Calculo numérico_Secante

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Calculo Numérioc, Resumo, Bissecção, Iteração, Newton, Lagrange, Newton Raphson, Secante, Taylor e Ponto Flutuante

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  • Calculo NumericoSolucao de Equacoes em Uma VariavelMetodo das Secantes e da Regula Falsi

    Joao Paulo Gois

    Universidade Federal do ABC

    1

    1Apresentacao baseada nos slides do prof. John Carroll, Dublin City University e no Livro Analise Numerica

    (Burden & Faires)

  • Roteiro

    Metodo das Secantes: Derivacao e Algoritmo

    Comparando Metodo das Secantes e o Metodo de Newton

    O Metodo da Posicao Falsa (Regula Falsi)

  • Roteiro

    Metodo das Secantes: Derivacao e Algoritmo

    Comparando Metodo das Secantes e o Metodo de Newton

    O Metodo da Posicao Falsa (Regula Falsi)

  • Roteiro

    Metodo das Secantes: Derivacao e Algoritmo

    Comparando Metodo das Secantes e o Metodo de Newton

    O Metodo da Posicao Falsa (Regula Falsi)

  • Roteiro

    Metodo das Secantes: Derivacao e Algoritmo

    Comparando Metodo das Secantes e o Metodo de Newton

    O Metodo da Posicao Falsa (Regula Falsi)

  • Razao para o Metodo das Secantes

    Limitacoes do Metodo de Newton

    A principal fraqueza do Metodo de Newton e a necessidade docalculo da derivada (consequentemente, da funcao ser suave);

    Frequentemente o calculo da derivada exige mais operacoesaritmeticas do que calcular a propria funcao

  • Razao para o Metodo das Secantes

    Limitacoes do Metodo de Newton

    A principal fraqueza do Metodo de Newton e a necessidade docalculo da derivada (consequentemente, da funcao ser suave);

    Frequentemente o calculo da derivada exige mais operacoesaritmeticas do que calcular a propria funcao

  • Razao para o Metodo das Secantes

    Limitacoes do Metodo de Newton

    A principal fraqueza do Metodo de Newton e a necessidade docalculo da derivada (consequentemente, da funcao ser suave);

    Frequentemente o calculo da derivada exige mais operacoesaritmeticas do que calcular a propria funcao

  • Deduzindo o Metodo das Secantes

    Def. de Derivada

    f (pn1) = limxpn1

    f(x) f(pn1)x pn1

    Aproximando a Derivada

    Se pn2 esta proximo de pn1, entao:

    f (pn1) f(pn2) f(pn1)pn2 pn1 =

    f(pn1) f(pn2)pn1 pn2

    Aplicando esta formula na derivada no Metodo de Newton temos:

    pn = pn1 f(pn1) (pn1 pn2)f(pn1) f(pn2)

    Esta tecnica e chamada de Metodo das Secantes

  • Deduzindo o Metodo das Secantes

    Def. de Derivada

    f (pn1) = limxpn1

    f(x) f(pn1)x pn1

    Aproximando a Derivada

    Se pn2 esta proximo de pn1, entao:

    f (pn1) f(pn2) f(pn1)pn2 pn1 =

    f(pn1) f(pn2)pn1 pn2

    Aplicando esta formula na derivada no Metodo de Newton temos:

    pn = pn1 f(pn1) (pn1 pn2)f(pn1) f(pn2)

    Esta tecnica e chamada de Metodo das Secantes

  • Deduzindo o Metodo das Secantes

    Def. de Derivada

    f (pn1) = limxpn1

    f(x) f(pn1)x pn1

    Aproximando a Derivada

    Se pn2 esta proximo de pn1, entao:

    f (pn1) f(pn2) f(pn1)pn2 pn1 =

    f(pn1) f(pn2)pn1 pn2

    Aplicando esta formula na derivada no Metodo de Newton temos:

    pn = pn1 f(pn1) (pn1 pn2)f(pn1) f(pn2)

    Esta tecnica e chamada de Metodo das Secantes

  • Interpretacao Geometrica do Metodo das Secantes

    2.3 Newtons Method and Its Extensions 71

    Theorem 2.6 states that, under reasonable assumptions, Newtons method convergesprovided a sufficiently accurate initial approximation is chosen. It also implies that the con-stant k that bounds the derivative of g, and, consequently, indicates the speed of convergenceof the method, decreases to 0 as the procedure continues. This result is important for thetheory of Newtons method, but it is seldom applied in practice because it does not tell ushow to determine .

    In a practical application, an initial approximation is selected and successive approx-imations are generated by Newtons method. These will generally either converge quicklyto the root, or it will be clear that convergence is unlikely.

    The Secant Method

    Newtons method is an extremely powerful technique, but it has a major weakness: the needto know the value of the derivative of f at each approximation. Frequently, f (x) is far moredifficult and needs more arithmetic operations to calculate than f (x).

    To circumvent the problem of the derivative evaluation in Newtons method, we intro-duce a slight variation. By definition,

    f ( pn1) = limxpn1

    f (x) f ( pn1)x pn1 .

    If pn2 is close to pn1, then

    f ( pn1) f ( pn2) f ( pn1)pn2 pn1 =f ( pn1) f ( pn2)

    pn1 pn2 .

