Cálculo Numérico Módulo III

1

Profs.: Bruno Correia da Nóbrega Queiroz

José Eustáquio Rangel de Queiroz

Marcelo Alves de Barros

ErrosErros

Cálculo NuméricoCálculo NuméricoMódulo IIIMódulo III

22

Erros - RoteiroErros - Roteiro

ExistênciaExistência

TiposTipos

PropagaçãoPropagação

3

Premissa Impossibilidade de obtenção de

soluções analíticas para vários problemas de Engenharia.

Consequência Emprego de métodos numéricos na

resolução de inúmeros problemas do mundo real.

Premissa Impossibilidade de obtenção de

soluções analíticas para vários problemas de Engenharia.

Consequência Emprego de métodos numéricos na

resolução de inúmeros problemas do mundo real.

Erros - Existência IErros - Existência I

44

Erro InerenteErro Inerente

Erro Erro semsempprere presente nas soluções presente nas soluções numéricas, devido à incerteza sobre o numéricas, devido à incerteza sobre o valor real.valor real.

Ex. 01: Representação intervalar de dadosEx. 01: Representação intervalar de dados

((50,350,3 ± ± 0,20,2) cm) cm((1,571,57 ± ± 0,0030,003) ml) ml((110,276110,276 ± ± 1,041,04) Kg) Kg

Cada medida é um Cada medida é um intervalointervalo e não um e não um númeronúmero..Cada medida é um Cada medida é um intervalointervalo e não um e não um númeronúmero..

Erros - Existência IIErros - Existência II

5

Método NuméricoMétodo Numérico

Método adotado na resolução de um Método adotado na resolução de um problema físico, mediante a execução problema físico, mediante a execução de uma sequência de uma sequência finitafinita de operações de operações aritméticas.aritméticas.

ConsequênciaConsequência Obtenção de um resultado Obtenção de um resultado

aapproximadoroximado, cuja diferença do , cuja diferença do resultado esperado (exato) resultado esperado (exato) denomina-se denomina-se erroerro ..


Método adotado na resolução de um Método adotado na resolução de um problema físico, mediante a execução problema físico, mediante a execução de uma sequência de uma sequência finitafinita de operações de operações aritméticas.aritméticas.

ConsequênciaConsequência Obtenção de um resultado Obtenção de um resultado

aapproximadoroximado, cuja diferença do , cuja diferença do resultado esperado (exato) resultado esperado (exato) denomina-se denomina-se erroerro ..

Erros - Existência IIIErros - Existência III

6

Natureza dos Erros INatureza dos Erros I Erros inerentes ao Erros inerentes ao processo de processo de

aquisição dos dadosaquisição dos dados Relativos à imprecisão no processo Relativos à imprecisão no processo

de aquisição/entrada, externos ao de aquisição/entrada, externos ao processo numérico.processo numérico.

Natureza dos Erros INatureza dos Erros I Erros inerentes ao Erros inerentes ao processo de processo de

aquisição dos dadosaquisição dos dados Relativos à imprecisão no processo Relativos à imprecisão no processo

de aquisição/entrada, externos ao de aquisição/entrada, externos ao processo numérico.processo numérico.

Erros - Existência IVErros - Existência IV

7

Erros Inerentes aos Dados

Proveniência Proveniência Processo de Processo de aquisiçãoaquisição//entradaentrada (medidas experimentais)(medidas experimentais) Sujeitos às limitações/aferição dos Sujeitos às limitações/aferição dos

instrumentos usados no processo de instrumentos usados no processo de mensuraçãomensuração

Erros Erros inerentesinerentes são são inevitáveisinevitáveis! !

8

Natureza dos Erros II Erros inerentes ao modelo

matemático adotado Relativos à impossibilidade de

representação exata dos fenômenos reais a partir de modelos matemáticos

Necessidade de adotar condições que simplifiquem o problema, a fim de torná-lo numericamente solúvel

Erros - Existência VErros - Existência V

9

Erros Inerentes ao Modelo

Proveniência Proveniência Processo de Processo de modelagemmodelagem do problema do problema Modelos matemáticos raramente Modelos matemáticos raramente

oferecem representações oferecem representações exatasexatas dos dos fenômenos reaisfenômenos reais

Equações e relações, assim como Equações e relações, assim como dados e parâmetros associados, dados e parâmetros associados, costumam ser costumam ser simplificadossimplificados Factibilidade e viabilidade das Factibilidade e viabilidade das

soluçõessoluções

10

Natureza dos Erros IIINatureza dos Erros III Erros de Erros de truncamentotruncamento

Substituição de um processo infinito Substituição de um processo infinito de operações por outro finitode operações por outro finito

Natureza dos Erros IIINatureza dos Erros III Erros de Erros de truncamentotruncamento

Substituição de um processo infinito Substituição de um processo infinito de operações por outro finitode operações por outro finito

Em muitos casos, o erro de Em muitos casos, o erro de truncamentotruncamento é é precisamenteprecisamente a a diferença entre o modelo diferença entre o modelo matemático e o modelo numérico.matemático e o modelo numérico.

Em muitos casos, o erro de Em muitos casos, o erro de truncamentotruncamento é é precisamenteprecisamente a a diferença entre o modelo diferença entre o modelo matemático e o modelo numérico.matemático e o modelo numérico.

Erros - Existência VIIErros - Existência VII

11

Natureza dos Erros IVNatureza dos Erros IV Erros de Erros de arredondamentoarredondamento

Inerentes à estrutura da máquina e à Inerentes à estrutura da máquina e à utilização de uma aritmética de utilização de uma aritmética de precisão finitaprecisão finita

Erros - Existência VIIErros - Existência VII

12

Fontes de Erros IFontes de Erros I

Erros - Existência VIIIErros - Existência VIII

Modelo Modelo NuméricoNumérico

Erros InerentesErros Inerentesao Modeloao Modelo

ModeloModeloMatemáticoMatemático

Dados e Dados e Parâmetros Parâmetros do Modelodo Modelo

ProcessamentoProcessamentoNuméricoNumérico

SoluçãoSoluçãoNuméricaNumérica

ProblemaProblemado Mundo Realdo Mundo Real

Erros de Erros de TruncamentoTruncamento

Erros de Aquisição/Erros de Aquisição/Entrada de DadosEntrada de Dados

Erros de Arredondament

o

13

Fontes de Erros IIFontes de Erros II

Dispositivos Secondários

de Armazenamento

Unidade CentralUnidade Centralde Processamentode Processamento

UnidadeUnidadede Controlede Controle ULAULA

Unidade PrimáriaUnidade Primáriade Armazenamentode Armazenamento

Erros deErros deAquisição/Entrada Aquisição/Entrada

de Dadosde Dados

ResultadoResultadocom Erroscom Erros

Erros de Truncamento/ArredondamentoErros de Truncamento/Arredondamento

Erros - Existência IXErros - Existência IX

14

Representação Numérica em Máquinas Representação Numérica em Máquinas Digitais IDigitais I

Discreta Discreta Conjunto finito de números Conjunto finito de números em qualquer intervalo em qualquer intervalo [a, b][a, b] de de interesseinteresse

Implicação imediata Implicação imediata Possibilidade de Possibilidade de comprometimento da precisão dos comprometimento da precisão dos resultados, mesmo em representações resultados, mesmo em representações de dupla precisãode dupla precisão

Erros - Existência XErros - Existência X

15

Resultado na SaídaResultado na Saída

Incorporação de Incorporação de todostodos os erros do os erros do processoprocesso

QQuãouão confiável é o resultado confiável é o resultado aproximadoaproximado?? QQuantouanto erro está erro está ppresenteresente no no

resultado?resultado? Até que pontoAté que ponto o erro presente no o erro presente no

resultado é resultado é toleráveltolerável??

