Cálculo Numérico – Curso Básico

Conteúdos

• Introdução

A natureza é extremamente complexa. Para tentar entendê-la, criam-se modelos que seguem leis mais simples do que a rica realidade, dando resultados aproximados.

Essas leis, que procuram simular a natureza, são, em geral, expressas matematicamente. As formulações matemáticas, embora simplificações do que se passa na realidade, ainda assim, com freqüência, são muito complexas para serem resolvidas analiticamente. É comum a lei física ser expressa por uma equação diferencial cuja solução exata não é possível de ser obtida. Mesmo um cálculo de raiz, aparentemente simples, pode exigir operações que transcendam as contas elementares. Uma integral definida, nem muito complexa em sua formulação, pode não ser analiticamente resolvida.

Os métodos numéricos buscam soluções aproximadas para essas formulações. Além disso, nos problemas reais, os dados com que se trabalha são medidas e, como tais, não são exatos. Uma medida física não é um número, é um intervalo, pela própria imprecisão das medidas. Dessa forma trabalha-se, sempre, com a figura do erro, inerente à própria medição.

Os métodos aproximados, como indica o nome, estão buscando uma aproximação do que seria o valor exato. Dessa forma é inerente aos métodos trabalhar-se com a figura da aproximação, do erro, do desvio.

1. Erros: existência, propagação e representação do número real

em ponto flutuante1.1 Erro: existência

A noção de erro está presente em todos os campos do Cálculo Numérico. De um lado, os dados, em si, já não são exatos e, de outro lado, as operações sobre valores não exatos propagam esses erros a seus resultados. Finalmente, os próprios métodos numéricos, freqüentemente métodos aproximados, buscam a minimização dos erros, procurando resultados o mais próximo possível do que seriam valores exatos.A primeira noção fundamental é a de que cada medida é um intervalo e não um número. Isso decorre do processo de medição, do erro do medidor, da incerteza do valor verdadeiro. Dessa forma, um comprimento não é de 56,7 cm mas, possivelmente, ( 56,7 ± 0,2 ) cm, isto é, algo no intervalo 56,5 cm a 56,9 cm.A segunda noção é a de que, quando se opera com esse valor, ele carrega sua incerteza para o resultado das operações. Chama-se a esse processo, propagação de erro.A terceira noção enfatiza que os métodos numéricos podem ser aproximados, freqüentemente iterativos, não se propondo a chegar a resultados exatos num número finito de iterações. Busca, sim, obter valores aproximados, diminuindo o erro a cada iteração, num processo de aproximação sucessiva.Finalmente, uma quarta noção fundamental é a de que não se pode esquecer que as operações que fazemos nas máquinas, tal como o computador representará os números reais com um número finito de dígitos, sendo forçado a aproximá-los quando os números reais exigirem mais dígitos de que ele está preparado para usar. Como exemplo, ao representarmos o número exato p , ele deverá ser forçosamente arredondado, pois seus infinitos dígitos não poderão ser integralmente representados no computador.

Nota: o valor de π.

Vejamos algumas observações:

Quando se representa um valor ( m ± e) , e positivo, vamos sempre admitir que o valor de e seja bem inferior ao valor absoluto de m, para se supor que a medida tenha sido bem feita. Assim, o valor m é expressivo diante de e . A medida 23.537m ± 2m, significa que o valor está entre 23.535m e 23.539m. Essa medida teria sido feita com boa precisão; tem-se uma boa aproximação do valor, embora com certa margem de erro, como sempre.

Porém, ao dizer-se que um comprimento é de 5m ± 4m, afirma-se que se sabe muito pouco sobre o valor, que poderia variar desde 1 m até 9 m. Essa medida não tem boa precisão.

Chama-se desvio absoluto, ou erro absoluto, ao valor de e .

Chama-se desvio relativo, ou erro relativo, à relação e / abs(m), onde abs(m) é o valor absoluto de m.

