CÁLCULO DO VOLUME INSTANTÂNEO DE UM TANQUE DE COMBUSTÍVEL CILÍNDRICO HORIZONTAL EM CLP

Alexandre Borges Selau1 <alexandre.selau@stemac.com.br>

Universidade Luterana do Brasil – Curso de Bacharel em Matemática Aplicada a Informática ULBRA – Campus Canoas

Av. Farroupilha, 8.001 – Bairro São Luís – CEP 92420-280 – Canoas – RS

RESUMO

Este artigo apresenta uma aplicação da Matemática Aplicada em Informática no desenvolvimento de sistemas de controle em Automação Industrial. A Automação Industrial é utilizada para melhorar a produtividade, a qualidade e a segurança dos processos através de software desenvolvido em um Controlador Lógico Programável, conhecido por CLP. Um CLP é um computador especializado baseado em um microprocessador que desempenha funções de controle dentro de um domínio finito. O contexto deste trabalho é apresentar uma solução através do desenvolvimento de uma equação integral para calcular o volume de um tanque cilíndrico horizontal em função da altura. Este desafio se faz necessário para realizar a medição do volume de combustível para controle e alarmes, substituindo a operação manual que é feita através de um visor demarcado com alguns níveis.

Palavras-chaves: Automação; CLP e Algoritmo.

ABSTRACT

Title: “Horizontal Cylindrical Fuel Tank Instantaneous Volume PLC-Calculator”

This article presents an application of Applied Mathematics in Computer Science in the development of control systems in Industrial Automation. Industrial Automation is employed to improve productivity, quality and safety of the processes through software developed in a Programmable Logical Controller, known as PLC. A PLC is a specialized computer based on a microprocessor that carries out control functions inside of a finite domain. The context of this work is to present a solution through the development of an integral equation to calculate the volume of a horizontal cylindrical fuel tank as a function of the fuel column. This challenge become necessary to accomplish the fuel volume measurement for control and alarm purposes, instead of the manual operation that is normally done via a visual indicator marked with some levels.

Key-words: Automation, PLC and Algorithm.

1. INTRODUÇÃO

O conceito de Automação Industrial foi introduzido nos Estados Unidos em 1946.

Desde então a evolução tecnológica do Controlador Lógico Programável (CLP) vem

crescendo bruscamente, abrindo portas para as mais diversas aplicações, eliminando

definitivamente os antigos painéis controlados por relés eletromecânicos. Atualmente o

CLP atingiu um nível de evolução tecnológica que possibilita cálculos trigonométricos,

malhas de controle e até serviços para hospedagem de páginas de Internet. O mercado

oferece algumas marcas, tais como Telemecanique, Horner, Rockwell, Altus e Siemens.

O intuito do artigo não é promover uma ou outra marca, mas sim mostrar a aplicação da

matemática no contexto da Automação Industrial. Desta forma, devemos utilizar um CLP

que tenha capacidade de realizar cálculos trigonométricos, raízes e exponenciais, a

escolha final fica por conta do departamento comercial. Para efeitos didáticos, além da

introdução e da conclusão, o artigo foi dividido em seções descrevendo os diferentes

desafios e suas soluções aplicando os fundamentos da matemática computacional. A

Seção 2 descreve um panorama histórico da origem e as implicações do Controlador

Lógico Programável na sociedade, trazendo fatos relevantes que contribuíram na

evolução dos sistemas de controle utilizados atualmente em diversos processos na área

da Automação Industrial. Após, a seção 3 descreve alguns tipos de sensores de campo e

como podemos normalizar as diferentes grandezas físicas, uma vez que para medir o

nível de combustível vamos adotar um sensor de pressão instalado na parte inferior do

tanque. Após, a seção 4 busca uma solução matemática para medir o volume de um

tanque cilíndrico horizontal em tempo real, permitindo, assim, um controle automático de

nível, gerenciamento de alarmes e histórico de consumo, uma vez que atualmente a

medida se faz de forma visual através de um tubo transparente com marcações de

volume e todo o controle de enchimento é manual. Para finalizar, a seção 5 descreve a

aplicação destes conceitos dentro de um exemplo prático, bem como os códigos fontes

utilizados.

2. O CONTROLADOR LÓGICO PROGRAMÁVEL

Segundo Silveira e Santos (1999), “a primeira experiência de um controle de lógica

que permitisse a programação por recursos de software foi realizada em 1968, na divisão

de hidramáticos da General Motors Corporation... Iniciava-se a era dos controladores de

lógica programável”. Enfatizado em Cáceres (2004), “O Controlador Programável, ou

simplesmente CP, tem revolucionado os comandos e controles industriais desde seu

surgimento na década de 70”.

A palavra controle denota o ato ou poder de exercer domínio, fiscalizar,

supervisionar, manter o equilíbrio. Esta compreensão é milenar e sempre foi alvo da

consecução de objetivos comuns de uma nação, região ou comunidade como um todo.

Variavelmente encontrada como um triunfo na mente do indivíduo: controlar para não ser

controlado.

O controle, na escala tecnológica, assume o papel primordial e decisivo dentre os

modelos e processos existentes, sejam eles simples, modestos, robustos ou de extrema

1 Consultor e Projetista de Sistemas de Automação. Trabalhando na área desde 1997.

complexidade no plano de ações. O controle através do CLP que se está preconizando, é

finito, de uma aplicação dedicada, entretanto, vale estender estes conceitos e as

necessidades de seu emprego, caracterizando sua real importância.

Para que se possa entender a evolução do CLP, é interessante compreender seu

contexto histórico e econômico. Para tanto, faz-se necessário citar quais foram as

principais transformações que modificaram brutalmente a divisão social do trabalho,

decorrentes de inventos que marcaram profundamente os dois últimos séculos, bem

como o estabelecimento de paradigmas que se construíram em torno do “emprego”,

principalmente após a primeira grande revolução industrial. Diante das opções de

controle de um sistema automático que evoluiu para o conceito do que se conhece hoje

como Automação, um breve histórico de como o mundo resistiu a tais transformações

tecnológicas torna-se fundamental.

2.1 A IMPORTÂNCIA DE UM INVENTO

Os inventos produzidos pela humanidade sempre trouxeram, além da grande

dúvida de suas conseqüências e impacto social, um estilo de vida decorrente de novos

hábitos assumidos diante de novos desafios e necessidades. O homem sempre buscou

simplificar seu trabalho de forma a substituir o esforço braçal por outros meios e

mecanismos, sendo que seu tempo disponível para outros afazeres fosse mais bem-

empregado e valorizado nas atividades do intelecto, das artes, lazer, pesquisa ou

simplesmente no gozo de novas formas de entretenimento.