Erros - Existência XIErros - Existência XI

16

Acurácia Acurácia (ou (ou ExatidãoExatidão)) Quão Quão próximopróximo um valor um valor

computado/mensurado se encontra computado/mensurado se encontra do valor real (verdadeiro)do valor real (verdadeiro)

PrecisãoPrecisão (ou (ou ReproducibilidadeReproducibilidade)) Quão Quão próximopróximo um valor computado/ um valor computado/

mensurado se encontra de valores mensurado se encontra de valores previamente previamente computados/mensuradoscomputados/mensurados

Erros - Existência XIIErros - Existência XII

17

Inacurácia (ou Inexatidão) Desvio sistemático do valor real

Imprecisão (ou Incerteza) Magnitude do espalhamento dos valores

Inacurácia (ou Inexatidão) Desvio sistemático do valor real

Imprecisão (ou Incerteza) Magnitude do espalhamento dos valores

Erros - Existência XIIIErros - Existência XIII

18

Erros - Existência XIVErros - Existência XIVP

recis

ão (

Rep

rod

ucib

ilid

ad

e)

Pre

cis

ão (

Rep

rod

ucib

ilid

ad

e)

Exatidão (Acurácia)Exatidão (Acurácia) ExatidãoExatidão x x PrecisãoPrecisão

19

Indicador de Indicador de PrecisãoPrecisão de um de um ResultadoResultado

Número de algarismos Número de algarismos significativossignificativos

Algarismos Algarismos significativossignificativos ( (asas))

Algarismos que podem ser usados Algarismos que podem ser usados com com confiançaconfiança

Erros - Existência XVErros - Existência XV

20

AsAs de um número I de um número I

Exemplo 02: Considerem-se os Exemplo 02: Considerem-se os seguintes valores de seguintes valores de médiasmédias obtidas obtidas em um experimento estatísticoem um experimento estatístico = 138 = 138 0 casas 0 casas

decimais (cd)decimais (cd)

= 138,7= 138,7 1 cd1 cd

= 138,76= 138,76 2 cd2 cd

= 138,76875= 138,76875 5 cd5 cd

= 138, 7687549= 138, 7687549 7 cd7 cd

= 138, 768754927= 138, 768754927 9 cd9 cd

Erros - Existência XVIErros - Existência XVI

21

AsAs de um número II de um número II

Exemplo 02: Os valores das médias Exemplo 02: Os valores das médias podem ser representadas como:podem ser representadas como: = 138= 138 = 0,138 = 0,138 .. 10 1033

= 138,7= 138,7 = 0,1387 = 0,1387 ..101033

= 138,76= 138,76 = 0,13876 = 0,13876 .. 101033

= 138,76875= 138,76875 = = 0,13876875 0,13876875 .. 10 1033

= 138, 7687549= 138, 7687549 = = 0,1387687549 0,1387687549 .. 10 1033

= 138, 768754927= 138, 768754927 = = 0,138768754927 0,138768754927 .. 10 1033

Erros - Existência XVIIErros - Existência XVII

22

AsAs de um número IIIde um número III

Exemplo 02:Exemplo 02: = 0,138 = 0,138 xx 10 1033 3 as3 as

= 0,1387 = 0,1387 xx 10 1033 4 as4 as

= 0,13876 = 0,13876 xx 10 1033 5 as5 as

= 0,13876875 = 0,13876875 xx 10 1033 8 as8 as

= 0,1387687549 = 0,1387687549 xx 10 1033 10 as10 as

= 0,138768754927 = 0,138768754927 xx 10 1033 12 as12 as

Erros - Existência XVIIIErros - Existência XVIII

23

Erros nos Métodos I Erros nos Métodos I


Aproximação da solução de um Aproximação da solução de um problema de Matemáticaproblema de Matemática

Truncamento de uma solução em Truncamento de uma solução em série, considerando apenas um série, considerando apenas um número finito de termosnúmero finito de termos

Exemplo 03: Exemplo 03: exp(x)exp(x)

...!

x!2

xx1

!nx

)xexp(3

32

0n

n

...!

x!2

xx1

!nx

)xexp(3

32

0n

n

24

Erros nos Métodos IIErros nos Métodos II

Exemplo 03: Determinação do valor deExemplo 03: Determinação do valor de ee..

Lembrar queLembrar que . Logo:. Logo:

um truncamento no um truncamento no sextosexto termo gera: termo gera:

0n!n

1e

0n!n

1e

59057182818284,2!n

1e

0n

59057182818284,2!n

1e

0n

66677166666666,2!n

1e

5

0n

66677166666666,2!n

1e

5

0n

25

Erros nos Métodos IIIErros nos Métodos III

Exemplo 03:Exemplo 03:

Então, o erro deEntão, o erro de truncamentotruncamento,, EET T , será:, será:

92380016151617,0E

66677166666666,259057182818284,2E

!n1

!n1

E

T

T

T

5

0n0n

92380016151617,0E

66677166666666,259057182818284,2E

!n1

!n1

E

T

T

T

5

0n0n

26

Erros nos Métodos IVErros nos Métodos IV

Exemplo 04: Determinação do número Exemplo 04: Determinação do número de termos de termos para a aproximação de para a aproximação de cos(x)cos(x) com com 8 as8 as, considerando , considerando x=x=/3/3..

Lembrar que:Lembrar que:

...!6

x!

x!2

x1

)!n2()1(

)xcos(642

0n

n

4

...!6

x!

x!2

x1

)!n2()1(

)xcos(642

0n

n

4

27

Erros nos Métodos VErros nos Métodos V

Exemplo 04: EntãoExemplo 04: Então

Observe-se que o segundo Observe-se que o segundo asas não mais se não mais se alterará.alterará.

28

Erros nos Métodos VIErros nos Métodos VI

Exemplo 04: E que o quarto Exemplo 04: E que o quarto asas não não mais se alterará a partir de:mais se alterará a partir de:

nem o sexto nem o sexto asas a partir de: a partir de:

nem o oitavo nem o oitavo asas a partir de: a partir de:

29

Erros nos Métodos VIIErros nos Métodos VII

Exemplo 04:Exemplo 04:

Assim sendo, o número de termos Assim sendo, o número de termos para a para a aproximação de aproximação de cos(x)cos(x) com com 8 8 asas é igual a é igual a 77 (incluindo o termo de ordem (incluindo o termo de ordem 00, igual a , igual a 11))

30

Erros nos Métodos VIIIErros nos Métodos VIII

Exercício 01: Determinar o número Exercício 01: Determinar o número de termos de termos para a aproximação depara a aproximação de

1.1. log(1+x)log(1+x) com com 8 as8 as, considerando , considerando x = 0,09x = 0,09

2.2. sen(x)sen(x) com com 6 as6 as, considerando , considerando x= 4x= 4/3/3

3.3. exp(x)exp(x) com com 7 as7 as, considerando , considerando x= 1/3x= 1/3

Qual a conclusão a que se chega a Qual a conclusão a que se chega a partir destes cálculos?partir destes cálculos?

