Calculo vetorial

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Cálculo vetorial - Seções 16.1-9 Cálculo II - ECT 1202 Escola de Ciências e Tecnologia Universidade Federal do Rio Grande do Norte Maio 2011 Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 1 / 168
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  • Clculo vetorial - Sees 16.1-9

    Clculo II - ECT 1202

    Escola de Cincias e TecnologiaUniversidade Federal do Rio Grande do Norte

    Maio 2011

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 1 / 168

  • Campos Vetoriais

    At agora estudamos funes que associam um nmero a um vetor (funesvetoriais) e funes que associam um vetor a um nmero (funes de duas eou mais variveis). A seguir estudaremos outro tipo funo.

    Campos vetoriais

    Seja D um subconjunto do R2. Um campo vetorial em R2 uma funo~F queassocia a cada ponto (x,y) em D um vetor bidimensional~F(x,y).

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 2 / 168

  • Campos Vetoriais

    Campos vetoriais

    Como~F(x,y) um vetor bidimensional, podemos escrev-lo em termos desuas funes componentes P e Q, da seguinte forma:

    ~F(x,y) = P(x,y)~i+Q(x,y)~j= P(x,y),Q(x,y).

    As componentes P(x,y) e Q(x,y) so funes (de duas variveis) queassociam cada ponto (x,y) D um nmero real. Funes desse tipo sochamadas de campos escalares. Como no caso das funes vetoriais,podemos definir a continuidade dos campos vetoriais e mostrar que~F sercontnua se e somente se suas funes componentes forem contnuas.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 3 / 168

  • Campos Vetoriais

    Exemplo 1

    Um campo vetorial em R2 definido por~F(x,y) =y~i+ x~j. Faa um esboode~F.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 4 / 168

  • Campos Vetoriais

    Exemplo 1

    Um campo vetorial em R2 definido por~F(x,y) =y~i+ x~j. Faa um esboode~F.

    Soluo

    Inicialmanete marcamos~F nos vetores unitrios~i e~j. Em seguida, seja~r = x,y o vetor posio em relao a origem do plano cartesiano. Note que:

    ~F(x,y)=x2+ y2 = ~r.

    Note ainda que:

    ~r ~F(x,y) = y,x x,y= 0.Logo~F e~r so ortogonais.

    Ver figura

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 5 / 168

  • Campos Vetoriais

    Podemos tambm definir um campo vetorial no espao da seguinte maneira.

    Campos vetoriais

    Seja E um subconjunto do R3. Um campo vetorial em R3 uma funo~F queassocia a cada ponto (x,y,z) em E um vetor tridimensional~F, de componentesP(x,y,z), Q(x,y,z) e R(x,y,z):

    ~F(x,y,z) = P(x,y,z)~i+Q(x,y,z)~j+R(x,y,z)~k.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 6 / 168

  • Campos Vetoriais

    Exemplo 2

    Esboce o campo vetorial em R3 dado por~F(x,y,z) = z~k.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 7 / 168

  • Campos Vetoriais

    Exemplo 2

    Esboce o campo vetorial em R3 dado por~F(x,y,z) = z~k.

    Soluo

    Note que ~F(x,y,z)=z. Se z> 0 o vetor~F(x,y,z) aponta na direo de zcrescente, e se z< 0 na direo inversa. Para z= 0, isto , no plano xy~F(x,y,z) o vetor nulo.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 8 / 168

  • Campos Vetoriais

    Campos Vetoriais

    Se f (x,y,z) um campo escalar, podemos obter um campo vetorial a partir dogradiente aplicado a f :

    f (x,y,z) = fx(x,y,z)~i+ fy(x,y,z)~j+ fz(x,y,z)~k.

    O campo vetorial assim obtido chamado de campo vetorial gradiente. Nocaso de um campo escalar g(x,y), aplicando o operador gradiente a g,obtemos um campo vetorial gradiente bidimensional:

    g(x,y) = gx(x,y)~i+gy(x,y)~j.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 9 / 168

  • Campos Vetoriais

    Exemplo 3

    Determine o campo vetorial gradiente de f (x,y) = x2+ y2, e esboce o campo.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 10 / 168

  • Campos Vetoriais

    Exemplo 3

    Determine o campo vetorial gradiente de f (x,y) = x2+ y2, e esboce o campo.

    Soluo

    Note que f (x,y) dado por:

    f (x,y) = 2x~i+2y~j= 2~r.

    Repare ainda que f (x,y) paralelo ao vetor posio, e tem mdulo duasvezes maior que~r.

    Ver figura

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 11 / 168

  • Campos Vetoriais

    Campo vetorial conservativo

    Dizemos que~F(x,y,z) um campo vetorial conservativo se existir um campoescalar f (x,y,z) (chamada de funo potencial) tal que:

    ~F(x,y,z) = f (x,y,z).

    A equao acima nos fornece um mtodo para determinar a funo potencialf . Note que:

    fx(x,y,z) = P(x,y,z),

    fy(x,y,z) = Q(x,y,z),

    fz(x,y,z) = R(x,y,z).

    Assim para determinar a funo potencial, basta resolver o sistema deequaes diferenciais acima.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 12 / 168

  • Campos VetoriaisExemplo 4

    Determine a funo potencial para cada um dos seguintes campos vetoriaisconservativos.

    (a) ~F(x,y) = 2x~i+2y~j,

    (b) ~F(x,y,z) = 2xx2+y2+z2 , 2yx2+y2+z2 , 2zx2+y2+z2 .

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 13 / 168

  • Campos Vetoriais

    Exemplo 4

    Determine a funo potencial para cada um dos seguintes campos vetoriaisconservativos.

    (a) ~F(x,y) = 2x~i+2y~j,

    Soluo

    Note que fx(x,y) = 2x e fy(x,y) = 2y. Integrando a primeira equao emrelao a x temos:

    f (x,y) =2xdx+g(y) = x2+g(y).

    Derivando a relao acima em relao a y temos que:

    g(y) = 2y = g(y) = y2+ c.Logo a funo potencial f (x,y) = x2+ y2+ c.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 14 / 168

  • Campos Vetoriais

    Exemplo 4 continuao

    (b) ~F(x,y,z) = 2xx2+y2+z2 , 2yx2+y2+z2 , 2zx2+y2+z2 .Note que fx = 2xx2+y2+z2 , fy =

    2yx2+y2+z2 e fz =

    2zx2+y2+z2 . Integrando a

    primeira equao em relao a x temos:

    f (x,y,z) = 2x

    x2+ y2+ z2dx+g(y,z) = ln(x2+ y2+ z2)+g(y,z).

    Derivando a relao acima em relao a y temos que:2y

    x2+ y2+ z2+g(y,z)y

    =2y

    x2+ y2+ z2= g(y,z) = h(z).

    Assim ficamos com f (x,y,z) = ln(x2+ y2+ z2)+h(z). Derivando essaequao em relao a z temos:

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 15 / 168

  • Campos Vetoriais

    Exemplo 4 continuao

    Derivando essa equao em relao a z temos:

    2zx2+ y2+ z2

    +h(z) =2z

    x2+ y2+ z2= h(z) = c.

    Logo a funo potencial para~F(x,y,z) = 2xx2+y2+z2 , 2yx2+y2+z2 , 2zx2+y2+z2 :

    f (x,y,z) = ln(x2+ y2+ z2)+ c.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 16 / 168

  • Integrais de linha

    J aprendemos como calcular a integral de uma funo z= f (x,y) sob umaregio plana D. Veremos agora como calcular a integral de uma funo deduas ou mais variveis ao longo de uma curva.

    Integral de linha no plano

    Seja f (x,y) uma funo definida em uma regio plana D. Seja ainda~r(t) = x(t),y(t) uma curva C suave em D, i.e.~r(t) 6=~0, definida no intervaloI = [a,b]. Para cada ti [ti, ti+1] I podemos associar a seguinte soma deRiemann:

    n

    i=1

    f (xi ,yi )si,

    onde xi = x(ti ), yi = y(ti ) e si o arco que liga o ponto Pi = (xi,yi) aoponto Pi+1 = (xi+1,yi+1).

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 17 / 168

  • Integrais de linha

    Integral de linha no plano

    No limite quando o nmero de subdivises n do intervalo I, temos:

    limn

    n

    i=1

    f (xi ,yi )si =

    Cf (x,y)ds.

    Se o limite acima existir, chamamos o resultado de integral de linha de f (x,y)ao longo de C em relao ao comprimento de arco.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 18 / 168

  • Integrais de linha

    Integral de linha no plano

    Podemos reescrever a integral de linha notando que x= x(t), y= y(t) e que

    ds=

    (dxdt

    )2+

    (dydt

    )2dt.

    De forma que:

    Cf (x,y)ds=

    baf (x(t),y(t))

    (dxdt

    )2+

    (dydt

    )2dt.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 19 / 168

  • Integrais de linha

    Exemplo 5

    CalculeC(2+ x

    2y)ds, onde C a metade superior do ccurlo unitriox2+ y2 = 1.