Desde a primeira utilização da roda de que há conhecimento, ocorrida na Ásia

entre 3.500 e 3.200 a.C., o mundo vem procurando “controlar e otimizar” o tempo.

Aprendeu, com o decorrer da história, que criar novos modelos ou mesmo novas

máquinas dar-lhe-ia a chave para o sucesso, a consecução de objetivos de forma muita

mais rápida. Porém, suas descobertas também puderam significar um certo atraso

quando suas conquistas na ciência foram usadas de forma incorreta e inconseqüente,

como é o caso do emprego da tecnologia no advento dos dispositivos de estado sólido,

conhecido por transistores2, fortalecendo a parafernália eletrônica utilizada para fins

bélicos.

Com a promessa pautada na esperança da melhoria da qualidade de vida de seus

descendentes, outro tipo de retrocesso que pode trazer conseqüências sociais

desastrosas é verificado por meio do desemprego imediato, mesmo sendo este um efeito

gerado de forma temporária.

2 Wikipédia (04/Maio/2006), “Componente eletrônico responsável pela revolução eletrônica a partir de 1960, cujas funções são

amplificar e chavear os sinais elétricos”.

As grandes descobertas trouxeram riquezas e marcaram época, como por

exemplo: os moinhos de água em 1086, na Inglaterra ao sul do rio Trent que somavam

um total de 5624 postos para produzir energia de forma revolucionária e barata. Sendo

uma época em que a população era de aproximadamente um quinto da atual, seu

crescimento demográfico só pode ser verificado, entre outros fatores, pela geração de

empregos decorrentes do desenvolvimento de novas tecnologias.

Os moinhos foram criados, inicialmente, para moerem cereais, contudo

conduziram à mecanização de muitos outros processos, tais como: trabalho com metais,

elevação de água para irrigar os campos e abastecer grandes povoados, serrarias e

britagem de minério.

O arado foi, sem dúvida, a maior invenção para as atividades primárias

desenvolvidas no século VII. Permitia uma economia de tempo no corte do solo para a

fixação de raízes mais fortes, além de ser responsável pela formação de sociedades

entre famílias para o melhor aproveitamento dos animais (sempre foram utilizados, desde

a Grécia antiga, para mover máquinas simples, permitindo ao homem executar tarefas

mais especializadas e difíceis), que puxavam o arado, de forma a sustentarem um novo

sistema senhorial baseado em conselhos de aldeias necessárias para gerenciar a ação

de distribuição de terras. Lembrando que a cultura agrícola mediterrânica era do tipo

individualista.

A descoberta da agulha magnética tornou viável a navegação de longo curso,

sendo possível realizar viagens de exploração que iriam ampliar novos horizontes e trazer

outras fontes de riqueza em terras desconhecidas.

A agricultura é a responsável pelo crescimento de pequenos povoados e oficinas

de atividades artesanais. Bens industriais são fabricados em pequenas oficinas

comandados por artesões e seus familiares. A estrutura agrícola, com a utilização da

enxada, da gadanha e do mangal (instrumento para malhar cereais, composto de dois

paus ligados a uma correia), caracteriza-se como uma atividade artesanal.

Já a invenção da máquina a vapor, pelo escocês James Watt, em 1781, foi sem

dúvida a principal responsável pelo êxodo rural, dando origem a grandes aglomerações

urbanas, as quais são conhecidas, hoje, como grandes metrópoles. Lembrando que em

meados de século XVIII a sociedade era essencialmente agrícola.

Até chegar ao nível de automação, conceito introduzido nos Estados Unidos em

1946, que se verifica hoje na indústria moderna, com seus diferentes níveis hierárquicos

e diferentes técnicas de controle, preconizando a terceira revolução industrial do fim do

século XX, tem-se que entender um pouco das implicações que as outras duas

revoluções industriais tiveram no impacto social produzido a partir de inúmeros inventos e

descobertas que a humanidade fez ou produziu em sua existência. A cada invenção o

homem desencadeava um processo de desenvolvimento, que descobria novos papéis na

sociedade e redefinia suas novas necessidades, e é por este motivo que a maior dessas

necessidades talvez tenha sido: a primeira Revolução Industrial, também conhecida como

a “revolução das máquinas”.

Costuma-se dizer que a invenção da Máquina de Fiação, do Tear3 Mecânico e do

Motor a Vapor marcou esse período de transição da revolução industrial, destruindo o

velho mundo e ajudando a construir o novo mundo.

2.1.1 Máquina de fiação

Foi na Idade Média que se passou a utilizar a Máquina de Fiação que era

constituído por uma roda de fiar, uma roca e um fuso. Uma roda de fiar mais

aperfeiçoada surge na Saxônia, atual região ao leste da Alemanha, no século XV. Depois

veio a lançadeira volante, inventada em 1733, pelo tecelão inglês John Day, e por volta

de 1767, James Hargreaves, tecelão inglês do Lancashire, construiu uma máquina que

fiava o fio simultaneamente em oito fusos, denominada máquina de fiar rotativa. Essa

máquina possuía uma manivela e fiava oito fios simultaneamente, porém, após ter sido

destruída por seus colegas fiandeiros, que temiam perder o trabalho por causa da

máquina, construiu posteriormente uma com 16 fusos, que substituía o trabalho que era

executado por 100 homens, com roda que até uma criança poderia operar. Esse evento

deu início aos primeiros passos de uma produção em série.

2.1.2 Tear mecânico

Em 1769, Richard Arkwright, um inventor inglês considerado como um dos

precursores das técnicas de produção em série, acelerou o processo de industrialização

utilizando a força da água corrente para movimentação de uma máquina de tecer. Com

uma máquina movida por uma correia acionada por uma roda hidráulica, estava criado o

tear mecânico. Dentro de uma evolução histórica, o tear mecânico foi aperfeiçoado por

Samuel Crompton em 1779, podendo contar com 48 fusos e em 1828, com o surgimento

da fiadora de anéis, a quantidade de fusos chega ao número fantástico de 1000.

