Calculo II - Volume 1 vFINAL

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Recife, 2010 Cálculo II UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO (UFRPE) COORDENAÇÃO GERAL DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA (EAD/UFRPE) Paulo Renato Alves Firmino Volume 1

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Recife, 2010

Cálculo II

UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO (UFRPE)

COORDENAÇÃO GERAL DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA (EAD/UFRPE)

Paulo Renato Alves Firmino

Volume 1

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Universidade Federal Rural de Pernambuco

Reitor: Prof. Valmar Corrêa de AndradeVice-Reitor: Prof. Reginaldo BarrosPró-Reitor de Administração: Prof. Francisco Fernando Ramos CarvalhoPró-Reitor de Extensão: Prof. Paulo Donizeti SiepierskiPró-Reitor de Pesquisa e Pós-Graduação: Prof. Fernando José FreirePró-Reitor de Planejamento: Prof. Rinaldo Luiz Caraciolo FerreiraPró-Reitora de Ensino de Graduação: Profª. Maria José de SenaCoordenação Geral de Ensino a Distância: Profª Marizete Silva Santos

Produção Gráfica e EditorialCapa e Editoração: Allyson Vila Nova, Rafael Lira, Italo Amorim, Everton Nascimento e Arlinda TorresRevisão Ortográfica: Marcelo MeloIlustrações: Diego Almeida e Moisés SouzaCoordenação de Produção: Marizete Silva Santos

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Sumário

Apresentação ................................................................................................................. 4

Conhecendo o Volume 1 ................................................................................................ 5

Capítulo 1 – O Conceito de Integrais ............................................................................... 6

1.1 Derivadas ...................................................................................................................7

1.2 Integrais Definidas .....................................................................................................9

1.3 Integrais Indefinidas (Antiderivadas) .......................................................................14

Capítulo 2 – Antiderivadas e Integrais .......................................................................... 17

2.1 Propriedades Básicas de Antiderivadas ...................................................................17

2.2 Notação da Integração .............................................................................................20

Capítulo 3 – Regras de Integração ................................................................................ 26

3.1 Regra da Substituição ..............................................................................................26

3.2 Integração por Partes ..............................................................................................30

3.3 Integração por Frações Parciais ...............................................................................35

3.4 Integração de Funções Trigonométricas ..................................................................44

Considerações Finais .................................................................................................... 54

Conheça o Autor .......................................................................................................... 56

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Apresentação

Caro(a) cursista,

Seja bem-vindo(a) ao primeiro módulo do curso de Cálculo II. Neste primeiro módulo, vamos estudar os conceitos fundamentais para o esboço e solução de modelos matemáticos que retratem fenômenos físicos, sociais e econômicos, temas de natural interesse, também, para a área de Computação.

Você irá conhecer as principais técnicas de análise matemática que se seguem às regras de derivação introduzidas na disciplina de Cálculo I. Assim, técnicas de integração serão abordadas, desde sua conexão com derivadas até sua aplicação na busca por suporte a tomadas de decisão em problemas rotineiramente encontrados nas diversas áreas e, de um modo mais específico, em Computação.

O objetivo principal deste primeiro módulo é permitir a você, cursista, um contato inicial com técnicas que possibilitem tomar decisões mais precisas baseadas em modelos matemáticos que descrevem o problema em mãos. Para tanto, temas como derivadas, antiderivadas e integrais serão trabalhados, todos norteados por problemas de cunho prático para o profissional de Computação.

Bons estudos!

Paulo Renato A. Firmino Autor

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Conhecendo o Volume 1

Objetivos Gerais

» Familiarizar o aluno com técnicas básicas de integração e suas aplicações

Assuntos

» Por que estudar Cálculo

» Derivadas

» Antiderivadas

» Integrais indefinidas

» Técnicas de Integração

Dicas de Estudo

» Você deve organizar uma metodologia de estudo que o aproxime dos conceitos apresentados; logo, resolva todos os exercícios apresentados no presente material e também nos livros de referência e alternativos. Você só aprenderá, de fato, aplicando os conceitos introduzidos.

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Cálculo II

Capítulo 1 – O Conceito de Integrais

Vamos conversar sobre o assunto?

Mas, por que estudar Cálculo afinal?

Somos todos movidos a decisões. Elas regem a direção de nossas vidas, seja no âmbito pessoal seja no profissional. Neste sentido, é natural avaliarmos onde estamos hoje e onde desejamos chegar para decidirmos sobre o nosso próximo movimento. É sempre difícil discernir o melhor caminho a seguir, embora tenhamos a certeza de que a depender de nossas decisões nos desgastaremos mais ou menos até alcançarmos nossos objetivos. A questão passa a ser então: como decidir sobre o melhor caminho a seguir?

Embora estejamos tratando de um discurso sem tanto cunho matemático, poderíamos, de fato, utilizar esta mesma roupagem para lidar com contextos mais objetivos e facilmente convertidos a funções matemáticas. Poderíamos, por exemplo, tentar lidar com problemas do tipo:

Como escolher o melhor caminho para chegar ao trabalho?

A depender das decisões tomadas neste âmbito, consequências indesejáveis podem vir a ocorrer. Uma resposta equivocada pode gerar desperdício de tempo e dinheiro, por exemplo. Notemos, assim, que apesar de termos apresentado dois contextos diferentes, podemos facilmente encontrar similaridades entre eles; “o caminho a seguir”, “a origem”, “o destino”, são alguns exemplos. Não há dúvidas de que se conhecêssemos as nuances de cada um dos possíveis caminhos a seguir em nossas vidas, certamente escolheríamos aquele mais adequado às nossas aspirações. Seria então natural escolhermos o melhor caminho a seguir de casa ao trabalho baseando-se nas informações relevantes aos nossos objetivos, tais como distância percorrida ou tempo de trajeto. Por que, então, não agirmos de tal forma? É a partir desta reflexão que daremos sequência aos assuntos vistos na disciplina de Cálculo I e veremos o quão eles são úteis para solucionar problemas moldáveis matematicamente.

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1.1 Derivadas

Imaginemos como critério de decisão sobre o melhor caminho a seguir de casa ao trabalho o tempo de trajeto. Naturalmente, o tempo consumido em cada trajeto, t, depende da distância a ser percorrida no mesmo (o seu comprimento), s, e da velocidade, v, desenvolvida pelo veículo que, por sua vez, varia de acordo com a aceleração e desaceleração do veículo, denotada aqui pela letra a. Você há de concordar que se obtivermos as relações entre estas variáveis, teremos condições de decidir com maior competência sobre o melhor caminho a seguir.

Reflitamos sobre estas quantidades e suas relações. Das nossas aulas de Física durante o segundo grau podemos nos recordar de algumas funções que relacionam estas quantidades em casos específicos. Por exemplo, para uma aceleração constante do veículo ao longo do tempo e denotando s(t) como sendo a distância percorrida após t unidades de tempo e v(t) como a velocidade no instante t:

1

v(t) = v(0) + a∙t 2

A partir dos conceitos introduzidos na disciplina de Cálculo I, notaremos que v(t) é de fato a taxa de variação da distância percorrida pelo veículo em relação ao tempo. Em outros termos, fazendo uso do conceito de derivadas1 podemos alcançar a equação (2) a partir da equação (1):

3

4

5

A última igualdade em (3) decorre da propriedade P2, apresentada no terceiro volume do material de cálculo I, (f(t)±g(t))’ = f’(t) ± g’(t), enquanto que (4) decorre da propriedade P1 ((k)’=0)2 e P6 ((tk)’ = ktk–1), onde k é uma constante. Ao final, temos (5) equivalente a (2). Abaixo, seguem algumas das propriedades fundamentais da derivação, onde k é uma constante e f(t) e g(t) são funções contínuas3 de interesse:

Lembrete

1 Lembram que a função derivada f’(x) expressa a taxa de variação de f(x) em relação a x?Aqui, x equivale a t e f(x) a v(t).

Lembrete

2 Notemos que uma vez que t seja fixado em dado valor, s(t) assume um valor constante. Por isso, para t=0, s(0) tem derivada nula em relação a t.

Lembrete

3 Lembremos que uma função contínua é aquela que podemos desenhar o seu gráfico sem a necessidade de retirar o lápis do papel.

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Tabela 1 – Propriedades da derivação em relação a uma quantidade t envolvendo duas funções, f(t) e g(t), e uma constante k

Propriedade

1 (k)’=0

2

3

4

5

6 7 (cos t)’ = -sen t

8 (sen t)’ = cos t

9 (ln(t))’ = 1/t

10 (exp(t))’ = exp(t)

Você pode estar pensando: É, está tudo muito bem amarrado, porém toda esta formulação matemática não tem tanta utilidade prática, pois se baseia na suposição de que a aceleração não varia com o tempo. Como fazer então para tornar a formulação do problema mais realista e, assim, nos levar à melhor decisão? Para responder a esta questão precisamos dar um passo a mais nos degraus do nosso conhecimento, a partir do estudo de integrais. Mas, por enquanto, que tal derivarmos algumas funções?

Aprenda Praticando

Exemplo 1: Suponhamos que a função que reflete o percentual de contaminação de um computador devido a ação de um vírus durante 15 minutos, s(t), seja dada por

, onde a, b, c e d são constantes e 0 ≤ t ≤ 15.

Qual função descreveria a velocidade com a qual o vírus se propaga no computador no decorrer dos 15 minutos, v(t)?

Solução:

Considerando que v(t) expressa a taxa de variação de s(t) em relação a cada instante de tempo e assumindo ,

,

v(t) = s’(t) = (A∙t3 + B∙t2 + C∙t + D)’ P2= (A∙t3)’ + (B∙t2)’ + (C∙t)’ + (D)’. Avaliando cada

uma das derivadas temos

(A∙t3)’ P5= A∙(t3)’

P6= A∙3∙t2

(B∙t2)’ P5= B∙(t2)’

P6= B∙2∙t1

(C∙t)’ P5= C∙(t)’

P6= C∙1∙t0

(D)’ P1= 0.

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Logo, v(t)= s’(t) =3At2 + 2Bt + C. Notemos, com isso, que caso tenhamos a = 1,

b = 10, c = 1 e d = 0, chegamos a k = 5640 e a v(t) = t2 + t, uma função

crescente com o tempo. Isto nos indica que, à medida que o tempo passa, a velocidade de contaminação da máquina pelo vírus aumenta. A Figura 1 ilustra tal comportamento não apenas para a velocidade de propagação no intervalo ,v(t), mas também para o percentual contaminado da máquina, s(t).

Figura 1 – Comportamento da função do percentual de contaminação devido a ação de vírus e sua derivada, para a = 1, b = 10, c = 1 e d = 0 no Exemplo 1.

Na próxima seção, daremos nossos primeiros passos para a realização de uma abordagem matemática mais realista e abrangente dos problemas que nos cercam no nosso dia-a-dia. Seremos introduzidos ao conceito de integral.

1.2 Integrais Definidas

Com um pouco de esforço, nos recordaremos da intuição subjacente ao tema de derivadas. Avaliemos neste sentido a Figura 2 e notemos que à medida que o ponto B (relacionado a s(t+∆t)) se desloca sobre a curva s(t) em direção ao ponto A (associado s(t)) a reta secante a estes dois pontos4 se aproxima da reta tangente a s(t) no ponto A5. Tal aproximação ficará cada vez mais precisa à medida que fizermos ∆t tender a zero (∆t →0 em notação matemática), o que nos levará ao conceito de derivada como sendo o coeficiente

Lembrete

4 Lembremos que a reta secante a dois pontos de uma função, A e B, é aquela que passa por estes.

Lembrete

5 A tangente a uma função f no ponto A é a reta que toca f em A.

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angular da reta que tangencia o ponto A, como apresentado na disciplina de Cálculo I:

6

Assim, para uma quantidade infinitesimal de tempo, ∆t, a distância percorrida desde o instante inicial, s(t+∆t), apresentará um incremento em relação a s(t) equivalente à velocidade do veículo no instante t ponderada por ∆t. Em outras palavras, para um ∆t pequeno, podemos aproximar a Equação 6 e consequentemente alcançar uma formulação (aproximada) para a distância percorrida até o momento t+∆t:

7

Você consegue perceber algo de familiar na formulação aproximada para s(t+∆t) exibida em (7)? Ela é, de fato, mais familiar do que pode parecer. Caso façamos t=0 teremos a formulação descrita em (1) para s(∆t) diante de uma aceleração nula (a=0). Esta seria então uma ótima alternativa para superar a deficiência da nossa atual formulação do problema do caminho a seguir para o trabalho: para intervalos de tempo pequenos podemos supor que a aceleração é nula e então computar a distância percorrida como função apenas da velocidade em algum momento destes intervalos. Assim, uma vez que obtivermos a distância como função da velocidade e do tempo, teremos suporte para identificar as vantagens e desvantagens de cada caminho e assim optar pelo melhor deles.