    Using this approximation for f ( pn1) in Newtons formula gives

    pn = pn1 f ( pn1)( pn1 pn2)f ( pn1) f ( pn2) . (2.12)

    The word secant is derived fromthe Latin word secan, whichmeans to cut. The secant methoduses a secant line, a line joiningtwo points that cut the curve, toapproximate a root.

    This technique is called the Secant method and is presented in Algorithm 2.4. (SeeFigure 2.10.) Starting with the two initial approximations p0 and p1, the approximation p2 isthe x-intercept of the line joining ( p0, f ( p0)) and ( p1, f ( p1)). The approximation p3 is thex-intercept of the line joining ( p1, f ( p1)) and ( p2, f ( p2)), and so on. Note that only onefunction evaluation is needed per step for the Secant method after p2 has been determined.In contrast, each step of Newtons method requires an evaluation of both the function andits derivative.

    Figure 2.10

    x

    y

    p0p1

    p2 pp3

    p4

    y ! f (x)

    Copyright 2010 Cengage Learning. All Rights Reserved. May not be copied, scanned, or duplicated, in whole or in part. Due to electronic rights, some third party content may be suppressed from the eBook and/or eChapter(s).Editorial review has deemed that any suppressed content does not materially affect the overall learning experience. Cengage Learning reserves the right to remove additional content at any time if subsequent rights restrictions require it.

  • O Metodo das Secantes

    pn = pn1 f(pn1) (pn1 pn2)f(pn1) f(pn2)

    Procedimento

    Comecamos com duas aproximacoes iniciais p0 e p1, aaproximacao p2 e o x-intercepto da reta conectando(p0, f(p0)) e (p1, f(p1))

    A aproximacao p3 e o x-intercepto da reta conectando(p1, f(p1) e (p2, f(p2) e assim sucessivamente

    Note que apenas uma avaliacao da funcao e necessaria porpasso para o Metodo das Secantes apos p2 ser determinado

    Por outro lado, para cada passo do Metodo de Newton enecessario ambos a avaliacao da funcao e de sua derivada

  • O Metodo das Secantes

    pn = pn1 f(pn1) (pn1 pn2)f(pn1) f(pn2)

    Procedimento

    Comecamos com duas aproximacoes iniciais p0 e p1, aaproximacao p2 e o x-intercepto da reta conectando(p0, f(p0)) e (p1, f(p1))

    A aproximacao p3 e o x-intercepto da reta conectando(p1, f(p1) e (p2, f(p2) e assim sucessivamente

    Note que apenas uma avaliacao da funcao e necessaria porpasso para o Metodo das Secantes apos p2 ser determinado

    Por outro lado, para cada passo do Metodo de Newton enecessario ambos a avaliacao da funcao e de sua derivada

  • O Metodo das Secantes

    pn = pn1 f(pn1) (pn1 pn2)f(pn1) f(pn2)

    Procedimento

    Comecamos com duas aproximacoes iniciais p0 e p1, aaproximacao p2 e o x-intercepto da reta conectando(p0, f(p0)) e (p1, f(p1))

    A aproximacao p3 e o x-intercepto da reta conectando(p1, f(p1) e (p2, f(p2) e assim sucessivamente

    Note que apenas uma avaliacao da funcao e necessaria porpasso para o Metodo das Secantes apos p2 ser determinado

    Por outro lado, para cada passo do Metodo de Newton enecessario ambos a avaliacao da funcao e de sua derivada

  • O Metodo das Secantes

    pn = pn1 f(pn1) (pn1 pn2)f(pn1) f(pn2)

    Procedimento

    Comecamos com duas aproximacoes iniciais p0 e p1, aaproximacao p2 e o x-intercepto da reta conectando(p0, f(p0)) e (p1, f(p1))

    A aproximacao p3 e o x-intercepto da reta conectando(p1, f(p1) e (p2, f(p2) e assim sucessivamente

    Note que apenas uma avaliacao da funcao e necessaria porpasso para o Metodo das Secantes apos p2 ser determinado

    Por outro lado, para cada passo do Metodo de Newton enecessario ambos a avaliacao da funcao e de sua derivada

  • O Metodo das Secantes

    pn = pn1 f(pn1) (pn1 pn2)f(pn1) f(pn2)

    Procedimento

    Comecamos com duas aproximacoes iniciais p0 e p1, aaproximacao p2 e o x-intercepto da reta conectando(p0, f(p0)) e (p1, f(p1))

    A aproximacao p3 e o x-intercepto da reta conectando(p1, f(p1) e (p2, f(p2) e assim sucessivamente

    Note que apenas uma avaliacao da funcao e necessaria porpasso para o Metodo das Secantes apos p2 ser determinado

    Por outro lado, para cada passo do Metodo de Newton enecessario ambos a avaliacao da funcao e de sua derivada

  • Algoritmo

    Algoritmo Metodo das Secantes

    1 Faca i = 2, q0 = f(p0), q1 = f(p1)2 Enquanto i N0 faca:

    1 Faca p = p1 q1(p1 p0)/(q1 q0)2 Se |p p1| < entao imprima p e termine a execucao3 Faca i = i+ 14 Faca p0 = p1, q0 = q1, p1 = p, q1 = f(p)