A máquina criada por Arkwright era robusta e cara para o tecelão comum. Os

mestres tecelões passaram a fomentar grandes sociedades e juntaram vários teares num

único local de trabalho, havendo uma grande concentração de máquinas, dando origem

às indústrias, e aos poucos foram mudando os hábitos do trabalho. Foram instituídas as

3 Wikipédia (04/Maio/2006), “Um tear é um aparelho mecânico ou eletromecânico empregado para fins de tecelagem”.

jornadas de trabalho e o trabalhador passou a morar num local e a trabalhar em outro.

2.1.3 Motor a vapor

O primeiro motor a vapor foi criado em 1712, pelo ferreiro Thomas Newcomen. Era

de baixa potência e utilizado para tirar água das minas de carvão. Um dos motores foi

parar na oficina do escocês e fabricante de instrumentos James Watt para conserto, e foi

então que Watt constatou que tal máquina poderia ser muito mais eficiente. A partir de

então, a verdadeira máquina a vapor tinha sido inventada.

2.2 A EVOLUÇÃO DO CONTROLE INDUSTRIAL

Aos primeiros reguladores mecânicos desenvolvidos por James Watt, em 1788,

seguiram-se a instrumentação e reguladores do tipo pneumático e hidráulico e, após as

guerras mundiais, do tipo eletrônico com tecnologia analógica por meio de transistores.

Desde a construção de máquinas simples e da conseqüente mecanização, a partir

de 1770, somente no século XIX é que surgiram os mecanismos automáticos fixos e as

linhas de montagem para a produção em massa.

Com o decorrer das necessidades da própria evolução, foram desenvolvidos

máquinas-ferramentas com controle automático simples para executarem uma seqüência

simples de operação. Em 1950, tais máquinas são comandadas por circuitos

transistorizados e, em 1960, por computadores, passando a trabalhar segundo instruções

codificadas que lhes são transmitidas por um cartão perfurado ou fita magnética.

Uma das primeiras máquinas-ferramentas que se tem noticia é o Torno de abrir

roscas, inventado em 1568, pelo engenheiro francês Jacques Besson. Mesmo sendo

primitivo, o torno abria roscas de parafusos com razoável precisão.

O motor a vapor não teria tido tanto sucesso em sua época, se não fosse o projeto

do técnico de siderurgia inglês, John Wilkinson, em 1775, para aperfeiçoar uma máquina

de mandrilhar cilindros, de tal modo que os cilindros mandrilhados e furados com

precisão faziam com que as máquinas a vapor desenvolvessem maior potência associada

a uma economia de combustível. O desenvolvimento de todos os equipamentos dos

quais depende a civilização moderna não aconteceria caso as máquinas-ferramentas de

precisão não fossem empregadas nas inúmeras fábricas dos mais diferentes ramos de

atividades que se conhece atualmente.

2.3 O CONTROLE NUMÉRICO

A máquina-ferramenta foi aprimorada até a concepção do comando numérico –

CN. Tais máquinas são comandadas numericamente e viabilizam a fabricação, em

pequenos e variados lotes, de peças com geometrias muito complexas por meio do

recurso de programação eletrônica das seqüências de usinagem. O controle numérico

ocorreu no início da década de 50, propiciando o desenvolvimento na indústria

manufatureira e foi a partir de 1952, por meio de importantes pesquisas desenvolvidas

pelos institutos de tecnologia do mundo, como por exemplo: projeto desenvolvido pelo

Instituto de Tecnologia de Massachusetts – MIT que usava uma fresadora de três eixos

para demonstrar o protótipo de um comando numérico. Uma nova era se abre para a

Automação Industrial.

2.4 AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL

Segundo Oliveira (1993), “a cada dia que passa, os equipamentos elétricos e

mecânicos vão dando lugar aos microprocessadores. Tanto na vida profissional como na

cotidiana, estamos sendo envolvidos por microprocessadores e computadores. Na

indústria, estas máquinas estão sendo empregadas para facilitar e melhorar o serviço.

Estamos vivendo na era da automação”. Fica fácil constatar tal afirmação, basta observar

em nossa volta que veremos sistemas automatizados, casas automatizadas e a criação

de cursos técnicos e tecnológicos específicos na área da Automação.

Até o início da década de 60, a utilização de relés eletromecânicos era

praticamente a única opção possível. Com o advento dos dispositivos microprocessados,

vieram os Controladores Lógicos Programáveis, onde a forma básica de programação é

oriunda da lógica de programação dos diagramas elétricos a relés. Próprio para

ambientes industriais, os controladores realizam uma rotina cíclica de operação, o que

lhes caracteriza seu princípio de funcionamento, e operam apenas variáveis digitais,

efetuando apenas controle discreto. Quando tais equipamentos manipulam variáveis

analógicas, são chamados de Controladores Programáveis. Atualmente, não se faz

distinção entre estes dois tipos de controladores, ficando, assim, conhecido pelo mundo

técnico como Controlador Lógico Programável, ou apenas CLP.

Na década de 60, o controle era feito de forma centralizado em computadores de

grande porte conhecido como Mainframes. Eles eram dedicados ao armazenamento e

concentração de dados para posterior distribuição, o Mainframe controlava todas as

malhas de controle e podia controlar dezenas de máquinas ao mesmo tempo.

Juntamente com o aparecimento das técnicas digitais oriundas da revolução

eletrônica em meados do século XX, surge um novo conceito de controle: o Sistema

Digital de Controle Distribuído – SDCD. Tais processos com suas unidades de controle se

constituem verdadeiros “nós”, que além de integrar todo o sistema de supervisão com

interfaces homem-máquina, o sistema distribuído abre caminho para a

intercomunicabilidade e futura padronização de todos os equipamentos de

sensoriamento, controle e atuadores nos mais diversos níveis.

Um SDCD pode ser representado por uma sala central, gerenciadora de controle e

supervisão global, microprocessada em rede com vários outros controladores de

responsabilidade local, caracterizando-se pela transformação de processos automatizado

em verdadeiros sistemas de automação supervisionados com a capacidade e

rastreamento de todas as etapas do processo produtivo, bem como a flexibilização e

aumento da capacidade de integração de seus componentes, prevendo, portanto, um

aumento do processo e do nível de automação de forma natural e continuada.

