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CÁLCULO NUMÉRICO

O que é o Cálculo Numérico?

O Cálculo Numérico corresponde a um conjunto de ferramentas ou métodos

usados para se obter a solução de problemas matemáticos de forma

aproximada. Esses métodos se aplicam principalmente a problemas que não

apresentam uma solução exata, portanto precisam ser resolvidos

numericamente.

Em geral, o curso pretende demonstrar, de maneira simples, a presença dos

Métodos Numéricos nos diferentes momentos da Física, da Engenharia, e das

ciências em geral.

Entendimento de um problema:

Problema real → Modelo matemático → Resolução

ERROS Suponha que você está diante do seguinte problema: você está em cima de um

edifício que não sabe a altura, mas precisa determiná-la. Você tem em mãos

apenas uma bola de metal e um cronômetro. O que fazer?

Conhecemos também a equação 2

2

00

GTTVSS

onde:

• S é a posição final;

• S0 é a posição inicial;

• V0 é a velocidade inicial;

• T é o tempo percorrido; • G é a aceleração gravitacional. A bolinha foi solta do topo do edifício e marcou-se no cronômetro que ela levou

2 segundos para atingir o solo. Com isso podemos conclui a partir da equação

acima que a altura do edifício é de 19,6 metros.

2

Essa resposta é confiável? Onde estão os erros?

Erros de modelagem:

− Resistência do ar,

− Velocidade do vento,

− Forma do objeto, etc.

Estes erros estão associados, em geral, à simplificação do modelo matemático.

Erros de resolução:

- Precisão dos dados de entrada

(Ex. Precisão na leitura do cronômetro. p/ t = 2,3 segundos, h = 25,92 metros,

gravidade);

− Forma como os dados são armazenados;

− Operações numéricas efetuadas;

− Erro de truncamento (troca de uma série infinita por uma série finita).

REPRESENTAÇÃO NUMÉRICA Exemplo: qual a área de uma circunferência cujo raio vale 100 metros?

A área: S = π.r2 = π.1002

a) 31410 m2

b) 31416 m2

c) 31415,92654 m2

Por que das diferenças? Observe que foram admitidos três valores diferentes para o número π : a) π = 3,14 b) π = 3,1416 c) π = 3,141592654 É relevante saber que quanto maior for o número de dígitos maior é a precisão.

Nunca conseguiremos um valor exato.

Outro fato importante é que o conjunto dos números representáveis em

qualquer máquina é finito e, portanto, discreto, ou seja, não é possível

representar em uma máquina todos os números de um dado intervalo [a,b]. A

representação de um número depende da BASE escolhida e do número

máximo de dígitos usados na sua representação.

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observações:

Quando se representa um valor m ± e , e positivo, vamos sempre admitir que o

valor de e seja bem inferior ao valor absoluto de m, para se supor que a

medida tenha sido bem feita. Assim, o valor m é expressivo diante de e . A

medida 23.537m ± 2m, significa que o valor está entre 23.535m e 23.539m.

Essa medida teria sido feita com boa precisão; tem-se uma boa aproximação

do valor, embora com certa margem de erro, como sempre.

Porém, ao dizer-se que um comprimento é de 5m ± 4m, afirma-se que se sabe

muito pouco sobre o valor, que poderia variar desde 1 m até 9 m. Essa medida

não tem boa precisão.

Chama-se desvio absoluto, ou erro absoluto, ao valor de e.

Chama-se desvio relativo, ou erro relativo, à relação e/abs(m), onde abs(m) é o

valor absoluto de m.

Exemplo:

1- Dados a = 50 ± 3 e b = 21 ± 1 , calcular a soma a + b, a subtração a – b e o

produto a . b

a pode variar de 47 a 53 enquanto b pode variar de 20 a 22. Assim o menor

valor da soma seria 47 + 20 = 67 e o maior valor seria 53 + 22 = 75. Logo, a +

b = (50 + 21) ± (3+1) = 71 ± 4, variando de 67 a 75.

O menor valor da subtração seria 47 – 22 = 25 e o maior valor da subtração

seria 53 – 20 = 33. Logo, a – b = (50 – 21) ± (3+1) = 29 ± 4 , variando de 25 a

33. Observe que na subtração, os erros absolutos se somam, pois sempre se

admite o pior caso; nunca se subtraem erros, contando com a sorte; prevê-se,

sempre, o caso mais desfavorável.

O menor valor do produto seria 47 x 20 = 940 e o maior valor do produto seria

53 x 22 = 1166. Logo, a x b = (50 ± 3) x (21 ± 1) » 1050 ± (3 x 21 + 50 x

1) » 1050 ± 113. Despreza-se o produto 3 x 1, por ser muito pequeno diante de

4

(3 x 21 + 50 x 1 ) = 113. Assim, o produto ficaria entre 937 e 1163, ligeiramente

diferente do verdadeiro intervalo, exatamente pelo abandono do produto 1 x 3,

considerado desprezível.

Em resumo,

(a ± ea) + (b ± eb) = a + b ± (ea + eb)

(a ± ea) – (b ± eb) = a – b ± (ea + eb)

(a ± ea) x (b ± eb) = a.b ± (a.eb + b.ea)

(a ± ea) : (b ± eb) = a/b ± (ea/b + eb.a/(b.b))

Estamos admitindo a, b, ea , eb sempre positivos . No caso de valores negativos

tomaremos – a , – b etc…

A representação de um número, como foi citada acima, depende da BASE

escolhida e do número máximo de dígitos usados na sua representação.

Portanto, vamos trabalhar com a Base Decimal (10) e a Base Binária (2).

- A Base utilizada no nosso cotidiano é a Decimal (Utilizam-se os algarismos:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9).

- A base utilizada pela maioria dos computadores é a Base Binária, onde se

utiliza os algarismos 0 e 1.

- É importante salientar que os computadores recebem a informação numérica

na base decimal, fazem a conversão para sua base (a base binária) e fazem

nova conversão para exibir os resultados na base decimal para o usuário.

Exemplos:

1) base binária (100110)2 = base decimal (38)10

2) base binária (11001)2 = base decimal (25)10

- Representação de números na base decimal (10) e na base binária (2).

a) Como seria a representação do número 1997 em uma base β = 10 ?

1997 = 1×103 + 9×102 + 9×101 + 7 ×100

b) Como seria a representação do número 1100 numa base β = 2?

1100b = 1x23 + 1x22 + 0x21 + 0x20

5

c) Como seria a representação do número 39,28 em uma base decimal?

39,28 = 3x101 + 9x100 + 2x10-1+ 8x10-2

d) Como seria a representação do número 101,01b numa base β = 2?

101,01b = 1x22 + 0x21 + 1x20 + 0x2-1 + 1x2-2

Conversão entre as bases

- Binária para Decimal

Exemplos:

1) 110112 = 1x24 + 1x23 + 0x22 + 1x21 + 1x20 = 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = 27d

2) 101,11b = 1x22 + 0x21 + 1x20 + 1x2-1 + 1x2-2 = 4 + 0 + 1 + 0,1 + 0,01 = 5,11d

- Decimal para Binária

Na conversão de um número escrito em base decimal para uma base binária

são utilizados os seguintes métodos: método das divisões sucessivas para a

parte inteira e o método das multiplicações sucessivas para conversão da parte

fracionária do número em questão.

- Método das divisões sucessivas (parte inteira do número)

a) Divide-se o número (inteiro) por 2;

b) Divide-se por 2, o quociente da divisão anterior;

c) Repete-se o processo até o último quociente ser igual a 1.

O número binário é então formado pela concatenação do último quociente com

os restos das divisões, lidos em sentido inverso.

Exemplo:

- Transformar o número 234d em binário.

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- Método das multiplicações sucessivas (parte fracionária do número)

a) Multiplica-se o número (fracionário) por 2;

b) Do resultado, a parte inteira será o primeiro dígito do número na base binária

e a parte fracionária é novamente multiplicada por 2;

c) O processo é repetido até que a parte fracionária do último produto seja igual

a zero

Exemplos:

1- Transformar o número 0,375d em binário.

2- Transformar o número 45,75d em binário.

Atenção: Nem todo número real na base decimal possui uma representação

finita na base binária. Por exemplo: transforme 0,3d em binário.

- PONTO FIXO E PONTO FLUTUANTE

Até esse momento, em todos os exemplos a posição da vírgula está fixa,

separando a casa das unidades da primeira casa fracionária.

Entretanto, pode-se variar a posição da vírgula, corrigindo-se o valor com

a potência da base, seja dez ou dois, com isso não alterando o valor do

número. Por exemplo:

36,569 = 0,36569x102 = 3,6569x101 = 3656,9x10-2 = 36569x10-3

Chama-se a isso ponto flutuante (floating point), pois no lugar de se

deixar sempre a posição da vírgula entre a casa das unidades e a primeira

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casa decimal, flutua-se a posição da vírgula e corrige-se com a potência de

dez.

