CÁLCULO VOLUME 2 - Tradução da 6ª edição norte-americana

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VOLUME 2 cálculo cálculo JAMES STEWART POSSUI MATERIAL DE APOIO TRADUÇÃO DA 6 EDIÇÃO NORTE-AMERICANA

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Neste volume, continuação de Cálculo vol. 1 (capítulos 1 a 8), James Stewart mantém o estímulo e o apreço dos estudantes pelo cálculo, defendendo seu papel fundamental inclusive na percepção e no entendimento do mundo natural, dos fenômenos mais corriqueiros à nossa volta. Cálculo vol. 2 (capítulos 9 a 17) traz temas importantes, como equações diferenciais, vetores, integrais, entre outros, complementando a obra sobre cálculo de maior sucesso no mundo. Esta 6ª edição de Cálculo traz diversas inovações em relação à edição anterior. Algumas seções e capítulos foram reformulados. Mais de 25% dos exercícios são novos e os exemplos tiveram seus dados modernizados. Em muitos deles, as unidades foram alteradas do sistema norte-americano para o Sistema Internacional de Unidades.

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VOLUME 2

Neste volume, continuação de Cálculo vol. 1 (capítulos 1 a 8), James Stewart mantém o estímulo e

o apreço dos estudantes pelo cálculo, defendendo seu papel fundamental inclusive na percepção e

no entendimento do mundo natural, dos fenômenos mais corriqueiros à nossa volta. Cálculo vol. 2

(capítulos 9 a 17) traz temas importantes, como equações diferenciais, vetores, integrais, entre

outros, complementando a obra sobre cálculo de maior sucesso no mundo.

Esta 6ª edição de Cálculo traz diversas inovações em relação à edição anterior. Algumas seções e

capítulos foram reformulados. Mais de 25% dos exercícios são novos e os exemplos tiveram seus

dados modernizados. Em muitos deles, as unidades foram alteradas do sistema norte-americano

para o Sistema Internacional de Unidades.

Revista e atualizada, a obra mantém o espírito das edições anteriores, apresentando exercícios

graduados, com progressão cuidadosamente planejada desde conceitos básicos até problemas

complexos e desafiadores. Os exemplos e exercícios agora têm perspectiva global, incluindo dados

inspirados em países da Ásia e América Latina.

Aplicações:

Livro-texto para a disciplina cálculo nos cursos de Matemática e Engenharia.

Para suas soluções de curso e aprendizado,visite www.cengage.com.br

ISBN 13 – 978-85-221-0661-5ISBN 10 – 85-221-0661-4

9 788522 106615

Sobre o autor

James Stewart é mestre pela

Universidade de Stanford e Ph.D pela

Universidade de Toronto. Após dois

anos na Universidade de Londres,

tornou-se professor de Matemática na

McMaster University. Seus livros foram

traduzidos para diversos idiomas, como

espanhol, português, francês, italiano,

coreano, chinês e grego.

Stewart foi nomeado membro do Fields

Institute em 2002 e recebeu o

doutorado honorário em 2003 pela

McMaster University. O Centro de

Matemática James Stewart foi aberto

em outubro de 2003, também na

McMaster University.

cálculoV

OL

UM

E 2

JA

ME

S S

TE

WA

RT

POSSUI MATERIAL DE APOIO

cálculoTRADUÇÃO DA 6 EDIÇÃO NORTE-AMERICANA

VOLUME 2

Outras Obras

Álgebra Linear

David Poole

Análise Numérica – Tradução da

8ª edição norte-americana

Richard L. Burden e J. Douglas Faires

Cálculo Volume 1 – Tradução da

6ª edição norte-americana

James Stewart

Cálculo Numérico: aprendizagem

com apoio de software

Selma Arenales e Artur Darezzo

Pré-Cálculo – 2ª edição revista e

atualizada

Valéria Zuma Medeiros (Coord.)

André Machado Caldeira

Luiza Maria Oliveira da Silva

Maria Algusta Soares Machado

Probabilidade e Estatística para

Engenharia e Ciências

Jay L. Devore

Vetores e Matrizes: Uma introdução à

álgebra linear – 4ª edição

Nathan Moreira dos Santos, Doherty

Andrade e Nelson Martins Garcia

cálculo

J A M E S S T E W A R T

POSSUI MATERIAL DE APOIO

TRADUÇÃO DA 6 EDIÇÃO NORTE-AMERICANA

C

M

Y

CM

MY

CY

CMY

K

AF_calculo2.ai 7/28/09 10:52:22 AM

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XIII

TESTES DE VERIFICAÇÃOMMXVII

UMA APRESENTAÇÃO DO CÁLCULOMMXXII

EQUAÇÕES DIFERENCIAISMM536

9.1 Modelagem com Equações DiferenciaisMM5379.2 Campos de Direções e o Método de EulerMM5429.3 Equações SeparáveisMM549

Projeto Aplicado � Quão Rapidamente um Tanque Esvazia?MM557

Projeto Aplicado � O Que É Mais Rápido: Subir ou Descer?MM559

9.4 Modelos para Crescimento PopulacionalMM560Projeto Aplicado � Cálculo e BeisebolMM569

9.5 Equações LinearesMM5719.6 Sistemas Predador-PresaMM576

RevisãoMM583

Problemas QuentesMM586

EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS E COORDENADAS POLARESMM588

10.1 Curvas Definidas por Equações ParamétricasMM589Projeto de Laboratório � Rolando Círculos ao Redor de CírculosMM597

10.2 Cálculo com Curvas Parametrizadas MM598Projeto de Laboratório � Curvas de BézierMM606

10.3 Coordenadas PolaresMM60710.4 Áreas e Comprimentos em Coordenadas PolaresMM61710.5 Seções CônicasMM62110.6 Seções Cônicas em Coordenadas PolaresMM628

RevisãoMM635

Problemas QuentesMM638

SUMÁRIO

9

10

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XIVM||||MCÁLCULO

SEQUÊNCIAS E SÉRIES INFINITASMM640

11.1 SequênciasMM641Projeto de Laboratório � Sequências LogísticasMM652

11.2 SériesMM65211.3 O Teste da Integral e Estimativas de SomasMM66111.4 Os Testes de ComparaçãoMM66811.5 Séries AlternadasMM67311.6 Convergência Absoluta e os Testes da Razão e da RaizMM67811.7 Estratégia para Testar as SériesMM68411.8 Séries de PotênciasMM68711.9 Representações de Funções como Séries de PotênciasMM69211.10 Séries de Taylor e de MaclaurinMM698

Projeto de Laboratório � Um Limite ElusivoMM711

Projeto Escrito � Como Newton Descobriu a Série BinomialMM711

11.11 Aplicações de Polinômios de TaylorMM712Projeto Aplicado � Radiação Proveniente das EstrelasMM720

RevisãoMM721

Problemas QuentesMM725

VETORES E A GEOMETRIA DO ESPAÇOMM728

12.1 Sistema de Coordenadas TridimensionaisMM72912.2 VetoresMM73412.3 O Produto EscalarMM74212.4 O Produto VetorialMM749

Projeto de Descoberta � A Geometria do TetraedroMM756

12.5 Equações de Retas e PlanosMM756Projeto de Laboratório � Pondo 3D em PerspectivaMM765

12.6 Cilindros e Superfícies QuádricasMM766RevisãoMM773

Problemas QuentesMM776

FUNÇÕES VETORIAISMM778

13.1 Funções Vetoriais e Curvas EspaciaisMM77913.2 Derivadas e Integrais de Funções VetoriaisMM78513.3 Comprimento de Arco e CurvaturaMM79113.4 Movimento no Espaço: Velocidade e AceleraçãoMM799

