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Universidade Federal de Pernambuco NEHTE / Programa de Pós Graduação em Letras CCTE / Programa de Pós Graduação em Ciências da Computação Cálculo interativo: o ensino de cálculo visto por outro ângulo Neila Marcelle Gualberto Leite Tatiane Reis do Amaral Lucas Santos Roriz Caribé Rhudson Douglas Mota Sampaio (IFNMG – Campus Montes Claros) Resumo O desenvolvimento de sistemas hipermídia tem sido bem aceito pela comunidade acadêmica no campo das Tecnologias da Informação e Comunicação (TICs). Tais sistemas proporcionam ao aluno a interação com softwares que possibilitam o seu contato, investigação e argumentação, levando-o a inferir sobre a formalização de teoremas e resultados. No ensino de Cálculo, encontramos várias pesquisas que utilizam softwares como recurso didático. Neste trabalho, apresentamos os resultados de um projeto desenvolvido com alunos do curso de Ciência da Computação do IFNMG – Campus Montes Claros. O Cálculo é visto por outro ângulo, utilizando recursos computacionais. Uma página WEB é desenvolvida, e alguns applets desenvolvidos pelo grupo são desenvolvidos, auxiliando o entendimento de conceitos abstratos e de teoremas do Cálculo de uma e de duas variáveis. Os applets propostos tornam a página dinâmica e permitem ao usuário visualizar, experimentar, explorar, abstrair, conjecturar, estabelecer conexões, compreender e generalizar, ou seja, o aluno passa a ser sujeito da sua própria aprendizagem. Juntamente com o desenvolvimento dos applets, foi oferecido aos discentes um minicurso sobre o Geogebra e foram disponibilizados, ainda, outros materiais de apoio à disciplina, tais como provas antigas, textos e links interessantes. Palavras-chave: tecnologias no ensino, ensino de cálculo, Tecnologias da Informação e Comunicação Abstract The development of hipermedia systems have been well accepted by academical community in the field of the Communication and Information Technology. These kind of systems lead for the student an interaction with softwares that allow him to contact, investigate, and discuss, leading him to predict about theorems formalism and its results. In the calculus teaching, we find several researches that use some software as a didactical resource. In this work, we present results of a project developed by Computer Science students of the IFNMG - Montes Claros Campus. The calculus is viewed by another angle, in which computacional resources are used. A web page is designed, and some applets are developed by this research team, that aims

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Universidade Federal de Pernambuco NEHTE / Programa de Pós Graduação em Letras CCTE / Programa de Pós Graduação em Ciências da Computação

Cálculo interativo: o ensino de cálculo visto por outro ângulo

Neila Marcelle Gualberto Leite Tatiane Reis do Amaral

Lucas Santos Roriz Caribé Rhudson Douglas Mota Sampaio (IFNMG – Campus Montes Claros)

Resumo O desenvolvimento de sistemas hipermídia tem sido bem aceito pela comunidade acadêmica no campo das Tecnologias da Informação e Comunicação (TICs). Tais sistemas proporcionam ao aluno a interação com softwares que possibilitam o seu contato, investigação e argumentação, levando-o a inferir sobre a formalização de teoremas e resultados. No ensino de Cálculo, encontramos várias pesquisas que utilizam softwares como recurso didático. Neste trabalho, apresentamos os resultados de um projeto desenvolvido com alunos do curso de Ciência da Computação do IFNMG – Campus Montes Claros. O Cálculo é visto por outro ângulo, utilizando recursos computacionais. Uma página WEB é desenvolvida, e alguns applets desenvolvidos pelo grupo são desenvolvidos, auxiliando o entendimento de conceitos abstratos e de teoremas do Cálculo de uma e de duas variáveis. Os applets propostos tornam a página dinâmica e permitem ao usuário visualizar, experimentar, explorar, abstrair, conjecturar, estabelecer conexões, compreender e generalizar, ou seja, o aluno passa a ser sujeito da sua própria aprendizagem. Juntamente com o desenvolvimento dos applets, foi oferecido aos discentes um minicurso sobre o Geogebra e foram disponibilizados, ainda, outros materiais de apoio à disciplina, tais como provas antigas, textos e links interessantes. Palavras-chave: tecnologias no ensino, ensino de cálculo, Tecnologias da Informação e Comunicação Abstract The development of hipermedia systems have been well accepted by academical community in the field of the Communication and Information Technology. These kind of systems lead for the student an interaction with softwares that allow him to contact, investigate, and discuss, leading him to predict about theorems formalism and its results. In the calculus teaching, we find several researches that use some software as a didactical resource. In this work, we present results of a project developed by Computer Science students of the IFNMG - Montes Claros Campus. The calculus is viewed by another angle, in which computacional resources are used. A web page is designed, and some applets are developed by this research team, that aims