- Forma normalizada: é a que tem um único dígito, diferente de zero, antes da

vírgula; no exemplo acima seria: 3,6569x101.

Com a base dois pode-se fazer exatamente a mesma coisa, escrevendo-se o

número 110101 como sendo 110,101x23 ou 1,10101x25 ou 0,0110101x27.

Claro que esses expoentes também deverão ser escritos na base dois, onde

(3)10 = (11)2 e (7)=(111)2, e assim por diante, ficando: 110,101 x (10)11 ou

1,10101x(10)101 ou 0,0110101x(10)111.

- ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE

- Um número, é representado internamente na máquina através de uma

seqüência de impulsos elétricos que indicam 2 estados: 0 - zero (verdade ou

positivo) ou 1 - um (falso ou negativo), ou seja, os números são representados

na base binária.

- De maneira geral, um número x é representado na base β, classicamente.

exp

3

3

2

21 ...

n

nddddx

- Observe os números:

45378 = 0,45378x105 padrão aritmética de ponto flutuante (45378→ mantissa)

(andou 5 casas para esquerda, logo, o expoente é +5)

5

543210

10

8

10

7

10

3

10

5

10

4

x

5100008,00007,0003,005,04,0 x

0,0037452 = 0,37452x10-2 padrão aritmética de ponto flutuante

(37452→mantissa) (andou 2 casas para direita, logo, o expoente é -2)

8

2

543210

10

2

10

5

10

4

10

7

10

3

x

2100002,00005,0004,007,03,0 x

- Somente a mantissa e o expoente são armazenados na máquina, podendo

ser positivo ou negativo.

Resumo:

- di são números inteiros contidos no i valores de Intervalo 0 ≤ di ≤ β; i = 1, 3,

3,..., n.

- O expoente representa o expoente de β e assume valores de I ≤ exp ≤ S,

onde I é o limite inferior e S o superior. Esses limites representam o menor e o

maior número que a máquina pode armazenar.

-

n

ndddd

...

3

3

2

21 é a mantissa sendo a parte de número que apresenta

seus dígitos significativos.

- t é o número de dígitos do sistema de apresentação.

Uma máquina não armazena n algarismos, portanto, utilizaremos uma máquina

hipotética.

- Seja uma máquina que trabalha com base 10, cujo limite inferior e o superior

são -2 e +2, respectivamente. Vamos verificar se ela armazena os números

abaixo:

a) 25,715 b) 0,04573 c) 5,497631 d) 432,49 e) 0,00052853

Solução:

a) 25,715 = 0,25715x102

sinal/mantissa mantissa sinal/expoente expoente

+ 2 5 7 1 5 + 2

Como o expoente +2 está no intervalo, podemos dizer que a máquina armazena.

9

b) 0,04573 = 0,4573x10-1

sinal/mantissa mantissa sinal/expoente expoente

+ 4 5 7 3 0 - 1

Como o expoente -1 está no intervalo, podemos dizer que a máquina armazena.

Obs.: na falta de dígito, acrescenta-se zero.

c) 5,497631 = 0,5497631x101

sinal/mantissa mantissa sinal/expoente expoente

+ 5 4 9 7 6 + 1

Como o expoente +1 está no intervalo, podemos dizer que a máquina armazena, apesar de desprezar

dígitos. Esta perda é denominada erro.

d) 432,49 = 0,43249x103

sinal/mantissa mantissa sinal/expoente expoente

+ 4 3 2 4 9 + 3

Como o expoente +3 não está no intervalo, podemos dizer que a máquina não armazena, pois o valor do

expoente ultrapassou o limite superior (+2). Erro de overflow.

e) 0,000052853 = 0,52853x10-4

sinal/mantissa mantissa sinal/expoente expoente

+ 5 2 8 5 3 - 4

Como o expoente -4 não está no intervalo, podemos dizer que a máquina não armazena, pois o valor do

expoente ultrapassou o limite superior (-2). Erro de underflow.

- Observa-se que para uma máquina armazenar dígitos, o valor da mantissa

não influi e sim o valor do expoente que não pode ser maior (S) ou menor (I) que

a indicação da máquina.

Erros 1- Erros absoluto, relativo e percentual Erro absoluto: diferença entre o valor exato de um número x e seu valor aproximado xap obtido a partir de um procedimento numérico. Eab = /x - xap /

Em geral apenas x é conhecido, e o que se faz é assumir um limitante superior ou uma estimativa para o módulo do erro absoluto. Exemplos: a) Sabendo-se que π = (3,14; 3,15) tomaremos para π um valor dentro deste intervalo e teremos, então, /Eab/ = /π –πap/ < 0,01

10

b) Seja x representado por xap = 2112,9 de forma que /Eab/ < 0,1, podemos dizer que x ∈ (2112,8; 2113,0) . c) Seja b representado por bap = 7,4 de forma que /Eab/ < 0,1, podemos dizer que x ∈ (7,3; 7,5). Erro Relativo (Er): como o Erro Absoluto não é suficiente para descrever a

precisão de um cálculo, faz-se necessário a utilização do conceito de Erro

Relativo, cujo cálculo é feito pelo quociente entre o erro absoluto e o valor

aproximado.

Para encontrar o Erro Relativo em Forma Percentual, devemos multiplicar por 100 o resultado encontrado.

Exemplo: 1- Seja x representado por xap = 2112,9 de forma que /Eab/ < 0,1, podemos

dizer que x ∈ (2112,8; 2113,0).

Cálculo do Erro Relativo:

Er = Eab/xap = 0,1/2112,9 = 4,7x10-5 = 0,000047

Ep = Er x100% = 0,000047 x 100 = 0,0047% 2- Seja b representado por bap = 7,4 de forma que /Eab/ < 0,1, podemos dizer que b ∈ (7,3; 7,5). Er = Eab/bap = 0,1/7,4 = 0,0135 Ep = Er x100% = 0,0135 x 100 = 1,35%

Para valores próximos de um (1), os erros absoluto e relativo, têm valores muito próximos. Entretanto, para valores afastados de um (1), podem ocorrer grandes diferenças, e se deve escolher um critério adequado para podermos avaliar se o erro que está sendo cometido é grande ou pequeno.

ERRO DE ARREDONDAMENTO E DE TRUNCAMENTO

Erro de Arredondamento:

Em trabalhos relacionados à pesquisa, verifica-se a necessidade de

arredondar números, para isso utilizamos técnicas de arredondamento, com

objetivo de facilitar as conclusões dos referidos trabalhos. Em decorrência

disso, vamos arredondar os números abaixo usando as seguintes técnicas:

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a) Arredondar 3,2454 para 3 casas decimais. Como, o número que vai ser eliminado (4) é menor que cinco, devemos

manter inalterado o algarismo da esquerda.

3,2454 ≈ 3,245

b) Arredondar 3,2457 para 3 casas decimais. Como, o número que vai ser eliminado (7) é maior que cinco, acrescentamos

uma unidade ao primeiro algarismo que está situado à sua esquerda.

3,2457 ≈ 3,246

Observações:

1ª) Nota-se que quando o número a ser liberado for maior ou igual a cinco,

acrescentamos uma unidade ao primeiro algarismo que está situado à sua

esquerda.

2ª) Nos casos de arredondamentos sucessivos, as regras continuam valendo,

por exemplo: arredondar o número 35,43754 para duas casas decimais.

35,43754 ≈ 35,4375 ≈ 35,438 ≈ 35,44

No primeiro momento, elimina-se o 4 conservando a casa da esquerda; no

segundo, elimina-se o 5 aumentado em uma unidade a casa da esquerda e,

no terceiro momento, elimina-se o número 8 aumentado em uma unidade a

casa da esquerda.

Existem algumas áreas de conhecimento que leva o indivíduo a utilizar a

normativa do IBGE, pois precisam trabalhar com maior precisão possível dos

dados.

- Tabela de arredondamento segundo a Resolução no 886/66 do Instituto

Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE).

Condições Procedimentos Exemplos < 5 O último algarismo a permanecer

fica inalterado. 4,352 ≈ 4,35

> 5 Aumenta-se de uma unidade o algarismo a permanecer

2,357 ≈ 2,36

= 5 Se ao 5 seguir em qualquer casa um algarismo diferente de zero, aumenta-se uma unidade no

algarismo a permanecer.

2,3752 ≈ 2,38 2,3757 ≈ 2,38 2,3755 ≈ 2,38

= 5 Se o 5 for o último algarismo ou se ao 5 só seguirem zeros, o último algarismo a ser conservado só será aumentado de uma unidade se for ímpar.

