Cálculo RelacionalDatalog não-recursivo

AULAS 3 e 4PGC 107 - Sistemas de Banco de Dados

Profa. Sandra de Amo

Pós-graduação em Ciência da Computação – UFU

2012-2

Cálculo Relacional de Domínio Expressão do tipo

{(x1,...,xn) | F(x1,…,xn)}

onde F é fórmula da Lógica de 1a ordem x1,...,xn são variáveis livres de F

Observação:

R(x1,...,xn) é o mesmo que a expressão “ (x1,...,xn) ɛ R ”

Exemplo Seja R = { R(A,B), S(A,C)}

F(x,y) = R(a,x) ˄ S(a,y)

q= { (x) | R(a,x) ˄ S(a,x) }

Resposta de q = ΠBσA=a ( R S)

Algebra Cálculo Para toda consulta E da Algebra Relacional

existe uma consulta E’do Cálculo Relacional equivalente.

ProvaPor indução na construção da expressão algébrica

Base da indução: E = R onde R(A1,...An) ɛ R

E’ = R(x1,...,xn)

Hipótese de Indução: suponha que para as expressões F e G da AR existem fórmulas do CR correspondentes.

1) E = F x G

E’ = F ˄ G

2) E = F U G

E’ = F ˅ G

3) E = F – G

E’ = F ˄ ¬ G

Prova (continuação)4) E = ΠX F onde X = {A1,...,An} atributos aparecendo em F

E’ = x1... xn F’(y1,...,yk) onde

x1,...,xn correspondem aos atributos de X

y1,....,yk correspondem aos atributos de F que não estão

em X

5) E = σA=a F

E’ = F(x1,...,xn) ˄ xi = a

onde x1,...,xn correspondem aos atributos de F e xi corresponde ao atributo A

Repare que não aparecem quantificadores universais, nem negação fora de uma conjunção – Fórmulas correspondentes à AR são “especiais” quanto ao V e ¬

ExemploE = R(A,B) S(A,B)

E’(y,z) = x (R(x,y) ˄ S(x,z))

Consulta do Cálculo relacional

{ (y,z) | E’(y,z) }

Expressões do C.R. independentes do domínioResposta de uma consulta deve ser uma relação finita.Todos os cálculos intermediários devem envolver conjuntos

finitosProblemas com as consultas: { (x) | ¬ R(x)} { (x,y) | R(x) ˅ S(y) } { (x) | y R(x,y) } Todas estas consultas são dependentes do domínio dos atributos,

isto é, a resposta depende do domínio considerado.

Independência do Domínio Uma consulta é independente do domínio se e

somente se sua resposta só depende do conteúdo do banco de dados, e não do domínio dos atributos.

Independência do Domínio = noção semântica

Problema Indecidível = dada uma consulta q, q é independente do domínio ?

Fórmulas SegurasO que se deseja:

Expressões seguras devem ser Ind.Dom. É possível decidir, só analisando a forma

sintática da expressão, se ela é ou não segura. Todas as fórmulas correspondentes a

expressões da A.R. são seguras.

Fórmulas Seguras (noção sintática) Não possuem o quantificador universal – não há perda de

expressividade, pois F = ¬ ¬ F F(x1... xn ) ˅ G(x1... xn) variáveis livres de F = variáveis livres de G F = G1 ˄ G2 ˄ .... ˄ Gn conjunção maximal (não há mais ˄ “acima”) Então todas as variáveis livres de F devem ser limitadas

x é limitada se aparece em algum Gi onde Gi não é uma expressão aritmética nem é precedida por uma negação.

x é limitada se aparece numa fórmula do tipo x = a ou a = x, onde a é constante.

x é limitada se aparece numa fórmula x = y ou y = x, onde y é limitada. Uma negação só pode aparecer numa conjunção F = G1 ˄ G2 ˄ .... ˄ ¬ H ˄ ... ˄ Gn, onde um dos Gi são

positivos (não negados)

Árvore de F

Conectivos lógicos distintos de ˄, ¬

Conectivo ˄*

Árvore de uma fórmula segura FConectivo ˄*(G1,...,Gk) = G1 ˄ G2 ˄ ... ˄ Gk (k ≥ 1)

¬

Exemplo R(x,y,z) ˄ ¬ ( P(x,y) ˅ Q(y,z) ) não é segura.

Porém é independente do domínio

R(x,y,z) ˄ ¬ ( P(x,y) ˅ Q(y,z) ) é equivalente a uma fórmula segura

R(x,y,z) ˄ ¬ P(x,y) ˄ ¬ Q(y,z)

Discussão Toda variável livre de uma fórmula segura é

limitada Segura implica Independente do dominio Independente do domínio não implica segura Uma fórmula pode ser independente do

domínio e não ser segura.

Exercícios1) Mostrar que as fórmulas do Cálculo Relacional

correspondentes a expressões da Algebra Relacional são fórmulas seguras.

Logo : Algebra Cálculo Seguro

2) Mostrar que toda fórmula do cálculo relacional seguro é independente do dominio.

3) Mostrar que toda variável livre aparecendo em uma fórmula segura é limitada.

DatalogConsulta Datalog = Programa Prolog especialConjunto finito de regras do tipo:

p(x) :- L1(x1), ...,Ln(xn)

Li são literais do tipo q(x) ou ¬ q(x) não aparecem símbolos funcionais nas regras

Prolog = linguagem de programação - executa cálculos com os dados.