1.2 Erro: propagação

Vamos aos exemplos:

1- Dados a = 50 ± 3 e b = 21 ± 1 , calcular a soma a + b, a subtração a – b e o produto a . B

a pode variar de 47 a 53 enquanto b pode variar de 20 a 22. Assim o menor valor da soma seria 47 + 20 = 67 e o maior valor seria 53 + 22 = 75. Logo, a + b = (50 + 21) ± 4 = 71 ± 4, variando de 67 a 75.

O menor valor da subtração seria 47 – 22 = 25 e o maior valor da subtração seria 53 – 20 = 33. Logo, a – b = (50 – 21) ± 4 = 29 ± 4 , variando de 25 a 33. Observe que na subtração, os erros absolutos se somam, pois sempre se admite o pior caso; nunca se subtraem erros, contando com a sorte; prevê-se, sempre, o caso mais desfavorável.

O menor valor do produto seria 47 x 20 = 940 e o maior valor do produto seria 53 x 22 = 1166. Logo, a x b = (50 ± 3) x (21 ± 1) » 1050 ± (3 x 21 + 50 x 1) » 1050 ± 113. Despreza-se o produto 3 x 1, por ser muito pequeno diante de (3 x 21 + 50 x 1 ) = 113. Assim, o produto ficaria entre 937 e 1163, ligeiramente diferente do verdadeiro intervalo, exatamente pelo abandono do produto 1 x 3, considerado desprezível.

Ah??

Quando efetuamos operações sobre números sujeitos a erro, esses erros se propagam aos resultados das operações, que vão refletir a incerteza dos números que compõem a operação.Assim:

(a ± ea) + (b ± eb) = a + b ± (ea + eb)(a ± ea) – (b ± eb) = a – b ± (ea + eb)(a ± ea) x (b ± eb) ≈ a.b ± (a.eb +b.ea)

Estamos admitindo a, b, ea , eb sempre positivos . No caso de valores negativos tomaremos – a , – b etc…

Analisemos os erros relativos dessas operações.Erro relativo da soma …........ Esoma Erro relativo da subtração …. Esub Erro relativo do produto …..... EprodErro relativo de a …...........….EaErro relativo de b …...........….Eb

Lembrete!!!

Soma: esoma = ea + eb

Erro Relativo da Soma: Esoma = esoma / (a + b) ֶ Esoma = ea / (a + b) + eb / (a + b)

Multiplicando e dividindo o primeiro termo por a e o segundo termo por b, temos:

Esoma = ea / a . a/(a+b) + eb /b . b/(a+b) = Ea . a/(a+b) + Eb .b/(a+b)

Esoma = Ea . a/(a+b) + Eb .b/(a+b)

Assim, o erro relativo da soma é a soma dos erros relativos de cada parcela, ponderada pela participação da parcela no total da soma.

Sendo a = 50 ± 3 e b = 21 ± 1. A soma a + b = 71 ± 4

Erro relativo de a : Ea = 3/50 = 0,06 , erro relativo de b : Eb = 1/21 = 0,05

Erro relativo de a + b : Ea+b = 0,06 . 50/71 + 0,05 . 21/71 = 0,057 » 4/71

Aplicações:

1. Calcular o erro relativo das somas abaixo:

i. a=50±4; b=30±2

ii. K=20±1; h=100±3

iii. G=90±2; l=200±2

iv. K=80±6; y=80±4

Continuando...

Subtração: esub = ea + eb

Erro Relativo da Subtração:

Esub = esub / (a-b) ֶ Esub = (ea + eb) / (a-b) = ea / (a-b) + eb / (a-b)

Multiplicando de dividindo o primeiro termo por a e o segundo termo por b, temos:

Esub = ea / a . a/(a-b) + eb / b . b/(a-b) ֶ Esub = Ea . a/(a-b) + Eb . b/(a-b)

Assim o erro relativo da subtração é a soma dos erros relativos do minuendo com o erro relativo do subtraendo, ponderados pela participação de cada um no resultado da subtração.