5,325 ≈ 5,32 5,375 ≈ 5,38

5,32500 ≈ 5,32 5,63500 ≈ 5,64

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Erro de Truncamento: simplesmente ignorar os restantes dígitos a partir de um determinado ponto.

Exemplo: transformar o número 0,142857 para três casas decimais.

0,142857 ≈ 0,142

Observemos que houve um corte na terceira casa decimal, não importando se o último número a ser eliminado é menor, igual ou maior que 5.

MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENCONTRAR RAÍZES DE FUNÇÕES

Introdução:

Em geral, nas áreas das ciências ocorrem situações que envolvem cálculo de

raiz de função, onde transformamos a função numa equação quando

igualamos a zero a mesma [f(x) = 0]. Após essa transformação (função para

equação), podemos encontrar equações que apresentam métodos diretos de

resoluções, como equação polinomial do segundo grau (fórmula de Báskara).

No entanto, no caso de polinômios de grau mais elevado e no caso de funções

mais complicadas, é muito difícil encontrar raízes exatas, portanto, nesses

acontecimentos utilizaremos alguns procedimentos numéricos para encontrar

raízes (zeros) de funções. Esses procedimentos vão ser aplicados durante

nossos estudos.

Nota: é importante salientar que graficamente, as raízes de funções são

representadas pelas abscissas dos pontos onde uma curva intercepta o eixo-x.

MÉTODOS

10) Método do Meio Intervalo ou Método da Bisseção: é uma aplicação do

Teorema de Bolzano (TB) que diz: “Se f é uma função contínua num intervalo

fechado [a, b] e f(a) e f(b) têm sinais contrários, então existe pelo menos um

valor real c, pertencente ao intervalo aberto ]a, b[ tal que f(c) = 0”, ou de outra

forma, “Se f é uma função contínua num intervalo fechado [a, b] e f(a)xf(b)<0,

então existe pelo menos uma raiz (zero) de f num intervalo ]a, b[“.

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Exemplo 1:

10) Verifique através do Método da Bisseção se existe um número que anula a

função (raiz) f(x) = x – 0,5 sabendo que ela, além de ser contínua, está definida

no intervalo [0,2].

Solução:

Teorema Bozano: f(a).f(b) < 0

- Inicialmente, calcula-se o valor numérico da função para x = 0 e x = 2.

Aplica-se o T.B: f(x) = x – 0,5 → f(0) = -0,5 e f(2) = 1,5, logo, f(0) x f(2) < 0.

Esse resultado significa que existe pelo menos um número, no intervalo [0,2],

que anula a função.

- Agora, calcula-se o ponto médio do intervalo [0, 2].

PM = (0+2)/2 = 1

0 1 2

Temos 2 intervalos: [0,1] e [1,2]

Verificando qual intervalo apresenta raiz.

[0,1] → f(0) x f(1) = -0,5 x 0,5 = -0,25, logo, f(0) x f(1) < 0

Esse resultado significa que existe pelo menos um número, no intervalo [0,1],

que anula a função.

[1, 2] → f(1) x f(2) = 0,5 x 1,5 = 075,, logo, f(0) x f(1) > 0

Esse resultado significa que não existe número no intervalo [1,2] que anula a

função.

- Agora, calcula-se o ponto médio do intervalo [0, 1].

PM = (0+1)/2 = 0,5 0 0,5 1

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Temos 2 intervalos: [0; 0,5] e [0,5; 2]

Verificando qual intervalo apresenta raiz.

[0; 0,5] : f(0) x f(0,5) = -0,5 x 0

Observamos que quando x = 0,5 temos a raiz da função, pois esse valor anula

a mesma.

Exemplo 2:

Calcular a raiz da função f(x) = x2 – 2, sabendo que ela pertence ao intervalo [0,

2],sendo o erro (precisão) menor ou igual a 0, 01.

Solução:

- Cálculo do número de interações (n):

eraçõesab

n int86,7301,0

2301,0

2log

01,0log)02log(

2log

log)log(

Teorema Bozano: f(a).f(b) < 0

- Cálculo do valor numérico da função para x = 0 e x = 2.

Aplica-se o T.B: f(x) = x2 – 2 → f(0) = -2 e f(2) = 2, logo, f(0) x f(2) < 0.

Esse resultado significa que existe pelo menos um número, no intervalo [0,2],

que anula a função.

- Agora, calcula-se o ponto médio do intervalo [0, 2].

1ª) PM = (0+2)/2 = 1

0 1 2

Temos 2 intervalos: [0,1] e [1,2]

Verificando qual intervalo apresenta raiz:

[0,1] → f(0) x f(1) = -2 x -1 = 2, logo, f(0) x f(1) > 0

Esse resultado significa que não existe número no intervalo [0,1] que anula a

função.

[1,2] → f(1) x f(2) = -1 x 2 = -2, logo, f(0) x f(1) < 0

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Esse resultado significa que existe pelo menos um número, no intervalo [1, 2],

que anula a função.

- Agora, calcula-se o ponto médio do intervalo [1, 2].

2ª) PM = (1+2)/2 = 1,5

Temos 2 intervalos: [1; 1,5] e [1,5; 2]

[1;1,5] → f(1) x f(1,5) = -1 x 0,5 = -0,5, logo, f(1) x f(1) < 0

Esse resultado significa que existe pelo menos um número, no intervalo [1;1,5],

que anula a função.

. - Agora, calcula-se o ponto médio do intervalo [1; 1,5].

3ª) PM = (1+1,5)/2 = 1,25

Temos 2 intervalos: [1; 1,25] e [1,25; 1,5]

[1; 1,25] → f(1) x f(1,25) = -1 x -0,44 = 0,44, logo, f(0) x f(0,75) > 0.

Esse resultado significa que não existe número no intervalo [1; 1,25] que anula

a função.

[1,25; 1,5] → f(1,25) x f(1,5) = -0,,44 x 0, 5 = -0,,22, logo, f(1,25) x f(1,5) < 0.

Esse resultado significa que existe pelo menos um número, no intervalo

[1,25;1,5], que anula a função.

. - Agora, calcula-se o ponto médio do intervalo [1,25;1,5].

4ª) PM = (1,25+1,5)/2 = 1,375

Temos 2 intervalos: [1,25; 1,375] e [1,375; 1,5]

[1,25; 1,375]→f(1,25) x f(1,375) = -0,44 x -0,11= 0,54, logo f(1,25)xf(1,375) > 0.

Esse resultado significa que não existe número no intervalo [1; 1,25] que anula

a função.

[1,375; 1,5]→f(1,375) x f(1,5) = -0,11 x 0, 25 = -1,89, logo, f(1,375)xf(1,5) < 0.

Esse resultado significa que existe pelo menos um número, no intervalo [1,375;

1,5], que anula a função.

. - Agora, calcula-se o ponto médio do intervalo [1,375; 1,5].

5ª) PM = (1,375+1,5)/2 = 1,4375

Temos 2 intervalos: [1,375; 1,4375] e [1,4375; 1,5]

16

[1,375; 1,4375] → f(1,375) x f(1,4375) = -0,11 x 0,06= -0,007, logo, f(1,375) x

f(1,4375) < 0.

Esse resultado significa que existe pelo menos um número, no intervalo

[1,375; 1,4375], que anula a função.

- Agora, calcula-se o ponto médio do intervalo [1,375; 1,4375].

6ª) PM = (1,375+1,4375)/2 = 1,40625

Temos 2 intervalos: [1,375; 1,40625] e [1,40625; 1,4375]

[1,375; 1,40625] → f(1,375) x f(1,40625) = -0,11 x -0,022= 0,0025, logo,

f(1,375) x f(1,40625) > 0.

Esse resultado significa que não existe um número no intervalo [1,375;

1,40625] que anula a função.

[1,40625; 1,4375] → f(1,40625) x f(1,4375) -0,022 x 0,066 = -0,0015, logo, f(0)

x f(0,75) < 0.

Esse resultado significa que existe pelo menos um número, no intervalo

[1,40625; 1,4375], que anula a função.

7ª) PM = (1,40625+1,4375)/2 = 1,4219

Temos 2 intervalos: [1,40625; 1,4219] e [1,4219; 1,4375]

[1,40625; 1,4219] → f(1,40625) x f(1,4219) = -0,022 x 0,021= -0,001 logo,

f(1,40625) x f(1,4219) < 0.

Esse resultado significa que existe pelo menos um número, no intervalo

[1,40625; 1,4219], que anula a função.

- Agora, calcula-se o ponto médio do intervalo [1,40625; 1,4219].

8ª) PM = (1,40625+1,4219)/2 = 1,4142 (raiz aproximada da função)

OUTRA MANEIRA DE RESOLVER:

- Calcular a raiz da função f(x) = x2 – 2, sabendo que ela pertence ao intervalo

[0, 2], sendo o erro (precisão) menor ou igual a 0, 01.