Projeto Aplicado � Leis de KeplerMM807

RevisãoMM809

Problemas QuentesMM812

11

12

LONDRES

PARIS

13

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SUMÁRIOM||||M XV

DERIVADAS PARCIAISMM814

14.1 Funções de Várias VariáveisMM81514.2 Limites e ContinuidadeMM82914.3 Derivadas ParciaisMM83614.4 Planos Tangentes e Aproximações LinearesMM84814.5 Regra da CadeiaMM85714.6 Derivadas Direcionais e o Vetor GradienteMM86514.7 Valores Máximo e MínimoMM877

Projeto Aplicado � Projeto de uma CaçambaMM887

Projeto de Descoberta � Aproximação Quadrática e Pontos CríticosMM887

14.8 Multiplicadores de LagrangeMM888Projeto Aplicado � Ciência dos FoguetesMM895

Projeto Aplicado � Otimização de uma Turbina HidráulicaMM896

RevisãoMM897

Problemas QuentesMM902

INTEGRAIS MÚLTIPLASMM904

15.1 Integrais Duplas sobre RetângulosMM90515.2 Integrais IteradasMM91315.3 Integrais Duplas sobre Regiões GeraisMM91815.4 Integrais Duplas em Coordenadas PolaresMM92615.5 Aplicações das Integrais DuplasMM93115.6 Integrais TriplasMM940

Projeto de Descoberta � Volumes de HiperesferasMM950

15.7 Integrais Triplas em Coordenadas CilíndricasMM950Projeto de Descoberta � A Intersecção de Três CilindrosMM954

15.8 Integrais Triplas em Coordenadas EsféricasMM954Projeto Aplicado � Corrida na RampaMM960

15.9 Mudança de Variáveis em Integrais MúltiplasMM961RevisãoMM969

Problemas QuentesMM972

CÁLCULO VETORIALMM974

16.1 Campos VetoriaisMM97516.2 Integrais de LinhaMM98116.3 Teorema Fundamental das Integrais de LinhaMM99216.4 Teorema de GreenMM100016.5 Rotacional e DivergenteMM100716.6 Superfícies Parametrizadas e Suas ÁreasMM101516.7 Integrais de SuperfícieMM102516.8 O Teorema de StokesMM1036

Projeto Escrito � Três Homens e Dois Teoremas 1041

14

15

16

Calculo_00:Layout 1 04.08.09 14:18 Page XV

Page 6: CÁLCULO VOLUME 2 - Tradução da 6ª edição norte-americana

XVIM||||MCÁLCULO

16.9 O Teorema do DivergenteMM104116.10 Resumo dos TeoremasMM1047

RevisãoMM1048

Problemas QuentesMM1051

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE SEGUNDA ORDEMMM1052

17.1 Equações Lineares de Segunda OrdemMM105317.2 Equações Lineares Não HomogêneasMM105817.3 Aplicações das Equações Diferenciais de Segunda OrdemMM106517.4 Soluções em SériesMM1072

RevisãoMM1076

APÊNDICES

A Números, Desigualdades e Valores AbsolutosMMA2B Geometria Analítica e RetasMMA10C Cônicas: Gráficos das Equações de Segundo GrauMMA16D TrigonometriaMMA23E Notação de Somatória (ou Notação Sigma)MMA32F Demonstrações dos TeoremasMMA37G O Logaritmo Definido como uma IntegralMMA47H Números ComplexosMMA54I Respostas dos Exercícios de Números ÍmparesMMA61

ÍNDICE REMISSIVOMMA93

17

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XVIM||||MCÁLCULO

16.9 O Teorema do DivergenteMM104116.10 Resumo dos TeoremasMM1047

RevisãoMM1048

Problemas QuentesMM1051

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE SEGUNDA ORDEMMM1052

17.1 Equações Lineares de Segunda OrdemMM105317.2 Equações Lineares Não HomogêneasMM105817.3 Aplicações das Equações Diferenciais de Segunda OrdemMM106517.4 Soluções em SériesMM1072

RevisãoMM1076

APÊNDICES

A Números, Desigualdades e Valores AbsolutosMMA2B Geometria Analítica e RetasMMA10C Cônicas: Gráficos das Equações de Segundo GrauMMA16D TrigonometriaMMA23E Notação de Somatória (ou Notação Sigma)MMA32F Demonstrações dos TeoremasMMA37G O Logaritmo Definido como uma IntegralMMA47H Números ComplexosMMA54I Respostas dos Exercícios de Números ÍmparesMMA61

ÍNDICE REMISSIVOMMA93

17

Calculo_00:Layout 1 04.08.09 14:18 Page XVI

XVII

1. Calcule cada expressão sem usar uma calculadora.(a) (�3)4 (b) �34 (c) 3�4

(d) (e) ( )�2

(f) 16�3/4

2. Simplifique cada expressão. Escreva suas respostas sem expoentes negativos.(a) √

–––200 � √

––32

(b) (3a3b3)(4ab2)2

(c) ( )�2

3. Expanda e simplifique.(a) 3(x � 6) � 4(2x � 5) (b) (x � 3)(4x � 5) (c) (√–

a � √–b )(√–

a � √–b ) (d) (2x � 3)2

(e) (x � 2)3

4. Fatore cada expressão.(a) 4x2

� 25 (b) 2x2� 5x � 12

(c) x3� 3x2

� 4x � 12 (d) x4� 27x

(e) 3x3/2� 9x1/2

� 6x�1/2 (f) x3y � 4xy

5. Simplifique as expressões racionais.

(a) (b) �

(c) � (d) x � 1

����x � 2

x2

����x2

� 4

x � 3����2x � 1

2x2� x � 1

����x2

� 9

x2� 3x � 2

����x2

� x � 2

3x3/2y3

�x2y�1/2

2�3

523

�521

A

TESTES DE VERIFICAÇÃO

O sucesso no cálculo depende em grande parte do conhecimento da matemática queprecede o cálculo: álgebra, geometria analítica, funções e trigonometria. Os testesa seguir têm a intenção de diagnosticar falhas que você possa ter nessas áreas. De-pois de fazer cada teste, é possível conferir suas respostas com as respostas dadas e,se necessário, refrescar sua memória consultando o material de revisão fornecido.