Sendo a = (50 ± 3) e b = (21 ± 1). A subtração a – b = (29 ± 4)

Erro relativo de a : Ea = 3/50 = 0,06 ,

Erro relativo de b : Eb = 1/21 = 0,05

Erro relativo de a – b : Ea-b = 0,06 . 50/29 + 0,05 . 21/29 = 0,14 ≈ 4/29

•16/02/2011

Aplicações:

1. Calcular o erro relativo das subtrações abaixo:

i. a=50±4; b=30±2

ii. K=20±1; h=100±3

iii. G=90±2; l=200±2

iv. K=80±6; y=80±4

Produto: Prod = (a ± ea) . (b ± eb) ≈ a.b ± (a . eb + b .ea) ֶ

eprod = a . eb + b . ea

Erro Relativo do Produto:

Eprod = eprod / (a.b) ֶ Eprod = (a . eb + b . ea )/ (a.b) ֶ

Eprod = eb / b + ea /a

Assim o erro relativo do produto é a soma dos erros relativos dos fatores.

Sendo a = (50 ± 3) e b = (21 ± 1). O produto a.b = (1050 ± 113)

Erro relativo de a : Ea = 3/50 = 0,06 , erro relativo de b : Eb = 1/21 = 0,05

Erro relativo de a.b : Ea.b = 0,06 + 0,05 = 0,11 ≈ 113/1050

Aplicações:

1. Calcular o erro relativo dos produtos abaixo:

i. a=50±4; b=30±2

ii. K=20±1; h=100±3

iii. G=90±2; l=200±2

iv. K=80±6; y=80±4

Vamos analisar a divisão.

Divisão: Div = (a ± ea) / (b ± eb)

Vamos analisar 1/( b ± eb) = 1/b(1 ± eb/b) = 1/b . 1/(1 ± eb/b).

Div = (a/b ± ea/b) . (1 ± eb/b) = a/b ± (ea/b + eb.a/(b.b))

Erro Relativo da Divisão: Ediv = (ea/b + eb.a/(b.b)) / (a/b) ֶ

Ediv = ea/a + eb/b

Assim o erro relativo da divisão é a soma dos erros relativos do dividendo e do divisor.

Sendo a = (50 ± 3) e b = (21 ± 1);

A divisão a/b = 2,38 ± (3/21 + 1x50/(21x21)) = 2,38 ± 0,26,

Erro relativo do dividendo : 3/50 = 0,06

Erro relativo do divisor : 1/21 = 0,05

Erro relativo da divisão: Ediv= 0,06 + 0,05 ≈ 0,11 ≈ 0,26/2,38

Aplicações:

1. Calcular o erro relativo das divisões abaixo:

i. a=50±4; b=30±2

ii. K=20±1; h=100±3

iii. G=90±2; l=200±2

iv. K=80±6; y=80±4

RESUMO:

Propagação de Erros• o erro relativo da soma é a soma dos erros relativos

de cada parcela, ponderada pela participação da parcela no total da soma.

• o erro relativo da subtração é a soma dos erros relativos do minuendo com o erro relativo do subtraendo, ponderados pela participação de cada um no resultado da subtração.

• o erro relativo do produto é a soma dos erros relativos dos fatores.

• o erro relativo da divisão é a soma dos erros relativos do dividendo e do divisor.

• Continuando.....

•23/02/2011

2. Representação binária de números inteiros e reais

Representação de um número na base dois

Escrever um número inteiro em binário, isto é, na base dois, não apresenta problema. Cada posição digital representará uma potência de dois, da mesma forma que nos números decimais, cada posição representa uma potência de dez. Assim, o número: 23.457 significa, na base decimal:

2x104 + 3x103 + 4x102 + 5x101 + 7x100.

Na base dois, a base usada nos computadores binários, o número 110101 representa:

1x25 + 1x24 + 1x22 + 1x20 = (53)decimal

Os números com parte fracionária, da mesma forma, podem ser representados, usando-se potências negativas de dez, na base dez e de dois, na base dois.

Assim, o número: 456,78 significa: 4x102 + 5x101 + 6x100 + 7x10-1 + 8x10-2.

O número binário 101,101 significa, na base dois:

1x22 + 0x21 + 1x20 + 1x2-1 +0x2-2 + 1x2-3 = 5,625

Sabe-se que, na base dez, para se multiplicar um número pela base, isto é, por dez, basta deslocar a vírgula uma casa para a direita.