Solução:

- Cálculo do número de interações (n):

17

eraçõesab

n int86,7301,0

2301,0

2log

01,0log)02log(

2log

log)log(

[a, b] → a = 0 e b = 2 Ponto médio entre a e b → (a+b)/2

Quando f(a).f(xm) for positivo, a assume o valor de xm enquanto b permanece

o mesmo valor. Quando f(a).f(xm) for negativo, b assume o valor de xm e a

continua com o mesmo valor.

n a b xm f(a) f(xm) f(a). f(xm) ϵ=(b-a)

0 0 2 1 -2 -1 + _

1 1 2 1,5 -1 0,25 - 1

2 1 1,5 1,25 -1 -0,4375 + 0,5

3 1,25 1,5 1,375 -1,937 -0,109 + 0,25

4 1,375 1,5 1,4375 -0,109 0,066 - 0,125

5 1,375 1,4375 1,4062 -0,109 -0,022 + 0,0625

6 1,4062 1,4375 1,4218 -0,022 0,021 - 0,0313

7 1,4062 1,4218 1,414 -0,022 -0,0006 + 0,0156

8 1,414 1,4218 1,4179 -0,0006

Exemplo - 3

Calcular a raiz da função f(x) = x.logx - 1, sabendo que ela pertence ao

intervalo [2, 3],sendo o erro (precisão) igual a 2x10-3.

Cálculo do número de interações:2log

log)log(

abn = 6

R) 2,50781

Exemplo - 4

Verifique através do Método da Bisseção se existe um número que anula a

função f(x) = x3 – 9x + 3 sabendo que ela, além de ser contínua, está definida

no intervalo [0,1], sendo o erro (precisão) menor ou igual 10-3.

Cálculo do número de interações:2log

log)log(

abn = 10

R) 0,337402, com 10 interações.

Exemplo - 5

Encontre, através do Método da Bisseção, um número que se aproxima da raiz

da função f(x) = x – cosx, utilizando 5 interações sabendo que ela, além de ser

contínua, está definida no intervalo [0,1].

R) 0,71875

18

20) MÉTODO DO PONTO FIXO, MÉTODO INTERATIVO OU DAS

APROXIMAÇÕES SUCESSIVAS.

Para encontrar raiz por esse método, devemos ter uma função f(x), um ponto

de partida e um intervalo que contenha a raiz.

Antes de começar a resolver, devemos verificar se o intervalo absorve a raiz,

caso afirmativo, vamos adotar os seguintes passos:

10) Iguala-se a zero a função f(x).

20) Tira-se o valor de x encontrando a função g(x).(várias maneiras)

30) Aplica-se a fórmula: x = g(x) → xk+1 = g(xk)

k + 1 → estimativa atual

k → estimativa anterior

Exemplo:

1) Calcular, pelo Método do Ponto fixo, a raiz aproximada da função f(x) = x3 –

x – 1, sendo xo = 1 e ela encontra-se no intervalo [1, 2]. Considerar 4

interações.

- Teorema de Bolzano:

f(1) = 13 – 1 – 1 = -1 f(2) = 23 – 2 – 1 = 5

f(1) x f(2) < 0, logo existe raiz no intervalo [1, 2].

1) Iguala-se a zero f(x).

f(x) = x3 – x – 1

x3 – x – 1 = 0

2) Calcula-se o valor de x.

2.1) x = x3 -1 ou 2.2) x3 = 1 + x ↔ 3 1 xx

3) Aplicando xk+1 = g(xk), temos:

x = x3 -1

x1 = 301 x = 3 11 = 3 2 = 1,2599

x2 = 311 x = 3 2599,11 = 3 2599,2 = 1,3123

x3 = 321 x = 3 3123,11 = 3 3123,2 = 1,3224

19

x4 = 331 x = 3 3224,11 = 3 3224,2 = 1,3243 (converge para um valor)

x5 = 341 x = 3 3243,11 = 3 3243,2 = 1,3243

Resolver pelo outro valor de x: x = x3 - 1 (diverge: tende para infinito)

- Observe os gráficos:

Convergente: tende pra um valor. Divergente: tende pro infinito

2) Calcular, pelo Método do Ponto fixo, a raiz aproximada da função f(x) = x2 +

x – 5, sendo xo = 1,5 e ela encontra-se no intervalo [1, 2].

30) MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON

É obtido geometricamente da seguinte forma: dado o ponto (x0, f(x0)) traçamos

a reta tangente à curva neste ponto.

f(x)

●

x2

x1

x0

Equação da tangente que passa pelo ponto (x0, f(x0)): y – f(x0) = f’(x0).(x – x0)

p1(x1,0)

Substituindo na equação da tangente e tirando o valor de x1, temos:

y – f(x0) = f’(x0).(x – x0)

0 – f(x0) = f’(x0).(x1 – x0)

)(xf'

)f(x

)(xf'

)f(x

0

001

01

0

0

xx

xx

P2(x1,0)

20

)(xf'

)f(x

1

112 xx

…

Pn(xn,0)

)(xf'

)f(x

n

n1 nn xx

/xn+1 – xn/ < Erro dado no problema.

Exemplo:

01) Sabe-se que o método de Newton-Raphson é utilizado para determinar

raízes de funções. Então, estime o valor da raiz quadrada de três, com erro

igual a 0,01. Solução:

a) Encontrando a função e sua derivada: f(x) = x2 – 3 → f’(x) = 2x

Observe que a função f(x) gera uma raiz 3 :

f(x) = x2- 3 3032 xx

b) Observe que o valor de 3 está entre 1 e 2, logo: 1 < 3 < 2 → [1, 2]

c) Escolhendo x0 = 1 (podemos escolher o 2)

)(xf'

)f(x

0

001 xx → 2

2

21

(1)f'

f(1)11

x

Cálculo do Erro: /x1 – x0/ = /2 – 1/ = 1 > 0,01(continua o problema)

75,14

12

(2)f'

f(2)2

)(xf'

)f(x2

1

112 xxx

Cálculo do Erro: /x2 – x1/ = /1,75 – 2/ = 0,25 > 0,01(continua o problema)

7321,15,3

0625,0175

(1,75)f'

f(1,75)75,1

)(xf'

)f(x3

2

223 xxx

Cálculo do Erro: /x3 – x2/ = /1,7321 – 1,75/ = 0,0179 > 0,01(continua o

problema)

7321,1)7321,1(f'

)7321,1f(7321,1

)(xf'

)f(x3

3

334 xxx

Cálculo do Erro: /1,73205 – 7321,1 / = 0,00005 < 0,01, logo:

A estimativa da 3 vale 7321,1

21

02) Utilizando o método de Newton-Raphson, determine a raiz aproximada da

função f(x) = x3 -4x2 + 2, onde a raiz pertence ao intervalo [3, 4] e cujo erro é

menor que 0,01.

Solução:

a) f(x) = x3 -4x2 + 2 f’(x) = 3x2 – 8x

b) Escolhendo x0 = 3 f(x0) = 0 p(3,0)

)(xf'

)f(x

0

001 xx → 3333,5

3

73

(3)f'

f(3)31

x

Cálculo do Erro: /x1 – x0/ = /5,3333 – 3/ = 2,3333 > 0,01(continua o problema)

3975,46659,42

9245,393333,5

(5,3333)f'

f(5,3333)3333,5

)(xf'

)f(x2

1

112

xxx

Cálculo do Erro: /x2 – x1/ = /4,3975 – 5,3333/ = 0,9358 > 0,01(continua o

problema)

9733,38340,22

6869,93975,4

(4,3975)f'

f(4,3975)3975,4

)(xf'

)f(x3

2

223

xxx

Cálculo do Erro: /x3 – x2/ = /3,9733 - 4,3975/ = 0,4242 > 0,01(continua o

problema)

8720,35749,15

5785,19733,3

(3,9733)f'

f(3,9733)9733,3

)(xf'

)f(x4

3

334

xxx

Cálculo do Erro: /x4 – x3/ = /3,3964 - 3,8720/ = 0,101 > 0,01(continua o

problema)

8662,30016,14

0810,08720,3

)8720,3(f'

)8720,3f(8720,3

)(xf'

)f(x4

4

445

xxx

Cálculo do Erro: /x5 – x4/ = /3,8662 - 3,8720/ = 0,005 < 0,01.

Resposta: 3,8662

03) Utilizando o método de Newton-Raphson, determine a raiz aproximada da

função f(x) = x2 + x - 6, onde x0 = 1,5 e cujo erro é menor que 0,001.

