CÁLCULO INTEGRAL A

VÁRIAS VARIÁVEIS O essencial

Paula Carvalho e Luís Descalço

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EDIÇÃO, DISTRIBUIÇÃO E VENDAS SÍLABAS & DESAFIOS - UNIPESSOAL LDA. NIF: 510212891 www.silabas-e-desafios.pt info@silabas-e-desafios.pt Sede: Rua Dorilia Carmona, nº 4, 4 Dt 8000-316 Faro Telefone: 289805399 Fax: 289805399 Encomendas: encomendar@silabas-e-desafios.pt TÍTULO CÁLCULO INTEGRAL A VÁRIAS VARIÁVEIS – O essencial AUTORES Paula Carvalho e Luís Descalço

1ª edição Copyright @ Paula Carvalho, Luís Descalço e Sílabas & Desafios, Unipessoal Lda., Setembro 2016 ISBN: 978-989-8842-05-3 Depósito legal: Pré-edição, edição, composição gráfica e revisão: Sílabas & Desafios Unipessoal, Lda. Pré-impressão, impressão e acabamentos: Gráfica Comercial, Loulé Capa: Inês Godinho©2016 Reservados todos os direitos. Reprodução proibida. A utilização de todo, ou partes, do texto, figuras, quadros, ilustrações e gráficos, deverá ter a autorização expressa do autor

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ÍNDICE

INTRODUÇÃO 7

CAPÍTULO 1. MUDANÇAS DE COORDENADAS E FUNÇÕES VETORIAIS 11

1.1. Mudança de Coordenadas 12 1.1.1. Coordenadas polares 13 1.1.2. Coordenadas cilíndricas e coordenadas esféricas 15

1.2. Campos vetoriais 20 1.2.1. Divergente e rotacional 24 1.2.2. Campos conservativos 28 1.2.3. Algumas propriedades do divergente e do rotacional 32

1.3. Curvas parametrizadas 34 1.3.1. Reparametrização de uma curva 46

1.4. Exercícios propostos 48

CAPÍTULO 2. INTEGRAIS DE LINHA 53

2.1. Integral de linha de um campo escalar 53 2.1.1. Propriedades 58

2.2. Integral de linha de um campo vetorial 60

2.3. Teorema fundamental dos integrais de linha 63

2.4. Exercícios propostos 68

CAPÍTULO 3. INTEGRAIS MÚLTIPLOS 71

3.1. Integrais duplos 71 3.1.1. Cálculo do integral duplo 74 3.1.2. Integrais duplos em coordenadas polares 82 3.1.3. Teorema de Green 87

3.2. Integrais triplos 94 3.2.1. Definição e Propriedades 94 3.2.2. Cálculo do integral triplo 95

4

3.2.3. Integrais triplos em coordenadas cilíndricas e esféricas 101

3.3. Exercícios Propostos 105

CAPÍTULO 4. INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE 109

4.1. Superfícies Parametrizadas 109

4.2. Integral de superfície de um campo escalar 115

4.3. Integral de superfície de um campo vetorial 122 4.3.1. Superfícies orientadas 122 4.3.2. Integral superfície de um campo vetorial 124

4.4. Teorema de Gauss e Teorema de Stokes 128 4.4.1. Teorema de Gauss 129 4.4.2. Teorema de Stokes 135

4.5. Exercícios Propostos 141

SOLUÇÕES 145

Capítulo 1 145

Capítulo 2 147

Capítulo 3 148

Capítulo 4 149

BIBLIOGRAFIA 151

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Agradecimentos

Os autores desejam expressar o seu agradecimento ao CIDMA - Centro de Investigação e Desenvolvimento em Matemática e Aplicações e FCT-Fundação para a Ciência e a Tecnologia (UID/MAT/04106/2013 e SFRH/BSAB/114249/2016).

Desejam, também, agradecer aos vários colegas que consigo têm trabalhado ao longo dos anos nesta unidade curricular, uma vez que alguns dos exercícios propostos foram sendo colecionados durante esse tempo, tornando-se impossível determinar a sua autoria.

Este livro é dedicado aos nossos estudantes.

Aveiro, setembro de 2016

Paula Carvalho

Luís Descalço

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7

INTRODUÇÃO

Este livro é um texto introdutório dos conceitos básicos de cálculo

para funções de várias variáveis escrito de uma forma acessível, clara e

sucinta, tornando-o um texto de apoio à lecionação e ao trabalho do

estudante.