TESTES DE VERIFICAÇÃO: ÁLGEBRA

� x�y

y�x

� 1�x

1�y

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Page 8: CÁLCULO VOLUME 2 - Tradução da 6ª edição norte-americana

XVIIIM||||MCÁLCULO

6. Racionalize a expressão e simplifique.

(a) (b)

7. Reescreva, completando o quadrado.(a) x2

� x � 1 (b) 2x2� 12x � 11

8. Resolva a equação. (Encontre apenas as soluções reais.)

(a) x � 5 � 14 � 12– x (b) �

(c) x2� x � 12 � 0 (d) 2x2

� 4x � 1 � 0 (e) x4

� 3x2� 2 � 0 (f) 3| x � 4| � 10

(g) 2x(4 � x)�1/2� 3√

–––––4 � x � 0

9. Resolva cada desigualdade. Escreva suas respostas usando a notação de intervalos.(a) �4 � 5 � 3x � 17 (b) x2

� 2x � 8 (c) x(x � 1)(x � 2) � 0 (d) | x � 4| � 3

(e) � 1

10. Diga se cada equação é verdadeira ou falsa.(a) (p � q)2

� p2� q2 (b) √

––ab � √

–a √

–b

(c) √–––––a2 � b2– � a � b (d) � 1 � T

(e) � � (f) � 1

����a � b

1����a/x � b/x

1�x

1�y

1����x � y

1 � TC����

C

2x � 3����x � 1

2x � 1����

x

2x����x � 1

√–––––4 � h � 2

����h

√––10

����√

–5 � 2

RESPOSTAS DOS TESTES DE VERIFICAÇÃO A: ÁLGEBRA

1. (a) 81 (b) �81 (c) 181––

(d) 25 (e) 94– (f) 18–

2. (a) 6√–2 (b) 48a5b7 (c)

3. (a) 11x � 2 (b) 4x2� 7x � 15

(c) a � b (d) 4x2� 12x � 9

(e) x3� 6x2

� 12x � 8

4. (a) (2x � 5)(2x � 5) (b) (2x � 3)(x � 4) (c) (x � 3)(x � 2)(x � 2) (d) x(x � 3)(x2

� 3x � 9) (e) 3x�1/2(x � 1)(x � 2) (f) xy(x � 2)(x � 2)

5. (a) (b)

(c) (d) �(x � y)1

����x � 2

x � 2����x � 2

x � 1����x � 3

x����9y7

6. (a) 5√–2 � 2√

––10 (b)

7. (a) (x � 12–)2

�34– (b) 2(x � 3)2

� 7

8. (a) 6 (b) 1 (c) �3, 4 (d) �1 � 1

2–√

–2 (e) �1, �√

–2 (f) 23–, 22

3–

(g) 125–

9. (a) [�4, 3) (b) (�2, 4)(c) (�2, 0) � (1, ∞) (d) (1, 7)(e) (�1, 4]

10. (a) Falso (b) Verdadeiro (c) Falso (d) Falso (e) Falso (f) Verdadeiro

1����√

–––––4 � h � 2

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XVIIIM||||MCÁLCULO

6. Racionalize a expressão e simplifique.

(a) (b)

7. Reescreva, completando o quadrado.(a) x2

� x � 1 (b) 2x2� 12x � 11

8. Resolva a equação. (Encontre apenas as soluções reais.)

(a) x � 5 � 14 � 12– x (b) �

(c) x2� x � 12 � 0 (d) 2x2

� 4x � 1 � 0 (e) x4

� 3x2� 2 � 0 (f) 3| x � 4| � 10

(g) 2x(4 � x)�1/2� 3√

–––––4 � x � 0

9. Resolva cada desigualdade. Escreva suas respostas usando a notação de intervalos.(a) �4 � 5 � 3x � 17 (b) x2

� 2x � 8 (c) x(x � 1)(x � 2) � 0 (d) | x � 4| � 3

(e) � 1

10. Diga se cada equação é verdadeira ou falsa.(a) (p � q)2

� p2� q2 (b) √

––ab � √

–a √

–b

(c) √–––––a2 � b2– � a � b (d) � 1 � T

(e) � � (f) � 1

����a � b

1����a/x � b/x

1�x

1�y

1����x � y

1 � TC����

C

2x � 3����x � 1

2x � 1����

x

2x����x � 1

√–––––4 � h � 2

����h

√––10

����√

–5 � 2

RESPOSTAS DOS TESTES DE VERIFICAÇÃO A: ÁLGEBRA

1. (a) 81 (b) �81 (c) 181––

(d) 25 (e) 94– (f) 18–

2. (a) 6√–2 (b) 48a5b7 (c)

3. (a) 11x � 2 (b) 4x2� 7x � 15

(c) a � b (d) 4x2� 12x � 9

(e) x3� 6x2

� 12x � 8

4. (a) (2x � 5)(2x � 5) (b) (2x � 3)(x � 4) (c) (x � 3)(x � 2)(x � 2) (d) x(x � 3)(x2

� 3x � 9) (e) 3x�1/2(x � 1)(x � 2) (f) xy(x � 2)(x � 2)

5. (a) (b)

(c) (d) �(x � y)1

����x � 2

x � 2����x � 2

x � 1����x � 3

x����9y7

6. (a) 5√–2 � 2√

––10 (b)

7. (a) (x � 12–)2

�34– (b) 2(x � 3)2

� 7

8. (a) 6 (b) 1 (c) �3, 4 (d) �1 � 1

2–√

–2 (e) �1, �√

–2 (f) 23–, 22

3–

(g) 125–

9. (a) [�4, 3) (b) (�2, 4)(c) (�2, 0) � (1, ∞) (d) (1, 7)(e) (�1, 4]

10. (a) Falso (b) Verdadeiro (c) Falso (d) Falso (e) Falso (f) Verdadeiro

1����√

–––––4 � h � 2

Calculo_00:Layout 1 04.08.09 14:18 Page XVIII

TESTES DE VERIFICAÇÃOM||||MXIX

1. Encontre uma equação para a reta que passa pelo ponto (2, �5) e (a) tem inclinação �3(b) é paralela ao eixo x(c) é paralela ao eixo y(d) é paralela à reta 2x � 4y � 3

2. Encontre uma equação para o círculo que tem centro (�1, 4) e passa pelo ponto(3, �2).

3. Encontre o centro e o raio do círculo com equação x2� y2

� 6x � 10y � 9 � 0.

4. Sejam A(�7, 4) e B(5, �12) pontos no plano. (a) Encontre a inclinação da reta que contém A e B. (b) Encontre uma equação da reta que passa por A e B. Quais são as intersecções

com os eixos?(c) Encontre o ponto médio do segmento AB. (d) Encontre o comprimento do segmento AB. (e) Encontre uma equação para a mediatriz de AB. (f) Encontre uma equação para o círculo para o qual AB é um diâmetro.

5. Esboce a região do plano xy definidas pelas equações ou inequações.(a) �1 � y � 3 (b) | x | � 4 e | y | � 2(c) y � 1 � 1

2– x (d) y � x2

� 1 (e) x2

� y2� 4 (f) 9x2

� 16y2� 144

Se você teve dificuldade com estes problemas, consulte a revisão degeometria analítica, nos Apêndices B e C.

