Calculo II (Taylor e Funcoes I)

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1

Série de Taylor

( )

0

( )2

( )( ) ( ) (́ )( )

!

´́ ( ) ( )( ) ... ( ) ...

2! !

kk

k

nn

f ax a f a f a x a

k

f a f ax a x a

n

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2

Série de Maclaurin

( ) ( )2

0

(0) ´́ (0) (0)(0) (́0) ... ...

! 2! !

k nk n

k

f f fx f f x x x

k n

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3

Polinômio de Taylor de ordem n

2

( ) ( )

´́ ( )( ) ( ) (́ )( ) ( ) ...

2!

( ) ( )( ) ... ( )

! !

n

k nk n

f aP x f a f a x a x a

f a f ax a x a

k n

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Resto de um polinômio de Taylor

( ) ( ) ( )n nf x P x R x

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Teorema de Taylor

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Exemplos

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Exemplos

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Funções de várias variáveis

Função de duas variáveis

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Notação

2:

( , ) ( , )

f D

x y z f x y

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Exemplo

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Solução

a) b)

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Exemplo (sensação térmica)

Obs: ver também UMIDEX

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Exemplo: função de produção de Cobb-Douglas

(1 )( , )P L K bL K

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Tabela dados Cobb-Douglas

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Exemplo

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Solução

Imagem é:

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Gráficos

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Exemplo

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Exemplo

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Exemplo

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Exemplo

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Exemplo

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Curvas de nível

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Topografia

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Temperaturas (curvas isotérmicas)

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Exemplo

73

56

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Exemplo

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Solução

ou equivalentemente

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Exemplo

2 2( , ) 4h x y x y

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Exemplo

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Continuação

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Exemplo

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Continuação

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Funções com três variáveis

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Exemplo

Determine as curvas de superfície da função: 2 2 2( , , )f x y z x y z

Solução:2 2 2 onde 0.x y z k k

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Exemplo

Case as funções com os gráficos:

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Continuação

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Exemplo

As curvas de nivel abaixo são de um cone e um

paraboloide. Qual é qual?

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Exemplo

Case as funções abaixo com os seus gráficos e com os seus

mapas de contorno:

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Continuação

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Continuação

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Limites

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Limites

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Limites

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Exemplo

2 2

2 2( , ) (0,0)

( )lim

x y

sen x y

x y

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Exemplo2 2

2 2( , ) (0,0)lim

x y

x y

x y

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Observação importante

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Exemplo

2 2( , ) (0,0)lim

x y

xy

x y

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Exemplo2

2 4( , ) (0,0)lim

x y

xy

x y

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Exemplo

2

2 2( , ) (0,0)

3lim 0

x y

x y

x y

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Continuidade