Destina-se a estudantes universitários do segundo ano de

Engenharias, de Física, ou de outros cursos da área das Ciências Naturais onde

o cálculo integral e o cálculo vetorial são componentes importantes da sua

formação. Tem como pré-requisitos o cálculo diferencial de funções de várias

variáveis, que constitui o tema do livro dos mesmos autores – Cálculo

diferencial a várias variáveis, O essencial [5] – mas também conhecimentos

de cálculo diferencial e integral de funções reais de uma variável real,

usualmente adquiridos em unidades curriculares precedentes. Além disso,

são também profícuos alguns conhecimentos de álgebra linear e geometria

analítica.

Entendemos que, neste nível de aprendizagem, é importante que o

estudante desenvolva a habilidade de calcular, com papel e lápis, mas

também usando métodos computacionais. Defendemos que o uso de

métodos computacionais exige que o estudante seja capaz de compreender

os problemas interpretando-os num contexto geométrico e, também, que

conheça os resultados teóricos e clássicos que lhe permitam fazer uma boa

interpretação dos resultados obtidos por esse meio.

Pretendemos que seja um texto simples, básico e essencial. Contém

uma coleção extensa de exemplos e exercícios resolvidos e, no final de cada

capítulo, apresenta também uma lista de exercícios propostos. Exercícios

complementares podem ainda ser encontrados em [6].

8

Neste contexto, embora tenha sido nossa preocupação manter o

rigor matemático, foi feita uma simplificação da exposição, colocando mais

enfase no cálculo do que na justificação dos resultados teóricos.

Recomendamos pois, sobretudo aos estudantes mais curiosos e ambiciosos,

a consulta da bibliografia indicada [1,2,4,7,8,9], constituída por textos

clássicos, onde se podem encontrar as demonstrações omitidas, bem como

algumas explicações mais profundas que são aqui preteridas.

O CAPÍTULO 1 está dividido em 3 secções. Na secção 1 tratam-se as

mudanças de coordenadas no plano e no espaço. Dá-se especial atenção às

coordenadas polares no plano e às coordenadas cilíndricas e coordenadas

esféricas no espaço. Na secção 2 lida-se com os campos vetoriais, que

aparecem também nos integrais de linha e nos integrais de superfície, mais

adiante. Em particular, estudam-se os campos conservativos, suas

propriedades e algumas aplicações. Na secção 3 estudam-se as curvas como

funções vetoriais preparando-se assim o estudo dos integrais de linha que se

faz posteriormente.

No CAPÍTULO 2 cobre-se o estudo dos integrais de linha. O integral

de linha é visto como uma extensão do integral definido de uma função

escalar sobre uma linha e define-se, depois, o integral de linha de um campo

vetorial. Usa-se o teorema fundamental dos integrais de linha para calcular o

trabalho ou a circulação de um campo vetorial conservativo.

O CAPÍTULO 3 é dedicado ao cálculo de integrais múltiplos. Embora

muitos dos resultados apresentados sejam válidos para qualquer dimensão,

estudam-se, em particular, os integrais duplos e triplos. Estes integrais são

vistos como extensões dos integrais definidos em dimensão inferior e

mostram-se as aplicações mais frequentes. Usam-se mudanças de

coordenadas sempre que adequado, para o cálculo dos integrais e estuda-se

o teorema de Green.

O CAPÍTULO 4 começa com a definição de superfície parametrizada

como função vetorial de dois parâmetros. Estudam-se os integrais de

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superfície como integrais que se transformam em integrais duplos, cuja

região de integração é o domínio dos parâmetros da superfície

parametrizada. Este capítulo termina com o estudo dos teoremas de Gauss e

de Stokes, fazendo-se a ligação com os assuntos tratados nos capítulos

anteriores: os integrais triplos e os integrais de linha de uma curva no espaço.

10

11

CAPÍTULO 1.

MUDANÇAS DE COORDENADAS E FUNÇÕES VETORIAIS

Este capítulo é composto por três secções. A primeira é dedicada a um breve estudo das mudanças de coordenadas no plano e no espaço; dá-se especial atenção à mudança para coordenadas polares no plano e à mudança para coordenadas cilíndricas e esféricas no espaço.

Nas secções seguintes estudam-se dois tipos especiais de funções vetoriais. Os campos vetoriais e as curvas dando enfase à visualização e traçado de curvas parametrizadas como funções que representam movimento.

