Calculo - Séries, Limites, Sucessões, Derivadas

CALCULO

Rui Ralha

Fevereiro de 2008

Universidade do MinhoDepartamento de Matematica

Conteudo

1 Sucessoes e series numericas 11.1 Sucessoes de numeros reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Series numericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3 Criterios de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4 Series alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.5 O resto de ordem n de uma serie . . . . . . . . . . . . . . . . 231.6 Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2 Funcoes reais de uma variavel real 292.1 Nocoes topologicas elementares em R . . . . . . . . . . . . . . 292.2 Limite de uma funcao num ponto . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3 Continuidade de uma funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3 Derivacao em R 413.1 Conceitos e definicoes basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2 Regras de derivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2.1 Derivadas de funcoes trigonometricas . . . . . . . . . . 473.2.2 Derivada da funcao composta . . . . . . . . . . . . . . 483.2.3 Derivada da funcao inversa . . . . . . . . . . . . . . . . 503.2.4 Derivada das funcoes exponenciais e logarıtmicas . . . 513.2.5 Derivadas das funcoes trigonometricas inversas . . . . . 543.2.6 Funcoes hiperbolicas (directas e inversas) . . . . . . . . 56

3.3 Resultados sobre funcoes diferenciaveis . . . . . . . . . . . . . 57

4 Serie de Taylor 634.1 Polinomio de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.2 Series de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.3 A formula de Taylor com resto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3

4 CONTEUDO

5 Primitivas 755.1 Primitivas de uma funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.2 Primitivacao por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.3 Primitivacao por substituicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.4 Primitivacao de fraccoes racionais . . . . . . . . . . . . . . . . 825.5 Consideracoes finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6 Integral de Riemann 896.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896.2 Propriedades do integral definido . . . . . . . . . . . . . . . . 926.3 Teorema fundamental do calculo integral . . . . . . . . . . . . 956.4 Mudanca de variavel no integral definido . . . . . . . . . . . . 976.5 Integracao de funcoes descontınuas . . . . . . . . . . . . . . . 1006.6 Integrais improprios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.7 Calculo de areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Prefacio

Estas notas foram preparadas para apoio a disciplina de Calculo que e parteintegrante do plano de estudos (no segundo semestre do primeiro ano cur-ricular) da Licenciatura em Ciencias da Computacao. Este texto pretendeconstituir um elemento de estudo para os estudantes mas na bibliografiaindica-se um conjunto de textos, todos eles existentes na biblioteca da Uni-versidade do Minho, que os alunos podem e devem usar como elementos deconsulta, complementando desta maneira a informacao contida nestas notas.

Em minha opiniao, e util que os alunos, no seu trabalho individual, recor-ram a um sistema computacional de calculo algebrico para apoio ao estudodos conteudos da disciplina e a resolucao dos exercıcios propostos nas aulasteorico-praticas. Sem substituir de forma alguma o indispensavel trabalhode analise, estes sistemas sao uma valiosa ajuda em problemas que envolvamlongos calculos e na visualizacao de graficos a duas e tres dimensoes.

No 1 o semestre, no ambito da unidade curricular de Matematica Com-putacional, os estudantes ja adquiriram experiencia na utilizacao do sistemaMathematica e poderao continuar a fazer uso deste sistema, que esta ins-talado nos laboratorios de computacao do Departamento de Matematica daUniversidade do Minho, um dos quais de acesso livre para os alunos. Outrossistemas de calculo simbolico sao o Maple, o Derive e o MuPAD, sendoeste ultimo de distribuicao gratuita para professores e alunos. Os alunosinteressados encontrarao rapidamente motivos de interesse na utilizacao, noambito da presente unidade curricular, de algum destes sistemas que os po-dera ajudar a atingir os resultados de aprendizagem esperados.

5

6 CONTEUDO

Capıtulo 1

Sucessoes e series numericas

O objectivo deste primeiro capıtulo e o de estudar as series numericas. Assume-se que os alunos estao familiarizados com os conceitos ja introduzidos aonıvel dos programas do Ensino Secundario no ambito do capıtulo das su-cessoes numericas (que sao tratadas no 11o ano de escolaridade). Apesardisso, comecaremos por recordar alguns desses conceitos, aproveitando paraintroduzir a notacao que sera usada.

1.1 Sucessoes de numeros reais

Definicao 1 Chama-se sucessao de numeros reais a uma aplicacao u de Nem R que a cada n ∈ N associa un ∈ R.

A sucessao u e usualmente representada por (un)n∈N e fala-se da sucessaou, da sucessao (un) ou da sucessao de termo geral un.

Pode suceder que a aplicacao u seja definida apenas a partir de uma certaordem n0. Neste caso, o domınio da aplicacao e

A = {n ∈ N : n ≥ n0} ⊂ N.

Exemplo 1 A sucessao de termo geral un =√

n− 2 e definida sobre N −{0, 1}.

1

2 CAPITULO 1. SUCESSOES E SERIES NUMERICAS

Outros exemplos de sucessoes:

a) u : n → a (sucessao constante);

b) u : n → n (identidade);

c) u : n → a + n · r (progressao aritmetica de razao r e primeiro termo a);

d) u : n → a · rn, com a, r ∈ R − {0} (progressao geometrica de razao r eprimeiro termo a);

e) S : n → Sn =∑n

k=0 a ·rk (o termo geral desta sucessao e a soma dos n+1primeiros termos da sucessao geometrica k → a · rk)

Exercıcio 1 Mostre que o termo geral da sucessao definida em e) verifica,com r 6= 1, Sn = a · 1−rn+1

1−r.

Definicao 2 Dada uma sucessao u, chama-se subsucessao de u a uma su-cessao v = u o ϕ (ler: u apos ϕ) onde ϕ e uma aplicacao injectiva crescentede N em N.

Exercıcio 2 Dada uma sucessao u, a sucessao n → u2n e uma subsucessaode u formada pelos termos de ordem par de u e n → u2n+1 e outra subsucessaode u formada pelos termos de ordem ımpar de u. Determine ϕ em cada caso.

Exercıcio 3 A sucessao de termo geral vn = 110n e subsucessao da sucessao

de termo geral un = 1n, n ≥ 1. Determine ϕ.

Definicao 3 (un)n∈N e limitada se o conjunto {un : n ∈ N} e limitado, istoe, se existir uma constante positiva M tal que |un| ≤ M, para todo n ∈ N.

Definicao 4 (un)n∈N e majorada (minorada) se o conjunto {un : n ∈ N} emajorado (minorado).

Exemplo 2

a) u : n → (−1)n e limitada;

b) u : n → a + n · r nao e limitada se r 6= 0;

c) u : n → a · rn, com a 6= 0 e |r| > 1 nao e limitada.

1.1. SUCESSOES DE NUMEROS REAIS 3

Definicao 5 u = (un)n∈N e convergente para l ∈ R se e se se para toda avizinhanca V (l) de l , existir uma ordem n0 ∈ N tal que para todo n ≥ n0

tem-se un ∈ V . Por outras palavras, qualquer que seja ε > 0, arbitrariamentepequeno, existe uma ordem n0 ∈ N tal que

n ≥ n0 ⇒ |un − l| ≤ ε.

Ao numero real l ∈ R chama-se limite da sucessao (un)n∈N e escreve-se

limn→+∞

un = l

ou, simplesmente,lim

nun = l.

Uma sucessao que nao e convergente diz-se divergente. A partir da definicaodada, e facil concluir que

limn

un = l ⇐⇒ limn

(un − l) = 0. (1.1)

Exemplo 3

a) limn

3/n = 0;

b) limn

k = k;

c) limn

n2 nao existe (a sucessao e divergente);

d) limn

(−1)n nao existe (a sucessao e divergente);

Exercıcio 4 Mostre que o limite l da definicao anterior, se existir, e unico(sugestao: admita que lim

nun = l1 e lim

nun = l2 e mostre que l1 6= l2 conduz

a uma contradicao).

Teorema 1 Toda a sucessao convergente e limitada.

Demonstracao. Seja limn

un = l e ]l − 1, l + 1[ uma vizinhanca do limite l.

De acordo com a definicao anterior, existe uma ordem n0 ∈ N tal que un ∈]l − 1, l + 1[ para todo n ≥ n0. Definindo

M = sup {|l − 1| , |l + 1| , |u0| , |u1| , · · · , |un0−1|} ,

resulta |un| ≤ M , para todo n ∈ N.


Teorema 2 Se limn

un = 0 e (vn)n∈N e limitada, entao limn

(unvn) = 0.

Demonstracao. Uma vez que limn

un = 0, qualquer que seja ε1, arbitrari-

amente pequeno, existe n1 ∈ IN, tal que |un| ≤ ε1 para todo n ≥ n1. Sendo(vn)n∈N limitada, existe M > 0 tal que |vn| ≤ M , para todo n ∈ N. Fazendoε1 = ε/M, resulta que para todo o ε, tem-se |unvn| ≤ ε.

Exercıcio 5 Mostre que dadas (un)n∈N e (vn)n∈N tais que |un| ≤ |vn| paran ≥ p (uma certa ordem fixa p), entao lim

nvn = 0 ⇒ lim

nun = 0.

Teorema 3 Sejam (un)n∈N e (vn)n∈N duas sucessoes tais que limn

un = l1 e

limn

un = l2 e seja k ∈ R. Tem-se:

a) limn

(un + vn) = l1 + l2

b) limn

(un · vn) = l1 · l2

c) limn

(k · un) = k · l1

d) limn|un| = |l1|

Demonstracao. b) Tem-se

|unvn − l1l2| = |unvn − l1vn + l1vn − l1l2|= |vn (un − l1) + l1 (vn − l2)|≤ |vn| · |un − l1|+ |l1| · |vn − l2|

Como (vn)n∈N e limitada (por ser convergente), a ultima expressao e somados termos gerais de duas sucessoes que tendem para zero.

d) Comecaremos por provar que para todo x, y ∈ R, tem-se

||x| − |y|| ≤ |x− y| . (1.2)

Com efeito, substituindo em

|a + b| ≤ |a|+ |b|


a por (x− y) e b por y, resulta

|x| ≤ |x− y|+ |y|

ou seja|x− y| ≥ |x| − |y| (1.3)

Da mesma maneira se pode provar

|x− y| ≥ |y| − |x| (1.4)

e das duas desigualdades anteriores conclui-se a desigualdade (1.2) uma vezque ||x| − |y|| e |x| − |y| ou |y| − |x| . A partir de (1.2) podemos escrever||un| − |l1|| ≤ |un − l1| e a conclusao e imediata. As demonstracoes de a) ec) ficam ao cuidado dos alunos.

Observe-se que pode acontecer que (|un|)n∈N seja convergente com (un)n∈Ndivergente. E o caso da sucessao de termo geral un = (−1)n.

Exercıcio 6 Mostre que se limn|un| = 0 entao lim

nun = 0.

Teorema 4 Seja (un)n∈N uma sucessao tal que un 6= 0 para todo n ∈ N elim

nun = l 6= 0. Entao lim

n

1un

= 1l.

Demonstracao. A partir de

∣∣∣∣1

un

− 1

l

∣∣∣∣ =|un − l||un| · |l| =

1

|un| ·(

1

|l| |un − l|)

e tendo em conta os teoremas 2 e 3 e o exercıcio anterior, bastara demonstrar

que a sucessao(

1|un|

)n∈N

e limitada. De limn|un| = |l| podemos concluir que

para todo ε > 0 existe n0 ∈ N tal que ||un| − |l|| ≤ ε para todo n ≥ n0. Em

particular, para ε = |l|2, existe n0 ∈ N tal que

|l| − |l|2≤ |un| ≤ |l|+ |l|

2

ou seja|l|2≤ |un| ≤ 3 |l|

2


e portanto2

3 |l| ≤1

|un| ≤2

|l|o que mostra que a sucessao de termo geral 1

|un| e limitada.

Corolario 1 Sejam (un)n∈N e (vn)n∈N sucessoes tais que vn 6= 0 para todon ∈ N e lim

nun = l1 e lim

nvn = l2 6= 0. Entao

limn

un

vn

=l1l2

Teorema 5 Toda a subsucessao de uma sucessao convergente e convergentee tem o mesmo limite.

Demonstracao. Seja (un)n∈N tal que limn

un = l e v = uoϕ uma subsucessao

de u. Uma vez mais, afirmamos que para todo ε > 0 existe n0 ∈ N tal que|un − l| ≤ ε para todo n ≥ n0. De acordo com a definicao 2, ϕ e umaaplicacao injectiva e crescente de N em N, logo ϕ(n) ≥ n e para n ≥ n0

tem-se |vn − l| ≤ ε, o que conclui a demonstracao.

Definicao 6 (un)n∈N diz-se uma sucessao de Cauchy se para todo ε > 0existir n0 tal que |up − uq| ≤ ε para todo p, q ≥ n0.

Pode demonstrar-se que uma sucessao de numeros reais e de Cauchy se eso se e convergente.

Teorema 6 Seja (un)n∈N uma sucessao convergente. Se un ≥ 0 para todo on, entao lim

nun = l ≥ 0.

Demonstracao. Se fosse l < 0 entao o intervalo ]2l, 0[ centrado em l naocontem termo algum de (un)n∈N o que nao pode acontecer uma vez que lim

n

un = l. Portanto, nao pode ser l < 0.

Aplicando o resultado anterior a sucessao (vn − un)n∈N, cujo limite el2 − l1, tem-se:


Corolario 2 Sejam (un)n∈N e (vn)n∈N sucessoes convergentes e sejam limn

un = l1

e limn

vn = l2. Se un ≤ vn para todo o n ∈ N, entao l1 ≤ l2.

Observe-se que o resultado anterior continua valido mesmo que a desi-gualdade un ≤ vn nao se verifique para todos os termos mas apenas a partirde uma certa ordem p.

Desigualdades estritas entre os termos correspondentes das duas sucessoesnao implicam desigualdades estritas entre os seus limites, como se conclui doseguinte

Exemplo 4 Para as sucessoes de termos gerais un = 1n+2

e vn = 1n+1

,tem-se un < vn mas lim

nun = lim

nvn = 0.

Teorema 7 Sejam (un)n∈N, (vn)n∈N e (wn)n∈N sucessoes tais que un ≤ vn ≤wn para todo o n. Entao, se lim

nun = lim

nwn = l, tambem lim

nvn = l.

Demonstracao. Para todo ε > 0, as sucessoes u e w tem fora de [l − ε, l + ε]apenas um numero finito de termos, o mesmo acontecendo com a sucessao vem virtude de ser un ≤ vn ≤ wn para todo o n.

Definicao 7 Diz-se que a sucessao (un)n∈N e crescente (decrescente) se e sose un+1 ≥ un (un+1 ≤ un) para todo o n ∈ N; uma sucessao diz-se monotonase for crescente ou decrescente.

Teorema 8 Toda a sucessao (un)n∈N crescente e majorada e convergente.

Demonstracao. O conjunto A = {un : n ∈ N} ⊂ R e majorado e A 6= ∅,donde se conclui que A admite supremo; designe-mo-lo por l. Entao, tem-seun ≤ l para todo o n ∈ N e qualquer que seja ε > 0 existe n0 ∈ N tal quel − ε ≤ un0 . Como (un)n∈N e crescente, un ≥ un0 , para n ≥ n0. Assim, seconclui que l − un ≤ ε e portanto, de acordo com a definicao de limite deuma sucessao, lim

nun = l

Analogamente se prova que toda a sucessao decrescente e minorada econvergente.


Definicao 8 Diz-se que (un)n∈N tem por limite +∞ (e escreve-selim

nun = +∞) se para todo a ∈ R, existe n0 ∈ N tal que

n ≥ n0 =⇒ un ≥ a.

Analogamente, diz-se que (vn)n∈N tem por limite −∞ (e escreve-selim

nvn = −∞) se para todo b ∈ R, existe n0 ∈ N tal que

n ≥ n0 =⇒ vn ≤ b.

Observe-se que na definicao anterior nao ha perda de generalidade emconsiderar a > 0 e b < 0.

Teorema 9 Sejam (un)n∈N e (vn)n∈N sucessoes.

1. Se limn

un = +∞ e limn

vn = +∞ entao

a) limn

(un + vn) = +∞b) lim

n(un · vn) = +∞

2. Se limn

un = +∞ e λ ≤ vn, para todo o n (λ constante), entao

limn

(un + vn) = +∞

3. Se limn

un = +∞ e 0 < λ ≤ vn, para todo o n (λ constante), entao

limn

(un · vn) = +∞

4. Se un 6= 0 para todo n ∈ N e limn

un = 0 entao limn

1|un| = +∞ .

Demonstracao. 1.a) Para todo a ∈ R existem n1, n2 ∈ N tais que

n ≥ n1 =⇒ un ≥ a

2

n ≥ n2 =⇒ vn ≥ a

2

Tomando n0 = max {n1, n2} , resulta

n ≥ n0 =⇒ (un + vn) ≥ a


e portanto limn

(un + vn) = +∞.

1.b) Para todo a > 0 existem n1, n2 ∈ N tais que

n ≥ n1 =⇒ un ≥√

a

n ≥ n2 =⇒ vn ≥√

a

Tomando n0 = max {n1, n2} , resulta

n ≥ n0 =⇒ (un · vn) ≥ a

e portanto limn

(un · vn) = +∞.

2.) Para todo a ∈ R existe n0 ∈ N tal que

n ≥ n0 =⇒ un ≥ a− λ

Sendo vn ≥ λ resulta(un + vn) ≥ a

e portanto limn

(un + vn) = +∞.

3.) Para todo a ∈ R existe n0 ∈ N tal que

n ≥ n0 =⇒ un ≥ a

λ

Sendo vn ≥ λ > 0 resulta

(un.vn) ≥ a

e portanto limn

(unvn) = +∞.

4.) Uma vez que limn

un = 0 podemos afirmar que para todo a > 0, existe

n0 ∈ N tal que

n ≥ n0 =⇒ |un| ≤ 1

aou seja

n ≥ n0 =⇒ 1

|un| ≥ a

e portanto limn

1|un| = +∞ .

Exercıcio 7 Enuncie e demonstre os resultados analogos para o caso de serlim

nun = −∞ e lim

nvn = −∞.


No caso de ser limn

un = +∞ e limn

vn = −∞ nao podemos concluir

imediatamente quanto a limn

(un + vn) . Esta-se em presenca de uma forma

indeterminada do tipo ∞−∞; o mesmo acontece com un.vn quando limn

un

= +∞ e limn

vn = 0 (indeterminacao do tipo ∞× 0).

1.2 Series numericas

Sera possıvel adicional um numero infinito de parcelas? Que significadoatribuir a uma ”soma” como

1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + 1 + · · · (1.5)

Vejamos o que acontece quando associamos os termos dois a dois

(1− 1) + (1− 1) + (1− 1) + (1− 1) + (1− 1) + · · · (1.6)

Uma vez que dentro de cada parentesis a soma vale zero, parece evidente quea soma total tera de ser zero. Mas, se associarmos de novo os termos dois adois deixando o primeiro termo isolado, obtemos

1 + (1− 1) + (1− 1) + (1− 1) + (1− 1) + (1− 1) + · · · (1.7)

e agora a conclusao parece ser de que a soma total e igual a um. Paraaumentar a confusao, tentemos obter a mesma soma isolando o primeirotermo e pondo -1 em evidencia em todos os restantes termos. Resulta

1− (1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + 1 + · · · ) (1.8)

e designando por S a soma inicial obtem-se S = 1−S, ou seja, S = 12. Estamos

perante um problema que deixou confusos muitos matematicos, desde Zenaode Eleia (450 a.c.) ate ao grande matematico Euler (1707-1783) que proposque se tomasse como soma a media aritmetica dos valores acima obtidos, istoe, 1/2.

Consideremos as seguintes igualdades, que poderao ser verificadas multi-plicando a soma da direita pelo denominador da fraccao da esquerda

1

1 + x= 1− x + x2 − x3 + x4 − x5 + · · · (1.9)

1.2. SERIES NUMERICAS 11

1

1 + x + x2= 1− x + x3 − x4 + x6 − x7 + · · · (1.10)

1

1 + x + x2 + x3= 1− x + x4 − x5 + x8 − x9 + · · · (1.11)

1

1 + x + x2 + x3 + x4= 1− x + x5 − x6 + x10 − x11 + · · · (1.12)

e assim sucessivamente. Facamos x = 1. No lado direito de cada igual-dade continuamos a obter a soma dada em (1.5). No lado esquerdo obtemossucessivamente 1

2, 1

3, 1

4e 1

5. Entao agora concluımos (?)

1

2=

1

3=

1

4=

1

5

O que dizer sobre esta situacao tao estranha? Observe-se que as contradicoesaritmeticas que temos estamos a produzir ate ao momento resultam de aplicara uma soma de um numero infinito de parcelas regras que sabemos seremperfeitamente validas para a adicao de um numero finito de parcelas. Emface dos resultados devemos concluir que e incorrecto tal procedimento, istoe, nao podemos tratar estas “entidades” como tratamos as somas usuais comum numero finito de parcelas.

