Cálculo Vetorial - Apostila Christian.pdf

Grupo de Ensino e Pesquisa em Educação Matemática

Notas de Aula No5

.5

Christian Q. Pinedo

5

ii Cálculo Vetorial e Séries

A meus pais

Noemi e Em memória: Christian .

iii

iv Cálculo Vetorial e Séries

Título do original

Cálculo Vetorial e Séries

Julho de 2010

Direitos exclusivos para língua portuguesa:

UFT - CAMPUS DE PALMAS

Coordenação de Engenharia Civil/Elétrica

512.8

Pinedo. Christian Quintana, 1954 -

Cálculo Vetorial e Séries / Christian José Quintana Pinedo : Universidade

Federal do Tocantins. Campus de Palmas, Curso de Engenharia Civil/Elétrica,

2010.

250 p. il. 297mm

I. Cálculo Vetorial e Séries. Christian Q. Pinedo. II. Série. III. Título

CDD 512.8 ed. CDU

SUMÁRIO

PREFÁCIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

1 INTEGRAÇÃO MÚLTIPLA 1

1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Integrais duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Principais propriedades da integral dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Regras de cálculo das integrais duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4.1 Integrais duplas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Exercícios 1-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5 Cálculo de áreas e volumes com integração dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6 Mudança de variável em integrais duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6.1 Jacobiano de uma função de n variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.7 Integrais duplas en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.7.1 Integrais iteradas em coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Exercícios 1-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.8 Aplicações da integral dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.8.1 Valor promédio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.8.2 Centro de massa de uma lâmina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.8.3 Momentos de inércia de uma lâmina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.8.4 Área de uma superfície . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Exercícios 1-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.9 Integrais triplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.9.1 Integrais triplas mediante integrais iteradas . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.9.2 Volumes mediante integrais triplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.9.3 Integrais triplas em coordenadas cilíndricas e esféricas . . . . . . . . . . . 39

1.10 Centro de massa e momentos de inércia de um sólido . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Exercícios 1-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2 INTEGRAL DE LINHA 47

2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.2 Curvas regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.3 Integral de linha de uma função escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.4 Aplicações da integral de linha de funções escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

v

vi Cálculo Vetorial e Séries

Exercícios 2-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.5 Campos vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.5.1 Gradiente. Divergente. Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.6 Integral de linha de um campo vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.6.1 Trajetórias opostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.7 Propriedades Fundamentais da integral de linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.8 Integral de linha de um campo vetorial conservativo . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.9 Aplicações da integral de linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

2.10 Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Exercícios 2-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3 INTEGRAL DE SUPERFÍCIE 91

3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.2 Superfície . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.2.1 Plano tangente. Vetor normal a uma superfície . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.2.2 Existência da integral de superfície . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Exercícios 4-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.3 Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3.4 Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Exercícios 4-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4 SEQÜÊNCIAS DE NÚMEROS REAIS 109

4.1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.2 SEQÜÊNCIA DE NÚMEROS REAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.2.1 Classificação: Limitação e Monotonia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.2.2 Subseqüências. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Exercícios 4-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.3 LIMITE DE SEQÜENCIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.3.1 Limite de uma seqüência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.3.2 Propriedades do limite de seqüência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

4.3.3 Seqüência de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.3.4 Espaço métrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Exercícios 4-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

4.4 SEQÜÊNCIAS CONVERGENTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

4.4.1 Propriedades Fundamentais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

4.4.2 Critérios de Convergência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

4.4.3 Consequência da Propriedade (4.18). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

4.4.4 Teorema de Bolzano - Weirstrass. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

Exercícios 1-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

Miscelânea 1-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

Christian José Quintana Pinedo vii

5 SÉRIES DE NÚMEROS REAIS 155

5.1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

5.2 SOMATÓRIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

Exercícios 2-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

5.3 SÉRIES DE NÚMEROS REAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

5.3.1 Série geométrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

5.3.2 Série harmônica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

5.3.3 Série p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

5.3.4 Critério do n-ésimo termo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

5.3.5 Condição de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

5.3.6 Propriedade de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

Exercícios 5-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

5.4 SÉRIE DE TERMOS POSITIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

5.4.1 Critério de comparação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

5.4.2 Critério de integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

5.4.3 Critério de comparação no limite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

5.4.4 Critério de Raabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

Exercícios 5-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

5.5 SÉRIE ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

5.5.1 Condicionalmente convergente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

5.5.2 Critério de comparação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

5.5.3 Critério D’Alembert’s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

5.5.4 Critério de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

Exercícios 2-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

5.6 SÉRIES ALTERNADAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

5.6.1 Critério de Leibnitz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

5.6.2 Sumário dos Critérios para Séries de Números. . . . . . . . . . . . . . . . 206

Exercícios 2-5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

APÊNDICE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

História do cálculo.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

viii Cálculo Vetorial e Séries

PREFÁCIO

Prosseguindo o nosso objetivo o qual é apresentar um bom material de estudo para suprir a

carência de material adequado ao Cálculo Espacial para nossos leitores, apresentamos esta versão

do livro Cálculo Vetorial e Séries Numéricas.

A finalidade deste trabalho é orientar a metodologia para que o leitor possa identificar e

construir um modelo matemático e logo resolvê-lo.

A ordem de apresentação dos temas desenvolvidos, é somente com o desejo de que os leitores

sejam os beneficiados em lograr maior entendimento do Cálculo Integral de funções de varias

variáveis com valores reais.e estudo das Séries com números reais.

Os estudantes, e professores e leitores em geral vinculados com o estudo da matemática

avançada, espero encontrem nesta obra temas para a preparação de suas aulas, assim como para

a aplicação de testes de avaliação.

Cada capítulo se inicia com os objetivos que se pretende alcançar; os exercícios apresentados

em quantidade suficiente, estão classificados de menor a maior dificuldade. No capítulo 1 o estudo

de integrais múltiplas e suas aplicações no cálculo de áreas e volumes, assim como também na

aplicação na busca do valor promédio, centros de massa, momentos de inércia, e cálculo de

superfície. Quando necessário se faz uso para os cálculos das integrais mudanças de variáveis a

coordenadas polares, cilíndricas, esféricas e outras.

O capítulo 2 esta reservado para o estudo dos campos vetoriais, das integrais de linha, o

teorema de Green e suas aplicações diversas, assim como a relação importante entre integral de

linha e integral dupla

No capítulo 3 se apresenta o estudo da integral se superfície, os teoremas de Stokes e o de

ix

x Cálculo Vetorial e Séries

Gauss assim como suas aplicações.

Os dois últimos capítulos abordam temas das seqüências e series de números reais respecti-

vamente.

Este livro terá melhor entendimento desde que seja estudado o livro “Integração e Funções

de várias Variáveis” do mesmo autor, pois as notações, enfoque e abordagem dos temas segue a

mesma linha do pensamento.

Fico profundamente grato pela acolhida desde trabalho e pelas contribuições e sugestões dos

leitores.

Christian Quintana Pinedo.

Palmas - TO, julho de 2010

“A Matemática é a honra do espírito humano”

Leibniz

Capítulo 1

INTEGRAÇÃO MÚLTIPLA

C. Jacob

Carl Gustavo Jacob Jacobi nasceu em Postdam, Prússia, Ale-manha, em 10 de dezembro de 1804. O primeiro mestre de Carl foium dos seus tios maternos, quem ensino a ele os idiomas clássicos ematemática, preparando-lo para ingressar ao Instituto de Postdam em1816 ainda com 12 anos.

Desde muito cedo Jacobi deu provar de ter uma "inteligência bril-hante"segundo declarou o diretor do Instituto quando Jacobi se formouem 1821 para logo ingressar á Universidade de Berlin e se doutorar em1825. Em 1827 era indicado para professor extraordinário de Konigs-berg ficando como professor permanente em 1829.

Como Gauss, Jacobi poderia lograr uma grão reputação em filolo-gia, se não for atraído pela matemática. Havendo observado em Jacobque tinha gênio matemático, o professor Heinrich Bauer deixou Jacobi

trabalhar do jeito que queria, pois Jacob tinha se revelado a aprender a matemática de memória, ele diziaque seguia regras.

O desenvolvimento matemático de Jacob oferece em certos aspetos um curioso paralelo com o seurival H. Abel, também Jacob estudo muito as obras de L. Euler e J. Lagrange que aprendeu álgebra ecálculo conhecendo bem a teoria dos números.

Esta auto-instrução iria a dar a Jacob forças para escrever sua primeira obra sobre funções elípticas,Euler, o mestre dos recursos engenhosos, achou em Jacob seu brilhante sucessor sua inspiração foi muitomais formalista que rigorista .

Jacob e Abel de modo independente e simultâneo lançaram as bases da teoria das funções elípticas,tendo Jacob introduzido o que hoje constitui a notação para elas.

Jacob ao lado de Cauchy foram os matemáticos que mais contribuíram para a teoria dos determi-nantes. Fui com ele que a palavra determinante recebeu aceitação final. Desde logo usou o determinantefuncional que posteriormente Sylvéster iria a chamar de Jacobiano.

Jacob também contribuiu para a teoria dos números, para a teoria das equações diferenciais ordináriase parciais, para o calculo das variações e outros problemas da dinâmica.

Em 1842 renuncia a sua cadeira em Konigsberg e com uma pensão do governo da Prússia viveu atesua morte em 1851.

1

2 Cálculo Vetorial e Séries

1.1 Introdução

Na tentativa de resolver o problema de determinar áreas, chegamos à definição de integral

definida. Vamos aplicar procedimento semelhante para calcular o volume de um sólido e, no

processo, chegar à definição de integral dupla.

1.2 Integrais duplas

Definição 1.1.

Uma função f : D ⊆ R2 −→ R com domínio D dizemos que é limitada (acotada) em D se

existem r, s ∈ R tais que r ≤ f(x, y) ≤ s, ∀ (x, y) ∈ D

Seja f : D ⊆ R2 −→ R uma função limitada no conjunto fechado D, e f(x, y) > 0 ∀(x, y) ∈D.

Tracemos retas paralelas aos eixos coordenados como indica a Figura (1.2), e suponhamos

que r1, r2, r3, · · · , rn sejam retângulos que cubram a região D (uma cobertura de D).

Figura 1.1:

Definição 1.2. Partição de um conjunto.

O conjunto P = { r1, r2, r3, · · · , rn } constitui uma partição da região fechada D.

Definição 1.3. Norma de uma partição.

A norma da partição P denotada ‖P‖ por definição é o comprimento da diagonal maior de

todos os retângulos ri contidos em P.

Seja A(ri) = 4ix4iy a área do i-ésimo retângulo ri ∈ P, e seja (xi, yi) um ponto arbitrário

escolhido noi-ésimo retângulo ri.

A soma de Riemann da função f : D ⊆ R2 −→ R associada à partição P é

m∑

i=1

f(xi, yi)A(ri) =

m∑

i=1

f(xi, yi)4ix4iy

onde f(xi, yi) é a imagem da função para o ponto (xi, yi) ∈ ri, i = 1, 2, 3, · · · , n.

Geometricamente, a soma de Riemann representa o volume do sólido embaixo da superfície

z = f(x, y) como indica a Figura (1.2).

Christian José Quintana Pinedo 3

Figura 1.2:

Definição 1.4.

Seja f : D ⊆ R2 −→ R uma função limitada na região fechada D. Um número L é o limite

da soma de Riemannn∑

i=1

f(xi, yi)A(ri) , se ∀ ε > 0, existe δ > 0 tal que

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

f(xi, yi)4ix4iy − L

∣∣∣∣∣< ε

para toda partição P com ||P|| < δ e toda eleição do ponto (xi, yi) ∈ ri, i = 1, 2, 3, · · · , n.

Por equivalência esta definição podemos expressar como

L = lim||P ||→0

n∑

i=1

f(xi, yi)A(ri)

Caso exista o número L, sempre é único.

Em coordenadas cartesianas a integral dupla escreve-se na forma∫

D

∫

f(x, y)dA.

Definição 1.5.

Uma função limitada f : D ⊆ R2 −→ R é integrável sobre a região fechada D, e se escreve

∫

D

∫

f(x, y)dA = lim||P ||→0

n∑

i=1

f(xi, yi)A(ri)

Se f : D ⊆ R2 −→ R é uma função integrável na região fechada D, e f(x, y) > 0, ∀ (x, y) ∈D então a integral dupla

∫

D

∫

f(x, y)dA é igual ao volume do corpo cilíndrico limitado na parte

superior pela superfície z = f(x, y), nas laterais pela superfície cilíndrica cujas geratrizes são

paralelas ao eixo-oz e na parte inferior pelo plano-xy.

Propriedade 1.1.

Se uma função f : D ⊆ R2 −→ R é contínua na região fechada D, então f é integrável.

A demonstração desta propriedade é exercício para o leitor.


1.3 Principais propriedades da integral dupla

Se a função f(x, y) é contínua na região fechada D, o limite da soma integral existe e não

depende do procedimento da divisão da região D em regiões elementares e da seleção dos pontos

em P .

Suponhamos f : D ⊆ R2 −→ R uma função integrável na região fechada D, e seja C uma

constante, então C.f é integrável e:

1. Homogeneidade:∫

D

∫

C · f(x, y)dA = C ·∫

D

∫

f(x, y)dA.

2. Linearidade:∫

D

∫

[f(x, y) + g(x, y)]dA =

∫

D

∫

f(x, y)dA+

∫

D

∫

g(x, y)dA.

3. Linearidade: Se f(x, y) = f1(x, y) + f2(x, y) + f3(x, y) + · · · + fn(x, y), então

∫

D

∫

f(x, y)dA =

∫

D

∫

f1(x, y)dA+

∫

D

∫

f2(x, y)dA+

∫

D

∫

f3(x, y)dA+· · ·+∫

D

∫

fn(x, y)dA

4. Aditividade: Se D = D1 ∪D2 ∪D3 + · · · ∪Dn tais que Di ∩Dj = ∅ se i 6= j e f(x, y) é

integrável sobre cada uma das regiões, então

∫

D

∫

f(x, y)dA =

∫

D1

∫

f(x, y)dA+

∫

D2

∫

f(x, y)dA+

∫

D3

∫

f(x, y)dA+· · ·+∫

Dn

∫

f(x, y)dA

5. Se g(x, y) é integrável em D, tal que g(x, y) ≤ f(x, y), ∀ (x, y) ∈ D, então

∫

D

∫

g(x, y)dA ≤∫

D

∫

f(x, y)dA

6. Se m ≤ f(x, y) ≤M, ∀ (x, y) ∈ D então para A(D) área da região D, tem-se:

m.A(D) ≤∫

D

∫

f(x, y)dA ≤M.A(D)

7. Sendo f(x, y) integrável em D, ela pode ser descontínua num número finito de pontos em

D com “medida” nula. Suponhamos que f(x, y) seja contínua em D, logo existirá um

(x0, y0) ∈ D tal que:∫

D

∫

f(x, y)dA = f(x0, y0)

∫

D

∫

dA

8. Da média: Se m ≤ f(x, y) ≤ M, ∀ (x, y) ∈ D, e g(x, y) conservar seu sinal em D, então

para certo (x0, y0) ∈ D tem-se

∫

D

∫

f(x, y)g(x, y)dA = f(x0, y0)

∫

D

∫

g(x, y)dA


9. Em geral;

∣∣∣∣∣∣

∫

D

∫

f(x, y)dA

∣∣∣∣∣∣

≤∫

D

∫

|f(x, y)|dA

Todas estas propriedades se demonstram como seus similares para funções de uma variável.

Propriedade 1.2. Darboux.

Toda função limitada f(x, y) é integrável por falta ou por excesso num domínio finito1.


Exemplo 1.1.

Determine m e M da propriedade acima descrita para a seguinte integral:

∫

D

∫

(x2 + y2)dA

onde D está limitada pelas retas x = −2, x = 3, y = x+ 2, y = −2.

Solução.

Observe que D = { (x, y) /. − 2 ≤ x ≤ 3, −2 ≤ y ≤ x+ 2 } e f(x, y) = x2 + y2.

Aplicando critérios de máximos e mínimos absolutos para funções de várias variáveis tem-se

que m = f(0, 0) = 0 é mínimo absoluto, e M = f(3, 5) = 34 = M é máximo absoluto de f na

restrição D. A área do trapézio D é A(D) = 22, 5.

Portanto, 0 ≤∫

D

∫

(x2 + y2)dA ≤ 34(22, 5)

Exemplo 1.2.

Idem ao exercício anterior para a integral∫

D

∫1

x2 + y2 + 1)dA, onde D é a região limitada

pela fronteira da elipse 4x2 + 9y2 = 36.

Solução.

Tem-se que D = { (x, y) /. − 1

3

√36 − 4x2 ≤ y ≤ 1

3

√36 − 4x2 }

Como f(x, y) =1

x2 + y2 + 1então de 1 ≤ 1+x2 +y2 segue que f(x, y) ≤ 1, assim o máximo

absoluto acontece em (0, 0) e f(0, 0) = 1 = M .

O valor de mínimo absoluto acontece em (0, 3) e f(0, 3) =1

3= m. Por outro lado, sabemos

que a área de qualquer elipse da forma b2x2 + a2y2 = a2b2 é πab, assim A(D) = (2)(3)π = 6π.

Portanto,6π

10≤∫

D

∫dA

x2 + y2 + 1≤ 6π.

Em geral, uma integral dupla equivale a duas integrações simples sucessivas, uma em relação

a cada variável.

Teorema 1.1. do Valor médio.

1Dizemos que um domínio D ⊂ Rn é finito, se D for limitado.


Suponhamos que f : D ⊂ R2 −→ R seja contínua em D, então existe (x0, y0) ∈ D onde

∫

D

∫

f(x, y)dA = f(x0, y0)

∫

D

∫

1.dA = f(x0, y0)A(D)

onde A(D) é a área da região D.

Demonstrar este teorema com rigor, requer alguns resultados sobre continuidade ainda não

estudados neste livro, porém podemos esboçar algumas idéias.

Como f é contínua em D, então existe um valor de máximo M e um valor de mínimo m para

f em D, isto é m ≤ f(x, y) ≤M, ∀ (x, y) ∈ D. Logo

∫

D

∫

mdA ≤∫

D

∫

f(x, y)dA ≤M

∫

D

∫

MdA ⇒ m ≤ 1

A(D)

∫

D

∫

f(x, y)dA ≤M

Como f é função definida em D e toma todos seus valores entre o mínimo m e o máximo M 2

então existe (x0, y0) ∈ D tal que f(x0, y0) =1

A(D)

∫

D

∫

f(x, y)dA

1.4 Regras de cálculo das integrais duplas

Até o momento foi vista a integrabilidade de uma grande variedade de funções. ainda não

foi estabelecida rigorosamente um método geral para calcular tais integrais. No caso de uma

variável, evitamos ter que calcular

b∫

a

f(x)dx a partir de sua definição como limite de uma soma,

mediante o uso do teorema fundamental do cálculo integral.

Lembre que este importante teorema diz que se f é contínua em [a, b] então

b∫

a

f(x)dx = F (b) − F (a)

onde F é uma antiderivada de f . isto é F ′(x) = f(x).

Esta técnica em geral não é válida para funções de várias variáveis.

No plano-xy distingue-se três tipos principais de regiões da integração.

1. Seja F : D ⊂ R2 −→ R uma função contínua sobre o retângulo D, onde

D = { (x, y) ∈ R2 /. a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d }

Fixando a variável y em [c, d], a função F depende só da variável x, logo F (x, y) é função

2Este é o teorema do valor intermédio.


de uma variável contínua em [a, b]. Logo está bem definido

A(y) =

b∫

a

F (x, y)dx, c ≤ y ≤ d

é a área da região de interseção do plano Y = y com o sólido (Figura (1.3)).

Pelo método de área de seções planas o volume do sólido é

V =

d∫

c

A(y)dy =

d∫

c

(b∫

a

F (x, y)dx)

dy (1.1)

Figura 1.3: Figura 1.4:

de modo análogo, fixando a variável x tem-se que F (x, y) é função contínua de variável y

em [a, b]. Assim, está bem definido

A(x) =

d∫

c

F (x, y)dy, a ≤ x ≤ b

é a área da região de interseção do plano X = x com o sólido (Figura (1.4)).

Portanto, o volume do sólido é

V =

b∫

a

A(x)dx =

b∫

a

(d∫

c

F (x, y)dy)

dx (1.2)

2. A região de integração D está limitada pelo lado esquerdo e direito pelas retas x = a e x = b

respectivamente, na parte superior pela curva y = f(x), e na parte inferior pela curva

y = g(x) e cada uma de elas se intercepta com a reta vertical somente num ponto (Figura

(1.5).


Para uma região assim defina integral dupla é calculada pela fórmula:

∫

D

∫

F (x, y)dA =

b∫

a

f(x)∫

g(x)

F (x, y)dydx

onde primeiramente calcula-se a integral

f(x)∫

g(x)

F (x, y)dy e na qual x é considerada constante.


3. Para o caso a região integração D estivesse limitada na parte superior e inferior pelas retas

y = d e y = c , c < d e pelas linhas curvas x = g(y) e x = f(y) onde (g(y) < f(y)) cada

uma das quais se intercepta pela reta horizontal num ponto (Figura (1.6)), então

∫

D

∫

F (x, y)dA =

d∫

c

f(y)∫

g(y)

F (x, y)dxdy

onde primeiramente calcula-se a integral

f(y)∫

g(y)

F (x, y)dx e na qual y é considerada constante.

Definição 1.6.

As integrais (1.1) e (1.2) são chamadas de “integrais iteradas”de f e satisfaz:

V =

b∫

a

(d∫

c

f(x, y)dy)

dx =

b∫

a

d∫

c

f(x, y)dydx

V =

d∫

c

(b∫

a

f(x, y)dx)

dy =

d∫

c

b∫

a

f(x, y)dxdy

V =

b∫

a

d∫

c

f(x, y)dydx =

d∫

c

b∫

a

f(x, y)dxdy


Assim, num domínio retangular pode-se invertir a ordem das integrações sem qualquer

atenção aos limites de integração. E verificamos que cumpre o seguinte teorema

Teorema 1.2. de Fubini3.

Seja f uma função contínua com domínio em D = [a, b] × [c, d], então

∫

D

∫

f(x, y)dydx =

b∫

a

d∫

c

f(x, y)dydx =

d∫

c

b∫

a

f(x, y)dxdy

A demonstração é exercício para o leitor.

Exemplo 1.3.

Calcular I =

∫

D

∫

xLnydxdy onde D é o retângulo 0 ≤ x ≤ 4, 1 ≤ y ≤ e.

Solução.

Observe que:

I =

∫

D

∫

xLnydA =

e∫

1

4∫

0

xLnydx

dy = (1.3)

Para calcular

4∫

0

xLnydx tratamos y como se for constante e integramos respeito a x para

obter4∫

0

xLnydx =1

2x2Lny

∣∣∣

4

0= 8Lny

Substituindo em (1.3)

I =

∫

D

∫

xLnydA =

e∫

1

4∫

0

xLnydx

dy =

e∫

1

8Lnydy = 8(y ln y − y)∣∣∣

e

1= 8

De modo análogo, mostra-se que:

∫

D

∫

xLnydA =

4∫

0

e∫

1

xLnydydx =

4∫

0

x(yLny − y)∣∣∣

e

1dx =

x2

2(e− e+ 1)

∣∣∣

4

0= 8

Pelas regras acima descritas, numa integral dupla, a ordem das integrações podem ser inver-

tidas, mudando convenientemente os limites de integração, como mostra o seguinte exemplo.

Exemplo 1.4.

Calcular a integral

1∫

0

1∫

y

tan(x2)dxdy.

Solução.3Guido Fubini, nascido na Itália 1879 − 1943, provou um resultado bem geral sobre integral em 1907, porém

Cauchy e seus contemporaneos sabiam que se cumpria a igualdade para funções contínuas


Para o cálculo de

1∫

y

tan(x2)dx não existe fórmula de integração, de modo que devemos mudar

a ordem de integração.

Tem-se que D = { (x, y) ∈ R2 /. 0 ≤ y ≤ 1, y ≤ x ≤ 1 } então

1∫

0

1∫

y

tan(x2)dxdy =

1∫

0

x∫

0

tan(x2)dydy =

1∫

0

x · tan(x2)dx =1

2Ln(sec 1)

Exemplo 1.5.

Seja f(x, y) = x2‘ + y2 e seja D = [−1, 1] × [1, 1] calcular a integral∫

D

∫

f(x, y)dxdy.

Solução.

Pelas regras de integração

∫

D

∫

f(x, y)dxdy =

1∫

0

1∫

−1

(x2 + y2)dxdy =

1∫

0

1

3x3 + xy2

∣∣∣

1

−1dy =

=

1∫

0

(2

3+ 2y2)dy =

2

3[y + y3]

∣∣∣

1

0=

4

3⇒ I =

4

3

1.4.1 Integrais duplas generalizadas

Apresentam-se dois casos.

Primeiro caso: Quando a função F (x, y) for infinita em uma determinada “ linha” em D.

Neste caso circunda-se esta “ linha” pelas linhas paralelas bastante próximas LL1, o que

dará um novo domínio D1 no qual tem significado a integral dupla como mostra a Figura

(1.7). A integral dupla sobre D será definida agora pelo limite

∫

D

∫

F (x, y)dA = limD1→D

∫

D1

∫

F (x, y)dA (1.4)

Figura 1.7: Domínio limitado Figura 1.8: Domínio ilimitado


Todo fica simplificado, quando as paralelas LL1 forem paralelas a um dos eixos. Por exemplo

se as paralelas forem paralelas ao eixo-y, onde a ≤ x ≤ b com F (c, y) infinito, então a igualdade

(1.4) podemos escrever:

∫

D

∫

F (x, y)dA = limε→0

c−ε∫

a

f(x)∫

g(x)

F (x, y)dA+ limε→0

b∫

c+ε

f(x)∫

g(x)

F (x, y)dA

Segundo caso: Quando o domínio D for ilimitado. Neste caso poderíamos, por meio de par-

alelas a um dos eixos, ou aos dois, determinar um domínio limitado D1 (por exemplo

D1 = { (x, y) ∈ R2 /. a ≤ x ≤ c, f(x) ≤ y ≤ g(x) }) como indica a Figura (??).

Depois poderiamos afastar estas paralelas a fim de restabelecer o domínio D.

Definimos a integral dupla em D pelo limite, suposto existente

∫

D

∫

F (x, y)dA = limD′→∞

∫

D′

∫

F (x, y)dA

Quando a região de integração for D, for o primeiro quadrante do plano-xy (ou o plano

tudo) o cálculo da integral fica na forma:

∫

D

∫

F (x, y)dA = limn→∞

n∫

−n

n∫

−n

F (x, y)dxdy primeiro quadrante

∫

D

∫

F (x, y)dA = limn→∞

n∫

0

n∫

0

F (x, y)dxdy plano tudo

Exemplo 1.6.

Calcular a integral I =

∞∫

0

∞∫

x

e−y2dydx.

Solução.

Calcular de início em relação a y é impossível determinar essa integral por métodos ele-

mentares. Mudando a ordem de integração resulta

I =

∞∫

0

y∫

0

e−y2dxdy =

∞∫

0

ye−y2dy = −1

2[ limm→∞

e−m2 − 1] =

1

2

Portanto, I =

∞∫

0

∞∫

x

e−y2dydx =

1

2.

Exemplo 1.7.

Calcular∫

D

∫1

1 − x2 − y2dydx, onde D é o disco unitário x2 + y2 ≤ 1.

Solução.


Observe que D = { (x, y) ∈ R2 /. − 1 ≤ x ≤ 1, −√

1 − x2 ≤ y ≤√

1 − x2 }.Como a fronteira de D é o conjunto de pontos x2 + y2 = 1, a função a integrar não está

definida nestes pontos de fronteira. pois nestes pontos o denominador é zero.

Calculemos esta integral iterada imprópria.

1∫

−1

√1−x2∫

√1−x2

1

1 − x2 − y2dydx =

1∫

−1

[

arcsen] ∣∣∣

√1−x2

√1−x2

=

=

1∫

−1

[arcsen(1) − arcsen(−1)]dx = π

1∫

−1

1.dx = 2π

Exemplo 1.8.

Sejam f(x, y) =1

x− ye D = { (x, y) ∈ R2 /. 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x }. Calcular a

integral de f sobre D.

Solução.

Tem-se

∫

D

∫1

x− ydydx =

1∫

0

x∫

0

1

x− ydydx =

1∫

0

Ln(x− y)∣∣∣

x

0dx = −

1∫

0

[

limm→x

Ln(x−m) − Lnx]

dx

= −1∫

0

[−∞− Lnx]dx = +∞ + (xLnx− x)∣∣∣

1

0= +∞− 1 − lim

k→0(k ln k − k) = +∞− 1 + ∞

Portanto f não é integrável em D.


Exercícios 1-1

1. Calcular∫

D

∫y2

x2 + 1dydx onde a região D = { (x, y) ∈ R2 /. 0 ≤ x ≤ y ≤ 1 }.

2. Calcular as seguintes integrais:

1.

π/2∫

−π/2

cos θ∫

0

r2sen2θdrdθ 2.

2∫

1

x2∫

0

ey/xdydx 3.

4∫

3

2∫

1

dydx

(x+ y)2

4.

2π∫

0

a∫

0

y · cos2 xdydx 5.

3∫

1

x∫

x2

(x− y)dydx 6.

2∫

1

2x∫

0

xy3dydx

7.

1∫

0

1∫

0

(x− y)dydx 8.

1∫

0

y∫

y2

√

x/ydxdy 9.

1∫

0

y2∫

0

ex/ydxdy

10.

π/3∫

0

senx∫

1/2

(1 +1

√

1 − y2)dydx 11.

2∫

0

3ex2

∫

√4−x2

xdydx 12.

1∫

0

3x∫

2x

ex+ydydx

13.

3∫

−3

√9−x2∫

0

√

x2 + y2dydx 14.

√π∫

0

√π∫

y

cos(x2)dxdy 15.

π/2∫

0

y∫

−y

senxdxdy

3. Mudar a ordem de integração das seguintes integrais:

1.

1∫

−1

1−x2∫

−√

1−x2

f(x, y)dydx 2.

2∫

−6

2−x∫

x2

4−1

f(x, y)dydx 3.

e∫

1

Lnx∫

0

f(x, y)dydx

4.

1∫

0

x∫

0

f(x, y)dydx 5.

1∫

0

1+√

1−y2∫

2−y

f(x, y)dxdy 6.

1∫

0

√1−x2∫

(1−x)2

2

f(x, y)dydx

7.

π∫

0

senx∫

0

f(x, y)dydx 8.

2π∫

0

a∫

0

f(x, y)dydx 9.

2π∫

0

a∫

0

f(x, y)dydx

10.

1∫

0

y+2∫

y2

f(x, y)dxdy 11.

1∫

0

1−y∫

−√1−y 2

f(x, y)dxdy 12.

4. Dada a região D, decomponha∫

D

∫

f(x, y)dA nas duas possíveis ordens de integração.

1. D é a região limitada pelas curvas x2 − y2 = 1, 3x = 2y2.

2. D é a região que não contêm a origem e é limitada pelas curvas x2−y2 = 1, x2 +

y2 = 9.


5. Calcular as seguintes integrais pela inversão da ordem de integração.

1.

1∫

0

1∫

y

e−3x2dxdy 2.

4∫

0

2∫

√x

nseny3dydx 3.

1∫

0

arccosx∫

0

esenydydx

6. Mostrar que:

1.1

e≤ 1

4π2

π∫

−π

π∫

−π

esen(x+y)dA ≤ e 2.1

2(1 − cos 1) ≤

1∫

0

1∫

0

senx

1 + (xy)4dxdy ≤ 1

3. 1 ≤1∫

−1

1∫

−1

dxdy

x2 + y2 + 1≤ 6 4.

1

6≤∫

D

∫dA

y − x+ 3≤ 1

4

onde D é o triângulo de vértices (0, 0), (1, 1), (1, 0)

7. Calcular as integrais caso existam.

1.∫

D

∫1√xydA, onde D = { (x, y) ∈ R2 /. 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 }

2.∫

D

∫1

√

|x− y|dxdy, onde D = { (x, y) ∈ R2 /. 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 }

3.∫

D

∫y

xdxdy, onde D = { (x, y) ∈ R2 /. 0 ≤ x ≤ 1,

x

2≤ y ≤ x }

4.∫

D

∫

lnxdxdy, onde D = { (x, y) ∈ R2 /. 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ y }

8. Calcular as seguintes integrais generalizadas:

1.

∞∫

−∞

∞∫

−∞

dxdy

1 + x2 + y22.

∞∫

−∞

∞∫

−∞

dxdy3√

(1 + x2 + y2)23.

∞∫

0

∞∫

−∞

dxdy

(a2 + x2 + y2)2

4.

∞∫

−∞

∞∫

−∞

e−|x|−|y|dxdy 5.

∞∫

0

∞∫

0

(x+ y)e−(x+y)dxdy 6.

∞∫

0

∞∫

0

xye−x2−y2dxdy

Respostas: 1. (3.) 42; (4.) 1/3 ;(5.) 1/5 ; (6.) 1/2 (7.) ;(8.)3

2e4 − 25

6; (9.)

1

4e4 − 1

3e3 +

1

122. (10.) 9π; (11.) 0;


1.5 Cálculo de áreas e volumes com integração dupla

1. Se F : D ⊂ R2 −→ R é uma função contínua na região fechada D, então

V =

∫

D

∫

F (x, y)dA

é a medida do volume do sólido limitado pela fronteira de D (geratrizes paralelas respeito

algúm dos eixos de coordenadas) , pela superfície F (x, y) tendo como base a região D no

plano de coordenadas.

2. Seja S uma região fechada no plano-xy e F : S ⊂ R2 −→ R é uma função contínua tal que

F (x, y) = 1, ∀ (x, y) ∈ S, então a área da região s tem como medida

A(S) =

∫

S

∫

1 · dA

Exemplo 1.9.

Determine a área da região plana que se encontra no primeiro quadrante e está limitado pelo

círculo x2 + y2 = 18 e a parábola y2 = 3x.

Solução.

Figura 1.9:

A região D está representada na Figura (1.9) e sua área está

dada por

A(D) =

3∫

0

√18−y2∫

x3

1.dxdy =6 + 9π

4

unidades quadradas.

Exemplo 1.10.

Determinar o volume da região limitada pelo plano-xy, o

plano x+ y + z = 2, e o cilindro parabólico y = x2.

Tem-se que D = { (x, y) ∈ R2 /. − 2 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ y ≤ 2 − x }. O volume V do sólido

está limitado na base por D, nas laterais pela fronteira de D e na parte superior pelo plano

z = 2 − x− y.

V =

∫

D

∫

(2 − x− y)dA =

1∫

−2

2−x∫

x2

(2 − x− y)dydx =81

20

Exemplo 1.11.

Determine o volume V da superfície f(x, y) = xy limitada na base pelo plano-xy tendo como

geratriz a fronteira da região D = { (x, y) ∈ R2 /. (x− 2)2 + (y − 2)2 = 4 } .

Solução.


Considerando a integração primeiro em relação a y a variável x será tratada coo constante,

mas y só poderá ter a variação

2 −√

4x− x2 ≤ y ≤ 2 +√

4x− x2, 0 ≤ x ≤ 4

assim

V =

4∫

0

2+√

4x−x2∫

2−√

4x−x2

xydydx =

4∫

0

[1

2xy2

] ∣∣∣

2+√

4x−x2

2−√

4x−x2dx = 4

4∫

0

x√

4x− x2dx =

=

[4

3(x2 − x− 6)

√

4x− x2 + 16arcsenx− 2

2

] ∣∣∣

4

0= 16π

Portanto, o volume V = 16π.

1.6 Mudança de variável em integrais duplas

Suponhamos temos uma transformação ϕ : R2 −→ R2 de classe C1 definida por ϕ(u, v) =

(5u−u2, 2v), observe que a região D = [0, 1]× [0, 1] é transformada na região D1 = [0, 4]× [0, 2],

evidentemente a área A(D) = 1 e A(D1) = 8.

Podemos imaginar que, se x = x(u, v) e y = y(u, v) então é válida a igualdade

∫

D

∫

f(x, y)dxdy =

∫

D1

∫

f(x(u, v), y(u, v))dudv

onde f ◦ T (u, v) = f(x(u, v), y(u, v)) é a função composta definida em D1.

Porém quando f(x, y) = 1 teríamos

1 = A(D) =

∫

D

∫

1.dxdy =

∫

D1

∫

1.dudv = A(D1) = 8

isto é um absurdo!

O que estamos precisando para superar este impasse, é uma ferramenta que permita retificar

essa medida na transformação. O determinante jacobiano é a mais indicado e assim definida.

1.6.1 Jacobiano de uma função de n variáveis

Definição 1.7.

Seja ϕ : U ⊂ R2 −→ R2 uma transformação na classe C1 dada por x = x(u, v), y = y(u, v).

O Jacobiano de ϕ, se escreve∂(x, y)

∂(u, v)ou J(u, v), é o determinante da matriz derivada dϕ(x, y)

de ϕ.

∂(x, y)

∂(u, v)=

∣∣∣∣∣∣∣

∂x

∂u

∂x

∂v∂y

∂u

∂y

∂v

∣∣∣∣∣∣∣


• Para o caso particular da transformação x = x(u, v), y = y(u, v) tem-se:

∂(x, y)

∂(u, v)= J(u, v) = mod

∣∣∣∣∣∣∣

∂x

∂u

∂x

∂v∂y

∂u

∂y

∂v

∣∣∣∣∣∣∣

então ∫

D

∫

f(x, y)dA =

∫

D1

∫

f(x(u, v), y(u, v))J(u, v)dudv

• Para o caso particular da transformação x = rsenθ, y = r cos θ, r > 0 tem-se:

∂(x, y)

∂(r, θ)= J(r, θ) = mod

∣∣∣∣∣∣∣

∂x

∂r

∂x

∂θ∂y

∂r

∂y

∂θ

∣∣∣∣∣∣∣

= r

Este conceito do Jacobiano, pode ser estendida a funções de várias variáveis.

Definição 1.8.

Seja f : D ⊂ Rn −→ R uma função definida no conjunto fechado D.

Suponhamos que ϕ : U ⊂ Rn −→ Rn função contínua, diferenciável e injetora no conjunto

aberto U . Se S é um conjunto fechado contido em U tal que D é a imagem de ϕ em S, isto é:

ϕ(S) = D = { (x1, x2, x3, · · · , xn) ∈ Rn /. (x1, x2, x3, · · · , xn) = ϕ(y1, y2, y3, · · · , yn) =

= (ϕ1(y1, y2, y3, · · · , yn), ϕ2(y1, y2, y3, · · · , yn), · · · , ϕn(y1, y2, y3, · · · , yn), }

Então

(f ◦ ϕ)(x1, x2, x3, · · · , xn) = f(ϕ(y1, y2, y3, · · · , yn)) · J(y1, y2, y3, · · · , yn)

onde J(y1, y2, y3, · · · , yn) é o Jacobiano da transformação ϕ definida por:

∂(x1, x2, x3, · · · , xn)∂(y1, y2, y3, · · · , yn)

= J(y1, y2, y3, · · · , yn) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂ϕ1

∂y1

∂ϕ1

∂y2· · · ∂ϕ1

∂yn∂ϕ2

∂y1

∂ϕ2

∂y2· · · ∂ϕn

∂y2...

... · · · ...∂ϕn∂y1

∂ϕ2

∂yn· · · ∂ϕn

∂yn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Teorema 1.3. Mudança de variáveis.

Sejam D e D∗ regiões elementares do plano. e seja ϕ : D∗ −→ D transformação de classe

C1, supor que ϕ seja injetora em D∗ e ϕ(D∗) = D. Então para qualquer função integrável

f : D ⊂ R −→ R tem-se

∫

D

∫

f(x, y)dxdy =

∫

D∗

∫

f(x(u, v), y(u, v))

∣∣∣∣

∂(x, y)

∂(u, v)

∣∣∣∣dudv



Exemplo 1.12.

Seja o paralelogramo limitado por y = 2x, y = 2x− 2, y = x e y = x+ 1. Apresentar

a integral∫

D

∫

xy · dxdy mediante a mudança de variáveis x = u− v, y = 2u− v.

Solução.

A transformação é injetora e está desenhada na Figura (1.10), de modo que transforma o

retângulo D∗ limitado por v = 0, v = −2, u = 0 e u = 1 sobre D.

Figura 1.10: Transformação linear ϕ

O Jacobiano

∣∣∣∣

∂(x, y)

∂(u, v)

∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣det

(

1 −1

2 1

)∣∣∣∣∣= 1. Assim

∫

D

∫

xy · dxdy =

∫

D∗

∫

(u− v)(2u− v) · dudv =

0∫

−2

1∫

0

(2u2 − 3vu+ v2) · dudv

Exemplo 1.13.

Calcular I =

∫

D

∫

e−(x2+y2)dA, onde D é a região do primeiro quadrante limitado pelo círculo

x2 + y2 ≤ a2 e os eixos coordenados.

Solução.

Um dos propósitos do Teorema (1.3) é proporcionar um método mediante o qual seja possível

simplificar os cálculos de algumas integrais duplas.

Exemplo 1.14.

Calcular I =

∫

D

∫

e−(x2+y2)dA, onde D é a região do primeiro quadrante limitado pelo círculo

x2 + y2 ≤ a2 e os eixos coordenados.

Solução.

Considerando a transformação x = r cos θ, y = rsenθ onde 0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ θ ≤ π

2, então

I =

∫

D

∫

e−(x2+y2)dA =

π/2∫

0

a∫

0

e−r2rdrdθ =

π

4(1 − e−a

2)


Exemplo 1.15.

Calcular a integral∫

D

∫ √

1 − x2

a2− y2

b2onde D é a região limitada pela elipse

x2

a2+y2

b2= 1.

Solução.

A forma do integrando e a natureza da região sugere que x = a.u cos v, y = b.usenv. Então

0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 2π

∂(x, y)

∂(u, v)=

∣∣∣∣∣

a cos v −a.usenvb.senv b.u cos v

∣∣∣∣∣= abu(cos2 v + sen2v) = abu

Portanto, I =

∫

D

∫ √

1 − x2

a2− y2

b2=

2π∫

0

1∫

0

√

1 − u2abududv =2

3abπ.

Exemplo 1.16.

Achar a área da região no primeiro quadrante do plano-xy limitada pelas curvas x+ 2y2 =

1, x2 + 2y2 = 4, y = 2x, y = 5.

Solução.

Fazendo a transformação u = x2 + 2y2, v =y

x, tem-se que a região do plano-xy fica

transformada num retângulo no plano-uv, onde 1 ≤ u ≤ 4, 2 ≤ v ≤ 5.

O Jacobiano é determinado assim:

∂(u, v)

∂(x, y)=

∣∣∣∣∣∣∣

∂u

∂x

∂u

∂y∂v

∂x

∂v

∂y

∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣

2x 4y

− y

x2

1

x

∣∣∣∣∣∣

= 2 +4y2

x2

de onde J(u, v) =∂(x, y)

∂(u, v)=

1

2 +4y2

x2

=1

2(1 + 2v2), logo a área pedida é:

A =

∫

D

∫

1.dA =

5∫

2

4∫

1

dudv

2(1 + 2v2)=

3√

2

4arctan(

√2

3)

1.7 Integrais duplas en coordenadas polares

Seja D ⊂ R2 uma região limitada pelas retas θ = α, θ = β e pelas circunferências r = a e

r = b.

Uma partição P da região D obtém-se traçando retas através do pólo e circunferências com

centros no pólo, obtendo assim uma rede de regiões chamadas retângulos curvados.

A norma da partição denotada ||P || é o comprimento da diagonal maior dos n retângulos

curvados. A área do i-ésimo retângulo curvado é igual à diferença das áreas dos setores circulares.

4iA =1

2r2i (θi − θi−1 −

1

2r2i−1(θi − θi−1) =


=1

2(ri − ri−1)(ri + ri−1)(θi − θi−1)

Figura 1.11: Coordenadas

polares

Considerando ri =1

2(ri− ri−1), 4ir = (ri + ri−1),4iθ =

θi − θi−1 tem-se 4iA = ri · 4ir · 4iθ.

seja f : D ⊂ R2 −→ R função contínua e (ri, θi) um ponto

na i-ésima subregião de D com θi−1 ≤ θ ≤ θi. A soma de

Riemann associada a f é dada por

n∑

f(ri, θi)4iA =n∑

i=1

f(ri, θi)ri · 4ir · 4iθ

A integral dupla em coordenadas polares é dada por

∫

D

∫

f(r, θ)dA = lim||P ||→0

n∑

i=1

f(ri, θi)ri.4ir.4iθ =

∫

D

∫

f(r, θ)r.drdθ

Observação 1.1.

O volume do sólido que tem como base a região D no plano de coordenada polar, e que esta

limitado superiormente pela superfície z = f(r, θ) onde f : D ⊂ R2 −→ R é função contínua

sobre D com f(r, θ) ≥ 0 em D é:

V =

∫

D

∫

f(r, θ)r.drdθ

1.7.1 Integrais iteradas em coordenadas polares

1. Seja D = { (r, θ) /. α ≤ θ ≤ β, ϕ1(θ) ≤ r ≤ ϕ2(θ) } região polar no plano polar, e

f : D ⊂ R2 −→ R função contínua sobre D como mostra a Figura (1.12). Então

∫

D

∫

f(r, θ)dA =

β∫

α

ϕ2(θ)∫

ϕ1(θ)

f(r, θ)r.drdθ


2. Seja D = { (r, θ) /. a ≤ r ≤ b, ψ1(r) ≤ θ ≤ ψ2(r) } região polar no plano polar, e


f : D ⊂ R2 −→ R função contínua sobre D como mostra a Figura (1.13). Então

∫

D

∫

f(r, θ)dA =

b∫

a

ψ2(r)∫

ψ1(r)

f(r, θ)r.dθdr

Exemplo 1.17.

Calcular I =

∫

D

∫

e−(x2+y2)dA, onde D é a região do primeiro quadrante limitado pelos eixos

coordenados.

Solução.

Seja a transformação x = r cos θ, y = rsenθ onde 0 ≤ r < +∞, 0 ≤ θ ≤ π

2, então

I =

∫

D

∫

e−(x2+y2)dA =

π/2∫

0

+∞∫

0

e−r2rdrdθ =

π/2∫

0

dθ =π

4

Exemplo 1.18.

Calcular I =

2∫

−2

2+√

4−x2∫

2−√

4−x2

√

16 − x2 − y2dydx.

Solução.

Tem-se que a região de integração é

D = { (x, y) ∈ R2 /. − 2 ≤ x ≤ 2, 2 −√

4 − x2 ≤ y ≤ 2 +√

4 − x2 }

A região D é o disco no plano-xy, o centro da figura circular é (0, 2) e raio r = 2. A função

f(x, y) =√

16 − x2 − y2 é a semi-esfera de centro (0, 0, 0) e raio 4, esta superfície é simétrica

respeito do eixo-z.

Assim, 0 ≤ θ ≤ π, para obter a variação de r substituimos na equação do disco 0 ≤ x2 +(y−2)2 ≤ 22 para obter 0 ≤ r ≤ 4senθ. Logo

I =

2∫

−2

2+√

4−x2∫

2−√

4−x2

√

16 − x2 − y2dydx = 2

2∫

0

2+√

4−x2∫

2−√

4−x2

√

16 − x2 − y2dydx =

= 2

π/2∫

0

4senθ∫

0

√

16 − r2rdrdθ =64(3π − 4)

9

Portanto, I =64(3π − 4)

9.

Exemplo 1.19.

Determine o volume do sólido S limitado pelo cilindro x2 + y2 = 4, e o hiperboloide x2 +

y2 − z2 = 1.


Solução.

Figura 1.14:

A Figura (1.14) mostra o volume a calcular, a medida

desse sólido é:

V =

∫

D

∫

[√

x2 + y2 − 1 − (−√

x2 + y2 − 1)]dA

Em coordenadas polares tem-se

V =

2π∫

0

2∫

1

2√

r2 − 1rdrdθ = 4√

3


Exercícios 1-2

1. Calcular a área da região D limitada pelas curvas dadas.

1. y2 = x, x− y = 2 2. y = |x|, 4y = 4x2 + 1

3. D = { (x, y) ∈ R2 / 0 ≤ x ≤ π

3, senx ≤ y ≤ sec2 x }

4. D = { (x, y) ∈ R2 /1

24√y ≤ x ≤ 1

1 + y2, 0 ≤ y ≤

√3

3}

5. D = { (x, y) ∈ R2 / (x2 + y2)2 = 2ax3 }6. D = { (x, y) ∈ R2 / (x2 + y2)3 = x4 + y4 }7. D = { (x, y) ∈ R2 / (x2 + y2)2 = 2a2(x2 − y2) }

2. Um sólido está limitado pelas superfícies y2 + z2 = 4ax, x = 3a, e está situado no interior

de y2 = ax. Achar seu volume.

3. Utilizar coordenadas polares para calcular as seguintes integrais.

1.∫

D

∫

ex2+y2dxdy D = { (x, y) ∈ R2 /. x2 + y2 ≤ 1 }

2.∫

D

∫dxdy

2 − x2 − y2D = { (x, y) ∈ R2 /. x2 + y2 ≤ 1 }

3.

4∫

−4

√16−x2∫

−√

16−x2

e−x2−y2dxdy 4.

a∫

0

a∫

y

√

a2 − x2dxdy

4. Utilizar integral dupla para calcular a área das regiões limitadas pelas curvas |x| = y2 e

2|x| = y2 + 4.

5. Calcular a área da região D = { (x, y) ∈ R2 /. 2 ≤ x2 + y2 ≤ 4, y ≥ 1 }.

6. Determine a área da região plana do primeiro quadrante, limitada pelo eixo-x, a circunfe-

rência x2 + y2 = 18 e a parábola y2 = 3x.

7. Mediante integrais duplas, determine a área de um círculo de raio r.

8. Determine a área da região limitada pela curva y = |x2−2x−3| e as retas y+1 = 0, x−1 = 0

e x = 4.

9. Calcular a área da região D = { (x, y) ∈ R2 /. x2 + (y − 1)2 ≤ 1, x2 + y2 ≥ 1 }.

10. Para cada um dos seguintes exercícios, calcule o volume do sólido limitado pelas superfícies.

1. 3x+ 2y + z = 6, x = 0, y = 0, z = 0

2. z = senxseny, z = 0, x = π, y = 0, y = π

11. Calcule o volume do sólido limitado pelos planos x = 0, y = 0, z = 0, x + y = 1 e

pelo cilindro z = 1 − y2.


12. Calcular o volume do sólido que não contêm a origem e que é limitado pelo gráfico z =

4 − r2, pelo cilindro r = 1 e pelo plano z = 0.

13. Calcular o volume do sólido interior à esfera z2 + r2 = 16 e ao cilindro r = 4 cos θ.

14. Calcular o volume da região do espaço no primeiro octante, compreendida entre os cilindros

x2 + y2 = a2 e x2z2 = a2, a > 0.

15. Calcular o volume do elipsóide x2 + y2 + 4z2 ≤ 4.

16. Calcular o volume do cone de base r e altura h.

17. Calcular∫

D

∫

(cos(2x) + seny)dxdy onde D é a região limitada pelas curvas xy = 1, y =

√x, x = 2.

18. Achar o volume do sólido no primeiro octante limitado pelos eixos coordenados, e o plano

2x+ y + z = 6.

19. Calcular o volume do sólido no primeiro octante limitado pelos eixos coordenados, e os

planos x+ y + 4z = 20, 3x+ 4y + 4z = 16, x+ y = 4.

20. Determine o volume de um tetraedro limitado porx

3+y

4+z

5= 1 e os planos coordenados.


1.8 Aplicações da integral dupla

1.8.1 Valor promédio

Sejam x1, x2, x3, · · · , xn números qualquer, seu promédio está definido por

[xi]promx1 + x2 + x3 + · · · + xn

n=

1

n

n∑

i=1

xi

Este conceito nos leva a definir o valor promédio de uma função de uma variável no intervalo

[a, b] por

[f(x)]prom =

b∫

a

f(x)dx

b− a

Para o caso de funções f de duas variáveis , a razão da integral de f á área de D

[f(x, y)]prom =

∫

D

∫

f(x, y)dA

∫

D

∫

1.dA

é chamado de valor promédio.