    Ver figura

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 20 / 168

  • Integrais de linha

    Exemplo 5

    CalculeC(2+ x

    2y)ds, onde C a metade superior do ccurlo unitriox2+ y2 = 1.

    Soluo

    A parametrizao do semicrculo :x= cos(t), y= sin(t) com 0 t pi.

    O elemento de arco ds fica:

    ds=cos2(t)+ sin2(t)dt = dt.

    Assim: C(2+ x2y)ds=

    pi0[2+ cos2(t)sin(t)]dt

    = 2pi[cos3(t)

    3

    ]pi0= 2pi+

    23.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 21 / 168

  • Integrais de linha

    Integral de linha no plano

    Suponha que a curva C seja suave (ou lisa) por partes, i.e., C a unio de umnmero finito de curvas suaves C1, C2, . . . ,Cn, como na figura abixo.

    Neste caso a integral de linha ao logo de C dada por:Cf (x,y)ds=

    C1f (x,y)ds+

    C2f (x,y)ds+ +

    Cnf (x,y)ds.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 22 / 168

  • Integrais de linha

    Exemplo 6

    CalculeC 2xds, onde C formada pelo arco C1 da parbola y= x

    2 de (0,0) a(1,1) seguido pelo segmento de reta vertical C2 de (1,1) a (1,2).

    Ver figura

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 23 / 168

  • Clculo vetorial

    Exemplo 6

    CalculeC 2xds, onde C formada pelo arco C1 da parbola y= x

    2 de (0,0) a(1,1) seguido pelo segmento de reta vertical C2 de (1,1) a (1,2).

    Soluo

    Para o caminho C1 tem-se que x= x, y= x2 com 0 x 1 e ds=1+4x2dx:

    C12xds=

    102x1+4x2dx=

    14

    [23(1+4x2)3/2

    ]10=

    5516

    .

    Para o caminho C2 tem-se que x= 1, y= y com 1 y 2 e ds= dy:C22xds=

    102(1)dy= 2[y]21 = 2.

    Ento, C2xds=

    C12xds+

    C22xds=

    5516

    +2.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 24 / 168

  • Integrais de linha

    Integral de linha no espao

    Seja C uma curva espacial lisa dada pelas seguintes equaes paramtricas:

    x= x(t), y= y(t), z= z(t) com a t b.A integral de linha de uma funo f (x,y,z) ao longo de C dada por:

    Cf (x,y,z)ds=

    baf (x(t),y(t),z(t))

    (dxdt

    )2+

    (dydt

    )2+

    (dzdt

    )2dt,

    ou em notao vetorial:

    Cf (x,y,z)ds=

    baf (~r(t))~r(t)dt.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 25 / 168

  • Integrais de linha

    Exemplo 7

    CalculeC ysin(z)ds, onde C a hlice circular dada pelas equaes

    x= cos(t), y= sin(t), z= t e 0 t 2pi.Ver figura

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 26 / 168

  • Clculo vetorial

    Exemplo 7

    CalculeC ysin(z)ds, onde C a hlice circular dada pelas equaes

    x= cos(t), y= sin(t), z= t e 0 t 2pi.

    Soluo

    O elemento de comprimento arco dado por:

    ds=sin2(t)+ cos2(t)+1dt =

    2dt.

    Assim:

    Cysin(z)ds=

    2pi0

    sin2(t)2dt =

    22

    [t sin(2t)

    2

    ]2pi0= pi2.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 27 / 168

  • Integrais de linha

    J vimos como calcular a integral de linha de um campo escalar f (x,y,z) aolongo de uma curva C. Vejamos agora como calcular a integral de linha de umcampo vetorial sobre uma curva C.

    Integrais de linha de um campo vetorial

    Seja~F(x,y,z) um campo vetorial, um campo de foras por exemplo. Podemosperguntar pelo trabalho W ao mover uma partcula ao longo de uma curva Csob a ao do campo de foras~F(x,y,z).

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 28 / 168

  • Integrais de linha

    Integrais de linha de um campo vetorial

    Particionando o caminho~r(t) = x(t),y(t),z(t), com a t b, em n1intervalos, obtemos n arcos si que ligam os pontos Pi = (xi ,yi ,zi ) ePi+1 = (xi+1,y

    i+1,z

    i+1). O trabalho para levar uma partcula do ponto Pi para

    Pi+1 dado por~F(xi ,yi ,zi ) [~T(xi ,yi ,zi )si], onde~T(xi ,yi ,zi ) o vetortangente ao arco si no ponto Pi. Assim o trabalho para levar a partcula doponto P0 =~r(a) at Pn =~r(b) dado pela soma de Riemann:

    W n

    i

    ~F(xi ,yi ,zi ) ~T(xi ,yi ,zi )si.

    Tomando o limite quando o nmero de intervalos n obtemos,

    W = limn

    n

    i

    ~F(xi ,yi ,zi ) ~T(x,y,z)si =

    C~F(x,y,z) ~T(x,y,z)ds,

    a integral de linha do campo vetorial~F(x,y,z) sob a curva C.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 29 / 168

  • Integrais de linha

    Integrais de linha de um campo vetorial

    Podemos reescrever a integral de linha anterior notando que x= x(t), y= y(t),z= z(t) e

    ~T(x(t),y(t),z(t)) =~r(t)~r(t) e ds= ~r

    (t)dt.

    Assim a integral de linha de~F(x,(t),y(t),z(t)) =~F(~r(t)) dada por:C~F ~Tds=

    ba~F(~r(t)) ~r(t)dt =

    ba~F d~r.

    Ou em termos das funes componentes P(x,y,z), Q(x,y,z) e R(x,y,z) de~F: ba~F d~r =

    baPdx+Qdy+Rdz.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 30 / 168

  • Integrais de linha

    Exemplo 8

    Determine o trabalho feito pelo campo de fora~F(x,y,z) = x2~i xy~j ao semover uma partcula ao longo de um quarto de crculo~r(t) = cos(t)~i+ sin(t)~j,0 t pi/2.

    Ver figura

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 31 / 168

  • Integrais de linha

    Exemplo 8

    Determine o trabalho feito pelo campo de fora~F(x,y,z) = x2~i xy~j ao semover uma partcula ao longo de um quarto de crculo~r(t) = cos(t)~i+ sin(t)~j,0 t pi/2.

    Soluo

    Note primeiramente que~F(~r(t)) = cos2(t),cos(t)sin(t), e que~r(t) = sin(t),cos(t). Assim:

    ba~F d~r =

    pi/202cos2(t)sin(t)dt = 2

    3

    [cos3(t)

    ]pi/20

    =23.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 32 / 168

  • Integrais de linha

    Exemplo 9

    CalculeC ydx+ zdy+ xdz, onde C consiste no segmento de reta C1 que une

    (2,0,0) a (3,4,5) seguido pelo segmento de reta vertical C2 de (3,4,5) a(3,4,0).

    Ver figura

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 33 / 168

  • Integrais de linha

    Exemplo 9

    CalculeC ydx+ zdy+ xdz, onde C consiste no segmento de reta C1 que une

    (2,0,0) a (3,4,5) seguido pelo segmento de reta vertical C2 de (3,4,5) a(3,4,0).

    Soluo

    O campo vetorial a ser integrado ~F(~r(t)) = y,z,x. O caminho C1 dadopor~r(t) = 2+ t,4t,5t com 0 t 1. De forma que~F(~r(t)) = 4t,5t,2+ t e~r(t) = 1,4,5. Logo: b

    a~F d~r =

    10[1(4t)+4(5t)+5(2+ t)]dt =

    10(10+29t)dt

    =

    [10t+

    29t2

    2

    ]10=

    492.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 34 / 168

  • Integrais de linha

    Exemplo 9 continuao

    O caminho C2 dado por~r(t) = 3,4,55t com 0 t 1. De forma que~F(~r(t)) = 4,55t,3 e~r(t) = 0,0,5. Logo:

    ba~F d~r =

    10[0(4t)+0(55t)+3(5)]dt =15

    10dt =15.

    Assim a integralC ydx+ zdy+ xdz vale:

    C~F d~r =

    C1

    ~F d~r+C2

    ~F d~r = 24.515= 9.5 .

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 35 / 168

  • Teorema Fundamental das integrais de linha

    No clculo 1 vimos que se F(x) uma funo contnua no intervalo I = [a,b]ento

    ba F(x)dx= F(b)F(a), igual a variao de F(x) sobre I. Para as

    integrais de linha, sob certas condies, temos um resultado parecido.

    Teorema 1

    Seja C uma curva lisa dada pela funo vetorial~r(t), a t b. Seja f umafuno diferencivel de duas ou trs variveis cujo vetor gradiente f contnuo em C. Ento

    Cf d~r = f (~r(b)) f (~r(a)).

    Se~r(b) e~r(a) tiverem coordenadas (x2,y2,z2) e (x1,y1,z1), entoCf d~r = f (x2,y2,z2) f (x1,y1,z1).