    3 Imprima: O metodo alcancou o numero de iteracoes semconvergir.

  • Algoritmo

    Algoritmo Metodo das Secantes

    1 Faca i = 2, q0 = f(p0), q1 = f(p1)

    2 Enquanto i N0 faca:1 Faca p = p1 q1(p1 p0)/(q1 q0)2 Se |p p1| < entao imprima p e termine a execucao3 Faca i = i+ 14 Faca p0 = p1, q0 = q1, p1 = p, q1 = f(p)

    3 Imprima: O metodo alcancou o numero de iteracoes semconvergir.

  • Algoritmo

    Algoritmo Metodo das Secantes

    1 Faca i = 2, q0 = f(p0), q1 = f(p1)2 Enquanto i N0 faca:

    1 Faca p = p1 q1(p1 p0)/(q1 q0)2 Se |p p1| < entao imprima p e termine a execucao3 Faca i = i+ 14 Faca p0 = p1, q0 = q1, p1 = p, q1 = f(p)

    3 Imprima: O metodo alcancou o numero de iteracoes semconvergir.

  • Algoritmo

    Algoritmo Metodo das Secantes

    1 Faca i = 2, q0 = f(p0), q1 = f(p1)2 Enquanto i N0 faca:

    1 Faca p = p1 q1(p1 p0)/(q1 q0)

    2 Se |p p1| < entao imprima p e termine a execucao3 Faca i = i+ 14 Faca p0 = p1, q0 = q1, p1 = p, q1 = f(p)

    3 Imprima: O metodo alcancou o numero de iteracoes semconvergir.

  • Algoritmo

    Algoritmo Metodo das Secantes

    1 Faca i = 2, q0 = f(p0), q1 = f(p1)2 Enquanto i N0 faca:

    1 Faca p = p1 q1(p1 p0)/(q1 q0)2 Se |p p1| < entao imprima p e termine a execucao

    3 Faca i = i+ 14 Faca p0 = p1, q0 = q1, p1 = p, q1 = f(p)

    3 Imprima: O metodo alcancou o numero de iteracoes semconvergir.

  • Algoritmo

    Algoritmo Metodo das Secantes

    1 Faca i = 2, q0 = f(p0), q1 = f(p1)2 Enquanto i N0 faca:

    1 Faca p = p1 q1(p1 p0)/(q1 q0)2 Se |p p1| < entao imprima p e termine a execucao3 Faca i = i+ 1

    4 Faca p0 = p1, q0 = q1, p1 = p, q1 = f(p)

    3 Imprima: O metodo alcancou o numero de iteracoes semconvergir.

  • Algoritmo

    Algoritmo Metodo das Secantes

    1 Faca i = 2, q0 = f(p0), q1 = f(p1)2 Enquanto i N0 faca:

    1 Faca p = p1 q1(p1 p0)/(q1 q0)2 Se |p p1| < entao imprima p e termine a execucao3 Faca i = i+ 14 Faca p0 = p1, q0 = q1, p1 = p, q1 = f(p)

    3 Imprima: O metodo alcancou o numero de iteracoes semconvergir.

  • Algoritmo

    Algoritmo Metodo das Secantes

    1 Faca i = 2, q0 = f(p0), q1 = f(p1)2 Enquanto i N0 faca:

    1 Faca p = p1 q1(p1 p0)/(q1 q0)2 Se |p p1| < entao imprima p e termine a execucao3 Faca i = i+ 14 Faca p0 = p1, q0 = q1, p1 = p, q1 = f(p)

    3 Imprima: O metodo alcancou o numero de iteracoes semconvergir.

  • Metodo de Newton: f(x) = cos x x, p0 = pi4Derivation Example Convergence Final RemarksNewtons Method

    Newtons Method for f (x) = cos(x) x , x0 = 4n pn1 f (pn1) f 0 (pn1) pn |pn pn1|1 0.78539816 -0.078291 -1.707107 0.73953613 0.045862032 0.73953613 -0.000755 -1.673945 0.73908518 0.000450963 0.73908518 -0.000000 -1.673612 0.73908513 0.000000044 0.73908513 -0.000000 -1.673612 0.73908513 0.00000000

    An excellent approximation is obtained with n = 3.Because of the agreement of p3 and p4 we could reasonablyexpect this result to be accurate to the places listed.

    Numerical Analysis (Chapter 2) Newtons Method R L Burden & J D Faires 18 / 33

    Uma excelente aproximacao e obtida com n = 3

    Note que p3 e p4 sao iguais nas casas decimais apresentadas.

  • Metodo de Newton: f(x) = cos x x, p0 = pi4Derivation Example Convergence Final RemarksNewtons Method

    Newtons Method for f (x) = cos(x) x , x0 = 4n pn1 f (pn1) f 0 (pn1) pn |pn pn1|1 0.78539816 -0.078291 -1.707107 0.73953613 0.045862032 0.73953613 -0.000755 -1.673945 0.73908518 0.000450963 0.73908518 -0.000000 -1.673612 0.73908513 0.000000044 0.73908513 -0.000000 -1.673612 0.73908513 0.00000000

    An excellent approximation is obtained with n = 3.Because of the agreement of p3 and p4 we could reasonablyexpect this result to be accurate to the places listed.