Exemplo 1.20.

Calcular o valor promédio de f(x, y) = xsen2(xy) sobre a região D = [0, π] × [0, π].

Solução.

Calculemos a integral sobre f . É imediato que A(D) = π2

∫

D

∫

f(x, y)dA =

π∫

0

π∫

0

xsen2(xy)(xy)dydx =1

2

π∫

0

π∫

0

(x− x cos(2xy))dydx =

=1

2

π∫

0

(xy − 1

2sen(xy))

∣∣∣

π

0dx =

1

4

π∫

0

(2πx− sen(πx))dx =

=1

4[πx2 − 1

2πcos(2πx)]

∣∣∣

π

0=

1

8[2π3 + cos(2π2) − 1]

Logo o valor promédio é [f(x, y)]prom =π

4+

cos(2π 2) − 1

8π≈ 0, 7839.

1.8.2 Centro de massa de uma lâmina

Se tentamos balançar massas em uma alavanca (Figura (1.15), o ponto de equilíbrio x ocor-

rerá durante o momento total (massa por distância ao ponto de equilíbrio) zero, isto é, onde3∑

i=1

mi(xi − x) = 0.


Em geral quando se colocam m1, m2, m3, · · · , mn nos pontos x1, x2, x3, · · · , xn sobre o

eixo-x, seu centro de massa ou centro do sistema se define como:n∑

i=1

mi(xi − x) = 0, de onde.

x =

n∑

i=1

mixi

n∑

i=1

mi

(1.5)

Figura 1.15:

Quando estudamos integração em uma variável para achar o centro de massa de uma lâmina

homogênea consideramos aquelas cuja densidade ρ(x) da área era constante análogo a nossa

fórmula (1.5).

x =

∫

xρ(x)dx∫

ρ(x)dx

Figura 1.16:

Nesta seção estudaremos o modo de calcular o centro de

massa mediante integrais duplas, de qualquer lâmina seja esta

homogênea ou não.

A Figura (1.16) mostra que a placa se equilíbra quando o

ponto de apoio se encontra no seu centro de massa.

Seja D uma lâmina que tem a forma fechada D no plano-xy,

e seja ρ a medida da densidade da área da lâmina em qualquer

ponto (x, y) de D onde ρ : D ⊂ R2 −→ R é função contínua

sobre D. A massa total M da lâmina esta dada por

M =

∫

D

∫

ρ(x, y)dA

O momento da massa de uma lâmina D com respeito ao eixo-x é

Mx =

∫

D

∫

yρ(x, y)dA

O momento da massa de uma lâmina D com respeito ao eixo-y é

My =

∫

D

∫

xρ(x, y)dA


Portanto, o centro de massa da lâmina no ponto (x, y) é

x =My

M=

∫

D

∫

xρ(x, y)dA

∫

D

∫

ρ(x, y)dA

y =Mx

M=

∫

D

∫

yρ(x, y)dA

∫

D

∫

ρ(x, y)dA

Exemplo 1.21.

Uma lâmina na forma de um triângulo retângulo isósceles tem uma densidade de área que

varia com o quadrado da distância ao vértice do ângulo reto. Se a massa se mede em kg e a

distância em cm. Achar a massa e o centro da massa da lâmina.

Solução.

Observe que a distância do ângulo reto a qualquer ponto é igual a√

x2 + y2, logo a densidade

é dada por ρ(x) = k(x2 + y2 onde k é constante. A Figura (1.17) mostra a lâmina, assim:

M =

∫

D

∫

ρ(x, y)dA =

a∫

0

a−x∫

0

k(x2 + y2)dydx

de onde M =1

6ka3. Por outro lado,

Mx =

∫

D

∫

yρ(x, y)dA = k

a∫

0

a−x∫

0

y(x2 + y2)dydx

de onde Mx =1

15a5. Por último

My =

∫

D

∫

xρ(x, y)dA =1

15a5

Portanto o centro de massa é (x, y) = (2a

5,

2a

5).

-��

�

6

@@

@@

@@

@@

P (x, y)

y

x

a

a0

d



Exemplo 1.22.

Achar o centro da massa de uma lâmina homogênea (densidade constante) que tem a forma

de uma região limitada pela parabola y = 2 − 3x2 e a reta 3x+ 2y = 1.

Solução.

Podemos verificar sem dificuldade que o ponto de interseção da parabola e reta são os pontos

(−1

2,

5

4) e (−1, 1). A Figura (1.18) mostra a região de integração

Logo tem-se:

M =

1∫

− 12

2−3x2∫

12(1−3x)

ρdydx =27

16ρ

Mx =

1∫

− 12

2−3x2∫

12(1−3x)

ρydydx =27

20ρ

My =

1∫

− 12

2−3x2∫

12(1−3x)

ρxdydx =27

64ρ

Portanto, (x, y) = (1

4,

4

5) é o centro da massa da lâmina.

1.8.3 Momentos de inércia de uma lâmina

Definição 1.9.

Se uma partícula de uma massa se encontra a d unidades de distância de uma reta L então

o número I = md2 chamamos de momento de inércia da partícula m respeito de L

O momento de massa de uma partícula geralmente es denominado de primeiro momento e o

momento de inércia é chamado de segundo momento

Um sistema de partículas de massasm1,m2,m,m3, · · · ,mn situadas a distâncias d1, d2, d3, · · · , dnrespectivamente, desde uma reta L tem o momento de inércia I que se define como a soma dos

momentos das partículas individuais.

I =n∑

i=1

mid2i

É evidente que por nosso processo usual de passo al limite o momento de inércia de uma

lâmina que tem a forma de uma região plane com densidade ρ : S ⊂ R2 −→ R contínua pode se

achar respeito a qualquer reta L.

Em particular é evidente, que os momentos de inércia la lâmina respeito aos eixos-x e y estão

dados por;

Ix =

∫

S

∫

y2ρ(x, y)dA Iy =

∫

S

∫

x2ρ(x, y)dA


O momento de inércia entorno da origem (0, 0) esta dado por

Io = Ix + Iy =

∫

S

∫

(x2 + y2)ρ(x, y)dA

O momento de inércia entorno da reta L : ax+ by = c esta dado por

IL =

∫

S

∫

(ax+ by√a2 + b2

)2ρ(x, y)dA

Exemplo 1.23.

Uma lâmina com densidade ρ(x, y) = xy está limitada pelo eixo-x, a reta x = 8, e a curva

y =3√x2. Determine sua massa total, o centro de massa e os momentos de inércia entorno dos

eixos-x, y e z.

Solução.

Massa: M =

∫

D

∫

ρ(x, y)dA =

8∫

0

3√x2∫

0

yxdydx =

8∫

0

1

2y2x∣∣∣

3√x2

0dx =

=1

2

8∫

0

3√x7dx =

1

2

[3

10

3√x10

] ∣∣∣

8

0=

768

5

Centro de massa: Cálculo dos momentos.

Respeito do eixo-y é My =

∫

D

∫

xρ(x, y)dA =

8∫

0

3√x2∫

0

yx2dydx =

8∫

0

1

2y2x2

∣∣∣

3√x2

0dx =

=1

2

8∫

0

3√x10dx =

1

2

[3

10

3√x13

] ∣∣∣

8

0=

1024

3

Respeito do eixo-x é My =

∫

D

∫

yρ(x, y)dA =

8∫

0

3√x2∫

0

y2xdydx =

8∫

0

1

3y3x∣∣∣

3√x2

0dx =

=1

3

8∫

0

x3dx =1

3

[1

4x4

] ∣∣∣

8

0=

1024

3

Logo, x =My

M=

80

13, y =

Mx

M=

20

9

Momentos de inércia: Respeito.

Do eixo-x é Ix =

∫

D

∫

xy3da =

8∫

0

3√x2∫

0

xy3dydx =1

4

8∫

0

xy4∣∣∣

3√x2

0dx =

6144

7.


Do eixo-y é Iy =

∫

D

∫

x3yda =

8∫

0

3√x2∫

0

x3ydydx =1

2

8∫

0

x3y2∣∣∣

3√x2

0dx = 6144

Do eixo-z é Iz = Ix + Iy =49.152

7≈7021,71.

Exemplo 1.24.

Determine o centro da massa de uma lâmina com forma da um quarto de círculo de raio r

com densidade proporcional à distância ao centro do círculo.

Solução.

Pelos dados do problema, ρ(x, y) = k√

x2 + y2, onde k é a constante de proporcionalidade.

Em coordenadas polares.

M =

∫

D

∫

k√

x2 + y2dA =

π/2∫

0

r∫

0

r · rdrdθ =kπr3

6

também

My =

∫

D

∫

kx√

x2 + y2dA =

π/2∫

0

r∫

0

(r cos θ)r2drdθ =kr2

4

Assim, x =My

M=

kr4/4

kπr3/6=

3r

2π.

Como a lâmina é simétrica respeito do seu eixo, concluímos que y = x =3r

2π.

Exemplo 1.25.

Calcular o momento de inércia da região D limitada pela hipérbole xy = 4 e a reta x+ y = 5

com respeito à reta x− y = 0.

Solução.

A distância de qualquer ponto (x, y) da região D à reta x− y = 0 está dada por d =x− y√

2.

Logo

IL =1

2

4∫

1

5−x∫

4/x

(x− y)2dydx = 11

6

4∫

1

(x− y)3dx∣∣∣

5−x

4/xdx = 16Ln2 +

75

8

Definição 1.10. Raio de giro.

O raio de giro de um objeto respeito de um eixo L é o número R definido por R =

√

I

Monde I é o momento de inércia respeito do eixo-L, e M é a massa total do objeto.

Solução.

Exemplo 1.26.

Achar o raio de giro de uma lâmina semicircular com respeito a seu diâmetro, se a densidade

da lâmina em qualquer ponto é proporcional à distância entre o ponto e seu diâmetro .

Solução.


Podemos supor o semicírculo y =√a2 − x2, sua densidade é ρ(x, y) = ky.

Logo Ix =

a∫

−a

√x2−a2∫

0

ky3dydx =4

15ka5.

Por outro lado, M =

a∫

−a

√x2−a2∫

0

kydydx =2

3ka2.

Portanto, o raio de giro da lâmina é R =

√

IxM

=

√10

5a2

1.8.4 Área de uma superfície

No seguinte capítulo mostra-se que a área de qualquer paralelogramo de lados os vetores

~u = (u1, u2, u3) e ~v = (v1, v2, v3) está dado pelo módulo do vetor u× v.

A = ‖u× v‖ =

∥∥∥∥∥∥∥

~i ~j ~k

u1 u2 u3

v1 v2 v3

∥∥∥∥∥∥∥

Figura 1.19:

Suponha que S seja a superfície f : S ⊂ R2 −→ R sobre

uma região fechada D no plano-xy, também suponhamos que

f tem as primeiras derivadas parciais contínuas.

Seja P uma partição da região D com retas paralelas aos

eixos do plano-xy, sejam Pi, i = 1, 2, 3 · · · , n os retângulos

desta partição, então Pi = 4ix×4iy.

Para cada i seja Si a parte da superfície S que se projeta

sobre o retângulo Pi. Seja P (xi, yi, zi) o ponto de Si que se

projeta sobre um vértice do retângulo Pi aquele que tiver as

menores coordenadas do ponto.

Finalmente seja Ti o paralelogramo do plano tangente em

P (xi, yi, zi).

Sejam ~ui = (4ix, 0,∂f

∂x(xi, yi)) e ~vi = (0, 4iy,

∂f

∂y(xi, yi)) os lados deste paralelogramo

Ti, logo a área de cada um destes paralelogramos é ‖~ui × ~vi‖ onde

~ui × ~vi =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~k

4ix 0∂f

∂x(xi, yi)

0 4iy∂f

∂y(xi, yi)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= 4ix · 4iy(−∂f

∂x(xi, yi), −

∂f

∂y(xi, yi), 1)

assim a área de Ti é dada por

A(Ti) = ‖ui × vi‖ = A(Pi)

√[∂f

∂x(xi, yi)

]2

+

[∂f

∂y(xi, yi)

]2

+ 1

Somamos estas áreas todos os paralelogramos Ti, i = 1, 2, 3, · · · , n, logo calculamos o


limite quando n→ ∞ para obter a área da superfície S.

A(S) = lim‖P‖→0

n∑

i=1

A(Ti) = lim‖P‖→0

n∑

i=1

(Pi)

√[∂f

∂x(xi, yi)

]2

+

[∂f

∂y(xi, yi)

]2

+ 1 =

A(S) =

∫

D

∫√[∂f

∂x(x, y)

]2

+

[∂f

∂y(x, y)

]2

+ 1 · dA

sempre que o limite exista.

Exemplo 1.27.

Seja D a região do plano-xy limitado pelas retas x = 0, x = 1, y = 0 e y = 2. Calcular a

área da superfície cilíndrica S definida por f(x, y) =√

4 − x2.

Solução.

Seja f(x, y) =√

4 − y2, então∂f

∂x= 0 e

∂f

∂y=

−y√

4 − y2. A área da superfície é dada por

A(S) =

∫

D

∫√[∂f

∂x

]2

+

[∂f

∂y

]2

+ 1 · dA =

∫

D

∫√√√√02 +

[

−y√

4 − y2

]2

+ 1 · dA

A(S) =

∫

D

∫2

√

4 − y2· dA =

2∫

0

1∫

0

2√

4 − y2· dxdy =

2∫

0

2√

4 − y2· dy

A(S) = 2arcsenx

2

∣∣∣

2

0= π

Exemplo 1.28.

Calcular a área da parte da superfície z = xy cortada pelo cilindro x2 + y2 = a2.

Solução.

Tem-se que a superfície S está dada pela função z = f(x, y) = xy logo∂z

∂x= y e

∂z

∂y= x. A

região de integração é

D = { (x, y) ∈ R2 − a ≤ x ≤ a, −√

a2 − x2 ≤ y ≤√

a2 − x2 }

logo, a área da superfície é

A(S) =

a∫

−a

√a2−x2∫

−√a2−x2

√

x2 + y2 + 1 · dydx =

2π∫

0

a∫

0

√

r2 + 1 · rdrdθ

A(S) =1

3

2π∫

0

√

(r2 + 1)3∣∣∣

a

0=

2π

3(√

(a2 + 1)3 − 1)

Propriedade 1.3.


Dados uma semi-esfera de raio R e um cilindro de raio na base R. As superfícies entre os

planos paralelos como mostra a Figura (1.20) tem a mesma área.


esta propriedade diz que dados uma semi-esfera de raio R e um cilindro de raio na base R

satisfazem a seguinte propriedade indicada na Figura (1.20) entre planos paralelos.

Figura 1.20:

A modo de aplicação apresentamos o seguinte exemplo.

Exemplo 1.29.

Determine a área da superfície S1 formada ao cortar o hemisfério x2+y2+z2 = R2, z ≥ 0

pelos planos paralelos z = h1 e z = h2, 0 ≤ h1 ≤ h2 é dado por A(S1) = 2πR(h2 − h1).

Verificar que a área da superfície cilíndrica S2 de x2 + y2 = R2 entre os planos z = h1 e z = h2

também é A(S2) = 2πR(h2 − h1).

Solução.

A projeção da semi-esfera z =√

R2 − x2 − y2 sobre o plano z = h1 é a circunferência

x2+y2 = [√

R2 − h21]

2 e a projeção sobre o plano z = h2 é a circunferência x2+y2 = [√

R2 − h22]

2.

Logo D projeção da superfície S1 no plano-xy é

D = { (x, y) ∈ R2 /.√

R2 − h22 ≤ x2 + y2 ≤

√

R2 − h21 }

assim

A(S1) =

∫

D

∫√[∂f

∂x

√

R2 − x2 − y2

]2

+

[∂f

∂y

√

R2 − x2 − y2

]2

+ 1 · dA

A(S1) =

∫

D

∫√

x2

R2 − x2 − y2+

y2

R2 − x2 − y2+ 1 · dA =

∫

D

∫r

√

R2 − x2 − y2· dA

mediante coordenadas polares

A(S1) =

2π∫

0

√R2−h2

1∫

√R2−h2

2

R√R2 − r2

·rdrdθ =

2π∫

0

R[−√

R2 − (√

R2 − h22)

2+

√

R2 − (√

R2 − h21)

2]dθ =

A(S1) =

2π∫

0

R(h2 − h1)dθ = 2πR(h2 − h1)


A área da parte cilíndrica é o comprimento de sua base pela sua altura, isto é A(S2) =

2πRh = 2πR(h2 − h1).

Observe que A(S1) = A(S2).


Exercícios 1-3

1. Calcular o valor promédio de f(x, y) = ysenxy sobre D = [0, 2π] × [0, π]

2. Calcular o valor promédio de f(x, y) = e x+ y sobre o triângulo de vértices (0, 0), (0, 1), (1, 0)

3. Calcular a massa de uma lâmina quadrada de lado a, se sua densidade em qualquer ponto

de sua superfície é proporcionar ao quadrado da distância desde um vértice. Rpta2ka4

3

4. Para cada um dos seguintes exercícios, determinar a massa M , e o centro de massa (x, y)

da lâmina limitada pelas curvas dadas e com densidade indicada.

1. y = ex, y = 0, , x = 0, x = 1; ρ(x, y) = 1 − 2x+ y

2. x = e−x, x = 0, x = 1; ρ(x, y) = y2

3. y = x, xy = 1, y = 0, x = 2; ρ(x, y) = x

4. y = 0, y = cosx, 0 ≤ x ≤ π; ρ(x, y) = x

5. y = 0, y =√

9 − x2; ρ(x, y) = y

6. x = 0, x = 4, y = 0, y = 3; ρ(x, y) = x+ 1

7. r = 2senθ; ρ(r, θ) =1

r

5. Para cada um dos exercícios, achar o momento de inércia respeito ao eixo dado da placa

D cuja densidade e curvas que a limitam estão dadas.

1. D está limitada por x2 + y2 = a4; ρ(x, y) = k√

x2 + y2 eixo-z

2. D está limitada por y = x2; ρ(x, y) = k eixo-x

3. D está limitada por y2 = x2, y2 = x; ρ(x, y) = ky eixo-y

4. D está limitada por x2 + y2 = a2; ρ(x, y) = k√

x2 + y2 eixo-x

5. D está limitada por ; ρ(x, y) = eixo-

6. Para cada um dos seguintes exercícios, determine os momentos Ix, Iy, I0 para a lâmina

limitada pelas curvas dadas com densidade indicada ρ

1. y =√x, x = 16, y = 0; ρ(x, y) = x− y

2. y = x2, y = 9; ρ(x, y) = x

3. Quadrado de vértices (0, 0), (0, m), (m, 0), (m, m); ρ(x, y) = x+ 2y

4. Triângulo de vértices (0, 0), (0, m), (m, 0); ρ(x, y) = x+ 2y

5. y2 = 8x, x = 2; ρ(x, y) = 1

6. |x| + |y| = 1; ρ(x, y) = 1

7. Sejam ABCD uma lâmina retangular com tem a função densidade ρ e P um ponto no

interior da lâmina. Achar o raio de giro da lâmina respeito a os seguinte:


1. AB se a densidade ρ no ponto P é a soma das distâncias a AB e BC

2. A reta perpendicular á lâmina em B, se a densidade ρ no ponto P é a soma das distâncias

a AB e AC

3. A reta perpendicular á lâmina em B, se a densidade ρ no ponto P é constante.

4. A perpendicular á lâmina no centro de massa, se ρ no ponto P é constante.

8. Sejam L1 e L2 laminas disjuntas no plano-xy com massas M1 e M2, e com centros de

massas (x1, y1) e (x2, y2) respectivamente. Verificar que o centro de massa (x2, y2) da

lâmina L1 ∪ L2 está dada por:

x = x1m1

m1 +m2+ x2

m2

m1 +m2y = y1

m1

m1 +m2+ y2

m2

m1 +m2

9. Determine a área da superfície indicada.

1. Da parte do plano 6x+ 3y + 2z = 12 situada no primeiro octante.

2. Da parte da superfície z2 = 2xy a qual se encontra acima do retângulo situado no

plano z = 0 e limitado pelas retas x = 0, y = 0, z = 3, y = 6

3. Da parte do cone z2 = x2 + y2 situado acima do plano-xy e cortada pelo plano

z =√

2(x

2+ 1).

4. Da parte z2 + x2 + y2 cortada pelo cilindro z2 = 2py.


1.9 Integrais triplas

Os conceitos explicados nas integrais simples e duplas estendem-se de modo natural para as

integrais triplas e até de ordem n.

Figura 1.21:

Consideremos f : S ⊂ R3 −→ R uma função definida na

superfície limitada e fechada S, podemos traçar planos parale-

los a os planos coordenados, para determinar paralelepípedos

P1, P2, P3, · · · , Pn que estão contidos em S como mostra a

Figura (1.21).

Definição 1.11.

O conjunto P = { P1, P2, P3, · · · , Pn } constitue uma

partição da superfície S, onde a norma na partição ‖P‖ =

maior diagonal dos paralelepípedos que constituem a partição.

Seja V (Pi) = ∆ix∆iy∆iz o volume do i-ésimo pa-

ralelepípedo, Pi, i = 1, 2, 3, · · · , m. Seja (xi, yi, zi) um

ponto arbitrário escolhido em Pi.

A soma de Riemann associada à partição P da superfície f(x, y, z)é:

n∑

i=1

f(xi, yi, zi)V (Pi) =n∑

i=1

f(xi, yi, zi)∆ix∆iy∆iz

Definição 1.12.

Dizemos que o número L é da soma de Riemann, se

∀ ε > 0, ∃ δ > 0 tal que

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

f(xi, yi, zi)V (Pi) − L

∣∣∣∣∣< ε

para toda partição P com ‖P‖ → 0 para toda eleição do ponto (xi, yi, zi) ∈ Pi

Definição 1.13.

Uma função f : S ⊂ R3 −→ R é integrável na região fechada S, se existe um número L, e

este número é a integral tripla de f em S e denota-se

L =

∫ ∫

S

∫

f(xi, yi, zi)dV = lim‖P‖→0

n∑

i=1

f(xi, yi, zi)V (Pi)

A pergunta natural é: Quais tipos de funções são integráveis? A seguinte propriedade sem

demonstração responde esta questão.

Propriedade 1.4.

Se a funçãof : S ⊂ R3 −→ R é contínua na região fechada S, então existe a integral tripla

de f sobre S.

Na verdade podemos permitir que exista um número finito de descontinuidades.

Como é de esperar as integrais triplas tem propriedades


1.9.1 Integrais triplas mediante integrais iteradas

Consideremos D = { (x, y) ∈ R2 /. a ≤ x ≤ b, φ1(x) ≤ y ≤ φ2(x) } uma região fechada

no plano-xy, onde φ1, φ2 : [a, b] −→ R são funções contínuas com φ(x) ≤ φ2(x) ∀ x ∈ [a, b].

Sejam ψ1, ψ2 : D ⊂ R3 −→ R funções contínuas na região fechada D onde ψ(x, y) ≤ψ2(x, y) ∀ (x, y) ∈ D.

Seja S = { } uma região fechada em R3, se f : S ⊂ R3 −→ R é função contínua em S, a

integral iterada de f sobre S é

∫ ∫

S

∫

f(x, y, z)dV =

b∫

a

φ2(x)∫

φ1(x)

ψ2(x,y)∫

ψ1(x,y)

f(x, y, z)dzdydx

De modo análogo podemos definir outras quatro integrais de f(x, y, z) nas quais a primeira

integração (dentro para fora) é resolvida respeito a uma variável distinta da z.

•∫ ∫

S

∫

f(x, y, z)dV =

f∫

e

g2(z)∫

g1(z)

H2(y,z)∫

H1(y,z)

f(x, y, z)dxdydz

•∫ ∫

S

∫

f(x, y, z)dV =

d∫

c

k2(y)∫

k1(y)

H2(y,z)∫

H3(y,z)

f(x, y, z)dxdzdy

•∫ ∫

S

∫

f(x, y, z)dV =

f∫

e

H2(z)∫

H1(z)

G2(x,z)∫

G1(x,z)

f(x, y, z)dydxdz

•∫ ∫

S

∫

f(x, y, z)dV =

b∫

a

k2(y)∫

k1(y)

G2(x,z)∫

G1(x,z)

f(x, y, z)dydzdx

Exemplo 1.30.

Calcular I =

∫ ∫

S

∫

f(x, y, z)dV onde f(x, y, z) = 3 e S está limitada pelas superfícies

z = 0, y = 0, y = x, x+ y = 2, x+ y + z = 3.

Solução.

I =

∫ ∫

S

∫

f(x, y, z)dV =

1∫

0

2−y∫

y

3−x−y∫

0

f(x, y, z)dzdydx = 5

Exemplo 1.31.

Calcular I =

∫ ∫

S

∫

f(x, y, z)dV onde f(x, y, z) = x2 e S está limitada pelas superfícies

y2 + z2 = 4ax, y2 = ax, x = 3a.

Solução.


∫ ∫

S

∫

f(x, y, z)dV =

3a∫

0

√ax∫

−√ax

√4ax−y2∫

−√

4ax−y2

x2dzdydx =

3a∫

0

√ax∫

−√ax

2x2√

4ax− y2dydx =

=

3a∫

0

1

3(6√

3a+ 4πa)dx =27

2a5(3

√3 + 2π)

1.9.2 Volumes mediante integrais triplas

Seja f : S ⊂ R → R uma função definida na região fechada S, tal que f(x, y, z) = 1 para

todo (x, y, z) ∈ S, então

V (S) =

∫ ∫

S

∫

1dV é a medida do volume do sólido S

Exemplo 1.32.

Achar o volume do sólido limitado na parte superior pela parabolóide z = 4 − x2 − y2 e na

parte inferior pelo plano z = 4 − 2x.

Solução.

O volume do sólido está dado por

V =

2∫

0

√2x−x2∫

−√

2x−x2

4−x2−y2∫

4−2x

1dzdydx =4

3

2∫

0

4√

(2x− x2)3dx =π

2

Exemplo 1.33.

Achar o volume do sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro z =6

x2 + 4e os planos

y = x, x = 2, y = 0, z = 0.

Solução.

A região de integração é D = { (x, y) ∈ R2 /. 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x }.O sólido é S = { (x, y, z) ∈ R3 /. 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ z ≤ 8

x2 + 4}.

Seu volume é dado por V =

2∫

0

x∫

0

8/(x2+4)∫

0

1dzdydx = 4Ln2.

1.9.3 Integrais triplas em coordenadas cilíndricas e esféricas

Para o caso ter região S ⊂ R3 um eixo coordenado de simetria, as integrais triplas têm menos

dificuldade em seus cálculos, para isto acontecer temos que recorrir ao uso das c coordenadas

cilíndricas ou esféricas.

Uma idéia da justificativa da forma das coordenadas cilíndricas é mostrada na Figura (1.22)

e das coordenadas e esféricas na Figura (1.23)


1. As transformações de coordenadas retangulares a cilíndricas são:

Como mostra a Figura (1.22): x = r cos θ, y = rsenθ, z = z

Se f : S ⊂ R3 −→ R é função contínua sobre S então

∫ ∫

S

∫

f(x, y, z)dV =

∫ ∫

S

∫

f(r cos θ, rsenθ, z)J(r, θ, z)dzdrdθ

onde

J(r, θ, z) =∂(x, y, z)

∂(r, θ, z)=

∣∣∣∣∣∣∣

cos θ −rsenθ 0

senθ r cos θ 0

0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣

= r

Portanto,∫ ∫

S

∫

f(x, y, z)dV =

∫ ∫

S

∫

f(r cos θ, rsenθ, z)r · dzdrdθ.

Figura 1.22: Coordenadas cilíndricas Figura 1.23: Coordenadas esféricas

2. As transformações de coordenadas retangulares a esféricas são:

Como mostra a Figura (1.23): x = ρ cos θsenφ, y = ρsenθ cosφ, z = ρ cosφ

Se f : S ⊂ R3 −→ R é função contínua sobre S então

∫ ∫

S

∫

f(x, y, z)dV =

∫ ∫

S

∫

f(ρ cos θsenφ, ρsenθ cosφ, ρ cosφ)J(ρ, θ, φ)dρdφdθ

onde

J(ρ, θ, φ) =∂(x, y, z)

∂(ρ, θ, φ)=

∣∣∣∣∣∣∣

cos θsenφ −ρsenθsenφ ρ cos θ cosφ

senθsenφ ρ cos θsenφ ρsenθ cosφ

cosφ 0 −ρsenφ

∣∣∣∣∣∣∣

= ρ2senφ

Portanto,∫ ∫

S

∫

f(x, y, z)dV =

∫ ∫

S

∫

f(ρ cos θsenφ, ρsenθsenφ, ρ cosφ)ρ2senφ · dρdφdθ.

Exemplo 1.34.

Determine o volume do sólido S sobre o cone z2 = x2+y2 e o interior da esfera x2+y2+z2 =

2az.

Solução.


Em coordenadas esféricas a equação do cone é ρ =π

4, e a equação da esfera é ρ = 2a cosφ

. Logo o volume é

V =

∫ ∫

S

∫

ρ2senφdρdφdθ =

2π∫

0

π/4∫

0

2 cosφ∫

0

ρ2senφ · dρdφdθ = πa3

Exemplo 1.35.

Mediante coordenadas cilíndricas, determine o volume do sólido acima do plano-xy e limitado

pela esfera x2 + y2 + z@ = 25 e o cone 16z2 = 9x2 + 9y2.

Solução.

Em coordenadas cilíndricas, a equação do cone é z =3

4r e o da esfera z =

√25 − r2.

As superfícies se cortam em aqueles pontos onde

25 − x2 − y2 =9

16(x2 + y2)

ou seu equivalente x2 + y2 = 16. Em coordenadas cilíndricas esta equação podemos escrever

como r = 4. Assim o sólido S é:

S = { (r, θ, z) ; . 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 4,3

4r ≤ z ≤

√

25 − r2 }

assim tem-se

V =

∫ ∫

S

∫

r · dzdrdθ =

2π∫

0

4∫

0

√25−r2∫

3r/4

r · dzdrdθ =100π

3

Exemplo 1.36.

Calcular I =∫ ∫

S

∫(x + y + z)(x + y − z)(x − y − z)dxdydz onde S é o tetraedro limitado

pelos planos x− y − z = 0, x+ y − z = 0, x− y − z = 0. 2x− y = 1.

Solução.

Sejam u = x+ y + z, v = x+ y − z, w = x− y − z

∂(u, v, w)

∂(x, y, z)=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂u

∂x

∂u

∂y

∂u

∂z∂v

∂x

∂v

∂y

∂v

∂z∂w

∂x

∂w

∂y

∂w

∂z

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1

1 1 −1

1 −1 −1

∣∣∣∣∣∣∣

= −1

4

Logo o jacobiano J(u, v, z) =

∣∣∣∣−1

4

∣∣∣∣=

1

4

A igualdade 2x − z = 1 se transforma em u + v + 2w = 2. Assim, a região D∗ imagem

de S mediante esta transformação é o tetraedro limitado pelos planos u = 0, v = 0, w =


0, u+ v + 2w = 2, então

I =

∫ ∫

S

∫

(x+ y + z)(x+ y − z)(x− y − z)dxdydz =

2∫

0

2−u∫

0

1− 12(u+v)∫

0

1

4uvw · dwdvdu =

1

180

1.10 Centro de massa e momentos de inércia de um sólido

Os conceitos de massa e centro de massa se generalizam com facilidade a regiões sólidas. O

processo que conduz às fórmulas corretas é já conhecido e podemos resumir em poucas palavras:

particionar, aproximar integrar

Seja S ⊂ R3 um sólido e ρ : S ⊂ R −→ R uma função contínua sobre S que representa a

densidade de S em qualquer ponto (x, y, z) ∈ S.

1.- A massa total do sólido está dado por:

M =

∫ ∫

S

∫

ρ(x, y, z)dV

2. Os centros de massa:

Os momentos de massa respeito dos planos coordenados em função da densidade são

Mxy =

∫ ∫

S

∫

zρ(x, y, z)dV, Mxz =

∫ ∫

S

∫

yρ(x, y, z)dV, Myz =

∫ ∫

S

∫

xρ(x, y, z)dV

Portanto o centro de massa do sólido S é o ponto (x, y, z), onde

x =Myz

M=

∫ ∫

S

∫

xρ(x, y, z)dV

∫ ∫

S

∫

ρ(x, y, z)dV

, y =Mxz

M=

∫ ∫

S

∫

yρ(x, y, z)dV

∫ ∫

S

∫

ρ(x, y, z)dV

z =Mxy

M=

∫ ∫

S

∫

zρ(x, y, z)dV

∫ ∫

S

∫

ρ(x, y, z)dV

3. Momentos de inércia:

Os momentos de inércia de S entorno dos eixos estão definidos como:

• Ix =

∫ ∫

S

∫

(y2 + z2)ρ(x, y, z)dV , momento de inércia respeito do eixo-x.

• Iy =

∫ ∫

S

∫

(x2 + z2)ρ(x, y, z)dV , momento de inércia respeito do eixo-y.


• Iz =

∫ ∫

S

∫

(x2 + y2)ρ(x, y, z)dV , momento de inércia respeito do eixo-z.

Observação 1.2.

Para determinar o centro de massa, é bastante útil ter em consideração todas as possíveis

simetrias.

1. Se S for simétrico respeito ao plano-xy e ρ(x, y,−z) = ρ(x, y, z), então z = 0. Resultados

análogos cumpre para os outros planos coordenados.

2. Se S for simétrico ao eixo-x e ρ(x,−y,−z) = ρ(x, y, z) então y = z = 0. Resultado análogo

cumpre para os outros eixos.

Exemplo 1.37.

Determine o centro da massa de um objeto material homogêneo limitado limitado pelos planos

coordenados, o plano |:x+ y = 1 y o parabolóide z = 4 − x2 − 4y2.

Solução.

Como a densidade é constante, ρ(x, y, z) = k, a massa total do objeto é dada por

M =

1∫

0

1−x∫

0

4−x2−4y2∫

0

k · dzdydx =19

12k

Também

Mxy =

1∫

0

1−x∫

0

4−x2−4y2∫

0

kzdzdydx =95

16k, Mxz =

1∫

0

1−x∫

0

4−x2−4y2∫

0

kydzdydx =9

20k

Myz =

1∫

0

1−x∫

0

4−x2−4y2∫

0

kxdzdydx =11

20k

Portanto, (33

95,27

95,5

3), é o centro de massa do objeto.

Exemplo 1.38.

Achar o momento de inércia e o raio de giro respeito do eixo-z do sólido homogêneo limitado

pelos planos coordenados e o planox

a+y

b+z

c= 1, a, b, c são números fixos positivos.

Solução.

O sólido é o tetraedro, a densidade do sólido é ρ(x, y, z) = k então temos

Iz =

a∫

0

b− bax

∫

0

c− cax− c

by

∫

0

k(x2 + y2)dzdydx =kabc

60(a2 + b2)

A sua massa total é

M =

a∫

0

b− bax

∫

0

c− cax− c

by

∫

0

kdzdydx =kabc

6


Portanto, o raio do giro está dado por R =

√

IzM

=

√a2 + b2√

10.


Exercícios 1-4

1. Calcular as seguintes integrais.

1.

1∫

0

1−x∫

0

1+y2∫

2y

x · dzdydx 2.

2∫

1

y2∫

y

Lnx∫

0

yez · dzdxdy 3.

π/2∫

0

π/2∫

z

x∫

0

cosy

z· dydxdz

4.

2∫

1

y∫

0

√3z∫

0

z · dxdzdyx2 + y2

5.

Lnx∫

−Lnx

2−√x∫

0

x+y2∫

0

yezdzdydx 6.

π∫

0

π∫

0

π∫

0

xysen(yz) · dzdydx

7.

2∫

1

x∫

0

√3y∫

0

y · dzdydxx2 + z2

8.

1∫

0

z∫

0

y∫

0

xy2z3dxdyxdz 9.

π2∫

0

cos θ∫

0

∫ 4+rsenθ

0r · dzdrdθ

2. Para cada um dos seguintes exercícios calcular∫ ∫

S

∫

f(x, y, z)dV , onde S está limitada

pelas superfícies dadas e f é função dada.

1. x = 0, x =√

a2 − x2 − y2; f(x, y, z) = x.

2. x2 + z2 = a2, y2 + z2 = a2; f(x, y, z) = x2 + y2.

3. x = 0, y = 0, z = 0,√x+

√y +

√z =

√a; f(x, y, z) = z

4. z = x2 + y2, z = 27 − 2x2 − 2y2; f(x, y, z) = 1

3. Calcular as seguintes integrais mediante coordenadas esféricas ou cilíndricas.

1.

h∫

0

b∫

0

√b2−y2∫

0

√

x2 + y2 · dzdydx 2.

a∫

0

√a2−x2∫

0

√a2−x2−y2∫

0

z√

a2 − x2 − y2 · dzdydx

3.

2∫

0

√2x−x2∫

0

a∫

0

z√

x2 + y2 · dzdydx 4.

1∫

0

√1−x2∫

0

√1−x2−y2∫

0

√

x2 + y2 + z2 · dzdydx

5. 6.

1√2∫

0

x∫

0

√1−x2−y2∫

0

z√

(x2‘y2)−1 · dzdydx

4. Verificar que a integral∫ ∫

S

∫ |xyz|√

x2 + y2 + z2dxdydz sobre o sólido S limitado pelo elip-

sóidex2

a2+y2

b2+z2

c2+ = 1 tem o valor

8a2b2c2(bc+ ac+ ab)

15(b+ c)(a+ c)(a+ b).

5. Verificar que

∞∫

0

∞∫

0

∞∫

0

B · dxdydz =

∞∫

0

1∫

0

1∫

0

B · u2v · dudvdw mediante a transformação

x+ y + z = u, x+ y = uv,

: y = uvw.


6. Achar a massa do sólido limitado pela esfera de raio a, a densidade do volume varia com

o quadrado da distância ao centro. Rpta. a5π.

7. Achar o momento de inércia respeito de um diâmetro do sólido que se encontra entre duas

esferas concéntricas de raios a e 2a. A densidade do volume varia inversamente com o

quadrado da distância ao centro. Rpta.56πa3k

9

8. Para cada um dos seguintes exercícios, determinar a massa M , e o centro de massa (x, y, z)

da lâmina limitada pelas curvas dadas e com densidade indicada (k = constante).

1. z = x, z = −x, y2 = 4 − 2x, ; ρ(x, y) = k

2. z = 0, x2 + z = 1, y2 + z = 1; ρ(x, y) = k

3. y2 + z2 = 4ax, y2 = ax, x = 3a; ρ(x, y) = k

4. z2 = x2 + y2, x2 + y2 + z2 = a2; ρ(x, y) = k

5. z2 = x2 + y2, x2 + y2 + z2 = 2az, sobre o cone, ρ(x, y) = kz

6.x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1 no primeiro octante, ρ(x, y) = k

Capítulo 2

INTEGRAL DE LINHA

George Green nasceou em Sneinton, no condado de Nottingham na Inglaterra em 14 de Julho de1793. George Green Físico e matemático autodidata passou grande parte da sua vida a trabalhar nummoinho do seu pai, à idade de 8 anos entrou para a escola de Robert Goodacre, em Nottingham, ondemostrou grande talento para a matemática.

Aos 12 voltou a trabalhar na padaria até que seu pai construiu (1807) um moinho em Sneinton, umaaldeia próxima de Nottingham, onde começou seu aprendizado em mecânica com o gerente de moinho,William Smith.

Com 30 anos Green tornou-se membro da Subscription Library, uma instituição fundada com oobjetivo de servir de ponto de encontro de não-acadêmicos para discutir assuntos científicos.

Aos 35 anos publicou Na sua obra “Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theoryof Electricity and Magnetism”, a primeira e, segundo muitos, a mais importante obra sobre a aplicação daanálise matemática à teoria da eletricidade e ao magnetismo, nesta obra introduziu a noção de “funçãopotencial” no estudo dos campos magnéticos e também introduziu vários teoremas de análise vetorialque permitiam calcular o potencial eletrostático, foi o pioneiro na separação dos estudos teóricos daeletricidade e do magnetismo. O teorema de Green, que demonstrou nesta obra facilitou bastante oestudo das funções. Esta obra permiteu-le ganhar a influente proteção de Sir Edward Bromhead, deLincoln, que patrocinou a publicação de mais três artigos em Cambridge e Edinburgh.

Seu pai morreu (1829) e ele herdou uma renda suficiente para então finalmente poder se dedicar aestudar. Apenas aos 40 anos ingressa na universidade como estudante da licenciatura. Ensinou no CaiusCollege e publicou mais seis artigos em Cambridge Transactions.

Com a saúde declinando, voltou para Nottingham (1840) e morreu em Sneinton em 31 de Maio de1841, com apenas 47 anos. Alguns anos mais tarde volta a Nottingham para trabalhar no seu moinho.

Alguns anos mais tarde volta a Nottingham para trabalhar no seu moinho.Alguns anos mais tarde volta a Nottingham para trabalhar no seu moinho.Na matemática foi o autor

de um teorema sobre geometria que leva seu nome, redescoberto após sua morte por Lord Kelvin (1846)e consegue a sua publicação num jornal de nome reconhecido. Este teorema .também é conhecido comoteorema de Gauss, ou teorema de Michel Ostrogradski, como é conhecido na Rússia.

Seu trabalho foi um marco na início do estudo da física-matemática moderna na Grã-Bretanha. Namesma época, outros cientistas, entre os quais Carl Gauss, de forma independente, chegam a algunsresultados já antes alcançados por Green. O asteróide 12016 Green foi batizado em sua honra.

47


2.1 Introdução

Neste capítulo, aplicaremos conceitos e métodos de resolução de problemas a novas teorias,

para obter resultados que têm muitas aplicações nas ciências.

Abordaremos os conceitos de “campos vetoriais”, sendo que as principais aplicações estão

orientadas para o estudo de campos de velocidade e campos de força, assim chamados porque

a cada partícula de uma substância seja sólida, líquida ou gaseosa esta associada um vetor

velocidade ou um vetor força.

As integrais de linha, permitem achar o trabalho realizado quando uma partícula se movi-

menta em uma campo de força.

O teorema fundamental do cálculo integral diz que:

Se f : [a, b] −→ R é contínua em qualquer intervalo fechado [a, b], e F é qualquer

função primitiva de f então

b∫

a

f(x)dx = F (b) − F (a).

Agora, queremos generalizar o conceito de integral simples

b∫

a

f(t)dt de uma função f definida

em um intervalo [a, b], a uma integral de uma função definida sobre uma curva Γ. Esta integral se

chama “integral de linha de f sobre a curva Γ", observe que, esta curva pode estar determinada

pela imagem de outra função definida em R.

Na geometria entendemos a palavra curva como o desenho de uma linha reta, um círculo,

uma curva senoidal, etc. traçada na louça. Para estudar estes objetos científicamente, podemos

pensar estas curvas no espaço Rn como a imagem de uma determinada função de um intervalo

[a, b] de R para Rn. Esta função é chamada de trajetória, e a imagem da trajetória é a linha, o

círculo, a curva senoidal, etc. que apreciamos na louça.

Figura 2.1: A função ~r é a trajetória, sua imagem ~r(t) é a curva observada.

Neste capítulo estudaremos o conceito de trajetória, e de modo preciso o conceito de curvas,

mostrando alguns exemplos. Estudaremos como as trajetórias podem modelar o caminho que

segue algum objeto em movimento


2.2 Curvas regulares

Definição 2.1. Trajetória.

Dizemos trajetória em Rn a toda função ~r : [a, b] −→ Rn. Os pontos ~r(a) e ~r(b) são chamados

de extremos da trajetória. A imagem de ~r é chamada curva de ~r.

Definição 2.2. Funções coordenadas.

Seja ~r : [a, b] ⊆ R −→ R3 uma trajetória definida por ~r(t) = (x(t), y(t), z(t)). As as

funções x, y, z : [a, b] −→ R, que são as coordenadas do vetor ~r(t) são denominadas “funções

coordenadas".

Exemplo 2.1.

Consideremos a trajetória Γ descrita por um ponto P sobre uma circunferência de raio R

que roda entorno do seu eixo com velocidade constante v (movimento uniforme) tal como se

representa na Figura (2.2). A esta linha chamamos ciclóide.

Figura 2.2: Uma ciclóide em R2

Suponhamos que o ponto P se encontra na origem de R2 no instante inicial t = 0. Seja C =

(α, β) o centro da circunferência. Então, sendo o movimento uniforme, o centro da circunferência

move-se de acordo com as equações α(t) = vt, β(t) = R.

Por outro lado, seja T o intervalo de tempo necessário para uma volta completa e seja ω

o ângulo descrito por unidade de tempo (velocidade angular). Sendo o movimento uniforme,

obtemos

2π = ωT ; 2πR = vT

donde se conclui que ω =v

RSuponhamos também que a circunferência roda no sentido de x > 0. Portanto, em cada

instante t > 0, a posição do ponto P pode ser determinada pelo ângulo θ formado entre o eixo

y < 0 e o vetor−−→CP , medido no sentido horário, tal como se representa na Figura (2.2).

Sendo ω a velocidade angular, temos f(t) = ωt =v

Rt. Assim, o ponto P move-se de acordo

com as equações {

x(t) = vt−Rsen( vR t)

y(t) = R−R cos( vR t)

Portanto, o ciclóide é a imagem da trajetória contínua r(t) = (vt−Rsen( vR t), R−R cos( vR t)),

onde 0 ≤ t ≤ Tf , sendo Tf o instante final da observação do movimento.


Definição 2.3. Trajetória diferenciável.

Dizemos que a trajetória ~r(t) da Definição (2.2) é diferenciável de classe C1 em [a, b], se cada

uma de suas funções coordenadas x(t), y(t), z(t) também fossem diferenciáveis de classe C1 em

[a, b].

Exemplo 2.2.

Seja ~r : R → R2 definida por ~r(t) = (t, t3). Suas funções coordenadas x(t) = t e y(t) = t2

são contínuas em R, e suas derivadas também são contínuas, então ~r(t) é diferenciável de classe

C1.

Definição 2.4. Curva parametrizada.

Dizemos que uma curva Γ do espaço R3 é curva parametrizada, se ela é a imagem de uma

trajetória ~r : [a, b] ⊆ R −→ R3 diferenciável de classe C1

Exemplo 2.3.

A circunferência Γ : x2 + y2 = 9 completa pode ser escrita pela parametrização ~r(t) =

(3 cos t, 3sent), t ∈ [0, 2π] de tal modo que o gráfico de ~r encontra-se sobre a circunferência Γ

percorrendo no sentido positivo (anti-horário).

A mesma curva deste exemplo, pode ser escrita na forma ~r1(t) = (3 cos 2t, 3sen2t), t ∈[0, π]. Ainda mais, a mesma curva pode ser representada como ~r1(t) = (3 cos(2π− t), 3sen(2π−t)), t ∈ [0, 2π]. Neste caso, o percorrido é no sentido horário.

Exemplo 2.4.

Seja Γ a curva do espaço descrita por ~r : [0,+∞) −→ R3 definida por ~r(t) = (a cos t, asent, bt),

onde a > 0, b > 0.

Suas funções coordenadas x(t) = a · cos t, y(t) = a · sent e z(t) = bt são diferenciáveis e

contínuas, logo a Γ é uma curva parametrizada.

Definição 2.5. Curva fechada.

Uma curva Γ parametrizada definida pela trajetória ~r : [a, b] −→ R3, dizemos que é fechada,

se ~r(a) = ~r(b).

Exemplo 2.5.

Seja ~r : [0, 2π] → R2 definida por ~r(t) = (4 cos t, 2sent) é fechada, pois ~r(0) = ~r(2π).

Definição 2.6. Vetor velocidade.

Seja Γ uma curva parametrizada definida por ~r(t) = x(t)~i+y(t)~j+z(t)~k, e um ponto t0 ∈ [a, b]

de modo que ~r(t0) = P0 exista.

O vetord~r

dt(t0) = ~r ′(t0) = x′(t0)~i+ y′(t0)~j + z′(t0)~k é chamado "vetor velocidade da curva Γ

no ponto P0".

Exemplo 2.6.

Seja ~r(t) = (a · cos t, a · sent, bt) uma curva parametrizada. O vetor velocidade para esta

curva em qualquer ponto ~r(t0) = P0 do seu domínio é ~r ′(t0) = (−a · sent0, a · cos t0, b).


Definição 2.7. Curva regular.

Uma curva parametrizada Γ definida pela trajetória ~r : [a, b] −→ R3 é regular (ou suave) se

seu vetor velocidade ~r ′(t) é diferente do vetor nulo.

Isto é, dizemos que uma curva Γ do espaço R3 é regular (ou suave) se tiver uma representação

da forma ~r(t) = (x(t), y(t), z(t)) tal que ~r(t) tem uma derivada ~r ′(t) =d~r

dt(t) contínua e que

nunca é igual ao vetor nulo.

Em geral, as partículas que se movimentam no espaço percorrem caminhos suaves, estas

partículas, usualmente não desaparecem nem aparecem espontaneamente, nem mudam de ve-

locidade, é por isso que é importante o estudo das curvas suaves.

Exemplo 2.7.

1. Seja ~r : [0, 2π] −→ R2 definida por ~r(t) = (a cos t, asent) é regular, poisd~r

dt(t) = (−asent, a cos t) 6=

(0, 0), ∀ t ∈ [0, 2π].

2. Seja ~r : [0, +∞) −→ R3 a curva definida por ~r(t) = (a cos t, asent, bt) onde a > 0, b > 0.

Tem-se que esta curva é regular, poisd~r

dt(t) = (−asent, a cos t, 0) 6= (0, 0, 0), ∀t ∈ [0,+∞).

Iremos denominar de “trajetória de integração” a uma trajetória constituída por uma ou mais

(mas sempre em número finito) curvas regulares.

Definição 2.8. Comprimento de arco de uma curva regular.

Seja ~r : [a, b] ⊆ R −→ R3 uma curva regular, tal que ~r(t) = (x(t), y(t), z(t)), e seja t0 < t1

onde t0, t1 ∈ [a, b].

O comprimento de arco da curva Γ representada por L(S) desde ~r(t0) até ~r(t1) é dado por

L(S) =

t1∫

t0

∣∣∣∣

d~r

dt(t)

∣∣∣∣dt =

t1∫

t0

√

[x′(t)]2 + [y′(t)]2 + [z′(t)]2dt

Definição 2.9. Região simplesmente conexa.

Uma região S ⊂ R3 dizemos que é simplesmente conexa, se toda curva simples fechada Γ em

S pode-se deformar continuamente a um ponto sem sair de S.

São regiões simplesmente conexa, Figuras (2.3) e (2.5); a Figura (2.4) não é simplesmente

conexa

2.3 Integral de linha de uma função escalar

Dizemos que uma trajetória em Rn é qualquer função contínua ~r : [a, b] −→ Rn. A imagem

de uma trajetória é uma curva ou linha. Dada uma curva Γ ⊂ Rn, se ~r : [a; b] −→ Rn for uma

trajetória1 tal que ~r([a; b]) = Γ, então ~r também se diz uma parametrização de Γ

Exemplo 2.8.

1Uma trajetória também é conhecida como caminho


Figura 2.3: Figura 2.4: Figura 2.5:

• Considere-se a trajetória ~h : [0, 2] −→ R2 definido por h(t) = (t,t

2+ 1): A curva ~h([0, 2])

é o segmento de recta que une os pontos (0; 1) e (2; 2).

• Dado a trajetória ~s : [0, 2] −→ R2 definido por ~s(t) = (t; t2 + 2); a correspondente curva

~s([0, 2]) é uma parte da parábola y = x2 + 2 com 0 ≤ x ≤ 2 :

Exemplo 2.9.

• Para as trajetórias ~r : [0, 2] −→ R2 e ~s : [0, π] −→ R2, definidos por

~r(t) = (cos t, sent) e ~s(t) = (cos 2t, −sen2t)

as respectivas curvas, ~r([0, 2]) e ~s([0, 2]), coincidem com a circunferência de raio um

centrada na origem. A trajetória ~s percorre a circunferência com o dobro da velocidade de

~r e no sentido oposto.