No final, o estudante deve ser capaz de:

Escrever em coordenadas polares uma região plana dada em coordenadas retangulares e reciprocamente;

Escrever em coordenadas cilíndricas e em coordenadas esféricas uma região dada em coordenadas retangulares;

Escrever em coordenadas retangulares uma região dada em coorde-nadas cilíndricas ou em coordenadas esféricas;

Identificar um campo conservativo;

Calcular um potencial para um campo conservativo;

Determinar uma equação cartesiana de uma curva dada pelas suas equações paramétricas;

Parametrizar curvas no plano e no espaço;

Identificar curvas regulares;

Traçar curvas no plano e no espaço;

Escrever uma equação do plano tangente e da reta normal a uma curva num ponto.

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1.1. Mudança de Coordenadas

A escolha de um sistema de coordenadas, no plano ou no espaço, de acordo com o problema que pretendemos resolver, é um passo fundamental na obtenção da solução do problema; em certas situações, por exemplo em problemas que envolvem o cálculo de integrais, pode ser conveniente efetuar uma mudança de coordenadas.

1

Exemplo 1.1 A função definida em ℝ2 por

𝑇(𝑢, 𝑣) = (𝑥, 𝑦) = (2𝑢 − 𝑣, 𝑢 + 𝑣)

é uma mudança de coordenadas no plano. O Jacobiano de 𝑇,

𝜕(𝑥, 𝑦)

𝜕(𝑢, 𝑣)= ||

𝜕𝑥

𝜕𝑢

𝜕𝑥

𝜕𝑣

𝜕𝑦

𝜕𝑢

𝜕𝑦

𝜕𝑣

|| = |2 −1

1 1| = 3,

não se anula em ℝ2, o que permite concluir que 𝑇 é injetiva pois 𝑇 é uma

1 O Jacobiano é o determinante da matriz Jacobiana [5].

DEFINIÇÃO 1.1

Seja 𝑈 ∈ ℝ𝑛 um aberto. Uma mudança de coordenadas (ou mudança de variáveis) em 𝑈 é uma função 𝑇: 𝑈 ⊆ ℝ𝑛 → ℝ𝑛, tal que 𝑇(𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛) = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) de classe 𝐶1, injetiva, cujo Jacobiano1 não se anula, isto é,

𝜕(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛)

𝜕(𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛)=

|

|

𝜕𝑥1

𝜕𝑢1

…𝜕𝑥1

𝜕𝑢𝑛

⋮ ⋱ ⋮𝜕𝑥𝑛

𝜕𝑢1

…𝜕𝑥𝑛

𝜕𝑢𝑛

|

|≠ 0 em 𝑈.

13

aplicação linear. Aplicando esta transformação ao triângulo no plano 𝑢𝑂𝑣 cujos vértices são os pontos de coordenadas cartesianas 𝑂 = (0, 0), 𝐴 = (1, 0), 𝐵 = (0,1) obtém-se o triângulo no plano 𝑥𝑂𝑦 cujos vértices são 𝑂 = (0, 0), 𝐴′ = (2,1), 𝐵′ = (−1,1) , como se vê na Figura 1.1.

FIGURA 1.1. O TRANSFORMADO DO TRIÂNGULO [OAB] É O TRIÂNGULO [OA’B’]

1.1.1. Coordenadas polares

Para cada ponto 𝑃 = (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0) num referencial cartesiano em ℝ2,

consideremos 𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 > 0 a distância

desse ponto à origem e 𝜃 ∈ [0,2𝜋[ o ângulo que o vetor posição do ponto 𝑃 faz com a parte positiva do eixo dos 𝑥𝑥, medido no sentido anti-horário, como ilustra a Figura 1.2. Os números 𝑟 e 𝜃 são as coordenadas polares do ponto 𝑃.

A relação entre as coordenadas polares e as coordenadas cartesianas é dada por

{𝑥 = 𝑟 cos 𝜃

𝑦 = 𝑟 sin 𝜃

. (1.1)

A função vetorial que a cada (𝑟, 𝜃) faz corresponder o ponto (𝑥, 𝑦) = (𝑟 cos 𝜃, 𝑟 sin 𝜃) definida em 𝐷 = {(𝑟, 𝜃): 𝑟 > 0, 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋} , é uma bijeção e o seu Jacobiano

FIGURA 1.2. COORDENADAS

POLARES (𝑟, 𝜃) DO PONTO 𝑃

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𝜕(𝑥, 𝑦)