Exercício 01: Determinar o número Exercício 01: Determinar o número de termos de termos para a aproximação depara a aproximação de

1.1. log(1+x)log(1+x) com com 8 as8 as, considerando , considerando x = 0,09x = 0,09

2.2. sen(x)sen(x) com com 6 as6 as, considerando , considerando x= 4x= 4/3/3

3.3. exp(x)exp(x) com com 7 as7 as, considerando , considerando x= 1/3x= 1/3

Qual a conclusão a que se chega a Qual a conclusão a que se chega a partir destes cálculos?partir destes cálculos?

3131

Erros - Existência XIXErros - Existência XIX

Erro deErro de RepresentaçãoRepresentação x Erro dex Erro de Truncamento de DígitosTruncamento de Dígitos Erro deErro de RepresentaçãoRepresentação

Associado à conversão numérica Associado à conversão numérica entre bases (representação humana entre bases (representação humana e de máquina) ou à realização de e de máquina) ou à realização de operações aritméticasoperações aritméticas

Erro deErro de Truncamento de DígitosTruncamento de Dígitos Associado à quantidade de Associado à quantidade de

informação que a máquina pode informação que a máquina pode conter sob a forma de um númeroconter sob a forma de um número

3232

Representação dos números reais com Representação dos números reais com um número finito de dígitos um número finito de dígitos (aproximação)(aproximação)

Ex. 05: Cálculo da área de uma Ex. 05: Cálculo da área de uma circunferência de raio circunferência de raio 100 m100 m

Possíveis resultados:Possíveis resultados:

(1) (1) A = 31400 mA = 31400 m22

(2) (2) A = 31416 mA = 31416 m22

(3) (3) A = 31415,92654 mA = 31415,92654 m22

Erro de Representaç

ão

Erro de Representaç

ão não tem representação finita -não tem representação finita - 3,143,14 (1),(1), 3,14163,1416 (2) e(2) e 3,1415926543,141592654 (3)(3)

não tem representação finita -não tem representação finita - 3,143,14 (1),(1), 3,14163,1416 (2) e(2) e 3,1415926543,141592654 (3)(3)

Erros - Existência XXErros - Existência XX

3333

Representação dos números reais com Representação dos números reais com um número finito de dígitos um número finito de dígitos (aproximação)(aproximação)

Dependência da representação numérica Dependência da representação numérica da máquina utilizadada máquina utilizada

Um número pode ter Um número pode ter representação representação finitafinita em em uma base e uma base e não finitanão finita em em outraoutra

Um número pode ter Um número pode ter representação representação finitafinita em em uma base e uma base e não finitanão finita em em outraoutra

Erros - Existência XXIErros - Existência XXI

Erro de Representaçã

o

Erro de Representaçã

o

Operações com dados Operações com dados imprecisosimprecisos ou ou incertosincertos acarretam a acarretam a propagação do propagação do erroerro..

Operações com dados Operações com dados imprecisosimprecisos ou ou incertosincertos acarretam a acarretam a propagação do propagação do erroerro..

0,10,11010 = = 0,00,000110011001100110011001100110011......22

3434

Erros - Existência XXIIErros - Existência XXII

Ex. 06:Ex. 06: DeterminarDeterminar

a partir de uma calculadora e um a partir de uma calculadora e um computador, para computador, para xxii = 0,5 = 0,5 e e xxii = 0,1 = 0,1

xxiiCalculadorCalculador

aaComputadorComputador

0,50,5 S= 1500S= 1500 S= 1500S= 1500

0,10,1 S= 300S= 300S=300,00909424S=300,00909424 (precisão (precisão simplessimples))

S=299,999999999999720S=299,999999999999720 (precisão (precisão dupladupla))

∑3000

1i=ix=S

3535

Erros - Existência XXIIIErros - Existência XXIII

Ex. 07:Ex. 07: Conversão de Conversão de 0,10,11010 para a base para a base 22..

0,10,11010 = = 0,00,000110011001100110011001100110011......22

0,10,11010 não tem representação não tem representação exataexata na base na base 22

A representação de um número A representação de um número depende da depende da basebase em uso e do em uso e do númeronúmero máximo de dígitosmáximo de dígitos usados usados em sua representação.em sua representação.

A representação de um número A representação de um número depende da depende da basebase em uso e do em uso e do númeronúmero máximo de dígitosmáximo de dígitos usados usados em sua representação.em sua representação.

3636

Erros - Tipos IErros - Tipos I

AbsolutoAbsoluto Diferença entre o valor Diferença entre o valor exatoexato de um de um

númeronúmero e o seu valor e o seu valor aproximadoaproximado (em (em módulo)módulo)

|xx|EAx

3737

Erros - Tipos IIErros - Tipos II

RelativoRelativo Razão entre o Razão entre o erro absolutoerro absoluto e o valor e o valor

exatoexato do número considerado (em do número considerado (em módulo)módulo)

|x||xx|

ERx

Erro PercentualErro Percentualxx = ER = ERxx . .

100%100%Erro PercentualErro Percentualxx = ER = ERxx . .

100%100%

3838

Erros - Tipos IIIErros - Tipos III

RelativoRelativo Este tipo de erro é utilizado em Este tipo de erro é utilizado em

processos iterativos pois, sendo o processos iterativos pois, sendo o processo processo convergenteconvergente, a cada , a cada iteração o valor iteração o valor atualatual está mais está mais próximo mais do valor próximo mais do valor exatoexato do que o do que o valor valor anterioranterior

atualvalor x

anteriorvalor x

3939

Erros - Tipos IVErros - Tipos IV

Erro AbsolutoErro Absoluto -- Considerações IConsiderações I EAEAxx só poderá ser determinado se só poderá ser determinado se xx

for conhecido com exatidãofor conhecido com exatidão Na prática, costuma-se trabalhar com Na prática, costuma-se trabalhar com

um limitante superior para o erro, ao um limitante superior para o erro, ao invés do próprio erro (invés do próprio erro (||EE || << εε, sendo , sendo εε é o limitante)é o limitante)

Ex. 08: Para Ex. 08: Para (3,14; 3,15) (3,14; 3,15)

0,01<π-π=EAπ

4040

Erros – Tipos VErros – Tipos V

Erro AbsolutoErro Absoluto -- Considerações IIConsiderações II

Ex. 08: Sejam a = 3876,373a = 3876,373 e b = 1,373b = 1,373

Considerando-se a parte inteira de Considerando-se a parte inteira de aa ((a’a’) ) o o erro absolutoerro absoluto será: será:

e a parte inteira de e a parte inteira de bb ((b’b’) , o ) , o erro erro absolutoabsoluto será: será:

0,373aaEA 'a

0,373bbEA 'b

4141

Erros – Tipos VIErros – Tipos VI

Erro AbsolutoErro Absoluto - - Considerações III Considerações III Obviamente, o resultado do erro Obviamente, o resultado do erro

absoluto é o mesmo nos dois casosabsoluto é o mesmo nos dois casos Entretanto, o peso da aproximação Entretanto, o peso da aproximação

emem bb é maior do que em é maior do que em aa

4242

Erros – Tipos VIIErros – Tipos VII

Erro RelativoErro Relativo - - Consideração Consideração

O erro relativo pode, entretanto, O erro relativo pode, entretanto, traduzir perfeitamente este fato, traduzir perfeitamente este fato, pois:pois:

4a 100,000096

38760,373

ER

0Xb 105o,373

10,373

ER

4343

Ex. 09: Cálculo do erro relativo na Ex. 09: Cálculo do erro relativo na representação dos representação dos números números a a = 2112,9= 2112,9 e e ee = = 5,35,3, sendo , sendo |E|EAA| < 0,1| < 0,1

|E|ERRaa| = |a - | = |a - āā|/||/|aa| = 0,1/2112,9 | = 0,1/2112,9 4,7 x 4,7 x 1010-5-5

|E|ERRee| = |e - | = |e - ēē|/||/|ee| = 0,1/5,3 | = 0,1/5,3 0,02 0,02

Conclusão:Conclusão: aa éé representado representado com com maiormaior precisão do que precisão do que ee

Erros - Tipos VIIIErros - Tipos VIII

4444

ArredondamentoArredondamento

Truncamento de DígitosTruncamento de Dígitos

Quanto Quanto menormenor for o for o erroerro, , maior será a maior será a precisãoprecisão do do resultado da operação.resultado da operação.

