Calculo Numérico

Apresentao Motivao Soluo de problemas numricos Referncias

Aula introdutria de Clculo NumricoLeonardo V. Alves [[email protected]]Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Cincias Exatas Departamento de Cincia da Computao Disciplina de Clculo Numrico - DCC034

http://www.dcc.ufmg.br/~lalves

05 e 07 de agosto de 2008

Leonardo V. Alves [[email protected]]

Aula introdutria de Clculo Numrico


Bibliograa Programa Avaliaes Calendrio

Material utilizado

Livro Texto Filho, Frederico Ferreira Campos. Algoritmos Numricos. Segunda Edio, Editora LTC. Material suplementar Calculadora cientca Scilab





Programa da disciplina

Tpicos a serem estudados nesta disciplina:1 2 3 4 5 6

Introduo ao clculo numrico Sistemas Lineares Interpolao Ajuste de curvas Integrao numrica Razes de equaes





Introduo ao clculo numrico

1 2 3 4 5 6

Como resolver um problema numrico? Notaes algortmicas Implementao de algoritmos Tipos de erros Aritmtica de ponto utuante Scilab





Sistemas Lineares

1 2 3 4 5 6 7

Conceitos bsicos Eliminao de Gauss Decomposio LU Decomposio de Cholesky Aplicaes de decomposio Mtodos iterativos Anlise de erros





Interpolao

1 2 3 4

Polinmios interpoladores Polinmios de Lagrange Polinmios de Newton Polinmios de Gregory-Newton





Ajuste de curvas

1 2 3 4

Regresso linear Qualidade do ajuste Regresso linear mltipla Diferena entre regresses e interpolaes





Integrao numrica

1 2 3

Mtodos de Newton-Cotes Mtodo de Gauss-Legendre Integraes duplas





Razes de equaes

1 2 3 4

Isolamento de razes Mtodo da bisseo Mtodos baseados em aproximao linear Mtodos baseados em tangente





Avaliaes

Os 100 pontos sero distribudos da seguinte forma: Prova 1 (30 pontos) Prova 2 (30 pontos) 4 trabalhos prticos (10 pontos cada)





CalendrioDatas importantes: 05/08: Aula inaugural 02/10: Primeira prova 27/11: Segunda prova 12/12: Trmino do semestre Feriados e recessos no semestre: 15/08: Feriado municipal: Assuno de Nossa Senhora 20/10: Semana da UFMG - Conhecimento e Cultura 08/12: Feriado municipal: Imaculada Conceio Carga horria total: 72 aulasLeonardo V. Alves [[email protected]] Aula introdutria de Clculo Numrico



Perguntas?

???




Por que estudamos clculo numrico?Segundo o livro [1]: O Clculo Numrico uma metodologia para resolver problemas matemticos por intermdio de um computador. Deixem os clculos para as mquinas calcularem!!! Aplicaes em Matemtica: Obteno de solues numricas; Soluo numrica para problemas sem soluo analtica;




Por que estudamos clculo numrico?Segundo o livro [1]: O Clculo Numrico uma metodologia para resolver problemas matemticos por intermdio de um computador. Deixem os clculos para as mquinas calcularem!!! Aplicaes em Matemtica: Obteno de solues numricas; Soluo numrica para problemas sem soluo analtica; Exemplo: Distribuio gaussiana normal utilizada em probabilidade e estatstica;

ex d xMas as solues numricas no so exatas!Leonardo V. Alves [[email protected]] Aula introdutria de Clculo Numrico

2


Por que estudamos clculo numrico?Aplicaes em Fsica, Engenharia e Qumica: Transformao de problemas fsicos em modelos numricos; Soluo numrica para os modelos propostos; Exemplos: Clculo da velocidade de um corpo em movimento retilneo uniforme;