    Numerical Analysis (Chapter 2) Newtons Method R L Burden & J D Faires 18 / 33

    Uma excelente aproximacao e obtida com n = 3

    Note que p3 e p4 sao iguais nas casas decimais apresentadas.

  • Metodo de Newton: f(x) = cos x x, p0 = pi4Derivation Example Convergence Final RemarksNewtons Method

    Newtons Method for f (x) = cos(x) x , x0 = 4n pn1 f (pn1) f 0 (pn1) pn |pn pn1|1 0.78539816 -0.078291 -1.707107 0.73953613 0.045862032 0.73953613 -0.000755 -1.673945 0.73908518 0.000450963 0.73908518 -0.000000 -1.673612 0.73908513 0.000000044 0.73908513 -0.000000 -1.673612 0.73908513 0.00000000

    An excellent approximation is obtained with n = 3.Because of the agreement of p3 and p4 we could reasonablyexpect this result to be accurate to the places listed.

    Numerical Analysis (Chapter 2) Newtons Method R L Burden & J D Faires 18 / 33

    Uma excelente aproximacao e obtida com n = 3

    Note que p3 e p4 sao iguais nas casas decimais apresentadas.

  • Metodo das Secantes

    Metodo das Secantes: f(x) = cosx x, p0 = 0.5, p1 = pi4

    Secant Derivation Secant Example Regula Falsi

    Comparing the Secant & Newtons Methods

    Secant Method for f (x) = cos(x) x , p0 = 0.5, p1 = 4n pn2 pn1 pn |pn pn1|2 0.500000000 0.785398163 0.736384139 0.04901402463 0.785398163 0.736384139 0.739058139 0.00267400044 0.736384139 0.739058139 0.739085149 0.00002701015 0.739058139 0.739085149 0.739085133 0.0000000161

    Comparing results, we see that the Secant Method approximationp5 is accurate to the tenth decimal place, whereas Newtonsmethod obtained this accuracy by p3.Here, the convergence of the Secant method is much faster thanfunctional iteration but slightly slower than Newtons method.This is generally the case. Order of Convergence

    Numerical Analysis (Chapter 2) Secant & Regula Falsi Methods R L Burden & J D Faires 12 / 25

    Comparando resultados, vemos que p5 no Metodo dasSecantes e preciso em 10 casas decimais, ao passo que noMetodo de Newton isto foi obtido com p3

    Aqui, a convergencia do Metodo das Secantes e muito maisrapido do que a Iteracao de Ponto-Fixo, mas mais lento que oMetodo de Newton.

    Esta e a situacao geral.

  • Metodo das Secantes

    Metodo das Secantes: f(x) = cosx x, p0 = 0.5, p1 = pi4

    Secant Derivation Secant Example Regula Falsi

    Comparing the Secant & Newtons Methods

    Secant Method for f (x) = cos(x) x , p0 = 0.5, p1 = 4n pn2 pn1 pn |pn pn1|2 0.500000000 0.785398163 0.736384139 0.04901402463 0.785398163 0.736384139 0.739058139 0.00267400044 0.736384139 0.739058139 0.739085149 0.00002701015 0.739058139 0.739085149 0.739085133 0.0000000161

    Comparing results, we see that the Secant Method approximationp5 is accurate to the tenth decimal place, whereas Newtonsmethod obtained this accuracy by p3.Here, the convergence of the Secant method is much faster thanfunctional iteration but slightly slower than Newtons method.This is generally the case. Order of Convergence

    Numerical Analysis (Chapter 2) Secant & Regula Falsi Methods R L Burden & J D Faires 12 / 25

    Comparando resultados, vemos que p5 no Metodo dasSecantes e preciso em 10 casas decimais, ao passo que noMetodo de Newton isto foi obtido com p3

    Aqui, a convergencia do Metodo das Secantes e muito maisrapido do que a Iteracao de Ponto-Fixo, mas mais lento que oMetodo de Newton.

    Esta e a situacao geral.

  • Metodo das Secantes

    Metodo das Secantes: f(x) = cosx x, p0 = 0.5, p1 = pi4

    Secant Derivation Secant Example Regula Falsi

    Comparing the Secant & Newtons Methods

    Secant Method for f (x) = cos(x) x , p0 = 0.5, p1 = 4n pn2 pn1 pn |pn pn1|2 0.500000000 0.785398163 0.736384139 0.04901402463 0.785398163 0.736384139 0.739058139 0.00267400044 0.736384139 0.739058139 0.739085149 0.00002701015 0.739058139 0.739085149 0.739085133 0.0000000161

    Comparing results, we see that the Secant Method approximationp5 is accurate to the tenth decimal place, whereas Newtonsmethod obtained this accuracy by p3.Here, the convergence of the Secant method is much faster thanfunctional iteration but slightly slower than Newtons method.This is generally the case. Order of Convergence

    Numerical Analysis (Chapter 2) Secant & Regula Falsi Methods R L Burden & J D Faires 12 / 25

    Comparando resultados, vemos que p5 no Metodo dasSecantes e preciso em 10 casas decimais, ao passo que noMetodo de Newton isto foi obtido com p3

    Aqui, a convergencia do Metodo das Secantes e muito maisrapido do que a Iteracao de Ponto-Fixo, mas mais lento que oMetodo de Newton.

