CALCULO INTEGRAL DIFERENCIAL 1

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FORMACIÓN PROPEDÉUTICA CALCULO DIF INTEGRAL QUINTO SEMESTRE

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  • 1. 2 PRELIMINARES Esta publicacin se termin de imprimir durante el mes de junio de 2012. Diseada en Direccin Acadmica del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora Blvd. Agustn de Vildsola; Sector Sur. Hermosillo, Sonora, Mxico La edicin consta de 2,160 ejemplares. COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE SONORA Director General Mtro. Julio Alfonso Martnez Romero Director Acadmico Dr. Manuel Valenzuela Valenzuela Director de Administracin y Finanzas C.P. Jess Urbano Limn Tapia Director de Planeacin Ing. Ral Leonel Durazo Amaya CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1 Mdulo de Aprendizaje. Copyright , 2011 por Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora todos los derechos reservados. Segunda edicin 2012. Impreso en Mxico. DIRECCIN ACADMICA Departamento de Desarrollo Curricular Blvd. Agustn de Vildsola, Sector Sur Hermosillo, Sonora. Mxico. C.P. 83280 COMISIN ELABORADORA: Elaborador: Alma Lorenia Valenzuela Chvez Revisin Disciplinaria: Margarita Len Vega Correccin de Estilo: Mara Esperanza Brau Santacruz Supervisin Acadmica: Mtra. Luz Mara Grijalva Daz Diseo: Joaqun Alfredo Rivas Samaniego Edicin: Bernardino Huerta Valdez Coordinacin Tcnica: Claudia Yolanda Lugo Peuri Diana Irene Valenzuela Lpez Coordinacin General: Dr. Manuel Valenzuela Valenzuela

2. 3PRELIMINARES Ubicacin Curricular HORAS SEMANALES: 03 CRDITOS: 06 DATOS DEL ALUMNO Nombre: _______________________________________________________________ Plantel: __________________________________________________________________ Grupo: _________________ Turno: _____________ Telfono:___________________ E-mail: _________________________________________________________________ Domicilio: ______________________________________________________________ _______________________________________________________________________ COMPONENTE: FORMACIN PROPEDUTICA GRUPO: FSICO MATEMTICO Y QUMICO BIOLGICO 3. 4 PRELIMINARES 4. 5PRELIMINARES Presentacin .........................................................................................................................................................7 Mapa de asignatura..............................................................................................................................................8 BLOQUE 1: ARGUMENTA EL ESTUDIO DEL CLCULO MEDIANTE EL ANLISIS DE SU EVOLUCIN, SUS MODELOS MATEMTICOS Y SU RELACIN CON HECHOS REALES .....9 Secuencia Didctica 1: Antecedentes del Clculo ............................................................................................10 Evolucin del clculo..................................................................................................................................11 Secuencia Didctica 2: Modelacin de problemas ...........................................................................................15 La variacin de fenmenos ........................................................................................................................16 Modelacin con funciones .........................................................................................................................19 BLOQUE 2: RESUELVE PROBLEMAS DE LMITES EN SITUACIONES DE CARCTER ECONMICO, ADMINISTRATIVO, NATURAL Y SOCIAL ....................................................................31 Secuencia Didctica 1: Lmite de una funcin...................................................................................................32 Nocin intuitiva de lmite.............................................................................................................................34 Teoremas de lmites....................................................................................................................................46 Lmite de funciones algebraicas.................................................................................................................51 Lmites de funciones trascendentes...........................................................................................................60 Lmites en el infinito.....................................................................................................................................65 Secuencia Didctica 2: Continuidad de una funcin.........................................................................................74 Funciones continuas o discontinuas..........................................................................................................75 BLOQUE 3: ANALIZA RAZONES DE CAMBIO EN FENMENOS NATURALES Y SOCIALES ...........85 Secuencia Didctica 1: La derivada como razn de cambio instantneo........................................................86 Razn de cambio instantneo....................................................................................................................93 Secuencia Didctica 2: Reglas de derivacin..................................................................................................107 Derivada de una funcin...........................................................................................................................109 BLOQUE 4: CALCULA E INTERPRETA MXIMOS Y MNIMOS APLICADOS A PROBLEMAS DE OPTIMIZACIN ..................................................................................................................................135 Secuencia Didctica 1: Aplicaciones de la derivada.......................................................................................136 Puntos crticos de una funcin .................................................................................................................139 Criterio de la primera derivada para la clasificacin de los puntos crticos de una funcin...................146 Resolucin de problemas de optimizacin..............................................................................................160 Secuencia Didctica 2: Concavidad de una funcin.......................................................................................166 Criterio de la segunda derivada ...............................................................................................................167 Bibliografa ........................................................................................................................................................178 ndice 5. 