segunda ordem mistas, são iguais para funções continuas com derivadas parciais continuas. 8.3. HESSIANO
Chama-se Hessiano da função z = f(x,y) a função H(x,y) = )y,x(f)y,x(f
)y,x(f)y,x(f
yyyx
xyxx
33
E5) Calcule o Hessiano da função dada por: 1)f (x,y) = x3 – y3 + 2xy – 1 no ponto (2,-1) 2) f(x,y) = x2y3 + 2xy – 4x + 3y – 5 no ponto (-1,-1) 8.4. RESPOSTAS
E1) 1) 8xy – 15x2y2 + 2 ; 4x2 – 10x3y – 1 2) y ; y2
x 3)
x1
; y2
4)1yx
x22 −+
; 1yx
y22 −+
5)2
2
)y2x3(y4
−−
; 2
2
)y2x3(x6
−
6) 22
2
)y4x(y8xy6x2
+++−
; 22
2
)y4x(
x8x3
+
−− 7)exy(2xy – y2 + 2) ; exy(2x2 – xy – 1)
8) 4xysen 2y ; 2x2(sen 2y + 2ycos 2y) 9) 2cos(1-xy) + 2xysen(1-xy) ; 2x2sen(1-xy)
10) yx1
2+− ; x
y21
2+
E2) 1) 4 2) 4 3) -3
E3) 1) )}0,0{(2 −ℜ 2)125
3− 3)
125996 E4)
125996
E4) 1) 2y ; -2x ; 2x – 2y 2) 0 ; 0 ; 1 3)2x
1− ;
2y1
− ; 0
4)2xy4ey − ; )1xy2(xe2 2xy2
−− ; )yxy(e2 3xy2−− 5)
3xy4 ; 0 ;
2x2
− 6) 6xy2 ; 2x3 ; 6x2y
7) 0 ; xe -y ; -e-y 8) 0 ; -4xsen 2y ; 2cos 2y 9) –2sen(x2-y) – 4x2cos(x2 – y) ; -cos(x2 – y) ; 2xcos(x2 – y) 10) 2y ; 0 ; 2x E5) 1) 68 2) -4
34
9. MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS
Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis. Dizemos que um ponto (xo,yo) do domínio de f é ponto de máximo relativo ou local de f, se existir uma bola aberta de centro em (xo,yo) e raio r tal que, para todo ponto P(x,y) do domínio situado no interior dessa bola, tenhamos f(x,y) ≤ f(xo,yo). O número f(xo ,yo) recebe o nome de máximo relativo ou local de f. Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis. Dizemos que um ponto (xo,yo) do domínio de f é ponto de mínimo relativo ou local de f, se existir uma bola aberta de centro em (xo,yo) e raio r tal que, para todo ponto P(x,y) do domínio situado no interior dessa bola, tenhamos f(x,y) ≥ f(xo,yo). O número f(xo,yo) recebe o nome de mínimo relativo ou local de f. z (a,b) é ponto de máximo relativo de f (c,d) é ponto de mínimo relativo de f d b y a c x Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis. Dizemos que um ponto (xo,yo) do domínio de f é ponto de máximo absoluto ou global de f, se para todo ponto P(x,y) do domínio, tivermos f(x,y) ≤ f(xo,yo). O número f(xo ,yo) recebe o nome de máximo absoluto ou global de f. Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis. Dizemos que um ponto (xo,yo) do domínio de f é ponto de mínimo absoluto ou global de f, se para todo ponto P(x,y) do domínio, tivermos f(x,y) ≥ f(xo,yo). O número f(xo ,yo) recebe o nome de mínimo absoluto ou global de f.
35
9.1. PONTO CRÍTICO DE UMA FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS Seja z = f(x,y) uma função definida num conjunto aberto D 2ℜ⊂ . Um ponto (xo,yo)∈D é um ponto de f se as derivadas parciais fx(xo ,yo) e fy(xo,yo) são nulas(extremos suaves) ou não existem(extremos bruscos). Geometricamente, são pontos do gráfico da função onde o plano tangente é horizontal ou não existe. E1) Encontre os pontos críticos das funções:
1) f(x,y) = x2 + y2 2) f(x,y) = x3 + y3 – 3x2 –3y 3)f(x,y) = 4x – 2y + 4 4)f(x,y) = 22 yx +
9.2. CRITÉRIO PARA CARACTERIZAÇÃO DE PONTOS EXTREMANTES TESTE DO HESSIANO Seja z = f(x,y) uma função continua, com derivadas parciais até segunda ordem continuas e (xo,yo) um ponto crítico de f. a)Se H(xo,yo) > 0 e fxx(xo,yo) > 0 então (xo,yo) é ponto de mínimo relativo de f. b) Se H(xo ,yo) > 0 e fxx(xo,yo) < 0 então (xo,yo) é ponto de máximo relativo de f. c) Se H(xo ,yo) < 0 então (xo,yo) não e ponto extremante, é ponto de sela. d) Se H(xo ,yo) = 0, nada se pode afirmar. E2) Determine e caracterize os pontos extremantes das funções: 1)f(x,y) = 3x4 + 8x3 - 18x2 + 6y2 + 12y – 4 2) f(x,y) = x2 + y2 – 2x + 1
3) f(x,y) = x3 + 3xy + y2 – 2 4) f(x,y) = 8x3 - 3x2 + y2 + 2xy + 2
5) f(x,y) = 3x2 + y2 – xy + 5 6) f(x,y) = x3 + y2 – 6xy + 6
7) f(x,y) = x3 + 2y2 – 3x – 4y – 8
36
9.3. MÁXIMOS E MÍNIMOS CONDICIONADOS Seja z = f(x,y) a função da qual se quer determinar o máximo ou mínimo sujeito à condição R(x,y) = 0. z z máx de f sem restrição máx de f com restrição restrição R 0 y 0 y x x 1. MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO.