Figura 2 – Variação da função s(t) em torno de t.

Utilizando este raciocínio, pensemos em termos práticos. Parece-nos suficiente como fonte de informação inicial a velocidade marcada pelo velocímetro do nosso veículo em distintos instantes de tempo durante os percursos de casa para o trabalho via cada trajeto. Notemos aqui que se trata de informações que estão naturalmente ao nosso dispor e que, indiretamente, revelam condições de tráfego, de sinalização de vias, de topografia das regiões envolvidas em cada trajeto e outras variáveis associadas ao tempo de percurso de casa para o trabalho. Este seria o primeiro passo para formularmos de maneira bastante realista a relação entre distância, velocidade e tempo. Imaginemos dois trajetos alternativos, T1 e T2, cujas velocidades em instantes de tempo distintos estão exibidas na tabela abaixo:

Tabela 2 – Velocidade marcada pelo velocímetro do veículo em instantes de tempo distintos em cada um de dois trajetos alternativos, T1 e T2.

Tempo (min) 5 10 15 20 25 30

Velocidade (Km/min)T1 10 20 40 30 15 15

T2 15 25 20 40 20 10

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Para termos o tempo e a velocidade condicionados à mesma unidade de medida, vamos converter a velocidade para km/min, resultando na tabela abaixo:

Tabela 3 – Velocidade marcada pelo velocímetro do veículo (em km/min) em instantes de tempo distintos em cada um de dois trajetos alternativos, T1 e T2.

Tempo (min) 5 12 15 21 25 30

Velocidade (Km/min)T1 0,17 0,33 0,67 0,50 0,25 0,25

T2 0,25 0,42 0,33 0,67 0,33 0,17

Se considerarmos que a velocidade se mantém constante durante cada intervalo de tempo (ou seja, aceleração nula) e que ela equivale àquela marcada pelo velocímetro ao final deste intervalo, então não estaremos cometendo nenhum erro ao concluirmos, a partir de (7), que nos primeiros 5 minutos nosso veículo se desloca (5 min)∙(0,17 km/min) = 0,85 km pelo trajeto T1 e (5 min)∙(0,25 km/min) = 1,25 km via T2. Da mesma forma, supondo que a aceleração no segundo intervalo de tempo é nula, temos um deslocamento de (7 min)∙(0,33 km/min) = 2,31 km percorrendo T1 e (7 min)∙(0,42 km/min) = 2,94 km por T2. Logo, em 12 minutos, nos deslocamos 0,85 km + 2,31 km = 3,16 km ao percorremos T1 e 1,25 km + 2,94 km = 4,19 km caso escolhamos T2, supondo uma velocidade constante do veículo nos dois primeiros intervalos de tempo em ambos os trajetos. Utilizando este raciocínio, teríamos como estimativa para o deslocamento em 30 minutos uma fórmula tal qual a descrita abaixo

8

onde ∆it equivale ao comprimento do i–ésimo intervalo de tempo considerado para análise e v(ti) representa a velocidade desenvolvida pelo veículo no i–ésimo intervalo. Notemos

que n representa o número de intervalos considerados e que Logo, temos no

exemplo n = 6 e ∆1t = 5, ∆2t = 7, ∆3t = 3 e assim por diante. Neste sentido, (8) nos indica que via T1 percorreremos 10,42 km em 30 minutos, enquanto que por T2 nos deslocaremos 11,37 km no mesmo intervalo de tempo. A partir destes valores, temos indícios de que via T2 conseguimos chegar mais longe em 30 minutos do que por T1.

Porém, você pode estar se perguntando: Não há algo de errado com essa abordagem? Quer dizer, a suposição de que a velocidade simplesmente salta de um valor para outro entre os intervalos não é irreal e sem qualquer valor prático? De fato, os intervalos, ∆it, não são tão pequenos a ponto de desprezarmos a aceleração (que representa a taxa de variação da velocidade em função do tempo, diga-se de passagem) tal como é feito seguindo (7).

Talvez um esboço do problema possa nos ajudar a entendê-lo melhor para, daí, o solucionarmos. Podemos desenhar, através de um gráfico de pares, o comportamento da função v(t) ao menos nos instantes de tempo em que o velocímetro foi observado (Tabela 3). Teríamos algo tal como a Figura 3. Trata-se do gráfico que associa os instantes de tempo da Tabela 3 com as respectivas velocidades registradas a partir do velocímetro em ambos os trajetos, T1 e T2. Notemos que embora não tenhamos observado o velocímetro em todo o trajeto de ambos os casos, T1 e T2, temos indícios do comportamento da função v(t) – velocidade no tempo – e a partir destes indícios estamos tentado chegar a nossas conclusões.

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Figura 3 – Indícios do comportamento de v(t) em ambos os trajetos, T1 e T2, de acordo com os instantes de tempo nos quais observou-se o velocímetro do veículo.

Em nossa primeira análise, consideramos que para cada intervalo de tempo a velocidade se mantinha constante e igual àquela registrada pelo velocímetro ao final deste intervalo. Em outras palavras, como após 5 minutos o velocímetro registrava 10 km/h (0,17 km/min) via T1, consideramos então que v(t) = 0,17 km/min em todo o intervalo compreendido entre 0 e 5 minutos, por exemplo. Este comportamento para a função v(t) no trajeto T1 pode ser esboçado tal como exibe a Figura 4.

Retornando a (8) e visualizando a Figura 4 temos a oportunidade de relembrar de outro importante tema dos nossos estudos colegiais: o cálculo de áreas. Ora, considerando cada ∆it como sendo a base do retângulo cuja altura é v(ti), teremos ∆it∙v(ti) – os elementos da soma em (8) – equivalente à área do i-ésimo retângulo parcialmente esboçado na Figura 4. Assim, podemos considerar que caso a suposição de aceleração nula em cada intervalo seja razoável, então a área sob a curva v(t) aproximada a partir da soma das áreas dos retângulos com base ∆it e altura v(ti) é, de fato, a distância percorrida pelo nosso veículo até o instante t.

Figura 4 – Função aproximada do comportamento de v(t) no trajeto T1, assumindo velocidade constante em cada intervalo e igual àquela registrada ao final deste intervalo.

Contudo, você pode continuar a se perguntar: E quanto à suposição de aceleração nula, quando nos livraremos dela de maneira a ter, enfim, uma modelagem realista? Pois bem, estamos muito próximos dela neste momento. Relembremos que a suposição de aceleração nula só fará sentido, de fato, quando fizermos ∆it→0, como indicado em (6)

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e adotado em (7). Neste momento vale a pena observar que se o subintervalo de maior comprimento tender a zero (ou em notação matemática Max{∆it}→0, para i = 1, 2, ..., n) em (8), então n→∞ . Assim, podemos concluir que6

9

equivalerá (exatamente) à distância percorrida pelo veículo em t unidades de tempo ou, em termos gerais, à área sob a curva v(t). Retornando ao nosso exemplo, imaginemos ser capazes de registrar, a cada segundo, a velocidade do nosso veículo em um percurso envolvendo cada um dos trajetos, T1 e T2, durante 30 minutos de passeio. Ao esboçarmos o gráfico de ambas as velocidades em função do tempo e conectarmos os pontos envolvidos, poderíamos chegar a curvas tais quais as delineadas na Figura 5. Os pontos em vermelho e azul no gráfico indicam as avaliações previamente realizadas e apresentadas na Tabela 3 para os trajetos T1 e T2, respectivamente. Poderíamos, assim, nos aproximar da equação em (9) e obter, enfim, um suporte preciso para chegarmos a nossa decisão.

Figura 5 – Função aproximada do comportamento de v(t) nos trajeto T1 e T2 de acordo com a velocidade registrada a cada segundo.

De fato, o que temos em (9) é um primeiro contato com o conceito de integral definida. Na abordagem apresentada buscamos a área sob a curva v(t) em cada trajeto, T1 e T2, que correspondia à sua respectiva distância no intervalo de tempo compreendido entre zero e trinta minutos. A denominação “integral definida” se dá justamente devido ao fato de termos delimitado nosso cálculo de áreas a um intervalo de tempo finito. Contudo, poderíamos estar simplesmente interessados na função que relaciona a distância percorrida e o tempo, s(t), sem a restrição de valores para o tempo. De fato, caso desejássemos levar em consideração o menor tempo de percurso, a distância percorrida de casa ao trabalho seria uma quantidade controlada, enquanto que a de interesse seria o tempo associado ao percurso de tal distância. Poderíamos imaginar um algoritmo aplicado à equação (9) que incrementasse (ou decrementasse) o tempo, t, até que a distância percorrida alcançasse aquela de todo o percurso de casa ao trabalho, algo não tão trivial assim. Uma alternativa (talvez mais plausível) seria identificarmos a função s(t) para todo t, pois nos bastaria fixar s(t) na distância percorrida de casa ao trabalho em cada trajeto e então isolar o t na respectiva fórmula para s(t). Por exemplo, se s(t) = 2t, para a distância s(t) = 10 teríamos 10 = 2t e consequentemente t = 5 unidades de tempo7. Notemos que neste sentido as tabelas 2 e 3 poderiam envolver intervalos de tempo diferentes para os trajetos T1 e T2 afim de obtermos as respectivas curvas v(t), pois o registro das velocidades ao longo de cada trajeto seria finalizado com a chegada ao trabalho e não ao término de trinta minutos. Porém, como obter s(t)?

Lembrete

6 Você não percebe aqui uma ótima oportunidade para revisitar os conceitos de séries apresentados em Cálculo I?

Lembrete

7 Você percebe algo de familiar nesta abordagem? Trata–se de uma ótima oportunidade para revisar o tema de como obter zeros de funções no Vol I da disciplina de Cálculo I.

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1.3 Integrais Indefinidas (Antiderivadas)

O texto que conclui a sessão anterior ilustra um caso típico das situações nas quais temos a taxa segundo a qual uma função f varia, f’, e necessitamos da própria função f. Este é, de fato, um problema de antiderivação, onde f é chamada a antiderivada ou integral indefinida de f’. A denominação “indefinida” é adotada para especificar que se trata de uma integral cujos limites de integração não estão presentes.

Assim como existe uma relação inversa entre adição e subtração ou entre multiplicação e divisão, há também uma relação inversa entre derivação e antiderivação. Por exemplo, se F(x) = 2x3 + k, onde k é uma constante qualquer, então F(x) será a antiderivada da função f(x)= 6x, pois F’(x) = f(x). Em poucas palavras, a antiderivada de uma função f(x), F(x), é aquela função cuja derivada equivale a f(x). Ou seja, se F’(x) = f(x) então F(x) é a antiderivada de f(x) enquanto que (como visto anteriormente) f(x) é a derivada de F(x).

Suponhamos então termos obtido a função v(t) para ambos os trajetos T1 e T2, de casa ao trabalho. Como s’(t) = v(t), isto é, s(t) é a função que quando derivada leva a v(t), então s(t) equivale à antiderivada de v(t). Suponhamos, apenas a título de ilustração, que

para T1 v(t) = a∙t2 + b∙t, onde a e b são constantes conhecidas. Então ,

onde k é uma constante qualquer equivalente ao espaço percorrido em t = 0, pois s’(t) = a∙t2 + b∙t.

Que tal tentarmos resolver alguns problemas de antiderivação?

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Cálculo II

Aprenda Praticando

Exemplo 2: Com o intuito de planejar sua capacidade de armazenamento de dados, um provedor de internet estima que em t meses o número de clientes ativos em suas contas de e-mail, n(t), variará à taxa n’(t) = b + c∙t⅔ pessoas/mês.

Considerando que atualmente o provedor dispõe de K clientes ativos em suas contas de e-mail, quantos estarão nesta situação em T meses?

Solução:

O primeiro passo para solucionarmos este problema seria identificar n(t), a função que quando derivada leva a n’(t), isto é, sua antiderivada. A partir das propriedades exibidas na Tabela 4 e considerando f(t) = b e g(t) = c∙t⅔, temos:

n’(t) = f(t) + g(t) e, consequentemente,

n(t)=F(t) + G(t), pois a antiderivada de f(t) ± g(t) = F(t) ± G(t), onde

F(t) = b∙t + k1, pois F’(t) = f(t) = b e

, pois G’(t) = g(t) = c∙t⅔.