Por que estudamos clculo numrico?Aplicaes em Fsica, Engenharia e Qumica: Transformao de problemas fsicos em modelos numricos; Soluo numrica para os modelos propostos; Exemplos: Clculo da velocidade de um corpo em movimento retilneo uniforme;

d(t) = v t + d0




Por que estudamos clculo numrico?Aplicaes em Fsica, Engenharia e Qumica: Transformao de problemas fsicos em modelos numricos; Soluo numrica para os modelos propostos; Exemplos: Clculo da velocidade de um corpo em movimento retilneo uniforme; Clculo das correntes das malhas em circuitos eltricos;

d(t) = v t + d0

i1 R1 i2 R2 = V1 i1 R2 + i2 R3 = V2




Por que estudamos clculo numrico?Aplicaes em Fsica, Engenharia e Qumica: Transformao de problemas fsicos em modelos numricos; Soluo numrica para os modelos propostos; Exemplos: Clculo da velocidade de um corpo em movimento retilneo uniforme; Clculo das correntes das malhas em circuitos eltricos; Clculos estequiomtricos em reaes qumicas;

d(t) = v t + d0 K M nO4 + H2 SO4 + N aN O2 K2 SO4 + M nSO4 + N aN O3 + H2 O

i1 R1 i2 R2 = V1 i1 R2 + i2 R3 = V2




Exemplo Exerccio Soluo Anlise

Como resolver um problema numrico?

Denio do problema; Modelagem matemtica; Soluo numrica; Anlise dos resultados;





Resolvendo o problema de calcular

a

Denio: Seja o nosso problema calcular o valor de a > 0; Este o nosso problema real.

a para






a


a para

Transformao do problema real no problema original:

a x 2 = a f (x) = x 2 a = 0






a


a para


a x 2 = a f (x) = x 2 a = 0Implementao do algoritmo: permite resolver o problema no computador






a


a para


a x 2 = a f (x) = x 2 a = 0Implementao do algoritmo: permite resolver o problema no computador Anlise dos resultados: vericar se as solues obtidas pela implementao da soluo do problema original so adequadas para o problema real.





Resolver o problema de calcular

a

Seja o seguinte mtodo iterativo para calcular a raiz quadrada de um nmero:

x k+1 =

1 2

(x k +

a

xk

)

Seja x 0 o valor inicial de x k . Calcule 3 casas decimais):

a para os seguintes valores (at

a = 4 e x0 = 1 a = 9 e x0 = 1 a = 4 e x 0 = 1 a = 9 e x 0 = 1






4 com x 0 = 1

x k+1 = i

1 2

(x k + xi

a xk

)






4 com x 0 = 1

x k+1 = i0

1 2

(x k + xi

a xk

)






4 com x 0 = 1

x k+1 = i0

1 2

(x k + xi1

a xk

)






4 com x 0 = 1

x k+1 = i0 1

1 2

(x k + xi1

a xk

)






4 com x 0 = 1

x k+1 = i0 1

1 2

(x k + xi1 2,5

a xk

)






4 com x 0 = 1

x k+1 = i0 1 2

1 2

(x k + xi1 2,5

a xk

)






4 com x 0 = 1

x k+1 = i0 1 2

1 2

(x k + xi1 2,5 2,05

a xk

)






4 com x 0 = 1

x k+1 = i0 1 2 3

1 2

(x k + xi1 2,5 2,05

a xk

)






4 com x 0 = 1

x k+1 = i0 1 2 3

1 2

(x k + xi

a xk

)

1 2,5 2,05 2,00061






9 com x 0 = 1

x k+1 = i

1 2

(x k + xi

a xk

)






9 com x 0 = 1

x k+1 = i0

1 2

(x k + xi

a xk

)






9 com x 0 = 1

x k+1 = i0

1 2

(x k + xi1

a xk

)






9 com x 0 = 1

x k+1 = i0 1

1 2

(x k + xi1

a xk

)






9 com x 0 = 1

x k+1 = i0 1

1 2

(x k + xi1 5

a xk

)






9 com x 0 = 1

x k+1 = i0 1 2

1 2

(x k + xi1 5

a xk

)