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at aiding the understanding of some abstract concepts and some Calculus theorems for one and two variables. The proposed applets make more dinamical the web page and allow to the user to view, experiment, explore, abstract, conjecture, make conections, understand and generalize, i.e., the student becomes a subject of its own learning. Besides with the applets development, a Geogebra short course was ofered to the students, and other support material, as old exams, texts and interesting links was also ofered. Keywords: teaching technologies, calculus teaching, Communication and Information Technology

Introdução

O Cálculo Diferencial e Integral constitui uma disciplina essencial para os cursos

de Engenharias e de Tecnologias, uma vez que propicia um pensamento organizado,

estruturado com regras e procedimentos, essenciais na resolução de problemas, além

de compor matematicamente a base para o estudo de outras disciplinas específicas de

cada curso.

As metodologias para o ensino de Cálculo são alvo de diversas discussões no

meio acadêmico por ser um dos grandes responsáveis pelo insucesso acadêmico dos

estudantes e por sua condição distinta na formação do pensamento avançado em

Matemática (IGLIORI, 2009). Estudo realizados na UFSCAR entre 2009 e 2012 relatam

que apenas 42% dos matriculados em Cálculo I pela primeira vez conseguem

aprovação (WISLAND et al, 2014).

Barufi (1999), em sua tese de doutorado, nos revela alguns dados alarmantes: o

índice de não-aprovação em cursos de Cálculo Diferencial e Integral oferecidos, por

exemplo, aos alunos da Escola Politécnica da USP, no período de 1990 a 1995, varia de

20% a 75%, enquanto que no universo dos alunos do Instituto de Matemática e

Estatística o menor índice não é inferior a 45%, isto é, não se aprova mais do que 55%

em uma turma de Cálculo. E estes índices continuam altos.

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Os altos índices de reprovação e abandono, associados à não aprendizagem do

conteúdo, levantam um questionamento a respeito da metodologia adotada no ensino

de Cálculo, em que a exploração e investigação por parte do aluno – potencialidades

necessárias e desejadas na sociedade atual – são sobrepostas à exposição discursiva e

formal dos conteúdos. Esse modelo de ensino não incentiva a criatividade, raciocínio

crítico, domínio das novas tecnologias, autonomia, qualidades necessárias para bons

profissionais.

A utilização de recursos computacionais como auxiliares ao processo de ensino-

aprendizagem tem sido bastante discutido na comunidade acadêmica e é foco de

diversas pesquisas (SANTOS ET AL 2012, AMORIM ET AL 2011, FONSECA E GONÇALVES

2010, GRAVINA E SANTAROSA 1998). Especificamente, o desenvolvimento de sistemas

hipermídia tem sido bem aceita no pela comunidade acadêmica no campo das

Tecnologias da Informação e Comunicação (TICs), pois proporciona ao aluno a

interação com softwares que possibilitam o contato, a investigação e argumentação

por parte do aluno, levando-o a inferir sobre a formalização de teoremas e resultados.