A Automação é um conceito e um conjunto de técnicas por meio das quais se

constroem sistemas ativos capazes de atuar com uma ótima eficiência pelo uso das

informações recebidas do meio sobre o qual atuam. Com base nas informações, o

sistema calcula a ação corretiva mais apropriada para a execução da ação e esta é uma

característica de sistemas em malha fechada, conhecidos como sistemas de

realimentação, ou seja: aquele que mantém uma relação expressa entre o valor da saída

em relação ao da entrada de referência do processo a ser controlado. Essa relação

entrada/saída serve para corrigir eventuais valores na saída que estejam fora dos valores

desejados. Por tanto, são utilizados controladores que, por meio da execução algorítmica

de um programa ou circuito eletrônico, comparam o valor atual com o valor desejado,

efetuando o cálculo para ajuste e correção. O valor desejado também é conhecido da

literatura inglesa como setpoint. A estrutura básica de controle de um processo é

composta por sensores, atuadores e o controlador.

2.4.1 Sensores

Sensor é definido como sendo um dispositivo sensível a um fenômeno físico, tais

como: temperatura, umidade, pressão, entre outros. Por meio desta sensibilidade, os

sensores enviam um sinal que pode ser um simples abrir ou fechar de contatos ou uma

grandeza elétrica. Para reproduzir os fenômenos físicos, tem-se, conceitualmente, a

necessidade de utilizar um transdutor, que se caracteriza por um dispositivo capaz de

responder ao fenômeno físico de forma a converter sua magnitude em um sinal elétrico

padronizado.

2.4.2 Atuadores

Os atuadores são dispositivos a serem acionadas para executarem uma

determinada força mecânica de deslocamento ou outra ação física, definidas pelo

sistema controlador por meio de uma ação de controle (maneira pelo qual o controlador

produz o sinal de controle). Podem ser magnéticos, hidráulicos, pneumáticos, elétricos ou

de acionamento misto.

2.4.3 Controlador

O controlador é responsável por automatizar um determinado processo através de

lógicas e algoritmos bem definidos. Na automação industrial temos, então, um dispositivo

chamado de Controlador Lógico Programável, CLP.

Na seqüência é retomada a idéia da introdução onde descrevemos que o presente

trabalho tem como objetivo demonstrar soluções matemáticas computacionais no desafio

de automação encontrado na implementação do algoritmo para medição do volume de

combustível do tanque cilíndrico horizontal.

3. NORMALIZAÇÃO DAS GRANDEZAS DE CAMPO

Como vimos, os sensores são dispositivos sensíveis a uma grandeza física

quaisquer. O sensor pode ser um simples contato que irá identificar a posição de um

determinado componente ou ainda fornecer valores escalares. Neste caso, podemos

diferenciar os sensores como digitais ou analógicos, ou seja, os sensores digitais

fornecem apenas uma informação: aberto ou fechado, ligado ou desligado; enquanto os

sensores analógicos fornecem um segmento de reta cujos extremos são sinais elétricos

interpretáveis pelo CLP e o número de pontos deste segmento de reta depende da

resolução da entrada analógica. O CLP é composto por diversos módulos eletrônicos,

dentre os quais, existem dois tipos básicos que são os módulos de Entradas Digitais e os

Módulos de Entrada Analógicas que são utilizados interpretar os sinais dos sensores.

O módulo de Entrada Digital é um módulo que identifica um determinado sinal

simplesmente através da presença ou ausência de tensão elétrica em seus terminais. Ou

seja, existe uma relação direta entre o presença ou ausência do sinal com o estado de

um determinado dispositivo.

É de suma importância orientar o leitor para algumas unidades utilizadas para as

grandezas elétricas citadas no decorrer deste artigo, tais como:

Vcc = Unidade de Tensão em Corrente Contínua;

A = Unidade de Corrente Elétrica;

mA = Unidade da Corrente Elétrica. 1A = 1000mA;

bar = Unidade de Pressão;

°C = Unidade de Temperatura;

m³ = Unidade de Volume;

l = Unidade de Volume. 1 m³ = 0,001 l.

O módulo de Entradas Analógicas possui algumas variações entre o tipo, valor de

sinal a ser medido e a própria grandeza física que se está medindo, não existindo uma

relação direta. Isto é, o valor do sinal elétrico que o sensor envia para o CLP pode ser: 0

a 10 Vcc, -10 Vcc a +10 Vcc, -5 Vcc a +5 Vcc, 0 a 20 mA, 4 a 20 mA; e a grandeza física

pode ser: temperatura, pressão, tensão, potência, entre outros. Estes sinais elétricos são

convertidos no CLP para um registrador interno de 16 bits.

Na Tabela 1, são mostradas algumas variações de sensores, indicando a escala

de trabalho, o tipo de sinal elétrico gerado e a referência interpretada dentro do CLP.

Tabela 1 – Exemplo de sensores e sinais Grandeza Física Escala Tipo de Sinal Referência do CLP

Temperatura 0 a 100 °C 0 a 10 Vcc 0 a 32000 Temperatura 0 a 100 °C 4 a 20 mA 6400 a 32000

Corrente -1 a 5 A 0 a 20 mA 0 a 32000 Tensão -24 a 24 Vcc -5 a 5 Vcc -32000 a 32000 Pressão 0 a 0,2 bar 4 a 20 mA 0 a 32000

Nosso primeiro desafio será construir uma função matemática capaz de traduzir

um valor analógico na entrada do CLP em um valor cuja grandeza é conhecida. Para

tanto, vamos analisar na Figura 1 a relação de congruência geométrica existente entre os

triângulos ABC e ADE.

Figura 1 – Gráfico de um segmento de reta

Inicialmente vamos traçar um segmento de reta no plano cartesiano da origem,

ponto A, até o ponto B. O ponto D identifica o ponto médio deste segmento de reta.

C

Y

B

D

E A

X1 Y1

Y2

y

x X X2

Traçando os segmentos de reta perpendiculares ao eixo x a partir dos pontos X e X2, bem

como os segmentos de reta ao eixo y a partir dos pontos Y e Y2, podemos observar a

existência dos triângulos ABC e ADE. Através das propriedades de semelhança de

triângulos, pelo caso AA (Ângulo Ângulo) podemos observar que os dois triângulos são

semelhantes, nota-se que ambos possuem um ângulo reto em E e C, e um ângulo

comum em A. Desta forma, é possível fazer a relação mostrada na Equação 1.

CB

ED

AC

AE = (1)

Através das Equações 2, 3, 4 e 5, podemos identificar o tamanho dos segmentos

de reta e substituir pelas variáveis do eixo cartesiano.

