Calculo Tecnico_Telecurso

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Usando unidades de medida Q uando alguém vai à loja de autopeças para comprar alguma peça de reposição, tudo que precisa é dizer o nome da peça, a marca do carro, o modelo e o ano de fabricação. Com essas informa- ções, o vendedor é capaz de fornecer exatamente o que a pessoa deseja em poucos minutos. Isso acontece devido à normalização, isto é, por causa de um conjunto de normas estabelecidas de comum acordo entre fabricantes e consumidores. Essas normas simplificam o processo de produção e garantem um produto confiável, que atende às necessidades do consumidor. Um dos dados mais importantes para a normalização é exatamente a unidade de medida unidade de medida unidade de medida unidade de medida unidade de medida. Graças a ela, você tem certeza de que o parafuso quebrado que prendia a roda de seu carro poderá ser facilmente substituído, uma vez que é fabricado com unidades de medida também padronizadas. Na Mecânica, o conhecimento das unidades de medida é fundamental para a realização de qualquer tarefa específica nessa área. Por exemplo, vamos fazer de conta que você é um torneiro e recebeu o desenho de uma peça para fabricar. No desenho, você nota que não está escrita a unidade de medida usada pelo desenhista. Você sabe por quê? Não? Então estude esta lição, porque nela daremos a resposta a essa e a outras perguntas que talvez você tenha sobre este assunto. O milímetro Em Matemática, você já aprendeu que, para medir as coisas de modo que todos entendam, é necessário adotar um padrão, ou seja, uma unidade de medida uma unidade de medida uma unidade de medida uma unidade de medida uma unidade de medida. Em Mecânica, a unidade de medida mais comum é o milímetro milímetro milímetro milímetro milímetro, , , , , cuja abrevi- ação é mm mm mm mm mm. Ela é tão comum que, em geral, nos desenhos técnicos, essa abreviação (mm) nem aparece. O milímetro é a milésima parte do metro, ou seja, é igual a uma parte do metro que foi dividido em 1.000 partes iguais.Provavelmente, você deve estar pensando: “Puxa! Que medida pequenininha! Imagine dividir o metro em 1.000 partes!”. Pois, na Mecânica, essa unidade de medida é ainda considerada enorme, quando se pensa no encaixe de precisão encaixe de precisão encaixe de precisão encaixe de precisão encaixe de precisão, como no caso de rolamentos, buchas, eixos. E essa unidade é maior ainda para instrumentos de medição, como calibradores ou blocos-padrão. 1 A U L A O problema Nossa aula
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Usando unidades de medidaO problemauando algum vai loja de autopeas para comprar alguma pea de reposio, tudo que precisa dizer o nome da pea, a marca do carro, o modelo e o ano de fabricao. Com essas informaes, o vendedor capaz de fornecer exatamente o que a pessoa deseja em poucos minutos. Isso acontece devido normalizao, isto , por causa de um conjunto de normas estabelecidas de comum acordo entre fabricantes e consumidores. Essas normas simplificam o processo de produo e garantem um produto confivel, que atende s necessidades do consumidor. Um dos dados mais importantes para a normalizao exatamente a unidade de medida . Graas a ela, voc tem certeza de que o parafuso quebrado que prendia a roda de seu carro poder ser facilmente substitudo, uma vez que fabricado com unidades de medida tambm padronizadas. Na Mecnica, o conhecimento das unidades de medida fundamental para a realizao de qualquer tarefa especfica nessa rea. Por exemplo, vamos fazer de conta que voc um torneiro e recebeu o desenho de uma pea para fabricar. No desenho, voc nota que no est escrita a unidade de medida usada pelo desenhista. Voc sabe por qu? No? Ento estude esta lio, porque nela daremos a resposta a essa e a outras perguntas que talvez voc tenha sobre este assunto.

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Nossa aula

O milmetroEm Matemtica, voc j aprendeu que, para medir as coisas de modo que todos entendam, necessrio adotar um padro, ou seja, uma unidade de medida. Em Mecnica, a unidade de medida mais comum o milmetro,cuja abrevia o m m. Ela to comum que, em geral, nos desenhos tcnicos, essa abreviao (mm) nem a p a r e c e . O milmetro a milsima parte do metro, ou seja, igual a uma parte do metro que foi dividido em 1.000 partes iguais.Provavelmente, voc deve estar pensando: Puxa! Que medida pequenininha! Imagine dividir o metro em 1.000 partes!. Pois, na Mecnica, essa unidade de medida ainda considerada enorme, quando se pensa no encaixe de preciso, como no caso de rolamentos, buchas, eixos. E essa unidade maior ainda para instrumentos de medio, como calibradores ou blocos-padro.

Assim, a Mecnica emprega medidas ainda menores que o milmetro, como mostra a tabela a seguir.SUBMLTIPLOS D O MILMETRO REPRESENTAO CORRESPONDNCIA

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Dcimo de milmetro

0,1 mm

1 10 1 100 1 1000

Centsimo de milmetro

0,01 mm 0,001mm (1mm)

Milsimo de milmetro

Na prtica, o milsimo de milmetro tambm representado pela letra grega m ( l s e mi). Assim, o milsimo de milmetro pode tambm ser chamado d e micrometro ou, simplesmente, de mcron (0,001 mm = 1 mm = 1m. )

bom estudar os assuntos passo a passo, para no perder nenhuma informao. Por isso, vamos propor um exerccio bem fcil, para voc fixar as informaes que acabamos de lhe dar. Exerccio 1 Identifique as medidas, escrevendo 1, 2, 3 ou 4 nos parnteses. (1) milmetros ( )0,5 mm (2) dcimos de milmetro ( )0,008 mm (3) centsimos de milmetro ( )3 mm (4) milsimos de milmetro ( )0,04 mm ( )0,6 mm ( )0,003 mm

Tente voc tambm

A polegadaA polegada outra unidade de medida muito utilizada em Mecnica, principalmente nos conjuntos mecnicos fabricados em pases como os Estados Unidos e a Inglaterra. Embora a unificao dos mercados econmicos da Europa, da Amrica e da sia tenha obrigado os pases a adotarem como norma o Sistema Mtrico Decimal, essa adaptao est sendo feita por etapas. Um exemplo disso so as mquinas de comando numrico computadorizado, ou CNC - Computer Numerical Control, que vm sendo fabricadas com os dois sistemas de medida. Isso permite que o operador escolha o sistema que seja compatvel com aquele utilizado em sua empresa. Por essa razo, mesmo que o sistema adotado no Brasil seja o sistema mtrico decimal, necessrio conhecer a polegada e aprender a fazer as converses para o nosso sistema. A polegada, que pode ser fracionria ou decimal, uma unidade de medida que corresponde a 25,4 mm.

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Observe que, na rgua de baixo, os nmeros aparecem acompanhados de um sinal (). Esse sinal indica a representao de uma medida em polegada ou em frao de polegada. Da mesma forma que o milmetro uma unidade de medida muito grande para a Mecnica e, por isso, foi dividido em submltiplos, a polegada tambm foi dividida. Ela tem subdivises que podem ser usadas nas medidas de peas de preciso. Assim, a polegada foi dividida em 2, 4, 8, 16, 32, 64 e 128 partes iguais. Nas escalas graduadas em polegada, normalmente a menor diviso corresponde a 1/16". Essas subdivises so chamadas de polegadas fracionrias. D mais uma olhada na figura acima. Voc deve ter percebido que a escala apresenta as fraes 1/8", 1/4", 3/8"... e assim por diante. Observe que os numeradores das fraes so sempre nmeros mpares. Como se chegou a essas fraes? Para obter essa resposta, vamos representar uma escala de uma polegada de comprimento e verificar como as subdivises foram feitas:

Voc que estudou fraes em Matemtica j sabe que algumas das que esto na escala mostrada acima podem ser simplificadas. Por exemplo:

2 2 1" = 16 2 8 8 8 1" 16 8=

2

Esse procedimento realizado at obtermos a frao final da escala. Os resultados dos exemplos acima mostram as subdivises mais comuns da polegada fracionria.

Para medidas menores, o procedimento ser o mesmo. As subdivises so obtidas a partir da diviso de 1/16", e seus valores em ordem crescente sero:

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1 " 1" 3 " 1" 5 " 3" 7 " 1" ; ; ; ; ; ; ; ; 128 64 128 32 128 64 128 16

1

1" 128

1" 64

3" 128

1" 32

5" 128

3" 64

7" 128

1" 16

A representao da polegada em forma decimal to usada na Mecnica quanto a fracionria. Ela aparece em desenhos, aparelhos de medio, como o paqumetro e o micrmetro, e permite medidas menores do que a menor medida da polegada fracionria, que 1/128". U m a polegada decimal equivale a uma polegada fracionria, ou seja, 25,4 mm. A diferena entre as duas est em suas subdivises: em vez de ser subdividida em fraes ordinrias, a polegada decimal dividida em partes iguais por 10, 100, 1.000 etc. A diviso mais comum por 1.000. Assim, temos, por exemplo: 1/2" correspondente a 0,5" (ou 5 dcimos de polegada) 1/4" correspondente a 0,25" (ou 25 centsimos de polegada) 1/8" correspondente a 0,125" (ou 125 milsimos de polegada)

Transformao de unidades de medidaVoc deve estar pensando que entender o que o milmetro e suas subdivises, bem como o que a polegada e como ela est dividida, no muito difcil. Provavelmente o que voc deve estar se perguntando agora : E se eu tiver uma medida em polegadas e precisar saber quanto isso vale em milmetros e vice-versa?. Esse clculo necessrio, por exemplo, quando um operador recebe materiais cujas dimenses esto em polegadas e precisa construir uma pea ou dispositivo cujo desenho apresenta as medidas em milmetros ou fraes de milmetros, o que bastante comum na indstria mecnica.

Transformando polegadas em milmetros Vamos comear pelo mais fcil, ento. Para transformar uma medida dada em polegadas para milmetros, basta apenas multiplicar a frao por 25,4 mm. Veja como isso fcil nos exemplos a seguir. a ) Voc tem em casa uma furadeira e um conjunto de brocas medidas em milmetros. Para instalar a secadora de roupas de sua me, necessrio fazer um furo na parede de 5/16". Qual a medida da broca que voc precisa para fazer o furo?

5 25, 4 127 5" = = 7, 937 mm u 25, 4 o 16 16 16

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Portanto, 5/16" corresponde a 7,937 mm. Como o seu conjunto de brocas certamente no possui uma broca com essa medida, voc dever usar aquela cuja medida mais se aproxime desse resultado, ou seja, 8 mm. b ) Voc recebeu um material cilndrico com dimetro de 3/8" e precisa tornelo de modo que fique medindo 8 mm de dimetro. Quantos milmetros devero ser desbastados?

3" 3 25, 4 76, 2 25, 4 o = = 9, 525 mm u 8 8 8Logo, 3/8" = 9,525 mm Como o dimetro pedido 8 mm, necessrio fazer a subtrao para saber quanto do material dever ser desbastado. 9 , 5 2 5-8=1 , 5 2 5m m Portanto, voc dever desbastar 1,525 mm no dimetro.

Tente voc tambm

Para ver se voc entendeu o que acabamos de explicar, faa os clculos propostos no exerccio seguinte. Exerccio 2 Na gaveta do ajustador mecnico existem chaves de boca, limas e brocas com medidas em polegadas. Transforme as medidas em polegas para milmetros: Chaves de boca de

a )

1" 2

Soluo:

1" 2

25,4 =

25,4 2

=

b )

7" 16

Soluo:

7" 25, 4 = 16

c )

3" 4

Soluo:

3" 4

d )

7" 8

Soluo:

Limas de 8", 10" e 12" a ) 8 "x2 5 , 4= b )1 0 "x c ) 1 2 " Brocas de

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1 " 1" 1 " , , 16 8 4

a )

1" 16 1" 8 1" 4

b )

c )

Transformando milmetros em polegadas Para transformar uma medida em milmetros para polegadas, voc vai precisar aplicar mais alguns de seus conhecimentos de operaes aritmticas e simplificao de fraes. Esse processo de transformao de medidas tem os seguintes passos: 1 . 2 . 3 . 4 . Multiplique o valor em milmetros por 128. Divida o resultado por 25,4. Monte a frao de modo que o resultado dessa diviso corresponda ao numerador da frao da polegada. O denominador sempre 1 2 8 . Simplifique a frao resultante. Parece difcil? Vamos a um exemplo, transformando 12,7mm em polegada fracionria. 1 . Multiplicao de 12,7 por 128. 12,7 x 128 = 1.625,6 2 . Diviso do resultado por 25,4. 1 . 6 2 5 , 6 2 5 , 4=6 4 3 . Montagem de frao. Numerador da frao: Denominador: Af r a or e s u l t a n t e : 4 . Simplificao da frao. 64 128

64 128

64 2 32 2 16 2 8 2 4 2 2 2 1 " = = = = = = 128 2 64 2 32 2 16 2 8 2 4 2 2Portanto, 12,7 mm = 1/2".