Logo, assumindo k = k1 + k2, obtemos

Considerando o tempo atual como sendo t=0, temos n(0) = k. Do enunciado, vemos que n(0) = K, logo podemos assumir k = K e, em t = T meses,

pessoas cadastradas e com o e-mail ativo no

provedor.

Logo, caso tenhamos atualmente 10000 clientes com e-mail ativo (K = 10000) e desejemos saber quantos estarão nesta situação daqui a 1 ano (T=12 meses), onde a taxa de variação de clientes nesta condição é determinada por

n’(t) = 10 + 1000∙t⅔ pessoas / mês, chegamos a

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n(12) ≈ 47 859 clientes com e-mail ativo.

O comportamento de n(t) é traçado na figura abaixo:

Figura 6 – Comportamento da função do nº de clientes de um provedor de internet com e-mail ativo em função do tempo, Exemplo 2.

Nos próximos capítulos, estudaremos mais formalmente os conceitos inerentes às operações de integração e suas relações com derivadas. Como podemos, a partir de antiderivadas, solucionar problemas envolvendo integrais definidas, iniciamos nosso estudo mais aprofundado com as propriedades de antiderivadas no próximo capítulo.

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Capítulo 2 – Antiderivadas e Integrais

Vamos conversar sobre o assunto?

No capítulo anterior fomos introduzidos à antiderivada de uma função f como sendo a função F cuja derivada equivale a f. O interesse por antiderivadas é algo bastante comum em problemas reais e permeia as diversas áreas do conhecimento.

Por exemplo, diante de um valor inicial para o nº de habitantes de uma cidade é natural realizar atualizações sobre o mesmo de acordo com o nº de nascimentos e óbitos registrados por unidade de tempo. Neste sentido, as duas últimas quantidades operam como taxas de variação sobre a primeira à medida que o tempo evolui. Em um contexto bastante semelhante, uma página de relacionamentos da internet poderia estar interessada em saber sobre a quantidade de pessoas conectadas em dado momento no futuro, de acordo com as variações observadas sobre o nº de pessoas que entram e que saem da página. No capítulo anterior iniciamos nossa jornada rumo à obtenção de antiderivadas de funções. Agora, faremos isso de maneira mais aprofundada. Preparado para mais este desafio?

2.1 Propriedades Básicas de Antiderivadas

Uma antiderivada, também conhecida como integral indefinida ou primitiva, pode ser definida como a seguir:

Definição 1:

Uma função F é chamada de uma antiderivada de f em dado intervalo [a, b] se F’(x) = f(x) para todo x ∈ [a, b].

Assim, se considerarmos como exemplo f(x) = x4 então F(x) = x5 + 2 é uma

antiderivada de f, assim como G(x) = x5 + 10 também o é, já que F’(x) = G’(x) = x4. De fato,

qualquer função descrita como a soma de uma constante a F ou G se apresentará como uma antiderivada de f, já que a derivada de uma constante será sempre nula. Pode-se, inclusive,

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demonstrar que se duas funções têm derivadas idênticas, então elas diferem entre si apenas por uma constante. Assim, temos que como F’(x) = G’(x) = f(x) no exemplo, então F(x) – G(x) = k, onde k é uma constante qualquer. A partir dessa propriedade, podemos chegar à antiderivada geral (ou genérica) de uma função f:

Teorema 1:

Se F for uma antiderivada de f em dado intervalo [a, b], então a antiderivada mais geral de f no intervalo [a, b] é

F(x)+k,

onde k é uma constante qualquer.

A figura abaixo ilustra o comportamento de algumas antiderivadas da função f(x) =

x4, denotadas por H(x)+k, onde H(x) = x5.

Figura 7 – Algumas antiderivadas da função x4.

Para fixarmos melhor a ideia de antiderivadas, nada melhor do que resolvermos alguns problemas. Vamos lá?

Aprenda Praticando

Exemplo 3: Encontre a antiderivada mais geral para cada uma das seguintes funções:

a) f(x) = 2∙cos x;

b) f(x) = sen x;

c) f(x) = exp(x);

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Cálculo II

d) f(x) = 2/x.

Solução:

Do que precisaremos para obter as antiderivadas associadas a f(x)? A resposta a essa pergunta é simples: das propriedades de derivação vistas na disciplina de Cálculo I, pois a cada f(x) associaremos a função F(x) cuja derivada equivale a f(x). Assim,

a) f(x) = 2∙cos x. Se fizermos F(x) = 2∙sen x + k teremos F(x) como antiderivada geral de f(x), já que

F’(x) = (2∙sen x + k )’ = (2∙sen x)’+(k)’ = 2∙(sen x)’ + 0 = 2∙cos x = f(x).

b) f(x) = sen x. Se assumirmos F(x) = –cos x + k, teremos F(x) como antiderivada geral de f(x), pois

F’(x) = (–cos x + k)’ = (–cos x)’ + (k)’ = –(cos x)’ + 0 = –(-sen x) = sen x = f(x).

c) f(x) = exp(x). A respectiva antiderivada geral é dada por F(x) = exp(x) + k, pois

F’(x) = (exp(x) + k)’ = (exp(x))’ + (k)’ = exp(x) = f(x).

d) f(x) = 2/x. Notemos que f(x) = . Assim, se assumirmos F(x) = 2∙ln|x| + k teremos

F(x) como a antiderivada geral de f(x), pois

F(x)’ = (2∙ln|x| + k)’ = (2∙ln|x|)’ + (k)’ = 2∙(ln|x|)’ = = F(x). Este exemplo

também nos é útil para fixarmos a ideia de que a antiderivada de h(x) = 1/x é H(x) = ln|x| (o ln do módulo de x). Desta forma, os valores que x pode assumir em h são mantidos em H. Caso o módulo de x não fosse considerado, isto é H(x) = ln(x), o espaço de valores de x seria limitado a x > 0.

Com uma intuição inversa àquela apresentada para derivação, podemos enumerar algumas propriedades básicas da antiderivação. Considerando k e c como constantes e f(t) e g(t) como funções contínuas com respectivas antiderivadas denotadas por F(t) e G(t), temos:

Tabela 4 – Propriedades da antiderivação em relação a uma quantidade t envolvendo duas constantes k e c, duas funções, f(t) e g(t), e respectivas antiderivadas, F(t) e G(t).

Função Antiderivada Geral

1 c∙f(t) c∙F(t) + k

2

3 tc (para c ≠ –1)

4 cos t sen t+k

5 sen t –cos t+k

6 1/t ln|t|+k

7 exp(t) exp(t)+k

Assim como ocorre no cálculo de derivadas, precisamos ter todo um cuidado simbólico ao lidarmos com antiderivação. Tal cuidado, inclusive, mostrou-se fundamental para a difusão das ideias subjacentes a ambos os temas. A seguir, a notação de integrais

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20

Cálculo II

para expressar operações de antiderivação é apresentada.

2.2 Notação da Integração

Como dito na seção anterior, a antiderivação tem como um dos seus sinônimos a integração. Sendo assim, podemos dizer que antiderivamos dada função ou, similarmente, a integramos. Neste sentido, será comum denotarmos

10

para exprimirmos a antiderivada de f(x). Logo, para expressarmos que a antiderivada de f(x) =

x4 é da forma F(x) = x5 + k, escreveremos simbolicamente .

De fato, vale salientar que caso não adicionemos a constante arbitrária k ao lado esquerdo de (10) estaremos diante de uma integral particular (quando k=0) enquanto que a adição de k ao resultado nos leva a todas as possíveis integrais. Os elementos da simbologia introduzida à esquerda da igualdade em (10) assumem a interpretação resumida na tabela abaixo:

Tabela 5 – Simbologia associada à operação de integração.

Símbolo Significado

∫Sinal de integração. Trata-se de um S alongado (referindo-se à soma). Notemos a semelhança entre uma integral definida e a soma de pequenas quantidades sugerida na equação (9).

f(x)Integrando (a função que está sendo integrada). Assim, a variável x é a variável de integração.

dx

Diferencial. Por si só não tem significado oficial. De fato, f(x)dx seria a área do retângulo de base dx (infinitamente pequena) e altura f(x), como sugerido na equação (9). Além disso, este símbolo indica que a variável de integração é x, levando os demais símbolos envolvidos em f(x) a serem interpretados como constantes. Logo, ∫2t dt = t2 + k (pois a variável de integração é t) e ∫(t + 2y) dy = ty + y2 + k (pois a variável de integração é y).

kConstante de integração. Trata-se de uma constante sem valor específico adicionada a F(x) com o propósito de tornar a expressão da antiderivação genérica.

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21

Cálculo II

Que tal fazermos uso da nossa notação de integrais para resolvermos alguns problemas de antiderivação?

Aprenda Praticando

Exemplo 4: Encontre a integral geral para cada um dos seguintes casos:

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) ;

Solução:

Só relembrando, antiderivação e integração são sinônimas; logo, precisaremos simplesmente recorrer às propriedades de antiderivação resumidas na Tabela 4, a fim de obtermos para cada f(x) a integral ∫f(x)dx – similarmente à antiderivada geral F(x). Assim,

a) . Trata-se da propriedade 3 com c=0 (Tabela 4), identificada abaixo

da igualdade por P3. Você vai perceber que devido à relação inversa entre derivação e integração, (x+k)’ equivale ao integrando; ou seja, (x+k)’ = 1. Esta relação sempre nos permite verificar se estamos no caminho certo. Ao obtermos o resultado da integral, sua derivada deverá coincidir com o integrando.

b) . Denotando podemos ter a falsa impressão

de que estamos diante de uma função de difícil integração. Isto porque f(x) envolve soma, diferença e divisão entre diferentes potências de x multiplicadas por constantes, algo ainda não apresentado no presente material. Porém, podemos simplificar f(x) de tal forma que eliminemos a divisão de potências de x, trazendo o problema ao nosso domínio de conhecimento:

. Logo,

, onde

,

,

, levando a

, onde k = k1 + k2 – k3 é uma constante arbitrária.

c) . É bem provável que você tenha

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22

Cálculo II

pensado: “Não tenho a menor condição de encontrar a integral associada a esta função; ela é realmente muito complicada”. Porém, relembremos a simbologia apresentada na Tabela 5. Nela, temos descrito que o diferencial dx (ds no presente problema) indica que a variável que está sendo integrada é x (s no presente caso) e que os demais símbolos envolvidos em f devem ser interpretados como constantes

quando da integração. Logo, assumindo ,

podemos observar que estamos diante de uma função que não varia com s; isto é, f(s) é constante. Assim,

d) . Para resolvermos este quesito, podemos simplificar o

integrando:

.

Temos então

.

Resolvendo cada uma das integrais, obtemos

onde c = k1 + k2 + k3 é uma constante

arbitrária.

e) . Antes de seguirmos com a resolução deste quesito,

vale comentar o procedimento que temos adotado, aplicando as propriedades 1 e 2 da Tabela 4 sempre que possível. Trata-se da estratégia de dividir o problema em menores partes a fim de resolvê-lo. Retornando ao problema:

,

onde ,

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23

Cálculo II

. Assim,

,

onde k = k1 + k2 + k3 é uma constante arbitrária qualquer.

Talvez você não tenha percebido, mas por muitas vezes, no decorrer da resolução dos exemplos, finalizamos o cálculo da integral definindo a constante de integração do problema de interesse como a soma de constantes de integrais específicas. De fato, poderíamos trabalhar com o cálculo da integral não–geral de cada uma das parcelas da integral de interesse e resguardarmos a constante de integração para ser usada apenas no resultado final. Agora, que já resolvemos alguns exercícios juntos, que tal você tentar sozinho? Seguem alguns desafios. Para confirmar que você alcançou a integral correta é fácil: basta derivá–la e compará–la ao integrando. Durante as resoluções, você perceberá que vez ou outra seus conhecimentos prévios de Cálculo I e mesmo de Matemática mais fundamental serão requeridos; logo, muna-se de livros.

Exercícios Propostos

1. Encontre as seguintes integrais indefinidas (e verifique sua resposta a partir da derivação), esboce seu gráfico e de seu respectivo integrando:

a.

b.

c.

d.

e. , onde tg s equivale à tangente de s (Dica: recorde-se das

relações trigonométricas vistas no seu 2º Grau e sumarizadas na última seção do último capítulo deste volume).

f. (Dica: idem a quesito anterior.