1XXAEAE −=−= (2)

12 XXACAC −=−= (3)

1YYEDED −=−= (4)

12 YYCBCB −=−= (5)

Na Equação 6 vamos substituir as variáveis da Equação 1, utilizando as

demonstrações das equações 2, 3, 4, e 5.

12

1

12

1

YYYY

XXXX

−−=

−−

(6)

Como precisamos de f(x), vamos isolar o Y da equação, observando o

desenvolvimento nas equações 7 e 8.

( )1212

11 YY

XXXX

YY −×−−=− (7)

( ) 11212

1 YYYXXXX

Y +−×−−= (8)

Para efeitos didáticos, vamos melhora a Equação 8 na Equação 9.

( ) 112

121 Y

XXYY

XXY +−−×−= (9)

Como o eixo da abscissa é o nosso valor de entrada de uma grandeza física

qualquer, ou seja, é o valor que o CLP entende através de um módulo eletrônico de

Entradas Analógicas. Devemos denominar os pontos da forma mostrada na Tabela 2.

Tabela 2 – Eixo da abscissa Ponto Mnemônico Descrição

X EA Valor da Entrada Analógica do CLP X1 REFmin Referência Mínima da EA X2 REFmax Referência Máxima da EA

O eixo da ordenada será o resultado da função, ou seja, é o valor esperado que

possui um significado ao entendimento convencional como pressão, temperatura, altura,

entre outros. Devemos denominar os pontos da forma mostrada na Tabela 3.

Tabela 3 – Eixo da ordenada Ponto Mnemônico Descrição

Y RES Resultado Esperado Y1 LIMMIN Limite Mínimo Esperado Y2 LIMMAX Limite Máximo Esperado

Para fins práticos, devemos aplicar os mnemônicos mostrados acima, Tabela 2 –

Eixo da abscissa e Tabela 3 – Eixo da ordenada, sobre o primeiro gráfico, Figura 1 –

Gráfico de um segmento de reta, conforme demonstrado na Figura 2. Esta normalização

da identificação dos pontos dos segmentos de reta se faz necessário para facilitar a

implementação em software.

Figura 2 – Gráfico normalizado

Utilizando os mnemônicos das Tabelas 2 e 3, podemos escrever a Equação 10

que sugere um modelo de equação geral. Através desta equação é possível converter

qualquer sinal gerado por um sensor analógico conectado a entrada do CLP para um

valor normalizado.

( ) MINMINMAX

MINMAXMIN LIM

REFREFLIMLIM

REFEARES +−−×−= (10)

RES

REFMIN LIMMIN

LIMMAX

y

x EA REFMAX

4. CÁLCULO DE VOLUME

A idéia básica para calcular o volume de um cilindro horizontal foi criada por

Eudoxo (406 – 355 a.C.) e depois melhorado por Arquimedes (287 – 212 a.C.), grande

matemático de Alexandria. O desafio da época era calcular o volume de um sólido com o

formato de um barril. A idéia foi acrescentar um retângulo inscrito na circunferência do

cilindro e após acrescentar triângulos isósceles nas áreas não cobertas, isto daria uma

boa aproximação.

Arquimedes, usando o mesmo método, calculou a área de um círculo de raio

unitário mostrando que a esta área esta compreendida entre 3,140845 a 3,142857,

prenunciando a π (pi ~ 3,1415926535897932384626433832795) .

Observe na Figura 3 o método utilizado por Arquimedes para calcular a área de

uma circunferência. Percebemos que os triângulos vão exaurindo a área da região

circular.

Figura 3 – Princípio de cálculo de área por Arquime des

O cálculo Diferencial e Integral foi criado por Isaac Newton (1642 – 1727) e

Wilhelm Leibniz (1646 – 1716), mas o primeiro conceito foi introduzido pelo matemático

francês Augustin Louis Cauchy (1789 – 1857) em meados de 1820. O trabalho destes

cientistas foi uma sistematização de idéias e métodos surgidos principalmente ao longo

dos séculos XVI e XVII, os primórdios da chamada era da Ciência Moderna.

O que permitiu a passagem do método de exaustão, apresentado acima, para o

conceito de integral foi à percepção que em certos casos a área da região pode ser

calculada sempre com o mesmo tipo de aproximação por retângulos. Esta foi uma

descoberta conceitual importante, mas em termos práticos, a descoberta fundamental foi

à possibilidade exprimir a integral de uma função em termos de uma primitiva da função

dada e este fato é conhecido pelo nome de Teorema Fundamental do Cálculo.

Cerca de 2200 anos após Eudoxo e Arquimedes descobrir o volume de sólido

A

Triângulo ABC

B

C A

B

C

D

A

B

C

F

E

D

Triângulo ADB

Triângulo AED e DFB

cilíndrico horizontal, na época um barril, agora vamos calcular o volume de um tanque de

combustível cilíndrico horizontal através da aplicação da integral e do cálculo

trigonométrico.

O volume calculado será em tempo real através do nível de combustível. Para

tanto será verificado este nível pela pressão da coluna de combustível exercido sobre um

sensor. Até então, a maneira existente para saber a quantidade de combustível em um

tanque cilíndrico horizontal era por uma mangueira transparente com marcações pré-

definidas. Nos tanques com dimensões retangulares é possível utilizar uma bóia com

instrumentação analógica, uma vez que a inclinação da reta é constante em qualquer

ponto de medição do tanque. Na Figura 4 é ilustrado duas vistas do tanque cilíndrico

horizontal, sendo uma isométrica e outra em corte frontal.

Com o uso de um sensor que mede a pressão da coluna de combustível, instalado

na parte mais inferior ao tanque cilíndrico horizontal, foi possível substituir a imprecisa

bóia elétrica que possui peças móveis no interior do tanque e corrente elétrica em seus

terminais, ou seja, as peças móveis oxidam e necessitam manutenção freqüente e

possui, ainda que baixo, risco de explosão por possuir corrente elétrica em seus terminais

de medição. Fazendo uso da aplicação da integral e da geometria foi possível

desenvolver um algoritmo capaz de calcular o volume através do nível, comprimento e

diâmetro do tanque, uma vez que o CLP utilizado possa executar tais cálculos.

Figura 4 – Tanque cilíndrico horizontal

Onde,

l = Comprimento do tanque cilíndrico, dado em metros;

h = Nível do combustível, dado em metros;

r = Raio do cilindro, dado em metros;

h

r X

y

Y

-r

+r

A

m x

Vista Isométrica Vista Frontal

l

A

A = Metade da Área transversal ocupada pelo combustível. A área total será dada

por 2A.