    Esta e a situacao geral.

  • Metodo das Secantes

    Metodo das Secantes: f(x) = cosx x, p0 = 0.5, p1 = pi4

    Secant Derivation Secant Example Regula Falsi

    Comparing the Secant & Newtons Methods

    Secant Method for f (x) = cos(x) x , p0 = 0.5, p1 = 4n pn2 pn1 pn |pn pn1|2 0.500000000 0.785398163 0.736384139 0.04901402463 0.785398163 0.736384139 0.739058139 0.00267400044 0.736384139 0.739058139 0.739085149 0.00002701015 0.739058139 0.739085149 0.739085133 0.0000000161

    Comparing results, we see that the Secant Method approximationp5 is accurate to the tenth decimal place, whereas Newtonsmethod obtained this accuracy by p3.Here, the convergence of the Secant method is much faster thanfunctional iteration but slightly slower than Newtons method.This is generally the case. Order of Convergence

    Numerical Analysis (Chapter 2) Secant & Regula Falsi Methods R L Burden & J D Faires 12 / 25

    Comparando resultados, vemos que p5 no Metodo dasSecantes e preciso em 10 casas decimais, ao passo que noMetodo de Newton isto foi obtido com p3

    Aqui, a convergencia do Metodo das Secantes e muito maisrapido do que a Iteracao de Ponto-Fixo, mas mais lento que oMetodo de Newton.

    Esta e a situacao geral.

  • Metodo das Secantes

    Metodo das Secantes: f(x) = cosx x, p0 = 0.5, p1 = pi4

    Secant Derivation Secant Example Regula Falsi

    Comparing the Secant & Newtons Methods

    Secant Method for f (x) = cos(x) x , p0 = 0.5, p1 = 4n pn2 pn1 pn |pn pn1|2 0.500000000 0.785398163 0.736384139 0.04901402463 0.785398163 0.736384139 0.739058139 0.00267400044 0.736384139 0.739058139 0.739085149 0.00002701015 0.739058139 0.739085149 0.739085133 0.0000000161

    Comparing results, we see that the Secant Method approximationp5 is accurate to the tenth decimal place, whereas Newtonsmethod obtained this accuracy by p3.Here, the convergence of the Secant method is much faster thanfunctional iteration but slightly slower than Newtons method.This is generally the case. Order of Convergence

    Numerical Analysis (Chapter 2) Secant & Regula Falsi Methods R L Burden & J D Faires 12 / 25

    Comparando resultados, vemos que p5 no Metodo dasSecantes e preciso em 10 casas decimais, ao passo que noMetodo de Newton isto foi obtido com p3

    Aqui, a convergencia do Metodo das Secantes e muito maisrapido do que a Iteracao de Ponto-Fixo, mas mais lento que oMetodo de Newton.

    Esta e a situacao geral.

  • Metodo das Secantes

    Metodo das Secantes: f(x) = cosx x, p0 = 0.5, p1 = pi4

    Secant Derivation Secant Example Regula Falsi

    Comparing the Secant & Newtons Methods

    Secant Method for f (x) = cos(x) x , p0 = 0.5, p1 = 4n pn2 pn1 pn |pn pn1|2 0.500000000 0.785398163 0.736384139 0.04901402463 0.785398163 0.736384139 0.739058139 0.00267400044 0.736384139 0.739058139 0.739085149 0.00002701015 0.739058139 0.739085149 0.739085133 0.0000000161

    Comparing results, we see that the Secant Method approximationp5 is accurate to the tenth decimal place, whereas Newtonsmethod obtained this accuracy by p3.Here, the convergence of the Secant method is much faster thanfunctional iteration but slightly slower than Newtons method.This is generally the case. Order of Convergence

    Numerical Analysis (Chapter 2) Secant & Regula Falsi Methods R L Burden & J D Faires 12 / 25

    Comparando resultados, vemos que p5 no Metodo dasSecantes e preciso em 10 casas decimais, ao passo que noMetodo de Newton isto foi obtido com p3

    Aqui, a convergencia do Metodo das Secantes e muito maisrapido do que a Iteracao de Ponto-Fixo, mas mais lento que oMetodo de Newton.

    Esta e a situacao geral.

  • O Metodo das Secantes

    Consideracoes Finais

    O Metodo das Secantes e o Metodo de Newton saofrequentemente usados para refinar uma resposta obtidaanteriormente (tal como pelo Metodo da Bissecao)

    Ambos os metodos necessitam de bons chutes iniciais, masgeralmente convergem rapido.

  • O Metodo das Secantes

    Consideracoes Finais

    O Metodo das Secantes e o Metodo de Newton saofrequentemente usados para refinar uma resposta obtidaanteriormente (tal como pelo Metodo da Bissecao)

    Ambos os metodos necessitam de bons chutes iniciais, masgeralmente convergem rapido.