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 36 / 168

  • Teorema fundamental das integrais de linha

    Exemplo 10

    Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial~F(x,y,z) = 2xx2+y2+z2 , 2yx2+y2+z2 , 2zx2+y2+z2 , ao mover uma partcula de massa mdo ponto (1,0,0) para o ponto (1,1,1) ao longo de uma curva lisa por partesC.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 37 / 168

  • Teorema fundamental das integrais de linha

    Exemplo 10

    Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial~F(x,y,z) = 2xx2+y2+z2 , 2yx2+y2+z2 , 2zx2+y2+z2 , ao mover uma partcula de massa mdo ponto (1,0,0) para o ponto (1,1,1) ao longo de uma curva lisa por partesC.

    Soluo

    J vimos que o campo vetorial acima conservativo, com funo potencialdada por f (x,y,z) = ln(x2+ y2+ z2)+ c. Dessa forma:

    W =C~F d~r =

    Cf d~r = f (1,1,1) f (1,0,0) = ln(3).

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 38 / 168

  • Teorema fundamental das integrais de linhaExemplo 11

    CalculeC y

    2dx+ xdy, onde

    (a) C = C1 o segmento de reta de (5,3) a (0,2),(b) C = C2 o arco x= 4 y2 de (5,3) a (0,2).

    Ver figura

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 39 / 168

  • Teorema fundamental das integrais de linha

    Exemplo 11Calcule

    C y

    2dx+ xdy, onde

    (a) C = C1 o segmento de reta de (5,3) a (0,2),(b) C = C2 o arco x= 4 y2 de (5,3) a (0,2).

    Soluo

    O caminho C1 tem a seguite parametrizao x= 5t5, y= 5t3 com0 t 1.

    C1y2dx+ xdy=

    10

    [(5t3)2 dx

    dt+(5t5)dy

    dt

    ]dt

    = 10[5(5t3)2+5(5t5)]dt

    = 5 10(25t225t+4)dt =5

    6.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 40 / 168

  • Teorema fundamental das integrais de linha

    Exemplo 11 continuaoCalcule

    C y

    2dx+ xdy, onde

    (a) C = C1 o segmento de reta de (5,3) a (0,2),(b) C = C2 o arco x= 4 y2 de (5,3) a (0,2).

    Soluo

    O caminho C2 tem a seguite parametrizao y= t, x= 4 t2 com 3 t 2.C2y2dx+ xdy=

    23

    [t2dxdt+(4 t2)dy

    dt

    ]dt

    = 23[2t3+(4 t2)]dt

    = 23(2t3 t2+4)dt =245

    6.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 41 / 168

  • Teorema fundamental das integrais de linha

    Independncia do caminho de integrao

    O resultado do exemplo anterior nos diz que em geralC1~F d~r 6= C2~F d~r,

    onde C1 e C2 so dois caminhos distintos com mesmos pontos incial e final.Mas segue do teorema anterior que

    C1f d~r =

    C2f d~r.

    A integral de um campo vetorial contnuo~F dita independente do caminho, seC1

    ~F d~r =C2

    ~F d~r,

    para quaisquer caminhos C1 e C2 como mesmos pontos incial e final.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 42 / 168

  • Teorema fundamental das integrais de linha

    Uma curva dita fechada se seu ponto inicial coincide com o final, i.e.,~r(a) =~r(b). O teorema a seguir nos fornece uma condio sob a qual aintegral de linha de um campo vetorial independente do caminho deintegrao.

    Teorema 2C~F d~r independente do caminho, em uma regio, D se e somente se

    C~F d~r = 0 para todo caminho C fechado em D.

    Este teorema afirma que para um campo vetorial conservativo~F,C~F d~r = 0.

    Assim, se~F representa um campo de foras, o trabalho realizado para moveruma partcula ao longo de um caminho fechado nulo.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 43 / 168

  • Teorema fundamental das integrais de linha

    Exemplo 12

    Mostre que a integral de linha do campo vetorial~F = 2x,2y independe docaminho de integrao.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 44 / 168

  • Teorema fundamental das integrais de linha

    Exemplo 12

    Mostre que a integral de linha do campo vetorial~F = 2x,2y independe docaminho de integrao.

    Soluo

    Vamos calcular a integral de linha do campo acima sobre uma curva fechadaC qualquer. Para isso, note que~F = f , com f (x,y) = x2+ y2+ c. Assim

    C~F d~r =

    Cf d~r =

    C

    ddtf (~r(t))dt = 0.

    ComoC~F d~r = 0, para um caminho qualquer C segue que C~F d~r

    independente do caminho.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 45 / 168

  • Teorema fundamental das integrais de linha

    Uma regio no plano D dita aberta se para cada ponto P D existir umdisco com centro em P contida em D. E chamamos uma regio plana D deconexa se dois pontos quaisquer em D podem ser ligados por um caminhointeiramente em D.

    Teorema 3

    Suponha que~F seja um campo vetorial contnuo sobre uma regio abertaconexa D. Se

    C~F d~r for independente do caminho em D, ento~F um

    campo conservativo, ou seja, existe um campo escalar f tal que f =~F.

    Para um campo vetorial conservativo so equivalentes as proposies:

    (a) ~F = f ,(b)C~F d~r = 0,

    (c)C~F d~r independe do caminho de integrao.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 46 / 168

  • Teorema fundamental das integrais de linha

    O teorema a seguir nos permite determinar se um campo vetorial conservativo.

    Teorema 4

    Se~F(x,y) = P(x,y)~i+Q(x,y)~j um campo vetorial conservativo, onde P e Qtm derivadas parciais de primeira ordem contnuas em um domnio D, entoem todos os pontos de D temos

    Py

    =Qx

    .

    A recproca do teorema acima s vlida para um tipo especial de regio D.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 47 / 168

  • Teorema fundamental das integrais de linha

    Exemplo 13

    Determine se o campo vetorial~F(x,y) = (x y)~i+(x2)~j ou noconservativo.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 48 / 168

  • Teorema fundamental das integrais de linha

    Exemplo 13

    Determine se o campo vetorial~F(x,y) = (x y)~i+(x2)~j ou noconservativo.

    Soluo

    Note que P(x,y) = x y e que Q(x,y) = x2, de forma que:Py

    =1 Qx

    = 1.

    Logo o campo no conservativo.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 49 / 168

  • Teorema fundamental das integrais de linha

    Uma cuva dita simples se ela no se autointercepta. E uma regio ditasimplesmente conexa se a mesma conexa e no contem buracos, ou seja,qualquer curva simples fechada em D contorna pontos que esto somente emD.

    Teorema 5

    Seja~F(x,y) = P(x,y)~i+Q(x,y)~j um campo vetorial sobre uma regio Daberta e simplesmente conexa. Suponha que P e Q tenham derivadas parciaisde primeira ordem contnuas e que

    Py

    =Qx

    ,

    em D. Ento~F conservativo.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 50 / 168

  • Teorema fundamental das integrais de linha

    Exemplo 14

    Determine se o campo vetorial~F(x,y) = (3+2xy)~i+(x23y2)~j ou noconservativo.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 51 / 168

  • Teorema fundamental das integrais de linha

    Exemplo 14

    Determine se o campo vetorial~F(x,y) = (3+2xy)~i+(x23y2)~j ou noconservativo.

    Soluo

    Note que P(x,y) = 3+2xy e que Q(x,y) = x23y2, de forma que:Py

    = 2x=Qx

    .

    Como o domnio de~F o plano R2 que aberto e simplesmente conexo,ento o campo conservativo.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 52 / 168

  • Teorema fundamental das integrais de linha

    Exemplo 15

    Determine se o campo vetorial~F(x,y) = yx2+y2~i+x

    x2+y2~j, (x,y) 6= (0,0) ou

    no conservativo.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 53 / 168

  • Teorema fundamental das integrais de linha

    Exemplo 15

    Determine se o campo vetorial~F(x,y) = yx2+y2~i+x

    x2+y2~j, (x,y) 6= (0,0) ou

    no conservativo.

    Soluo

    Note que

    Py

    =x2+ y2x2+ y2

    =Qx

    .

    O resultado acima sugere que~F conservativo.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 54 / 168

  • Teorema fundamental das integrais de linha

    Exemplo 15 continuao

    Mas se este for o caso, a integral de linha de~F ao longo de qualquer curvafechada C deve ser zero. Assim seja C o crculo unitrio percorrido no sentidoanti-horrio, com parametrizao dada por x= cos(t), y= sin(t) e 0 t 2pi.Neste caso

    C~F d~r =

    2pi0

    [sin2(t)+ cos2(t)]dt = 2pi.