Além disso, leia cos2 x = (cos x)2 = (cos x)(cos x)).

g. (Dica: Recorde-se da formulação que leva à diferença

entre quadrados de duas quantidades).

h.

i.

j. (Dica: Recorde-se das propriedades da função exponencial

Page 24: Calculo II - Volume 1 vFINAL

24

Cálculo II

e de suas relações com a logarítmica).

k. ds (Dica: Recorde-se das propriedades da função

logarítmica e de duas relações com a exponencial).

2. Solucione os seguintes problemas:

a. Sabe-se que a taxa de variação no consumo de combustível de um veículo ao longo do tempo, c(t), é função da sua velocidade, v(t), e aceleração, a(t), modelado por

c(t) = α∙v(t) + β∙a(t), onde α e β são constantes que refletem o desempenho do veículo em termos de economia de combustível e v(t) = exp(t) + t3/4 – 1 em dado trajeto. Qual função melhor descreveria o consumo de combustível ao longo do tempo t? Quanto combustível o veículo consumiria em 20 unidades de tempo de travessia (Dica: Recorde-se do paralelo que existe entre a taxa de variação de uma quantidade e a própria quantidade e também da relação entre velocidade e aceleração).

b. Um programador implementou um algoritmo em C++ que busca fazer um controle no consumo de memória, M(t), de dada CPU durante a execução de um simulador de correntes marítimas. Em experimentos de teste, pôde-se perceber que até alcançar o patamar que ativa a liberação de memória, a taxa de variação do consumo de memória da CPU diante da execução do software se comporta de maneira polinomial e pode ser representada pela equação

m(t) = 4t4 – 6t2 + 9.

Qual função melhor descreveria o consumo de memória da CPU ao longo do tempo de execução do simulador de correntes marítimas? Se o patamar de consumo que ativa a liberação de memória for de x KB, em quanto tempo tal liberação ocorreria? (Dica: Lembre-se da decomposição de (a – b)2 e que para obter o valor de uma variável diante da fixação da sua função correspondente basta isolar a variável. Em outras palavras, para uma função f(y) = s, temos a inversão y = f–1(s)).

c. Um fabricante de computadores sabe que ao fabricar q unidades, o custo de fabricação marginal (isto é, unitário) de cada CPU equivale a R$ (4q2 – 70q + 400)/unidade. Se o custo de produção das três primeiras unidades for de R$ 1000,00, qual será então o custo total de produção das dez primeiras unidades? (Dica: Note que o custo total equivale à acumulação dos custos unitários, dando uma ideia de cálculo de áreas). Qual é a suposição necessária para abordar este problema a partir de regras de integração e/ou derivação? (Dica: Recorde-se da continuidade de funções e dos temas correlatos).

d. Imagine que o desempenho de um computador decresce a uma taxa que varia com o tempo. Quando o computador tiver t anos de uso, a taxa de variação do seu

desempenho, em termos de capacidade de processamento, será de KB/

segundo. Se a capacidade do computador quando da sua compra for de k KB/s, qual será sua capacidade de processamento em T anos?

e. Um estudo na grande rede de computadores indica que em t anos a quantidade de computadores conectados contaminados por algum tipo de vírus variará a uma taxa equivalente a (a∙sen t + b∙cos t + c∙t) computadores/ano. Sabe-se que, atualmente, há k computadores conectados contaminados. Quantos computadores conectados à rede estarão contaminados em T anos?

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Cálculo II

Até agora, temos resolvido problemas nos quais as regras apresentadas na Tabela 4 podem ser diretamente aplicadas. Contudo, há uma grande malha de casos que requerem tratamentos mais sofisticados. Adentraremos neste tema no próximo capítulo. Você perceberá que abordaremos de maneira mais enfática o problema de como obter a integral de determinados tipos de função, abstraindo-se do contexto ao qual tais funções estariam associadas; isto porque motivação para aprender a obter integrais nós já temos, certo? Então, preparado para se aprofundar ainda mais nas regras de integração?

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Cálculo II

Capítulo 3 – Regras de Integração

Vamos conversar sobre o assunto?

Até aqui, temos sempre nos deparado com integrais de funções que podem ser descritas como a soma de fatores envolvendo a variável de interesse. Como exemplo deste perfil de funções, temos f(y) = 2y2 + 5/y, f(s) = sen s – exp(s) e f(x) = (x2 + 4x–2)/x5 = x–3 + 4x–7.

No primeiro caso, f(y) equivale à soma de dois fatores, 2y2 e 5/y, enquanto que no segundo problema, f(s) é a soma de sen s e (–exp(s)), e f(x) representa a soma entre x–3 e 4x–7 na terceira equação. Não fomos expostos, ainda, à integral de funções cuja descrição em termos da soma de fatores da variável não se mostra viável. Para compreender melhor o contexto imaginemos a integral da função f(x) = (x + a)c, onde a é um número real e c natural. À medida que c cresce, se torna cada vez mais difícil decompor f(x) em uma soma de fatores associados a x8. Como lidar com tais problemas? Neste capítulo teremos a oportunidade de nos debruçar sobre problemas tais como o descrito acima, nos quais a simples aplicação das propriedades básicas da integração (ver Tabela 4) não é possível.

3.1 Regra da Substituição

Nesta seção, apresentaremos a regra inversa à da cadeia, vista na disciplina de Cálculo I para lidar com a derivação de funções compostas. Apenas a título de recordação, a

Lembrete

8 Isto não o faz recordar algo? Na disciplina de Cálculo I, tivemos a oportunidade de lidar com o problema da derivação de funções deste tipo, através da regra da cadeia.

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27

Cálculo II

regra da cadeia opera a derivação de uma função f(x) com o intermédio de uma função g(x):

Regra da Cadeia:

Se f e g são deriváveis e H for uma função composta tal que H(x) = f(g(x)), então H é derivável e H’ é dada pelo produto da derivada de f no ponto g(x) com a derivada de g no ponto x:

H’(x) = f’(g(x))∙g’(x). 11

Você pode ter se perguntado: derivada de f no ponto g(x), como assim? Ocorre que utilizar g(x) é apenas uma maneira de explicitar a relação existente entre a variável independente x e uma variável dependente, diga-se9 u = g(x). Usando o mesmo raciocínio, e de posse da Equação (11), poderíamos ainda definir como variável dependente do problema sob estudo y e explicitar sua relação com u, via y = f(u). Note que a relação entre y e x é encadeada na relação entre y e u e, depois, entre u e x. Isto nos conduz a outra notação para a Equação (11):

, 12

onde y = f(u) e u = g(x).

A regra da cadeia nos permite uma generalização das propriedades exibidas na Tabela 1, na qual u = g(x) = x (o que levaria H a não ser composta e coincidir com f(x)). Por outro lado, agora podemos pensar em u = g(x) = x2 – 3, u = g(x) = sen x/cos x e assim por diante. É valioso perceber que a derivada de f no ponto g(x) equivale à derivada de f no

ponto u. Assim, podemos recorrer às propriedades da Tabela 1 para calcular

e, também, . Uma maior compreensão se dará a partir da resolução de alguns exemplos.

Aprenda Praticando

Exemplo 5: Encontre a derivada das seguintes funções:

a) ;

b) ;

c) ;

d) .

Solução:

No decorrer das resoluções dos quesitos acima, você terá a oportunidade de perceber a inclusão de um passo a mais na busca por derivadas a partir das propriedades resumidas na Tabela 1. Tal passo adicional é justamente devido ao uso da função intermediária, g. Vamos lá?

a) H(x) = ln(x2 + 2x). Aqui, podemos escrever u = g(x) = x2 + 2x, cuja

derivada é . Por outro lado, temos y = f(u) = ln(u)

e, também, . Logo, pela regra da cadeia,

.

b) . Neste caso, podemos fazer u = g(x) = x2+1, da qual .

Lembrete

9 Para suprir qualquer dúvida, revisite o vol. I da disciplina de Cálculo I.

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Cálculo II

Assim, temos e .

Logo, .

c) H(y) = exp(y3 – y–1). Para evitar a eventual confusão quando da resolução deste problema, denotaremos aqui a variável dependente do problema por

z = f(u) = exp(u), onde u = g(y) = y3 – y–1. Assim, ,

enquanto que . Assim,

d) H(s) = sen(a + b∙s). Agora, denotaremos y = f(u), com e

. Em complemento, e, por fim,

.

Após esta revisão, podemos seguir (de maneira mais confiante) à regra da substituição. Nesta jornada, vale o desafio de tentarmos alcançar a integral das funções obtidas no exemplo acima, a partir da mesma linha de raciocínio adotada ao introduzirmos integrais como sendo antiderivadas: a integral (ou antiderivada) de uma função f é a função

que quando derivada resulta em f. Analisemos o quesito (a), onde desejaríamos obter a

integral da função . Com um pouco de intimidade com o tema de

derivadas10, percebemos que caso assumamos u = x2 + 2x, então du = (2x

+ 2)dx e f(x) = e . Ora, da Tabela 4 temos

então que . Assim, . De maneira geral, a regra

da substituição pode ser enunciada como a seguir:

Regra da Substituição: Se u = g(x) for uma função derivável definida por a ≤ x ≤ b e f for contínua neste intervalo, então

13

Note que dentro do sinal de integração, du e dx assumem o papel de diferenciais, embora que a variável de integração original seja x, apenas.

Torna-se nítido que o grande desafio a ser superado para a aplicação do método da substituição é encontrar a função intermediária adequada, u = g(x). Há quem diga que a realização de tal façanha requer arte; porém o que não se pode negar é que treinar é preciso. Um bom exercício seria você continuar a procurar a integral de cada resultado obtido no Exemplo 5, já que você já conhece o resultado a ser obtido11. Em complemento, que tal resolvermos mais alguns exercícios juntos?

Lembrete

10 Saiba que tal intimidade aumentará à medida que você resolver mais e mais exercícios.

Lembrete

11 De fato, você pode sempre tentar obter a integral de alguma função que seja o resultado de uma derivação de posse do resultado a ser alcançado de antemão, devido à relação inversa que existe entre derivação e integração.

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Cálculo II

Atividades ou Exercícios

Exemplo 6: Encontre as seguintes integrais:

a) ;

b) ;

c) ;

d) .

Solução:

Só para relembrar, a confirmação de que chegamos ao resultado correto é simples, a função derivada correspondente (muito provavelmente obtida via a regra da cadeia) deve coincidir com o integrando.

a) . Assumamos u = g(x) = x3 + 6.

Assim, temos , o que nos conduz a uma das partes

a substituir na integral: x2dx = du/3. Logo, podemos aplicar a seguinte substituição

. Assim, temos ao final

.

b) . Iniciemos a resolução deste quesito fazendo u = g(y) = y3+1, de

onde . Assim, temos

.

c) . Façamos u = g(t) = t + 10, conduzindo a

e . Você imagina o trabalho

que daria decompor (t + 10)6 em uma soma de fatores associados a x a partir

da igualdade Ao final você seria conduzido à mesma solução obtida via regra da substituição, porém apresentada na forma decomposta de (t+10)7.

d) . Substituamos . Logo,

. Como u2 = s, temos que

Após estes primeiros passos, que tal você tentar alguns casos mais? Para conferir se seus resultados estão corretos, derive a integral obtida: o resultado deve coincidir com o do

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30

Cálculo II

integrando.

Exercícios Propostos

Exemplo 7: Encontre as seguintes integrais:

a) ;

b) ;

c) . Dica: Note que ;

d) ;

e) ;

f) . (Dica: Recorde-se das propriedades da função logaritmo.)

Nesta seção tivemos a oportunidade de estudar a integração via a regra de substituição de variáveis, um método inverso ao da derivação pela regra da cadeia. De fato, associada a cada regra de derivação, haverá a de integração relacionada. Na próxima seção seremos introduzidos à regra de integração por partes como sendo aquela relacionada à da derivada do produto de funções.