B TESTES DE VERIFICAÇÃO: GEOMETRIA ANALÍTICA

RESPOSTAS DOS TESTES DE VERIFICAÇÃO B: GEOMETRIA ANALÍTICA

1. (a) y � �3x � 1 (b) y � �5 (c) x � 2 (d) y � 1

2– x � 6

2. (x � 1)2� (y � 4)2

� 52

3. Centro (3, �5), raio 5

4. (a) � 34–

(b) 4x � 3y � 16 � 0; intersecção com o eixo x, �4;intersecção com o eixo y, � 3

16–(c) (�1, �4) (d) 20 (e) 3x � 4y � 13 (f) (x � 1)2

� (y � 4)2 � 100

5.

y

x1 20

y

x0

y

x0 4

3

�1

2

y

x0

y

x0 4�4

y

x0 2

1

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

�1

32

�2

y � x2 � 1

x2 � y2 � 4

y � 1 � x12

Calculo_00:Layout 1 04.08.09 14:18 Page XIX

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XXM||||MCÁLCULO

1. O gráfico de uma função f é dado à esquerda. (a) Diga o valor de f (�1). (b) Estime o valor de f (2). (c) Para quais valores de x vale que f (x) � 2? (d) Estime os valores de x tais que f (x) � 0. (e) Diga qual é o domínio e a imagem de f.

2. Se f (x) � x3, calcule o quociente da diferença e simplifique sua resposta.

3. Encontre o domínio da função

(a) f (x) � (b) t(x) � (c) h(x) � √–––––4 � x � √

–––––x2 � 1

4. Como os gráficos das funções são obtidos a partir do gráfico de f ? (a) y � �f (x) (b) y � 2 f (x) � 1 (c) y � f (x � 3) � 2

5. Sem usar uma calculadora, faça um esboço grosseiro do gráfico.(a) y � x3 (b) y � (x � 1)3 (c) y � (x � 2)3

� 3 (d) y � 4 � x2 (e) y � √

–x (f) y � 2√

–x

(g) y � �2x (h) y � 1 � x�1

6. Seja f (x)� { 1 � x2 se x � 02x � 1 se x � 0

(a) Calcule f (�2) e f (1). (b) Esboce o gráfico de f.

7. Se f (x) � x2 � 2x � 1 e t(x) � 2x � 3, encontre cada uma das seguintes funções.

(a) f � t (b) t � f (c) t � t � t

3√–x

����x2

� 1

2x � 1����x2

� x � 2

f (2 � h) � f (2)����

h

C TESTES DE VERIFICAÇÃO: FUNÇÕES

FIGURA PARA O PROBLEMA 1

y

0 x

1

1

RESPOSTAS DOS TESTES DE VERIFICAÇÃO C: FUNÇÕES

1. (a) �2 (b) 2,8(c) �3,1 (d) �2,5, 0,3(e) [�3, 3], [�2, 3]

2. 12 � 6h � h2

3. (a) (�∞, �2) � (�2, 1) � (1, ∞) (b) (�∞, ∞)(c) (�∞, �1] � [1, 4]

4. (a) Refletindo em torno do eixo x.(b) Expandindo verticalmente por um fator 2, a seguir

transladando 1 unidade para baixo.(c) Transladando 3 unidades para a direita e duas unida-

des para cima.

5.

6. (a) �3, 3 7. (a) ( f � t)(x) � 4x2 � 8x � 2

(b) (b) (t � f )(x) � 2x2� 4x � 5

(c) (t � t � t)(x) � 8x � 21

(e) (f)

(g)

y(d)

x0

4

2

y

x0

y

1 x0 1

y(h)

x0

1

y

x0

1 1�1

y

x0

y(a) (b) (c)

1

1 x0

1

�1

y

x0

(2, 3)

y

x0�1

1

Se você teve dificuldade com estes problemas, consulte as Seções 1.1 a 1.3 deste livro.

Calculo_00:Layout 1 04.08.09 14:18 Page XX

Page 11: CÁLCULO VOLUME 2 - Tradução da 6ª edição norte-americana

XXM||||MCÁLCULO

1. O gráfico de uma função f é dado à esquerda. (a) Diga o valor de f (�1). (b) Estime o valor de f (2). (c) Para quais valores de x vale que f (x) � 2? (d) Estime os valores de x tais que f (x) � 0. (e) Diga qual é o domínio e a imagem de f.

2. Se f (x) � x3, calcule o quociente da diferença e simplifique sua resposta.

3. Encontre o domínio da função

(a) f (x) � (b) t(x) � (c) h(x) � √–––––4 � x � √

–––––x2 � 1

4. Como os gráficos das funções são obtidos a partir do gráfico de f ? (a) y � �f (x) (b) y � 2 f (x) � 1 (c) y � f (x � 3) � 2

5. Sem usar uma calculadora, faça um esboço grosseiro do gráfico.(a) y � x3 (b) y � (x � 1)3 (c) y � (x � 2)3

� 3 (d) y � 4 � x2 (e) y � √

–x (f) y � 2√

–x

(g) y � �2x (h) y � 1 � x�1

6. Seja f (x)� { 1 � x2 se x � 02x � 1 se x � 0

(a) Calcule f (�2) e f (1). (b) Esboce o gráfico de f.

7. Se f (x) � x2 � 2x � 1 e t(x) � 2x � 3, encontre cada uma das seguintes funções.

(a) f � t (b) t � f (c) t � t � t

3√–x

����x2

� 1

2x � 1����x2

� x � 2

f (2 � h) � f (2)����

h

C TESTES DE VERIFICAÇÃO: FUNÇÕES

FIGURA PARA O PROBLEMA 1

y

0 x

1

1

RESPOSTAS DOS TESTES DE VERIFICAÇÃO C: FUNÇÕES

1. (a) �2 (b) 2,8(c) �3,1 (d) �2,5, 0,3(e) [�3, 3], [�2, 3]

2. 12 � 6h � h2

3. (a) (�∞, �2) � (�2, 1) � (1, ∞) (b) (�∞, ∞)(c) (�∞, �1] � [1, 4]

4. (a) Refletindo em torno do eixo x.(b) Expandindo verticalmente por um fator 2, a seguir

transladando 1 unidade para baixo.(c) Transladando 3 unidades para a direita e duas unida-

des para cima.

5.

6. (a) �3, 3 7. (a) ( f � t)(x) � 4x2 � 8x � 2

(b) (b) (t � f )(x) � 2x2� 4x � 5

(c) (t � t � t)(x) � 8x � 21

(e) (f)

(g)

y(d)

x0

4

2

y

x0

y

1 x0 1

y(h)

x0

1

y

x0

1 1�1

y

x0

y(a) (b) (c)

1

1 x0

1

�1

y

x0

(2, 3)

y

x0�1

1

Se você teve dificuldade com estes problemas, consulte as Seções 1.1 a 1.3 deste livro.

Calculo_00:Layout 1 04.08.09 14:18 Page XX

TESTES DE VERIFICAÇÃOM||||MXXI

1. Converta de graus para radianos.(a) 300º (b) �18º

2. Converta de radianos para graus.(a) 5p/6 (b) 2

3. Encontre o comprimento de um arco de um círculo de raio 12 cm cujo ângulo cen-tral é 30º.

4. Encontre os valores exatos.(a) tg(p/3) (b) sen(7p/6) (c) sec(5p/3)

5. Expresse os comprimentos a e b na figura em termos de u.

6. Se sen x � 13– e sec y � 5

4–, onde x e y estão entre 0 e p/2, calcule sen(x � y).