O cálculo da área transversal, ocupado pelo combustível, é realizado pela

aplicação da integral definida dada pela Equação 11.

[ ]∫=d

cdyf(y)-g(y)A (11)

A variável de integração na Equação 11 é y, para determinar as funções f(y) e g(y)

devemos escolher um ponto arbitrário na área A e traçar uma reta m paralela ao eixo X. A

f(y) será determinada pela equação mais à direita, que é a equação da circunferência em

função de y, mostrada nas equações 12 e 13. A g(x) será a equação mais à esquerda e

neste caso será igual a zero. 222 yxr += (12)

22 yrxf(y) −== (13)

Logo, para calcular a área indicada em A na Figura 5, desenvolveremos a integral

definida mostrada na Equação 14.

)dyyr(Ad

c

22∫ −= (14)

O próximo passo é determinar os limites c e d desta integral. Note que o cálculo é

feito em tempo real, com variação no eixo y. Observando a Figura 4, torna-se fácil

identificar o limite inferior que é –r. Porém, o limite superior é dinâmico, variando em

função de h. Como h varia de 0 a 2r e y varia de –r a r, conforme ilustrado na Figura 5,

devemos compatibilizar estes dois segmentos de reta. Isto pode ser feito através da

semelhança de triângulos.

Figura 5 – Comparativo entre os níveis

r X

y

Y

-r

+r

A

m x

X

h

Y

0

2r

x m

Nível. Onde h varia de 0 a 2r.

Nível. Onde y varia de -r a +r.

Na Figura 6 foi construído um gráfico que relaciona os segmentos de reta em y e h.

Figura 6 – Gráfico unificando os segmentos de reta

Inicialmente vamos traçar um segmento de reta no plano cartesiano a partir do

ponto A (0,-r) até o ponto B (2r,r). O ponto D (h,y) identifica o ponto médio deste

segmento de reta. Traçando os segmentos de reta perpendiculares ao eixo X a partir dos

pontos h e 2r, bem como os segmentos de reta ao eixo Y a partir dos pontos y e +r, note

que o ponto y encontra-se na origem. Podemos observar a existência dos triângulos ABC

e ADE. Através das propriedades de semelhança de triângulos, pelo caso AA (Ângulo

Ângulo) podemos observar que os dois triângulos são semelhantes, observe que ambos

possuem um ângulo reto em E e C, e um ângulo comum em A. Desta forma, é possível

fazer a relação mostrada na Equação 15.

ED

CB

AE

AC = (15)

Através das equações 16, 17, 18 e 19, podemos identificar o tamanho dos

segmentos de reta e substituir pelas variáveis do eixo cartesiano.

r20r2ACAC =−=−= (16)

h0hAEAE =−=−= (17)

r2r)(rCBCB =−−=−= (18)

ryryEDED +=−−=−= )( (19)

Na Equação 20 vamos substituir as variáveis da Equação 15, utilizando as

demonstrações das equações 16, 17, 18, e 19.

ryr2

hr2

+= (20)

Nas equações 21 a 28, são demonstrados, de forma didática, os desenvolvimentos

necessários para isolar o y da Equação 20.

y

B

D

C E A 0

-r

+r

Y

X

h 2r

hry

r2r2 ×

+= (21)

ryrh2

r2+

= (22)

21

ryrh2

r ×+

= (23)

ryrh

r+

= (24)

rhryr =+ )( (25)

rryr

h)( += (26)

ryh += (27)

rhy −= (28)

Portanto, os limites c e d da função mostrada na Equação 14, tem por intervalo [-

r,y], substituindo na Equação 28, temos o intervalo [-r,(h-r)]. Logo, o limite inferior c é

dado por [-r] e o limite superior d que é dinâmico em [h-r]. A partir destes dados podemos

escrever a integral definida na Equação 29.

)dyyr(Arh

r

22∫

−

−−= (29)

Uma grande ferramenta para os matemáticos e engenheiros é o livro Manual de

Fórmulas e Tabelas Matemáticas de Murray R. Spiegel (1973) que como o próprio nome

sugere, este livro trás um apanhado das principais fórmulas e diversas tabelas para

resolver integrais. Através da demonstração da integral indefinida 14.244 deste livro, foi

possível desenvolver a Equação 29. As equações 30 a 34 mostram este

desenvolvimento. rh

r

222

ry

arcsen2r

yr2y

A−

−

+−= (30)

( ) ( )

−+−−−−

−+−−−=rr

arcsen2r

rr2r

rrh

arcsen2r

rhr2

rhA

222

222

(31)

( )

−×+−−

−+−−−=2π

2r

02r

rrh

arcsen2r

rhr2

rhA

2222 (32)

( )

−−

−+−−−=4πr

0r

rharcsen

2r

rhr2

rhA

2222 (33)

( )

+

−+−−−=4πr

rrh

arcsen2r

rhr2

rhA

2222 (34)

Lembre-se que A é apenas a metade da área total, conforme ilustrado na Figura 4,

no entanto, precisamos de 2A. As equações 35 e 36 demonstram o cálculo da área total,

dado por AT.

( )

+

−+−−−×=4πr

rrh

arcsen2r

rhr2

rh2A

2222

T (35)

( )

+

−+−−−=2πr

rrh

arcsenrrhrr)(hA2

222T (36)

Como o objetivo é calcular o volume (V) do tanque cilíndrico horizontal em função

do nível, basta multiplicar o comprimento do tanque, dado por l, pela área total. Desta

forma, é possível concluir o desenvolvimento na Equação 37.

( )

+

−+−−−=2πr

rrh

arcsenrrhrr)(hlV2

222 (37)

Uma vez desenvolvida a Equação 37, basta aplicar os dados constantes como π,

raio (r) e comprimento (l) e aplicar um valor dinâmico a variável altura (h). Para validar

esta equação, vamos aplicar três valores em h. O primeiro valor será com h = 0, neste

caso o tanque estará vazio e seu volume deverá ser 0 l (litros); o segundo valor será com

h = r, neste caso o tanque estará com a metade da capacidade; o último valor será com h

= 2r, neste caso o tanque estará cheio. Supondo um tanque cilíndrico horizontal com 2 m

(metros) de diâmetro e 5 m de comprimento, pela Equação 38, temos que o volume

máximo deste cilindro é de 15,708 m³ (metros cúbicos) ou 15.708 l.