6 PRELIMINARES 6. 7PRELIMINARES Una competencia es la integracin de habilidades, conocimientos y actitudes en un contexto especfico. El enfoque en competencias considera que los conocimientos por s mismos no son lo ms importante, sino el uso que se hace de ellos en situaciones especficas de la vida personal, social y profesional. De este modo, las competencias requieren una base slida de conocimientos y ciertas habilidades, los cuales se integran para un mismo propsito en un determinado contexto. El presente Mdulo de Aprendizaje de la asignatura Calculo Diferencial e Integral 1, es una herramienta de suma importancia, que propiciar tu desarrollo como persona visionaria, competente e innovadora, caractersticas que se establecen en los objetivos de la Reforma Integral de Educacin Media Superior que actualmente se est implementando a nivel nacional. El Mdulo de aprendizaje es uno de los apoyos didcticos que el Colegio de Bachilleres te ofrece con la intencin de estar acorde a los nuevos tiempos, a las nuevas polticas educativas, adems de lo que demandan los escenarios local, nacional e internacional; el mdulo se encuentra organizado a travs de bloques de aprendizaje y secuencias didcticas. Una secuencia didctica es un conjunto de actividades, organizadas en tres momentos: Inicio, desarrollo y cierre. En el inicio desarrollars actividades que te permitirn identificar y recuperar las experiencias, los saberes, las preconcepciones y los conocimientos que ya has adquirido a travs de tu formacin, mismos que te ayudarn a abordar con facilidad el tema que se presenta en el desarrollo, donde realizars actividades que introducen nuevos conocimientos dndote la oportunidad de contextualizarlos en situaciones de la vida cotidiana, con la finalidad de que tu aprendizaje sea significativo. Posteriormente se encuentra el momento de cierre de la secuencia didctica, donde integrars todos los saberes que realizaste en las actividades de inicio y desarrollo. En todas las actividades de los tres momentos se consideran los saberes conceptuales, procedimentales y actitudinales. De acuerdo a las caractersticas y del propsito de las actividades, stas se desarrollan de forma individual, binas o equipos. Para el desarrollo del trabajo debers utilizar diversos recursos, desde material bibliogrfico, videos, investigacin de campo, etc. La retroalimentacin de tus conocimientos es de suma importancia, de ah que se te invita a participar de forma activa, de esta forma aclarars dudas o bien fortalecers lo aprendido; adems en este momento, el docente podr tener una visin general del logro de los aprendizajes del grupo. Recuerda que la evaluacin en el enfoque en competencias es un proceso continuo, que permite recabar evidencias a travs de tu trabajo, donde se tomarn en cuenta los tres saberes: el conceptual, procedimental y actitudinal con el propsito de que apoyado por tu maestro mejores el aprendizaje. Es necesario que realices la autoevaluacin, este ejercicio permite que valores tu actuacin y reconozcas tus posibilidades, limitaciones y cambios necesarios para mejorar tu aprendizaje. As tambin, es recomendable la coevaluacin, proceso donde de manera conjunta valoran su actuacin, con la finalidad de fomentar la participacin, reflexin y crtica ante situaciones de sus aprendizajes, promoviendo las actitudes de responsabilidad e integracin del grupo. Nuestra sociedad necesita individuos a nivel medio superior con conocimientos, habilidades, actitudes y valores, que les permitan integrarse y desarrollarse de manera satisfactoria en el mundo social, profesional y laboral. Para que contribuyas en ello, es indispensable que asumas una nueva visin y actitud en cuanto a tu rol, es decir, de ser receptor de contenidos, ahora construirs tu propio conocimiento a travs de la problematizacin y contextualizacin de los mismos, situacin que te permitir: Aprender a conocer, aprender a hacer, aprender a ser y aprender a vivir juntos. Presentacin 7. estas son CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1 La evolucin del Clculo Modelar problemas Lmites de funciones Continuidad La derivada de la funcin Teoremas sobre derivadas Polinomiales Racionales Trigonomtricas Logartmicas Exponenciales Teoremas Lmites unilaterales. Lmites absolutos. Lmites en el infinito y al infinito. Razn de cambio Criterio de la primera derivada Optimizacin de funciones Concavidad de funciones Trazo de curvas Valores mximos y mnimos contiene con el fin de para se determinan los se interpreta como para obtener en relacin con para para Resolver problemas de diferentes sectores productivos, ambientales y sociales mediante aplicando se define como Funciones algebraicas Funciones trascendentales Criterio de la segunda derivada Funciones crecientes y decrecientes La pendiente de la recta tangente se interpreta como se calculan por medio del para determinar 8. Tiempo asignado: 10 horas Argumenta el estudio del clculo mediante el anlisis de su evolucin, sus modelos matemticos y su relacin con hechos reales. Competencias disciplinares: Construye e interpreta modelos matemticos mediante la aplicacin de procedimientos aritmticos, algebraicos, geomtricos y variacionales, para la comprensin y anlisis de situaciones reales, hipotticas o formales. Formula y resuelve problemas matemticos, aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Argumenta la solucin obtenida de un problema, con mtodos numricos, grficos, analticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemtico y el uso de las tecnologas de la informacin y la comunicacin. Analiza las relaciones entre dos o ms variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemticamente las magnitudes del espacio y las propiedades fsicas de los objetos que lo rodean. Interpreta tablas, grficas, mapas, diagramas y textos con smbolos matemticos y cientficos. Unidad de competencia: Construye e interpreta modelos matemticos sencillos, mediante la aplicacin de procedimientos aritmticos y geomtricos. Explica e interpreta los resultados obtenidos en el anlisis de la evolucin histrica del estudio del clculo y los contrasta con su aplicacin en situaciones reales. Argumenta la solucin obtenida de un problema, con modelos matemticos sencillos y su representacin grfica. Enfrenta las dificultades que se le presentan y es consciente de sus valores, fortalezas y debilidades al trabajar los modelos matemticos. Atributos a desarrollar en el bloque: 4.1. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingsticas, matemticas o grficas. 5.1. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cmo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 5.4. Construye hiptesis y disea y aplica modelos para probar su validez. 5.6. Utiliza las tecnologas de la informacin y comunicacin para procesar e interpretar informacin. 6.1. Elige las fuentes de informacin ms relevantes para un propsito especfico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad. 7.1. Define metas y da seguimiento a sus procesos de construccin de conocimientos. 8.1. Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de accin con pasos especficos. 8.2. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo. 9. 10 ARGUMENTA EL ESTUDIO DEL CLCULO MEDIANTE EL ANLISIS DE SU EVOLUCIN, SUS MODELOS MATEMTICOS Y SU RELACIN CON HECHOS REALES Secuencia didctica 1. Antecedentes del Clculo. Inicio Evaluacin Actividad:1 Producto: Descripcin y cuestionario. Puntaje: Saberes Conceptual Procedimental Actitudinal Reconoce personajes que contribuyeron al desarrollo de las Matemticas. Explica las contribuciones a las Matemticas de personajes de la historia. Describe en forma clara y limpia las contribuciones de diferentes personajes de la historia, a las Matemticas. Autoevaluacin C MC NC Calificacin otorgada por el docente Realiza lo siguiente. I. Enuncia cinco personajes de la historia que hayan contribuido con el desarrollo de las Matemticas. 1) __________________________________________________________________________________________ 2) __________________________________________________________________________________________ 3) __________________________________________________________________________________________ 4) __________________________________________________________________________________________ 5) __________________________________________________________________________________________ II. Describe cules fueron las aportaciones de los personajes que mencionaste. III. Por qu crees que es importante conocer la historia de las Matemticas? IV. Cules crees que son los beneficios que han aportado las Matemticas en tu vida? Actividad: 1 10. 11BLOQUE 1 Desarrollo Evolucin del Clculo. El clculo es la rama de las matemticas que se ocupa del estudio de los cambios en las variables, pendientes de curvas, valores mximos y mnimos de funciones y de la determinacin de longitudes, reas y volmenes. Se utiliza para el anlisis y la solucin de mltiples problemas que se presentan en la naturaleza, en la ciencia y en la vida diaria. Evaluacin Actividad: 2 Producto: Lnea del tiempo. Puntaje: Saberes Conceptual Procedimental Actitudinal Describe el origen del Clculo y sus aportaciones. Representa el origen del Clculo y sus aportaciones. Es creativo al realizar la representacin de los acontecimientos que dieron origen al Clculo. Autoevaluacin C MC NC Calificacin otorgada por el docente Realiza lo que se te solicita. 1. Investiga cmo se origin el Clculo y las aportaciones que se hicieron al mismo. 2. Realiza una lnea del tiempo en donde plasmes los acontecimientos, incluyendo fechas, hechos e imgenes de los principales aportadores. 3. Una vez que hayas elaborado la lnea del tiempo, pgala en el siguiente espacio, de manera que quede doblado en el interior del mdulo y no haya dificultad alguna al momento de mostrarlo a tu profesor. Actividad: 2 11. 12 ARGUMENTA EL ESTUDIO DEL CLCULO MEDIANTE EL ANLISIS DE SU EVOLUCIN, SUS MODELOS MATEMTICOS Y SU RELACIN CON HECHOS REALES Evaluacin Actividad: 3 Producto: Presentacin. Puntaje: Saberes Conceptual Procedimental Actitudinal Expone una breve biografa de un personaje que aport en gran medida al desarrollo del Clculo. Sintetiza la informacin obtenida y la reestructura en una presentacin. Cumple con los requisitos de la exposicin. Coevaluacin C MC NC Calificacin otorgada por el docente Realicen en equipo lo siguiente: I. Elijan un personaje que haya contribuido en gran medida al desarrollo del Clculo, escribe su nombre en la lnea. ___________________________________________________ II. Realicen una presentacin en Power Point, que contenga los siguientes puntos: 1. Datos generales del personaje (nombre completo, lugar, fecha de nacimiento y ocupacin). 2. Aspectos de su infancia y adolescencia. 3. Su trayectoria como cientfico. 4. Cules fueron sus aportaciones al Clculo. III. La presentacin deber contener imgenes alusivas al personaje y su duracin ser de mximo 10 minutos. IV. En la presentacin incluirn una diapositiva final que contenga el nombre de los integrantes del equipo, su aportacin a la investigacin y presentacin del personaje. V. Estos son algunos de los aspectos que debern cuidar en la exposicin. Aspectos generales: Puntualidad. Uso del tiempo. Originalidad en la presentacin. Contacto visual. Tono de voz. Contenido: Vocabulario. Dominio del contenido. Procura la atencin de sus compaeros. Secuencialidad. Lmina: Tamao de letra Ortografa. Rotulado. Calidad del contenido presentado. Actividad: 3 12. 13BLOQUE 1 Cierre Realiza lo siguiente: I. Escribe con tus propias palabras una cuartilla sobre la importancia del Clculo en la sociedad actual. Para hacerlo tienes que dar respuesta a los siguientes cuestionamientos. 1) Qu es el Clculo Diferencial e Integral? 2) Cmo se ha desarrollado a travs del tiempo? 3) Cules son las aplicaciones del Clculo en la actualidad? 4) En tu entorno, dnde se aplica el Clculo? II. Para realizar tu escrito considera los siguientes aspectos: Estructura el ttulo. Utiliza las palabras ms adecuadas para expresar tus ideas. Elabora las oraciones de forma coherente y lgica. Revisa que estn correctos los signos de puntuacin, letras maysculas y los acentos. Elabora un borrador para que te ayude a estructurar mejor tu escrito final y lo plasmes en la siguiente hoja. _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ Actividad: 4 13. 14 ARGUMENTA EL ESTUDIO DEL CLCULO MEDIANTE EL ANLISIS DE SU EVOLUCIN, SUS MODELOS MATEMTICOS Y SU RELACIN CON HECHOS REALES Evaluacin Actividad: 4 Producto: Escrito. Puntaje: Saberes Conceptual Procedimental Actitudinal Identifica las aplicaciones del Clculo y su desarrollo a travs del tiempo. Opina sobre la importancia del Clculo en la sociedad actual. Cumple con los requisitos indicados para realizar el escrito. Autoevaluacin C MC NC Calificacin otorgada por el docente ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ Actividad: 4 (continuacin) 14. 