Tente A Uvoc L A tambm

Reforce o que voc aprendeu no exerccio a seguir. Exerccio 3 No almoxarifado de uma empresa mecnica existem os seguintes materiais: a ) barra de ao quadrada de 19,05mm de lado; b ) barra de ao redonda de 5,159mm de dimetro; c ) chapa de alumnio de 1,588mm de espessura; d ) chapa de ao de 24,606mm de espessura. Converta essas medidas para polegada fracionria. a ) Soluo: 19,05 128 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 , 4= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . =

1

128b ) Soluo: 5 , 1 5 9 c ) Soluo: 1,588 d ) Soluo: 24,606 Transformando polegada fracionria em decimal Vamos supor agora que o desenho que voc recebeu tem as medidas em polegadas fracionrias e o seu instrumento de medida est em polegada decimal. Nesse caso, voc vai ter de fazer a converso das medidas. Para isso, basta apenas dividir o numerador da frao por seu denominador. Como exemplo, vamos converter 3/4" para polegada decimal. Efetuandose a diviso 3 4 = 0,75. Esse resultado corresponde a 0,750".

Tente voc tambm

Faa os clculos a seguir para reforar seu aprendizado. Exerccio 4 Converta as seguintes medidas para polegada decimal.

a )

1" 16Soluo: 1 1 6= 13 "

b )

32 1" 2 1" 8 15 " 32

c )

d )

e )

Transformando polegada decimal em fracionria Para converter polegada decimal em fracionria, basta transformar a polegada decimal em uma frao na qual o numerador o valor que voc quer converter, multiplicado por 10, 100, 1.000 etc. O denominador o nmero que voc usou na multiplicao (10, 100, 1.000 etc.), dependendo do nmero decimal a ser convertido. Aps a montagem da frao, procede-se sua simplificao. Por exemplo, se voc quiser converter 0,5" (cinco dcimos de polegada) em polegada fracionria, voc ter:

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0, 5

10 5 = 10 10

Simplificando, voc ter: 5 5 1" = 10 5 2 Se voc tivesse 0,625" (seiscentos e vinte e cinco milsimos de polegada), sua f r a os e r i a :

0,625

1000 625 = 1000 1000 5" . 8

Simplificando a frao, voc tem Faa o exerccio a seguir.

Tente voc tambm

Exerccio 5 Converta as seguintes medidas para polegada fracionria: a ) 0,0625" 10000 = Soluo: 0, 0625'' 10000 Simplificando: b ) 0,125" Soluo: 0,125'' Simplificando: c ) 0,40625" d ) 0,500" e ) 0,9375" Agora que voc j estudou as unidades de medida mais utilizadas na rea da Mecnica e as possibilidades de transformao que elas oferecem, vamos fazer mais alguns exerccios para que voc fique ainda mais por dentro do assunto. Lembre-se de que essas unidades de medida geralmente apresentam nmeros decimais, ou seja, com vrgula. Voc no pode esquecer que, quando so realizados clculos com esse tipo de nmero, muito cuidado deve ser tomado com relao posio da vrgula. Releia toda a lio e faa os exerccios a seguir. So problemas comuns do diaa-dia de uma empresa mecnica. As respostas de todos eles esto no final do livro. Corrija voc mesmo os exerccios e, aps fazer uma reviso na lio, refaa aqueles que voc errou.

Teste o que voc aprendeu

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Exerccio 6 O inspetor de qualidade precisava calcular o comprimento da pea abaixo. Qual foi o resultado que ele obteve?

Exerccio 7 Qual o dimetro externo x da arruela desta figura?

Exerccio 8 Qual a medida da cota D no desenho abaixo?

Exerccio 9 Determine a cota x do seguinte desenho.

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Exerccio 10 Determine a distncia A no desenho a seguir.

Exerccio 11 Determine o nmero de peas que pode ser obtido de uma chapa de 3 m de comprimento, sendo que cada pea deve ter 30 mm de comprimento e que a distncia entre as peas deve ser de 2,5 mm.

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Exerccio 12 Um mecnico precisava medir a distncia x entre os centros dos furos da pea representada abaixo. Qual foi a medida obtida?

Exerccio 13 Converta para polegadas decimais os valores em polegadas fracionrias dados a seguir. a ) 5/16" ) 3/8" b c ) 3/4" Exerccio 14 Converta para polegadas fracionrias os valores de polegadas decimais dados a seguir. a ) 0 , 1 2 5 " b ) 0 , 8 7 5 " c ) 0 , 2 5 0 "

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Calculando a dilatao trmicaxistem muitas empresas que fabricam e montam conjuntos mecnicos. Nessa atividade, muitas vezes necessrio fazer encaixes com ajuste forado, ou seja, encaixes em que a medida do furo menor do que a medida do eixo, como em sistemas de transmisso de movimento. Vamos supor que voc trabalhe em uma empresa como essa e que sua tarefa seja montar conjuntos com esse tipo de ajuste. Como possvel conseguir um encaixe forado sem que as peas componentes do conjunto sejam danificadas? Este o problema que teremos de resolver nesta aula.

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O problema

Dilatao trmicaO encaixe forado no nenhum milagre. Ele apenas o resultado da aplicao de conhecimentos de dilatao trmica. Dilatao trmica a mudana de dimenso, isto , de tamanho, que todos os materiais apresentam quando submetidos ao aumento da temperatura. Por causa dela, as grandes estruturas de concreto, como prdios, pontes e viadutos, so construdas com pequenos vos, ou folgas, entre as lages, para que elas possam se acomodar nos dias de muito calor. Por que isso acontece? Porque, com o aumento da temperatura, os tomos que formam a estrutura dos materiais comeam a se agitar mais e, por isso, ocupam mais espao fsico.

Nossa aula

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A dilatao trmica ocorre sempre em trs dimenses: na direo do comprimento, da largura e da altura.

Quando a dilatao se refere a essas trs dimenses, ao mesmo tempo, ela chamada de dilatao volumtrica . Se apenas duas dimenses so consideradas, a dilatao superficial . Quando apenas uma das dimenses considerada, ela chamada de linear . Esta variao de tamanho que os materiais apresentam quando aquecidos depende de uma constante caracterstica de cada material. Essa constante conhecida por coeficiente de dilatao trmica, representada pela letra grega a. E um dado que se obtm na tabela a seguir.T A B E L A D E COEFICIENTES D E D I L A T A O T R M I C A P O R C MATERIAL COEFICIENTE D E D I L A T A O LINEAR

Ao Alumnio Antimnio Chumbo Cobre Ferro fundido Grafite Ouro Porcelana Vidro

0,000 012 0,000 024 0,000 011 0,000 029 0,000 017 0,000 010 5 0,000 007 8 0,000 014 0,000 004 5 0,000 000 5

Mas voc deve estar se perguntando: Onde o encaixe forado entra nisso? muito simples: vamos usar o fato de que os materiais em geral, e o ao em particular, mudam de dimenses quando aquecidos, para realizar o ajuste forado. Para isso, voc aquece a pea fmea, ou seja, a que possui o furo (por exemplo, uma coroa), que se dilatar. Enquanto a pea ainda est quente, voc monta a coroa no eixo. Quando a coroa esfriar, o ajuste forado estar pronto. O que voc vai ter de saber, para fazer isso corretamente, qual a temperatura adequada para obter a dilatao necessria para a montagem do conjunto.

Clculo de dilatao trmicaPara fins de clculo, voc dever considerar apenas a dilatao linear, pois o que nos interessa apenas uma medida, que, nesse caso, o dimetro do furo. i Dt Para o clculo, voc precisa aplicar a frmula: DL = a L , em que i a DL o aumento do comprimento; a o coeficiente de dilatao linear; L medida inicial e Dt a variao da temperatura.

Voltemos, ento, empresa citada no incio da aula. Vamos supor que voc tenha de montar o conjunto abaixo.

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Nesse conjunto, o dimetro do furo da coroa dever ser 0,05 mm menor do que o dimetro do eixo. Seu problema descobrir a quantos graus a coroa deve ser aquecida para se obter o encaixe com o aperto desejado. Voc j sabe que tem de aplicar a frmula DL = a L i Dt. Voc sabe tambm que o elemento que dever ser aquecido a coroa (que tem o furo). O valor obtido para a variao de temperatura (Dt) o valor que dever ser somado temperatura que a coroa tinha antes de ser aquecida. Essa temperatura chamada de temperatura ambiente. Vamos supor que a temperatura ambiente seja 20 C. Primeiro, voc analisa as medidas do desenho. A medida disponvel o dimetro do eixo. Porm, a medida que voc precisa para o clculo o dimetro do furo da coroa. Como o dimetro do furo da coroa deve ser 0,05 mm menor do que o dimetro do eixo, a medida necessria o dimetro do eixo menos 0,05 mm, o us e j a : Li = 50 - 0,05 = 49,95 mm Outro dado de que voc precisa o valor do coeficiente de dilatao para o ao. Este voc encontra na tabela que j apresentamos nesta aula. Esse valor 0,000 012. E, por ltimo, voc tem DL, que 0,05 mm. Ento, voc monta a frmula: Dt =

DL a Li

Recordar aprender Lembre-se de que, em Matemtica, uma frmula pode ser reescrita para se descobrir o valor procurado. Para isso, voc tem de isolar o elemento cujo valor voc no conhece. Assim, a frmula original DL = a L i Dt pode ser reescrita:

Dt =

DL a Li

Substituindo os elementos da frmula pelos valores, voc ter: 0,05 Dt = 0,000012 49,95 0,05 Dt = 0,0005994 Dt = 83,4C

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2Tente voc tambm

Assim, para obter o encaixe com ajuste forado desse conjunto, voc precisa aquecer a coroa temperatura de 83,4C mais 20C da temperatura ambiente. Logo, a coroa dever ser aquecida a 103,4C.

Exercitar o que estudamos essencial para o aprendizado. Leia novamente a aula, acompanhando a realizao do clculo passo a passo. Depois faa os exerccios que propomos a seguir. Exerccio 1 Uma pea de ao de 250 mm de comprimento em temperatura ambiente (25C) foi aquecida a 500C. Qual foi o aumento do comprimento da pea aps o aquecimento? Considere a variao de temperatura (Dt = 5 0 0-2 5 ) . Soluo: DL=? a= 0,000012 Li=250 Dt=475 DL=0,000012 250 475 DL= Exerccio 2 Qual ser o DL, em mm, de um eixo de ao de 2 m de comprimento, se ele sofrer uma variao de temperatura (Dt) de 60C? Soluo: DL= ? a= 0,000012 Li=2 m Dt=60C DL=

Teste o que voc aprendeu

Os exerccios a seguir tm a finalidade de desafiar voc a mostrar que realmente aprendeu o que acabamos de lhe ensinar. Faa-os com ateno e, em caso de dvida, volte aos exemplos da lio antes de prosseguir. Exerccio 3 A que temperatura foi aquecida uma pea de alumnio de 300 mm de comprimento e que sofreu um aumento de comprimento (DL) de 0,5 mm? Temperatura ambiente = 26C. Exerccio 4 Calcule quais sero as medidas indicadas no desenho abaixo, aps o aquecimento (Dt = 34,5C) da pea que ser fabricada com alumnio.

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Calculando o comprimento de peas dobradas ou curvadasamos supor que voc seja dono de uma pequena empresa mecnica e algum lhe encomende 10.000 peas de fixao, que devero ser fabricadas por dobramento de chapas de ao. O seu provvel cliente, alm de querer uma amostra do produto que voc fabrica, certamente tambm desejar saber quanto isso vai custar. Um dos itens do oramento que voc ter de fazer corresponde ao custo da matria-prima necessria para a fabricao das peas. Para obter esta resposta, voc ter de calcular o comprimento de cada pea antes de elas serem dobradas, j que voc vai trabalhar com chapas. Como resolver este problema?