2,000

22

04) Suponha a equação ex - AB = 0, em que e é um número irracional com valor aproximado 2,718 e AB = 21. Determine pelo método de Newton-Raphson a raiz real desta equação com erro de 0,01. Obs.: Devemos escolher o valor inicial para x0 = {0, 1, 2, 3 ...}: AB = ex

05) Utilizando o método de Newton-Raphson, determine a raiz aproximada da

função f(x) = x3 - 9x + 3, onde x0 = 0,5, cujo erro igual a 1x10-4 e x ϵ (0, 1).

X= 0,3376

06) O lucro em milhares de reais de uma empresa foi modelado pela função

84)( 2 xxf , onde x representa o número de unidades vendidas em milhares.

Usando o método de Newton-Raphson com erro < 0,001 e considerando 3

casas decimais, determine o número de unidades que deve ser vendida para

que a fábrica não tenha lucro e nem prejuízo. R) 1.417

40) MÉTODO DAS SECANTES

O método das secantes é uma variação do método de Newton, evitando o

cálculo, algumas vezes muito trabalhoso, da derivada analítica de uma função

f(x).

)()(

))((

1

11

ii

iiiii

xfxf

xxxfxx

)()(

))((

10

10112

xfxf

xxxfxx

)()(

)(.)(.

01

01102

xfxf

xfxxfxx

Tol.: /p – p1/ < ϵ

Exemplos:

01- A função f(x) = x3 – 10 apresenta uma raiz aproximada pertencente ao

intervalo [2, 3]. Encontre essa raiz utilizando o método da Secante,

considerando o erro menor que 0,006.

X0 = 2 e x1 = 3

23

1543,2:Re

)(006,0004,01582,21543,2

1543,2)1582,2()1053,2(

)1582,21053,2)(1582,2(1582,2

)()(

))((

052,01053,21582,2

1582,2)1053,2()3(

)1053,23)(1053,2(1053,2

)()(

))((

1053,219

173

)3()2(

)32)(3(3

)()(

))((

32

32334

21

21223

10

10112

sposta

oaproximaçãboaE

ff

f

xfxf

xxxfxx

E

ff

f

xfxf

xxxfxx

ff

f

xfxf

xxxfxx

02- A função f(x) = x2 + x – 6 apresenta uma raiz aproximada pertencente ao intervalo [1,5; 1,7]. Encontre essa raiz utilizando o método da Secante, considerando ϵ = 0,02.

03- Um engenheiro eletricista modelou a potência P em watts que certo gerador lança num circuito pela relação P(i) = 2i2- 8, em que i é a intensidade da corrente elétrica que atravessa o gerador, usando o método das secantes com erro menor 0,02 e considerando duas casas decimais, encontre o valor da 1a aproximação da intensidade i em ampéres no intervalo [1, 2]para que a potência seja anulada. R) x = 2

Classificação dos Métodos de Solução de Sistemas de Equações Lineares

Resolução do Sistema Equivalente:

Exemplo:

24

Escalonamento

Métodos Diretos

• São aqueles que conduzem à solução, exata a menos de erros de

arredondamento introduzidos pela máquina, após um número finito de passos;

• Pertencem a esta classe todos os métodos estudados no 1º e 2º graus. No

entanto, esses métodos não são usados em problemas práticos quando o

número de equações é elevado, pois apresentam problemas de (matriz

inversa);

• Surge então, a necessidade de utilizar técnicas mais avançadas e eficientes

como: Método de Eliminação de Gauss e Método de Gauss-Jordan.

Método da Eliminação de Gauss

• Evita o cálculo da inversa de A;

• A solução usando o Método da Eliminação de Gauss consiste em duas

etapas:

a) Transformação do sistema original num sistema equivalente usando uma

matriz triangular superior (Escalonamento);

b) Resolução deste sistema equivalente.

Para aplicar o método de eliminação de Gauss devemos utilizar os seguintes

passos:

10 Passo: determina-se a matriz aumentada

20 passo considerar a 1a linha como base para a eliminação, nesse caso o

elemento a11 é o pivô.

30 passo: deve-se zerar todos os elementos abaixo do pivô (a11).

30 passo: zerar todos os outros coeficientes abaixo da diagonal principal.Os

outros pivôs são os elementos restantes da diagonal principal (a22, a33, ..., ann).

25

Exemplos:

1) Resolva o sistema de equações lineares pelo método de eliminação de

Gauss.

7322

623

53

zyx

zyx

zyx

Determina-se a matriz aumentada:

7322

6123

5131

Temos que zerar os coeficientes abaixo de a11(3 e 2), logo, a primeira linha

permanece fixa, onde o pivô é 1. Então:

L2 = L2 – k1.L1 [k1 = a21/a11= (número a zerar)/pivô] L2 = L2 – 3L1 k1 = 3/1 = 3 3 2 1 + -3 -9 -3 0 -7 -2

L3 = L3 – 2L1 k = 2/1 = 2

2 2 3 + -2 -6 -2 0 -4 1

3140

9270

5131

Agora, temos que zerar o elemento que está abaixo do coeficiente a22 = -7

(novo pivô), logo, a primeira linha e a segunda permanecem fixas.

[k3 = a32/a22= (número a zerar)/pivô]

26

k3 = a32/a22= -4/-7 = 4/7 L3 = L3 – 4/7.L2

0 -4 1 + 0 4 8/7 0 0 15/7

7

15

7

1500

9270

53

7

15

7

1500

9270

5131

zyx

zyx

zyx

17

15

7

15 zz

1927 yzy

153 xzyx

R) )1,1,1(

1

1

1

X

2)

27

28

29

FATORAÇÃO LU

Seja a equação A.X = B, onde A é a matriz dos coeficientes do sistema, Xnx1

matriz das variáveis que desejamos encontrar e Bnx1, matriz dos termos

independentes. Portanto:

A.X = B => A = LU

Onde, L é a matriz triangular inferior, cuja diagonal principal é formada só pela

unidade, os elementos abaixo dessa diagonal pelos multiplicadores k e os

elementos acima da diagonal principal todos nulos.

Cálculo dos multiplicadores:

pivô

zeraraNk

0

L =

0

01

001

32

1

kk

k .

U é a matriz triangular superior, onde apenas os números abaixo da diagonal

principal são nulos.

U =

33

2322

131211

00

0

a

aa

aaa

Exemplo:

- Resolva o sistema abaixo utilizando a fatoração LU.

30

2562272

131020116

561174

14432

wzyx

wzyx

wzyx

wzyx

10 Passo: Escrever a matriz dos coeficientes.

62272

1020116

61174

4432

20 Passo: transformar a matriz acima numa matriz triangular superior (U).

Temos que zerar todos os elementos abaixo de 2 (pivô) que estão na primeira

coluna utilizando os multiplicadores:

Cálculo dos multiplicadores:

12

2

32

6

22

4

0

3

0

2

0

1

pivô

zeraraNk

pivô

zeraraNk

pivô

zeraraNk

Zerando os elementos que estão abaixo do pivô (2):

K1 = -2

L2 = L2 – k1.L1 = -4 – (-2).2 = -4 + 4 = 0

L2 = L2 – k1.L1 = -7 – (-2).3 = -7 + 6. = -1

L2 = L2 – k1.L1 = 11 – (-2).(-4) = 11 - 8 = 3

L2 = L2 – k1.L1 = -6 – (-2).(4) = -6 + 8 = 2

K2 = 3

31

L3 = L3 – k1.L1 = 6 – (3)..2 = 6 - 6 = 0

L3 = L3 – k1.L1 = 11 – (3).3 = 11 - 9 = -2

L3 = L3 – k1.L1 = -20 – (3).(-4) = -20 + 12 = -8

L3 = L3 – k1.L1 = 10 – (3).4 = 10 - 12 = -2

K3 = -1

L4 = L4 – k1.L1 = -2 – (-1)..2 = -2 + 2 = 0

L4 = L4 – k1.L1 = -7 – (-1).3 = -7 + 3 = -4

L4 = L4 – k1.L1 = 22 – (-1).(-4) = 22 - 4 = 18

L4 = L4 – k1.L1 = -6 – (-1).4 = -6 + 4 = -2

21840

2820

2310

4432

Zerando os elementos que estão abaixo do pivô (-1): repete-se a primeira

linha e a segunda.

10600

2200

2310

4432

41

4

21

2

0

5

0

4

pivô

zeraraNk

pivô

zeraraNk

K4 = -2

32

L3 = L3 – k4.L2 = 2 – (-2).(-1) = 2 - 2 = 0

L3 = L3 – k4.L2 = -8 – (-2).(3) =-8 + 6 = -2

L3 = L3 – k4.L2 = -2 – (-2).(2) = -2 + 4 = 2

K5 = 4

L4 = L4 – k5.L3 = -4 – (4).(-1) = -4 + 4 = 0

L4 = L4 – k5.L3 = 18 – (4).(3) = 18 - 12 = 6

L4 = L4 – k5.L3 = -2 – (4).(2) = -2 - 8 = -10

Zerando o elemento que está abaixo do pivô (-2): repete-se a primeira linha,

segunda e a terceira.