Consiste em substituir x (ou y) obtido a partir da restrição R(x,y) = 0, na função f. Obtém-se dessa forma uma função de uma só variável, e o problema se reduz à determinação de máximos e mínimos da função de uma variável. E3) Seja L(x,y) = -2x2 - y2 + 32x + 20y a função lucro de uma indústria que produz e comercializa dois produtos em quantidades x e y. Calcular o lucro máximo, sabendo que a produção da indústria é limitada em 24 unidades. 2. MÉTODO DOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE.
Consiste em construir a função de Lagrange L(x,y, λ ) = f(x,y) - λ R(x,y) e resolver o sistema
=
=∂∂
=∂∂
0)y,x(R
0yL
0xL
Os possíveis pontos extremantes de f sujeita a restrição R(x,y) = 0 são os pontos (x0 ,y0) tais que (x0 ,y0, λ ) são soluções do referido sistema.
E4) Deseja-se cercar um terreno retangular de área 60 m2, de modo que o custo para cercar as laterais seja R$ 300,00 por metro linear e o custo para cercar a frente e o fundo seja de R$ 500,00 por metro linear. Determine as dimensões do terreno de tal modo que o custo para cercá-lo seja o menor possível. Nesse
caso, qual o custo mínimo para cercá-lo ?
37
E5) Ache o ponto de máximo ou de mínimo das funções a seguir:
1)f(x,y) = x2 + y2 , sujeito a x + y – 4 = 0 2)f(x,y) = 2x + y – 10 , sujeito a xy = 200
3)f(x,y) = 9 - x2 - y2 , sujeito a x + y – 2 = 0 4) f(x,y) = 2/12/1 yx , sujeito a 2x + 10y = 60
E6) Suponha que a função Produção para uma empresa é z = 2/12/1 yx10 e que a função Custo associada é
C = 2x + 2y + 10. Suponha, ainda, que o fabricante limita seu custo em 46 e decida em que ponto se tem a produção máxima com o custo fixado em 46.
9.4. RESPOSTAS
E1) 1) (0,0) 2) (0,-1),(0,1),(2,-1) e (2,1) 3) Não tem 4) (0,0) E2) 1) (0,-1) é ponto de sela , (1,-1) e (-3,-1) são pontos de mínimo 2) (1,0) é ponto de mínimo
3) (0,0) é ponto de sela; )49
,23
( − é ponto de mínimo
4) (0,0) é ponto de sela; )31
,31
( − é ponto de mínimo 5) (0,0) é ponto de mínimo
6) (0,0) é ponto de sela ; (6,18) é ponto de mínimo 7) (-1,1) é ponto de sela ; (1,1) é ponto de mínimo E3) 204 E4) 10 m, 6 m e R$ 12000,00 E5) 1) (2,2) 2) (10,20) 3) (1,1) 4) (15,3) E6) (9,9)
38
10. BIBLIOGRAFIA ANTON, Howard. Cálculo: um novo horizonte. 6.ed. Porto Alegre : Bookman, 2000. 2 v. ÁVILA, Geraldo. Cálculo 1: Funções de uma variável. 6.ed. Rio de Janeiro : LTC, 1994. __________. Cálculo 2: Funções de uma variável. 5.ed . Rio de Janeiro : LTC, 1995. __________. Cálculo 3: Funções de uma variável. 5.ed. Rio de Janeiro : LTC, 1995. EDWARDS, C, PENNEY, David. Cálculo com geometria analítica. 4.ed. Rio de Janeiro : Prentice-Hall do Brasil, 1997. v.1 e v.2. __________. Calculus with analytic geometry. 5.ed. Rio de Janeiro : Prentice-Hall, 1998. HARRIS, K., LOPEZ, R. Discovering calculus with Maple. 2.ed. New York : John Wiley & Sons, Inc, 1995. LEITHOLD, Louis. O cálculo com geometria analítica. 2.ed. São Paulo : Harper & Row do Brasil, 1982. SALLAS, S., HILLE, E. Calculus. One variable. 7.ed New York : John Willey & Sons, Inc, 1995. SHENK, Al. Cálculo e geometria analítica. 2.ed. Rio de Janeiro : Campus, 1985. v. 1 SILVA, Jaime Carvalho e. Princípios de análise matemática aplicada. Alfragide : McGraw-Hill de Portugal, 1994. SIMMONS, George F. Cálculo com geometria analítica. São Paulo : McGraw -Hill, 1987. SWOKOWSKI, Earl William. Cálculo com geometria analítica. 2.ed. São Paulo : Makron Books, 1994. v.1 WESTERMANN, Thomas. Mathematik für ingenieure mit Maple. Karlsruhe : Springer, 1996.
![[Planejamento e Controle Da Produ__o - Tubino] Lista de Exerc_cios Resolvidos](https://static.fdocumentos.com/doc/165x107/54863416b47959fb0c8b510b/planejamento-e-controle-da-produo-tubino-lista-de-exerccios-resolvidos.jpg)