7. Demonstre as identidades.(a) tg u sen u � cos u � sec u

(b) � sen 2x

8. Encontre todos os valores de x tais que sen 2x � sen x e 0 � x � 2p.

9. Esboce o gráfico da função y � 1 � sen 2x sem usar uma calculadora.

2 tg x ����1 � tg2x

D TESTES DE VERIFICAÇÃO: TRIGONOMETRIA

RESPOSTAS DOS TESTES DE VERIFICAÇÃO D: TRIGONOMETRIA

Se você teve dificuldade com estes problemas, consulte o Apêndice D deste livro.

1. (a) 5p/3 (b) �p/10

2. (a) 150º (b) 360/p � 114,6º

3. 2p cm

4. (a) √–3 (b) � 1

2– (c) 2

5. (a) 24 sen u (b) 24 cos u

6. 115– (4 � 6√

–2)

8. 0, p/3, p, 5p/3, 2p

9.

�p p x0

2y

a

u

b

24

FIGURA PARA O PROBLEMA 5

Calculo_00:Layout 1 04.08.09 14:18 Page XXI

Page 12: CÁLCULO VOLUME 2 - Tradução da 6ª edição norte-americana

XXII

O cálculo é fundamentalmente diferente da matemática que você já estudou. O cálculo émenos estático e mais dinâmico. Ele trata de variação e de movimento, bem como de quan-tidades que tendem a outras quantidades. Por essa razão, pode ser útil ter uma visão geraldo assunto antes de começar um estudo mais aprofundado. Vamos dar aqui uma olhada emalgumas das principais ideias do cálculo, mostrando como surgem os limites quando ten-tamos resolver diversos problemas.

UMA APRESENTAÇÃO DO CÁLCULO

Calculo_00:Layout 1 04.08.09 14:18 Page XXII

Page 13: CÁLCULO VOLUME 2 - Tradução da 6ª edição norte-americana

XXII

O cálculo é fundamentalmente diferente da matemática que você já estudou. O cálculo émenos estático e mais dinâmico. Ele trata de variação e de movimento, bem como de quan-tidades que tendem a outras quantidades. Por essa razão, pode ser útil ter uma visão geraldo assunto antes de começar um estudo mais aprofundado. Vamos dar aqui uma olhada emalgumas das principais ideias do cálculo, mostrando como surgem os limites quando ten-tamos resolver diversos problemas.

UMA APRESENTAÇÃO DO CÁLCULO

Calculo_00:Layout 1 04.08.09 14:18 Page XXII

UMA APRESENTAÇÃO DO CÁLCULOM||||MXXIII

O PROBLEMA DA ÁREA

As origens do cálculo remontam à Grécia antiga, pelo menos 2.500 anos atrás, quandoforam encontradas áreas usando o chamado “método da exaustão”. Naquela época, os gre-gos já sabiam encontrar a área de qualquer polígono dividindo-o em triângulos, como naFigura 1 e, em seguida, somando as áreas obtidas.

É muito mais difícil achar a área de uma figura curva. O método da exaustão dos an-tigos gregos consistia em inscrever e circunscrever a figura com polígonos e então au-mentar o número de lados deles. A Figura 2 ilustra esse procedimento no caso especial deum círculo, com polígonos regulares inscritos.

A � A1 � A2 � A3 � A4 � A5

A1

A2

A3A4

A5

FIGURA 1

A12 ���A7 ���A6A5A4A3

Seja An a área do polígono inscrito com n lados. À medida que aumentamos n, ficaevidente que An ficará cada vez mais próxima da área do círculo. Dizemos então que aárea do círculo é o limite das áreas dos polígonos inscritos, e escrevemos

A � limn m∞

An

Os gregos, porém, não usaram explicitamente os limites. Todavia, por um raciocínio in-direto, Eudoxo (século V a.C.) usou a exaustão para demonstrar a conhecida fórmula daárea do círculo: A � pr2.

Usamos uma ideia semelhante no Capítulo 5 para encontrar a área de regiões do tipomostrado na Figura 3. Vamos aproximar a área desejada A por áreas de retângulos (comona Figura 4), fazer decrescer a largura dos retângulos e então calcular A como o limitedessas somas de áreas de retângulos.

FIGURA 2

1n

10 x

y

(1, 1)

10 x

y

(1, 1)

14

12

34

0 x

y

1

(1, 1)

10 x

y

y � x2

A

(1, 1)

FIGURA 3 FIGURA 4

O problema da área é central no ramo do cálculo chamado cálculo integral. As técni-cas que desenvolvemos no Capítulo 5 para encontrar áreas também possibilitam o cálculodo volume de um sólido, o comprimento de um arco, a força da água sobre um dique, amassa e o centro de gravidade de uma barra e o trabalho realizado ao se bombear a águapara fora de um tanque.

Calculo_00:Layout 1 04.08.09 14:18 Page XXIII

Page 14: CÁLCULO VOLUME 2 - Tradução da 6ª edição norte-americana

XXIVM||||MCÁLCULO

O PROBLEMA DA TANGENTE

Considere o problema de tentar determinar a reta tangente t a uma curva com equação y � f (x), em um dado ponto P. (Demos uma definição precisa de reta tangente no Capítulo 2. Por ora, você pode pensá-la como a reta que toca a curva em P, como na Figura 5.) Uma vez que sabemos ser P um ponto sobre a reta tangente, podemos encon-trar a equação de t se conhecermos sua inclinação m. O problema está no fato de que, paracalcular a inclinação, é necessário conhecer dois pontos sobre t, e temos somente o pontoP. Para contornar esse problema, determinamos primeiro uma aproximação para m, to-mando sobre a curva um ponto próximo Q e calculando a inclinação mPQ da reta secantePQ. Da Figura 6 vemos que

mPQ �

Imagine agora o ponto Q movendo-se ao longo da curva em direção a P, como na Figura 7. Você pode ver que a reta secante gira e aproxima-se da reta tangente como suaposição-limite. Isso significa que a inclinação mPQ da reta secante fica cada vez mais pró-xima da inclinação m da reta tangente. Isso é denotado por

m � limQ mP

mPQ

e dizemos que m é o limite de mPQ quando Q tende ao ponto P ao longo da curva. Uma vezque x tende a a quando Q tende a P, também podemos usar a Equação 1 para escrever

m � limx ma

Exemplos específicos desse procedimento foram dados no Capítulo 2. O problema da tangente deu origem ao ramo do cálculo chamado cálculo diferencial,

que não foi inventado até mais de 2 mil anos após o cálculo integral. As principais ideiaspor trás do cálculo diferencial devem-se ao matemático francês Pierre Fermat (1601--1665) e foram desenvolvidas pelos matemáticos ingleses John Wallis (1616-1703), IsaacBarrow (1630-1677) e Isaac Newton (1642-1727) e pelo matemático alemão GottfriedLeibniz (1646-1716).

