Cálculo Numérico

Cálculo Numérico

Profs.: Bruno C. N. QueirozJ. Antão B. MouraJosé Eustáquio R. de QueirozJoseana Macêdo FechineMaria Izabel C. Cabral

Interpolação PolinomialAjuste de Curvas (Parte I)

DSC/CCT/UFCG

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Cálculo Numérico

Parte I

Interpolação Polinomial

3

A necessidade de obter um valor intermediário que não consta de uma tabela ocorre comumente.

Dados experimentais, tabelas estatísticas e de funções complexas são exemplos desta situação.

Solução: uso de métodos numéricos - Interpolação.


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Dado um conjunto de dados {xi,f(xi)} tal como na tabela abaixo:

Como obter o valor de f(x) para um valor de x que não tenha sido medido, como por exemplo, x=2.0 ?

Quando se deseja saber o valor de f(x) para um x intermediário entre duas medidas, isto é, xi<x<xi+1, pode-se usar as técnicas da interpolação.


0,057 0,046 0,028 0,016 0,001 f(xi)

6,04,53,01,50xi

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A interpolação consiste em determinar uma função, que assume valores conhecidos em certos pontos (nós de interpolação).

A classe de funções escolhida para a interpolação é a priori arbitrária, e deve ser adequada às características que pretendemos que a função possua.

Função a ser considerada: Polinômios Interpolação Polinomial


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Métodos de interpolação polinomial são utilizados para aproximar uma função f(x), principalmente nas seguintes situações:

conhece-se apenas valores de f(x) em apenas pontos discretos x0, x1 , x2 , ...

f(x) é extremamente complicada e de difícil manejo,

f(x) não é conhecida explicitamente.


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O problema geral da interpolação por meio de polinômios consiste em:

Interpolar um ponto x a um conjunto de n+1 dados {xi,f(xi)}, significa calcular o valor de f(x), sem conhecer a forma analítica de f(x) ou ajustar uma função analítica aos dados.


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Interpolação polinomial consiste em se obter um polinômio p(x) que passe por todos os pontos do conjunto de (n+1) dados {xi,f(xi)}, isto é:

p(x0)=f(x0)

p(x1)=f(x1)

…

p(xn)=f(xn)

Obs: contagem começa em zero, portanto tem-se n+1 pontos na expressão.

(Equação 1)


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Polinômio p(x) - polinômio interpolador. Pode-se demonstrar que existe um único

polinômio p(x) de grau menor ou igual a n que passa por todos os (n+1) pontos do conjunto {xi,f(xi)}

Portanto, pode-se escrever:


p x a a x a x a x f xn n

n

0 0 1 0 2 0

2

0 0 ...

p x a a x a x a x f xn n

n

1 0 1 1 2 1

2

1 1 ...

p x a a x a x a x f xn n n n n n

n

n

0 1 2

2 ...

...

10


O conjunto de equações corresponde a um sistema linear de n+1 equações e n+1 variáveis.

Quais são as variáveis independentes? ai ou xi ?

Poderia ser resolvido diretamente (módulo 5).

Essa é uma das formas de se obter o polinômio interpolador.

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Interpolação linear


xxxx

yyyxP

y

y

a

a

x

x

yxaa

yxaa

yxP

yxP

xaaxPxf

)()(

1

1

)(

)(

)()(

001

0101

1

0

1

0

1

0

1110

0010

111

001

101

Polinômio interpolador

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A mesma metodologia pode ser empregada para a Interpolação Quadrática ou superior.

A determinação dos coeficientes do polinômio interpolador por meio da resolução de um sistema de equações lineares, apesar de ser conceitualmente simples, requer um certo esforço computacional.

Deve-se procurar metodologia alternativa de modo a evitar a solução de sistemas de equações lineares.

Outras formas: a forma de Lagrange a forma de Newton


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Forma de Lagrange Seja um conjunto de n+1 dados {xi,f(xi)}. Encontrar

um polinômio interpolador p(x) que satisfaça a condição (1), isto é, passe por todos os pontos.


p x L x f x L x f x L x f xn n( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 ...