15BLOQUE 1 Secuencia didctica 2. Modelacin de problemas. Inicio Evaluacin Actividad:1 Producto: Complementacin de la tabla. Puntaje: Saberes Conceptual Procedimental Actitudinal Identifica el nombre, figura y frmulas de diferentes figuras geomtricas. Expresa el nombre, figura y frmulas de diferentes figuras geomtricas. Despeja variables de frmulas. Se interesa por realizar la actividad. Autoevaluacin C MC NC Calificacin otorgada por el docente Completa la siguiente tabla. Nombre Figura geomtrica Frmulas Despeje Rectngulo h2b2P b hbA b b a h A h V a r b r2P r 2 rA r Esfera 2 r4A r 3 r 3 4 V r r b h r b A r V h Cono hr 3 1 V 2 h 222 rhrrA h Actividad: 1 15. 16 ARGUMENTA EL ESTUDIO DEL CLCULO MEDIANTE EL ANLISIS DE SU EVOLUCIN, SUS MODELOS MATEMTICOS Y SU RELACIN CON HECHOS REALES Desarrollo La variacin de fenmenos. Es imposible imaginar al mundo que nos rodea sin movimiento; has notado que todo lo que te rodea est cambiando? Cambia la distancia a la que se encuentran dos personas cuando se aleja una de otra, la altura en que se encuentra una persona cuando se tira en paracadas; la temperatura de un lquido al aplicarle calor, la velocidad con que se transporta un sujeto en su automvil, de una ciudad a otra, etc. y no nada ms a los cambios que surgen en el transcurrir del tiempo, sino a cambios que se establecen para optimizar el desarrollo de la sociedad, como son: la distribucin de las casas, los materiales con los que estn hechas, el cambio de las rutas del trasporte urbano conforme crece la poblacin, y as como estos ejemplos, podras encontrar una gran diversidad de problemas en los que es necesario la optimizacin de alternativas que tienen que ver con las variables involucradas y sus cambios. En el estudio de la variacin, se pueden encontrar diversos tipos de problemas que se representan de diferentes formas, como son: tablas, grficas, analticas, entre otras, esto lo manejaste en Matemticas 4. Conjugar las diferentes representaciones ayuda a tener una mejor perspectiva de los problemas para as poder darles solucin. Para encontrar la representacin analtica de un problema, es importante establecer la dependencia de las variables, es decir, determinar cmo cambia una cantidad cuando vara otra, en otras palabras, cundo una cantidad est en funcin de otra. Por ejemplo: El tiempo que tarda un automvil en recorrer una distancia determinada, depende de la velocidad que lleva. El volumen de un recipiente, depende de la forma y el tamao. La cantidad de lquido en un recipiente que se coloca en el fuego, depende del tiempo que se exponga y la intensidad de calor. El nivel de agua en una presa, depende de muchas variables, algunas de ellas son, la cantidad que pierde al evaporarse, la cantidad de agua que ingresa de otras afluencias, la cantidad de lluvia, la cantidad que pierde al abastecer a las diferentes comunidades, etc. El costo de elaboracin de un recipiente cilndrico de determinado volumen, depende del material con que se elabora, del rea de la superficie del cilindro, etc. El costo de produccin del recipiente anterior, tiene muchas variables, depende de la cantidad de trabajadores, de la calidad del producto, del tiempo de produccin, de la maquinaria, etc. 16. 17BLOQUE 1 En equipo, analicen de qu depende cada una de las siguientes situaciones y enumera la mayor cantidad posible. 1. El volumen de un globo que se est inflando. 2. El nivel del agua de un recipiente cilndrico cerrado que es llenado hasta la mitad al ir girando hasta 180o , es decir, que la tapa queda como base. 3. La velocidad a la que cae una pelota. 4. La distancia a la que llega un proyectil. 5. Lo que pagas por consumo de luz en un mes. Actividad: 2 17. 18 ARGUMENTA EL ESTUDIO DEL CLCULO MEDIANTE EL ANLISIS DE SU EVOLUCIN, SUS MODELOS MATEMTICOS Y SU RELACIN CON HECHOS REALES Evaluacin Actividad: 2 Producto: Descripcin. Puntaje: Saberes Conceptual Procedimental Actitudinal Identifica las relaciones entre las variables que componen una situacin. Distingue las relaciones entre las variables que componen una situacin. Es respetuoso y muestra inters en la opinin de sus compaeros. Aporta ideas claras para la realizacin de la actividad. Coevaluacin C MC NC Calificacin otorgada por el docente 6. El rea de un crculo. 7. El volumen de un cilindro. 8. El volumen de un prisma. 9. El sueldo de un trabajador. 10. El costo de un determinado artculo. Actividad: 2 (continuacin) 18. 19BLOQUE 1 Modelacin con funciones. Una de las representaciones ms usadas en los laboratorios e industrias son los registros numricos o tablas, sta se lleva a cabo, tomando el registro del comportamiento de la situacin en cada instante de tiempo, con instrumentos especializados, donde se puede medir la velocidad, la temperatura, la posicin de una partcula, la presin, la fuerza, etc. Cuando se tiene el registro numrico de un problema, se pueden analizar varios aspectos como es la velocidad con que cambian los factores involucrados, tambin se puede predecir el comportamiento futuro, bosquejar una grfica o bien, si no se tiene toda la informacin del problema, se pueden determinar las condiciones iniciales en las que se llev a cabo. Desafortunadamente, la exactitud del anlisis de una tabla depende del nmero de registros que se hayan recabado, adems del tamao de intervalos en los que se tom la lectura, como por ejemplo: Tres personas hicieron 10 registros con sensores conectados a una computadora, de la posicin de un automvil que transita por una carretera recta al transcurrir el tiempo y obtuvieron los siguiente resultados. Donde t es el tiempo transcurrido en segundos y x es la posicin del automvil medida en metros. Si no se tuviera la informacin del problema, a simple vista se podra pensar que se trata de tres situaciones diferentes, pero al observar las tablas anteriores se puede determinar que se trata del mismo auto o tres automviles que salieron al mismo tiempo y llevan hasta los 2.25 s la misma velocidad constante; debido a que en las tres tablas la posicin inicial es de 20 m. Para complementar el anlisis de un problema, se puede utilizar la representacin grfica, utilizando los datos de una tabla, con el propsito de obtener informacin ms detallada del problema. Por supuesto, si se tiene la representacin analtica (funcin) de una situacin, se conoce exactamente el comportamiento numrico y grfico en cada instante. Como por ejemplo, si se grafican las tablas anteriores, se observa que tienen la misma inclinacin, cortan al eje vertical en el mismo punto y se pueden modelar mediante una funcin lineal, como se muestra a continuacin. t x 0 20 1 50 2 80 3 110 4 140 5 170 6 200 7 230 8 260 9 290 t x 0.0 20 0.5 35 1.0 50 1.5 65 2.0 80 2.5 95 3.0 110 3.5 125 4.0 140 4.5 155 t x 0.00 20.0 0.25 27.5 0.50 35.0 0.75 42.5 1.00 50.0 1.25 57.5 1.50 65.0 1.75 72.5 2.00 80 2.25 87.5 Persona 2 Persona 3 . Persona 1 19. 