    Como a integral acima diferente de zero, o campo no conservativo. Noteque apesar das derivadas parciais Py e

    Qx serem iguais, o domnio de~F no

    uma regio simplesmente conexa, de forma que o teorema anterior no seaplica.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 55 / 168

  • Teorema fundamental das integrais de linha

    Condio para um campo vetorial~F(x,y,z) ser conservativo

    Para que um campo vetorial~F(x,y,z) = P(x,y,z)~i+Q(x,y,z)~j+R(x,y,z)~kdefinido em uma regio aberta e simplesmente conexa D, P, Q e R comderivadas parciais de primeira ordem contnuas, seja conservativo, devem sersatisfeitas as seguintes igualdades

    Py

    =Qx

    ,

    Pz

    =Rx,

    Qz

    =Ry.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 56 / 168

  • Teorema fundamental das integrais de linha

    Exemplo 16

    Determine se o campo vetorial~F(x,y,z) = (yz)~i+(xz)~j+(xy+2z)~k, ou noconservativo.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 57 / 168

  • Teorema fundamental das integrais de linha

    Exemplo 16

    Determine se o campo vetorial~F(x,y,z) = (yz)~i+(xz)~j+(xy+2z)~k, ou noconservativo.

    Soluo

    Note que~F est definido em todo o R3, conjunto aberto e simplesmenteconexo. Note tambm que

    Py

    = z=Qx

    ,

    Pz

    = y=Rx,

    Qz

    = x=Ry.

    Logo o campo acima conservativo.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 58 / 168

  • Teorema de Green

    O teorema a seguir relaciona o clculo de uma integral de linha de um campovetorial ao longo de uma curva fechada simples C, com uma integral dupla naregio D delimitada por C. Antes, precisamos definir orientao de uma curva.

    Oritentao de uma curva fechada simples C

    Seja C uma curva fechada simples dada por~r(t), com a t b. Dizemos queC tem orientao positiva se ao percorrer C no sentido anti-horrio, uma nicavez, a regio D estiver sempre esquerda quando o ponto~r(t) percorrer C.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 59 / 168

  • Teorema de Green

    Uma vez definida orientao de uma curva C, podemos enunciar o teorema deGreen.

    Teorema de Green

    Seja C uma curva plana simples, fechada, contnua por trechos, orientadapositivamente, e seja D a regio delimitada por C. Se P e Q tm derivadasparciais de primeira ordem contnuas sobre uma regio aberta que contenhaD, ento

    CPdx+Qdy=

    D

    (Qx Py

    )dA.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 60 / 168

  • Teorema de Green

    Exemplo 17

    Calculec x

    4dx+ xydy, onde C a curva triangular constituida pelossegmentos de reta (0,0) a (1,0), de (1,0) a (0,1) e de (0,1) a (0,0).

    Ver figura

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 61 / 168

  • Teorema de Green

    Exemplo 17

    Calculec x

    4dx+ xydy, onde C a curva triangular constituida pelossegmentos de reta (0,0) a (1,0), de (1,0) a (0,1) e de (0,1) a (0,0).

    Soluo

    Note que o caminho fechado, simples e com orientao positiva. Como asfunes P(x,y) = x4 e Q(x,y) = xy tm derivadas contnuas na regiotriangular acima, podemos utilizar o teorema de Green.

    Cx4dx+ xydy=

    D

    (Qx Py

    )dA=

    DydA

    = 10

    1x0

    ydydx=12

    10(1 x)2dx=1

    6

    [(1 x)3

    ]10=

    16.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 62 / 168

  • Teorema de Green

    Exemplo 18

    CalculeC(3y esin(x))dx+(7x+

    y4+1)dy, onde C o crculo x2+ y2 = 9.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 63 / 168

  • Teorema de Green

    Exemplo 18

    CalculeC(3y esin(x))dx+(7x+

    y4+1)dy, onde C o crculo x2+ y2 = 9.

    Soluo

    Utilizando o teorema de Green e convertendo a integral dupla paracoordenadas polares temos

    C(3y esin(x))dx+(7x+

    y4+1)dy=

    D

    [x(7x+

    y4+1)

    y(3y esin(x))

    ]dA= 2pi

    0

    30(73)rdrd= 4

    2pi0

    d 30rdr = 36pi.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 64 / 168

  • Teorema de Green

    Clculo de rea via integral de linha

    Seja C uma curva fechada simples que dilimita uma regio D. Se no teoremade Green o integrando da integral dupla for 1, obtemos a rea da regio D.

    Qx Py

    = 1.

    As possveis funes P(x,y) e Q(x,y) que fornecem o resultado desejado so

    P(x,y) = 0, P(x,y) =y, P(x,y) =12y,

    Q(x,y) = x, Q(x,y) = 0, Q(x,y) =12x.

    Assim podemos calcular a rea de D atravs das seguintes frmulas

    A=Cxdy=

    Cydx=

    12

    Cxdy ydx.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 65 / 168

  • Teorema de Green

    Exemplo 19

    Determine a rea delimitada pela elipse x2

    a2 +y2

    b2 = 1.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 66 / 168

  • Teorema de Green

    Exemplo 19

    Determine a rea delimitada pela elipse x2

    a2 +y2

    b2 = 1.

    Soluo

    Podemos parametrizar a elipse atravs das seguintes equaes x= acos(t),y= bsin(t) com 0 t 2pi.

    A=12

    Cxdy ydx= 1

    2

    2pi0

    [acos(t)bcos(t)+bsin(t)asin(t)]dt

    =ab2

    2pi0

    dt = piab.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 67 / 168

  • Teorema de Green

    Exemplo 20

    CalculeC y

    2dx+3xydy, onde C a fronteira da regio semianular D contidano semiplano superior entre os crculos x2+ y2 = 1 e x2+ y2 = 4.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 68 / 168

  • Teorema de Green

    Exemplo 20

    CalculeC y

    2dx+3xydy, onde C a fronteira da regio semianular D contidano semiplano superior entre os crculos x2+ y2 = 1 e x2+ y2 = 4.

    Soluo

    Utilizando o teorema de Green e convertendo a integral dupla paracoordenadas polares teremos

    Cy3dx+3xydy=

    D

    [x(3xy)

    y(y2)

    ]dA=

    =

    DydA=

    pi0

    21r2 sin()drd

    = pi0sin()d

    21r2dr =

    143.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 69 / 168

  • Teorema de Green

    Teorema de Green para regies que no so simplesmente conexa

    Considere a seguinte regio D limitada pelas curvas fechadas C1(externamente) e C2 (internamente), isto , D uma regio com um buraco.

    Podemos utilizar o teorema de Green e mostrar que a integral de linha aolongo do caminho C = C1

    C2 dada por:

    D

    (Qx Py

    )dA=

    C1Pdx+Qdy+

    C2Pdx+Qdy=

    CPdx+Qdy.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 70 / 168

  • Teorema de Green

    Exemplo 21

    CalculeC y

    3dx x3dy, onde C composta de dois crculos de raios 1 e 2centrados na origem com orientao positiva.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 71 / 168

  • Teorema de Green

    Exemplo 21

    CalculeC y

    3dx x3dy, onde C composta de dois crculos de raios 1 e 2centrados na origem com orientao positiva.

    Soluo

    Note que a regio D a regio contida entre as circunferncias de raios 1 e 2assim

    Cy3dx x3dy=

    D

    (Qx Py

    )dA=3

    D(x2+ y2)dA

    =3 2pi0

    21r3drd=3

    []2pi0

    [r4

    4

    ]21=45pi

    2.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 72 / 168

  • Rotacional e divergente

    J vimos que podemos contruir um campo vetorial a partir de um campoescalar aplicando o operador a um campo escalar f (f campo gradiente).Agora veremos como obeter um campo vetorial a partir de outro campovetorial.

    Rotacional

    Se~F = P~i+Q~j+R~k um campo vetorial em R3, e as derivadas parciais de P,Q e R existem, ento o rotacional de~F o campo vetorial em R3 definido por

    rot~F = ~F =(Ry Qz

    )~i+

    (Pz Rx

    )~j+

    (Qx Py

    )~k.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 73 / 168

  • Rotacional e divergente

    Rotacional

    Se pensarmos em como um vetor de componentes /x, /y e /z,podemos tambm considerar o produto vetorial formal de pelo campovetorial~F, como se segue:

    ~F =

    ~i ~j ~kx

    y

    z

    P Q R

    =

    (Ry Qz

    )~i+

    (Pz Rx

    )~j+

    (Qx Py

    )~k

    = rot~F.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 74 / 168

  • Rotacional e divergente

    Exemplo 22

    Se~F(x,y,z) = xz~i+ xyz~j y2~k, determine o rotacional de~F.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 75 / 168

  • Rotacional e divergente

    Exemplo 22

    Se~F(x,y,z) = xz~i+ xyz~j y2~k, determine o rotacional de~F.

    Soluo

    Utilizando a definio temos que

    ~F =

    ~i ~j ~kx

    y

    z

    xz xyz y2

    =

    ((y2)y

    (xyz)z

    )~i

    ((y2)x

    (xz)z

    )~j+

    ((xyz)x (xz)

    y

    )~k

    =y(2+ x)~i+ x~j+ yz~k.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 76 / 168

  • Rotacional e divergente

    Teorema 1

    Se f um campo escalar que tem derivadas parciais contnuas de segundaordem ento,

    rot (f ) =~0.