Particularmente, Richit et al (2012) relatam que, com a utilização de um software em

aulas de cálculo, houve uma redução nos índices de reprovações e que facilitou a

aprendizagem, possibilitando a visualização de gráficos e comportamento de funções

que dificilmente seria possível com lápis e papel ou no quadro.

Especificamente, no ensino de Cálculo, encontramos várias pesquisas que

utilizam softwares como recurso didático (FIGUEIREDO, 2013; AMORIM et al, 2011).

Vários softwares estão disponíveis no mercado ou são disponibilizados gratuitamente,

dos quais podemos destacar: Mathematica, Maple, Derive, Máxima, Geogebra. Entre

estes, o Maxima e o Geogebra são livres.

Neste trabalho, apresentamos os resultados de um projeto desenvolvido por

um grupo de estudos do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Norte

de Minas Gerais (IFNMG) – Campus Montes Claros sobre o ensino de Cálculo com

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tecnologias, no qual docentes foram capacitados para utilização de um software de

matemática dinâmica (Geogebra) e, também, uma página WEB foi desenvolvida para

dar suporte à disciplina, disponibilizando material de apoio à aprendizagem de Cálculo,

com acesso irrestrito e ilimitado.

Assim, este trabalho teve como objetivo geral o desenvolvimento de recursos

para auxiliar o ensino de Cálculo Diferencial e Integral de uma e duas variáveis, visando

facilitar a aprendizagem deste conteúdo nos cursos de graduação em Ciência da

Computação e Engenharia Química do IFNMG – Campus Montes Claros. De forma

específica, estudamos trabalhos que relatam experiências onde recursos

computacionais contribuem para o ensino de Cálculo; produzimos uma apostila com

conteúdo a serem trabalhados em um minicurso de Geogebra; desenvolvemos applets

envolvendo teoremas e definições de conteúdos do Cálculo de uma e duas variáveis;

capacitamos a comunidade acadêmica para trabalhar com o software Geogebra;

selecionamos material de apoio para a disciplina de Cálculo tais como textos

complementares, provas anteriores e listas de exercícios; disponibilizamos e

atualizamos uma página na WEB que disponibiliza os applets desenvolvidos e o

material de apoio.

Um applet é um pequeno programa (desenvolvido na linguagem de

programação Java) que pode ser enviado em conjunto com uma página web. O applet

fornece animações, por exemplo, à página disponibilizada. No contexto desse trabalho,

os applets são desenvolvidos para tornar as funções matemáticas interativas, tornando

alguns conceitos matemáticos menos abstratos. Desse modo, pretende-se auxiliar o

processo ensino-aprendizagem dos estudantes de cálculo.

Com este trabalho, pretende-se oferecer suporte aos acadêmicos dos cursos de

exatas, através da disponibilização de material de apoio e da utilização do software de

matemática dinâmica Geogebra, propiciando ao aluno ser agente do seu aprendizado,

uma vez que a exploração do software o permite investigar, conjecturar, inferir e

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concluir sobre conteúdos do Cálculo, facilitando o entendimento e a compreensão. Os

applets desenvolvidos e incorporados à página Web, tornam o processo de

aprendizagem dinâmica, pois o usuário pode visualizar, experimentar, explorar,

abstrair, conjecturar, estabelecer conexões, compreender e generalizar, ou seja, o

aluno passa a ser sujeito da sua própria aprendizagem.

O projeto foi desenvolvido em duas parte. A primeira está relacionada à

disponibilização e manutenção da página de suporte ao Cálculo de uma e duas

variáveis e a segunda parte, à elaboração e oferecimento do minicurso de Geogebra.