• A trajetória ~r : [0, 2π] −→ R2 definido por

~r(t) =

√

2

cos2 t+ 2sen2t(cos t, sent)

percorre uma vez a elipsex2

2+ y2 = 1 no sentido anti-horário.

Lembrando que integrais simples (ou duplas) de funções escalares cujas imagens são não

negativas em todos os pontos do domínio D, são números também não negativos e que represen-

tam a área da região do plano acima de S e abaixo da curva gráfico da função de uma variável

(ou o volume do sólido no espaço acima de D e abaixo da superfície gráfico da função de duas

variáveis).

Com estas idéias apresentamos três problemas que conduzem à definição da integral de linha.

Problema 2.1. Comprimento de uma linha.

Suponhamos P e Q dois pontos do espaço Rn, designemos por PQ o segmento de linha que

une esses dois pontos. Qual é o comprimento dessa linha?

Sabemos que o comprimento do segmento PQ é dado por ‖Q− P‖.O segmento da reta PQ pode ser definido mediante a trajetória r : [0, 1] −→ Rn definido por

r(t) = P + t(Q− P ).


Note quedr

dt= Q− P , logo temos ‖Q− P‖ =

1∫

0

‖Q− P‖dt =

1∫

0

‖drdt

‖dt

Portanto, o comprimento do segmento de reta ‖Q− p‖ está dado pela integral

1∫

0

‖drdt

‖dt.

Com está idéia podemos heurísticamente aceitar a seguinte definição

Definição 2.10.

Seja f : S ⊂ Rn −→ R uma função escalar, S aberto, consideremos a trajetória ~r : [a, b] → Rn

de classe C1 que representa a curva Γ ⊂ S. Chama-se integral de linha do campo escalar f ao

longo da curva ~r ó integral

∫

Γ

f =

b∫

a

f(r(t))‖drdt

‖dt (2.1)

O rigor para justificar esta definição apresenta-se mediante os dois seguintes problemas.

Problema 2.2. Massa total do fio.

Como exemplo, suponha-se que temos um fio Γ, cuja configuração é dada por uma certa

trajetória diferenciável ~r : [a, b] −→ R3 , com uma densidade de massa ρ. Qual a massa total do

fio?

Para termos um valor aproximado desta quantidade, podemos adoptar o esquema que já

deve ser familiar ao leitor. Ou seja, primeiro decompomos o intervalo [a, b] num número finito

de subintervalos

a = t0 < t1 < · · · < tn−1 < tn = b

considerando ti+1 − ti = ∆t, e, de seguida, escrevemos a soma para obter aproximadamente a

massa.

M ≈n−1∑

i=0

ρ(~r(t)) ‖ ~r(ti+1) − ~r(ti) ‖=n−1∑

i=0

ρ(~r(t)) ‖ ~r(ti + ∆t) − ~r(ti) ‖

Em princípio, melhores aproximações serão obtidas se tomarmos para ∆t um valor mais

pequeno próximo de zero. A massa total M sería então dada pelo limite:

lim∆t→0

n−1∑

i=0

ρ(~r(t)) ‖ ~r(ti + ∆t) − ~r(ti) ‖ (2.2)

Observe que este limite tem todos os ingredientes do que deve ser um integral e, portanto, é

natural denotá-lo por∫

Γ

ρ.

No entanto, estas considerações não nos dão ainda uma forma prática de calcular o valor

exato da massa total. Precisamos de simplificar o limite (2.2). Para isso, comecemos por notar

que

lim∆t→0

‖ ~r(ti + ∆t) − ~r(ti) ‖∆t

=‖ d~rdt

(t) ‖


logo

M =

∫

Γ

ρ = lim∆t→0

n−1∑

i=0

ρ(~r(t)) ‖ ~r(ti + ∆t) − ~r(ti) ‖

= lim∆t→0

n−1∑

i=0

ρ(~r(t))‖ ~r(ti + ∆t) − ~r(ti) ‖

∆t· ∆t

M =

b∫

a

ρ(~r(t)) ‖ d~rdt

(t) ‖ dt

supondo para a última igualdade que ρ e ~r são funções “suficientemente regulares”.

Por exemplo, se ~r é de classe C1 e é contínua, essa igualdade é válida. Fazendo ρ = 1, vemos

que∫

Γ

1 dá-nos também o comprimento do fio da fórmula (4.19).

Definição 2.11.

Seja f : S → R uma função, com S um aberto de Rn, e consideremos uma trajetória ~r :

[a, b] −→ S de classe C1. Notemos por Γ a respectiva curva, isto é, Γ = ~r([a; b]). Chamamos

integral de linha de f sobre a trajetória ~r ao integral

∫

Γ

f =

b∫

a

f(~r(t)) ‖ d~rdt

(t) ‖ dt (2.3)

Existem outras situações não contempladas nos casos acima descritos.

Por exemplo, se quisermos calcular a área de um “muro” construído sobre uma curva e cuja

altura é variável não é possível fazê-lo através de integral definida nem de integral dupla.

Problema 2.3. Área de um muro.

Consideremos uma curva Γ unindo dois pontos no plano-xy e uma função z = f(x, y)

contínua em S onde S é uma região do plano contendo a curva Γ.

Um muro é construído ao longo de Γ e tem altura igual à f(x, y) (supondo que f seja não

negativa em S) em cada ponto (x, y)) de Γ. Qual é a área deste muro?.

Solução.

Para resolver o problema nós tomamos um partição da curva Γ obtendo n arcos pela intro-

dução de n− 1 pontos em Γ entre os seus extremos.

Seja ~r : [a, b] −→ R2 uma curva regular, tal que ~r([a, b]) = Γ ⊂ R2 é a imagem de ~r.

Agora consideremos f : Γ ⊂ R2 −→ R uma função definida sobre a curva Γ.

Consideremos P = { t0, t1, t2, · · · , tn } uma partição de [a, b] tal que a = t0 < t1 < t2 <

· · · < tn = b.

Estes pontos determinam uma partição da curva Γ pelos pontos ~r(a) = ~r(t0), ~r(t1), ~r(t2),

· · · , ~r(ti) = (xi, yi), · · · , ~r(tn) = ~r(b).

Traçando retas verticais por esses pontos (inclusive os extremos) dividimos o muro em n



“tiras’ ’. Denotando por ∆Ai a área da i-ésima “tira” a área do muro é dada por

Área do muro = ∆A1 + ∆A2 + · · · + ∆An =

n∑

i=1

∆Ai

Em cada subintervalo [ti−1, ti] para i = 1, 2, , · · · , n escolhemos um ponto arbitrário ti tal

que ~r(ti) = (xi, yi) ∈ Γ.

Vejamos uma aproximação para a área da i-ésima tira, ∆Ai.

Para isso, tomemos no i-ésimo arco, ~r(ti−1)~r(ti), um ponto (xi, yi) e consideremos a altura

f(xi, yi) do muro neste ponto.

O comprimento do arco ~r(ti−1)~r(ti) denotaremos por L(Si) é dado por:

L(Si) =

ti∫

ti−1

√

[x′(t)]2 + [y′(t)]2dt

Como f é uma função contínua e a i-ésima tira é estreita podemos aproximar o valor de f

para f(xi, yi) em todo (x, y) do arco ~r(ti−1)~r(ti) . Assim, a área da i-ésima tira é aproximada

por

∆Ai ≈ f(xi, yi)L(Si)

enquanto a área do muro tem aproximação

Área do muro ≈n∑

i=1

f(xi, yi)L(Si)

Como podemos intuir, se aumentarmos indefinidamente o número de arcos na partição, em

cada arco o comprimento tende a zero e a função f tende a assumir o valor constante f(xi, yi) .

Desta forma a área do muro é

Área do muro = limn→∞

n∑

i=1

f(xi, yi)L(Si)

que sabemos tratar-se de uma integral e que é chamada integral de linha ou integral curvilínea


da função f ao longo da curva Γ e denotaremos∫

Γ

f(x, y)dS. Assim,

Área do muro =

∫

Γ

f(x, y)dS

Definição 2.12.

Se existe um número M ∈ R tal que para todo ε > 0 existe um δ > 0 tal que

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

f(xi, yi)L(Si) −M

∣∣∣∣∣< ε

para toda partição P = { t0, t1, t2, · · · , tn } de Γ, então dizemos que existe a integral curvilínea

de f com respeito ao comprimento de arco Γ e se escreve como

∫

Γ

f(x, y)dS = M = lim‖L(Si)‖→0

n∑

i=1

f(xi, yi)L(Si) (2.4)

Onde ‖L(Si)‖ é o comprimento máximo de arco correspondente à partição considerada. �

O conceito de integral de linha constitui uma generalização do conceito de integral definidab∫

a

f(x)dx. No caso da integral definida, a integral é efetuada ao longo do segmento de reta ab

pertencente ao eixo dos−→0x, sendo f(x) uma função definida em qualquer ponto deste segmento

de reta.

Quando se define o integral∫

Γ

f , é preciso ter em atenção que a parametrização utilizada deve

ser previamente estabelecida, uma vez que a fórmula (2.3) depende em geral de ~r. No entanto,

como vamos ver agora, resta-nos alguma liberdade para escolher a parametrização.

Sejam ~r : [a, b] −→ Rn e ~s : [c, d] → Rn duas trajetórias de classe C1, para os quais

existe um difeomorfismo2 ϕ : [a, b] −→ [c, d] de classe C1 (em particular, ϕ′ = 0 em [a, b]),

tal que ~s(ϕ(t)) = ~r(t). Intuitivamente, as trajetórias ~r e ~s percorrem a mesma curva, com os

mesmos pontos de inflexão, passando em cada ponto igual número de vezes, mas com velocidades

e sentidos eventualmente diferentes. Assim, uma vez que

d~s

dϕ(ϕ(t)) · dϕ

dt(t) =

d~r

dt(t)

temos

d∫

c

f(~s(u)) ‖ ~s ′(u) ‖ du =

b∫

a

f(~s(ϕ(t))) ‖ ~s ′(ϕ(t)) ‖‖ ϕ ′(t) ‖ du =

b∫

a

f(~r(t)) ‖ ~r ′(t) ‖ dt

onde na primeira igualdade utilizámos o Teorema da Mudança de Variável para integrais unidi-

2Função diferenciável de modo que sua função inversa também é diferenciável


mensionais.

Exemplo 2.10.

Consideremos as trajetórias ~r : [0, 2π] −→ R2 e ~s : [0, π] → R2, definidos por

~r = (cos t, sent) ~s = (cos 2t, sen2t)

Estas trajetórias são parametrizações diferentes para uma mesma curva: ~r([0, 2π]) = ~s([0, π]).

Como ~ϕ(t) = ~r(t), sendo ϕ : [0, 2π] −→ [0;π] o difeomorísmo de classe C1 definido por

ϕ(t) = π − t

2, temos que o integral de linha de uma função f sobre a trajetória ~r é igual ao

integral de linha de f sobre a trajetória ~s.

Exemplo 2.11.

Calcular a integral de linha∫

Γ

(xy+ 3x)ds, sendo Γ o segmento que une o ponto A(−1, 0) ao

ponto B(2, 3).

Solução.

Primeiro temos de parametrizar a curva Γ

y − 0 =3 − 0

2 + 1(x+ 1), y = x+ 1

~r(t) = (t, t+ 1), t ∈ [−1, 2]

r′(t) = (1, 1), |r′(t)| =√

1 + 1 =√

2

∫

Γ

(xy + 3x)ds =

2∫

−1

(x(t)y(t) + 3x(t))|r′(t)|dt =

2∫

−1

[t(t+ 1) + 3t]√

2dt = 9√

2

Observe que a parametrização usada foi através da equação reduzida de uma reta no plano,

e o intervalo de variação do parâmetro foi dado pelas abcissas dos pontos de extremidade do

segmento de reta, já que foi considerado x = t. O resultado obtido seria o mesmo se tomássemos

as equações paramétricas da reta para parametrizar o segmento(orientado) ~AB. Ou seja, o vetor

diretor é ~v = B −A = (3, 3) sendo a parametrização dada por

~r(t) = (−1 + 3t, 3t), t ∈ [0, 1] ou ~r(t) = A− t~v, t ∈ [0, 1]

Sugerimos que calcule a integral de linha∫

Γ

(xy+3x)ds, usando esta parametrização. Deverá

dar o mesmo resultado pois a integral de linha é independente da parametrização. �

Claramente se observa mediante a definição a relação que existe entre uma “integral de linha"

e uma “integral definida" sobre o eixo coordenado. No entanto, não é difícil compreender que a

“integral de linha" é mais geral e flexível do que o seu parente mais pobre, a “integral definida".


2.4 Aplicações da integral de linha de funções escalares

Mediante a definição da integral de linha para funções escalares podems apresentar algumas

aplicações:

1. Comprimento de um caminho: Seja f ≡ 1. Então, o integral de linha de f

l(Γ) =

∫

Γ

f =

b∫

a

‖drdt

(t)‖dt

é o comprimento da curva Γ = ~r([a, b]).

2. Massa de um fio: Seja ρ : S ⊂ Rn −→ R a densidade de massa por unidade de comprimento

do material que constitui um fio descrito por um caminho ~r : [a, b] −→ Rn. Então, o integral

de linha de f

M =

∫

Γ

ρ =

b∫

a

ρ(~r(t))‖d~rdt

(t)‖dt

é a massa M do fio

3.Centro de massa de um fio: Seja ρ : S ⊂ Rn −→ R a densidade de massa por unidade

de comprimento do material que constitui um fio de massa M descrito por um caminho

~r : [a, b] −→ Rn e seja

f(x) =1

Mx1ρ, i = 1, 2, 3, · · · , n

O centro de massa é o ponto de coordenadas (x1, x2, x3, · · · , xn) calculadas da seguinte

forma

xi =1

M

b∫

a

xi(t)ρ(r(t))‖dr

dt(t)‖dt, i = 1, 2, 3, · · · , n

4. Momento de inércia de um fio: Seja L uma linha reta e designemos por dL(x) a distância

do ponto x ∈ Rn. à linha L. O momento de inércia da linha Γ cuja densidade é ρ relativo

à reta L é a integral de linha da função f(x) = ρ(x)d2L(x), ou seja,

IL =

b∫

a

ρ(r(t))d2L(r(t))‖dr

dt(t)‖dt

Exemplo 2.12.

Seja Γ uma circunferência de raio a e centro na origem de coordenadas em R2. Determine

o comprimento de Γ.

Solução.

A curva Γ podemos escrever na forma r(t) = 9acostheta, asenθ onde 0 ≤ θ ≤ 2π.

Logo, l(Γ) =

∫

Γ

‖drdt

(t)‖dt =

2π∫

0

adt = 2πa.


Exemplo 2.13.

Calcular o comprimento Γ da hélice cilíndrica (Figura (2.8)) parametrizada por ~r(t) =

(cos 2t, sen2t, t), t ∈ [0, 5π].

Solução.

Tem-se l(Γ) =

5π∫

0

‖ ~r ′(t) ‖ dt =

5π∫

0

‖ (−2sen2t, 2 cos 2t, 1) ‖ dt =

l(Γ) =

5π∫

0

‖√

4(sen22t+ cos2 2t) + 1 ‖=5π∫

0

√5dt = 5

√5π

Logo o comprimento da hélice é 5√

5π


Exemplo 2.14.

Seja um fio cuja configuração é dada pela espiral (Figura (2.9)) ~r(t) = (t cos t, tsent), t ∈[0, 2π] e com densidade de massa ρ(x, y) =

√

x2 + y2.

A massa M total do fio vem dada por;

M =

2π∫

0

ρ(~r(t)) ‖ ~r ′(t)dt =

2π∫

0

√

t2(cos2 t+ sen2t) ‖ (cos t− tsent, sent+ t cos t) ‖ dt

=

2π∫

0

t√

1 + t2dt =1

3

[√

(1 + t2)3] ∣∣∣

2π

0=

1

3[√

(1 + 4π2)3 − 1]

�

Exemplo 2.15.

Seja Γ um fio de um material cuja densidade de massa é dada por ρ(x, y) =1

√

1 + x2 + y2

e tem configuração de um espiral descrito pelo caminho ~r(t) = (t cos t, tsent) 0 ≤ t ≤ 4π.

Determine sua massa e a coordenada y do centro de massa.

Solução.


Tem-sedr

dt(t) = (cos t− tsent, sent+ t cos t). Seja M a massa do fio, então

M =

∫

Γ

ρ(x, y)dr =

4π∫

0

1√1 + t2

·√

1 + t2dt = 4π

A coordenada y do centro de massa é dado por

y =1

M

∫

Γ

yρ(x, y) =1

4π

2π∫

0

tsent · 1√1 + t2

·√

1 + t2dt = −1

Exemplo 2.16.

Seja Γ ⊂ R3 um fio de um material com densidade de massa ρ(x, y, ) = z cuja configuração

é uma hélice cilíndrica descrita pela curva ~r(t) = (cos t, sent, t), t ∈ [0, 4π]. Determine o

momento de inércia respeito do eixo-x.

Solução.

Como ~r(t) = (cos t, sent, t) ⇒ ‖drdt

(t)‖ =√

2 e o momento de inercia de Γ relativo ao

eixo-x é

Ix(Γ) =

∫

Γ

zρ(x, y, z)dr =

4π∫

0

√2tdt = 8

√2π2


Exercícios 2-1

1. Parametrize as curvas representadas nas figuras seguintes:

1. 2. 3.

4. 5. 6.

2. Ache um campo vetorial conservativo que tenha o potencial indicado.

1. f(x, y, z) = x2 − 3y2 + 4z2 2. f(x, y, z) = sen(x2 + y2 + z2)

3. f(x, y, z) = arctan(xy) 4. f(x, y, z) = y2e−3x

3. Para cada um dos seguintes exercícios, determine a integral de linha.

1.∫

L

[ x2

√

x2 − y2dx+

2y

4x2 + y2dy]

onde L é o arco y =1

2x2 de (0, 0) até (2, 2).

2.∫

L

[(x2 − 2y)dx+ (2x+ y2)dy] onde L é o arco y2 = 4x− 1 de (1

4, 0) até (

5

4, 2).

3.∫

L

[(x+ y)dx+ (x− y)dy]

1. Através da curva L que é o segmento−→OA e

−−→AB onde A(2, 0), B(2, 1 e O(0, 0).

2. Através da curva L que é o segmento−−→OB.

4.∫

L

[ydx+ (x2 + y2)dy] onde L é o arco da circunferência y =√

4 − x2 de (−2, 0) até

(0, 2).

5.∫

L

[ −yx√

x2 − y2dx+

1√

x2 − y2dy]

onde L é o arco da curva x2 − y2 = 9 de (3, 0) até

(5, 4).


6.∫

L

y2sen2x√

1 + cos2 xds onde L é o arco da curva y− = senx de (0, 0) até (π

2, 1).

7.∫

L

y2dx− xdy onde L é a curva y2 = 4x de (0, 0) até (1, 2).

8.∫

L

x2dy onde L é a curva y = x3 − 3x2 + 2x desde (0, 0) até (2, 0).

9.∫

L

[(y − x)dx+ x2ydy] onde L é a curva y2 = x3 desde (1, −1) até (1, 1).

10.∫

L

xy2

x2 + y2dy onde L é o círculo x2 + y2 = a2 no sentido anti-horário.

11.∫

L

xdy onde L é o segmento de retax

a+y

b= 1 desde o ponto de interseção com o

eixo das abscissas até o ponto de interseção com o eixo das ordenadas.

12.∫

L

[yzdx+ zxdy+ xydz] onde L é um arco da hélice x = R cos t, y = Rsent, z =at

2π

desde o ponto de interseção da hélice com o ponto z = 0, até o ponto de interseção

com o plano z = a.

13.∫

L

[y2dx+ z2dy+x2dz] onde L é a curva de interseção da esfera x2 + y2 + z2 = R2 e

o cilindro x2 +y2 = Rx, (R > 0, /z ≥ 0, sendo percorrido no processo de integração

no sentido anti-horário.

4. Determine∫

L

f(x, y)ds se L é a curva no sentido anti-horário do conjunto de pontos S,

onde

1. f(x, y) = xy onde S é o triângulo formado pelo eixos coordenados e a reta x+2y = 1.

2. f(x, y) = x2 + y2 onde S é a semi-circunferência formada pelo eixo 0x e a metade

superior da circunferência x2 + y2 = 4.

3. f(x, y) = xy − y2 onde S = { (x, y) ∈ R2 /. |x| + |y| = 1 }4. f(x, y) = (x − y)2 onde S é um quarto da circunferência x2 + y2 = 4 do primeiro

quadrante e os eixos de coordenadas.

5. f(x, y) = xy onde S é determinado por α(t) = (4sent, 4 cos t), 0 ≤ t ≤ π.


2.5 Campos vetoriais

Um campo vetorial é sinônimo de função vetorial. Análogamente, uma função ordinária f

que associa um número real a cada ponto de uma região do plano ou do espaço é chamada de

campo escalar ou função escalar.

Funções vetoriais frequentemente aparecem nas aplicações da matemática. O vetor velocidade

do vento na atmósfera, é um exemplo de uma função vetorial. Outros exemplos de funções

vetoriais são o vetor velocidade das partículas de fluidos de uma corrente também o vetor força

da gravedade que exerce a terra sobre um objeto no espaço.

Um campo de forças é um campo vetorial em que a cada ponto está associado um vetor força,

estes campos são comuns em estudos de mecânica e eletricidade.

Figura 2.10: Campo vetorial que descreve o fluxo em uma tuberia

Muitas das importantes propriedades dos campos vetoriais são de carater geométrico, conse-

quentemente são independentes de qualquer sistema de coordenadas, logo muitas vezes definem-se

propriedades de campos vetoriais sem referência a um sistema particular de coordenadas.

Propriedades análogas de cálculo diferencial e integral estudados é possível definir para cam-

pos vetoriais, desde que suas funções componentes satiszafam essas propriedades.

Se a cada ponto P de uma região está associado exatamente um vetor que tenha P como sua

origem (ponto inicial), então a coleção de todos esse vetores constitui um campo vetorial.

Os campos vetoriais independentes do tempo, são chamados de campos vetoriais estacionários.

Lembremos que todo ponto P (a, b, c) do espaço R3 pode ser escrito na forma do vetor−→0P =

(a, b, c) = a~i+ b~j + c~k onde os vetores ~i = (1, 0, 0), ~j = (0, 1, 0) e ~k = (0, 0, 1) formam uma base

canônica do espaço R3.

Denotemos com • o operador para o produto escalar de vetores; isto é, se ~u = u1~i+u2

~j+u3~k

e ~v = v1~i+ v2

~j + v3~k são vetores de R3, o produto escalar é definido por

~u • ~v = (u1~i+ u2

~j + u3~k) • (v1

~i+ v2~j + v3

~k) = u1v1 + u2v2 + u3v3 ∈ R

Seja S ⊂ R3 e consideremos uma transformação ~F : S −→ R3, muitas vezes levando em conta

o significado físico ou geométrico de ~F , será conveniente interpretar ~F (X) com o ponto X ∈ S

como um vetor aplicado em X. Sempre que quisermos interpretar ~F (X) desta forma, referir-nos

a ~F como um campo vetorial e usaremos a notação ~F .

Definição 2.13. Campo vetorial.

Um campo vetorial em Rn é uma função ~F : S ⊂ R −→ Rn que associa a cada ponto X do

seu domínio S um vetor ~F (X)


Um campo vetorial em três dimensões, é uma função ~F cujo domínio S ⊆ R3 e sua imagem

(contradomínio) é um subconjunto de R3.

Se (x, y, z) está em S ⊆ R3 então

~F (x, y, z) = F1(x, y, z)~i+ F2(x, y, z)~j + F3(x, y, z)~k

onde Fi : R3 −→ R, i = 1, 2, 3, são funções escalares.

Exemplo 2.17.

Realizar a descrição do campo vetorial ~F dado por ~F (x, y) = −y~i+ x~j.

Solução.

A seguinte tabela mostra os vetores ~F (x, y) associados a vários pontos (x, y) assinalados na

Figura (2.11)

(x, y) ~F (x, y)

(1, 3) −3~i+~j

(1, −3) 3~i+~j

(3, 1) −~i+ 3~j

(3, −1) ~i+ 3~j

(−1, 3) −3~i−~j(−1, −3) 3~i−~j(−3, 1) −~i− 3~j

(−3, −1) ~i− 3~j

-

6

�

?

1

2a

1a

3a

4a−1

a−2a

2

3

4

−1

−2

−3

−4

−3−4 0

x

y

PPi

��1

BB

BBBM

��

��)

PPq

��

�� B

BBBBN

Figura 2.11:

Para chegar a uma descrição de um campo vetorial ~F consideramos um ponto arbitrário

(x, y) e definimos o vetor de posição x~i+ y~j de (x, y).

2.5.1 Gradiente. Divergente. Rotacional

Consideremos o campo vetorial ~F : S ⊂ R3 −→ R3 descrito como ~F (x, y, z) = F1(x, y, z)~i+

F2(x, y, z)~j +F3(x, y, z)~k definido no aberto S ⊂ R3. Suponhamos que F1, F2, F3 sejam de de

classe C1 em S.

No cálculo vetorial o gradiente é a alteração no valor de uma quantidade por unidade de

espaço.

O vetor gradiente ou simplesmente gradiente de uma campo escalar f é dado por:

Definição 2.14. Gradiente.

O gradiente de ~F , que indicamos por ∇ ~F , é o campo vetorial definido em S e dado por

∇~F =∂F1

∂x~i+

∂F2

∂y~j +

∂F3

∂z~k (2.5)


O símbolo nabla ∇ foi introduzido por William Hamilton e rápidamente assimilado pela

comunidade científica:

O gradiente também pode ser generalizado em ordem - se fornecemos um campo vetorial

obtemos um campo tensorial.

• Por exemplo, o gradiente do potencial elétrico é o campo elétrico. O gradiente da energia

de campo é a força de campo

Propriedades do gradiente.

1. Linearidade: ∇(αf + βg) = α∇f + β∇g; α, β ∈ R

2.- Lei de Leibnitz na multiplicação: ∇(f · g) = g · ∇f + f · ∇g

3.- Lei de Leibnitz na divisão: ∇(f

g) = 1

g2[g · ∇f − f · ∇g] ; g 6= 0

O vetor gradiente sempre será ortogonal às curvas de nível. Com efeito, seja uma função

definida em e diferenciável em todo seu domínio, e suponhamos f(x, y) uma função definida em

D ⊂ R2.

Seja S = { (x, y) ∈ D /. f(x, y) = k, k ∈ R } onde x = x(t) e y = y(t) são tais que

x(0) = x0 e y(0) = y0; então temos diferenciando em relação a t:

∂f

∂x· dxdt

+∂f

∂y· dydt

= 0 ⇒ ∇f(t0) • dr(t0) = 0

A equação final pode ser interpretada como o produto escalar do gradiente de f por um vetor

tangente a f em (x0, y0), logo os dois são perpendiculares entre si.

Gradiente em outras coordenadas.

1. Coordenadas cartesianas: ∇f =∂f

∂x~i+

∂f

∂y~j +

∂f

∂z~k

Onde {~i,~j,~k } é uma base de R3.

2. Coordenadas cilíndricas: ∇f =∂f

∂r~er +

1

r· ∂f∂θ~eθ +

∂f

∂z~k

Onde r representa a distância ao eixo-z, θ é o ângulo considerado, em geral sobre o plano

z = 0 em relação ao eixo-x e r. O conjunto { ~er, ~eθ,~k } é uma base de R3.

3. Coordenadas esféricas: ∇f =∂f

∂ρ~eρ +

1

ρsenϕ

∂f

∂θ~eθ +

1

ρ· ∂f∂ϕ

~eϕ

Onde ρ representa a distância à origem, ϕ é o ângulo entre a reta que liga o ponto à origem

e o eixo-z e θ é o ângulo formado pela projeção da reta que liga o ponto à origem no plano

z = 0 e o eixo-x. O conjunto { ~eρ, ~eθ, ~eϕ } é uma base de R3.

Definição 2.15. Campo conservativo.

Um campo vetorial ~F que é o gradiente de um campo escalar f , é chamado de campo vetorial

conservativo. Isto é. se~F = ∇f


�

Em cálculo vetorial, o operador divergência é um operador que mede a magnitude de “fonte”

ou “poço” de um campo vetorial em um dado ponto, isto é, ele pode ser entendido como um

escalar que mede a dispersão ou divergência dos vetores do campo num determinado ponto.

Definição 2.16. Divergente.

Seja ~F = (F1, F2, F3) um campo vetorial definido no aberto S ⊂ R3 e suponhamos que as

componentes F1, F2, F3 admitam derivadas parciais em S. O campo escalar div ~F : S −→ R

dado por

div ~F =∂F1

∂x+∂F2

∂y+∂F3

∂z= ∇ • ~F (2.6)

denomina-se divergente de F .

• Por exemplo, considere o volume de ar de uma sala sendo aquecido ou resfriado. O campo

vetorial neste caso é a velocidade do ar se movendo em um determinado ponto. Se o ar

é aquecido em uma determinada região ele irá se expandir em todas as direções, então

o divergente do campo de velocidade nesta região será positivo pois se observarmos um

pequeno volume nessa região teremos mais ar saindo do que entrando nesse volume.

Se o ar resfria e se contrai, o divergente é negativo pois a há na região uma convergência

de ar, se observarmos um pequeno volume nessa região teremos mais ar entrando do que

saindo neste pequeno volume.

• Um outro exemplo, se ~F denota o campo de velocidade de um líquido, então o div ~F (P )

mede a tendência desse fluido, ao ficar longe de P tem-se div ~F (P ) > 0 e ao acumular-se

entorno de P tem-se div ~F (P ) < 0.

Em cálculo vetorial, rotacional é um operador que descreve a rotação de um elemento in-

finitesimal em um campo vetorial. Em cada ponto do campo, a rotação é representada por um

vetor. Os atributos desse vetor (módulo e direção) caracterizam a rotação nesse ponto.

Definição 2.17. Rotacional.

O rotacional de ~F , que indicamos por rot ~F , é o campo vetorial definido em S e dado por

rot ~F =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~k∂

∂x

∂

∂y

∂

∂zF1 F2 F3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

(2.7)

Ainda mais, podemos indicar o rotacional como rot ~F = ∇× ~F

A direção do rotacional é o eixo de rotação, conforme determinado pela regra da mão direita,

e a magnitude de rotação em um ponto do campo é a magnitude do vetor rotacional naquele

ponto. Se o campo vetorial representa o fluxo de um fluido em movimento, então o rotacional

representa a rotação de um pequeno volume em um determinado ponto. Um campo vetorial cujo

rotacional é zero é chamado de irrotacional.


Rotacional corresponde a uma transformação linear de um campo de vetores em um outro

campo vetorial, com significado empregado em diversos ramos da ciência, como eletromagnetismo

e mecânica dos fluidos.

O rot ~F elige a direção do eixo entorno do qual gira o fluido mais rápido, assim rot ~F é uma

medida da rapidez da rotação (dextrogira3).

Exemplo 2.18.

Determinar o gradiente, divergente e rotacional de ~F (x, y, z) = xy2z4~i+(2x2y+z)~j+y3z2~k.

Solução.

Tem-se: F1 = xy2z4, F2 = 2x2y + z, F3 = y3z2, logo∂F1

∂x= y2z4,

∂F2

∂y= 2x2,

∂F3

∂z= 2y3z

∇~F = y2z4~i+ 2x2~j + 2y3z~k

div ~F = y2z4 + 2x2 + 2y3z

rot ~F =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~k∂

∂x

∂

∂y

∂

∂zF1 F2 F3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

rot ~F =(∂F3

∂y− ∂F2

∂z

)

~i−(∂F3

∂x− ∂F1

∂z

)

~j +(∂F2

∂x− ∂F1

∂x

)

~k =

rot ~F = (3y2z2 − 1)~i+ 4xy2z3~j + (4xy − y2z4)~k =

A propriedade seguinte estabelece uma relação básica entre o gradiente e o rotacional de uma

função

Propriedade 2.1.

Para qualquer ~F função de classe C2 temos que ∇×∇ ~F = 0.

Isto é o rotacional de qualquer vetor gradiente é o vetor nulo.

2.6 Integral de linha de um campo vetorial

Problema 2.4.

Seja ~F um campo vetorial sobre uma certa região S de Rn. Interpretemos ~F como um campo

de forças. Qual o trabalho W realizado por ~F para deslocar uma certa partícula ao longo de uma

curva Γ ⊂ S descrita por ~r : [a; b] −→ Rn?

Para vermos qual a fórmula a utilizar, comecemos por supor que ~F é constante e ~r(t) é o

segmento de reta entre os pontos P1 e P2. Neste caso é bem conhecido que o trabalho realizado

pela força ~F para deslocar uma partícula de P1 para P2 é dado por

~F • (P2 − P1)

3A direção da rotação de acordo com a mão direita


Voltemos ao caso geral. Mais uma vez, para obtermos um valor aproximado de W , decom-

pomos o intervalo [a; b] num número finito de subintervalos

a = t0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ · · · tn−2 ≤ tn−1 ≤ tn = b

com ti+1 − ti = ∆t; ficamos assim com uma linha poligonal ~r(t0), ~r(t1), ~r(t2), · · · , ~r(tn−1), ~r(tn)

que serve como primeira aproximação á trajetoria ~r : [a, b] −→ Rn

Em seguida, consideramos a soma

W ≈n−1∑

i=0

~F (~r(ti)) • [~r(ti+1) − ~r(ti)] =n−1∑

i=0

~F (~r(ti)) • [~r(ti + ∆t) − ~r(ti)]

Em princípio, melhores aproximações para W serão obtidas se tomarmos para ∆t um valor

mais pequeno. O trabalho W sería então dado pelo limite

lim∆t→0

n−1∑

i=0

~F (~r(ti)) • [~r(ti + ∆t) − ~r(ti)]

podemos escrever

lim∆t→0

n−1∑

i=0

~F (~r(ti)) • [~r(ti + ∆t) − ~r(ti)

∆t]∆t

Mais uma vez, este limite tem todos os ingredientes de um integral, sendo, assim, notado por∫

Γ

~F •d~r. Procedendo com um argumento similar ao utilizado no caso do integral de uma função

sobre uma trajetória, podemos concluir que

W =

∫

Γ

~F • d~r =

b∫

a

~F (~r(t)) • ~r ′dt

no caso de ~F e ~r serem suficientemente “regulares”. �

Estamos assim motivados para a seguinte definição:

Definição 2.18.

Sejam S um aberto de Rn e ~F : S −→ Rn um campo vetorial. Consideremos uma curva Γ

em S descrita pela trajetória ~r : [a, b] −→ Rn de classe C1. Ao integral

∫

Γ

~F • d~r =

b∫

a

~F (~r(t)) • ~r ′(t)dt

chamamos integral de linha do campo vetorial ~F ao longo do caminho ~r ou trabalho realizado

pelo campo F ao longo do caminho ~r(t) .

Sendo ~r de classe C1 , consideremos a sua derivadadr

dt(t) = lim

~r(t+ h) − ~r(t)

h. Tal como se

ilustra na Figura (2.12), a derivadadr

dtdefine a direção da tangente à linha Γ no ponto P = r(t).


Note-se que à medida que h→ 0 a secante PQ vai-se transformando na tangente

Figura 2.12:

Portanto, se o campo vetorial ~F for, em cada ponto P = r(t) ∈ Γ, ortogonal ao vetor tangentedr

dtnesse ponto, então o trabalho W realizado pelo campo ~F ao longo do caminho ~r será nulo.

Mais uma vez o integral de linha de um campo vetorial ~F depende, em geral, da parametriza-

ção escolhida. No entanto, suponha-se que temos uma curva Γ e duas parametrizações, ~r :

[a, b] −→ Rn e ~s : [c, d] −→ Rn, para as quais existe um difeomorísmo ϕ : [a, b] −→ [c, d] de

classe C1 tal que ~r(t) = ~s(ϕ(t)) e ϕ ′(t) > 0, para todo t ∈ [a; b]. Mais uma vez, como

s′(ϕ(t))ϕ′(t) = ~r ′(t)

temos∫

Γ

~F • d~s =

d∫

c

~F (~s(u)) • ~s ′(u)du =

b∫

a

~F (~s(φ(t))) • ~s (ϕ(t))ϕ′(t)dt

=

b∫

a

~F (~r(t)) • ~r ′(t)dt =

∫

Γ

~F • d~r

�

Se ~F = (F1, F2) e ~r(t) = (x(t), y(t)), podemos notar o integral de linha de ~F ao longo de ~r

por ∫

Γ

~F • d~r =

∫

Γ

F1dx+ F2dy

Exemplo 2.19.

Consideremos o campo vetorial ~F (x, y) = x2~i + y~j e seja Γ a parábola descrita por ~r(t) =

t~i+ (t2 + 1)~j; t ∈ [0, 1]. Determine a integral de linha de ~F ao longo de ~r

Solução.


Tem-se∫

Γ

~F • d~r =

1∫

0

~F (~r(t)) • ~r (t)dt =

1∫

0

(t2, t2 + 1) • (1, 2t)dt =

=

1∫

0

(t2 + 2t3 + 2t)dt =1

3t3 +

1

4t4 + t2

∣∣∣

1

0=

11

3

Exemplo 2.20.

De dois modos diferentes, calcular a integral de linha do campo ~F (x, y) = (x2, y2) sobre a

parábola Γ : y = x2, desde A(0, 0) até B(1, 1).

Solução.

1. Parametrizamos a curva Γ mediante ~r(t) = (t, t2), t ∈ [0, 1], logo ~r ′(t) = (1, 2t) e~F (~r(t)) = (t2, t4). Aplicando a igualdade (2.8) segue

∫

Γ

~F (~r) • d~r =

∫

Γ

(x2dx+ y2dy) =

1∫

0

[F1dx

dt+ F2

dy

dt]dt =

1∫

0

[(t2)(1) + (t4)(2t)]dt =2

3

2. Parametrizamos Γ por ~r(t) = (

√t

2,t

4), t ∈ [0, 4], logo ~r ′(t) = (

1

4√t,1

4) e F (~r(t)) = (

t

4,t2

16).

Aplicando a igualdade (2.8) segue

∫

Γ

~F (~r) • d~r =

4∫

0

(t

4,t2

16)(

1

4√t,

1

4)dt =

4∫

0

[(

√t

16+t2

64)]dt =

2

3

Em coordenadas cartesianas, se conseguirmos representar paramétricamente as coordenadas

(x, y, z) em função de somente um parâmetro t, teríamos que

∫

Γ

~F (~r) • d~r =

∫

Γ

(F1dx+ F2dy + Fzdz) =

b∫

a

[F1dx

dt+ F2

dy

dt+ F3

dz

dt]dt (2.8)

uma vez que temos x = x(t), y = y(t) e z = z(t) logo, x′ =dx

dt, y′ =

dy

dte z′ =

dz

dt, etc.

Observação 2.1.

Podemos calcular a integral de linha de uma função ao longo de uma curva, mesmo que

ela assuma também valores negativos em pontos desta curva. Como nas integrais definidas o

resultado será a diferença entre a área onde a ~F é não negativa e a área onde a F é negativa.

Desta forma, não há restrição para o resultado da integral de linha, podendo ser positivo, negativo

ou nulo.

Propriedade 2.2.

Seja ~r : [a, b] −→ R3 uma curva regular definida por ~r(t) = (x(t), y(t), z(t)) tal que ~r(t) =

Γ ⊂ R3 é a imagem de ~r.


Quando ~F : Γ ⊂ R3 −→ R seja uma função contínua sobre Γ, então:

∫

Γ

~F (x, y, z)dS =

b∫

a

~F (~r(t))|~r′(t)|dt =

b∫

a

~F (x(t), y(t), z(t))∇~r(t)dt

Um caso típico de problemas em Física e Química que envolvem integrais de linha é o trabalho

efetuado por uma força variável para transportar um corpo de massa m do ponto A até ao ponto

B através de uma trajetória curvilínea Γ.

Exemplo 2.21.

Consideremos uma força ~r(t) = x(t)~i+y(t)~j+z(t)~k que atua sobre uma partícula que descreve

a trajetória ~r(t) =~i cos t+~jsent+3t~k 0 ≤ t ≤ 2π, que corresponde à hélice ilustrada na Figura

(2.13):

Figura 2.13:

Temos portanto, que

x(t) = cos t, y(t) = sent, z(t) = 3t

pelo que o trabalho está representado por

∫

Γ

~F (~r) • d~r =

2π∫

0

(−3tsent+ cos2 t+ 3sent)dt = 7π

uma vez que~F (~r) • d~r = (3t~i+ cos t~j + sent~k) • (−~isent+~j cos t+ 3~k).

�

Podemos generalizar um pouco mais as nossas definições de integrais de linha. Para tal,

suponha-se que Γ seja uma curva descrita por uma trajetória ~r : [a, b] −→ Rn seccionalmente

C1, isto é, r é contínua e o intervalo [a, b] admite uma decomposição

a = t0 < t1 < t2 < · · · < tn = b

tal que ~ri = ~r∣∣∣[ti−1, ti]

é de classe C1. Considerando Γi = ~ri([a, b]) tem-se

Γ = Γ1 ∪ Γ2 ∪ Γ3 ∪ · · · ∪ Γn−1 ∪ Γn

e definimos ∫

Γ

Φ =

∫

Γ1

Φ +

∫

Γ2

Φ +

∫

Γ3

Φ + · · · +∫

Γn−1

Φ +

∫

Γn

Φ

sendo Φ uma função ou um campo vetorial em U .

Exemplo 2.22.

Sejam o campo vetorial ~F = yx~i +~j, a curva Γ1 é o segmento de recta de P1 = (1, 1) para

P2 = (0, 0) e Γ1 o segmento da parábola y = x2 entre (0, 0) e (1, 1). Consideremos a curva


Γ = Γ1 ∪ Γ2. Determine∫

Γ

~F .

Solução.

O segmento de recta é parametrizado por ~r1(t) = (1 − t, 1 − t), t ∈ [0, 1] e o segmento de

parábola por ~r2(t) = (t, t2); t ∈ [0, 1]. Logo

∫

Γ1

~F =

1∫

0

((1 − t)(1 − t), 1) • (−1, −1)dt = −1∫

0

(1 − 2t+ t, 1) • (1, 1)dt

=

1∫

0

(2 − 2t+ t2)dt = −[2t− t2 +1

3t3]∣∣∣

1

0= −4

3

Por outro lado,

∫

Γ2

~F =

1∫

0

(t3, 1)(1, 2t)dt =

1∫

0

(t3 + 2t)dt = [1

4t4 + t2]

∣∣∣

1

0=

5

4

assim ∫

Γ

~F =

∫

Γ2

~F +

∫

Γ2

~F = − 1

12

2.6.1 Trajetórias opostas

Seja Γ uma curva com parametrização ~r : [a, b] −→ Rn de classe C1. Podemos definir para Γ

uma nova parametrização ~r ∗ : [a, b] −→ Rn de classe C1 ~r ∗(t) = ~r(a+ b− t)

Designamos ~r ∗ a trajetória oposta a ~r. Intuitivamente, ~r ∗ percorre Γ em sentido inverso a ~r.

Deixamos como exercício para o leitor mostrar que, dado um campo vetorial ~F qualquer,

temos: ∫

Γ

~F • d~r ∗ = −∫

Γ

~F • d~r

Sempre que estiver claramente estabelecido qual a trajetória que estamos a considerar para

uma dada curva Γ, ao notar −Γ queremos indicar a mesma curva mas percorrida pela trajetória

oposta.

Assim, podemos também escrever:

∫

−Γ

~F = −∫

Γ

~F

2.7 Propriedades Fundamentais da integral de linha

As integrais de linha satisfazem algumas propriedades de certa forma intuitivas, tendo em

consideração que constituem uma generalização das integrais definidas, Se k ∈ R é uma constante

arbitrária e as curvas Γ1 e Γ2 são ilustradas na Figura (2.14), então:


1.∫

Γ

k ~F (~r) • d~r = k

∫

Γ

~F (~r) • d~r

2.∫

Γ

[~F (~r) + ~G(~r)] • d~r =

∫

Γ

~F (~r) • d~r +

∫

Γ

~G(~r) • d~r

3.∫

Γ

~F (~r) • d~r =

∫

Γ1

~F (~r) • d~r +

∫

Γ2

~F (~r) • d~r

Figura 2.14:

Para a demonstração destas propriedades, básicamente

se utilizam as propriedades dos limites e dos somatórios.

Quando calculamos uma integral de linha através de

uma curva Γ, estamos trabalhando com uma determinada

orientação desta curva. Se o caminho de integração for

percorrido no sentido inverso, então o valor do integral de

linha fica com sinal contrária.

É de observar que a expressão da integral de linha∫

Γ

~F (~r) • d~r no contexto da mecânica, tem um significado particularmente simples:

Se dividirmos a trajetória Γ em pequenos segmentos de reta de comprimento |d~r| que rep-

resentaremos por vetores elementares d~r, então a integral de linha não é mais do que a soma,

para todos os segmentos infinitesimais (e no limite em que |d~r| tende para zero) da componente

eficaz de ~F em cada segmento. Claro, a componente eficaz de ~F (pense ~F em como uma força e

o integral como o cálculo de um trabalho) não é mais do que a projeção de ~F segundo a direção

especificada por d~r em cada segmento de reta elementar.

Exemplo 2.23.

��

��=

6

-

��(1, 0, 0)

(0, 1, 0)

(0, 1, 1)

y

z

x

0

Γ1

Γ2

Figura 2.15:

Calcular∫

Γ

~F •d~r onde ~F (x, y, z) = xy~i+xz~j−y~k, a curva

~r = x~i + y~j + z~k e Γ consiste nos segmentos orientados Γ1

de (1, 0, 0) a (0, 1, 0) e Γ2 é o segmento de (0, 1, 0) a (0, 1, 1)

como mostra a Figura (2.15).

Solução.

Ao, longo da curva Γ1 tem-se que z = 0, considerando

y = t, longo x = 1 − t e podemos escrever a equação do

segmento retilineo como ~r(t) = (1 − t)~i− t~k.

Também ~F (1 − t, t, 0) = (1 − t)t~i− t~k. Assim

∫

Γ1

F • dr =

1∫

0

[(1 − t)t~i− t~k] • (−~i+~j)dt =

1∫

0

(−t− t2)dt = −1

6

Ao , longo da curva Γ2 tem-se que x = 0, considerando z = t, longo x = 1 − t e podemos

escrever a equação do segmento retilineo como ~r(t) = ~j + t~k.


Também ~F (0, 1, t) = −~k. Assim

∫

Γ2

F • dr =

1∫

0

−~k • ~kdt = −1

Portanto,∫

Γ

~F • d~r =

∫

Γ1

F • dr +

∫

Γ2

F • dr = −1

6− = −7

6. �

É importante ter em conta que as integrais de linha dependem da trajetória de integração

escolhido, mesmo quando os pontos inicial e final são os mesmos. Esta afirmação podemos

confirmar com o seguinte exemplo:

Exemplo 2.24.

Calcular a integral de caminho da função ~F (~r) = 5z~i+ xy~j + x2z~k segundo duas trajetórias

de integração distintos, mas com os mesmos pontos iniciais A = (0, 0, 0) e B = (1, 1, 1).

Solução.

1. Suponhamos a curva Γ1 seja o segmento de reta que liga A a B, mediante a trajetória

~r1(t) = t~i+ t~j + t~k. Fazendo as substituições de ~r(t) em ~F (~r) obtemos:

~F (~r1(t)) = 5t~i+ t2~j + t3~kd

dt~r1(t) =~i+~j + ~k

pelo que as integrais valem

∫

Γ1

~F (~r) • d~r =

1∫

0

(5t~i+ t2~j + t3~k)(~i+~j + ~k)dt =

1∫

0

(5t+ t2 + t3)dt =37

12

2. Por outro lado, suponhamos a curva Γ2 que é o arco da curva parabólica ~r2(t) = t~i+ t~j+ t2~k.

Fazendo as substituições de ~r2(t) em ~F (~r) obtemos:

~F (~r2(t)) = 5t2~i+ t2~j + t4~kd

dt~r2(t) =~i+~j + 2t~k

pelo que as integrais valem

∫

Γ2

~F (~r) • d~r =

1∫

0

(5t2~i+ t2~j + t4~k)(~i+~j + 2t~k)dt =

1∫

0

(5t2 + t2 + 2t5)dt =7

3

�

Suponhamos agora a curva não está restrita a ser parte do eixo−→0x, mas sim pode ser uma

trajetória de integração qualquer, inclusive esta curva pode ser do tipo “curva fechada" como se

ilustra na Figura (2.16).

Fica então a questão:


Figura 2.16:

Será que existem funções para as quais os integrais de linha entre dois pontos

específicos não dependa da trajetória que os liga?

Neste caso, quando a curva L for fechada teremos que a integral nem sempre é zero sendo a

pergunta natural. Porque?

Como é evidente da expressão acima, a complicação reside na representação paramétrica da

curva, que nem sempre é trivial.

Se a trajetória de integração é uma curva fechada, geralmente a integral escreve-se∮

~F (~r)•d~r.

Exemplo 2.25.

-

6

-6

��

��

L1

L2L3

(1, 1)

0 1

1

x

y

Figura 2.17:

Calcular a integral∫

L

~F • d~r para ~F (x, y) = (x + y, y2), onde

L é a curva fechada da Figura (2.17).

Solução.

Temos que L = L1 ∪ L2 ∪ L3, logo

∫

L

~F • d~r =

∫

L1

~F • d~r +

∫

L2

~F • d~r +

∫

L3

~F • d~r

a) L1 : x = t, e y = 0, t ∈ [0, 1],dx = dt, dy = 0, logo

∫

L1

~F =

∫

L1

(x+ y, y2)(dx, dy) =

1∫

0

(t, 0)(dt, 0) =1

2(2.9)

b) L2 : x = 1, e y = t, t ∈ [0, 1],dx = 0, dy = dt, logo

∫

L2

~F =

∫

L2

(x+ y, y2)(dx, dy) =

1∫

0

(1 + t, t)(0, dt) =

1∫

0

t2dt =1

3(2.10)

c) L3 : x = 1 − t, e y = 1 − t, t ∈ [0, 1],dx = −dt, dy = −dt, logo

∫

L3

~F =

∫

L3

(x+ y, y2)(dx, dy) =

1∫

0

(2 − 2t, (1 − t)2)(−dt, −dt) = −1∫

0

(2t− t2)dt = −4

3(2.11)

Das igualdades (2.9), (2.10) e (2.11) segue que∫

L

~F • d~r =1

2+

1

3− 4

3= −1

2. �


2.8 Integral de linha de um campo vetorial conservativo

Quando um campo vetorial é conservativo o integral de linha depende apenas do valor da

função potencial nos pontos inicial e final:

Teorema 2.1. Teorema fundamental do cálculo.

Sejam U um aberto simplesmente conexa de Rn, Γ uma curva em U descrita pela trajetória

~r : [a, b] −→ U de classe C1 tais que P = ~r(a) e Q = ~r(b). Seja f : U −→ R uma função de

classe C1. Quando ~F = ∇f, tem-se:

∫

Γ

~F • d~r = f(Q) − f(P )

Demonstração.

Como ~r(t) = x(t)~i+ y(t)~j + z(t)~k ⇒ d~r

dt(t) =

dx

dt(t)~i+

dy

dt(t)~j +

dz

dt~k.

Por outro lado, F (x, y, z) = ∇f(x, y, z) =∂f

∂x~i+

∂f

∂y~j +

∂f

∂z~k.

∫

Γ

~F • d~r =

∫

Γ

[∂f

∂x· dxdt

+∂f

∂y· dydt

+∂f

∂z· dxdt

]dt (2.12)

Observe que ao longo de Γ f = f(t); como ~r(a) = P e ~r(b) = Q. Podemos escrever a

igualdade (2.12) na forma

∫

Γ

~F • d~r =

b∫

a

d

dtf(x(t), y(t), z(t))dt = f(x(b), y(b), z(b)) − f(x(a), y(a), z(a)) = f(Q) − f(P )

Em termos físicos, este resultado diz-nos que o trabalho realizado por uma força conservativa

para deslocar uma partícula de um ponto P para um ponto Q do espaço, ao longo de uma

qualquer curva, é igual à diferença da energia potencial entre Q e P .