4000

2200

2310

4432

32

60

5

pivô

zeraraNk

L4 = L4 – k5.L3 = 6 – (-3).(-2) = 6 - 6 = 0

L4 = L4 – k5.L3 = -10 – (-3).(2) = -10 + 6 = -4

Observa-se que temos uma matriz diagonal superior que denominamos de U.

4000

2200

2310

4432

U

33

Nesse momento, determina-se a matriz diagonal inferior L utilizando os

multiplicadores e colocando a unidade na diagonal principal.

L =

1341

0123

0012

0001

Agora, multiplica-se a matriz L por uma matriz coluna formada pelos elementos

a, b, c, d, igualando o resultado a matriz coluna formada pelos termos

independentes do sistema original, no caso: -1, 5, 13 e 25.

25

13

5

1

1341

0123

0012

0001

d

c

b

a

2534

13023

5002

1000

dcba

dcba

dcba

dcba

Resolvendo, temos: a = -1, b = 3, c = -4 e d = 0

Os valores de a, b, c e d serão os termos independentes do sistema de equações formado pelos valores encontrados na matriz U.

04000

42200

3230

14432

4000

2200

2310

4432

wzyx

wzyx

wzyx

wzyx

U

Resolvendo o sistema, temos: x = -1, y = 3, z = 2 e w = 0

Solução: (-1,3,2,0)

34

MÉTODO SE GAUSS-JACOBI

Esse método tem que apresentar um valor inicial (x0, y0, x0), um erro e um

número de interações. Se chegar ao valor do erro, não será preciso realizar

todas as interações.

Exemplo:

- Resolva o sistema pelo método de Gauss-Jacobi, com 4 interações e ϵ = 0,3.

123

1552

23

zyx

zyx

zyx

10 PASSO: ORGANIZAR AS VARIÁVEIS: x sob x; y sob y e z sob z.

123

1552

23

zyx

zyx

zyx

20 PASSO: CRITÉRIO DE CONVERGÊNCIA.

Critério da diagonal principal (diagonal dominante): o módulo de cada elemento

da diagonal principal da matriz dos coeficientes tem que ser maior que a soma

dos módulos dos elementos de cada fila (linha ou coluna) a que pertence o

elemento. Por exemplo:

Cálculo da matriz dos coeficientes:

converge

converge

converge

linha

113

125

113

311

152

113

* Sempre que o critério de linhas não for satisfeito, devemos tentar uma permutação de

linhas e/ou colunas de forma a obtermos uma disposição para a qual a matriz dos

coeficientes satisfaça os critérios das linhas.

35

30 PASSO: ISOLAR AS VARIÁVEIS.

3/)12(123

5/)215(1552

3/)2(23

yxzzyx

zxyzyx

zyxzyx

40 PASSO: ORGANIZAR TABELA.

Inicia-se considerando o 10 valor (0, 0, 0). Pode ser qualquer valor.

N0 de Interações=k x y z ϵ

0 0 0 0 -

1 -0,666 3 4 -

2 1,664 2,466 3,222 0,723

3 1,23 1,69 2,623 0,296

- Cálculo dos erros de x, y e z:

ϵx = /1,664-(-0,666)/ = 2,33

ϵy = /2,466 - 3/ = 0,533

ϵz = /3,222 - 4/ = 0,778

- Cálculo do erro final = o maior erro de x, de y e de z, em módulo, dividido pelo maior resultado, em módulo, da 3a interação.

723,022,3

33,2

interação 3 da módulo, em resultado,maior a

xdeerromaior ainda não.

ϵx = /1,23-1,664)/ = 0,434 Resposta: (1,23; 1,69; 2,623)

ϵy = /1,69 – 2,466/ = 0,776

ϵz = /2,623 – 3,222/ = 0,599

3,0296,0623,2

776,0

36

MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL

O método de Gauss-Seidel é um método iterativo para resolução de sistemas de equações lineares. O seu nome é uma homenagem aos matemáticos alemães Carl Friedrich Gauss e Philipp Ludwig von Seidel. É semelhante ao método de Jacobi. É condição suficiente de convergência que a matriz seja estritamente diagonal dominante, isto é, fica garantida a convergência da sucessão de valores gerados para a solução exata do sistema linear.

Exemplo:

- Resolva o sistema abaixo pelo método de Gauss-Geidel.

61032

85

7210

zyx

zyx

zyx

CRITÉRIO DE CONVERGÊNCIA.

Cálculo da matriz dos coeficientes:

converge

converge

converge

linha

3210

115

1210

1032

151

1210

Isola-se os valores de x, y e z.

10/)326(61032

5/)8(85

10/)27(7210

yxzzyx

zxyzyx

zyxzyx

1ª Interação: (0, 0, 0)

Substitui (0, 0, 0) em x = (7 – 2y – z)/10 = (7 – 2.0 – 0)10, temos x = 0,7.

Agora, substitui o valor de x = 0,7 e z = 0 em y = (-8 – x – z)/5 = (-8 – 0,7 –

0)/5, encontramos y = -1,74.

37

Substitui os valores de x = 0,7 e y = -1,74 em z = (6 – 2x – 3y)/10 = (6 – 2.0,7 –

3.9-1,74), encontrando z = 0,982.

2ª Interação: Novo valor (0,7; -1,74; 0,982)

Substitui (0,7; -1,74; 0,982) em x = (7 – 2y – z)/10 = (7 – 2.(-1,74) – 0,982),

temos x = 0,9498.

Substitui o valor de x = 0,9498 e z = 0,982 em y = (-8 – x – z)/5 = (-8 – 0,9498 –

0,982)/5, encontramos y = -1,987.

Substitui os valores de x = 0,9498 e y = -1,9864 em z = (6 – 2x – 3y)/10 = (6 –

2.0,9498 – 3(-1,987))/10, encontramos z = 1,006.

3ª Interação: Novo valor (0,9498; -1,9864; 1,006)

Substitui o valor de y = -1,987 e z = 1,006 em x = (7 – 2y – z)/10 = 7 – 2.(-

1,987) – 1,006)/10 = 0,9967.

Substitui o valor de x = 0,9498 e z = 1,006 em y = (-8 – x – z)/5 = (-8 – 0,9498 –

1,006)/5, encontramos y = -2,0005.

Substitui os valores de x = 0,9498 e y = -1,987 em z = (6 – 2x – 3y)/10 = (6 –

2.0,9498 – 3(-1,987)), encontramos z = 1,0008.

Novo valor (0,9967; -2,0005; 1,0008)

Observemos que os valores de x estão convergindo para 1 (0; 0,7; 0,9598;

0,9967). Os de y para -2 (0; -1,74; -1,987; -2,0005) e os de z para 1 (0; 0,982;

1,006; 1,0008), logo a resposta é (1, -2, 1).

N0 de Interações=k x y z

0 0 0 0

1 0,7 -1,74 0,982

2 0,9598 1,987 1,006

3 0,9967 -2,0005 1,0008

38

Aplicação: O modelo matemático das dimensões em metros de uma parede resultou em duas equações qe foram representadas por um sistema S cuja expressão matricial está representada abaixo:

8

10

11

12

b

a

Sabendo que a e b representam o comprimento e a largura de uma parede em metros no formato retangular. Qual a área dessa parede? R) 12m2

MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS (MMQ)

O Método dos Mínimos Quadrados (MMQ), ou Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) é uma técnica de otimização matemática (minimiza ou maximiza uma função) que procura encontrar o melhor ajuste para um conjunto de dados tentando minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre o valor estimado e os dados observados (tais diferenças são chamadas resíduos).

Regressão simples Queremos estimar valores de determinada variável y. Para isso, consideramos os valores de outra variável x que acreditamos ter poder de explicação sobre y conforme a fórmula:

y = b + ax + ϵ

onde:

b: Parâmetro do modelo chamado de constante.

a: Parâmetro do modelo chamado de coeficiente da variável . ϵ: Erro - representa a variação de y que não é explicada pelo modelo.

Aplicação - 01: 1- Um comerciante consegue nos 6 primeiros meses as seguintes vendas de um produto representadas pela tabela abaixo. Qual a estimação das vendas para o sétimo mês?

Mês (x) Vendas (y) (x, y)

1 9 (1, 9)

2 11 (2, 11)

3 10 (3, 10)

4 13 (4, 13)

5 13 (5, 13)

6 14 (6, 14)

7 ?

39

Para encontrar a função estimada devemos utilizar o sistema abaixo:

yxxaxb

yxabn

...

..