  • O Metodo das Secantes

    Consideracoes Finais

    O Metodo das Secantes e o Metodo de Newton saofrequentemente usados para refinar uma resposta obtidaanteriormente (tal como pelo Metodo da Bissecao)

    Ambos os metodos necessitam de bons chutes iniciais, masgeralmente convergem rapido.

  • O Metodo da Regula Falsi (Posicao Falsa)

    Cercando a Raiz

    Diferente do Metodo da Bissecao, cercar a raiz nao egarantido nem para o Metodo de Newton, nem para o Metododas Secantes

    O Metodo da Posicao Falsa gera aproximacoes da mesmaforma que o metodo das Secantes, mas inclui o teste paraassegurar que a raiz sempre esta entre duas iteracoesconsecutivas

  • O Metodo da Regula Falsi (Posicao Falsa)

    Cercando a Raiz

    Diferente do Metodo da Bissecao, cercar a raiz nao egarantido nem para o Metodo de Newton, nem para o Metododas Secantes

    O Metodo da Posicao Falsa gera aproximacoes da mesmaforma que o metodo das Secantes, mas inclui o teste paraassegurar que a raiz sempre esta entre duas iteracoesconsecutivas

  • O Metodo da Regula Falsi (Posicao Falsa)

    Cercando a Raiz

    Diferente do Metodo da Bissecao, cercar a raiz nao egarantido nem para o Metodo de Newton, nem para o Metododas Secantes

    O Metodo da Posicao Falsa gera aproximacoes da mesmaforma que o metodo das Secantes, mas inclui o teste paraassegurar que a raiz sempre esta entre duas iteracoesconsecutivas

  • Metodo da Posicao Falsa

    Primeiro escolha duas aproximacoes iniciais p0 e p1 de modoque f(p0)f(p1) < 0

    A aproximacao p2 e escolhida da mesma forma que o Metododa Secante, como o x-intercepto da reta ligando (p0, f(p0)) e(p1, f(p1))

    Para decidir que reta secante calcular para p3 consideramos:

    Se f(p2)f(p1) < 0 entao a raiz esta entre p1 e p2. Escolha p3como sendo o x-intercepto da reta (p1, f(p1)) e (p2, f(p2))Se nao, escolha p3 como o x-intercepto da reta (p0, f(p0)) e(p2, f(p2))

  • Metodo da Posicao Falsa

    Primeiro escolha duas aproximacoes iniciais p0 e p1 de modoque f(p0)f(p1) < 0

    A aproximacao p2 e escolhida da mesma forma que o Metododa Secante, como o x-intercepto da reta ligando (p0, f(p0)) e(p1, f(p1))

    Para decidir que reta secante calcular para p3 consideramos:

    Se f(p2)f(p1) < 0 entao a raiz esta entre p1 e p2. Escolha p3como sendo o x-intercepto da reta (p1, f(p1)) e (p2, f(p2))Se nao, escolha p3 como o x-intercepto da reta (p0, f(p0)) e(p2, f(p2))

  • Metodo da Posicao Falsa

    Primeiro escolha duas aproximacoes iniciais p0 e p1 de modoque f(p0)f(p1) < 0

    A aproximacao p2 e escolhida da mesma forma que o Metododa Secante, como o x-intercepto da reta ligando (p0, f(p0)) e(p1, f(p1))

    Para decidir que reta secante calcular para p3 consideramos:

    Se f(p2)f(p1) < 0 entao a raiz esta entre p1 e p2. Escolha p3como sendo o x-intercepto da reta (p1, f(p1)) e (p2, f(p2))Se nao, escolha p3 como o x-intercepto da reta (p0, f(p0)) e(p2, f(p2))

  • Metodo da Posicao Falsa

    Primeiro escolha duas aproximacoes iniciais p0 e p1 de modoque f(p0)f(p1) < 0

    A aproximacao p2 e escolhida da mesma forma que o Metododa Secante, como o x-intercepto da reta ligando (p0, f(p0)) e(p1, f(p1))

    Para decidir que reta secante calcular para p3 consideramos:

    Se f(p2)f(p1) < 0 entao a raiz esta entre p1 e p2. Escolha p3como sendo o x-intercepto da reta (p1, f(p1)) e (p2, f(p2))Se nao, escolha p3 como o x-intercepto da reta (p0, f(p0)) e(p2, f(p2))

  • Metodo da Posicao Falsa

    Primeiro escolha duas aproximacoes iniciais p0 e p1 de modoque f(p0)f(p1) < 0

    A aproximacao p2 e escolhida da mesma forma que o Metododa Secante, como o x-intercepto da reta ligando (p0, f(p0)) e(p1, f(p1))

    Para decidir que reta secante calcular para p3 consideramos:

    Se f(p2)f(p1) < 0 entao a raiz esta entre p1 e p2. Escolha p3como sendo o x-intercepto da reta (p1, f(p1)) e (p2, f(p2))

    Se nao, escolha p3 como o x-intercepto da reta (p0, f(p0)) e(p2, f(p2))

  • Metodo da Posicao Falsa

    Primeiro escolha duas aproximacoes iniciais p0 e p1 de modoque f(p0)f(p1) < 0

    A aproximacao p2 e escolhida da mesma forma que o Metododa Secante, como o x-intercepto da reta ligando (p0, f(p0)) e(p1, f(p1))