322 m708,15π551πlπrV ==××== (38)

Caso 1, h = 0. Nas equações 39 e 40 é validado que para uma altura igual a 0 m o

volume será de 0 l.

( )

+

−+−−−== 21π

110

arcsen1101)10(5V2

222)0(h (39)

3)0(h m0

2π

2π

05V =

+−== (40)

Caso 2, h = 1 m. Nas equações 41 e 42 é validado que para uma altura igual a 1 m

o volume será de 7,854 m³ ou 7.854 l.

( )

+

−+−−−== 21π

111

arcsen1111)11(5V2

222)1(h (41)

3)1(h m854,7

2π

52π

005V =×=

++== (42)

Caso 3, h = 2 m. Nas equações 43 e 44 é validado que para uma altura igual a 2 m

o volume será de 15,708 m³ ou 15.708 l. Ou seja, tanque cheio.

( )

+

−+−−−== 21π

112

arcsen1121)12(5V2

222)2(h (43)

3)2( 708,155

2205 mV h =×=

++== πππ (44)

5. APLICANDO OS CONCEITOS

Supondo um tanque de combustível cilíndrico horizontal com 2 m de diâmetro e 5

m de comprimento, logo o volume máximo, dado por VMAX,, é de 15,708 m³ ou 15708 l,

conforme demonstrado nas equações 45 a 47.

lπrV 2MAX = (45)

511415,3V 2MAX ××= (46)

3MAX m708,15V = (47)

Para saber o volume deste tanque em tempo real, vamos precisar de um

transdutor de pressão que deverá estar instalado na parte mais inferior do tanque, que

possua a característica de medir 0 a 0,2 bar para fornecer o peso da coluna de

combustível através de uma saída analógica de 4 a 20 mA, devidamente conectado a um

CLP compatível com esta grandeza elétrica, gerando um valor interno de 0 a 32000.

Podemos montar estes dados conforme a Tabela 4. Por definição, cada 1 m de coluna de

água corresponde a 0,1 bar. Portanto, devemos conhecer a densidade do líquido em

questão para um correto dimensionamento do transdutor de pressão, lembrando que a

água possui densidade 1. Em nossa aplicação, a densidade do óleo diesel é em média

0,85, neste caso, o mesmo sensor de pressão pode ser utilizado em até 2,35 m de

coluna. Mas para efeitos didáticos, vamos considerar que o líquido combustível possua

uma densidade igual a da água.

Tabela 4 – Dados conhecidos Diâmetro

do Tanque Raio do

Tanque (r) Comprimento do Tanque (l)

Sensor de Pressão

Limite do Sensor

Tipo de Sinal

Referência no CLP

2 m 1 m 5 m 0 – 0,2 bar 0 – 2 m 4 – 20 mA 0 a 32000

O primeiro passo é normalizar a entrada analógica do CLP para uma grandeza

conhecida, no caso em metros. Este procedimento se faz necessário para conhecermos o

nível atual do óleo combustível em função do peso da coluna medido pelo sensor. Como

o intuito deste artigo é demonstrar o desafio de calcular o volume do tanque cilíndrico

horizontal em tempo real, didaticamente, iremos considerar condições ideais do sistema,

conforme ilustrado na Figura 7. Na prática, os limites do sensor podem variar conforme

local da instalação, densidade do combustível e o próprio dimensionamento do sensor.

Para uma correta aferição deve-se informar ao CLP a referência inferior e superior da

leitura do nível do tanque. Uma vez estando todo o sistema instalado, identificaremos a

referência inferior quando o tanque estiver totalmente vazio, neste momento o sensor de

pressão deverá informar algum valor próximo de 0 mA, digamos 1 mA. Para identificar a

referência superior devemos encher totalmente o tanque, neste momento o sensor de

pressão deverá informar um valor próximo de 20 mA, digamos 18 mA. No entanto, vamos

considerar condições ideais no qual existe uma proporcionalidade direta entre o valor do

sensor de pressão instalado e o nível do óleo combustível, ou seja, o tanque vazio que

representa a referência mínima será de 0 mA e o tanque cheio que representa a

referência máxima será de 20 mA.

Figura 7 – Gráfico desejado

Uma vez conhecendo gráfico da Figura 7, basta aplicar os conceitos estudados no

capítulo 3, onde desenvolvemos uma equação geral para normalizar uma entrada

analógica qualquer em uma grandeza conhecida, neste caso, para todos os valores de

pressão teremos um valor correspondente em metros. Abaixo, temos a Equação 48, que

é a equação geral vista no capítulo 3, e a Equação 49 que é mesma equação, porém com

os termos reduzidos.

( ) MINMINMAX

MINMAXMIN(m) LIM

REFREFLIMLIM

REFEARES +−−×−= (48)

320002

EARES(m) ×= (49)

No entanto, veremos que na prática é melhor utilizar varáveis na equação para

dinamizar os diferentes tipos de grandezas e entradas analógicas que o CLP poderá ler.

RES

0 0

2

Altura (m)

Pressão EA 32000 (0,2bar)

Na Figura 8 podemos observar um exemplo de código-fonte escrito em linguagem de

Texto Estruturado, segundo a norma IEC61131, utilizado em diversos CLP’s. O mesmo

código também pode ser escrito em linguagem Ladder, que é a mais utilizada na área da

Automação Industrial, ficando a critério do programador.

// Normalização Entrada Analógica de Nível (pressão de coluna do óleo diesel) // EA - Entrada 1 – Módulo 1 – 4 a 20mA – 0 a 32000

EA_real := any_to_real(EA); // Entrada Analógica convertida para real

Lim_mi n := 0.0; // Limite mínimo = 0m

Lim_max := 2.0; // Limite máximo = 2 m

Ref_min := 0.0; // Referência minima = 0 (0 bar)

Ref_max := 32000.0; // Referência máxima = 32000 (0,2 bar)

h := (EA_real - Ref_min) * ((Lim_max - Lim_min)/(Re f_max - Ref_min)) + (EA_real - Ref _min) + (Lim_min);

Figura 8 – Exemplo de código-fonte de normalização

O próximo passo é aplicar o valor da altura, nível, do combustível em uma função

integral capaz de calcular o volume instantâneo. Uma vez conhecendo o valor do nível do

óleo diesel, identificado como h, podemos utilizar a Equação 50 para calcular o volume

(V), conforme desenvolvido no capítulo 4.