3.2 Integração por Partes

Imaginemos um caso no qual precisamos integrar o produto de duas funções onde uma delas possui fácil integração, g’(x), e a outra pode ser simplificada via derivação, f(x). Um bom exemplo seria g’(x) = x2 e f(x) = ln(x). Este é justamente o cenário no qual a integração por partes é empregada. Sua formulação pode ser obtida a partir da derivada do produto das funções f e g:

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Cálculo II

, 14

onde e . Aplicando a integração a ambos os lados

da última igualdade em (14) chegamos a

.Logo, para obtermos a integral de f(x)g’(x) basta isolarmos tal termo:

15

Note que, assim como na regra da substituição, recorremos aqui à regra de derivação relacionada quando do cálculo da integração por partes. A igualdade em (15) pode ser também descrita em termos de uma simbologia semelhante à da regra da substituição:

Regra da Integração por Partes: Se u = f(x) e v = g(x), forem funções deriváveis e definidas por a ≤ x ≤ b e forem ambas contínuas neste intervalo, então para

, :

, 16

onde v e podem ser consideradas antiderivadas nas quais a constante arbitrária

é nula (em outras palavras, não são as antiderivadas gerais). Você perceberá que esta estratégia além de simplificar bastante os cálculos não compromete o resultado final (sua derivada coincide com o integrando).

Logo, com o intuito de chegarmos ao resultado de , podemos

denotar e , já que u pode ser simplificada via derivação

e v é de fácil obtenção a partir da integral . Seguindo, de (16) temos que

e (a constante arbitrária é nula, k =

0). Logo, .Note que com

a aplicação da regra de integração por partes chegamos a uma integral mais simples do que a original. De fato, este é o principal objetivo desta regra: decompor a integral original em partes mais simples de manipular, nos aproximando da solução. Assim,

.

É bem provável que você esteja pensando: essas regras estão ficando cada vez mais complicadas. De fato, a tendência será adentrarmos cada vez mais em termos de sofisticação, de maneira a aumentar nosso leque de possibilidades quando da resolução de dada integral. Isto nos será muito útil em termos práticos, já que teremos maior flexibilidade para modelar mais realisticamente a função que representa a taxa de variação da nossa variável de interesse.

De qualquer forma, vamos a uma boa prática da regra de integração por partes. Isto certamente nos deixará mais a vontade com esta técnica.

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32

Cálculo II

Aprenda Praticando

Exemplo 8: Encontre as seguintes integrais:

a) ;

b) ;

c)

d) .

e)

Solução:

Você perceberá com o decorrer das resoluções que sempre optaremos por integrar as funções mais simples, nos levando – por outro lado – à derivação da outra. Além disso, você verá que o resultado de dada integração por partes pode requerer, por sua vez, a aplicação de um novo método de integração ou mesmo da própria integração por partes. Para mais uma vez relembrar, você poderá conferir o resultado obtido a partir da sua derivação.

a) . Para este caso faremos e

. Logo, , onde

e .

Note que não temos condições de obter diretamente a integral de . O

que faremos? A resposta é simples, apliquemos a regra de integração por partes mais

uma vez. Assim, denotemos para este novo problema

e . Logo, , onde

e ; isto é .

Veja que não envolvemos a constante de integração arbitrária nesse momento, já que não se trata do resultado do nosso problema original. Retornando a ele, temos

que

=

b) dy. Adotemos aqui e . Logo, nosso

primeiro desafio será obter . Neste sentido, podemos iniciar uma nova

aplicação da integração por partes, onde e u= ln(y) ∴ , nos

levando a

Retornando ao problema original, temos que

e

+ k,

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33

Cálculo II

onde .

Assim,

c) , sen t > 0. Consideremos aqui dv = cos t dt ∴ v = sen t

e u = ln(sen t).

Para obtermos du, façamos uso da regra da cadeia:

. Logo,

, onde

. Assim,

.

d) . Para solucionarmos este problema iniciemos com uma substituição

de variáveis. Consideremos x = s2 ∴ dx = 2sds ∴ sds = dx/2. Como s3 = s2s,

. Esta transformação nos

permitiu simplificar o problema, já que os expoentes envolvidos foram diminuídos. Seguindo então com este novo problema, podemos definir

e u = x ∴ du = dx.

Consequentemente,

, onde

, levando a

. Assim, retornando ao problema

original, onde x = s2, temos que

.

Este problema mostra-se útil para ilustrar o quão o nível de dificuldade de dado problema pode ser reduzido a partir de transformações simplificadoras. Quer perceber isto de maneira mais pragmática? Então tente resolver o mesmo problema sem o auxílio de transformações.

e) . Aqui, consideremos dv = sen r dr ∴ v = –cos r e, por outro lado,

u = exp(r) ∴du = exp(r)dr. Da integração por partes:

= – exp(r)cos r + , onde , por sua vez,

não apresenta uma solução direta trivial. Assim, tentemos aplicar a integração por partes a este novo problema.

Page 34: Calculo II - Volume 1 vFINAL

34

Cálculo II

Consideremos, agora, dv = cos r dr ∴v = sen r e u = exp(r) ∴ du = exp(r)dr, levando

a ,onde

. Veja que esta integral equivale ao nosso problema

original. O que faremos então? Embora pareçamos estar andando em círculos, estamos de fato bem próximos da solução. Do problema original temos que

. Como, do segundo

problema,

= sen r exp(r) – , temos que

= – exp(r)cos r + sen r exp(r) –

= exp(r)(sen r – cos r ) +k ∴

.

Com a resolução dos exercícios, você teve a oportunidade de perceber que é

possível a aplicação recursiva do método de integração por partes até que a integral

seja de fácil obtenção. Vimos que há ainda os casos em que embora a simplificação não ocorra, podemos retornar indiretamente ao problema original e, assim, chegar à solução.

Que tal você tentar resolver alguns problemas sozinho(a) agora?

Exercícios Propostos

Exemplo 9: Encontre as seguintes integrais e confira sua resposta através da derivação do resultado obtido:

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) ;

f) .

Nesta seção ficamos bem mais íntimos do cálculo. Você pôde perceber que a cada igualdade na busca por uma integral via integração por partes, usamos conhecimentos previamente adquiridos, principalmente aqueles relacionados à derivação e integração. Sigamos agora a mais um método de integração. Desta vez estaremos interessados em calcular a integral de funções associadas à razão entre polinômios: as funções racionais.

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35

Cálculo II

3.3 Integração por Frações Parciais

Uma função racional é aquela que envolve a razão entre polinômios12. Por muitas vezes, torna-se mais fácil simplificarmos a função racional e só então buscar a integral associada do que tentar integrá–la diretamente. Na busca por tal simplificação podemos tentar igualar a função racional à soma de frações13 mais simples, conhecidas como frações

parciais. Um exemplo deste tipo de problema é a função , que pode

ser revertida à soma . Naturalmente, integrar a soma das frações

parciais e é mais simples do que integrar a razão entre os polinômios

e . Você duvida? Então o convido a integrar f(x) tal como originalmente descrito

acima , já que considerando as frações parciais a resposta é quase que

imediata: .

De maneira geral, uma função racional f(x) pode ser descrita como a razão entre

dois polinômios P(x) e Q(x), f(x) = , e sempre que o grau de P for menor que o de Q,

podemos (ao menos em teoria) expressar f como uma soma de frações mais simples. Neste caso, f é também chamada de função racional própria. Isto pode ser verificado no nosso exemplo: P(x) = 2x + 1 e Q(x) = x2 + x – 6 (P tem grau 1 enquanto que Q tem grau 2).

Os principais desafios a superar quando lidamos com funções próprias são dois:

(i) A fatoração14 do denominador Q(x) como um produto de fatores lineares da forma ax + b (e eventualmente fatores quadráticos irredutíveis da forma ax2 + bx + c, onde b2 – 4ac < 0),

(ii) A expressão da função f(x) como uma soma de frações parciais.

A seguir, faremos uma breve revisão sobre fatoração e em seguida sobre como obter frações parciais a partir destas.

Fatoração de Polinômios

No exemplo que consideramos no início desta seção, sabíamos de antemão que Q(x) = x2 + x – 6 pode ser fatorado em Q(x) = (x – 2)(x + 3). Contudo, caso não soubéssemos de tal igualdade como poderíamos obtê–la? A resposta a esta questão está associada à seguinte propriedade dos polinômios de grau 2:

Seja g(x) um polinômio de grau 2 tal que g(x) = ax2 + bx + c (onde a, b e c são constantes reais) com raízes15 reais (obtidas a partir da Fórmula de Bhaskara)

e , onde ∆ = b2 – 4ac ≥ 0.

Então g(x) pode ser fatorado em

g(x) = a(x – r1) (x – r2). 17

Assim, uma vez obtidas as raízes reais do polinômio de grau 2, temos sua fatoração a partir de (17). Retornando ao nosso exemplo, temos a = 1, b = 1 e c = –6, conduzindo a ∆ = 1 – 4(1)(–6) = 25,r1 = (–1 – 5)/2 = –3 e r2 = (–1 + 5)/2 = 2. Logo, podemos concluir que g(x) = 1(x +3)(x – 2) = x2 + x – 6.

Lembrete

12 Um polinômio de grau n é uma função da forma

onde xn ≠0.

Lembrete

13 Fração aqui é sinônimo de divisão entre elementos ou quantidades.

Lembrete

14 Fatorar é transformar uma função que é a soma de duas ou mais parcelas em um produto de dois ou mais fatores, onde cada fator pode ser, também, uma função.

Page 36: Calculo II - Volume 1 vFINAL

36

Cálculo II

Note que caso ∆ < 0 então g(x) torna-se irredutível (sem raízes reais); daí o motivo de o denominador Q(x) ser fatorado no produto entre fatores lineares e eventuais fatores quadráticos irredutíveis.

Você pode até estar pensando: acho que estamos fugindo do tema; e quanto ao problema de integrais e tudo mais? Lembre-se que os artifícios apresentados nesta seção têm o objetivo de reduzir a dificuldade de integrar a função em questão; daí a motivação para o seu estudo. Agora, para fixarmos melhor a ideia da fatoração, que tal resolvermos alguns exemplos?

Aprenda Praticando

Exemplo 10: Fatore os seguintes polinômios:

a) g(x) = x2 + x – 2;

b) g(x) = 6x2 + 4x – 2;

c) g(x) = 4x2 – 4x + 3;

d) g(x) = –2x2 + 5x – 2;

e) g(x) = x4 + x2 – 2.

Solução:

Você perceberá com o decorrer das resoluções que sempre recorreremos ao sinal de ∆, definido em (17), para decidirmos sobre a irredutibilidade de dado polinômio de grau 2. Para confirmar se a resposta obtida na fatoração é a correta, basta aplicar o seu desmembramento; este deve equivaler à função fatorada.

a) g(x) = x2 + x – 2. Fazendo uso da propriedade que resulta na equação (17), temos a = 1, b = 1 e c = –2, levando a ∆ = 1 – 4(1)(–2) = 9 > 0, logo g(x) pode ser fatorada. Seguindo, temos que as raízes reais de g são r1 = (–1 – 3)/2 = –2 e r2 = (–1 + 3)/2 = 1 e que g(x) = 1(x + 2)(x – 1).

b) g(x) = 6x2 + 4x – 2. Aqui, temos a = 6, b = 4 e c = –2, levando a ∆ = 16 – 4(6)(–2) = 64 > 0, o que nos permite fatorar g(x). Tomando as raízes reais de g: r1 = (–4 – 8)/12 = –1 e r2 = (–4 + 8)/12 = 1/3, temos g(x) = 6(x + 1)(x – 1/3).

c) g(x) = 4x2 – 4x + 3. Neste caso, temos a = 4, b = –4 e c = 3, conduzindo a ∆ = 16 – 4(4)(3) = – 32 < 0, logo g(x) é irredutível e não pode ser fatorada.

d) g(x) = –2x2 + 5x – 2. Para este problema, temos que a = –2, b = 5 e c = –2, levando a ∆ = 25 – 4(–2)(–2) = 9 > 0, nos possibilitando a fatoração de g(x). De (17) temos então que r1 = (–5 – 3) / (–4) = 2 e r2 = (–5 + 3) / (–4) = ½, conduzindo a

g(x) = (–2)(x – 2)(x – ½).

e) g(x) = x4 + x2 – 2. Para resolver este quesito, consideremos y = x2,levando a g(x) = h(y) = y2 + y – 2. Trabalhando sobre h(y), temos a = 1, b = 1 e c = –2, levando a ∆ = 1 – 4(1)(–2) = 9 > 0. Logo, as raízes reais de h são r1 = (–1 – 3)/2 = –2 e r1 = (–1 + 3)/2 = 1, conduzindo a h(y) = 1(y + 2)(y – 1) e, consequentemente,g(x) = (x2 + 2)(x2 – 1). Contudo, devemos ainda verificar se r(x) = (x2 + 2) e s(x) = (x2 – 1) podem ser fatoradas. Para r(x), temos ∆ = –4(1)(2) = –8 < 0, não nos permitindo fatorar r(x) (trata-se de um polinômio irredutível). Para s(x), temos ∆ = –4(1)(–1) = 4 > 0; logo, s(x) pode ser fatorada. Após a álgebra à qual você já deve estar familiarizado, obtemos s(x) = (x – 1)(x + 1). Assim, temos ao final que g(x) pode ser fatorado em

Lembrete

15 As raízes de uma função f(x) são os valores de x para os quais f(x) = 0.

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37

Cálculo II

g(x) = (x2 + 2)(x – 1)(x + 1).

