Cálculo vectorial - fisicaquimicaweb.com · 09-10-2010 1 Cálculo vectorial Operações com...

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09-10-2010 1 Cálculo vectorial Operações com vectores Prof. Luís Perna 2010/11 Grandezas Escalares e Vectoriais Grandezas Escalares: São grandezas que ficam completamente definidas por um valor numérico, com ou sem unidades. Ex: Área, Comprimento, Massa, … Grandezas Vectoriais: São grandezas que para além do valor numérico e unidade, ficam completamente definidas se conhecermos a sua direcção e o seu sentido. Ex: Posição, Velocidade, Aceleração, Força, … Vectores Um vector representa-se: Analiticamente, por uma letra sobre a qual é desenhada uma seta, a. Graficamente, por um segmento de recta orientado, compreendendo direcção, sentido e módulo (magnitude, intensidade). a Vectores A direcção do vector é definida pela recta suporte, ou linha de acção, que é colinear com o próprio vector; O sentido é o que vai da origem para a extremidade do vector; O módulo do vector é o valor numérico que mede o comprimento do segmento de recta orientado, representando-se por ou a. Se o módulo de um vector for igual a zero, o vector diz-se um vector nulo e representa-se por 0. a Vectores Vectores com o mesmo módulo, mas direcções diferentes (logo não se podem relacionar os sentidos) Vectores com a mesma direcção e módulo, mas sentidos diferentes (opostos) Vectores com a mesma direcção e sentido, mas módulos diferentes Vector ligado Um vector fica completamente definido desde que se conheça a sua origem (ponto de aplicação), a sua direcção, sentido e módulo. Vector Ligado a

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09-10-2010

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Cálculo vectorial

Operações com vectores

Prof. Luís Perna 2010/11

Grandezas Escalares e Vectoriais

Grandezas Escalares: São grandezas que ficam completamente definidas por um valor

numérico, com ou sem unidades.

• Ex: Área, Comprimento, Massa, …

Grandezas Vectoriais: São grandezas que para além do valor numérico e unidade,

ficam completamente definidas se conhecermos a sua direcção

e o seu sentido.

• Ex: Posição, Velocidade, Aceleração, Força, …

Vectores

Um vector representa-se: Analiticamente, por uma letra sobre a qual é desenhada uma

seta, a.

Graficamente, por um segmento de recta orientado,

compreendendo direcção, sentido e módulo (magnitude,

intensidade).

a

Vectores

A direcção do vector é definida pela recta suporte, ou linha de acção, que é colinear

com o próprio vector;

O sentido é o que vai da origem para a extremidade do vector;

O módulo do vector é o valor numérico que mede o comprimento do segmento de

recta orientado, representando-se por ou a.

• Se o módulo de um vector for igual a zero, o vector diz-se um

vector nulo e representa-se por 0.

a

Vectores

Vectores com o mesmo módulo,

mas direcções diferentes (logo

não se podem relacionar os

sentidos)

Vectores com

a mesma

direcção e

módulo, mas

sentidos

diferentes

(opostos)

Vectores com

a mesma

direcção e

sentido, mas

módulos

diferentes

Vector ligado

Um vector fica completamente definido desde que se

conheça a sua origem (ponto de aplicação), a sua

direcção, sentido e módulo.

Vector Ligado

a

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Vector deslizante

Se a origem de um vector puder ser deslocada

arbitrariamente sobre a sua recta suporte, este fica

definido pela direcção, sentido e módulo.

Vector deslizante

a

a

Vector livre

Se a origem de um vector puder ser deslocada

arbitrariamente no espaço, este fica definido pela

direcção, sentido e módulo.

Vector livre

a

aa

a

a

a

a

a

a

a

Adição de vectores livres

Praticar adição de vectores livres

Multiplicação por um Escalar

Seja k um número real e v um vector.

Subtracção de vectores livres Vector unitário

Um vector cujo módulo é igual à unidade chama-se

vector unitário ou versor;

Um versor é utilizado para indicar uma orientação

(direcção) e sentido positivo no espaço.

eyex

ez

x

y

z

eyex ez= = = 1

ey

ex

ez^k

j^

i^

=

=

=

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Módulo de um vector

Num sistema de eixos ortogonal, o módulo do vector

Representação cartesiana 2D

Os versores das direcções XX e YY designam-se,

normalmente, por i e j.

Um vector com origem em O e extremidade em P,

representa-se analiticamente por:

^ ^

Representação cartesiana 3D

Um sistema cartesiano a três

dimensões é definido por três

rectas orientadas e

perpendiculares entre si;

Os eixos designam-se

normalmente por eixo dos XX,

eixo dos YY e eixo dos ZZ;

Um ponto P fica perfeitamente

definido por um conjunto

ordenado do tipo (x, y, z).

Adição analítica de vectores

Subtracção analítica de vectores Multiplicação por um escalar

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Projecção de um vector sobre dois eixos

ortogonais

e y

x

y

e x

û

v

vx

vy

Chamam-se vectores projecção aos vectores vx e vy

v = vx + vy v = vx ex vy ey +

vx = vx ex

vy = vy ey

Versor û com direcção de v

v = v û û =v

v

û =v

vx ex vy ey +

v = vx ex vy ey +

û =vx ex

vy ey +

vx2

+ vy2

Produto escalar (ou interno) Produto escalar (ou interno)

Produto escalar (ou interno) Produto escalar (ou interno)

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Produto escalar (ou interno) Produto escalar (ou interno)

Produto escalar (ou interno) Produto vectorial (ou externo)

Produto vectorial (ou externo) Produto vectorial (ou externo)

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Produto vectorial (ou externo) Produto vectorial (ou externo)

Produto vectorial (ou externo)