9 com x 0 = 1

x k+1 = i0 1 2

1 2

(x k + xi1 5 3,4

a xk

)






9 com x 0 = 1

x k+1 = i0 1 2 3

1 2

(x k + xi1 5 3,4

a xk

)






9 com x 0 = 1

x k+1 = i0 1 2 3

1 2

(x k + xi

a xk

)

1 5 3,4 3,0235






9 com x 0 = 1

x k+1 = i0 1 2 3 4

1 2

(x k + xi

a xk

)

1 5 3,4 3,0235






9 com x 0 = 1

x k+1 = i0 1 2 3 4

1 2

(x k + xi

a xk

)

1 5 3,4 3,0235 3,0001






4 com x 0 = 1

x k+1 = i

1 2

(x k + xi

a xk

)






4 com x 0 = 1

x k+1 = i0

1 2

(x k + xi

a xk

)






4 com x 0 = 1

x k+1 = i0

1 2

(x k + xi-1

a xk

)






4 com x 0 = 1

x k+1 = i0 1

1 2

(x k + xi-1

a xk

)






4 com x 0 = 1

x k+1 = i0 1

1 2

(x k + xi-1 -2,5

a xk

)






4 com x 0 = 1

x k+1 = i0 1 2

1 2

(x k + xi-1 -2,5

a xk

)






4 com x 0 = 1

x k+1 = i0 1 2

1 2

(x k + xi-1 -2,5 -2,05

a xk

)






4 com x 0 = 1

x k+1 = i0 1 2 3

1 2

(x k + xi-1 -2,5 -2,05

a xk

)






4 com x 0 = 1

x k+1 = i0 1 2 3

1 2

(x k + xi

a xk

)

-1 -2,5 -2,05 -2,00061






9 com x 0 = 1

x k+1 = i

1 2

(x k + xi

a xk

)






9 com x 0 = 1

x k+1 = i0

1 2

(x k + xi

a xk

)






9 com x 0 = 1

x k+1 = i0

1 2

(x k + xi-1

a xk

)






9 com x 0 = 1

x k+1 = i0 1

1 2

(x k + xi-1

a xk

)






9 com x 0 = 1

x k+1 = i0 1

1 2

(x k + xi-1 -5

a xk

)






9 com x 0 = 1

x k+1 = i0 1 2

1 2

(x k + xi-1 -5

a xk

)






9 com x 0 = 1

x k+1 = i0 1 2

1 2

(x k + xi-1 -5 -3,4

a xk

)






9 com x 0 = 1

x k+1 = i0 1 2 3

1 2

(x k + xi-1 -5 -3,4

a xk

)






9 com x 0 = 1

x k+1 = i0 1 2 3

1 2

(x k + xi

a xk

)

-1 -5 -3,4 -3,0235






9 com x 0 = 1

x k+1 = i0 1 2 3 4

1 2

(x k + xi

a xk

)

-1 -5 -3,4 -3,0235






9 com x 0 = 1

x k+1 = i0 1 2 3 4

1 2

(x k + xi

a xk

)

-1 -5 -3,4 -3,0235 -3,0001





Anlise dos resultados

Quais das solues anteriores condizem com o problema original?






Quais das solues anteriores condizem com o problema original? Todas!






Quais das solues anteriores condizem com o problema original? Todas! Todas as solues se aplicam ao problema real?






Quais das solues anteriores condizem com o problema original? Todas! Todas as solues se aplicam ao problema real? No!






Quais das solues anteriores condizem com o problema original? Todas! Todas as solues se aplicam ao problema real? No! Quais? Por que?






Quais das solues anteriores condizem com o problema original? Todas! Todas as solues se aplicam ao problema real? No! Quais? Por que? Apenas as duas primeiras. A raiz quadrada de um nmero sempre no negativa.




[1] Frederico Ferreira Campos Filho. Algoritmos Numricos. LTC, 2nd edition, 2007. ISBN 978-85-216-1537-8.



Calculo Numérico

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