Exemplo 2.26.

Considere-se a função f : R3 −→ R definida por f(x, y, z) = x2y + z e o campo gradiente de

f é ~F = ∇f = (2xy, x2, 1):

Seja Γ uma qualquer curva que una os pontos P = (0, 1, 1) e Q = (1, 0, 2) e ~r : [a, b] −→ R3

uma parametrização de Γ com ~r(a) = P e ~r(b) = Q. Então:

∫

Γ

d~r = f(~r(b)) − f(~r(a)) = f(Q) − f(P ) = 1

Uma consequencia imediata do Teorema (2.1) é a seguinte: supondo que F é um campo

vetorial conservativo e ~r : [a, b] −→ Rn é uma trajetória fechada, isto é, ~r(a) = ~r(b), e notando


por Γ a respetiva curva, temos:

∫

Γ

F • d~r = f(~r(b)) − f(~r(a)) = 0

Exemplo 2.27.

Voltemos a analisar o campo vetorial ~F =y

x2 + y2~i+

x

x2 + y2~j.

Seja Γ a circunferência descrita por ~r(t) = cos t~i+ sent ~j; t ∈ [0, 2π]. Temos então:

∫

Γ

~F • d~r =

2π∫

0

(sent, cos t) • (−sent, cos t)dt =

2π∫

0

(sen2t+ cos2 t)dt =

2π∫

0

dt = 2π

Assim, como o integral de linha de ~F ao longo da trajetória fechada ~r é diferente de 0,

podemos concluir que o campo vetorial ~F não é conservativo em R2 r {(0, 0)}.

Isso significa que o integral de linha de uma função deste tipo ao longo de uma trajetória

fechada é nula, independente da trajetória.

Como vimos, a independência doa trajetória de integração relaciona o campo vetorial com o

gradiente de um campo escalar f . Não é de estranhar o seguinte resultado

Propriedade 2.3.

Sejam F1, F2, F3 funções contínuas com derivadas parciais contínuas num domínio S ⊂ R3

tal que∫

L

~F (~r) • d~r =

∫

L

(F1dx+ F2dy + F3dz) em L ⊂ S. Então:

1. Se a integral de linha é independente da trajetória de integração em S, tem-se que rot ~F = 0

pelo que, em coordenadas cartesianas, podemos escrever:

∂F1

∂z=∂F3

∂x,

∂F2

∂x=∂F1

∂y,

∂F3

∂y=∂F2

∂z

2. Caso aconteça∂F1

∂z=

∂F3

∂x,

∂F2

∂x=

∂F1

∂y,

∂F3

∂y=

∂F2

∂zem S, sendo S simplesmente

conexo, então∫

L

~F (~r) • d~r é independente da trajetória em S.

Definição 2.19.

Dado um campo vetorial ~F = F1~i+ F2

~j + F3~k tal que DjFi = DiFj ∀ i 6= j diz-se que ~F

é um campo fechado.

Assim, ser fechado è condição necessária para que um campo vetorial seja conservativo.

Exemplo 2.28.

Determinar se o campo vetorial ~F (x, y) = x~i+ y ~j definido em R2 é fechado.

Solução.


Trata-se de um campo fechado porque se tem∂F1

∂y=∂F2

∂x= 0 e, portanto, hà a possibilidade

de que seja um campo conservativo.

Para determinar o respectivo potencial escalar, caso exista, consideremos as equações

x =∂f

∂x

y =∂f

∂y

Da primeira equação, obtemos f(x, y) =x2

2+C(y) e da segunda equação C(y) =

y2

2+C em

que C é uma constante.

Assim, o potencial escalar do campo ~F é dado por f(x, y) =1

2(x2 + y2) + C.

Exemplo 2.29. Campo gravitacional.

Seja M uma massa pontual e situada na origem de R3. O campo gravitacional gerado pela

massa M está dado por

~F (x, y, z) = −GM (x, y, z)

‖(x, y, z)‖3= −GM ~r

‖~r‖3

em que r(t) = (x, y, z) e G é a constante universal da gravitação. Verificar se ~F é um campo

conservativo.

Solução.

Observe que se, f(x, y, z) = GM1

√

x2 + y2 + z2= GM

1

‖~r‖ , então ~F = ∇f , assim ~F é

campo vetorial conservativo, o domínio do campo ~F coincide com o de f em R3 r {(0, 0)}

Exemplo 2.30. Campo gravitacional.

Consideremos o campo vetorial ~F : R2 r {(0, 0)} −→ R2 definido por ~F (x, y) = − y

x2 + y2~i+

x

x2 + y2~j. Determine se é conservativo.

Solução.

Podemos observar que ~F é um campo fechado. Note que para x 6= 0 tem-se

− y

x2 + y2=

∂

∂xarctan

y

x;

x

x2 + y2=

∂

∂yarctan

y

x

No entanto, o campo escalar f(x, y) = arctany

xestá definido no subconjunto de R2 em

que x 6= 0 e, e, portanto, não coincide com o domínio do campo vetorial F que é o conjunto

R2 r {(0, 0)}.Assim, a função f(x, y) = arctan

y

xnão é um potencial escalar do campo ~F

Seja Γ a circunferência de raio a e centro na origem descrita pela curva ~r(t) = (a cos t ~i +

asent ~j; t ∈ [0, 2π], então

∫

Γ

~F =

2π∫

0

(−asenta2

,a cos t

a2) • (−asent, a cos t)dt = 2pi


Sendo r(t) uma curva fechada, concluímos que F não é campo conservativo em R2 r{(0, 0)}.

Observação 2.2.

Observe que se considerarmos o campo F definido apenas no aberto S = { (x, y) /. x > 0 }então F é um campo conservativo, é o gradiente da função f(x, y) arctan

y

x. O mesmo ocorre

para o conjunto S = { (x, y)/. x > 0}. logo existem subconjuntos de R2 r{(0, 0)} para os quais~F seja conservativo.

Note que S = { (x, y) /. x > 0 } é conjunto conexo, entanto R2 r {(0, 0)} não é conexo.

Note-se também que o integral de linha de ~F ao longo de uma circunferência centrada na

origem não depende do raio.

Desta observação surgem três importantes perguntas;

1. Será que o campo ~F é gradiente nos subconjuntos conexos de R2 r {(0, 0)}?

2. Será possível caraterizar os subconjuntos de R2 r {(0, 0)} em que ~F ´e um campo gradiente?

3. Será que a integral de linha de ~F ao longo de uma linha qualquer fechada entorno da origem

é igual ao integral de linha de ~F ao longo de uma circunferência centrada na origem?

2.9 Aplicações da integral de linha

Seja ~r : [a, b] −→ R3 a representação de uma curva regular L e seja ~F : L ⊂ R3 −→ R uma

função contínua sobre L.

1. Comprimento de curva: Se L representa a trajetória de um fio de arame em R3 e ~F (x, y, z) =

1, ∀ (x, y, z) ∈ L, tem-se que o comprimento L desse fio é dado por

L =

∫

L

~F (x, y, z)dS =

∫

L

dS

2. Massa e centro de massa: Se ρ : L ⊂ R3 −→ R é a função de densidade da massa de um

fio de arame representada pela curva L, então a massa do arame é dado por

M =

∫

L

ρ(x, y, z)dS

Portanto, o centro de massa do arame (x, y, z), onde

x =1

M

∫

L

xρ(x, y, z)dS, y =1

M

∫

L

yρ(x, y, z)dS, z =1

M

∫

L

zρ(x, y, z)dS

3. Momento de inércia: Se d(x1, x2, x3) é a distância desde o ponto (x1, x2, x3) do arame a

uma reta ou ao plano, então o momento de inércia correspondente à curva L com função


densidade de massa ρ : R3 −→ R está dado por

IL =

∫

L

d2(x, y, z)ρ(x, y, z)dS

em particular, os momentos de inércia do arame respeito dos eixos x, y e z correspondentes

são

Ix =

∫

L

(y2 + z2)ρ(x, y, z)dS, Iy =

∫

L

(x2 + z2)ρ(x, y, z)dS, Iz =

∫

L

(x2 + y2)ρ(x, y, z)dS

4. Trabalho: Seja ~F = (F1, F2, F3) a representação de uma força, e seja L uma curva em R3,

suponhamos que uma partícula se movimenta ao longo de L. O trabalho total realizado

pela força ~F ao longo da curva L é dado por

W =

∫

L

~F • d~r

Exemplo 2.31.

Uma partícula se movimenta no plano-xy ao longo da reta A(a, b) ao ponto B(c, d), devido

à força ~F = − x

x2 + y2~i− y

x2 + y2~j. Determine o trabalho W realizado pela força ~F .

Solução.

Tem-se que a curva esta representada pela função ~r(t) = (a+ t(c−a)~i+(b+ t(d− b))~j sendo

0 ≤ t ≤ 1, logo o trabalho ao longo da curva L é

W =

∫

L

~F • d~r =

∫

L

(− x

x2 + y2~i− y

x2 + y2~j) • d~r(t)

W = −1∫

0

[[a+ t(c− a)]c+ [b+ t(d− b)]d

[a+ t(c− a)]2 + [b+ t(d− b)]2

]

dt =1

2Ln

[a2 + b2

c2 + d2

]

Exemplo 2.32.

Determine a massa M e coordenadas do centro de massa de um arame na forma de hélice

descrito pela curva ~r(t) = cos t ~i + sent ~j + t ~k entre t = 0 e t = 2π, se sua densidade é

ρ(x, y, z) = x2 + y2 + z2.

Solução.

Como ~r(t) = cos t~i+ sent~j + t ~k entãod~r

dt(t) = −sent~i+ cos t~j + ~k e ‖d~r

dt(t)‖ =

√2, logo a

massa M é

M =

2π∫

0

(1 + t2)√

2dt = 2√

2(π +4π3

3))

Logo, x =1

M

2π∫

0

t(1 + t2)√

2dt =3(π + 4π3)

3 + 4π2


Exemplo 2.33.

Determine o trabalho efetuado por uma partícula que se movimenta de (0, 0) até (2, 0) sobre

uma curva que percorre o conjunto S = {(x, y)/. y = 1−|1−x|} se a força é F (x, y) = y2~i+x~j.

Solução.

Definamos Γ = Γ1 ∪ Γ2 onde ~r1(t) = t~i + t ~j, 0 ≤ t ≤ 1 descreve Γ1, e ~r2(t) = (1 + t)~i +

(1 − t)~j, 0 ≤ t ≤ 1 descreve Γ2, logo

W =

∫

Γ

F • d~r =

∫

Γ1

F • d~r +

∫

Γ2

F • d~r =

=

1∫

0

(t2 + t)dt+

1∫

0

[(1 − t2) + (1 + t)(−1)])dt = −1

3

2.10 Teorema de Green

O teorema fundamental do cálculo estabelece que a derivação e integração são processos

inversos, uma generalização apropriada deste teorema a integrais duplas de funções de duas

variáveis é conhecido como Teorema de Green no plano.

Existe uma importante relação entre as integrais duplas e as integrais de linha sobre curvas

fechadas simples, que a continuação discutiremos. Vejamos como é possível relacionar integrais

de linha com integrais duplas e vicê versa.

Se ~F = (F1, F2) é o gradiente de um campo escalar, e se no teorema fundamental do cálculo

para integrais de linha (Teorema (2.1)) os pontos P e Q coincidem, então o teorema nos diz que

a integral de linha de ~F ao longo de uma curva fechada (com restrições sobre a região D) é nula.

Se ~F não é gradiente de uma função escalar, a integral de linha pode ser relacionada à variação

de ~F na região fechada. O teorema de Green é para curvas no plano:

Teorema 2.2. De Green.

Seja L uma curva regular simples e fechada orientada positivamente e seja D ⊂ R2 a região

simplesmente conexa que consiste em L e seu interior. Se F1(x, y) e F2(x, y) são funções

contínuas com derivadas parciais primeiras contínuas em toda uma região contendo D, então

∫

D

∫ [∂F2

∂x− ∂F1

∂y

]

dxdy =

∮

L

[F1dx+ F2dy] (2.13)

A demonstração deste teorema, implica um argumento de aproximação que não será apre-

sentado. É exercício para o leitor. �

Como ~F = F1~i+ F2

~j é um campo vetorial de classe C1 no aberto D ⊂ R2 e seja L como no

Teorema de Green.

Sendo∂F2

∂x− ∂F1

∂y= (rot ~F ) •~k, a expressão (2.13) pode reescrever-se em notação vetorial da


seguinte forma: ∫

D

∫

(rot ~F ) • ~kdxdy =

∮

L

~F • d~r

O integrando sobre a região D é visto como algum tipo de derivada do integrando ao longo

do contorno que determina a região. Nesta forma, o teorema de Green é, também conhecido

como teorema de Stokes no plano.

Figura 2.18:

Para o caso∂F2

∂x− ∂F1

∂y= 1 então a área de D é

dada por

Área(D) =

∮

L

F1dx+ F2dy

O Teorema de Green podemos estender a conjuntos

mais gerais.

Suponhamos D uma região fechada e limitada do

plano-xy delimitada por uma curva L que se pode rep-

resentar como a união disjunta de um número finito de

curvas lisas como indica a Figura (2.18).

Isto é, suponhamos que o conjunto D tem como

fronteira as curvas fechadas α1 e α2 que percorrem no sentido positivo (anti-horário) em re-

lação a D. Isto significa que a região D sempre fica no lado esquerdo quando uma partícula se

movimenta sobre α1 e α2.

Corolario 2.10.1.

Seja D um conjunto fechado e limitado de R2 tal que a fronteira percorre um número finito

de curvas fechadas simples Lk e suponhamos que cada Lk está orientada positivamente respeito

de D.

Se F1, F2 : D ⊂ R2 −→ R são funções contínuas em uma vizinhança de D, então

∫

D

∫ [∂F2

∂x− ∂F1

∂y

]

dxdy =

n∑

k=1

∮

Lk

F1dx+ F2dy (2.14)

Exemplo 2.34.

Figura 2.19:

Seja D a região exterior à circunferência de raio

a unidade que está limitado á esquerda pela parabola

y2 = 2(x+ 2) e à direita pela reta x = 2 como indica a

Figura (2.19). Utilizando o teorema de Green calcular

∫

L1

(−y · dxx2 + y2

+x · dyx2 + y2

)

onde L1 é a fronteira exterior de D.

Solução.

Podemos escrever F1 =−y

x2 + y2e F2 =

x

x2 + y2.


Observamos que F1 e F2 possuem singularidades

na origem.

Designando com L2 a fronteira do círculo unidade orientada no sentido horário e observando

que∂F1

∂y− ∂F2

∂x= 0, pelo teorema de Green concluimos que

∫

L1+L2

(−y · dxx2 + y2

+x · dyx2 + y2

)

= 0

logo ∫

L1

(F1dx− F2dy) = −∫

L2

(F1dx− F2dy) =

∫

−L2

(F1dx− F2dy) =

onde −Γ2 é a fronteira do círculo unidade orientado no sentido anti-horário.

Fazendo mudança de variáveis x = cos θ, y = senθ 0 ≤ θ ≤ 2π na circunferência unidade

Γ2 obtém-se∫

L1

(Pdx−Qdy) =

2π∫

0

(sen2θ + cos2 θ)dθ = 2π

Portanto,∫

L1

(−y · dxx2 + y2

+x · dyx2 + y2

)

= 2π.

Exemplo 2.35. Transformação de integral de linha em uma de área.

Calcular∫

L

x4dx + xydy , onde L é a curva triangular que une os pontos (0, 0), (0, 1) e

(1, 0), orientada positivamente.

Solução.

-

6

-

?

@@@I

@@@

0

y

y = 1 − x

x

1

1

Figura 2.20:

O gráfico indica la região limitada pela curva L.

Tem-se:

F1(x, y) = x4 ⇒ ∂F1

∂y= 0 e;

F2(x, y) = xy ⇒ ∂F2

∂x= y, logo

∫

L

x4dx+ xydy =

∫

D

∫

(∂F1

∂y− ∂F2

∂x)dxdy =

=

1∫

0

1−x∫

0

ydydx =

1∫

0

1

2y2∣∣∣

1−x

0dx =

1

2(1 − x)3

∣∣∣

1

0=

1

6

Observe que se hubiesemos resolvido a integral curvilínea deveriamos ter resolvido três inte-

grais com as correspondentes parametrizações.

Exemplo 2.36.


∮

L

[(xy+x+y)dx+(xy+x−y)dy] onde L é a fronteira da circunferência


x2 + y2 = ax

Solução.

Fazendo F1 = (xy + x+ y) e F2 = (xy + x− y) tem-se que

∂F1

∂y= x+ 1,

∂F2

∂x= y + 1

A mudança de variável x = r cos θ e y = rsenθ para 0 ≤ r ≤ a cos θ e −π2

≤ θ ≤ π

2descreve a circunferência dada, logo

I =

∫

D

∫

(y − x)dxdy =

π2∫

−π2

cos θ∫

0

= (−r cos θ + rsenθ)rdrdθ

=a3

3

π2∫

−π2

[−cos4θ + cos3 θsenθ]dθ = −a2π

8

Portanto, o valor da integral I = −a2π

8. �

Observação 2.3.

Existe uma ambigüidade no sentido em que a curva fechada é percorrida. Como vimos, neste

caso, ao integrar entre−π2

eπ

2estamos explicitamente a rodar no sentido anti-horário. Este

coincide com o sentido de circulação positivo.

O sentido de circulação é positivo quando se circula ao longo da curva fechada de tal modo

que a área que esta delimita se encontra à esquerda como indica a Figura (??).

Propriedade 2.4.

Se Γ é uma curva fechada simples que limita uma região para a qual se aplica o teorema de

Green, então a área da região D limitada por Γ esta dada por:

A(D) =1

2

∫

Γ

x · dy − y · dx

Demonstração.

Sejam P (x, y) = −y e Q(x, y) = x então, pelo teorema de Green temos

1

2

∫

Γ

x · dy − y · dx =1

2

∫

D

∫ [∂x

∂x− ∂(−y)

∂y

]

dxdy] =1

2

∫

D

∫

[1 + 1]dxdy = A(D)

Exemplo 2.37.

Determine a área da elipsex2

a2+y2

b2= 1.

Solução.


Podemos parametrizar a elipse com as equações x(t) = a cos t, y(t) = bsent; 0 ≤ t ≤ 2π.

Então, pela propriedade precedente

A(D) =1

2

∫

Γ

x · dy − y · dx =

2π∫

0

[(a cos t)(b cos t) − (bsent)(−asent)]dt] = abπ

Exemplo 2.38. Limitações na aplicação do Teorema de Green.

Dado F (x, y) = (F1, F2) =(−y~i+ x~j)

(x2 + y2)

a) Calcular a integral de linha sobre circunferência x2 + y2 = 1

b) Calcular Área =

∫

D

∫∂F2

∂x− ∂F1

∂ydA, onde D es la região limitada pela curva de a).

c) Estes resultados estão de acordo o no con el Teorema de Green?

Solução.

a) Parametrizando a circunferência x2 + y2 = 1

x = cos t ⇒ dx = −sentdt, y = sent ⇒ dt = cos tdt, 0 ≤ t ≤ 2π

F1(x, y) =−y

(x2 + y2)⇒ F1(x(t), y(t)) =

−sent

(cos t2 + sent2)⇒ F1dx = sen2tdt

F2(x, y) =x

(x2 + y2)⇒ F2(x(t), y(t)) =

cos t

(cos t2 + sent2)⇒ F2dy = cos2 tdt

Integrando obtemos:

∫

L

[F1dx+ F2dy] =

2π∫

0

[sen2t+ cos2 t]dt = 2π

b) Fazendo os cálculos diretamente en coordenadas cartesianas é:

∂F1

∂y=

−(x2 + y2) + 2y2

(x2 + y2)2=

y2 − x2

(x2 + y2)2

∂F2

∂x=

(x2 + y2) − 2x2

(x2 + y2)2=

x2 − x2

(x2 + y2)2

⇒ ∂F2

∂x− ∂F1

∂y= 0 ⇒

Área =

∫

D

∫∂F2

∂x− ∂F1

∂ydA = 0

c) Aparentemente estes resultados contradizem o Teorema de Green. Não obstante, este último

não é aplicável à região en questão, dado que as funções F1 e F2 não têm derivadas parciais

contínuas no ponto (0; 0), que está contido na região.

Exemplo 2.39. Determinação de área mediante uma integral de linha.


Determine a área da região limitada pela hipociclóide que tem como equação vetorial

~r(t) = cos3 t~i+ sen3t ~j, 0 ≤ t ≤ 2π

Solução.

Da parametrização da curva temos:

x = cos3 t ⇒ x2/3 = cos2 t e y = sen3t ⇒ y2/3 = sen2t.

Somando membro a membro temos:

x2/3 + y2/3 = cos2 t+ sen2t = 1 então y = ± 3√

(1 − x2/3)2 e; Área =

1∫

−1

3√

(1−x2/3)2∫

− 3√

(1−x2/3)2

dydx.

Figura 2.21:

Este cálculo, utilizando a integral de área, é bas-

tante complicado.

O teorema de Green permite transformar esta in-

tegral em uma outra integral curvilínea, usando como

trajetoria a hipociclóide do enunciado e definindo uma

função apropriada para a integração. Lembre que a

área de uma região D é dada por Área =

∫

D

∫

dA.

Assim, para aplicar Green deberíamos achar funções

F1 e F2 tais que∂F2

∂x− ∂F1

∂y= 1.

Um par de funções simples que cumprem esta

condição são: F1 = 0 e F2 = x.

do a parametrização, podemos escrever:

x(t) = cos3 t ⇒ d

dtx(t) = −3 cos2 tsent e y(t) = sen3t ⇒ d

dty(t) = 3sen2t cos t

Logo, Área =

∫

D

∫

dA =

∫

L

[F1dx+ F2dy] =

2π∫

0

cos3 t3sen2t cos tdt =

= 3

2π∫

0

cos4 t sen2tdt =3

4

2π∫

0

cos2 t sen22tdt =3

8

2π∫

0

(1 + cos 2t)sen22tdt =

Área =3

8

2π∫

0

(sen22t+ sen22t cos 2t)dt =3

16

2π∫

0

(1 − cos 4t) + 2sen22t cos 2t)dt =

Área =3

16

[

t− 1

4sen4t+

2

3sen32t

] ∣∣∣

2π

0=

3

8π

Deste modo como podemos observar, aplicamos uma ferramenta para obter a área de uma

região limitada por uma curva fechada, que podemos adicionar ao método das coordenadas

polares.

Exemplo 2.40. Aplicação do teorema de Green a un problema físico sobre uma região não

conexa.


Determinar o momento de inércia de uma arandela homogênea de radio interno a, radio

externo b e massa M , respecto a um de seus diâmetros.

Solução.

Figura 2.22:

Determinemos o momento de inércia respeito ao

diâmetro colinear con o eixo x. Da Física sabemos que:

Ix =

∫ ∫

ρy2dA

Onde ρ é a densidade superficial da arandela,

supondo constante dado que é homogênea.

Esta região não é simplesmente conexa porém,

como vimos puedemos estender o teorema de

Green a este tipo de região com buracos, con-

siderando:

∫

D

∫ (∂F2

∂x− ∂F1

∂y

)

dA =

∫

L1

F1dx+ F2dy −∫

L2

F1dx+ F2dy

Assim, podemos calcular a integral dupla do momento de inércia como duas integrais.

Para isto debemos achar funções F1, F2 tais que:∂F2

∂x− ∂F1

∂y= y2

Consideremos por exemplo F2 = 0 e F1 = −1

3y3

Aplicando Green con esta função tenemos:

Ix =

∫

D

∫

ρy2dA = −∫

L1

ρ1

3y3dx+

∫

L2

ρ1

3y3dx (2.15)

Parametrizando estas curvas tenemos:

L1 =

{

x = b cos t ⇒ dx = −bsent dty = bsent ⇒ dy = b cos t dt

0 ≤ t ≤ 2π

L2 =

{

x = a cos t ⇒ dx = −asent dty = asent ⇒ dy = a cos t dt

0 ≤ t ≤ 2π

Substituindo em (2.15)

Ix =

∫

D

∫

ρy2dA =

2π∫

0

ρ1

3b3sen4t dt−

2π∫

0

ρ1

3a4sen4t dt = ρ

1

3(b4 − a4)

2π∫

0

sen4t dt =

Ix = ρ1

3(b4 − a4)

2π∫

0

sen2t(1 − cos2 t)dt = ρ1

3(b4 − a4)

2π∫

0

(sen2t− sen22t

4)dt


Ix = ρ1

3(b4 − a4)

2π∫

0

[1 − cos 2t

2− 1 − cos 4t

8

]

dt =1

4ρ(b4 − a4)π

Como a massa M = b2 − a2 segue que

Ix ==1

4ρπ(b4 − a4) =

1

4ρπM(b2 − a2)

Isto é o modo de expressar o momento de inércia: como o produto de um comprimento ou

soma de comprimentos ao quadrado pela massa da arandela.


Exercícios 2-2

1. Para cada um dos seguintes exercícios determine o divergente de F no sistema de coorde-

nadas dado.

1. F (x, y, z) = (a11x+ a12y + a13z)~i+ (a21x+ a22y + a23z)~j + (a31x+ a32y + a33z)~k

2. F (x, y, z) = (x2 − y2)~i+ (x2 − z2)~j + (y2 − z2)~k

3. F (x, y, z) = (x2 + 1)~i+ (y2 − 1)~j + z2~k

4. F (x, y, z) = 4xz~i− 2yz~j + (2x2 − y2 − z2)~k

5. F (x, y, z) = exz(cos yz~i+ senyz~j − ~k

6. F (x, y, z) = yLn(1 + x)~i+ zLn(1 + y)~j + xLn(1 + z)~k;

7. F (x, y, z) = ∇G; G(x, y, z) = x3 − 3xy2

8. F (x, y, z) = ∇G; G(x, y, z) = ex cos y + ey cos z + ez cosx

2. Calcular o rotacional ∇× F , de cada um dos seguintes campos vetoriais.

1. F (x, y, z) = x~i+ y~j + z~k 2. F (x, y, z) = yz~i+ xz~j + xy~k

3. F (x, y, z) = (x2 + y2 + z2)(3~i+ 4~j + 5~k) 4. F (x, y, z) =yz~i− xz~j + xy~k

x2 + y2 + z2

3. Verificar que ∇× (∇f) = 0 para cada uma das seguintes funções;

1. f(x, y, z) =√

x2 + y2 + z2 2. f(x, y, z) = xy + yz + xz

3. f(x, y, z) =1

x2 + y2 + z24. f(x, y, z) = x2y2 + y2z2

4. Mostrar que F (x, y) = (y cosx)i+ (xseny)j não é um campo vetorial conservativo.

5. Para cada um dos seguintes exercícios, calcular∫

Γ

F • dr. Desenhar o arco Γ em cada

caso.

1. F (x, y, z) = xy~i− y~j + ~k; Γ é o segmento de (0, 0, 0) a (1, 1, 1).

2. F (x, y, z) = xy~i− y~j + ~k; Γ é o arco dado por x = t, y = t2, z = t3, 0 ≤ t ≤ 1

3. F (x, y, z) = x~i−~j + z~k; Γ é a curva x = cos θ, y = senθ, z =1

πθ, 0 ≤ θ ≤ 2π

4. F (x, y, z) = x~i− y~j + z~k; Γ é o segmento de (1, 0, 0) a (1, 0, 2).

5. F (x, y, z) = 2x~i− 3y~j + z2~k; Γ é a curva x = cos θ, y = senθ, z = θ 0 ≤ θ ≤ π

2

6. F (x, y, z) = 2x~i− 3y~j + z2~k; Γ é o segmento de (1, 0, 0) a (0, 1, π2 ).

7. F (x, y, z) = y2~i+ x2~j + 0.~k; Γ é o arco x = t, y = t2, z = 0, 1 ≤ t ≤ 2

8. F (x, y, z) = z2~i+ 0.~j+ x2~k; Γ = Γ1 ∪Γ2 é o segmento Γ1 de (1, 0, 1) a (2, 0, 1) e Γ2

de (2, 0, 1) a (2, 0, 4)..


6. Para os seguintes exercícios, transformar as integrais curvilineas consideradas ao longo dos

contornos fechados L, no sentido mpositivo, em integrais duplas sobre os domínios limitados

por estes mesmos contornos.

1.∫

L

(1 − x2)ydx+ x(1 + y2)dy

2.∫

L

(exy + 2x cos y)ydx+ (exy − x2seny)dy

7. Calcular a integral do Exercício anterior (1.) de dois modos considerando a circunferência

x2 + y2 = R2 como contorno de Integração L.

1. Diretamente.

2. Aplicando a fórmula de Green.

8. Para cada um dos seguintes exercícios utilizar o teorema de Green para calcular as integrais

de linha dada. Comence desenhando a região D.

1.∮

Γ

2xydx + y2dy, onde Γ é a curva fechada limitada por y =x

2, y =

√x entre os

pontos (0, 0) e (4, 2).

2.∮

Γ

√ydx+

√xdy, onde Γ é a curva limitada por y = 0, x = 2, y =

x2

2.

3.∮

Γ

(2x+y2)dx+(x2+2y)dy, onde Γ é a curva fechada limitada por y = 0, x = 2, y =x3

4

4.∮

Γ

xydx+ (x+ y)dy, onde Γ é o triângulo com vértices (0, 0), (0, 1), (2, 0)

5.∮

Γ

(e3x+2y)dx+(x2+senydy, onde Γ é o retângulo com vértices (2, 1), (7, 1), (7, 5), (2, 5)

Capítulo 3

INTEGRAL DE SUPERFÍCIE

F. Gauss

George Gabriel Stokes nasceu em 13 de agosto de 1819 emSkreen, Irlanda. Matemático e notável físico teórico britânico que sedistinguiu pelas suas contribuições na dinâmica de fluidos com, asEquações de Navier-Stokes, na óptica e na física matemática (Teoremade Stokes..

De uma família de raízes profundas na Igreja da Irlanda, era filhode um reitor e recebeu sua educação elementar de seu pai e de um es-criturário paroquial local. Entrou na Universidade de Pembroke (1837)e depois de formado, continuou ensinando naquela faculdade. Foinomeado professor de matemática em Cambridge (1847), cargo quejá havia pertencido a Isaac Newton, e permaneceu na Inglaterra peloresto de sua vida.

Na Inglaterra foi professor em Cambridge, secretário da Royal So-ciety e, finalmente, seu presidente. Era profundamente religiosos e preocupado com a relação entre ciên-cia e religião. Publicou mais de cem trabalhos científicos sobre variados assuntos, particularmente sobrehidrodinâmica..

Especialista em pesquisas para a determinação de viscosidade de fluidos, particularmente usando emseus experimentos conjuntos de esferas. Seus primeiros trabalhos correspondentes ao período 1842−1850,tiveram por objeto o movimento dos fluidos viscosos e a elasticidade dos corpos sólidos, e le levaram àsolução matemática de muitos problemas de reconhecida importância prática e científica. Ofereceou umaexplicação completa da suspensão das nuves.

Com o artigo “On the Theories of the Internal Friction of Fluids in Motion, and of the Equilibriumand Motion of Elastic Solid” (1845), publicou a versão definitiva da equação Navier-Stokes.

Entre todos os estudos de óptica de Stokes destacam-se os dois trabalhos clássicos sobre a mudança darefragibilidade da luz (On the Change of Refrangibility of Light, en Philosophical Transactions of London,1852 e 1853 ) com a descoberta do fenômeno da fluorescência o efeito da luz ultravioleta sobre o quartzo.

Do seu sobrenome vem a unidade de medida de viscosidade cinemática, no c. g. s., Stoke, igual àde um líquido cuja viscosidade é um poise e cuja massa volumétrica é um grama por centímetro cúbico(Vale 104 unidades MKS de viscosidade cinemática).

Stokes fui muito hospitaleiro com os amigos, e prodigo em conselhos e ajuda a seus discípulos, fezque na pequena cidade de Cambridge que seus ensinamentos, junto com os de seus colegas Kelvin e C.Maxwell o fizeram ainda mais ilustre com uma vida simples rodeado de afeito e respeito de todos. Suaprodução científica foi reunida em escritos matemáticos e físicos. Stokes faleceu em Cambridge em 1 defevereiro de 1903

91


3.1 Introdução

Para contornos que não pertencem ao plano, o Teorema de Green é generalizado pelo Teorema

de Stokes.

As integrais de superfície estão para as integrais duplas como as integrais de linha estão para

as integrais definidas.

Com efeito, as integrais definidas correspondiam a uma integral de linha muito particular,

em que a trajetória é um segmento de reta coincidente com o eixo dos −→ox e a função correspondia

apenas à componente segundo x da função vetorial. Ao generalizar o conceito de integral para

uma linha curva qualquer, tivemos de recorrer à notação vetorial, bem como vimos a conveniência

de representar paramétricamente a curva.

Do mesmo modo, as integrais duplas correspondem a integrais de superfícies no plano XY , ou

seja, superfícies planas, representáveis por funções escalares de duas variáveis. Como é evidente,

muitas superfícies de grande interesse - e mesmo até de elevada simetria, como é o caso das

superficies cilíndricas e esféricas - não são planas, pelo que, uma vez mais, vamos generalizar o

conceito de integral dupla, recorrendo a funções vetoriais.

Tal como no caso dos integrais de linha, será muito útil representar paramétricamente as su-

perfícies, pois desta forma conseguiremos transformar integrais de superfície em integrais duplas.

Comecemos portanto, por estabelecer a notação e ver alguns exemplos de superfícies curvas e

sua representação paramétrica.

3.2 Superfície

Numa disciplina de funções de várias variáveis estudamos um tipo de superfície, aquela que

era o gráfico de uma função da forma, z = f(x, y) foram feitos os gráficos das mesmas e até

calculamos retas normais e planos tangentes à superfície.


Existem alguns tipos de superfícies não estudados, como por exemplo o conjunto de pontos

S = { (x, y, z) /. 3x − 3z − z3 = 0 }. O gráfico desta superfície mostra-se na Figura (3.1) e

como se observa é uma lâmina que se dobre sobre ela mesma, esta superfície não é o gráfico de

nenhuma função z = f(x, y).

Lembre que, uma condição suficiente para que z = f(x, y) seja função é que a cada elemento

(x, y) do domínio de f corresponda somente um e somente um elemento z da imagem de f


Outro exemplo de um gráfico que não representa uma superfície da forma z = f(x, y) é o

toro, este sólido é gerado pela rotação de um círculo em torno de um eixo que lhe é externo e

coplanar

Estes dois exemplo de superfície que não representam funções do tipo z = f(x.y), induzem a

estender nossa definição de superficies.

As representações de superfícies no espaço cartesiano tridimensional podem escrever-se nas

formas z = x2 + y2 ou explicitamente como g(x, y, z) = 0.

Por exemplo, z = +√

a2 − x2 − y2 ou x2 + y2 + z2 = a2 com a > 0 representam um semi-

hemisfério de raio a centrado na origem.

Como vimos, para as curvas Γ nas integrais de linha, a representação paramétrica ~r = ~r(t)

onde a ≤ t ≤ b , permitia estabelecer um mapeamento do intervalo a ≤ t ≤ b , pertencente ao

eixo t na curva Γ no espaço-xyz como indica a Figura (3.3).


Do mesmo modo, na representação paramétrica de uma superfície far-se-á um mapeamento

semelhante. Uma vez que as superfícies são bidimensionais, serão necessários dois parâmetros

para as representar. O processo de representação paramétrica é ilustrado na Figura (3.6).

Com superfícies, assim como com curvas, queremos distinguir entre o que é função(trajetória)

e sua imagem (objeto geométrico).

Definição 3.1. Função diferenciável.

Seja ~r : D ⊂ R2 −→ R3 uma função , dizemos que ~r = (r1, r2, r3) é diferenciável de classe

Ck, k ∈ N, se, suas funções coordenadas r1, r2, r3 : D ⊂ R2 −→ R3 possuem derivadas parciais

contínuas até a ordem k.

Definição 3.2. Parametrização própria.

Seja D ⊂ R2 um aberto, dizemos que a função ~r : D ⊂ R2 −→ R3 é uma parametrização

própria de R3 se para todo P ∈ D:

1. ~r é injetora.


2. ~r é diferenciável ao menos de classe C2 e tal que a matriz

∂r1∂u

(P )∂r2∂u

(P )∂r3∂u

(P )

∂r1∂v

(P )∂r2∂v

(P )∂r3∂v

(P )

seja de rango dois.

Exemplo 3.1.

Sejam D = { (u, v) ∈ R2 /. u2 + v2 < 1 } e r : D ⊂ R2 −→ R3 definido por ~r(u, v) =

(u, v,√

1 − u2 − v2). Tem-se que ~r é uma parametrização própria de R3.

Definição 3.3. Parametrização própria para subconjuntos.

Seja S ⊂ R3 um subconjunto, dizemos que, ~r : D −→ R3 é uma parametrização própria de

S, se ~r(D) ⊂ S, neste caso escrevemos r : D −→ S.

Definição 3.4. Superfície regular.

Dizemos que S ⊂ R3 é uma superfície regular em R3 se, para cada ponto P ∈ S existe uma

parametrização própria de S.

Isto é ~r : D ⊂ R2 −→ S é tal que ~r(D) contém uma vizinhança de P ∈ S.

Deste modo, a representação paramétrica de uma superfície S tem a forma

~r(u, v) = x(u, v)~i+ y(u, v)~j + z(u, v)~k

onde , (u, v) ∈ D sendo D uma dada região no plano-uv . Assim, todo o ponto (u, v) ∈ D é

mapeado num ponto S de cujo vetor posição é dado por ~r(u, v).

Assim, dizer superfície regular, é equivalente a dizer superfície parametrizada cuja definição

é como segue

Definição 3.5. Superfície parametrizada e diferenciável.

Dizemos superfície parametrizada, a uma função ~r : D ⊂ R2 −→ R3 onde D é algum domínio

em R2. A superfície S correspondente à função r é sua imagem: S = ~r(D)). Pelo que podemos

escrever

~r(u, v) = (r1(u, v), r2(u, v), r3(u, v))

Para o caso de ser ~r diferenciável logo é de classe C1 (que equivalente a dizer que r1(u, v), r2(u, v)

e r3(u, v) são funções diferenciáveis, dizemos que S é uma superfície diferenciável.

Assim como trajetórias levam um domínio da reta real (retas, semiretas ou segmentos de

retas) em curvas, podemos imaginar que para o caso das superfícies, um domínio (área) de R2 é

levado a uma superfícies em R2 (Figura (3.5))

Bem que poderiamos imaginar que áreas de R2 são levadas a superfícies de R3 mediande

dobreaduras, torsões, esticamentos, etc. isto é, um ponto (u, v) ∈ D representa um ponto

(r1(u, v), r2(u, v), r3(u, v)) ∈ S

Exemplo 3.2.


Figura 3.5: Área de R2 é levada a superfícies de R3

Consideremos a representação paramétrica de um cilindro.

A equação que representa uma superfície cilíndrica de raio a e altura 2 pode escrever-se, em

coordenadas cartesianas, na forma.

S = { (x, y, z) ∈ R3 /. x2 + y2 = 2 onde − 1 ≤ z ≤ 1 }

Uma possível representação paramétrica é dada por ~r(u, v) = (a cosu)~i+ (asenu)~j+ v~k onde

0 ≤ u ≤ 2π, −1 ≤ v ≤ 1.

Qual a representação paramétrica de uma superfície esférica ?

Quantas representações paramétricas são possíveis para uma dada superfície ?

Exemplo 3.3.

Calcular∫

D

∫

g(x, y, z)dσ , onde g(x, y, z) = x2z, D =√

1 − x2 − y2.

Solução.

Temos

∫

D

∫

g(x, y, z)dσ =

∫

D

∫

x2√

1 − x2 − y2

√

1 +x2

1 − x2 − y2+

y2

1 − x2 − y2dxdy

onde D = { (x, y) ∈ R2 /. x2 + y2 ≤ 1 } então

I =

∫

D

∫

x2dydx =

1∫

−1

1+√

1−x2∫

1−√

1−x2

x2dydx =π

4

3.2.1 Plano tangente. Vetor normal a uma superfície

Seja S ⊂ R3 uma superfície regular e P ∈ S, sabemos que existe uma parametrização própria

~r : D −→ S tal que ~r(u, v) = (r1(u, v), r2(u, v), r3(u, v))

O fato ser ~r diferenciável em (u0, v0) ∈ D é importante. Seja (u0, v0) ∈ D tal que r(u0, v0) ∈S, fixando u = u0 obtém-se uma trajetória R −→ R3 definida por v −→ r(u0, v) cuja imagem é

uma curva regular Γ1 = {r(u0, v0) ∈ S /. (u0, v0) ∈ D} que resulta de interceptar a superfície


S com o plano u = u0, isto é

Γ1 = ~r(u0, v) = (r1(u0, v), r2(u0, v), r3(u0, v))

é uma curva regular em S,

Sabemos pelo estudo das funções de várias variáveis 1 que o vetor tangente Tu à curva no

ponto r(u0, v0) é

Tu =∂x

∂v(u0, v0)~i+

∂y

∂v(u0, v0)~j +

∂z

∂v(u0, v0) ~k

ou também que o vetor velocidade à curva Γ1 no ponto (r1(u0, v), r2(u0, v), r3(u0, v)) é dado

por

~rv(u0, v0) =∂~r

∂v(u0, v0) =

∂r1∂v

(u0, v0)~i+∂r2∂v

(u0, v0)~j +∂r3∂v

(u0, v0)~k

Figura 3.6: Os vetores Tu e Tv são tangentes a uma curva em S, logo são tangentes a S

De modo análogo fixando v = v0 obtém-se uma trajetória R −→ R3 definida por u −→~r(u, v0) cuja imagem é uma curva regular Γ2 = { r(u, v0) ∈ S /. (u, v0) ∈ D } em S, isto é

Γ2 = ~r(u, v0) = (r1(u, v0), r2(u, v0), r3(u, v0))

Sabemos pelo estudo das funções de várias variáveis que o vetor tangente Tv à curva no ponto

r(u0, v0) é

Tv =∂x

∂u(u0, v0)~i+

∂y

∂u(u0, v0)~j +

∂z

∂u(u0, v0) ~k

o também seu vetor velocidade no ponto ~r(u0, v0) é

~ru(u0, v0) =∂~r

∂u(u0, v0) =

∂r1∂u

(u0, v0)~i+∂r2∂u

(u0, v0)~j +∂r3∂u

(u0, v0)~k

Observe que os vetores Tu e Tv são tangentes a duas curvas que se interseptam no ponto

~r(u0, v0), logo com esses vetores tangentes podemos determinar a equação do plano tangente à

superfície S no ponto (r1(u0, v0), r2(u0, v0), r3(u0, v0)) ∈ S. O vetor não nulo ~n = Tu × Tv é o

vetor normal a esse plano.

O fato ser o vetor normal não nulo, assegura que existe um plano tangente à superfície.

Definição 3.6. Plano tangente.

1Notas de aula; “Integração e Funções de Várias Variáveis” do mesmo autor,


O plano gerado pelos vetores Tu e Tv é o plano tangente a S no ponto ~r(u0, v0) cuja normal

é ~n = Tu × Tv.

Por ser ~r uma parametrização própria cumpre que o vetor Tu × Tv 6= 0.

Figura 3.7:

Logo, dada uma superfície S, define-se o vetor nor-

mal ~n a essa superfície num ponto ~r(u0, v0) como o vetor

que é normal ao plano tangente à superfície nesse ponto

como mostra a Figura (3.7).

Para encontrar o vetor normal unitário a essa su-

perfície no ponto ~r(u0, v0) basta considerar ~n =∇g|∇g|

onde g(u0, v0, r(u0, v0)) = 0.

Que forma tem ~n quando se representa paramétri-

camente a superfície ?

Uma vez que u e v são coordenadas no plano-uv,

se calcularmos a derivada direcional de ~r(u, v) segundo u e v, ou seja, ~ru =∂r

∂u

∣∣∣(~r(u0,v0))

e

~rv =∂r

∂v

∣∣∣(~r(u0,v0))

, e se estes vetores forem linearmente independentes (isto é, se ~N = Tu×Tv 6= 0),

podemos utilizar a propriedade do produto vetorial para gerar um versor normal a S em ~r(u0, v0):

~n =~n

|~n| =Tu × Tv‖Tu × Tv‖

Quando Tu e Tv satisfazem Tu×Tv 6= 0, sendo contínuos em todos os pontos ~r(u0, v0) em S,

então S tem uma tangente bem definida em todos os seus pontos, bem como uma única normal

que é gerada pelos vetores Tu e Tv, cuja direção depende continuamente dos pontos ~r(u0, v0) de

S. Diz-se então que é uma superfície regular.

Definição 3.7. Superfície suave2 num ponto.

Dizemos que uma superfície S é suave em ~r(u0, v0) se Tu × Tv 6= 0 em ~r(u0, v0).

Definição 3.8. Superfície suave.

Dizemos que uma superfície S é suave, se ela é suave em todos seus pontos ~r(u0, v0) ∈ S.

Existe sempre uma ambigüidade na definição do vetor normal unitário a uma superfície.

Essa ambigüidade refere-se ao seu “sentido”, e essa vai constituir, na maior parte dos casos, uma

escolha nossa.

No entanto, e tal como no caso das integrais de linha, em que estabelecemos um “sentido”

de circulação positivo, também no caso das integrais de superfície se torna necessário orientar as

superfícies. Essa orientação será feita relativamente ao sentido de circulação ao longo da fronteira

(curva) que as delimita.

2Estritamente falando, a suavidade depende da parametrização ~r e não somente de sua imagem


Exemplo 3.4.

Determine se a superfície dada pelas equações x = u cos v, y = usenv z = u u > 0 é

diferenciável. Esta superfície é suave?

Solução.

Figura 3.8:

Esta super4ficie podemos escrever na forma z =√

x2 + y2, a

superfície é um cone como mostra a Figura (3.8)

Esta função é diferenciável, pois cada função componente é difer-

enciável como função de u e v.

A superfície, não é suave em (0, 0, 0), pois de ~r(0, 0) = (0, 0)

segue que:

Tu = cos v~i+ senv~j + ~k ⇒ Tu(0, 0) = (1, 0, 1)

Tv = −usenv~i+ u cos v~j + 0~k ⇒ Tv(0, 0) = (0, 1, 0)

De onde Tu × Tv = 0.

Podemos resumir alguma de nossas conclusões de modo formal.

Definição 3.9.

Se uma superfície parametrizada ~r : D ⊂ R2 −→ R3 é suave em ~r(u0, v0), isto é Tu × Tv 6= 0

em (u0, v0), definimos o plano tangente à superfície em ~r(u0, v0) como o plano determinado

pelos vetores Tu e Tv. Logo, ~n = Tu × Tv é um vetor normal, e a equação do plano tangente em

(x0, y0, z0) esta dado por

(x− x0, y − y0, z − z0) • ~n = 0

Exemplo 3.5.

Determine o plano tangente à superfície esférica de centro a origem e raio 1.

Solução.

Seja D = { (x, y) ∈ R2 /. x2 + y2 ≤ 1 } e a parametrização r : D −→ S onde ~r(u, v) =

(u, v,√

1 − u2 − v2)

Consideremos a curva Γ1 = { ~r(0, v) ∈ S /. (0, v) ∈ D }, isto é ~r(0, v) = (0, v,√

1 − v2) de

onde Tv =∂r

∂v(0, v) = ~j − v√

1 − v2~k, no ponto r(0, 0) = (0, 0, 1), tem-se que Tv = (0, 1, 0).

Por outro lado, consideremos a curva Γ2 = { ~r(u, 0) ∈ S /. (u, 0) ∈ D }, isto é ~r(u, 0) =

(u, 0,√

1 − u2) de onde Tu =∂r

∂u(u, 0) = ~i − u√

1 − u2~k, no ponto r(0, 0) = (0, 0, 1), tem-se que

Tu = (1, 0, 0).

Assim, ~n = Tu × Tv = ~k.

Portanto a equação do plano tangente é z − 1 = 0.

Exemplo 3.6.

Determine os pontos onde exista plano tangente à superfície S parametrizada por ~r : R2 −→R3, onde

x = u cos v, y = usenv, z = u2 + v2


Determine o plano tangente em (−1, 0, 1 + π2) ∈ S

Solução.

Tem-se Tv = −(usenv)~i+ (u cos v)~j + 2v~k, e Tu = (cos v)~i+ (senv)~j + 2u~k de onde

Tu × Tv = (−2u2 cos v + 2vsenv)~i+ (−2u2senv − 2v cos v)~j + (u)~k

No,ponto r(0, 0) = (0, 0, 0), tem-se que Tu×Tv = (0, 0, 0), logo não existe plano tangente em

(0, 0, 0) ∈ S.

Como Tu × Tv 6= 0 em (0, 0, 0) 6= (x, y, z) ∈ S então existe plano tangente en todos esses

pontos.

Em particular, no ponto ~r(1, π) = (−1, 0, 1 + π2) tem-se , que Tu × Tv = (2, 2π, 1) e o plano

tangente pediso é

2(x+ 1) + 2πy + (z − 1 − π2) = 0

Definição 3.10. Superfície orientável.

Consideremos então uma superfície regular. Esta diz-se orientável se um vetor unitário,

especificado num qualquer ponto de pode ser continuado de uma forma única e contínua por toda

a superfície .

Figura 3.9:

Claro que uma porção suficientemente pequena de

qualquer superfície regular é orientável. No entanto,

esta propriedade não se verifica necessariamente em su-

perfícies finitas (é como nas rotações dos corpos - ro-

tações infinitesimais comutam, mas rotações finitas não

- recordar as aulas de mecânica, por exemplo). Um ex-

emplo claro é a banda de Möbius (Figura (3.9)).

Consideremos então uma superfície S que se pode

representar como um conjunto finito de superfícies regulares. Esta diz-se orientável se con-

seguirmos orientar cada uma das superfícies regulares de tal modo que ao longo de cada curva C∗

que constitui uma fronteira comum entre 2 superfícies regulares S1 e S2, a direção positiva de

C∗ relativamente a S1 é oposta à direção positiva de C∗ relativamente a S2 - ver Figura (3.10):

Figura 3.10:

Desta forma também temos um modo de definir um sentido para o vetor normal unitário a

cada superfície regular, da forma como se ilustra na Figura (3.10) acima - é o sentido de avanço


de um saca rolhas posicionado perpendicularmente à superfície no ponto em causa, fazendo-o

rodar no sentido de circulação positivo ao longo da curva C (à esquerda) ou C∗(à direita).

3.2.2 Existência da integral de superfície

Seja S ⊂ R2 uma superfície regular e g : S −→ R uma função definida sobre S, e seja

r : D ⊂ R2 → S uma parametrização própria de D, onde D é a região fechada em R2 como

mostra a Figura (3.11).

Figura 3.11:

Seja P = { R1, R2, R3, · · · , Rn } uma partição da região fechada D ⊂ R2 (cada Ri é um

retângulo), esta partição induz uma partição P ∗ = { σ1, σ2, σ3, · · · , σn } onde σi = r(Ri) para

i = 1, 2, 3, · · · , n.

Seja (u′i, v′i) ∈ Ri um ponto arbitrário tal que r(u′i, v

′i) = (x′i, y

′i, z

′i), a soma de Riemann de

g correspondente à partição P ∗ é

n∑

i=1

g(x′i, y′i, z

′i)A(σi), onde A(σi) = Área de σi

Caso exista o limite lim‖A(σi)‖→0

n∑

i=1

g(x′i, y′i, z

′i)A(σi) onde ‖A(σi)‖ é a área máxima da superfície

σi na partição P ∗.

O valor deste limite é a integral de superfície g sobre S e denotamos

I =

∫

S

∫

g(x, y, z)dσ = lim‖A(σi)‖→0

n∑

i=1

g(x′i, y′i, z

′i)A(σi)

Observação 3.1.

1. Quando ‖A(σi)‖ → 0, explicitamente n→ ∞

2. A integral de superfície representa a área da superfície, é por isso que sua grandeza é medida

em unidades quadradas.


3. Se S = r(D), então a integral de superfície está dada por

I =

∫

S

∫

g(r(u, v))‖~ru × ~rv‖dudv =

Teorema 3.1. Fundamental de integral de superfície.