Continuando a assumir que e possıvel atribuir algum significado a umasoma com um numero infinito de parcelas, que regras sao entao validas?Consideremos um exemplo mais concreto para nos orientarmos melhor (Torrede Babel)1: e dado um cilindro de 1 metro de altura e 1 metro de raio dasbases; sobre ele coloca-se outro cilindro de 1 metro de altura e 1/2 metro deraio das bases; sobre este cilindro coloca-se um outro com um metro de alturae 1/3 de raio das bases, e assim sucessivamente. Pretende-se determinar:

(a) a altura da torre;

(b) a superfıcie lateral da torre;

(c) o volume da torre.

1A Torre de Babel e, segundo o Genesis, uma torre que os homens pretenderam cons-truir para alcancar o ceu. Vendo nesta pretensao demasiado orgulho por parte dos hu-manos, Deus multiplicou as linguagens para que eles nao se entendessem e assim naopudessem unir esforcos para construir a torre


Como proceder? Os espıritos mais praticos dirao simplesmente que taltorre nao existe mas admitindo que a Torre de Babel existe mesmo, comopoderıamos fazer o calculo? Imaginemos que vamos subindo a torre e fa-zendo o calculo ao mesmo tempo, somando uma quantidade de cada vez.Designemos por a1, a2, a3, · · · an, · · · a medida da altura de cada cilindro,por s1, s2, s3, · · · sn, · · · a medida da superfıcie lateral de cada cilindro epor v1, v2, v3, · · · vn, · · · a medida do volume de cada cilindro. Ao fim de ncilindros, temos para a soma das medidas das alturas, a soma das medidasdas superfıcies laterais e a soma das medidas dos volumes, respectivamente:

An = a1 + a2 + a3 + · · ·+ an

Sn = s1 + s2 + s3 + · · ·+ sn

Vn = v1 + v2 + v3 + · · ·+ vn

E uma vez que estamos a supor que temos um numero infinito de cilindros,desde ja podemos pensar nas sucessoes de termos gerais An, Sn e Vn. E evi-dente que a sucessao An tende para +∞. Veremos mais tarde que a sucessaoSn tem limite +∞ e que a sucessao Vn tem limite finito. Portanto:

(a) a altura da torre tem medida de comprimento infinito;

(b) a superfıcie lateral da torre tem medida de area infinita;

(c) o volume da torre tem medida de volume finita.

A licao a tirar a partir deste exemplo e a seguinte: se queremos dar signi-ficado a soma de um numero infinito de parcelas, temos que estar preparadospara aceitar resultados que nao estao de acordo com a nossa intuicao.

Definicao 9 A uma entidade do tipo

∞∑

k=0

ak (1.13)

chama-se serie numerica ou serie de numeros reais (estamos a assumir quetodos os termos sao reais). A serie diz-se convergente se e so se existir olimite da sucessao

Sn =n∑

k=0

ak (1.14)

A esta sucessao chama-se sucessao associada a serie (1.13) .

1.2. SERIES NUMERICAS 13

A sucessao (1.14) tambem se designa por sucessao das somas parciais.A sucessao (an) chama-se termo geral da serie. Conforme ja se disse, umaserie numerica e convergente se e so se for convergente a respectiva sucessaoassociada.

Definicao 10 Ao limite finito S de (Sn) , se existir, chamamos soma daserie e escrevemos ∞∑

k=0

ak = S.

Fica desta maneira atribuıdo ao sımbolo∑∞

k=0 ak um significado ma-tematico rigoroso que elimina todas as aberracoes aritmeticas a que tınhamoschegado anteriormente a proposito da serie

1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + 1 + · · · (1.15)

Com efeito, a sucessao associada e a seguinte:

S0 = a0 = 1

S1 = a0 + a1 = 0

S2 = a0 + a1 + a2 = 1

S3 = a0 + a1 + a2 + a3 = 0

· · ·

Sn = a0 + a1 + · · ·+ an =

{1 se n e par

0 se n e ımpar.

Uma vez que e divergente a sucessao associada (Sn), podemos concluir quenao tem soma a serie dada.

Observe-se que no caso de ser limn

Sn = +∞ ou limn

Sn = −∞ tambem

diremos que a serie nao tem soma (e divergente).

Exemplo 5 Consideremos a serie numerica (serie geometrica de razao 12

eprimeiro termo igual a 1)

1 +1

2+

1

4+

1

8+

1

16+

1

32+

1

64+

1

128+

1

256+ · · · =

∞∑

k=0

1

2k


Para a respectiva sucessao associada, tem-se

Sn =n∑

k=0

1

2k

= 1 +1

2+

1

4+

1

8+

1

16+

1

32+

1

64+ · · ·+ 1

2n

=1− (

12

)n+1

1− 12

= 2−(

1

2

)n

e sendo limn

Sn = 2, concluımos que a serie dada e convergente e tem soma

igual a 2.

Exercıcio 8 Mostre que a serie geometrica∑∞

k=0 a·rk (a e o primeiro termoe r e a razao da serie) converge se |r| < 1 e diverge se |r| ≥ 1.

Exemplo 6 Consideremos uma serie do tipo

∞∑n=0

(an+1 − an) = (a1 − a0) + (a2 − a1) + (a3 − a2) + (a4 − a3) + · · ·

A uma serie deste tipo chama-se serie de Mengoli ou serie telescopica. Asucessao associada e

Sn = (a1 − a0) + (a2 − a1) + · · ·+ (an − an−1)

= an − a0

e concluımos que a serie e convergente se e so se existir o limite limn

an e a

soma da serie sera entao

∞∑n=0

(an+1 − an) =(lim

nan

)− a0.

Algumas operacoes algebricas elementares mantem-se validas para asseries numericas:

1.3. CRITERIOS DE CONVERGENCIA 15

Teorema 10 Se as series numericas∑∞

n=0 an e∑∞

n=0 bn sao convergentes,entao a serie numerica

∑∞n=0 (an + bn) e convergente e tem-se

∞∑n=0

(an + bn) =∞∑

n=0

an +∞∑

n=0

bn.

Se a serie numerica∑∞

k=0 an e convergente e λ e um numero real qualquer,a serie

∑∞k=0 λan e convergente e tem-se

∞∑n=0

λan = λ

∞∑n=0

an

Demonstracao. Basta observar que as igualdades se verificam para as res-pectivas sucessoes associadas e depois passar ao limite para obter a conclusao.

1.3 Criterios de convergencia

Anteriormente apresentamos dois tipos especiais de series (serie geometrica eserie de Mengoli) em que nao e difıcil determinar a soma da serie, nos casosem que ela converge. Em geral, a determinacao da soma nao e facil. Nestaseccao vamos estudar criterios que nos permitem concluir se uma dada seriee ou nao convergente. Posteriormente, tentaremos encontrar processos paradeterminar o valor da soma, caso exista, ou pelo menos um valor aproximadodessa soma.

Teorema 11 Se a serie∑∞

k=0 ak e convergente, entao limn

an = 0.

Demonstracao. Se a serie e convergente e porque a sucessao associada (Sn)converge e tem por limite, digamos S. Mas entao tambem a sucessao (Sn+1)tem limite S e de Sn+1 = Sn + an+1 conclui-se que lim

nan+1 = 0 ou seja

limn

an = 0. (1.16)

O teorema anterior da-nos pois uma condicao necessaria de convergenciauma vez que nao existindo lim

nan ou, no caso de existir, sendo lim

nan 6= 0,

concluımos que a serie e divergente.


Exemplo 7 A serie de termo geral(

n+3n+7

)n+7e divergente pois

limn

(n + 3

n + 7

)n+7

= limn

(1 +

−4

n + 7

)n+7

= limn

(1 +

−4

n + 7

)n+7

= e−4

No caso de ser limn

an = 0 nada se pode concluir. Por exemplo, as series

de Dirichlet ou de Riemann ∞∑n=1

1

nα(1.17)

sao convergentes se α > 1 e divergentes se α ≤ 1, mas em qualquer dos casostem-se

limn

1

nα= 0.

Teorema 12 Se an ≥ 0, a serie∑∞

n=0 an e convergente se e so se (Sn) euma sucessao limitada superiormente (majorada).

Demonstracao. Sendo os termos todos nao negativos, a sucessao (Sn) ecrescente. Usando o teorema 8 concluımos que (Sn) e convergente e portantoa serie converge.

Teorema 13 (1o criterio de comparacao) Se an ≥ 0, bn ≥ 0 e an ≤ bn, paratodo o n ∈ N, podemos concluir que se a serie

∑∞n=0 bn e convergente entao

tambem a serie∑∞

n=0 an e convergente.

Demonstracao. Sejam (Sn) e (Tn) as sucessoes associadas as series∑∞

n=0 an

e∑∞

n=0 bn, respectivamente. De an ≤ bn conclui-se que

Sn ≤ Tn, para todo n ∈ NPelo teorema anterior concluımos que (Tn) e majorada e portanto tambem(Sn) e majorada. De novo usando o teorema anterior conclui-se que

∑∞n=0 an

converge.

Como corolario deste resultado podemos afirmar que nas condicoes doteorema anterior, se

∑∞n=0 an diverge entao

∑∞n=0 bn tambem diverge.


Exemplo 8 A serie∑∞

n=15

n+3n converge uma vez que 5n+3n < 5

3n e∑∞

n=153n

e uma serie geometrica de razao r = 13, logo convergente (ver o exercıcio 8).

Exercıcio 9 Mostre que o teorema anterior continua a ser valido mesmoque a desigualdade an ≤ bn se verifique apenas a partir de uma certa ordemp.

Na pratica costuma ser mais util o seguinte

Teorema 14 (2o criterio de comparacao) Se an ≥ 0, bn > 0 e limn

an

bn= λ ∈

R, tem-se:

a) Para todo λ ≥ 0, se a serie∑∞

n=0 bn e convergente entao a serie∑∞

n=0 an

tambem e convergente.

b) Se λ > 0 entao as series∑∞

n=0 an e∑∞

n=0 bn sao da mesma natureza;

Demonstracao. Se limn

an

bn= λ ∈ R entao, qualquer que seja ε > 0 existe

uma ordem a partir da qual se tem

∣∣∣∣an

bn

− λ

∣∣∣∣ ≤ ε

ou seja

λ− ε ≤ an

bn

≤ λ + ε

e, sendo bn > 0, podemos escrever

(λ− ε) bn ≤ an ≤ (λ + ε) bn

A partir da desigualdadean ≤ (λ + ε) bn

podemos concluir que se∑∞

n=0 bn e convergente entao∑∞

n=0 an tambem econvergente (mesmo no caso de ser λ = 0). Sendo λ 6= 0, podemos usar adesigualdade

(λ− ε) bn ≤ an

supondo que ε e tal que λ−ε > 0 para concluir que se∑∞

n=0 an e convergenteentao

∑∞n=0 bn tambem e convergente.


Observe-se que sendo

limn

an

bn

= +∞entao qualquer que seja L > 0, existe uma ordem a partir da qual se teman

bn> L ou seja

an > L · bn

e portanto se a serie∑∞

n=0 an converge, a serie∑∞

n=0 bn tambem converge.

Teorema 15 (criterio de Cauchy ou da raız) Se an ≥ 0 e limn

n√

an = λ ∈ R,

entao

a) se λ < 1 a serie∑∞

n=0 an converge;

b) se λ > 1 a serie∑∞

n=0 an diverge;

c) se λ = 1 nada se pode concluir excepto quando, a partir de certa ordem,n√

an ≥ 1, caso em que∑∞

n=0 an diverge.

Demonstracao.

a) Para todo ε > 0, existe uma ordem a partir da qual se tem

| n√

an − λ| ≤ ε

ou sejaλ− ε ≤ n

√an ≤ λ + ε

Tendo em atencao que λ ≥ 0 podemos escrever

an ≤ (λ + ε)n

e se for λ < 1 podemos escolher ε suficientemente pequeno de forma aser λ+ε < 1 e (λ + ε)n e o termo geral de uma serie geometrica conver-gente. Logo, pelo 1o criterio de comparacao concluımos que

∑∞n=0 an

converge;

b) A demonstracao e analoga e fica ao cuidado dos alunos;

c) Se λ = 1 a serie tanto pode ser convergente como divergente. Se a partirde certa ordem for n

√an ≥ 1, entao, a partir dessa ordem, tem-se an ≥ 1

e falha a condicao necessaria de convergencia limn

an = 0.



n=0n5n converge uma vez que

limn

n√

an = limn

n

√n

5n

=1

5lim

n

n√

n

=1

5

Teorema 16 (criterio de D’Alembert ou da razao) Se an > 0 e limn

an+1

an=

λ ∈ R, entao:

a) se λ < 1 a serie∑∞

n=0 an converge;

b) se λ > 1 a serie∑∞

n=0 an diverge;

c) se λ = 1 nada se pode concluir excepto quando, a partir de certa ordem,an+1

an≥ 1, caso em que

∑∞n=0 an diverge.

Demonstracao. Para todo ε > 0 existe uma ordem n0 tal que para n ≥ n0

tem-seλ− ε ≤ an+1

an

≤ λ + ε

ou sejaan (λ− ε) ≤ an+1 ≤ an (λ + ε)

e, fazendo r = λ + ε obtemos as seguintes desigualdades

an0+1 ≤ r.an0

an0+2 ≤ r.an0+1 ≤ r2an0 (1.18)

an0+3 ≤ r.an0+2 ≤ r3an0

· · ·

Se for λ < 1 podemos tomar ε suficientemente pequeno por forma a ter-ser < 1 e a serie

r.an0 + r2an0 + r3an0 + · · ·


e convergente (porque ?) e as desigualdades (1.18) permitem concluir que aserie

an0+1 + an0+2 + an0+3 + · · ·tambem converge, usando o 1o criterio de comparacao. Uma vez que a su-pressao de um numero finito de termos nao afecta a natureza da serie (porque?) conclui-se finalmente que

∑∞n=0 an converge. A demonstracao da parte

b) fica ao cuidado dos alunos. Em relacao a parte c) observe-se que para asseries

∑∞n=1

1n

e∑∞

n=11n2 tem-se, em ambos os casos, λ = 1 mas a primeira e

divergente enquanto que a segunda e convergente. No caso de se ter an+1

an≥ 1

a partir de certa ordem, entao limn

an 6= 0 e portanto a serie nao converge

neste caso.


n=1nn

n!diverge uma vez que

limn

an+1

an

= limn

(n + 1)n+1

(n + 1)!· n!

nn

= limn

(n + 1)n

nn

= limn

(1 +

1

n

)n

= e > 1

Definicao 11 Diz-se que a serie

∞∑n=0

an = a0 + a1 + · · ·+ an + · · ·

e absolutamente convergente se for convergente a serie dos valores absolutos

∞∑n=0

|an| = |a0|+ |a1|+ · · ·+ |an|+ · · ·

Exemplo 11 A serie

1− 1

2− 1

22+

1

23+

1

24− 1

25− 1

26+ · · ·

e absolutamente convergente uma vez que a serie

1 +1

2+

1

22+

1

23+

1

24+

1

25+

1

26+ · · ·

converge (trata-se de uma serie geometrica de razao 12).


Teorema 17 Se a serie∑∞

n=0 |an| converge entao a serie∑∞

n=0 an tambemconverge.

Demonstracao. Mostraremos que a serie

∞∑n=0

(an + |an|)

converge uma vez que a partir daqui a conclusao do teorema e imediata tendoem conta o teorema 10 e a igualdade

∞∑n=0

an =∞∑

n=0

[(an + |an|)− |an|] .

Para todo n ∈ N, podemos escrever, uma vez que an + |an| vale 0 ou2 |an| , consoante for an negativo ou positivo:

0 ≤ an + |an| ≤ 2 |an|Mas

∑∞n=0 2 |an| e uma serie convergente e portanto a serie

∑∞n=0 (an + |an|)

tambem converge.

Exercıcio 10 Mostre que a serie∑∞

n=1cos nn2 converge.

Observe-se que existem series que sao convergentes mas nao sao absolu-tamente convergentes. A serie

−1 +1

2− 1

3+

1

4− 1

5+ · · ·+ (−1)n 1

n+ · · ·

e convergente, como veremos mais adiante, mas a serie dos modulos (conhe-cida por serie harmonica)

1 +1

2+

1

3+

1

4+

1

5+ · · ·+ 1

n+ · · ·

e divergente (serie de Riemann com α = 1).

Definicao 12 Uma serie convergente que nao seja absolutamente conver-gente diz-se simplesmente convergente.


1.4 Series alternadas

Tem especial importancia as series cujos termos sao alternadamente positivose negativos e que, por esta razao, se designam por series alternadas. Estasseries tem uma das seguintes formas (consideraremos o primeiro ındice iguala um para simplificar a exposicao):

a1 − a2 + a3 − a4 + a5 − · · · (1.19)

ou−a1 + a2 − a3 + a4 − a5 + · · · (1.20)

onde os ak sao todos positivos.

O seguinte teorema estabelece condicoes para a convergencia de uma seriealternada.

Teorema 18 (criterio de Leibniz) Uma serie alternada∑∞

n=1(−1)n+1an ou∑∞n=1(−1)nan converge se as duas condicoes seguintes forem satisfeitas:

(a) a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ a4 ≥ · · · ≥ an ≥ · · · (isto e, a sucessao de termospositivos (an) e decrescente).

(b) limn

an = 0

Demonstracao. Usaremos a serie na forma dada em (1.19) . Consideremosa sucessao (S2n) dos termos de ındice par da sucessao associada da serie

S2n = a1 − a2 + a3 − a4 + · · ·+ a2n−1 − a2n

= (a1 − a2) + (a3 − a4) + · · ·+ (a2n−1 − a2n)

Como (ak − ak+1) ≥ 0, por ser (an) decrescente, podemos concluir que

0 ≤ S2 ≤ S4 ≤ · · · ≤ S2n ≤ · · ·

isto e, a sucessao (S2n) e de termos positivos e crescente. Por outro lado,

S2n = a1 − (a2 − a3)− (a4 − a5)− · · · − (a2n−2 − a2n−1)− a2n

e conclui-se queS2n ≤ a1

1.5. O RESTO DE ORDEM N DE UMA SERIE 23

ou seja, (S2n) e convergente por ser crescente e limitada superiormente; de-signemos por S tal limite. Para a sucessao dos termos de ındice impar tem-se

S2n−1 = S2n − a2n

Por ser limn

an = 0, concluımos que a sucessao (S2n−1) tambem e convergente e

tem o mesmo limite S. Portanto, a sucessao associada da serie (Sn) convergepara S.

Exemplo 12 A serie harmonica alternada∑∞

n=1(−1)n 1n, a que nos refe-

rimos anteriormente, e convergente uma vez que satisfaz as condicoes docriterio de Leibniz.

Exercıcio 11 Mostre que no caso de ser convergente a serie dada em (1.19)a soma S verifica 0 < S ≤ a1 e no caso de ser convergente a serie dada em(1.20) a soma T verifica −a1 ≤ T < 0.

1.5 O resto de ordem n de uma serie

Excepto em casos particulares simples, como os da serie geometrica e da seriede Mengoli, a teoria estudada apenas nos indica se a serie e ou nao conver-gente mas nao nos proporciona nenhum metodo para calcular exactamente ovalor da soma (quando esta existe). Nas aplicacoes praticas, torna-se entaonecessario determinar valores aproximados da soma S, isto e, substituir ovalor de S pela soma Sn de um numero finito de termos. E claro que a aaproximacao sera tanto melhor quanto maior for n.

Seja

Rn = S − Sn (1.21)

A Rn chamamos resto de ordem n da serie∑∞

k=1 an. Entao

Rn =∞∑

k=n+1

ak

e o erro exacto que se comete quando se toma Sn como valor aproximado dasoma S da serie e e facil concluir que se tem

limn

Rn = 0.


Claro que na pratica nao seremos capazes, em geral, de determinar o valorexacto de Rn (neste caso serıamos tambem capazes de determinar exacta-mente o valor de S) mas podemos tentar majorar o valor absoluto de Rn edesta maneira ter uma ideia do grau de precisao da aproximacao efectuada.Como obtemos apenas um majorante do valor absoluto do erro nao temosgarantia de que o erro real seja proximo do valor calculado, mas podemosdeterminar a priori quantos termos sera suficiente somar para obter a somada serie com um determinado grau de precisao.