Os dois ramos do cálculo e seus problemas principais, o da área e o da tangente, ape-sar de parecerem completamente diferentes, têm uma estreita conexão. O problema da área e o da tangente são problemas inversos, em um sentido que foi explicado no Capítulo 5.

VELOCIDADE

Quando olhamos no velocímetro de um carro e vemos que ele está a 48 km/h, o que essainformação indica? Sabemos que, se a velocidade permanecer constante, após uma horao carro terá percorrido 48 km. Porém, se a velocidade do carro variar, qual o significadode a velocidade ser, em um dado momento, 48 km/h?

Para analisar essa questão, vamos examinar o movimento de um carro percorrendouma estrada reta e suponha que possamos medir a distância percorrida por ele (em metros)em intervalos de 1 segundo, como na tabela a seguir:

t � Tempo decorrido (s) 0 2 4 6 8 10d � Distância (m) 0 2 10 25 43 78

2f (x) � f (a)

����x � a

1f (x) � f (a)

����x � a

0

y

x

P

y � ƒ(x)

t

P

Q

t

0 x

y

y

0 xa x

f (x) � f (a)P(a, f (a))

x � a

t

Q(x, f (x))

FIGURA 5A reta tangente em P

FIGURA 6A reta secante PQ

FIGURA 7Retas secantes aproximando-se da reta tangente

Calculo_00:Layout 1 04.08.09 14:18 Page XXIV

Page 15: CÁLCULO VOLUME 2 - Tradução da 6ª edição norte-americana

XXIVM||||MCÁLCULO

O PROBLEMA DA TANGENTE

Considere o problema de tentar determinar a reta tangente t a uma curva com equação y � f (x), em um dado ponto P. (Demos uma definição precisa de reta tangente no Capítulo 2. Por ora, você pode pensá-la como a reta que toca a curva em P, como na Figura 5.) Uma vez que sabemos ser P um ponto sobre a reta tangente, podemos encon-trar a equação de t se conhecermos sua inclinação m. O problema está no fato de que, paracalcular a inclinação, é necessário conhecer dois pontos sobre t, e temos somente o pontoP. Para contornar esse problema, determinamos primeiro uma aproximação para m, to-mando sobre a curva um ponto próximo Q e calculando a inclinação mPQ da reta secantePQ. Da Figura 6 vemos que

mPQ �

Imagine agora o ponto Q movendo-se ao longo da curva em direção a P, como na Figura 7. Você pode ver que a reta secante gira e aproxima-se da reta tangente como suaposição-limite. Isso significa que a inclinação mPQ da reta secante fica cada vez mais pró-xima da inclinação m da reta tangente. Isso é denotado por

m � limQ mP

mPQ

e dizemos que m é o limite de mPQ quando Q tende ao ponto P ao longo da curva. Uma vezque x tende a a quando Q tende a P, também podemos usar a Equação 1 para escrever

m � limx ma

Exemplos específicos desse procedimento foram dados no Capítulo 2. O problema da tangente deu origem ao ramo do cálculo chamado cálculo diferencial,

que não foi inventado até mais de 2 mil anos após o cálculo integral. As principais ideiaspor trás do cálculo diferencial devem-se ao matemático francês Pierre Fermat (1601--1665) e foram desenvolvidas pelos matemáticos ingleses John Wallis (1616-1703), IsaacBarrow (1630-1677) e Isaac Newton (1642-1727) e pelo matemático alemão GottfriedLeibniz (1646-1716).

Os dois ramos do cálculo e seus problemas principais, o da área e o da tangente, ape-sar de parecerem completamente diferentes, têm uma estreita conexão. O problema da área e o da tangente são problemas inversos, em um sentido que foi explicado no Capítulo 5.

VELOCIDADE

Quando olhamos no velocímetro de um carro e vemos que ele está a 48 km/h, o que essainformação indica? Sabemos que, se a velocidade permanecer constante, após uma horao carro terá percorrido 48 km. Porém, se a velocidade do carro variar, qual o significadode a velocidade ser, em um dado momento, 48 km/h?

Para analisar essa questão, vamos examinar o movimento de um carro percorrendouma estrada reta e suponha que possamos medir a distância percorrida por ele (em metros)em intervalos de 1 segundo, como na tabela a seguir:

t � Tempo decorrido (s) 0 2 4 6 8 10d � Distância (m) 0 2 10 25 43 78

2f (x) � f (a)

����x � a

1f (x) � f (a)

����x � a

0

y

x

P

y � ƒ(x)

t

P

Q

t

0 x

y

y

0 xa x

f (x) � f (a)P(a, f (a))

x � a

t

Q(x, f (x))

FIGURA 5A reta tangente em P

FIGURA 6A reta secante PQ

FIGURA 7Retas secantes aproximando-se da reta tangente

Calculo_00:Layout 1 04.08.09 14:18 Page XXIV

UMA APRESENTAÇÃO DO CÁLCULOM||||MXXV

Como primeiro passo para encontrar a velocidade após 4 segundos de movimento, cal-cularemos qual a velocidade média no intervalo de tempo 4 � t � 8:

velocidade média �

� 8,25 m/s Analogamente, a velocidade média no intervalo 4 � t � 6 é

velocidade média � � 7,5 m/s

Nossa intuição é de que a velocidade no instante t � 4 não pode ser muito diferente davelocidade média durante um pequeno intervalo de tempo que começa em t � 4. Assim,imaginaremos que a distância percorrida foi medida em intervalos de 0,2 segundo, comona tabela a seguir:

t 4,0 4,2 4,4 4,6 4,8 5,0d 10,00 11,02 12,16 13,45 14,96 16,80

Então, podemos calcular, por exemplo, a velocidade média no intervalo de tempo [4, 5]:

velocidade média � � 6,8 m/s

Os resultados desses cálculos estão mostrados na tabela:

Intervalo de tempo [4, 6] [4, 5] [4, 4,8] [4, 4,6] [4, 4,4] [4, 4,2]Velocidade média (m/s) 7,5 6,8 6,2 5,75 5,4 5,1

As velocidades médias em intervalos cada vez menores parecem ficar cada vez maispróximas de 5; dessa forma, esperamos que exatamente em t � 4 a velocidade seja cercade 5 m/s. No Capítulo 2 definimos a velocidade instantânea de um objeto em movimentocomo o limite das velocidades médias em intervalos de tempo cada vez menores.