Quanto Quanto menormenor for o for o erroerro, , maior será a maior será a precisãoprecisão do do resultado da operação.resultado da operação.

Erros – Tipos IXErros – Tipos IX

4545

Erros – Tipos XErros – Tipos X

Arredondamento IArredondamento I

Ex. 10: Ex. 10: Cálculo de Cálculo de utilizando uma calculadora utilizando uma calculadora digitaldigital

Valor apresentado: Valor apresentado: 1,4142131,41421366

Valor real: Valor real: 1,4142131,4142135656......

2

4646

Erros – Tipos XIErros – Tipos XI

Arredondamento IIArredondamento II Inexistência de forma de Inexistência de forma de

representação de números representação de números irracionais com uma quantidade irracionais com uma quantidade finita de algarismosfinita de algarismos

Apresentação de uma aproximação Apresentação de uma aproximação do número pela calculadorado número pela calculadora

Erro deErro de arredondamentoarredondamento

4747

Erros – Tipos XIIErros – Tipos XII

Truncamento de DígitosTruncamento de Dígitos Descarte dos dígitos finais de uma Descarte dos dígitos finais de uma

representação exata por limitações representação exata por limitações de representação em vírgula de representação em vírgula flutuanteflutuante

Ex. 11: Ex. 11: Representação truncada de Representação truncada de em vírgula flutuante com 7 dígitos em vírgula flutuante com 7 dígitos

Valor apresentado: Valor apresentado: 1,4142131,41421355

Valor real: Valor real: 1,4142131,4142135656......

2

4848

x = 0,2345 . 10x = 0,2345 . 1033 + 0,7 . 10 + 0,7 . 10--

11

ffxx = 0,2345 = 0,2345

ggxx = 0,7 = 0,7

Erros de Erros de TruncamentoTruncamento e e ArredondamentoArredondamento - - Demonstração Demonstração

Em um sistema que opera em ponto Em um sistema que opera em ponto flutuante de flutuante de tt dígitos na base dígitos na base 1010, e seja , e seja xx::

x = fx = fxx.10.10ee + g + gxx.10.10e-te-t ( (0,10,1 f fxx 1 1 e e 0,10,1 g gx x

11)) Para Para t = 4t = 4 e e x = 234,57x = 234,57, então:, então:

Arredondamento e Arredondamento e Truncamento ITruncamento I

4949

Erros - TruncamentoErros - Truncamento

No No truncamentotruncamento,, ggxx.10.10e-te-t é desprezado e é desprezado e

visto que visto que |g|gxx|<1|<1

,,

pois pois 0,10,1 é o menor valor possível para é o menor valor possível para ffxx

tetexx 1010.gxxEA

1te

te

tex

ex

texx

x 1010.0,1

1010.g10.f

10.g

x

EAER

ex 10.fx

5050

No No arredondamentoarredondamento simétricosimétrico (forma (forma mais utilizada):mais utilizada):

, se , se ((ggxx é é desprezado)desprezado)

, se, se (soma (soma 11 ao ao último último dígito de dígito de ffxx))

Erros – Arredondamento IErros – Arredondamento I

tee

x

ex

1010.f

10.f

x21

gx

21

gx

5151

Erros - Arredondamento IIErros - Arredondamento II

Se , então:Se , então:

1te

te

tex

ex

texx

x 10.21

10.0,110.0,5

10.g10.f

10.g

x

EAER

tetexx 10.

21

10.gxxEA

21

gx

5252

Erros – Arredondamento III

Se , então:Se , então:

ee

1t

e

te

ex

te

teex

tex

x 10.21

10.0,110.1/2

10.f10.1/2

1010.f

10.1/2x

EAER

tetex

tetexx 10.

21

10.1g1010.gEA

21

gx

teex

tex

exx 10.10f.10g.10fxxEA

5353

Erros de Erros de TruncamentoTruncamento e e ArredondamentoArredondamento Sistema operando em ponto flutuante - Sistema operando em ponto flutuante -

Base Base 1010 Erro deErro de TruncamentoTruncamento

ee

Erro deErro de ArredondamentoArredondamento

ee

tex 10EA 1t

x 10ER

1tx 10

21

ER tex 10

21

EA

Arredondamento e Truncamento I

ee - n- nºº de dígitos inteiros de dígitos inteirost t - n- nºº de dígitos de dígitosee - n- nºº de dígitos inteiros de dígitos inteirost t - n- nºº de dígitos de dígitos

5454

Arredondamento e Arredondamento e Truncamento IITruncamento II

Sistema de aritmética de ponto Sistema de aritmética de ponto flutuante de 4 dígitos, precisão duplaflutuante de 4 dígitos, precisão dupla

Ex. 12:Ex. 12: Seja Seja x = 0,937.10x = 0,937.1044 e e y = y = 0,1272.100,1272.1022. Calcular. Calcular x+yx+y..

Alinhamento dos pontos decimais antes Alinhamento dos pontos decimais antes da somada soma

x = 0,937. 10x = 0,937. 1044 e y = 0,001272. 10 e y = 0,001272. 104, 4,

x+y = 0,938272. 10x+y = 0,938272. 1044

Resultado com 4 dígitosResultado com 4 dígitos

Arredondamento:Arredondamento: x+y = 0,9383.10x+y = 0,9383.1044

Truncamento:Truncamento: x+y = 0,9382.10x+y = 0,9382.1044

5555

Arredondamento e Arredondamento e Truncamento IIITruncamento III

Sistema de aritmética de ponto flutuante Sistema de aritmética de ponto flutuante de 4 dígitos, precisão duplade 4 dígitos, precisão dupla

Ex. 12:Ex. 12:Seja Seja x = 0,937.10x = 0,937.1044 e e y = y = 0,1272.100,1272.1022. Calcular. Calcular x.yx.y..

Alinhamento dos pontos decimais antes da Alinhamento dos pontos decimais antes da somasoma

x.y = (0,937.10x.y = (0,937.1044).(0,1272.10).(0,1272.1022))x.y = (0,937.0,1272).10x.y = (0,937.0,1272).106 6 x.y = x.y =

0,1191864.100,1191864.1066


Arredondamento:Arredondamento: x.y = 0,1192.10x.y = 0,1192.1066

Truncamento:Truncamento: x.y = 0,1191.10x.y = 0,1191.1066

5656

ConsideraçõesConsiderações Ainda que as parcelas ou fatores de Ainda que as parcelas ou fatores de

uma operação possam ser uma operação possam ser representados exatamente no representados exatamente no sistema, não se pode esperar que o sistema, não se pode esperar que o resultado armazenado seja exato.resultado armazenado seja exato.

xx e e yy tinham representação tinham representação exataexata, , mas os resultados mas os resultados x+yx+y e e x.yx.y tiveram tiveram representação representação aproximadaaproximada..