Lk(x) são polinômios tais que:

L xk i ki (Eq. 2) e sendo que:

ki

se k i

se k i

0

1

,

,

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Forma de Lagrange Portanto,


p x L x f x L x f x L x f x

p x f x f x f x

p x f x

n n

n

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

0 0 0 0 1 0 1 0

0 0 1

0 0

1 0 0

...

...

e

p x L x f x L x f x L x f x

p x f x f x f x

p x f x

n n

n

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 0 1 0 1 1 1 1

1 0 1

1 1

0 1 0

... ...

Ou seja: p x f xi i( ) ( ) ( p(x) passa sobre os pontos

{xi,f(xi)} )

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Forma de Lagrange

Temos que encontrar os polinômios Lk(x), que

satisfaçam (2). Uma solução é:


L x

x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x xk

k k n

k k k ki k ki k n

( )

0 1 1 1

0 1 1 1

... ...

... ...

L x e

L x se i k

k k

k i

1

0 ,

Pois:

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Forma de Lagrange Compacta Igual à anterior (notação diferente):

p x L x f xn i ii

n

0

e

L x

x x

x xi

jjj i

n

i jjj i

n

0

0

(3)

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Interpolação para 2 pontos (n+1=2) - ajuste de

retas (n=1) (Interpolação Linear)

xi x0 x1

f(xi) f(x0) f(x1)

De (3):

1

01100 )().()().()().()(

iii xfxLxfxLxfxLxp

18



retas (n=1)

As funções Li (x) devem satisfazer (2), ou seja:

L0 (x0) =1 L1 (x0) =0

L0 (x1) =0 L1 (x1) =1

As funções:

10

10 )(

xx

xxxL

01

01 )(

xx

xxxL

e satisfazem

19


Interpolação para 2 pontos (n+1=2) - ajuste de retas (n=1)

1

01

00

10

1 xfxx

xxxf

xx

xxxp

20


Interpolação para 3 pontos (n+1=3) - ajuste de parábolas (n=2) (Interpolação quadrática)

De (3):

xi x0 x1 x2

f(xi) f(x0) f(x1) f(x2)

221100

2

0

xfLxfLxfLxfLxpi

ii

21



parábolas (n=2)

As funções Li (x) devem satisfazer (2), ou seja:

As funções:

satisfazem

L0 (x0) =1 L1 (x0) =0 L2 (x0) =0

L0 (x1) =0 L1 (x1) =1 L2 (x1) =0

L0 (x2) =0 L1 (x2) =0 L2 (x2) =1

2010

210 xxxx

xxxxL

2101

201 xxxx

xxxxL

1202

102 xxxx

xxxxL

22


Interpolação para 3 pontos (n+1=3) - ajuste de parábolas (n=2)

2

1202

101

2101

200

2010

21)( xfxxxx

xxxxxf

xxxx

xxxxxf

xxxx

xxxxxp

23


Ajuste uma reta aos seguintes pontos (x;f(x)): (2; 3,1) e (4; 5,6)

101

00

10

1 xfxx

xxxf

xx

xxxp

(vide slide 12)

28.2455.16.524

21.3

42

4

xxxx

xp

6.025.1 xxp

24Interpolação Polinomial - Exercício

A tabela informa o número de carros (x mil) que passam por um determinado pedágio em um determinado dia:

a) Faça um gráfico de horário vs. número de carros para verificar qual a tendência da curva.

b) Estime o número de carros que passariam pelo pedágio às 11:10, usando a forma de Lagrange para encontrar um polinômio interpolador p(x) que estima o número de carros em função do tempo. Use uma reta como função interpoladora.

c) Agora, faça a mesma estimativa, mas utilizando uma parábola como polinômio interpolador.

Horário 10:00 10:30 11:00 11:30 12:00 12:30

No. Carros

2,69 1,64 1,09 1,04 1,49 2,44

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