Ilustraremos estas ideias com o calculo aproximado da soma de seriesalternadas.2 Comecamos por observar que, de acordo com o exercıcio 11,a soma S de uma serie alternada, independentemente de ser positivo ounegativo o primeiro termo, verifica

|S| ≤ |a1|isto e, o valor absoluto da soma nao excede o valor absoluto do primeirotermo da serie. Se aplicarmos este resultado ao caso em que a serie alternadae o resto de ordem n, cujo primeiro termo e an+1 ou −an+1, temos

|Rn| ≤ |an+1|e concluımos que o erro que se comete ao tomar como aproximacao da somade uma serie alternada a soma dos n primeiros termos e, em valor absoluto,majorado pelo valor absoluto do primeiro termo que se despreza (e o sinaldo erro e o sinal desse termo).

Exemplo 13 Consideremos a serie harmonica alternada

∞∑

k=1

(−1)k+1 1

k= 1− 1

2+

1

3− 1

4+ · · ·+ (−1)n+1 1

n+ (−1)n+2 1

n + 1+ · · ·

Ja sabemos que esta serie e convergente. Do que se disse anteriormente,podemos escrever neste caso

|Rn| ≤ 1

n + 1

2Para estudar processos de majorar Rn em casos em que a convergencia da serie foideterminada usando o criterio de D’Alembert ou o criterio de Cauchy, ver [3], 366-375.

1.6. SERIES DE POTENCIAS 25

Supondo que pretendıamos obter a soma com erro inferior a 0.0005, bastariaescolher n de modo que

1

n + 1< 0.0005

ou seja n + 1 > 2000. Portanto, podemos garantir que a soma

2000∑

k=1

(−1)k+1 1

k= 0. 692 897 ...

aproxima a soma da serie harmonica alternada (cujo valor exacto e log 2 =0.693147...) com erro inferior a 0.0005. Pode apreciar-se que a convergenciadesta serie e bastante lenta uma vez que sao necessarios 2000 termos paraobter uma aproximacao com cerca de 3 algarismos correctos.

1.6 Series de potencias

Ate aqui limitamo-nos a estudar series com termos constantes. Nesta seccaovamos considerar series cujos termos envolvem uma variavel. Sendo a0, a1,a2 · · · constantes e x uma variavel, a serie da forma

∞∑n=0

anxn = a0 + a1x + a2x2 + a3x

3 + · · · (1.22)

designa-se por serie de potencias de x. Substituindo a variavel x por umaconstante obtem-se uma serie numerica que pode ser convergente ou diver-gente. Dada uma serie de potencias, o problema fundamental e pois o dedeterminar os valores para os quais a serie numerica resultante dessa substi-tuicao e convergente.

E facil concluir que qualquer serie de potencias converge para x = 0 umavez que, neste caso, a serie reduz-se ao primeiro termo. Ha series de potenciasque nao convergem para mais nenhum valor de x alem do zero, como acontececom a serie

∞∑n=1

nnxn = x + 22x2 + 33x3 + · · · (1.23)

cujo termo geral tende para zero apenas no caso ser x = 0.


Por outro lado, ha series de potencias que convergem para todos os valoresreais de x, como e o caso da serie

∞∑n=0

xn

n!= 1 + x +

x2

2!+

x3

3!+ · · · (1.24)

Para ver que assim acontece, apliquemos o criterio de D’Alembert a serie dosmodulos. Obtemos

limn

∣∣∣ xn+1

(n+1)!

∣∣∣∣∣xn

n!

∣∣ = limn|x| 1

n + 1= 0

e concluımos que a serie e absolutamente convergente, qualquer que seja x. Oseguinte teorema e o resultado fundamental sobre a convergencia das seriesde potencias.

Teorema 19 Se a serie de potencias∑∞

n=0 anxn converge para x = x0 entaoconverge absolutamente para todos os valores x tais que |x| < |x0| .

Demonstracao. Se∑∞

n=0 anxn0 converge entao a sucessao de termo geral

(anxn0 ) converge (qual e o limite ?) e e portanto limitada, isto e, existe

M > 0 tal que, para todo n ∈ N,

|anxn0 | ≤ M

Tem-se

|anxn| =∣∣∣∣anx

n0

(x

x0

)n∣∣∣∣ ≤ M

∣∣∣∣x

x0

∣∣∣∣n

e para todo x tal que |x| < |x0| e∣∣∣ xx0

∣∣∣ < 1 e M∣∣∣ xx0

∣∣∣n

e o termo geral de uma

serie geometrica convergente. Pelo 1o criterio de comparacao, conclui-se quea serie e absolutamente convergente no ponto x.

Observe-se que se a serie de potencias nao converge para x = x0, entaonao pode convergir para qualquer valor x1 tal que |x1| > |x0|, como resultado teorema anterior. Como consequencia do que ficou agora provado, tem-se

Corolario 3 Dada uma serie de potencias, e verdadeira uma e uma so dasseguintes afirmacoes:

1.6. SERIES DE POTENCIAS 27

(a) a serie converge apenas para x = 0.

(b) a serie converge absolutamente para todos os valores de x.

(c) a serie converge absolutamente para todos os valores x em algum inter-valo aberto ]−R,R[ e diverge para x < −R e x > R.

Nos pontos x = R e x = −R a serie pode ser absolutamente convergente,simplesmente convergente ou divergente, dependendo da serie.

Definicao 13 O numero real positivo R e o intervalo ]−R, R[ designam-sepor raio de convergencia e intervalo de convergencia da serie de potencias,respectivamente.

Observe-se que nos casos (a) e (b) do corolario anterior, podemos dizerque o raio de convergencia e zero e infinito, respectivamente.

Exemplo 14 A serie de potencias∑∞

n=04n√2n+5

xn tem raio de convergencia

R = 14

como se conclui se se aplicar o criterio de D’Alembert a serie dosmodulos

limn

∣∣∣ 4n+1√2n+7

xn+1∣∣∣

∣∣∣ 4n√2n+5

xn

∣∣∣= lim

n|x| 4

√2n + 5√2n + 7

= 4 |x| .

A serie e absolutamente convergente para os valores x tais que 4 |x| < 1, ou

seja, |x| < 14. Para x = −1

4resulta a serie numerica

∑∞n=0

(−1)n√

2n+5que se pode

verificar que converge (pelo criterio de Leibniz) enquanto que para x = 14

resulta a serie numerica∑∞

n=01√

2n+5que diverge por ser da mesma natureza

que a serie de Riemann com α = 12

uma vez que

limn

1√n

1√2n+5

= limn

√2n + 5√

n= 2.

Para alem das series de potencias de x estamos tambem interessados emseries de potencias de x− c, isto e, series da forma

∞∑n=0

an (x− c)n = a0 + a1(x− c) + a2(x− c)2 + a3(x− c)3 + · · · (1.25)


Fazendo a mudanca de variavel dada por X = x−c, obtem-se, a partir da serieanterior, uma serie de potencias de X a qual se pode aplicar o teorema 19para concluir que se a serie de potencias

∑∞n=0 an(x−c)n converge para x = x0

entao converge absolutamente para todos os valores x tais que |x− c| <|x0 − c| . Sendo R o raio de convergencia , o intervalo de convergencia daserie de potencias de x − c e agora da forma ]c−R, c + R[, centrado noponto c.

Exemplo 15 Para determinar o raio de convergencia e o intervalo de con-vergencia da serie

∑∞n=1

(x−5)n

n2 aplicamos de novo o criterio de D’Alemberta serie dos modulos:

limn

∣∣∣ (x−5)n+1

(n+1)2

∣∣∣∣∣∣ (x−5)n

n2

∣∣∣= lim

n

∣∣∣∣∣(x− 5)n+1

(n + 1)2.

n2

(x− 5)n

∣∣∣∣∣

= limn|x− 5|

(n

n + 1

)2

= |x− 5|

Portanto a serie converge absolutamente se |x− 5| < 1. Neste caso tambemse pode concluir que a serie converge nos extremos do intervalo x = 4 e x = 6(verifique). O raio de convergencia e R = 1 e o intervalo de convergencia eo intervalo [4, 6] .

Capıtulo 2

Funcoes reais de uma variavelreal

2.1 Nocoes topologicas elementares em RDefinicao 14 Chama-se intervalo aberto de R, de extremidades a e b, coma < b, ao conjunto

]a, b[ = {x ∈ R : a < x < b} .

Intervalo fechado de R, com a ≤ b, e o conjunto

[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} .

Chama-se intervalo aberto de centro x ao conjunto

]x− ε, x + ε[

com ε > 0.

Definicao 15 Seja a ∈ R e V ⊂ R. Diz-se que V e uma vizinhanca de a seexistir ε > 0 tal que

]a− ε, a + ε[ ⊂ V .

E facil concluir que um intervalo aberto ]c, d[ e vizinhanca de qualquerdos seus pontos. Com efeito, sendo a ∈ ]c, d[, basta escolher

ε = min {a− c, d− a}para concluir que ]c, d[ e uma vizinhanca de a.

29

30 CAPITULO 2. FUNCOES REAIS DE UMA VARIAVEL REAL

Exercıcio 12 Mostre que dois pontos a e b, distintos, admitem vizinhancasdisjuntas.

Definicao 16 Chama-se aberto ou parte aberta de R a ∅ (vazio) ou a umaparte de R que seja vizinhanca de cada um dos seus pontos. Entao A ⊂ R eum aberto se para todo x ∈ A, existir ε > 0 tal que ]x− ε, x + ε[ ⊂ A.

Da definicao anterior conclui-se que todo o intervalo aberto e um aberto.Mas o recıproco e falso, como se ilustra a seguir.

Exemplo 16 O conjunto ]0, 2[∪ ]4, 5[ e um aberto (porque?) mas nao e umintervalo aberto.

Definicao 17 Seja F ⊂ R. F diz-se um fechado de R se o complementarR− F for um aberto.

Definicao 18 Seja S um subconjunto de R e a ∈ R.

i) a diz-se um ponto interior de S se existir algum intervalo aberto de centroa contido em S;

ii) a diz-se um ponto exterior a S se for interior do complementar R−S ou,o que e equivalente, se existir algum intervalo de centro a sem pontoscomuns com S;

iii) a diz-se um ponto fronteiro de S se nao for interior nem exterior, isto e,nao ha nenhum intervalo centrado em a que nao contenha simultanea-mente pontos de S e pontos do complementar R− S;

iv) A totalidade dos pontos interiores de S constitui um conjunto a que sechama o interior de S; analogamente se define o exterior de S.

v) O conjunto de todos os pontos fronteiros de S constitui a fronteira de S;um conjunto e fechado quando contem a respectiva fronteira.

Exercıcio 13 Mostre que A ⊂ R e um aberto se e so se coincide com o seuinterior.

Exercıcio 14 Mostre que R e ∅ sao simultaneamente abertos e fechados.

Definicao 19 Seja S um subconjunto de R.

2.1. NOCOES TOPOLOGICAS ELEMENTARES EM R 31

i) Um ponto a ∈ S diz-se um ponto isolado de S se existir algum intervalode centro a que so tem em comum com S o proprio ponto a.

ii) Um ponto a ∈ R diz-se um ponto de acumulacao (ou ponto limite) deS se todo o intervalo de centro a contem pelo menos um ponto de Sdistinto de a.

Exemplo 17 No conjunto ]0, 1]∪{2}, x = 2 e ponto isolado e todos os outrossao pontos de acumulacao. Em particular, o ponto 0, que nao pertence aoconjunto, e tambem ponto de acumulacao.

Observe-se que, de acordo com as definicoes anteriores e em relacao a umdado conjunto S, um ponto interior pertence sempre a S, um ponto exteriornunca lhe pertence e um ponto de acumulacao pode pertencer ou nao.

Teorema 20 Dados S ⊂ R e a ∈ R, as seguintes afirmacoes sao equivalen-tes:

i) a e um ponto de acumulacao de S ⊂ R;

ii) Existe uma sucessao de pontos xn ∈ S tal que xn 6= a para todo o n ∈ Ne lim

nxn = a;

iii) Todo o intervalo de centro a contem uma infinidade de pontos de S.

Demonstracao.

i) ⇒ ii) Para todo o n ∈ N, existe um ponto xn 6= a e tal que |xn − a| < 1n.

Portanto limn

xn = a.

ii) ⇒ iii) Para qualquer n0 ∈ N, o conjunto {xn : n > n0} e infinito por-que de contrario existiria um termo xk que se repetiria infinitas vezesformando uma sub-sucessao com limite xk 6= a.

iii) ⇒ i) imediato.

Exercıcio 15 Mostre que S ⊂ R e fechado se e so se todos os pontos deacumulacao de S pertencem a S.


Teorema 21 (de Bolzano-Weirstrass) Todo o subconjunto de R, infinito elimitado, tem pelo menos um ponto de acumulacao.

Demonstracao. ver [4], paginas 32-33.

Definicao 20 Seja S ⊆ R. S diz-se compacto (para as sucessoes) quandotoda a sucessao de elementos de S admite uma sub-sucessao convergente emS.

Teorema 22 S ⊆ R e compacto se e so se e fechado e limitado.

Demonstracao. (⇐) Seja (un) uma sucessao de elementos de S e designe-mos por U o conjunto dos termos da sucessao. Se U e finito pelo menos umdos seus elementos ocorre infinitas vezes; seleccionando este elemento sempreque ocorre obtem-se uma sub-sucessao convergente (para o proprio elementoque se repete). Se U e infinito, entao, pelo teorema de Bolzano-Weirstrass,admite pelo menos um ponto de acumulacao, uma vez que, por hipotese, elimitado (por ser S limitado). Podemos concluir, pelo teorema 20, que existeuma sucessao de elementos de U ⊂ S que converge para este ponto de acu-mulacao. Finalmente, no caso presente, este ponto (limite) esta em S por serS fechado (ver exercıcio 15). A parte (⇒) fica como exercıcio para os alunos.

2.2 Limite de uma funcao num ponto

O conceito de limite de uma funcao e, sem duvida, a ideia central do calculoe e afinal este conceito que distingue o calculo da matematica que se desen-volveu antes dele. Quando escrevemos

limx→a

f(x) = L (2.1)

queremos dizer que os valores de f(x) se aproximam de L a medida que xse aproxima do ponto a, por valores a esquerda ou a direita. Observe-se queo limite dado em (2.1) pretende descrever o comportamento de f quando xesta proximo de a mas e diferente de a. O valor que f toma no ponto a naotem qualquer influencia sobre o limite L.

2.2. LIMITE DE UMA FUNCAO NUM PONTO 33

Exemplo 18 A funcao f definida por

f(x) =x2 − 1

x− 1

nao pode ser calculada para x = 1, isto e, este ponto nao pertence ao domıniode f (escrevemos, neste caso, 1 /∈ Df). O grafico desta funcao e a ”recta”de equacao y = x + 1 a qual falta o ponto de abcissa 1. Os valores de faproximam-se de L = 2 quando tomamos valores de x cada vez mais proximosde 1 (a esquerda ou a direita).

Definicao 21 Seja f definida para todos os valores de x 6= a num intervaloaberto I contendo o ponto a (f pode estar definida ou nao no proprio pontoa). Escrevemos

limx→a

f(x) = L (2.2)

se para todo ε > 0 (tao pequeno quanto se quiser), existe δ > 0 tal que

0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)− L| < ε (2.3)

Exemplo 19 Vamos usar a definicao anterior para provar que

limx→2

(3x− 5) = 1.

Devemos mostrar que dado ε > 0, existe δ > 0 tal que

0 < |x− 2| < δ ⇒ |(3x− 5)− 1| < ε. (2.4)

Para encontrar δ nestas condicoes, observemos que

|3x− 6| < ε (2.5)

se pode escrever na forma3 |x− 2| < ε (2.6)

ou ainda|x− 2| < ε

3(2.7)

Portanto, a implicacao (2.4) verifica-se com δ = ε3

e fica provado que

limx→2

(3x− 5) = 1.


Como ficou ilustrado no exemplo anterior, em exercıcios deste tipo, emque se requer a utilizacao da definicao, a estrategia consiste em encontraruma expressao para δ em termos de ε de maneira que a proposicao (2.4)seja verdadeira, independentemente do ε fixado. O exemplo anterior e taosimples quanto um exercıcio deste tipo pode ser. Em muitos casos requer-seum pouco mais de ”engenho e arte”. Observe-se que o valor de δ na definicao21 nao e unico uma vez que se um certo valor de δ satisfaz a definicao, entaoqualquer valor positivo inferior a δ tambem satisfaz. Esta observacao teminteresse pratico. No exemplo seguinte consideraremos que se verifica

0 < δ ≤ 1. (2.8)

Exemplo 20 Vamos provar, usando de novo a definicao 21, que

limx→3

x2 = 9

Devemos mostrar que dado ε > 0, existe δ > 0 tal que

0 < |x− 3| < δ ⇒∣∣x2 − 9

∣∣ < ε. (2.9)

Escrevemos ∣∣x2 − 9∣∣ < ε (2.10)

na forma

|x + 3| |x− 3| < ε. (2.11)

De |x− 3| < δ e atendendo a (2.8) podemos escrever

|x− 3| ≤ 1

e daqui resulta

|x + 3| ≤ 7.

Portanto ∣∣x2 − 9∣∣ < 7δ

e escolhendo δ = ε7

a proposicao (2.9) e verdadeira qualquer que seja ε > 0.

2.2. LIMITE DE UMA FUNCAO NUM PONTO 35

Exemplo 21 Consideremos a funcao f definida por

f(x) =

{1 se x > 0−1 se x < 0

Vamos mostrar que nao existe limx→0

f(x).1 Assumiremos que existe tal limite e

chegaremos a uma contradicao. Seja

limx→0

f(x) = L.

Entao, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que

0 < |x− 0| < δ ⇒ |f(x)− L| < ε. (2.12)

Em particular, para ε = 1 existe δ > 0 tal que

0 < |x− 0| < δ ⇒ |f(x)− L| < 1 (2.13)

Mas x = δ2

e x = − δ2

satisfazem ambos

0 < |x− 0| < δ (2.14)

e entao tem-se∣∣∣∣f

(δ

2

)− L

∣∣∣∣ < 1 e

∣∣∣∣f(−δ

2

)− L

∣∣∣∣ < 1 (2.15)

ou seja, uma vez que δ2

> 0 e − δ2

< 0,

|1− L| < 1 e |−1− L| < 1 (2.16)

ou ainda0 < L < 2 e − 2 < L < 0 (2.17)

que e uma contradicao uma vez que nao existe nenhum numero L que sa-tisfaca ambas as condicoes.

Teorema 23 Tem-se limx→a

f(x) = L se e so se para cada sucessao (xn) de

limite a (e formada por elementos do domınio da funcao distintos de a) acorrespondente sucessao f(xn) converge para L.

1Devera ser evidente para os alunos que nao existe de facto este limite ja que saodiferentes os limites laterais. O interesse do exemplo, tal como no caso dos dois anteriores,reside na utilizacao da definicao de limite.


Demonstracao. (⇒) Seja (xn) uma sucessao que converge para a; entao,qualquer que seja δ > 0, a partir de certa ordem n0 tem-se 0 < |xn − a| < δ.Para provar que f(xn) converge para L precisamos de mostrar que para todoε > 0, existe uma ordem a partir da qual se tem |f(xn)− L| < ε. Uma vezque lim

x→af(x) = L, podemos escrever, pela definicao 21

0 < |xn − a| < δ ⇒ |f(xn)− L| < ε

e portanto |f(xn)− L| < ε para todo n > n0.(⇐) Vamos mostrar que se lim

x→af(x) 6= L entao existe uma sucessao (xn)

de limite a tal que f(xn) nao converge para L. Admitindo que existe ε > 0tal que para todo δ > 0 tem-se |x− a| < δ e |f(x)− L| ≥ ε, podemos tomarpara cada numero natural n um ponto xn 6= a tal que 0 < |xn − a| < 1

ne

|f(xn)− L| ≥ ε, obtendo-se assim uma sucessao (xn) de limite a e tal que acorrespondente f(xn) nao tende para L.

Exemplo 22 Tem-se limx→0

(1 + x)1/x = e, visto que limxn→0

(1 + xn)1/xn = e

qualquer que seja a sucessao (xn) de elementos nao nulos tendendo para zero

(por ser lim(1 + 1

un

)un

= e desde que |un| → +∞).2

Tal como para as sucessoes, podemos enunciar:

Teorema 24 Quando existe, limx→a

f(x) e unico.

Demonstracao. como exercıcio para os alunos.

Teorema 25 Se limx→a

f(x) = L e limx→a

g(x) = M, entao

i) limx→a

[f(x) + g(x)] = L + M ;

ii) limx→a

[f(x).g(x)] = L.M

Demonstracao. basta ter em conta o teorema 23 e os resultados sobre oslimites de soma e produto de sucessoes.