Uma vez que o polinômio denominador de uma função racional própria tenha sido fatorado o máximo possível, dá-se início à busca pelas frações parciais para as quais a integração é mais simples. Este tema é abordado a seguir.

Obtenção de Frações Parciais

Quando o denominador, Q(x), de dada função racional própria é fatorado, duas situações mais gerais podem emergir: i) Q(x) resulta no produto de fatores lineares e quadráticos distintos; ii) Q(x) resulta no produto de fatores lineares e quadráticos, onde alguns destes fatores se repetem. Com o intuito de esclarecer as ideias gerais da integração via frações parciais, nos ateremos a apenas o primeiro caso.

Consideremos em uma análise inicial os casos onde Q(x) é fatorado no produto de r fatores lineares distintos: Q(x) = (a1x + b1) (a2x + b2) ... (arx + br). Neste caso, o teorema das frações parciais afirma que há r constantes, A1, A2, ..., Ar tais que

. 18

A obtenção de cada uma das constantes A1, A2, ..., Ar pode ser conduzida a partir de um sistema de equações lineares que iguale todos os coeficientes dos termos de P(x) presentes no problema original – f(x) – àqueles alcançados a partir do seu isolamento em (18). Embora pareça complicado, você entenderá este método com relativa facilidade a partir de um exemplo. Consideremos o nosso primeiro caso apresentado, onde Q(x) = x2 + x – 6 e

P(x) = 2x + 1. 19

Para Q(x) obtivemos a seguinte fatoração: Q(x) = (x – 2)(x + 3), o produto de dois fatores lineares distintos, (x – 2) e (x + 3). A partir da ideia em (18), temos que

, 20

de modo que ao isolarmos P(x) chegamos a

= x(A + B) + 3A – 2B. 21

Para que P(x) em (21) equivalha ao polinômio original (da equação 19), é suficiente que

A + B = 2 (os coeficientes de x em (19) e (21) se igualem). 22

e que

3A – 2B = 1 (as constantes de P em (19) e (21) se igualem). 23

Estas duas igualdades compõem um sistema de equações lineares que, quando resolvido, nos leva às frações parciais de (20):

Como, de (22), A + B = 2 ∴ A = 2 – B, fazemos uso de (23) com tal substituição:

3(2 – B) – 2B = 1 ∴ 6 – 3B – 2B = 1 ∴ B = 1. Retornando a (22) de posse deste

resultado (B = 1), obtemos então A = 2 – 1 = 1. Logo, de (20), .

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38

Cálculo II

Com o objetivo de fixar melhor os passos para a integração via frações parciais envolvendo denominadores descritos como o produto de fatores lineares distintos, que tal resolvermos alguns exercícios?

Aprenda Praticando

Exemplo 11: Obtenha a integral da função racional própria f(x) = P(x)/Q(x) nas seguintes situações:

a) P(x) = 1 e Q(x) = x2 + x – 2;

b) P(x) = x e Q(x) = 6x2 + 4x – 2;

c) P(x) = 1 – x e Q(x) = –2x2 + 5x – 2;

Solução:

Note que todos os denominadores envolvidos no exemplo já foram fatorados no Exemplo 10. Note também que o grau de P(x) é sempre menor que o de Q(x), o que torna f(x) uma função própria. Você perceberá com o decorrer das resoluções que teremos sempre o número de equações igual ao de incógnitas quando da busca pelas frações parciais que simplificam o problema de integração original, nos possibilitando alcançar a solução dos problemas.

a) P(x) = 1 e Q(x) = x2 + x – 2. Para este caso, temos que Q(x) pode ser fatorado em Q(x) = (x + 2)(x – 1), um produto de fatores lineares distintos, e que a partir de (18)

. Isolando P(x),

. Obtendo o

coeficiente associado a x e à constante: P(x) = x(A + B) – A + 2B. Como na equação

original temos P(x) = 0x + 1, vemos que esta equivale a x(A + B) – A + 2B se

i. A + B = 0 e

ii. –A + 2B = 1.

De (i), temos que A = –B. Usando isto em (ii), – (–B) + 2B = 1 ∴ B = 1/3. Retornando a (i), vemos que A = – 1/3 e que, por fim,

. Logo,

.

b) P(x) = x e Q(x) = 6x2 + 4x – 2 = 6(x + 1)(x – 1/3) = (2x + 2)(3x – 1).A partir de (18), f(x)

= . Isolando P(x),

.

Obtendo o coeficiente associado a x e à constante: P(x) = x(3A + 2B) – A + 2B. Como na equação original temos P(x) = 1x + 0, vemos que esta equivale a x(3A + 2B) – A + 2B se

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39

Cálculo II

i. 3A + 2B = 1 e

ii. –A + 2B = 0.

De (ii), temos que A = 2B. Usando isto em (i), 3A + A = 1 ∴ A = 1/4. Retornando a (ii), vemos que B = 1/8 e que, por fim,

. Logo,

.

c) P(x) = 1 – x e Q(x) = –2x2 + 5x – 2. Para este problema, temos que

Q(x) = (–2)(x – 2)(x – ½) = (x – 2)(–2x + 1) . A partir de (18),

. Isolando P(x),

.

Obtendo o coeficiente associado a x e à constante: P(x) = x(–2A + B)+ A – 2B. Como na equação original temos P(x) = –1x + 1, vemos que esta equivale a x(–2A + B) + A – 2B se

i. –2A + B = –1 e

ii. A – 2B = 1.

De (ii), temos que A = 1 + 2B. Usando isto em (i), –2(1 + 2B) + B = –1 ∴ B = –1/3. Retornando a (i), vemos que A = 1/3 e que, por fim,

. Logo,

Neste primeiro momento, consideramos apenas a fatoração que resulta no produto de fatores lineares. A partir de agora, consideraremos também a presença de fatores quadráticos irredutíveis. Em outras palavras, estudaremos os casos onde Q(x) é fatorado no produto de r fatores lineares e s fatores quadráticos irredutíveis distintos:

Q(x) = (a1x + b1) (a2x + b2) ... (arx + br) (ar+1x2 + br+1x + c1) ... (ar+sx

2 + br+sx + cs).

Neste caso, o teorema das frações parciais afirma que há r + 2s constantes, A1, A2,

..., Ar+s, C1, C2, ..., Cs tais que

=

. 24

O raciocínio adotado para a obtenção das constantes em (24) é idêntico àquele apresentado para f(x) formulada tal como em (18). Por exemplo, consideremos que Q(x)

seja fatorado em Q(x) = x(x2 + 1) e que P(x) = 2x2 + 1. Neste caso, temos via (24) que

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40

Cálculo II

. 25

Para que esta última igualdade seja verdadeira, é suficiente que esta equivalha a P(x) = 2x2 + 0x + 1 (do problema original); o que ocorrerá caso:

i. A +B = 2,

ii. C = 0,

iii. A = 1.

Logo, usando a igualdade de (iii) solucionamos (i), B = 1. Assim, retornando à

segunda igualdade em (25):

.

Desta maneira, caso desejemos calcular a integral de ,podemos

alternativamente recorrer a , donde

.É fácil ver que = ln|x|. Quanto à segunda parcela,

podemos obtê–la pela regra da substituição, fazendo u = x2 + 1 ∴ xdx = du/2 e

.

Nesta seção, temos lidado sempre com funções racionais próprias (onde P tem um grau menor que o de Q). Contudo, podemos naturalmente nos deparar com casos onde isto não ocorre. Caso o grau de P seja maior ou igual ao de Q temos em mãos uma função racional imprópria e devemos aplicar preliminarmente uma divisão longa (dividir P por Q) até que a função racional resultante seja própria. Em outros termos, se o grau de P for maior

ou igual ao de Q, + S(x), onde S e R são, também, polinômios e o grau

de R é menor que o de Q. O procedimento para realizar uma divisão longa entre polinômios concluirá o conteúdo desta seção.

Divisão de Polinômios

O algoritmo abaixo sintetiza os passos para a realização da divisão entre polinômios. A figura abaixo ilustra tal algoritmo para a divisão de 2x2 – 5x + 3 por 2x – 1.

Figura 8 – Ilustração da divisão do polinômio 2x2 – 5x + 3 pelo polinômio 2x – 1.

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41

Cálculo II

Embora possa parecer complicado em um primeiro momento, você perceberá que não existe nada de extraordinário aqui. Cada iteração do algoritmo consiste em identificamos o termo de mais alto grau do polinômio16 equivalente ao resto previamente obtido (Ri–1 inicializado como R0 = P), dividirmos este pelo termo de mais alto grau de Q (representando o resultado por Di), multiplicamos Di por Q e então calculamos um novo resto Ri. Ao final do algoritmo temos que

+ S(x), onde S implica na soma D1 + D2 + ... + Dj e R no último

resto calculado, Rj.

Algoritmo 1: Divisão do polinômio P(x) pelo polinômio Q(x), onde f(x) = P(x)/Q(x)

Inicialização: Faça R0(x) = P(x) e q(x) equivaler ao termo de mais alto grau de Q(x).

Na Iteração j (j = 1, 2, ...):

1. Faça pj(x) equivaler ao termo de mais alto grau de Rj–1(x).2. Faça Dj(x) = pj(x)/q(x); indicando divisão3. Faça Mj(x) = Dj(x)Q(x); indicando multiplicação4. Faça Rj(x) = Rj–1(x) – Mj(x); indicando resto5. Se o grau de Rj(x) for menor que o de Q(x) pare o algoritmo e assuma

6. Caso contrário, se o grau de Rj(x) for maior ou igual ao de Q(x), inicie a iteração j+1 (passo 1).

Após tantas fórmulas, cálculos e até algoritmos, só uma boa prática para nos ajudar a fixar conceitos e desenvolver intimidade com o problema da integração de funções racionais impróprias. Vamos a ela?

Aprenda Praticando

Exemplo 12: Obtenha a integral da função racional imprópria f(x) = P(x)/Q(x) nas seguintes situações:

a) P(x) = x2 e Q(x) = x2 + x – 2;

b) P(x) = x4 + 1 e Q(x) = x3 – x;

c) P(x) = 6x4 + 10x3 + 2x2 – 2x + 1 e Q(x) = 6x2 + 4x – 2;

Solução:

Note que alguns dos denominadores envolvidos no exemplo já foram fatorados no Exemplo 10. Note também que o grau de P(x) é sempre maior ou igual ao de Q(x), o que torna f(x) uma função imprópria. Mais uma vez, você poderá conferir se chegamos ao resultado correto comparando os resultados das divisões com seus respectivos problemas originais, assim como o resultado das integrações a partir da equivalência entre suas derivadas e os integrandos correspondentes, f(x).

a) P(x) = x2 e Q(x) = x2 + x – 2. A realização da divisão entre P e Q (a partir do algoritmo apresentado) de modo a obtermos uma função própria inicia-se com a identificação do termo de maior grau em Q(x), q(x). Neste caso, temos q(x) = x2. Assumindo R0(x) = P(x), iniciamos o algoritmo:

(i) Na 1ª iteração, vemos que o termo de mais alto grau de R0(x) é p1(x) = x2. Seguindo, temos D1(x) = p1(x) / q(x) = x2 / x2 = 1, M1(x) = D1(x)Q(x) = 1(x2 + x – 2)

Lembrete

16 O termo de mais alto grau do polinômio

refere–se à parcela cnx

n.

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42

Cálculo II

e R1(x) = R0(x) – M1(x) = x2 – (x2 + x – 2) = –x + 2. Como o grau de R1(x) é menor que o de Q(x), finalizamos o algoritmo e concluímos que

.

Logo, S(x) = D1(x) e R(x) = R1(x), conduzindo a

, R(x) = – x + 2.

Podemos assim, prosseguir na busca pela integral de R(x)/Q(x) a partir do que estudamos para funções racionais próprias.

Como vimos anteriormente, Q(x) = (x+2)(x–1) e de forma

que .

Obtendo o coeficiente associado a x e à constante: R(x) = x(A + B) – A + 2B. Como na equação original temos R(x) = –1x + 2, vemos que esta equivale a x(A + B) – A + 2B se

i. A + B = –1 e

ii. –A + 2B = 2.

