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Cálculos Financeiros

Prof. Afonso Chebib

Séries de Pagamento

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Séries de Pagamento

Séries de pagamentos é uma sucessão de entradas e saídas de caixa (FC1, FC2,…, FCn) com vencimentos sucessivos v1, v2,…, v3.

Nas séries de pagamentos os juros e a amortização do saldo devedor (devolução do capital) são parcelados.

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Séries de Pagamento Uniformes

“Séries uniformes - séries em que os pagamentos ou recebimentos são iguais, uniformes ao longo de intervalos regulares de tempo”

4S

VP

Prestações ou pagamentos mensais iguais (PMT)

PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT

n = número de pagamentos periódicos

Séries de Pagamento Uniformes

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Divisão:– Séries postecipadas

• Pagamento no final de cada período

– Séries antecipadas• Pagamento no início de cada período

0 1 2 3 4 5 n

0 1 2 3 4 5 n

Séries de Pagamento Uniformes

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Divisão:– Séries diferidas

• Carência = prazo que separa o início da operação do período de pagamento da primeira parcela

– Séries diferidas postecipadas• Há carência e o primeiro pagamento ocorre no final do

préiodo

0 c c+1 c+2 c+3 c+4 c+n

carência

0 c c+1 c+2 c+3 c+4 c+n

carência

Séries de Pagamento Uniformes

Importante!

– A diferença de prazo entre dois termos consecutivos é sempre constante

– O número de termos é finito (quando o número de termos é infinito trata-se de rendas perpétuas que não será tratado neste tópico)

– Os cálculos são baseados no sistema de capitalização composta (juros compostos)

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Valor presente de Série Uniforme Postecipada

8

i

iPMTFV

ii

iPMTPV

iiiiPMTPV

i

PMT

i

PMT

i

PMT

i

PMTPV

PMTVPPMTVPPMTVPPMTVPPV

n

n

n

n

n

n

1)1(*

.)1(

1)1(*

)1(

1...

)1(

1

)1(

1

)1(

1*

)1(...

)1()1()1(

)(...)()()(

321

321

321

0 1 2 3 ... n

Valor presente de Série Uniforme Antecipada

Cada um dos termos é aplicado em um período a mais do que na série de termos postecipados

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i

iiPMTFV

ii

iiPMTPV

n

n

n

1)1()1(

.)1(

1)1()1(

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@#@**!!!:#%

HP 12C

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É possível obter o valor de qualquer uma das variáveis(PV, PMT, i, n), dado os valores das outras três

Exercícios – Série Uniformes

Séries Postecipadas1. Um eletrodoméstico é vendido a prazo, em 4 pagamentos

mensais e iguais de $550, vencendo o primeiro um mês após a compra. Se a loja opera a uma taxa de juros de 5 a.m., qual o seu preço à vista? 1.950,27

2. Um automóvel é vendido à vista por R$ 30.000,00 mas pode ser vendido a prazo em 12 prestações mensais iguais, vencendo a primeira um mês após a compra. Sabendo-se que a taxa de juros do financiamento é de 2%a.m., obtenha o valor de cada prestação. 2.836,79

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Exercícios – Série Uniformes

Séries Postecipadas3. Uma calculadora (HP 12C) é vendida por R$160 à vista ou a

prazo em 4 prestações mensais iguais de R$ 45,49, cada uma, vencendo a primeira um mês após a compra. Qual a taxa de financiamento? 5,3507%

4. Um investidor aplica mensalmente $2.000,00 em um fundo de investimentos que remunera as aplicações à taxa de juros compostos de 2% a.m.. Se o investidor fizer sete aplicações, qual o montante no instante do último depósito? 14.868,57

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Exercícios – Série Uniformes

Séries Antecipadas (BEGIN no visor!) (g 7)5. Uma compra no valor de R$ 50.000 foi financiada em 12

prestações mensais antecipadas. Considerando juros efetivos de 8% a.m., calcular o valor das prestações. 6.143,29

6. Uma pessoa deve pagar por um financiamento seis prestações mensais antecipadas de R$13.000 cada uma. Calcular o valor do total financiamento, sendo que a taxa de juros cobrada é de 15% a.m.