2Em caso de duvida, consultar [4], paginas 75-76.

2.3. CONTINUIDADE DE UMA FUNCAO 37

2.3 Continuidade de uma funcao

Definicao 22 Seja a um ponto do domınio da funcao f. Diz-se que f econtınua em a se

limx→a

f(x) = f(a)

Diremos que f e contınua em X ⊆ R quando for contınua em todos os pontosde X.

Teorema 26 (do valor intermedio de Bolzano-Cauchy) Se uma funcao realf contınua num intervalo de R toma aı dois valores α e β, entao tomaratambem qualquer valor entre α e β.

Demonstracao. Seja c um numero real qualquer entre α e β e suponha-se

α = f(a1) < c < β = f(b1)

Se

c = f

(a1 + b1

2

)

o teorema fica provado. Se

f

(a1 + b1

2

)< c

ponha-se a2 = a1+b12

e b2 = b1. Se

f

(a1 + b1

2

)> c

ponha-se a2 = a1 e b2 = a1+b12

, de modo que em qualquer dos casos tem-se

f(a2) < c < f(b2).

Prosseguindo da mesma forma, isto e, usando o metodo de bisseccao dosintervalos, chega-se a algum

c = f

(ai + bi

2

)


ou entao obtem-se duas sucessoes (an) e (bn) com

f(an) < c < f(bn).

Mas como (an) e (bn) tendem para um mesmo numero real γ 3 e f e contınua,resulta

limn

f(an) = f(γ) = limn

f(bn)

e, por conseguinte,

c = f (γ)

o que completa a demonstracao.

O teorema anterior e especialmente util na localizacao de zeros de funcoescontınuas pois no caso de ser f(a1)f(b1) < 0 podemos concluir que existe pelomenos um ponto γ ∈ ]a1, b1[ tal que f (γ) = 0. A tecnica usada na demons-tracao de teorema (o metodo da bisseccao) pode ser usada para determinaro valor de γ com a precisao desejada encontrando um intervalo [an, bn] deamplitude tao pequena quanto se queira e tal que an ≤ γ ≤ bn.

Teorema 27 Se f e contınua em X ⊂ R, X fechado e limitado, entao aimagem f(X) tambem e um conjunto fechado e limitado.

Demonstracao. Tendo em conta o teorema 22 e a definicao 20, ha quedemonstrar que toda a sucessao de elementos de f(X) admite uma sub-sucessao convergente para um elemento de f(X). Ora, se (yn) e uma sucessaode elementos de f(X), entao yn = f(xn) com xn ∈ X. Mas, por ser Xcompacto, a sucessao (xn) admite uma sub-sucessao (xnk

) convergente paraa ∈ X. Podemos concluir que ynk

= f(xnk) converge para f(a), por ser f

contınua.

Uma consequencia importante do teorema que acabamos de demonstrare o resultado seguinte:

Teorema 28 (de Weierstrass) Toda a funcao contınua num conjunto fe-chado e limitado de R assume aı um (valor) maximo e um mınimo.

3Observe-se que (bn − an) tende para zero uma vez que se tem bn − an = b1−a12n−1 .

2.3. CONTINUIDADE DE UMA FUNCAO 39

Exemplo 23 A funcao definida por f(x) = sin xx

nao atinge nenhum maximono intervalo [−π, π]. Isto nao contraria o teorema anterior ja que f nao e

contınua no ponto 0. A funcao g definida por g(x) =

{sin x

xse x 6= 0

1 se x = 0e

contınua em [−π, π] e atinge um maximo em x = 0 e um mınimo em x = −πe x = π.

Exemplo 24 A funcao log x nao atinge mınimo nem maximo no seu domınioque e, como se sabe, ]0, +∞[ . Mas em qualquer intervalo fechado e limitado[a, b], com a > 0, atinge um mınimo e um maximo que sao, uma vez quelog x e uma funcao crescente, log a e log b, respectivamente.

Capıtulo 3

Derivacao em R

3.1 Conceitos e definicoes basicas

Definicao 23 Seja f uma funcao real de variavel real e a um ponto dodomınio de f. Ao limite seguinte, se existir,

limh→0

f(a + h)− f(a)

h(3.1)

chama-se a derivada de f no ponto a.1

Na pratica, existem regras de derivacao que sao mais expeditas para ocalculo de derivadas. De qualquer forma, no exemplo seguinte usamos adefinicao anterior para calcular a derivada de uma funcao num ponto.

Exemplo 25 Por definicao, a derivada da funcao definida por f(x) =√

x,

1Como os alunos saberao, do que aprenderam no Ensino Secundario, tambem se fala emderivadas laterais, a esquerda e a direita, desde que existam os limites lim

h→0−f(a+h)−f(a)

h e

limh→0+

f(a+h)−f(a)h , respectivamente.

41

42 CAPITULO 3. DERIVACAO EM R

no ponto x = a, e

f ′(a) = limh→0

√a + h−√a

h

= limh→0

(√a + h−√a

) (√a + h +

√a)

h(√

a + h +√

a)

= limh→0

h

h(√

a + h +√

a)

= limh→0

1(√a + h +

√a)

=1

2√

a.

A derivada de uma funcao num ponto tem uma interpretacao geometricainteressante: na verdade, f ′(a) e o declive da recta tangente a curva deequacao y = f(x) no ponto de abcissa a.

Observe-se que o quociente f(a+h)−f(a)h

, que surge na definicao de derivada,representa a variacao media da funcao no intervalo [a, a + h] no caso de serh > 0 e representa a variacao media no intervalo [a + h, a] se for h < 0.Tomando o limite quando h → 0, estamos a considerar que este intervalo estaa tender para [a, a], isto e, para o ponto a; assim, f ′(a) pode ser interpretadacomo a taxa de variacao da funcao f no ponto a (costuma falar-se em taxa devariacao instantanea, o que e justificado pelo facto de, em muitas aplicacoes,ser o tempo t a variavel independente).

A derivada f ′ de uma funcao f define-se para todos os pontos para os quaiso limite (3.1) existe. Se a e um desses pontos, diz-se que f e diferenciavelem a (ou que f tem derivada em a). Ha varias situacoes em que f nao ediferenciavel no ponto a:

a) as derivadas laterais sao distintas (a e um ponto anguloso);

b) a recta tangente a curva y = f(x) no ponto x = a e vertical;

c) a e ponto de descontinuidade da funcao f.

O ultimo caso resulta do seguinte teorema

Teorema 29 Se f e diferenciavel no ponto a, entao f e contınua em a.

3.2. REGRAS DE DERIVACAO 43

Demonstracao. Mostraremos que se f e diferenciavel em a, entao limh→0

f(a+

h) = f(a) ou, o que e equivalente, limh→0

[f(a + h)− f(a)] = 0.

Tem-se

limh→0

[f(a + h)− f(a)] = limh→0

[f(a + h)− f(a)

hh

]

= limh→0

[f(a + h)− f(a)

h

]· lim

h→0h

= f ′(a) · 0 = 0

Por outro lado, uma funcao pode ser contınua num ponto e nao ser dife-renciavel nesse ponto, como a seguir se ilustra.

Exemplo 26 A funcao f(x) = |x| e contınua para todo x ∈ R mas nao ediferenciavel no ponto x = 0. Realmente, tem-se

f ′(0) = limh→0

f(0 + h)− f(0)

h

= limh→0

|h| − |0|h

= limh→0

|h|h

mas este limite nao existe por ser limh→0−

|h|h

= −1 e limh→0+

|h|h

= 1.

3.2 Regras de derivacao

Nesta seccao apresentaremos algumas formulas de derivacao que sao maisexpeditas do que a definicao para o calculo de derivadas.

Teorema 30 Se f e uma funcao constante, digamos f(x) = c para todo x,entao f ′(x) = 0.Demonstracao. como exercıcio para os alunos

Geometricamente, o resultado anterior interpreta-se da seguinte maneira:se f(x) = c e uma funcao constante, o grafico de f e uma recta paralela ao


eixo Ox. A tangente em cada ponto coincide com a propria recta, que temdeclive nulo.

Por vezes e util usar outra notacao para a derivada de uma funcao. Porexemplo, o teorema anterior pode expressar-se na forma

d

dx[c] = 0. (3.2)

Teorema 31 Se n e um inteiro positivo, entao

d

dx[xn] = nxn−1 (3.3)

Demonstracao. Sendo f(x) = xn, tem-se

f ′(x) = limh→0

(x + h)n − xn

h.

Usando o binomio de Newton para expandir o termo (x + h)n , resulta

f ′(x) = limh→0

[xn + nxn−1h + n(n−1)

2!xn−2h2 + · · ·+ nxhn−1 + hn

]− xn

h

= limh→0

[nxn−1 +

n(n− 1)

2!xn−2h + · · ·+ nxhn−2 + hn−1

]

= nxn−1.

Teorema 32 Seja c uma constante. Se f e diferenciavel em x, tambem cfe diferenciavel em x e tem-se, no ponto x:

(cf)′ = cf ′ (3.4)


Teorema 33 Se f e g sao diferenciaveis em x tambem a soma f + g ediferenciavel em x e tem-se, no ponto x

(f + g)′ = f ′ + g′ (3.5)

(f − g)′ = f ′ − g′ (3.6)



Teorema 34 Se f e g sao diferenciaveis em x tambem o produto f.g e di-ferenciavel em x e tem-se, no ponto x,

(f.g)′ = f.g′ + g.f ′ (3.7)

Demonstracao.

(f.g)′ (x) = limh→0

f(x + h)g(x + h)− f(x)g(x)

h

Subtraindo e adicionando f(x + h)g(x) no numerador e reorganizando a ex-pressao, obtem-se

(f.g)′ (x) = limh→0

f(x + h)g(x + h)− f(x + h)g(x) + f(x + h)g(x)− f(x)g(x)

h

= limh→0

[f(x + h)

g(x + h)− g(x)

h+ g(x)

f(x + h)− f(x)

h

](3.8)

= limh→0

[f(x + h)

g(x + h)− g(x)

h

]+ lim

h→0

[g(x)

f(x + h)− f(x)

h

]

Uma vez que f e contınua em x (porque ?) tem-se

limh→0

f(x + h) = f(x)

e a expressao (3.8) da lugar a

(f.g)′ (x) = f(x)limh→0

g(x + h)− g(x)

h+ g(x)lim

h→0

f(x + h)− f(x)

h(3.9)

= f(x)g′(x) + g(x)f ′(x). (3.10)

Teorema 35 Se f e g sao diferenciaveis em x e g(x) 6= 0, tambem o quoci-ente f

ge diferenciavel em x e tem-se, no ponto x

(f

g

)′=

g.f ′ − f.g′

g2(3.11)

Demonstracao.

(f

g

)′(x) = lim

h→0

f(x+h)g(x+h)

− f(x)g(x)

h

= limh→0

f(x + h)g(x)− f(x)g(x + h)

h.g(x).g(x + h)


Subtraindo e adicionando f(x).g(x) no numerador, obtem-se(

f

g

)′(x) = lim

h→0

f(x + h)g(x)− f(x).g(x)− f(x)g(x + h) + f(x).g(x)

h.g(x).g(x + h)

= limh→0

[g(x).f(x+h)−f(x)

h

]−

[f(x)g(x+h)−g(x)

h

]

g(x).g(x + h)

=g(x)f ′(x)− f(x)g′(x)

[g(x)]2.

Observe-se que, por ser g contınua no ponto x e g(x) 6= 0, e g(x + h) 6= 0para h suficientemente pequeno e lim

h→0

1g(x+h)

= 1g(x)

.

Tem interesse o caso particular em que f e a funcao constante igual a 1.Neste caso, o teorema anterior da lugar ao seguinte

Teorema 36 Se g e diferenciavel em x e g(x) 6= 0, entao 1g

e diferenciavelem x e tem-se, no ponto x (

1

g

)′= − g′

g2(3.12)

Anteriormente, provamos que ddx

[xn] = nxn−1 para valores inteiros posi-tivos de n. Vamos ver que a mesma regra e valida quando n e um inteironegativo.

Teorema 37 Se n e inteiro, positivo ou negativo, entao

d

dx[xn] = nxn−1 (3.13)

Demonstracao. O resultado e valido quando n > 0. Se n < 0, seja m = −ne

f(x) = xn =1

xm.

A partir de (3.12) podemos escrever

f ′(x) = −ddx

[xm]

(xm)2 = −mxm−1

x2m

= −mxm−1−2m = −mx−m−1

= nxn−1.


Observe-se que no exemplo 25 mostramos que ddx

[√

x] = 12√

x. Se escre-

vermos este resultado na forma de potencias, tem-se

d

dx

[x

12

]=

1

2x−

12

o que mostra que a regra expressa em (3.13) tambem a valida para o expoenteracional n = 1

2. Na verdade, a regra e valida para todos os expoentes reais,

como demonstraremos mais adiante.

3.2.1 Derivadas de funcoes trigonometricas

Comecemos por fazer notar que nas expressoes sin x, cos x, tan x, sec x e csc x,se assume que o argumento x e expresso em radianos. Tambem assumiremosque sao conhecidos os seguintes limites

limh→0

sin h

h= 1 (3.14)

e

limh→0

1− cos h

h= 0. (3.15)

Comecemos por considerar a derivada de sin x, a partir da definicao de deri-vada. Tem-se

d

dx[sin x] = lim

h→0

sin(x + h)− sin x

h

= limh→0

sin x cos h + cos x sin h− sin x

h

= limh→0

[sin x

(cos h− 1

h

)+ cos x

(sin h

h

)]

= cos x.

Exercıcio 16 Mostre que ddx

[cos x] = − sin x


As derivadas das restantes funcoes trigonometricas podem ser obtidas apartir das relacoes conhecidas

tan x =sin x

cos x(3.16)

cot x =cos x

sin x(3.17)

sec x =1

cos x(3.18)

csc x =1

sin x(3.19)

Por exemplo,

d

dx[tan x] =

d

dx

[sin x

cos x

]=

cos x ddx

[sin x]− sin x ddx

[cos x]

cos2 x

=cos2 x + sin2 x

cos2 x=

1

cos2 x= sec2 x.

Exercıcio 17 Mostre que

a) ddx

[cot x] = − csc2 x

b) ddx

[sec x] = sec x tan x

c) ddx

[csc x] = − csc x cot x

Uma regra simples que ajuda a memorizar as derivadas das funcoes tri-gonometricas e a seguinte: a derivada de uma co-funcao pode ser obtida apartir da derivada da respectiva funcao, introduzindo o sinal - e substituindocada funcao na derivada pela respectiva co-funcao. Basta pois memorizar aderivada de sin x, tan x e sec x e usar a observacao anterior para deduzir asderivadas das respectivas co-funcoes.

3.2.2 Derivada da funcao composta

Conhecendo as derivadas das funcoes f e g, como determinar a derivada dafuncao composta f o g? Sendo

y = (f o g) (x) = f (g(x)) ,


podemos introduzir a variavel

u = g(x)

e portantoy = f(u).

De que maneira a derivada dydx

depende das derivadas dudx

= f ′(x) e dydu

= g′(u)?O teorema seguinte da a resposta.

Teorema 38 Se g e diferenciavel no ponto x e f e diferenciavel no pontou = g(x), entao a funcao composta f o g e diferenciavel no ponto x e tem-se

(f o g)′ (x) = g′(x).f ′(u) (3.20)

Demonstracao. Utilizaremos os sımbolos ∆x, ∆y e ∆u para representaros acrescimos das variaveis respectivas.Com esta notacao, podemos escrever,por ser g diferenciavel em x,

g′(x) = lim∆x→0

∆u

∆x. (3.21)

Daqui resulta

g′(x) =∆u

∆x− ε1 com lim

∆x→0ε1 = 0 (3.22)

ou seja∆u = [g′(x) + ε1] ∆x com lim

∆x→0ε1 = 0 (3.23)

Analogamente, sendo f diferenciavel em u = g(x), tem-se

∆y = [f ′(u) + ε2] ∆u com lim∆u→0

ε2 = 0 (3.24)

ou seja∆y = [f ′(u) + ε2] [g

′(x) + ε1] ∆x . (3.25)

Quando ∆x → 0 tambem ∆u → 0, como resulta de(3.23) , e finalmentetem-se

lim∆x→0

∆y

∆x= lim

∆x→0[f ′(u) + ε2] · lim

∆x→0[g′(x) + ε1] (3.26)

= f ′(u) · g′(x). (3.27)


Este resultado (regra da cadeia), que provamos aqui para o caso da com-posicao de duas funcoes, e extensıvel a ”cadeias” com um numero superiorde funcoes.

Exemplo 27

d

dx

[sin3 (9x + 1)

]= 3 sin2 (9x + 1) .

d

dx[sin (9x + 1)]

= 3 sin2 (9x + 1) . cos(9x + 1).d

dx(9x + 1)

= 3 sin2 (9x + 1) . cos(9x + 1).9

= 27 sin2 (9x + 1) . cos(9x + 1).

3.2.3 Derivada da funcao inversa

Como se sabe, duas funcoes f e g dizem-se inversas uma da outra se

f(g(x)) = x para todo x no domınio de g

g(f(x)) = x para todo x no domınio de f

Por exemplo, as funcoes f(x) = 2x e g(x) = 12x sao inversas uma da

outra. A funcao inversa de f representa-se usualmente por f−1 (o sımbolof−1 nao deve ser confundido com 1

f). Os graficos de f e f−1 sao simetricos

em relacao a recta y = x.

No caso de f nao ser injectiva 2 f−1 nao se pode definir (porque?). Nocaso da funcao f definida por

f(x) = x3 − 2 (3.28)

para todo x ∈ R, e facil concluir que existe f−1 uma vez que a funcao emonotona crescente por ser f ′(x) = 3x2 ≥ 0 para todo x ∈ R. De y = x3−2resulta x = 3

√y + 2, logo

f−1 (x) = 3√

x + 2. (3.29)

2Recordemos que f diz-se injectiva quando

x1 6= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2.)


O teorema seguinte da-nos a relacao entre as derivadas de f e f−1 em pontoscorrespondentes.

Teorema 39 Suponhamos que f admite inversa f−1 e e diferenciavel numintervalo aberto I. Se f−1(x) e um ponto de I onde nao se anula f ′, entaof−1 e diferenciavel no ponto x e tem-se

(f−1

)′(x) =

1

f ′ (f−1 (x)). (3.30)

Exemplo 28 No caso da funcao definida por f(x) = x3 − 2, f−1 e diferenciavel para todo x ∈ R e usando a expressao (3.29) obtemos

(f−1

)′(x) =

1

3(x + 2)−

23 =

1

3 3

√(x + 2)2

Por outro lado, a formula (3.30) , com y = f−1 (x) = 3√

x + 2, da tambem

(f−1

)′(x) =

1

f ′ (y)=

1

3y2=

1

3 3

√(x + 2)2

.

3.2.4 Derivada das funcoes exponenciais e logarıtmicas

Assumiremos que os alunos estao familiarizados com as formulas seguintes

log (ex) = x (3.31)

elog x = x (3.32)

que mostram que log x e ex sao funcoes inversas uma da outra (por esta razaoos respectivos graficos sao curvas simetricas em relacao a recta y = x.

Tambem se admitem como conhecidas as propriedades dos logaritmos quese listam a seguir. Para quaisquer numeros a > 0 (a 6= 1), b > 0 , c > 0,tem-se:

loga1 = 0 (3.33)

logaa = 1 (3.34)

loga (bc) = logab + logac (3.35)

loga

(b

c

)= logab− logac (3.36)

loga (br) = r · logab (3.37)


Por definicao, o numero de Neper, e, e um numero tal que

limh→0

eh − 1

h= 1 (3.38)

Desta definicao conclui-se que, sendo f(x) = ex, tem-se f ′(0) = 1 = f(0).Na verdade, tem-se f ′(x) = f(x), para todo x ∈ R, como se prova a seguir.

Teorema 40 Para todo x ∈ R, tem-se ddx

[ex] = ex.

Demonstracao.

d

dx[ex] = lim

h→0

ex+h − ex

h

= limh→0

ex(eh − 1

)

h

= limh→0

ex.limh→0

eh − 1

h= ex

Teorema 41 Seja a > 0. Para todo x ∈ R, tem-se ddx

[ax] = ax · log a

Demonstracao. De

ax = ex log a

resulta, atendendo ao teorema anterior e usando a regra da cadeia,

d

dx[ax] =

d

dx

[ex log a

]

= ex log a · log a

= ax · log a

Para qualquer base a > 0 (a 6= 1) a funcao f(x) = loga x e diferenciavelpara x > 0. Vamos, de seguida calcular a derivada desta funcao.