    J vimos que se um campo vetorial conservativo, ento~F = f . Assimpodemos enunciar o teorema acima da seguinte forma

    Se~F conservativo, ento rot~F =~0.

    A recproca do teorema acima no , em geral, verdadeira. Dizemos ento quea condio (~F conservativo) nescessria (para que rot~F =~0) porm(rot~F =~0) no sufuciente (para que~F seja conservativo).

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 77 / 168

  • Rotacional e divergente

    Exemplo 23

    Mostre que o campo vetorial~F(x,y,z) = xz~i+ xyz~j y2~k no conservativo.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 78 / 168

  • Rotacional e divergente

    Exemplo 23

    Mostre que o campo vetorial~F(x,y,z) = xz~i+ xyz~j y2~k no conservativo.

    Soluo

    Suponha que~F seja conservativo. Ento devemos ter que rot~F =~0. Mascomo vimos no exemplo anterior

    ~F =y(2+ x)~i+ x~j+ yz~k.Logo~F no pode ser conservativo.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 79 / 168

  • Rotacional e divergente

    O teorema a seguir nos d uma condio suficiente para que um campovetorial~F R3 seja conservativo.Teorema 2

    Se~F for um campo vetorial definido sobre todo o R3 (domnio aberto esimplesmente conexo) cujas componentes tenham derivadas parciais desegunda ordem contnuas e rot~F =~0, ento~F ser um campo vetorialconservativo.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 80 / 168

  • Rotacional e divergente

    Exemplo 24

    Mostre que o campo vetorial~F(x,y,z) = y2z3~i+2xyz3~j+3xy2z2~k conservativo e determine sua funo potencial.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 81 / 168

  • Rotacional e divergente

    Exemplo 24

    Mostre que o campo vetorial~F(x,y,z) = y2z3~i+2xyz3~j+3xy2z2~k conservativo e determine sua funo potencial.

    Soluo

    Note que

    ~F =

    ~i ~j ~kx

    y

    z

    y2z3 2xyz3 3xy2z2

    = (6xyz26xyz2)~i (3y2z23y2z2)~j+(2yz32yz3)~k =~0.

    Assim o campo conservativo (note que o domnio de~F aberto esimplesmente conexo).

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 82 / 168

  • Rotacional e divergente

    Exemplo 24 continuao

    Para determinar a funo potencial basta integral (parcialmente) uma dasfunes componetes e utilizar as demais para determinar as constantes deintegrao. Assim

    fx = y2z3 = f (x,y,z) =y2z3dx= xy2z3+g(y,z).

    Como fy = 2xyz3 obtemos que g(y,z) = h(z). Note ainda que fz = 3xy2z2,assim h(z) = c. Logo a funo potencial dada por

    f (x,y,z) = xy2z3+ c.

    Um campo vetorial~F com rotacional nulo chamado de irrotacional.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 83 / 168

  • Rotacional e divergente

    J vimos como obter um campo vetorial a partir de um campo escalar e de umcampo vetorial. Agora veremos como obter um campo escalar atravs de umcampo vetorial.

    Divergente

    Se~F = P~i+Q~j+R~k um campo vetorial em~R3 e existem P/x, Q/y eR/z, ento o divergente de~F o campo escalar dado por

    div~F = ~F = Px

    +Qy

    +Rz.

    Novamente se pensarmos em como um vetor de componentes /x, /y e/z, podemos reescrever o divergente como se segue:

    div~F = ~F = x,y,z P,Q,R.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 84 / 168

  • Rotacional e divergente

    Exemplo 25

    Se~F(x,y,z) = xz~i+ xyz~j y2~k, encontre div~F.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 85 / 168

  • Rotacional e divergente

    Exemplo 25

    Se~F(x,y,z) = xz~i+ xyz~j y2~k, encontre div~F.

    Soluo

    Pela definio temos que

    div~F = ~F = (xz)x

    +(xyz)y

    +(y2)z

    = z+ xz.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 86 / 168

  • Rotacional e divergente

    Exemplo 26

    Mostre que o divergente do rotacional de um campo vetorial igual ao vetornulo.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 87 / 168

  • Rotacional e divergente

    Exemplo 26

    Mostre que o divergente do rotacional de um campo vetorial igual ao vetornulo.

    Soluo

    Seja~F = P~i+Q~j+R~k um campo vetorial, cujas funes componentesapresentam derivadas de segunda ordem contnuas. Assim

    ~G= rot~F =(Ry Qz

    )~i+

    (Pz Rx

    )~j+

    (Qx Py

    )~k.

    Calculando o divergente do campo ~G temos quediv ~G= div rot~F

    =x

    (Ry Qz

    )+y

    (Pz Rx

    )+z

    (Qx Py

    ).

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 88 / 168

  • Rotacional e divergente

    Exemplo 26 continuao

    div ~G= div rot~F

    =2Rxy

    2Qxz

    +2Pyz

    2R

    yx+2Qzx

    2P

    zy= 0.

    uma vez que os termos se cancelam aos pares (teorema de Schwarz).

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 89 / 168

  • Rotacional e divergente

    Laplaciano

    Ainda podemos definir outro campo escalar ao aplicarmos o operador a umcampo gradiente f . O resultado o seguinte campo escalar

    div(f ) = (f ) = 2fx2

    +2fy2

    +2fz2

    .

    Essa expresso aperecer com tanta frequencia de forma que vamos abrevi-lacomo 2f . Ao operador 2 chamamos de laplaciano. E se~F = P~i+Q~j+R~k um campo vetorial, podemos tambm aplicar 2 a~F como

    2~F = 2P~i+2Q~j+2R~k.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 90 / 168

  • Rotacional e divergente

    Exemplo 27

    Aplique o operador laplaciano aos seguintes campos:

    (a) f (x,y,z) = exyz,

    (b) ~F(x,y,z) = ex,exy,exyz.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 91 / 168

  • Rotacional e divergente

    Exemplo 27

    Aplique o operador laplaciano aos seguintes campos:

    (a) f (x,y,z) = exyz,

    (b) ~F(x,y,z) = ex,exy,exyz.

    Soluo

    Note que f = yzexyz,xzexyz,xyexyz, de forma que

    2f =(yzexyz)

    x+(xzexyz)

    y+(xyexyz)

    z= exyz[(yz)2+(xz)2+(xy)2].

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 92 / 168

  • Rotacional e divergente

    Exemplo 27 continuao

    No exemplo (b) note que P= ex, Q= exy e R= exyz. Assim

    2P= 2ex = ex

    2Q= 2exy = (x2+ y2)exy

    2R= 2exyz = [(yz)2+(xz)2+(xy)2]exyz.

    Logo temos que

    2~F = ex,(x2+ y2)exy, [(yz)2+(xz)2+(xy)2]exyz.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 93 / 168

  • Superfcies parametrizadas e suas reas

    Superfcies parametrizadas

    Uma superfcie parametrizada uma funo vetorial~r(u,v) de doisparmetros u e v, que pode ser expressa da seguinte forma

    ~r(u,v) = x(u,v)~i+ y(u,v)~j+ z(u,v)~k.

    Note que na equao acima o domnio de~r uma regio do plano uv, e suaimagem um subconjunto do R3, chamada de superfcie parametrizada.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 94 / 168

  • Superfcies parametrizadas e suas reas

    Exemplo 28

    Identifique e esboce a superfcie com equao vetorial~r(u,v) = 2cos(u)~i+ v~j+2sin(u)~k.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 95 / 168

  • Superfcies parametrizadas e suas reas

    Exemplo 28

    Identifique e esboce a superfcie com equao vetorial~r(u,v) = 2cos(u)~i+ v~j+2sin(u)~k.

    Soluo

    Da funo acima temos que x(u,v) = 2cos(u), y(u,v) = v e z(u,v) = 2sin(u).Note ainda que x2+ z2 = 4 para qualquer valor de u, e que y pode assumirqualquer valor v. Assim a superfcie resultante um cilindro infinito com exiodo cilindro sobre o eixo y.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 96 / 168

  • Superfcies parametrizadas e suas reas

    Exemplo 29

    Determine a funo vetorial que representa um plano que passa pelo ponto P0com vetor posio~r0 e que contenha dois vetores no paralelos~a e~b.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 97 / 168

  • Superfcies parametrizadas e suas reas

    Exemplo 29

    Determine a funo vetorial que representa um plano que passa pelo ponto P0com vetor posio~r0 e que contenha dois vetores no paralelos~a e~b.

    Soluo

    Seja P um ponto do plano em questo, ento o vetorP0P pode ser escrito

    como uma combinao dos vetores~a e~b, isto ,P0P= u~a+ v~b. Mas o vetor

    OP=OP0+

    P0P, ou seja,~r =~r0+u~a+ v~b. Assim~r(u,v) =~r0+u~a+ v~b.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 98 / 168

  • Superfcies parametrizadas e suas reas

    Exemplo 30

    Determine uma representao paramtrica para uma esfera de raio a centradana origem.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 99 / 168

  • Superfcies parametrizadas e suas reas

    Exemplo 30

    Determine uma representao paramtrica para uma esfera de raio a centradana origem.