Na Figura 8 mostramos uma representação gráfica do movimento de um carro tra-çando a distância percorrida como uma função do tempo. Se escrevermos d � f (t), entãof (t) é o número de metros percorridos após t segundos. A velocidade média no intervalode tempo [4, t] é

velocidade média � �

que é a mesma coisa que a inclinação da reta secante PQ da Figura 8. A velocidade vquando t � 4 é o valor-limite da velocidade média quando t aproxima-se de 4; isto é,

v � limt m4

e, da Equação 2, vemos que isso é igual à inclinação da reta tangente à curva em P. Dessa forma, ao resolver o problema da tangente em cálculo diferencial, também es-

tamos resolvendo problemas relativos à velocidade. A mesma técnica aplica-se a proble-mas relativos à taxa de variação nas ciências naturais e sociais.

f (t) � f (4) ����

t � 4

f (t) � f (4) ����

t � 4

distância percorrida ����

tempo decorrido

16,80 � 10,00 ����

5 � 4

25 � 10 ����

5 � 4

43 � 10 ����

8 � 4

distância percorrida ����

tempo decorrido

t

d

0 2 4 6 8 10

10

20

P(4, f (4))

Q(t, f (t))

FIGURA 8

Calculo_00:Layout 1 04.08.09 14:18 Page XXV

Page 16: CÁLCULO VOLUME 2 - Tradução da 6ª edição norte-americana

XXVIM||||MCÁLCULO

O LIMITE DE UMA SEQUÊNCIA

No século V a.C., o filósofo grego Zenão propôs quatro problemas, hoje conhecidos comoParadoxos de Zenão, com o intento de desafiar algumas das ideias correntes em sua épocasobre espaço e tempo. O segundo paradoxo de Zenão diz respeito a uma corrida entre oherói grego Aquiles e uma tartaruga para a qual foi dada uma vantagem inicial. Zenão ar-gumentava que Aquiles jamais ultrapassaria a tartaruga: se ele começasse em uma posi-ção a1 e a tartaruga em t1 (veja a Figura 9), quando ele atingisse o ponto a2 � t1 a tartarugaestaria adiante, em uma posição t2. No momento em que Aquiles atingisse a3 � t2, a tar-taruga estaria em t3. Esse processo continuaria indefinidamente, e, dessa forma, aparente-mente a tartaruga estaria sempre à frente! Todavia, isso desafia o senso comum.

Uma forma de explicar esse paradoxo usa a ideia de sequência. As posições sucessi-vas de Aquiles e da tartaruga são respectivamente (a1, a2, a3, . . .) e (t1, t2, t3, . . .), conhe-cidas como sequências.

Em geral, uma sequência {an} é um conjunto de números escritos em uma ordem de-finida. Por exemplo, a sequência

{1, 12–, 1

3– , 1

4–, 1

5–, . . .}

pode ser descrita pela seguinte fórmula para o n-ésimo termo:

an �

Podemos visualizar essa sequência marcando seus termos sobre uma reta real, comona Figura 10(a), ou desenhando seu gráfico, como na Figura 10(b). Observe em ambas asfiguras que os termos da sequência an � 1/n tornam-se cada vez mais próximos de 0 àmedida que n cresce. De fato, podemos encontrar termos tão pequenos quanto desejar-mos, bastando para isso tomarmos n suficientemente grande. Dizemos então que o limiteda sequência é 0 e indicamos isso por

limn m∞

� 0

Em geral, a notação

limn m∞

an � L

será usada se os termos an tendem a um número L quando n torna-se grande. Isso signi-fica que podemos tornar os números an tão próximos de L quanto quisermos escolhendon suficientemente grande.

O conceito de limite de uma sequência ocorre sempre que usamos a representação de-cimal de um número real. Por exemplo, se

a1 � 3,1

Aquiles

tartaruga

a1 a2 a3 a4 a5

t1 t2 t3 t4

. . .

. . .

1 �n

1 �n

FIGURA 9

1

n1 2 3 4 5 6 7 8

10

a 1a 2a 3a4

(a)

(b)

FIGURA 10

Calculo_00:Layout 1 04.08.09 14:18 Page XXVI

Page 17: CÁLCULO VOLUME 2 - Tradução da 6ª edição norte-americana

XXVIM||||MCÁLCULO

O LIMITE DE UMA SEQUÊNCIA

No século V a.C., o filósofo grego Zenão propôs quatro problemas, hoje conhecidos comoParadoxos de Zenão, com o intento de desafiar algumas das ideias correntes em sua épocasobre espaço e tempo. O segundo paradoxo de Zenão diz respeito a uma corrida entre oherói grego Aquiles e uma tartaruga para a qual foi dada uma vantagem inicial. Zenão ar-gumentava que Aquiles jamais ultrapassaria a tartaruga: se ele começasse em uma posi-ção a1 e a tartaruga em t1 (veja a Figura 9), quando ele atingisse o ponto a2 � t1 a tartarugaestaria adiante, em uma posição t2. No momento em que Aquiles atingisse a3 � t2, a tar-taruga estaria em t3. Esse processo continuaria indefinidamente, e, dessa forma, aparente-mente a tartaruga estaria sempre à frente! Todavia, isso desafia o senso comum.

Uma forma de explicar esse paradoxo usa a ideia de sequência. As posições sucessi-vas de Aquiles e da tartaruga são respectivamente (a1, a2, a3, . . .) e (t1, t2, t3, . . .), conhe-cidas como sequências.

Em geral, uma sequência {an} é um conjunto de números escritos em uma ordem de-finida. Por exemplo, a sequência

{1, 12–, 1

3– , 1

4–, 1

5–, . . .}

pode ser descrita pela seguinte fórmula para o n-ésimo termo:

an �

Podemos visualizar essa sequência marcando seus termos sobre uma reta real, comona Figura 10(a), ou desenhando seu gráfico, como na Figura 10(b). Observe em ambas asfiguras que os termos da sequência an � 1/n tornam-se cada vez mais próximos de 0 àmedida que n cresce. De fato, podemos encontrar termos tão pequenos quanto desejar-mos, bastando para isso tomarmos n suficientemente grande. Dizemos então que o limiteda sequência é 0 e indicamos isso por

limn m∞

� 0

Em geral, a notação

limn m∞

an � L

será usada se os termos an tendem a um número L quando n torna-se grande. Isso signi-fica que podemos tornar os números an tão próximos de L quanto quisermos escolhendon suficientemente grande.

O conceito de limite de uma sequência ocorre sempre que usamos a representação de-cimal de um número real. Por exemplo, se

a1 � 3,1

Aquiles

tartaruga

a1 a2 a3 a4 a5

t1 t2 t3 t4

. . .

. . .

1 �n

1 �n

FIGURA 9

1

n1 2 3 4 5 6 7 8

10

a 1a 2a 3a4

(a)

(b)

FIGURA 10

Calculo_00:Layout 1 04.08.09 14:18 Page XXVI

UMA APRESENTAÇÃO DO CÁLCULOM||||MXXVII

a2 � 3,14 a3 � 3,141 a4 � 3,1415 a5 � 3,14159 a6 � 3,141592 a7 � 3,1415926

.

.

.então lim

n m∞an � p

Os termos nessa sequência são aproximações racionais de p. Vamos voltar ao paradoxo de Zenão. As posições sucessivas de Aquiles e da tartaruga

formam as sequências {an} e {tn}, nas quais an � tn para todo n. Podemos mostrar queambas as sequências têm o mesmo limite:

limn m∞

an � p � limn m∞

tn

É precisamente nesse ponto p que Aquiles ultrapassa a tartaruga.

A SOMA DE UMA SÉRIE

Outro paradoxo de Zenão, conforme nos foi passado por Aristóteles, é o seguinte: “Umapessoa em certo ponto de uma sala não pode caminhar até a parede. Para tanto ela deve-ria percorrer metade da distância, depois a metade da distância restante, e então nova-mente a metade da distância que restou e assim por diante, de forma que o processo podeser sempre continuado e não terá um fim”. (Veja a Figura 11.)