Seja S uma superfície regular de R3, r : D ⊂ R2 −→ S uma parametrização tal que ~r(u, v) =

(r1(u, v), r2(u, v), r3(u, v)). Se g : S −→ R é uma função contínua, então:

1. Existe∫

S

∫

g(x, y, z)dσ

2.∫

S

∫

g(x, y, z)dσ =

∫

D

∫

g(r1(u, v), r2(u, v), r3(u, v))‖ru × rv‖dudv

Observação 3.2.

Seja D ⊂ R2 uma região fechada, e f : D −→ R uma função diferenciável de classe C2, e seu

gráfico é a superfície S = { (x, y, z) /. z = f(x, y), ∀ (x, y) ∈ D } a parametrização própria

de S é r : D −→ S ⊂ R3 definida por r(x, y) = (x, y, f(x, y)).

Seja g : S −→ R uma função contínua, então

∫

S

∫

g(x, y, z)dσ =

∫

S

∫

g(x, y, f(x, y))

√

1 +

[df

dx

]2

+

[df

dy

]2

dA

Exemplo 3.7.


∫

S

∫

(x2 + y2)dσ sendo S a superfície do cone z2 = 3(x2 + y2) entre

z = 0 e z = 3.

Solução.

Temos que z =√

3(x2 + y2),dz

dx=

√3x

√

x2 + y2,

dz

dy=

√3y

√

x2 + y2, logo

I =

∫

S

∫

(x2 + y2)

√√√√1 +

[ √3x

√

x2 + y2

]2

+

[ √3y

√

x2 + y2

]2

= 2

∫

S

∫

(x2 + y2)dxdy

I = 8

√3∫

0

√3−x2∫

0

(x2 + y2)dydx = 8π

Portanto, o valor da integral I = 8π �

Para um tratamento vetorial, consideremos então uma superfície S, representada paramétri-

camente através da equação genérica

~r(u, v) = x(u, v)~i+ y(u, v)~j + z(u, v)~k


Sendo uma superfície regular ou então a soma de um número finito de superfícies regulares,

de tal forma que tem um vetor normal ~N = ~ru × ~rv e um vetor normal unitário ~n =~ru × ~rv|~ru × ~rv|

em todos os pontos de S (exceto, eventualmente em alguns pontos angulosos, como os vértices

de um cubo ou o vértice de um cone) define-se integral de superfície de uma função vetorial F

em S como ∫ ∫

S

~F • ~ndA =

∫ ∫

D

~F (u, v) • ~N(u, v)dudv (3.1)

Note-se que ~F • ~n é a componente de ~F normal à superfície S em cada ponto, pelo que a

integral de superfície vai corresponder ao cálculo do fluxo do campo vetorial F através de S .

• Recordando a definição de ~ru e ~rv como derivadas direcionais segundo u e v.

• Tendo em conta que, pela definição de produto vetorial, ‖−→N ‖ = |~ru × ~rv| é igual à área do

paralelogramo definido por ~ru e ~rv

temos que dA = ‖ ~N‖dudv , pelo que ~ndA = ~n‖ ~N‖dudv = ~Ndudv.


Exercícios 4-1

1. Calcular as seguintes integrais:

1.∫

S

∫

(z+2x+4

3)dq onde S é uma parte do plano

x

2+y

3+z

4= 1, situada no primeiro

otante.

2.∫

S

∫

xyzdq onde S é uma parte do plano x+ y + z = 1, situada no primeiro otante.

3.∫

S

∫

xdq onde S é uma parte da esfera x2 +y2 + z2 = r2, situada no primeiro otante.

4.∫

S

∫

ydq onde S é parte da semi-esfera z =√

r2 − x2 − y2

5.∫

S

∫√

r2 − x2 − y2dq onde S é a semi-esfera z =√

r2 − x2 − y2

6.∫

S

∫

x2y2dq onde S é a semi-esfera z =√

r2 − x2 − y2

7.∫

S

∫dq

r2onde S é o cilíndro x2 + y2 = r2, limitado pelos planos z = 0 e z = H; r é a

distância entre entre a superfície e a origem de coordenadas.

8.∫

S

∫dq

r2onde S é a esfera x2 + y2 + z2 = r2 e r é a distância entre entre a superfície

e o ponto fixo P (0, 0, c), c > 0.

2. Calcular as integrais de superfície.

1.∫

S

∫

xdydz + ydxdz + zdxdy onde S é o lado positivo do cubo formado pelos planos

x = 0, y = 0, z = 0, x = 1, y = 1.

2.∫

S

∫

x2y2zdxdy onde S é o lado positivo da metade inferior da esfera x2+y2+z2 = r2.

3.∫

S

∫

xdxdy onde S é a fase exterior do elipsoidex2

a2+y2

b2+z2

c2= 1.

4.∫

S

∫

z2dxdy onde S é a fase exterior do elipsoidex2

a2+y2

b2+z2

c2= 1.

5.∫

S

∫

xzdxdy+xydydz+yzdxdz onde S é a parte exterior da piramide formada pelos

planos x = 0, y = 0, z = 0, x+ y + z = 1.

6.∫

S

∫

yzdxdy + xzdydz + xydxdz onde S é a fase exterior da superfície situada no

primeiro otante e formada pelo cilíndro x2 +y2 = r2 e os planos x = 0, y = 0, z =

0, z = H.


7.∫

S

∫

y2zdxdy + xzdydz + x2ydxdz onde S é a fase exterior da superfície situada no

primeiro otante e formada pelo paraboloide de revolução z = x2 + y2, pelo cilindro

x2 + y2 = 1 e os planos x = 0, y = 0, z = 0.

3.3 Teorema de Stokes

O teorema de Stokes permite-nos relacionar integrais de linha em integrais de superfície e

vicê-versa.

Teorema 3.2.

Seja S ⊂ R3 uma superfície regular ou que se decompõe num número finito de superfícies

orientadas regulares, consideremos C a fronteira de S, constituindo uma curva suave ou que se

decompõe num número finito de curvas suaves. Então, se ~F (u, v, z) é uma função vetorial

contínua com primeiras derivadas parciais contínuas num dado domínio que contém S. Nestas

condições, temos que ∫ ∫

S

(∇× ~F ) • ~ndA =

∮

C

~F • d~r (3.2)

onde ~n é o vetor normal unitário a S de acordo com o sentido de circulação em ~C - ver Figura

(3.12).

Figura 3.12:

É importante não esquecer que o teorema de Stokes

se aplica a superfícies abertas, pois só neste caso se

estabelece inequívocamente uma curva delimitadora.

De reparar que, pelo teorema de Stokes, se torna

evidente que, se uma função vetorial se pode escrever

como o gradiente de uma função escalar, então o inte-

gral ao longo de qualquer circuito fechado é zero. Volta-

mos a encontrar funções cujo integral de linha não de-

pende da trajetória que liga os pontos inicial e final -

são as denominadas funções conservativas.

Aqui como no Teorema de Green, a curva fechada

C é a fronteira da superfície S, e novamente, se ~F é

olhado como uma “anti-derivada"de (rotF ), então a integral sobre a região é igual a anti-derivada

avaliada sobre a fronteira da região. Existem muitas superfícies que tem a mesma fronteira, e

Teorema de Stokes diz que a integral sobre qualquer superfície apropriada dà o mesmo valor da

integral sobre o contorno.

Exemplo 3.8.

Seja S a parte do parabolóide z = 9 − x2 − y2 com z ≥ 0 e seja C o traço de S o plano-xy.

Verifique o teorema de Stokes.

Solução.


Devemos mostrar que as duas integrais de (3.2) tem o mesmo valor.

A superfície é um parabolóide elíptico, obtém-se que n =2x~i+ 2y~j + ~k√

4x2 + 4y2 + 1o rotacional

rotF =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~k∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z3z 4x 2y

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= 2~i+ 3~j + 4~k

Conseqüentemente

∫ ∫

S

(∇× ~F ) • ~ndA =

∫ ∫

S

4x+ 6y + 4√

4x2 + 4y2 + 1dS

aplicando propriedades para resolver esta integral de superfície temos

∫ ∫

S

(∇× ~F ) • ~ndA =

∫ ∫

R

(4x+ 6y + 4)dA

onde R é a região do plano-xy limitada pelo círculo de raio 3 e centro na origem. Passando para

coordenadas polares, obtemos

∫ ∫

S

(∇× ~F ) • ~ndA =

2π∫

0

3∫

0

(4r cos θ + 6rsenθ)rdrdθ =

=

2π∫

0

(36 cos θ + 54senθ + 18)dθ = 36π

Por outro lado, para o cálculo da integral curvilínea, podemos escrever na forma

∮

C

~F • d~r =

∮

C

(3zdx+ 4xdy + 2ydz)

onde C é o círculo x2 + y2 = 9 no plano-xy. Como z = 0 em C esta integral curvilínea se reduz a

∮

C

~F • d~r =

∮

C

4xdy = 4

∮

C

xdy

Como∮

C

xdy é a áres da região (um círculo de raio 3) delimitada por C e, assim

∫ ∫

S

(∇× ~F ) • ~ndA == 36π


3.4 Teorema de Gauss

O teorema de Gauss permite-nos relacionar integrais de superfície com os integrais triplas já

estudados anteriormente.

Teorema 3.3.

Seja T uma região fechada e limitada no espaço R3, cuja fronteira é uma superfície S orien-

tável ou então se pode decompor num conjunto finito de superfícies orientáveis. Seja uma função

vetorial contínua com primeiras derivadas parciais contínuas num dado domínio que contém T .

Nestas condições, temos que

∫ ∫

S

~F • ~ndA =

∫ ∫

T

∫

div ~FdV (3.3)

onde ~n é o vetor unitário normal que aponta para fora da superfície S. Em coordenadas

cartesianas, podemos escrever

∫ ∫

T

∫ [∂Fx∂x

+∂Fy∂y

+∂Fz∂z

]

dxdydz =

∫ ∫

S

(F1dydz + F2dzdx+ F3dxdy)

Figura 3.13:

Se uma superfície para a qual o Teorema de Stokes é

aplicado fosse deformada de tal maneira para criar uma

superfície fechada , ou duas superfícies que compartil-

ham a mesma fronteira, a superfície resultante não teria

fronteira e assim o teorema de Stokes diz que a inte-

gral da componente normal do rotacional (circulação)

de uma função vetorial sobre uma superfície fechada

é nula. Se o integrando não é rotacional de alguma

função, então a integral de superfície está relacionada

à variação do integrando no interior da região fechada.

Aqui olhando ~F como a anti-derivada de div ~F , a

integral sobre a região T é igual a anti-derivada do in-

tegrando avaliado na fronteira de T .


Exercícios 4-2

1.

2. Aplicando a fórmula de Stokes transformar a integral∫

L

(y2+z2)dx+(x2+z2)dy+(x2+y2)dz

considerada ap longo de certo caminho fechado, na integral de superfície estendida sobre

essa curva.

3. Calcular a integral∫

L

x2y3dx + dy + zdz, onde o contorno Lé a circunferência x2 + y2 =

r2, z = 0:

1. Diretamente.

2. Aplicando a fórmula de Stokes e considerando a semiesfera z =√

r2 − x2 − y2 como

superficie. A integração ao longo da circunferência no plano xOy, debe efetuarse no

sentido positivo.

Definição 3.11.

Exemplo 3.9.

Definição 3.12.

Definição 3.13.

Definição 3.14.

Exemplo 3.10.

1.

2.

3.

Exemplo 3.11.

Exemplo 3.12.

Exemplo 3.13.

Exemplo 3.14.

Exemplo 3.15.

Exemplo 3.16.

Exemplo 3.17.

Definição 3.15.

Capítulo 4

SEQÜÊNCIAS DE NÚMEROS REAIS

L. Euler

Leonhard EulerNasceu em 15 de abril de 1707 Basiléia na Suíçae Faleceu em 18 de setembro de 1783 em São Petersburgo na Rússia.Euler ampliou as fronteiras da geometria analítica e da trigonometriamodernas deu contribuições decisivas para a geometria, o cálculo e aanálise numérica.

Euler conseguiu de seu pai o consentimento para mudar seus estu-dos para a Matemática ajudado pela persuasão de Johann Bernoulli,que intercedeu junto a seu pai. Johann Bernoulli tornou-se então seuprofessor.

Euler ingressou na Academia de Ciências de São Petersburgo em1727, dois anos após a sua fundação por Catarina I. Em São Peters-

burgo ele viveu com Daniel Bernoulli e tornou-se professor de Física na academia em 1730, e professorde Matemática em 1733. Neste mesmo ano ele casou-se e deixou a casa de Johann Bernoulli. Destecasamento Euler teve 13 filhos, dos quais apenas cinco sobreviveram à primeira infância. Ele costumavadizer que algumas de suas maiores descobertas foram feitas enquanto segurava um bebê nos braços, tendoos outros filhos brincando em suas pernas.

A publicação de diversos artigos e de seu livro “Mechanica”(1736 − 37) - no qual apresentava pelaprimeira vez a dinâmica Newtoniana na forma de análise matemática - iniciaram Euler nos caminhos deum trabalho matemático mais incisivo.

Em 1741, por convite de Frederico o Grande, Euler associou-se à Academia de Ciência de Berlim,onde ele permaneceu por vinte e cinco anos. Neste período em Berlim ele escreveu cerca de 200 artigos,três livros de análise matemática, e uma publicação científica popular, “Cartas para uma princesa daAlemanha” (3 volumes, 1768 − 72).

Em 1766 Euler voltou à Rússia e perdeu a visão do olho direito aos 31 anos e logo após retornar aSão Petersburgo ficou quase inteiramente cego após uma operação de catarata. Graças à sua formidávelmemória ele foi capaz de continuar seus trabalhos em Ótica, Álgebra e movimentos lunares. Surpreen-dentemente após 1765 (quando tinha 58 anos) ele produziu quase metade de seu trabalho, a despeito deestar totalmente cego.

Depois de sua morte, em 1783, a Academia de São Petersburgo continuou a publicar todos os seustrabalhos ainda não publicados durante quase cinqüenta anos.

109


4.1 INTRODUÇÃO

Ao definir uma função f sobre um conjunto A com imagem no conjunto B, denotada por

f : A −→ B, estamos associando a cada a ∈ A um único elemento b ∈ B, para todos os elementos

de A.

O que caracteriza o nome da função é o contradomínio B da mesma. Se B é um conjunto de:

• números reais, temos uma função real.

• vetores, temos uma função vetorial.

• matrizes, temos uma função matricial.

• números complexos, a função é complexa.

No decorrer de estudos de matemática, seja no ensino médio ou preparatório para a graduação,

você deve ter encontrado por exemplo expressões da forma: 6; 8; 10; 12; 14; 16 coleções deste

tipo definem uma “seqüência”. Dizemos que esta seqüência é finita pelo fato ter um número finito

de elementos. Existem expressões por exemplo fa forma:

6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; · · · ou · · · ; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18

estas seqüências representam a idéia de seqüências infinitas. Esses três pontos indicam que na

escrita, temos a continuar indefinidamente.

Este capítulo trata principalmente de seqüências em números reais, porém as propriedades

fundamentais sobre convergência explicam-se com a mesma facilidade para casos mais gerais. A

menos que se faça referência, estaremos considerando seqüências com elementos no conjunto de

números reais R.

Representamos por N+ o conjunto dos números naturais positivos, isto é:

N+ = { 1, 2, 3, 4, · · · , n, · · · }

Observe que N+ é um subconjunto próprio do conjunto N; logo N+ ⊂ N.

4.2 SEQÜÊNCIA DE NÚMEROS REAIS

Definição 4.1. Seqüência.

Uma seqüência ou sucessão de números reais é uma função a : N+ −→ R que associa a cada

número natural n um número real a(n) o qual denotamos an.

O valor da seqüência a no número natural n é denominado “n-ésimo termo” ou “termo geral

da seqüência a”; assim an representa o termo da posição n-ésima de uma seqüência.

Do modo como definimos a seqüência, o domínio da função a é um conjunto infinito, mas

o contradomínio poderá ser finito ou infinito. O domínio de uma seqüência é indicado por

D(a) = N+ e a imagem de uma seqüência por Im(a) = { a1, a2, a3, · · · }.Denotamos o conjunto de todos os termos de uma determinada seqüência por {an}n∈N+ .


Deve-se escrever uma seqüência {an}n∈N+ na ordem dos valores que ela representa, assim por

exemplo:

a1, a2, a3, · · · , an, · · ·

Os números a1, a2, a3, · · · , an, · · · são chamados “elementos da seqüência”, sendo an seu

termo geral.

A função a : N+ −→ R não é necessariamente injetiva, pode-se ter am = an com m 6= n,

quando a seqüência {an}n∈N+ for injetiva, isto é, quando m 6= n implicar am 6= an ∀m, n ∈ N+,

diremos que ela é uma seqüência de termos “dois a dois distintos”.

Exemplo 4.1.

Seqüência identidade : É a função a : N′ −→ R definida pelo termo geral an = n.

Seqüência de números pares : É definida pelo termo geral an = 2n.

Seqüência de números ímpares : É definida pelo termo geral an = 2n− 1.

Seqüência dos recíprocos : Seu termo geral an =1

n.

Seqüência constante : Seu termo geral an = C, onde C é qualquer número real fixo.Para o caso

C = 0 é chamada seqüência nula.

Seqüência alternada : Uma seqüência alternada {an} pode ser definida por an = (−1)nn. Esta

seqüência de números fica alternando o sinal de cada termo, sendo um negativo e o seguinte

positivo, e assim por diante.

Seqüência aritmética : A seqüência aritmética é definida por an = a1 + (n− 1)r onde a1, r ∈ R

são constantes, r é chamado razão. Esta seqüência também é chamada de progressão

aritmética P.A.

Seqüência geométrica : Uma seqüência geométrica é definida por an = a1qn−1 onde a1, q ∈ R

são constantes, r é chamado razão. Esta seqüência também é chamada de progressão

aritmética P.A.

Seqüência recursiva : Uma seqüência é recursiva se, o termo de ordem n é obtido em função dos

termos das posições anteriores.

A importante seqüência de Fibonacci, definida por a1 = 1, a2 = 1 e an+2 = an+1 + an.

A seqüência de Fibonacci aparece de uma forma natural em estudos de Biologia, Arquite-

tura, Artes e Padrões de beleza 1.

Exemplo 4.2.

Seja a seqüência de termo geral an = (−1)n, observe que a2 = 1 e a4 = 1, isto não implica

que 2 = 4.

Portanto, a função que determina a seqüência {(−1)n}n∈N+ não é injetiva. �

1O livro "A divina proporção", Huntley, Editora Universidade de Brasília, trata do assunto.


Em particular o conjunto {an}n∈N+ = {a1, a2, a3, · · · , an, · · · } pode ser finito, ou até mesmo

reduzir-se a um único elemento, como é o caso de uma seqüência constante, em que an = α ∈ R

para todo n ∈ N+.

Uma seqüência pode ser representada pelo seu termo geral, ou explicitando-se seus primeiros

termos, como mostra o exemplo a seguir.

Exemplo 4.3.

(a)2

1;

2

2;

2

3; · · · seu termo geral é an =

2

n

(b) 12; 22; 32; · · · seu termo geral é an = n2

(c) −1; 1; −1; 1; · · · seu termo geral é an = (−1)n

(d) 1;√

2;√

3;√

4; · · · seu termo geral é an =√n

(e)1

2;

2

3;

3

4; · · · seu termo geral é an =

n

n+ 1

(f) 2;5

2;

8

3;

11

4; · · · seu termo geral é an = 3 − 1

n

(g) c; c; c; c · · · seu termo geral é an = c

(h) a; a2; a3; a4 · · · seu termo geral é an = an, onde a ∈ R

Em cada um destes exemplos exibimos o termo n-ésimo ( termo geral), para assim ter uma

forma compacta do modo geral na formação dos elementos da seqüência.

Na seqüência (e) o quarto termo é4

5, e o n-ésimo termo é an =

n

n+ 1Uma representação gráfica bastante conveniente de uma seqüência é obtida assinalando os

pontos a1; a2; a3; · · · ; an; · · · num segmento da reta numérica real como se indica no seguinte

desenho.

{an}n∈N+ ={ 2

n

}

n∈N+0 a4 a3 a2 a1

r r r r r1/2 2/3 1 2

{bn}n∈N+ = {(−1)n}n∈N+

0

−1 1

b1 = b3 = · · · b2 = b4 = · · ·r rr

{cn}n∈N+ ={ n

n+ 1

}

n∈N+0

1/2 2/3 3/4

c1 c2 c3 · · ·r r r r

4.2.1 Classificação: Limitação e Monotonia.

Definição 4.2. Limitada superiormente.


Uma seqüência {an}n∈N+ é dita limitada superiormente, quando existe um número real N ,

denominado cota superior da seqüência, que atende à seguinte condição:

an ≤ N ∀ n ∈ N+ (4.1)

Isto significa que todos os termos an pertencem à semi-reta (−∞, N ]. Logo, qualquer número

real maior do que N também será uma cota superior da seqüência {an}n∈N+ .

A menor dessas cotas é denominada supremo da seqüência {an}n∈N+ e denotada sup .{an}.Definição 4.3. Limitada inferiormente.

Uma seqüência {an}n∈N+ é dita limitada inferiormente, quando existe um número real M ,

denominado cota inferior da seqüência, que atende à seguinte condição:

M ≤ an ∀ n ∈ N+ (4.2)

Isto significa que todos os termos an pertencem à semi-reta [M, +∞). Logo, qualquer número

real menor do que M também será uma cota inferior da seqüência {an}n∈N+ .

A maior dessas cotas é denominada ínfimo da seqüência {an}n∈N+ e denotada inf .{an}.Exemplo 4.4.

• A seqüência {−2n}n∈N+ é limitada superiormente; observe que existe N ≥ −2 tal que

−2n ≤ N ∀ n ∈ N+. Neste caso sup .{−2n} = −2

• A seqüência {2n}n∈N+ é limitada inferiormente; observe que existe M ≤ 2 tal que M ≤2n ∀ n ∈ N+. Neste caso inf .{2n} = 2

Observação 4.1.

Lembre os seguintes fatos fundamentais:

1. Toda seqüência limitada superiormente tem supremo finito, e toda seqüência limitada inferi-

ormente tem ínfimo finito.

2. Para todo ε > 0, o número real α = sup .{an}−ε por ser menor do que o supremo da seqüência,

não pode ser cota superior de {an}n∈N+ . Logo pode existir um elemento an1 ∈ {an}n∈N+

tal que:

α = sup .{an} − ε < an1 (4.3)

3. Sendo β = inf .{an} + ε um número real maior do que o ínfimo da seqüência, não pode ser

cota inferior de {an}n∈N+ . Logo pode existir um elemento an2 ∈ {an}n∈N+ tal que:

an2 < β = inf .{an} + ε (4.4)

Definição 4.4. Seqüência limitada.

Uma seqüência {an}n∈N+ é dita limitada, quando o for limitada superior e inferiormente;

isto é, quando existir uma constante C > 0 tal que atende à seguinte condição:

|an| ≤ C ∀ n ∈ N+ (4.5)


A conclusão desta definição é que, uma seqüência {an}n∈N+ é limitada quando o conjunto de

todos os termos da seqüência pertencem ao intervalo [M, N ].

Observemos que todo intervalo [M, N ] está contido num intervalo da forma [−C, C], sendo

C > 0. Para isto é suficiente considerar C = max{|M |, |N |}.Como a condição an ∈ [M, N ] ⊆ [−C, C] é equivalente a |an| ≤ C, então justifica-se (4.5);

isto é, uma seqüência {an}n∈N+ é limitada se, e somente se, existe um número real C > 0 tal

que |an| ≤ C para todo n ∈ N+.

Daí resulta que {an}n∈N+ é limitada se, e somente se, {|an|}n∈N+ é limitada.

Quando uma seqüência {an}n∈N+ não é limitada, diz-se que ela é “ilimitada”.

Evidentemente, uma seqüência é limitada se, e somente se, é limitada superior e inferiormente.

Exemplo 4.5.

Mostre que a seqüência {n}n∈N+ não é limitada.

Demonstração.

Suponhamos que esta seqüência seja limitada. Então existe um C ∈ R tal que n ≤ C, ∀n ∈N+.

Pelo Axioma de Arquimedes2, sempre existe um q ∈ N tal que C + 1 ≤ q.

Comparando estas duas últimas desigualdades tem-se que n ≤ C e C + 1 ≤ q ⇒ n ≤C ≤ C + 1 ≤ q. Sem perda de generalidade, podemos considerar n = q ∈ N, assim q ≤ C <

C + 1 ≤ q ⇒ q < q. Contradição!

Portanto {n}n∈N+ não é limitada.

Exemplo 4.6.

1. A seqüência de termo geral an = n é limitada inferiormente, mas não superiormente. Observe

que inf .{an} = 1

2. A seqüência de termo geral an = 1 − n2 é limitada superiormente, mas não inferiormente.

Tem-se que sup .{an} = 0

3. A seqüência de termo geral an =1

n2é limitada, tem-se que sup .{an} = 1 e inf .{an} = 0;

note que o ínfimo não é termo da seqüência.

4. A seqüência de termo geral an = (−1)n é limitada , sendo que sup .{an} = 1 e inf .{an} = −1.

5. A seqüência de termo geral an = (−1)nn não é limitada nem superiormente, nem inferior-

mente.

6. A seqüência de termo geral an =n

n+ 1é limitada , tem-se que sup .{an} = 1 e inf .{an} =

1

2;

note que o supremo não é termo da seqüência.

Definição 4.5. Seqüência crescente.

Dizemos que uma seqüência {an}n∈N+ é estritamente crescente ou simplesmente crescente,

quando a1 < a2 < a3 < · · · isto é, quando an < an+1 para todo n ∈ N+.

2Axioma de Arquimedes: Para todo x ∈ R, existe n ∈ N tal que x ≤ n.


Se temos que an ≤ an+1 para todo n ∈ N+, diz-se que a seqüência é “não–decrescente”.

Definição 4.6. Seqüência decrescente.

Dizemos que uma seqüência {an}n∈N+ é estritamente decrescente ou simplesmente decres-

cente, quando a1 > a2 > a3 > · · · , isto é, quando an > an+1 para todo n ∈ N+.

Se temos que an+1 ≤ an para todo n ∈ N+, diz-se que a seqüência é “não–crescente”.

Definição 4.7. Seqüência monótona.

As seqüências crescentes, não-decrescentes, decrescentes e não–crescentes são chamadas “se-

qüências monótonas”.

Uma conseqüência destas definições é a seguinte:

1o Toda seqüência monótona crescente é limitada inferiormente pelo seu primeiro termo.

2o Toda seqüência monótona decrescente é limitada superiormente pelo seu primeiro termo.

3o A única seqüência monótona simultaneamente crescente e decrescente, é a seqüência con-

stante.

Exemplo 4.7.

1. A seqüência de termo geral an =1

né decrescente.

2. As seqüências de termos gerais an = − 1

ne bn = n2 são crescentes.

3. A seqüência de termo geral an = 0n é monótona crescente.

4. A seqüência de termo geral an =(−1)n+1

nnão é crescente nem decrescente.

Exemplo 4.8.

1. As seqüências de termos gerais an = n2 e bn = Ln n são crescentes.

2. As seqüências de termos gerais an =1

n2e bn = −n3 são decrescentes.

3. A seqüência de termo geral an = (−1)n é não monótona, isto pelo fato não ser crescente nem

decrescente.

Note que seus termos são alternados, positivos e negativos; por essa razão recebe o nome

de seqüência alternada.

Exemplo 4.9.

Mostre que a seqüência de termo geral an =n

n+ 1é crescente.

Demonstração.

Tem-se que an =n

n+ 1e an+1 =

n+ 1

n+ 2, logo

an+1

an=n+ 1

n+ 2· n+ 1

n=n2 + 2n+ 1

n2 + 2n> 1 ∀ n ∈ N+

isso implica que, an < an+1 ∀ n ∈ N+.


Para descobrir se uma determinada seqüência em monótona, um recurso é a investigação do

sinal da derivada da função extensão.

Para o Exemplo (4.9) podemos considerar a função extensão a R de an. Por exemplo, para

todo número real x ≥ 1, seja f(x) =x

x+ 1⇒ f ′(x) =

1

(x+ 1)2.

Sendo esta derivada positiva, implica que a função f(x) é crescente para todo x ≥ 1; isto é

f(x) ≤ f(x+ 1).

Logo em particular {an}n∈N+ é crescente para todo n ∈ N+.

Exemplo 4.10.

Determine se a seqüência{ 1

n2 + 1

}

n∈N+é crescente ou decrescente.

Solução.

Considere a função f(x) =1

n2 + 1⇒ f ′(x) = − 2x

x2 + 2< 0, ∀ x > 0, isto quer indicar

que f(x) é decrescente para todo x > 0.

Portanto, a seqüência{ 1

n2 + 1

}

n∈N+é decrescente. �

Esta técnica embora eficiente, não podemos aplicar a todas as seqüências como mostra o

seguinte exemplo.

Exemplo 4.11.

Mostre que a seqüência de termo geral an =n!

(2n− 1)!é decrescente.

Demonstração.

Observe que aqui não podemos definir a função extensão f(x) =x!

(2x− 1)!, isto pelo fato que

o fatorial somente é definido para números inteiros não negativos. Por outro lado

an+1

an=

(n+ 1)!

(2n+ 1)!· (2n− 1)!

n!=

n+ 1

2n+ 1< 1 n ∈ N+

de onde resulta que an+1 < an, ∀ n ∈ N+.

Portanto, a seqüência{ n!

(2n− 1)!

}

n∈N+é decrescente.

Exemplo 4.12.

A seqüência cujo termo geral é:

an = 1 + 1 +1

2!+

1

3!+

1

4!+ · · · + 1

n!

é crescente.

Ela também é limitada, pois como n! ≥ 2n−1 ∀n ∈ N+

2 ≤ an ≤ 1 + 1 +1

2+

1

22+

1

23+ · · · + 1

2n−1< 3


4.2.2 Subseqüências.

Consideremos o subconjunto infinito N′ = {n1 < n2 < · · · < nk < · · · } de N+ lembre que,

se existe alguma função f : N+ −→ R, também existem funções g : N′ −→ R, chamadas “função

restrição de f ” e denotadas f |N′ = g.

Em princípio poderíamos denominar seqüência qualquer função a : N′ −→ R. A esta restrição

daremos o nome de subseqüência ou subsucessão.

Definição 4.8. Subseqüência.

Dada uma seqüência a : N+ −→ R de números reais, as restrições de a a subconjuntos

infinitos de N+ serão denominadas subseqüências de {an}n∈N+ .

Representando a seqüência pelo conjunto ordenado {an}n∈N+ podemos dizer que suas subse-

qüências são da forma {ank}nk∈N′ , sendo N′ um subconjunto infinito de N+.

Lembre que N′ ⊂ N+ é subconjunto infinito se, e somente se, é ilimitado; isto é, para todo

n0 ∈ N+ existe nk ∈ N′ com nk > n0.

Naturalmente, uma toda seqüência é subseqüência dela própria.

Exemplo 4.13.

• Tem-se que{ 1

2n

}

n∈N+é subseqüência de

{ 1

n

}

n∈N+.

• Tem-se que {3n}n∈N+ é subseqüência de {n}n∈N+ .

• Tem-se que{ 2n

2n+ 1

}

n∈N+é subseqüência de

{ n

n+ 1

}

n∈N+.

Observação 4.2.

Observe que{ 1

2n

}

n∈N+podemos escrever na forma

{ 1

m

}

m∈N′, onde N′ = 2N+.

Isso justifica que{ 1

2n

}

n∈N+seja subseqüência de

{ 1

n

}

n∈N+.

Exemplo 4.14.

Demonstre que a seqüência{n2 + 1

n2 + 2

}

n∈N+é limitada.

Demonstração.

Considere a função de variável real definida por: f(x) =x2 + 1

x2 + 2, calculando a primeira

derivada respeito de x tem-se que f ′(x) =2x

(x2 + 2)2> 0, ∀ x ≥ 1.

Logo a seqüência{n2 + 1

n2 + 2

}

n∈N+é crescente.

Podemos escrever an =n2 + 1

n2 + 2= 1 − 1

n2 + 2. Observe que a1 =

2

3, a2 =

5

6, a3 =

10

11, · · ·

quando n cresce indefinidamente para +∞, tem-se que an decresce para o valor 1.

Portanto, 1 ≤ an ≤ 2

3, ∀ n ∈ N+.

Dentre as subseqüências de uma seqüência dada {an}n∈N+ , destacamos duas particularmente

importantes: a subseqüência par {a2k}k∈N+ e a subseqüência ímpar {a2k−1}k∈N+ .

Toda subseqüência de uma seqüência limitada é limitada (respectivamente limitada superior

ou inferiormente)


Propriedade 4.1.

Toda seqüência monótona é limitada se ela possui uma subseqüência limitada.

Demonstração.

Seja, por exemplo, an1 ≤ an2 ≤ · · · ≤ ank≤ · · · ≤ N uma subseqüência limitada, da seqüência

não-decrescente {an}n∈N+ . Então, para qualquer n ∈ N+, existe um nk > n e, portanto, an ≤ank

≤ N .

Logo an ≤ N para todo n ∈ N+; isto é {an}n∈N+ é limitada.

Exemplo 4.15.

Seja a seqüência de termo geral an =1

n!é monótona e limitada, 0 ≤ an ≤ 1.

Em virtude da Propriedade (4.1), ela possui uma subseqüência limitada {a2n}n∈N+ , observe

que a2n =1

(2n)!, também é limitada e é uma subseqüência de {an}n∈N+ .

Exemplo 4.16.

Seja a seqüência de termo geral an =

1

n, se, n-ímpar

n, se, n-par

Tem-se que a seqüência {an}n∈N+ possui uma subseqüência limitada {a2n−1}n∈N+ , observe

que |a2n−1| ≤ 1, porém a Propriedade (4.1) não se aplica.

Pois, {an}n∈N+ não é monótona.


Exercícios 4-1

1. Obter a razão da P.A. em que o primeiro termo é −8 e a vigésimo termo é 30.

2. Obter o primeiro termo da PA de razão 4 cujo 230 termo é 24 e a razão é 2?

3. Qual é o primeiro termo negativo da PA ( 60, 53, 46, · · · )

4. Quantos números inteiros positivos formados por 3 algarismos são múltiplos de 13.

5. Um atleta corre sempre 400 metros a mais que no dia anterior. Ao final de 11 dias ele

percorre um total de 35200 metros. Quantos metros ele correu no último dia.

6. Qual a quantidade de meios aritméticos que se devem interpolar entre −m e 20m, a fim de

se obter uma PA de razão 7?

7. Qual é a soma dos números inteiros de 1 a 350?

8. Qual é o número mínimo de termos que se deve somar na P.A. :(7

5, 1,

3

5, · · · ) , a partir do

primeiro termo, para que a soma seja negativa?

9. Um relógio que bate de hora em hora o número de vezes correspondente a cada hora, baterá

, de zero às 12 horas x vezes. Calcule o dobro da terça parte de x.

10. Determinar o centésimo termo da progressão aritmética na qual a soma do terceiro termo

com o sétimo é igual a 30 e a soma do quarto termo com o nono é igual a 60.

11. Escreva uma P.A. de três termos, sabendo que a soma desses termos vale 12 e que a soma

de seus quadrados vale 80.

12. Um operador de máquina chegou 30 minutos atrasado no seu posto de trabalho, mas como

a máquina que ele monitora é automática, começou a trabalhar na hora programada. a)

Sabendo-se que a máquina produz 10n peças por minuto, em que n é o números de minutos,

quantas peças a máquina produziu até a chegada do operador? b) Sabendo-se que depois

de 1 hora, a máquina produz a mesma quantidade de peças, quantas peças terá feito a

máquina ao final do expediente de 4 horas?

13. Dar exemplo de uma seqüência não constante, para ilustrar cada situação abaixo indicada:

1. limitada e crescente. 2. limitada e decrescente.

3. limitada e não monótona 4. não limitada e não decrescente.

5. não limitada e não monótona.

14. Determine os quatro primeiros termos das seqüências indicadas:

1.{ 1

2n− 1

}

n∈N+2. {

√n+ 1 −√

n}n∈N+ 3. {(−1)nn}n∈N+

15. Esboce o gráfico da seqüência de termo geral an =n

n+ 1e verifique quantos pontos da

forma (n, an) estão fora da faixa horizontal determinada pelas retas 5y = 4 e 5y = 6.


16. Escreva a forma mais simples para o termo n-ésimo de cada uma das seguintes seqüências.

Determine se ela é limitada.

17.

1. 1,1

2,

1

3,

1

4, · · · 2.

1

2,

1

4,

1

8,

1

16, · · · 3. 1, 0, 1, 0, 1, · · ·

4. 0, 2, 0, 2, 0, 2, · · · 5. 1, 9, 25, 49, 81, · · · 6. 0, 3, 2, 5, 4, · · ·

7. 2, 1,3

2, 1,

4

3, 1, · · · 8. 0,

3

2, −2

3,

5

4, −4

5, · · · 9. 1,

3

2, 2,

5

2, 3 · · ·

18. Expresse pelo seu termo geral cada seqüência dada.

1. 1,1

2,

2

3,

3

4,4

5, · · · 2. 2, 1, 2,

3

2, 2,

7

4, 2,

15

8, 2,

31

16, · · ·

3. 0,Ln2

2,

Ln3

3,

Ln4

4, , · · · 4. 1,

2

22 − 12,

3

32 − 22,

4

42 − 32, · · ·

5. 0,1

22,

2

32,

3

42, · · · 6. sen1o,

sen2o

2,

sen3o

3, · · ·

19. Dê um exemplo de uma seqüência limitada e não monótona que possui uma subseqüência

crescente.

20. Classifique as seqüências do Exercício 1-1 (??) quanto à limitação e monotonia, e selecione

de cada uma delas uma subseqüência monótona. Qual de aquelas seqüências possui uma

subseqüência constante?.

21. Determine o sup . e o inf . das seguintes seqüências.

1.{

− n2 + n}

n∈N+2.

{2n

n!

}

n∈N+3.

{ 2

3n− 4

}

n∈N+

4.{

1 − 1

n

}

n∈N+5. {Lnn}n∈N+ 6.

{ 3n2

n2 + n

}

n∈N+

7. {(−2)n}n∈N+

22. Dê um exemplo de uma seqüência {an}n∈N+ não constante, crescente e limitada superior-

mente.

23. Dê exemplo de uma seqüência {an}n∈N+ cuja distância entre quaisquer de seus termos

consecutivos seja sempre 4.

24. Determine para cada caso, se a seqüência dada é crescente, decrescente ou não monótona:

1.{(2n− 1)!

2n · n!

}

n∈N+2.

{ 5n

1 + 52n

}

n∈N+3.

{ 5n

(30 − k0) + 52n

}

n∈N+

4.{ 2n

1 + 2n

}

n∈N+5.

{n!

3n

}

n∈N+6.

{ 1

n+ sen(n2)

}

n∈N+

7.{nn

n!

}

n∈N+8.

{ n!

(2n− 1)!

}

n∈N+9.

{ n!

1.3.5...(2n− 1)

}

n∈N+


4.3 LIMITE DE SEQÜENCIA

4.3.1 Limite de uma seqüência.

O conceito de limite de uma seqüência, está estreitamente ligado a os conceitos de limites

ao infinito estudados numa primeira disciplina de Cálculo 3. Consideremos a restrição de uma

função de R em R restrita ao conjunto de partida N+; logo temos a seguinte definição de limite

ao infinito.

Definição 4.9. Limite ao infinito.

Seja f : R −→ R , uma função e L ∈ R, diz-se que L é o limite de f(x) quando x tende para

+∞ e escreve-se limx→+∞

f(x) = L se e somente se dado ε > 0, existe N > 0 tal que | f(x)−L |< ε

sempre que x > N .

Definição 4.10. Limite de uma seqüência.

Seja {an}n∈N+ uma seqüência de números reais, dizemos que o número real L é o limite de

{an}n∈N+ , ou que a seqüência {an}n∈N+ converge para L, quando para todo número real ε > 0,

for possível obter n0 ∈ N+ tal que |an − L| < ε, sempre que n > n0.

Em linguagem simbólica temos:

limn→+∞

an = L ⇔ ∀ ε > 0, ∃ n0 ∈ N+; n > n0 ⇒ |an − L| < ε

Outra notação para indicar que uma seqüência {an}n∈N+ converge para L é:

an → L; n→ +∞

Se {an}n∈N+ é uma seqüência de números reais, então as seguintes expressões:

1. {an}n∈N+ é convergente para L em R.

2. {an}n∈N+ converge a L em R.

3. {an}n∈N+ tem um limite L em R.

4. {an}n∈N+ tende a um limite L em R.

5. O limite de {an}n∈N+ existe em R, é o valor L.

são equivalentes; sempre que an → L ∈ R, quando n→ +∞.

É importante ressaltar que em nossa definição de “seqüência convergente” o valor L depende

não somente de {an}n∈N+ ; também depende do espaço (conjunto) em que estamos trabalhando.

Exemplo 4.17.

Utilizar a definição de limite de uma seqüência, para demonstrar que{ n

2n+ 1

}

n∈N+tem o

limite1

2.

3"Cálculo Diferencial em R do mesmo autor.2008.


Demonstração.

Devemos mostrar que para qualquer ε > 0, existe um número n0 > 0 tal que:

∣∣∣∣

n

2n+ 1− 1

2

∣∣∣∣< ε para todo n > n0

Com efeito,

∣∣∣∣

n

2n+ 1− 1

2

∣∣∣∣=

∣∣∣∣

2n− (2n+ 1)

2(2n+ 1)

∣∣∣∣=

∣∣∣∣

−1

4n+ 2

∣∣∣∣=

1

4n+ 2

Logo, devemos determinar um número n0 > 0 tal que:

1

4n+ 2< ε para todo n > n0

Tem-se que1

4n+ 2< ε é equivalente a 2n+ 1 >

1

2ε⇒ n >

1 − 2ε

4ε.

Portanto, se n0 =1 − 2ε

4ε, a definição é válida; e

{ n

2n+ 1

}

n∈N+tem o limite

1

2.

Exemplo 4.18.

Mostre que a seqüência {n}n∈N+ não é convergente.

Demonstração.

Suponhamos que a seqüência {n}n∈N+ seja convergente para algum L ∈ R. Dado ε =1

3> 0

existe n0 ∈ N+ tal que |an − L| = |n− L| < ε sempre que n > n0.

Como |an − L| < 1

3, |an+1 − L| < 1

3, logo |n− L| < 1

3, |n+ 1 − L| < 1

3.

Sendo n < n+ 1, deduzimos que:

1 = |(n+ 1) − n| ≤ |n+ 1 − L| + |n− L| < 1

3+

1

3=

2

3

então 1 <2

3, isto é contradição !

Portanto, supor que {n}n∈N+ converge é falso!

Observação 4.3.

Para o Exemplo (4.11), a seqüência cujo termo geral é:

an = 1 + 1 +1

2!+

1

2!+

1

4!+ · · · + 1

n!

provamos que é limitada e crescente.

Escrevemos e = limn→∞

an

O número e é uma das constantes mais importantes em diversos ramos do estudo da matemática,

como observamos 2 < e < 3; na verdade e = 2, 7182 · · · .

Exemplo 4.19.

Mostre que a seqüência cujo termo geral é : an = rn onde r ∈ R é um número fixado tal

que −1 < r < 1 converge para zero.

Demonstração.


Se r = 0 ⇒ an = 0, ∀ n ∈ N+, logo an → 0 quando n→ +∞.

Suponhamos que r 6= 0. Dado ε > 0, como 0 < |r| < 1, então Ln|r| é bem definido, além

disso como a função logaritmo é crescente, e Ln|r| < 0:

|rn − 0| = |rn| < ε ⇔ nLn|r| < Lnε ⇔ n >Lnε

Ln|r|

É suficiente escolher qualquer número natural n0 =Lnε

Ln|r| , e teremos que an → 0 quando

n→ +∞. Por exemplo, isso acontece quando ε = |r|k onde k ∈ N+.

Exemplo 4.20.

A seqüência:{

− 1

n

}

n∈N+converge no conjunto de números reais negativos para 0; porém

não converge no conjunto dos números reais positivos.

Exemplo 4.21.

Mostre usando a definição, que a seqüência:{ n

n+ 1

}

n∈N+converge para o número L = 1.

Demonstração.

A mostrar que, dado qualquer ε > 0, existe um n0 ∈ N+ tal que |an − 1| < ε sempre que

n > n0.

Com efeito, dado qualquer ε > 0 :

|an − 1| = | n

n+ 1− 1| =

1

n+ 1< ε ⇔ n >

1

ε− 1.

Isto quer dizer que, dado qualquer ε > 0, existe n0 =1 − ε

εtal que

n > n0 ⇒ |an − 1| < ε.

Exemplo 4.22.

Mostre que a seqüência de termo geral an =3n

n+ sen2nconverge.

Demonstração.

Observa-se que seu limite deve ser 3, é suficiente dividir numerador e denominador por n e

lembrar quesen2n

n→ 0.

Observe que:

|an − 3| =3|sen2n|

|n+ sen2n| ≤3

|n+ sen2n| ≤3

n− |sen2n| ≤3

n− 1

as duas últimas desigualdades havendo sido obtidas graças às desigualdades |n + sen2n| ≥ n −|sen2n| ≥ n − 1. Fazendo agora intervir o número ε, obtemos uma desigualdade imediata de

resolver em n:

|an − 3| ≤ 3

n− 1< ε ⇔ n > 1 +

3

ε


Isto quer dizer que, dado qualquer ε > 0, existe n0 =3 + ε

εtal que

n > n0 ⇒ |an − 3| < ε.

Portanto, a seqüência de termo geral an =3n

n+ sen2nconverge para 3.

Exemplo 4.23.

Determine o limite das seguintes seqüências:

a) 1; −1

2;

1

3; −1

4; · · · ;

(−1)n−1

n; · · ·

b) 2;4

3;

6

5;

8

7; ; · · · 2n

2n− 1; · · ·

c)√

2;√

2√

2;

√

2√

2√

2 ; · · ·

Solução.

a) O termo geral da seqüência está dado por an =(−1)n−1

n, ∀ n ∈ N+, n > 1, logo se n par

resulta limn→+∞

(−1)n−1

n= lim

n→+∞1

n= 0; para o caso n ímpar lim

n→+∞(−1)n−1

n= lim

n→+∞−1

n=

0.

Portanto, limn→+∞

(−1)n−1

n= 0

b) Observe que o termo geral da seqüência é: an =2n

2n− 1, calculando o limite temos: lim

n→+∞2n

2n− 1=

limn→+∞

2

2 − 1n

= 1. Portanto limn→+∞

2n

2n− 1= 1

c) Observe que:

a1 =√

2 = 212

a2 =√

2√

2 = 212 2

14 = 2

12+ 1

4

a3 =

√

2√

2√

2 = 212 2

14 2

18 = 2

12+ 1

4+ 1

8

...

an =

√

2√

2√

2 · · · = 212+ 1

22+ 1

23+ 1

24+ 1

25+··· 1

2n

Porém1

2+

1

22+

1

23+

1

24+

1

25+ · · · 1

2n=

1

2

[

1 +1

2+

1

22+

1

23+

1

24+

1

25+ · · · 1

2n−1

]

= 2(1 − 1

2n).

Assim, an = 2(1 − 1

2n), aplicando propriedade seguinte lim

x→aKf(x) = K

limx→a

.f(x), resulta

limn→+∞

2(1− 12n ) = 2

limn→+∞

(1− 12n )

= 21 = 2.

Portanto limn→+∞

an = 2. �


Propriedade 4.2.

Seja {an}n∈N+ uma seqüência, e L ∈ R, então as seguintes afirmações são equivalentes:

1. A seqüência {an}n∈N+ converge para L.

2. A seqüência {an − L}n∈N+ converge para zero.


4.3.2 Propriedades do limite de seqüência.

Da definição de limite para uma seqüência, é necessário compreender o seguinte:

1. O número real n0 da Definição (4.10) em geral depende do número ε.

2. A desigualdade |an − L| < ε implica L − ε < an < L + ε, então an ∈ (L − ε, L + ε), isto

significa que fora do intervalo real (L− ε, L+ ε) existe no máximo uma quantidade finita

de termos da seqüência.

Lembre a seguinte propriedade de números reais:

Propriedade 4.3.

i) Seja x ∈ R e x ≥ 0, se x < ε para todo ε > 0, então x = 0.

ii) Quando | x |< ε, ∀ ε > 0 ⇒ x = 0.

Demonstração.

i) Como x ≥ 0, então x = 0 ou x > 0. A possibilidade x > 0 não pode acontecer, pois se x > 0

então do fato x < ε e como ε > 0 em particular podemos escolher ε = x de onde ε = x < x

o que é contraditório.

Por tanto x = 0.

ii) Exercício para o leitor.

Observação 4.4.

a) Se os termos de uma dada seqüência permanecem, a partir de uma certa ordem, constante,

então a seqüência é convergente e seu limite é esse valor constante.

b) Existem seqüências (não limitadas) cujos termos crescem indefinidamente à medida que o

índice n aumenta, neste caso dizemos que a seqüência tem limite infinito e denotamos

limn→+∞

an = ∞

c) Dizer que uma seqüência {an}n∈N+ diverge equivale a admitir que limn→+∞

an = ∞ ou que não

existe limn→+∞

an.


d) Ao invés de escrever limn→+∞

an = L , simplesmente escreveremos limn→∞

an = L .

e) Ao invés de escrever uma seqüência na forma {an}n∈N+ , simplesmente escreveremos {an},entendendo que o índice n percorre o conjunto N+.

Propriedade 4.4. Unicidade do limite.

Se limn→∞

an = L1 e limn→∞

an = L2 então L1 = L2; isto é, quando exista o limite de uma

seqüência, este limite é único.

Demonstração.

Seja ε > 0 qualquer número real; e suponha que limn→∞

an = L1 e limn→∞

an = L2 sendo L1 6= L2.

Será suficiente mostrar que | L1 − L2 |< ε para todo ε > 0.

Do fato limn→∞

an = L1 da definição de limite temos que, dado qualquer ε > 0, existe um

n1 > 0 tal que | an − L1 |< ε

2sempre que n > n1 ; de modo análogo dado lim

n→∞an = L2 da

definição de limite temos que, dado qualquer ε > 0, existe um n2 > 0 tal que | an − L2 |< ε

2sempre que n > n2.

Considere n0 = max .{ n1, n2 } e n > n0 então cumprem-se as desigualdades | an − L1 |< ε

2e | an − L2 |< ε

2.

Das propriedades de números reais, temos que:

| L1 − L2 |=| L1 − an + an − L2 |≤

≤| an − L1 | + | an − L2 |< ε

2+ε

2= ε para n > n0

Assim mostramos que para todo ε > 0, sendo n > n0 verifica-se pela Propriedade (4.3)

| L1 − L2 |< ε o que implica L1 = L2.

Exemplo 4.24.

Demonstre que a seqüência{ n

3n− 1

}

converge para1

3.

Demonstração.

Dado qualquer ε > 0, temos a encontrar um n0 > 0 tal que:

∣∣∣∣

n

3n− 1− 1

3

∣∣∣∣< ε, ∀ n > n0

Com efeito, tem-se que

∣∣∣∣

n

3n− 1− 1

3

∣∣∣∣=

1

6n− 3< ε ⇔ 6n− 3 >

1

ε

Considerando n0 =1 + 3ε

6εtem-se que para todo n > n0, então

∣∣∣∣

n

3n− 1− 1

3

∣∣∣∣< ε.

Portanto, a seqüência{ n

3n− 1

}

converge a1

3. �

Exemplo 4.25.

Mostre que a seqüência {(−1)n} não é convergente.

Demonstração.


Suponhamos que limn→∞

(−1)n = L e consideremos ε = 1, então existe n0 > 0 tal que para

todo n > n0 tem-se |(−1)n − L| < 1.

Suponha n1 seja par, logo tem-se que se n1 > n0 ⇒ |1 − L| < 1; para o caso n2 ímpar

tal que n2 > n0 tem-se | − 1 − L| < 1.