3

3

V

O problema

Peas dobradasCalcular o comprimento das peas antes que sejam dobradas, no um problema to difcil de ser resolvido. Basta apenas empregar conhecimentos de Matemtica referentes ao clculo de permetro. Recordar aprender Permetro a medida do contorno de uma figura geomtrica plana. Analise o desenho abaixo e pense em um modo de resolver o problema.

Nossa aula

50 B= 50

6 6

B

30

A

C

C = 30

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O que voc viu na figura? Basicamente, so trs segmentos de reta (A, B, C). A e C so iguais e correspondem altura da pea. B, por sua vez, a base. O que pode ser feito com eles em termos de clculo? Voc tem duas alternativas de soluo: a) Calcular o comprimento da pea pela linha mdia da chapa. b) Multiplicar a altura (30 mm) por 2 e somar com a medida interna (50 mm). Vamos ver se isso d certo com a alternativa a . Essa alternativa considera a linha mdia da chapa. Voc sabe por qu? simples: se voc usar as medidas externas da pea, ela ficar maior que o necessrio. Da mesma forma, se voc usar as medidas internas, ela ficar menor. Assim, pela lgica, voc deve usar a linha mdia. Tomando-se a linha mdia como referncia, o segmento B corresponde medida interna mais duas vezes a metade da espessura da chapa. Ento, temos: 50 + 2 x 3 = 50 + 6 = 56 mm Com esse valor, voc obteve o comprimento da linha mdia da base da pea. Agora, voc tem de calcular a altura dos segmentos A e C. Pelo desenho da figura da pgina anterior, voc viu que a altura da pea 30 mm. Desse valor, temos de subtrair metade da espessura da chapa, a fim de encontrar a medida que procuramos. 30 - 3 = 27 mm Com isso, obtemos as trs medidas: A = 27 mm, B = 56 mm e C = 27 mm. O comprimento obtido pela soma das trs medidas. 27 + 56 + 27 = 110 mm Portanto, a chapa de que voc necessita deve ter 110 mm de comprimento.

Tente voc tambm

Agora vamos treinar um pouco esse tipo de clculo. Exerccio 1 A alternativa b um mtodo prtico. Calcule o comprimento do material necessrio para a pea que mostramos em nossa explicao, usando essa alternativa. Voc dever obter o mesmo resultado. Soluo: 30 x 2 + 50 = ................+ 50 =

Peas curvadas circularesVamos supor agora que, em vez de peas dobradas, a sua encomenda seja para a produo de anis de ao. Mais uma vez, voc ter de utilizar o permetro. preciso considerar, tambm, a maneira como os materiais se comportam ao sofrer deformaes. Os anis que voc tem de fabricar sero curvados a partir de perfis planos. Por isso, no possvel calcular a quantidade de material necessrio nem pelo dimetro interno nem pelo dimetro externo do anel. Voc sabe por qu?

Se voc pudesse pr um pedao de ao no microscpio, veria que ele formado de cristais arrumados de forma geomtrica. Quando esse tipo de material sofre qualquer deformao, como, por exemplo, quando so curvados, esses cristais mudam de forma, alongando-se ou comprimindo-se. mais ou menos o que acontece com a palma de sua mo se voc abri-la ou fech-la. A pele se esticar ou se contrair, dependendo do movimento que voc fizer. No caso de anis, por causa dessa deformao, o dimetro interno no pode ser usado como referncia para o clculo, porque a pea ficar menor do que o tamanho especificado. Pelo mesmo motivo, o dimetro externo tambm no poder ser usado, uma vez que a pea ficar maior do que o especificado. O que se usa, para fins de clculo, o que chamamos de linha neutra, que no sofre deformao quando a pea curvada. A figura a seguir d a idia do que essa linha neutra.estrutura que sofreu compresso

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Linha neutra

estrutura que sofreu alongamento

Mas como se determina a posio da linha neutra? , parece que teremos mais um pequeno problema aqui. Em grandes empresas, essa linha determinada por meio do que chamamos, em Mecnica, de um ensaio, isto , um estudo do comportamento do material, realizado com o auxlio de equipamentos apropriados. No entanto, sua empresa muito pequena e no possui esse tipo de equipamento. O que voc poder fazer para encontrar a linha neutra do material e realizar a tarefa? A soluo fazer um clculo aproximado pelo dimetro mdio do anel. Para achar essa mdia, voc precisa apenas somar os valores do dimetro externo e do dimetro interno do anel e dividir o resultado por 2. Vamos tentar? Suponha que o desenho que voc recebeu seja o seguinte.80 1

80100

A U L A

3

Com as medidas do dimetro interno e do dimetro externo do desenho, voc faz a soma: 100 + 80 = 180 mm O resultado obtido, voc divide por 2: 180 : 2 = 90 mm O dimetro mdio , portanto, de 90 mm. Esse valor (90 mm) corresponde aproximadamente ao dimetro da circunferncia formada pela linha neutra, do qual voc precisa para calcular a matria-prima necessria. Como o comprimento do material para a fabricao do anel corresponde mais ou menos ao permetro da circunferncia formada pela linha mdia, o que voc tem de fazer agora achar o valor desse permetro. Recordar aprender A frmula para calcular o permetro da circunferncia P = D . p, em que D o dimetro da circunferncia e p a constante igual a 3,14. P = 90 x 3,14 P = 282,6 mm Como voc pde observar no desenho, para a realizao do trabalho, ter de usar uma chapa com 10 mm de espessura. Por causa da deformao que ocorrer no material quando ele for curvado, muito provavelmente haver necessidade de correo na medida obtida (282,6 mm). Nesses casos, a tendncia que o anel fique maior que o especificado. Em uma empresa pequena, o procedimento fazer amostras com a medida obtida, analisar o resultado e fazer as correes necessrias. Dica tecnolgica Quando se trabalha com uma chapa de at 1 mm de espessura, no h necessidade de correo nessa medida, porque, neste caso, a linha neutra do material est bem prxima do dimetro mdio do anel.

Tente voc tambm

Vamos a mais um exerccio para reforar o que foi explicado Exerccio 2 Calcule o comprimento do material necessrio para construir o anel correspondente ao seguinte desenho:1mdio 31

Soluo: P=Dimetro mdio p Dimetro mdio = 31 p = 3,14 P=

30

Peas curvadas semicircularesVoc deve estar se perguntando o que deve fazer se as peas no apresentarem a circunferncia completa. Por exemplo, como seria o clculo para descobrir o comprimento do material para a pea que est no desenho a seguir?Linha mdia

A U L A

3

30

O primeiro passo analisar o desenho e descobrir quais os elementos geomtricos contidos na figura. Voc deve ver nela duas semicircunferncias e dois segmentos de reta. Mas, se voc est tendo dificuldade para enxergar esses elementos, vamos mostr-los com o auxlio de linhas pontilhadas na figura abaixo.30

10

R

1030

Com as linhas pontilhadas dessa nova figura, formam-se duas circunferncias absolutamente iguais. Isso significa que voc pode fazer seus clculos baseado apenas nas medidas de uma dessas circunferncias. Como voc tem a medida do raio dessa circunferncia, basta calcular o seu permetro e somar com o valor dos dois segmentos de reta. Recordar aprender Como estamos trabalhando com a medida do raio, lembre-se de que, para o clculo do permetro, voc ter de usar a frmula P = 2 p R. Vamos ao clculo: P=2pR Substituindo os valores: P = 2 x 3,14 x 10 P = 6, 28 x 10 P = 62,8 mm

R

10

A U L A

3Tente voc tambm

Por enquanto, temos apenas o valor das duas semicircunferncias. Precisamos adicionar o valor dos dois segmentos de reta. 62,8 + 30 + 30 = 122,8 mm Portanto, o comprimento do material necessrio para a fabricao desse elo de corrente aproximadamente 122,8 mm. Releia essa parte da lio e faa o exerccio a seguir. Exerccio 3 Calcule o comprimento do material necessrio para confeccionar a pea de fixao em forma de U, cujo desenho mostrado a seguir.

Soluo: Linha mdia: 6 : 2= Raio: 10 + 3 = Permetro da semicircunferncia: P= Comprimento: 20 + 20 + ......... = Outro exemplo. Ser que esgotamos todas as possibilidades desse tipo de clculo? Provavelmente, no. Observe esta figura.

2p pR =p p R = 3,14 2

6

50

Nela temos um segmento de reta e uma circunferncia que no est completa, ou seja, um arco. Como resolver esse problema? Como voc j sabe, a primeira coisa a fazer analisar a figura com cuidado para verificar todas as medidas que voc tem sua disposio.

34

12

0

Nesse caso, voc tem: a espessura do material (6 mm), o comprimento do segmento de reta (50 mm), o raio interno do arco de circunferncia (12 mm) e o valor do ngulo correspondente ao arco que se quer obter (340). O passo seguinte calcular o raio da linha mdia. Esse valor necessrio para que voc calcule o permetro da circunferncia. As medidas que voc vai usar para esse clculo so: o raio (12 mm) e a metade da espessura do material (3 mm). Esses dois valores so somados e voc ter: 12 + 3 = 15 mm Ento, voc calcula o permetro da circunferncia, aplicando a frmula que j foi vista nesta aula. P = 2 x 3,14 x 15 = 94,20 mm Como voc tem um arco e no toda a circunferncia, o prximo passo calcular quantos milmetros do arco correspondem a 1 grau da circunferncia. Como a circunferncia completa tem 360, divide-se o valor do permetro (94,20 mm) por 360. 94,20 : 360 = 0,26166 mm Agora voc tem de calcular a medida em milmetros do arco de 340. Para chegar a esse resultado, multiplica-se 0,26166 mm, que o valor correspondente para cada grau do arco, por 340, que o ngulo correspondente ao arco. 0,26166 x 340 = 88,96 mm Por ltimo, voc adiciona o valor do segmento de reta (50 mm) ao valor do arco (88,96mm). 50 + 88,96 = 138,96 mm. Portanto, o comprimento aproximado do material para esse tipo de pea de 138,96 mm. As coisas parecem mais fceis quando a gente as faz. Faa o exerccio a seguir e veja como fcil. Exerccio 4 Calcule o comprimento do material necessrio fabricao da seguinte pea.

A U L A

3

Tente voc tambm

330 R12

6

30

Soluo: Linha mdia: 6 .......... = Raio: 12 + .......... = Permetro = ............ 360 = ............ : ............ = ............ + ............ +............ =

Teste oL que A U A voc aprendeu

3

Se voc estudou a lio com cuidado e fez os exerccios com ateno, no vai ter dificuldade para resolver o desafio que preparamos para voc. Exerccio 5 Calcule o material necessrio para a fabricao das seguintes peas dobradas. a)

b)

c)

Exerccio 6 Calcule o comprimento do material necessrio para fabricar as seguintes peas. a)

b)

A L AL AUU

4 4

A

Descobrindo medidas desconhecidas (I)oc torneiro em uma empresa mecnica. Na rotina de seu trabalho, voc recebe ordens de servio acompanhadas dos desenhos das peas que voc tem de tornear. Vamos supor que voc receba a seguinte ordem de servio com seu respectivo desenho.O R D E M D E FABRICAO NMERO DATA D E ENTRADA

V

O problema

2000/95D A T A D E SADA

Metalrgica2000Eixo com extremidadequadradaMATERIAL PRODUTO

CLIENTE

N O.D O P E D I D O

115/95REFERNCIAS

15/05/95QUANTIDADE

____/____/____OBSERVAES

Desenho n 215/A

400

Urgente

ao ABNT 1045

O desenho indica que voc ter de tornear um tarugo cilndrico para que o fresador possa produzir uma pea cuja extremidade seja um perfil quadrado. Porm, o desenho apresenta apenas a medida do lado do quadrado. O que voc tem de descobrir a medida do dimetro do cilindro que, ao ser desbastado pelo fresador, fornecer a pea desejada. Como voc resolve esse problema?