2

Mês (x) Vendas (y) x2 x.y

1 9 1 9

2 11 4 22

3 10 9 30

4 13 16 52

5 13 25 65

6 14 36 84

21 70 91 262

27,897,0

:tan

27,87097,0.21670216

97,0102.105

1572546126

1470441126

)6(2629121

)21(70216

...

..

2

xybaxy

toPor

bbab

aa

ab

b

ab

ab

yxxaxb

yxabn

Então, a estimativa para x = 7 é:

unidadesy

y

xy

15

27,87.97,0

27,8.97,0

Outra maneira de resolver:

- Começamos substituindo os valores das variáveis x e y na função do 10 grau

y = ax + b, encontrando as equações abaixo:

9 = a + b, 11 = 2a + b, 10 = 3a + b, 13 = 4a + b, 13 = 5a + b, 14 = 6a + b

40

Transformando em matriz, temos:

16

15

14

13

12

11

A Observe que tiramos os coeficientes de a e de b.

Calcula-se a transposta:

111111

654321tA

Determina-se o produto xAAt :

111111

654321tA x

16

15

14

13

12

11

A

621

2191xAAt

Agora, determina-se o produto At x b (matriz dos termos independentes =

valores de y)

111111

654321.

10

262

14

13

13

10

11

9

Por último, calcula-se (At.A).x = A

t.b:

Matriz x =

b

a

41

10

261

621

2191

b

a

106.21

262.21.91

ba

ba

Então, a estimativa para x = 7 é:

unidadesy

y

xy

15

27,87.97,0

27,8.97,0

Aplicação - 02:

- Consideremos a seguinte tabela de valores de uma função y = f(x):

i x y

0 0,00 1,0000

1 0,25 1,2840

2 0,50 1,6487

3 0,75 2,1170

4 1,00 2,7183

Determine a expressão analítica do polinômio de grau dois, que aproxima a função tabelada, utilizando a técnica dos mínimos quadrados.

Resolução:

O polinômio do segundo grau P(x) = a2x2 + a1x

1 + a0, vai gerar uma equação

com 3 variáveis, logo precisamos de 3 equações.

24

2

3

1

2

0

13

2

2

1

1

0

02

2

1

1

0

0

yxxaxaxa

yxxaxaxa

yxxaxaxa

i x y x0 x1 x2 x3 x4 x.y x2.y

0 0,00 1,0000 1 0,00 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,000

1 0,25 1,2840 1 0,25 0,0625 0,0156 0,0039 0,3210 0,0802

2 0,50 1,6487 1 0,50 0,2500 0,1250 0,0625 0,3243 0,4122

3 0,75 2,1170 1 0,75 0,5625 0,4219 0,3164 1,5877 1,1908

4 1,00 2,7183 1 1,00 1,0000 1,0000 1,0000 2,7183 2,7183

8,7680 5 2,50 1,8750 1,5625 1,3828 4,9513 4,4015

42

8437,0

8641,0

0052,1

4015,41,3828.1,5625.1,8750.

9513,45625,1.875,1.5,2

768,8875,15,2.5

2

1

0

210

210

210

24

2

3

1

2

0

13

2

2

1

1

0

02

2

1

1

0

0

a

a

a

aaa

aaa

aaa

yxxaxaxa

yxxaxaxa

yxxaxaxa

O polinômio de grau dois, que aproxima a função tabelada, utilizando a técnica dos

mínimos quadrados é:

P(x) = a2x2 + a1x

1 + a0 P(x) = 0,8437x2 + 0,8641x1 + 1,0052

INTERPOLAÇÃO POLINIMIAL

A interpolação consiste em determinar uma função (polinômio), que assume valores conhecidos em certos pontos (nós de interpolação). O conjunto de funções escolhido para a interpolação é a priori arbitrário, e deve ser adequado às características que pretendemos que a função possua.

INTERPOLAÇÃO DE LAGRANGE: é o polinômio interpolador de menor grau

possível que passe pelos pontos (x0, yo), (x1, y1), ..., (xn, yn).

Exemplo:

- Dados os pares (-2, 2), (0,-2) e (4, 1). Encontre o polinômio (função) gerado por esses pares.

Aparentemente, esses dados geram uma função do segundo grau (função interpoladora). Então, aplicando polinômio de Lagrange, temos:

P(x) = f(x0). L0(x) + f(x1). L1(x) + f(x2). L2(x)

x0 = -2 e y0 = 2

x1= 0 e y1= -2

x2 = 4 e y2 = 1

L0(x), L1(x), L2(x) → Forma de Lagrange

43

24

2)1(

24

)).(2(

)04))(2(4(

)0))(2((

)).((

)).(()(

4

82)2(

8

)4).(2(

)40))(2(0(

)4))(2((

)).((

)).(()(

6

4)2(

12

)4.(

)42)(02(

)4)(0(

)).((

)).(()(

2

1202

100

2

2101

201

2

2010

210

xxxxxx

xxxx

xxxxxL

xxxxxx

xxxx

xxxxxL

xxxxxx

xxxx

xxxxxL

erpoladorpolinômioxxxP

xxxxxx

int212

13

24

11)(

24

2

4

82

6

4 (x)L ).f(x + (x)L ).f(x + (x)L ).f(x = P(x)

2

222

221100

INTERPOLAÇÃO DE NEWTON

Exemplo:

Qual o polinômio de menor grau possível que passa pelos pontos (1, 0), (3, 6),

(4, 24) e (5, 60)?

Construindo a tabela:

x y 1 2 3

X0 = 1 y0 = 0 3 5 1

X1 = 3 y1 = 6 18 9

X2 = 4 y2 = 24 36

X3 = 5 y3 = 60

xxxxP

xxxxxxxP

xxxxxxxxxxxxyxP

xx

xx

xx

xx

yy

xx

yy

xx

yy

23)(

1).4).(3).(1(5).3).(1(3).1(0)(

)).().(()).(().()(

14

459

935

181836

514

15318

3645

2460

1834

624

313

06

23

3210210100

03

3

13

2

02

2

23

231

12

121

01

011

44

Aplicações:

01- Em problemas nossos do dia a dia, a diferença de densidades não

apresenta problemas para determinar quantidades de água, massa ou

argamassa. No entanto, na indústria, a mais sutil mudança pode levar a erros

com prejuízos incalculáveis. Abaixo, temos a temperatura do mercúrio

relacionada a sua densidade. Para que não haja atropelos financeiros e preciso

determinar a densidade do mercúrio para uma fabricação de uma liga quando a

temperatura for de 250C. Determine esse valor. R) 13,534

t(0C) Densidade(g/cm3)

-20 13,645

20 13,546

100 13,352

02- Em obra de engenharia é primordial saber dimensionar os materiais como

aço, tubos e cabos. Um simples cabo com dimensão acima da recomendada

pode gerar um gasto desnecessário se pensarmos a quantidade utilizada em

uma obra de grande porte. Por isso se faz necessária a dimensão

recomendada. Considere que em uma obra é preciso dimensionar um fio de

metal e estimar a sua resistência sabendo que o seu diâmetro é igual a 1,75

mm. Para isso foram medidas as resistências de 5 fios de diversos diâmetros.

Os resultados se encontram na tabela abaixo. Faça uma interpolação com os 3

primeiros pontos e encontre a resistência para esse fio de diâmetro 1,75mm.

xi 1,5 2,0 3,0 2,2

F(xi) 4,9 3,3 3,0 2,0 1,75 R) 3,002567

03- Os pontos P0(35; 0,99818) e P1(40; 0,99828) representam o valor

específico (y) de um dado material em função de sua temperatura (x) em 0C.Utilizando interpolação linear P(x) = y0 + [(y1 - y0):(x1 - x0)].(x - x0), Encontre,

o valor aproximado do calor específico da água a 36,5 0C. R) 0,9986

04- Atletas olímpicos utilizam os mais modernos aparelhos de tecnologia para

sua preparação. Procura-se calcular quase todas as variáveis que influenciam

nos seus desempenho. Para um saltador olímpico procura-se saber qual a

deflexão da prancha de salto em função do tempo de permanência de

preparação para o salto. Dados capitados pelo computador são confrontados

45

com valores calculados “a mão” para que tenhamos uma boa calibração. A

tabela abaixo representa a deflexão em cm duma prancha de saltos, em vários

instantes de tempo de preparação para o salto. Encontre a deflexão da

prancha, a partir dos dados da tabela, construindo um polinômio interpolador

de grau dois para um tempo igual a 3,5 segundos. Use os três últimos pontos.

R) -2,05 cm

t(s) 0,0 0,5 1,5 2,0 4,0 6,0

Deflexão(cm) 4 1,75 -1,25 -2 0 10

MÉTODO DE EULER (MÉTODO DAS APROXIMAÇÕES DE SOLUÇÃO):

Consiste numa equação diferencial ordinário y’ = f(x, y) e um ponto (x0, y0).