20 ARGUMENTA EL ESTUDIO DEL CLCULO MEDIANTE EL ANLISIS DE SU EVOLUCIN, SUS MODELOS MATEMTICOS Y SU RELACIN CON HECHOS REALES t(s) x(m) t(s) x(m) t(s) x(m) La funcin anterior se conoce como funcin lineal y en Matemticas 3 la conociste en su forma pendiente-ordenada en el origen. En ocasiones, a partir de un registro numrico, se puede generalizar y establecer en forma analtica (funcin) la relacin que existe entre las variables involucradas y de esta forma, llevar a cabo un anlisis ms completo del comportamiento del problema y as poder determinar con exactitud la grfica. Adems, si se tiene de forma detallada alguna situacin, se puede modelar con una funcin y as poder encontrar aspectos importantes para su manejo y solucin. Enseguida se presentan la modelacin con funciones, mediante la descripcin detallada de algunas situaciones. Ejemplo 1. El volumen de una caja rectangular sin tapa, en funcin de los cuadrados de longitud x que se recortan en los extremos de una lmina de 60 cm de largo, por 40 cm de ancho. 60 2x 40 2x x 60 x 40 )x)(x240)(x260()x(V x2400x200x4)x(V 23 20t30)t(x Posicin inicial Velocidad del automvil 20. 21BLOQUE 1 Si se conoce la representacin analtica de un problema, se pueden representar de forma numrica y grfica los factores ms importantes que intervienen en el anlisis de la situacin; como por ejemplo, la funcin que se obtuvo del volumen de la caja sin tapa, qued determinada de la siguiente forma: x2400x200x4)x(V 23 De tal manera que, si se quiere conocer cmo vara el volumen cuando cambia la longitud del cuadrado recortado, slo es necesario asignarle valores a la longitud y se obtendrn los respectivos valores del volumen, como se mencion con anterioridad, el registro numrico ser tan exacto como t quieras, debido a la forma en que vayas proporcionando el incremento de la longitud, por ejemplo: x V(x) 3 5508 4 6656 5 7500 6 8064 7 8372 8 8448 9 8316 10 8000 Si se observa la tabla, se puede notar cmo a medida que cambia la longitud, vara el volumen y si se sustituyen ms valores de x en la tabla, se puede obtener un mejor acercamiento de la grfica, como se muestra a continuacin: La tabla se realiz mediante Excel; de tal manera, que si deseas hacer una tabla con incrementos ms pequeos, comenta con tu maestro y con el mismo paquete informtico, puedes hacer una grfica ms fina que la anterior, para que puedas tener una informacin ms exacta del problema. x V(x) 0 0 1 2204 2 4032 3 5508 4 6656 5 7500 6 8064 7 8372 8 8448 9 8316 10 8000 11 7524 12 6912 13 6188 14 5376 15 4500 16 3584 17 2652 18 1728 19 836 20 0 V(x) x ( c m . ) 21. 22 ARGUMENTA EL ESTUDIO DEL CLCULO MEDIANTE EL ANLISIS DE SU EVOLUCIN, SUS MODELOS MATEMTICOS Y SU RELACIN CON HECHOS REALES Evaluacin Actividad: 3 Producto: Cuestionario. Puntaje: Saberes Conceptual Procedimental Actitudinal Reconoce caractersticas importantes para la solucin del problema. Detecta algunas caractersticas del problema, para graficarlo y darle solucin. Se interesa en el anlisis de los cuestionamientos y aporta ideas claras y concisas de su solucin. Autoevaluacin C MC NC Calificacin otorgada por el docente De la informacin antes obtenida del problema de la caja, analiza y comenta en clase las respuestas a las siguientes preguntas. 1. Qu ocurre con el volumen de la caja a medida que se cortan cuadros cada vez ms grandes? 2. Cul es el cuadrado tomado como base de la caja de mayor tamao que se puede recortar? 3. Existe una caja que tenga el volumen mximo? Justifica tu respuesta. 4. Cul ser la longitud del cuadrado base que se recorta para construir la caja de mximo volumen? 5. De qu forma se podra conocer la longitud del cuadrado, tomado como base de la caja que nos da mayor volumen? 6. Cmo sera la grfica de la funcin que describe a este problema? Actividad: 3 22. 23BLOQUE 1 Ejemplo 2. Expresar el rea de la caja anterior, en funcin de la longitud del lado de los cuadrados. Para expresar el rea de la caja, se tiene que encontrar primero el rea de cada uno de los rectngulos que la forman. VIVIIIIII AAAAA)x(A 2400x200x4A x40x2AA x60x2AA 2 III 2 IVII 2 VI Por lo tanto, la funcin queda: 2400x4)x(A 2400x200x4)x40x2(2)x60x2(2)x(A 2 222 Ejemplo 3. Una bola de billar recorre la trayectoria indicada por el diagrama siguiente: Para expresar la longitud L en funcin del ngulo , es necesario recordar los temas de tringulos semejantes y funciones trigonomtricas, debido a que los ngulos de los tringulos ACB y DCE tienen la misma medida. Si al segmento BC se le asigna la letra x, se obtiene la siguiente expresin: x x52.1 73.0 L )x52.1)(73.0()x)(L( Al realizar el despeje de L se obtiene: 73.0 x 1096.1 L De tal forma que utilizando las funciones trigonomtricas, la longitud L en funcin de es: 73.0tan52.1)(L I III 60 2x 40 2xII IV V E C A B D 0.73 m L 1.52 m 23. 24 ARGUMENTA EL ESTUDIO DEL CLCULO MEDIANTE EL ANLISIS DE SU EVOLUCIN, SUS MODELOS MATEMTICOS Y SU RELACIN CON HECHOS REALES Ejemplo 4. Expresar la cantidad de alambre (L) necesaria para cercar un terreno rectangular de 1800 m2 en dos porciones iguales, con una cerca adicional paralela a dos de los lados, como se muestra en la figura, en trmino de la longitud x. La cantidad de alambre (permetro) se expresa mediante la frmula y3x2L Tomando en cuenta que el rea es de 1800 m2 , se obtiene la siguiente expresin: xy1800 De tal forma que la cantidad de alambre en funcin de x es: x 5400 x2)x(L x 1800 m2 y En equipo, redacten 5 preguntas para cada uno de los ejemplos 2, 3 y 4 de esta secuencia, de tal forma que describa el comportamiento de cada funcin, para posteriormente dar una conclusin grupal a cada una de ellas. Descripcin Dibujo Funcin que lo modela Expresar el rea de la caja anterior en funcin de la longitud de los lados de los cuadrados. I III 60 2x 40 2xII IV V 2400x4)x(A 2 Preguntas Conclusin: Actividad: 4 24. 25BLOQUE 1 Descripcin Dibujo Funcin que lo modela Una bola de billar recorre la trayectoria indicada por el diagrama. Expresar la longitud L en funcin del ngulo . 73.0tan52.1)(L Preguntas Conclusin: Actividad: 4 (continuacin) 25. 