Nossa A U aula L A

Aplicando o Teorema de PitgorasPara resolver o problema, voc precisar recorrer aos seus conhecimentos de Matemtica. Ter de usar o que aprendeu em Geometria. Por que usamos essa linha de raciocnio? Porque em Geometria existe um teorema que nos ajuda a descobrir a medida que falta em um dos lados do tringulo retngulo. o Teorema de Pitgoras, um matemtico grego que descobriu que a soma dos quadrados das medidas dos catetos igual ao quadrado da medida da hipotenusa. Recordar aprender Tringulo retngulo aquele que tem um ngulo reto, ou seja, igual a 90. Nesse tipo de tringulo, o lado maior chama-se hipotenusa . O s outros dois lados so chamados de catetos .ab

4

Hipotenusa

Cateto

Cateto c

Isso quer dizer que em um tringulo retngulo de lados a, b e c, supondo-se que a hipotenusa seja o lado a, poderamos expressar matematicamente essa relao da seguinte maneira: b +c =a Ento, em primeiro lugar, voc tem de identificar as figuras geomtricas que esto no desenho do tarugo. Se voc prestou bem ateno, deve ter visto nela uma circunferncia e um quadrado. Em seguida, necessrio ver quais as medidas que esto no desenho e que podero ser usadas no clculo. No desenho que voc recebeu, a medida disponvel a do lado do quadrado, ou 30 mm. A Geometria diz que, sempre que voc tiver um quadrado inscrito em uma circunferncia, o dimetro da circunferncia corresponde diagonal do quadrado. Recordar aprender Diagonal o segmento de reta que une dois vrtices no consecutivos de um polgono, ou seja, de uma figura geomtrica plana que tenha mais de trs lados.

Vrtice Diagonais

Para que voc entenda melhor o que acabamos de explicar, vamos mostrar o desenho ao qual acrescentamos a diagonal.

A U L A

4

Observe bem esse novo desenho. O que antes era um quadrado transformou-se em dois tringulos retngulos . A diagonal que foi traada corresponde hipotenusa dos tringulos. Os dois catetos correspondem aos lados do quadrado e medem 30 mm. Assim, a medida que est faltando a hipotenusa do tringulo retngulo. Transportando as medidas do desenho para essa expresso, voc ter: a a a a a a = = = = = @ b + c 3 0 +3 0 900 + 900 1800 1800 42,42 mm

Dica Para realizar os clculos, tanto do quadrado quanto da raiz quadrada, use uma calculadora. Logo, voc dever tornear a pea com um dimetro mnimo aproximado de 42,42 mm. Para garantir que voc aprenda a descobrir a medida que falta em um desenho, vamos mostrar mais um exemplo com uma pea sextavada sem uma das medidas. Observe o desenho a seguir.

A U L A

4Usinar alterar a forma da matria-prima, retirando material por meio de ferramentas.

Como torneiro, voc tem de deixar o material preparado na medida correta para o fresador usinar a extremidade sextavada da pea. Qual essa medida? Ser que o mesmo raciocnio usado no primeiro exemplo vale para este? Vamos ver. Observe bem o desenho. A primeira coisa que temos de fazer traar uma linha diagonal dentro da figura sextavada que corresponda ao dimetro da circunferncia.

Essa linha a hipotenusa do tringulo retngulo. O lado do sextavado do qual a hipotenusa partiu o cateto c.

O cateto b e o c a t e t o c formam o ngulo reto do tringulo.

Ora, se conseguimos ter um tringulo retngulo, podemos aplicar novamente o Teorema de Pitgoras. O problema agora que voc s tem uma medida: aquela que corresponde ao cateto maior (26 mm). Apesar de no ter as medidas, a figura lhe fornece dados importantes, a saber: a hipotenusa corresponde ao dimetro da circunferncia. Este, por sua vez, o dobro do raio. Por isso, a hipotenusa igual a duas vezes o valor do raio dessa mesma circunferncia. necessrio saber tambm que, quando temos uma figura sextavada inscrita em uma circunferncia, os lados dessa figura correspondem ao raio da circunferncia onde ela est inscrita.

Esses dados podem ser representados matematicamente. A hipotenusa a = 2r O cateto menor c = r Aplicando o teorema (a = b + c) e substituindo os valores, temos: ( 2 r ) =2 6 +r Resolvendo, temos: 4 r =6 7 6 + r2 Como essa sentena matemtica exprime uma igualdade, podemos isolar as incgnitas (r). Assim, temos: 4 r -r =6 7 6 3 r = 676 r = 6 7 6 3 r = 225,33 r = 225, 33 r @ 15,01 mm

A U L A

4

Em Matemtica, incgnita o valor que no conhecido.

Como a hipotenusa a igual a 2r e sabendo que o valor de r 15,01 mm, teremos, ento: a = 2 x 15,01 = 30,02 mm Sabemos tambm que a hipotenusa corresponde ao dimetro da circunferncia. Isso significa que o dimetro para a usinagem da pea de 30,02 mm.

Para ser o melhor, o esportista treina, o msico ensaia e quem quer aprender faz muitos exerccios. Se voc quer mesmo aprender, leia novamente esta aula com calma e prestando muita ateno. Depois, faa os exerccios que preparamos para voc. Exerccio 1 Qual a medida da diagonal no desenho da porca quadrada mostrado a seguir?

Tente voc tambm

A U L A

4

Exerccio 2 preciso fazer um quadrado em um tarugo de 40 mm de dimetro. Qual deve ser a medida do lado do quadrado? Exerccio 3 Calcule o comprimento da cota x da pea abaixo.

Exerccio 4 De acordo com o desenho abaixo, qual deve ser o dimetro de um tarugo para fresar uma pea de extremidade quadrada?

Exerccio 5 Calcule na placa abaixo a distncia entre os centros dos furos A e B.

Exerccio 6 Qual a distncia entre os centros das polias A e B?

A U L A

4

Depois do treino vem o jogo. Vamos ver se voc ganha este. Exerccio 7 Calcule o dimetro do rebaixo onde ser encaixado um parafuso de cabea quadrada, conforme o desenho. Considere 6 mm de folga. Depois de obter o valor da diagonal do quadrado, acrescente a medida da folga.

Teste o que voc aprendeu

Exerccio 8 Qual a distncia entre os centros dos furos A e B? D a resposta em milmetros.B

A

2 1/2"

Exerccio 9 Calcule a distncia entre os centros dos furos igualmente espaados da pea abaixo.

1 3/4"

A U L A

4

Exerccio 10 Calcule o valor de x no desenho:

Exerccio 11 Calcule o valor de x nos desenhos: a )

b )

Exerccio 12 Calcule a distncia entre dois chanfros opostos do bloco representado abaixo.

A UU L AL A A

5

5

Descobrindo medidas desconhecidas (II)uem trabalha no ramo da mecnica sabe que existem empresas especializadas em reforma de mquinas. As pessoas que mantm esse tipo de atividade precisam ter muito conhecimento e muita criatividade para resolver os problemas que envolvem um trabalho como esse. Na maioria dos casos, as mquinas apresentam falta de peas, no possuem esquemas nem desenhos, tm parte de seus conjuntos mecnicos to gastos que no possvel repar-los e eles precisam ser substitudos. O maior desafio o fato de as mquinas serem bem antigas e no haver como repor componentes danificados, porque as peas de reposio h muito tempo deixaram de ser fabricadas e no h como compr-las no mercado. A t a r e f a do mecnico, nesses casos, , alm de fazer adaptaes de peas e dispositivos, modernizar a mquina para que ela s e j a usada com mais eficincia. Isso um verdadeiro trabalho de detetive, e um dos problemas que o profissional tem de resolver calcular o comprimento das correias faltantes. Vamos supor, ento, que voc trabalhe em uma dessas empresas. Como voc novato e o clculo fcil, seu chefe mandou que voc calculasse o comprimento de todas as correias das mquinas que esto sendo reformadas no momento. Voc sabe como resolver esse problema?

Q

O problema

Calculando o comprimento de correiasA primeira coisa que voc observa que a primeira mquina tem um conjunto de duas polias iguais, que devem ser ligadas por meio de uma correia aberta. O que voc deve fazer em primeiro lugar medir o dimetro das polias e a distncia entre os centros dos eixos. Depois voc faz um desenho, que deve ser parecido com o que mostramos a seguir.

Nossa aula

cm

20

c = 40 cm

20

cm

A U L A

5

Dica tecnolgica Nos conjuntos mecnicos, voc pode ter vrias combinaes de polias e correias. Assim, possvel combinar polias de dimetros iguais, movidas por correias abertas e correias cruzadas. A razo para cruzar as correias inverter a rotao da polia.

d

c

d

cPode-se, tambm, combinar polias de dimetros diferentes, a fim de alterar a relao de transmisso, ou seja, modificar a velocidade, aumentando-a ou diminuindo-a. Esse tipo de conjunto de polias pode igualmente ser movimentado por meio de correias abertas ou correias cruzadas.

R

c

R

c

r

r

Agora, voc analisa o desenho. O comprimento da correia corresponde ao permetro da figura que voc desenhou, certo? O raciocnio que voc tem de seguir mais ou menos o mesmo que foi seguido para resolver o problema do comprimento do material para fabricar peas curvadas. Analisando a figura, vemos que a rea de contato da correia com a polia est localizada nas duas semicircunferncias. Para fins de resoluo matemtica, consideraremos as duas semicircunferncias como se fossem uma circunferncia. Portanto, o comprimento das partes curvas ser o permetro da circunferncia. Assim, calculamos o permetro da circunferncia e depois somamos os dois segmentos de reta correspondentes distncia entre os centros dos eixos. Matematicamente, isso pode ser colocado em uma frmula:

A U L A

5

L=

p d+2c

Nela, L o comprimento total da correia; p d o permetro da circunfernc i a e C a distncia entre os centros dos eixos (que correspondem aos dois segmentos de reta). Colocando os valores na frmula L =

p d + 2 c, voc tem:

L=3 , 1 4 2 0 + 2 4 0 L = 62,8 + 80 L = 142,8 cm O comprimento da correia deve ser de aproximadamente 143 cm.

Esse clculo no difcil. Releia esta parte da aula e faa os exerccios a seguir. Exerccio 1 Calcule o comprimento da correia aberta que liga duas polias iguais com 30 cm de dimetro e com distncia entre eixos de 70 cm.

Tente voc tambm

Soluo: L = p d+2c L = 3,14 30 + 2 70 L=

Exerccio 2 Calcule o comprimento da correia aberta necessria para movimentar duas polias iguais, com 26 cm de dimetro e com distncia entre eixos de 60 cm.

A U L A

Polias de dimetros diferentesVoltemos tarefa que o chefe lhe passou: a segunda mquina que voc examina tem um conjunto de polias de dimetros diferentes e correia aberta. Novamente, voc mede o dimetro das polias e a distncia entre os centros dos eixos. Encontra o valor dos raios (D/ 2). Em seguida, desenha o conjunto com as medidas que voc obteve.

5

25

cm

10

cm

c = 45 cm

Mais uma vez, voc tem de encontrar o permetro dessa figura. Quais as medidas que temos? Temos o raio da polia maior (25 cm), o raio da polia menor (10 cm) e a distncia entre os centros dos eixos (45 cm). Para esse clculo, que aproximado, voc precisa calcular o comprimento das semicircunferncias e som-lo ao comprimento c multiplicado por 2. Dica Esse clculo aproximado, porque a regio de contato da polia com a correia no exatamente correspondente a uma semicircunferncia.

Observe a figura abaixo. Analisando-a com cuidado, vemos que a medida do segmento A desconhecida. Como encontr-la?a25 cm10

cm

c b a c = 45 cm

J vimos que uma ferramenta adequada para encontrar medidas desconhecidas o Teorema de Pitgoras, que usa como referncia a relao entre os catetos e a hipotenusa de um tringulo retngulo. Ento, vamos tentar traar um tringulo retngulo dentro da figura que temos. Usando o segmento a como hipotenusa, traamos um segmento c, paralelo linha de centro formada pelos dois eixos das polias. Essa linha forma o cateto maior do tringulo. Quando ela encontra outra linha de centro da polia maior, forma o cateto b). Sua medida corresponde ao valor do raio maior menos o valor do raio menor (b menor (R - r). Seu desenho deve ficar igual ao dessa figura acima.