Teorema 42 ddx

[logax] = 1x log a


Demonstracao.

d

dx[logax] = lim

h→0

loga(x + h)− loga x

h

= limh→0

1

hloga

(x + h

x

)

= limh→0

1

hloga

(1 +

h

x

)

Fazendo agora a mudanca de variavel dada por

t = h/x

e tendo em conta que t → 0 quando h → 0, podemos escrever

d

dx[logax] = lim

t→0

1

txloga (1 + t)

=1

xlimt→0

1

tloga (1 + t)

=1

xlimt→0

loga (1 + t)1/t

=1

xloga

[limt→0

(1 + t)1/t]

=1

xloga e

uma vez que, como se viu no exemplo 22, limt→0

(1 + t)1/t = e.

Finalmente, atendendo a que

loga e =1

log a(justifique)

d

dx[logax] =

1

x log a(3.39)

No caso especial de ser a = e, trata-se do logaritmo “natural”, cujaderivada e simplesmente dada por

d

dx[logx] =

1

x. (3.40)


Uma demonstracao alternativa do teorema anterior consiste em usar o teo-rema da derivada da funcao inversa. Com y = logax, tem-se

(logax)′ =1

(ay)′

=1

ay log a

=1

alogax log a

=1

x log a

=1

x log a

Exercıcio 18 Mostre que a regra ddx

[xα] = αxα−1 e valida para todo o ex-poente real α (sugestao: a partir da igualdade xα = eα log x, use a regraddx

[eu] = eu.u′, onde u representa uma funcao diferenciavel de x).

3.2.5 Derivadas das funcoes trigonometricas inversas

As funcoes trigonometricas (directas) nao sao injectivas no seu domınio. Porexemplo, a funcao seno nao admite inversa em R. Podemos, no entanto,definir a funcao inversa da restricao da funcao funcao a um domınio no quala funcao seja injectiva. Para cada funcao trigonometrica, definiremos entaoa funcao inversa da restricao a um domınio onde essa funcao trigonometricaseja injectiva. Assim, temos:

y = arcsin x ⇔ sin y = x, −π

2≤ y ≤ π

2(3.41)

y = arccos x ⇔ cos y = x, 0 ≤ y ≤ π (3.42)

y = arctan x ⇔ tan y = x, −π

2≤ y ≤ π

2(3.43)

y = arccot x ⇔ cot y = x, 0 ≤ y ≤ π (3.44)

y = arcsec x ⇔ sec y = x, 0 ≤ y ≤ π (3.45)

y = arccsc x ⇔ csc y = x, −π

2≤ y ≤ π

2(3.46)


As derivadas destas funcoes trigonometricas inversas podem ser obtidasa partir do conhecimento das respectivas funcoes inversas e usando a relacao(3.30) .

Teorema 43 Consideremos as funcoes trigonometricas inversas definidasem (3.41)− (3.44) . Tem-se:

a) ddx

[arcsin x] = 1√1−x2

b) ddx

[arccos x] = − 1√1−x2

c) ddx

[arctan x] = 11+x2

d) ddx

[arccot x] = − 11+x2

Demonstracao.a) com y = arcsin x, ou seja, x = sin y, tem-se

d

dx[arcsin x] =

1

cos y

=1√

1− sin2 y

=1√

1− x2

b) exercıcio para os alunos.c) com y = arctan x, ou seja, x = tan y, tem-se

d

dx[arctan x] =

1

(tan y)′

=1

1 + tan2 y

=1

1 + x2

d) exercıcio para os alunos.


3.2.6 Funcoes hiperbolicas (directas e inversas)

Nesta seccao estudaremos certas combinacoes de ex e e−x, designadas porfuncoes hiperbolicas.

Definicao 24 As funcoes seno hiperbolico e co-seno hiperbolico sao defini-das por

sinh x =ex − e−x

2(3.47)

cosh x =ex + e−x

2(3.48)

Estas funcoes estao definidas para todo x ∈ R e, a partir delas, definem-se as outras funcoes hiperbolicas, exactamente como no caso das funcoestrigonometricas; por exemplo

tanh x =sinh x

cosh x(3.49)

coth x =cosh x

sinh x(3.50)

As funcoes hiperbolicas satisfazem varias igualdades similares as que saoverificadas pelas funcoes trigonometricas. Por exemplo, tem-se:

cosh2 x− sinh2 x = 1sinh(x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh ycosh(x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y

(3.51)

Formulas para as derivadas das funcoes sinh x e cosh x obtem-se com facili-dade a partir das definicoes (3.47) e (3.48) .


ddx

[sinh x] = cosh x

ddx

[cosh x] = sinh x

Uma vez que a funcao sinh x e crescente em R, admite inversa que de-signaremos por arg sinh x. Ja no caso da funcao cosh x e necessario fazera restricao x ≥ 0 (porque ?) para falar na inversa arg cosh x. A partir do

3.3. RESULTADOS SOBRE FUNCOES DIFERENCIAVEIS 57

teorema da derivada da funcao inversa e da primeira das igualdades (3.51),nao e difıcil mostrar que

d

dx[arg sinh x] =

1√1 + x2

(3.52)

ed

dx[arg cosh x] =

1√x2 − 1

3.3 Resultados sobre funcoes diferenciaveis

Nesta seccao apresentamos alguns resultados importantes sobre funcoes dife-renciaveis.

Teorema 44 (de Rolle) Seja f contınua em [a, b] e diferenciavel em ]a, b[ .Se f(a) = f(b) = 0, entao existe algum ponto c em ]a, b[ tal que f ′(c) = 0.

Demonstracao. No caso de ser f a funcao identicamente nula em [a, b],entao f ′(c) = 0 para todo x ∈ [a, b] . No caso contrario, existe x ∈ ]a, b[tal que f(x) > 0 ou f(x) < 0. Consideraremos o caso de ser f(x) > 0 (ademonstracao para o caso de ser f(x) < 0 e analoga). Uma vez que f econtınua em [a, b] , resulta do teorema 28, que f atinge um maximo em algumponto c ∈ [a, b]. Uma vez que f(a) = f(b) = 0 e f(x) > 0 em algum pontox ∈ ]a, b[ , o ponto c nao pode ser nenhum dos extremos, isto e, c ∈ ]a, b[ .Por hipotese, f e diferenciavel em todos os pontos de ]a, b[ (em particular noponto c) e tem-se f ′(c) = 0.

Geometricamente, o teorema de Rolle pode ser interpretado da seguintemaneira: sendo f uma funcao nas condicoes do teorema, e a e b pontos onde ografico de f corta o eixo Ox, entao existe pelo menos um ponto c ∈ ]a, b[ ondea tangente a curva y = f(x) e horizontal. Este teorema e um caso particulardo teorema do valor medio, de Lagrange, que afirma que entre dois pontosA e B de uma curva y = f(x), f contınua em [a, b] e diferenciavel em ]a, b[ ,existe pelo menos um ponto onde a recta tangente a curva e paralela a rectasecante que une os pontos A e B.


Teorema 45 (do valor medio, de Lagrange) Se e f contınua em [a, b] ediferenciavel em ]a, b[ , entao existe algum ponto c em ]a, b[ tal que

f ′(c) =f(b)− f(a)

b− a(3.53)

Demonstracao. Uma vez que a equacao da secante que passa pelos pontos(a, f(a)) e (b, f(b)) e

y =f(b)− f(a)

b− a(x− a) + f(a) (3.54)

a distancia vertical v(x) entre a curva y = f(x) e a recta secante e dada por

v(x) = f(x)−[f(b)− f(a)

b− a(x− a) + f(a)

]. (3.55)

Sendo f contınua em [a, b] e diferenciavel em ]a, b[, o mesmo acontece com ve uma vez que se tem

v(a) = 0 e v(b) = 0 (3.56)

v esta nas condicoes do teorema de Rolle no intervalo [a, b] . Entao, existeum ponto c ∈ ]a, b[ tal que v′(c) = 0. Mas, a partir de (3.55) obtem-se

v′(c) = f ′(c)− f(b)− f(a)

b− a(3.57)

e, portanto

f ′(c)− f(b)− f(a)

b− a= 0 (3.58)

ou seja, neste ponto c ∈ ]a, b[ verifica-se

f ′(c) =f(b)− f(a)

b− a(3.59)

Exemplo 29 Seja f(x) = x3 + 1 e [a, b] = [1, 2]. Uma vez que f , sendo umpolinomio, e contınua e diferenciavel para todo x ∈ R, satisfaz as condicoesdo teorema anterior no intervalo [1, 2]. Neste caso tem-se f(a) = f(1) = 2,f(b) = f(2) = 9 e f ′(c) = 3c2. A equacao (3.59) neste caso e 3c2 = 7, cujassolucoes sao c =

√7/3 e c = −

√7/3. Destes dois valores apenas o primeiro

esta em ]1, 2[, portanto c =√

7/3 e o ponto cuja existencia o teorema dovalor medio garante.


O teorema que se segue e uma generalizacao do teorema anterior.

Teorema 46 (do valor medio, de Cauchy) Sejam f e g funcoes contınuasem [a, b] e diferenciaveis em ]a, b[ . Se g′(x) 6= 0 para todo x ∈ ]a, b[ , entaoexiste algum ponto c em ]a, b[ tal que

f ′(c)g′(c)

=f(b)− f(a)

g(b)− g(a)(3.60)

Demonstracao. Observe-se que g(b)−g(a) 6= 0, caso contrario, pelo teoremaanterior, seria g′(x) = 0 para algum x ∈ ]a, b[, o que contraria a hipotese.Porconveniencia, introduzimos uma nova funcao definida por

F (x) = [f(b)− f(a)] g(x)− [g(b)− g(a)] f(x) (3.61)

Nas condicoes enunciadas, F e contınua em [a, b] e diferenciavel em ]a, b[ etem-se F (a) = F (b) (verifique). O teorema do valor medio, de Lagrange,permite concluir que existe c em ]a, b[ tal que F ′(c) = 0, ou seja

[f(b)− f(a)] g′(c)− [g(b)− g(a)] f ′(c) = 0 (3.62)

e daqui resulta finalmente a relacao (3.60) .

Finalizaremos esta seccao com a apresentacao de uma importante tecnicapara a determinacao de certos limites. Por exemplo, no caso do limite

limx→0

sin x

x

tanto o numerador como o denominador tendem para zero quando x → 0. Ecostume designar limites como este por indeterminacoes do tipo 0

0. O teorema

seguinte diz-nos como proceder para resolver estas situacoes.

Teorema 47 (regra de L’Hopital) Representemos por lim um qualquer doslimites lim

x→a, lim

x→a−, lim

x→a+, lim

x→+∞, lim

x→−∞e suponhamos que lim f(x) = 0 e

lim g(x) = 0. Se lim [f ′(x)/g′(x)] tem um valor finito L ou se este limitee +∞ ou −∞, entao

limf(x)

g(x)= lim

f ′(x)

g′(x)(3.63)


Nota 1 Ha algumas condicoes implıcitas nas hipoteses deste teorema. Porexemplo, dizer que lim

x→a

f ′(x)g′(x)

= L requer que f ′/g′ esteja definida nalgum

intervalo aberto I contendo a (excepto possivelmente no proprio ponto a).Condicoes similares estao implıcitas nos outros casos.

Demonstracao. Consideraremos apenas o caso de ser

limx→a

f ′(x)

g′(x)= L. (3.64)

Como ja foi observado, (3.64) implica que existem intervalos [l, a[ e ]a, r] ondef ′ e g′ estao definidas e g′(x) 6= 0. Por conveniencia, definimos duas funcoesF e G por

F (x) =

{f(x), x 6= a

0, x = aG(x) =

{g(x), x 6= a

0, x = a(3.65)

F e G satisfazem as condicoes do teorema 46 nos intervalos [l, a] e [a, r](verifique) e, alem disso, tem-se

F ′(c) = f ′(c) e G′(c) = g′(c) (3.66)

para qualquer c (diferente de a) em [l, a] ou em [a, r] . Escolhendo um pontox em qualquer destes intervalos e aplicando o teorema 46 em [x, a] (ou [a, x]),concluımos que existe um numero c entre a e x tal que

F (x)− F (a)

G(x)−G(a)=

F ′(c)G′(c)

(3.67)

A partir de (3.65) e (3.66), podemos reescrever (3.67) na forma

f(x)

g(x)=

f ′(c)g′(c)

(3.68)

e, portanto,

limx→a

f(x)

g(x)= lim

x→a

f ′(c)g′(c)

(3.69)

Uma vez que c esta entre a e x, resulta que c → a quando x → a. Estefacto, junto com (3.64) , permite concluir que

limx→a

f ′(c)g′(c)

= limc→a

f ′(c)g′(c)

= L (3.70)


De (3.69) concluımos

limx→a

f(x)

g(x)= L (3.71)

Exemplo 30 Os limites (usados anteriormente)

limh→0

sin hh

= 1

limh→0

1−cos hh

= 0

podem ser obtidos por aplicacao da regra de L’Hopital (verifique).

Existe uma versao da regra de L’Hopital para o caso de ser lim f(x) = ∞e lim g(x) = ∞, isto e, a formula (3.63) tambem pode ser usada no caso deindeterminacoes do tipo ∞

∞ .

Exemplo 31 limx→+∞

xex = lim

x→+∞1ex = 0.

Outras indeterminacoes que podem ocorrer no calculo de limites de funcoessao da forma 0×∞, ∞−∞, 00, ∞0 ou 1∞. O procedimento usual e reduzircada um dos limites a uma indeterminacao da forma 0

0ou ∞

∞ e aplicar a regrade L’Hopital. Os exemplos seguintes ilustram este procedimento.

Exemplo 32 O limite limx→π

4

(1− tan x) sec 2x da lugar a uma indeterminacao

do tipo 0×∞. Tem-se:

limx→π

4

(1− tan x) sec 2x = limx→π

4

1− tan x

cos 2x

e estamos em presenca de uma indeterminacao do tipo 00. Aplicando a regra

de L’Hopital, obtemos

limx→π

4

1− tan x

cos 2x= lim

x→π4

− sec2 x

−2 sin 2x=−2

−2= 1

Exemplo 33 O limite limx→0

(1x− 1

sin x

)da lugar a uma indeterminacao do tipo

∞−∞. Tem-se:

limx→0

(1

x− 1

sin x

)= lim

x→0

sin x− x

x sin x


e estamos em presenca de uma indeterminacao do tipo 00. Aplicando a regra

de L’Hopital duas vezes, obtemos

limx→0

sin x− x

x sin x= lim

x→0

cos x− 1

sin x + x cos x

= limx→0

− sin x

cos x + cos x− x sin x

=0

2= 0

Exemplo 34 O limite limx→0

(1 + x)1x da lugar a uma indeterminacao do tipo

1∞. Fazendoy = (1 + x)

1x

obtem-se, aplicando logaritmos naturais,

log y =1

xlog (1 + x)

O limite

limx→0

log y = limx→0

log (1 + x)

x

conduz-nos a uma indeterminacao do tipo 00. A regra de L’Hopital neste caso

da

limx→0

log (1 + x)

x= lim

x→0

1/ (1 + x)

1= 1

Para completar o calculo do limite inicialmente proposto, basta observar quese log y → 1 quando x → 0, entao elog y → e1 (por ser ex uma funcaocontınua), donde se conclui que y → e e, portanto,

limx→0

(1 + x)1x = e.

No caso de indeterminacoes da forma 00 e ∞0, o procedimento e analogoao que foi usado neste exemplo, isto e, no caso de se ter y = f(x)g(x), cal-culamos lim log y = lim [g(x) log (f(x))] e a partir daqui o limite inicial, damaneira que ficou ilustrada.

Capıtulo 4

Serie de Taylor

Historicamente, uma das primeiras aplicacoes do Calculo consistiu no calculode valores de funcoes como sin x, log x e ex. A ideia fundamental era a deaproximar a funcao por um polinomio de tal maneira que o erro cometido naaproximacao fosse inferior a uma tolerancia fixada. Neste capıtulo, estuda-remos a aproximacao de funcoes por polinomios e re-visitaremos as series depotencias, ja estudadas no Capıtulo 1.

4.1 Polinomio de Taylor

Suponhamos que estamos interessados em aproximar uma funcao f por umpolinomio

p(x) = c0 + c1x + c2x2 + ... + cnxn (4.1)

num intervalo centrado em x = 0. Uma vez que p tem n + 1 coeficientes, po-demos impor n+1 condicoes sobre este polinomio: assumiremos que existemas derivadas de f , ate a ordem n, no ponto x = 0 e escrevemos

f(0) = p(0), f ′(0) = p′(0), f ′′(0) = p′′(0), · · · , f (n)(0) = p(n)(0). (4.2)

63

64 CAPITULO 4. SERIE DE TAYLOR

Com estas condicoes, esperamos que o polinomio p seja uma boa aproximacaode f , para todos os valores num intervalo centrado em x = 0. Uma vez que

p(x) = c0 + c1x + c2x2 + ... + cnxn

p′(x) = c1 + 2c2x + 3c3x2 + ... + ncnxn−1

p′′(x) = 2c2 + 3.2c3x + ... + n (n− 1) cnx

n−2

p′′′

(x) = 3.2c3 + ... + n (n− 1) (n− 2) cnxn−3

...p(n)(x) = n (n− 1) (n− 2) ...1.cn

obtemos, substituindo x por 0,

p(0) = c0

p′(0) = c1

p′′(0) = 2c2 = 2!c2

p′′′

(0) = 3.2c3 = 3!c3...p(n)(0) = n (n− 1) (n− 2) ...1.cn = n!cn.

Portanto, a partir de (4.2) resulta

f(0) = c0

f ′(0) = c1

f′′(0) = 2!c2

f′′′

(0) = 3!c3...f (n)(0) = n!cn

ou seja,

c0 = f(0), c1 = f ′(0), c2 =f ′′(0)

2!, c3 =

f′′′(0)

3!, · · · , cn =

f (n)(0)

n!.

(4.3)Substituindo estes valores em (4.1) obtemos o polinomio de Taylor de graun, no ponto x=0, para a funcao f:1

pn(x) = f(0) + f ′(0)x +f ′′(0)

2!x2 +

f′′′(0)

3!x3 + · · ·+ f (n)(0)

n!xn. (4.4)

1Falaremos tambem de polinomios de Taylor em pontos x 6= 0. No caso particular deser x = 0, o polinomio tambem costuma designar-se por polinomio de Maclaurin da funcaof.

4.1. POLINOMIO DE TAYLOR 65

Exemplo 35 Os polinomios de Taylor para a funcao f(x) = ex no pontox = 0 sao, atendendo a que, neste caso, f(0) = f ′(0) = · · · = f (n)(0) = 1,

p0(x) = f(0) = 1p1(x) = f(0) + f ′(0)x = 1 + x

p2(x) = f(0) + f ′(0)x + f ′′(0)2!

x2 = 1 + x + 12x2

p3(x) = f(0) + f ′(0)x + f ′′(0)2!

x2 + f′′′

(0)3!

x3 = 1 + x + 12x2 + 1

6x3

...

pn(x) = f(0) + f ′(0)x + f ′′(0)2!

x2 + · · ·+ f (n)(0)n!

xn = 1 + x + 12x2 + · · ·+ xn

n!.

Nota 2 Com sete algarismos correctos, o valor de f(x) = ex no ponto x =0.1 e e0.1 ≈ 1. 105 171. As aproximacoes proporcionadas pelos polinomios p0,p1, p2 e p3, determinados anteriormente, sao p0(0.1) = 1, p1(0.1) = 1.1,p2(0.1) = 1.105 e p3(0.1) ≈ 1. 105 167.

Exercıcio 20 Mostre que os polinomios de Taylor no ponto x = 0, paracada uma das funcoes indicadas, sao os que se apresentam a seguir (paran = 0, 1, 2, · · · )

f(x) polinomio de Taylor, no ponto x = 0

log(x + 1) pn(x) = x− x2

2+ x3

3− x4

4+ · · ·+ (−1)n+1 xn

n

sin x p2n+1(x) = x− x3

3!+ x5

5!− x7

7!+ · · ·+ (−1)n x2n+1

(2n+1)!

cos x p2n(x) = 1− x2

2!+ x4

4!− x6

6!+ · · ·+ (−1)n x2n

(2n)!.