Como, naturalmente, sabemos que de fato a pessoa pode chegar até a parede, isso su-gere que a distância total possa ser expressa como a soma de infinitas distâncias cada vezmenores, como a seguir:

1 � � � � � . . . � � . . .

Zenão argumentava que não fazia sentido somar um número infinito de números. Porém,há situações em que fazemos implicitamente somas infinitas. Por exemplo, na notação de-cimal, o símbolo, 0,3

–= 0,3333… significa

� � � � . . .

dessa forma, em algum sentido, deve ser verdade que

� � � � . . . �

12

14

18

116

1 �3

3 �10.000

3 �1.000

3 �100

3 �10

3 �10.000

3 �1.000

3 �100

3 �10

1 �2n

1 �16

1 �8

1 �4

1 �2

3

FIGURA 11

Calculo_00:Layout 1 04.08.09 14:18 Page XXVII

Page 18: CÁLCULO VOLUME 2 - Tradução da 6ª edição norte-americana

XXVIIIM||||MCÁLCULO

Mais geralmente, se dn denotar o n-ésimo algarismo na representação decimal de um número, então

0,d1d2 d3 d4. . . � � � � . . . � � . . .

Portanto, algumas somas infinitas, ou, como são chamadas, séries infinitas, têm um sig-nificado. Todavia, é necessário definir cuidadosamente o que é a soma de uma série.

Retornando à série da Equação 3, denotamos por sn a soma dos n primeiros termos dasérie. Assim

s1 �12– � 0,5

s2 �12– �

14– � 0,75

s3 �12– �

14– �

18– � 0,875

s4 �12– �

14– �

18– �

116– � 0,9375

s5 �12– �

14– �

18– �

116– �

132– � 0,96875

s6 �12– �

14– �

18– �

116– �

132– �

164– � 0,984375

s7 �12– �

14– �

18– �

116– �

132– �

164– �

1128– � 0,9921875

.

.

.s10 �

12– �

14– � . . . �

11024–– � 0,99902344

.

.

.s16 � � � . . . � � 0,99998474

Observe que à medida que somamos mais e mais termos, as somas parciais ficam cadavez mais próximas de 1. De fato, pode ser mostrado que tomando n suficientemente grande(isto é, adicionando um número suficientemente grande de termos da série), podemos tor-nar a soma parcial sn tão próxima de 1 quanto quisermos. Parece então razoável dizer quea soma da série infinita é 1 e escrever

� � � . . . � � . . . � 1

Em outras palavras, a razão de a soma da série ser 1 é que

limn m∞

sn � 1

No Capítulo 11 discutiremos mais essas ideias. Usaremos então a ideia de Newton decombinar séries infinitas com cálculo diferencial e integral.

RESUMO

Vimos que o conceito de limite surge de problemas tais como encontrar a área de uma re-gião, a tangente a uma curva, a velocidade de um carro ou a soma de uma série infinita.Em cada um dos casos, o tema comum é o cálculo de uma quantidade como o limite deoutras quantidades mais facilmente calculáveis. É essa ideia básica que coloca o cálculoà parte de outras áreas da matemática. Na realidade, poderíamos definir o cálculo comoaquele ramo da matemática que trata de limites.

Depois de inventar sua versão de cálculo, sir Isaac Newton a usou para explicar o mo-vimento dos planetas em torno do Sol. Hoje, o cálculo é usado na determinação de órbi-tas de satélites e naves espaciais, na predição do tamanho de uma população, na estimativa

1 �2n

1 �8

1 �4

1 �2

1 �216

1 �4

1 �2

dn�10n

d3�103

d2�102

d1�10

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VOLUME 2

Neste volume, continuação de Cálculo vol. 1 (capítulos 1 a 8), James Stewart mantém o estímulo e

o apreço dos estudantes pelo cálculo, defendendo seu papel fundamental inclusive na percepção e

no entendimento do mundo natural, dos fenômenos mais corriqueiros à nossa volta. Cálculo vol. 2

(capítulos 9 a 17) traz temas importantes, como equações diferenciais, vetores, integrais, entre

outros, complementando a obra sobre cálculo de maior sucesso no mundo.

Esta 6ª edição de Cálculo traz diversas inovações em relação à edição anterior. Algumas seções e

capítulos foram reformulados. Mais de 25% dos exercícios são novos e os exemplos tiveram seus

dados modernizados. Em muitos deles, as unidades foram alteradas do sistema norte-americano

para o Sistema Internacional de Unidades.

Revista e atualizada, a obra mantém o espírito das edições anteriores, apresentando exercícios

graduados, com progressão cuidadosamente planejada desde conceitos básicos até problemas

complexos e desafiadores. Os exemplos e exercícios agora têm perspectiva global, incluindo dados

inspirados em países da Ásia e América Latina.

Aplicações:

Livro-texto para a disciplina cálculo nos cursos de Matemática e Engenharia.

Para suas soluções de curso e aprendizado,visite www.cengage.com.br

ISBN 13 – 978-85-221-0661-5ISBN 10 – 85-221-0661-4

9 788522 106615

Sobre o autor

James Stewart é mestre pela

Universidade de Stanford e Ph.D pela

Universidade de Toronto. Após dois

anos na Universidade de Londres,

tornou-se professor de Matemática na

McMaster University. Seus livros foram

traduzidos para diversos idiomas, como

espanhol, português, francês, italiano,

coreano, chinês e grego.

Stewart foi nomeado membro do Fields

Institute em 2002 e recebeu o

doutorado honorário em 2003 pela

McMaster University. O Centro de

Matemática James Stewart foi aberto

em outubro de 2003, também na

McMaster University.

cálculoV

OL

UM

E 2

JA

ME

S S

TE

WA

RT

POSSUI MATERIAL DE APOIO

cálculoTRADUÇÃO DA 6 EDIÇÃO NORTE-AMERICANA

VOLUME 2

Outras Obras

Álgebra Linear

David Poole

Análise Numérica – Tradução da

8ª edição norte-americana

Richard L. Burden e J. Douglas Faires

Cálculo Volume 1 – Tradução da

6ª edição norte-americana

James Stewart

Cálculo Numérico: aprendizagem

com apoio de software

Selma Arenales e Artur Darezzo

Pré-Cálculo – 2ª edição revista e

atualizada

Valéria Zuma Medeiros (Coord.)

André Machado Caldeira

Luiza Maria Oliveira da Silva

Maria Algusta Soares Machado

Probabilidade e Estatística para

Engenharia e Ciências

Jay L. Devore

Vetores e Matrizes: Uma introdução à

álgebra linear – 4ª edição

Nathan Moreira dos Santos, Doherty

Andrade e Nelson Martins Garcia

cálculo

J A M E S S T E W A R T

POSSUI MATERIAL DE APOIO

TRADUÇÃO DA 6 EDIÇÃO NORTE-AMERICANA

C

M

Y

CM

MY

CY

CMY

K

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