Arredondamento e Truncamento Arredondamento e Truncamento IVIV

5757

Arredondamento e Truncamento Arredondamento e Truncamento VV

Ex. 13:Ex. 13: Seja Seja x = 0,7237.10x = 0,7237.1044 , , y = y = 0,2145.100,2145.10-4-4 e e z = z = 0,2585.10¹0,2585.10¹. Efetuar a operação . Efetuar a operação

x + y + zx + y + z e calcular o e calcular o erro erro relativo do resultado, relativo do resultado, supondo supondo xx,, yy ee zz exatamente representados.exatamente representados.

x+y+z = 0,7237.10x+y+z = 0,7237.1044 + 0,2145. + 0,2145.1010-4-4+ + 0,2585.10¹ 0,2585.10¹ == 0,7237.100,7237.104 4

+ 0,000000002145.10+ 0,000000002145.1044 + + 0,0002585.100,0002585.104 4 = 0,723958502.10= 0,723958502.1044


Arredondamento:Arredondamento: x+y+z = 0,7240.10x+y+z = 0,7240.1044

Truncamento:Truncamento: x+y+z = 0,7239.10x+y+z = 0,7239.1044

5858

Arredondamento e Truncamento Arredondamento e Truncamento VIVI

Erro relativo (no arredondamento):Erro relativo (no arredondamento):

35

4

44zyx

zyx

10.21

.1021,735

2.100,72395850.10 - 0,72402.100,72395850

x

EAER

35

4

44zyx

zyx

10.21

.1021,735

2.100,72395850.10 - 0,72402.100,72395850

x

EAER

5959

Arredondamento e Truncamento Arredondamento e Truncamento VIIVII

Sistemas de Vírgula FlutuanteSistemas de Vírgula Flutuante ((VF VF ))

Um sistema Um sistema VF(b, p, q)VF(b, p, q) é constituído é constituído por todos os números reais por todos os números reais XX da da forma:forma:

, em que, em que

e ainda e ainda X = 0X = 0

mb X t

-p-1 b-1mb ≤≤

6060

Arredondamento e Truncamento Arredondamento e Truncamento VIIIVIII

Sistemas de Vírgula Flutuante (Sistemas de Vírgula Flutuante (VF VF ))

Portanto,Portanto,

na qualna qual

p p um número finito de dígitos para a um número finito de dígitos para a mantissa;mantissa;

qq um número finito de dígitos para o um número finito de dígitos para o expoente;expoente;

bb é a base do sistema. é a base do sistema.

b)d...ddd(. X )tt...t(p-3-2-1-

011-q

6161

Arredondamento e Truncamento Arredondamento e Truncamento IXIX


Considera-se que a mantissa é normalizada, i.e., d 0, exceto a representação do zero.

Representam-se na forma VF(b, p, q, Y)VF(b, p, q, Y), onde YY determina qual método o sistema adota:

Caso Y = A Arredondamento;Caso Y = T Truncamento de

Dígitos.

6262

Arredondamento e Truncamento Arredondamento e Truncamento XX


Unidade de arredondamento (u): majorante do erro relativo na representação de um número num dado sistema VF(b, p, q)VF(b, p, q), tal que:

em em VF(b, p, q, A)VF(b, p, q, A)

em em VF(b, p, q, T)VF(b, p, q, T),, p-1

p-1

bu

b21

u

6363

Arredondamento e Truncamento Arredondamento e Truncamento XIXI

Ex. 14:Ex. 14:Determine as raízes da Determine as raízes da equação equação xx22 + 0,7341x + 0,600.10 + 0,7341x + 0,600.10-4-4

= 0= 0 no sistema no sistema VF(10, 4, 2, T)VF(10, 4, 2, T), , considerando que não existem considerando que não existem dígitos de guarda no dígitos de guarda no processamento das operações em processamento das operações em ponto flutuante.ponto flutuante.

a)a) A partir da expressão utilizada na A partir da expressão utilizada na resolução de equações resolução de equações quadráticas, calcule o erros quadráticas, calcule o erros absolutos e relativos (absolutos e relativos (EAEAx1x1, , EAEAx2 x2 ,,

ERERx1x1 e e ERERx2x2). ).

64

Arredondamento e Truncamento Arredondamento e Truncamento XIIXII

b)b) Justifique a origem do erro relativo Justifique a origem do erro relativo obtido na menor raiz (em módulo), obtido na menor raiz (em módulo), sugerindo uma forma de melhoria sugerindo uma forma de melhoria numérica para a resolução de tal numérica para a resolução de tal problema.problema.

Solução:Solução:

a)a)

020

002

0

2

1,2

0,5389.10)b(fl0,5389028.10

)10.7341)(10(0,7341.0,)fl(b

0,7341.10fl(b)2a

4ac -bb -x

020

002

0

2

1,2

0,5389.10)b(fl0,5389028.10

)10.7341)(10(0,7341.0,)fl(b

0,7341.10fl(b)2a

4ac -bb -x

6565

Arredondamento e Truncamento Arredondamento e Truncamento XIIIXIII


a) a)

02102

02

0

3-02

3-

14-

1

1

4 -

0,7339.10=)(0,5387.10=)4c-(bfl(

0,5387.10=4c)-fl(b

=.100,0002400) - (0,5389

=0,2400.10-0,5389.10=4c)-fl(b

o,2400.10=fl(4c)

).106000)(10(0,4000.0,=fl(4c)

(0.2000)10=fl(2)

10)4000.0()4(fl

(0.6000)10fl(c)

02102

02

0

3-02

3-

14-

1

1

4 -

0,7339.10=)(0,5387.10=)4c-(bfl(

0,5387.10=4c)-fl(b

=.100,0002400) - (0,5389

=0,2400.10-0,5389.10=4c)-fl(b

o,2400.10=fl(4c)

).106000)(10(0,4000.0,=fl(4c)

(0.2000)10=fl(2)

10)4000.0()4(fl

(0.6000)10fl(c)

66

Arredondamento e Truncamento Arredondamento e Truncamento XIVXIV


a) a) Primeira raiz:Primeira raiz:

01

1

12

1

002

-0,7340.10)fl(x

.102000,00,1468.10-

2c4b b-

fl)fl(x

10.7339,0-0,7341.10)c4b fl(-b

01

1

12

1

002

-0,7340.10)fl(x

.102000,00,1468.10-

2c4b b-

fl)fl(x

10.7339,0-0,7341.10)c4b fl(-b

67

Arredondamento e Truncamento Arredondamento e Truncamento XVXV


a) a) Segunda raiz:Segunda raiz:

3-1

1

12

1

002

-0,1000.10)fl(x

.102000,00,0002.10-

2c4b b-

fl)fl(x

10.7339,0-0,7341.10)c4b fl(-b

3-1

1

12

1

002

-0,1000.10)fl(x

.102000,00,0002.10-

2c4b b-

fl)fl(x

10.7339,0-0,7341.10)c4b fl(-b

O O cancelamento subtrativocancelamento subtrativo (ou (ou catastróficocatastrófico) ocorre quando se ) ocorre quando se subtraem números muito próximos subtraem números muito próximos em sistemas de vírgula flutuante.em sistemas de vírgula flutuante.

O O cancelamento subtrativocancelamento subtrativo (ou (ou catastróficocatastrófico) ocorre quando se ) ocorre quando se subtraem números muito próximos subtraem números muito próximos em sistemas de vírgula flutuante.em sistemas de vírgula flutuante.

68

Arredondamento e Truncamento Arredondamento e Truncamento XVIXVI

Solução:

a) Para calcular os erros cometidos em FP, é necessário conhecer os valores exatos das raízes.