(4.5)

Se estivermos interessados num polinomio que aproxime a funcao f numintervalo centrado em a 6= 0, entao teremos de escolher um polinomio p talque o valor de p e das sucessivas derivadas, no ponto a, coincidam com osvalores de f e das sucessivas derivadas, no mesmo ponto a. E convenienterepresentar este polinomio na forma

p(x) = c0 + c1 (x− a) + c2 (x− a)2 + ... + cn (x− a)n (4.6)

e fica como exercıcio para os alunos mostrar que, tal como para o caso a = 0,tem-se

c0 = f(a), c1 = f ′(a), c2 =f ′′(a)

2!, c3 =

f′′′(a)

3!, · · · , cn =

f (n)(a)

n!(4.7)


Entrando com estes valores em (4.6) , obtemos o polinomio de Taylor, degrau n, no ponto a, para a funcao f

pn(x) = f(a) + f ′(a) (x− a) +f ′′(a)

2!(x− a)2 +

f′′′(a)

3!(x− a)3 + · · ·

+f (n)(a)

n!(x− a)n (4.8)

Exemplo 36 Vamos determinar os polinomios de Taylor p1(x), p2(x) e p3(x)para a funcao f(x) = sin x, no ponto x = π

3. Tem-se,

f(x) = sin x f(

π3

)=

√3

2

f ′(x) = cos x f ′(

π3

)= 1

2

f′′(x) = − sin x f ′′

(π3

)= −

√3

2

f′′′(x) = − cos x f

′′′ (π3

)= −1

2.

Entrando com estes valores em (4.8) , resulta

p1(x) = f(

π3

)+ f ′

(π3

) (x− π

3

)=

√3

2+ 1

2

(x− π

3

)

p2(x) = f(

π3

)+ f ′

(π3

) (x− π

3

)+

f ′′(π3 )

2!

(x− π

3

)2

=√

32

+ 12

(x− π

3

)−√

32.2!

(x− π

3

)2

p3(x) = f(

π3

)+ f ′

(π3

) (x− π

3

)+

f ′′(π3 )

2!

(x− π

3

)2+

f′′′(π

3 )3!

(x− π

3

)3

=√

32

+ 12

(x− π

3

)−√

32.2!

(x− π

3

)2 − 12.3!

(x− π

3

)3.

4.2 Series de Taylor

Uma vez que os valores de f e das suas primeiras n derivadas coincidem comos valores do polinomio de Taylor e das suas primeiras n derivadas, no pontox = a, e de esperar que, a medida que n cresce, o polinomio de Taylor degrau n proporcione melhores aproximacoes para a funcao f, pelo menos emalgum intervalo centrado no ponto x = a. Esta questao levanta o problemade encontrar os valores de x para os quais os polinomios de Taylor convergempara f(x) quando n → +∞. Por outras palavras, para que valores de x severifica

f(x) = limn→+∞

n∑

k=0

f (k) (a)

k!(x− a)k =

∞∑

k=0

f (k) (a)

k!(x− a)k (4.9)

4.3. A FORMULA DE TAYLOR COM RESTO 67

Esta serie de potencias e chamada a serie de Taylor para a funcao f , no pontox = a. 2

Exemplo 37 Determinar a serie de Taylor para a funcao f(x) = 1/x, noponto x = 1. Tem-se:

f(x) = 1x

f(1) = 1f ′(x) = − 1

x2 f ′(1) = −1f ′′(x) = 2

x3 f ′′(1) = 2!f ′′′(x) = −3.2

x4 f ′′′(1) = −3!f (4)(x) = 4.3.2

x5 f (4)(1) = 4!...

...

f (k)(x) = (−1)k k!xk+1 f (k)(1) = (−1)k k!

......

e a serie de Taylor, neste caso, e∞∑

k=0

(−1)k k!

k!(x− 1)k =

∞∑

k=0

(−1)k (x− 1)k (4.10)

= 1− (x− 1) + (x− 1)2 − (x− 1)3 + · · ·+ (−1)k (x− 1)k + · · ·

4.3 A formula de Taylor com resto

Nesta seccao trataremos de estudar o erro que se comete quando se aproximauma funcao f por um polinomio de Taylor, ou, por outras palavras, estuda-remos a convergencia das series de Taylor. Quando aproximamos o valor def(x) pelo valor pn(x) do polinomio de Taylor,de grau n, o erro que se cometee a diferenca f(x)− pn(x). Esta diferenca designa-se por resto de ordem n eescreve-se

Rn(x) = f(x)− pn(x) (4.11)

O teorema seguinte da-nos uma importante expressao para este resto.

Teorema 48 (de Taylor) Seja f uma funcao diferenciavel ate a ordem n+1em cada ponto de um intervalo que contem o ponto a, e seja

pn(x) = f(a)+f ′(a) (x− a)+f ′′(a)

2!(x− a)2 + · · ·+ f (n)(a)

n!(x− a)n (4.12)

2No caso particular de ser a = 0, a serie de Taylor tambem costuma designar-se porserie de Maclaurin da funcao f.


o polinomio de Taylor de grau n, no ponto a, para a funcao f. Entao, paracada x no intervalo referido, existe pelo menos um ponto c, entre a e x, 3 talque

Rn(x) =f (n+1)(c)

(n + 1)!(x− a)n+1 (4.13)

Demonstracao. Por hipotese, f pode ser diferenciada n + 1 vezes em cadaponto de um intervalo contendo o ponto a. Seja b > a um ponto deste inter-valo (os casos b < a e b = a sao deixados ao cuidado dos alunos) e seja pn(x)o polinomio de Taylor,de grau n, de f, no ponto a. Definamos

h(x) = f(x)− pn(x) (4.14a)

g(x) = (x− a)n+1 (4.14b)

Uma vez que f e pn tem os mesmo valor no ponto x = a, o mesmo ocorrendocom as respectivas derivadas ate a ordem n, resulta que

h(a) = h′(a) = h′′(a) = · · · = h(n)(a) = 0 (4.15)

Da mesma maneira, tem-se

g(a) = g′(a) = g′′(a) = · · · = g(n)(a) = 0 (4.16)

e num ponto x 6= a, g(x), g′(x), g′′(x), · · · , g(n)(x) sao diferentes de zero. Efacil verificar que as funcoes h e g satisfazem as hipoteses do teorema do valormedio, de Cauchy, no intervalo [a, b], e podemos entao concluir que existe umponto c1, a < c1 < b, tal que

h(b)− h(a)

g(b)− g(a)=

h′ (c1)

g′ (c1)(4.17)

ou, atendendo a (4.15) e (4.16) ,

h(b)

g(b)=

h′ (c1)

g′ (c1)(4.18)

Se aplicarmos agora o mesmo teorema as funcoes h′ e g′ no intervalo [a, c1],concluımos que existe um ponto c2, a < c2 < c1, tal que

h′(c1)− h′(a)

g′(c1)− g′(a)=

h′′ (c2)

g′′ (c2)(4.19)

3Usaremos a expressao “c esta entre a e x” para significar que c ∈ ]a, x[ se a < x ouque c ∈ ]x, a[ se x < a, ou c = a = x se a = x.


e de novo, por (4.15) e (4.16) ,

h′(c1)

g′(c1)=

h′′ (c2)

g′′ (c2)(4.20)

igualdade que, combinada com (4.18) , da

h(b)

g(b)=

h′′ (c2)

g′′ (c2)(4.21)

Se continuarmos desta maneira, aplicando o teorema do valor medio de Cau-chy as sucessivas derivadas de h e g, chegamos a uma relacao da forma

h(b)

g(b)=

h(n+1) (cn+1)

g(n+1) (cn+1)(4.22)

onde a < cn+1 < b. Uma vez que pn e um polinomio de grau n, a sua derivadade ordem n + 1 e nula, e, por esta razao, de (4.14a) , tem-se

h(n+1) (cn+1) = f (n+1) (cn+1) (4.23)

e de (4.14b) concluımos

g(n+1) (cn+1) = (n + 1)! (4.24)

Substituindo (4.23) e (4.24) em (4.22) , da

h(b)

g(b)=

f (n+1) (cn+1)

(n + 1)!(4.25)

Finalmente, fazendo c = cn+1 e usando (4.14a) e (4.14b) , concluımos

f(b)− pn(b) =f (n+1) (cn+1)

(n + 1)!(b− a)n+1

Mas, sendo b um ponto arbitrariamente escolhido no intervalo que contem a,basta agora substituir b por x para obter (4.13) .

Usando a expressao (4.13), podemos escrever a formula de Taylor comresto:

f(x) = f(a) + f ′(a) (x− a) +f ′′(a)

2!(x− a)2 + · · ·+ f (n)(a)

n!(x− a)n

+f (n+1)(c)

(n + 1)!(x− a)n+1 (4.26)


Esta formula expressa f(x) como soma do polinomio de Taylor, de ordemn, no ponto x = a, e do resto (ou erro) de ordem n. Note-se que o pontoc depende de a, x e n. O resto Rn(x) escrito na forma dada em (4.13) ,designa-se por resto na forma de Lagrange. Existem outras formas para oresto Rn(x).

Exemplo 38 Vimos anteriormente que o polinomio de Taylor para a funcaof(x) = ex, no ponto a = 0, e

pn(x) = 1 + x +x2

2!+ · · ·+ xn

n!

Uma vez que f (n+1)(x) = ex, a formula de Taylor com resto neste caso e

ex = 1 + x +x2

2!+ · · ·+ xn

n!+

ec

(n + 1)!xn+1 (4.27)

onde c esta entre 0 e x. Esta formula e valida para para qualquer x real,porque as condicoes do teorema de Taylor sao satisfeitas em ]−∞, +∞[.

Exemplo 39 No exemplo 36, vimos que o polinomio de Taylor, de grau 3,para a funcao f(x) = sin x, no ponto a = π

3, e

p3(x) =

√3

2+

1

2

(x− π

3

)−√

3

2.2!

(x− π

3

)2

− 1

2.3!

(x− π

3

)3

Uma vez que f (4) (x) = sin x, podemos escrever a formula de Taylor comresto de ordem 3

sin x =

√3

2+

1

2

(x− π

3

)−√

3

2.2!

(x− π

3

)2

− 1

2.3!

(x− π

3

)3

+sin c

4!

(x− π

3

)4

(4.28)com c entre x e π

3.

Ja anteriormente levantamos o problema de determinar aqueles valoresde x para os quais a serie de Taylor de f no ponto x = a, converge para f(x).A partir de (4.26) , conclui-se imediatamente o seguinte


Teorema 49 A igualdade

f(x) =∞∑

k=0

f (k) (a)

k!(x− a)k

verifica-se se e so se limn→+∞

Rn(x) = 0

Exemplo 40 Vamos mostrar que

ex = 1 + x +x2

2!+ · · ·+ xn

n!+ · · · (4.29)

se verifica para todo x. Isto e, teremos de provar que

limn→+∞

Rn(x) = limn→+∞

ec

(n + 1)!xn+1 = 0 (4.30)

para todo x. No capıtulo 1, quando estudamos series de potencias, concluımosque a serie

∑∞n=0

xn

n!converge para todo o x. Tal implica que

limn→+∞

xn+1

(n + 1)!= 0 (4.31)

Consideraremos 3 casos (x > 0, x < 0, x = 0). No caso de ser x > 0, tem-se

0 < c < x (4.32)

e0 < ec < ex (4.33)

e, portanto,

0 <ec

(n + 1)!xn+1 <

ex

(n + 1)!xn+1 (4.34)

Usando (4.31) , obtemos

limn→+∞

ex

(n + 1)!xn+1 = ex xn+1

(n + 1)!= ex.0 = 0 (4.35)

De (4.34) e (4.35) , concluımos (4.30) . No caso de ser x < 0, temos c < 0 (cesta entre 0 e x), logo

0 < ec < 1 (4.36)


e

0 < ec

∣∣∣∣xn+1

(n + 1)!

∣∣∣∣ <

∣∣∣∣xn+1

(n + 1)!

∣∣∣∣ (4.37)

ou seja

0 <

∣∣∣∣ec

(n + 1)!xn+1

∣∣∣∣ <

∣∣∣∣xn+1

(n + 1)!

∣∣∣∣ (4.38)

isto e,

0 < |Rn(x)| <∣∣∣∣

xn+1

(n + 1)!

∣∣∣∣ (4.39)

De (4.31) conclui-se que

limn→+∞

|Rn(x)| = 0 (4.40)

logo

limn→+∞

Rn(x) = 0 (4.41)

A convergencia no caso x = 0 e obvia, uma vez que neste caso a igualdade(4.29) reduz-se a

e0 = 1 + 0 + 0 + · · ·

Exercıcio 21 Mostre que a igualdade

sin x = x− x3

3!+

x5

5!− x7

7!+ · · ·

se verifica para todo o x. (sugestao: mostre que se tem 0 ≤ |Rn(x)| ≤ |x|n+1

(n+1)!

e conclua a partir daqui).

Exercıcio 22 Determine a serie de Taylor para a funcao sin x no pontox = π

2e mostre que a serie converge para sin x, para todo x.

Pode mostrar-se que as series de Taylor para as funcoes ex, sin x e cos x,em qualquer ponto x = a, convergem para estas funcoes, para todo x.

Algumas vezes, podemos obter series de Taylor a partir de outras seriesde Taylor.


Exemplo 41 A partir da serie

ex = 1 + x +x2

2!+ · · ·+ xn

n!+ · · ·

valida para todo o x, podemos escrever a correspondente serie para a funcaof(x) = e−x, substituindo x por −x,

e−x = 1− x +x2

2!− x3

3!+ · · ·+ (−1)n xn

n!+ · · ·

valida para todo x. A partir destas duas series podemos escrever a serie paracosh x = 1

2(ex + e−x)

cosh x = 1 +x2

2!+

x4

4!+ · · ·

valida para todo x.

Exemplo 42 Sabendo que a serie de Taylor para a funcao f(x) = 11−x

, noponto a = 0, e

1

1− x=

∞∑

k=0

xk = 1 + x + x2 + x3 + · · ·

valida para−1 < x < 1

(verifique), podemos obter a serie de Taylor para a funcao 1/(1− 2x2), subs-tituindo x por 2x2,

1

1− 2x2= 1 +

(2x2

)+

(2x2

)2+

(2x2

)3+ · · · , −1 < 2x2 < 1

ou seja

1

1− 2x2= 1 + 2x2 + 4x4 + 8x6 + · · · =

∞∑

k=0

2kx2k, − 1√2

< x <1√2

Capıtulo 5

Primitivas

5.1 Primitivas de uma funcao

Seja f uma funcao real, de variavel real, definida no intervalo ]a, b[ . O pro-blema que se coloca agora e o de encontrar (se existir) uma funcao F tal queF ′(x) = f(x) para todo x ∈ ]a, b[ . A funcao F chama-se primitiva de f (ouintegral indefinido) e escreve-se

F = Pf (5.1)

ou

F (x) =

∫f(x)dx (5.2)

O sımbolo dx serve apenas para indicar a variavel independente em ordem aqual se esta a primitivar.

Por exemplo, as funcoes

1

3x3,

1

3x3 + 2,

1

3x3 − π

sao primitivas de x2. Este exemplo mostra que a primitiva de uma funcao,ao contrario da derivada, nao esta univocamente determinada. De facto, seF e uma primitiva de f, entao F + c, onde c e uma constante real qualquer,tambem e uma primitiva de f, uma vez que

(F + c)′ = F ′ + c′ = f (5.3)

75

76 CAPITULO 5. PRIMITIVAS

A questao que se coloca naturalmente e a de saber se existem outras primi-tivas de f que nao sao da forma F + c. A resposta e negativa e a justificacaobaseia-se no seguinte resultado, que e uma consequencia do teorema do valormedio, de Lagrange: se h′(x) = 0, para todo num certo intervalo, entao h econstante nesse intervalo. Portanto, se F e G forem primitivas de f, tem-se

F ′(x)−G′(x) = 0

e conclui-se que F (x) + G(x) e constante em ]a, b[ ,ou seja G(x) = F (x) + c.Tem-se, entao

Teorema 50 Se F e uma primitiva de f , entao F +c, onde c representa umaconstante arbitraria, tambem e uma primitiva de f ; e em qualquer intervalo,toda a primitiva de f e da forma F + c.

Exemplo 43 Uma vez que, para todo x, tem-se (sin x)′ = cos x, as primiti-vas de cos x sao da forma sin x + c, e escrevemos

P cos x = sin x + c

ou ∫cos xdx = sin x + c

onde c representa uma constante arbitraria (que se costuma designar porconstante de integracao).

Como e evidente, no calculo de primitivas ha que ter presentes as formulasde derivacao. Na tabela seguinte, recordam-se algumas formulas de derivacaoe apresentam-se as correspondentes formulas de primitivacao

.

Formula de derivacao Formula de primitivacaoddx

[x] = 1∫

1dx = x + cddx

[xr+1

r+1

]= xr(r 6= −1)

∫xrdx = xr+1

r+1+ c (r 6= −1)

ddx

[sin x] = cos x∫

cos xdx = sin x + cddx

[− cos x] = sin x∫

sin xdx = − cos x + cddx

[tan x] = sec2 x∫

sec2 xdx = tan x + cddx

[− cot x] = csc2 x∫

csc2 xdx = − cot x + cddx

[sec x] = sec x tan x∫

sec x tan xdx = sec x + cddx

[− csc x] = csc x cot x∫

csc x cot xdx = − csc x + c

5.1. PRIMITIVAS DE UMA FUNCAO 77

Exemplo 44 A partir da segunda formula de primitivacao da tabela ante-rior, obtemos

∫x2dx = x3

3+ c∫

1x5 dx =

∫x−5dx = x−5+1

−5+1 + c = − 14x4 + c∫ √

xdx =∫

x12 dx = x

12+1

12+1

+ c = 23x

32 + c = 2

3(√

x)3+ c

Teorema 51 Tal como para as derivadas, tem-se as seguintes propriedadesfundamentais das primitivas:

∫cf(x)dx = c

∫f(x)dx∫

[f(x) + g(x)] dx =∫

f(x)dx +∫

g(x)dx(5.4)

Demonstracao. Para provar a primeira propriedade, devemos mostrar quec∫

f(x)dx e uma primitiva de f e para provar a segunda propriedade devemosmostrar que

∫f(x)dx +

∫g(x)dx e uma primitiva de f + g. Estas conclusoes

sao imediatas atendendo a

d

dx

[c

∫f(x)dx

]= c

d

dx

[∫f(x)dx

]= cf(x)

e

d

dx

[∫f(x)dx +

∫g(x)dx

]=

d

dx

[∫f(x)dx

]+

d

dx

[∫g(x)dx

]

= f(x) + g(x)

Exemplo 45

∫ (4 cos x +

1

x

)dx = 4

∫cos xdx +

∫1

xdx

= 4 sin x + log |x|+ c


∫[f(x)− g(x)] dx =

∫f(x)dx−

∫g(x)dx


Nota 3 A funcao f(x) na expressao∫

f(x)dx e chamada a funcao inte-granda. Algumas vezes, para tornar a escrita mais compacta, o sımbolo dx eincorporado na funcao integranda. Por exemplo

∫1x2 dx pode escrever-se na

forma∫

dxx2 .

Em muitas situacoes, e necessario re-arranjar a funcao integranda antesde proceder ao calculo da primitiva.

Exemplo 46

∫cos x

sin2 xdx =

∫1

sin x

cos x

sin xdx =

∫csc x cot xdx = − csc x + c

Exemplo 47

∫t2 − 2t4

t4dt =

∫ (1

t2− 2

)dt =

∫ (t−2 − 2

)dt

=t−1

−1− 2t + c = −1

t− 2t + c

5.2 Primitivacao por partes

Sendo f e g duas funcoes diferenciaveis, a regra da derivada do produto, e,como se sabe

[f(x)g(x)]′ = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x) (5.5)

A partir daqui, tem-se

∫f ′(x)g(x) + f(x)g′(x)dx = f(x)g(x) + c (5.6)

Nesta forma, esta regra de primitivacao nao e muito util, pois so por acaso afuncao integranda nos aparecera na forma indicada. Porem, a partir de (5.6)podemos escrever

∫f ′(x)g(x)dx +

∫f(x)g′(x)dx = f(x)g(x) + c (5.7)

e ∫f ′(x)g(x)dx = f(x)g(x)−

∫f(x)g′(x)dx (5.8)

5.2. PRIMITIVACAO POR PARTES 79

Esta regra e util em muitas situacoes 1 mas, como e evidente, so tem interessese o calculo de

∫f(x)g′(x)dx for mais simples que o calculo de

∫f ′(x)g(x)dx.

Exemplo 48 Para calcular∫

(x sin x) dx, considerando f ′(x) = sin x e g(x) =x, obtemos usando a regra anterior

∫(x sin x) dx = x cos x−

∫cos xdx = x cos x− sin x + c

Observe-se que se, no exemplo anterior, tivessemos considerado f ′(x) = xe g(x) = sin x, a aplicacao da regra (5.8) daria

∫(x sin x) dx =

x2

2sin x−

∫x2

2cos xdx

e o calculo de∫

x2

2cos xdx nao e mais simples do que o calculo de

∫(x sin x) dx.