De (i), temos que –A = B + 1. Usando isto em (ii), B + 1 + 2B = 2 ∴ B = 1/3. Retornando a (i), vemos que A = – 1/3 – 1 = –4/3 e que, por fim,

R(x) / Q(x) = . Logo,

.

Assim, a solução do problema proposto é

.

b) P(x) = x4 + 1 e Q(x) = x3 – x. Iniciando a divisão de P por Q de modo a obtermos uma função própria: o termo de maior grau em Q(x) é q(x) = x3 enquanto que R0(x) = P(x).

(i) Na 1ª iteração, vemos que o termo de mais alto grau de R0(x) é p1(x) = x4. Seguindo, temos D1(x) = p1(x) / q(x) = x, M1(x) = D1(x)Q(x) = x(x3 – x) = x4 – x2 e R1(x) = R0(x) – M1(x) = x4 + 1 – (x4 – x2) = x2 + 1. Como o grau de R1(x) é menor que o de Q(x), finalizamos o algoritmo e concluímos que

. Logo, S(x) = D1(x) e

R(x) = R1(x), conduzindo a

, R(x) = x2 + 1.

Podemos assim, prosseguir na busca pela integral de R(x)/Q(x) a partir do que estudamos para funções racionais próprias. Fatorando Q(x), vemos que

Q(x) = x(x2 – 1) = x(x + 1)(x – 1) e de forma que

.

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43

Cálculo II

Obtendo o coeficiente associado a x e à constante: R(x) = (A + B + C)x2 – (B – C)x – A. Como na equação original temos R(x) = x2 + 1, vemos que esta equivale a (A + B + C)x2 – (B – C)x se

i. A + B +C = 1,

ii. –(B – C) = 0 e

iii. – A = 1.

De (iii) temos que A = –1 e de (ii) que B = C. Usando isto em (i), 2B = 2 ∴ B = 1. Retornando a (ii), vemos que C = 1 e que, por fim,

. Logo,

= – ln|x| + ln|x+1| + ln|x–1|.

Assim, a solução do problema proposto é

– ln|x| + ln|x+1| + ln|x–1| + k.

c) P(x) = 6x4 + 10x3 + 2x2 – 2x + 1 e Q(x) = 6x2 + 4x – 2. Iniciando a divisão de P por Q de modo a obtermos uma função própria: o termo de maior grau em Q(x) é q(x) = 6x2 enquanto queR0(x) = P(x).

(i) Na 1ª iteração, vemos que o termo de mais alto grau de R0(x) é p1(x) = 6x4. Seguindo, temos D1(x) = p1(x) / q(x) = 6x4/(6x2) = x2, M1(x) = D1(x)Q(x) = x2(6x2 + 4x – 2) = 6x4 + 4x3 – 2x2 e R1(x) = R0(x) – M1(x) = 6x4 + 10x3 + 2x2 – 2x + 1 – (6x4 + 4x3 – 2x2)= 6x3 + 4x2 – 2x + 1. Como o grau de R1(x) não é menor que o de Q(x), vamos para mais uma aplicação do algoritmo.

(ii) Na 2ª iteração, vemos que o termo de mais alto grau de R1(x) é p2(x) = 6x3. Seguindo, temos D2(x) = p2(x) / q(x) = 6x3/(6x2) = x, M2(x) = D2(x)Q(x) = x(6x2 + 4x – 2) = 6x3 + 4x2 – 2x e R2(x) = R1(x) – M2(x) = 6x3 + 4x2 – 2x + 1 – (6x3 + 4x2 – 2x)= 1. Como o grau de R2(x) é menor que o de Q(x), finalizamos o algoritmo e obtemos como solução

.

Logo, S(x) = D1(x) + D2(x) e R(x) = R2(x), conduzindo a

,

.

Da fatoração já realizada para Q(x), temos Q(x) = 6(x + 1)(x – 1/3) = (2x + 2)(3x – 1).

A partir de (18), . Isolando R(x),

.

Obtendo o coeficiente associado a x e à constante: R(x) = x(3A + 2B) – A + 2B. Como na equação original temos R(x) = 1, vemos que esta equivale a x(3A + 2B) – A + 2B se

i. 3A + 2B = 0 e

ii. –A + 2B = 1.

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Cálculo II

De (i), temos que A = –2B/3. Usando isto em (ii), 2B/3 + 2B = 1 ∴B = 3/8. Retornando a (i), vemos que A = –1/4 e que, por fim,

. Logo,

Assim, a solução do problema proposto é

.

Após tantos passos juntos, que tal tentar sozinho? A seguir você é convidado a resolver alguns exercícios mais. Lembre-se de conferir o resultado correto através da sua derivação.

Exercícios Propostos

Exemplo 13: Obtenha a integral da função racional f(x) = P(x)/Q(x) nas seguintes situações:

a) P(x) = 1 e Q(x) = –2x2 + 5x – 2;

b) P(x) = 2x – 1 e Q(x) = x3 + x2 + x + 1;

c) P(x) = 2x4 + 2 e Q(x) = x4 + 3x2 + 2;

d) P(x) = x5 – x + 1 e Q(x) = x3 – x;

f) P(x) = x3 – 3x2 + 3x – 1 e Q(x) = x – 1.

Para finalizarmos o nosso conjunto de técnicas analíticas de integração, falaremos sobre as integrais de funções trigonométricas. Tais funções são de importante cunho prático, uma vez que podem ser adotadas para representar taxas de variação que oscilam periodicamente17. Um exemplo desse tipo de fenômeno é o comportamento da temperatura ao longo do ano. A cada ano, temos elevações e diminuições sistemáticas de temperatura à medida que as estações passam, nos permitindo associar o gráfico da curva “temperatura em função do tempo – f(t)” ao esboço de ondas que (grosseiramente falando) se repetem.

3.4 Integração de Funções Trigonométricas

As funções trigonométricas são uma ferramenta poderosa para quem deseja modelar de maneira realista taxas de variação associadas a fenômenos sociais, ambientais e econômicos; principalmente aqueles que apresentam uma oscilação periódica. A maneira mais elementar de se introduzir as funções trigonométricas é talvez a partir de um triângulo retângulo, tal como o da Figura 9. Deste esboço, somos introduzidos, por exemplo,

Lembrete

17 Quando uma função f(x) é periódica e com período igual a ∆, então f(x + ∆) = f(x). A função sen x, por exemplo, apresenta período igual a 2 π.

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Cálculo II

a sen x = op/hip, cos x = adj/hip e tg x = sen x/cos x = op/adj. Vale recordar que, a partir do Teorema de Pitágoras, temos hip2 = adj2 + op2.

Figura 9 – Triângulo retângulo e interpretação trigonométrica da relação entre os comprimentos dos seus lados.

As figuras a seguir ilustram o comportamento das funções sen x, cos x e tg x. Perceba que sen x e cos x assumem valores no intervalo [–1, 1], enquanto que tg x assume valores no intervalo [–∞ , +∞ ] (ela tende a infinito quando |cos x| tende a zero e tende a zero quando |sen x| tende a zero). Tanto sen x quanto tg x são funções ímpares enquanto cos x é uma função par18. Quanto à periodicidade, veja que sen x e cos x têm período de 2π ,enquanto que a última tem período igual a π .

Figura 10 – Comportamento das funções sen x, cos x e tg x.

Além destas funções fundamentais (sen x, cos x e tg x) você há de se recordar de outras funções a elas relacionadas, sec x, cosec x e cotg x. De maneira a refrescar nossa memória antes de nos debruçarmos sobre o problema da integração de funções trigonométricas, comecemos com um apanhado geral sobre suas principais propriedades. A tabela abaixo exibe algumas relações fundamentais da trigonometria; temos um resumo do conteúdo básico que estudamos no nosso 2º grau.

Lembrete

18 Se f(–x) = f(x), então f(x) é chamada de função par. Caso contrário, se f(–x) = –f(x), então f(x) é dita impar.

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Cálculo II

Tabela 6 – Relações fundamentais da trigonometria

1 tg x = sen x/cos x

2 cotg x = 1/tg x = cos x/sen x

3 sec(x) = 1/cos x

4 cosec x = 1/sen x

5 sen2x + cos2x = 1

6 sec2x – tg2x = 1

7 cosec2x – cotg2x = 1

8 2cos2x – cos(2x) = 1

9 2sen2x + cos(2x) = 1

10 sen(x + y) = sen x cos y + cos x sen y

11 cos(x + y) = cos x cos y – sen x sen y

12

13

14

15

Embora pareça assustadora a ideia de memorizar todas estas identidades, você perceberá após uma revisão do material do seu 2º grau que todas elas estão relacionadas a partir de propriedades básicas. Por exemplo, da identidade 5 podemos facilmente chegar às identidades 6 e 7:

Se dividirmos todos os membros de sen2x + cos2x = 1 por cos2x, com cos x ≠ 0, temos:

.

De forma análoga, podemos dividir os membros sen2x + cos2x = 1 por sen2x, com sen x ≠ 0, nos levando a

.

A seguir, fazemos outro apanhado; agora sobre as derivadas das funções trigonométricas básicas (sen, cos, tg, cotg, sec, cosec). Isto nos dará suporte mais adiante, quando nos depararmos com o problema da integração de funções trigonométricas mais sofisticadas.

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Tabela 7 – Propriedades da derivação em relação a uma quantidade x envolvendo as funções trigonométricas

1 (sen x)’=cos x

2 (cos x)’ = -sen x

3 (tg x)’ = sec2x

4 (cotg x)’ = – cosec2x

5 (sec x)’ = sec x tg x

6 (cosec x )’ = – cosec x cotg x

Agora, munidos das ferramentas básicas, iniciemos nossos estudos desta seção. Mas antes disso, o(a) convido a conferir as seis derivadas apresentadas na tabela acima a partir do seu conhecimento de cálculo diferencial e das propriedades das funções trigonométricas exibidas na Tabela 6. Considere isto como um aquecimento.

Para operarmos sobre uma combinação mais complexa de funções trigonométricas, precisaremos recorrer a uma abordagem toda particular, principalmente em se tratando das integrais associadas; são técnicas sofisticadas, porém simples de serem aprendidas a partir da resolução de exercícios. Vamos a elas? Comecemos com algumas regras de substituição elementares que nos permitem obter, entre outras coisas, as integrais das funções trigonométricas fundamentais.

Regras de Substituição Elementares

Como já conhecemos as integrais de sen x e cos x, a primeira integral que tentaremos obter nesta seção será a da função tg x. Como você procederia? Uma boa estratégia é fazer uso de tg x = sen x/cos x e, em seguida, substituir u = cos x, o que conduz a du = -sen x dx ∴ sen x dx = –du. Assim,

. 26

Podemos ainda seguir com a última igualdade em (26) a partir das propriedades da função logaritmo: –ln|cos x| = ln(|cos x|–1) = ln(1/|cos x|) que equivale a ln|sec x|, nos permitindo concluir que

. 27

Vamos agora à integral de cotg x (que equivale a cos x/sen x). Para este caso, substituímos u = sen x, o que nos leva a du = cos x dx. Assim,

. 28

Até aqui, as integrais de funções trigonométricas foram obtidas através do uso competente (mas simples) da regra da substituição. Em ambos os casos tratados, tg e cotg, precisamos apenas decidir qual substituição faríamos, sempre optando pelo denominador. Para sec x e cosec x, contudo, precisaríamos de bastante intimidade não apenas com a regra da substituição, mas também com funções trigonométricas e suas derivadas. A última igualdade em (29) é um exemplo do tratamento algébrico atribuído a sec x, de maneira a se obter sua integral via regra da substituição:

29

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Assumindo u = sec x + tg x, temos que du = (sec x tg x + sec2x) dx. Assim,

30

Procedendo de maneira análoga, podemos obter a integral de cosec x:

31

Assumindo u = cosec x + cotg x, temos que du = –(cosec x + cotg x)cosec x dx. Assim,

32

Agora que já temos a integral das funções trigonométricas fundamentais, que tal sofisticarmos um pouco mais o integrando? Tentemos, por exemplo, integrar

f(x) = (1 – sen2 x)cos x. 33

Uma substituição oportuna para este caso é u = sen x, pois du = cos x dx e

.

Imaginemos agora o problema de integrar

f(x) = (1 – cos2 x)sen x. 34

Uma boa substituição aqui é u = cos x, levando a du = – sen x dx ∴ sen x dx = –du e a

.