Considerando um dígito a mais do que a representação da mantissa no sistema, i.e., 5 dígitos, obtém-se:

e

-42

0 1 0-0,81742.1x0-0,73402.1x -4

20

1 0-0,81742.1x0-0,73402.1x

69

Arredondamento e Truncamento Arredondamento e Truncamento XVIIXVII

Solução:

a) Assim sendo, os erros absolutos e relativos serão:

%3,22ER10.22336,00,81742.10-

10.18258,0x

EAER

%0,0ER

%003,0ER10.27247,00,73402.10-

10.2000,0x

EAER

10.18258,0).101000,0(- -10.0,81742 -EA

10.20000,0).107340,0(- -10.0,73402 -EA

%2x0

4-

4-

2

2x2x

%1x

%1x4-

0

4-

1

1x1x

4-3-4-x1

-400x1

%3,22ER10.22336,00,81742.10-

10.18258,0x

EAER

%0,0ER

%003,0ER10.27247,00,73402.10-

10.2000,0x

EAER

10.18258,0).101000,0(- -10.0,81742 -EA

10.20000,0).107340,0(- -10.0,73402 -EA

%2x0

4-

4-

2

2x2x

%1x

%1x4-

0

4-

1

1x1x

4-3-4-x1

-400x1

70

Arredondamento e Truncamento Arredondamento e Truncamento XVIIIXVIII


a)a) Constatação:Constatação:

Apesar dos erros absolutos Apesar dos erros absolutos serem serem praticamente iguais, a praticamente iguais, a segunda raiz segunda raiz apresenta um erro apresenta um erro relativo relativo quatroquatro ordens de ordens de grandeza maior do que o grandeza maior do que o erro erro relativo cometido no cálculo da relativo cometido no cálculo da primeira raiz.primeira raiz.

71

Arredondamento e Truncamento Arredondamento e Truncamento XIXXIX


b)b) O problema do erro O problema do erro relativo relativo cometido no cálculo da cometido no cálculo da segunda segunda raiz deve-se ao raiz deve-se ao cancelamento cancelamento subtrativosubtrativo, , verificado quando verificado quando números muito números muito próximos se próximos se subtraem em subtraem em aritmética de aritmética de vírgula vírgula flutuanteflutuante..

72

Arredondamento e Truncamento Arredondamento e Truncamento XXXX


b)b) Para evitar o Para evitar o cancelamento cancelamento subtrativosubtrativo, 2 opções , 2 opções conduzem ao conduzem ao mesmo resultado, a mesmo resultado, a saber:saber:

1.1. Manipulação da fórmula para a Manipulação da fórmula para a determinação dos zerosdeterminação dos zeros

11

22

222

2

222

2

xc

x2c2

c4b b-

c2

c4b b-.2

c4b (-b)

c4b b-

c4b b-.

2c4b b-

2c4b b-

x

11

22

222

2

222

2

xc

x2c2

c4b b-

c2

c4b b-.2

c4b (-b)

c4b b-

c4b b-.

2c4b b-

2c4b b-

x

73

Arredondamento e Truncamento Arredondamento e Truncamento XXIXXI


1.1. Manipulação da fórmula para a Manipulação da fórmula para a determinação dos zerosdeterminação dos zeros

Assim:Assim:

2.2. Manipulação simbólica da equação Manipulação simbólica da equação genérica de segundo graugenérica de segundo grau

ouou

40

4

12 10.8174,0

10.7340,010.6000,0

xc

fl)fl(x

4

0

4

12 10.8174,0

10.7340,010.6000,0

xc

fl)fl(x

12

2121212

21212

212

axc

x

xaxcxax )xx a(x - ax)xx xx -xx - a(x

)x - )(xx - a(x c bx ax

12

2121212

21212

212

axc

x

xaxcxax )xx a(x - ax)xx xx -xx - a(x

)x - )(xx - a(x c bx ax

7474

Erros – Propagação IErros – Propagação I

Propagação dos ErrosPropagação dos Erros

Durante as operações aritméticas Durante as operações aritméticas de um método, os erros dos de um método, os erros dos operandos produzem um erro no operandos produzem um erro no resultado da operaçãoresultado da operação Propagação ao longo do processoPropagação ao longo do processo Determinação do erro no resultado Determinação do erro no resultado

final obtido final obtido

7575

Erros – PropagaçãoErros – Propagação II

Ex. 14:Ex. 14: Sejam as operações a seguir, Sejam as operações a seguir, processadas em uma máquina processadas em uma máquina com com 44 dígitos significativos e dígitos significativos e fazendo-se: fazendo-se: a = a = 0,3491.100,3491.1044 e e b = 0,2345.10b = 0,2345.1000..

(b+a)−a(b+a)−a=(0,2345.10=(0,2345.1000+0,3491.10+0,3491.1044))

−0,3491.10−0,3491.1044=0,3491.10=0,3491.1044−0,3491.10−0,3491.1044 == 0,0000 0,0000

b+b+(a−a(a−a)=0,2345.10)=0,2345.1000+(0,3491.10+(0,3491.1044−−0,3491.100,3491.1044)=0,2345+0,0000)=0,2345+0,0000

== 0,2345 0,2345

7676

Erros – Propagação IIIErros – Propagação III

Os dois resultados são diferentes, Os dois resultados são diferentes, quando não deveriam ser.quando não deveriam ser.

((b + a) − a = 0,0000b + a) − a = 0,0000 e e b + (a − a) = b + (a − a) = 0,23450,2345

CausaCausa

Arredondamento da adição Arredondamento da adição (b + a)(b + a),, a a qual tem qual tem 88 dígitos dígitos Cancelamento Cancelamento subtrativosubtrativo de de (b + a) − a (b + a) − a devido à devido à representação de máquina com representação de máquina com 44 dígitosdígitos A A distributividadedistributividade é uma é uma

propriedade da propriedade da adiçãoadição..A A distributividadedistributividade é uma é uma propriedade da propriedade da adiçãoadição..

7777

Erros – Propagação IVErros – Propagação IV

Resolução numérica de um Resolução numérica de um problemaproblema Importância do conhecimento dos Importância do conhecimento dos

efeitos da propagação de errosefeitos da propagação de erros Determinação do erro final de uma Determinação do erro final de uma

operaçãooperação Conhecimento da sensibilidade de Conhecimento da sensibilidade de

um determinado problema ou um determinado problema ou método numéricométodo numérico

7878

Erros – Propagação VErros – Propagação V

Ex. 15: Dados Ex. 15: Dados a = 50 ± 3a = 50 ± 3 e e b = 21 ± b = 21 ± 11, calcular , calcular a + ba + b..

Variação de Variação de aa 4747 a a 5353

Variação de Variação de bb 2020 a a 2222

Menor valor da soma Menor valor da soma 47 47 ++ 20 20 == 6767

Maior valor da soma Maior valor da soma 53 53 ++ 22 22 == 7575 a + b = (50 + 21) ± 4 = 71 ± 4a + b = (50 + 21) ± 4 = 71 ± 4 6767 a a

7575

7979

Erros – Propagação VIErros – Propagação VI

Ex. 16: Dados Ex. 16: Dados a = 50 ± 3a = 50 ± 3 e e b = 21 ± 1b = 21 ± 1, , calcular calcular a - ba - b..