Inicialmente, foi feita uma revisão bibliográfica sobre o tema (utilização de

recursos didáticos para o ensino de Cálculo Diferencial e Integral de uma e duas

variáveis). Realizamos uma busca por sites de universidades que disponibilizam

páginas de suporte a tais disciplinas, com a finalidade de verificar seu funcionamento,

suas vantagens e deficiências. A partir de então, passamos a discutir e planejar o

desenvolvimento da página de Cálculo do IFNMG – Campus Montes Claros,

especialmente os seus elementos principais, tais como applets, provas antigas e textos

complementares, links de livros e apostilas. A equipe passou por uma etapa de estudo

do software, levantando suas potencialidades e, então, foram desenvolvidos os applets

de acordo com as discussões do grupo e as necessidades dos professores da disciplina

e dos alunos.

Paralelamente ao desenvolvimento da página, trabalhamos com o

planejamento do minicurso de Geogebra. Realizamos revisão bibliográfica sobre sua

utilização no ensino de Cálculo Diferencial e Integral, suas potencialidades e

especificidades e o levantamento e a análise de tutoriais e manuais. A equipe passou,

então, a elaborar o material do minicurso. Durante toda a fase de elaboração do

minicurso, foram feitos testes para verificação da eficiência dos métodos e tópicos

escolhidos.

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1. Resultados

1.1. Desenvolvimento da Página

A página foi desenvolvida utilizando o editor de texto 'Notepad++' e as linguagens

HTML, CSS, PHP e Javascript/Jquery. Para sua estruturação, foram criados vários blocos,

tais como: corpo, cabeçalho, rodapé e barras de menu. A princípio, foi criado apenas um

menu horizontal, afim de organizar os setores da página (inicio, applets, contato, sobre...),

porém, em seu desenvolvimento, surgiu a necessidade da criação de uma barra lateral,

para organizar os applets por categoria (cálculo 1, cálculo 2, limites, derivadas...). Depois

de definida toda a estrutura, foram implementados os códigos CSS, para colocar cada

elemento em seu lugar e os códigos Javascript, para criar as animações de menu. As

figuras 1 e 2 mostram a página inicial e os menus interativos em destaque,

respectivamente.

Figura 1: Página inicial

Fonte: calculointerativo.mat.br

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Figura 2: Uma das páginas do site, com destaque para o menu interativo

Fonte: calculointerativo.mat.br

Para exibir os applets na página, foi usada uma plataforma de upload do

próprio Geogebra, similar ao youtube, que permite a geração de um link em HTML5

(iframe). Todos os applets foram transferidos para o 'GeogebraTube', padronizados e

inseridos na página.

2. O software Geogebra

O GeoGebra1 é um software geométrico e algébrico que pode ser usado como

uma poderosa ferramenta matemática por ser dinâmico, ter um grande potencial à ser

explorado e ter uma vasta quantidade de ferramentas que possibilitam construções de

applets que abordam desde funções lineares simples até planos tangentes à funções

de duas variáveis.

1 Disponível em geogebra.org. Acesso em 25/05/2015.

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O software tem uma organização simples e prática, interface amigável, que

facilita o aprendizado de uma maneira intuitiva, pois as ferramentas são auto

explicativas e, para construções mais elaboradas, existe o recurso de autocompletar

comandos.

O foco deste trabalho é a aplicação do GeoGebra no ensino de Cálculo,

desenvolvendo applets que exibem dinamicamente as definições de limite, derivada e

integral e exemplos práticos de exercícios que envolvam conteúdos de Cálculo de uma

e duas variáveis, como assíntotas e curvas de nível.

O Cálculo é a base para os cursos de exatas e exige um nível de abstração

elevado. Utilizando o software, podem ser desenvolvidos applets que abordam

conceitos abstratos, por exemplo: a análise do comportamento assintótico de funções,

o estudo de curvas de nível, mostrando graficamente a variação da altura das seções

paralelas aos eixos x e y; a relação entre a inclinação da reta tangente à uma função f e

o crescimento da própria f.

Está disponível na página do GeoGebra uma área para estudantes

compartilharem conteúdos, ideias e comentários.

O GeoGebra possui licença não comercial e pode ser usado para fins

educacionais. Ele pode ser baixado gratuitamente no site www.geogebra.org e está

disponível para Windows, Linux e Mac, em computadores e tablets. Existe uma versão

de teste para smartphones disponível para Android através do Google Play.