.hy' + y = y

................

.hy' + y = y

.hy' + y = y

.h y' + y =y

)(

),('

nn1+n

223

112

00 1

00 yxy

yxfy

.int0 eraçõesdeNn

bxa

n

abh

Exemplo -1:

- Seja y’ = t2.y com y(0) = -2 no intervalo 1t0 , utilize o método de Euler com

n = 2. A seguir estime y(1) pelo método tradicional (EDO) e ache o erro.

5,02

01

2)0(

.ty' 2

h

y

y

25,25,0).2.()5,0(2.'15,05,0

25,0).2.(02.'5,05,00

20

.ty'

2

11212

2

00101

00

2

hyyyhtt

hyyyhtt

yt

y

46

Método tradicional (EDO):

33

3

33

32

2

2

2

2

33

3

33

.2)2.(2

)2,0(.

.3

.t

.ty'2)0(

.ty'

tt

t

c

tc

t

eyeyc

cey

eeeyct

Lnytdty

dy

dtty

dy

ydt

dy

yy

y

Agora para calcular o valor de y utiliza-se o valor de b = 1 no lugar do t.

79,2.2.2 3

1

3

33

eyey

t

Cálculo do erro: ϵ = ϵ1 - ϵ2 = -2,25 –(-2,79) = 0,54.

Exemplo -2:

- Seja y’ = et - 2y com y(0) = 1 no intervalo 1t0 , utilize o método de Euler

com n = 4. A seguir estime y(1) pelo método tradicional (EDO) e ache o erro.

5,02

01

1)0(

2ey' t

h

y

y

INTEGRÇÃO NUMÉRICA:

- REGRA DOS TRAPÉZIOS.

A idéia da regra do trapézio é aproximar a função f(x) por um polinômio de 10

grau (reta). Veremos que, nessa aproximação a integral da função f(x) pode ser

aproximada pela área de um trapézio. Esse método visa calcular um valor

aproximado de uma integral definida que representa o valor de uma área

determinada pela função f(x) e pelo intervalo [a, b]. Observe o gráfico.

b

adxxf )(

47

Base maior: f(x1), Base menor: f(x0) e Altura: n

ab =

n

xx 12 (n = número

de interações ou número de subdivisões do trapézio).

Nota: a área de um trapézio é o produto da altura pela média aritmética das

bases. ).(22

. bBhbB

hS

Portanto, para um trapézio temos: )()(.2

)()(.2

)( 10 bfafh

xfxfh

dxxfb

a

Estimativa para o erro da regra do trapézio.

)(".12

)()(".

12

33

xfab

Eouxfh

E TT

Exemplo-1: Calcular a integral utilizando a regra dos trapézios: dxx

7

1 2

1

O polinômio do 10 grau (m = 1) passa pelos pontos a = 1 e b = 7, onde h = (7-

1)/1 = 6, é:

0612,37

1

1

1.

2

6)()(.

2)(

2210

b

axfxf

hdxxf

- Resolvendo pela fórmula da integral da potência, temos:

86,07

6

1

1

7

11

1

17

1

7

1

17

1

27

1 2

x

xdxxdx

x

Note que a diferença é muito grande. Portanto, vamos estimar o erro.

- Calculando a estimativa para o erro, temos:

)(",.12

3

xfbaMáxh

ET

Como a derivada segunda de f(x) é f ´´(x) = 6x-4. x |Máx.[a,b]f’’(x)|

1 6 Máx. [a, b]

2 0.375 3 0.074074 4 0.023438 5 0.0096 6 0.00463 7 0.002499

Logo, 1086.12

6)("],.[.

12

33

TTT EExfbaMaxh

E (erro muito grande!)

48

Exemplo 2- Calcular 9

156 dxx , usando a regra dos trapézios. Qual seria

uma estimativa para o erro deste procedimento? h = (9 – 1)/1 = 8

3259.651.6.2

8)()(.

2)( 10

b

axfxf

hdxxf

x f’’(x) |f’’(x)| 1 -9 9 2 -0.48298 0.482977 3 -0.18601 0.186006 4 -0.10434 0.104335 5 -0.0636 0.0636 6 -0.04607 0.046072 7 -0.02999 0.029994 8 -0.01596 0.015959 9 -0.01312 0.01312

3849.12

8)(".

12

33

TTT EExfh

E Erro muito grande!

Regra do trapézio repetida

A regra do trapézio é uma aproximação um pouco grosseira para o valor da

integral o que pode ser verificado tanto graficamente quanto pela expressão do

erro. Contudo, se aplicarmos dentro de certo intervalo [a,b] a regra do trapézio

repetidas vezes a aproximação será melhor conforme podemos observar na figura

abaixo P(x1)

Cálculo da altura:

b

an

n

i

i xfxfxfh

dxxf )()(.2)(.2

)(1

1

0

Estimativa para o erro na regra do trapézio repetida será:

)(",.12 2

3

xfbaMáxn

hET

49

Se quisermos saber quantas subdivisões são necessárias para atingir certa precisão dada, ou seja, certo valor de erro, fazemos o seguinte cálculo:

)(",.12

3

xfbaMáxE

hn

T

Exemplo 3 – Calcule o valor da integral dxx

7

1 2

1, usando a regra dos trapézios

com 6 subdivisões. Em seguida, calcule uma estimativa para erro usando a

regra do trapézio repetida. Por último, encontre quantas subdivisões

deveríamos fazer para que o erro neste processo fosse menor do que 0,001 =

10-3.

h=1

h = (7-1)/6 = 1 x0=

a x1

x2

x3

x4

x5 x

6

002,149

1

36

1

25

1

16

1

9

1

4

1.21.

2

1)()(.2)(.

2)(

1

1

0

b

an

n

i

i xfxfxfh

dxxf

Estimar o erro: )(",.12 2

3

xfbaMáxn

hET

Cálculo de f”(x): f(x) = 1/x2 = x-2 → f’(x) = -2x-3 → f”(x) = -6x-4

X |f’’(x)| 1 6 Máx. [a,b] 2 0.375 3 0.074074 4 0.023438 5 0.0096 6 0.00463

3)6.(6.12

62

3

TT EE (erro estimado)

Cálculo do número de subdivisões para que o erro fosse menor que 0,001.

)int(32963,3286.10.12

6)(",.

12 3

33

eironúmerossubdivisõexfbaMáxE

hn

T

Exemplo 4- Resolva a integral pelo método dos trapézios simples e composto

(4 subdivisões):

3

1

2xe

Exemplo 5- Na indústria de automóvel fabricam-se alarmes para carros. Os alarmes são ativados quando uma onda mecânica incide e penetra no seu interior ativando um transdutor, dispositivo que transforma onda mecânica em eletromagnética, e dispara o alarme.No entrando, cálculo são feitos para se obter a melhor resposta porque não são todas as freqüências que podem ativar o alarme sob o risco de dispará-lo a qualquer momento. Para melhorar o sinal

usa-se a função x

exf

x

)( integrando “f(x)dx” nos limites de 1 a 2. Avalie o sinal

integrante da função dividindo o intervalo de 1 a 2 em 4 partes iguais. Utilize o

50

método dos trapézios. Encontre o sinal do sinal, ou seja, da integral. R)2,987793 Exemplo 6- Muitos alunos acreditam que algumas disciplinas são desconexas como dia a dia como, por exemplo, cálculo numérico que é ministrada em todos os curso de engenharia. A despeito disso cálculos dos mais variados são aplicados. Como cálculo de estoque, revestimento de paredes e até velocidades de um foguete são feitos apenas numericamente. Para podermos verificar essa aplicabilidade,podemos, a partir dos dados abaixo, que representa a velocidade de um foguete em função do tempo de lançamento, calcular a velocidade desse foguete após 20 segundos. O cálculo dessa distância é determinado pela integral de “v.dt”. Use o método dos trapézios para encontrar o valor da altura após 20 segundos. R) 4000,18

t(s) 0 5 10 15 20

V(pés/s) 0 60,6 180,1 341,6 528,4

BIBLIOGRAFIA

- S. Arenales, A. Darezzo. Cálculo Numérico - Aprendizagem com Apoio de Software. Thomson Learning, 2008. - R.L. Burden, J.D. Faires. Análise Numérica. Pioneira Thomson Learning, 2003. - M.C. Cunha. Métodos Numéricos. 2a edição, Editora da Unicamp, 2000. - BARROS, I. Q. Introdução ao cálculo numérico. São Paulo: Edgar Blücher, 1972. https://pt.wikipedia.org/wiki/Método_das_secantes https://www.math.tecnico.ulisboa.pt/~calves/courses/eqn/capii213.html