26 ARGUMENTA EL ESTUDIO DEL CLCULO MEDIANTE EL ANLISIS DE SU EVOLUCIN, SUS MODELOS MATEMTICOS Y SU RELACIN CON HECHOS REALES Evaluacin Actividad: 4 Producto: Conclusin grupal. Puntaje: Saberes Conceptual Procedimental Actitudinal Comprende las caractersticas principales de las funciones que describen el problema. Disea cuestionamientos que describe el comportamiento de la funcin que modela el problema. Es propositivo para disear las preguntas, escucha y respeta las opiniones de sus compaeros. Coevaluacin C MC NC Calificacin otorgada por el docente Descripcin Dibujo Funcin que lo modela Expresar la cantidad de alambre (L) necesaria para cercar un terreno rectangular de 1800 m2 en dos porciones iguales, con una cerca adicional paralela a dos de los lados, como se muestra en la figura, en trmino de la longitud x. x 1800 m2 y x 5400 x2)x(L Preguntas Conclusin: Actividad: 4 (continuacin) 26. 27BLOQUE 1 Cierre Modela los siguientes problemas: 1. Expresa el rea de un cono circular en funcin de la altura, si el volumen es de 50 cm3 . 2. Se desea construir un cilindro de 60 cm3 de volumen, expresa el rea del cilindro en funcin de su radio. Actividad: 5 27. 28 ARGUMENTA EL ESTUDIO DEL CLCULO MEDIANTE EL ANLISIS DE SU EVOLUCIN, SUS MODELOS MATEMTICOS Y SU RELACIN CON HECHOS REALES 3. Se desea fabricar un tanque de gas estacionario en forma de cilindro circular horizontal de 3.5 m de largo, para una fbrica de muebles. Expresa el volumen en funcin del radio. 4. Don Agustn hered a su hijo un terreno rectangular de 1,500 m2 . Si tiene la oportunidad de elegir las dimensiones del terreno, determina la longitud del alambre que utilizar para cercarlo, en funcin de uno de sus lados. Actividad: 5 (continuacin) 28. 29BLOQUE 1 Evaluacin Actividad: 5 Producto: Problemas de aplicacin. Puntaje: Saberes Conceptual Procedimental Actitudinal Relaciona las variables que componen un problema. Construye la funcin que modela un problema. Es creativo y muestra inters en realizar la actividad. Autoevaluacin C MC NC Calificacin otorgada por el docente 5. Un alambre de 1 m de longitud debe ser cortado en dos pedazos, uno ha de ser doblado formando un cuadro y otro formando un crculo, expresa la suma de las reas de las dos figuras en funcin de la cantidad x que debe ser cortada del alambre. Actividad: 5 (continuacin) 29. 30 ARGUMENTA EL ESTUDIO DEL CLCULO MEDIANTE EL ANLISIS DE SU EVOLUCIN, SUS MODELOS MATEMTICOS Y SU RELACIN CON HECHOS REALES 30. Tiempo asignado: 15 horas Resuelve problemas de lmites en situaciones de carcter econmico, administrativo, natural y social. Competencias disciplinares: Construye e interpreta modelos matemticos mediante la aplicacin de procedimientos aritmticos, algebraicos, geomtricos y variacionales, para la comprensin y anlisis de situaciones reales, hipotticas o formales. Formula y resuelve problemas matemticos, aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Argumenta la solucin obtenida de un problema, con mtodos numricos, grficos, analticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemtico y el uso de las tecnologas de la informacin y la comunicacin. Analiza las relaciones entre dos o ms variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemticamente las magnitudes del espacio y las propiedades fsicas de los objetos que lo rodean. Interpreta tablas, grficas, mapas, diagramas y textos con smbolos matemticos y cientficos. Unidad de competencia: Aplica el concepto de lmite a partir de la resolucin de problemas econmicos, administrativos, naturales y sociales de la vida cotidiana. Calcula lmites a partir de la elaboracin de grficas en algn software y su interpretacin de las representaciones grficas de funciones, mostrando habilidades en la resolucin de problemas de situaciones cotidianas. Atributos a desarrollar en el bloque: 4.1. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingsticas, matemticas o grficas. 5.1. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cmo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 5.4. Construye hiptesis y disea y aplica modelos para probar su validez. 5.6. Utiliza las tecnologas de la informacin y comunicacin para procesar e interpretar informacin. 6.1. Elige las fuentes de informacin ms relevantes para un propsito especfico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad. 7.1. Define metas y da seguimiento a sus procesos de construccin de conocimientos. 8.1. Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de accin con pasos especficos. 8.2. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo. 31. 32 RESUELVE PROBLEMAS DE LMITES EN SITUACIONES DE CARCTER ECONMICO, ADMINISTRATIVO, NATURAL Y SOCIAL Secuencia didctica 1. Lmite de una funcin. Inicio Realiza lo siguiente: 1. Una agencia de renta de automviles cobra $60 diarios por alquiler de un automvil, ms $0.40 por km. a) Escribe la frmula del costo total de la renta por da. b) Si rentas un carro por un da, cuntos kilmetros podra recorrer por $220? 2. El precio de una computadora personal (en pesos) est dado por la expresin , donde x es el tiempo en meses. a) Cul ser el precio de una computadora dentro de 6 meses? b) Cunto bajar el precio del sptimo al octavo mes? c) En qu tiempo ser de $9,200? d) Qu pasa con el precio conforme aumenta el tiempo? e) Consideras posible que la computadora salga gratis en un determinado nmero de meses? Justifica tu respuesta. Actividad: 1 32. 33BLOQUE 2 Evaluacin Actividad:1 Producto: Problemas aplicados. Puntaje: Saberes Conceptual Procedimental Actitudinal Describe el comportamiento de la funcin que modela un problema de la vida cotidiana. Analiza el comportamiento de funciones que modela problemas de la vida cotidiana. Muestra inters al realizar la actividad, expresa sus ideas y corrige sus errores. Autoevaluacin C MC NC Calificacin otorgada por el docente 3. Traza la grfica de una funcin que satisfaga las siguientes condiciones: Es creciente en el intervalo [6, 0 ). Es constante de valor 2 en el intervalo [0, 5] Es decreciente en (5, 10] y Actividad: 1 (continuacin) 33. 