Assim, resulta que | − 1 − 1| < | − 1 − L| + |1 − L| < 2 ⇔ 2 < 2 contradição !.

Portanto, a seqüência {(−1)n} é divergente.

Exemplo 4.26.

Determine se a seqüência{

n · senπn

}

é convergente.

Solução.

Tem-se que limn→∞

n · senπn

= limn→∞

senπn1n

= π · limn→∞

senπnπn

.

Podemos considerar a mudança de variável m =π

n, assim quando n→ ∞ tem-se que m→ 0;

logo no limite:

limn→∞

n · senπn

= π · limn→∞

senπnπn

= π · limm→0

senm

m= π. · 1 = π

Portanto, a seqüência{

n · senπn

}

é convergente para π.

4.3.3 Seqüência de Cauchy.

Definição 4.11. Seqüência de Cauchy.

Uma seqüência {an} é dita de Cauchy, quando para todos os ε > 0 dado, existe n0 ∈ N+ tal

que |am − an| < ε sempre que m, n > n0.

Exemplo 4.27.

Mostre que a seqüência{ 1

n

}

é de Cauchy.

Demonstração.

Com efeito, para todo ε > 0, tem-se que:

|am − an| =

∣∣∣∣

1

m− 1

n

∣∣∣∣

(4.6)

1o Se m = n, em (4.6) seque que |am − an| = 0 < ε, ∀ no ∈ N+.

2o Se m > n, em (4.6) seque que |am − an| <1

n− 1

m<

1

n.

Como deve cumprir que |am − an| < ε ⇒ 1

n< ε ⇒ n >

1

ε= n0.

Logo como m > n > n0, é suficiente considerar n0 =1

ε.

3o Se m < n, em (4.6) seque que |am − an| <1

n− 1

m<

1

m.

Como deve cumprir que |am − an| < ε ⇒ 1

m< ε ⇒ m >

1

ε= n0.


Logo como n > m > n0, é suficiente considerar n0 =1

ε.

Portanto, a seqüência{ 1

n

}

é de Cauchy.

Propriedade 4.5.

Toda seqüência convergente é de Cauchy.

Demonstração.

Suponhamos que a seqüência {an} seja convergente para L.

Podemos adaptar a definição de convergência para afirmar que, dado ε > 0 existe um inteiro

n0 > 0 tal que:

|an − L| < ε

2sempre que n > n0 (4.7)

Tanto faz m ou n, desde que sejam maiores que n0, podemos adaptar nossa definição de

convergência para obter:

|am − L| < ε

2sempre que m > n0 (4.8)

Das desigualdades (4.7) e (4.8) seque que:

|am − an| = |(am − L) − (an − L)| < ε

2+ε

2+ ε sempre que m, n > n0

Portanto, {an} é de Cauchy.

A diferencia entre a definição de convergência e de seqüência de Cauchy, é que o limite está

incluído explicitamente na primeira definição e não na segunda.

Posteriormente estudaremos o caso de que se uma seqüência é de Cauchy, então ela é con-

vergente. Isto permitira determinar se uma determinada seqüência converge ou não, sem ter que

calcular seu limite.

4.3.4 Espaço métrico.

Definição 4.12. Espaço métrico.

Um conjunto E cujos elementos chamaremos de pontos, dizemos que é um espaço métrico,

se para cada dois pontos p, q ∈ E podemos associar um número real d(p, q) chamado distância

de p a q, tal que:

• d(p, q) > 0, se p 6= q; e d(p, p) = 0.

• d(p, q) = d(q, p).

• d(p, r) ≤ d(p, q) + d(q, r) para todo r ∈ E.

Considerando d(p, q) = |p− q| em R, resulta que R é um espaço métrico.

Definição 4.13. Espaço métrico completo.

Um espaço métrico C dizemos que é completo se, nele toda seqüência de Cauchy converge.


Exemplo 4.28.

O conjunto dos números racionais Q com a métrica d(p, q) = |p−q| não é completo. Observe

a seqüência:

1, 4; 1, 41; 1, 414; 1, 4142; 1, 41421; 1, 414213; 1, 4142135; 1, 41421356; · · ·

Esta seqüência é de Cauchy, converge para√

2 /∈ Q.

Propriedade 4.6.

Se f : R −→ R é contínua então: limx→∞

f(x) = f( limx→∞

x)


Exemplo 4.29.

Determine se a seqüência de termo geral an = en é convergente.

Solução.

Como a função exponencial f(x) = ex é contínua em R ⊃ N+, temos que limn→∞

f(n) =

limn→∞

en = exp( limn→∞

n) = f( limn→∞

n) = ∞.

Portanto, a seqüência {en} é divergente.

Exemplo 4.30.

Calcular o limite de an = n√

n√n.

Solução.

Como an =n

√

n√n = (n

1n )

1n = n

1n2 = exp(Ln(n

1n2 )) = exp(

Lnn

n2), então aplicando

L’Hospital e a Propriedade (4.6) temos:

limn→∞

n

√

n√n = lim

n→∞exp(

Lnn

n2) = exp( lim

n→∞1

2n2) = exp(0) = 1

Propriedade 4.7. Da média aritmética.

Seja a seqüência {an} que converge para L, então limn→∞

a1 + a2 + a3 + · · · + ann

= L.

Demonstração.

Como limn→∞

an = L ⇒ an = L+ δn onde limn→∞

δn = 0.

Logo a soma expressamos na forma:

a1 + a2 + a3 + · · · + ann

=(L+ δ1) + (L+ δ2) + (L+ δ3) + · · · + (L+ δn)

n

= L+δ1 + δ2 + δ3 + · · · + δn

n

Sendo limn→∞

δn = 0 ⇒ |δn| < ε sempre que n > n0, logo a soma δ1 + δ2 + δ3 + · · ·+ δp = k

(constante) para algum p ∈ N+, e |δk| < ε, ∀ k > p.

Então |δp+1 + δp+2 + δp+3 + · · · + δn| < |δp+1| + |δp+2| + |δp+3| + · · · + |δn| < (n− p)ε.

Logo, 0 ≤∣∣∣∣limn→∞

a1 + a2 + a3 + · · · + ann

− L

∣∣∣∣≤ lim

n→∞

∣∣∣∣

k

n

∣∣∣∣+ limn→∞

(n− p)ε

n< ε.

Portanto, limn→∞

a1 + a2 + a3 + · · · + ann

= L, em virtude da Propriedade (4.3) ii).


Exemplo 4.31.

Calcular o limn→∞

1√16n2 + 3

[√

3

4+

√

4

5+

√

5

6+ · · · +

√

n+ 2

n+ 3

]

Solução.

Este limite podemos escrever na forma:

limn→∞

1√16n2 + 3

[√

3

4+

√

4

5+

√

5

6+ · · · +

√

n+ 2

n+ 3

]

=

= limn→∞

n√16n2 + 3

· limn→∞

1

n

[√

3

4+

√

4

5+

√

5

6+ · · · +

√

n+ 2

n+ 3

]

.

Sabe-se que limn→∞

n√16n2 + 3

=1

4e lim

n→∞

√

n+ 2

n+ 3= 1, assim pela propriedade da média

aritmética tem-se: limn→∞

1

n

[√

3

4+

√

4

5+

√

5

6+ · · · +

√

n+ 2

n+ 3

]

= 1.


1√16n2 + 3

[√

3

4+

√

4

5+

√

5

6+ · · · +

√

n+ 2

n+ 3

]

=1

4.

Propriedade 4.8. Da média geométrica.

Suponhamos {an} seja convergente, tal que limn→∞

an = L, então:

limn→∞

n√a1 · a2 · a3 · · · an = L

Demonstração.

Como limn→∞

an = L, tem-se aplicando a Propriedade (4.6) à função f(x) = Lnx x > 0 , que

Ln( limn→∞

an) = LnL, de onde limn→∞

(Lnan) = LnL.

Seja un = n√a1 · a2 · a3 · · · an ⇒ Lnun =

1

n(Lna1 + Lna2 + Lna3 + · · · + Lnan).

Calculando o limite quando n→ ∞ e aplicando a Propriedade (4.6) segue que:

limn→∞

un = limn→∞

n√a1 · a2 · a3 · · · an ⇒

⇒ Ln( limn→∞

un) = limn→∞

1

n(Lna1 + Lna2 + Lna3 + · · · + Lnan) = LnL.

Sendo a função exponencial g(x) = exp(x), x ∈ R contínua e inversa da função logaritmo,

tem-se: exp(Ln( limn→∞

un)) = exp(LnL) ⇒ limn→∞

un = L.


n√a1 · a2 · a3 · · · an = L.

Exemplo 4.32.

Calcular limn→∞

n

√

3

5· 5

8· 7

11· · · 2n+ 1

3n+ 2Solução.


Observe que a1 =3

5, a2 =

5

8, a3 =

7

11, · · · , an =

2n+ 1

3n+ 2de onde lim

n→∞2n+ 1

3n+ 2=

2

3.

Logo pela propriedade da média geométrica segue que:

limn→∞

n

√

3

5· 5

8· 7

11· · · 2n+ 1

3n+ 2=

2

3

Propriedade 4.9.

Se uma seqüência {an} converge para um limite L, e se M < L < N , então, a partir de um

certo índice n tem-se que M < an < N .

Demonstração.

Dado qualquer ε > 0, existe n0 ∈ N+ tal que a partir desse índice L− ε < an < L+ ε.

Assim, podemos reescrever ε como o menor dos números L−A e B−L, para obter L− ε >

L− (L−A) = A e L+ ε < L+ (B − L) = B sempre que n0 > n.

De onde para n < n0 tem-se que A < an < B.

Definição 4.14. Seqüência contrativa.

Uma seqüência an é dita contrativa se existe a constante c com, 0 < c < 1 tal que |an+2 −an+1| ≤ c|an+1 − an| ∀n ∈ N+.

Exemplo 4.33.

São seqüências contrativas:

•{ 1

n

}

•{(−1)n

n

}

Propriedade 4.10.

Toda seqüência contrativa é limitada.

Demonstração.

Observe que |an+2 − an+1| ≤ c|an+1 − an| ≤ c2|an − an−1| ≤ · · · ≤ cn|a2 − a1| ∀n ∈ N+.

Seja sn = (an − an−1) + (an−1 − an−2) + · · · + (a3 − a2) + (a2 − a1), então sn = an − a1.

Logo, |an − a1| = |sn| ≤ |an − an−1| + |an−1 − an−2| + · · · + |a3 − a2| + |a2 − a1| ≤ [cn−1 +

cn−2 + · · · c2 + c+ 1]|a2 − a1|.Como 0 < c < 1 ⇒ 0 < 1 − cn < 1, ∀ n ∈ N+, assim |an − a1| ≤

1 − cn

1 − c|a2 − a1| <

1

1 − c|a2 − a1|

M = a1 −|a2 − a1|

1 − c≤ an ≤ a1 +

|a2 − a1|1 − c

= N

Considere o max .{|M |, |N |} = P e teremos que existe P ∈ R tal que |an| ≤ P, ∀n ∈ N+.

Portanto, toda seqüência contrativa é limitada.

Propriedade 4.11. Critério de Stolz - Cesaro.


Sejam {an} e {bn} duas seqüências tais que: limn→∞

bn = +∞ e {bn} monótona. Então:

limn→∞

anbn

= limn→∞

an+1 − anbn+1 − bn

= λ ∈ R


Exemplo 4.34.

Determine se a seqüência de termo geral cn =Ln(n!)

Ln(nn)converge.

Solução.

Suponhamos as seqüências de termo geral an = Ln(n!) e bn = Ln(nn), como {bn} é monótona

crescente, segue que:

limn→∞

Ln(n!)

Ln(nn)= lim

n→∞Ln(n+ 1)! − Ln(n!)

Ln(n+ 1)n+1 − Ln(nn)= lim

n→∞Ln(n+ 1)

(n+ 1)Ln(n+ 1) − nLnn=

= limn→∞

Ln(n+ 1)

nLn[n+1n

]+ Ln(n+ 1)

= limn→∞

1nLn(n+ 1)

Ln[n+1n

]+ 1

nLn(n+ 1)

= limn→∞

Ln n√n+ 1

Ln[1 + 1

n

]+ Ln n

√n+ 1

=Lne

Ln1 + Lne=

1

1= 1

Conseqüentemente, limn→∞

cn = 1; portanto a seqüência {cn} converge.


Exercícios 4-2

1. Mostre que a seqüência {an}n∈N+ , onde a1 = 0, an+1 =3an + 1

4∀ n ∈ N+ é crescente

e limitada.

2. Quais das seguintes seqüências são monótonas. Quais são limitadas ?

1. {n2}n∈N+ 2.{ 1

n2

}

n∈N+3.

{ 1√n

}

n∈N+7.

{ k

k + 1

}

k∈N+

4.{n+ 1

n

}

n∈N+5.

{ 1

m2

}

m∈N+6. {2n}n∈N+ 8

{ r

r2 + 1

}

r∈N+

3. Mostre que a seqüência de termo geral : an =

(1+

√5

2

)n−(

1−√

52

)n

√5

∀ n ∈ N é uma

seqüência de números naturais.

4. Considere as seqüências an : 1,1

2,

1

3,

1

4, · · · e bn : 5, 3; 5, 33; 5, 333; · · · .

1. Os termos de {an} aproximam-se de 0, e os de {bn} de 5, 3334. Em qual dos casos a

aproximação é mais rapidamente?

2. Quantos elementos de {an} estão fora do intervalo de centro 0 e raio1

10? E, quantos

elementos de {bn} estão fora do intervalo de centro 5, 3334 e raio1

10?

3. Com a informação da parte 2., você tem algum argumento que permita decidir em quais

dos casos a aproximação é mais rapidamente?

5. Pense na seqüência 1, 0, 1, 0, 1, · · · obviamente é limitada. Mostre que não existe nenhum

número real que seja limite dessa seqüência.

6. Você deve ter estudado seqüências limitadas que não possuem l,imite. Pense na propriedade

recíproca. Existem seqüências com limite que não sejam limitadas?

7. Mostre que, se limn→+∞

an = L e limn→∞

an = M então L = M .

8. Construa uma seqüência que tenha subseqüências convergindo, cada uma para cada um

dos números inteiros positivos.

9. Construa uma seqüência que tenha uma subseqüência convergindo para −3 e outra con-

vergindo para 8.

10. Se limn→∞

an = L então limn→∞

|an| = |L|. Dar um contra-exemplo mostrando que a recíproca

é falsa, salvo quando a = 0.

11. Demonstre que a seqüência{ 1

n2

}

converge para zero.

12. Demonstre que a seqüência{n+ 1

n

}

converge para 1.


13. Para os seguintes exercícios, escreva os quatro primeiros termos da seqüência e determine

se ela é convergente ou divergente. Caso seja convergente, achar seu limite:

1.{ n+ 1

2n− 1

}

2.{n2 + 1

n

}

3.{3 − 2n2

n2 − 1

}

4.{en

n

}

5.{

senhn}

6.{ 2n2 + 1

3n2 − n

}

7.{ n

n+ 1sen

nπ

2

}

8.{senhn

senn

}

9.{ 1√

n2 + 1 − n

}

10.{ 1√

n2 + 1

}

11.{(−1)n+1(n+ 1)

2n

}

12.{Lnn

n2

}

13.{ 1√

n2 + 1 − 1

}

14.{√

n+ 2 −√n+ 1

}

15.{

n

[1

n

]}

16.{

(1 +1

3n)n}

Sugestão: use limx→0

(1 + x)1/x = e.

17.{

r1/n}

e r > 0 Sugestão: considere os dois casos: r ≤ 1 e r > 1.

14. Uma seqüência é tal que: a1 = 0, 9, a2 = 0, 99, a3 = 0, 999, · · · , an = 0, 999999 · · ·︸︷︷︸

.

Determine o limn→∞

an. n-vezes .

15. No Exercício anterior, qual o valor de n para que, o valor absoluto da diferença entre an e

seu limite não seja maior do que 0, 0001?

16. Calcular se existem os seguintes limites:

1. limn→∞

n3 − 100n2 + 1

100n2 + 15n2. lim

n→∞

n√

2 − 1n√

2 + 13. lim

n→∞2n − 1

2n + 1

4. limn→∞

n

n− 15. lim

n→∞(2n+ 1)2

2n26. lim

n→∞n+ 1

n

7. limn→∞

(n+ 1)4 − (n− 1)4

(n+ 1)4 + (n− 1)48. lim

n→∞(n+ 1)2

2n29. lim

n→∞n2 − 1

2n2 + 1

10. limn→∞

5√n3 + 2n− 1

n+ 211. lim

n→∞n3

n2 + 1+ n 12. lim

n→∞n2 + 5

n2 − 3

17. Verificar o valor dos seguintes limites:

1. limn→+∞

4n3 + 2n2 − 5

n+ 2 − 8n3= −1

22. lim

n→−∞5n3 − n2 + n− 1

n4 − n3 − 2n+ 1= 0

3. limn→+∞

3n2 − 2

2n+ 1+n2 − 4n

n− 3=

3

24. lim

n→+∞2n+ 3

n+ 3√n

= 2

5. limn→+∞

3

√

8n− 4

(3 −√n)(

√n+ 2)

= −2 6. limn→+∞

√

n+√

n+√n+ 3

√n+ 3

= 1

.7 limx→+∞

[√

n2 − 5n+ 6 − 2] = −5

28. lim

n→−∞[√

n2 − 2n+ 4 + n] = 1

9. limn→+∞

[

√

n√

2n− 5n+ 6 − n] = −∞ 10. limn→∞

(

√n2 + 1 + n)2

3√n6 + 1

= 2


18. Nos seguintes exercícios, use a Definição (4.10) para provar que a seqüência dada tem o

limite L.

1.{ 4

2n− 1

}

; L = 0 2.{ 3

n− 1

}

; L = 0 3.{ 1√

n

}

; L = 0

4.{ 8n

2n+ 3

}

; L = 4 5.{ 5 − n

2 + 3n

}

; L = −1

36.

{ 2n2

5n2 + 1

}

; L =2

5.

7.{ 5k0n

2n+ 3

}

; L =5k0

28.

{3(30 − k0)

2n− 1

}

; L = 0 .

19. Mostre que as seqüências{ n2

n− 3

}

e{ n2

n+ 4

}

divergem; porém, a seqüência{ n2

n− 3−

n2

n+ 4

}

é convergente.

20. Calcule o 4to elemento das seqüências{ logk0 n

2

n

}

e { k0n√n} e determine se elas convergem

ou divergem. Caso convergir ache o seu limite.

21. Determine quais das seguintes seqüências são convergentes. Caso seja convergente, calcular

seu limite.

1.{ n2 + 1

n2 − 2n+ 3

}

2.{ n

Ln(n+ 1)

}

3.{ 3√n+ 4√n− 1

}

4.{3n + n4

4n − n5

}

5.{5 + Lnn

n2 + n

}

6. {e−n · senn}

7. { n√n} 8. { n

√

n2 + n}

22. Determine o limite da seqüência:√

2,√

2 +√

2,

√

2 +√

2 +√

2, · · ·

23. Determine o limites das seguintes seqüências, sendo seu termo geral:

1. an =(

1 +1

3n− 1

)3n+12. an =

(

1 +1

n+ 4

)n3. an =

(

1 +1

2n

)2

4. an =(

1 +1

n+ 1

)6n5. an =

(

1 +1

n2

)n2

6. an =(

1 +1

n!

)n!

7. an =(

1 +2

n

)n8. an =

(

1 +3

n

)n

24. Determine se a seqüência de termo geral, an =(2n+ 5)2n+5nn−3

(4n+ 1)n+2(n+ 3)2né convergente.

25. Estude a convergência da seqüência{

√3n+ 1(n+ 7)n+ 1

2

(3n+√n2 + 5)(n+ 3)n

}

26. Determine o valor do limite: limn→∞

n

√

n ·[

Ln4n

Ln10n

]n [3

2· 8

5· 13

8· · · 5n− 2

3n− 1

]

.


27. Determine se a seqüência de termo geral an é convergente, onde:

an = 2

[1

4

]

+ 3

[1

4

]2

+ 4

[1

4

]3

+ · · · + (n+ 1)

[1

4

]n

28. Estudar a convergência da seqüência de termo geral: an =n∏

k=2

k3 − 1

k3 + 1.

29. Mostre que limn→∞

2n · n!

nn= 0.

30. Sejam a1 = 1, an =2an−1 + 3

4para n ≥ 2. Mostre que a seqüência {an} converge.

31. Sejam a1 = 1, a2 = 2, · · · , an =an−2 + an−1

2para n ≥ 3. Mostre que a seqüência {an}

converge.

32. Determine se a seqüência de termo geral, an =12 + 32 + 52 + · · · + (2n− 1)2

12 + 22 + 32 + · · · + n2converge.


4.4 SEQÜÊNCIAS CONVERGENTES

4.4.1 Propriedades Fundamentais.

Propriedade 4.12.

Toda seqüência monótona convergente, é necessáriamente limitada.

Demonstração.

Seja {an} uma seqüência convergente com limite L.

De acordo com a definição de limite, para qualquer ε > 0, em particular para ε = 1, existe

n0 a partir do qual se tem |an − L| < 1.

Usando a desigualdade triangular podemos assegurar que:

|an| = |an − L+ L| ≤ |an − L| + |L| < 1 + |L| ∀ n ≥ n0 (4.9)

Os únicos termos da seqüência que possívelmente não atendem esta condição (4.9) são:

a1, a2, a3, · · · , an0−1.

Considerando o número real c como o maior entre os números 1+|L|, |a1|, |a2|, |a3|, · · · , |an0−1|teremos |an| ≤ C ∀ n > n0

Observe que a recíproca desta propriedade nem sempre é verdadeira; por exemplo a seqüência

{(−1)n} ela é limitada, porém não é convergente.

Exemplo 4.35.

Mostre que a seqüência√

2,√

2√

2,

√

2√

2√

2, · · · é limitada.

Demonstração.

Pelo Exemplo (4.23) sabe-se que esta seqüência é convergente.

Seja a1 =√

2, a2 =√

2a1, a3 =√

2a2, · · · , an =√

2an−1.

Mostrarei que ela crescente, logo limitada.

Afirmo : Para todo n ∈ N+ tem-se an ≤ an+1.

Com efeito, se n = 1 segue que a1 =√

2 < 2 além disso a1 =√

2 <√

2√

2 = a2.

Suponhamos para n = h que ah ≤ ah+1 e além disso que ah < 2.

Para n = h+ 1 tem-se:

O termo geral é da forma ah+1 =√

2ah, aplicando a hipótese de indução seque (ah+1)2 =

2ah ≤ 2ah+1, logo ah+1 ≤ √2ah+1 = ah+2.

Por outro lado, ah+1 =√

2ah ≤√

4 = 2, pois 2a ≤ 4 pela hipótese indutiva.

Portanto, a seqüência√

2,√

2√

2,

√

2√

2√

2, · · · é limitada.

Propriedade 4.13.

Se f : [β, +∞) −→ R é uma função tal que limx→∞

f(x) = L, então a seqüência de termo geral

an = f(n), n > β, é convergente e seu limite é igual a L.

Se limx→∞

f(x) = ±∞ então a seqüência é divergente.


Demonstração.

Pela definição de limite no infinito para funções reais definidas em intervalos, segue que para

cada ε > 0 , existe um número real N > 0, tal que |f(x) − L| < ε, ∀ x ≥ N .

Considerando que a seqüência de termo geral an = f(n), n > β é uma ‘´função restrição”

de f(x), escolhemos um índice n0 ≥ N e teremos |f(n) − L| < ε, ∀ n ≥ n0.

A propriedade acima mencionada, resulta importante para o caso em que seja possível utiliza-

la.

O cálculo de limites torna-se relativamente simples, especialmente quando se usam técnicas

de Cálculo, particularmente a Regra de L’Hospital.

Propriedade 4.14.

Se limn→∞

an = L, então toda subseqüência de {an}n∈N+ converge para o limite L.

Demonstração.

Seja {an1 , an2 , · · · , ani , · · · } uma subseqüência de {an}n∈N+ . Dado ε > 0, existe n0 ∈ N+

tal que n > n0 ⇒ |an − L| < ε.

Como os índices da subseqüência formam um subconjunto infinito, existe entre eles um ni0 >

n0. Então ni > ni0 ⇒ ni > n0 ⇒ |ani − L| < ε.

Portanto, limni→∞

ani = L

Propriedade 4.15.

Uma seqüência {an} converge para L se, e somente se, as subseqüências {a2n} e {a2n−1}convergem para L.

A demonstração desta propriedade é exercício para o leitor. �

Uma seqüência divergente pode ter uma ou mais subseqüências convergentes, para limites dis-

tintos. Pode acontecer também que dada uma seqüência divergente, todas as suas subseqüências

também sejam divergentes, como o caso da seqüência {n}.Isso não contradiz o resultado da Propriedade (4.15), pois as duas subseqüências citadas na

propriedade, juntas contém todos os termos da seqüência original {an}.

Exemplo 4.36.

A seqüência {(−1)n} é divergente, pois suas subseqüências par e ímpar convergem a valores

distintos.

De fato a2n = (−1)2n = 1, ∀ n ∈ N+ converge para 1, enquanto a2n−1 = (−1)2n−1 =

−1, ∀ n ∈ N+ converge para −1.

Exemplo 4.37.

A seqüência de termo geral an =(−1)n

nembora possua seus termos alternadamente positivos

e negativos, ela converge para zero.

Isto pelo fatos das subseqüências a2n =(−1)2n

2ne an =

(−1)2n+−1

2n− 1convergem para zero.


Exemplo 4.38.

A seqüência de termo geral an =

n, se, n ímpar1

n, se n par

é divergente.

De fato, a subseqüência ímpar tem como termo geral a2n−1 = 2n− 1, ∀n ∈ N+ ela diverge;

e a seqüência par a2n =1

2n, ∀ n ∈ N+, ela converge.

Exemplo 4.39.

Consideremos a seqüência de termo geral an =

1

n, se n par ou primo

n, se, n ímpar ou não-primo.

Observe que esta seqüência {an} é divergente pelo fato não ser limitada.

Note que pelo menos possui duas subseqüências convergentes.

Propriedade 4.16.

Sejam {an} e {bn} seqüências convergentes com limite L e M respectivamente, então:

1. A seqüência {C · an} converge para C · L.

2. A seqüência {|an|} converge para |L|.

3. A seqüência {an ± bn} converge para L±M .

4. A seqüência {an · bn} converge para L ·M .

5. A seqüência{anbn

}

converge paraL

M, sempre que M 6= 0 e bn 6= 0, ∀ n ∈ N+.

Demonstração.

Seja ε > 0 dado. Pela definição de limite, existem índices n1 e n2 tais que:

|an − L| < ε, ∀ n > n1 (4.10)

|bn −M | < ε, ∀ n > n2 (4.11)

Considerando n0 = max .{n1, n2} de modo que (4.10) e (4.11) ocorram simultaneamente,

temos para n > n0 que:

1. Tem-se que |C · an − C · L| = |C||an − L| < |C|ε

2. Tem-se que ||an| − |L|| ≤ |an − L| < ε;

3. Tem-se que |(an ± bn) − (L±M)| ≤ (|an − L| ± |bn −M |) < ε+ ε = 2ε;

4. Tem-se que |an · bn − L ·M | ≤ (|anbn − bnL+ bnL− L ·M | ≤ (|bn||an − L| + |L||bn −M |) ≤(D + |L|)ε, onde D é uma constante positiva que limita a seqüência {bn};

5. Tem-se que:∣∣∣∣

anbn

− L

M

∣∣∣∣=

∣∣∣∣

M · an − L · bn − LM + LM

M · bn

∣∣∣∣≤

≤ 1

|bn|(

|an − L| + |L||M | |bn −M |

)

< C(

1 +|L||M |

)

ε


Onde C é um número positivo tal que1

|bn|≤ C, ∀ n ≥ n0 (demonstre !).

Observação 4.5.

De posse das propriedades apresentadas na Propriedade (4.16), fica mais prático o cálculo de

limites. Não é mais necessário utilizar da função extensão f(x), a menos que se faça referência

às propriedades analíticas como continuidade, derivabilidade, etc.

Exemplo 4.40.

Por exemplo para calcular limn→∞

n3 + 4

3n3 − 2n+ 3, procedemos aplicando a Propriedade (4.16)

colocando em evidência o termo de maior grau, resultando:

limn→∞

n3 + 4

3n3 − 2n+ 3= lim

n→∞n3(1 + 4

n3 )

n3(3 − 2n2 + 3

n3 )=

1

3

lembre que limn→∞

1

np= 0, p > 0.


n3 + 4

3n3 − 2n+ 3=

1

3

Observação 4.6.

Mostra-se que, se {an} é uma seqüência convergente então:

1. Se α ≤ an, ∀n ∈ N+, então α ≤ limn→∞

an.

2. Se an ≤ β, ∀n ∈ N+, então limn→∞

an ≤ β.

4.4.2 Critérios de Convergência.

Propriedade 4.17.

Se uma seqüência {an} converge para zero, e {bn} é limitada, então a seqüência {an · bn}converge para zero.

Demonstração.

Seja ε > 0; como {an} converge para zero, para este ε, corresponde um n0 > 0 tal que

|an| < ε, sempre que n ≥ n0.

Por outro lado, sendo {bn} uma seqüência limitada, existe uma constante N > 0 tal que

|bn| ≤ N, ∀ n ∈ N+.

E certamente para qualquer n ≥ n0 teremos:

|an · bn − 0| = |an · bn| = |an| · |bn| < ε N

Isto significa que limn→∞

an · bn = 0.

Portanto, a seqüência {an · bn} converge para zero.


Para a propriedade que acabamos de demonstrar, se exige que a seqüência {bn} seja somente

limitada, podendo ser convergente ou não; por essa razão não foi usada na demonstração a pro-

priedade referente au produto de seqüências, a qual exige a existência dos limites das seqüências

envolvidas.

Exemplo 4.41.

Determine se a seqüência de termo geral an =sen(nπ + 2)

n2é convergente.

Solução.

Observe que an podemos escrever na forma an = bn · cn onde os termos gerais são: bn =

sen(nπ + 2) e cn =1

n2.

Sabe-se que a seqüência {bn} é limitada, e a seqüência {cn} converge para zero.

Portanto a seqüência de termo geral an converge para zero. �

Uma propriedade importante dos números reais, é o fato que eles são completos. Intuitiva-

mente, isto significa que a reta real não tem buracos; isto não ocorre com o conjunto dos números

racionais, não satisfaz esta propriedade.

Axioma 4.1. Axioma de completamento.

Todo conjunto de números reais que tem uma cota superior tem uma mínima cota superior.

Também, todo conjunto de números reais que tem uma cota inferior, tem uma máxima cota

inferior.

Por exemplo, o supremo da seqüência{n+ 1

n+ 2

}

é 1.

O axioma de completamento, junto com as propriedades algébricas de números reais e o

axioma da boa ordem, descrevem o conjunto dos números reais como um sistema completo.

O “axioma do completamento”, será usado na demonstração da seguinte propriedade.

Propriedade 4.18.

Toda seqüência que é ao mesmo tempo limitada e monótona, é convergente. Se {an}n∈N+ é

crescente, então limn→∞

an = sup .{an}.

Demonstração.

Suponhamos que a seqüência {an}n∈N+ seja monótona crescente e limitada, suponha que

L = sup .{an}.Para todo ε > 0, L− ε não é o limite superior, pois L− ε < L e L é o menor dos limites

superiores da seqüência.

Assim, para algum número natural n0 > 0, tem-se que:

L− ε < an0 (4.12)

a1 a2 · · · · · · Lan0L− εrr r r r rrr


Do fato ser L o menor dos limites superiores da seqüência, então:

an ≤ L, ∀ n ∈ N+ (4.13)

Como a seqüência {an}n∈N+ é crescente, então:

an ≤ an+1, ∀ n ∈ N+ ⇒ an0 ≤ an sempre que n ≥ n0 (4.14)

Das desigualdades (4.12), (4.13) e (4.14) tem-se:

L− ε < an0 ≤ an ≤ L < L+ ε sempre que n ≥ n0

Assim, L− ε < an < L+ ε ⇔ |an − L| < ε sempre que n ≥ n0.

Pela definição do limite, isto é equivalente a: limn→∞

an = sup .{an}.

Observação 4.7.

• Na Propriedade (4.15), se a seqüência for monótona decrescente e limitada, mostra-se que:

limn→∞

an = inf .{an}.

• Se {an}n∈N+ é crescente e suponhamos que D seja limite superior desta seqüência, então

{an}n∈N+ é convergente, e limn→∞

an ≤ D.

• Se {an}n∈N+ é decrescente e suponhamos que C seja limite inferior desta seqüência, então

{an}n∈N+ é convergente, e limn→∞

an ≥ D.

Propriedade 4.19.

Se limn→∞

an = L, então para todo k ∈ N+, limn→∞

an+k = L.

Demonstração.

Com efeito, {a1+k, a2+k, · · · , an+k, · · · } é uma subseqüência de {an}n∈N+ .

Exprime-se esta propriedade acima dizendo que o limite de uma seqüência não se altera

quando dela se omite um número finito de termos.

Pelas Propriedades (4.4) e (4.14) podemos concluir que:

Para mostrar que uma seqüência {an}n∈N+ não converge: basta obter duas subseqüências

com limites diferentes.

Para determinar o limite de uma subseqüência {akn}kn∈N+ que, a- priori, se sabe que con-

verge: basta determinar o limite de alguma subseqüência. Ele será o limite procurado.

Exemplo 4.42.

Consideremos a seqüência {an}, onde:

a1 = 0, an+1 =2an + 4

3para todo n ∈ N+

Então converge para 4.


Com efeito, para todo n ∈ N+ tem-se que an ≤ an+1. Observe, se n = 1 então a1 = 0 de

onde a2 − a1 =2a1 + 4

3− a1 =

4

3≥ 0.

Suponhamos que para n = h, cumpra que ah ≤ ah+1. Então ah+2 − ah+1 =2ah+1 + 4

3−

2ah + 4

3=

2

3(an+1 − ah) ≥ 0.

Portanto, {an} é crescente.

Afirmo: |an| ≤ 5.

Com efeito, |a1| = 0 ≤ 5. Suponhamos que para n = h compre que |ah| ≤ 5.

Para n = h+ 1 segue que |ah+1| ≤2|ah| + 4

3≤ 2(5) + 4

3=

14

3≤ 5.

Portanto a seqüência é crescente e limitada.

Por último, suponhamos que limn→∞

an = L, então aplicando a Propriedade (4.19) L =

limn→∞

an+1 = limn→∞

2an + 4

3=

2L+ 4

3.

De onde 3L = 2L+ 4 ⇒ L = 4.


an = 4. �

Propriedade 4.20.

Sejam: {an} uma seqüência; L ∈ R, e {bn} uma seqüência positiva de números reais tal que

limn→∞

bn = 0.

Se |L− an| ≤ bn, ∀ n ∈ N+, então limn→∞

an = L.

Demonstração.

Por hipótese {bn} converge para zero, pela Definição (4.10), para todo ε > 0, existe n0 ∈ N+

tal que bn = |bn − 0| < ε sempre que n > n0.

Para todo n > n0 tem-se que: |L− an| ≤ bn < ε.

De onde |an − L| < ε sempre que n > n0.

Portanto, como ε é arbitrário segue-se que {an} converge para L.

Exemplo 4.43.

Determine se a seqüência{ n

n+ 1

}

converge.

Solução.

Observe quen

n+ 1=

(n+ 1) − 1

n+ 1= 1 − 1

n+ 1, além disso sabe-se que

1

n+ 1<

1

n.

Logo,

∣∣∣∣1 − n

n+ 1

∣∣∣∣

=1

n+ 1<

1

n, como

{ 1

n

}

é uma seqüência de números positivos tal que

limn→∞

1

n= 0, então aplicando a Propriedade (4.20) tem-se que: lim

n→∞n

n+ 1= 1.


n+ 1

}

converge. �


Propriedade 4.21. Critério de confronto.4

Sejam {an}, {bn} e {cn} três subseqüência tais que an ≤ bn ≤ cn ∀ n ∈ N+, com {an} e

{cn} convergindo para o mesmo limite L. Então {bn} também converge para L.

Demonstração.

Como limn→∞

an = limn→∞

an = L, então dado ε > 0, existe n0 > 0 a partir do qual tem-se:

−ε < an − L < ε e − ε < cn − L < ε (4.15)

Como an ≤ bn ≤ cn ∀ n ∈ N+ ⇒ an − L < bn − L < cn − L, usando a desigualdade

(4.15) obtemos que −ε < bn − L < ε, ∀ n ∈ N+.


bn = L

Exemplo 4.44.

Dada as seqüências de termos gerais an = sen2nπ, cn =1

ne bn =

1

n2usando a Propriedade

(4.21) verificar que {bn} converge para zero.

Solução.

Tem-se que: 0 = sen2nπ ≤ 1

n2≤ 1

n, ∀ n ∈ N+, então:

0 = limn→∞

sen2nπ ≤ limn→∞

1

n2≤ lim

n→∞1

n= 0

Conseqüentemente, limn→∞

1

n2= 0.

Exemplo 4.45.

Determine se a seqüência{ 1

2n

}

converge.

Solução.

Sabe-se que 2n ≥ n, ∀ n ∈ N+, então

1

2n=

∣∣∣∣

1

2n− 0

∣∣∣∣≤ 1

n, ∀ n ∈ N+

Em virtude da Propriedade (4.21) segue que limn→∞

1

2n= 0.

Portanto a seqüência{ 1

2n

}

converge. �

Propriedade 4.22. Teste da razão para seqüência.

Se una seqüência {an} de termos positivos satisfaz à condição limn→∞

an+1

an= L < 1, então ela

converge para zero.

Demonstração.

Seja 0 < L < 1, e suponhamos que limn→∞

an+1

an= L, então existe n0 > 0 tal que

∣∣∣∣

an+1

an

∣∣∣∣< L,

sempre que n0 > 0.

4Teorema da seqüência intercalada ou Teorema do sanduíche.


Seja p ∈ N+ maior do que n0, então:

|ap+1| < L|ap|; |ap+2| < L|ap+1| < L2|ap|

Em geral para qualquer k ∈ N+ tem-se:

|ap+k| < Lk|ap| isto é − Lk|ap| < ap+k < Lk|ap|

Como L ∈ (0, 1), limk→∞

Lk = 0.

Portanto, pela Propriedade (4.19), segue que: limk→∞

ap+k = 0; isto é limn→∞

an = 0.

Exemplo 4.46.

Determine se a seqüência{5n

n!

}

é convergente.

Solução.

Tem-se limn→∞

an+1

an= lim

n→∞

5n+1

(n+1)!

5n

n!

= limn→∞

5n+1n!

5n(n+ 1)!= lim

n→∞5

n+ 1= 0 < 1.

Logo a seqüência converge{5n

n!

}

para zero.

Exemplo 4.47.

Determine se a seqüência{2n + n4

3n − n7

}

é convergente.

Solução.

Tem-se limn→∞

2n + n4

3n − n7= lim

n→∞(2/3)n + n4/3n

1 − n7/3n=

limn→∞

(2/3)n + limn→∞

n4/3n

1 − limn→∞

n7/3n.

Aplicando o critério da razão separadamente a cada um dos limites, concluímos que a se-

qüência{2n + n4

3n − n7

}

converge para zero.

Propriedade 4.23. Desigualdade de Bernoulli 5

Quaisquer que sejam o número x ≥ −1 e o número inteiro n ≥ 1 vale a seguinte desigualdade

: (1 + x)n ≥ 1 + nx.

Demonstração.

Como x ≥ −1 ⇒ 0 ≤ (x+ 1), pela fórmula do binômio tem-se:

(1 + x)n =

(

n

0

)

x0(1)n +

(

n

1

)

x1(1)n−1 +

(

n

2

)

x2(1)n−2 + · · ·

· · · +(

n

n− 1

)

x1(1)n−1 +

(

n

n

)

x0(1)n

Logo, (1 + x)n ≥(

n

0

)

x0(1)n +

(

n

1

)

x1(1)n−1 = 1 + nx.

Portanto, (1 + x)n ≥ 1 + nx sempre que x > −1.

Exemplo 4.48.

5Jaques Jacob Bernoulli (1654 − 1705)


(a) Mostre que se r > 1, então a seqüência {rn} é limitada inferiormente.

(b) Mostre que se |r| > 1, a seqüência {rn} diverge.

Demonstração. (a)

Como 1 < r ⇒ r < r2 < r3 ⇒ r < rn < · · · , ∀ r ∈ N+, logo {rn} é limitada

inferiormente por r.

Por outro lado, temos que r = 1 + d, e pela desigualdade de Bernoulli, seque que rn =

(1 + d)n ≥ 1 + dn.

Assim, dado qualquer c ∈ R, podemos obter rn > c, desde que consideremos 1 + dn > c, isto

é n >c− 1

d. �

Demonstração. (b)

Como |r| > 1 ⇒ |r| = 1+ b para algum b > 0, pela desigualdade de Bernoulli tem-se que

|r|n = (1 + b)n ≥ 1 + nb ∀ n ∈ N+.

Dado qualquer número positivo L ∈ R, pelo axioma de Arquimedes existe p ∈ N+ tal que

p ≥ 1

b(L− 1).

Considerando p = n e como 1 + nb ≥ L ⇒ 1 + (1 + n)b ≥ L de onde |rn+1| = |r|n+1 ≥1 + (n+ 1)b > L.

Conseqüentemente, não existe L ∈ R tal que L ≥ |rn|, ∀ n ∈ N+.

Portanto, a seqüência {rn} diverge se, |r| > 1. �

Exemplo 4.49.

Mostre que se r > 0, então a seqüência { n√r} converge para 1.

Demonstração.

Suponhamos bn = n√r − 1; então bn > 0.

Por outro lado, como n√r = bn + 1 pela desigualdade de Bernoulli tem-se que r = ( n

√r)n =

(bn + 1)n ≥ 1 + nbn, de onde bn ≤ r − 1

n.

Deste modo 0 < bn ≤ r − 1

nde onde pelo critério do confronto segue que bn → 0; isto é

n√r → 1 .

4.4.3 Consequência da Propriedade (4.18).

Propriedade 4.24.

Seja {an} uma seqüência crescente que converge para L. Então an ≤ L, ∀ n ∈ N+, além

disso se ap ≤ α, ∀ n ∈ N+ então L ≤ α.

Demonstração.

De fato, se p ∈ N+ então limn→∞

(an − ap) = L− ap.

Como {an} é crescente então an−ap ≥ 0 se n ≥ p. Aplicando a primeira parte da Observação

(4.6) segue que ap ≤ L ∀ p ∈ N+.

Se ap ≤ α ∀ p ∈ N+, aplicando a segunda parte da Observação (4.6) segue que limn→∞

an =

L ≤ α.


Propriedade 4.25.

Seja {bn} uma seqüência decrescente que converge para M . Então M ≤ bn, ∀n ∈ N+, além

disso se β ≤ bp, ∀ n ∈ N+ então β ≤M .

Demonstração.

De fato, se p ∈ N+ então limn→∞

(bn − bp) = M − bp.

Como {bn} é decrescente então bn − bp ≤ 0 se n ≥ p. Aplicando a primeira parte da

Observação (4.6) segue que M ≤ bp ∀ p ∈ N+.

Se β ≤ bp ∀p ∈ N+, aplicando a segunda parte da Observação (4.6) segue que β ≤ limn→∞

bn =

M .

Propriedade 4.26.

i Para cada n ∈ N+ seja [an, bn] um intervalo, suponhamos que:

[a1, b1] ⊃ [a2, b2] ⊃ [a3, b3] ⊃ · · · ⊃ [an, bn] ⊇ · · · (4.16)

então existe c ∈ R tal que:

c ∈ [an, bn] ∀ n ∈ N+ (4.17)

ii) Suponhamos que limn→∞

(bn − an) = 0. Então existe um único c ∈ R que satisfaz (4.17). Além

disso, se λn ∈ [an, bn] ∀ n ∈ N+, então {λn} converge para c.

Demonstração. i)

Das inclusões (4.16) deduzimos que a seqüência {an} é crescente, e a seqüência {bn} é de-

crescente. Como os termos desta seqüência estão contidos em [a1, b1] logo elas são limitadas;

pela Propriedade (4.18) concluímos que elas convergem.

Selam L = limn→∞

an e M = limn→∞

bn.

Pelas propriedades (4.25) e (4.26) temos que an ≤ L e M ≤ bn, ∀n ∈ N+. Da desigualdade

(4.15) tem-se que ap ≤ bq, ∀ p, q ∈ N+ de onde pela primeira parte da Observação (4.6)

concluímos que L ≤ bq. Sendo para todo p ∈ N+, novamente usando a primeira parte da

Observação (4.6) concluímos que L ≤M .

Seja c ∈ R tal que L ≤ c ≤M ⇒ c ∈ [an, bn] ∀ n ∈ N+.

Portanto, então existe c ∈ R tal que: c ∈ [an, bn] ∀ n ∈ N+. �

Demonstração. ii)

Seja c ∈ [an, bn] ∀n ∈ N+, então pela Observação (4.6) L ≤ c ≤M . Como limn→∞

(bn−an) = 0

então:

L = limn→∞

an + limn→∞

(bn − an) =

= limn→∞

[an + (bn − an)] = limn→∞

bn = M

Portanto, L = c = M ; se λn ∈ [an, bn] ∀ n ∈ N+, então an ≤ λn ≤ bn ∀ n ∈ N+, então

pelo critério do confronto segue que {λn} converge para L = c = M .


4.4.4 Teorema de Bolzano - Weirstrass.

Propriedade 4.27. Bolzano - Weirstrass

Toda seqüência {an} limitada de números reais, possui uma subseqüência convergente.

A condição de seqüência limitada é essencial. por exemplo a conclusão não é válida para a

seqüência {n}.Por outro lado, seja {an} uma seqüência e A ⊆ R então uma e somente uma das seguintes

situações cumpre:

1. Existe somente um n0 ∈ N+ tal que an /∈ A para todo n ≥ n0.

2. Não há nenhum n0 tal que n0 ∈ N+.

Para o caso 1. os únicos termos da seqüência {an} que podem pertencer aA são a1, a2, a3, · · · , an0−1.

Isto é A contém um número finito de termos da seqüência.

O caso 2. diz que A contem um número infinito de termos da seqüência.

Isto tem a er com a demonstração pelo seguinte:

Seja [a, b] um intervalo, e a < c < b. Suponhamos que [a, b] contenha um número infinito

de termos da seqüência {an}, então ao menos um dos intervalos [a, c], [c, b] também contém um

número infinito de termos da seqüência {an}. Caso contrario, como [a, b] = [a, c] ∪ [c, b] teria

um número finito de termos (contradição!).

Demonstração. do Teorema de Bolzano - Weirstrass.

Seja {an} uma seqüência limitada por L ∈ R ⇒ −L ≤ an ≤ an, ∀ n ∈ N+; isto é

an ∈ [−L, L], ∀ n ∈ N+.

Seja α1 = −L, β1 = L ⇒ [α1, β1] contém um número infinito de termos da seqüência

{an}. Conseqüentemente um dos dois intervalos

[α1,α1 + β1

2], [

α1 + β1

2, β1] (4.18)

contém um número infinito de termos da seqüência {an}. Denotemos um dos intervalos que

contém um número infinito de termos da seqüência {an} por [α2, β2].

Agora consideremos:

[α2,α2 + β2

2], [

α2 + β2

2, β2] (4.19)

contém um número infinito de termos da seqüência {an}. Denotemos um dos intervalos que

contém um número infinito de termos da seqüência {an} por [α3, β3].

Continuando com este processo, obtém-se uma seqüência de intervalos:

[α1, β1] ⊇ [α2, β2] ⊇ [α3, β3] ⊇ · · · ⊇ [αn, βn] ⊇ · · · (4.20)

cada um dos quais contém uma quantidade infinita de termos da seqüência {an} e,

β1 − α1 = 2L, β2 − α2 =(2L)

2, β3 − α3 =

(2L)

22, · · · , βn − αn =

(2L)

2n−1, · · · (4.21)


Pela Propriedade (4.27), existe λn ∈ [an, bn] ∀ n ∈ N+, onde {λn} é convergente.

Seja n1 ∈ N+ tal que an1 ∈ [α1, β1], e n2 ∈ N+ tal que an2 ∈ [α2, β2] onde n1 < n2. Existe

n2 assumindo que [α2, β2] contém um número infinito de termos.

Seguindo este processo, escolhemos n1, n2, n3, · · · , nk, · · · com nk < nk+1 e nk+1 ∈[αk+1, βk+1] (de fato, [αk+1, βk+1] contém uma quantidade infinita de termos da seqüência

{an}. Deste modo obtemos o conjunto N ′ = { n1 < n2 < n3 < · · · < nk < · · · } tal que

λn = ank+1∈ [ak, bk]

Portanto, existe {ank}nk∈N′ subseqüência convergente de {an}

Propriedade 4.28.

Seja {an} uma seqüência convergente para L ∈ R, e seja N′ = { n1 < n2 < n3 < · · · < nk <

· · · }, então {ank}nk∈N′ converge para L.

Demonstração.

Seja ε > 0, como {an} converge a L, então existe n0 ∈ N+ tal que |an − L| < ε sempre que

n > n0. Se j > n0, ⇒ nj > j > n0 e assim |anj − L| < ε.

Conseqüentemente se j > n0, então |anj − L| < ε. Como ε > 0 é arbitrário, deduzimos que

{ank}nk∈N′ converge a L.

Propriedade 4.29.

Se L ∈ R, então existe um número natural n ∈ N+ tal que n ≥ L.

Demonstração.

Pelo absurdo.

Suponhamos que, n < L, ∀ n ∈ N+, então a seqüência {n} é limitada por L, além disso

sabemos que é crescente.

Pela Propriedade (4.18) a seqüência {n} é convergente; isto contradiz o que foi mostrado no

Exemplo (4.18).

Portanto, se L ∈ R, então existe um número natural n ∈ N+ tal que n ≥ L.


Exercícios 1-3

1. Calcular se existem os seguintes limites:

1. limn→∞

(n+ 2)! + (n+ 1)!(n+ 3)!

2. limn→∞

[1

n2+ (1 + 2 + 3 + · · · + n)

]

3. limn→∞

(2n+ 1)4 − (n− 1)4

(2n+ 1)4 + (n− 1)44. lim

n→∞

[1 + 2 + 3 + · · · + n

n+ 2− n

2

]

5. limn→∞

(n+ 1)3 − (n− 1)3

(n+ 1)2 + (n− 1)26. lim

n→∞

√n3 − 2n+ 1 + 3

√n4 + 1

4√n6 + 6n5 + 2 − 5

√n7 + 3n3 + 1

7. limn→∞

n3 + n

n4 − 3n2 + 18. lim

n→∞100n3 + 3n2

0, 001n4 − 100n3 + 1


11. limn→∞

√

a+ a2n2 +√

b+ a2n2 − 2

√

a2n2 − a+ b

2= 0

2. limn→∞

7√a7n7 + a+

√a2 − 4

5√a− 1 − a5n5 + 4

√a4 − 25a2 + 144

=1 + a

1 − a

3. Mostre que limx→+∞

anxn + an−1x

n−1 + · · · a1x+ a0

bmxm + bm−1xm−1 + · · · b1x+ b0existe se e somente se m ≥ n. Qual é

o valor do limite se m = n?. E quando m < n ?

4. Calcular os seguintes limites:

1. limx→+∞

x3

2x2 − 1− x2

2x+ 1

2. limx→+∞

anxn + an−1x

n−1 + · · · a1x+ a0

bmxm + bm−1xm−1 + · · · b1x+ b0

3. limx→+∞

(x+ 1) + (x+ 2)2 + (x+ 3)3 + · · · + (x+ n)n

x5 − a5n ∈ N.

5. Determine quais das seguintes seqüências são convergentes:

1.{

n(3

4

)n}

2.{

n(n+ 1)(2

3

)n}

3.{ n!

100n

}

6. É verdade que se {an} é de Cauchy implica que {an} é limitada? justifique sua resposta

7. Usando a definição de seqüência de Cauchy, mostre que:{ 7√

n+ 7

}

e{ n+ 4

n2 + 10

}

são de

Cauchy.