3. Os applets

Foram desenvolvidos 17 applets, sendo 14 para o cálculo de uma variável e três

para o Cálculo de duas variáveis. Além dos applets, utilizamos o GeoGebra para fazer o

gráfico de funções de duas variáveis, tais como parabolóides elíptico e hiperbólico, que

dificilmente são reproduzidos na lousa ou com lápis e papel. A figura 3 apresenta o

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applet sobre existência do limite e os limites laterais. Com ele, o aluno pode verificar a

inexistência do limite de uma função em um ponto associado à diferença entre os

limites laterais.

Figura 3: Applet limites laterais e existência do limite de uma função em um ponto

Na figura 4, apresentamos um applet de uma função e sua derivada de primeira

ordem. Com ele, o usuário pode acompanhar a relação entre o

crescimento/decrescimento de uma função e o sinal da derivada primeira de forma

dinâmica.

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Figura 4: Applet de uma função e da sua derivada

Fonte: calculointerativo.mat.br

A figura 5 a seguir apresenta o applet referente à soma de Riemann. Por ser

interativo e dinâmico, o aluno pode visualizar e perceber com maior facilidade a área

dos retângulos se aproximando da área sob a curva quando é tomado o limite da

somas das áreas dos retângulos quando suas larguras tendem a zero.

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Figura 5: Applet da Soma de Riemann

Fonte: calculointerativo.mat.br

Apresentamos, na figura 6 a seguir, um applet referente ao Cálculo de duas

variáveis. Nele podemos observar um applet das derivadas direcionais de uma função

de duas variáveis.

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Figura 6: Applet de derivadas parciais

Fonte: calculointerativo.mat.br

4. O Minicurso

O minicurso constou de uma carga horária de quatro horas. Além de apresentar

o software de forma geral, uma sequência de atividades para fixação e verificação dos

comandos foi desenvolvida com os alunos. Foram desenvolvidas 12 práticas: entradas

de funções, incluindo funções definidas por partes, exibição de rastro de funções e

animações, geração de funções em 3D, e, mais especificamente, trabalhamos com a

definição de limites, limites laterais, estudo de assíntotas, definição de derivada, reta

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tangente, derivada como função, definição de integral definida, Somas de Riemann,

derivadas parciais e direcionais, curvas de nível.

Através de exemplos, seguidos da prática dos próprios docentes, foi possível a

manipulação de equações e gráficos, exploração de conteúdos diversos da matemática

e, mais especificamente, verificação e exploração dos conteúdos de Cálculo I e II.

Durante o minicurso foram levantadas algumas questões/sugestões com a intensão de

melhorar os applets e desenvolvimento de outros tais como Teorema do Valor Médio,

Teorema de Rolle, parametrização de curvas, gradientes, integrais duplas e triplas.

Conclusões

Ambientes informatizados e interatividade são grandes aliados ao processo de

aprendizagem de Matemática, mais especificamente de Cálculo. Observamos que a

interação com o software proporcionou aos alunos a visualização e a confirmação de

resultados importantes do Cálculo tais como definições de limites, derivadas e

integrais, e a constatação de alguns teoremas como o Teorema Fundamental do

Cálculo.

O processo de construção da página agregou conhecimento para o grupo de

alunos envolvidos no projeto e, principalmente, a disponibilização da mesma tornou a

aprendizagem mais significativa uma vez que traz para o educando, mesmo fora da

sala de aula, a interação com a disciplina pois tem acesso aos applets e a material de

consulta que auxilia seus estudos.

De forma geral, podemos concluir que as tecnologias aplicadas ao ensino de

Cálculo corroboram com a aprendizagem deste conteúdo pois possibilitam a

visualização, interação. levantamento de conjecturas e conclusões, tornado o aluno

um agente desse processo.

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Referências Bibliográficas

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