56.578,02

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Fluxos não uniformes

Fluxos não uniformes podem ser calculados com HP-12C utilizando-se as seguintes teclas:

CF0 – Fluxo de caixa na data 0

CFj – Fluxos de caixa intermediáriosNj – número de vezes que o fluxo j se repete (omitir caso seja 1)IRR – calcula a taxa interna de retorno do fluxo de caixa.

Exemplo: Calcular a taxa de juros so seguinte fluxo de caixa: Valor do financiamento (ou valor a vista) R$12.0001ºPagto: 30 dias – R$40001ºPagto: 60 dias – R$40001ºPagto: 90 dias – R$10001ºPagto: 150 dias – R$5000

Note que não há pagamento na data 120 dias

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g PV

g FV

g PMT

f FV

Fluxos não uniformes

Resolução na HP– Fluxo na data 0 (deve ter o valor inverso do resto dos fluxos)

– R$4000 aparece duas vezes (30 e 60 dias)– R$1000 na data 90 dias– 0 na data 120 (nao esquecer!)– R$5000 na data 150 dias– Calcula a taxa interna de retorno – 5,7030% ao mês

Resolução no Excel

• =TIR(fluxo de caixa)

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12000 CHS g PV

4000 g PMT

2 g FV

1000 g PMT

0 g PMT

5000 g PMT

f FV

-12000400040001000

05000

Fluxos não uniformes

Exemplo: Um apartamento é vendido nas seguintes condições: R$12.0000 a vista, R$15.000 em 30 dias, 3 pagamentos semestrais de R$10.000 vencendo o primeiro em 210 dias, 18 pagamentos mensais de R$ 2.300 sendo o primeiro em 60 dias. Sendo o valor a vista desse imóvel R$90.000, calcule a taxa do financiamento.

Importante desenhar os fluxos!! No Excel fica um pouco menos trabalhoso de fazer.

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Dias 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450 480 510 540 570Mês 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19Ap 90000

Mensais -2300 -2300 -2300 -2300 -2300 -2300 -2300 -2300 -2300 -2300 -2300 -2300 -2300 -2300 -2300 -2300 -2300 -2300Outros -12000 -15000 -10000 -10000 -10000Total 78000 -15000 -2300 -2300 -2300 -2300 -2300 -12300 -2300 -2300 -2300 -2300 -2300 -12300 -2300 -2300 -2300 -2300 -2300 -12300

IRR (ou TIR) 1,08%

Amortização de empréstimos

Dívida = principal + juros Amortização:

– devolução do principal emprestado Parcelas ou prestações:

– pagamento periódico composto de pagamento dos juros devidos e amortização do principal

Os juros correspondem ao custo do empréstimo não pago

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O saldo devedor é formado pela saldo anterior, mais os juros menos a prestação

Amortização de empréstimos

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Saldo Devedor

(SDt)

Saldo devedor no

instante anterior (t-1)

(SDt-1)

Juros (Jt)

Pagamento efetivado no instante t (Rt)

SDt = SDt-1 + Jt - Rt

Amortização de empréstimos

Planilha

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Período(t)

Saldo devedor(SDt = SDt -1 – At)

Amortização(At = Rt – Jt)

Juros(Jt = i x SDt-1)

Prestação(Rt)

0

1

2

3

TOTAL

Exemplo 1

Um empréstimo de R$ 50.000 deve ser devolvido em quatro prestações semestrais e à taxa de juros de 5% a.s., com juros pagas semestralmente. Obter a planilha, sabendo-se que as amortizações são semestrais, com os seguintes valores: A1 = 5.000 A2 = 10.000 A3 = 15.000 A4 = 20.000

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Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação(t) (SDt = SDt -1 – At) (At = Rt – Jt) (Jt = i x SDt-1) (Rt)