Agora, s representar matematicamente essas informaes em uma frmula. L= p ( R+r ) + 2 c2 + (R - r)2 Substituindo os valores, voc tem: L=3 , 1 4 ( 2 5+ 1 0 )+2 L=3 , 1 43 5+2 L=3 , 1 43 5+2 L=3 , 1 43 5+2

A U L A

5

452 + (25 - 10)2

2025 + (15)2 2025 + 225 2250

L=3 , 1 43 5+2 4 7 , 4 3 L = 109,9 + 94,86 L = 204,76 cm A correia para essa mquina dever ter aproximadamente 204,76 cm.

Estude novamente a parte da aula referente s correias abertas ligando polias com dimetros diferentes e faa os exerccios a seguir. Exerccio 3 Calcule o comprimento de uma correia aberta que dever ligar duas polias de dimetros diferentes ( 15 cm e 20 cm) e com distncia entre eixos de 40 cm. Soluo: R = 20 2 = r=1 52= L= p ( R+r ) +2 L=3 , 1 4

Tente voc tambm

c2 + (R - r)2

Exerccio 4 Calcule o comprimento de uma correia aberta que dever ligar duas polias de dimetros diferentes ( 30 cm e 80 cm) e com distncia entre eixos de 100 cm.

Correias cruzadasPara o clculo do comprimento de correias cruzadas, voc dever usar as seguintes frmulas:

a ) Para polias de dimetros iguais: L= p d +2

c 2 + d2

b ) Para polias de dimetros diferentes: L= p ( R+r ) +2

c2 + (R + r)2

Tente A Uvoc L A tambm

5

Agora voc vai fazer exerccios aplicando as duas frmulas para o clculo do comprimento de correias cruzadas. Exerccio 5 Calcule o comprimento de uma correia cruzada que liga duas polias iguais, com 35 cm de dimetro e distncia entre eixos de 60 cm. Soluo: L= p d +2

c 2 + d2

L=3 , 1 43 5+2 Exerccio 6 Calcule o comprimento de uma correia cruzada que dever ligar duas polias de dimetros diferentes ( 15 cm e 20 cm) e com distncia entre eixos de 40 cm. 2 2 L= p ( R+r ) + 2 c + (R + r)

Dica Tecnolgica A s correias cruzadas so bem pouco utilizadas atualmente, porque o atrito gerado no sistema provoca o desgaste muito rpido das correias.

Teste o que voc aprendeu

Lembre-se de que para resolver esse tipo de problema voc tem de aprender a enxergar o tringulo retngulo nos desenhos. Este o desafio que lanamos para voc. Exerccio 7 Calcule o comprimento das correias mostradas nos seguintes desenhos. a ) b )18 cm 10

cm

8

c = 15 cmc = 50 cm

c )50

8

cm

cm

d )40

cm

30

cm

cm

20

cm

c = 100 cm

c = 100 cm

A UU L AL A A

6

6

Descobrindo medidas desconhecidas (III) dissemos que a necessidade de descobrir medidas desconhecidas uma das atividades mais comuns na rea da Mecnica. Por isso, torneiros, fresadores, retificadores, ajustadores e ferramenteiros tm de dominar esse conhecimento com muita segurana para poder realizar bem seu trabalho. Voc j aprendeu que, usando o Teorema de Pitgoras, possvel descobrir a medida que falta, se voc conhecer as outras duas. Porm, s vezes, as medidas disponveis no so aquelas adequadas aplicao desse teorema. So as ocasies em que voc precisa encontrar medidas auxiliares e dispe apenas de medidas de um lado e de um ngulo agudo do tringulo retngulo. Nesse caso, voc tem de aplicar seus conhecimentos de Trigonometria. Por sua importncia, esse assunto sempre est presente nos testes de seleo para profissionais da rea de Mecnica. Vamos supor, ento, que voc esteja se candidatando a uma vaga numa empresa. Uma das questes do teste calcular a distncia entre os furos de uma flange, cujo desenho semelhante ao mostrado abaixo.

J

O problema

R7

5

1010 furos, furos,

1/2 "

1" 2

Voc sabe resolver esse problema? No? Ento vamos lhe ensinar o caminho.

Nossa A U aula L A

Relao senoSeu problema encontrar a distncia entre os furos. Voc j sabe que, para achar medidas desconhecidas, pode usar o tringulo retngulo, porque o que lhe dar a resposta a anlise da relao entre as partes desse tipo de tringulo. Na aplicao do Teorema de Pitgoras, voc analisa a relao entre os catetos e a hipotenusa. Porm, existem casos nos quais as relaes compreendem tambm o uso dos ngulos agudos dos tringulos retngulos. Essas relaes so estabelecidas pela Trigonometria. Recordar aprender ngulo agudo aquele que menor que 90. Trigonometria a parte da Matemtica que estuda as relaes entre os ngulos agudos do tringulo retngulo e seus lados. Vamos ento analisar o problema e descobrir se teremos de usar o Teorema de Pitgoras ou as relaes trigonomtricas. A primeira coisa a fazer colocar um tringulo dentro dessa figura, pois o tringulo que dar as medidas que procuramos.

6

B AR75

C

Unindo os pontos A, B e C, voc obteve um tringulo issceles. Ele o caminho para chegarmos ao tringulo retngulo. Traando a altura do tringulo issceles, temos dois tringulos retngulos.

B

R75A

D C

Recordar aprender Tringulo issceles aquele que possui dois lados iguais. A altura desse tipo de tringulo, quando traada em relao ao lado desigual, forma dois tringulos retngulos.

Como os dois tringulos retngulos so iguais, vamos analisar as medidas disponveis de apenas um deles: a hipotenusa , que igual ao valor do raio da circunferncia que passa pelo centro dos furos (75 mm) e o ngulo a, q u ea metade do ngulo b. Primeiro, calculamos b, dividindo 360 por 10, porque temos 10 furos igualmente distribudos na pea, que circular: b =3 6 0 1 0=3 6 Depois, calculamos: a = b 2 = 36 2 = 1 8 Assim, como temos apenas as medidas de um ngulo (a = 18) e da hipotenusa (75 mm), o Teorema de Pitgoras no pode ser aplicado. Recordar aprender Lembre-se de que, para aplicar o Teorema de Pitgoras no clculo da medida de um lado do tringulo retngulo, voc precisa da medida de dois dos trs lados. Com essas medidas, o que deve ser usada a relao trigonomtrica chamada seno ,cuja frmula : s e n a=

A U L A

6

cateto oposto co o u hipotenusa hip

Recordar aprender Em um tringulo retngulo, seno de um ngulo a relao entre a medida do cateto oposto (co) a esse ngulo e a medida da hipotenusa (hip).B

hip

co

A

D

Dica Os valores de seno so tabelados e se encontram no fim deste livro. Para fazer os clculos, voc precisa, primeiro, localizar o valor do seno de a ( 1 8 )n at a b e l a : sen 18 = 0,3090 Substituindo os valores na frmula:

0, 3090 =

co 75

Isolando o elemento desconhecido: co = 0,3090 x 75 co = 23,175 mm

A U L A

6Tente voc tambm

O primeiro tringulo que voc desenhou foi dividido em dois. O resultado obtido (co = 23,175) corresponde metade da distncia entre os furos. Por isso, esse resultado deve ser multiplicado por dois: 2 23,175 mm = 46,350 mm Assim, a distncia entre os furos da pea de 46,350 mm.

Imagine que voc tem de se preparar para um teste em uma empresa. Faa os exerccios a seguir e treine os clculos que acabou de aprender. Exerccio 1 Calcule a altura dos blocos-padro necessrios para que a mesa de seno fique i n c l i n a d a9 3 0 ' . Mesa de Seno300Blocos -padro

DESEMPENO

Soluo:

co s e n a = hip s e n a =( 9 3 0 ' )= hip = 300 c o=? co . . . . .= 300 co =

Exerccio 2 Calcule a cota x deste desenho. 40

RX

Soluo:

30

90

Clculo da hipotenusa:

x = 30 + hip + R x = 30 + ? + 20 co s e n a = hip

20 s e n 45= hip hip = x=

Exerccio 3 Calcule a cota x do seguinte desenho.

A U L A

635 X

Relao co-senoVamos supor agora que o teste que voc est fazendo apresente como problema encontrar a cota x de uma pea semelhante ao desenho mostrado a seguir.60

x

80

Como primeiro passo, voc constri um tringulo issceles dentro do seu desenho e divide esse tringulo em 2 tringulos retngulos. Seu desenho deve ficar assim:

x

Em seguida, voc analisa as medidas de que dispe: a hipotenusa (20 mm) e o ngulo a, que a metade do ngulo original dado de 60, ou seja, 30. A medida de que voc precisa para obter a cota x a do cateto adjacente ao ngulo a. A relao trigonomtrica que deve ser usada nesse caso o co-seno, cuja frmula :

cosa =

cat.adjacente ca ou hip hipotenusa

20

20

A U L A

6

Para descobrir a medida x aplicando a frmula, primeiramente preciso descobrir o co-seno de a (30), que tambm um dado tabelado que voc encontra no fim deste livro. cos 30 = 0,8660 Depois, voc substitui os valores na frmula: ca 0, 8660 = 20 ca = 0, 8660 20

ca = 17, 32 mm O valor de ca corresponde cota x. Portanto, x = 17,32 mm

Tente voc tambm

Releia a aula e aplique o que voc estudou nos exerccios a seguir. Lembrese de que, quanto mais voc fizer, mais aprender. Exerccio 4 Calcule a cota x na pea abaixo.

4840

x

Exerccio 5 Calcule a cota x da pea a seguir.

x

1550

Exerccio 6 Calcule o ngulo a do chanfro da pea abaixo.

A U L A

6

Exerccio 7 Calcule a cota x da pea chanfrada mostrada a seguir.x

20

Esta parte da lio foi criada para voc pr prova seu esforo e seu empenho no estudo do assunto da aula. Releia a aula e estude os exemplos com ateno. Depois faa os seguintes exerccios. Exerccio 8 Calcule a distncia entre furos da flange com 12 furos igualmente espaados, cujo raio da circunferncia que passa pelo centro dos furos de 150 mm. Exerccio 9 Calcule a altura dos blocos-padro para que a mesa de seno fique inclinada 18. A distncia entre o centro dos roletes de apoio da mesa de 300 mm. Exerccio 10 Calcule a cota h da pea abaixo.

Teste o que voc aprendeu

Exerccio 11 Calcule a cota x da seguinte pea.x

80

5

A UA U LLA A

7 7

Descobrindo medidas desconhecidas (IV)O problemama das operaes mais comuns que o torneiro deve realizar o torneamento cnico. Quando necessrio tornear peas cnicas, uma das tcnicas utilizadas a inclinao do carro superior do torno. Para que isso seja feito, preciso calcular o ngulo de inclinao do carro. E esse dado, muitas vezes, no fornecido no desenho da pea. Vamos fazer de conta, ento, que voc precisa tornear uma pea desse tipo, parecida com a figura a seguir.

U

Quais os clculos que voc ter de fazer para descobrir o ngulo de inclinao do carro do torno? Isso o que vamos ensinar a voc nesta aula.

Nossa aula

Relao tangenteA primeira coisa que voc tem de fazer, quando recebe uma tarefa como essa, analisar o desenho e visualizar o tringulo retngulo. atravs da relao entre o s lados e ngulos que voc encontrar a medida que procura. Vamos ver, ento, onde poderia estar o tringulo retngulo no desenho da pea que voc recebeu.C

D

CD-d 2

d

Nessa figura, a medida que voc precisa encontrar o ngulo a. P a r a encontr-lo, voc tem de analisar, em seguida, quais as medidas que o desenho est fornecendo. Observando a figura anterior, voc pode localizar: a medida c, o dimetro maior e o dimetro menor da parte cnica. Vamos pensar um pouco em como essas medidas podem nos auxiliar no clculo que precisamos fazer. A medida c nos d o cateto maior, ou adjacente do tringulo retngulo ( c = 100 mm). A diferena entre o dimetro maior (50 mm) e o dimetro menor (20 mm), dividido por 2, d o cateto oposto ao ngulo a. A relao entre o cateto oposto e o cateto adjacente nos d o que em Trigonometria chamamos de tangente do ngulo a. Essa relao representada matematicamente pela frmula: cat.oposto co tga = ou ca cat.adjacente Dica Da mesma forma como o seno e o co-seno so dados tabelados, a tangente tambm dada em uma tabela que voc encontra no fim deste livro. Quando o valor exato no encontrado, usa-se o valor mais prximo. Como co dado pela diferena entre o dimetro maior menos o dimetro menor, dividido por 2, e ca igual ao comprimento do cone (c), a frmula de clculo do ngulo de inclinao do carro superior do torno sempre escrita da seguinte maneira: D-d tga = 2 c Essa frao pode ser finalmente escrita assim:

A U L A

7

tga =

D-d 2c

Dica Para o torneamento de peas cnicas com a inclinao do carro superior, a frmula a ser usada sempre D-d tga = 2c Assim, substituindo os valores na frmula, temos:

50 - 20 2 100 30 tga = 200 tga = 0,15 tga =Para encontrar o ngulo a, o valor 0,15 deve ser procurado na tabela de valores de tangente. Ento, temos:a @ 8 30' Ento, o ngulo de inclinao do carro superior para tornear a pea dada de aproximadamente 83 0 ' .