    Para decidir que reta secante calcular para p3 consideramos:

    Se f(p2)f(p1) < 0 entao a raiz esta entre p1 e p2. Escolha p3como sendo o x-intercepto da reta (p1, f(p1)) e (p2, f(p2))Se nao, escolha p3 como o x-intercepto da reta (p0, f(p0)) e(p2, f(p2))

  • Comparacao entre o Metodo das Secantes e da RegulaFalsi

    2.3 Newtons Method and Its Extensions 73

    The Method of False Position

    Each successive pair of approximations in the Bisection method brackets a root p of theequation; that is, for each positive integer n, a root lies between an and bn. This implies that,for each n, the Bisection method iterations satisfy

    | pn p| < 12 |an bn|,which provides an easily calculated error bound for the approximations.

    Root bracketing is not guaranteed for either Newtons method or the Secant method.In Example 1, Newtons method was applied to f (x) = cos x x, and an approximate rootwas found to be 0.7390851332. Table 2.5 shows that this root is not bracketed by either p0and p1 or p1 and p2. The Secant method approximations for this problem are also given inTable 2.5. In this case the initial approximations p0 and p1 bracket the root, but the pair ofapproximations p3 and p4 fail to do so.

    The term Regula Falsi, literally afalse rule or false position, refersto a technique that uses resultsthat are known to be false, but insome specific manner, to obtainconvergence to a true result. Falseposition problems can be foundon the Rhind papyrus, whichdates from about 1650 b.c.e.

    The method of False Position (also called Regula Falsi) generates approximationsin the same manner as the Secant method, but it includes a test to ensure that the root isalways bracketed between successive iterations. Although it is not a method we generallyrecommend, it illustrates how bracketing can be incorporated.

    First choose initial approximations p0 and p1 with f ( p0) f ( p1) < 0. The approxi-mation p2 is chosen in the same manner as in the Secant method, as the x-intercept of theline joining ( p0, f ( p0)) and ( p1, f ( p1)). To decide which secant line to use to compute p3,consider f ( p2) f ( p1), or more correctly sgn f ( p2) sgn f ( p1). If sgn f ( p2) sgn f ( p1) < 0, then p1 and p2 bracket a root. Choose p3 as the x-intercept

    of the line joining ( p1, f ( p1)) and ( p2, f ( p2)). If not, choose p3 as the x-intercept of the line joining ( p0, f ( p0)) and ( p2, f ( p2)), and

    then interchange the indices on p0 and p1.

    In a similar manner, once p3 is found, the sign of f ( p3) f ( p2) determines whether weuse p2 and p3 or p3 and p1 to compute p4. In the latter case a relabeling of p2 and p1 isperformed. The relabeling ensures that the root is bracketed between successive iterations.The process is described in Algorithm 2.5, and Figure 2.11 shows how the iterations candiffer from those of the Secant method. In this illustration, the first three approximationsare the same, but the fourth approximations differ.

    Figure 2.11

    y yy ! f (x) y ! f (x)

    p0 p1

    p2 p3

    p4p0 p1

    p2 p3

    p4

    Secant Method Method of False Position

    xx

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    Nesta ilustracao, as tres primeiras aproximacoes sao as mesmas paraambos os metodos, mas na quarta elas diferem.

  • O Metodo da Posicao Falsa: Algoritmo

    1 Faca i = 2; q0 = f(p0); q1 = f(p1)2 Enquanto i N0 faca:

    1 Faca p = p1 q1(p1 p0)/(q1 q0)2 Se |p p1| < entao imprima p e termine a execucao3 Faca i = i+ 1; q = f(p)4 Se qq1 < 0 entao faca p0 = p1; q0 = q15 Faca p1 = p; q1 = q

    3 Imprima: Metodo atingiu o numero maximo de iteracoes enao convergiu para uma raiz

  • O Metodo da Posicao Falsa: Algoritmo

    1 Faca i = 2; q0 = f(p0); q1 = f(p1)

    2 Enquanto i N0 faca:1 Faca p = p1 q1(p1 p0)/(q1 q0)2 Se |p p1| < entao imprima p e termine a execucao3 Faca i = i+ 1; q = f(p)4 Se qq1 < 0 entao faca p0 = p1; q0 = q15 Faca p1 = p; q1 = q

    3 Imprima: Metodo atingiu o numero maximo de iteracoes enao convergiu para uma raiz

  • O Metodo da Posicao Falsa: Algoritmo

    1 Faca i = 2; q0 = f(p0); q1 = f(p1)2 Enquanto i N0 faca:

    1 Faca p = p1 q1(p1 p0)/(q1 q0)2 Se |p p1| < entao imprima p e termine a execucao3 Faca i = i+ 1; q = f(p)4 Se qq1 < 0 entao faca p0 = p1; q0 = q15 Faca p1 = p; q1 = q

    3 Imprima: Metodo atingiu o numero maximo de iteracoes enao convergiu para uma raiz

  • O Metodo da Posicao Falsa: Algoritmo

    1 Faca i = 2; q0 = f(p0); q1 = f(p1)2 Enquanto i N0 faca:

    1 Faca p = p1 q1(p1 p0)/(q1 q0)

    2 Se |p p1| < entao imprima p e termine a execucao3 Faca i = i+ 1; q = f(p)4 Se qq1 < 0 entao faca p0 = p1; q0 = q15 Faca p1 = p; q1 = q