34 RESUELVE PROBLEMAS DE LMITES EN SITUACIONES DE CARCTER ECONMICO, ADMINISTRATIVO, NATURAL Y SOCIAL Desarrollo Nocin intuitiva de lmite. En el lenguaje ordinario, la palabra lmite tiene un carcter esttico y significa trmino, confn o lindero. Sin embargo, en Clculo, el concepto de lmite es un concepto dinmico y tiene que ver con la idea de acercarse lo ms posible a un punto o un valor. En otras ocasiones tiene que ver con la idea de alejarse lo ms posible del origen, o hacer lo ms grande posible un nmero. A continuacin se ver la nocin de lmite a partir de ejemplos prcticos. Si se observa el velocmetro de un automvil cuando est en marcha, sobre todo en el trfico de una ciudad, la aguja de ste se mueve constantemente, debido a que registra la velocidad definida en cada momento, puede verse que la aguja no permanece inmvil mucho tiempo, es decir, la velocidad del auto no es constante. Al observar el velocmetro, se supone que el vehculo tiene una velocidad definida en cada momento, la cual se denomina velocidad instantnea. Sin este instrumento sera prcticamente imposible conocer la velocidad instantnea, sin embargo, se puede calcular la velocidad promedio del automvil, dividiendo la distancia recorrida entre el tiempo transcurrido. Para conocer la velocidad instantnea a partir de las velocidades promedio, es necesario recurrir al lmite, como se observar en el siguiente ejemplo: Ejemplo 1. Se deja caer una pelota desde lo alto de la torre Latinoamericana, la cual mide 204 m de altura. Encontrar la velocidad de la pelota a los 5 segundos despus de que se solt. Para resolver este problema se tiene que tomar en cuenta el descubrimiento que hizo Galileo Galilei en el siglo XVI, el cual determin que la distancia que recorre cualquier cuerpo que cae libremente, es proporcional al cuadrado del tiempo que ha estado cayendo. Si la distancia recorrida despus de t segundos se denota mediante d(t) y se mide en metros, entonces la ley de Galileo se expresa con la ecuacin: 2 t9.4td En el problema se desea encontrar la velocidad instantnea, debido a que especifica el momento en que se requiere saber la velocidad, la cual es a los 5 segundos, es por ello que se recurrir a la velocidad promedio o media (vm) para calcular ste valor. dotranscurriTiempo recorridaciatanDis mediaVelocidad Entonces, si se considera el intervalo de tiempo desde t=5 hasta t=5.5, la velocidad promedio es: if if m tt dd V Donde fd es la distancia en el tiempo final 5.5tf y id es la distancia en el tiempo inicial 5tf , de tal manera que la velocidad media se obtiene de la siguiente manera: 55.5 )5(d)5.5(d Vm Como la distancia recorrida despus de t segundos est expresada por 2 t9.4td , se tiene: s m 22 m 45.51 55.5 )5(9.4)5.5(9.4 v El resultado anterior corresponde a la velocidad promedio en el intervalo de [5.55] segundos; como se desea saber la velocidad exactamente a los 5 segundos, se ir acortando el intervalo de manera que se haga lo suficientemente pequeo y cercano a 5 segundos, para aproximar cul ser la velocidad en ese instante. 34. 35BLOQUE 2 Ahora se tomar el intervalo un intervalo ms pequeo. Por lo tanto, la velocidad media para ese intervalo ser: s m 22 m 49.49 51.5 )5(9.4)1.5(9.4 51.5 )5(d)1.5(d v Mediante clculos similares, se pueden ir tomando intervalos cada vez ms pequeos, como se aprecian en la siguiente tabla: Intervalo de tiempo (s) Velocidad promedio (m/s) 5 5.5 51.45 5 5.1 49.49 5 5.05 49.245 5 5.01 49.049 5 5.005 49.0245 5 5.001 49.0049 5 5.0005 49.00245 5 5.0001 49.00049 En ella se observa que, conforme se acorta el periodo de tiempo, la velocidad promedio se aproxima a 49 m/s. Por lo que, la velocidad instantnea, cuando t=5, se define como el valor lmite de estas velocidades promedio, durante periodos cada vez ms cortos que se inician en t=5. Por consiguiente, la velocidad (instantnea) a los 5 segundos de lanzada la pelota, es: s m49v Realiza lo que se te solicita: 1. Se lanza una pelota hacia el aire con una velocidad de 40 pies/s, su altura en pies, despus de t segundos, se expresa por y(t)=40t16t2 . a) Encuentra la velocidad promedio en cada uno de los intervalos que especifica la tabla. Intervalo de tiempo (s) Velocidad promedio (pies/s) 2 2.5 2 2.1 2 2.01 2 2.001 2 2.0001 b) Estima la velocidad instantnea para t=2. Actividad: 2 35. 36 RESUELVE PROBLEMAS DE LMITES EN SITUACIONES DE CARCTER ECONMICO, ADMINISTRATIVO, NATURAL Y SOCIAL 2. Se dispara una flecha hacia arriba, con una velocidad de 58 m/s, su altura en metros, despus de t segundos, se expresa por h(t)=58t-0.82t2 . a) Encuentra la velocidad promedio durante los intervalos: [2.53], [2.93], [2.953], [2.993], [2.9953],[2.9993] b) Estima la velocidad instantnea para t=3. 3. El desplazamiento oscilatorio de una partcula est dado por la funcin , donde el tiempo se mide en segundos y el desplazamiento en centmetros. a) Encuentra la velocidad promedio para el periodo que se inicia cuando t=1 y dura: 0.5, 0.1, 0.05, 0.01, 0.005 y 0.001 seg. b) Estima la velocidad instantnea de la partcula cuando t=1. 4. Como observaste, en los problemas anteriores se toman intervalos antes o despus del tiempo en el que se desea conocer la velocidad instantnea, cambiara el resultado de la velocidad instantnea si los intervalos se toman de forma contraria?, es decir, si por ejemplo en cada intervalo del primer problema los intervalos se toman antes del tiempo indicado, justifica tu respuesta. Actividad: 2 (continuacin) 36. 37BLOQUE 2 Evaluacin Actividad: 3 Producto: Problemas de aplicacin. Puntaje: Saberes Conceptual Procedimental Actitudinal Identifica el lmite de las velocidades promedio, como velocidad instantnea. Estima el lmite de las velocidades promedio. Es reflexivo al resolver la actividad. Expresa las dudas al docente. Autoevaluacin C MC NC Calificacin otorgada por el docente En los problemas anteriores se observ que se requiere conocer el concepto de lmite para establecer cantidades importantes como es la velocidad instantnea de partculas, objetos, entre otros. A continuacin se observa la grfica de la funcin 2 t9.4)t(d que describe el ejemplo 1, en ella se puede visualizar que, a medida que transcurre el tiempo, la distancia que ha recorrido la pelota crece ms rpidamente, esto significa que su velocidad va aumentando a medida que la pelota se acerca al piso. Para graficar la velocidad de la pelota al transcurrir el tiempo, se tendra que calcular las velocidades instantneas en todo momento, desde que se suelta a una altura de 204 m hasta que toca el suelo, resultando tedioso determinar la grfica de la velocidad de la pelota mediante tablas, como se hizo en el ejemplo anterior. Por ello, se requiere conocer un poco ms de lmites de funciones para poder generalizar. Para completar el anlisis se te proporcionar a continuacin la grfica de la velocidad que lleva la pelota en cada instante de tiempo. En el ejemplo 1, se tom como intervalo inicial a [5 5.5] y posteriormente se fueron tomando intervalos ms pequeos acercndose a 5. Ntese que los intervalos tomados estaban a la derecha del 5 y a medida que se acercaron a l, el valor de la velocidad promedio se aproxim a 49 m/s. Con ello se puede decir que el lmite por la derecha, cuando t se acerca a 5, da como resultado que las velocidades promedio se aproximen a 49 m/s. Cabe mencionar que si se hubieran tomado intervalos, que se acercaran a 5 por la izquierda, se obtendra el mismo resultado. Como se observa en la grfica, mientras los valores del tiempo se acercan a t=5 tanto por la izquierda como por la derecha; los valores de la velocidad promedio se aproximan a 49 m/s, tanto por abajo como por arriba, respectivamente. t d(t) t v(t) 37. 