8. Mostre que a seqüência {an}, onde a1 = 0, an+1 =3an + 1

4∀ n ∈ N+ é crescente e

limitada por C = 1. Qual o limite desta seqüência?

9. Mostre que a seqüência {bn}, onde b1 = −3, bn+1 =3bn − 4

5∀ n ∈ N+ é crescente e

limitada. Qual o limite desta seqüência?

10. Mostre que a seqüência {an}, onde a1 = 1, an+1 =√

2an ∀ n ∈ N+ é crescente e

limitada. Qual o limite desta seqüência?


11. Sejam {an} e {bn} duas seqüências tais que an ≤ bn, ∀ n ∈ N+. Mostre que limn→∞

an ≤limn→∞

bn.

12. Mostre que, se {an} é uma seqüência convergente então:

1. Se α ≤ an, ∀ n ∈ N+, então α ≤ limn→∞

an.

2. Se bn ≤ β, ∀ n ∈ N+, então limn→∞

bn ≤ β.

13. Construir um exemplo:

a) De uma seqüência que possui duas subseqüências divergentes mostrando pelo menos

duas delas.

b) De uma seqüência que seja limitada superiormente e não seja de Cauchy.

c) De uma seqüência não monótona e de Cauchy.

14. Quais das seguintes afirmações são verdadeiras respeito a seguinte seqüência:

an = −4 cosn5 + 7(−1)2n+1 senn

n3

justifique sua resposta?

a) Ela é limitada superiormente;

b) Ela possuí no mínimo uma subseqüência convergente;

c) Ela possuí mais de duas subseqüências convergentes;

d) Ela é de Cauchy;

e) 12 e −12 são limites superior e inferior respectivamente.

15. Usando a definição de seqüência de Cauchy, provar que: an = 7√7n+3

e yn = 2nn2+7

.

16. Construir um exemplo:

a) de uma seqüência que possui duas subseqüências (uma divergente e outra convergente)

mostrando-as;

b) de uma seqüência que seja limitada inferior e não seja de Cauchy.

c) De uma seqüência não monótona, limitada e de Cauchy.

a) De uma seqüência que possui duas subseqüências divergentes mostrando elas.

17. Quais das seguintes afirmações são verdadeiras respeito a seguinte seqüência:

an = −4cosn2

en+ [4(−1)2n+6]sen2n

justifique sua resposta?

a) Ela é limitada superiormente;

b) Ela possuí no mínimo uma subseqüência convergente;


c) Ela possuí mais de duas subseqüências convergentes;

d) Ela é de Cauchy;

e) 102 e −120 são limitantes superior e inferior respectivamente.

18. Idem ao exercício anterior, para respeito a seguinte seqüência:

zn = −4cosn2

en+ [4(−1)n+5]sen2n

19. Usando a definição provar que a seguinte seqüência converge para L:

a)(

5k0n

7n− 3

)

; L =5k0

7onde k0 é constante.

20. Resolva as seguintes questões :

(a) Calcule o 4◦ elemento das seqüências 2n√n e determine se ela converge ou diverge.

Caso convergir ache o seu limite.

(b) Determine se a seqüência dada é crescente, decrescente ou não monótona:

(7n

31 + 52n

)

.

21. Dê um exemplo de uma seqüência que seja limitada e convergente, porém não monótona.

22. Dada a seqüência (an), onde an < 0 para todo n e an+1 > kan com 0 < k < 1. Prove que

(an) é convergente.


Miscelânea 1-1

1. Determine se as seguintes seqüências são convergentes ou divergentes:

a)2

3,

3

5,

4

7,

5

9, · · · b)

2

3,

3

5,

4

7,

5

9, · · ·

c)3

2,

9

10,

19

24,

33

44, · · · d)

2

1,

5

6,

10

15,

17

28, · · ·

e)4

3,

25

17,

82

55,

193

129, · · · f)

1

3,

2

5,

3

7,

4

9, · · ·

2. Um triângulo isósceles cuja base esta dividida em

2n partes (quadrados) tem inscrito uma figura

escalonada segundo a Figura 1.. Demonstre que

a diferença entre a área do triângulo e a figura

escalonada é infinitesimal quando n cresce infini-

tamente.

��

��

��

��

@@

@@

@@

@@

· · ·......

Figura 1.

3. Determine se as seguintes seqüências são convergentes ou divergentes:

a) { n√

1 + n+ n2}n≥1 b)

{√3n3 + 2n− 1 −

√3n3 − 2n− 1√

n3 + n2 + 3n−√n3 + n2 − 3n

}

n≥1

c){cosn

n

}

n≥1d)

{[

3 − 2(na+ 1

na

)]tan π2[na+1

na]}

n≥1

e)

{

n

√

3

5· 5

8· 7

11· · · 2n+ 1

3n+ 2

}

n≥1

f)

{

n

√

Ln3

Ln5· Ln6

Ln10· · · Ln3n

Ln5n

}

n≥1

g)

{

(2n+ 5)(2n+5)nn−3

(4n+ 1)n+2(n+ 3)2n

}

n≥1

h)

{

n

√

Ln3

Ln5· Ln6

Ln10· · · Ln3n

Ln5n

}

n≥1

4. Mostre que a seqüência { n√an + bn}n≥1 converge para b, sempre que 0 < a < b.

5. Consideremos a seqüência {an}n≥1 convergente; mostre que se limn→∞

an = a, então

limn→∞

a1 + a2 + a3 + · · · + ann

= a

6. Calcular se existem os seguintes limites do termo geral an de uma seqüência:

1. limn→∞

(n+ 2)! + (n+ 1)!(n+ 3)!

2. limn→∞

[1

n2+ (1 + 2 + 3 + · · · + n)

]

3. limn→∞

(2n+ 1)4 − (n− 1)4

(2n+ 1)4 + (n− 1)44. lim

n→∞

[1 + 2 + 3 + · · · + n

n+ 2− n

2

]


5. limn→∞

(n+ 1)3 − (n− 1)3

(n+ 1)2 + (n− 1)26. lim

n→∞

√n3 − 2n+ 1 + 3

√n4 + 1

4√n6 + 6n5 + 2 − 5

√n7 + 3n3 + 1

7. limn→∞

n3 + n

n4 − 3n2 + 18. lim

n→∞1

1 × 3+

1

3 × 5+ · · · 1

(2n− 1)(2n+ 1)

9. limn→1

n2 − 2n+ 1

n3 − n10. lim

n→1

x+ 2

x2 − 5x+ 4+

x− 4

3(x2 − 3x+ 2)

11. limx→1

xm − 1

xn − 1m,n ∈ Z 12. lim

n→∞3n2

2n+ 1− (2n+ 1)(3n2 + n+ 2

4n2

13. limn→∞

100n3 + 3n2

0, 001n4 − 100n3 + 114. lim

n→−∞5n3 − n2 + n− 1

n4 − n3 − 2n+ 1


1. limn→+∞

4n3 + 2n2 − 5

n+ 2 − 8n3= −1

22. lim

n→−∞15n3 − n2 + n− 1

n4 − n3 − 2n+ 1= 0

3. limn→+∞

3n2 − 2

2n+ 1+n2 − 4n

n− 3=

3

24. lim

n→+∞2n+ 3

n+ 3√n

= 2

5. limn→+∞

3

√

8n− 4

(3 −√n)(

√n+ 2)

= −2 6. limn→+∞

√

n+√

n+√n+ 3

√n+ 3

= 1

7. limx→+∞

[√

n2 − 5n+ 6 − 2] = −5

28. lim

n→−∞[√

n2 − 2n+ 4 + n] = 1

9. limn→+∞

[

√

n√

2n− 5n+ 6 − n] = −∞ 10. limn→∞

(

√n2 + 1 + n)2

3√n6 + 1

= 2

11. limn→+∞

√

a+ a2n2 +√

b+ a2n2 − 2

√

a2n2 − a+ b

2= 0

12. limn→+∞

7√a7n7 + a+

√a2 − 4

5√a− 1 − a5n5 + 4

√a4 − 25a2 + 144

=1 + a

1 − a

8. Consideremos a seqüência {an}n≥1 convergente; mostre que se limn→∞

an = a, então

limn→∞

n√a1 · a2 · a3 · · · an = a

9. A seqüência de Fibonacci define-se como segue: a1 = 1, a2 = 1, an = an−1 +an−2 para

n ≥ 3. Mostre por indução que: an =

(1+

√5

2

)n−(

1−√

52

)n

√5

.

10. Determine se a seqüência de termo geral, an =n

√

30n + 40n + · · · + 600n

né convergente.

11. Estude a seqüência de termo geral: an =16 + 26 + 36 + · · · + n6

n7

12. Mostre que toda seqüência contrativa é convergente.

Capítulo 5

SÉRIES DE NÚMEROS REAIS

5.1 INTRODUÇÃO

Seja {an} uma seqüência de números reais, a partir de ela podemos obter os seguintes ele-

mentos:

s1 = a1;

s2 = a1 + a2;

s3 = a1 + a2 + a3;...

sn−1 = a1 + a2 + a3 + · · · + an−2 + an−1;

sn = a1 + a2 + a3 + · · · + an−2 + an−1 + an

Isto é, podemos obter outra seqüência {sn}, chamada série onde seus elementos são somas

parciais de elementos da seqüência {an}.Quando o índice n seja o maior possível (por exemplo n→ +∞), teremos a escrever o termo

geral da seqüência {sn} como uma soma de uma quantidade indeterminada de elementos da

forma ai, i ∈ N+.

A notação que permite exprimir esta soma é: sn =n∑

k=1

ak.

Por se tratar {sn} de uma seqüência de números reais, todo o estudado no capítulo anterior

podemos aplicar a nossa série {sn}; por exemplo limitação, monotonia, convergência entre outros.

Logo, a série {sn} é limitada, se existe uma constante C ∈ R tal que |sn| ≤ C ou

∣∣∣∣∣

∞∑

n=1

an

∣∣∣∣∣≤

C, ∀ n ∈ N+.

A série {sn} é convergente, se limn→∞

sn = S ou limn→∞

[n∑

i=1

ai

]

= S, para algum S ∈ R fixo e

único.

Logo, podemos dizer que existem séries convergentes e séries divergentes. O objetivo deste

capítulo é aprender a distinguir umas das outras.

Antes de continuar com a análise de nossa seqüência {sn}, temos a entender melhor como

trabalhar com o símbolo∑

(sigma) que abrevia nossas somas.

155


5.2 SOMATÓRIOS

Considere m e n dois números inteiros tais que m ≤ n e f(x) uma função definida para

cada i ∈ Z , onde m ≤ i ≤ n. A expressãon∑

i=m

f(i) representa uma soma da seguinte forma:

f(m) + f(m+ 1) + f(m+ 2) + · · · + f(n− 1) + f(n) ; isto én∑

i=m

f(i) = f(m) + f(m+ 1) +

f(m+ 2) + · · · + f(n− 1) + f(n) .

A letra grega “sigma”∑

é o símbolo do somatório, i é o índice ou variável, m é o limite

inferior e n é o limite superior.

Exemplo 5.1.

a) Seja f(i) = i+ 2 , então5∑

i=1

f(i) = (1 + 2) + (2 + 2) + (3 + 2) + (4 + 2) + (5 + 2) = 20.

b) Seja g(i) = cos(ix) , entãon∑

i=1

g(i) = cosx+ cos(2x) + cos(3x) + · · · + cos(nx).

Observação 5.1.

Na expressãon∑

i=m

f(i) existem, (n−m+ 1) somandos.

Propriedade 5.1.

a)n∑

i=m

K = (n−m+ 1)K.

b)n∑

i=m

[f(i) ± g(i)] =n∑

i=m

f(i) ±n∑

i=m

g(i). · · · distributiva

c)n∑

i=m

[f(i) − f(i− 1)] = f(n) − f(m− 1) · · · telescópica

d)n∑

i=m

[f(i− 1) − f(i− 1)] = f(n+ 1) + f(n) − f(m) − f(m− 1) · · · telescópica

Demonstração.

A demonstração desta propriedade, é exercício para o leitor.

Exemplo 5.2.

Calcular o valor de S =200∑

i=1

[√i+ 1 −

√i− 10].

Solução.


Pela Propriedade (5.1) temos que:

S =200∑

i=1

[√i+ 1 −

√i] −

200∑

i=1

10 = [√

201 −√

1] − 200(10) = −2001

Portanto S =200∑

i=1

[√i+ 1 −

√i− 10] =

√201 − 2001.

Exemplo 5.3.

Calcular uma fórmula para S =n∑

i=m

[(i+ 1)2 − (i+ 1)2].

Solução.

Considere f(i) = i , segundo a Propriedade (5.1) d) segue:

S =n∑

i=m

[(i+ 1)2 − (i+ 1)2] =

= f(n+ 1) + f(n) − f(1) − f(n− 1) + f(n+ 1) − f(n) − f(1) − f(0) =

= (n+ 1)2 + n2 − 1 − 0 = 2n(n+ 1)).

De outro modo, observe que [(i + 1)2 − (i − 1)2] = 4i, assim temos que S =n∑

i=m

[(i + 1)2 −

(i+ 1)2] =n∑

i=m

4i = 2n(n+ 1).

Portanto, S =n∑

i=m

[(i+ 1)2 − (i+ 1)2] = 2n(n+ 1).

Exemplo 5.4.

Usando as propriedades do somatório, mostre as seguintes igualdades:

1. S =

n∑

i=1

i =n(n+ 1)

22. T =

n∑

i=1

i2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6

3. U =n∑

i=1

i3 =n2(n+ 1)2

44. V =

n∑

i=1

i4 =n(n+ 1)(6n3 + 9n2 + n+ 1)

30

Solução. a)

É consequência do Exemplo (5.3), observe quen∑

i=14i = 4

n∑

i=1i = 2n(n+ 1) então S =

n∑

i=1

i =

n(n+ 1)

2Solução. b)

Consideremos f(i) = i3, pela Propriedade (5.1) d) temos que a soma:

n∑

i=1

[(i+ 1)3 − (i+ 1)3] = (n+ 1)3 + n3 − 13 − 03 = 2n3 + 3n2 + 3n (5.1)


Por outro lado:

n∑

i=1

[(i+ 1)3 − (i+ 1)3] =

n∑

i=1

[6i2 + 2] = 6

n∑

i=1

[i2] + 2n (5.2)

De (5.1) e (5.2) segue que 6n∑

i=1[i2] + 2n = 2n3 + 3n2 + 3n.

Portanto,n∑

i=1

i2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6

Solução. c)

Consideremos f(i) = i4, pela Propriedade (5.1) d) temos que a soma:

n∑

i=1

[(i+ 1)4 − (i+ 1)4] = (n+ 1)4 + n4 − 14 − 04 = 2n4 + 4n3 + 6n2 + 4n (5.3)

Por outro lado, da parte a) deste exemplo,n∑

i=1

[(i + 1)4 − (i + 1)4] = 8n∑

i=1

i3 + 8n∑

i=1

i =

8n∑

i=1

[i3] + 4n(n+ 1).

Igualando a (5.3), temos 8n∑

i=1

[i3] + 4n(n+ 1) = 2n4 + 4n3 + 6n2 + 4n.

Portanto, U =n∑

i=1

[i3] =n2(n+ 1)2

4

Solução. d)

Exercício para o leitor.

Exemplo 5.5.

Se a > 0, determine uma fórmula para a progressão geométrican∑

k=1

ak.

Solução.

Seja S =n∑

k=1

ak = a+a2 +a3 +a4 + · · ·+an−2 +an−1 +an , se multiplicamos por −a à soma

S obtém-se −aS = −a2 − a3 − a4 − · · · − an−2 − an−1 − an − an+1; logo S - aS = a− an+1 onde

S(a− 1) = a(an − 1)

Portanto, S =n∑

k=1

ak =a(an − 1)

a− 1.

Exemplo 5.6.

Achar uma fórmula para S =n∑

k=1

6

2k−1.

Solução.

Temos que S =

n∑

k=1

6

2k−1= 6

n∑

k=1

2

2k= 12

n∑

k=1

1

2k; pelo Exemplo (5.5) concluímos: S =

12(1 − (1

2)n].


Portanto, S =n∑

k=1

6

2k−1= 12[1 − 1

2)n].

Exemplo 5.7.

Determine uma fórmula paran∑

k=1

k

3k.

Solução.

Aplicando a propriedade telescópica,n∑

k=1

[k

3k− k − 1

3k−1] =

n

3n− 0.

Por outro lado,n∑

k=1

k

3k−

n∑

k=1

k − 1

3k−1=

n∑

k=1

k

3k− 3[

n∑

k=1

k

3k−

n∑

k=1

1

3k] =

= −2n∑

k=1

k

3k+ 3

n∑

k=1

1

3k= −2

n∑

k=1

k

3k+ 3 ·

13 [(1

3)n − 1]13 − 1

= −2n∑

k=1

k

3k+

3

2[1 − (

1

3)n]

logo −2n∑

k=1

k

3k+

3

2[1 − (

1

3)n] =

n

3n− 0 onde

n∑

k=1

k

3k=

3

4− 3 + 2n

4(3)n.

Portanto,n∑

k=1

k

3k=

3

4− 3 + 2n

4(3)n

Exemplo 5.8.

Determine a soma S =

n∑

k=1

k · (k!).

Solução.

Considere f(k) = (k + 1)!, pela Propriedade (5.1) c) temos:n∑

k=1

[(k + 1)! − k!] = (n+ 1)! − 1 ; isto én∑

k=1

[(k + 1) · k! − k!] =n∑

k=1

k · (k!) = (n+ 1)! − 1.

Portanto S = (n+ 1)! − 1

Exemplo 5.9.

Achar uma fórmula paran∑

k=1

sen(kx).

Solução.

Lembre a identidade cos(a+ b) − cos(a− b) = −2sen(a)sen(b).

Logo:n∑

k=1

[−2sen x · sen(kx)] =n∑

k=1

[cos(k + 1) − cos(k − 1)] então −2senxn∑

k=1

sen(kx) =

cos(n+ 1)x+ cos(nx) − cosx− 1.

Portanto,n∑

k=1

sen(kx) = − cos(n+ 1)x+ cos(nx) − cosx− 1

2senx

Exemplo 5.10.

Calcular a soma S =

n∑

k=1

sen2n2x.

Solução.


Aplicando a propriedade telescópica temos:

n∑

k=1

[sen2k2x− sen2(k−1)2x] = sen2n2x− 1 (5.4)

Por outro lado,n∑

k=1

[sen2k2x − sen2(k−1)2x]n∑

k=1

sen2k2x −n∑

k=1

sen−22x · sen2(k−1)2x = [1 −

sen−22x]n∑

k=1

sen2k2x = [sen22x− 1

sen22x]n∑

k=1

sen2k2x = cot2 2xn∑

k=1

sen2k2x .

De (5.4) temos cot2 2x

n∑

k=1

sen2k2x = sen2n2x− 1.

Portanto, S = tan2 2x(sen2n2x− 1).

Exemplo 5.11.

Determine o valor da seguinte soma T =

n∑

k=1

1

loga(22k) loga(2

2k+2)

Solução.

Temos que:1

loga(22k) loga(2

2k+2)=

1

loga(22)

[1

loga(22x)− 1

loga(22x+2)

]

Logo T =n∑

k=1

1

loga(22)

[1

loga(22k)− 1

loga(22k+2)

]

Assim, T =1

loga(22)

[1

loga22− 1

log2(22n+2)

]

.

Exemplo 5.12.

Calcular a soma T =n∑

k=1

tanh(19kx)

sech(19kx).

Solução.

Observe que, T =

n∑

k=1

tanh(19kx)

sech(19kx)=

n∑

k=1

senh(19kx) , análogo ao Exemplo (5.9) temos da

identidade para funções hiperbólicas cosh(a+ b) − cosh(a− b) = − 2senh(a)senh(b).

Logon∑

k=1

[−2senh(19x)senh(19kx)] =n∑

k=1

[cosh(19(k+1)x)−cosh(19(k−1))] então −2senh(19x)·n∑

k=1

senh(19kx) = cosh(19(n+ 1)x) + cosh(19nx) − cosh(19x) − 1,

Portanto,

T =

n∑

k=1

tanh(19kx)

sech(19kx)=

cosh(19(n+ 1)x) + cosh(19nx) − cosh(19x) − 1

2senh(19x)

Exemplo 5.13.

Determine uma fórmula paran∑

k=1

bk · sen(x+ ky).

Solução.


Considere S =n∑

k=1

[bk · sen(x+ ky)− bk−1sen(x+(k− 1)y)] , temos pela Propriedade (5.1) d):

S =n∑

k=1

[bk · sen(x+ ky) − bk−1sen(x+ (k − 1)y)] = bnsen(x+ ny) − senx (5.5)

Por outro lado, S =n∑

k=1

[bk · sen(x+ ky) − bk−1sen(x+ (k − 1)y)] =

n∑

k=1

bksen(x+ ky) − 1

b

n∑

k=1

bksen(x+ (k − 1)y) =

n∑

k=1

bksen(x+ ky) − 1

b

n∑

k=1

bk[sen(x+ ky) · cos y − seny · cos(x+ ky)]

logo:

S = (1 − 1

bcos y)

n∑

k=1

bk · sen(x+ ky) − 1

bseny

n∑

k=1

bk · cos(x+ ky) (5.6)

Para determinar U =n∑

k=1

bk · cos(x+ ky), pela Propriedade (5.1).

Seja T =n∑

k=1

[bk · cos(x+ ky) − bk−1 cos(x+ (k − 1)y)] = bn cos(x+ ny) − cosx , isto é

T = U − 1

b

n∑

k=1

bk cos(x+ (k − 1)y) =

U − 1

b

n∑

k=1

bk[cos(x+ ky) · cos y + seny · sen(x+ ky)] =

(1 − 1

bcos y)U − 1

bseny

n∑

k=1

bksen(x+ ky) = bn cos(x+ ny) − cosx

De onde U =n∑

k=1

bk · cos(x+ ky) =

seny

b− cos y

n∑

k=1

bk · sen(x+ ky) +b

b− cos y[bn · cos(x+ ny) − cosx]

Em (5.6) temos S = (1−1

bcos y)

n∑

k=1

bksen(x+ky)−1

bseny[

n∑

k=1

bksen(x+ky)]+b

b− cos y[bn cos(x+

ny) − cosx]

Logo da identidade (5.5) vem:

S = [b− cos y

b− sen2y

b(b− cos y)]n∑

k=1

bksen(x+ky)+b

b− cos y[bn cos(x+ny)−cosx] = bnsen(x+


ny) − senx.

Portanto:n∑

k=1

bk · sen(x+ ky) =b(b− cos y)

b2 − cos2 y + sen2y[bnsen(x+ ny)−

−senx− bnseny · cos(x+ ny) + seny · cosxb− cos y

].


Exercícios 2-1

1. Escrever os seis primeiros termos das somas dadas.

1.n∑

k=1

k

k + 12.

20∑

k=0

2k + 1

3k + 23.

10∑

k=1

k2 − 2k + 3

2k2 + k + 14.

n∑

k=1

(−1)kak

k3

5.

∞∑

k=1

(3

2)k 6.

30∑

k=1

sen(kπ) 7.

∞∑

k=1

Ln(3

k) 8.

n∑

k=1

k2

k + 1

2. Determinar uma fórmula para cada uma dos seguintes somatórios:

1.n∑

i=1

[√

2i+ 1 −√

2i− 1] 2.n∑

k=1

4

(4k − 3)(4k + 1)3.

100∑

k=1

Ln[k

k + 2]

4.

n∑

k=1

2k + k(k + 1)

2k+1(k2 + k)5.

n∑

k=1

k

(k + 1)(k2 + 5k + 6)6.

n∑

k=1

2k + 3k

6k

7.n∑

k=1

[

√k + 1 −

√k√

k2 + k] 8.

n∑

k=1

Ln[(1 + 1k )k(1 + k]

(Lnkk)(Ln(k + 1))k+19.

n∑

k=1

ek + 2

3k

10.n∑

k=1

1

2x2 + 6x+ 411.

n∑

k=1

ek − [3sena · cos a]k3k

12.n∑

k=1

2k + 1

k2(k + 1)2

13.

n∑

k=1

1

k2 − 114.

n∑

k=1

16 csc5 kx

cot5 kx · sec9 kx15.

n∑

k=1

cos(3kx)

16.n∑

k=1

[25

10k− 6

100k] 17.

n∑

k=1

sen2k(2x) 18.n∑

k=1

k

5k

19.n∑

k=1

5k · sen(5k − x) 20.n∑

k=1

k · xk+1 21.n∑

k=1

k · 2k

22.

n∑

k=1

1

24 + 10k − 25k223.

n∑

k=1

cos2k 24.

n∑

k=1

[√

3 + x]k

3. Determine a validade da igualdade:n∑

k=1

Ln 2k =n(n+ 1)

2Ln2.

4. Mostre que a fórmula é evidente:n∑

k=1

(m+ k)!

k!=

(m+ n+ 1)!

(m+ 1)n!.

5. Se X =1

n[n∑

k=1

Xk] , mostre quen∑

k=1

[Xk −X]2 =n∑

k=1

X2k −X

n∑

k=1

Xk.

6. Determine o valor de n ∈ N , se:n∑

k=1

(2 + k2) =n∑

k=1

(k + k2).

7. Seja | a |< 1, mostre que : S =n∑

k=1

ak =1

1 − aquando n→ ∞.


8. Nos seguintes exercícios expresse as dizimas periódicas dadas como series geométricas e em

seguida expresse as somas destas últimas como o quociente de dois inteiros.1. 0, 6666 2. 0, 2323 3. 0, 07575 4. 0, 21515

9. Quando um determinado empregado recebe seu pagamento ao final de cada mês, ele de-

posita P reais em uma conta especial para a aposentadoria. Esses depósitos são feitos

mensalmente, durante t anos e a conta rende juros anuais de r%. Se os juros são capital-

izados mensalmente, o saldo A na conta ao final de t anos é:

A = P + P (1 +r

12) + · · · + P (1 +

r

12)12t−1 = P (

r

12)[(1 +

r

12)12t − 1]

Se os juros são capitalizados continuamente, o saldo A ao final de t anos é: A = P +Per12 +

Pe2r12 + · · ·+ P · e

(12t−1)r12 =

P (en − 1)

er12 − 1

. Use a fórmula para a n-ésima soma parcial de uma

série geométrica para provar que cada uma das somas acima está correta.

10. Uma bola, jogada de uma altura de 6 metros, começa a quicar ao atingir o solo, como

indica a Figura (5.1). A altura máxima atingida pela bola após cada batida no solo é

igual a três quartos da altura da queda correspondente. Calcule a distância vertical total

percorrida pela bola.

-�

6

?0 x

y6

4

2

CCCCCCCCC

Tempo

u��u

CCCCCCu��u

CCCCu��u

CCu��

u

Figura 5.1:

11. Mostre quen∑

k=1

Ln(k + 1) = Ln[(n+ 1)!].


5.3 SÉRIES DE NÚMEROS REAIS

Dada uma seqüência {an} de números reais, a soma infinita a1 +a2 +a3 + · · ·+an−2 +an−1 +

an + · · · , será representada simbolicamente por∞∑

n=1

an.

Nosso objetivo agora é estabelecer condições sobre a seqüência {an} para que a soma infinita∞∑

n=1an tenha como resultado um valor de número real. Se este for o caso dizemos que a soma

infinita converge.

Estas somas infinitas são denominadas “séries infinitas” ou simplesmente séries.

Exemplo 5.14.

Consideremos a série 1 +1

2+

1

4+

1

8+

1

16+ · · · que representaremos por

∞∑

n=1

1

2n−1.

Para cada número natural n temos:

sn = 1 +1

2+

1

4+

1

8+

1

16+ · · · + 1

2n−1=

1 − (12)n

1 − 12

= 2[1 − (1

2)n]

de modo que:

limn→∞

sn = limn→∞

2[1 − (1

2)n] = 2 (5.7)

Ora a soma infinita∞∑

n=1

1

2n−1entenda-se como o limite da soma parcial sn quando n→ ∞ e,

desse modo, segue de (5.7) que∞∑

n=1

1

2n−1= 2.

Exemplo 5.15.

Figura 5.2:

Suponhamos temos a estudar a série 1+1

2+

1

3+

1

4+ · · · que representa a série infinita

∞∑

n=1

1

n.

A Figura (5.2) representa o gráfico da função

f(x) =1

x, definida para x > 0, sobre o qual estão os

pontos (n,1

n).

Comparando as áreas dos retângulos com a área

sob o gráfico de f(x), observa-se que:

f(1) + f(2) + f(3) + · · · + f(n) ≥n∫

1

f(x)dx

esta soma pelo fato de que cada área de retângulo de base uma unidade e altura f(n) é o próprio

f(n), assim:

1 +1

2+

1

3+

1

4+ · · · + 1

n≥ Lnn (5.8)


Como limn→∞

Lnn = +∞, usando a desigualdade (5.8) concluímos que:

limn→∞

[

1 +1

2+

1

3+

1

4+ · · · + 1

n

]

= +∞

Logo é justo afirmar que∞∑

n=1

1

n= +∞ �

Estes dois exemplos tratados, motivam o conceito de convergência para séries numéricas.

A convergência de uma série∞∑

n=1an está relacionado com a convergência de sua seqüência de

somas parciais {sn}. O n-ésimo termo sn é denominado n-ésima soma parcial da série.

Definição 5.1.

Dizemos que a série é convergente, quando a seqüência {sn} de suas somas parciais for

convergente. Neste caso, a soma da série é o limite da seqüência {sn}, isto é:

∞∑

n=1

an = limn→∞

sn = S (5.9)

Quando uma série não converge, ela é denominada divergente.

Exemplo 5.16.

Se an = 0 ∀ n ∈ N+, a série gerada pela seqüência {an} é convergente, sua soma é zero;

isto é∞∑

n=1an = 0.

Exemplo 5.17.

Se bn = 1 ∀ n ∈ N+, a série gerada pela seqüência {bn} é divergente, sua soma é indeter-

minada; na verdade∞∑

n=1bn = +∞

Exemplo 5.18.

Se an = (−1)n+1 ∀ n ∈ N+, então a série gerada pela seqüência {an} é divergente, a soma

de todos seus termos é indefinida; isto é∞∑

n=1(−1)n+1 = 1 ou −1 ou 0.

Pela unicidade do limite limn→∞

sn = S, concluímos que essa soma não existe.

5.3.1 Série geométrica.

Uma “série geométrica” é da forma S =∞∑

n=1arn−1, onde o número r é denominado razão da

série, e o número constante a é seu coeficiente.

Exemplo 5.19.

Determine se a série geométrica converge.

Solução.


Pela propriedade de somatório podemos escrever S =+∞∑

n=1αrn−1 = α

+∞∑

n=1rn−1. Pelo resultado

do Exemplo (5.5) segue-se que:

sn = αn∑

i=1

ri−1 = α1 − rn

1 − r(5.10)

Quando |r| < 1, mostramos no Exemplo (4.19) que limn→+∞

rn = 0, tomando o limite em (5.10)

quando n→ +∞ tem-se: limn→+∞

sn = α limn→+∞

1 − rn

1 − r=

α

1 − r= S.

Isto é: S =+∞∑

n=1arn−1 = lim

n→∞sn =

α

1 − rconverge quando |r| < 1.

É imediato que para o caso |r| > 1 a série diverge. �

Exemplo 5.20.

A série∞∑

n=1

4

3n=

4

3+

4

32+

4

33+ · · · é uma série geométrica com r =

1

3< 1, então a série

converge e sua soma é 2.

5.3.2 Série harmônica.

Uma “série harmônica” é da forma+∞∑

n=1

1

n.

Exemplo 5.21. Série harmônica.

Determine se série harmônica+∞∑

n=1

1

nconverge.

Solução.

Sabe-se que esta série representa o termo n-ésimo de uma seqüência {sn}, onde sn =∞∑

n=1

1

n.

Consideremos duas subseqüência de sn:

sn = 1 +1

2+

1

3+

1

4+ · · · + 1

n+ · · ·

s2n = 1 +1

2+

1

3+

1

4+ · · · + 1

n+ · · · + 1

2n− 1+

1

2n

Suponha que sn → L quando n → ∞, então pela Propriedade (4.15) tem-se que sn → L

quando n → ∞ e s2n → L quando n → ∞, e pela Propriedade (4.16) (sn − s2n) → 0 quando

n→ ∞.

Porém, sn − s2n =1

n+ 1+

1

n+ 2+

1

n+ 3+ + · · · + 1

n+ · · · + 1

2n− 1+

1

2n≥ 1

2n+

1

2n+

1

2n+ · · · + 1

2n=

1

2de onde lim

n→∞(sn − s2n) ≥

1

26= 0, caso o limite existisse.

Portanto, a série harmônica∞∑

n=1

1

n. é divergente. �


5.3.3 Série p.

Uma “série p” é da forma∞∑

n=1

1

np, onde p ∈ R é uma constante fixa.

Na próxima seção mostraremos que a série:

∞∑

n=1

1

np= 1 +

1

2p+

1

3p+ · · · + 1

np+ · · · (5.11)

converge se p > 1, e diverge se p ≤ 1, p ∈ R.

Observação 5.2.

A série∞∑

n=1

(bn − bn+1) é denominada série de encaixe devido à natureza de seus termos:

(b1 − b2) + (b2 − b3) + (b3 − b4) + · · · + (bn − bn+1) + · · ·

A seqüência de suas somas parciais {sn}, vem dado pela expressão:

sn = (b1 − b2) + (b2 − b3) + (b3 − b4) + · · · + (bn − bn+1) = b1 − bn+1 (5.12)

Se a seqüência {bn} convergir para um número L, segue que {sn} converge para b1 − L.

Exemplo 5.22.

Mostre que a série∞∑

n=1

1

n2 + nconverge.

Demonstração.

Observe que∞∑

n=1

1

n2 + n=

∞∑

n=1

[1

n− 1

n+ 1

]

= 1 − 1

n+ 1, logo;

limn→∞

n∑

i=1

1

n2 + n= lim

n→∞

[

1 − 1

n+ 1

]

= 1 − 0 = 1

Portanto, a série∞∑

n=1

1

n2 + nconverge. �

Exemplo 5.23.

Determine se a série∞∑

n=1Ln( n

n+ 1

)

converge.

Solução.

Observe que, podemos escrever∞∑

n=1

Ln( n

n+ 1

)

=∞∑

n=1

[Lnn− Ln(n+ 1)].

Logo,∞∑

n=1Ln( n

n+ 1

)

= Ln1 − Ln(n+ 1) ⇒ limn→∞

∞∑

n=1

Ln( n

n+ 1

)

= limn→∞

[Ln1 − Ln(n+

1)] = 1 −∞ = −∞Portanto, a série

∞∑

n=1Ln( n

n+ 1

)

diverge. �


5.3.4 Critério do n-ésimo termo.

A propriedade a seguir fornece uma condição necessária, mas não suficiente para que uma

série numérica seja convergente.

Propriedade 5.2. Critério do n-ésimo termo.

Seja∞∑

n=1

an convergente, então:

i) A seqüência {sn} de somas parciais é limitada.

ii) limn→∞

an = 0.

Demonstração. i)

Se∞∑

n=1an converge, então existe em R o limite L = lim

n→∞sn logo, sendo {sn} uma seqüência

convergente, ela é limitada. �

Demonstração. ii)

Denotando por {sn} a seqüência de somas parciais da série,∞∑

n=1an temos que an = sn− sn−1

e admitindo que a série é convergente, resulta que a seqüência de somas parciais {sn} converge

para um certo número L, o mesmo ocorrendo com a subseqüência {sn−1}, então:

limn→∞

an = limn→∞

(sn − sn−1) = limn→∞

sn − limn→∞

sn−1 = L− L = 0

Observação 5.3.

Nos Exemplos (5.21) e (5.23) observamos que as séries∞∑

n=1

1

ne

∞∑

n=1Ln( n

n+ 1

)

divergem,

embora limn→∞

1

n= 0 e lim

n→∞Ln( n

n+ 1

)

= 0.

Com isso justificamos que a condição limn→∞

an = 0 não é suficiente para garantir a convergên-

cia.

A observação precedente, justifica a seguinte propriedade.

Propriedade 5.3.

Se limn→∞

an 6= 0, então a série∞∑

n=1an diverge.

A demonstração é exercício para o leitor. �

Exemplo 5.24.

A séries∞∑

n=1

n

n+ 1e

∞∑

n=1

√n ambas são divergentes.

A Propriedade (5.3) constitui-se no primeiro critério de convergência, para séries. Ao analisar

a convergência de uma série, em primeiro lugar observamos a convergência de seu primeiro termo

geral sn, como sugere o seguinte diagrama:


{an} diverge -∞∑

n=1an diverge - Fim

L 6= 0∞∑

n=1an diverge Fim

∞∑

n=1an -

-

- -

-

-

- -

limn→∞

an = L

L = 0- ?

A condição limn→∞

an = 0 não dá informação sobre a convergência da série∞∑

n=1an sendo

necessária uma análise adicional para determinar se a série converge ou diverge.

Exemplo 5.25.

A seguinte tabela ilustra algumas situações:

∞∑

n=1

Lnn

n20 indefinida

∞∑

n=1

n

3n+ 5

1

3divergente

∞∑

n=1

en

n2∞ divergente

∞∑

n=1an lim

n→∞an situação

Observação 5.4.

Suponha temos uma série∞∑

n=1

an convergente; isto é limn→∞

sn = S existe. Então é correto

afirmar que:

limn→∞

(sn − S) existe se, e somente se limn→∞

sn = S existe.

Deduzimos assim, que podemos omitir um número finito de termos (entre os primeiros) de

uma série infinita sem afetar sua convergência.

Como no caso das seqüências numéricas, o acréscimo ou a omissão de um número finito de

termos não altera a convergência de uma série, podendo alterar o valor de sua soma.


Propriedade 5.4.

Se as séries∞∑

n=1

an e∞∑

n=1

bn diferem apenas em seus primeiros termos em uma quantidade

finita, então ambas são convergentes ou ambas são divergentes.

Demonstração.

Por hipótese, existe um índice n0 a partir do qual an = bn e, se {sn} e {tn} são as seqüências

de somas parciais de∞∑

n=1

an e∞∑

n=1

bn respectivamente, então para n > n0 temos:

sn = a1 + a2 + a3 + · · · + an (5.13)

tn = b1 + b2 + b3 + · · · + bn (5.14)

e sendo an = bn a partir da ordem n0, resulta das igualdades (5.13) e (5.14) que:

sn = tn + [(a1 − b1) + (a2 − b2) + (a3 − b3) + · · · (an − bn)] (5.15)

Observando a igualdade (5.15), e considerando que a expressão entre colchetes é constante,

isto é, não depende do índice n deduzimos que as seqüências∞∑

n=1

an e∞∑

n=1

bn são ambas conver-

gentes ou ambas divergentes.

Exemplo 5.26.

As séries∞∑

n=9

1

ne

∞∑

n=9

1

n− 8ambas são divergentes, entanto as séries

∞∑

n=9

1

n2e

∞∑

n=9

1

(n− 8)2

ambas são convergentes.

Procure justificar estas afirmações, identificando a quantidade de termos que elas diferem.

Ainda mais, uma consequência da Propriedade (5.4), temos que para cada número k ∈ N+,

as séries∞∑

n=1

an e∞∑

n=k

an são ambas convergentes ou ambas divergentes.

Propriedade 5.5.

Sejam∞∑

n=1

an e∞∑

n=1

bn duas séries numéricas e α ∈ R.

(a) Se as séries∞∑

n=1

an e∞∑

n=1

bn são convergentes, então∞∑

n=1

(an + bn) e∞∑

n=1

α · an também

convergem, e valem as relações:

∞∑

n=1

(an + bn) =∞∑

n=1

an +∞∑

n=1

bn (5.16)

∞∑

n=1

α · an = α ·∞∑

n=1

an (5.17)

(b) Se∞∑

n=1

an e convergente e∞∑

n=1

bn é divergente, a série∞∑

n=1

(an + bn) diverge.


(c) Se∞∑

n=1

an é divergente e α 6= 0, então a série∞∑

n=1

α · an é também divergente.

Demonstração.

Na demonstração utilizaremos a Propriedade (4.16).

Denotando por {sn}, {tn}, {un} e {vn} as seqüências de somas parciais das séries:

∞∑

n=1

an,∞∑

n=1

bn,∞∑

n=1

(an + bn)

e∞∑

n=1

α · an respectivamente, temos un = sn + tn e vn = α · sn, e se as seqüências {sn} e {tn}

forem convergentes, então as seqüências {un} e {vn} também serão convergentes e, além disso

limn→∞

un = limn→∞

sn + limn→∞

tn e limn→∞

vn = α · limn→∞

sn

Isto mostra a parte (a). �

Demonstração. (b)

Pelo absurdo.

Suponhamos que a série∞∑

n=1

(an+bn) seja convergente, então a seqüência {un} é convergente

e, por conseguinte, a seqüência {tn} também é convergente, pois tn = un − sn.

Logo a série∞∑

n=1

bn é convergente. Isto é contradição com a hipótese.


n=1

(an + bn) diverge. �

Demonstração. (c)

Pelo absurdo.


n=1

α · an seja convergente, então a seqüência {vn} é convergente

e, por conseguinte, a seqüência {sn} também é convergente, pois sn =1

α· vn.

Logo a série∞∑

n=1

sn é convergente. Isto é contradição com a hipótese.


n=1

α · an diverge.

Observação 5.5.

Quando as séries∞∑

n=1

an e∞∑

n=1

bn são ambas divergentes, a Propriedade (5.5) não dá infor-

mação sobre a convergência da série∞∑

n=1

(an + bn).

Exemplo 5.27.


As séries∞∑

n=1

1

ne

∞∑

n=1

−1

nsão ambas divergentes, entanto que a série

∞∑

n=1

(1

n+

−1

n)

converge.

Exemplo 5.28.

Observe, a série∞∑

n=1

[1

n2 + n+

3

4n−1

]

é convergente, enquanto as séries∞∑

n=1

1

n2 + ne

∞∑

n=1

3

4n−1são convergentes.

Exemplo 5.29.

A série∞∑

n=1

n+ 1

n4é convergente.

Observe quen+ 1

n4=

1

n3+

1

n4∀ n ∈ N+; sabemos que a série p converge se p > 1, logo as

séries∞∑

n=1

1

n3e

∞∑

n=1

1

n4são convergentes.

Portanto,∞∑

n=1

n+ 1

n4é convergente.

5.3.5 Condição de Cauchy.

Propriedade 5.6. Condição de Cauchy.

Seja {sn} uma seqüência de números reais para a série convergente∞∑

n=1

an, então para qual-

quer ε > 0, existe n0 > 0 tal que |sm − sn| < ε sempre que m, n > n0.

Demonstração.

Como∞∑

n=1

an é convergente, seja S sua soma, isto é limn→∞

sn = S; pela definição de seqüência

convergente segue que:

∀ ε > 0, ∃ n0 > 0 tal que |sn − S| < ε sempre que n > n0

Em particular podemos considerar: |sn − S| < ε

2, portanto, se m, n > n0:

|sm − sn| = |sm − S + S − sn| ≤ |sn − S| + |sm − S| < ε

2+ε

2= ε

Assim, ∀ ε > 0, ∃ n0 > 0 tal que |sm − sn| < ε sempre que m, n > n0.

Observe que se m = n − 1 ⇒ |sn−1 − sn| = |an| < ε sempre que n > n0; isto é

limn→∞

an = 0. Embora esta seja uma condição necessária para a convergência da série∞∑

n=1

an, não

é uma condição suficiente


Exemplo 5.30.

Determine quais das séries convergem ou divergem:

1.∞∑

n=1

(n− 1)!

n · n!.

2.∞∑

n=1

√n(n− 1)!

n!.

Solução. 1.

Observe que

∞∑

n=1

(n− 1)!

n · n!=

∞∑

n=1

(n− 1)!

n · n(n− 1)!=

∞∑

n=1

1

n2onde p = 2 > 1

Logo a série∞∑

n=1

(n− 1)!

n · n!é convergente. �

Solução. 2.

Tem-se que

∞∑

n=1

√n(n− 1)!

n!=

∞∑

n=1

√n(n− 1)!

n · (n− 1)!!=

∞∑

n=1

1√n

onde p =1

2< 1

Logo a série∞∑

n=1

√n(n− 1)!

n!é divergente.

5.3.6 Propriedade de Cauchy.

Existem casos onde a série têm seus termos decrescentes, então podemos utilizar a seguinte

propriedade.

Propriedade 5.7.

Suponhamos temos uma série de termo geral an de modo que an+1 ≤ an para todo n ∈ N+;

logo:

A série∞∑

n=1

an converge se, e somente se, a série∞∑

n=1

2n · a2n também converge.


Exemplo 5.31.


1.∞∑

n=1

1

n2.

∞∑

n=1

1

nLnn

3.∞∑

n=1

1

n2.


Solução. 1.

Temos que an =1

n, logo a2n =

1

2n.

Assim,∞∑

n=1

2n · 1

2n=

∞∑

n=1

1 = +∞ diverge.

Pela Propriedade (5.7) a série∞∑

n=1

1

ndiverge. �

Solução. 2.

Tem-se que an =1

nLnn, logo a2n =

1

2nLn2n.

Então,∞∑

n=1

2n · a2n =∞∑

n=1

2n · 1

2nLn2n=

∞∑

n=1

1

nLn2=

1

Ln2

∞∑

n=1

1

n= +∞ isto último pela parte

1.


n=1

1

nLnndiverge. �

Solução. 3.

Tem-se que an =1

n2>

1

(n+ 1)2= an+1, então podemos obter a2n =

1

(2n)2.

Logo,∞∑

n=1

2n · a2n =∞∑

n=1

2n · 1

(2n)2=

∞∑

n=1

2n

22n=

∞∑

n=1

1

2n= lim

n→∞1

2·

1 −(1

2

)n

1 − 1

2

= 1.

Como a série∞∑

n=1

1

2nconverge, então a série

∞∑

n=1

1

n2também converge. �


Exercícios 5-2

1. O que significa uma série∞∑

n=1

an ser divergente?

2. Expresse cada decimal periódica como uma série e ache a expressão ord inária que ela

representa.

1. 0, 232323 · · · 2. 5, 146146146 · · · 3. 3, 2394394 · · ·

3. Verifique se as seguintes séries são divergentes:

1.∞∑

n=1

(√n+

√n+ 1) 2.

∞∑

n=1

[(1 + (−1)n] 3.∞∑

n=1

n3

n3 + n2 + 9

4.

∞∑

n=1

n

cosn5.

∞∑

n=1

nsen

[1

n

]

6.

∞∑

n=1

n!

2n

7.

∞∑

n=1

[sen4πn + 4]

4n8.

∞∑

n=1

(1

3n+

1

5n) 9.

∞∑

n=1

1√n2 + 4n

10.

∞∑

n=1

n!

3n)!11.

∞∑

i=1

(n+ 2)!

5n12.

∞∑

i=1

(1

7n+

5

8n

)

4. Encontre uma série cuja n-ésima soma vem dado por:

1. sn =2n

3n+ 12. sn =

n2

n+ 13. sn =

1

2n

5. Para cada uma das séries, calcule a n-ésima soma parcial e o valor da soma da série no

caso de ela convergir.

1.∞∑

n=1

[2

3

]n

2.∞∑

n=1

4

[2

5

]n

3.∞∑

n=1

3

9n2 + 3n− 2

4.∞∑

n=1

Ln

[n

n+ 1

]

5.∞∑

n=1

2n+ 1

n2(n+ 1)26.

∞∑

n=1

[1

2n−2− 1

3n+2

]

7.∞∑

n=1

[1

2n+

1

3n

]

8.∞∑

n=1

1

4n2 − 19.

∞∑

n=1

2

(4n− 3)(4n+ 1)

10.∞∑

n=1

Ln

[(n+ 1)2

n(n+ 2)

]

11.∞∑

n=1

2n+1

32n12.

∞∑

n=1

[2nsen(nπ + π

2 )

32n−2

]

13.∞∑

n=1

Lnn√n2

14.∞∑

n=1

1

nn15.

∞∑

n=1

e−n + en

6

16.∞∑

n=1

n

en2 17.∞∑

n=1

(−1)n√n+ 1

3n− 218.

∞∑

n=1

1 − 2 cosn

en

6. Encontre os valores de x que tornam a série∞∑

n=1

x2n convergente; e calcule o valor da soma.


7. Idem ao Exercício 6 para a série∞∑

n=1

(x− 3)n

2n+1.

8. Sejam ai, bi ∈ R onde i = 1, 2, 3, · · · , n. Mostre a desigualdade de Cauchy - Schwarz:

( ∞∑

n=1

anbn)2 ≤

( ∞∑

n=1

a2n

)(∞∑

n=1

b2n)

9. A série∞∑

n=1

an converge se, e somente se, para todo ε > 0, existe um n0 > 0 tal que n > n0

implica:

|an+1 + an+2 + an+3 + · · · + an+p| < ε para cada p ∈ N+

10.

11.

12.


5.4 SÉRIE DE TERMOS POSITIVOS

Uma série∞∑

n=1

an onde cada termo an é maior ou igual do que zero é denominada série de

termos positivos.

Propriedade 5.8.

Seja {an} uma seqüência com an ≥ 0 para todo n ∈ N+. Então a série∞∑

n=1

an é convergente

se, e somente se, a seqüência de somas parciais {sn} é limitada.

Demonstração.

Temos pela Propriedade (5.4) que se a série∞∑

n=1

an converge, então sua seqüência de somas

parciais é limitada.

Inversamente.

Suponhamos que a seqüência de somas parciais {sn} é limitada, como an ≥ 0 para todo

n ∈ N+ então:

sn = a1 + a2 + a3 + · · · + an ≤ a1 + a2 + a3 + · · · + an + an+1 = sn+1

Logo, a seqüência de somas parciais {sn} é crescente; ainda mais sendo limitada segue pela

Propriedade (4.18) que {sn} é convergente, assim∞∑

n=1

an é convergente .

Exemplo 5.32.

A série∞∑

n=1

1

n(n+ 1)é convergente.

Observe que1

n(n+ 1)=

1

n− 1

n+ 1para todo n ∈ N+.

Como sn =1

1 · 2 +1

2 · 3 +1

3 · 4 + · · · + 1

n(n+ 1), tem-se que sn = 1 − 1

n+ 1≤ 1 para todo

n ∈ N+.

Sendo os termos positivos, e a seqüência de somas parciais {sn} limitada, então série∞∑

n=1

1

n(n+ 1)

é convergente.

Definição 5.2.

Dizemos que a série∞∑

n=1

an é dominada pela série∞∑

n=1

bn quando an ≤ bn, ∀ n ∈ N+.

Nesse caso∞∑

n=1

an é a série dominada e∞∑

n=1

bn é a série dominante.

Observação 5.6.

Para séries de termos positivos, os seguintes fatos são imediatos:

1. A seqüência sn de somas parciais é monótona crescente.


2. Se a série∞∑

n=1

an é dominada pela série∞∑

n=1

bn, as respectivas séries de somas parciais {sn}

e {tn} satisfazem a relação sn ≤ tn, ∀ n ∈ N+.

Estes fatos junto com a Propriedade (4.21) estabelecem o seguinte critério de convergência

conhecido como critério de comparação.

5.4.1 Critério de comparação.

Propriedade 5.9. Critério de comparação.

Sejam∞∑

n=1

an e∞∑

n=1

bn duas séries de termos positivos:

i) Se a série∞∑

n=1

bn converge e an ≤ bn, ∀ n ∈ N+, então a série∞∑

n=1

an também converge.

ii) Se a série∞∑

n=1

an diverge e an ≤ bn, ∀ n ∈ N+, então a série∞∑

n=1

an também diverge.

Sendo as afirmações i) e ii) equivalentes, é suficiente mostra apenas uma delas.

Demonstração. i)

Sejam {sn} e {tn} as seqüências de somas parciais das séries∞∑

n=1

an e∞∑

n=1

bn respectivamente.

Como {tn} é uma seqüência convergente, ela é limitada e; sendo 0 ≤ sn ≤ tn, ∀n ∈ N+ então

{sn}, além do monótona também é limitada e, portanto convergente.

Logo a série∞∑

n=1

an correspondente é convergente.

Observação 5.7.