Variação de Variação de aa 4747 a a 5353

Variação de Variação de bb 2020 a a 2222

Menor valor da diferençaMenor valor da diferença 47 47 ̶̶ 20 20 = = 2525

Maior valor da diferença Maior valor da diferença 53 53 ̶̶ 22 22 == 3333

a # b = (50 # 21) ± 4 = 29 ± 4a # b = (50 # 21) ± 4 = 29 ± 4 2525 a a 3333

Na Na subtraçãosubtração, os erros absolutos se , os erros absolutos se somamsomam, pois sempre se admite o pior , pois sempre se admite o pior caso.caso.

Na Na subtraçãosubtração, os erros absolutos se , os erros absolutos se somamsomam, pois sempre se admite o pior , pois sempre se admite o pior caso.caso.

8080

Erros – Propagação VIIErros – Propagação VII

Ex. 17: Dados Ex. 17: Dados a = 50 ± 3a = 50 ± 3 e e b = 21 ± b = 21 ± 11, calcular , calcular a.ba.b.. Variação de Variação de aa 4747 a a 5353

Variação de Variação de bb 2020 a a 2222 Menor valor do produto Menor valor do produto 47 . 2047 . 20 ==

940940 Maior valor da produto Maior valor da produto 53 . 2253 . 22 ==

11661166 a . b = (50 ± 3) x (21 ± 1)a . b = (50 ± 3) x (21 ± 1)

≈ ≈ 1050 ± (3.21 + 50.1)1050 ± (3.21 + 50.1)≈ ≈ 1050 ± 113 1050 ± 113 937937 a a 11631163

8181

Erros – Propagação VIIErros – Propagação VII

Ex. 18: Dados Ex. 18: Dados a = 50 ± 3a = 50 ± 3 e e b = 21 b = 21 ± 1± 1, calcular , calcular a.ba.b..

ConsideraçõesConsiderações

Despreza-se o produtoDespreza-se o produto 3.13.1, por ser , por ser muito pequeno diante demuito pequeno diante de (3.21 + (3.21 + 50.1 ) = 11350.1 ) = 113

Ligeiramente diferente do Ligeiramente diferente do verdadeiro intervalo, por conta da verdadeiro intervalo, por conta da desconsideração do produtodesconsideração do produto 3.13.1, , assumido como assumido como desprezíveldesprezível

8282

Erros – Propagação XErros – Propagação X

Análise dos Erros Análise dos Erros AbsolutoAbsoluto e e RelativoRelativo

Expressões para o determinação dos Expressões para o determinação dos erros nas operações aritméticaserros nas operações aritméticas

Erros presentes na representação Erros presentes na representação das das parcelasparcelas ou ou fatoresfatores, assim como , assim como no no resultadoresultado da operação da operação Supondo um Supondo um erro final erro final

arredondadoarredondado, sendo, sendo xx e e yy, tais , tais que:que:

yx EAyy EAxx e

8383

Erros – Propagação XIErros – Propagação XI

AdiçãoAdição ErroErro Absoluto Absoluto

ErroErro Relativo Relativo

yx

yER

yxx

ERyx

EAER yx

yxyx

)EA(EA)yx()EAy( )EAx(yx

yx

yx

8484

Erros – Propagação XIIErros – Propagação XII

SubtraçãoSubtração ErroErro Absoluto Absoluto


yx

yER

yxx

ERyx

EAER yx

yxyx

)EA(EA)yx()EAy( )EAx(yx

yx

yx

8585

Erros – Propagação XIIIErros – Propagação XIII

MultiplicaçãoMultiplicação ErroErro Absoluto Absoluto


muito muito pequenopequeno

yxyxyx .EAEAEAx.EAyy.xEAy.EAxx.y

yxyx EAx.EAyy.xEAy.EAxx.y

yxy.x ERERER

8686

Erros – Propagação XIIIErros – Propagação XIII

DivisãoDivisão ErroErro Absoluto Absoluto


yxx/y ERERER

SimplificaçãSimplificação:o:

(desprezam-se os termos de potência (desprezam-se os termos de potência >1>1))

y

EA1

1.

yEAx

EAyEAx

yx

y

x

y

x ...y

EA

y

EA

y

EA1

y

EA1

13

y

2

yy

y

2yx

2x

y

EAx.EAy

yEAyx

yEA

yx

yx

8787

Erros – Análise IErros – Análise I

EAx=EAy= 0, EAx+y=0

1tyx 10

21

RAER

Ex. 19: Cálculo de Ex. 19: Cálculo de ER(x+y)ER(x+y)

Como Como xx e e yy são são exatamente exatamente representados, representados, ERERx+yx+y se resume ao se resume ao Erro Relativo de Erro Relativo de

ArredondamentoArredondamento ( (RARA) no resultado da soma.) no resultado da soma.

Como Como xx e e yy são são exatamente exatamente representados, representados, ERERx+yx+y se resume ao se resume ao Erro Relativo de Erro Relativo de

ArredondamentoArredondamento ( (RARA) no resultado da soma.) no resultado da soma.

RAER

RAyx

EAER

yx

yxyx

8888

Erros – Análise IIErros – Análise II

Sistema de aritmética de ponto Sistema de aritmética de ponto flutuante de 4 dígitos, precisão flutuante de 4 dígitos, precisão dupla Idupla I Ex. 20: Ex. 20: Seja Seja x = 0,937.10x = 0,937.1044, , y = y =

0,1272.100,1272.1022 e e z = 0,231.10z = 0,231.1011, calcular , calcular x+y+zx+y+z e e ERER(x+y+z)(x+y+z), sabendo que , sabendo que xx, , yy e e zz estão estão exatamenteexatamente representados. representados.


Alinhando as vírgulas decimais:Alinhando as vírgulas decimais:

x = 0,937000.10x = 0,937000.1044

y = 0,001272.10y = 0,001272.1044 eez = 0,000231.10z = 0,000231.1044

8989

Erros – Análise IIIErros – Análise III

Ex. 20: Ex. 20: Seja Seja x = 0,937.10x = 0,937.1044, , y = y = 0,1272.100,1272.1022 e e z = 0,231.10z = 0,231.1011, calcular , calcular x+y+zx+y+z e e ERER(x+y+z)(x+y+z), sabendo que , sabendo que xx, , yy e e zz estão estão exatamenteexatamente representados. representados.


A soma é feita por partes: (x+y)+z

x+y = 0,9383 . 104

x+y+z = 0,9383 . 104 + 0,000231 . 104

x+y+z = 0,938531. 104

x+y+z = 0,9385. 104 (após o arredondamento)

9090

Erros – Análise IVErros – Análise IV


EAz=0, ERz=0

1tzyx 10

21

1zyx

yxER

1zyx

yxRARA

zyx

yxRAER

RAzyx

yxERER

RAzyx

EAER

zyx

yxERER

szyx

szyx

zzszyx

9191

Erros – Análise VErros – Análise V


3zyx 10.0,9998ER

1tzyx 10.

21

1zyx

yxER

1tzyx 10.

21

1zyx

yxER

34

4

zyx 10.21

110.9385,010.9383,0

ER

3

4

4

zyx 10.21

110.9385,010.9383,0

ER

9292

Erros – Análise VIErros – Análise VI

Ex. 21:Ex. 21: Supondo que Supondo que uu é é representado representado em um em um computador por computador por ūū, que , que é obtido é obtido por arredondamento. por arredondamento. Obter os Obter os limites superiores para limites superiores para os erros os erros relativos de relativos de v = 2. ūv = 2. ū e e w = ū + ūw = ū + ū..

