Calculo vetorial

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  • Clculo vetorial - Sees 16.1-9

    Clculo II - ECT 1202

    Escola de Cincias e TecnologiaUniversidade Federal do Rio Grande do Norte

    Maio 2011

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 1 / 168

  • Campos Vetoriais

    At agora estudamos funes que associam um nmero a um vetor (funesvetoriais) e funes que associam um vetor a um nmero (funes de duas eou mais variveis). A seguir estudaremos outro tipo funo.

    Campos vetoriais

    Seja D um subconjunto do R2. Um campo vetorial em R2 uma funo~F queassocia a cada ponto (x,y) em D um vetor bidimensional~F(x,y).

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 2 / 168

  • Campos Vetoriais

    Campos vetoriais

    Como~F(x,y) um vetor bidimensional, podemos escrev-lo em termos desuas funes componentes P e Q, da seguinte forma:

    ~F(x,y) = P(x,y)~i+Q(x,y)~j= P(x,y),Q(x,y).

    As componentes P(x,y) e Q(x,y) so funes (de duas variveis) queassociam cada ponto (x,y) D um nmero real. Funes desse tipo sochamadas de campos escalares. Como no caso das funes vetoriais,podemos definir a continuidade dos campos vetoriais e mostrar que~F sercontnua se e somente se suas funes componentes forem contnuas.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 3 / 168

  • Campos Vetoriais

    Exemplo 1

    Um campo vetorial em R2 definido por~F(x,y) =y~i+ x~j. Faa um esboode~F.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 4 / 168

  • Campos Vetoriais

    Exemplo 1

    Um campo vetorial em R2 definido por~F(x,y) =y~i+ x~j. Faa um esboode~F.

    Soluo

    Inicialmanete marcamos~F nos vetores unitrios~i e~j. Em seguida, seja~r = x,y o vetor posio em relao a origem do plano cartesiano. Note que:

    ~F(x,y)=x2+ y2 = ~r.

    Note ainda que:

    ~r ~F(x,y) = y,x x,y= 0.Logo~F e~r so ortogonais.

    Ver figura

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 5 / 168

  • Campos Vetoriais

    Podemos tambm definir um campo vetorial no espao da seguinte maneira.

    Campos vetoriais

    Seja E um subconjunto do R3. Um campo vetorial em R3 uma funo~F queassocia a cada ponto (x,y,z) em E um vetor tridimensional~F, de componentesP(x,y,z), Q(x,y,z) e R(x,y,z):

    ~F(x,y,z) = P(x,y,z)~i+Q(x,y,z)~j+R(x,y,z)~k.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 6 / 168

  • Campos Vetoriais

    Exemplo 2

    Esboce o campo vetorial em R3 dado por~F(x,y,z) = z~k.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 7 / 168

  • Campos Vetoriais

    Exemplo 2

    Esboce o campo vetorial em R3 dado por~F(x,y,z) = z~k.

    Soluo

    Note que ~F(x,y,z)=z. Se z> 0 o vetor~F(x,y,z) aponta na direo de zcrescente, e se z< 0 na direo inversa. Para z= 0, isto , no plano xy~F(x,y,z) o vetor nulo.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 8 / 168

  • Campos Vetoriais

    Campos Vetoriais

    Se f (x,y,z) um campo escalar, podemos obter um campo vetorial a partir dogradiente aplicado a f :

    f (x,y,z) = fx(x,y,z)~i+ fy(x,y,z)~j+ fz(x,y,z)~k.

    O campo vetorial assim obtido chamado de campo vetorial gradiente. Nocaso de um campo escalar g(x,y), aplicando o operador gradiente a g,obtemos um campo vetorial gradiente bidimensional:

    g(x,y) = gx(x,y)~i+gy(x,y)~j.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 9 / 168

  • Campos Vetoriais

    Exemplo 3

    Determine o campo vetorial gradiente de f (x,y) = x2+ y2, e esboce o campo.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 10 / 168

  • Campos Vetoriais

    Exemplo 3

    Determine o campo vetorial gradiente de f (x,y) = x2+ y2, e esboce o campo.