(x log x) dx, fazemos f ′(x) = x e g(x) = log x;vem

∫(x log x) dx =

x2

2log x−

∫ (x2

2.1

x

)dx

=x2

2log x− x2

4+ c

Nalguns casos, e necessario usar a regra (5.8) mais do que uma vez.

Exemplo 50∫ (

x2 sin x)dx = −x2 cos x +

∫(2x cos x) dx

= −x2 cos x +

[2x sin x−

∫2 sin xdx

]

= −x2 cos x + 2x sin x + 2 cos x + c

O facto da funcao integranda ser um produto de duas funcoes nao obrigaa usar-se a regra de primitivacao por partes; pode ate tratar-se de umaprimitiva imediata como acontece no exemplo seguinte.

1Para simplificar, omitimos a constante c na regra; a constante de integracao aparecerano resultado final, quando calcularmos

∫f(x)g′(x)dx.


Exemplo 51∫

(e−x sin e−x) dx = cos e−x + c (observe-se que temos, repre-sentando por u uma funcao de x,

∫(u′ sin u) dx = − cos u + c).

Por outro lado, a regra (5.8) pode ser util mesmo em casos que a funcaointegranda nao aparece como um produto de duas funcoes; por vezes, aintroducao do factor 1 permite resolver o problema.


log xdx (x > 0), podemos fazer f ′(x) = 1 eg(x) = log x; resulta

∫log xdx = x log x−

∫ (x.

1

x

)dx

= x log x− x + c

5.3 Primitivacao por substituicao

Nesta seccao estudamos uma tecnica de primitivacao, designada por substi-tuicao ou mudanca de variavel, que e usada com frequencia para simplificar oproblema de integrar uma funcao. Esta tecnica pode expressar-se pela regraseguinte (∫

f(x)dx

)

x=g(t)

=

∫f [g (t)] g′(t)dt (5.9)

onde a variavel x e substituıda por uma expressao em t (admitimos que g einvertıvel e derivavel).

Para provar que a igualdade (5.9) e verdadeira, basta, pela definicao deprimitiva, mostrar que a derivada em ordem a t de

(∫f(x)dx

)

x=g(t)

e igual af [g (t)] .g′(t)

Pela regra da cadeia (teorema da derivada da funcao composta), temos

d

dt

(∫f(x)dx

)

x=g(t)

= f(x)|x=g(t).g′(t)

= f [g (t)] g′(t)dt

5.3. PRIMITIVACAO POR SUBSTITUICAO 81

o que prova o que que pretendıamos. Sendo g uma funcao invertıvel podemosescrever ∫

f(x)dx =

(∫f [g (t)] g′(t)dt

)

t=g−1(x)

O problema principal e o de saber, em cada caso, qual e a substituicaoadequada. Existem, para varios tipos de funcoes, tabelas que nos indicamquando devemos fazer uma determinada substituicao. 2 Nao nos alongaremosmuito sobre este problema e apresentaremos apenas alguns exemplos quecomprovam a utilidade da tecnica de substituicao no calculo de primitivas.

Exemplo 53 Para primitivar a funcao x7

x16+4, podemos fazer x8 = t, ou seja,

para t > 0, x = g(t) = 8√

t e g′(t) = 18t−

78 . Usando (5.9) , podemos escrever

∫x7

x16 + 4dx =

∫t

78

t2 + 4

t−78

8dt

=1

8

∫1

t2 + 4dt

=1

32

∫1

(t/2)2 + 1dt

=1

16

∫1/2

(t/2)2 + 1dt

=1

16arctan

t

2+ c

=1

16arctan

x8

2+ c

Exemplo 54 Para primitivar a funcao x2√

x− 1, podemos fazer x− 1 = t,ou seja x = g(t) = t + 1 e g′(t) = 1. Usando (5.9) , podemos escrever

∫x2√

x− 1dx =

∫ (t2 + 2t + 1

)t

12 dt

=

∫ (t5/2 + 2t3/2 + t1/2

)dt

=2

7t7/2 +

4

5t5/2 +

2

3t3/2 + c

=2

7(x− 1)7/2 +

4

5(x− 1)5/2 +

2

3(x− 1)3/2 + c

2ver, por exemplo, [3].


Exemplo 55 Para primitivar a funcao x4 3√

3− 5x5, podemos fazer 3−5x5 =

t, ou seja x = g(t) =(

3−t5

) 15 e g′(t) = − 1

25

(3−t5

)− 45 . Usando (5.9) , podemos

escrever

∫x4 3√

3− 5x5dx = − 1

25

∫ (3− t

5

) 45

t13

(3− t

5

)− 45

dt

= − 1

25

∫t

13 dt = − 1

25

t4/3

4/3+ c

= − 3

100

(3− 5x5

)4/3+ c

Exemplo 56 Para primitivar a funcao [csc (sin x)]2 cos x, podemos fazer sin x =t, ou seja x = g(t) = arcsin t e g′(t) = 1√

1−t2Usando (5.9) , podemos escrever

∫[csc (sin x)]2 cos xdx =

∫csc2 t.

cos x√1− sin2 x

dt

=

∫csc2 tdt

= − cot (sin x) + c

5.4 Primitivacao de fraccoes racionais

Para calcular as primitivas de uma funcao da forma

P (x)

Q(x)=

a0xm + a1x

m−1 + · · ·+ am−1x + am

b0xn + b1xn−1 + · · ·+ bn−1x + bn

(5.10)

devemos comecar por decompor este quociente (fraccao racional) na somade fraccoes mais simples que tenham primitivas imediatas. No caso de serm ≥ n, a divisao de polinomios da

P (x)

Q(x)= D(x) +

R(x)

Q(x)

onde D e um polinomio, portanto de primitivacao imediata. O problemareduz-se entao ao calculo das primitivas da fraccao R(x)

Q(x)onde o grau do nu-

merador e inferior ao grau do denominador. Por esta razao, sem perda degeneralidade, podemos assumir que, em (5.10) , e m < n.

5.4. PRIMITIVACAO DE FRACCOES RACIONAIS 83

Sendo Q(x) um polinomio de coeficientes reais, podemos decompo-lo numproduto de factores do tipo

Q(x) = c0 (x− α)p (x− β)q · · · [(x− a)2 + b2]r

(5.11)

onde α e β sao zeros de multiplicidade p e q, respectivamente e a± bi e umpar de zeros complexos (conjugados) de multiplicidade r.

Pode provar-se que se tem a decomposicao seguinte (ver [3], paginas 77-81)

P (x)

Q(x)=

Ap

(x− α)p +Ap−1

(x− α)p−1 + · · ·+ A2

(x− α)2 +A1

(x− α)+

+Bq

(x− β)q +Bq−1

(x− β)q−1 + · · ·+ B2

(x− β)2 +B1

(x− β)+ (5.12)

+ · · ·++

Cr + Drx[(x− a)2 + b2

]r + · · ·+ C2 + D2x[(x− a)2 + b2

]2 +C1 + D1x[

(x− a)2 + b2]

com Ap, · · · , A1,Bq, · · · , B1, · · · , Cr, Dr, · · · , C1, D1 constantes a determinar.Reduzimos desta maneira a fraccao inicial a uma soma de fraccoes (designa-das por elementos simples) que sao todas de primitivacao imediata.

Exemplo 57 Se queremos primitivar a fraccao racional

2x + 5

(x + 2) (x− 3)3 [(x− 2)2 + 32

] [(x + 1)2 + 22

]3

comecamos por decompor a fraccao em elementos simples

2x + 5

(x + 2) (x− 3)3 [(x− 2)2 + 32

] [(x + 1)2 + 22

]3 =

=A1

(x + 2)+

B3

(x− 3)3 +B2

(x− 3)2 +B1

(x− 3)+

C1x + D1

(x− 2)2 + 32

+E3x + F3[

(x + 1)2 + 22]3 +

E2x + F2[(x + 1)2 + 22

]2 +E1x + F1

(x + 1)2 + 22

Resta agora o problema da determinacao das constantes. Existem variasprocessos, alguns dos quais sao ilustrados nos exemplos que a seguir se apre-sentam.


Exemplo 58 Para determinar∫

dxx2−4

, comecamos por factorizar o denomi-nador: x2 − 4 = (x− 2) (x + 2) . Agora, tem-se

1

x2 − 4=

A

x− 2+

B

x + 2

donde resulta

1 = A (x + 2) + B (x− 2)

Identificando os coeficientes dos termos semelhantes, vem o sistema

{A + B = 0

2A− 2B = 1

cuja solucao e {A = 1

4

B = −14

Finalmente, podemos escrever

∫dx

x2 − 4=

∫ (1/4

x− 2+−1/4

x + 2

)dx

=1

4log |x− 2| − 1

4log |x + 2|+ c

=1

4log

∣∣∣∣x− 2

x + 2

∣∣∣∣ + c

O metodo que acabamos de usar para determinar as constantes A e Be o chamado metodo dos coeficientes indeterminados; trata-se do metodomais geral mas pode ser bastante trabalhoso nalguns casos. Observe-se quetemos que resolver um sistema de equacoes lineares com tantas equacoes eincognitas quantas as constantes a determinar. No caso do exemplo 57, autilizacao do metodo dos coeficientes indeterminados obriga-nos a resolverum sistema com 12 equacoes. Convem, entao conhecer outros metodos quetornem mais simples o processo da determinacao destas constantes. Porexemplo, a partir de

1 = A (x + 2) + B (x− 2)

fazendo x = 2, resulta imediatamente 1 = 4A, ou seja A = 1/4, e fazendox = −2, resulta 1 = −4B, donde B = −1/4.

5.4. PRIMITIVACAO DE FRACCOES RACIONAIS 85


3x+5x3−x2−x+1

dx, comecamos por factorizar o

denominador: x3 − x2 − x + 1 = (x + 1) (x− 1)2 . Agora, tem-se

3x + 5

x3 − x2 − x + 1=

A

x + 1+

B

x− 1+

C

(x− 1)2

donde

3x + 5 = A (x− 1)2 + B (x + 1) (x− 1) + C (x + 1)

Fazendo x = −1, resulta 2 = 4A, ou seja, A = 1/2; com x = 1 da 8 = 2C,ou seja, C = 4. Para determinar a constante que falta, usamos outro valorde x, por exemplo x = 0; para x = 0, obtem-se 5 = A− B + C e B = −1/2.Entao

∫3x + 5

x3 − x2 − x + 1dx =

1

2

∫dx

x + 1− 1

2

∫dx

x− 1+ 4

∫dx

(x− 1)2

=1

2log |x + 1| − 1

2log |x− 1| − 4

x− 1+ c

=1

2log

∣∣∣∣x + 1

x− 1

∣∣∣∣−4

x− 1+ c


x2+2x3−1

dx, comecamos por factorizar o deno-minador: x3 − 1 = (x− 1) (x2 + x + 1) . Agora, tem-se

x2 + 2

x3 − 1=

A

x− 1+

Bx + C

x2 + x + 1

donde

x2 + 2 = A(x2 + x + 1

)+ (x− 1) (Bx + C)

Fazendo x = 1, resulta 3 = 3A, ou seja, A = 1; para x = 0 da 2 = A − C,


logo C = −1; para x = −1, resulta 3 = A + 2B − 2C, donde B = 0. Entao∫

x2 + 2

x3 − 1dx =

∫dx

x− 1−

∫dx

x2 + x + 1

=

∫dx

x− 1−

∫dx(

x + 12

)2+ 3

4

= log |x− 1| −∫

dx

34

[(x + 1

2

)2+ 1

]

= log |x− 1| −∫

dx

34

[(2√3x +

√3)2

+ 1

]

= log |x− 1| −√

3

2

4

3

∫2/√

3(2√3x +

√3)2

+ 1dx

= log |x− 1| − 2√

3

3arctan

(2x + 1√

3

)+ c

5.5 Consideracoes finais

O calculo manual de primitivas assume uma importancia cada vez menorpara os que utilizam a Matematica. Por um lado, um elevado numero deprimitivas que aparece na pratica diz respeito a funcoes cuja primitiva naopode ser calculada pelos metodos que foram aqui expostos. Por outro lado,existem programas de computador cada vez mais eficazes para o calculo deprimitivas. Com efeito, o calculo de primitivas pode ser encarado, sob oponto de vista algebrico, como um conjunto de regras a executar segundouma sequencia determinada. Para ficar a saber um pouco mais sobre ahistoria do calculo automatico de primitivas, veja [3], paginas 92 e 93.

Usamos o sistema Mathematica R© para calcular a primitiva do ultimoexemplo da seccao anterior:

Integrate[(xˆ2+2)/(xˆ3-1),x]

e o resultado obtido foi (note-se que resultado dado pelo sistema naoinclui a constante de integracao)

−2ArcTan[

1+2x√3

]√

3+2

3Log [−1 + x]−1

3Log [1 + x + x2] +1

3Log [−1 + x3]

5.5. CONSIDERACOES FINAIS 87

Observe-se que esta expressao nao coincide com a que ja tinha sido obtidaanteriormente. Tal nao significa que alguma destas expressoes esta errada;elas representam efectivamente o mesmo conjunto de funcoes.

Capıtulo 6

Integral de Riemann

6.1 Definicao

Definicao 25 Seja [a, b] um intervalo real. Chamamos particao do intervalo[a, b] a um qualquer conjunto finito P de sub-intervalos de [a, b], isto e,

P = {[x0, x1] , [x1, x2] , · · · [xn−1, xn]}onde

x0 = a < x1 < x2 < · · · xn−1 < b = xn

Amplitude da particao P e a maior das amplitudes dos sub-intervalos, istoe, o valor

‖P‖ := max0≤k≤n−1

|xk+1 − xk|

Definicao 26 Seja f uma funcao limitada em [a, b]. Considere-se uma particaode [a, b] e em cada sub-intervalo um ponto arbitrario, yk∈ [xk, xk+1] . A soma

n−1∑

k=0

(xk+1 − xk) f(yk) (6.1)

designa-se por soma de Riemann para f , no intervalo [a, b], relativa a particaoconsiderada.

Observe-se que, para cada particao, existem muitas somas de Riemannpossıveis, bastando para tal variar a escolha de yk em cada intervalo [xk, xk+1] .

89

90 CAPITULO 6. INTEGRAL DE RIEMANN

No caso de ser f positiva, a expressao (6.1) e a soma das areas dos rectangulosque tem por base os intervalos da particao e por altura o valor f(yk).

A questao importante que se coloca agora e a de saber se as somas deRiemann de uma funcao f, definida em em [a, b], convergem para algumvalor, quando a amplitude das particoes consideradas converge para zero(independentemente da escolha dos valores yk).

Definicao 27 Seja f uma funcao limitada em [a, b]. Considere-se uma particaode [a, b] e em cada sub-intervalo um ponto arbitrario yk ∈ [xk, xk+1] . Sejask = f(yk). Ao numero real I tal que a diferenca

∣∣∣∣∣I −n−1∑

k=0

sk (xk+1 − xk)

∣∣∣∣∣

se pode tornar tao pequena quanto se queira para todas as somas possıveis,desde que o valor da amplitude ‖P‖ (para qualquer particao P do intervalo[a, b]) seja suficientemente pequeno, chamamos integral definido da funcaof , no intervalo [a, b].

Podemos escrever

I = lim‖P‖→0

n−1∑

k=0

sk (xk+1 − xk)

desde que observemos que este limite nao e o limite usual de funcoes, masum limite cujo significado formal e o da definicao dada.

Ao integral definido tambem se costuma chamar integral de Riemann(para distinguir de outros tipos de integrais que nao estudaremos). Dado ointegral definido ∫ b

a

f(x)dx

e costume chamar a f a funcao integranda e a [a, b] o intervalo de integracao.

6.1. DEFINICAO 91

Definicao 28 Seja f uma funcao limitada no intervalo [a, b]. Se existir onumero real I, de acordo com a definicao (27) , diz-se que f e integravel nointervalo [a, b].

Nalguns casos particulares, consegue-se nao apenas garantir a existenciacomo tambem calcular o valor de I.

Exemplo 61 Seja f a funcao constante, igual a M, no intervalo [a, b] e de-

terminemos∫ b

af(x)dx. Neste caso, qualquer que seja a particao considerada,

a soma de Riemann e

n−1∑

k=0

M (xk+1 − xk) = M [(x1 − x0) + (x2 − x1) + · · ·+ (xn − xn−1)]

= M (xn − x0) = M (b− a)

Portanto, tendo todas as somas de Riemann o mesmo valor, e claro que ointegral definido existe e e igual a M(b− a).

Observe-se que, no caso de ser M > 0, no exemplo anterior, entao ointegral definido da funcao f representa a area de altura M e base (b− a).

Exemplo 62 Consideremos a funcao de Dirichlet definida por

f(x) =

{1 se x e racional0 se x nao e racional

Consideremos uma particao do intervalo [0, 4] por meio de pontos

x0 = 0 < x1 < x2 < · · · xn−1 < 4 = xn

e vamos considerar duas duas somas de Riemann particulares. Primeiro va-mos calcular a soma de Riemann S, que resulta de escolher os yk sempreracionais (pois em qualquer intervalo real ha sempre pelo menos um racio-nal) e depois vamos calcular a soma de Riemann S escolhendo os yk sempre


irracionais (pois em qualquer intervalo real ha sempre pelo menos um irra-cional). Temos

S =n−1∑

k=0

1 (xk+1 − xk) = xn − x0 = 4

S =n−1∑

k=0

0 (xk+1 − xk) = 0

E evidente que as somas de Riemann nao se podem aproximar de nenhumvalor real, pelo que nao existe integral definido para f (em qualquer intervalo[a, b] que se considere).

Exercıcio 24 Por que razao, na definicao (27) , exigimos que f seja limitadaem [a, b] ?

Como acabamos de ver, nem toda a funcao limitada em [a, b] , e integravelem [a, b] . O teorema seguinte, que nao demonstraremos, da uma condicaosuficiente para a existencia do integral definido de f em [a, b] .

Teorema 52 Seja f uma funcao contınua no intervalo [a, b] . Existe e e

unico o integral definido∫ b

af(x)dx, tal como foi definido anteriormente.

6.2 Propriedades do integral definido

Nos resultados que a seguir apresentamos, estamos a supor que f e g saofuncoes integraveis em [a, b] . O integral definido tem as seguintes proprieda-des:

P1 Seja f uma funcao constante (igual a M) no intervalo [a, b] . Entao

∫ b

a

f(x)dx = M (b− a)

P2 Seja c um ponto interior de [a, b] . Entao, f e integravel em [a, c] e [c, b]e tem-se ∫ b

a

f(x)dx =

∫ c

a

f(x)dx +

∫ b

c

f(x)dx

6.2. PROPRIEDADES DO INTEGRAL DEFINIDO 93

P3 A funcao f + g e integravel em [a, b] e tem-se

∫ b

a

(f + g) (x)dx =

∫ b

a

f(x)dx +

∫ b

a

g(x)dx

P4 Seja k uma constante real. Entao, a funcao kf e integravel em [a, b] etem-se ∫ b

a

kf(x)dx = k

∫ b

a

f(x)dx

P5 Sejam k1 e k2 duas constantes reais. Entao, a funcao k1f+ k2g e in-tegravel e tem-se

∫ b

a

(k1f + k2g) (x)dx = k1

∫ b

a

f(x)dx + k2

∫ b

a

g(x)dx

P6 Sendo f(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b] , tem-se

∫ b

a

f(x)dx ≥ 0

P7 Sendo f(x) ≤ g(x) para todo x ∈ [a, b] , tem-se

∫ b

a

f(x)dx ≤∫ b

a

g(x)dx

P8 Sejam m e M um minorante e um majorante, respectivamente, de f em[a, b] . Tem-se

m (b− a) ≤∫ b

a

f(x)dx ≤ M (b− a)

As demonstracoes destas propriedades fazem-se a partir da definicao,dada anteriormente, de integral definido. A propriedade P5, que e umaconsequencia imediata das propriedades P3 e P4, significa que a aplicacao

f 7−→∫ b

a

f(x)dx


definida no conjunto das funcoes integraveis em [a, b] , e uma aplicacao line-ar. Demonstramos, a tıtulo de exemplo, as propriedades P6, P7 e P8. Nocaso de P6, basta observar que as somas de Riemann sao todas positivas ounulas, pelo que tambem o integral definido tera de ser positivo ou nulo. Parademostrar P7, basta definir h(x) = g(x)− f(x), que e uma funcao integravelem [a, b], por P5; uma vez que h(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b] , tem-se

∫ b

a

h(x)dx ≥ 0

logo ∫ b

a

h(x)dx =

∫ b

a

g(x)dx−∫ b

a

f(x)dx ≥ 0

Para demonstrar P8, basta verificar que para toda a soma de Riemann de fem [a, b], verifica-se

n−1∑

k=0

m (xk+1 − xk) ≤n−1∑

k=0

sk (xk+1 − xk) ≤n−1∑

k=0

M (xk+1 − xk)

ou seja

m (b− a) ≤n−1∑

k=0

sk (xk+1 − xk) ≤ M (b− a)

Na definicao dada de integral definido, supusemos a < b. Agora adopta-mos as seguintes definicoes:

∫ a

a

f(x)dx = 0 (6.2)

∫ a

b

f(x)dx = −∫ b

a

f(x)dx (6.3)

Com estas definicoes, as propriedades dadas na anterior seccao sao validaspara intervalos [a, b] , em que a < b ou a = b ou a > b. Por exemplo, podemosescrever ∫ b

a

f(x)dx +

∫ a

b

f(x)dx =

∫ a

a

f(x)dx

6.3. TEOREMA FUNDAMENTAL DO CALCULO INTEGRAL 95

6.3 Teorema fundamental do calculo integral

O calculo de integrais definidos usando a definicao pode ser bastante com-plicado. O teorema seguinte estabelece a relacao entre o integral definido deuma funcao contınua f e as primitivas de f.