Tente A Uvoc L A tambm

7

Exercitar o que estudamos muito importante para fixar a aprendizagem. Leia novamente a explicao do clculo que acabamos de apresentar e faa os seguintes exerccios. Exerccio 1 Calcule o ngulo de inclinao do carro superior do torno para tornear a seguinte pea. No se esquea de que voc tem de usar a frmula:

tga =

D-d 2c

D = 40 d = 10 c=5 0 = ? a Exerccio 2 Qual o ngulo de inclinao do carro superior do torno para que se possa tornear a pea mostrada a seguir.5

15

20

Outra aplicao da relao tangenteA frmula que acabamos de estudar usada especialmente para o torneamento cnico. Existem outros tipos de peas que apresentam medidas desconhecidas para o operador e que tambm empregam a relao tangente.

30

Esse o c a s o do s clculos relacionados a medidas do encaixe tipo rabo de andorinha.

A U L A

7

Como exemplo, imagine que voc tenha de calcular a cota x da pea cujo desenho mostramos a seguir.x

1

6

60

100

Dica As duas circunferncias dentro do desenho no fazem parte da pea. So roletes para o controle da medida x da pea e vo auxiliar no desenvolvimento dos clculos. A primeira coisa a fazer traar o tringulo retngulo dentro da figura.x

1

6

60 co ca 100

Observe bem a figura. Na realidade, a medida x corresponde largura do rasgo (100 mm) da pea menos duas vezes o cateto adjacente (ca) do tringulo, menos duas vezes o raio do rolete.

A U L A

Parece difcil? Vamos colocar isso em termos de uma igualdade matemtica: x=1 0 0 -2 c a -2 R O valor de R j conhecido: R = 16 2 = 8 Colocando esse valor na frmula temos: x=1 0 0 -2 c a -28 x=1 0 0 -2 c a-1 6 Para achar o valor de x, necessrio encontrar o valor de ca. Para achar o valor de ca, vamos usar a relao trigonomtrica tangente, que representada pela frmula: t ga=

7

co ca

De posse da frmula, vamos, ento, anlise das medidas do tringulo retngulo obtido na figura. No tringulo temos duas medidas conhecidas: a ) o cateto oposto, que o dimetro do rolete 2 ,o us e j a ,c o = 16 2 = 8 mm; b ) o ngulo a, que o valor do ngulo do rabo de andorinha dividido p o r2 ,o us e j a , a = 60 2 = 30 . Substituindo os valores na frmula tg a =

co ca

8 ca 8 0, 5774 = ca tg 30 =Como ca o valor que desconhecemos, vamos isol-lo: 8 c a= 0, 5774 ca = 13,85 mm Agora que encontramos o valor de ca, vamos coloc-lo na expresso: x=1 0 0 - 2 1 3 , 8 5-1 6 x=1 0 0-2 7 , 7 0-1 6 x=7 2 , 3 0-1 6 x = 56,30 mm Portanto, a medida da cota x 56,30 mm.

importante verificar se voc entendeu o que acabamos de explicar. Por isso, vamos dar alguns exerccios para que voc reforce o que estudou. Exerccio 3 Um torneiro precisa tornear a polia mostrada no desenho a seguir. Calcule ac o t a x correspondente maior largura do canal da polia.x

Tente A U L voc A tambm

7

5

32

Soluo: t ga=

co ca

a =3 2 2= t ga= co = x=2 c o+5 x= Exerccio 4 Calcule a cota x do eixo com extremidade cnica.

30

15x

12

Teste oL que A U A voc aprendeu

7

Leia novamente a lio, prestando bastante ateno nos exemplos. Em seguida faa os seguintes exerccios. Exerccio 5 Calcule os ngulos desconhecidos das peas a seguir. a )a =? b =?

b )

c )

Exerccio 6 Calcule a cota desconhecida de cada pea mostrada a seguir. a )

b )

c )

Exerccio 7 Calcule as cotas desconhecidas dos rasgos em v nos desenhos a seguir. a ) b ) ) c

A U L A

7

Exerccio 8 Calcule as medidas desconhecidas nas figuras que seguem. a ) b )

c )

Exerccio 9 Calcule as cotas desconhecidas nas figuras abaixo. a ) b )

c )

d )

A A UA U L LA

8

8

Calculando RPMO

O problema

s conjuntos formados por polias e correias e os formados por engrenagens so responsveis pela transmisso da velocidade do motor para a mquina. Geralmente, os motores possuem velocidade fixa. No entanto, esses conjuntos transmissores de velocidade so capazes tambm de modificar a velocidade original do motor para atender s necessidades operacionais da mquina. rpm Assim, podemos ter um motor que gire a 600 rotaes por minuto (rpm rpm) movimentando uma mquina que necessita de apenas 60 rotaes por minuto. Isso possvel graas aos diversos tipos de combinaes de polias e correias ou de engrenagens, que modificam a relao de transmisso de velocidade entre o motor e as outras partes da mquina. Em situaes de manuteno ou reforma de mquinas, o mecnico s vezes encontra mquinas sem placas que identifiquem suas rpm. Ele pode tambm estar diante da necessidade de repor polias ou engrenagens cujo dimetro ou nmero de dentes ele desconhece, mas que so dados de fundamental importncia para que se obtenha a rpm operacional original da mquina. Vamos imaginar, ento, que voc trabalhe como mecnico de manuteno e precise descobrir a rpm operacional de uma mquina sem a placa de identificao. Pode ser tambm que voc precise repor uma polia do conjunto de transmisso de velocidade. Diante desse problema, quais so os clculos que voc precisa fazer para realizar sua tarefa? Estude atentamente esta aula e voc ser capaz de obter essas respostas.

Nossa aula

RpmA velocidade dos motores dada em rpm. E s t as i g l aq u e rd i z e r rotao por minuto .Como o nome j diz, a rpm o nmero de voltas completas que um eixo, ou uma polia, ou uma engrenagem d em um minuto. Dica O termo correto para indicar a grandeza medida em rpm freqncia . Todavia, como a palavra velocidade comumente empregada pelos profissionais da rea de Mecnica, essa a palavra que empregaremos nesta aula.

A velocidade fornecida por um conjunto transmissor depende da relao entre os dimetros das polias. Polias de dimetros iguais transmitem para a mquina a mesma velocidade (mesma rpm) fornecida pelo motor.

A U L A

8

mesma rpm

Polias de tamanhos diferentes transmitem maior ou menor velocidade para a mquina. Se a polia motora, isto , a polia que fornece o movimento, maior que a movida , isto , aquela que recebe o movimento, a velocidade transmitida para a mquina maior ( maior rpm). Se a polia movida maior que a motora, a velocidade transmitida para a mquina menor ( menor rpm).

maior rpm

menor rpm

Existe uma relao matemtica que expressa esse fenmeno:

n1 D 2 = n 2 D1Em que n1 e n2 so as rpm das polias motora e movida, respectivamente, e D 2 e D1 so os dimetros das polias movida e motora. Da mesma forma, quando o conjunto transmissor de velocidade composto por engrenagens, o que faz alterar a rpm o nmero de dentes. importante saber que, em engrenagens que trabalham juntas, a distncia entre os dentes sempre igual.

A U L A

8

Desse modo, engrenagens com o mesmo nmero de dentes apresentam a mesma rpm.

mesma rpm

Engrenagens com nmeros diferentes de dentes apresentam mais ou u o maior nmero de menos rpm, dependendo da relao entre o menor o dentes das engrenagens motora e movida.

maior rpm

menor rpm

Essa relao tambm pode ser expressa matematicamente:

n1 Z 2 = n 2 Z1Nessa relao, n1 e n2 so as rpm das engrenagens motora e movida, respectivamente. Z 2 e Z1 so o nmero de dentes das engrenagens movida e motora, respectivamente. Mas o que essas informaes tm a ver com o clculo de rpm? Tudo, como voc vai ver agora.

Clculo de rpm de poliasVoltemos ao nosso problema inicial. Voc est reformando uma furadeira de bancada na qual a placa de identificao das rpm da mquina desapareceu. Um de seus trabalhos descobrir as vrias velocidades operacionais dessa mquina para refazer a plaqueta. A mquina tem quatro conjuntos de polias semelhantes ao mostrado na figura a seguir.

A U L A

8

60 A B C D 200 150 100 60

100 140 200

motor 600 rpm

rpm

?

Os dados que voc tem so: a velocidade do motor e os dimetros das polias motoras e movidas. Como as polias motoras so de tamanho diferente das polias movidas, a velocidade das polias movidas ser sempre diferente da velocidade das polias motoras. isso o que teremos de calcular. Vamos ento aplicar para a polia movida do conjunto A a relao matemt i c aj v i s t an e s t aa u l a :

n1 D 2 = n 2 D1 n1 = 600 rpm n2 = ? D 2 = 200 rpm D1 = 60Substituindo os valores na frmula:

600 200 = n2 6 600 60 200 36000 n2 = 200 n2 = n 2 = 180 rpm

A U L A

Vamos fazer o clculo para a polia movida do conjunto B:

8

n1 D 2 = n 2 D1n1 = 600 n2 = ? D 2 = 150 mm D 1 = 100 mm Substituindo os valores na frmula, temos:

600 150 = n 2 100 n2 = 600 100 150 60.000 n2 = 150 n 2 = 400 rpm

Tente voc tambm

O processo para encontrar o nmero de rpm sempre o mesmo. Faa o exerccio a seguir para ver se voc entendeu. Exerccio 1 Calcule a rpm dos conjuntos C e D. Conjunto C: n1 D 2 = n 2 D1 n1 = 600

n2 = ? D 2 = 100 D1 = 140Substituindo os valores:

600 100 = n 2 140 n2 =Conjunto D: n1 = 600 n2 = ? D2 =6 0 D 1 =200

Dica n1 D 2 A frmula = n 2 D1 tambm pode ser usada para descobrir o dimetro de polias que faltam. Por exemplo: se tivssemos de descobrir o dimetro da polia movida do conjunto A, teramos: n1 = 600 n2 = 180 D1 =6 0 D 2 =?

A U L A

8

n1 D 2 600 D2 = = = n 2 D1 180 60 600 60 36000 = = 200 mm D2 = 180 180

Clculo de rpm em conjuntos redutores de velocidadeOs conjuntos redutores de velocidade agrupam polias de tamanhos desiguais de um modo diferente do mostrado com a furadeira. So conjuntos parecidos com os mostrados na ilustrao a seguir.

D1=60 n1=1000

n2=? n2=n1

D2=200 n2=?

Apesar de parecer complicado pelo nmero de polias, o que voc deve observar nesse conjunto que ele composto de dois estgios, ou etapas. Em cada um deles, voc tem de descobrir quais so as polias motoras e quais so as polias movidas. Uma vez que voc descubra isso, basta aplicar, em cada estgio, a frmula que j aprendeu nesta aula. Ento, vamos supor que voc tenha de calcular a velocidade final do conjunto redutor da figura acima. O que precisamos encontrar a rpm das polias movidas do primeiro e do segundo estgio. A frmula, como j sabemos, : n1 = D 2 n 2 D1 Primeiro estgio: n1 = 1000 n2 = ? D 2 = 150 D1 =6 0

A U L A

Calculando:

8

1000 60 150 60000 n2 = 150 n 2 = 400 n2 =No segundo estgio, a polia motora est acoplada polia movida do primeiro estgio. Assim, n2 da polia movida do primeiro estgio n1 da polia motora do segundo estgio ( qual ela est acoplada), ou seja, n2 = n1. P o rta n t o , o valor de n1 do segundo estgio 400. n1 = 400 n2 = ? D 2 = 200 D 1 = 50

400 50 200 20000 n2 = 200 n 2 = 100 rpm n2 =Portanto, a velocidade final do conjunto 100 rpm rpm.