9393

Erros – Análise VIIErros – Análise VII

Ex. 21:Ex. 21:


1tv 10ER

u.2v u.2v

1tu2.

u2u2.

.1021

2.ER

RA2.RARARAERERER

1t

u2.

u2u2.

.1021

2.ER

RA2.RARARAERERER

9494

Erros – Análise VIIIErros – Análise VIII

Ex. 21:Ex. 21:

Solução:Solução: uuw uuw

1tvw 10ERER

RAuu

uER

uuu

ERER uuw

RA

uuu

ERuu

uERER uuw

RA2.RAuu

uRA2.ERw

RA2.RA

uuu

RA2.ERw

1t1tw 10.10

21

2.RA2.ER 1t1tw 10.10

21

2.RA2.ER

9595

Erros – Sumário IErros – Sumário I

1.1. Erro Relativo da AdiçãoErro Relativo da Adição Soma Soma dos erros relativos de cada parcela, dos erros relativos de cada parcela, ponderados pela participação de cada ponderados pela participação de cada parcela no total da soma.parcela no total da soma.

2.2. Erro Relativo da SubtraçãoErro Relativo da Subtração Soma Soma dos erros relativos do minuendo e dos erros relativos do minuendo e do subtraendo, ponderados pela do subtraendo, ponderados pela participação de cada parcela no participação de cada parcela no resultado da subtração.resultado da subtração.

9696

Erros – Sumário IIErros – Sumário II

3.3. Erro Relativo da MultiplicaçãoErro Relativo da Multiplicação Soma dos erros relativos dos fatores.Soma dos erros relativos dos fatores.

4.4. Erro Relativo da DivisãoErro Relativo da Divisão Soma dos erros relativos do dividendo e Soma dos erros relativos do dividendo e do divisor.do divisor.

9797

Erros – Exercício I

Seja um sistema de aritmética de Seja um sistema de aritmética de ponto flutuante de 4 dígitos, base ponto flutuante de 4 dígitos, base decimal e com acumulador de precisão decimal e com acumulador de precisão dupla. Dados os números dupla. Dados os números x = x = 0,7237.100,7237.1044,, y = 0,2145.10y = 0,2145.10-3-3 ee z = z = 0,2585.100,2585.1011, efetuar as seguintes , efetuar as seguintes operações e obter o erro relativo nos operações e obter o erro relativo nos resultados, supondo que resultados, supondo que xx, , yy, e , e zz estão estão exatamenteexatamente representados. representados.

a)a) x+y+zx+y+z b)b) x−y−zx−y−z c)c) x/yx/y

d)d) (x.y)/z(x.y)/z e)e) x.(y/z)x.(y/z) f)f) (x+y).z(x+y).z

9898

Erros – Exercício IIErros – Exercício II

x.3u x.3u xxxw xxxw

x.4u x.4u xxxxw xxxxw

Supondo que Supondo que xx é representado num é representado num computador por computador por xx e obtido por e obtido por arredondamentoarredondamento, determinar os limites , determinar os limites superiores para os erros relativos de:superiores para os erros relativos de:

a) b)a) b)

c) d)c) d)

9999

Erros – Exercícios IIIErros – Exercícios III

Sejam īī e ūū as representações de i e u obtidas em um computador por arredondamento. Deduzir expressões de limitante de erro, a fim de mostrar que o limitante de erro relativo de éy.x.3u

y.xxxv y.xxxv

100100

Erros – Exercício IV

Um computador armazena números Um computador armazena números reais utilizando reais utilizando 11 bit para o sinal do bit para o sinal do número, número, 77 bits para o expoente e bits para o expoente e 88 bits bits para a mantissa. Admitindo que haja para a mantissa. Admitindo que haja truncamentotruncamento, como ficarão , como ficarão armazenados os seguintes números armazenados os seguintes números decimais?decimais?

a)a) nn11 = 25,5 = 25,5 b)b) nn22 = 120,25 = 120,25 c)c) nn33 = = 2,52,5

d)d) nn44 = 460,25 = 460,25 e)e) nn55 = 24,005 = 24,005

101101

Erros – Exercícios VErros – Exercícios V

Considerando o sistema de vírgula Considerando o sistema de vírgula flutuante flutuante F(10, 4, 2, T)F(10, 4, 2, T)::

e a inexistência de dígitos de guarda e a inexistência de dígitos de guarda (o processador pode ter mais dígitos (o processador pode ter mais dígitos do que a memória, sendo os dígitos do que a memória, sendo os dígitos adicionais denominados adicionais denominados dígitos de dígitos de guardaguarda) no processamento das ) no processamento das operações em ponto flutuante.operações em ponto flutuante.

00,5999.100,3714x1,023x -22 00,5999.100,3714x1,023x -22

102102

Erros – Exercícios VIErros – Exercícios VI

a)a) Determinar os zeros da equação a Determinar os zeros da equação a partir partir da fórmula resolvente;da fórmula resolvente;

b)b) Calcular os erros absolutos Calcular os erros absolutos cometidos cometidos nos cálculos dos dois nos cálculos dos dois zeros;zeros;

c)c) Explicar a origem do erro Explicar a origem do erro relativo relativo resultante do cálculo da resultante do cálculo da menor raiz (em menor raiz (em módulo), módulo), sugerindo uma forma de sugerindo uma forma de melhoria numérica para a resolução melhoria numérica para a resolução

deste problema.deste problema.

103103

Erros - BibliografiaErros - Bibliografia

Ruggiero, M. A. Gomes & Lopes, V. L. da R. Ruggiero, M. A. Gomes & Lopes, V. L. da R. Cálculo Numérico: Aspectos teóricos e Cálculo Numérico: Aspectos teóricos e computacionaiscomputacionais. MAKRON Books, 1996, 2. MAKRON Books, 1996, 2ªª ed. ed.

Asano, C. H. & Colli, E. Asano, C. H. & Colli, E. Cálculo Numérico: Cálculo Numérico: Fundamentos e AplicaçõesFundamentos e Aplicações. Departamento de . Departamento de

Matemática Aplicada – IME/USP, 2007.Matemática Aplicada – IME/USP, 2007. Sanches, I. J. & Furlan, D. C. Sanches, I. J. & Furlan, D. C. Métodos Métodos

NuméricosNuméricos. DI/UFPR, 2006.. DI/UFPR, 2006. Paulino, C. D. & Soares, C. Erros e Paulino, C. D. & Soares, C. Erros e

Propagação de Erros, Propagação de Erros, Notas de aulaNotas de aula, SE/ DM/ , SE/ DM/ IST IST [Online] [Online] http://www.math.ist.utl.pt/stat/pe/qeb/semeshttp://www.math.ist.utl.pt/stat/pe/qeb/semestre_1_2004-2005/PE_erros.pdftre_1_2004-2005/PE_erros.pdf [Último acesso [Último acesso 07 de Junho de 2007].07 de Junho de 2007].

104104

Erros - BibliografiaErros - Bibliografia

Paulino, C. D. & Soares, C. Erros e Paulino, C. D. & Soares, C. Erros e Propagação de Erros, Propagação de Erros, Notas de aulaNotas de aula, SE/ , SE/ DM/ IST DM/ IST [Online] [Online] http://www.math.ist.utl.pt/stat/pe/qeb/shttp://www.math.ist.utl.pt/stat/pe/qeb/semestre_1_2004-2005/PE_erros.pdfemestre_1_2004-2005/PE_erros.pdf [Último acesso 08 de Setembro de [Último acesso 08 de Setembro de 2011].2011].

Cálculo Numérico Módulo III

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