    3 Imprima: Metodo atingiu o numero maximo de iteracoes enao convergiu para uma raiz

  • O Metodo da Posicao Falsa: Algoritmo

    1 Faca i = 2; q0 = f(p0); q1 = f(p1)2 Enquanto i N0 faca:

    1 Faca p = p1 q1(p1 p0)/(q1 q0)2 Se |p p1| < entao imprima p e termine a execucao

    3 Faca i = i+ 1; q = f(p)4 Se qq1 < 0 entao faca p0 = p1; q0 = q15 Faca p1 = p; q1 = q

    3 Imprima: Metodo atingiu o numero maximo de iteracoes enao convergiu para uma raiz

  • O Metodo da Posicao Falsa: Algoritmo

    1 Faca i = 2; q0 = f(p0); q1 = f(p1)2 Enquanto i N0 faca:

    1 Faca p = p1 q1(p1 p0)/(q1 q0)2 Se |p p1| < entao imprima p e termine a execucao3 Faca i = i+ 1; q = f(p)

    4 Se qq1 < 0 entao faca p0 = p1; q0 = q15 Faca p1 = p; q1 = q

    3 Imprima: Metodo atingiu o numero maximo de iteracoes enao convergiu para uma raiz

  • O Metodo da Posicao Falsa: Algoritmo

    1 Faca i = 2; q0 = f(p0); q1 = f(p1)2 Enquanto i N0 faca:

    1 Faca p = p1 q1(p1 p0)/(q1 q0)2 Se |p p1| < entao imprima p e termine a execucao3 Faca i = i+ 1; q = f(p)4 Se qq1 < 0 entao faca p0 = p1; q0 = q1

    5 Faca p1 = p; q1 = q

    3 Imprima: Metodo atingiu o numero maximo de iteracoes enao convergiu para uma raiz

  • O Metodo da Posicao Falsa: Algoritmo

    1 Faca i = 2; q0 = f(p0); q1 = f(p1)2 Enquanto i N0 faca:

    1 Faca p = p1 q1(p1 p0)/(q1 q0)2 Se |p p1| < entao imprima p e termine a execucao3 Faca i = i+ 1; q = f(p)4 Se qq1 < 0 entao faca p0 = p1; q0 = q15 Faca p1 = p; q1 = q

    3 Imprima: Metodo atingiu o numero maximo de iteracoes enao convergiu para uma raiz

  • O Metodo da Posicao Falsa: Algoritmo

    1 Faca i = 2; q0 = f(p0); q1 = f(p1)2 Enquanto i N0 faca:

    1 Faca p = p1 q1(p1 p0)/(q1 q0)2 Se |p p1| < entao imprima p e termine a execucao3 Faca i = i+ 1; q = f(p)4 Se qq1 < 0 entao faca p0 = p1; q0 = q15 Faca p1 = p; q1 = q

    3 Imprima: Metodo atingiu o numero maximo de iteracoes enao convergiu para uma raiz

  • Metodo da Posicao Falsa: Exemplo Numerico

    Comparacao com o Metodo de Newton e das Secantes

    Usamos o Metodo da Posicao Falsa para encontrar uma solucao paracosxx = 0 e compara-la com as aproximacoes dadas pelo Metodode Newton e pelo Metodo das Secantes.

    Para fazer uma comparacao razoavel, usamos as mesmas apro-ximacoes iniciais como no Metodo das Secantes, isto e, p0 = 0.5 ep1 = pi/4

  • Metodo da Posicao Falsa: Calculos Numericos

    Comparacao com o Metodo de Newton e das Secantes

    Secant Derivation Secant Example Regula Falsi

    The Method of False Position: Numerical Calculations

    Comparison with Newtons Method & Secant Method

    False Position Secant Newtonn pn pn pn0 0.5 0.5 0.78539816351 0.7853981635 0.7853981635 0.73953613372 0.7363841388 0.7363841388 0.73908517813 0.7390581392 0.7390581392 0.73908513324 0.7390848638 0.7390851493 0.73908513325 0.7390851305 0.73908513326 0.7390851332

    Note that the False Position and Secant approximations agree throughp3 and that the method of False Position requires an additionaliteration to obtain the same accuracy as the Secant method.

    Numerical Analysis (Chapter 2) Secant & Regula Falsi Methods R L Burden & J D Faires 21 / 25

    Note que as aproximacoes pela Posicao Falsa e pelas Secantes con-cordam ate p3 e que o metodo da Posicao Falsa (neste caso) pre-cisa de uma iteracao a mais para obter a mesma precisao que a doMetodo das Secantes.

  • O Metodo da Posicao Falsa

    Consideracoes Finais

    Ambos os Metodos das Secantes e da Regula Falsi possuem amesma ordem de convergencia = (1 +

    5)/2 1.62

  • O Metodo da Posicao Falsa

    Consideracoes Finais

    Ambos os Metodos das Secantes e da Regula Falsi possuem amesma ordem de convergencia = (1 +

    5)/2 1.62