Tente voc tambm

Chegou a hora de exercitar a aplicao dessa frmula. Faa com ateno os exerccios a seguir. Exerccio 2 Um motor que possui uma polia de 160 mm de dimetro desenvolve 900 rpm e move um eixo de transmisso cuja polia tem 300 mm de dimetro. Calcule a rotao do eixo. n1 D 2 = n 2 D1 n1 = 900

n2 = ? D 2 = 300 D1 = 160Exerccio 3 Uma polia motora tem 10 cm de dimetro. Sabendo que a polia movida tem 30 cm de dimetro e desenvolve 1200 rpm, calcule o nmero de rpm que a polia motora desenvolve.

n1 = ? n 2 = 1200 D 2 = 30 D1 = 10 n D2 n1 = 2 D1

Exerccio 4 Se a polia motora gira a 240 rpm e tem 50 cm de dimetro, que dimetro dever ter a polia movida para desenvolver 600 rpm? Exerccio 5 No sistema de transmisso por quatro polias representado abaixo, o eixo motor desenvolve 1000 rpm. Os dimetros das polias medem: D1 = 150 mm, D 2 = 300 mm, D3 = 80 mm e D4 = 400 mm. Determine a rpm final do sistema.D4 D3

A U L A

8

D1

n2=n3

n4 D2

n1

Clculo de rpm de engrenagemComo j dissemos, a transmisso de movimentos pode ser feita por conjuntos de polias e correias ou por engrenagens. Quando se quer calcular a rpm de engrenagens, a frmula muito semelhante usada para o clculo de rpm de polias. Observe:

n1 Z 2 = n 2 Z1Em que n1 e n2 so, respectivamente, a rpm da engrenagem motora e da engrenagem movida e Z2 e Z1 representam, respectivamente, a quantidade de dentes das engrenagens movida e motora. V amos supor que voc precise descobrir a velocidade final de uma mquina, cujo sistema de reduo de velocidade tenha duas engrenagens: a primeira (motora) tem 20 dentes e gira a 200 rpm e a segunda (movida) tem 40 dentes. n1 = 200 n2 = ? Z2 = 4 0 Z1 = 2 0

n1 Z1 Z2 200 20 n2 = 40 4000 n2 = 40 n 2 = 100 rpm n2 =

A U L A

8

Se voc tiver um conjunto com vrias engrenagens, a frmula a ser usada ser a mesma. Como exemplo, vamos calcular a rpm da engrenagem D da figura a seguir.

n1=300

Primeiro estgio: n1 = 300 n2 = ? Z2 = 6 0 Z1 = 3 0 300 30 n2 = 60 9000 n2 = 60 n 2 = 150 rpm Dica Assim como possvel calcular o dimetro da polia usando a mesma frmula para o clculo de rpm, pode-se calcular tambm o nmero de dentes de uma engrenagem: n1 Z 2 = n 2 Z1 V amos calcular o nmero de dentes da engrenagem B da figura acima. n1 = 300 n2 = 150 Z 2 =? Z1 = 3 0

300 30 150 9000 Z2 = 150 Z2 = 60 dentes Z2 =

Voc no ter nenhuma dificuldade no exerccio que vem agora. Veja como f c i l! Exerccio 6 Seguindo o modelo do exemplo, faa o clculo do segundo estgio. Segundo estgio: n1 = 150 n2 = ? Z2 = 9 0 Z1 = 3 0 Releia a lio com especial cuidado em relao aos exemplos. Em seguida, teste seus conhecimentos com os exerccios a seguir. Exerccio 7 Uma polia motora tem 10 cm de dimetro. Sabendo-se que a polia movida tem 30 cm de dimetro e desenvolve 1200 rpm, calcule o nmero de rpm da polia motora. Exerccio 8 Se uma polia motora gira a 240 rpm e tem 50 cm de dimetro, qual ser o dimetro da polia movida para que ela apresente uma velocidade de 600 rpm? Exerccio 9 Uma engrenagem motora tem 20 dentes e a outra, 30. Qual a rpm da engrenagem maior, se a menor gira a 150 rpm? Exerccio 10 Qual o nmero de dentes necessrios engrenagem A (motora) para que A e B girem respectivamente a 100 e 300 rpm?

Tente A U L voc A tambm

8

Teste o que voc aprendeu

Exerccio 11 Na figura abaixo, qual a rpm da engrenagem B, sabendo que a engrenagem A gira a 400 rpm? Observe que as engrenagens intermedirias T1 e T2 tm a funo de ligar duas engrenagens que esto distantes uma da outra e no tm influncia no clculo.

A U L A

8

Exerccio 12 Calcular a rpm da engrenagem B, sabendo que A motora e gira a 260 rpm.

A UU L AL A A

Calculando o desalinhamento da contrapontaornear peas cnicas uma atividade bastante comum na rea da Mecnica. Para fazer isso, o torneiro tem duas tcnicas a sua disposio: ele pode usar a inclinao do carro superior ou o desalinhamento da contraponta. Como voc j viu na Aula 7, a inclinao do carro superior usada para tornear peas cnicas de pequeno comprimento. O desalinhamento da contraponta, por sua vez, usado para o torneamento de peas de maior comprimento, porm com pouca conicidade, ou seja, at aproximadamente 10. Para o torneamento com inclinao do carro superior, voc precisa calcular o ngulo de inclinao do carro usando a Trigonometria. O desalinhamento da contraponta tambm exige que voc faa alguns clculos. Vamos supor que voc seja um torneiro e receba como tarefa a execuo do trabalho mostrado no seguinte desenho.

9

9

T

O problema

Analisando o desenho, voc percebe que a superfcie cnica da pea tem uma medida relativamente grande (100 mm). Por outro lado, o seu torno tem um carro superior com curso mximo de apenas 60 mm. Por causa dessa incompatibilidade de medidas, voc ter de empregar a tcnica do desalinhamento da contraponta. Seu problema , ento, descobrir qual a medida desse desalinhamento. Voc saberia como resolver esse problema? No? Ento leia esta aula com ateno e veja como fcil.

Nossa A U aula L A

Calculando a medida do desalinhamentoQuando a contraponta do torno est perfeitamente alinhada, a pea torneada ter forma cilndrica. Como j vimos, se necessitamos tornear uma superfcie cnica, temos de desalinhar a contraponta. Esse desalinhamento tem uma medida (M). Para descobri-la, vamos analisar a figura a seguir.

9

Observe o cateto oposto (co) ao ngulo a e o cateto adjacente (ca) no tringulo retngulo desenhado com linhas tracejadas. Eles nos sugerem a relao tangente:

tga =

co ca

M, que a medida desconhecida, o cateto oposto (co) do tringulo, e o cateto adjacente aproximadamente igual a L (ou o comprimento da pea). Assim, podemos escrever:

tga =

M L

Na Aula 7, vimos que, para calcular o ngulo de inclinao do carro e obter peas cnicas, usa-se a frmula tga = D - d . Isso significa que M = D - d .2c L 2c

Com esses dados podemos descobrir M, construindo a frmula:

M=Os dados disponveis so: D = 30 d = 26 L = 180 c = 100 M=?

D - d L2 c

Substituindo os valores do desenho, temos:

M=

30 - 26 180

A U L A

2 100 4 180 M= 200 720 M= 200 M = 3, 6 mmPortanto, voc dever deslocar a contraponta 3,6 mm. Dica Quando todo o comprimento da pea for cnico e, por isso, L = c, calcula-se o desalinhamento da contraponta pela frmula: M = D - d .2

9

Por ser uma atividade bastante rotineira na indstria, vale a pena exercitar o conhecimento que voc acabou de adquirir. Exerccio 1 Calcule o deslocamento da contraponta para tornear a seguinte pea:

Tente voc tambm

Soluo: D = 80 d = 77 c = 80 L = 250 M=?

M=M=

D - d L2 c

A U L A

9

Exerccio 2 Calcule o deslocamento da contraponta para tornear a seguinte pea cnica.

Soluo: D = 40 d = 38 L = c = 120 M=?

M= M=

D-d 2

Conicidade percentualVamos supor que voc receba o seguinte desenho de pea para tornear:

Analisando as medidas, voc percebe que no dispe do dimetro menor. Mas, voc tem outro dado: 5% de conicidade. Esse dado se refere conicidade percentual, que a variao do dimetro da pea em relao ao comprimento da parte cnica. Voltando ao valor dado na pea exemplo, que 5%, vamos encontrar vd, ou a variao de dimetro por milmetro de comprimento:

5% =

5 = 0, 05 = vd 100

Por que fizemos isso? Porque, para calcular M, basta apenas multiplicar esse valor pelo comprimento da pea, pois isso dar a variao de dimetro. O resultado dividido por dois. Matematicamente, isso representado por:

M=

vd L 2

Analisando os dados da figura anterior, temos: M=? vd = 0,05 L = 150 Substituindo os valores na frmula:

A U L A

9

0, 05 150 2 7, 5 M= 2 M = 3,75 mm M=Portanto, o deslocamento da contraponta deve ser de 3,75 mm para que se obtenha a pea com 5% de conicidade.

Ningum aprende a jogar futebol apenas olhando. Estes exerccios so para voc ficar craque na resoluo de problemas como o que acabamos de exemplificar. Exerccio 3 Calcule o deslocamento da contraponta para tornear a seguinte pea com 4% de conicidade.

Tente voc tambm

Soluo:

vd = 4% = L = 140 M=? vd.L M= 2 M=

4 = 100

A U L A

9

Exerccio 4 Calcule o deslocamento da contraponta necessrio para tornear a seguinte pea.

Conicidade proporcionalDa mesma forma que voc pode obter a conicidade pela variao percentual do dimetro da pea, esta tambm pode ser fornecida por proporo. Como exemplo, vamos supor que voc tenha de tornear uma pea que apresente os dados mostrados no desenho a seguir.

Analisando os dados, voc percebe que, agora, em vez do dimetro menor ou do percentual de conicidade, voc tem a razo 1:50 (1 para 50). Esse dado se refere conicidade proporcional, que a variao proporcional do dimetro da pea em relao ao comprimento do cone. Voltando ao valor dado na pea exemplo, que de 1:50, vamos encontrar vd, ou a variao de dimetro por milmetro de comprimento:

1:50 =

1 = 0, 02 = vd 50 vd.L 2

A frmula para o clculo de M igual frmula da conicidade percentual:

M=Com os dados do desenho, temos:

vd = 0,02 L (comprimento total da pea) = 200 M=?

Substituindo esses valores na expresso:

A U L A

0, 02 200 2 4 M= 2 M = 2 mm M=Portanto, o deslocamento da contraponta deve ser de 2 mm, o que corresponde conicidade proporcional de 1:50.

9

O clculo da conicidade proporcional muito fcil. Mesmo assim, vamos treinar um pouco. Exerccio 5 Calcule o deslocamento da contraponta necessrio para tornear a seguinte pea com conicidade proporcional de 1:20.

Tente voc tambm

Soluo:

vd.L 2 1 = 0, 05 vd = 20 L = 120 M= M=?

Exerccio 6 Quantos milmetros a contraponta dever ser deslocada para fornecer uma conicidade proporcional de 1:100 na pea mostrada a seguir?

Teste oL que A U A voc aprendeu

9

Releia toda a lio e estude os exemplos com ateno. Depois, vamos ao nosso desafio: faa os prximos exerccios como se fossem um teste para admisso em uma grande empresa mecnica. Exerccio 7 Calcule o deslocamento da contraponta necessrio para o torneamento da pea mostrada a seguir.

Exerccio 8 Qual ser o deslocamento em milmetros da contraponta para que a pea a seguir apresente uma conicidade percentual de 3%?

Exerccio 9 A pea a seguir precisa ter uma conicidade proporcional de 1:40. Calcule o deslocamento da contraponta para se obter essa conicidade.

A UU L AL A A

Calculando a aproximao do anel graduadoma das formas de obter o deslocamento de preciso dos carros e das mesas de mquinas operatrizes convencionais como plainas, tornos, fresadoras e retificadoras utilizar o anel graduado.