Embora os resultados que envolvem uma série dominada por outra sejam, em geral, enuncia-

dos e demonstrados, admitindo-se que esse domínio ocorra para todos os termos das séries, eles

continuam sendo válidos quando uma das séries é dominada pela outra a partir de uma certa

ordem.

Exemplo 5.33.

Determine a convergência ou divergência da série∞∑

n=1

1 + n

1 + n2

Solução.

Como n ≥ 1, então 1 + n2 ≤ n+ n2 ≤ n(n+ 1), logo1 + n

1 + n2≥ 1

n, ∀ n ∈ N+

Sendo a série∞∑

n=1

1

né divergente, segue pelo critério de comparação que a série

∞∑

n=1

1 + n

1 + n2

também diverge.

Exemplo 5.34.


(a) Da relação Lnn ≥ 1, ∀ n ≥ 3, segue queLnn

n≥ 1

n, n ≥ 3 e, como a série harmônica

∞∑

n=1

1

n

diverge, segue pelo critério de comparação que a série∞∑

n=1

Lnn

ntambém diverge.

(b) As séries∞∑

n=1

1

n!e

∞∑

n=1

1

2n2são convergentes, pois elas são dominadas respectivamente, pelas

séries∞∑

n=1

1

2n−1e

∞∑

n=1

1

n2 + n.

Exemplo 5.35.

Se a série dominada for convergente, então a série dominante pode convergir ou divergir.

A série convergente∞∑

n=1

1

n2é dominada pela série divergente

∞∑

n=1

1

n.

Exemplo 5.36.


n=1

1

npé divergente se p ∈ R, p ≤ 1.

Demonstração.

Com efeito, se p ≤ 1 ⇒ np ≤ n, ∀ n ∈ N+, logo1

n≤ 1

np∀ n ∈ N+. Como a série

harmônica∞∑

n=1

1

né divergente, então a série

∞∑

n=1

1

npp ∈ R, p ≤ 1 também é divergente.

5.4.2 Critério de integral.

Propriedade 5.10. Critério da integral.

Consideremos a função f : [1, +∞) −→ R contínua e suponhamos que f seja não negativa e

monótona decrescente; isto é:

(a) f(x) ≥ 0, ∀ x ≥ 1.

(b) f(x) ≥ f(y), sempre que 1 ≤ x ≤ y.

Nessas condições a série∞∑

n=1

f(n) é convergente se, e somente se, a integral

∞∫

n=1

f(n) for

convergente.

Demonstração.

Seja sn = f(1)+f(2)+f(3)+· · ·+f(n) para n ∈ N+, e consideremos a função F : [1,+∞) −→R definida por:

F (t) =

t∫

1

f(x)dx para t ∈ [1, +∞)

como f(x) é contínua, pelo Teorema do Valor Médio para Integrais existe α ∈ R tal quek+1∫

k

f(x)dx = [(k + 1) − k]f(α) = f(α) sendo que α ∈ (k, k + 1); isto é k < α < k + 1.


Pelo fato ser f(x) decrescente não negativa, temos:

0 ≤ f(k + 1) ≤k+1∫

k

f(x)dx ≤ f(k)

para k ∈ N+. Assim obtemos:

F (n+ 1) =

2∫

1

f(x)dx+

3∫

2

f(x)dx+

4∫

3

f(x)dx+ · · · +n+1∫

n

f(x)dx

≤ f(1) + f(2) + f(3) + · · · + f(n) = sn

≤ f(1) +

2∫

1

f(x)dx+

3∫

2

f(x)dx+

4∫

3

f(x)dx+ · · · +n∫

n−1

f(x)dx = f(1) + F (n)

De onde:

F (n+ 1) ≤ sn ≤ f(1) + F (n) para n ∈ N+ (5.18)

Suponhamos que a integral

∞∫

1

f(x)dx seja convergente. Como F (x) é decrescente, temos em

(5.18) que:

sn ≤ f(1) + F (n) ≤ f(1) + limn→∞

F (n) ≤ f(1) +

∞∫

1

f(x)dx

para todo n ∈ N+. Assim a seqüência de somas parciais {sn} é limitada e, sendo monótona, pela

Propriedade (5.8) segue que a série∞∑

n=1

f(n) é convergente.

Inversamente.


n=1

f(n) seja convergente então existe N ∈ R tal que sn ≤ N para

todo n ∈ N+.

De (5.18) temos que F (n+ 1) ≤ N para todo n ∈ N+.

Como F (t) é decrescente, isto implica que F (t) ≤ N para todo t ∈ [1, +∞). Sendo f(x)

positivo, deduzimos de (5.18) que a integral imprópria

∞∫

1

f(x)dx converge.

Além de dar informação relativa à convergência de uma série, o critério da integral pode ser

usado para calcular a soma da série.

Exemplo 5.37.

A função f(x) =1

x3atende as condições da propriedade no intervalo [1, ∞). De fato, nesse

intervalo a função f(x) é claramente contínua e não negativa e como sua derivada f ′(x) =−3

x4

é negativa para todo x ≥ 1, então f(x) é decrescente.


A integral imprópria

∞∫

1

f(x)dx = 1 é convergente, por conseguinte a série∞∑

n=1

1

n3converge.

Observação 5.8.

Quando utilizamos o critério da integral, o valor da integral imprópria não é necessáriamente

igual ao valor da soma da série, no caso de esta convergir.

Propriedade 5.11.

Consideremos a função f : [1, +∞) −→ R contínua e suponhamos que f(x) seja não negativa

e monótona decrescente. Se a integral imprópria

∞∫

1

f(x)dx converge, então a série∞∑

n=1

f(n)

converge, e:

∞∫

1

f(x)dx ≤∞∑

n=1

f(n) ≤ f(1) +

∞∫

1

f(x)dx.


Exemplo 5.38.


n=1

1

np, p ∈ R converge se p > 1 e diverge se p ≤ 1.

Demonstração.

Tem-se f(x) =1

xp, e observe que, quando p 6= 1:

+∞∫

1

f(x)dx =1

1 − p·[

1

xp−1

] ∣∣∣∣

m

1

=1

1 − p

[

limm→+∞

1

mp−1− 1

]

(5.19)

Na igualdade (5.19) quando p > 1 tem-se que

∞∫

1

f(x)dx =1

p− 1, logo a série

∞∑

n=1

1

xpconverge

quando p > 1, p ∈ R.

Para o caso p < 1, na igualdade (5.19) tem-se que

∞∫

1

f(x)dx = −∞, logo a série∞∑

n=1

1

xp

diverge quando p < 1, p ∈ R.

Se p = 1 ⇒∞∫

1

f(x)dx = Lnx∣∣∣

+∞

1= lim

m→+∞Lnm = +∞.

Exemplo 5.39.

A série∞∑

n=1

e−n é convergente.

Com efeito,

∞∫

1

e−xdx = − e−x∣∣∣

+∞

1=

1

e


5.4.3 Critério de comparação no limite.

Propriedade 5.12. Critério de comparação no limite.

Sejam∞∑

n=1

an e∞∑

n=1

bn duas séries de termos positivos e seja L = limn→∞

anbn

.

i) Se L > 0, então as séries∞∑

n=1

an e∞∑

n=1

bn são ambas convergentes ou ambas divergentes.

ii) Se L = 0 e∞∑

n=1

bn converge, então∞∑

n=1


iii) Se L = ∞ e∞∑

n=1

bn diverge, então∞∑

n=1

an também diverge.

Demonstração.

A demonstração é consequência imediata da Propriedade (5.9) observe que em i) e ii) a série∞∑

n=1

bn a partir de um certo momento, passa a dominar a série∞∑

n=1

an, enquanto em iii) a série

∞∑

n=1

bn passa a ser dominada pela série∞∑

n=1

an.

Por exemplo, em i), fixando ε =1

3na definição de limite de seqüência encontramos um índice

n0 tal que1

3bn ≤ an ≤ 4

3bn, ∀ n ≥ n0.

Exemplo 5.40.

Determine se a série∞∑

n=1

1

nnconverge ou diverge.

Solução.

Seja an =1

nne consideremos bn =

1

2n; sabe-se que a série geométrica

∞∑

n=1

1

2né convergente

(r =1

2< 1).

Então, limn→∞

anbn

= limn→∞

1

nn1

2n

= limn→∞

2n

nn= lim

n→∞

[2

n

]n

= 0.

Pela parte ii) da Propriedade (5.12) segue que a serie∞∑

n=1

1

nné convergente.

Exemplo 5.41.

Estamos a estudar a convergência da série∞∑

n=1

7√n

6n− 3, logo an =

7√n

6n− 3.

Observe que quando bn =1√n

, resulta limn→∞

7√n

6n−31√n

= limn→∞

7√n

6n− 3·√n

1=

7

6> 1.


Como a série∞∑

n=1

1√n

diverge, então∞∑

n=1

7√n

6n− 3também diverge.

Observação 5.9.

Observemos que a propriedade associativa não é válida para qualquer soma infinita.

Por exemplo, a série∞∑

n=1

(−1)n torna-se convergente quando seus termos são agrupados de

modo conveniente. De fato:

(−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + · · · + ((−1)n + (−1)n+1) + · · ·+ = 0

Este fenômeno não ocorre para série de termos positivos convergentes como mostra a seguinte

propriedade.

Propriedade 5.13. Do reagrupamento.

O valor da soma de uma série de termos positivos convergente, não é alterado por um rea-

grupamento de seus termos.

Demonstração.

Seja∞∑

n=1

an uma série convergente para S, e seja∞∑

n=1

bn a série obtida por reagrupamento.

Se {sn} e {tn} denotam, respectiva,mente, as somas parciais de∞∑

n=1

an e∞∑

n=1

bn, então a

seqüência {sn} converge para S e para cada n temos tn ≤ S.

Ora, a seqüência {tn} é monótona e limitada por S, logo convergente. Se T é seu limite,

então T ≤ S e, invertendo o raciocínio podemos analisar a série∞∑

n=1

an como obtida de∞∑

n=1

bn

por reagrupamento, e uma repetição do argumento acima descrito implica que S ≤ T .

Por tanto S = T .

5.4.4 Critério de Raabe

Propriedade 5.14.

Seja∞∑

n=1

an uma série de termos positivos, se k = limn→∞

n

[

1 − an+1

an

]

então:

1. k > 1, a série∞∑

n=1

an converge.

1. k < 1, a série∞∑

n=1

an diverge

1. k = 1 nada a concluir.



Exemplo 5.42.

Determine quais das seguintes séries são convergentes, ou quais são divergentes:

1.∞∑

n=1

1

n2 + 12.

∞∑

n=1

n2 − 1

2n2 + 1

3.∞∑

n=1

a

4n2 − 1

Solução. 1.

Tem-se que an =1

n2 + 1e an+1 =

1

(n+ 1)2 + 1.

Logo k = limn→∞

n

[

1 − an+1

an

]

= limn→∞

n

[

1 − n2 + 1

(n+ 1)2 + 1

]

=

= limn→∞

2n2 + n

n2 + 2n+ 2= 2 > 1.

De acordo com a Propriedade (5.14) a série∞∑

n=1

1

n2 + 1é convergente.

Solução. 2.

Observe que para todo n ∈ N+ tem-se:

an =n2 − 1

2n2 + 1e an+1 =

(n+ 1)2 − 1

2(n+ 1)2 + 1=

n2 + 2n

2n2 + 4n+ 3

De onde: k = limn→∞

n

[

1 − an+1

an

]

=

= limn→∞

n

[

1 − n2 + 2n

2n2 + 4n+ 3· 2n2 + 1

n2 − 1

]

= limn→∞

−6n2 − 3n

(n2 − 1)(2n2 + 4n+ 3)= 0 < 1.


n=1

n2 − 1

2n2 + 1é divergente.

Solução. 3.

Na série∞∑

n=1

a

4n2 − 1tem-se que: an =

a

4n2 − 1e an+1 =

a

4(n+ 1)2 − 1.

Pelo critério da Propriedade (5.14) tem-se:

k = limn→∞

n

[

1 − an+1

an

]

= limn→∞

n

[

1 − a

4(n+ 1)2 − 1· 4n2 − 1

a

]

=

k = limn→∞

n

[8n+ 4

4n2 + 3n+ 3

]

= limn→∞

[

1 − 8n2 + 4n

4n2 + 3n+ 3

]

= 2 > 1


n=1

a

4n2 − 1é convergente.

Exemplo 5.43.


A seguinte série∞∑

n=1

cos(2n+ 1

n2 + n

)

· sen( 1

n2 + n

)

é convergente., calcular sua soma.

sol

Aplicando a seguinte identidade 2senA. · cosB = sen(A+B) + sen(A−B) temos:

an = cos(2n+ 1

n2 + n

)

· sen( 1

n2 + n

)

=1

2

[

sen(2n+ 2

n2 + n

)

+ sen( −2n

n2 + n

)]

an =1

2

[

sen( 2

n

)

− sen( 2

n+ 1

)]

Assim. sn = a1 + a2 + a3 + · · · ,. então:

sn =1

2

[

sen 2 − sen2

n+ 1

]

⇒ limn→∞

sn =sen 2

2

Portanto,∞∑

n=1

cos(2n+ 1

n2 + n

)

· sen( 1

n2 + n

)

=sen 2

2. �


Exercícios 5-3

1. Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:

1.∞∑

n=1

1

n2 + 12.

∞∑

n=1

1

n3 + 4n3.

∞∑

n=1

1√n+ 1

4.∞∑

n=1

1

Lnn5.

∞∑

n=1

1

n√n+ 1

6.∞∑

n=1

1

nLnn

7.∞∑

n=1

[| cos(4πn + π

2 ) + 4|]4n

8.∞∑

n=1

(1

3n− 1

n5) 9.

∞∑

n=1

1

(2n)n

10.∞∑

n=1

e−n − en

611.

∞∑

n=1

1√n2 + n

12.∞∑

n=1

n!

(5n)!

13.∞∑

n=1

lnn

5n14.

∞∑

n=1

n

en2 15.∞∑

n=1

(−1)n√n+ 1

3n2 + 2

16.∞∑

n=1

Lnn

n217.

∞∑

n=1

Lnn

n18.

∞∑

n=1

1

n · 2n

19.∞∑

n=1

1√n2 + 4

20.∞∑

n=1

1

(n+ 1)(n+ 2)21.

∞∑

n=1

n · e−n

22.∞∑

n=1

1

2n− 123.

∞∑

n=1

1

(2n+ 1)224.

∞∑

n=1

n− 1

n

25.∞∑

n=1

n+ 1

n+ 226.

∞∑

n=1

arctann

n227.

∞∑

n=1

1

n(Lnn)2

2. Usando o critério de comparação no limite, determine se as séries∞∑

n=1

e−n2

e∞∑

n=1

sen4( 1

n

)

são convergentes. Sugestão compará-las com as séries∞∑

n=1

1

n2e

∞∑

n=1

1

n4

3. Determine quais das séries convergem ou divergem:

∞∑

i=1

|[cos 2πn + 1 |]2n

∞∑

i=1

senh(2n)

n3

∞∑

i=1

7

(4n− 3)(4n+ 1)

∞∑

i=1

[2 + (−1)2n+3]


4. Use o critério da integral para determinar se a série dada converge ou diverge:

1.∞∑

i=1

1

n+ 22.

∞∑

i=1

e−n 3.∞∑

i=1

ne−n

4.∞∑

i=1

1

4n+ 35.

∞∑

i=1

1

n2 + 16.

∞∑

i=1

1

2n+ 1

7.∞∑

i=1

Lnn

n8.

∞∑

i=1

n

n2 + 39.

∞∑

i=1

nk−1

nk + c, k ∈ N+

10.∞∑

i=1

nke−n, k ∈ N+ 11.∞∑

i=1

1

n312.

∞∑

i=1

13√n

5. A função zeta de Riemann para números reais é dada por : ξ(x) =∞∑

i=1

n−x. Determine

o domínio dessa função.

6.

7.


5.5 SÉRIE ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE

Definição 5.3. Série absolutamente convergente.

Dizemos que uma série∞∑

n=1

an é absolutamente convergente, se a série∞∑

n=1

|an| é convergente.

Observe, se an ≥ 0, ∀n ∈ N+ ⇒ |an| = an, assim, a série é∞∑

n=1

an é absolutamente con-

vergente. Para o caso de alguns termos an positivos e negativos, a convergência e a convergência

absoluta não é a mesma.

Exemplo 5.44.

Toda série convergente, cujos termos não mudam de sinal é absolutamente convergente. Em

particular quando −1 < r < 1, a série geométrica∞∑

n=1

rn é absolutamente convergente, pois

|rn| = |r|n, com 0 ≤ |r| < 1.

A propriedade seguinte pode ser interpretada assim:

“se tomarmos uma série convergente cujos termos são todos positivos e, de ummodo completamente arbitrário, trocamos as sinais de alguns dos seus termos, obter-emos ainda uma série convergente”.

Propriedade 5.15.

Toda série absolutamente convergente, é convergente.

Demonstração.

Seja∞∑

n=1

an uma série absolutamente convergente, para cada n ∈ N+, seja bn = |an| − an.

Por hipótese, a série∞∑

n=1

|an| é convergente, além disso como:

0 ≤ bn = |an| − an ≤ |an| + |an| = 2|an|

para todo n ∈ N+. Logo deduzimos pelo critério de comparação que a série∞∑

n=1

bn é convergente.

Mais, an = |an| − bn e pela Propriedade (5.12) segue que a série∞∑

n=1

an é convergente.

Exemplo 5.45.

A série∞∑

n=1

(−1)n

n2é absolutamente convergente. Observe que:

∣∣∣∣

(−1)n

n2

∣∣∣∣=

1

n2, ∀ n ∈ N+

Como∞∑

n=1

1

n2é convergente, segue-se que a série

∞∑

n=1

(−1)n

n2é absolutamente convergente.


Exemplo 5.46.

A série∞∑

n=1

(−1)n

nnão é absolutamente convergente. Observe que:

∣∣∣∣

(−1)n

n

∣∣∣∣=

1

n, ∀ n ∈ N+

Como∞∑

n=1

1

né divergente, segue-se que a série

∞∑

n=1

(−1)n

nnão é absolutamente convergente.

Mais ainda, mostraremos na Seção 5.6 que a série∞∑

n=1

(−1)n

né convergente.

5.5.1 Condicionalmente convergente.

Definição 5.4. Série condicionalmente convergente.

Dizemos que uma série∞∑

n=1

an é condicionalmente convergente, quando for convergente, e a

série∞∑

n=1

|an| for divergente.

Exemplo 5.47.

A série∑

n→∞(−1)n

1

n2é condicionalmente convergente.

Com efeito, a série∑

n→∞(−1)n

13√n

converge pelo critério das séries alternadas, não obstante

∑

n→∞

∣∣∣∣(−1)n

13√n

∣∣∣∣=∑

n→∞

13√n

diverge, pois é uma série p com p =1

3.

Propriedade 5.16.

Seja∞∑

n=1

an uma série dada de números reais, e definimos:

pn =|an| + an

2, qn =

|an| − ann ∈ N+ (5.20)

i) Se∞∑

n=1

an é condicionalmente convergente então,∞∑

n=1

pn e∞∑

n=1

qn são ambas divergentes.

ii) Se∞∑

n=1

|an| é convergente então,∞∑

n=1

pn e∞∑

n=1

qn são ambas convergentes, e temos:∞∑

n=1

an =

∞∑

n=1

pn −∞∑

n=1

qn.

Demonstração. i)

Consideremos an = pn − qn, |an| = pn + qn.

Suponhamos que se∞∑

n=1

an seja convergente e∞∑

n=1

|an| seja divergente.


Caso∞∑

n=1

qn seja convergente então∞∑

n=1

pn também é convergente, pois pn = an + qn. De

modo análogo, se∞∑

n=1

pn é convergente então∞∑

n=1

qn também é convergente.

Por conseguinte, se uma ou outra das séries convergem, ambas devem convergir, e deduzimos

que a série∞∑

n=1

|an| converge pelo fato |an| = pn + qn.

Esta contradição mostra i). �

Demonstração. ii)

Para demonstrar ii) utilizamos as igualdades em (5.20) junto com a Propriedade (5.5)

A Propriedade (5.13) pode ser considerada de forma mais geral para as séries absolutamente

convergentes.

Propriedade 5.17.

Se a série∞∑

n=1

an é absolutamente convergente com soma S, e∞∑

n=1

bn é obtida de∞∑

n=1

an por

um reagrupamento, então∞∑

n=1

bn é absolutamente convergente e tem soma S.

Demonstração.

É claro que:

0 ≤∞∑

n=1

|bn| ≤∞∑

n=1

|an|, ∀ n ∈ N+

de onde segue que as somas parciais da série∞∑

n=1

|bn| formam uma seqüência monótona crescente

e limitada, sendo portanto convergente.

Assim, a série∞∑

n=1

bn converge absolutamente, e resta mostrar que ela tem soma S.

Denotemos, por {sn} e {tn} as somas parciais das séries∞∑

n=1

an e∞∑

n=1

bn, respectivamente

e consideremos ε > 0 dado. A convergência absoluta da série∞∑

n=1

an garante a existência de um

índice n tal que

|sn − S| < ε

2e |an+1| + |an+2| + |an+3| · · · + |an+p| <

ε

2, ∀ p ∈ N+

Se m é um índice suficientemente grande, então a soma parcial tn contém todos os termos

aj , 1 ≤ j ≤ n, e certamente outros, e dessa forma podemos escrever:

tm = a1 + a2 + a3 + · · · + an + ak1 + ak2 + · · · + akr

onde k1, k2, k3, · · · kr são inteiros maiores do que n. Se n+p0 é o maior dos números k1, k2, k3, · · · kr


então:

|tm − sn| ≤ |ak1 | + |ak2 | + |ak3 | · · · + |akr | ≤ |an+1| + |an+2| + |an+3| · · · + |an+p0 | <ε

2

e usando esta desigualdade obtemos:

|tm − S| ≤ |tm − sn| + |sn − S| < ε

2+ε

2= ε

A seguinte propriedade sobre o produto de Cauchy para séries absolutamente convergentes,

será apresentado sem demonstração, o leitor interessado pode consultar [?].

Propriedade 5.18.

Sejam∞∑

n=1

an é∞∑

n=1

bn séries absolutamente convergentes, então:

i) A série∞∑

n=1

anbn é absolutamente convergente.

ii) O produto de Cauchy∞∑

n=1cn das séries

∞∑

n=1

an é∞∑

n=1

bn é absolutamente convergente, e:

∞∑

n=1

cn =( ∞∑

n=1

an

)( ∞∑

n=1

an

)

O critério de convergência a seguir, embora não conclusivo em alguns casos, constitui-se

no mais importante teste de convergência para séries numéricas, não apenas do ponto de vista

técnico, mais também como nas aplicações às “Séries de Potências”.

5.5.2 Critério de comparação.

Propriedade 5.19. Critério de comparação.

Sejam∞∑

n=1

an tais que∞∑

n=1

bn duas séries e |an| ≤ K|bn|, ∀ n ∈ N+, K > 0:

i) Se a série∞∑

n=1

bn é absolutamente convergente, então a série∞∑

n=1

an também é absolutamente

convergente.

ii) Se a série∞∑

n=1

an não é absolutamente convergente, então a série∞∑

n=1

an não é absolutamente

convergente.

Demonstração. i)

Se a série∞∑

n=1

|bn| é convergente, pela Propriedade (5.12) segue-se que∞∑

n=1

|an| é convergente,

de onde pela Propriedade (5.15) segue que∞∑

n=1

an é absolutamente convergente.


A demonstração de ii) é exercício para o leitor.

Exemplo 5.48.

A série∞∑

n=1

sen n

2né absolutamente convergente.

É imediato que∣∣∣sen n

2n

∣∣∣ ≤ 1

2npara todo n ∈ N+. Como a série

∞∑

n=1

1

2né absolutamente

convergente, pela Propriedade (5.19), a série∞∑

n=1

sen n


Exemplo 5.49.

A série∞∑

n=1

(−1)nn− 2

n3 + 1é absolutamente convergente.

Com efeito,

∣∣∣∣(−1)n

n− 2

n3 + 1

∣∣∣∣≤ n+ 2

n3 + 1para todo n ∈ N+.

Por outro lado, como n+ 2 ≤ 3n e n3 < n3 + 1 então temos que:

∣∣∣∣(−1)n

n− 2

n3 + 1

∣∣∣∣≤ n+ 2

n3 + 1≤ 3n

n3=

3

n2

Como a série∞∑

n=1

(−1)n3

n2é convergente, obtemos que a série

∞∑

n=1

(−1)nn− 2

n3 + 1é absoluta-

mente convergente.

Observação 5.10.

Se a série∞∑

n=1

an é absolutamente convergente, então ela é convergente e:

∣∣∣∣∣

∞∑

n=1

an

∣∣∣∣∣≤

∞∑

n=1

|an|

Propriedade 5.20.

Seja∞∑

n=1

bn una série absolutamente convergente, com bn 6= 0 para todo n ∈ N+. Se a seqüên-

cia{anbn

}

for limitada (em particular se for convergente), então a série∞∑

n=1

an será absolutamente

convergente

Demonstração.

Pelo fato a seqüência{anbn

}

ser limitada, então existe C ∈ R tal que a seqüência∣∣∣anbn

∣∣∣ ≤

C ⇒ |an| ≤ C|bn| para todo n ∈ N+.

Pela Propriedade (5.19) segue que a série∞∑

n=1



5.5.3 Critério D’Alembert’s.

Propriedade 5.21. Critério D’Alembert’s1.

Seja an 6= 0 para todo n ∈ N+ e suponhamos que limn→∞

∣∣∣∣

an+1

an

∣∣∣∣= r ∈ R.

i) Se r < 1, a série∞∑

n=1


ii) Se r > 1, a série∞∑

n=1

an diverge.

Demonstração. i)

Seja r < 1, e s ∈ R de modo que r < s < 1. Como limn→∞

∣∣∣∣

an+1

an

∣∣∣∣= r < s, existe p ∈ N+ tal

que

∣∣∣∣

an+1

an

∣∣∣∣< s para n ≥ p.

De onde |ap+1| < s|ap|, também |ap+2| < s|ap+1| e assim sucessivamente, obtém-se que

|ap+k| ≤ sk|up| para k ∈ N+.

Seja K = max .{ |ai|si

/.i = 1, 2, 3, · · · p } então:

|an| ≤ K · sn para todo n ∈ N+

Como 0 < s < 1, e sabemos que∞∑

n=1

sn converge; logo pelo critério de comparação∞∑

n=1

|an|

também converge.

Portanto∞∑

n=1

an é absolutamente convergente. �

Demonstração. ii)

Seja r > 1 e consideremos t ∈ R tal que 1 < t < r, logo existe p ∈ N+ que satisfaz

∣∣∣∣

an+1

an

∣∣∣∣> t

para n ≥ p.

de modo análogo mostra-se que:

|ap+k| ≥ tk · |ap| para k ∈ N+

Temos que:∞∑

n=1

tk · |ap| ≤∞∑

n=1

|ap+k|.

Sendo t > 1, e |ak| > 0, a série∞∑

k=1

tk · |ap|diverge quando k → ∞; logo∞∑

k=1

|ap+k| também

diverge.

Portanto,∞∑

n=1

an

Observação 5.11.

1Também conhecido como Critério da razão.


1. Se o limite limn→∞

∣∣∣∣

an+1

an

∣∣∣∣

não existe ou for igual a 1, o critério D’Alembert’s não pode ser

usado, e teríamos que recorrer a outros métodos.

2. Segue do critério de D’Alembert’s e da Propriedade (5.2) que se {an} é uma seqüência de

números não negativos e se:

limn→∞

∣∣∣∣

an+1

an

∣∣∣∣< 1, ⇒ lim

n→∞an = 0

3. Se limn→∞

∣∣∣∣

an+1

an

∣∣∣∣= +∞, as séries divergem.

Fica como exercício para o leitor a demonstração da parte 3. desta observação.

Exemplo 5.50.

A série∞∑

n=1

n


Com efeito, seja an =n

2npara n ∈ N+, então:

∣∣∣∣

an+1

an

∣∣∣∣=n+ 1

2n· 2n

n=

(1 +1

n)

2

Calculando o limite, r = limn→∞

∣∣∣∣

an+1

an

∣∣∣∣=

1

2.

Portanto a série∞∑

n=1

n


Exemplo 5.51.

A série∞∑

n=1

an

n!é absolutamente convergente, para todo a ∈ R.

Com efeito, se a = 0 é imediato.

Suponhamos que a 6= 0, e seja an =an

n!para n ∈ N+, então:

∣∣∣∣

an+1

an

∣∣∣∣=

∣∣∣∣

an+1

(n+ 1)!· n!

an

∣∣∣∣=

|a|n+ 1


∣∣∣∣

an+1

an

∣∣∣∣= lim

n→∞|a|n+ 1

= 0.


n=1

an

n!é absolutamente convergente.

Exemplo 5.52.

A série∞∑

n=1

3n

2n+ 3é divergente.


Seja an =3n

2n+ 3para todo n ∈ N+, logo

∣∣∣∣

an+1

an

∣∣∣∣=

∣∣∣∣

3n+1

2n+ 5· 2n+ 3

3n

∣∣∣∣= 3 ·

2 +3

n

2 +5

2n


∣∣∣∣

an+1

an

∣∣∣∣= 3.


n=1

3n

2n+ 3é divergente.

5.5.4 Critério de Cauchy.

Propriedade 5.22. Critério de Cauchy2.

Suponhamos que limn→∞

n√

|an| = r ∈ R.

i) Se r < 1, a série∞∑

n=1


ii) Se r > 1, a série∞∑

n=1

an diverge.

Demonstração. i)

Seja r < 1, e s ∈ R de modo que r < s < 1. Como limn→∞

n√

|an| = r < s, existe p ∈ N+ tal

que | n√

|an|| < s para n ≥ p.

Seja K = max .{ 1,|ai|si

/.i = 1, 2, 3, · · · p } então:

|an| ≤ K · sn para todo n ∈ N+

Como 0 < s < 1, e sabemos que∞∑

n=1

sn converge; logo pelo critério de comparação∞∑

n=1

|an|

também converge.

Portanto∞∑

n=1

an é absolutamente convergente. �

Demonstração. ii)

Se r > 1, então existe p ∈ N+ tal que n√

|an| ≥ 1 para n ≥ p.

Como |an| ≥ 1 para n ≥ p, seqüência {|an|} não converge para zero, pela Propriedade (5.2)

esta série diverge.


n√

|an| diverge se r > 1.

Observação 5.12.

1. Se o limite limn→∞

n√

|an| não existe ou for igual a 1, o critério de Cauchy não pode ser usado,

e teríamos que recorrer a outros métodos.

2Também conhecido como Critério da Raiz


2. Segue do critério de Cauchy e da Propriedade (5.2) que se {an} é uma seqüência se:

limn→∞

n√

|an| < 1, ⇒ limn→∞

an = 0

3. Se limn→∞

n√

|an| = +∞, as séries divergem.

Exemplo 5.53.


n=1

n


Demonstração.

Aplicando o critério de Cauchy e a Propriedade (4.6)tem-se que:

limn→∞

n

√n

2n=

1

2limn→∞

n√n =

1

2· exp( lim

n→∞Lnn

n) =

1

2· e0 =

1

2

Segundo o critério de Cauchy, a série∞∑

n=1

n


Exemplo 5.54.

A série∞∑

n=1

npan convergente absolutamente se |a| < 1, e é divergente se |a| > 1.

Com efeito, n√

|npan| = ( n√n)p|a| para n ∈ N+, de onde lim

n→∞n√

|npan| = |a|.Se |a| < 1 pelo critério de Cauchy, a série é absolutamente convergente.

Se |a| > 1 a série diverge.

A propriedade seguinte relaciona os critérios de D’Alembert’s e Cauchy, para determinar a

convergência de seqüências.

Propriedade 5.23.

Seja {an} uma seqüência cujos termos são diferentes de zero. Se limn→∞

∣∣∣∣

an+1

an

∣∣∣∣

= L, então

limn→∞

n√

|an| = L

Demonstração.

Sem perda de generalidade podemos supor que an > 0 para todo n ∈ N+.

Dado ε > 0, fixemos K, M tais que L − ε < K < L < M < L + ε. Existe p ∈ N+ tal que

n ≥ p ⇒ K <an+1

an< M .

Multiplicando ambos os membros as n−p desigualdadesK <ap+iap+i−1

< M, i = 1, 2, · · · , (n−

p), obtemos Kn−p <anap

< Mn−p para n > p.

Ponhamos α =apKp

e β =apMp

.

Então Knα < an < Mnβ. Extraindo raízes, temos que K n√α < n

√an < M n

√β para todo

n > p.

Considerando que L − ε < K, M < L + ε, limn→∞

n√α = 1 e lim

n→∞n√β = 1, concluímos que

existe n0 > p tal que L− ε < K n√α e M n

√β < L+ ε sempre que n > n0.


Assim, L− ε < n√an < L+ ε sempre que n > n0. isto mostra a propriedade quando L > 0.

Para o caso L = 0, é suficiente somente considerar M e não K e M .

Exemplo 5.55.

Por exemplo, dada a seqüência{nn

n!

}

estamos a determinar a convergência da seqüência{ n

n√n!

}

.

Consideremos an =nn

n!, então n

√

|an| =n

n√n!

.

Comoan+1

an=

(n+ 1)(n+1)

(n+ 1)!· n!

nn=

(n+ 1)(n+ 1)n

(n+ 1)n!· n!

nn=(

1 +1

n

)n, então, no limite

limn→∞

an+1

an= lim

n→∞

(

1 +1

n

)n= e.


n√n!

}

converge para a constante e.

Propriedade 5.24. Riemann.

Seja∞∑

n=1

an uma série condicionalmente convergente. Alterando convenientemente ordem dos

termos da série dada, podemos fazer que sua soma fique igual a qualquer número pre-fixado.

Demonstração.

Seja∞∑

n=1

an a série dada. Fixado o número c, começamos a somas os termos positivos de

∞∑

n=1

an, na sua ordem natural, um a um, parando quando, ao somar an1 , a soma pela primeira

vez ultrapasse o número c (isto é possível, pois a soma dos termos positivos de∞∑

n=1

an é +∞).

Fazemos o mesmo processo com os termos negativos até parar quando somando an2 que é

negativo fique o mais próximo possível inferior que c (isto é possível, pois a soma dos termos

negativos de∞∑

n=1

an é −∞).

Prosseguindo analogamente, obtemos uma nova série, cujos termos são os mesmos de∞∑

n=1

an

numa ordem diferente.

As reduzidas desta nova série oscilam em torno do valor c, de tal modo que (a partir da

ordem n1) a diferença entre cada uma delas e c é inferior, em valor absoluto ao termo ank, onde

houve a última mudança de sinal.

Ora limk→∞

ank= 0 porque a série

∞∑

n=1

an converge.

Portanto as reduzidas da nova série convergem para c.

Exemplo 5.56.


Exercícios 2-4

1. Determine quais das seguintes séries são absolutamente convergentes. Quais são conver-

gentes? Quais são divergentes?

1.∞∑

n=1

(−1)n−1 1

2n− 12.

∞∑

n=1

(−1)n1

(2n)23.

∞∑

n=1

(−1)n1√n

4.∞∑

n=1

(−1)n1

n+ 35.

∞∑

n=1

cosn

n2 + 16.

∞∑

n=1

n3 + 2

n4 + 1

7.∞∑

n=1

(−1)nn

Lnn8.

(−1)n

n2 − n9.

∞∑

n=1

(−1)nsen(n−3/2)

10.∞∑

n=1

(−1)nn

n+ 111.

∞∑

n=1

n3

2n12.

∞∑

n=1

n23n

13.∞∑

n=1

(−1)nn2

2n14.

∞∑

n=1

(−2)n

n!15.

∞∑

n=1

senhn

n2

16.∞∑

n=1

nn

2nn!17.

∞∑

n=1

nn

3nn!18.

∞∑

n=1

n!

10n

19.∞∑

n=1

(−1)nn!

(2n− 1)!20.

∞∑

n=1

22n

(2n)!21.

∞∑

n=1

(n− 3)2

n4

22.

∞∑

n=1

(2n+ 1)!

(3n)!23.

∞∑

n=1

2n2

n!24.

∞∑

n=1

1

(2n+ 1)!

2. Suponha mostrado que limn→∞

nn√n!

= e. Usando este resultado, discuta a convergência das

séries:

1.∞∑

n=1

nn

2nn!2.

∞∑

n=1

nn

3nn!3.

∞∑

n=1

(2n)!

(2n)nn!

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.


12.

13.

14.

15.

16.

17.


5.6 SÉRIES ALTERNADAS

Para uma série de termos positivos∞∑

n=1an a seqüência {sn} de somas parciais é crescente, e sua

convergência passa a ser uma conseqüência de sua limitação. Precisamente, esse foi o argumento

usado na demonstração do critério de comparação e o da integral, os quais são válidos para series

de termos positivos.

Observe que a série∞∑

n=1

−2n não é convergente, embora seja dominada pela série∞∑

n=1

1

n2que

é convergente.

Definição 5.5.

Uma série cujos termos são alternadamente positivos e negativos, é denominada “série alter-

nada”

Séries alternadas encontramos quando estamos a estudar fenômenos ondulatórios, cujos mod-

elos matemáticos tem por solução funções representadas mediante séries trigonométricas (séries

de Fourier) da forma:

u(x, t) =∞∑

n=1

(

an cosnπt

L+ bnsen

nπt

L

)

sennπt

L(5.21)

onde os coeficientes an e bn que aparecem na série representam a posição e a velocidade inicias,

respectivamente, de um ponto da onda.

As séries alternadas se apresentam em uma das seguintes formas:

∞∑

n=1

(−1)nan ou∞∑

n=1

(−1)n−1an

onde an são termos de números reais positivos.

5.6.1 Critério de Leibnitz.

Propriedade 5.25. Critério de Leibnitz.

Seja {an} uma seqüência de números tais que:

i) a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ · · · ≥ 0 para todo n ∈ N+

ii) limn→∞

an = 0

Então a série∞∑

n=1

(−1)n−1an é convergente

Demonstração.

Seja {sn} uma seqüência de somas parciais de∞∑

n=1

(−1)n−1an, então:

s2n = (a1 − a2) + (a3 − a4) + (a5 − a6) + · · · + (a2n−1 − a2n)


Como (ak − ak+1) ≥ 0 então a seqüência {s2n} é crescente.

Por outro lado, temos:

s2n = a1 − (a2 − a3) − (a4 − a5) − (a6 − a7) − · · · − (a2n−2 − a2n−1) − a2n

Como (ak − ak+1) ≥ 0 então a seqüência {s2n} é limitada por a1, isto é s2n ≤ a1 para todo

n ∈ N+.

Sendo {sn} uma seqüência crescente limitada, pela Propriedade (4.18) ela é convergente para

algum S ∈ R, onde S ≤ a1.

A mostrar que a seqüência {sn} converge para S.

Dado ε > 0 seja n0 > 0 tal que para n > n0

|s2n − S| ≤ ε

2e |a2n+1| ≤

ε

2

Logo, se n > n0, então:

|s2n+1 − S| = |s2n + a2n+1 − S| ≤ |s2n − S| + |a2n+1| ≤ε

2+ε

2= ε

Assim toda soma de um número ímpar de termos também depende de ε e S. Como ε é

arbitrário, deduzimos que limn→∞

sn = S.


n=1

(−1)n−1an é convergente.

Observação 5.13.

O critério de Leibnitz pode ser modificado de modo a exigir apenas que 0 < an+1 ≤ an, para

todo n maior ou igual a algum inteiro N .

Exemplo 5.57.

Determine se a série alternada∞∑

n=1

(−1)n+1 1

Lnnconverge ou diverge.

Solução.

Temos que an =1

Lnn, então an+1 =

1

Ln(n+ 1), além disso sendo n < n + 1 para todo

n ∈ N+, ⇒ Lnn < Ln(n+ 1).

Logo,1

Ln(n+ 1)<

1

Lnnpara n ≥ 2, e como lim

n→∞an = lim

n→∞1

Lnn= 0.

Segue da Propriedade (5.25) que a série∞∑

n=1

(−1)n+1 1

Lnné convergente. �

Exemplo 5.58.

Estude a série∞∑

n=1

(−1)n+1 1

2n.

Solução.


Observe que an =1

2ne an+1 =

1

n+ 1para todo n ∈ N+. Do fato 2n < 2n+1 ⇒ an+1 =

1

2n+1<

1

2n= an para todo n ≥ 1.

Como limn→∞

1

2n= 0. Segue da Propriedade (5.25) que a série

∞∑

n=1

(−1)n+1 1

2né convergente.�

A Propriedade (5.25) é útil para determinar o ínfimo da n-ésima soma parcial de uma

série convergente. Para o caso de séries alternadas, isto é facilmente determinado; de fato,

nós mostraremos que o erro é não é maior que o primeiro termo.

Propriedade 5.26. Resto de uma série alternada.

Se as hipóteses da Propriedade (5.25) são satisfeitas, e S e sn denotam a soma e a n-ésima

soma parcial respectivamente, então:

|S − sn| ≤ an+1 para todo n ∈ N+

Demonstração.

Sejam m, n ∈ N+ tais que m ≥ n, então:

sm − sn = an+1 − (an+2 − an+3) − (an+4 − an+5) − · · · − (am−1 − am) ≤ an+1

Como limn→∞

sm = S, então 0 ≤ S − sn ≤ an+1.

Portanto, |S − sn| ≤ an+1 para todo n ∈ N+.

Exemplo 5.59.

Aproxime a série∞∑

n=1

(−1)n−1 1

n!pelos seus seis primeiros termos.

Solução.

O critério de Leibnitz diz que esta série converge, pois1

(n+ 1)!≤ 1

n!e lim

n→∞1

n!= 0.

A soma dos seus seis primeiros termos é:

s6 = 1 − 1

2+

1

6− 1

24+

1

120≈ 0, 63194

Pela Propriedade (5.26) temos:

|S − s6| = |R6| ≤ a7 =1

5.040≈ 0, 0002 ⇒ |S − 0, 63194| ≤ 0, 0002

De onde 0, 63174 ≤ S ≤ 0, 63214.

Portanto, 0, 63174 ≤∞∑

n=1

(−1)n−1 1

n!≤ 0, 63214.

Propriedade 5.27.

Se a série∞∑

n=1

|an| converge, então a série alternada∞∑

n=1



Demonstração.

Por hipótese a série∞∑

n=1

|an| converge; pela propriedade do valor absoluto −|an| ≤ an ≤ |an|,

então 0 ≤ an ≤ |an| ≤ 2|an|. Logo 0 ≤ an + |an| ≤ 2|an|, ∀ n ∈ N+.

Podemos escrever 0 ≤∞∑

n=1

(an + |an|) ≤∞∑

n=1

2|an|. Como a série∞∑

n=1

2|an| é convergente, pelo

critério de comparação segue que∑

n = 1∞(an + |an|) também é convergente.

Porém∞∑

n=1

an =∞∑

n=1

[(an + |an|) − |an|] é soma de séries convergentes.

Portanto,∞∑

n=1

an é convergente.

Exemplo 5.60.

A série∞∑

n=1

(−1)n−1

npé convergente se p > 0 e, é divergente se p ≤ 0.

Para o caso p > 0, a seqüência { 1

np} é monótona decrescente e tende para zero.

Se p = 0, então1

np= 1 para todo n ∈ N+, e a série diverge. Se p < 0 é imediato que a série

diverge.

Exemplo 5.61.

A série∞∑

n=1

(−1)n−1

né convergente.

É claro que a seqüência { 1

n} é monótona decrescente e tende para zero. Conseqüentemente

esta série é convergente (embora não o seja absolutamente convergente).

Exemplo 5.62.


(a)∞∑

n=1

n

(−2)n−1(b)

∞∑

n=1

(−1)nn

Ln2n

Solução. (a)

Para aplicar o teste, note que, para n ≥ 1, tem-se1

2≤ n

n+ 1.

Isto implica que2n−1

2n≤ n

n+ 1de onde

n+ 1

2n≤ n

2n−1, então an+1 ≤ an.

Por outro lado, temos a calcular limn→∞

n

2n−1.

Aplicando a regra de L´Hospital , tem-se que:

limx→∞

x

2x−1= lim

x→∞1

2x−1Ln2= 0 ⇒ lim

n→∞n

2n−1= 0



n=1

n

(−2)n−1converge.

Solução. (b)

Pela regra de L´Hospital temos que: limn→∞

x

Ln2x= lim

n→∞11x

= ∞.

Portanto o critério para séries alternadas não se aplica; porém, aplicando o critério do n-ésimo

termo podemos concluir que a série diverge,

Observação 5.14.

A notação∞∑

n=1

an < +∞ significa que a série é convergente; e∞∑

n=1

an ≮ +∞ indica que a

série diverge.

Definição 5.6.

Dizemos que a série alternada∞∑

n=1

an é absolutamente convergente, se a série∞∑

n=1

|an| é con-

vergente.

Definição 5.7.

Uma a série alternada∞∑

n=1

an que é convergente, porém não absolutamente convergente, dize-

mos que ela é condicionalmente convergente.

Observação 5.15.

A Propriedade (5.27) estabelece que toda série absolutamente convergente é convergente. Não

obstante, uma série convergente pode não ser absolutamente convergente.

Exemplo 5.63.

(a) A série alternada∞∑

n=1

(−1n+1 1

né convergente, não obstante a série

∞∑

n=1

∣∣∣∣(−1n+1 1

n

∣∣∣∣=

∞∑

n=1

1

n, não é convergente.

(b) A série∞∑

n=1

(−1)n3

2né absolutamente convergente, pois a série

∞∑

n=1

∣∣∣∣(−1)n

3

2n

∣∣∣∣

=

∞∑

n=1

3

2né uma série geométrica de razão r =

1

3<.


n=1

(−1)n3

2né convergente.

Observação 5.16.

Para determinar a convergência ou divergência de uma série alternada, recomenda-se utilizar

o critério da razão.


5.6.2 Sumário dos Critérios para Séries de Números.

Critério Série Converge Diverge Comentário

do n-ésimo termo

∞∑

n=1

an limn→∞

an 6= 0 O critério não pode serusado para provar con-vergência

da série geométrica

∞∑

n=1

arn |r| < 1 |r| ≥ 1 soma: S =

a

1 − r

para séries p

∞∑

n=1

1

npp > 1 p ≤ 1

Propriedade (5.5)∞∑

n=1

an

∞∑

n=1

(an + bn) se∞∑

n=1

bn < +∞


n=1

an

∞∑

n=1

(an + bn) se∞∑

n=1

bn ≮ +∞


n=1

an

∞∑

n=1

an < +∞ se∞∑

n=1

2n · a2n < +∞

para séries teles-cópicas

∞∑

n=1

(bn − bn+1) limn→∞

bn = L soma: S = b1 − L

de comparação

(an, bn > 0)

∞∑

n=1

an

se, 0 ≤ an ≤ bn

e∞∑

n=1

bn < +∞

se, 0 ≤ bn ≤ an

e∞∑

n=1

bn ≮ ∞

da integral (f con-tínua, positiva edecrescente)

∞∑

n=1

an

an = f(n) ≥ 0

∞∫

1

f(x)dx < +∞

∞∫

1

f(x)dx ≮ +∞

resto:

0 < RN <

∞∫

N

f(x)dx

dos limites da com-paração

(an, bn > 0)

∞∑

n=1

an

limn→∞

an

bn= L > 0

e∞∑

n=1

bn < +∞

limn→∞

an

bn= L > 0

e∞∑

n=1

bn ≮ +∞

∞∑

n=1

an < +∞ caso L =

0 e∞∑

n=1

bn < +∞

de Raabe∞∑

n=1

an k > 1 k < 1 k = limn→∞

n

[

1 −an+1

an

]

de D’Alembert’s ou

da razão

∞∑

n=1

an

limnto∞

∣∣∣∣

an+1

an

∣∣∣∣< 1

absolutamente

limnto∞

∣∣∣∣

an+1

an

∣∣∣∣> 1

inconclusivo se:

limn→∞

∣∣∣∣

an+1

an

∣∣∣∣= 1

de Cauchy ou da

raíz

∞∑

n=1

anlim

nto∞

n

√

|an| < 1

absolutamente

limnto∞

n

√

|an| > 1 inconclusivo se:

limnto∞

n

√

|an| = 1

de Leibnitz ou para

séries alternadas

∞∑

n=1

(−1)nan 0 < an+1 ≤ an

e limnto∞

an = 0Resto: |RN | ≤ aN+1


Exercícios 2-5

1. Determine quais das seguintes séries são convergente ou divergentes. Quias delas são ab-

solutamente convergentes?

1.∞∑

n=1

(−1)n−1 1

2n+ 12.

∞∑

n=1

(−1)n−1 1√n

3.∞∑

n=1

(−1)n−1 1

Lnn

4.∞∑

n=1

(−1)n−1 n

Lnn5.

∞∑

n=1

(−1)n−1 1

(2n− 1)!6.

∞∑

n=1

(−1)n−1 1

n2n

7.∞∑

n=1

(−1)n−1sen( 1

n

)

8.∞∑

n=1

(−1)n−1 1

n2 + n9.

∞∑

n=1

(−1)n−1 Lnn

n

10.∞∑

n=1

(−1)n−1 Lnn

n211.

∞∑

n=1

(−1)n−1 12.∞∑

n=1

(−1)n−1

2. A série 1 − 1

2+

2

3− 1

3+

2

4− 1

4+

2

5− 1

5+

2

6− 1

6+ · · · tem termos alternados positivos e

negativos e seu termo geral tende para zero. Entretanto é divergente. Porque não contradiz

a Propriedade (5.25)?

3.


4.

Índice

Área de uma superfície, 31

Axioma

de Arquimedes, 114, 146

de completamento, 141

Bolzano, 148

Campo

conservativo, 65

gravitacional, 78

Campo vetorial, 63

Campos vetoriais

estacionários, 63

Cauchy, 150

Centro de massa

de um fio, 58

de um sólido, 42

de uma lâmina, 25

Cesaro, 132

Comprimento de um caminho, 58

Comprimento de uma linha, 52

Condição de Cauchy, 173

Coordenadas polares, 20

Cota

inferior, 113

superior, 113

Critério de confronto, 144

Curva fechada, 50

Curva parametrizada, 50

Curva regular, 51

D’Alembert’s, 194

Darboux, 5

Desigualdade de Bernoulli, 145

Difeomorfismo, 56

Divergente, 66

Dizimas periódicas, 164

Elementos da seqüência, 111

Espaço métrico, 128

completo, 128

Funções coordenadas, 49

Gradiente, 64

Guido Fubini, 9

Gustavo Jacob J., 1

Hélice cilíndrica, 59

Infimo, 113

L´Hospital, 204

Leibnitz, 201

Limite

ao infinito, 121

de uma seqüência, 121

unicidade, 126

Média

aritmética, 129

geométrica, 130

Massa

de um fio, 58

Massa total do fio, 53

Momento de inércia

de um fio, 58

Momentos de inércia

de um sólido, 42

de uma lâmina, 28

Mudança de variáveis, 17

Norma de uma partição, 2

209


Partição de um conjunto, 2

Produto de Cauchy, 192

Propriedade de Cauchy, 174

Raabe, 184

Raio de giro, 30

Reagrupamento, 184

Região simplesmente conexa, 51

Regra de L’Hospital, 138

Riemann, 188

Rotacional, 66

Série

p, 168

absolutamente convergente, 189

alternada, 201

condicionalmente convergente, 190

de termos positivos, 178

geométrica, 166

harmônica, 167

Séries

infinitas, 165

Seqüência

constante, 112

contrativa, 131

convergente, 121

crescente, 114

de Cauchy, 127

decrescente, 115

limitada, 113

monótona, 115

Seqüência., 110

Somatórios, 156

Stolz, 132

Subseqüência, 117

ímpar, 117

par, 117

Supremo, 113

Telescópica, 156

Teorema

de Bolzano - Weirstrass, 148

do sanduíche, 144

Teorema fundamental do cálculo, 76

Trajetória, 49

Trajetória de integração, 51

Trajetória diferenciável, 50

Trajetórias opostas, 72

Valor promédio, 25

Vetor velocidade, 50

Weirstrass, 148

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