Teorema 53 Se f e contınua em [a, b] e F e uma primitiva de f em [a, b] ,tem-se ∫ b

a

f(x)dx = F (b)− F (a) (6.4)

Demonstracao. Feita uma particao P de [a, b], usando os pontos

x0 = a < x1 < x2 < · · · xn−1 < b = xn

podemos escrever

F (b)− F (a) = [F (x1)− F (a)] + [F (x2)− F (x1)] (6.5)

+ [F (x3)− F (x2)] + · · ·+ [F (b)− F (xn−1)]

Por hipotese, F ′(x) = f(x), portanto F satisfaz as condicoes do teoremado valor medio, de Lagrange, em cada intervalo [xk, xk+1] . A igualdade an-terior pode escrever-se na forma

F (b)− F (a) = F ′(y1) (x1 − a) + F ′(y2) (x2 − x1) (6.6)

+ F ′(y3) (x3 − x2) + · · ·+ F ′(yn) (b− xn−1)

ou seja

F (b)− F (a) = f(y1) (x1 − a) + f(y2) (x2 − x1) (6.7)

+ f(y3) (x3 − x2) + · · ·+ f(yn) (b− xn−1)

onde yk ∈ ]xk−1, xk[ , k = 1, · · · , n. O segundo membro da igualdade anteriore uma soma de Riemann para a funcao f no intervalo [a, b] . Se fizermos aamplitude da particao tender para zero, esta soma de Riemann tende parao valor do integral definido

∫ b

af(x)dx, que sabemos existir, uma vez que f e

contınua (logo integravel) em [a, b] . Portanto, tem-se

F (b)− F (a) = lim‖P‖→0

n−1∑

k=0

f (yk) (xk+1 − xk) =

∫ b

a

f(x)dx


E costume escrever a diferenca F (b)−F (a) na forma F (x)]ba ,ou na forma

[F (x)]ba e assim ∫ b

a

f(x)dx = F (x)]ba (6.8)

ou ∫ b

a

f(x)dx = [F (x)]ba (6.9)

Exemplo 63 Para calcular∫ 2

1xdx, comecamos por encontrar uma primitiva

de f, por exemplo, F (x) = 12x2. Agora, podemos escrever, a a partir de (6.4) ,

∫ 2

1

xdx =1

2x2

]2

1

=1

222 − 1

212 = 2− 1

2=

3

2

Exercıcio 25 Mostre que, no exemplo anterior, o mesmo resultado e obtidose se considerar qualquer outra primitiva de f.

Uma vez que representamos, no capıtulo anterior, por∫

f(x)dx o conjuntode todas as primitivas de f (a que chamamos entao integral indefinido de f),isto e, ∫

f(x)dx = F (x) + c

podemos agora escrever a segunite igualdade

∫ b

a

f(x)dx =

[∫f(x)dx

]b

a

que relaciona os integrais definido e indefinido de f.

Apresentamos de seguida, dois resultados que sao consequencias do teo-rema fundamental.

Teorema 54 Se f e contınua em [a, b] , entao a funcao G definida em [a, b]por

G(x) =

∫ x

a

f(t)dt (6.10)

e uma primitiva de f em [a, b] .

6.4. MUDANCA DE VARIAVEL NO INTEGRAL DEFINIDO 97

Demonstracao. A partir de (6.4) , podemos escrever∫ x

a

f(t)dt = F (x)− F (a)

onde F representa uma primitiva de f em [a, b] . Portanto

d

dx

[∫ x

a

f(t)dt

]= F ′(x)− F ′(a)

= f(x)

ou seja, G e uma primitiva de f em [a, b] .

Teorema 55 (integracao por partes) Sejam f e g duas funcoes com derivadacontınua em [a, b] . Entao

∫ b

a

f(x)g′(x)dx = [f(x)g(x)]ba −∫ b

a

f ′(x)g(x)dx

Demonstracao. Comecemos por observar que as funcoes fg′ e f ′g saointegraveis, uma vez que, por hipotese, sao contınuas. A partir da formulade primitivacao por partes

∫f(x)g′(x)dx = [f(x)g(x)]−

∫f ′(x)g(x)dx

resulta, usando (6.4) ,

∫ b

a

f(x)g′(x)dx =

[[f(x)g(x)]−

∫f ′(x)g(x)dx

]b

a

= [f(x)g(x)]ba −∫ b

a

f ′(x)g(x)dx (6.11)

6.4 Mudanca de variavel no integral definido

No capıtulo anterior, vimos que a tecnica de substituicao ou mudanca devariavel e um processo que tem fundamental importancia no calculo de pri-mitivas. Agora, que ja conhecemos a relacao entre as primitivas e o integraldefinido de uma funcao, nao nos admira que a mesma tecnica de mudancade variavel seja util tambem no calculo de integrais definidos.


Teorema 56 Sejam f e g funcoes definidas em [a, b] e [c, d] , respectiva-mente, e tais que a funcao composta fog esta bem definida. Suponhamos quef e contınua em [a, b] , que g′ e contınua em [c, d] e que g(c) = a e g(d) = b.Entao, tem-se ∫ b

a

f(x)dx =

∫ d

c

f [g(t)] g′(t)dx (6.12)

Demonstracao. Seja F uma primitiva de f em [a, b] . Tem-se, usando aregra da derivacao da funcao composta (regra da cadeia)

d

dxF [g(t)] =

dF

dxg′(t)

= f(x)g′(t)

= f [g(t)] g′(t)

o que mostra que F [g(t)] e uma primitiva de f [g(t)] g′(t) em [c, d] . Peloteorema fundamental, podemos escrever

∫ d

c

f [g(t)] g′(t)dx = F (g(t))]dc

= F (g(d))− F (g(c))

= F (b)− F (a)

=

∫ b

a

f(x)dx

Exemplo 64 Vamos calcular o integral definido∫ 2

02x (x2 + 1)

3dx usando

dois metodos distintos, no primeiro dos quais nao recorremos a formula(6.12) .

1o metodo Fazendo a mudanca de variavel dada por t = x2 + 1, resultax = g(t) = (t− 1)1/2 e g′(t) = 1

2(t− 1)−1/2 . Tem-se, usando a formula

de primitivacao por substituicao,∫

2x(x2 + 1

)3dx =

∫2 (t− 1)1/2 t3

1

2(t− 1)−1/2 dt

=

∫t3dt =

t4

4+ c =

(x2 + 1)4

4+ c

6.4. MUDANCA DE VARIAVEL NO INTEGRAL DEFINIDO 99

Agora, usando a formula (6.4) , resulta

∫ 2

0

2x(x2 + 1

)3dx =

[(x2 + 1)

4

4+ c

]2

0

=54

4− 14

4=

624

4= 156

2o metodo Usando a formula (6.12) e observando que a x = 0 correspondet = 1 e a x = 2 corresponde t = 5, obtemos

∫ 2

0

2x(x2 + 1

)3dx =

∫ 5

1

t3dt =

[t4

4

]5

1

=54

4− 14

4= 156

Observe-se que usando a formula (6.12) para calcular o valor de um in-tegral, nao e necessario expressar a primitiva na variavel original, o quesimplifica um pouco os calculos.

Exemplo 65 Sabendo que∫ 9

0f(x)dx = 5, vamos determinar

∫ 3

0f(3x)dx.

Com x = g(t) = t3, tem-se g′(t) = 1

3e, usando (6.12)

∫ 3

0

f(3x)dx =

∫ 9

0

1

3f(t)dt =

1

3

∫ 9

0

f(t)dt =5

3

Exemplo 66 Se m e n sao inteiros positivos, entao

∫ 1

0

xm (1− x)n dx =

∫ 1

0

xn (1− x)m dx

Para provar esta igualdade, basta fazer t = 1 − x, logo x = g(t) = 1 − t,g′(t) = −1 e, usando (6.12) resulta

∫ 1

0

xm (1− x)n dx =

∫ 0

1

(1− t)m tn (−1) dt

=

∫ 1

0

(1− t)m tndt

=

∫ 1

0

(1− x)m xndt


Exemplo 67 Sendo f contınua em [−a, a] e tal que f(−x) = −f(x) paratodo x ∈ [−a, a] , tem-se ∫ a

−a

f(x)dx = 0

Para provar esta igualdade, comecemos por escrever∫ a

−a

f(x)dx =

∫ 0

−a

f(x)dx +

∫ a

0

f(x)dx

e mostremos que ∫ 0

−a

f(x)dx = −∫ a

0

f(x)dx

Com x = −t, tem-se, de novo usando (6.12) ,∫ 0

−a

f(x)dx =

∫ 0

a

f(−t) (−1) dt

=

∫ a

0

f(−t)dt

= −∫ a

0

f(t)dt

6.5 Integracao de funcoes descontınuas

Ja sabemos que se f e contınua em [a, b] . , entao e integravel em [a, b] . Porem,a continuidade de f nao e condicao necessaria para a integrabilidade de fem [a, b] . O teorema seguinte esclarece a situacao.

Teorema 57 Seja f uma funcao limitada e com um numero finito de descon-tinuidades no intervalo [a, b] . Se as descontinuidades forem todas de primeiraespecie, isto e, se existirem e forem finitos (embora diferentes) os limites la-terais em cada ponto de descontinuidade, entao existe e e unico o integral∫ b

af(x)dx.

Demonstracao. Para simplificar, vamos admitir que f possui apenas umadescontinuidade no ponto b. A funcao g que se define a seguir e contınua em[a, b] :

g(x) =

{f(x) se a ≤ x < blim

x→b−f(x) se x = b

6.5. INTEGRACAO DE FUNCOES DESCONTINUAS 101

Existe portanto I =∫ b

ag(x)dx. Vamos provar que

∫ b

af(x)dx tambem existe

e e igual a I. Seja ε um real positivo qualquer. Consideremos uma particaoarbitraria do intervalo [a, b] definida pelos pontos

a = x0 < x1 < x2 < · · · xn−1 < xn = b

Queremos provar que e possıvel encontrar um δ > 0, tal que

max0≤k≤n−1

|xk+1 − xk| < δ ⇒∣∣∣∣∣I −

n−1∑

k=0

f(yk) (xk+1 − xk)

∣∣∣∣∣ < ε

Temos que

n−1∑

k=0

f(yk) (xk+1 − xk) =n−2∑

k=0

f(yk) (xk+1 − xk) + f(yn−1) (xn − xn−1)

O primeiro somatorio do lado direito da igualdade e parte de uma somade Riemann para a funcao g. Pela definicao de integral definido, podemosgarantir que existe δ1 tal que

max0≤k≤n−1

|xk+1 − xk| < δ1 ⇒∣∣∣∣∣I −

n−2∑

k=0

f(yk) (xk+1 − xk)− g(yn−1) (xn − xn−1)

∣∣∣∣∣ < ε

⇒∣∣∣∣∣I −

n−1∑

k=0

f(yk) (xk+1 − xk)− L

∣∣∣∣∣ < ε (6.13)

ondeL = f(yn−1) (xn − xn−1)− g(yn−1) (xn − xn−1)

Tem-se

|L| < |f(yn−1)| |xn − xn−1|+ |g(yn−1)| |xn − xn−1|< f(yn−1)δ1 + g(yn−1)δ

< 2Mδ

onde M e um majorante do conjunto dos valores de f em [a, b] (M existepor ser f limitada). Como podemos escolher a amplitude da particao taopequena quanto se queira, tomemos

δ = min{

δ1,ε

2M

}


e assim resulta

|L| < ε

Entrando com esta expressao em (6.13) , resulta

max0≤k≤n−1

|xk+1 − xk| < δ ⇒∣∣∣∣∣I −

n−1∑

k=0

f(yk) (xk+1 − xk)

∣∣∣∣∣ < 2ε (6.14)

o que prova que∫ b

af(x)dx = I.

Exemplo 68 A funcao f definida por f(x) = x2−1x−1

nao e contınua no pontox = 1. Mas, de acordo com o teorema anterior, tem-se

∫ 1

−1

f(x)dx =

∫ 1

−1

(x + 1) dx =

[x2

2+ x

]1

−1

=

(1

2+ 1

)−

(1

2− 1

)= 2

Da mesma maneira,

∫ 2

−1

f(x)dx =

∫ 2

−1

(x + 1) dx =

[x2

2+ x

]2

−1

=

(4

2+ 2

)−

(1

2− 1

)= 4.5

6.6 Integrais improprios

A definicao de integral definido dada anteriormente nao contempla os casosem que o intervalo de integracao e [a, +∞[, ]−∞, b] ou ]−∞, +∞[. Nao temrealmente sentido generalizar a definicao para estes casos, em que e infinito ointervalo de integracao, pois cada soma de Riemann envolveria uma particaocom uma infinidade de sub-intervalos. Mas tera algum interesse considerarintegrais do tipo ∫ +∞

a

f(x)dx ?

Se supusermos que f e uma funcao contınua e limitada, e admissıvel que esteintegral represente a area de uma figura ilimitada. Mas tera mesmo sentidoatribuir um valor real a ”area” de uma tal figura ?

Comecemos por considerar a funcao

f(x) =x

100, x ∈ [0, +∞[

6.6. INTEGRAIS IMPROPRIOS 103

Podemos calcular ∫ +∞

a

f(x)dx

para todos os valores de b reais. Com efeito, trata-se de um integral definido,e sendo f contınua, o integral existe sempre. Temos

∫ b

0

x

100dx =

1

100

∫ b

0

xdx =1

100

[x2

2

]b

0

=b2

200

A area da regiao sob o grafico de f, desde x = 0 ate x = b, vale b2/200.

Se b tomar valores cada vez maiores, o valor da area vai crescendo e tem-se

limb→+∞

b2

200= +∞

e por esta razao nao podemos atribuir um valor real a area desta figura naolimitada. Pela mesma razao, nao podemos atribuir um valor a

∫ +∞

a

x

100dx

Consideremos agora a funcao g definida por

g(x) =1

x2, x ∈ [1, +∞[

Para todo b > 1, tem-se

∫ b

1

1

x2dx =

[−1

x

]b

1

= 1− 1

b

e sendo

limb→+∞

(1− 1

b

)= 1

podemos aceitar que e igual a 1 o valor da area da figura sob o grafico de g,desde x = 1 (ver figura ??). Assim, podemos adoptar a seguinte definicao


Definicao 29 Seja f uma funcao definida no intervalo [a, +∞[ e integravelem qualquer intervalo [a, b], com b > a. Se existir

limX→+∞

∫ X

a

f(x)dx = L (6.15)

entao dizemos que o integral improprio

∫ +∞

a

f(x)dx (6.16)

e convergente e escrevemos

∫ +∞

a

f(x)dx = L (6.17)

No caso em que o limite limX→+∞

∫ X

af(x)dx nao existe, diz-se que o integral

improprio e divergente. Para o caso do integral improprio

∫ b

−∞f(x)dx (6.18)

tudo o que se disse anteriormente se pode aplicar desde que se considere olimite

limY→+∞

∫ b

−Y

f(x)dx (6.19)

No caso do integral improprio

∫ +∞

−∞f(x)dx (6.20)

se existirem os limites

limX→+∞

∫ X

a

f(x)dx = A e limY→+∞

∫ a

−Y

f(x)dx = B, (6.21)

onde a e um numero real qualquer, entao dizemos que o integral improprio(6.20) e convergente e escrevemos

∫ +∞

−∞f(x)dx = A + B (6.22)

6.7. CALCULO DE AREAS 105

6.7 Calculo de areas

A custa do integral definido, podemos calcular a area de uma figura com-preendida entre duas curvas. Sejam f e g funcoes contınuas em [a, b] taisque

f(x) ≥ g(x), a ≤ x ≤ b (6.23)

Comecemos por considerar o caso em que f e g sao nao negativas para todox ∈ [a, b].

Uma vez que∫ b

af(x)dx da o valor da area entre y = f(x) e o eixo dos xx

e∫ b

ag(x)dx da o valor da area entre y = g(x) e o eixo dos xx, concluımos que

a area da regiao limitada pelas curvas y = f(x) e y = g(x), e pelas rectasverticais x = a e x = b e dada por

A =

∫ b

a

f(x)dx−∫ b

a

g(x)dx

=

∫ b

a

[f(x)− g(x)] dx (6.24)

Esta formula e valida mesmo no caso em que alguma das funcoes f e g (ouambas) tomam valores negativos.

Se fizermos uma translacao das curvas y = f(x) e y = g(x) no sentidopositivo do eixo das ordenadas ate que as curvas estejam acima do eixo dasabcissas, a area que se pretende calcular nao se altera. Seja −m o valormınimo que g assume em [a, b]. Entao g(x) + m ≥ 0 e tem-se

A =

∫ b

a

[f(x) + m] dx−∫ b

a

[g(x) + m] dx

=

∫ b

a

[f(x)− g(x)] dx (6.25)

Exemplo 69 Determinemos a area da regiao limitada pelas curvas y = x+6e y = x2, e pelas rectas verticais x = 0 e x = 2.Aplicando a formula (6.24) ,obtem-se

A =

∫ 2

0

[(x + 6)− x2

]dx =

[x2

2+ 6x− x3

3

]2

0

=34

3


Exemplo 70 Determinemos a area da regiao limitada pelas curvas x = y2

e y = x − 2. Neste caso e necessario calcular os pontos de interseccao dascurvas; escrevendo a 2a equacao na forma x = y+2, resulta y2 = y+2, ou sejay2 − y − 2 = 0, donde se obtem y = −1 e y = 2. Os pontos de interseccaosao (1,−1) e (4, 2) .Observe-se que, neste caso, teremos de calcular a areapretendida como soma de duas areas, a primeira, digamos A1, para x desde0 ate 1 e a segunda, A2, para x desde 1 ate 4. Para aplicar a formula (6.24) ,as equacoes das curvas devem ser escritas de forma a que y seja funcao dex. Tem-se

A1 =

∫ 1

0

[√x− (−√x

)]dx

= 2

∫ 1

0

√xdx = 2

[2

3x3/2

]1

0

=4

3

e

A2 =

∫ 4

1

[√x− (x− 2)

]dx

=

[2

3x3/2 − x2

2+ 2x

]4

1

=19

6

A area pedida e A = A1 + A2 = 92.

Algumas vezes e preferıvel integrar em ordem a variavel y. Sendo x = v(y)e x = w(y) funcoes contınuas de y em [c, d], tais que w(y) ≥ v(y), a area daregiao limitada pelas curvas x = v(y) e x = w(y), desde y = c ate y = d, edada por

A =

∫ d

c

[w(y)− v(y)] dy (6.26)

Exemplo 71 Encontremos a area determinada no exemplo 70, desta vezintegrando em ordem a variavel y. Observe-se que podemos calcular a area

6.7. CALCULO DE AREAS 107

total com um unico integral, o que simplifica os calculos. Usando a formula(6.26) , obtem-se

A =

∫ d

c

[(y + 2)− y2

]dy =

[y2

2+ 2y − y3

3

]2

−1

= ... =9

2

Bibliografia

[1] Ron Larson, Robert P. Hostetler, Bruce H. Edwards, Calculo, vol. I, 8a

ed., McGraw-Hill, 2006.

[2] Howard Anton, Calculus, Third Edition, John Wiley & Sons, 1988.

[3] Jaime Carvalho e Silva, Princıpios de Analise Matematica Aplicada,McGraw-Hill de Portugal, 1994.

[4] F. Dias Agudo, Analise Real, vol. I, Escolar Editora, 1989.

[5] Cecilia Knoll, Michael Shaw, Jerry Johnson, Benny Evans, DiscoveringCalculus with Mathematica, John Wiley & Sons, 1995.

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Calculo - Séries, Limites, Sucessões, Derivadas

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