Datalog = linguagem de consulta – manipula dados

Predicados extensionais, intensionais e built-in

Predicados extensionais aparecem no esquema do banco de dados. São os dados (fatos) disponíveis no banco de

dados. Só aparecem no corpo das regras

Predicados intensionais aparecem no corpo e cabeça das regras

Built-in : >, <, =, ≠≤ , ≥, etc

Exemplo(1) irmao(x,y) :- pais(x,z), pais(y,z), x ≠ y

(2) primo(x,y) :- pais(x,x’), pais(y,y’), irmao(x’,y’)

(3) primo(x,y) :- pais(x,x’), paix(y,y’),primo(x’,y’)

(4) parente(x,y) :- irmao(x,y)

(5) parente(x,y) :- primo(x,y)

(6) parente(x,y) :- parente(x,z), pais(y,z)

(7) parente(x,y) :- parente(z,y), pais(x,z)

Extensionais: pais

Intensionais: irmao, primo, parente

Grafo de Dependência e RecursãoGrafo de Dependência associado a uma consulta Datalog =

G(V,E) V=predicados extensionais e intencionais E =(p,q) se p aparece no corpo de uma regra e q aparece

na cabeça desta regra.

q(x):- ...., p(y), ....

Predicados recursivos: que aparecem em algum ciclo

Programa recursivo: grafo de dependência contém ao menos um predicado recursivo

pq

Exemplo

parente primo

irmão

pais

Predicados recursivos: primo, parente

Predicados não-recursivos: pais, irmão

Predicados extensionais são sempre não- recursivos

Regras Seguras maior-que(x,y) :- x > y

define uma relação infinita maior-que ama(x,y) :- ator-de-novela(y)

define uma relação infinita ama (todo mundo ama algum ator-de-novela)

Impor que as regras sejam seguras vai impedir a geração de respostas infinitas

Regras Seguras Variáveis limitadas

aparecem no corpo das regras em predicados intensionais ou extensionais

aparecem em predicados built-in x=a, a=x, onde a é constante.

se X = Y ou Y = X aparece no corpo de uma regra e Y é limitada então X também é limitada.

Definição : Uma regra é segura se todas as suas variáveis são limitadas

Exemplo Maior-que(x,y) :- x > y

não é segura p(x,y) :- q(x,z), w = a, y = w

w, y são limitadas, x, z são limitadas

Logo a regra é segura

Esta consulta corresponde à expressão da AR

Π1q X {a}

Consulta Datalog sobre um banco de dados R = {p1,...,pn} esquema de BD

Uma consulta Datalog sobre R é um par (P, q) onde P é programa Datalog seguro, Todos os predicados extensionais estão em

{p1,...,pn} q é um predicado intensional que aparece em P (é o

predicado correspondente à resposta da consulta)

Como é calculada a resposta a uma consulta Datalog R = {p1,...,pn} esquema de BD I = instância de banco de dados sobre R P uma consulta Datalog sobre R Construimos o programa P’

P’ = P unido com as regras básicas (fatos):

p1(a1,...,ak).

p1(a1,...,ak).

...

p2(b1,...,bm)

... Calcula-se a resposta de P’

ExemploR = {pais(Nome1,Nome2)} I(pais) = {(a,b), (a,c), (b,d), (b,k), (c,f)}

irmao(x,y) :- pais(x,z), pais(y,z), x ≠ y(1) primo(x,y) :- pais(x,x’), pais(y,y’), irmao(x’,y’)(2) primo(x,y) :- pais(x,x’), paix(y,y’),primo(x’,y’)(3) parente(x,y) :- irmao(x,y)(4) parente(x,y) :- primo(x,y)(5) parente(x,y) :- parente(x,z), pais(y,z)(6) parente(x,y) :- parente(z,y), pais(x,z)(7) pais(a,b).(8) pais(a,c).(9) pais(b,d).(10) pais(b,k).(11) pais(c,f).

Método 1 – Modelo MinimalR = {r(A)} Instância = {r(1)}

p(x) :- q(x)q(x) :- r(x)

r(1). p : predicado resposta Modelo do programa : conjunto de fatos que tornam as regras

verdadeiras. Ex: {r(1), q(1), p(1), q(2), p(2)} é um modelo Modelo minimal = intersecção de todos os modelos Ex: {r(1), q(1), p(1)} Resposta à consulta = Modelo minimal do programa p(1) Só funciona se o programa não contém negações.

Como calcular o Modelo MinimalT0 = fatos do BD

T1 = T0 U {A | A :- p1, …, pn e p1, …, pn ɛ T0}

T2 = T1 U {A | A :- p1, …, pn e p1, …, pn ɛ T1}

….

Até atingir um Tn tal que Tn = Tn-1 (não há mais mudanças)p(x) :- q(x)

q(x) :- r(x)

r(1).

T0 = {r(1)}

T1 = {r(1),q(1)}

T2 = {r(1),q(1),p(1)}

T3 = T2

Método 2: Resolução:- p(x) p(x) :- q(x)

q(x) :- r(x) r(1).

:- q(x)

:- r(x)

x = 1

□

Resposta = p(1)