38 RESUELVE PROBLEMAS DE LMITES EN SITUACIONES DE CARCTER ECONMICO, ADMINISTRATIVO, NATURAL Y SOCIAL A continuacin se desarrollar de manera general la nocin de lmite de una funcin, analizando las grficas y posteriormente se llevar a cabo la obtencin algebraica del lmite de una funcin. Ejemplo 2. Dada la grfica de la funcin, determinar el lmite en los valores indicados. a) Cuando x tiende (se aproxima) a 4. b) Cuando x tiende a 0. c) Cuando x tiende a 2. d) Cuando x tiende a 4. Si utilizan flechas azules para indicar cmo se aproxima al valor por la izquierda y flechas rojas para observar cmo se aproxima al valor por la derecha, stas tambin auxilian al momento de ubicar el valor del lmite de la funcin. x f(x) x f(x) 38. 39BLOQUE 2 En seguida, se analizar cada uno de los lmites que se solicitan en los incisos anteriores y se expresarn cada uno de los lmites en su forma algebraica. a) Cuando x tiende a 4 por la izquierda, la cual se denota como 4x , se observa como la funcin va incrementando su valor hacia 3; de igual forma, cuando x tiende a 4 por la derecha 4x la funcin va disminuyendo su valor hacia 3, por lo tanto, se puede decir que el lmite de la funcin cuando x tiende a 4 4x es 3. El hecho de que el valor de la funcin en x=4 no exista (punto hueco) no invalida el lmite, porque precisamente se acerca infinitamente a 4 sin tomar el valor exacto. Forma algebraica Se lee 3)x(flim 4x El lmite de f(x) cuando x tiende a 4 por la izquierda es 3. 3)x(flim 4x El lmite de f(x) cuando x tiende a 4 por la derecha es 3. 3)x(flim 4x El lmite de f(x) cuando x tiende a 4 es 3 b) Cuando x tiende a 0 por la izquierda 0x , la funcin decrece hacia 5, y cuando x tiende a 0 por la derecha 0x la funcin incrementa su valor aproximndose a 5, por lo tanto, el lmite de la funcin cuando x tiende a 0 0x es 5. Forma algebraica Se lee 5)x(flim 0x El lmite de f(x) cuando x tiende a 0 por la izquierda es 5. 5)x(flim 0x El lmite de f(x) cuando x tiende a 0 por la derecha es 5. 5)x(flim 0x El lmite de f(x) cuando x tiende a 0 es 5. c) Cuando x tiende a 2 por la izquierda 2x , la funcin disminuye su valor aproximndose a 3; cuando x tiende a 2 por la derecha 2x la funcin aumenta su valor aproximndose a 2; como ambos lmites se aproximan a valores diferentes de la funcin, este lmite no existe. Forma algebraica Se lee 3)x(flim 2x El lmite de f(x) cuando x tiende a 2 por la izquierda es 3. 2)x(flim 2x El lmite de f(x) cuando x tiende a 2 por la derecha es 2. )x(flim 2x El lmite de f(x) cuando x tiende a 0 no existe. d) Al igual que el inciso anterior, el lmite de la funcin cuando x tiende a 4 no existe, debido que el lmite cuando x tiende a 4 por la izquierda 4x se va hacia , y el lmite de la funcin cuando x tiende a 4 por la derecha 4x se va hacia . Forma algebraica Se lee )x(flim 4x El lmite de f(x) cuando x tiende a 4 por la izquierda es . )x(flim 4x El lmite de f(x) cuando x tiende a 4 por la derecha es . )x(flim 4x El lmite de f(x) cuando x tiende a 4 no existe. 39. 40 RESUELVE PROBLEMAS DE LMITES EN SITUACIONES DE CARCTER ECONMICO, ADMINISTRATIVO, NATURAL Y SOCIAL Los lmites que se obtienen por uno de los lados, ya sea por la derecha o por la izquierda, se les conoce como lmites unilaterales y cuando estos son iguales, el lmite de la funcin existe y es igual al valor de los lmites unilaterales, pero cuando ambos lmites se van al infinito ( ) o al menos infinito ( ), se dice que el lmite de la funcin no existe. Escribe los lmites que se indican en cada una de las grficas. a) b) c) a) b) c) Actividad: 4 x h(x) x f(x) 40. 41BLOQUE 2 Evaluacin Actividad: 4 Producto: Ejercicios. Puntaje: Saberes Conceptual Procedimental Actitudinal Identifica el lmite de una funcin dada su grfica. Obtiene el lmite de una funcin dada su grfica. Aprecia la facilidad de ubicar los lmites de una funcin cuando se conoce su grfica. Autoevaluacin C MC NC Calificacin otorgada por el docente a) b) c) a) b) c) Actividad: 4 (continuacin) x g(x) x L(x) 41. 42 RESUELVE PROBLEMAS DE LMITES EN SITUACIONES DE CARCTER ECONMICO, ADMINISTRATIVO, NATURAL Y SOCIAL Los lmites tambin son tiles para obtener el comportamiento de la grfica de una funcin, cuando se conoce la representacin analtica de sta, como se muestra en los siguientes ejemplos: Ejemplo 3. Graficar la funcin x3 x9 )x(f 2 . La funcin f(x) es racional y se indefine cuando x=3, debido a que el denominador en ese valor se hace cero. Para graficarla se toman algunos valores de su dominio y se sustituyen en la funcin para encontrar las coordenadas de los puntos. x )x(f 5 8 4 7 3 2 5 1 4 0 3 1 2 2 1 3 0 4 1 5 2 Para observar el comportamiento alrededor de 3, se sustituyen valores muy cercanos a 3, tanto por la derecha como por la izquierda, como se muestra en las siguientes tablas. x )x(f x )x(f 3.1 6.1 2.9 5.9 3.01 6.01 2.99 5.99 3.001 6.001 2.999 5.999 3.0001 6.0001 2.9999 5.9999 3.00001 6.00001 2.99999 5.99999 Se puede observar que cuando x se acerca a 3 por la izquierda o por la derecha los valores de )x(f se aproximan a 6. Este comportamiento se representa matemticamente de la siguiente forma: 6)x(f cuando 3x o bien, de manera formal: 6 x3 x9 lm 2 3x Una vez obtenido el lmite de la funcin, se puede ubicar el punto hueco a la altura de 6 y unir los puntos, como se muestra a continuacin. x f(x) 42. 43BLOQUE 2 Ejemplo 4. Elaborar la grfica y obtener )x(flim 3x , donde la funcin es: 3xsi13x 3xsi2x2 )x(f En esta funcin, el dominio est formado por todos los nmeros reales; se sabe que la grfica de la primera parte de la funcin es un trozo de una lnea en forma de V debido a que es una funcin de valor absoluto, y la otra parte resultar en una porcin de una media parbola horizontal abierta hacia la derecha, dado que es una funcin irracional. Sin embargo, no se sabe si esas dos partes se juntarn en un punto, para ello se debe considerar para qu intervalo de los nmeros reales es vlida cada una de ellas. Para este ejemplo, se sustituir el valor de 3x en la funcin de valor absoluto de manera abierta, es decir, con parntesis, pues dicho valor no se incluye en esa parte; sin embargo, para la funcin irracional, ese mismo valor s se incluir pues s est dentro de los valores correspondientes. De esta manera, la tabla de valores queda: x 2x2)x(f x 13x)x(f -1 6 [3] 1 -0 4 4 2 1 2 5 2.41 2 0 6 2.73 (3) (2) 7 3 La grfica correspondiente a la funcin dada es: x f(x) x1 Con 0