Lidemos agora com a integral de

f(x) = cos2 x. 35

Aqui, a simples substituição de cos x por u não é suficiente para nos conduzir à resposta de maneira eficiente. Podemos, contudo, recorrer à identidade do ângulo metade, cos2x = (1 + cos 2x)/2, e fazer u = sen 2x ∴ du = 2 cos 2x dx ∴ cos 2x dx = du / 2, nos

conduzindo a .

De forma bastante semelhante resolvemos a integral de (1 + tg2x)sec2x a partir da identidade 6 exibida na Tabela 6 e assumindo u = tg x. Já para obtermos a integral de (sec2x – 1)sec x tg x é suficiente utilizar u = sec x.

Você deve ter percebido que embora por muitas vezes possamos recorrer à nossa intuição quando da busca pela melhor substituição para integrarmos uma função trigonométrica, também muito frequentemente recorremos a substituições nem tão intuitivas assim. De maneira a sintetizar algumas estratégias, apresentamos na próxima seção três algoritmos para trabalhar com produtos de sen x, cos x, tg x, sec x, cotg x e cosec x.

Produtos de Funções Trigonométricas

Nesta seção, nos dedicaremos ao estudo da integração da função f(x) equivalente a um dos dois produtos de potências: senmx cosnx, tgmx secnx, onde m ≥ 0 e n ≥ 0 são inteiros.

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Você concluirá que a mesma ideia é de fato adotada para os dois tipos de potências e que após algumas aplicações torna-se de plena simplicidade. Comecemos com o algoritmo para integração de f(x) = senmx cosnx.

Algoritmo 2: Integração de f(x) = senmx cosnx

1. Se n é ímpar, então:

Assuma n = 2r + 1, use a identidade cos2x = 1 – sen2x e separe um fator cos x:

.

Então substitua u = sen x.

2. Se m é ímpar, então:

Assuma m = 2r + 1, use a identidade sen2x = 1 – cos2x e separe um fator sen x:

.

Então substitua u = cos x.

3. Se m e n são (ambos) pares:

Então use as identidades sen2x = (1 – cos 2x)/2 e cos2x = (1 + cos 2x)/2.

Então, substitua u = cos x.

Para ilustrar o Algoritmo 2, tentemos obter . Neste caso, n (o

expoente do cos) é impar e usamos o procedimento 1 do algoritmo. Assumindo r = 2 e separando um fator cos x, temos cos5x sen6x = (cos2x)2sen6x cos x = (1 – sen2x)2 sen6x cos x.

Substituindo u = sen x, temos que du = cos x dx e

(1 – sen2x)2 sen6x cos x dx = (1 – u2)2u6du. Assim,

.

Vejamos agora, o algoritmo para integração de f(x) = tgmx secnx.

Algoritmo 3: Integração de f(x) = tgmx secnx

1. Se n é par então

Assuma n = 2r, use a identidade sec2x = 1 + tg2x e separe um fator sec2x:

.

Então substitua u = tg x.

2. Se m é ímpar então

Assuma m = 2r + 1, use tg2x = sec2x – 1 e separe um fator sec x tg x:

.

Então substitua u = sec x.

Seguindo o Algoritmo 3, podemos facilmente obter . Como m (o

expoente de tg x) é impar, consideramos o procedimento 2 do algoritmo. Assim, temos r = 0

e separando um fator sec x: .

Assumindo e

.

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Você pode perceber com os métodos acima que, apesar de algumas particularidades, eles são baseados nos valores de m e n e também em alguma identidade trigonométrica seguida de uma substituição de variáveis. Pois bem, com este tipo de abordagem podemos ainda integrar f(x) = cotgmx cosecnx a partir do eventual uso da identidade 1 + cotg2x = cosec2x e da substituição u = cotg x (ou u = cosec x). Pelo mesmo caminho, obtemos a integral de f(x) = sen mx cos nx, f(x) = sen mx sen nx e f(x) = cos mx cos nx, recorrendo respectivamente às identidades 13, 14 e 15 da Tabela 6.

Para, por exemplo, calcularmos , podemos recorrer à identidade

cosec2x = 1 + cotg2x: .

Substituindo u = cotg x, temos du = – cosec2x dx e

.

Por outro lado, caso desejemos calcular , pela identidade 13 (Tabela 6):

.

A seguir apresentamos um tipo mais sofisticado de substituição envolvendo funções trigonométricas. O objetivo é recorrer a substituições trigonométricas para simplificarmos a obtenção de funções a principio não tão vinculadas às relações trigonométricas.

Substituições Trigonométricas

Nesta seção, estudaremos o problema de integração de funções que envolvam

, e , onde a é uma constante positiva.

Caso tenhamos em mãos a parcela , podemos recorrer à substituição x = a sen z (resultando em dx = a cos z dz). Quando assim procedemos, terminamos por obter a2 –

x2 = a2 (1 – sen2z) = a2cos2z e = a cos z. Esta manobra matemática pode simplificar

bastante os cálculos. Suponha o problema de integrar em relação a x.

Aqui, temos a = 5 e x = 5 sen z (dx = 5 cos z dz), nos levando a . Assim,

.

Concluímos, assim, o problema de integração. Agora, precisamos fornecer o resultado em função da variável de interesse, x.

Mas, como converter cotg z a algo em função de x? E quanto ao próprio z, como convertê-lo a uma função de x se só conhecemos a relação inversa, x = 5 sen z? O triângulo retângulo a seguir nos auxiliará a responder à 1ª pergunta.

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Como x = 5 sen z ∴ sen z = x/5 = op/hip, temos op = x e hip = 5. Fazendo uso do

teorema de Pitágoras, temos que . Uma vez que os lados do triângulo foram todos identificados, a obtenção de cotg z em termos de x torna-se trivial:

. Quanto à 2ª questão, como sen z = x/5, temos que z equivale

à função inversa sen–1(x/5), isto é, z é o valor para o qual sen z = x/5, podendo também ser denotado por z = arc sen(x/5). Assim,

.

Imaginemos agora uma segunda situação, onde desejamos integrar uma função

que envolve . Aqui, recorremos a x = a tg z (dx = a sec2z dz), o que nos leva a a2 + x2

= a2(1 + tg2z) = a2sec2z. Assim, = a sec z. Apliquemos esta substituição para obter a

integral de . Neste caso, a = 1 e .

Assim, .

Para obtermos a resposta do problema em termos de x, utilizemos mais uma vez o

triângulo retângulo. Como x = tg z = op/adj, temos que op = x e adj = 1. Logo,

e a partir da determinação destes comprimentos, temos que sec z = 1/cos z = hip/adj =

e tg z = op/adj = x. Logo, .

Por fim, consideremos os casos que envolvem a expressão . A saída para este caso é substituirmos x = a sec z (dx = a sec z tg z dz), o que nos leva a x2 – a2 = a2(sec2z – 1

= a2tg2z e a = a tg z. Calculemos a partir desta estratégia. Neste

caso, a = 2, x = 2 sec z (dx = 2 sec z tg z dz) e = 2 tg z. Logo,

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.

Agora, nos resta obter tal resultado em função de x.

Para tanto, recorramos a um novo triângulo retângulo baseado na substituição que adotamos: x = 2 sec z ∴ sec z = x/2 = hip/adj, determinando hip = x e adj = 2 e, pelo teorema

de Pitágoras, x2 = 22 + op2 ∴ op = .

Assim, tg z = op/adj = e, como z é o valor para o qual

sec z = x/2, z = sec–1(x/2), podendo também ser denotado por z = arc sec(x/2). Logo,

.

Talvez você não tenha percebido, mas não fomos tão rigorosos no uso das funções trigonométricas inversas (sen–1x, tg–1x, sec–1x e assim por diante). Precisamos garantir que elas são, de fato, funções quando substituímos x = a sen z, x = a tg z e x = a sec z. Para tanto, devemos restringir o espaço de valores de z a um intervalo onde as funções trigonométricas inversas assumam apenas um valor para cada z. Isto ocorrerá para x = a sen

z se restringirmos z ao intervalo enquanto que para x = a tg z devemos restringir z

ao intervalo – perceba que aqui o intervalo é aberto nos seus limites. Já para x = a

sec z devemos restringir z ao intervalo ou ao intervalo .

Agora é com você. A seguir você é convidado a resolver alguns exercícios mais. Não esqueça de conferir o resultado obtido a partir da sua derivação.

Exercícios Propostos

Exemplo 14: Encontre as seguintes integrais:

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) ;

f) ;

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g) ;

h) ;

i) ;

j) ;

k) ;

l) ;

m) ;

n) ;

o) .

Curiosidades

O conceitos e principais notações de derivadas e integrais apresentados neste volume foram inicialmente introduzidos à Matemática por Isaac Newton e Gottfried Wilhelm von Leibniz. Contemporâneos, ambos tinham o mesmo problema a resolver, porém visto sob perspectivas diferentes: Como lidar com o infinitamente pequeno; Newton estudava o movimento dos corpos celestes e Leibiniz o problema geométrico de desenhar uma curva a partir da sua taxa de variação. Embora genialmente parecidos, Newton e Leibniz não desenvolveram trabalhos em conjunto. De fato, Leibniz chegou a ser acusado pelos Ingleses (conterrâneos de Newton) de tê-lo plagiado; Leibniz teria tido acesso aos cálculos de Newton. Como era filósofo e reconhecido também devido ao seu domínio da Lógica matemática, não teria maiores dificuldades em entender os manuscritos de Newton (cujo entendimento não estava ao alcance de muitos, não agradando inclusive ao próprio Newton) e traduzi-los a um maior público. De fato os conceitos passados por Leibniz foram facilmente difundidos (a notação dx/dt foi proposta por ele); quanto à acusação de plágio, ao final prevaleceu a tese de que foram duas contribuições independentes acerca do mesmo problema.

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Considerações Finais

Prezado(a) cursista,

Após este primeiro volume, recheado de desafios e conquistas, ficamos mais próximos do Cálculo Diferencial e Integral e de suas vantagens diante do mundo que nos cerca. Estudamos com maior maturidade o conceito de derivadas e suas antiderivadas, nos permitindo alcançar os métodos essenciais para a realização da integração de funções matemáticas mais próximas da nossa realidade. Contudo, temos ainda muito a ver.

No próximo volume, nos debruçaremos sobre integrais definidas, apenas introduzidas aqui, e, em seguida, sobre equações diferenciais, vastamente aplicadas para a modelagem de fenômenos dinâmicos no tempo. Daremos os passos iniciais para responder a questões tais como: diante das condições da economia durante determinado período, no que devo investir o meu dinheiro e em qual quantidade?

Diferentemente de como concluímos este volume, você terá a oportunidade de reiniciar seus estudos sobre o Cálculo Diferencial e Integral de maneira mais concreta. Ansioso? Então aguarde.

Paulo Renato A. Firmino Autor

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Cálculo II

Referências

SIMONS, George F. Cálculo com Geometria Analítica. Volume 1. São Paulo: McGraw–Hill, 1987.

SIMONS, George F. Cálculo com Geometria Analítica. Volume 2. São Paulo: McGraw–Hill, 1988.

STEWART, James. Cálculo – Vol. 1. São Paulo: Pioneira, 2001.

STEWART, James. Cálculo – Vol. 2. São Paulo: Pioneira, 2002.

HOFFMAN, Laurence D. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. Volume 1. Rio de Janeiro: LTC, 1991.

HOFFMAN, Laurence D. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. Volume 2. Rio de Janeiro: LTC, 1995.

ÁVILA, Geraldo S. S. Cálculo I, funções de uma variável. Rio de Janeiro: LTC, 1994.

ÁVILA, Geraldo S. S. Cálculo II, funções de uma variável. Rio de Janeiro: LTC, 1999.

ÁVILA, Geraldo S. S. Cálculo III: diferencial e integral. Rio de Janeiro: LTC, 1979.

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Conheça o Autor

Paulo Renato A. Firmino

Pela Universidade Federal de Pernambuco (UFPE) me graduei em Estatística (2003) e obtive os graus de Mestre (2004) e Doutor (2009) em Engenharia de Produção (área de Pesquisa Operacional). Atualmente sou professor adjunto do Departamento de Estatística e Informática (DEINFO) da Universidade Federal Rural de Pernambuco (UFRPE). Tenho como principais áreas de atuação a modelagem de sistemas complexos e sua simulação, com ênfase em análise probabilística de riscos. Tenho orgulho de fazer parte deste projeto e, de fato, acredito no sucesso da EAD. Juntos a faremos dar certo!!