0 1 2 3 4

TOTAL

Exemplo 1

Um empréstimo de R$ 50.000 deve ser devolvido em quatro prestações semestrais e à taxa de juros de 5% a.s., com juros pagas semestralmente. Obter a planilha, sabendo-se que as amortizações são semestrais, com os seguintes valores: A1 = 5.000 A2 = 10.000 A3 = 15.000 A4 = 20.000

Para conferir calcular a TIR no Excel do fluxo de caixa desse empréstimo, ou trazer todas as prestações a valor presente a 5%as

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Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação(t) (SDt = SDt -1 – At) (At = Rt – Jt) (Jt = i x SDt-1) (Rt)

0 50000 1 45000 5000 2500 75002 35000 10000 2250 122503 20000 15000 1750 167504 0 20000 1000 21000

TOTAL 57500

Exemplo 2

Um empréstimo de R$ 50.000 deve ser devolvido em quatro prestações semestrais e à taxa de juros de 5% a.s., com juros pagas semestralmente. Obter a planilha, sabendo-se que as amortizações semestrais, são iguais

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Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação(t) (SDt = SDt -1 – At) (At = Rt – Jt) (Jt = i x SDt-1) (Rt)

0 1 2 3 4

TOTAL

Exemplo 3

Um empréstimo de R$ 50.000 deve ser devolvido em quatro prestações semestrais e à taxa de juros de 5% a.s., com juros pagas semestralmente. Obter a planilha, sabendo-se que as amortizações são semestrais, com os seguintes valores: A1 = A2 = A3 = 0 e A4 = 50.000

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Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação(t) (SDt = SDt -1 – At) (At = Rt – Jt) (Jt = i x SDt-1) (Rt)

0 1 2 3 4

TOTAL

Sistema de amortização constante (SAC)

As parcelas de amortizações são iguais entre si.– A amortização é calculada dividindo-se o valor do principal pelo

número de períodos pagamentos.

As Prestações são decrescentes, já que os juros dominuem a cada prestação

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Períodos

Prestação

Juros

Amortização

Sistema de amortização constante (SAC) Exercício 1

– Elaborar a planilha de amortização para o seguinte pagamento• Valor do financiamento = $ 200.000• Reembolso (pagamento) em 4 meses pelo sistema SAC• Taxa de juros efetiva: 10% a.m.

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Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação(t) (SDt = SDt -1 – At) (At = Rt – Jt) (Jt = i x SDt-1) (Rt)

0 1 2 3 4

TOTAL

Sistema de amortização constante (SAC) Exercício 2

– Um empréstimo de $200.000, contratado a juros efetivos de 10% a.m., será paga em três prestações mensais antecipadas com carência de três meses. Construir a planilha de amortizações

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Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação(t) (SDt = SDt -1 – At) (At = Rt – Jt) (Jt = i x SDt-1) (Rt) 0 1 2 3 4 5

TOTAL

Sistema Francês (Sistema PRICE)

As prestações são iguais e consecutivas

Os juros são decrescentes e o as amortizações formam uma sequencia crescente

Valor das prestações calculado igual as casos de séries uniformes

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Períodos

Prestação

Juros

Amortização

Sistema Francês (Sistema PRICE)

Exercício 3– Um empréstimo de $200.000 será pago pela Tebla Price em

quatro prestações mensais postecipadas. A juros efetivos de 10% a.m., construir a planilha de amortização.

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Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação

(t) (SDt = SDt -1 – At) (At = Rt – Jt) (Jt = i – SDt-1) (Rt)

0

1

2

3

4

Sistema Francês (Sistema PRICE)

Exercício 4– Resolva o exercício anterior, com um período de carência de

três meses em que serão pagos os juros devidos, construir a planilha de amortização considerando prestações antecipadas.

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Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação(t) (SDt = SDt -1 – At) (At = Rt – Jt) (Jt = i – SDt-1) (Rt) 0 1 2 3 4 5 6