( )

+

−+−−−=2πr

rrh

arcsenrrhrr)(hlV2

222 (50)

Pelo mesmo motivo anterior não vamos resumir esta equação. Ou seja, vamos

utilizar variáveis para dinamizar a utilização da equação para diferentes dimensões do

tanque cilíndrico horizontal. Na Figura 9 podemos observar um exemplo de código-fonte

escrito em linguagem em Ladder, segundo a norma IEC61131, utilizado em diversos

CLP’s. O mesmo código também pode ser escrito em linguagem de Texto Estruturado,

ficando a critério do programador.

De posse da informação do volume instantâneo de combustível, podemos realizar

o controle de enchimento do tanque a partir de um nível mínimo e máximo, gerar alarmes

de nível de combustível muito baixo (tanque vazio) ou muito alto (transbordamento),

monitorar a aferição da quantidade fornecida pela distribuidora de combustível e gerar

relatórios de consumo.

Figura 9 – Exemplo de código-fonte do cálculo do vo lume em tempo real

Após um ensaio num tanque de combustível cilíndrico horizontal, aplicando os

algoritmos apresentados acima obtivemos a Tabela 5 – Resultados. Onde pode-se

observar um erro incidente, principalmente, sobre a forma construtiva do tanque. Este

erro deve ser avaliado conforme a necessidade da aplicação. Para aprimorar os

resultados, será necessário considerar as deformidades da forma construtiva do tanque

cilíndrico horizontal, a temperatura do combustível, a qualidade do sensor de pressão e a

qualidade do CLP. O projetista pode incluir um segundo sensor de pressão como backup

a fim de assegurar uma condição de contingência.

Tabela 5 – Resultados

Marcação Sensor de Pressão

Nível (h) Volume Calculado

Erro

0 l 5,66 mA 0 m 0 l 0% 2500 l 8,56 mA 0,437 m 2537 l 1,2% 5000 l 10,33 mA 0,705 m 4947 l -1,1% 7500 l 11,96 mA 0,951 m 7363 l -1,8%

10000 l 13,64 mA 1,205 m 9889 l -1,1% 12500 l 15,61 mA 1,503 m 12662 l 1,3% 15000 l 17,96 mA 1,856 m 15204 l 1,4%

6. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Historicamente, a Automação Industrial vem invadindo cada vez mais todos os

processos sejam eles fabris ou não e o uso do CLP é proporcional a este crescimento. A

área da Automação Industrial permite uma grande liberdade de desenvolvimentos de

algoritmos matemáticos para solucionar os diversos desafios, buscando sistemas

confiáveis seguros e produtivos.

Este artigo demonstrou o uso da integral como aplicação no cálculo de área no

desafio encontrado durante o desenvolvimento em software para controle e

monitoramento do volume de combustível em um tanque cilíndrico horizontal. Neste

desenvolvimento não foi desconsiderado o volume ocupado pelas faces arredondadas de

um tanque cilíndrico horizontal, uma vez que no sistema usado não exige tal precisão. No

entanto, o leitor poderá aprofundar no tema abordado ou ainda buscar soluções

matemáticas para calcular o volume ocupado pelas faces arredondadas do tanque.

Uma vez obtendo o volume do tanque cilíndrico horizontal em tempo real, o

projetista poderá utilizar esta informação para implementar algoritmos em CLP para

controle de nível, ligando e desligando uma bomba de enchimento; para ativar alarmes de

nível alto ou nível baixo; para aferição no instante em que a distribuidora de combustível

estiver abastecendo; para gerar um banco de dados que gerencie o consumo de

combustível e gerar relatórios de custos; para calcular a autonomia do processo a partir

do consumo instantâneo; ou seja, além da própria informação em tempo real do nível de

combustível, que é muito mais preciso que a marcação no próprio tanque, o projetista

pode realizar diversos algoritmos de acordo com a necessidade do sistema.

Diferentemente do que parece, a maior dificuldade na aplicação desta solução

para medir o volume do tanque cilíndrico horizontal não foram às equações matemáticas

demonstrada no artigo, mas sim os problemas de dinâmica do sistema. O projetista

deverá levar em consideração as implicações de pressão atmosférica, temperatura do

combustível e até mesmo as oscilações de nível. Neste último, pode-se aplicar filtros

lógicos de primeira ordem do tipo RC (Resistor Capacitor) ou ainda filtros mais complexos

de segunda e terceira ordem.

No entanto, cabe lembrar que o objetivo deste trabalho limita-se em demonstrar o

uso da integral como aplicação na solução em desenvolver um algoritmo capaz de

calcular o volume instantâneo de um tanque de combustível cilíndrico horizontal em CLP

em função do nível, podendo o leitor aprofundar os algoritmos apresentados e melhorar a

precisão e até mesmo utilizar os conceitos introduzidos em outras aplicações.

7. AGRADECIMENTOS

Agradeço a Deus por esta grande oportunidade de vida, a minha esposa e filha

que sempre acreditaram em mim, aos colegas e amigos pelo apoio, aos grandes mestres

da faculdade e aos professores orientadores Julio Cabrera e Magda Leyser.

REFERÊNCIAS

CÁRCERE, Mirian. CLP: Teoria e Exercícios . Canoas: Editora ULBRA, 2004. 47p. (Cadernos Universitários, 215)

CASTRUCCI, Plínio; SALES Roberto Moura. Controle Digital . São Paulo: Editora Edgard Blücher Ltda, 1990. Terceira edição.

OLIVEIRA, Júlio César Peixoto de. Controlador Programável . São Paulo: Makron Books, 1993

SILVEIRA, Paulo R.; SANTOS, Winderson E. Automação e Controle Discreto . São Paulo: Editora Érica Ltda, 1999. Segunda edição.

SPIEGEL, Murray R. Manual de Fórmulas e Tabelas Matemáticas . Coleção Schaum. Porto Alegre: McGraw-Hill do Brasil Ltda, 1973. Primeira edição.

TEODOROWITSCH, Roland. Manual de Ética, Estilo e Português para a Elaboraç ão de Trabalhos Acadêmicos . Gravataí: [s.n.], 11 mar. 2003. 10 f. Disponível em: <http://www.ulbra.tche.br/~roland/pub/ulbra-template.dot>. Acesso em 4 de maio de 2006.

WIKIPEDIA, Enciclopédia Eletrônica . http://pt.wikipedia.org/