O mesmo ocorre com qualquer base, em particular com a base dois. Para multiplicar um número por dois, basta deslocar a vírgula uma casa para a direita. Ex.:

7 = 111 7/2 = 3,5 = 11,1

14 = 1110 (7/2)/2= 1,75 = 1,11

28 = 11100 ((7/2)/2)/2) = 0,875 = 0,111 + exemplos

Conversão Decimal >> BinárioNúmeros Inteiros

A conversão do número inteiro, de decimal para binário, será feita da direita para a esquerda, isto é, determina-se primeiro o algarismos das unidades ( o que vai ser multiplicado por 20 ) , em seguida o segundo algarismo da direita ( o que vai ser multiplicado por 21 ) etc...

A questão chave, por incrível que pareça, é observar se o número é par ou ímpar. Em binário, o número par termina em 0 e o ímpar em 1. Assim determina-se o algarismo da direita, pela simples divisão do número por dois; se o resto for 0 (número par) o algarismo da direita é 0; se o resto for 1 (número ímpar) o algarismo da direita é 1.

Por outro lado, é bom lembrar que, na base dez, ao se dividir um número por dez, basta levar a vírgula para a esquerda. Na base dois, ao se dividir um número por dois, basta levar a vírgula para a esquerda. Assim, para se determinar o segundo algarismo, do número em binário, basta lembrar que ele é a parte inteira do número original dividido por dois, abandonado o resto.

Parte Fracionária do Número

A conversão da parte fracionária do número será feita, algarismo a algarismo, da esquerda para a direita. Tendo isso como base, basta multiplicar o número por dois e verificar se o resultado é maior ou igual a 1. Se for, coloca-se 1 na correspondente casa fracionária, se 0 coloca-se 0 na posição.

Em qualquer dos dois casos, o processo continua, lembrando-se que, ao se multiplicar o número por dois, a vírgula move-se para a direita e, a partir desse ponto, estamos representando, na casa à direita, a parte decimal do número multiplicado por dois.

• Vamos ao exemplo, representando, em binário, o número 0,625.

0,625 x 2 = 1,25 , logo a primeira casa fracionária é 1. (Assim: 0,625 = 0,1 _ _ )

• Resta representar o 0,25 que restou ao se retirar o 1 já representado.

0,25 x 2 = 0,5 , logo a segunda casa é 0. (Assim: 0,625 = 0,110 _ )

Falta representar o 0,5 .

0,5 x 2 = 1 , logo a terceira casa é 1. (Assim: 0,625 = 0,110 1 )

Repetindo:

O número 0,625. Já temos: 0,625D = 0,_ _ _B

0,625 x 2 = 1,25 , logo a primeira casa fracionária é 1. (Assim: 0,625 = 0,1 _ _ )

Resta representar o 0,25 que restou ao se retirar o 1 já representado.

0,25 x 2 = 0,5 , logo a segunda casa é 0. (Assim: 0,625 = 0,10 _ )

Falta representar o 0,5 .

0,5 x 2 = 1 , logo a terceira casa é 1. (Assim: 0,625 = 0,10 1 )

0,625D = 0,101B

Quando o número tiver parte inteira e parte fracionária, podemos calcular, cada uma, separadamente.

ex.:

Tentando representar 0,8, verifica-se que é uma dízima.

0,8 = 0,110011001100....

Da mesma forma, vê-se que 5,8 = 101,11001100... , também uma dízima.

11,6 = 1011,10011001100... o que era óbvio, bastaria deslocar a vírgula uma casa para a direita, pois 11,6 = 2 x 5,8 .

• Avaliação:

1. Erros relativos

2. Transformações de decimal em binário e vice versa.

Cálculo de Raízes

Neste segundo capítulo, vamos analisar o Cálculo de Raízes, isto é, vamos buscar os zeros de uma função, os pontos que anulam o valor de uma função.