    Soluo

    Note que f (x,y) dado por:

    f (x,y) = 2x~i+2y~j= 2~r.

    Repare ainda que f (x,y) paralelo ao vetor posio, e tem mdulo duasvezes maior que~r.

    Ver figura

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 11 / 168

  • Campos Vetoriais

    Campo vetorial conservativo

    Dizemos que~F(x,y,z) um campo vetorial conservativo se existir um campoescalar f (x,y,z) (chamada de funo potencial) tal que:

    ~F(x,y,z) = f (x,y,z).

    A equao acima nos fornece um mtodo para determinar a funo potencialf . Note que:

    fx(x,y,z) = P(x,y,z),

    fy(x,y,z) = Q(x,y,z),

    fz(x,y,z) = R(x,y,z).

    Assim para determinar a funo potencial, basta resolver o sistema deequaes diferenciais acima.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 12 / 168

  • Campos VetoriaisExemplo 4

    Determine a funo potencial para cada um dos seguintes campos vetoriaisconservativos.

    (a) ~F(x,y) = 2x~i+2y~j,

    (b) ~F(x,y,z) = 2xx2+y2+z2 , 2yx2+y2+z2 , 2zx2+y2+z2 .

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 13 / 168

  • Campos Vetoriais

    Exemplo 4

    Determine a funo potencial para cada um dos seguintes campos vetoriaisconservativos.

    (a) ~F(x,y) = 2x~i+2y~j,

    Soluo

    Note que fx(x,y) = 2x e fy(x,y) = 2y. Integrando a primeira equao emrelao a x temos:

    f (x,y) =2xdx+g(y) = x2+g(y).

    Derivando a relao acima em relao a y temos que:

    g(y) = 2y = g(y) = y2+ c.Logo a funo potencial f (x,y) = x2+ y2+ c.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 14 / 168

  • Campos Vetoriais

    Exemplo 4 continuao

    (b) ~F(x,y,z) = 2xx2+y2+z2 , 2yx2+y2+z2 , 2zx2+y2+z2 .Note que fx = 2xx2+y2+z2 , fy =

    2yx2+y2+z2 e fz =

    2zx2+y2+z2 . Integrando a

    primeira equao em relao a x temos:

    f (x,y,z) = 2x

    x2+ y2+ z2dx+g(y,z) = ln(x2+ y2+ z2)+g(y,z).

    Derivando a relao acima em relao a y temos que:2y

    x2+ y2+ z2+g(y,z)y

    =2y

    x2+ y2+ z2= g(y,z) = h(z).

    Assim ficamos com f (x,y,z) = ln(x2+ y2+ z2)+h(z). Derivando essaequao em relao a z temos:

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 15 / 168

  • Campos Vetoriais

    Exemplo 4 continuao

    Derivando essa equao em relao a z temos:

    2zx2+ y2+ z2

    +h(z) =2z

    x2+ y2+ z2= h(z) = c.

    Logo a funo potencial para~F(x,y,z) = 2xx2+y2+z2 , 2yx2+y2+z2 , 2zx2+y2+z2 :

    f (x,y,z) = ln(x2+ y2+ z2)+ c.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 16 / 168

  • Integrais de linha

    J aprendemos como calcular a integral de uma funo z= f (x,y) sob umaregio plana D. Veremos agora como calcular a integral de uma funo deduas ou mais variveis ao longo de uma curva.

    Integral de linha no plano

    Seja f (x,y) uma funo definida em uma regio plana D. Seja ainda~r(t) = x(t),y(t) uma curva C suave em D, i.e.~r(t) 6=~0, definida no intervaloI = [a,b]. Para cada ti [ti, ti+1] I podemos associar a seguinte soma deRiemann:

    n

    i=1

    f (xi ,yi )si,

    onde xi = x(ti ), yi = y(ti ) e si o arco que liga o ponto Pi = (xi,yi) aoponto Pi+1 = (xi+1,yi+1).