    Soluo

    Devemos parametrizar x2+ y2+ z2 = a2. Para tanto basta tomarmosx= asin()cos(), y= asin()sin() e z= acos(). Assim a equaovetorial resultante

    ~r(,) = asin()cos()~i+asin()sin()~j+acos()~k,

    com [0,2pi] e [0,pi/2].

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 100 / 168

  • Superfcies parametrizadas e suas reas

    Exemplo 31

    Determine uma funo vetorial que represente o paraboloide elpticoz= x2+2y2.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 101 / 168

  • Superfcies parametrizadas e suas reas

    Exemplo 31

    Determine uma funo vetorial que represente o paraboloide elpticoz= x2+2y2.

    Soluo

    Neste caso podemos utilizar o fato de que z= f (x,y) e considerar a seguinteparametrizao x= x, y= y e z= x2+2y2, de forma que

    ~r(x,y) = x~i+ y~j+(x2+2y2)~k.

    De forma geral, para uma funo do tipo z= f (x,y), temos a seguinteparametrizao~r(x,y) = x~i+ y~j+ f (x,y)~k, chamada de parametrizaonatural.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 102 / 168

  • Superfcies parametrizadas e suas reas

    Dada uma superfcie parametrizada S, podemos perguntar pelo plano tangenteem um ponto (x0,y0,z0) pertencente S. Quando tal plano existe para todoponto P S dizemos que S diferencivel ou lisa.Planos tangentes

    Seja~r(u,v) uma superfcies parametrizada. Seja ainda (u0,v0) um ponto dodomnio de~r. Note que as funes~r(u,v0) e~r(u0,v) representam curvassobre S, chamadas de curvas coordenadas.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 103 / 168

  • Superfcies parametrizadas e suas reas

    Planos tangentes

    Os vetores tangentes s curvas coordenadas~r(u,v0) e~r(u0,v) so dados por~ru e~rv, respectivamente, isto , tomando-se as derivadas parciais de~r(u,v)em relao a u e v. Assim o plano tangente S em P0 = (x0,y0,z0), quecontem os vetores~ru e~rv, tem vetor normal dado por

    ~N(P0) =~ru~rv =~ru(x0,y0,z0)~rv(x0,y0,z0).Ou ainda

    ~N(x0,y0,z0) =

    ~i ~j ~kxu

    yu

    zu

    xv

    yv

    zv

    .Sejam ento ~N = (a,b,c) e P0 = (x0,y0,z0), o plano tangente ficaa(x x0)+b(y y0)+ c(z z0) = 0.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 104 / 168

  • Superfcies parametrizadas e suas reas

    Exemplo 32

    Determine a equao do plano tangente superfcie com equaesparamtricas x= u2, y= v2 e z= u+2v no ponto (1,1,3).

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 105 / 168

  • Superfcies parametrizadas e suas reas

    Exemplo 32

    Determine a equao do plano tangente superfcie com equaesparamtricas x= u2, y= v2 e z= u+2v no ponto (1,1,3).

    Soluo

    O vetor normal ao plano dado por

    ~N(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) =

    ~i ~j ~kxu

    yu

    zu

    xv

    yv

    zv

    =~i ~j ~k2u 0 10 v 2

    =2v~i4u~j+4uv~k.O ponto (1,1,3) corresponde a u= v= 1. Assim N(1,1,3) =2~i4~j+4~k,de forma que o plano fica

    2(x1)4(y1)+4(z3) = 0.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 106 / 168

  • Superfcies parametrizadas e suas reas

    rea de superfcie

    Seja (u0,v0) um ponto do domnio D de~r(u,v). Os pontos (u0,v0),(u0+u,v0), (u0,v0+v) e (u0+u,v0+v) definem um retngulo no planouv com rea uv. A parametrizao~r(u,v) transforma esse retnguloaproximadamente em um paralelogramo de rea

    S ~ru~rvuv.

    Definio

    Dada uma superfcie lisa S com parametrizao~r(u,v), a rea de S dada por

    A(S) =

    SdS=

    D~ru~rvdudv,

    onde dS= ~ru~rvdudv chamado elemento de superfcie.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 107 / 168

  • Superfcies parametrizadas e suas reas

    Exemplo 33

    Determine a rea da esfera de raio a.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 108 / 168

  • Superfcies parametrizadas e suas reas

    Exemplo 33

    Determine a rea da esfera de raio a.

    Soluo

    A parametrizao da esfera ~r(u,v) = asin()cos()~i+asin()sin()~j+acos()~k. de forma que

    ~r~r =

    ~i ~j ~kx

    y

    z

    x

    y

    z

    =

    ~i ~j ~kacos()cos() acos()sin() asin()acos()sin() asin()cos() 0

    = a2 sin2()cos()~i+a2 sin2()sin()~j+a2 sin()cos()~k.

    Assim ~r~r= a2 sin().

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 109 / 168

  • Superfcies parametrizadas e suas reas

    Exemplo 33 continuao

    Logo a rea dada por

    A(S) =

    Da2 sin()dd=

    2pi0

    pi0a2 sin()dd

    = a2[]2pi0

    [ cos()

    ]pi0= 4pia2.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 110 / 168

  • Superfcies parametrizadas e suas reas

    Exemplo 34

    Determine a rea lateral do cilindro x2+ y2 = a2 e altura h.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 111 / 168

  • Superfcies parametrizadas e suas reas

    Exemplo 34

    Determine a rea lateral do cilindro x2+ y2 = a2 e altura h.

    Soluo

    O cilindro pode ser parametrizado da seguinte forma~r(,z) = acos()~i+asin()~j+ z~k, com [0,2pi] e z [0,h] de forma que

    ~r~rz =

    ~i ~j ~kx

    y

    z

    xz

    yz

    zz

    =

    ~i ~j ~kasin() acos() 0

    0 0 1

    = acos()~i+asin()~j.

    Assim temos que ~r~rz= a.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 112 / 168

  • Superfcies parametrizadas e suas reas

    Exemplo 34 continuao

    Logo a rea dada por

    A(S) =

    Dadzd= a

    2pi0

    h0dzd= 2piah.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 113 / 168

  • Superfcies parametrizadas e suas reas

    Exemplo 35

    Determine a rea de uma superfcie dada por z= f (x,y).

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 114 / 168

  • Superfcies parametrizadas e suas reas

    Exemplo 35

    Determine a rea de uma superfcie dada por z= f (x,y).

    Soluo

    A parametrizao neste caso ~r(x,y) = x~i+ y~i+ f (x,y)~k, de forma que

    ~rx~ry =

    ~i ~j ~kxx

    yx

    zx

    xy

    yy

    zy

    =~i ~j ~k1 0 fx0 1 fy

    =fx~i fy~j+~k.

    Assim temos que ~rx~ry=1+(fx)2+(fy)2.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 115 / 168

  • Superfcies parametrizadas e suas reas

    Exemplo 35 continuao

    Logo a rea dada por

    A(S) =

    D

    1+(fx)2+(fy)2dxdy=

    D

    1+(fx

    )2+

    (fy

    )2dxdy.

    Note que a expresso acima geral, isto , dada uma superfcie S do tipoz= f (x,y), podemos aplicar a equao acima para determinar sua rea.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 116 / 168

  • Superfcies parametrizadas e suas reas

    Exemplo 36

    Determine a rea da parte do paraboloide z= x2+ y2 que est abaixo doplano z= 9.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 117 / 168

  • Superfcies parametrizadas e suas reas

    Exemplo 36

    Determine a rea da parte do paraboloide z= x2+ y2 que est abaixo doplano z= 9.

    Soluo

    Podemos utilizar o resultado do exemplo anterior, de forma que

    A(S) =

    D

    1+(fx

    )2+

    (fy

    )2dxdy=

    D

    1+4(x2+ y2)dxdy

    = 2pi0

    30

    1+4r2rdrd=

    2pi8

    371

    u1/2du=pi6(37371).

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 118 / 168

  • Integral de superfcie

    Definio

    Seja f (x,y,z) um campo escalar definido em uma superfcie parametrizada S,definimos a integral de superfcie de f sobre S como a seguinte integral

    Sf (x,y,z)dS=

    Df (~r(u,v))~ru~rvdudv.

    Note a semelhana da integral de superfcie definida acima com a integral delinha de um campo escalar:

    Cf (x,y,z)ds=

    baf (~r(t))~r(t)dt.

    No caso particular onde o campo escalar o campo constante f (x,y,z) = 1,pela definio temos ento que

    S1dS=

    D~ru~rvdudv= A(S).