10

10

U

O problema

Essa operao necessria sempre que o trabalho exigir que a ferramenta ou a mesa seja deslocada com preciso. Os anis graduados, como o nome j diz, so construdos com graduaes, que so divises proporcionais ao passo do fuso, ou seja, distncia entre filetes consecutivos da rosca desse fuso. Isso significa que, quando se d uma volta completa no anel graduado, o carro da mquina deslocado a uma distncia igual ao passo do fuso.

fuso

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10Nossa aula

Para um operador de mquina, o problema a ser resolvido descobrir quantas divises do anel graduado devem ser avanadas para se obter um determinado deslocamento do carro. Vamos supor, ento, que voc seja um fresador e precise fazer furos em uma pea com uma distncia precisa de 4 mm entre eles. Quantas divises voc deve avanar no anel para obter o deslocamento desejado?

Clculo do deslocamentoPara esse clculo, precisamos apenas de dois dados: o passo do fuso (pf) e o nmero de divises do anel (n div.). Isso porque, como j dissemos, as divises do anel so proporcionais ao passo do fuso. Assim, para calcular o deslocamento, usamos:

A=

pf n div.

Em que A a aproximao do anel graduado, ou o deslocamento para cada diviso do anel. Vamos supor, ento, que sua fresadora tenha o passo do fuso de 5 mm e 250 divises no anel graduado. Para calcular A, temos: Passo do fuso = 5 mm Nmero de divises = 250 A=?

n div. 5 A= 250 A = 0,02 mm por divisoCom esse resultado, voc descobriu a distncia de deslocamento do carro correspondente a cada diviso do anel graduado. Se voc quiser saber quantas divises (x) do anel voc dever avanar para ter a distncia precisa entre os furos da pea que voc precisa fazer, o clculo simples: divide-se a medida entre os furos da pea (4 mm) pelo valor de A (0,02), ou seja: x = 4 0,02 = 200 divises. Portanto, voc ter de avanar 200 divises no anel graduado para que a mesa se desloque 4 mm. s vezes, a medida que voc precisa deslocar maior do que o passo do fuso. Nesse caso, necessrio dar mais que uma volta no anel. Vamos ver o que se deve fazer nesses casos. Imagine que, na mesma mquina do exemplo anterior, voc precise fazer um deslocamento de 21 mm. Como esse nmero maior do que 5 mm, que a medida do passo do fuso, isso significa que sero necessrias 4 voltas no anel, porque 21 dividido por 5 igual a 4 e um resto de 1, ou seja: 21 5 21 4

A=

pf

O que fazer com o resto da diviso (1), se necessitamos de um deslocamento preciso? Para obter preciso no deslocamento, esse resto deve ser dividido pelo valor de uma diviso do anel (0,02) para se saber quantas divises (x) avanar para se chegar medida desejada. x = 1 0,02 = 50 divises. Assim, para obter um deslocamento de 21 mm, voc deve dar 4 voltas no anel e avanar mais 50 divises.

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Apesar de fcil, esse clculo um dos mais importantes para o operador de mquinas. Se voc quer ser um bom profissional, faa com muita ateno os exerccios a seguir. Exerccio 1 Calcule o nmero de divises (x) para avanar em um anel graduado de 200 divises, para aplainar 1,5 mm de profundidade em uma barra de ao, sabendo que o passo do fuso de 4 mm.

Tente voc tambm

pf n div. A=? A= pf = 4 mm n div = 200 A= x= x=Exerccio 2 Calcule quantas divises (x) devem ser avanadas em um anel graduado de 200 divises para se tornear uma superfcie cilndrica de dimetro 50 mm, para deix-la com 43 mm, sabendo que o passo do fuso de 5 mm. Para calcular a penetrao da ferramenta use

1, 5 A

pn =a) Clculo de penetrao:

D-d 2

D = 50 d = 43 D - d 50 - 43 = pn = 2 2 pn =b) clculo de A c) clculo de x

Teste oL que A U A voc aprendeu

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Treinar fcil. A dificuldade est na hora do jogo. Vamos ver se o treino valeu? Os exerccios a seguir so o seu desafio. Exerccio 3 Calcule quantas divises (x) devem ser avanadas em um anel graduado de 100 divises, para se desbastar 7,5 mm de profundidade de um material, considerando que o passo do fuso de 5 mm.

Exerccio 4 Calcule quantas divises (x) devem ser avanadas em um anel graduado de 250 divises, para se reduzir de 1/2" (0,500") para 7/16" (0,4375") a espessura de uma barra, sabendo que o passo do fuso de 1/8" (0,125").

Exerccio 5 Quantas divises (x) voc deve avanar o anel graduado de 200 divises, para retificar um eixo de dimetro 50 mm para 49,6 mm, sabendo que o passo do fuso de 5 mm?

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Calculando a rpm e o gpm a partir da velocidade de corteara que uma ferramenta corte um material, necessrio que um se movimente em relao ao outro a uma velocidade adequada. Na indstria mecnica, as fresadoras, os tornos, as furadeiras, as retificadoras e as plainas so mquinas operatrizes que produzem peas por meio de corte do metal. Esse processo se chama usinagem. Para que a usinagem seja realizada com mquina de movimento circular, necessrio calcular a rpm da pea ou da ferramenta que est realizando o trabalho. Quando se trata de plainas, o movimento linear alternado e necessrio calcular o gpm (golpes por minuto). O problema do operador, neste caso, justamente realizar esses clculos. Vamos supor que voc seja um torneiro e precise tornear com uma ferramenta de ao rpido um tarugo de ao 1020 com dimetro de 80 mm. Qual ser a rpm do torno para que voc possa fazer esse trabalho adequadamente?

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P

O problema

Velocidade de cortePara calcular a rpm, seja da pea no torno, seja da fresa ou da broca, usamos um dado chamado velocidade de corte . Velocidade de corte o espao que a ferramenta percorre, cortando um material, dentro de um determinado tempo. A velocidade de corte depende de uma srie de fatores, como:l l l l l

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tipo de material da ferramenta; tipo do material a ser usado; tipo de operao a ser realizada; condies da refrigerao; condies da mquina etc.

Embora exista uma frmula que expressa a velocidade de corte, ela fornecida por tabelas que compatibilizam o tipo de operao com o tipo de material da ferramenta e o tipo de material a ser usinado. Essas tabelas esto a sua disposio no final deste livro.

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Dica tecnolgica As ferramentas de corte so classificadas em grupos. Para encontrar a velocidade de corte adequada para determinado material com o qual a ferramenta fabricada, existe um coeficiente para cada tipo de ferramenta. As ferramentas de ao rpido tm o coeficiente 1. Os valores da tabela so para esse coeficiente. Se a ferramenta for de metal duro, o valor da tabela deve ser multiplicado pelo coeficiente 3.

Clculo de rpm em funo da velocidade de cortePara o clculo da rpm em funo da velocidade de corte, voc tambm usa uma frmula: vc 1000 n= d p Em que n o nmero de rpm; vc a velocidade do corte; d o dimetro do material e p 3,14 (constante). Dica Como o dimetro das peas dado em milmetros e a velocidade de corte dada em metros por minuto, necessrio transformar a unidade de medida dada em metros para milmetros. Da a utilizao do fator 1.000 na frmula de clculo da rpm. Voltemos ao problema inicial: voc precisa tornear um tarugo de ao 1020 com dimetro de 80 mm. Lembre-se de que a ferramenta de ao rpido. Os dados que voc tem so: vc = 25m/min (dado encontrado na tabela) d = 80 mm n=? Substituindo os valores na frmula: vc 1000 n= d p 25 1000 n= 80 3,14

n=

25000 251, 2

n = 99, 5 n @ 100A rpm ideal para esse trabalho seria 99,5. Como as velocidades das mquinas esto estipuladas em faixas determinadas, voc pode usar um valor mais prximo, como 100 rpm. Dica tecnolgica Para realizar as operaes de fresagem ou furao, a frmula para o clculo da rpm a mesma, devendo-se considerar o dimetro da fresa ou da broca, dependendo da operao a ser executada.

Como voc viu, esse clculo simples. Estude-o mais uma vez e faa os exerccios que preparamos para voc treinar. Exerccio 1 Quantas rotaes por minuto (rpm) deve-se empregar para desbastar no torno um tarugo de ao 1060 de 100 mm de dimetro, usando uma ferramenta de ao rpido? a) dados disponveis ferramenta: de ao rpido material: ao 1060 vc = 15m/mim (dado de tabela, de acordo com as indicaes acima) d = 100 b) valor a determinar n=? c) Soluo:

Tente A U L voc A tambm

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vc 1000 d p 15 1000 n= 100 3,14 n= n=Exerccio 2 Qual a rpm adequada para furar uma pea de ao 1045 com uma broca de ao rpido de 14 mm de dimetro, se a velocidade indicada na tabela de 18 m/min? a) dados disponveis ferramenta: de ao rpido material: ao 1045 vc = 18 m/min d = 14 mm n=?

n=

vc 1000 d p

Clculo de rpm para retificaoQuando necessrio retificar uma pea cilndrica, o que se deve determinar no s a rpm da pea, mas tambm a do rebolo. Para calcular a rpm da pea, j vimos que preciso usar a frmula

n=

vc 1000 d p

Para calcular a rpm do rebolo, a frmula muda um pouco. Como a velocidade de corte do rebolo dada em metros por segundo (m/seg), multiplica-se a frmula original por 60. Isso feito para transformar a velocidade de metros por segundo (m/seg) para metros por minuto (m/min). A frmula fica assim:

n=

vc 1000 60 d p

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Vamos supor, ento, que voc precise retificar um eixo de ao de 50 mm de dimetro com um rebolo de 300 mm de dimetro. Seu problema encontrar a rpm do rebolo, sabendo que a velocidade de corte indicada de 25 m/seg. Os dados que voc tem so: vc = 25 m/seg (tabela) d = 300 mm (dimetro do rebolo) n=?

n=

vc 1000 60 d p

Dica A rpm do material a ser retificado calculada pela frmula vc 1000 n= d p que j foi estudada: Portanto, a medida do dimetro da pea a ser retificada no interessa para o clculo da rpm do rebolo.

25 1000 60 300 3,14 1500000 n= 942 n = 1592, 3 n= n @ 1592 rpmPortanto, o rebolo deve girar a aproximadamente 1592 rpm.

Tente voc tambm

Leia mais uma vez o que ensinamos sobre clculo de rpm para retificao e faa o exerccio a seguir. Exerccio 3 Calcule a rpm do rebolo de 250 mm de dimetro para retificar um eixo de ao de 60 mm de dimetro, sabendo que a velocidade de corte de 30 m/seg. Soluo: vc = 30 m/seg (tabela) d = 250 mm n=? Clculo: n=

Clculo de gpm em funo da velocidade de corteQuando o trabalho de usinagem feito por aplainamento e, portanto, o movimento da mquina linear, calcula-se o gpm gpm, ou seja, o nmero de golpes que a ferramenta d por minuto. Para esse clculo, voc tambm emprega uma frmula. Ela :

gpm =

vc 1000 2 c

Em que gpm o nmero de golpes por minuto, vc 1000 j conhecido, c o curso da mquina, ou seja, o espao que ela percorre em seu movimento linear. Esse valor multiplicado por 2 porque o movimento de vaivm.

Dica O curso igual ao comprimento da pea mais a folga de entrada e sada da ferramenta.

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Vamos a um exemplo. Suponha que voc precise aplainar uma placa de ao 1020 de 150 mm de comprimento com uma ferramenta de ao rpido. Voc sabe tambm que a velocidade de corte de 12 m/min. Os dados so: vc = 12 m/min c = 150 mm + 10 mm (folga) gpm = ? Substituindo os dados na frmula gpm =

vc 1000 , temos: 2 c

12 1000 2 160 12.000 gpm = 320 gpm = 37, 5 gpm @ 38 gpm =Portanto, a plaina dever ser regulada para o gpm mais prximo.

Leia novamente todas as informaes, estude com ateno os exemplos e faa os exerccios a seguir. Exerccio 4 Calcule o gpm para aplainar uma pea de 120 mm de comprimento considerando a folga de entrada e de sada da ferramenta de 40 mm, sabendo que a velocidade de corte de 10