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 17 / 168

  • Integrais de linha

    Integral de linha no plano

    No limite quando o nmero de subdivises n do intervalo I, temos:

    limn

    n

    i=1

    f (xi ,yi )si =

    Cf (x,y)ds.

    Se o limite acima existir, chamamos o resultado de integral de linha de f (x,y)ao longo de C em relao ao comprimento de arco.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 18 / 168

  • Integrais de linha

    Integral de linha no plano

    Podemos reescrever a integral de linha notando que x= x(t), y= y(t) e que

    ds=

    (dxdt

    )2+

    (dydt

    )2dt.

    De forma que:

    Cf (x,y)ds=

    baf (x(t),y(t))

    (dxdt

    )2+

    (dydt

    )2dt.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 19 / 168

  • Integrais de linha

    Exemplo 5

    CalculeC(2+ x

    2y)ds, onde C a metade superior do ccurlo unitriox2+ y2 = 1.

    Ver figura

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 20 / 168

  • Integrais de linha

    Exemplo 5

    CalculeC(2+ x

    2y)ds, onde C a metade superior do ccurlo unitriox2+ y2 = 1.

    Soluo

    A parametrizao do semicrculo :x= cos(t), y= sin(t) com 0 t pi.

    O elemento de arco ds fica:

    ds=cos2(t)+ sin2(t)dt = dt.

    Assim: C(2+ x2y)ds=

    pi0[2+ cos2(t)sin(t)]dt

    = 2pi[cos3(t)

    3

    ]pi0= 2pi+

    23.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 21 / 168

  • Integrais de linha

    Integral de linha no plano

    Suponha que a curva C seja suave (ou lisa) por partes, i.e., C a unio de umnmero finito de curvas suaves C1, C2, . . . ,Cn, como na figura abixo.

    Neste caso a integral de linha ao logo de C dada por:Cf (x,y)ds=

    C1f (x,y)ds+

    C2f (x,y)ds+ +

    Cnf (x,y)ds.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 22 / 168

  • Integrais de linha

    Exemplo 6

    CalculeC 2xds, onde C formada pelo arco C1 da parbola y= x

    2 de (0,0) a(1,1) seguido pelo segmento de reta vertical C2 de (1,1) a (1,2).

    Ver figura

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 23 / 168

  • Clculo vetorial

    Exemplo 6

    CalculeC 2xds, onde C formada pelo arco C1 da parbola y= x

    2 de (0,0) a(1,1) seguido pelo segmento de reta vertical C2 de (1,1) a (1,2).

    Soluo

    Para o caminho C1 tem-se que x= x, y= x2 com 0 x 1 e ds=1+4x2dx:

    C12xds=

    102x1+4x2dx=

    14

    [23(1+4x2)3/2

    ]10=

    5516

    .

    Para o caminho C2 tem-se que x= 1, y= y com 1 y 2 e ds= dy:C22xds=

    102(1)dy= 2[y]21 = 2.

    Ento, C2xds=

    C12xds+

    C22xds=

    5516

    +2.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 24 / 168

  • Integrais de linha

    Integral de linha no espao

    Seja C uma curva espacial lisa dada pelas seguintes equaes paramtricas:

    x= x(t), y= y(t), z= z(t) com a t b.A integral de linha de uma funo f (x,y,z) ao longo de C dada por:

    Cf (x,y,z)ds=

    baf (x(t),y(t),z(t))

    (dxdt

    )2+

    (dydt

    )2+

    (dzdt

    )2dt,

    ou em notao vetorial:

    Cf (x,y,z)ds=

    baf (~r(t))~r(t)dt.

    Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 25 / 168

  • Integrais de linha

    Ex