𝜕(𝑟, 𝜃)= ||

𝜕𝑥

𝜕𝑟

𝜕𝑥

𝜕𝜃

𝜕𝑦

𝜕𝑟

𝜕𝑦

𝜕𝜃

|| = |cos 𝜃 −𝑟 sin 𝜃

sin 𝜃 𝑟 cos 𝜃| = 𝑟 (1.2)

é não nulo em 𝐷. É possível alterar o domínio da função de modo a obter outras bijeções, em particular, é usual tomar −𝜋 ≤ 𝜃 < 𝜋. Note-se que esta função, considerada como aplicação de ℝ2 em ℝ2 não é bijetiva, mas para cada ponto (𝑟, 𝜃), com 𝑟 > 0, é sempre possível encontrar um conjunto aberto contendo esse ponto de tal modo que a sua restrição a esse aberto é uma mudança de coordenadas.

Exemplo 1.2 O ponto (𝑥, 𝑦) = (0,1) tem coordenadas polares

(𝑟, 𝜃) = (1,𝜋

2); o ponto cujas coordenadas polares são (𝑟, 𝜃) = (√2,

𝜋

4) é o

ponto (𝑥, 𝑦) = (1,1) em coordenadas cartesianas.

Como ilustrado na Figura 1.3, ao círculo centrado na origem e de raio 𝑅 corresponde, em coordenadas polares, o retângulo [0, 𝑅] × [0,2𝜋[. A Figura ilustra também que, fixando 𝑟 a equação 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 define uma circunferência centrada na origem de raio 𝑟; além disso, fixando 𝜃 (e com 0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑅) obtém-se um segmento de reta.

FIGURA 1.3. UM CÍRCULO E O CORRESPONDENTE RETÂNGULO EM COORDENADAS POLARES

Exemplo 1.3 Uma semirreta tem equação polar do tipo 𝜃 = 𝑐, sendo 𝑐 uma constante. Por exemplo, para a semirreta definida por 𝑦 = 𝑥, 𝑥 ≥ 0, fazendo

𝑥 = 𝑟 cos 𝜃, 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃, de acordo com (1.1), vem

𝑟 cos 𝜃 = 𝑟 sin 𝜃 ⇒ cos 𝜃 = sin 𝜃 ⇒ tan 𝜃 = 1 ⇒ 𝜃 =𝜋

4.

15

Uma circunferência centrada na origem de raio 𝑎 > 0, 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑎2 , tem equação polar 𝑟 = 𝑎. Por exemplo, com 𝑎 = 2 tem-se

(𝑟 cos 𝜃)2 + (𝑟 sin 𝜃)2 = 4 ⇒ 𝑟2 = 4 ⇒ 𝑟 = 2.

Equações do tipo 𝑟 = 𝑎 e 𝜃 = 𝑐 (𝑎, 𝑐 constantes) definem as chamadas curvas coordenadas no plano polar.

Na Figura 1.4 pode ver-se um retângulo polar,

𝑅′ = {(𝑟, 𝜃): 𝑎 ≤ 𝑟 ≤ 𝑏, 𝛼 ≤ 𝜃 ≤ 𝛽},

conjunto que se define de modo mais simples em coordenadas polares do que em coordenadas cartesianas.

FIGURA 1.4. COORDENADAS CARTESIANAS VERSUS COORDENADAS POLARES: RETÂNGULO POLAR

1.1.2. Coordenadas cilíndricas e coordenadas esféricas

Dado um ponto 𝑃 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) , com (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0) , em coordenadas cartesianas em ℝ3 , considerando as coordenadas polares (𝑟, 𝜃) da sua projeção no plano 𝑥𝑂𝑦 e a sua terceira coordenada 𝑧 ∈ ℝ , obtém-se as coordenadas cilíndricas (𝑟, 𝜃, 𝑧) desse ponto, satisfazendo as relações

16

{

𝑥 = 𝑟 cos 𝜃

𝑦 = 𝑟 sin 𝜃

𝑧 = 𝑧

,

onde 𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2, como ilustra a primeira imagem da Figura 1.5.