Um caso clássico é o do cálculo das raízes de uma equação do segundo grau, colocada sob a forma ax2 + bx + c = 0. As duas raízes são, como se sabe, facilmente obtidas pela expressão:

x = (-b ± √(b2 – 4ac))/(2a) .

Entretanto, se colocarmos uma expressão em que apareça uma equação transcendente, a solução já não é tão simples, como demonstram os exemplos abaixo:

• ex + x = 0• cos(x) – x = 0• ln(x) + x – 2 = 0

Mesmo um polinômio de grau maior que três já não tem uma solução algébrica simples como a da equação do segundo grau, a não ser em casos particulares.

Vamos analisar como enfrentar esse problema, tão comum em diversas áreas da engenharia, da economia, das ciências sociais, entre tantas outras.

Essas equações, com enorme freqüência nos levam a raízes reais não racionais que, ao serem representadas no computador, necessariamente, o serão de forma aproximada,tendo em vista que necessitariam de infinitos dígitos para serem representadas.

Além disso, em geral, estamos interessados em obter esses valores, essas raízes, com uma determinada precisão, com um erro tolerável, com algumas casas decimais, sem a pretensão de obter valores exatos. Isso é mais do que suficiente, para os problemas práticos encontrados.

Os métodos numéricos a serem apresentados, partindo de valores inicialmente propostos, buscam aprimorar esses valores, diminuindo os erros, aproximando-se, assim, dos valores das raízes procuradas, até que os erros sejam aceitáveis, podendo-se garantir que sejam erros inferiores a valores pré-definidos.

Exemplo de aplicação:

Método Gráfico Pode ser de enorme utilidade o uso de um

gráfico, ou de uma tabela, para se estimar a provável posição de uma raiz.

Na hipótese de se utilizar o método gráfico, faz-se um esboço, tão preciso quanto possível, de modo a se ter uma idéia de onde se encontra a raiz.

A partir desse valor, outros métodos podem ser utilizados para se obter o resultado com uma precisão maior, se necessário. Um bom gráfico resolverá um grande número de problemas, por si só, nos surpreendendo, muitas vezes, por tornar muito claro o local da raiz procurada. No mínimo, será muito útil, como ponto inicial para a pesquisa da raiz por um método mais preciso.

Da mesma maneira, uma tabela da função pesquisada, nos indicará aproximadamente a posição da raiz, que se situará no intervalo em que a função muda de sinal, desde que a função seja contínua, nessa região.

Exemplo: calcular a raiz de f(x)=cos(x) – x,

ou seja, os pontos onde: cos(x) – x = 0.

Num primeiro momento, pode-se ficar em dúvida quanto à provável posição da raiz, no entanto basta um simples esboço para que fique bem clara a posição aproximada da raiz.

Para facilidade de esboço, vamos transformar a expressão cos(x) –x = 0 em cos(x) = x . Nesse caso é facílimo esboçar tanto cos(x) quanto x , e estimarmos a interseção das duas curvas.

Vejamos o gráfico abaixo:

Observa-se, facilmente, que a interseção das curvas é, aproximadamente, em torno de x = 0,7 . Lembrando que estamos tomando, para cos(x) , o x em radianos.

1) Obter a raiz aproximada das equações abaixo, pelo método gráfico. Utilize passos de 0,25.

a) f(x)=x - sen(x), com x: (-2 ; 2)_____________b) f(x)=x - sen(2x), com x: (-1,5 ; 1,5)_________c) f(x)=x - sen(3x), com x: (-1,5 ; 1,5)_________d) f(x)=10x - sen(x), com x: (-0,3 ; 0,3)________e) f(x)=ex - x2, com x: (-1.5 ;0)_______________f) f(x)=ex - x2 + 4, com x: (-2,5 ;-1,5)___________g) f(x)= ex + x – 2, com x: (0 ; 1)________h) f(x)= sen(x) + x – 1 , com x: (0 ; 1)____i) f(x)= e-x – x, com x: (0 ;1)___________j) f(x)= ex – 2cos(x), com x: (0 ;1)_______l) f(x)= e-x + x2 – 2, com x: (-1 ;1,5)________

Continuamos na próxima aula...