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 119 / 168

  • Integrais de superfcies

    Exemplo 37

    Calcule a integral de superfcie

    S x2dS, onde S a esfera unitria

    x2+ y2+ z2 = 1.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 120 / 168

  • Integrais de superfcies

    Exemplo 37

    Calcule a integral de superfcie

    S x2dS, onde S a esfera unitria

    x2+ y2+ z2 = 1.

    Soluo

    J vimos que o elemente d rea superficial para uma esfera de raio a dS= a2 sin()dd. Assim a integral dada por

    Sx2dS=

    Dsin2()cos2()[sin()]dd

    = 2pi0

    pi0sin3()cos2()dd

    = pi0[1 cos2()]d[cos()]1

    2

    2pi0

    [1+ cos(2)]d=4pi3.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 121 / 168

  • Integrais de superfcies

    Exemplo 38

    Calcule

    S ydS, onde S a superfcie z= x+ y2, 0 x 1 e 0 y 2.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 122 / 168

  • Integrais de superfcies

    Exemplo 38

    Calcule

    S ydS, onde S a superfcie z= x+ y2, 0 x 1 e 0 y 2.

    Soluo

    Neste caso podemos utilizar a parametrizao natural e reescrever a integralde superfcie como

    Sf (x,y,z)dS=

    Df (x,y,g(x,y))

    1+(fx

    )2+

    (fy

    )2dxdy,

    onde z= g(x,y) a equao da superfcie.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 123 / 168

  • Integrais de superfcies

    Exemplo 38 continuao

    Assim temos que

    SydS=

    Dy2+2y2dxdy=

    10

    20y2+2y2dydx

    = 10dx 20y2+4y2dy=

    14

    182

    u12 du=

    16[u

    32 ]182

    =16[18182

    2] =

    132

    3.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 124 / 168

  • Integrais de superfcies

    Unio de superfcies lisas

    Se S uma superfcie lisa por partes, ou seja, uma unio finita de superfcieslisas S1, S2, . . . ,Sn, que se interceptam somente ao longo de suas fronteiras,ento a integral de superfcie de f (x,y,z) sobre S definida por

    Sf (x,y,z)dS=

    S1f (x,y,z)dS+

    S2f (x,y,z)dS+ +

    Snf (x,y,z)dS.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 125 / 168

  • Integrais de superfcies

    Exemplo 39

    Calcule

    S zdS, onde S a superfcie cujo lado S1 dado pelo cilindrox2+ y2 = 1, cujo fundo S2 o crculo x2+ y2 1 no plano z= 0, e cujo topo S3 a parte do plano z= 1+ x que est acima de S2.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 126 / 168

  • Integrais de superfcies

    Exemplo 39

    Calcule

    S zdS, onde S a superfcie cujo lado S1 dado pelo cilindrox2+ y2 = 1, cujo fundo S2 o crculo x2+ y2 1 no plano z= 0, e cujo topo S3 a parte do plano z= 1+ x que est acima de S2.

    Soluo

    A superfcie desejada tem a seguinte forma

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 127 / 168

  • Integrais de superfcies

    Exemplo 39 continuao

    Sobre a superfcie S2 onde x2+ y2 1 temos que

    S2 zdS=

    S2 0dS= 0.Sobre a S3 temos

    S3zdS=

    D(1+ x)

    2dydx=

    2 2pi0

    10[1+ r cos()]rdrd

    =2 2pi0

    (12+13cos()

    )d=

    2[2+sin()3

    ]2pi0=2pi.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 128 / 168

  • Integrais de superfcies

    Exemplo 39 continuao

    J vimos que o elemento de rea lateral para um cilindro de raio a dS= addz, assim

    S1zdS=

    Dzddz=

    2pi0

    1+cos()0

    zdzd

    =12

    2pi0

    [1+2cos()+ cos2()]d

    =12

    {+ sin()+

    12

    [+

    sin(2)2

    ]}2pi0= 2pi.

    Assim a integral de superfcie procurada SzdS=

    S1zdS+

    S2zdS+

    S3zdS=

    3pi2+2pi.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 129 / 168

  • Integrais de superfcies

    Superfcies orientadas

    Dada uma parametrizao~r(u,v) = x(u,v)~i+ y(u,v)~j+ z(u,v)~k de umsuperfcie S, definimos o vetor normal unitrio em S como

    ~n(u,v) =~ru~rv~ru~rv .

    Se~n estiver definido em todo ponto de S, dizemos que a superfcie orientada. Dizemos ainda que S tem orientao positiva se o vetor normalunitrio aponta para fora de S, e negativa se aponta para dentro de S.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 130 / 168

  • Integrais de superfcies

    Fluxo de um campo vetorial

    Seja ~V o campo de velocidade de uma fluido com densidade . A massa dmque atravessa o elemento de superfcie dS, na direo do vetor unitrio~n, porunidade de tempo, dada por

    dm= ~V ~ndS.Podemos definir a quantidade~F = ~V como um campo vetorial. Assim o fluxode massa atravs da superfcie S dado por

    m=

    S~V ~ndS=

    S~F ~ndS.

    Podemos utilizar o exemplo acima para definir o fluxo de um campo vetorialatravs de uma superfcie S.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 131 / 168

  • Integrais de superfcies

    Definio

    Se~F for um campo vetorial contnuo definido sobre uma superfcie orientada Scom vetor unitrio~n, ento a integral de superfcie (fluxo) de~F sobre S

    Fluxo de~F =

    S~F ~ndS=

    S~F d~S.

    Note que se~r(u,v) uma parametrizao de uma superfcie S, entopodemos reescrever a expesso acima notando que~n(u,v) = ~ru~rv~ru~rv e quedS= ~ru~rvdudv. Assim

    S~F ~ndS=

    D~F (~ru~rv)dudv.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 132 / 168

  • Integrais de superfcies

    Exemplo 40

    Determine o fluxo do campo vetorial~F(x,y,z) = z~i+ y~j+ x~k atravs da esferaunitria x2+ y2+ z2 = 1.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 133 / 168

  • Integrais de superfcies

    Exemplo 40

    Determine o fluxo do campo vetorial~F(x,y,z) = z~i+ y~j+ x~k atravs da esferaunitria x2+ y2+ z2 = 1.

    Soluo

    Dada a parametrizao~r(,) = sin()cos()~i+ sin()sin()~j+ cos()~k,temos que~r~r = sin2()cos()~i+ sin2()sin()~j+ sin()cos()~k. Noteainda que

    ~F(~r(,)) = cos()~i+ sin()sin()~j+ sin()cos()~k.

    De forma que~F (~r~r) = sin2()cos()cos()+ sin3()sin2()+ sin2()cos()cos()

    = 2sin2()cos()cos()+ sin3()sin2().

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 134 / 168

  • Integrais de superfcies

    Exemplo 40 continuao

    Assim o fluxo dado por

    D~F (~r~r)dd=

    2pi0

    pi0[2sin2()cos()cos()+ sin3()sin2()]dd

    = 2pi0

    pi0sin3()sin2()dd

    = 2pi0

    sin2()d pi0sin3()d

    =4pi3.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 135 / 168

  • Integrais de superfcies

    Exemplo 41

    Determine o fluxo do campo vetorial~F(x,y,z) = P~i+Q~j+R~k atravs de umasuperfcie dada por z= g(x,y).

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 136 / 168

  • Integrais de superfcies

    Exemplo 41

    Determine o fluxo do campo vetorial~F(x,y,z) = P~i+Q~j+R~k atravs de umasuperfcie dada por z= g(x,y).

    Soluo

    Note que~rx~ry =gx~igy~j+~k, de forma que

    ~F (~rx~ry) =PgxQgy+R.Assim o fluxo do campo vetorial dado por

    S~F d~S=

    D

    [Pg

    xQg

    y+R]dxdy.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 137 / 168

  • Integrais de superfcies

    Exemplo 42

    Calcule

    S~F d~S, onde~F(x,y,z) = y~i+ x~j+ z~k e S a fronteira da regio

    slida E delimitada pelo paraboloide z= 1 x2 y2 e pelo plano z= 0.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 138 / 168

  • Integrais de superfcies

    Exemplo 42

    Calcule

    S~F d~S, onde~F(x,y,z) = y~i+ x~j+ z~k e S a fronteira da regio

    slida E delimitada pelo paraboloide z= 1 x2 y2 e pelo plano z= 0.

    Soluo

    A superfcie (fechada) tem a seguinte forma:

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 139 / 168

  • Integrais de superfcies

    Exemplo 42 continuao

    Sobre a superfcie S2 o vetor~n=~k, de forma que~F (~k) =z. Mas sobreo plano xy temos que z= 0, assim

    S2~F d~S= 0. Sobre S1 temos que

    S1

    ~F d~S=

    D

    [Pg

    xQg

    y+R]dxdy=

    D[1 x2 y2+4xy]dxdy

    = 2pi0

    10[1 r2+4r2 cos()sin()]rdrd

    = pi pi2+ 2pi0

    cos()sin()d=pi2.

    Assim

    S~F d~S= S1~F d~S+ S2~F d~S= pi2 .