FIGURA 1.5. COORDENADAS CILÍNDRICAS E COORDENADAS ESFÉRICAS, RESPETIVAMENTE

A função vetorial que a cada (𝑟, 𝜃, 𝑧) faz corresponder o ponto (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑟 cos 𝜃 , 𝑟 sin 𝜃 , 𝑧), definida de

𝐷 = ]0, +∞[ × ℝ

para ℝ3\{(0,0,0)} é uma bijeção e o seu Jacobiano é

𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝜕(𝑟, 𝜃, 𝑧)=

|

|

𝜕𝑥

𝜕𝑟

𝜕𝑥

𝜕𝜃

𝜕𝑥

𝜕𝑧𝜕𝑦

𝜕𝑟

𝜕𝑦

𝜕𝜃

𝜕𝑦

𝜕𝑧𝜕𝑧

𝜕𝑟

𝜕𝑧

𝜕𝜃

𝜕𝑧

𝜕𝑧

|

|= |

cos 𝜃 −𝑟 sin 𝜃 0

sin 𝜃 𝑟 cos 𝜃 0

0 0 1

| = 𝑟.

À semelhança do que foi referido no caso das coordenadas polares, é possível alterar o domínio da função de modo a obter outras bijeções, que também são mudanças de coordenadas.

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Por outro lado, um dado ponto 𝑃 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) , com (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0) em coordenadas cartesianas, pode ser descrito pelas suas coordenadas esféricas (𝜌, 𝜃, 𝜙), definidas por

{

𝑥 = 𝜌 cos 𝜃 sin 𝜙

𝑦 = 𝜌 sin 𝜃 sin 𝜙

𝑧 = 𝜌 cos 𝜙

,

onde 𝜌 = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 é a distância do ponto 𝑃 à origem do sistema de

referência, 𝜃 é a amplitude do ângulo orientado desde o semieixo positivo dos 𝑥𝑥 à semirreta que parte da origem e passa pela projeção do ponto 𝑃 no

plano 𝑥𝑂𝑦, e 𝜙 a amplitude do ângulo entre o semieixo positivo dos 𝑧𝑧 e a semirreta que parte da origem e passa por 𝑃, como ilustrado na segunda imagem da Figura 1.5.

A função de ]0, +∞[ × [0,2𝜋[ × [0, 𝜋] para ℝ3\{(0,0,0)} definida por

𝑓(𝜌, 𝜃, 𝜙) = (𝜌 cos 𝜃 sin 𝜙 , 𝜌 sin 𝜃 sin 𝜙 , 𝜌 cos 𝜙) é uma bijeção cujo Jacobiano é

𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝜕(𝜌, 𝜃, 𝜙)=

|

|

𝜕𝑥

𝜕𝜌

𝜕𝑥

𝜕𝜃

𝜕𝑥

𝜕𝜙𝜕𝑦

𝜕𝜌

𝜕𝑦

𝜕𝜃

𝜕𝑦

𝜕𝜙𝜕𝑧

𝜕𝜌

𝜕𝑧

𝜕𝜃

𝜕𝑧

𝜕𝜙

|

|

= ||

cos 𝜃 sin 𝜙 −𝜌 sin 𝜃 sin 𝜙 𝜌 cos 𝜃 cos 𝜙

sin 𝜃 sin 𝜙 𝜌 cos 𝜃 sin 𝜙 𝜌 sin 𝜃 cos 𝜙

cos 𝜙 0 −𝜌 sin 𝜙

||

= −𝜌2 cos 𝜙 (sin2 𝜃 cos 𝜙 sin 𝜙 + cos2 𝜃 cos 𝜙 sin 𝜙)

− 𝜌2 sin 𝜙 (cos2 𝜃 sin2 𝜙 + sin2 𝜃 sin2 𝜙)

= −𝜌2 cos2 𝜙 sin 𝜙 − 𝜌2 sin3 𝜙 = −𝜌2 sin 𝜙.

Também aqui é possível alterar convenientemente o domínio da função de modo a obter outras bijeções, que também são mudanças de coordenadas.

18

Exemplo 1.4 O ponto cujas coordenadas cartesianas são (1,1,1) tem

coordenadas cilíndricas (√2,𝜋

4, 1) e coordenadas esféricas (√3,

𝜋

4,

𝜋

4).

Exemplo 1.5 A superfície cilíndrica dada por 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑎2(𝑎 > 0) escreve-se em coordenadas cilíndricas 𝑟 = 𝑎 . As equações do tipo 𝜃 = 𝑐 (𝑐 constante) representam semiplanos verticais e as do tipo 𝑧 = 𝑐 representam planos horizontais. Estas são as superfícies coordenadas do espaço cilíndrico. A superfície cónica de equação cartesiana 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2, tem equação, em coordenadas cilíndricas, 𝑧2 = 𝑟2 . A folha positiva desta superfície cónica é definida por 𝑧 = 𝑟 e a folha negativa por 𝑧 = −𝑟. O cilindro de raio 𝑎 e altura ℎ definido por 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 𝑎2 com 0 ≤ 𝑧 ≤ ℎ (onde 𝑎 e ℎ são constantes positivas) corresponde, em coordenadas cilíndricas, a um paralelepípedo, como ilustra a Figura 1.6.

FIGURA 1.6. COORDENADAS CILÍNDRICAS E COORDENADAS CARTESIANAS

Exemplo 1.6 A superfície esférica 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑎2(𝑎 > 0), centrada na origem de raio 𝑎, escreve-se em coordenadas esféricas 𝜌 = 𝑎 (veja a Figura 1.7); as equações do tipo 𝜃 = 𝑐 representam planos verticais (tal como no caso das coordenadas cilíndricas) e as do tipo 𝜙 = 𝑐 definem superfícies cónicas. Estas são as superfícies coordenadas do espaço esférico. Por exemplo, a folha positiva da superfície cónica de equação 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2 tem

equação, em coordenadas esféricas, 𝜙 =𝜋

4 e a folha negativa 𝜙 =

3𝜋

4.

19

FIGURA 1.7. COORDENADAS ESFÉRICAS E COORDENADAS CARTESIANAS

Exercício resolvido 1.1. Seja 𝑈 o sólido li-mitado superiormente pela superfície es-férica de equação 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 2𝑧 e inferiormente pela folha positiva de uma superfície cónica, com equação

𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2. Escrever 𝑈 em coordena-

das esféricas e em coordenadas cilíndri-cas.

Resolução. A mudança para coordenadas esféricas é dada por

{

𝑥 = 𝜌 cos 𝜃 sin 𝜙

𝑦 = 𝜌 sin 𝜃 sin 𝜙

𝑧 = 𝜌 cos 𝜙

,

logo a superfície esférica é, em coordenadas esféricas, 𝜌2 = 2𝜌 cos 𝜙 , ou seja, 𝜌 = 2 cos 𝜙. A superfície cónica é dada por

𝜌 cos 𝜙 = √𝜌2 cos2 𝜃 sin2 𝜙 + 𝜌2 sin2 𝜃 sin2 𝜙 = 𝜌 sin 𝜙 , 0 ≤ 𝜙 <𝜋

2.

De 𝜌 cos 𝜙 = 𝜌 sin 𝜙, vem 𝜙 =𝜋

4. Então o sólido 𝑈 é, em coordenadas

esféricas, o conjunto de pontos representado na Figura 1.8:

FIGURA 1.8. SÓLIDO DO EXERCÍCIO

RESOLVIDO 1.1

20

𝑈 = {(𝜌, 𝜃, 𝜙) ∈ ℝ3: 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋, 0 ≤ 𝜙 ≤𝜋

4, 0 < 𝜌 ≤ 2 cos 𝜙}.

Fazendo agora uma mudança para coordenadas cilíndricas:

{

𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃

𝑦 = 𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜃

𝑧 = 𝑧

,

a superfície esférica é dada por 𝑟2 + (𝑧 — 1)2 = 1 , donde o hemisfério

superior tem equação 𝑧 = 1 + √ 1 − 𝑟2 e a superfície cónica é dada por 𝑧 = 𝑟. A projeção do sólido no plano 𝑥𝑂𝑦 é um disco de centro na origem e raio 1, logo

0 ≤ 𝜃 < 2𝜋, 0 ≤ 𝑟 ≤ 1.

O sólido 𝑈 é, em coordenadas cilíndricas, o conjunto de pontos

𝑈 = {(𝑟, 𝜃, 𝑧) ∈ ℝ3: 0 ≤ 𝑟 ≤ 1, 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋, 𝑟 ≤ 𝑧 ≤ 1 + √1 − 𝑟2}.

1.2. Campos vetoriais

Os campos vetoriais surgem frequentemente em áreas como o eletromagnetismo e a hidrodinâmica. Alguns exemplos muito conhecidos de campos vetoriais são o campo gravitacional gerado por uma massa, o campo elétrico gerado por uma carga elétrica, o campo magnético, campos de velocidades (de partículas atmosféricas ou de um fluido em movimento). Os campos de temperaturas ou o potencial elétrico gerado por uma distribuição de cargas não são campos vetoriais mas sim campos escalares.