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 140 / 168

  • O teorema do divergente

    J vimos que no clculo de certas integrais de linha sobre um caminhofechado, podemos converter a integral de linha em uma integral dupla(Teorema de Green). Veremos agora sobre que condies poderemosconverter uma integral de superfcie em uma integral tripla.

    Teorema do divergente ou de Gauss

    Seja E uma regio slida simples e seja S a superfcie fronteira de E, orientadapositivamente (para fora). Seja~F um campo vetorial cujas funescomponentes tenham derivadas parciais contnuas em uma regio aberta quecontenha E. Ento

    S~F ~ndS=

    E

    div~FdV.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 141 / 168

  • O teorema do divergente

    Exemplo 43

    Determine o fluxo do campo vetorial~F(x,y,z) = z~i+ y~j+ x~k atravs da esferaunitria x2+ y2+ z2 = 1.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 142 / 168

  • O teorema do divergente

    Exemplo 43

    Determine o fluxo do campo vetorial~F(x,y,z) = z~i+ y~j+ x~k atravs da esferaunitria x2+ y2+ z2 = 1.

    Soluo

    Como a superfcie em questo fechada, uma esfera unitria, podemosaplicar o Teorema de Guass. Note que ~F = 1. Assim

    S~F ~ndS=

    E

    div~FdV =

    EdV = V(E) =

    4pi3.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 143 / 168

  • O teorema do divergente

    Exemplo 44

    Calcule

    S~F ~ndS, onde~F(x,y,z) = xy~i+(y2+ exz2)~j+ sin(xy)~k e S a

    superfcie fechada limitada pelo cinlindro parablico z= 1 x2 e pelos planosz= 0, y= 0 e y+ z= 2.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 144 / 168

  • O teorema do divergente

    Exemplo 44

    Calcule

    S~F ~ndS, onde~F(x,y,z) = xy~i+(y2+ exz2)~j+ sin(xy)~k e S a

    superfcie fechada limitada pelo cinlindro parablico z= 1 x2 e pelos planosz= 0, y= 0 e y+ z= 2.

    Soluo

    Note que ~F = 3y, assimS~F d~S=

    E3ydV = 3

    11

    1x20

    2z0

    ydydzdx

    =32

    11

    1x20

    (2 z)2dzdx= 32

    11

    [ (2 z)

    3

    3

    ]1x20

    dx

    =12

    11[(x2+1)38]dx= 1

    2

    11(x6+3x4+3x27)dx= 184

    35.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 145 / 168

  • O teorema do divergente

    Exemplo 45

    Determine o fluxo do campo vetorial~F(x,y,z) = z~i+ x~j+ y~k atravs do cilindrox2+ y2 = 1, limitado pelos planos z= 0 e z= 1.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 146 / 168

  • O teorema do divergenteExemplo 45Determine o fluxo do campo vetorial~F(x,y,z) = z~i+ x~j+ y~k atravs do cilindrox2+ y2 = 1, limitado pelos planos z= 0 e z= 1.

    Soluo

    Note que ~F = 0, de forma que o fluxo de~F atravs do cilindro dado porS~F ~ndS=

    E

    div~FdV =

    E0dV = 0.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 147 / 168

  • O teorema de Stokes

    Veremos agora uma generalizao do teorema de Green.

    Curva fronteira de uma superfcie orientada

    Seja S uma superfcie orientada positivamente. Uma curva C que delimita asbordas de S chamada de curva fronteira. A curva fronteira tem orientaopositiva se ao deslizarmos o dedo indicador a longo de C, o polegar apontarna mesma direo do vetor~n de S. Do contrrio, C tem oritentao negativa.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 148 / 168

  • O teorema de Stokes

    Teorema de Stokes

    Seja S uma superfcie orientada, lisa por partes, cuja fronteira formada poruma curva C fechada, simples, lisa por partes, com orientao positiva. Seja~Fum campo vetorial cujas componentes tm derivadas parciais contnuas emuma regio aberta do R3 que contm S. Ento

    C~F d~r =

    S

    rot~F d~S.

    Note que se~F = P~i+Q~j, ento rot~F =(Qx Py

    )~k, e que d~S=~kdxdy. Assim

    CPdx+Qdy=

    D

    (Qx Py

    )dxdy,

    que o teorema de Green.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 149 / 168

  • O teorema de Stokes

    Exemplo 46

    CalculeC~F d~r, onde~F(x,y,z) =y2~i+ x~j+ z2~k e C a curva da

    interseco do plano y+ z= 2 com o cilindro x2+ y2 = 1.

    Ver figura

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 150 / 168

  • O teorema de Stokes

    Exemplo 46

    CalculeC~F d~r, onde~F(x,y,z) =y2~i+ x~j+ z2~k e C a curva da

    interseco do plano y+ z= 2 com o cilindro x2+ y2 = 1.

    Soluo

    Note que

    ~F =

    ~i ~j ~kx

    y

    z

    y2 x z2

    = (1+2y)~k.Assim

    C~F d~r =

    S

    rot~F d~S=

    D(1+2y)dxdy

    = 2pi0

    10[1+2r sin()]rdrd=

    2pi0

    [12+23sin()

    ]d= pi.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 151 / 168

  • O teorema de Stokes

    Exemplo 47

    Use o teorema de Stokes para calcular

    S rot~F d~S, onde~F(x,y,z) = xz~i+ yz~j+ xy~k e~S a parte da esfera x2+ y2+ z2 = 4 que estdentro do cilindro x2+ y2 = 1 e acima do plano xy.

    Ver figura

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 152 / 168

  • O teorema de Stokes

    Exemplo 47

    Use o teorema de Stokes para calcular

    S rot~F d~S, onde~F(x,y,z) = xz~i+ yz~j+ xy~k e~S a parte da esfera x2+ y2+ z2 = 4 que estdentro do cilindro x2+ y2 = 1 e acima do plano xy.

    Soluo

    A curva fronteira C obtida pela interseco de x2+ y2+ z2 = 4 comx2+ y2 = 1, isto , uma circunferncia unitria no plano z=

    3. Assim temos

    que~r(t) = cos(t)~i+ sin(t)~j+3~k. Logo~r(t) =sin(t)~i+ cos(t)~j e

    ~F(~r(t)) =3cos(t)~i+

    3sin(t)~j+ cos(t)sin(t)~k. De forma que

    Srot~F d~S=

    C~F d~r

    = 2pi0

    [3cos(t)sin(t)+

    3cos(t)sin(t)]dt = 0.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 153 / 168

  • O teorema de Stokes

    Exemplo 48

    Use o teorema de Stokes para calcularC~F d~r, onde

    ~F(x,y,z) = z2~i+ y2~j+ x~k e C o triangulo com vrteces (1,0,0), (0,1,0) e(0,0,1) no sentido antihorrio.

    Ver figura

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 154 / 168

  • O teorema de Stokes

    Exemplo 48

    Use o teorema de Stokes para calcularC~F d~r, onde

    ~F(x,y,z) = z2~i+ y2~j+ x~k e C o triangulo com vrteces (1,0,0), (0,1,0) e(0,0,1) no sentido antihorrio.

    Soluo

    Note que o plano que liga os vrtices do triangulo dada por z= 1 x y.Assim

    ~F =

    ~i ~j ~kx

    y

    z

    z2 y2 x

    = (2z1)~j.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 155 / 168

  • O teorema de Stokes

    Exemplo 48 continuao

    Note ainda que ~G= ~F = (2z1)~j, assimC~F d~r =

    S

    rot~F d~S

    =

    S~G d~S=

    D

    [Pg

    xQg

    y+R]dxdy

    =

    S(2z1)dxdy=

    10

    1x0

    (12x2y)dydx

    = 10(x2 x)dx=1

    6.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 156 / 168

  • Clculo vetorial

    Campo vetorial~F(x,y) =y~i+ x~j

    Voltar

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 157 / 168

  • Clculo vetorial

    Campo vetorial f (x,y) = 2x~i+2y~j

    Voltar

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 158 / 168

  • Integrais de linha

    Semicrculo unitrio x2+ y2 = 1

    Voltar

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 159 / 168

  • Integrais de linha

    Caminho C como a unio de C1 e C2

    Voltar

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 160 / 168

  • Integrais de linha

    Hlice x= cos(t), y= sin(t) e z= t

    Voltar

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 161 / 168

  • Integrais de linha

    Campo vetorial~F(x,y,z) = x2~i xy~j

    Voltar

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 162 / 168

  • Integrais de linha

    Caminhos de integrao C1 e C2

    Voltar

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 163 / 168

  • Integrais de linha

    Caminhos de integrao C1 e C2

    Voltar

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 164 / 168

  • Teorema de Green

    Caminho de integrao triangular

    Voltar

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 165 / 168

  • Teorema de Green

    Curva fronteira

    Voltar

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 166 / 168

  • Teorema de Green

    Curva fronteira

    Voltar

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 167 / 168

  • Teorema de Green

    Curva fronteira

    Voltar

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 168 / 168